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08届高考数学二轮复习圆锥曲线测试题

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高考数学圆锥曲线综合题题库3 含详解

高考数学圆锥曲线综合题题库3 含详解

51、(河北省正定中学2008年高三第五次月考)已知直线l 过椭圆E:2222x y +=的右焦点F ，且与E 相交于,P Q 两点.(1)设1()2O R O P O Q =+（O 为原点），求点R 的轨迹方程；(2)若直线l 的倾斜角为60°，求11||||PF QF +的值. 解：(1)设1122(,),(,),(,)P x y Q x y R x y112211()(,)[(,)(,)]22O R O P O Q x y x y x y =+⇒=+ 121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⇒⎨+⎪=⎪⎩由22222212xx y y +=⇒+=，易得右焦点(1F ----------（2分）当直线l x ⊥轴时，直线l 的方程是：1x =，根据对称性可知(1,0)R 当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为(1)y k x =-代入E 有2222(21)4220k x k x k +-+-=2880k ∆=+>; 2122421kx x k +=+----（5分）于是(,):R x y x =21222221x x kk +=+; (1)y k x =-消去参数k 得2220x y x +-=而(1,0)R 也适上式，故R 的轨迹方程是2220x y x +-=-（8分）(2)设椭圆另一个焦点为'F ，在'PF F ∆中0'120,|'|2,PFF F F ∠==设||PF m =，则|'|PF m =由余弦定理得2220)222cos120m m m =+-⋅⋅⋅m ⇒=同理，在'QF F ∆，设||QF n =，则|'|Q F m = 也由余弦定理得2220)222cos 60n n n -=+-⋅⋅⋅n ⇒=于是1111||||22PF Q F m n +=+=+= ---------（12分）52、(河南省开封市2008届高三年级第一次质量检)双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的左、右焦点分别为F 1、F 2，O 为坐标原点，点A 在双曲线的右支上，点B 在双曲线左准线上， .,22OB OA OA OF AB O F ⋅=⋅=（1）求双曲线的离心率e ；（2）若此双曲线过C （2，3），求双曲线的方程；（3）在（2）的条件下，D 1、D 2分别是双曲线的虚轴端点（D 2在y 轴正半轴上），过D 1的直线l 交双曲线M 、N ，l N D M D 求直线,22⊥的方程。

高考数学试题汇编圆锥曲线

高考数学试题汇编圆锥曲线

2008年高考数学试题汇编：圆锥曲线一填空题：1、已知点P 为抛物线24y x =上一点，记点P 到y 轴距离1d ,点P 到直线:34120l x y -+=的距离2d ，则1d ＋2d 的最小值为 2 。

2、给出问题：已知F 1、F 2是双曲线2211620x y -=的焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离。

某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF 1|－|PF 2||＝8,即|9－|PF 2||＝8,解得|PF 2|＝1或17.该学生的解答是否正确？请将理由填在横线上 。

该学生的解答不正确，正确答案为2PF ＝17，因为12FF ＝12，1PF ＝9，所以2PF ＝17，若2PF ＝1，与三角形两边之差小于第三边矛盾。

3、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|=6|PF 2|，则此双曲线的离心率的最大值为________.754、湖南省长沙云帆实验学校理科限时训练若椭圆+22a x )0(122>>=b a by 的左、右焦点分别为1F 、2F ，线段12F F 被抛物线bx y 22=的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为根据题意，得2223()5()22bb c c a b c⎧+=-⎪⎨⎪=+⎩，解得c e a == 5.湖南省长沙云帆实验学校理科限时训练 动点P 在抛物线y =x 2+1上运动,则动点P 和两定点A (－1,0)、B (0,－1)所成的△P AB 的重心的轨迹方程是_______.解析: 设重心(x ,y ),此时P (x 0,y 0),则⎩⎨⎧=++-=++-,301,30100y y x x ⎩⎨⎧+=+=.13,1300y y x x P 在抛物线上,3y +1=(3x +1)2+1.整理得y =3x 2+2x +31.pxM6. 江苏省滨海县08届高三第三次联考数学试卷2008-1-4椭圆22221x y a b+=上任意一点到两焦点的距离分别为1d 、2d ，焦距为2c ，若1d 、2c 、2d 成等差数列，则椭圆的离心率为 127. 已知椭圆E 的离心率为e ，两焦点为F 1，F 2，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，P 为两曲线的一个交点.若e PF PF =21,则e 的值.8. 如图所示,已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点恰好是椭圆12222=+b y a x 的右焦点F ，且两条曲线的交点连线也过焦点F ， 则该椭圆的离心率为 12-=e 9.抛物线2x y =的焦点坐标为 ．)41,0(10.椭圆92522y x +=1上一点P 到两焦点的距离之积为m ，则m 的最大值为 ．25 11.若曲线的参数方程为θθθθ()sin 1(21|2sin 2cos |⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x 为参数，πθ≤≤0），则该曲线的普通方程为 ．)12121(22≤≤≤≤=y x y x ，, 12. 如图：过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 依次交抛 物线及其准线与点,,A B C ，若||2||BC BF =，且||3AF =， 则抛物线的方程是 23y x = 13. 如图，在平面斜坐标中045=∠xoy ，斜坐标定义为0102OP x e y e =+（其中21,e e 分别为斜坐标系的x 轴,y 轴的单位向量），则点P 的坐标为),(00y x 。

2008年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(12圆锥曲线与方程)

2008年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(12圆锥曲线与方程)

2008年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 （12圆锥曲线与方程）一、选择题： 1．（2008北京理）若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹为（ D ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线2．(2008福建文、理)双曲线22221(0,0)x y a b a b+=>>的两个焦点为12,F F ，若P 为其上的一点，且12||2||PF PF =，则双曲线离心率的取值范围为（ B ）Ａ．(1,3) Ｂ．(1,3] Ｃ．(3,)+∞ Ｄ．[3,)+∞3、(2008海南、宁夏文)双曲线221102x y -=的焦距为（ D ）D.4、(2008海南、宁夏理)已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ）A. （41，－1） B. （41，1） C. （1，2） D. （1，－2）5. (2008湖北文、理)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122;a c a c +=+②1122;a c a c -=-③1212;c a a c >④1212.c c a a < 其中正确式子的序号是（ B ）A.①③B.②③C.①④D.②④6．(2008湖南文) 双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右支上存在一点，它到右焦点及左准线 的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是( C )A ．B ．)+∞C ．(11]D ．1,)+∞7. (2008湖南理)若双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B. )A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)8．(2008江西文、理) 已知12F F 、是椭圆的两个焦点．满足1MF ²2MF ＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（C ） A ．(0，1) B ．(0，21] C ．(0，22) D ．[22，1)9.(2008辽宁文) 已知双曲线22291(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m =( D ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．(2008辽宁理) 已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ）A B ．3CD ．9211．(2008全国Ⅰ卷文)若直线1x ya b+=与圆221x y +=有公共点，则（ D ） A ．221a b +≤B ．221a b +≥ C ．22111a b +≤ D ．2211a b+≥112．(2008全国Ⅱ卷文)设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ B ）A ．221+ B ．231+ C ． 21+ D ．31+13．(2008全国Ⅱ卷理)设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ B ）A ．B ．C ．(25)，D ．(214.(2008山东理)设椭圆C 1的离心率为135，焦点在X 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点 到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为（ A ）（A ）1342222=-y x (B)15132222=-y x (C)1432222=-y x (D)112132222=-y x15.(2008陕西文、理) 双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ B ）A BCD16.(2008上海文)设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于（D ） A ．4 B ．5C ．8D ．1017．(2008四川文) 已知双曲线22:1916x y C -=的左右焦点分别为12,F F ，P 为C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PF F ∆的面积等于( C )（Ａ）24 （Ｂ）36 （Ｃ）48 （Ｄ）9617．【解】：∵双曲线22:1916x y C -=中3,4,5a b c === ∴()()125,0,5,0F F -作1PF 边上的高2AF ，则18AF = ∴26AF == ∴12PF F ∆的面积为12111664822PF PF ⋅=⨯⨯= 故选C18．(2008四川理) 已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK =，则AFK ∆的面积为( B )（Ａ）4 （Ｂ）8 （Ｃ）16 （Ｄ）32 18．【解】：∵抛物线2:8C y x =的焦点为()20F ，，准线为2x =- ∴()20K -，设()00A x y ，，过A 点向准线作垂线AB ，则()02B y -，∵AK =，又()0022AF AB x x ==--=+∴由222BK AK AB =-得()22002y x =+，即()20082x x =+，解得()24A ±，∴AFK ∆的面积为01144822KF y ⋅=⨯⨯= 故选B19(2008天津文)设椭圆22221(00)x y m n m n +=>>，的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（ B ）A ．2211216x y +=B ．2211612x y += C ．2214864x y += D ．2216448x y += 20. (2008天津理)设椭圆()1112222>=-+m m y m x 上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 点到右准线的距离为（ B ）(A) 6 (B) 2 (C) 21 (D) 772 21.（2008浙江文、理）若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是（ D ）（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）522.（2008浙江理）如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是（ B ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）一条直线 （D ）两条平行直线23. (2008重庆文)若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线y 2=2px的准线上，则p 的值为 (C )(A)2 (B)3(C)424. (2008重庆理)已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的一条渐近线为y =kx (k ＞0),离心率e ,则双曲线方程为 (C )（A ）22x a －224y a=1 (B)222215x y a a -= (C)222214x y b b -=(D)222215x y b b-=二、填空题：1.（2008安徽文）已知双曲线22112x y n n-=-n ＝ 42. (2008福建文)若直线340x y m ++=与圆222440x y x y +-++=没有公共点，则实数m 的取值范围是 (,0)(10,)-∞+∞3、(2008海南、宁夏理)过双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F 。

2008年高考(直线和圆的方程)(圆锥曲线方程)试题集

2008年高考(直线和圆的方程)(圆锥曲线方程)试题集

2008年高考数学第七章（直线和圆的方程）第八章（圆锥曲线方程）试题集锦2008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修I) 3.原点到直线052=-+y x 的距离为 A.1 B.3 C. 2 D.56.设变量y x ,满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥222x y x x y ，则y x z 3-=的最小值A.-2B. -4C. -6D. -87设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=aA. 1B.21 C. -21 D.-115.已知F 是抛物线C:x y 42=的焦点，A 、B 是C 上的两个点，线段AB 的中点为M(2,2)，则ABF ∆的面积等于22. （本大题满分12分）设椭圆中心在坐标原点，)1,0(),0,2(B A 是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点 Ⅰ若DF 6ED =，求k 的值Ⅱ求四边形AEBF 面积的最大值。

2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国Ⅱ) （5）同文科第6题 （9）设1>a ，则双曲线1)1(2222=++a yax 的离心率e 的取值范围是A ．)2,2( B. )5,2( C. )5,2( D. )5,2(（11）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为02=-+y x 和047=--y x ，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为A ．3 B. 2 C. 31- D. 21-(14)设曲线axey =在点（0，1）处的切线与直线012=++y x 垂直，则a= .(15)已知F 为抛物线C ：x y 42=的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A 、B 两点.设FB FA >.则FA 与FB 的比值等于 .(21) 同文科第22题2008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修1+选修Ⅰ) (4)曲线y =x 3－2x +4在点(1,3)处的切线的倾斜角为 (A)30° (B)45° (C)60° (D)12°(10)若直线by a x +＝1与图122=+y x 有公共点，则(A)122≤+b a(B) 122≥+b a (C)11122≤+ba(D)11122≥+ba（13）若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 .（14）已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 （15）在△ABC 中，∠A ＝90°，tan B ＝34.若以A 、B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e ＝ .（22）（本小题满分12分） 双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知O A AB O B 、、成等差数列，且BF与FA 同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设A B 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ） 7．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2B ．12C ．12-D ．2-10．若直线1x y a b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ）A ．221a b +≤ B ．221a b +≥C ．22111ab+≤D ．22111ab+≥13．同文科第13题14．同文科第14题15．在A B C △中，A B B C =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ． 21．同文科第22题2008年普通高等学校招生全国统一考试（四川）数 学（文史类） 6、同理科第4题 11、已知双曲线22:1916x y C-=的左右焦点分别为F 1、F 2 ，P 为C 的右支上一点，且||||212P F F F =，则△PF 1F 2 的面积等于（C ） （A ）24 （B ）36 （C ）48 （D ）96 14、同理科第14题 22．（本小题满分14分） 设椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的左、右焦点分别是F 1和F 2 ，离心率e=，点F 2到右准线l的距离为(Ⅰ)求a b 、的值；(Ⅱ)设M 、N 是右准线l 上两动点，满足0.12F M F M ∙=证明：当.M N 取最小值时，02122F F F M F N ++=. 解：（1）因为c e a=,F 2到l 的距离2ad c c=-,所以由题设得22c a a c c⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得,2.c a ==由2222,b a c b =-==得(Ⅱ)由c =,a =2得12(0),0).F F l的方程为x =.故可设12),).M y N y 由120F M F M ∙=知12)0,y y -=得y 1y 2=-6,所以y 1y 2≠0,216y y =-,12112166||||||||||M N y y y y y y =-=+=+≥当且仅当1y =y 2=-y 1,所以，212212(0)))F F F M F N y y ++=-++=（0，y 1+y 2）2008年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理科数学说明：2008年是四川省高考自主命题的第三年，因突遭特大地震灾害，四川六市州40县延考，本卷为非延考卷． 一、选择题：（5'1260'⨯=）4．直线3y x =绕原点逆时针旋转90︒，再向右平移1个单位后所得的直线为（ ）A ．1133y x =-+ B ．113yx =-+C ．33y x =-D ．113yx =+解析：本题有新意，审题是关键．旋转90︒则与原直线垂直，故旋转后斜率为13-．再右移1得1(1)3y x =--．选A ．本题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法则．辅以平几背景之旋转变换．12．设抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴相交于点K ，点A 在C 上且AK =，则AFK ∆的面积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32解析：解几常规题压轴，不怕．边读题边画图．28y x =的焦点(2,0)F ，准线2x =-，(2,0)K -．设(,)A x y ，由A K =，即2222(2)2[(2)]x y x y++=-+．化简得：22124y x x =-+-，与28y x =联立求解，解得：2x =，4y =±．1144822AFKA S FK y ∆=⋅⋅=⋅⋅=，选B ．本题的难度仅体现在对运算的准确性和快捷性上．14．已知直线:60l x y -+=，圆22:(1)(1)2C x y -+-=，则圆C 上各点到直线l 的距离的最小值(1,1)到直线60x y -+=的距离d =21．（本小题满分12分）设椭圆22221x y ab+= (0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率2e =，右准线为l ，M 、N 是l 上的两个动点，120F M F N =．（Ⅰ）若12||||F M F N ==a 、b 的值；（Ⅱ）证明：当||M N取最小值时，12F M F N + 与12F F 共线．解析： （Ⅰ）由已知， 1(,0)F c -，2(,0)F c ．由2e =2212ca=，∴222a c =． 又222a b c =+，∴22b c =，222a b =． ∴l ：2222ac x c cc===，1(2,)M c y ，2(2,)N c y ．延长2N F 交1M F 于P ，记右准线l 交x 轴于Q ． ∵120F M F N ⋅=，∴12F M F N ⊥．12F M F N ⊥ 由平几知识易证1Rt M Q F ∆≌2Rt F Q N ∆ ∴13QN F Q c ==，2QM F Q c==即1y c =，23y c =．∵12F M F N ==∴22920c c +=，22=，22b =，24a =． ∴2a =，b =（Ⅰ）另解：∵120F M F N ⋅=，∴12(3,)(,)0c y c y ⋅=，21230y y c =-<．又12F M F N ==联立212221222392020y y c c y c y ⎧=-⎪+=⎨⎪+=⎩，消去1y 、2y 得：222(209)(20)9c c c--=，整理得：4292094000c c -+=， 22(2)(9200)0c c --=．解得22c =． 但解此方程组要考倒不少人．（Ⅱ）∵1212(3,)(,)0F M F N c y c y ⋅=⋅=， ∴21230y y c =-<．22221212122121212222412M Ny y y y y y y y y y y y c=-=+-≥--=-= 　．当且仅当12y y =-=或21y y =-=时，取等号．此时MN取最小值．此时1212(3,)(,)(4,0)2F M F N c c c F F +=+==． ∴12F M F N + 与12F F共线．（Ⅱ）另解：∵120F M F N ⋅=，∴12(3,)(,)0c y c y ⋅=，2123y y c=-．设1M F ，2N F 的斜率分别为k ，1k-．由1()32y k x c y kc x c=+⎧⇒=⎨=⎩，由21()2y x c c y k kx c ⎧=--⎪⇒=-⎨⎪=⎩1213M N y y c k k=-=⋅+≥ ．当且仅当13kk=即213k =，3k=±即当M N最小时，3k=此时1212(3,3)(,(3,)(,)(4,0)2c F M F N c kc c kc c c F F +=+-=+== ∴12F MF N+与12F F共线．点评：本题第一问又用到了平面几何．看来，与平面几何有联系的难题真是四川风格啊．注意平面几何可与三角向量解几沾边，应加强对含平面几何背景的试题的研究．本题好得好，出得活，出得妙！均值定理，放缩技巧，永恒的考点．2008年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学试题卷（文史类） (3)曲线C :cos 1.sin 1x y θθ=-⎧⎨=+⎩(θ为参数)的普通方程为 (A)(x -1)2+(y +1)2=1 (B) (x +1)2+(y +1)2=1 (C) (x -1)2+(y -1)2=1(D) (x -1)2+(y -1)2=1(8)若双曲线2221613xy p-=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上，则p 的值为(A)2 (B)3 (C)4（15）已知圆C ： 22230x y x ay +++-=（a 为实数）上任意一点关于直线l ：x -y +2=0 的对称点都在圆C 上，则a = .（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.） 如题（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足：2.PM PN -=（Ⅰ）求点P 的轨迹方程;（Ⅱ）设d 为点P 到直线l ： 12x =的距离，若22PM PN=,求PMd的值. 解：（I ）由双曲线的定义，点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长2a=2的双曲线. 因此半焦距c =2，实半轴a =1，从而虚半轴b所以双曲线的方程为x2-23y=1.(II)解法一：由（I ）由双曲线的定义，点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长2a=2的双曲线.因此半焦距e=2，实半轴a=1，从而虚半轴R 所以双曲线的方程为x 2-23y=1.(II)解法二：由（I ）及答（21）图，易知|PN|≥1,因|PM|=2|PN|2, ① 知|PM|>|PN|,故P 为双曲线右支上的点，所以|PM|=|PN|+2. ②将②代入①，得2||PN|2-|PN|-2=0，解得44舍去,所以|PN|=14+.因为双曲线的离心率e=c a=2,直线l:x =12是双曲线的右准线，故||P N d=e=2,所以d=12|PN |,因此 2||2||4||4||1||||PM PM PN PN dPN PN ====+(II)解法三：设P （x,y ），因|PN |≥1知|PM |=2|PN |2≥2|PN|>|PN |,故P 在双曲线右支上，所以x ≥1. 由双曲线方程有y 2=3x 2-3. 因此||PN ===从而由|PM |=2|PN |得2x+1=2(4x 2-4x +1)，即8x 2-10x+1=0.所以x 8(舍去x 8有4d=x-12=18+.故||14P M d=-=+2008年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学试题卷（理工农医类） (3)圆O 1:x 2+y 2-2x =0和圆O 2:x 2+y 2-4y =0的位置关系是(A)相离 (B)相交(C)外切 (D)内切(8)已知双曲线22221x y ab-=（a ＞0,b ＞0）的一条渐近线为y =kx (k ＞0),离心率e ,则双曲线方程为 （A ）22x a－224ya=1 (B)222215x yaa -=(C)222214x yb b -= (D)222215xyb b-= （15）直线l 与圆x 2+y 2+2x-4y+a=0(a<3)相交于两点A ，B ，弦AB 的中点为（0，1），则直线l 的方程为 . （21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.） 如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN +=（Ⅰ）求点P 的轨迹方程； （Ⅱ）若2·1cos P M P N M P N-＝,求点P 的坐标.解：(Ⅰ)由椭圆的定义，点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，长轴长2a =6的椭圆. 因此半焦距c =2，长半轴a =3，从而短半轴b ==所以椭圆的方程为221.95xy+=(Ⅱ)由2,1cos P M P N M P N=- 得cos 2.PM PN M PN PM PN =- ①因为cos 1,MPN P ≠不为椭圆长轴顶点，故P 、M 、N 构成三角形.在△PMN中，4,M N =由余弦定理有2222cos .M NPMPNPM PN M PN =+- ②将①代入②，得 22242(2).PMPNPM PN =+--故点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为2213xy -=上.由(Ⅰ)知，点P 的坐标又满足22195xy+=，所以由方程组22225945,3 3.x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得22x y ⎧=±⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩即P 点坐标为22222222-、-、（-或（-.2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）2．设变量x y ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x 则目标函数5z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．设椭圆22221(00)x y m n mn+=>>，的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（ ） A ．2211216xy+= B ．2211612xy+= C ．2214864xy+= D ．2216448xy+=15．已知圆C 的圆心与点(21)P -，关于直线1y x =+对称．直线34110x y +-=与圆C 相交于A B ，两点，且6AB =，则圆C 的方程为 ． 22．（本小题满分14分）同理科第21题2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工农医类） （2）同文科第2题 （5）设椭圆()1112222>=-+m m ym x上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 点到右准线的距离为(A) 6 (B) 2 (C)21 (D)772（13）已知圆C 的圆心与抛物线x y 42=的焦点关于直线x y =对称.直线0234=--y x 与圆C 相交于B A ,两点，且6=AB ,则圆C 的方程为 . （21）（本小题满分14分）已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是1(30)F -，，一条渐近线的方程是20y -=．（Ⅰ）求双曲线C 的方程； （Ⅱ）若以(0)k k ≠为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M N ，，且线段M N的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为812，求k 的取值范围．[本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．满分14分．]（Ⅰ）解：设双曲线C 的方程为22221x y ab-=（0,0a b >>）．由题设得2292a b b a⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得2245a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线方程为22145x y -=． （Ⅱ）解：设直线l 的方程为y kx m =+（0k ≠）．点11(,)M x y ，22(,)N x y 的坐标满足方程组22145y kx mx y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩将①式代入②式，得22()145xkx m +-=，整理得222(54)84200k x km x m ----=．此方程有两个一等实根，于是2504k -≠，且222(8)4(54)(420)0k m k m ∆=-+-+>．整理得22540m k+->． ③ 由根与系数的关系可知线段M N 的中点坐标00(,)x y 满足12024254x x km x k+==-，002554m y kx m k=+=-．从而线段M N 的垂直平分线方程为22514()5454mkm y x kkk-=----． 此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为29(,0)54kmk-，29(0,54mk-．由题设可得2219981||||254542kmmk k ⋅=--．整理得222(54)||k m k -=，0k ≠．将上式代入③式得222(54)540||k k k -+->，整理得22(45)(4||5)0k k k --->，0k ≠．解得0||2k <<或5||4k >．所以k的取值范围是55,)(0)(0,(,)4224(∞-+--∞ ． 2008年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（文科）（11）若A 为不等式组 002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x+y =a 扫过A 中的那部分区域的面积为 （A ）34(B)1 (C)74(D)2（14）已知双曲线2212xyn n--=1n =（22）（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)xyC a b a b+=＞＞，其相应于焦点F (2，0)的准线方程为x =4.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知过点F 1(-2,0)倾斜角为θ的直线交椭圆C 于A ，B 两点.求证：22cos AB =-θ；（Ⅲ）过点F 1(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于点A 、B 和D 、E ，求A B D E +的最小值.2008年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科）（8）．若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A ．[B ．(C ．[33-D ．(33-（15）．同文科第11题，理科中为填空题 （22）．（本小题满分13分）设椭圆2222:1(0)xyC a b a b+=>>过点M ，且焦点为1(0)F（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点,A B 时，在线段A B 上取点Q ，满足AP Q B AQ PB =，证明：点Q 总在某定直线上2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷） （3）“双曲线的方程为116922=-yx”是“双曲线的准线方程为x =59±”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）即不充分也不必要条件x -y +1≥0,（6）若实数x ，y 满足 x +y ≥0, 则z =x +2y 的最小值是x ≤0, (A)0 (B) 21(C) 1 (D)2（19）（本小题共14分）已知△ABC 的顶点A ，B 在椭圆2234x y +=上，C 在直线l :y =x +2上，且AB ∥l . （Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及△ABC 的面积；（Ⅱ）当∠ABC =90°，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程. 解：（Ⅰ）因为AB ∥l ，且AB 边通过点（0，0），所以AB 所在直线的方程为y =x .设A ，B 两点坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2).由2234,x y y x ⎧+=⎨=⎩得1,x =±所以12AB x =-=又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离，所以1 2.2A B C h S A B h ===（Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y =x +m . 由2234,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得2246340.x mx m ++-=因为A ，B 在椭圆上，所以212640.m ∆=-+＞设A ，B 两点坐标分别为（x 1,y 1），（x 2,y 2）.则21212334,,24m m x x x x -+=-=所以122AB x =-=又因为BC 的长等于点（0,m ）到直线l 的距离，即BC =所以22222210(1)11.ACABBCm m m =+=--+=-++所以当m =-1时，AC 边最长.（这时12640=-+ ＞） 此时AB 所在直线的方程为y =x -1.2008年普通高等学校校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷） （4）若点P 到直线x =－1的距离比它到点（2，0）的大1，则点P 的轨迹为 （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线x -y +1≥0,（5）若实数x ,y 满足 x +y ≥0, 则z =3x +y的最小值是x ≤0,(A)0 (B)1 (C)3 (D)9（7）过直线y =x 上的一点作圆（x -5）2=2的两条切线l 1，l 2，当直线l 1，l 2关于y =x 对称时，综们之间的夹角为 （A ）30° （B ）45° (C)60° (D)90° （19）（本小题共14分）已知菱形ABCD 的顶点A ，C 在椭圆x 2+3y 2=4上，对角线BD 所在直线的斜率为l. （Ⅰ）当直线BD 过点（0，1）时，求直线AC 的方程； （Ⅱ）当∠ABC =60°，求菱形ABCD 面积的最大值. 解： （Ⅰ）由题意得直线BD 的方程为y =x +1. 因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD .于是可设直线AC 的方程为y =-x +n .由2234,x y y x n⎧+=⎨=-+⎩得2246340.x nx n -+-= 因为A ，C 在椭圆上，所以△＝-12n 2+64＞0，解得33n -＜设A ，C 两点坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2), 则212121122334,,,.24n n x x x x y x n y x n -+===-+=-+所以12.2n y y +=所以AC 的中点坐标为3.44n n⎛⎫⎪⎝⎭由四边形ABCD 为菱形可知，点344n n ⎛⎫⎪⎝⎭在直线y =x +1上， 所以3144n n =+，解得n =-2.所以直线AC 的方程为2y x =--，即x +y +2=0.（Ⅱ）因为四边形ABCD 为菱形，且60A B C ∠=︒,所以.AB BC CA ==所以菱形ABCD的面积2.S =由（Ⅰ）可得22221212316()().2n AC x x y y -+=-+-=所以2316)(433S n n =-+-＜所以当n =0时，菱形ABCD的面积取得最大值2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（福建）数 学（文史类） (10)若实数x 、y 满足10,0,2,x y x x -+≤⎧⎪⎨⎪≤⎩则y x 的取值范围是（D ）A.（0，2）B.（0，2）C.(2,+∞)D.[2，+∞)（12）双曲线22221xya b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PE 2|，则双曲线离心率的取值范围为（B ）A.（1，3）B.（1，3）C.（3，+∞）D. [3，+∞] （14）若直线3x+4y +m =0与圆x 2+y 2-2x +4y +4=0没有公共点，则实数m 的取值范围是 .(22)（本小题满分14分） 如图，椭圆2222:1xyC a b+=（a ＞b ＞0）的一个焦点为F (1,0)，且过点（2，0）. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若AB 为垂直于x 轴的动弦，直线l :x =4与x 轴交于点N ，直线AF 与BN 交于点M . (ⅰ)求证：点M 恒在椭圆C 上； (ⅱ)求△AMN 面积的最大值.(本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、轨迹方程、不等式等基本知识，考查运算能力和综合解题能力，满分14分) 解法一：（Ⅰ）由题设a =2,c =1,从而b 2=a 2-c 2=3,所以椭圆C 前方程为13422=+yx.(Ⅱ)(i)由题意得F (1,0),N (4,0).设A (m,n ),则B (m ,-n )(n ≠0),3422nm+=1. ……①AF 与BN 的方程分别为：n (x -1)-(m -1)y =0，n (x -4)-(m -4)y =0.设M (x 0,y 0),则有 n (x 0-1)-(m -1)y 0=0, ……②n (x 0-4)+(m -4)y 0=0, ……③由②，③得x 0=523,52850-=--m ny m m .所以点M 恒在椭圆G 上. (ⅱ)设AM 的方程为x =xy +1,代入3422yx+＝1得（3t 2+4）y 2+6ty -9=0.1)52(4936)85()52(412)85()52(3)52(4)85()52(3)52(4)85(34222222222222222020=--+-=-+-=-+--=-+--=+m mm m nm m nm m m nm m y x 由于设A (x 1,y 1),M （x 2，y 2），则有：y 1+y 2=.439,4362212+-=+-t y y x x|y 1-y 2|=.4333·344)(2221221++=-+t t y y y y令3t 2+4=λ(λ≥4),则 |y 1-y 2|＝，＋）－－（＝＋）－（＝－　412113411341·3432λλλλλ 因为λ≥4，0<时，，＝＝所以当04411,41≤1=t λλλ|y 1-y 2|有最大值3，此时AM 过点F .△AMN 的面积S △AMN=.292323y ·212121有最大值y y y y y FN -=-=-解法二：（Ⅰ）问解法一： （Ⅱ）（ⅰ）由题意得F (1,0),N (4,0). 设A (m ,n ),则B (m ,-n )(n ≠0),.13422=+nm……①AF 与BN 的方程分别为：n (x -1)-(m -1)y =0, ……②n (x -4)-(m -4)y =0, ……③ 由②，③得：当≠523,528525-=--=x yn x x m 时，. ……④由④代入①，得3422yx+=1（y ≠0）.当x=52时，由②，③得：3(1)023(4)0,2n m y n m y ⎧--=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩解得0,0,n y =⎧⎨=⎩与a ≠0矛盾.所以点M 的轨迹方程为221(0),43xxy +=≠即点M 恒在锥圆C 上.（Ⅱ）同解法一.2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（福建）数 学(理工农医类) (8) ．同文科第10题(11) 同文科第12题x =1+cos θ(14)若直线3x+4y+m=0与圆 y =-2+sin θ（θ为参数）没有公共点，则实数m 的取值范围是 .（21）（本小题满分12分） 如图、椭圆22221(0)x y a b ab+= 的一个焦点是F （1，0），O 为坐标原点.（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点.若直线l 绕点F 任意转动，值有222OA OBAB + ,求a 的取值范围.(本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想，考查运算能力和综合解题能力.满分12分.) 解法一：(Ⅰ)设M ，N 为短轴的两个三等分点，因为△MNF 为正三角形， 所以32O F N =,即132, 3.23bb 解得 2214,a b =+=因此，椭圆方程为221.43xy+=(Ⅱ)设1122(,),(,).A x y B x y (ⅰ)当直线 AB 与x 轴重合时，2222222222,4(1),.O A O Ba ABa a O A O BAB +==>+<因此，恒有(ⅱ)当直线AB 不与x 轴重合时，设直线AB 的方程为：22221,1,x y x my ab=++=代入整理得22222222()20,a b m y b my b a b +++-= 所以222212122222222,b m b a b y y y y a b ma b m-+==++因为恒有222OA OB AB +<，所以∠AOB 恒为钝角.即11221212(,)(,)0OA OB x yx y x x y y ==+<恒成立.2121212121212(1)(1)(1)()1x x y y m y m y y y m y y m y y +=+++=++++2222222222222222222222(1)()210.m b a b b ma b ma b mm a b b a b aa b m+-=-+++-+-+=<+又a 2+b 2m 2>0,所以-m 2a 2b 2+b 2-a 2b 2+a 2<0对m ∈R 恒成立，即a 2b 2m 2> a 2 -a 2b 2+b 2对m ∈R 恒成立.当m ∈R 时，a 2b 2m 2最小值为0，所以a 2- a 2b 2+b 2<0. a 2<a 2b 2- b 2, a 2<( a 2-1)b 2= b 4,因为a >0,b >0,所以a <b 2,即a 2-a -1>0,解得a2或a2(舍去)，即a2,综合（i ）(ii)，a的取值范围为（12+，+∞）.解法二：（Ⅰ）同解法一， （Ⅱ）解：（i ）当直线l 垂直于x 轴时， x =1代入22222221(1)1,A y b a y aba-+===1.因为恒有|OA |2+|OB |2<|AB |2,2(1+y A 2)<4 y A 2, y A 2>1，即21aa->1,解得a2或a2(舍去)，即a2.（ii ）当直线l 不垂直于x 轴时，设A （x 1,y 1）, B （x 2,y 2）. 设直线AB 的方程为y =k (x -1)代入22221,xy ab+=得(b 2+a 2k 2)x 2-2a 2k 2x + a 2 k 2- a 2 b 2=0,故x 1+x 2=222222222222222,.a ka k a bx x b a k b a k-=++因为恒有|OA |2+|OB |2<|AB |2,所以x 21+y 21+ x 22+ y 22<( x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2, 得x 1x 2+ y 1y 2<0恒成立.x 1x 2+ y 1y 2= x 1x 2+k 2(x 1-1) (x 2-1)=(1+k 2) x 1x 2-k 2(x 1+x 2)+ k 2=(1+k 2)2222222222222222222222222()a k a ba ka ab b k a bk k b a k b a kb a k--+--+=+++.由题意得（a 2- a 2 b 2+b 2）k 2- a 2 b 2<0对k ∈R 恒成立. ①当a 2- a 2 b 2+b 2>0时，不合题意；②当a 2- a 2 b 2+b 2=0时，a2;③当a 2- a 2b 2+b 2<0时，a 2- a 2(a 2-1)+ (a 2-1)<0，a 4- 3a 2 +1>0,解得a 2>32+或a 2>32-（舍去），a>12+，因此a≥12+.综合（i ）（ii ），a的取值范围为（12+，+∞）.2008年普通高等学校统一考试（广东卷）数学（文科） 6、经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是（ C ）A. x + y + 1 = 0B. x + y － 1 = 0C. x － y + 1 = 0D. x － y － 1 = 0 12、若变量x 、y 满足24025000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则32z x y =+的最大值是____70___14、（坐标系与参数方程）已知曲线C 1、C 2的极坐标方程分别为cos 3ρθ=，4cos ρθ=（0ρ≥，02πθ≤<），则曲线C 1与C 2交点的极坐标为6π⎛⎫⎪⎝⎭，6π⎛⎫- ⎪⎝⎭20、（本小题满分14分）设b >0，椭圆方程为222212xy bb+=，抛物线方程为28()x y b =-。

2008年全国高考数学试题分类汇编8.圆锥曲线(1)

2008年全国高考数学试题分类汇编8.圆锥曲线(1)

四川理21．（本小题满分12分）设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为12F F ，，离心率2e =，右准线为l ，M N ，是l 上的两个动点，120F M F N =u u u u r u u u u rg ．（Ⅰ）若12F M F N ==u u u u r u u u u ra b ，的值；（Ⅱ）证明：当MN u u u u r 取最小值时，12FM F N +u u u u r u u u u r 与12F F u u u u r共线．21．解：由222a b c -=与2c e a ==，得222a b =．10F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，20F ⎫⎪⎪⎝⎭，，l的方程为x =．设12))M y N y ，，，则11F M y ⎫=⎪⎪⎝⎭u u u u r ，，22F N y ⎫=⎪⎪⎝⎭u u u u r ，， 由120F M F N =u u u u r u u u u r g得 212302y y a =-<g ． ①（Ⅰ）由12F M F N ==u u u u r u u u u r= ②= ③ 由①、②、③三式，消去12y y ，，并求得24a =． 故2a =，b ==． （Ⅱ）22222121212121212()22246MN y y y y y y y y y y y y a =-=+---=-=u u u u r ≥，当且仅当12y y =-=或21y y =-=时，MN u u u u r．此时，12121212)0)2F M F N y y y y F F ⎫⎫+=+=+==⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r u u u u r ，，，，．故12FM F N +u u u u r u u u u r 与12F F u u u u r 共线． 广东文B 卷 20．（本小题满分14分）设0b >，椭圆方程为222212x y b b+=，抛物线方程为28()x y b =-．如图6所示，过点(02)F b +，作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点1F ．（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设A B ，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得ABP △为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．20．解：（1）由28()x y b =-得218y x b =+ 当2y b =+时，4x =±，G ∴点的坐标为(42)b +，14y x '=，4|1x y ='= 过点G 的切线方程为(2)4y b x -+=-，即2y x b =+-， 令0y =得2x b =-，1F ∴点的坐标为(20)b -，； 由椭圆方程得1F 点的坐标为(0)b ，，2b b ∴-=，即1b =，因此所求的椭圆方程及抛物线方程分别为2212x y +=和28(1)x y =-． （2）Q 过A 作x 轴的垂线与抛物线只有一个交点P ， ∴以PAB ∠为直角的Rt ABP △只有一个， 同理以PBA ∠为直角的Rt ABP △只有一个；若以APB ∠为直角，设P 点的坐标为2118x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，则A B ，坐标分别为( 由22212108AB AB x x ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭u u u r u u u r g 得421510644x x +-=， 关于2x 的一元二次方程有一解，x ∴有二解，即以APB ∠为直角的Rt ABP △有二个； 因此抛物线上共存在4个点使ABP △为直角三角形．全国卷2文科11．设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=o，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心图6率为（ ） A ．221+ B ．231+ C ． 21+ D ．31+15．已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，A B ，是C 上的两个点，线段AB 的中点为(22)M ，，则ABF △的面积等于 ．15．2 全国卷2文科 22．（本小题满分12分）设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．（Ⅰ）若6ED DF =u u u r u u u r，求k 的值；（Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．22．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2214x y +=， 直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． ····································· 2分 如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <， 且12x x ，满足方程22(14)4k x +=，故21x x =-=．①由6ED DF =u u u r u u u r 知01206()x x x x -=-，得021215(6)77x x x x =+==；由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k=+． 所以212k =+，化简得2242560k k -+=，解得23k=或38k=．······················································································6分（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F，到AB的距离分别为1h==2h==·······················································9分又AB==，所以四边形AEBF的面积为121()2S AB h h=+12===≤当21k=，即当12k=时，上式取等号．所以S的最大值为 ························ 12分解法二：由题设，1BO=，2AO=．设11y kx=，22y kx=，由①得2x>，21y y=->，故四边形AEBF的面积为BEF AEFS S S=+△△222x y=+ ····································································································9分===当222x y =时，上式取等号．所以S的最大值为． ······································· 12分全国卷I 文科14．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．14．12全国卷I 文科15．在ABC △中，90A ∠=o，3tan 4B =．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．15．12全国卷I 文科 22．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB u u u r u u u r u u u r 、、成等差数列，且BF u u u r 与FA u u u r同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．22．解：（1）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+ 由勾股定理可得：222()()m d m m d -+=+ 得：14d m =，tan b AOF a ∠=，4tan tan 23AB AOB AOF OA ∠=∠== 由倍角公式∴22431ba b a =⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得12b a =则离心率2e =（2）过F 直线方程为()ay x c b=-- 与双曲线方程22221x y a b-=联立将2a b =，c =代入，化简有22152104x x b +=124x =-=将数值代入，有4=解得3b =最后求得双曲线方程为：221369x y -=． 全国理II14．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．14．2 全国理II15．在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．15．38全国理II 21．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作．．．．．．答无效．．．） 双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB u u u r u u u r u u u r 、、成等差数列，且BF u u u r 与FA u u u r同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 21．解（Ⅰ）设双曲线方程为22221(00)x y a b a b-=>>，，右焦点为(0)(0)F c c >，，则222c a b =+．不妨设10l bx ay -=：，20l bx ay +=：，则FA b ==u u u r，OA a ==u u u r ．因为222AB OA OB +=u u u r u u u r u u u r ，2OB AB OA =-u u u r u u u r u u u r ， 所以222(2)AB OA AB OA +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，于是得4tan 3AB AOB OA ∠==u u u r u u u r ．又BF u u u r 与FA u u u r 同向，故12AOF AOB ∠=∠，所以22tan 41tan 3AOF AOF ∠=-∠． 解得1tan 2AOF ∠=，或tan 2AOF ∠=-（舍去）．因此12b a =，2a b =，c ==．所以双曲线的离心率c e a ==． （Ⅱ）由2a b =知，双曲线的方程可化为22244x y b -=．① 由1l 的斜率为12，c =知，直线AB的方程为2()y x =-．②将②代入①并化简，得2215840x b --=．设AB 与双曲线的两交点的坐标分别为1122()()x y x y ，，，，则1215x x +=，2128415b x x =g ．③AB 被双曲线所截得的线段长12l x x =-=g ．④将③代入④，并化简得43bl =，而由已知4l =，故36b a ==，． 所以双曲线的方程为221369x y -=． 全国卷2理科（+选修II ）9．设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．(25)，D ．(2全国卷2理科（+选修II ）15．已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A B ，两点．设FA FB >，则FA 与FB 的比值等于 ．15．3+全国卷2理科（+选修II ） 21．（本小题满分12分）设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．（Ⅰ）若6ED DF =u u u r u u u r，求k 的值；（Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．21．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2214x y +=， 直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． ····································· 2分 如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <，且12x x ，满足方程22(14)4k x +=，故21x x =-=．①由6ED DF =u u u r u u u r 知01206()x x x x -=-，得021215(6)77x x x x =+==；由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k=+． 所以212k =+，化简得2242560k k -+=，解得23k =或38k =． ······················································································ 6分 （Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别为1h ==2h ==······················································· 9分又AB ==，所以四边形AEBF 的面积为121()2S AB h h =+ 12=== ≤当21k =，即当12k =时，上式取等号．所以S 的最大值为 ························ 12分 解法二：由题设，1BO =，2AO =．设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，210y y =->， 故四边形AEBF 的面积为BEF AEF S S S =+△△222x y =+ ···································································································· 9分===当222x y =时，上式取等号．所以S 的最大值为． ······································· 12分 江苏卷12.在平面直角坐标系中，椭圆2222x y a b+=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2,0a c ⎛⎫⎪⎝⎭作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ▲ ． ? ?【解析】设切线PA 、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA ，所以△OAP 是等腰直角三角形，故2a c=，解得c e a ==．【答案】2山东理 22．（本小题满分14分）如图，设抛物线方程为22(0)x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A B ，． （Ⅰ）求证：A M B ，，三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M 点的坐标为(22)p -，时，AB =（Ⅲ）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线22(0)x py p =>上，其中，点C 满足OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r（O 为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．22．（Ⅰ）证明：由题意设221212120(2)22x x A x B x x x M x p p p ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，．由22x py =得22x y p =，得xy p'=，所以1MA x k p =，2MB x k p=． 因此直线MA 的方程为102()x y p x x p+=-， 直线MB 的方程为202()x y p x x p+=-． 所以211102()2x xp x x p p+=-，① 222202()2x xp x x p p+=-．② 由①、②得121202x x x x x +=+-，因此1202x x x +=，即0122x x x =+． 所以A M B ，，三点的横坐标成等差数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当02x =时， 将其代入①、②并整理得：2211440x x p --=，2222440x x p --=，所以12x x ，是方程22440x x p --=的两根，因此124x x +=，2124x x p =-，又222101221222ABx x x x x p p k x x p p-+===-，所以2AB k p=．由弦长公式得AB ==又AB = 所以1p =或2p =，因此所求抛物线方程为22x y =或24x y =．（Ⅲ）解：设33()D x y ，，由题意得1212()C x x y y ++，， 则CD 的中点坐标为12312322x x x y y y Q ++++⎛⎫⎪⎝⎭，， 设直线AB 的方程为011()x y y x x p-=-，由点Q 在直线AB 上，并注意到点121222x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，也在直线AB 上，代入得033x y x p=． 若33()D x y ，在抛物线上，则2330322x py x x ==，因此30x =或302x x =．即(00)D ，或2022x D x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（1）当00x =时，则12020x x x +==，此时，点(02)M p -，适合题意．（2）当00x ≠，对于(00)D ，，此时2212022x x C x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，2212022CDx x pk x +=221204x x px +=， 又0AB x k p=，AB CD ⊥， 所以22220121220144AB CDx x x x x k k p px p ++===-g g ， 即222124x x p +=-，矛盾．对于20022x D x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，因为2212022x x C x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，此时直线CD 平行于y 轴，又00AB x k p=≠， 所以直线AB 与直线CD 不垂直，与题设矛盾， 所以00x ≠时，不存在符合题意的M 点．综上所述，仅存在一点(02)M p -，适合题意．山东文13．221412x y -= 山东文22．解：（Ⅰ）由题意得22245253ab a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩，又0a b >>，解得25a =，24b =．因此所求椭圆的标准方程为22154x y +=． （Ⅱ）（1）假设AB 所在的直线斜率存在且不为零，设AB 所在直线方程为(0)y kx k =≠，()A A A x y ，．解方程组22154x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得222045A x k =+，2222045A k y k =+， 所以22222222202020(1)454545AAk k OA x y k k k+=+=+=+++． 设()M x y ，，由题意知(0)MO OA λλ=≠，所以222MO OA λ=，即2222220(1)45k x y k λ++=+，因为l 是AB 的垂直平分线， 所以直线l 的方程为1y x k=-， 即x k y=-， 因此22222222222220120()4545x y x y x y x y x yλλ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+==++g ， 又220x y +≠， 所以2225420x y λ+=，故22245x y λ+=． 又当0k =或不存在时，上式仍然成立．综上所述，M 的轨迹方程为222(0)45x y λλ+=≠． （2）当k 存在且0k ≠时，由（1）得222045Ax k =+，2222045A k y k =+，由221541x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，解得2222054M k x k =+，222054M y k =+， 所以2222220(1)45AAk OA x y k +=+=+，222280(1)445k AB OA k +==+，22220(1)54k OM k+=+． 解法一：由于22214AMB S AB OM =g △ 2222180(1)20(1)44554k k k k ++=⨯⨯++2222400(1)(45)(54)k k k +=++ 22222400(1)45542k k k +⎛⎫+++ ⎪⎝⎭≥222221600(1)4081(1)9k k +⎛⎫== ⎪+⎝⎭， 当且仅当224554k k +=+时等号成立，即1k =±时等号成立，此时AMB △面积的最小值是409AMB S =△． 当0k =，140229AMB S =⨯=>△． 当k不存在时，140429AMB S ==>△．综上所述，AMB △的面积的最小值为409．解法二：因为222222111120(1)20(1)4554k k OAOMk k +=+++++2224554920(1)20k k k +++==+，又22112OA OMOAOM+g ≥，409OA OM g ≥，当且仅当224554k k +=+时等号成立，即1k =±时等号成立，此时AMB △面积的最小值是409AMB S =△． 当0k =，140229AMB S =⨯=>△．当k不存在时，140429AMB S ==>△．综上所述，AMB △的面积的最小值为409．福建文12．双曲线22221x y a b-=(00)a b >>，的两个焦点为F 1，F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为（ ） A ．(1，3)B ．(]13，C ．(3，+∞)D ．[)3+∞，福建文 22．（本小题满分14分）如图，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点为F （1，0），且过点(20)，．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若AB 为垂直于x 轴的动弦，直线l ：4x =与x 轴交 于点N ，直线AF 与BN 交于点M ．（ⅰ）求证：点M 恒在椭圆C 上；（ⅱ）求AMN △面积的最大值．22．本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、轨迹方程、不等式等基本知识，考查运算能力和综合解题能力．满分14分． 解法一：（Ⅰ）由题设2a =，1c =，从而2223b a c =-=．所以椭圆C 的方程为22143x y +=． （Ⅱ）（ⅰ）由题意得(10)F ，，(40)N ，，设()A m n ，，则()(0)B m n n -≠，，22143m n +=．……① AF 与BN 的方程分别为：(1)(1)0n x m y ---=，(4)(4)0n x m y -+-=．设00()M x y ，，则有0000(1)(1)0(4)(4)0n x m y n x m y ---=⎧⎨-+-=⎩， ②，③由②，③得05825m x m -=-，0325ny m =-由于222222(58)3434(25)(25)x y m n m m -+=+-- 2222(58)34(25)(25)m n m m -=+-- 222(58)124(25)m n m -+=-222(58)3694(25)m m m -+-=-1=．所以点M 恒在椭圆C 上．（ⅱ）设AM 的方程为1x ty =+，代入22143x y +=得22(34)690t y ty ++-=． 设11()A x y ，，22()M x y ，，则有：122634t y y t -+=+，122934y y t -=+12y y -==．令234(4)t λλ+=≥，则12y y λ-===因为4λ≥，1104λ<≤，所以当114λ=，即4λ=，0t =时， 12y y -有最大值3，此时AM 过点F ． AMN △的面积12121322AMN S FN y y y y =-=-g △有最大值92． 解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）（ⅰ）由题意得(10)F ，，(40)N ，，设()A m n ，，则()(0)B m n n -≠，，22143m n +=．……① AF 与BN 的方程分别为：(1)(1)0n x m y ---=，……②(4)(4)0n x m y -+-=．……③由②，③得：当52x ≠时，5825x m x -=-，325yn x =-．……④ 由④代入①，得221(0)43x y y +=≠． 当52x =时，由②，③得：3(1)023(4)0.2n m y n m y ⎧--=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩，解得00n y =⎧⎨=⎩，，与0n ≠矛盾．所以点M 的轨迹方程为221(0)43x y y +=≠，即点M 恒在椭圆C 上． （ⅱ）同解法一．福建理11．双曲线22221x y a b-=(00)a b >>，的两个焦点为F 1，F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为（ ） A ．(1，3)B ．(]13，C ．(3，+∞)D ．[)3+∞，福建理21．（本小题满分12分）如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点是F （1，0），O 为坐标原点．（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点．若直线l 绕点F 任意转动，恒有222OA OB AB +<，求a 的取值范围．21想，考查运算能力和综合解题能力．满分12分． 解法一：（Ⅰ）设M ，N 为短轴的两个三等分点，因为△MNF 为正三角形， 所以OF =， 即123bg ，解得b 2214a b =+=，因此，椭圆方程为22143x y +=． （Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，． (ⅰ)当直线 AB 与x 轴重合时，22222224(1)OA OB a AB a a +==>，，因此，恒有222OA OB AB +<． （ⅱ）当直线AB 不与x 轴重合时，设直线AB 的方程为：1x my =+，代入22221x y a b+=，整理得22222222()20a b m y b my b a b +++-=，所以222212122222222b m b a b y y y y a b m a b m-+=-=++，． 因为恒有222OA OB AB +<，所以∠AOB 恒为钝角．即11221212()()0OA OB x y x y x x y y ==+<u u u r u u u rg g ，，恒成立．2121212121212(1)(1)(1)()1x x y y my my y y m y y m y y +=+++=++++222222222222(1)()21m b a b b m a b m a b m +-=-+++22222222220m a b b a b a a b m -+-+=<+．又a 2+b 2m 2>0，所以22222220m a b b a b a -+-+<对m ∈R 恒成立， 即2222222a b m a a b b >-+对m ∈R 恒成立．当m ∈R 时，222a b m 最小值为0，所以22220a a b b -+<．2222a a b b <-，2224(1)a a b b <-=，因为a >0，b >0，所以a <b 2，即210a a -->，解得a >或a <(舍去)，即a >综合（i ）（ii ），a 的取值范围为⎫+⎪⎪⎝⎭∞．解法二：（Ⅰ）同解法一， （Ⅱ）解：（i ）当直线l 垂直于x 轴时，x =1代入22222221(1)1A y b a y a b a -+==，．因为恒有|OA |2+|OB |2<|AB |2，222(1)4AA y y+<，21Ay >，即21a a->1，解得a >或a < (舍去)，即a >． （ii ）当直线l 不垂直于x 轴时，设11()A x y ，，22()B x y ，．设直线AB 的方程为y =k (x -1)代入22221x y a b+=，得(b 2+a 2k 2)x 2-2a 2k 2x + a 2 k 2-a 2 b 2=0，故22222212122222222a k a k a b x x x x b a k b a k -+==++，因为恒有|OA |2+|OB |2<|AB |2，所以x 21+y 21+ x 22+ y 22<( x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2， 得x 1x 2+ y 1y 2<0恒成立．x 1x 2+ y 1y 2= x 1x 2+k 2(x 1-1) (x 2-1)=(1+k 2) x 1x 2-k 2(x 1+x 2)+ k 222222222222222222222222222()(1)a k a b a k a a b b k a b k k k b a k b a k b a k --+-=+-+=+++．由题意得（a 2-a 2 b 2+b 2）k 2-a 2 b 2<0对k ∈R 恒成立．①当a 2-a 2 b 2+b 2>0时，不合题意；②当a 2-a 2 b 2+b 2=0时，a =12+； ③当a 2-a 2 b 2+b 2<0时，a 2-a 2(a 2-1)+ (a 2-1)<0，a 4-3a 2 +1>0，解得a 2>a 2>，a >，因此a ．综合（i ）（ii ），a 的取值范围为12⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭∞．辽宁文6．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为（ ） A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B ．[]10-，C ．[]01，D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，辽宁文11．已知双曲线22291(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4辽宁文21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，点P到两点(0-，，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ．（Ⅰ）写出C 的方程；（Ⅱ）设直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．k 为何值时OA u u u r ⊥OB uuu r ？此时AB u u u r的值是多少？21．本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分12分． 解：（Ⅰ）设P （x ，y ），由椭圆定义可知，点P 的轨迹C是以(0(0，为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴1b ==，故曲线C 的方程为2214y x +=． ······································································· 4分 （Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，其坐标满足2214 1.y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去y 并整理得22(4)230k x kx ++-=， 故1212222344k x x x x k k +=-=-++，． ····························································· 6分 OA OB ⊥u u u r u u u r，即12120x x y y +=．而2121212()1y y k x x k x x =+++，于是222121222223324114444k k k x x y y k k k k -++=---+=++++． 所以12k =±时，12120x x y y +=，故OA OB ⊥u u u r u u u r ． ················································ 8分当12k =±时，12417x x +=m ，121217x x =-．AB ==u u u u r而22212112()()4x x x x x x -=+-23224434134171717⨯⨯=+⨯=，所以17AB =u u u u r ． ····················································································· 12分辽宁理6．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为（ ） A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B ．[]10-，C ．[]01，D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，辽宁理10．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）A ．2B ．3CD ．92辽宁理 20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点． （Ⅰ）写出C 的方程；（Ⅱ）若OA u u u r ⊥OB uuu r，求k 的值；（Ⅲ）若点A 在第一象限，证明：当k >0时，恒有|OA u u u r |>|OB uuu r|．20．本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分12分． 解：（Ⅰ）设P （x ，y ），由椭圆定义可知，点P 的轨迹C是以(0(0，为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴1b ==，故曲线C 的方程为2214y x +=． ······································································· 3分 （Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，其坐标满足2214 1.y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去y 并整理得22(4)230k x kx ++-=， 故1212222344k x x x x k k +=-=-++，． ····························································· 5分 若OA OB ⊥u u u r u u u r，即12120x x y y +=．而2121212()1y y k x x k x x =+++，于是22121222233210444k k x x y y k k k +=---+=+++， 化简得2410k -+=，所以12k =±． ································································· 8分 （Ⅲ）2222221122()OA OB x y x y -=+-+u u u u r u u u u r22221212()4(11)x x x x =-+--+12123()()x x x x =--+ 1226()4k x x k -=+．因为A 在第一象限，故10x >．由12234x x k =-+知20x <，从而120x x ->．又0k >， 故220OA OB ->u u u u r u u u u r ，即在题设条件下，恒有OA OB >u u u u r u u u u r． ································································ 12分安徽文14．已知双曲线2212x y n n--=1n = ．14．4安徽文 22．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞，其相应于焦点(20)F ，的准线方程为4x =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知过点1(20)F -，倾斜角为θ的直线交椭圆C 于A B ，两点．求证：22cos AB =-θ；（Ⅲ）过点1(20)F -，作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于点A B ，和D E ，，求AB DE +的最小值．22．本题主要考查直线的方程、椭圆的方程和性质、直线与椭圆的位置关系等知识．考查数形结合的数学思想以及运算能力和综合解题能力．本小题满分14分． 解：（Ⅰ）由题意得：222224c ac a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，，．∴ 2284a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，．∴椭圆C 的方程为22184x y +=．（Ⅱ）方法一：由（I ）知，1(20)F -，是椭圆C的左焦点，离心率e = 设l 为椭圆的左准线，则l ：4x =-．作1AA l ⊥于1A ，1BB l ⊥于1B ，l 与x 轴交于点H （如图）．Q 点A 在椭圆上，11||||2AP AA ∴=11|||cos )F H AF θ=+1||cos 2AF θ=．1||AF ∴=同理1||BF =．112||||||2cos AB AF BF θ∴=+==-． 方法二： 当π2θ≠时，记tan k θ=，则(2)AB y k x =+：， 将其代入方程2228x y +=．得2222(12)88(1)0k x k x k +++-=．设1122()()A x y B x y ，，，，则12x x ，是此二次方程的两个根．2122812k x x k ∴+=-+，21228(1)12k x x k -=+．第（22）题图||AB ===22)12k k +==+． ① 22tan k θ=Q，代入①式得2||2cos AB θ=-． ②当π2θ=时，||AB =仍满足②式．2||2cos AB θ∴=-．（Ⅲ）设直线AB 的倾斜角为θ，由于DE AB ⊥，由（Ⅱ）可得，22||||2cos 2sin AB DE θθ==--，．2||||2sin 24AB DE θ+===+． 当π4θ=或3π4θ=时，||||AB DE +取得最小值3．安徽理22． (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：过点M，且左焦点为1(F ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当过点(41)P ，的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB =u u u r u u u r u u u r u u u rg g ．证明：点Q 总在某定直线上．22．本题主要考查直线、椭圆的方程及几何性质、线段的定比分点公式等基础知识、基本方法和分析问题、解决问题的能力．本小题满分13分． 解：（Ⅰ）由题意：2222222211c a b c a b ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎩，，．解得2242a b ==，． 所求椭圆方程为22142x y +=． （Ⅱ）方法一：设点Q A B ，，的坐标分别为1122()()()x y x y x y ，，，，，， 由题设知AP PB AQ QB u u u r u u u r u u u r u u u r，，，均不为零，记AP AQ PB QBλ==u u u r u u u ru u u r u u u r ．则0λ>且1λ≠．又A P B Q ，，，四点共线，从而AP PB AQ QB λλ=-=u u u r u u u r u u u r u u u r ，． 于是12124111x x y y λλλλ--==--，． 121211x x y y x y λλλλ++==-+，． 从而22212241x x x λλ-=-， ………………① 2221221y y y λλ-=-．…………………② 又点A B ，在椭圆C 上，即221124x y +=，………………③222224x y +=，………………④①2+⨯②并结合③，④得424x y +=．即点()Q x y ，总在定直线220x y +-=上． 方法二：设点()Q x y ，，11()A x y ，，22()B x y ，，由题设， PA PB AQ QB u u u r u u u r u u u r u u u r，，，均不为零 且PA PB AQ QB =u u u r u u u r u u u r u u u r ，又P A Q B ，，，四点共线，可设PA AQ PB BQ λλ=-=u u u r u u u r u u u r u u u r，（01λ≠±，）．于是 114111x yx y λλλλ--==--，， ① 224111x yx y λλλλ++==++，． ② 由于11()A x y ，22()B x y ，在椭圆C 上，将①、②分别代入C 的方程2224x y +=，整理得222(24)4(22)140x y x y λλ+--+-+=． ③ 222(24)4(22)140x y x y λλ+-++-+=． ④④-③，得8(22)0x y λ+-=．0λ≠Q ，220x y ∴+-=．即点()Q x y ，总在定直线220x y +-=上．湖北文10．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①1122a c a c +=+；②1122a c a c -=-；③1212c a a c >；④11c c <22c a ． 其中正确式子的序号是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④湖北文20．(本小题满分13分)已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的两个焦点为1(20)F -，，2(20)F ，，点(3P 在双曲线C 上．（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）记O 为坐标原点，过点(02)Q ，的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E F ，，若OEF △的面积为l 的方程．20．本小题主要考查双曲线的定义、标准方程、直线和双曲线位置关系等平面解析几何的基础知识，考查待定系数法、不等式的解法以及综合运用数学知识进行推理运算的能力． （满分13分）（Ⅰ）解法1：依题意，由224a b +=，得双曲线方程为222221(04)4x y a a a-=<<-．将点(3代入上式，得229714a a -=-． 解得218a =（舍去）或22a =，故所求双曲线方程为22122x y -=． 解法2：依题意得，双曲线的半焦距2c =．122a PF PF =-== 22a ∴=，2222b c a =-=． ∴双曲线C 的方程为22122x y -=．（Ⅱ）解法1：依题意，可设直线l 的方程为2y kx =+，代入双曲线C 的方程并整理， 得22(1)460k x kx ---=． ①Q 直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E F ，，。

(2008年-2020年)高考数学分类汇编全国1卷(理)--圆锥曲线(含全部答案解析)

(2008年-2020年)高考数学分类汇编全国1卷(理)--圆锥曲线(含全部答案解析)

（2008-2020）高考数学分类汇编全国1卷（理）-圆锥曲线一、选择填空题1（2008）．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．2（2008）．在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．3(2008)设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于（A （B ）2 （C （D4(2009)（12）已知椭圆C: 2212x y +=的又焦点为F ，右准线为L ，点A L ∈,线段AF 交C 与点B 。

若3FA FB =,则AF =5(2010)（9）已知1F 、2F 为双曲线22:1C χγ-=的左、右焦点，点在P 在C 上，12F PF ∠=60°，则P 到χ轴的距离为（A （B （C （D6(2010)（16）已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且2BF FD =，则C 的离心率为 。

7(2011)（14）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴。

过1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，那么C 的方程为 。

8（2012）（4）设12,F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上的一点，21F PF ∆是底角为30的等腰三角形，则 E 的离心率为(A) 12 (B) 23 (C) 34 (D) 459（2012）（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于,A B 两点， ||AB =，则C 的实轴长为（A （B ）（C ）4 （D ）810（2013）10.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点。

2008年高考文科数学分类汇编——圆锥曲线

2008年高考文科数学分类汇编——圆锥曲线

2008年高考文科数学分类汇编——圆锥曲线一、选择题1、（2008年天津文）设椭圆22221(00)x y m n m n+=>>，的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（ B ）A ．2211216x y +=B ．2211612x y +=C ．2214864x y +=D ．2216448x y +=2、（2008年江西文）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点．满足1MF ·2MF ＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ C ）A ．(0，1)B ．(0，21] C ．(0，22) D ．[22，1)3、（2008年上海文）设P 是椭圆1162522=+y x 上的点．若1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则||||21PF PF +等于( D )A ．4B ．5C ．8D ．10.4、（2008年湖北文）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 处进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c 1和2c 2分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 2＞a 1c 1；④11c a ＜22c a ． 其中正确式子的序号是 （ B ） A ．①③ B ．②③C ．①④D ．②④5、（2008年全国Ⅱ文）设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ B ）A ．221+ B ．231+ C ． 21+ D ．31+ 6、（2008年辽宁文）设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为（ A ）A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， B ．[]10-， C ．[]01， D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7、（2008年辽宁文）已知双曲线22291(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m =（ D ） A ．1B ．2C ．3D ．48、（2008年福建文）双曲线22221x y a b-=(00)a b >>，的两个焦点为F 1，F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为（ B ） A ．(1，3)B ．(]13，C ．(3，+∞)D ．[)3+∞，9、（2008年海南宁夏文）双曲线221102x y -=的焦距为（ D ）A ．32B ．42C ．33D ．4310、（2008年湖南文）若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（ C ） A ．(12⎤⎦，B ．)2⎡+⎣，∞C ．(121⎤+⎦，D ．)21⎡++⎣，∞ 11、（2008年重庆文）若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为（ C ） A ．2B ．3C ．4D ．4212、（2008年北京文）“双曲线的方程为221916x y -=”是“双曲线的准线方程为95x =±”的（ A ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题1、（2008年宁夏海南文）过椭圆14522=+y x 的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于B A ,两点, O 为坐标原点, 则△OAB 的面积为 .答案：532、（2008年浙江文）已知12F F ，为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A B ，两点，若2212F A F B +=，则AB = ．答案：83、（2008年全国Ⅰ文）在△ABC 中，∠A ＝90°，tan B ＝34．若以A 、B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e ＝ ．解：12．不妨设2c ＝AB ＝4，AC ＝3，则CB ＝5，由椭圆定义可得2a ＝AC ＋CB ＝8，于是2.2c e a=4、（2008年全国Ⅱ文）已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，A B ，是C 上的两个点，线段AB 的中点为(22)M ，，则ABF △的面积等于 ． 解：25、（2008年全国I 文）已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ． 解：126、（2008年山东文）7、（2008年安徽文）已知双曲线2212x yn n--=1的离心率为3，则n = ． 解：48、（2008年江西文)已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的两条渐近线方程为33y x =±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为 ．解：223144x y -= 9、（2008年海南宁夏文）过椭圆22154x y +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A B ，两点，O 为坐标原点，则OAB △的面积为 ．解：5310、 （2008年天津文）已知圆C 的圆心与点(21)P -，关于直线1y x =+对称．直线34110x y +-=与圆C 相交于A B ，两点，且6AB =，则圆C 的方程为 ．解：22(1)18x y ++=11、（2008年上海文）若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = ． 解：1-三、解答题 1、（2008年湖南文）已知椭圆的中心在原点，一个焦点是F (2,0)，且两条准线间的距离为λ(λ＞4).(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若存在过点A (1,0)的直线l ,使点F 关于直线l 的对称点在椭圆上，求λ的取值范围.解：（Ⅰ）设椭圆的方程为22221x y a b +=(a ＞b ＞0)．由条件知c ＝2，且22a c＝λ，所以a 2＝λ，b 2＝a 2－c 2＝λ－4．故椭圆的方程是221(4).4x y λλλ+=-＞ (Ⅱ)依题意，直线l 的斜率存在且不为0，记为k ，则直线l 的方程是y ＝k (x －1).设点F (2,0)关于直线l 的对称点为F ′(x 0,y 0)，则00002(1),22 1.2y x k yk x +⎧=-⎪⎪⎨⎪⋅=--⎪⎩解得02022,12.1x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ 因为点F ′(x 0，y 0)在椭圆上，所以222222()()11 1.4k k k λλ+++=-即 λ(λ－4)k 4＋2λ(λ－6)k 2＋(λ－4)2＝0.设k 2＝t ,则λ(λ－4)t 2＋2λ(λ－6)t －(λ－4)2＝0.因为λ＞4，所以2(4)(4)λλλ--＞0．2234(6)4(4)0,2(6)0(4)λλλλλλλλ⎧∆=-+->⎪∴--⎨>⎪-⎩解得46λ<<．2、（2008年广东文）设b ＞0，椭圆方程为222212x y b b+=，抛物线方程为28()x y b =-．如图所示，过点F （0，b ＋2）作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ．已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点F 1．（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设A 、B 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得△ABP 为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）． 【解析】（1）由28()x y b =-得218y x b =+， 当2y b =+得4x =±，∴G 点的坐标为(4,2)b +，1'4y x =，4'|1x y ==， 过点G 的切线方程为(2)4y b x -+=-即2y x b =+-，令0y =得2x b =-，1F ∴点的坐标为(2,0)b -，由椭圆方程得1F 点的坐标为(,0)b ，2b b ∴-=即1b =，即椭圆和抛物线的方程分别为2212x y +=和28(1)x y =-；（2） 过A 作x 轴的垂线与抛物线只有一个交点P ,∴以PAB ∠为直角的Rt ABP ∆只有一个，同理∴ 以PBA ∠为直角的Rt ABP ∆只有一个． 若以APB ∠为直角，设P 点坐标为21(,1)8x x +，A 、B 两点的坐标分别为(2,0)-和(2,0)，222421152(1)108644PA PB x x x x ∙=-++=+-= ．关于2x 的二次方程有一大于零的解，x ∴有两解，即以APB ∠为直角的Rt ABP ∆有两个，因此抛物线上存在四个点使得ABP ∆为直角三角形．3、（2008年北京文）已知ABC △的顶点A B ，在椭圆2234x y +=上，C 在直线2l y x =+：上，且AB l ∥．（Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及ABC △的面积；（Ⅱ）当90ABC ∠=，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．解：（Ⅰ）因为AB ∥l ，且AB 边通过点（0，0），所以AB 所在直线的方程为y =x . 设A ，B 两点坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2).由2234,x y y x ⎧+=⎨=⎩得1,x =±所以1222 2.AB x x =-=又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离， 所以12. 2.2ABC h S AB h === （Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y =x +m . 由2234,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得2246340.x mx m ++-= 因为A ，B 在椭圆上，所以212640.m ∆=-+＞设A ，B 两点坐标分别为（x 1,y 1），（x 2,y 2）.则21212334,,24m m x x x x -+=-= 所以2123262.2m AB x x -=-=又因为BC 的长等于点（0,m ）到直线l 的距离，即2.2m BC -=所以22222210(1)11.AC AB BC m m m =+=--+=-++ 所以当m =-1时，AC 边最长.（这时12640=-+ ＞） 此时AB 所在直线方程为1y x =-.4、（2008年全国Ⅱ文）设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)、B (0,1)是它的两个顶点，直线 )0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相较于E 、F 两点.(Ⅰ)若 DF ED 6=,求k 的值； (Ⅱ)求四边形AEBF 面积的最大值.（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2214x y +=， 直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>．如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <，且12x x ，满足方程22(14)4k x +=， 故212214x x k=-=+．①由6ED DF = 知01206()x x x x -=-，得021221510(6)77714x x x x k=+==+；由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k=+．所以221012714k k=++，化简得2242560k k -+=， 解得23k =或38k =． （Ⅱ）解：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别为21112222(1214)55(14)x kx k k h k +-+++==+，22222222(1214)55(14)x kx k k h k +-+-+==+．又2215AB =+=，所以四边形AEBF 的面积为121()2S AB h h =+214(12)525(14)k k +=⨯⨯+22(12)14k k +=+22144214k kk ++=+22≤，当21k =，即当12k =时，上式取等号．所以S 的最大值为22 5、（2008年福建文）如图，椭圆2222:1x y C a b+=（a ＞b ＞0）的一个焦点为F (1,0)，且过点（2，0）.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若AB 为垂直于x 轴的动弦，直线l ：4x =与x 轴交DFB y x AOE于点N ，直线AF 与BN 交于点M ． （ⅰ）求证：点M 恒在椭圆C 上； （ⅱ）求AMN △面积的最大值．【解析】（Ⅰ）由题设a =2,c =1,从而b 2=a 2-c 2=3,所以椭圆C 前方程为13422=+y x . (Ⅱ)(i)由题意得F (1,0),N (4,0).设A (m,n ),则B (m ,-n )(n ≠0),3422n m +=1. ……① AF 与BN 的方程分别为：n (x -1)-(m -1)y =0，n (x -4)-(m -4)y =0.设M (x 0,y 0),则有()()()()0000110,(2)440,(3)n x m y n x m y ---=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩由②，③得x 0=523,52850-=--m ny m m . 222222002222222222(58)3(58)3434(25)(25)4(25)(25)(58)12(58)36914(25)4(25)x y m n m n m m m m m n m mm m --+=+=+-----+-+-===--由于所以点M 恒在椭圆G 上.(ⅱ)设AM 的方程为x =xy +1,代入3422y x +＝1得（3t 2+4）y 2+6ty -9=0. 设A (x 1,y 1),M （x 2，y 2），则有：y 1+y 2=.439,4362212+-=+-t y y x x|y 1-y 2|=.4333·344)(2221221++=-+t t y y y y 令3t 2+4=λ(λ≥4),则|y 1-y 2|＝，＋）－－（＝＋）－（＝－　412113411341·3432λλλλλ因为λ≥4，0<时，，＝，即＝所以当04411,41≤1=t λλλ|y 1-y 2|有最大值3，此时AM 过点F . △AMN 的面积S △AMN=.292323y ·212121有最大值y y y y y FN -=-=-6、（2008年山东文）已知曲线11(0)x y C a b ab+=>>：所围成的封闭图形的面积为45，曲线1C 的内切圆半径为253．记2C 为以曲线1C 与坐标轴的交点为顶点的椭圆． （Ⅰ）求椭圆2C 的标准方程；（Ⅱ）设AB 是过椭圆2C 中心的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线．M 是l 上异于椭圆中心的点．（1）若MO OA λ=（O 为坐标原点），当点A 在椭圆2C 上运动时，求点M 的轨迹方程；（2）若M 是l 与椭圆2C 的交点，求AMB △的面积的最小值．解：（Ⅰ）由题意得2224552523ab a ab b a b⎧=⎧⎪=⎪⇒⎨⎨==⎪⎩⎪+⎩，椭圆2C 的标准方程为22154x y +=． （Ⅱ）（1）设M （x ，y ），A （x 0，y 0），则由MO OA λ=得2222200()x y x y λ+=+．……………………………①由于l ⊥线段AB ，M ∈l 且M 异于椭圆中心，得000x x y y +=．……②因为点A 在椭圆2C 上运动，所以2200154x y +=．………………………③ 由①②③消去x 0，y 0得2222145x y λλ+=，即为所求点M 的轨迹方程． （2）因为12AMB S AB OM OA OM =⨯⨯=⨯222222220000()()x y x y x y x y =+⨯+=++22x y λ+=，又点M 坐标同时满足222222154145x y x y λλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以22220(1)9x y λ+=+． 于是220(1)20140()999AMB S λλλλ+==+≥ ，当且仅当1λλ=即1λ=时取“＝”．所以AMB △的面积的最小值为409． 7、（2008年四川文）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是F 1和F 2 ，离心率22e =，点F 2到右准线l 的距离为2.(Ⅰ)求a b 、的值；(Ⅱ)设M 、N 是右准线l 上两动点，满足120.F M F M ∙=证明：当.MN取最小值时，2122F F F M F N ++=0.解：（1）因为ce a=,F 2到l 的距离2a d c c =-,所以由题设得22,22c a a c c⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得 2, 2.c a == 由2222, 2.b a c b =-==得(Ⅱ)由2c =,a =2得12(2,0),(2,0).F F -l 的方程为22x =.故可设12(22,),(22,).M y N y由120F M F M ∙=知122(22,)(222,)0,y y +-=得y 1y 2＝－6,所以y 1y 2≠0,216y y =-,12112166||||||||2 6.||MN y y y y y y =-=+=+≥当且仅当16y =±时，上式取等号，此时y 2＝－y 1,所以，212212(22,0)(2,)(2,)F F F M F N y y ++=-++=（0，y 1+y 2）=0.8、（2008年安徽文）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞，其相应于焦点F (2，0)的准线方程为x =4．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知过点F 1(－2,0)倾斜角为θ的直线交椭圆C 于A ，B 两点.，求证：2422cos AB =-θ；（Ⅲ）过点F 1(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于点A 、B 和D 、E ，求AB DE+的最小值．解：（Ⅰ）由已知得222422c c a a c=⎧=⎧⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎩⎪⎩，又222a b c =+，所以24b =． 故所求椭圆C 的方程为22184x y +=． （Ⅱ）设直线AB 方程为tan (2)y x θ=+，代入椭圆C 的方程22184x y +=得2222(12tan )8tan 8(tan 1)0x x θθθ+++-=． 设点A 、B 的坐标分别为112(,),(,)x y xy ，则221212228tan 8tan 8,12tan 12tan x x x x θθθθ-+=-⋅=++．于是2212121tan ()4AB x x x x =+θ⋅+-⋅42222264tan 48(tan 1)(12tan )1tan (12tan )θ-⨯θ-+θ=+θ⋅+θ 222222242(1tan )42(cos sin )4212tan cos 2sin 2cos +θθ+θ===+θθ+θ-θ，得证． （Ⅲ）由（Ⅱ）2242(1tan )12tan AB +θ=+θ，因为AB DE ⊥，所以2242(tan 1)tan 2DE θ+=θ+．因此2221142(1tan )12tan tan 2AB DE ⎛⎫+=+θ+⎪+θθ+⎝⎭4224242122(tan 2tan 1)122tan 2tan 5tan 22tan 2tan 1θ+θ+==θθ+θ++θ+θ+ 221221221621132214tan 2tan ==++θ++θ≥ 当且仅当221tan tan θ=θ即tan 1θ=±时取“＝”． 所以AB DE +的最小值是1623．9、 （2008年全国I 文)双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB、、成等差数列，且BF 与FA同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 解：（1）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+ 由勾股定理可得：222()()m d m m d -+=+得：14d m =，tan b AOF a ∠=，4tan tan 23AB AOB AOF OA ∠=∠== 由倍角公式∴22431b a b a =⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得12b a = 则离心率52e =．（2）过F 直线方程为()ay x c b=--与双曲线方程22221x y a b-=联立将2a b =，5c b =代入，化简有2215852104x x b b-+=222121212411()4a a x x x x x x b b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+-=++-⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦将数值代入，有2232528454155b b ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦解得3b =最后求得双曲线方程为：221369x y -=．10、（2008年湖北文）已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的两个焦点为1(20)F -，，2(20)F ，，点(37)P ，在双曲线C 上． （Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）记O 为坐标原点，过点(02)Q ，的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E F ，，若OEF △的面积为22，求直线l 的方程．（Ⅰ）解法1：依题意，由224a b +=，得双曲线方程为222221(04)4x y a a a-=<<-． 将点(37)，代入上式，得229714a a-=-． 解得218a =（舍去）或22a =，故所求双曲线方程为22122x y -=． 解法2：依题意得，双曲线的半焦距2c =．2222122(32)(7)(32)(7)22a PF PF =-=++--+=，22a ∴=，2222b c a =-=．∴双曲线C 的方程为22122x y -=． （Ⅱ）解法1：依题意，可设直线l 的方程为2y kx =+，代入双曲线C 的方程并整理，得22(1)460k x kx ---=． ①直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E F ，，22211033(4)46(1)0k k k k k ≠±⎧⎧-≠⎪⎪∴⇔⎨⎨-<<∆=-+⨯->⎪⎪⎩⎩，，．， (31)(11)(13)k ∴∈--- ，，，． ②设1122()()E x y F x y ，，，，则由①式得12241k x x k +=-，12261x x k=--， 于是2222121212()()(1)()EF x x y y k x x =-+-=+-2222121222231()411k k x x x x k k-=++-=+- ． 而原点O 到直线l 的距离221d k=+，222222112223223122111OEFk k S d EF k k kk --∴==+=--+ △． 若22OEFS =△，即242222322201k k k k-=⇔--=-，解得2k =±． 满足②．故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为22y x =+和22y x =-+解法2：依题意，可设直线l 的方程为2y kx =+，代入双曲线C 的方程并整理，得22(1)460k x kx ---=． ①直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E F ，，22211033(4)46(1)0k k k k k ≠±⎧⎧-≠⎪⎪∴⇔⎨⎨-<<∆=-+⨯->⎪⎪⎩⎩，，．， (31)(11)(13)k ∴∈--- ，，，．② 设1122()()E x y F x y ，，，，则由①式得2212121222223()411k x x x x x x k k ∆--=+-==--．③当E F ，在同一支上时（如图1所示），12121122OEF OQF OQE S S S OQ x x OQ x x =-=-=- △△△； 当E F ，在不同支上时（如图2所示），121211()22OEF OQF OQE S S S OQ x x OQ x x =+=+=- △△△． 综上得1212OEF S OQ x x =- △，于是由2OQ =及③式， 得222231OEF k S k-=-△． 若22OEFS =△，即22223221k k-=-4220k k ⇔--=， 解得2k =±，满足②．故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为22y x =+和22y x =-+．11、（2008年江西文)已知抛物线2y x =和三个200000000()(0)()(0)M x y P y N x y y x y -≠>，，，，，，，过点M 的一条直线交抛物线于A B ，两点，AP BP ，的延长线分别交抛物线于点E F ，． （1）证明E F N ，，三点共线；y xＦ1 Ｆ2QO FE 图 1y xQE Ｆ1 Ｆ2 O F图2（2）如果A B M N ，，，四点共线，问：是否存在0y ，使以线段AB 为直径的圆与抛物线有异于A B ，的交点？如果存在，求出0y 的取值范围，并求出该交点到直线AB 的距离；若不存在，请说明理由．（1）证明：设221122()()()()E E F F A x x B x x E x y F x y ，，，，，，，，则直线AB 的方程222121112()x x y x x x x x -=---， 即1212()y x x x x x =+-．因为00()M x y ，在AB 上，所以012012()y x x x x x =+- ①又直线AP 方程：21001x y y x y x -=+ 由210012x y y x y x x y ⎧-=+⎪⎨⎪=⎩得2210010x y x x y x ---= 所以21001211E x y y x x x x x -+=⇒=-，221E y y x = 同理，02F y x x =-，2022F y y x =所以直线EF 的方程：21201212y x x y y x x x x x ⎛⎫+=--⎪⎝⎭ 令0x x =-得0120012[()]yy x x x y x x =+-将①代入上式得0y y =，即N 点在直线EF 上， 所以E F N ，，三点共线． （2）解：由已知A B M N ，，，共线，有0000()()A y y B y y -，，，，以AB 为直径的圆方程：2200()x y y y +-=由22002()x y y y x y⎧+-=⎪⎨=⎪⎩得22000(21)0y y y y y --+-= 所以0y y =，01y y =-．要使圆与抛物线有异于A B ，的交点，则010y -≥，所以存在01y ≥，使以AB 为直径的圆与抛物线有相异于A B ，的交点()T T T x y ，． 则01T y y =-，所以交点T 到AB 的距离为000(1)1T y y y y -=--=．y x OAF B E MN P12、（2008年浙江文）已知曲线C 是到点1328P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，和到直线58y =-距离相等的点的轨迹．l 是过点(10)Q -，的直线，M 是C 上（不在l 上）的动点；A B ，在l 上，MA l ⊥，MB x ⊥轴（如图）．（Ⅰ）求曲线C 的方程； （Ⅱ）求出直线l 的方程，使得2QBQA为常数．（Ⅰ）解：设()N x y ，为C 上的点，则2213||28NP x y ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，N 到直线58y =-的距离为58y +．由题设得22135288x y y ⎛⎫⎛⎫++-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．化简，得曲线C 的方程为21()2y x x =+．（Ⅱ）解法一：设22x x M x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，直线:l y kx k =+，则()B x kx k +，，从而2||1|1|QB k x =++．在Rt QMA △中，因为 222||(1)14x QM x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，2222(1)2||1x x k MA k ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=+．所以222222(1)||||||(2)4(1)x QA QM MA kx k +=-=++ . 2|1||2|||21x kx QA k++=+ ，222||2(1)112||||QB k k x QA k x k+++=+ ．AB OQ y xl M AB OQ y xl M当2k =时，2||55||QB QA =， 从而所求直线l 方程为220x y -+=．解法二：设22x x M x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，直线:l y kx k =+，则()B x kx k +，，从而2||1|1|QB k x =++．过Q (10)-，垂直于l 的直线11:(1)l y x k =-+． 因为||||QA MH =，所以2|1||2|||21x kx QA k ++=+ ，222||2(1)112||||QB k k x QA k x k+++=+． 当2k =时，2||55||QB QA =， 从而所求直线l 方程为220x y -+=．13、（2008年陕西文）已知抛物线C ：22y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ． （Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB =，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）如图，设211(2)A x x ，，222(2)B x x ，，把2y k x=+代入22y x =得2220x kx --=，由韦达定理得122kx x +=，121x x =-， ∴1224N M x x kx x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 设抛物线在点N 处的切线l 的方程为284k k y m x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 将22y x =代入上式得222048mk k x mx -+-=， 直线l 与抛物线C 相切，2222282()048mk k m m mk k m k ⎛⎫∴∆=--=-+=-= ⎪⎝⎭，m k ∴=．x Ay 11 2 M N B O AB OQ yxl M Hl 1即l AB ∥．（Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =，则NA NB ⊥，又M 是AB 的中点，1||||2MN AB ∴=．由（Ⅰ）知121212111()(22)[()4]222M y y y kx kx k x x =+=+++=++22142224k k ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭． MN ⊥ x 轴，22216||||2488M N k k k MN y y +∴=-=+-=． 又222121212||1||1()4AB k x x k x x x x =+-=++-2222114(1)11622k k k k ⎛⎫=+-⨯-=++ ⎪⎝⎭． 22216111684k k k +∴=++ ，解得2k =±．即存在2k =±，使0NA NB =．14、（2008年天津文）已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是1(30)F -，，一条渐近线的方程是520x y -=．（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）若以(0)k k ≠为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M N ，，且线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为812，求k 的取值范围． （Ⅰ）解：设双曲线C 的方程为22221(00)x y a b a b-=>>，，由题设得2295.2a b b a⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 解得2245.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线C 的方程为22145x y -=． （Ⅱ）解：设直线l 的方程为(0)y kx m k =+≠，点11()M x y ，，22()N x y ，的坐标满足方程组221.45y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，① ② 将①式代入②式，得22()145x kx m +-=，整理得 222(54)84200k x kmx m ----=．此方程有两个不等实根，于是2540k -≠，且222(8)4(54)(420)0km k m ∆=-+-+>．整理得22540m k +->． ③由根与系数的关系可知线段MN 的中点坐标00()x y ，满足12024254x x km x k +==-，002554my kx m k=+=-． 从而线段MN 的垂直平分线的方程为225145454m km y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭．此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为29054km k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，，29054m k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，．由题设可得 2219981254542km m k k =-- ． 整理得222(54)k m k-=，0k ≠．将上式代入③式得222(54)540k k k-+->， 整理得22(45)(45)0k k k --->，0k ≠．解得502k <<或54k >． 所以k 的取值范围是5555004224⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∞，，，，∞． 15、（2008年上海文）已知双曲线2212x C y -=：．（1）求双曲线C 的渐近线方程； （2）已知点M 的坐标为(01)，．设p 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点．记MP MQ λ=．求λ的取值范围；（3）已知点D E M ，，的坐标分别为(21)(21)(01)---，，，，，，P 为双曲线C 上在第一象限内的点．记l 为经过原点与点P 的直线，s 为DEM △截直线l 所得线段的长．试将s 表示为直线l 的斜率k 的函数．解：（1）所求渐近线方程为202y x -=，202y x +=． （2）设P 的坐标为00()x y ，，则Q 的坐标为00()x y --，． 0000(1)(1)MP MQ x y x y λ==----，，2220003122x y x =--+=-+．02x ≥，λ∴的取值范围是(]1-∞-，． （3）若P 为双曲线C 上第一象限内的点，则直线l 的斜率202k ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，．由计算可得，当102k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，222()11s k k k=+-； 当1222k ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，时，2221()1k s k k k k +=++． s ∴表示为直线l 的斜率k 的函数是2222211012()2112122k k k s k k k k k k ⎧+<⎪-⎪=⎨+⎪+<<⎪+⎩，≤，，． 16、（2008年重庆文）如图，(20)M -，和(20)N ，是平面上的两点，动点P 满足：2PM PN -=．（Ⅰ）求点P 的轨迹方程； （Ⅱ）设d 为点P 到直线12l x =：的距离，若22PM PN =，求PM d 的值．解：（Ⅰ）由双曲线的定义，点P 的轨迹是以M N ，为焦点，实轴长22a =的双曲线． 因此半焦距2c =，实半轴1a =，从而虚半轴3b =，所以双曲线的方程为2213y x -=． （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）及答（21）图，易知1PN≥，因22PM PN=，①知PM PN >，故P 为双曲线右支上的点，所以2PM PN =+．② 将②代入①，得2220PN PN --=，解得1174PN ±=，舍去1174-，所以1174PN +=．因为双曲线的离心率2ce a==，直线12l x =：是双曲线的右准线，故2PNe d ==， 所以12d PN =，因此2244117PM PM PN PN d PN PN ====+．解法二：设()P x y ，．yxOP12l x =： (20)M -， (20)N ， yx答（21）图O Pld M N因1PN≥知222PM PN PN PN =>≥，故P 在双曲线右支上，所以1x ≥．由双曲线方程有2233y x =-． 因此22222(2)(2)33(21)21PM x y x x x x =++=++-=+=+，22222(2)(2)33441PN x y x x x x =-+=-+-=-+．从而由22PM PN =得2212(441)x x x +=-+，即281010x x -+=．所以5178x +=（舍去5178x -=）． 有917214PM x +=+=，111728d x +=-=．故91781174117PM d +==++ ．17、（2008年辽宁文）在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点（0，－3）、（0，3）的距离之和等于4．设点P 的轨迹为C ． (Ⅰ)写出C 的方程；(Ⅱ)设直线y =kx +1与C 交于A 、B 两点，.k 为何值时?OB OA ⊥此时|AB |的值是多少？解：（Ⅰ）设P （x ，y ）,由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0,3),(0,3)-为焦长，长半轴为2的椭圆.它的短半轴222(3)1,b =-=故曲线C 的方程为2214y x +=． （Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，其坐标满足 2214 1.y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去y 并整理得22(4)230k x kx ++-=， 故1212222344k x x x x k k +=-=-++，． OA OB ⊥，即12120x x y y +=．而2121212()1y y k x x k x x =+++，于是222121222223324114444k k k x x y y k k k k -++=---+=++++． 所以12k =±时，12120x x y y +=，故OA OB ⊥ ．当12k =±时，12417x x += ，121217x x =-．2222212121()()(1)()AB x x y y k x x =-+-=+-，而22212112()()4x x x x x x -=+-23224434134171717⨯⨯=+⨯=， 所以46517AB =。

2008高考数学专题圆锥曲线(解答题)

2008高考数学专题圆锥曲线(解答题)

全国名校高考数学专题训练08圆锥曲线（解答题1)1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设1F 、2F 分别是椭圆22154x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF ⋅的最大值和最小值；（Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）易知)0,1(),0,1(,1,2,521F F c b a -=∴===设P （x ，y ），则1),1(),1(2221-+=--⋅---=⋅y x y x y x PF PF 3511544222+=--+x x x ]5,5[-∈x ，0=∴x 当，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF ⋅有最小值3；当5±=x ，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF ⋅有最大值4（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l 易知点A （5，0）在椭圆的外部，当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆无交点，所在直线l 斜率存在，设为k 直线l 的方程为)5(-=x k y由方程组2222221(54)5012520054(5)x y k x k x k y k x ⎧+=⎪+-+-=⎨⎪=-⎩，得依题意220(1680)055k k ∆=->-<<，得 当5555<<-k 时，设交点C ),(),(2211y x D y x 、，CD 的中点为R ),(00y x ， 则45252,4550222102221+=+=+=+k k x x x k k x x.4520)54525()5(22200+-=-+=-=∴k kk k k x k y又|F 2C|=|F 2D|122-=⋅⇔⊥⇔R F k k l R F12042045251)4520(0222222-=-=+-+--⋅=⋅∴k k k k k kk k k RF ∴20k 2=20k 2－4，而20k 2=20k 2－4不成立， 所以不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D| 综上所述，不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D|2、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知动圆过定点P （1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C 在l 上.(1)求动圆圆心的轨迹M 的方程；.B ,A M 3,P )2(两点相交于的直线与曲线且斜率为设过点-（i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由 （ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围.解：(1)依题意，曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以曲线M 的方程为y 2=4x.:y x4y )1x (3y )1x (3y :AB ,)i )(2(2得消去由的方程为直线由题意得⎩⎨⎧=--=--=.3162x x |AB |),32,3(B ),332,31(A .3x ,31x ,03x 10x 321212=++=-===+-所以解得假设存在点C （－1，y ），使△ABC 为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即),(9314y ,)332y ()34()32y (4:)316()32y ()131(,)316()32y ()13(2222222222舍不符解得相减得-=-+=++⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+++因此，直线l 上不存在点C ，使得△ABC 是正三角形. （ii ）解法一：设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形，.32y ,C ,B ,A ,32y 1x )1x (3y ≠=⎩⎨⎧-=--=故三点共线此时得由，9256)316(|AB |,y 3y 34928)332y ()311(|AC |222222==+-=-+--=又， , 392y ,9256y y 334928y y 3428,|AB ||AC ||BC |22222时即即当>++->+++>∠CAB 为钝角.9256y y 3428y y 334928,|AB ||BC ||AC |22222+++>+-+>即当.CBA 3310y 为钝角时∠-<22222y y 3428y 3y349289256,|BC ||AC ||AB |++++->+>即又0)32y (,034y 334y :22<+<++即.该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是:)32(9323310≠>-<y y y 或.解法二： 以AB 为直径的圆的方程为:38 1x :L )332,35()38()332y ()35x (222的距离为到直线圆心-=-=++-. ).332,1(G L AB ,--相切于点为直径的圆与直线以所以当直线l 上的C 点与G 重合时，∠ACB 为直角，当C 与G 点不重合，且A ， B ，C 三点不共线时， ∠ACB 为锐角，即△ABC 中∠ACB 不可能是钝角. 因此，要使△ABC 为钝角三角形，只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角. 932y 1x ).31x (33332y :AB A =-=-=-得令垂直的直线为且与过点.3310y 1x ),3x (3332y :AB B -=-=-=+得令垂直的直线为且与过点.,)32,1(C ,,32y x )1x (3y 时的坐标为当点所以解得又由-=⎩⎨⎧-=--= A ，B ，C 三点共 线，不构成三角形.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是：).32(9323310≠>-<y y y 或3、(江苏省启东中学高三综合测试三)（1）在双曲线xy=1上任取不同三点A 、B 、C ，证明：⊿ABC 的垂心H 也在该双曲线上；（2）若正三角形ABC 的一个顶点为C(―1,―1)，另两个顶点A 、B 在双曲线xy=1另一支上，求顶点A 、B 的坐标。

2008届高三数学随堂测试(8)圆锥曲线

2008届高三数学随堂测试(8)圆锥曲线

2008届高三数学随堂测试（8）圆锥曲线(时量:120分钟 150分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的离心率e 为A ．2B ．3C ．43D ．532．已知双曲线的两个焦点是椭圆16410022=+y x 的两个顶点，双曲线的两条准线经过椭圆的两个焦点，则此双曲线的方程是A ．1306022=-y x B ．1405022=-y x C ．1406022=-y x D ．1305022=-y x 3．已知P 是椭圆116922=+y x 上的一点，则P 到一条准线的距离与P 到相应焦点的距离之比为 A ．45 B ．54 C ．74 D ．474．若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到准线和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则该点横坐标为 A ．10 B ．9 C ．8 D ．65．已知动点P （x ，y ）满足|1243|)2()1(522++=-+-y x y x ，则P 点的轨迹是A ．两条相交直线B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆6．过抛物线y 2＝ － x 的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，且A 、B 在直线x ＝14上的射影分别M ，N ，则∠MFN 等于A ．45°B ．60°C ．90°D ．以上都不对 7．直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同两点，则k 的取值范围是 A ．(－153，153) B ．(0，153) C ．(－153，0) D ．(－153，－1) 8．已知直线l 交椭圆4x 2＋5y 2＝80于M 、N 两点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，若△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点，则直线l 的方程是 A ．5x ＋6y －28＝0B ．5x －6y －28＝0C ．6x ＋5y －28＝0D ．6x －5y －28＝09．若动点P （x ，y ）与两定点M （－a ，0），N （a ，0）连线的斜率之积为常数k （ka ≠0），则P 点的轨迹一定不可能是A ．除M 、N 两点外的圆B ．除M 、N 两点外的椭圆C ．除M 、N 两点外的双曲线D ．除M 、N 两点外的抛物线 10．点（x ，y ）在曲线)0(sin cos 2πθθθθ≤≤⎩⎨⎧=+-=，y x 为参数上，则 yx 的取值范围是A ．[－33，33] B ．[－33，0) C ．[－33，0] D ．(－∞，33] 答题卡二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在横线上．11．双曲线)0,0(1)2(2222>>=--b a by a x 的一条准线被它的两条渐近线截得线段的长度等于它的一个焦点到一条渐近线的距离，则双曲线的两条渐近线的夹角为 ．12．双曲线 的两个焦点F 1，F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为 ．13．已知F 1、F 2是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦点，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2＝90°，则椭圆的离心率e 的取值范围是 ．14．椭圆C 1：)0(12222>>=+b a by a x 在第一象限部分的一点P ，以P 点横坐标作为长轴长，纵坐标作为短轴长作椭圆C 2，如果C 2的离心率等于C 1的离心率，则P 点坐标为 ．15．设P 是双曲线y 2＝4(x －1)上的一个动点，则点P 到点（0，1）的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值是 ．三、解答题（本大题共6小题，共80分） 16．（本小题满分12分）过双曲线116922=-y x 的右焦点F 作倾斜角为π4的直线交双曲线于A 、B 两点，求线段AB 的中点C 到焦点F 的距离．17．（本小题满分12分）已知双曲线x 2－3y 2＝3的右焦点为F ，右准线为l ，以F 为左焦点，以l 为左准线的椭圆C 的中心为A ，又A 点关于直线y ＝2x 的对称点A ’恰好在双曲线的左准线上，求椭圆的方程．18．（本小题满分14分）如图所示，在直角梯形ABCD 中，|AD |＝3，|AB |＝4，|BC |＝ 3 ，曲线段DE 上任一点到A 、B 两点的距离之和都相等．（1）建立适当的直角坐标系，求曲线段DE 的方程； （2）过C 能否作一条直线与曲线段DE 相交，且所得弦以C 为中点，如果能，求该弦所在的直线 的方程；若不能，说明理由．19．（本小题满分14分）已知H （－3，0），点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足.23,0PM PM -==⋅⑴当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C ；⑵过点T (－1，0)作直线l 与轨迹C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点E (x 0，0)，使得△ABE 是等边三角形，求x 0的值．20．（本小题满分14分）如图，椭圆12222=+by a x 上的点M 与椭圆右焦点F 1的连线MF 1与x 轴垂直，且OM （O 是坐标原点）与椭圆长轴和短轴端点的连线AB 平行． （1）求椭圆的离心率；（2）F 2是椭圆的左焦点，C 是椭圆上的任一点，证明：∠F 1CF 2≤ π2；（3）过F 1且与AB 垂直的直线交椭圆于P 、Q ，若△PF 2Q 的面积是20 3 ，求此时椭圆的方程．21．（本小题满分14分）设x ，y ∈R ，i ，j 为直角坐标平面内x ，y 轴正方向上的单位向量，若向量a ＝xi ＋(y ＋2)j ，b ＝xi ＋(y －2)j ，且|a |＋|b |＝8．（1）求点M （x ，y ）的轨迹C 的方程；（2）过点（0，3）作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设,OB OA OP +=是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 为矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，试说明理由．圆锥曲线参考答案一、选择题（每小题5分，共50分）：二、填空题（每小题4分，共20分） 11．60° 12．16513．14．,)22a15三、解答题（共80分）16．解：由已知，AB 的方程为y ＝x －5，将其代入222112217903690.(,),(,)916x y x x A x y B x y -=+-=得设，则1290.7x x +=-AB 的中点C 的坐标为4580(,)77--，于是||7CF ==17．解：依题意，F （2，0），l ：3.2x =设所求方程为2222,01,(1)(43)||2e e e x e x y x =<<---+-即2940,4e +-=其中心为2243(,0).2(1)e A e -- ∵A 与A ’关于直线y ＝2x 对称，∴A ’的坐标为223(43)(,10(1)e e ---222(43))5(1)e e --又A ’在直线22233(4)31,,210(1)22e x e e -=-∴-=-=-上解之得。

浙江历年高考数学试题及答案汇编十圆锥曲线

浙江历年高考数学试题及答案汇编十圆锥曲线

浙江历年高考数学试题及答案汇编十圆锥曲线（2008-2018）试题1、7．（5分）（2008浙江）若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2，则双曲线的离心率是（ ）A ．3B ．5C ．D ． 2、10．（5分）（2008浙江）如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是（ ）PA ．圆B ．椭圆C ．一条直线D ．两条平行直线 3、12．（4分）（2008浙江）已知F 1、F 2为椭圆=1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若|F 2A|+|F 2B|=12，则|AB|= ． 4、9．（5分）（2009浙江）过双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的右顶点A 作斜率为﹣1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B 、C ．若=，则双曲线的离心率是（ ） A ．B ．C ．D ．5、8．（5分）（2010浙江）设F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．3x±4y=0B ．3x±5y=0C ．4x±3y=0D ．5x±4y=06、13．（4分）（2010浙江）设抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，点A （0，2）．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为 ．7、8. （5分）（2011浙江）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=＞＞与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则 （ ） A.2132a =B.213a =C.212b = D.22b = 8、17. （5分）（2011浙江）设12,F F 分别为椭圆2213x y +=的焦点，点,A B 在椭圆上，若125F A F B =;则点A 的坐标是 .9、8. （5分）（2012浙江）如图，1,2F F 分别是双曲线C ：22221x y a b-=(,0)a b >的在左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线1F B 与C 的两条渐近线分别交于,P Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ,若212MF F F =，则C 的离心率是（ ）10、16．（5分）（2012浙江）定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线1C ：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于2C ：x 2＋(y ＋4) 2 ＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝______________．11、9．（5分）（2013浙江）如图F 1、F 2是椭圆C 1：+y 2=1与双曲线C 2的公共焦点A 、B分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．12、15．（4分）（2013浙江）设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过点P （﹣1，0）的直线l 交抛物线C 于两点A ，B ，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ|=2，则直线l 的斜率等于 ．13、16．（4分）（2014浙江）设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是．14、5．（5分）（2015浙江）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A．B．C．D．15、9．（6分）（2015浙江）双曲线=1的焦距是，渐近线方程是．16、7．（5分）（2016浙江）已知椭圆C1：+y2=1（m＞1）与双曲线C2：﹣y2=1（n＞0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（）A．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1 C．m＜n且e1e2＞1 D．m＜n且e1e2＜1 17、9．（4分）（2016浙江）若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是．18、2．（5分）（2017浙江）椭圆+=1的离心率是（）A．B．C．D．19、（4 分）（2018浙江）双曲线﹣y 2 =1 的焦点坐标是（）A．（﹣，0），（，0） B．（﹣2，0），（2，0）C．（0，﹣），（0，） D．（0，﹣2），（0，2）20、17．（4 分）（2018浙江）已知点 P（0，1），椭圆+y2=m（m＞1）上两点 A，B 满足=2，则当 m= _________时，点 B 横坐标的绝对值最大．解答题1、20．（15分）（2008浙江）已知曲线C 是到点和到直线距离相等的点的轨迹，l 是过点Q （﹣1，0）的直线，M 是C 上（不在l 上）的动点；A 、B 在l 上，MA⊥l，MB⊥x 轴（如图）． （Ⅰ）求曲线C 的方程； （Ⅱ）求出直线l 的方程，使得为常数．2、21．（15分）（2009浙江）已知椭圆C 1：（a ＞b ＞0）的右顶点A （1，0），过C 1的焦点且垂直长轴的弦长为1． （Ⅰ）求椭圆C 1的方程；（Ⅱ）设点P 在抛物线C 2：y=x 2+h （h ∈R ）上，C 2在点P 处的切线与C 1交于点M ，N ．当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值． 3、21．（15分）（2010浙江）已知m ＞1，直线l ：x ﹣my ﹣=0，椭圆C ：+y 2=1，F 1、F 2分别为椭圆C 的左、右焦点．（Ⅰ）当直线l 过右焦点F 2时，求直线l 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，△AF 1F 2，△BF 1F 2的重心分别为G 、H ．若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围．4、21.（本题满分15分）（2011浙江）已知抛物线1:C 2x ＝y ，圆2:C 22(4)1x y +-=的圆心为点M .（Ⅰ）求点M 到抛物线1C 的准线的距离；（Ⅱ）已知点P 是抛物线1C 上一点（异于原点），过点P 作圆2C 的两条切线，交抛物线1C 于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂足于AB ，求直线l 的方程.5、21．(15分) （2012浙江）如图，椭圆C：2222+1x ya b(a＞b＞0)的离心率为12，其左焦点到点P(2，1)O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB 被直线OP平分．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ) 求ABP△的面积取最大时直线l的方程．6、21．（15分）（2013浙江）如图，点P（0，﹣1）是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．（1）求椭圆C1的方程；（2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．7、21．（15分）（2014浙江）如图，设椭圆C：（a＞b＞0），动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．（Ⅰ）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；（Ⅱ）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a﹣b．8、19．（15分）（2015浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．9、19．（15分）（2016浙江）如图，设椭圆C：+y2=1（a＞1）（Ⅰ）求直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长（用a，k表示）（Ⅱ）若任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围．10、21．（15分）（2017浙江）如图，已知抛物线x2=y，点A（﹣，），B（，），抛物线上的点P（x，y）（﹣＜x＜），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；（Ⅱ）求|PA|•|PQ|的最大值．11、21. （15分）（2018浙江）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x 上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2+ y 24=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．答案1、解：依题意，不妨取双曲线的右准线，则左焦点F1到右准线的距离为，右焦点F2到右准线的距离为，可得，即，∴双曲线的离心率．故选D．2、解：本题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题，因为三角形面积为定值，以AB为底，则底边长一定，从而可得P到直线AB的距离为定值，分析可得，点P在以AB为轴线的圆柱面与平面α的交线上，且α与圆柱的轴线斜交，由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得P的轨迹为椭圆；故选：B．3、解：椭圆=1的a=5，由题意的定义，可得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，则三角形ABF2的周长为4a=20，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=20﹣12=8．故答案为：84、解：直线l：y=﹣x+a与渐近线l1：bx﹣ay=0交于B（，），l与渐近线l2：bx+ay=0交于C（，），A（a，0），∴=（﹣，），=（，﹣），∵=，∴=，b=2a，∴c2﹣a2=4a2，∴e 2==5，∴e=，故选C ．5、解：依题意|PF 2|=|F 1F 2|，可知三角形PF 2F 1是一个等腰三角形，F 2在直线PF 1的投影是其中点，由勾股定理知 可知|PF 1|=2=4b根据双曲定义可知4b ﹣2c=2a ，整理得c=2b ﹣a ，代入c 2=a 2+b 2整理得3b 2﹣4ab=0，求得= ∴双曲线渐近线方程为y=±x ，即4x±3y=0 故选C6、解：依题意可知F 坐标为（，0）∴B 的坐标为（，1）代入抛物线方程得=1，解得p=，∴抛物线准线方程为x=﹣所以点B 到抛物线准线的距离为+=，故答案为7、答案:C解:由双曲线422y x -＝1知渐近线方程为2y x =±，又∵椭圆与双曲线有公共焦点，∴椭圆方程可化为22x b ＋()225b y +＝()225b b +，联立直线x y 2±=与椭圆方程消y 得，()20552222++=b b b x，又∵1C 将线段AB 三等分，∴()3220552212222a b b b =++⨯+，解之得212=b . 8、答案:()0,1±解:设直线A F 1的反向延长线与椭圆交于点B '，又∵125F A F B =，由椭圆的对称性可得115F A B F '=，设()11,y x A ，()22,y x B '，由于椭圆2213x y +=的1,a b c ===1c e F a ∴===又∵11F A =，12F B '=，1=5⨯2由于1212,3,0,0,22x x x x∴+>+> 12x +=5⨯2)2x +125(x x +=+. ①又三点1,,A F B '共线，115F AB F'= 112212((2),0)5(,0)5().x y x y x x ∴---=-∴= ②由①+②得：11,y =±∴点A 的坐标为(0,1)或（0，-1）. 9、答案:B解:1,OB b OF c ==．,PQ MN b ck k c b∴==-． 直线PQ 为：()b y x c c =+，C 的两条渐近线为：b y x a =±．由()b y x c cb y xa ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＋＝，得：Q (ac c a -，bc c a -)；由()b y x c cb y xa ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＋＝-，得：P (ac c a -+，bc c a +)．222222(,)a c bc N c a c a ∴-- ∴直线MN 为：y -222bc c a -＝-c b (x -222a cc a-)，令y ＝0得：Mx ＝322c c a-．又∵212MF F F =＝2c ，∴3c ＝Mx ＝322c c a-，解之得：22232c e a==，即e ． 10、答案:94解:2C ：x 2＋(y ＋4) 2＝2，圆心(0，-4)，圆心到直线l ：y＝x 的距离为：d ==，故曲线2C到直线l ：y ＝x 的距离为d d r d '=-==另一方面：曲线1C ：y ＝x 2＋a ，令21y x '==，得：12x =，曲线1C ：y ＝x 2＋a 到直线l ： y ＝x 的距离的点为11(,),24a +74d a '===⇒=-或94当74a =-时直线y x =与曲线1C ：2y x a =+相交，故不符合题意舍去. 故答案为：9411、解：设|AF 1|=x ，|AF 2|=y ，∵点A 为椭圆C 1：+y 2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF 1|+|AF 2|=2a=4，即x+y=4；① 又四边形AF 1BF 2为矩形， ∴+=，即x 2+y 2=（2c ）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C 2的实轴长为2m ，焦距为2n ，则2m=|AF 2|﹣|AF 1|=y ﹣x=2，2n=2=2，∴双曲线C 2的离心率e===．故选D ．12、解：由题意设直线l 的方程为my=x+1，联立得到y 2﹣4my+4=0，△=16m 2﹣16=16（m 2﹣1）＞0． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），Q （x 0，y 0）． ∴y 1+y 2=4m ，∴=2m ，∴x 0=my 0﹣1=2m 2﹣1．∴Q （2m 2﹣1，2m ），由抛物线C ：y 2=4x 得焦点F （1，0）． ∵|QF|=2，∴，化为m 2=1，解得m=±1，不满足△＞0．故满足条件的直线l 不存在． 故答案为不存在． 13、解：双曲线（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线方程为y=±x ，则与直线x﹣3y+m=0联立，可得A（，），B（﹣，），∴AB中点坐标为（，），∵点P（m，0）满足|PA|=|PB|，∴=﹣3，∴a=2b，∴=b，∴e==．故答案为：．14、解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x=﹣1，过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于E，交y轴于M，由抛物线的定义知BF=BD，AF=AE，则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1，|AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1，则===，故选：A15、解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2；y=±x．16、解：∵椭圆C1：+y2=1（m＞1）与双曲线C2：﹣y2=1（n＞0）的焦点重合，∴满足c2=m2﹣1=n2+1，即m2﹣n2=2＞0，∴m2＞n2，则m＞n，排除C，D则c2=m2﹣1＜m2，c2=n2+1＞n2，则c＜m．c＞n，e1=，e2=，则e1•e2=•=，则（e1•e2）2=（）2•（）2====1+ =1+=1+＞1，∴e1e2＞1，故选：A．17、解：抛物线的准线为x=﹣1，∵点M到焦点的距离为10，∴点M到准线x=﹣1的距离为10，∴点M到y轴的距离为9．故答案为：9．18、解：椭圆+=1，可得a=3，b=2，则c==，所以椭圆的离心率为：=．故选：B．19、解：∵双曲线方程可得双曲线的焦点在 x 轴上，且a2 =3，b2 =1，由此可得 c= =2，∴该双曲线的焦点坐标为（±2，0）故选：B．20、解：设 A（x1y1，），B（x2，y2），由 P（0，1）， =2，可得﹣x1 =2x2，1﹣y1 =2（y2﹣1），即有x1 =﹣2x2，y1 +2 y2 =3，又x12 +4y12 =4m，即为x2 2 +y1 2 =m，①x2 2 +4 y22 =4m，②①-②得（y1﹣2 y2）（y1+2 y2）=﹣3m，可得y1﹣2 y2 =﹣m解得y1 =，y2 =，则 m= x22 +()2,即有x22=m﹣()2= =，即有 m=5 时，x22 有最大值 16，即点 B 横坐标的绝对值最大．故答案为：5．解答题1、解：（I）设N（x，y）为C上的点，则，N到直线的距离为．由题设得，化简，得曲线C的方程为．（II）设，直线l：y=kx+k，则B（x，kx+k），从而．在Rt△QMA中，因为=，．所以，∴，．当k=2时，，从而所求直线l方程为2x﹣y+2=0．2、解：（I）由题意得，∴，所求的椭圆方程为，（II）不妨设M（x1，y1），N（x2，y2），P（t，t2+h），则抛物线C2在点P处的切线斜率为y'|x=t=2t，直线MN的方程为y=2tx﹣t2+h，将上式代入椭圆C1的方程中，得4x2+（2tx﹣t2+h）2﹣4=0，即4（1+t2）x2﹣4t（t2﹣h）x+（t2﹣h）2﹣4=0，因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点，所以有△1=16[﹣t4+2（h+2）t2﹣h2+4]＞0，设线段MN的中点的横坐标是x3，则，设线段PA的中点的横坐标是x4，则，由题意得x3=x4，即有t2+（1+h）t+1=0，其中的△2=（1+h）2﹣4≥0，∴h≥1或h≤﹣3；当h≤﹣3时有h+2＜0，4﹣h2＜0，因此不等式△1=16[﹣t4+2（h+2）t2﹣h2+4]＞0不成立；因此h≥1，当h=1时代入方程t2+（1+h）t+1=0得t=﹣1，将h=1，t=﹣1代入不等式△1=16[﹣t4+2（h+2）t2﹣h2+4]＞0成立，因此h的最小值为1．3、解：（Ⅰ）解：因为直线l：x﹣my﹣=0，经过F2（，0），所以=，得m2=2，又因为m＞1，所以m=，故直线l的方程为x﹣y﹣1=0．（Ⅱ）解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．由，消去x得2y2+my+﹣1=0则由△=m2﹣8（﹣1）=﹣m2+8＞0，知m2＜8，且有y1+y2=﹣，y1y2=﹣．由于F1（﹣c，0），F2（c，0），故O为F1F2的中点，由，=2，可知G（，），H（，）|GH|2=+设M是GH的中点，则M（，），由题意可知2|MO|＜|GH|即4[（）2+（）2]＜+即x1x2+y1y2＜0 而x1x2+y1y2=（my1+）（my2+）+y1y2=（m2+1）（）所以（）＜0，即m2＜4又因为m＞1且△＞0所以1＜m ＜2．所以m 的取值范围是（1，2）．4、解:（Ⅰ）由题意可知，抛物线的准线方程为：1,4y =-所以圆心M （0,4）到准线的距离是174. （Ⅱ）设P (x 0, x 02)，A （211,x x ）,B （222,x x ），由题意得02120,1,x x x x ≠≠±≠设过点P的圆C 2的切线方程为y -20x =k (x -x 0)即200y kx kx x =++， ①21=即222220000(1)2(4)(4)10x k x x k x -+-+--=.设PA ，PB 的斜率为1212,()k k k k ≠，则12,k k 是上述方程的两根，所以20012202(4)1x x k k x -+=-，2201220(4)11x k k x --=-将①代入2y x =得22000x kx kx x -+-=，由于0x 是此方程的根，故110220,,x k x x k x =-=- 所以222001212120021202(4)221ABx x x x k x x k k x x x x x --==+=+-=---，2004MP x k x -=由MP ⊥AB ,得2200002002(4)4(2)()11AB MPx x x k kx x x --=-=--，解得0x = 即点P 的坐标为23()5，所以直线l 的方程为4y x =+. 5、解: (Ⅰ)由题：12c ea ==；左焦点(,0)c -到点P (2，1)的距离为：d =由(1) (2)可解得：222431a b c ===，，． ∴所求椭圆C 的方程为：22+143x y =．(Ⅱ)易得直线OP 的方程：y ＝12x ，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，R (x 0，y 0)．其中y 0＝12x 0．∵A ，B 在椭圆上， ∴220220+12333434422+143A A A B A B AB A B A B B B x y x y y x x k x x y y y x y ⎧=⎪-+⎪⇒==-=-=-⎨-+⎪=⎪⎩．设直线AB 的方程为l ：y ＝-32x m +(m ≠0)， 代入椭圆：2222+143333032x y x mx m y x m ⎧=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪+⎪⎩＝-．显然222(3)43(3)3(12)0m m m ∆=-⨯-=->． ∴-mm ≠0．由上又有：A B x x +＝m ，A B y y +＝233m -．AB ∴=P 到直线AB的距离d =APB ∴△面积12S AB d == 令22()(12)(4)u m m m =--，则()4(4)(11u m m m m '=-----1m ∴=()u m 取到最大值1m ∴=S 取到最大值综上，所求直线的方程为：3220x y ++= 6、解：（1）由题意可得b=1，2a=4，即a=2． ∴椭圆C 1的方程为；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），D （x 0，y 0）．由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx﹣1．又圆的圆心O（0，0）到直线l1的距离d=．∴|AB|==．又l2⊥l1，故直线l2的方程为x+ky+k=0，联立，消去y得到（4+k2）x2+8kx=0，解得，∴|PD|=．∴三角形ABD的面积S△==，令4+k2=t＞4，则k2=t﹣4，f（t）===，∴S△=，当且仅，即，当时取等号，故所求直线l1的方程为．7、解：（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+m（k＜0），由，消去y得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0．由于直线l与椭圆C只有一个公共点P，故△=0，即b2﹣m2+a2k2=0，解得点P的坐标为（﹣，），又点P在第一象限，故点P的坐标为P（，）．（Ⅱ）由于直线l1过原点O且与直线l垂直，故直线l1的方程为x+ky=0，所以点P到直线l1的距离d=，整理得：d=，因为a2k2+≥2ab，所以≤=a﹣b，当且仅当k2=时等号成立．所以，点P到直线l1的距离的最大值为a﹣b．8、解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程，可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=8（m2﹣n2+2）＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），则．x0=﹣m×+n=，由于点P在直线y=mx+上，∴=+，∴，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，解得m2，∴或m．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，∴S△OAB==|n|•=，由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2）=，∴S△AOB=，当且仅当n2=m2﹣n2+2，即2n2=m2+2，又∵，解得m=，当且仅当m=时，S△AOB取得最大值为．9、解：（Ⅰ）由题意可得：，可得：（1+a2k2）x2+2ka2x=0，得x1=0或x2=，直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长为：=．（Ⅱ）假设圆A与椭圆由4个公共点，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|=|AQ|，记直线AP，AQ的斜率分别为：k1，k2；且k1，k2＞0，k1≠k2，由（1）可知|AP|=，|AQ|=，故：=，所以，（k12﹣k22）[1+k12+k22+a2（2﹣a2）k12k22]=0，由k1≠k2，k1，k2＞0，可得：1+k12+k22+a2（2﹣a2）k12k22=0，因此a2（a2﹣2）①，因为①式关于k1，k2；的方程有解的充要条件是：1+a2（a2﹣2）＞1，所以a＞．因此，任意点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点的充要条件为：1＜a＜2，e==得，所求离心率的取值范围是：．10、解：（Ⅰ）由题可知P（x，x2），﹣＜x＜，所以k AP==x﹣∈（﹣1，1），故直线AP斜率的取值范围是：（﹣1，1）；（Ⅱ）由（I）知P（x，x2），﹣＜x＜，所以=（﹣﹣x，﹣x2），设直线AP的斜率为k，则AP：y=kx+k+，BP：y=﹣x++，联立直线AP、BP方程可知Q（，），故=（，），又因为=（﹣1﹣k，﹣k2﹣k），故﹣|PA|•|PQ|=•=+=（1+k）3（k﹣1），所以|PA|•|PQ|=（1+k）3（1﹣k），令f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1，则f′（x）=（1+x）2（2﹣4x）=﹣2（1+x）2（2x﹣1），由于当﹣1＜x＜﹣时f′（x）＞0，当＜x＜1时f′（x）＜0，故f（x）max=f（）=，即|PA|•|PQ|的最大值为．11、解：（Ⅰ）设，，．因为，的中点在抛物线上，所以，为方程即的两个不同的实数根．所以．因此，垂直于轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知所以，．因此，的面积．因为，所以．因此，面积的取值范围是．。

08年高考数学直线与圆锥曲线的轨迹与方程测试题

08年高考数学直线与圆锥曲线的轨迹与方程测试题

08年高考数学直线与圆锥曲线的轨迹与方程测试题双曲线抛物线两条直线圆的轨迹是动点，则为直角顶点作等腰直角为直角边、点为坐标原点，以上，在直线设动点轨迹方程是的的中点两点，则线段、分别交抛物与作两条互相垂直的直线的顶点过抛物线迹方程是中点的轨在圆上运动时，，当内接与圆，且，点已知圆是的轨迹方程，则点所成的比为分，点上任意一点，定点是抛物线设动点抛物线双曲线椭圆圆点的轨迹为，则垂足为的外角平分线引垂线，顶点一焦点向是椭圆上任一点，从任是椭圆的两个焦点，、的轨迹方程为，则交于与的垂直平分线为圆周上一动点，线段是圆内一定点，的圆心为设圆的右支的左支轨迹方程是的则动点且满足条件为定点，、为动点，中，迹方程为的轨为原点，则点，其中轴上，且不在），动点，（），，（已知两点一、选择题....1.882.82.82.82.4.7)41(41.)21(21.41.21.60)0,1(,1.6316.13.313.316.2)1,0(12.5.....41214254.1214254.1254214.1254214.)0,1(,25)1(.3)0(131616.)0(131616.)0(131616.)0(131616.,sin 21sin sin )0,2(),0,2(.2)0(1)1.()0(4)2.()0(1)1.()0(4)2.(0102.12222222222222222222221212222222222222222222222222222222222D C B A Q OPQ O OP O x P y D x y C x y B x y A P AB B A O x y x y x D x y x C y x B y x A BC BC BAC ABC A y x x y D x y C x y B x y A M PA M A x y P D C B A P P M MF F M F F y x D y x C y x B y x A M M CQ AQ Q A C y x y a y a y D y a y a x C x a x a y B y a y a x A A A B C a C a B C B A ABC y y x D y y x C y y x B y y x A P O BPO APO x P B A ∆=+-=+=-=--==<=+<=+=+=+︒=∠∆=+-=--=+=-=+=∆=+=-=+=-=++≠=-≠=-≠=-≠=-=--∆≠=+-≠=+-≠=++≠=++∠=∠-||02||.00)0(1.16214)0,02.151222.144.131916.12)1(0101.11)0(04.)0(04.)0(0.)0(0.21.10....|,1243|)2()1(5),(.92221121222222222212221222≠=⋅=->>=+∆=-<<-=+=∆=-±≠=--=++≠=+≠=+≠=≠=++==++=-+-TF TF Q F T Q F P a F Q c F c F b a b y a x ABC m l B A P y x l m M m M AB B A y x P M AB O OB OA O x y G P F F y x F F P a ay x y ax x y x D x y x C y x B x y A F c x ax y ac D C B A P y x y x y x P ，上，并且满足在线段与该椭圆的交点，点是线段，点是椭圆外的动点，满足），（）、，（的左、右焦点分别是已知的重心的轨迹方程变化时，求）当（的方程）求直线（两点、于而与双曲线的渐近线交，有唯一的交点与双曲线的直线（过点，在直角坐标系中，通设三、解答题的轨迹方程是的中点两点，则、交于）为圆心的圆与椭圆，（设以程是的轨迹方上的射影在，则抛物线顶点、作相互垂直的弦的顶点过抛物线的轨迹方程是的重心上运动，则为焦点的双曲线、在以点的交点的轨迹方程是和两条直线二、填空题的轨迹方程的焦点，则抛物线若椭圆双曲线抛物线两条相交直线点的轨迹是则满足已知动点程平分的弦所在直线的方）且被，（）求过点（方程被截得的弦的中点轨迹与椭圆相交，求）的直线，（）过（程的平行弦的中点轨迹方求斜率为已知明理由切值；若不存在，请说的正若存在，求的面积，使上，是否存在点的轨迹）试问：在点（的轨迹方程求点的横坐标，证明为点设P P l l A y x MF F b S MF F M C T T x ac a P F P x 212131222)1(12.17,3)2(||)1(22212211=+∆=∆+=专题七 直线与圆锥曲线的轨迹与方程一、1.C 2.D 3.D 4.A 5.A 6.D 7.B 8.B 9.B 10.C二、)(042.14)0(04.131169.120.11222222椭圆内的部分=-+≠=-+=-=+-+y x xy x x y x y x y x y x三、⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+==+=+∴==∆=⊥=⋅≠≠-=+=>+-≥+-≥+=-++=++=≠<=-<<=----=><=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+==+=-+-+-----=-=--=--±=-±==∆=+-+-=--=②①的充要条件是使上存在点的方程是的轨迹综上所述，点中，的中点，在为线段所以，又，得时，由且的轨迹上，和点时当作的坐标为设点所以知则在椭圆上，得：由点的坐标为设点解：且程为综上所述，所求轨迹方时，同理可得当得消去由重心公式联立，得和时，分别与：所以，有因为中，有代入不垂直，设其方程为与显然，解：202202020022222212122222122222221222222222222222222222||221),()3(,||21|||,|||00||0||)0,()0,(,0||),,()2(||,0,,)()()(||),,()1(.16)00(916)0,0(916)(42)0,0(9163443383),422,422(),422,422()(42)2()(42420,0)4(2)1(4).()1(.15b y c a y x b S y x M C a y x C T a y x a F F QF Q F T PF TF TF TF PT a a PT y x T x ac a P F a c x a c a a x x a c a x ab bc x y c x F P y x P y x y x y x y x m x m y y x y x m m my y y m x x x m m m m B mm mm A x y x y m x my m x my l m k m k x m k x k y x m x k y x l B A B A342,21)()(,0))((2))((1,1)3()(02220222,0212,21)()(0)()(2,0)(4)(2,2,2,0))((2))((,12,12),,(),,(),,()2()3232(025,952,922,329432,94928,0)22(94)8(),,(),,(02289122.22)1(.172|1|tan ,90,2||,,,;,0))((,||212121212121212122222121212121212121212121212222212122112121212222112222212121212100201222222242202021=-+-=--=-++-+=+=+=--+∴=--+=--⋅+--=--=--⋅+∴=-+-∴=+=+=-++-+=+=+<<-=+∴=+=-=+<-<--=⨯-=+>-⨯-=-++⎪⎩⎪⎨⎧=++=+==+-=∠∴︒<∠<-==+==≥〈=≥≥+-=-==y x x x y y y y y y x x x x y y x x y x y x y x y x x y y x x y x x y y y x y y y x y y y x x x y y y x x x y y y y x x x x y x y x y x y x y x l x y x b y y y b x x b b b x x b b y x y x b bx x y x b x y b x y k k k k MF F MF F a F F cx y k k c x y k k c b a M c b a b S M c b a c b a c b a cb a xc b y MF c M F 故所求的直线方程为得代入将夹在椭圆内的部分所求轨迹方程为化简得代入①得由题意知①又整理得两式相减并则弦的中点为与椭圆的焦点为设为所求轨迹方程即则点坐标为，设平行弦的端得由的直线的方程为设斜率为解：知由设时当点时，不存在满足条件的当，使时存在点于是，当将上式代入①得：由②得。

(理科)2008年高考数学试题分类汇编--圆锥曲线

(理科)2008年高考数学试题分类汇编--圆锥曲线

2008年高考数学试题分类汇编圆锥曲线一． 选择题：1.（福建卷11)又曲线22221x y ab==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为BA.(1,3)B.(]1,3C.(3,+∞)D.[)3,+∞2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （41，－1） B. （41，1） C. （1，2） D. （1，－2）3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22c a .其中正确式子的序号是BA. ①③B. ②③C. ①④D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22221x y ab-=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B )A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120M F M F ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1(0,]2 C．(0,2D．26.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） A．2B ．3 CD ．927.（全国二9）设1a >，则双曲线22221(1)x yaa -=+的离心率e 的取值范围是（ B ） A．2)B．C ．(25)，D．(28.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为135，焦点在X 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为A （A ）1342222=-y x (B)15132222=-y x(C)1432222=-y x (D)112132222=-y x9.（陕西卷8）双曲线22221x y ab-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30 的直线交双曲线右支于M 点，若2M F 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ B ） ABCD3AB-CD-10.（四川卷12）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK =，则AFK ∆的面积为( B )（Ａ）4 （Ｂ）8 （Ｃ）16 （Ｄ）32 11.（天津卷（7）设椭圆22221x y mn+=（0m >，0n >）的右焦点与抛物线28y x=的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为B（A ）2211216xy+= （B ）2211612xy+= （C ）2214864xy+= （D ）2216448xy+=12.（浙江卷7）若双曲线12222=-by ax 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是D（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）513.（浙江卷10）如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是B（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）一条直线 （D ）两条平行直线 14.（重庆卷(8)已知双曲线22221x y ab-=（a ＞0,b ＞0）的一条渐近线为y =kx (k ＞0),离心率e =,则双曲线方程为C （A ）22x a －224ya=1 (B)222215x yaa -=(C)222214xy bb-= (D)222215xy bb-=二． 填空题：1.（海南卷14）过双曲线221916xy-=的右顶点为A ，右焦点为F 。

高考数学 圆锥曲线试题

高考数学 圆锥曲线试题

2008年高考数学 圆锥曲线试题1．(全国Ⅰ) 已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)-，，(40)，，则双曲线方程为（ ）A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．221106x y -= D ．221610x y -= 解：已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)-，(4,0)，则c =4，a =2，212b =，双曲线方程为221412x y -=，选A 。

抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过Fx 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是（ ）A ．4B．C．D ．8解：抛物线24y x =的焦点F (1，0)，准线为l ：1x =-，经过F直线1)y x =-与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A (3，23)，AK l ⊥， 垂足为K (－1，23)，∴ 正△AKF 的面积是43，选C 。

已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点， 过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值． 证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200021132222y x y x ++=<≤． （Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． 设11()B x y ，，22()D x y ，，则 2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+22122212(1)()4BD x x kx x x x ⎡=-=++-=⎣因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k-， 所以，2222111)12332k k AC k k⎫+⎪+⎝⎭==+⨯+． 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥．当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =． 综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625．2．(全国II) 设12F F ，分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠= 且123AFAF =，则双曲线的离心率为（ ）A B C D解：设F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点。

2008届全国百套高考数学模拟试题分类汇编-082圆锥曲线填空题

2008届全国百套高考数学模拟试题分类汇编-082圆锥曲线填空题

2008届全国百套高考数学模拟试题分类汇编08圆锥曲线二、填空题1、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知抛物线ｙ2＝a (x +1)的准线方程是x = -3,那么抛物线的焦点坐标是______. 答案：(1，0)2、(江苏省启东中学高三综合测试三)已知动圆P 与定圆C ：(x+2)2+y 2=1相外切，又与定直线L ：x=1相切，那么动圆的圆心P 的轨迹方程是： 。

答案：y 2=－8x3、(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知P 为双曲线191622=-y x 的右支上一点，P 到左焦点距离为12，则P 到右准线距离为______； 答案：516 4、(北京市东城区2008年高三综合练习一）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为F 1，F 2，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得|PF 1|=3|PF 2|，则双曲线的离心率e 的取值范围为 .答案：1＜e ≤25、(北京市东城区2008年高三综合练习二)已知椭圆12222=+by a x 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一点，且∠PF 1F 2=30°，∠PF 2F 1=60°，则椭圆的离心率e = . 答案：3－16、(北京市丰台区2008年4月高三统一练习一)过双曲线M ：2221y x b-=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l与双曲线M 的两条渐近线相交于B 、C 两点 , 且AB BC =, 则双曲线M 的离心率为_____________. 答案：107、(北京市海淀区2008年高三统一练习一)若双曲线19222=-y ax ()0a >的一条渐近线方程为023=-y x ，则a=__________.答案：28、(北京市十一学校2008届高三数学练习题)已知双曲线]2,2[),(12222∈∈=-+e R b a by a x 的离心率，则一条渐近线与实轴所构成的角的取值范围是_________．答案：[π4,π3].解析：2c a ≤≤，∴2224c a ≤≤，即22224a b a -≤≤，∴2213b a≤≤，得1b a ≤≤∴43ππθ≤≤9、(北京市西城区2008年4月高三抽样测试)已知两点(10)A ，，(0)B b ，，若抛物线24y x =上存在点C 使ABC ∆为等边三角形，则b ＝_________ . 答案：5或－1310、(北京市宣武区2008年高三综合练习一)长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 、y 轴上移动，动点C （x ，y ）满足2=，则动点C 的轨迹方程是 . 答案：14122=+y x 11、(北京市宣武区2008年高三综合练习二)设抛物线y x 122=的焦点为F ，经过点P （2，1）的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，又知点P 恰为AB 的中点，则=+BF AF . 答案：812、(四川省成都市2008届高中毕业班摸底测试)与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且焦点在y 轴上的双曲线的离心率为答案：45 13、(东北区三省四市2008年第一次联合考试)过抛物线x y 42=的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，则BFAF 11+＝ 。

高考数学总复习 专题09 圆锥曲线分项练习(含解析)文

高考数学总复习 专题09 圆锥曲线分项练习(含解析)文

专题09 圆锥曲线1. 【2008高考北京文第3题】“双曲线的方程为221916x y -=”是“双曲线的准线方程为95x =±”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A2. 【2013高考北京文第7题】双曲线x 2－2y m＝1的充分必要条件是( )． A ．m ＞12B ．m ≥1C ．m ＞1D ．m ＞2 【答案】C 【解析】试题分析：该双曲线离心率e =m ＞1，故选C. 3. 【2011高考北京文第8题】已知点()0,2A ，()2,0B ，若点C 在函数2y x =的图象上，则使得VABC 的面积为2的点C 的个数为（ ）A.4B.3C.2D.1 【答案】A 【解析】设()2,C x x，因为()0,2A ，()2,0B ，所以的直线AB 方程为122x y+=，即20 x y+-=，AB==，由2VABCS=得11222AB h⨯=⨯==，即h=，由点到直线的距离公式=，即222x x+-=±解得1,x=-故选A.4. 【2007高考北京文第4题】椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的焦点为1F，2F，两条准线与x轴的交点分别为M N，，若12MN F F≤2，则该椭圆离心率的取值范围是（）Ａ．12⎛⎤⎥⎝⎦，Ｂ．0⎛⎝⎦Ｃ．112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，Ｄ．1⎫⎪⎪⎣⎭【答案】D【试题分析】22aMNc=，122F F c=，122MN F F≤，即22acc≤，该椭圆的离心率2e≥，取值范围是,12⎫⎪⎪⎣⎭，故选D.【考点】椭圆的离心率，椭圆准线5. 【2005高考北京文第9题】抛物线y2=4x的准线方程是；焦点坐标是．【答案】1x=-，()1,0【解析】2412pp=⇒=，所以抛物线的准线为1x=-；焦点坐标为()1,0。

6. 【2013高考北京文第9题】若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝__________；准线方程为__________．【答案】2 x＝－17. 【2009高考北京文第13题】椭圆22192x y+=的焦点为12,F F，点P在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF = ；12F PF ∠的大小为 .【答案】2,120︒【解析】u.c.o.m 本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵229,3a b ==，∴c ==∴12F F =又1124,26PF PF PF a =+==，∴22PF =， （第13题解答图）又由余弦定理，得(22212241cos 2242F PF +-∠==-⨯⨯，∴12120F PF ︒∠=，故应填2,120︒.8. 【2010高考北京文第13题】已知双曲线22221x y a b -=的离心率为2，焦点与椭圆221259x y +=的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为__________；渐近线方程为__________．【答案】 (±4,0)±y ＝09. 【2014高考北京文第10题】设双曲线C 的两个焦点为()，)，一个顶点式()1,0，则C 的方程为 . 【答案】221x y -=【解析】由题意知：c =1a =，所以2221b c a =-=，又因为双曲线的焦点在x 轴上，所以C 的方程为221x y -=.考点：本小题主要考查双曲线的方程的求解、,,a b c 的关系式，考查分析问题与解决问题的能力.10. 【2011高考北京文第10题】已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线的方程为2y x =，则b = .【答案】2【解析】：由2221y x b -=得渐近线的方程为2220y x y bx b-==±即y bx =±，由一条渐近线的方程为2y x =得b =211.【2017高考北京文数第10题】若双曲线221y x m-=则实数m =_________． 【答案】2【考点】双曲线的方程和几何性质【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题．解题时要注意a 、b 、c 的关系，即222c a b =+，以及当焦点在x 轴时，哪些量表示22,a b ，否则很容易出现错误．最后根据离心率的公式计算即可.12. 【2016高考北京文数】已知双曲线22221x y a b-= （0a >，0b >）的一条渐近线为20x y +=，一个焦点为，则a =_______；b =_____________.【答案】1,2a b ==. 【解析】试题分析：依题意有2c b a⎧=⎪⎨=-⎪⎩,结合222c a b =+,解得1,2a b ==.考点：双曲线的基本概念【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为122=+By Ax 的形式，当0>A ，0>B ，B A ≠时为椭圆，当0<AB 时为双曲线.13. 【2015高考北京，文12】已知()2,0是双曲线2221y x b-=（0b >）的一个焦点，则b = ．【考点定位】双曲线的焦点.14. 【2005高考北京文第20题】（本小题共14分）如图，直线 l 1：y ＝kx （k >0）与直线l 2：y ＝－kx 之间的阴影区域（不含边界）记为W ，其左半部分记为W 1，右半部分记为W 2． （Ⅰ）分别用不等式组表示W 1和W 2；（Ⅱ）若区域W 中的动点P (x ，y )到l 1，l 2的距离之积等于d 2，求点P 的轨迹C 的方程； （Ⅲ）设不过原点O 的直线l 与（Ⅱ）中的曲线C 相交于M 1，M 2两点，且与l 1，l 2分别交于M 3，M 4两点．求证△OM 1M 2的重心与△OM 3M 4的重心重合．【答案】解：（Ⅰ）W 1={(x , y )| k x <y <－k x , x <0}，W 2={(x , y )| －k x <y <k x , x >0}， （Ⅱ）直线l 1：k x －y ＝0，直线l 2：k x ＋y ＝0，由题意得2d =, 即22222||1k x y d k -=+， 由P (x , y )∈W ，知k 2x 2－y 2>0，所以 222221k x y d k -=+，即22222(1)0k x y k d --+=, 所以动点P 的轨迹C 的方程为22222(1)0k x y k d --+=；（Ⅲ）当直线l 与x 轴垂直时，可设直线l 的方程为x ＝a （a ≠0）．由于直线l ，曲线C 关于x 轴对称，且l 1与l 2关于x 轴对称，于是M 1M 2，M 3M 4的中点坐标都为（a ，0），所以△OM 1M 2，△OM 3M 4的重心坐标都为（32a ，0），即它们的重心重合， 当直线l 1与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y =mx +n （n ≠0）．由22222(1)0k x y k d y mx n ⎧--+=⎨=+⎩，得2222222()20k m x mnx n k d d -----=由直线l 与曲线C 有两个不同交点，可知k 2－m 2≠0且 △=2222222(2)4()()mn k m n k d d +-⨯++>0 设M 1，M 2的坐标分别为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)， 则12222mnx x k m+=-, 1212()2y y m x x n +=++, 设M 3，M 4的坐标分别为(x 3, y 3)，(x 4, y 4)， 由及y kxy kx y mx n y mx n⎧==-⎧⎨⎨=+=+⎩⎩得34,n n x x k m k m -==-+从而3412222mnx x x x k m +==+-，所以y 3+y 4=m (x 3+x 4)+2n ＝m (x 1+x 2)+2n ＝y 1+y 2, 于是△OM 1M 2的重心与△OM 3M 4的重心也重合．15.【2006高考北京文第19题】椭圆C : 12222=+by a x (a >b >0)的两个焦点为F 1、F 2,点P 在椭圆C 上,且PF 1⊥F 1F 2,|PF 1|=34,|PF 2|=314. (1)求椭圆C 的方程;(2)若直线l 过圆x 2+y 2+4x -2y =0的圆心M ,交椭圆C 于A 、B 两点,且A 、B 关于点M 对称,求直线l 的方程所以椭圆C 的方程为14922=+y x . (2)设A 、B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2).已知圆的方程为(x +2)2+(y -1)2=5,所以圆心M 的坐标为(-2,1), 从而可设直线l 的方程为y =k (x +2)+1,代入椭圆C 的方程得(4+9k 2)x 2+(36k 2+18k )x +36k 2+36k -27=0.因为A 、B 关于点M 对称,所以221x x +=-2294918k k k ++=-2,解得k =98.所以直线l 的方程为y =98(x +2)+1,即8x -9y +25=0. (经检验,所求直线方程符合题意) 解法二:(1)同解法一.(2)已知圆的方程为(x +2)2+(y -1)2=5,所以圆心M 的坐标为(-2,1). 设A 、B 的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2).由题意x1≠x 2且1492121=+yx ,1492222=+yx .由①-②得()()92121x x x x +-+()()42121y y y y +-=0.因为A 、B 关于点M 对称,所以x 1+x 2=-4,y 1+y 2=2. 代入③得2121x x y y --=98,即直线l 的斜率为98,所以直线l 的方程为y -1=98(x +2),即8x -9y +25=0. (经检验,所求直线方程符合题意)16.【2007高考北京文第19题】（本小题共14分）如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程为360x y --=点(11)T -，在AD 边所在直线上．（I ）求AD 边所在直线的方程； （II ）求矩形ABCD 外接圆的方程；（III ）若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程．（Ⅱ）由360320x y x y --=⎧⎨++=⎩ 解得点A 的坐标为()0,2-，因为矩形ABCD 两条对角线的交点为()2,0M ，所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心，又AM ==ABCD 外接圆的方程为()2228x y -+=；（Ⅲ）因为动圆P 过点N ，所以PN \是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M 外切，所以PM PN =+PM PN -=故点P 的轨迹是以,M N 为焦点，实轴长为因为实半轴长a =2c =，所以虚半轴长b =，从而动圆P 的圆心的轨迹方程为(22122x y x -=≤ 【考点】直线的斜率，两直线的位置关系，圆的方程，动点轨迹方程的求法，双曲线的定义 【备考提示】本题考查了直线的斜率，直线的方程，两直线的位置关系，圆的方程，两圆外切的条件，动点轨迹方程的求法，双曲线的定义，几何意义，范围等知识点，都是教材中的重点内容，既有灵活性，又不失通性通法，体现了回归教材，回归基础，对中学教学有很好的导向作用.17.【2011高考北京文第19题】（本小题共14分） 已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的。

2008高考数学试题分类汇编：9.圆锥曲线(2) Word版含答案[ 高考]

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湖北理10．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①1122a c a c +=+；②1122a c a c -=-；③1212c a a c >；④11c a <22c a ． 其中正确式子的序号是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④ 湖北理 19．（本小题满分13分）如图，在以点O 为圆心，4AB =为直径的半圆ADB 中，OD ⊥AB ，P 是半圆弧上一点， ∠POB =30°，曲线C 是满足MA MB -为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P ． （Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；（Ⅱ）设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F ． 若OEF △的面积不小于．．．l 斜率的取值范围．19．本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力．（满分13分）（Ⅰ）解法1：以O 为原点，AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则(20)A -，，(20)B ，，(02)D ，，P ，依题意得 MA MB PA PB -=-=AB ｜＝4． ∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线．设实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ， 则c ＝2，2a ＝22，∴a 2=2，2222b c a =-=．∴曲线C 的方程为12222=-y x ． 解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得DABP4MA MB PA PB AB -=-<=．∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线．设双曲线的方程为a b y a x (12222=-＞0，b ＞0）．则由222222114a ba b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，．解得a 2=b 2=2， ∴曲线C 的方程为22122x y -=．（Ⅱ）解法1：依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入双曲线C 的方程并整理得22(1)460k x kx ---=．∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，22210(4)46(1)0k k k ⎧-≠⎪∴⎨∆=-+⨯->⎪⎩，，1k k ≠±⎧⎪⇔⎨<<⎪⎩，(1)(11)(13)k ∴∈--，，．设11()E x y ，，F (x 2，y 2)，则由①式得x 1+x 2=241k k -，12261x x k=--，于是｜EF=22212122223()411k x x x x k k-=+-=+- 而原点O 到直线l 的距离d =2222211223122111OEFk S d EF k k kk -∴==+=--+△． 若OEF △面积不小于OEF S △≥422201k k k ---　≤，解得k ③ 综合②，③知，直线l 的斜率的取值范围为)(1(11)12⎡⎤--⎣⎦，，．解法2：依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入双曲线C 的方程并整理， 得22(1)460k x kx ---=． ①∵直线l与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，∴ 22210(4)46(1)0k k k ⎧-≠⎪⇔⎨∆=-+⨯->⎪⎩，，1k k ≠±⎧⎪⎨<⎪⎩，∴(1)(11)(13)k ∈--，，．②设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，则由①式得122211x x k k-===-- ③ 当E 、F 在同一支上时（如图1所示），12121122OEF ODF ODE S S S OD x x OD x x ∆∆=-=-=-△； 当E 、F 在不同支上时（如图2所示）．OEF ODF ODE S S S =+△△△=121211()22OD x x OD x x +=-． 综上得1212OEF S OD x x =-△，于是 由｜OD ｜＝2及③式，得OEFS =△若OEF △面积不小于OEF S △≥4220k k ⇔--≤，解得k ． ④综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为)(1(11)12⎡⎤--⎣⎦，，．江西文7．已知12F F ，是椭圆的两个焦点，满足120MF MF =的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．(01)，B ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦，C ．0⎛ ⎝⎭D ．1⎫⎪⎪⎣⎭江西文14．已知双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的两条渐近线方程为y =，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为 ．14．223144x y -= 江西文 22．（本小题满分14分）已知抛物线2y x =和三个点200000000()(0)()(0)M x y P y N x y y x y -≠>，，，，，，，过点M 的一条直线交抛物线于A B ，两点，AP BP ，的延长线分别交抛物线于点E F ，． （1）证明E F N ，，三点共线；（2）如果A B M N ，，，四点共线，问：是否存在0y ，使以线段AB 为直径的圆与抛物线有异于A B ，的交点？如果存在，求出0y 的取值范围，并求出该交点到直线AB 的距离；若不存在，请说明理由．22．（1）证明：设221122()()()()E E F F A x x B x x E x y F x y ，，，，，，，，则直线AB 的方程222121112()x x y x x x x x -=---，即1212()y x x x x x =+-． 因为00()M x y ，在AB 上，所以012012()y x x x x x =+- ①又直线AP 方程：21001x y y x y x -=+由210012x y y x y x x y ⎧-=+⎪⎨⎪=⎩得2210010x y x x y x ---=所以21001211E x y y x x x x x -+=⇒=-，221E y y x =同理，02F y x x =-，2022F y y x =所以直线EF 的方程：21201212y x x y y x x x x x ⎛⎫+=--⎪⎝⎭ 令0x x =-得0120012[()]y y x x x y x x =+- 将①代入上式得0y y =，即N 点在直线EF 上， 所以E F N ，，三点共线．（2）解：由已知A B M N ，，，共线，有00())A y B y ，， 以AB 为直径的圆方程：2200()x y y y +-=由22002()x y y y x y⎧+-=⎪⎨=⎪⎩得22000(21)0y y y y y --+-=所以0y y =，01y y =-．要使圆与抛物线有异于A B ，的交点，则010y -≥，所以存在01y ≥，使以AB 为直径的圆与抛物线有相异于A B ，的交点()T T T x y ，． 则01T y y =-，所以交点T 到AB 的距离为000(1)1T y y y y -=--=．江西理7．已知12F F ，是椭圆的两个焦点，满足120MF MF =的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．(01)，B ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦，C．0⎛ ⎝⎭D．1⎫⎪⎪⎣⎭江西理15．过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾斜角为30的直线，与抛物线分别交于A B ，两点（点A 在y 轴左侧），则AFFB= ．15．13江西理21．（本小题满分12分）设点00()P x y ，在直线(01)x m y m m =≠±<<，上，过点P 作双曲线221x y -=的两条切线PA PB ，，切点为A B ，，定点10M m ⎛⎫⎪⎝⎭，．（1） 过点A 作直线0x y -=的垂线，垂足为N ，试求AMN △的垂心G 所在的曲线方 程；（2） 求证：A M B ，，三点共线．21．解：设1122()()A x y B x y ，，，．由已知得到120y y ≠，且22111x y -=，22221x y -=．（1）垂线AN 的方程为：11y y x x -=-+， 由110y y x x x y -=-+⎧⎨-=⎩得垂足112222x y x y N ++⎛⎫⎪⎝⎭，，设重心()G x y ，，所以11111111321032x y x x m x y y y ⎧+⎛⎫=++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨+⎛⎫⎪=++ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1139341934x y m x y x m y ⎧--⎪=⎪⎪⎨⎪-+⎪=⎪⎩由22111x y -=可得：1133332x y x y m m ⎛⎫⎛⎫--+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭即221239x y m ⎛⎫--= ⎪⎝⎭为重心G 所在曲线方程． （2）设切线PA 的方程为：11()y y k x x -=-由1122()1y y k x x x y -=-⎧⎨-=⎩得2221111(1)2()()10k x k y kx x y kx ------= 从而2222211114()4(1)()4(1)0k y kx k y kx k ∆=-+--+-=． 解得11x k y =． 因此PA 的方程为：111y y x x =- 同理PB 的方程为：221y y x x =-又1()P m y ，在PA PB ，上，所以1011y y mx =-，2021y y mx =-即点1122()()A x y B x y ，，，都在直线01y y mx =-上． 又10M m ⎛⎫⎪⎝⎭，也在直线01y y mx =-上，所以A M B ，，三点共线．浙江理（文8）7．若双曲线22221x y a b-=的两个焦点到一条准线的距离之比为3:2，则双曲线的离心率是（ ） A ．3B ．5CD浙江理12．已知12F F ，为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A B ，两点，若2212F A F B +=，则AB = ．12．8浙江理（文22）20．（本题15分） 已知曲线C 是到点1328P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，和到直线58y =-距离相等的点的轨迹． l 是过点(10)Q -，的直线，M 是C 上（不在l 上）的动点；A B ，在l 上，MA l ⊥，MB x⊥轴（如图）．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）求出直线l 的方程，使得2QBQA为常数． 20．本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分15分．（Ⅰ）解：设()N x y ，为C 上的点，则||NP =N 到直线58y =-的距离为58y +．58y =+．化简，得曲线C 的方程为21()2y x x =+． （Ⅱ）解法一：设22x x M x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，直线:l y kx k =+，则()B x kx k +，，从而||1|QB x =+．在Rt QMA △中，因为222||(1)14x QM x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，2222(1)2||1x x k MA k⎛⎫+- ⎪⎝⎭=+． 所以222222(1)||||||(2)4(1)x QA QM MA kx k +=-=++. ||QA =，2||12||QB x QA x k+=+． 当2k =时，2||||QB QA =，从而所求直线l 方程为220xy -+=．解法二：设22x x M x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，直线:l y kx k =+，则()B x kx k +，，从而||1|QB x =+．过Q (10)-，垂直于l 的直线11:(1)l y x k=-+． 因为||||QA MH =，所以||QA =，2||12||QB x QA xk +=+． 当2k =时，2||||QB QA =，从而所求直线l 方程为220x y -+=． 陕西理（文9）8．双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（） ABCD ．3陕西理（文21） 20．（本小题满分12分）已知抛物线C ：22y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB =，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由． 20．解法一：（Ⅰ）如图，设211(2)A x x ，，222(2)B x x ，，把2y kx =+代入22yx =得2220x kx --=，由韦达定理得122kx x +=，121x x =-， ∴1224N M x x kx x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫⎪⎝⎭，． 设抛物线在点N 处的切线l 的方程为284k k y m x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，将22y x =代入上式得222048mk k x mx -+-=， 直线l 与抛物线C 相切，2222282()048mk k m m mk k m k ⎛⎫∴∆=--=-+=-= ⎪⎝⎭，m k ∴=．即l AB ∥．（Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =，则NA NB ⊥，又M 是AB 的中点，1||||2MN AB ∴=． 由（Ⅰ）知121212111()(22)[()4]222M y y y kx kx k x x =+=+++=++22142224k k ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭． MN ⊥x 轴，22216||||2488M N k k k MN y y +∴=-=+-=．又2212121||||1()4AB x x kx x x x =-=++-22214(1)11622k k k ⎛⎫=-⨯-=++⎪⎝⎭．22161168k k +∴=+，解得2k =±．即存在2k =±，使0NA NB =．解法二：（Ⅰ）如图，设221122(2)(2)A x x B x x ，，，，把2y kx =+代入22y x =得2220x kx --=．由韦达定理得121212kx x x x +==-，．∴1224N M x x kx x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫⎪⎝⎭，．22y x =，4y x '∴=，∴抛物线在点N 处的切线l 的斜率为44kk ⨯=，l AB ∴∥． （Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =．由（Ⅰ）知22221122224848k k k k NA x x NB x x ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，则22221212224488k k k k NA NB x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222212124441616k k k k x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212144444k k k k x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++ ⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()221212121214()4164k k k x x x x x x k x x ⎡⎤⎡⎤=-++++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦22114(1)421624k k k k k k ⎛⎫⎡⎤=--⨯++⨯-+⨯+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦22313164k k ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0=，21016k --<，23304k ∴-+=，解得2k =±．即存在2k =±，使0NA NB =．海南理（宁夏）11．已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ） A ．114⎛⎫- ⎪⎝⎭， B ．114⎛⎫⎪⎝⎭，C ．(12)，D ．(12)-，海南理（宁夏）14．设双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F ．过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为 ．14．3215海南理（宁夏） 20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：2222by a x +=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2．F 2也是抛物线C 2：24y x =的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且｜MF 2｜=35． （Ⅰ）求C 1的方程；（Ⅱ）平面上的点N 满足21MF MF MN +=，直线l ∥MN ，且与C 1交于A ，B 两点，若0OA OB =，求直线l 的方程．20．解：（Ⅰ）由2C ：24y x =知2(10)F ，． 设11()M x y ，，M 在2C 上，因为253MF =，所以1513x +=，得123x =，13y =． M 在1C 上，且椭圆1C 的半焦距1c =，于是222248193 1.a b b a ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去2b 并整理得 4293740a a -+=，解得2a =（13a =不合题意，舍去）． 故椭圆1C 的方程为22143x y +=． （Ⅱ）由12MF MF MN +=知四边形12MFNF 是平行四边形，其中心为坐标原点O ， 因为l MN ∥，所以l 与OM 的斜率相同，故l的斜率323k ==设l的方程为)y x m =-．由223412)x y y x m ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，，消去y 并化简得 22916840x mx m -+-=．设11()A x y ，，22()B x y ，，12169m x x +=，212849m x x -=．因为OA OB ⊥，所以12120x x y y +=．121212126()()x x y y x x x m x m +=+--2121276()6x x m x x m =-++22841676699m m m m -=-+21(1428)09m =-=．所以m =．此时22(16)49(84)0m m ∆=-⨯->，故所求直线l 的方程为y =-y =+海南文（宁夏）2．双曲线221102x y -=的焦距为（ ）A ．B ．C ．D ．海南文（宁夏）15．过椭圆22154x y +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A B ，两点，O 为坐标原点，则OAB △的面积为 ．15．53天津理5．设椭圆22221(1)1x y m m m +=>-上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 到右准线的距离为（ ）A ．6B ．2C ．12D 天津理13．已知圆C 的圆心与抛物线24y x =的焦点关于直线y x =对称，直线4320x y --=与圆C 相交于A B ，两点，且6AB =，则圆C 的方程为 ． 13．22(1)10x y +-= 天津理（文22） 21．（本小题满分14分）已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是1(30)F -，20y -=． （Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）若以(0)k k ≠为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M N ，，且线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为812，求k 的取值范围． 21．本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．满分14分．（Ⅰ）解：设双曲线C 的方程为22221(00)x y a b a b -=>>，，由题设得229a b b a⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 解得2245.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线C 的方程为22145x y -=． （Ⅱ）解：设直线l 的方程为(0)y kx m k =+≠，点11()M x y ，，22()N x y ，的坐标满足方程组221.45y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，① ② 将①式代入②式，得22()145x kx m +-=，整理得 222(54)84200k x kmx m ----=．此方程有两个不等实根，于是2540k -≠，且222(8)4(54)(420)0km k m ∆=-+-+>．整理得22540m k +->． ③由根与系数的关系可知线段MN 的中点坐标00()x y ，满足12024254x x km x k +==-，002554my kx m k=+=-． 从而线段MN 的垂直平分线的方程为 225145454m km y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭．此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为29054km k ⎛⎫⎪-⎝⎭，，29054m k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，．由题设可得 2219981254542km m k k =--． 整理得222(54)k m k-=，0k ≠． 将上式代入③式得222(54)540k k k-+->，整理得22(45)(45)0k k k --->，0k ≠．解得0k <<54k >．所以k 的取值范围是55550044⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∞，，，，∞．天津文7．设椭圆22221(00)x y m n m n+=>>，的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（ ）A ．2211216x y += B ．2211612x y += C ．2214864x y += D ．2216448x y +=天津文15．已知圆C 的圆心与点(21)P -，关于直线1y x =+对称．直线34110x y +-=与圆C 相交于A B ，两点，且6AB =，则圆C 的方程为 ．15．22(1)18x y ++=湖南理8．若双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(12)，B ．(2)+，∞C ．(15)，D ．(5)+，∞湖南理12．已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点为F ，右准线为l ，离心率e =点(0)A b ，作AM l ⊥，垂足为M ，则直线FM 的斜率等于 ． 12．12湖南理 20．（本小题满分13分）若A B ，是抛物线24y x =上的不同两点，弦AB （不平行于y 轴）的垂直平分线与x 轴相交于点P ，则称弦AB 是点P 的一条“相关弦”．已知当2x >时，点(0)P x ，存在无穷多条“相关弦”．给定02x >．（Ⅰ）证明：点0(0)P x ，的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；（Ⅱ）试问：点0(0)P x ，的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用0x 表示）；若不存在，请说明理由．20．解：（I ）设AB 为点0(0)P x ，的任意一条“相关弦”，且点A B ，的坐标分别是（x 1，y 1），（x 2，y 2）（x 1≠x 2），则2114y x =，，2224y x =， 两式相减得（y 1+y 2）（y 1-y 2）=4（x 1-x 2）．因为x 1≠x 2，所以y 1+y 2≠0． 设直线AB 的斜率是k ，弦AB 的中点是M （x m ， y m ），则12121242my y k x x y y y -===-+． 从而AB 的垂直平分线l 的方程为 ()2mm m y y y x x -=--． 又点0(0)P x ，在直线l 上，所以0()2mm m y y x x -=-． 而0m y ≠，于是02m x x =-．故点0(0)P x ，的所有“相关弦”的中点的横坐标都是02x -．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，弦AB 所在直线的方程是()m m y y k x x -=-，代入24y x =中， 整理得2222[()2]()0m m m m k x k y kx x y kx +--+-=． （*）则12x x ，是方程（*）的两个实根，且2122()m m y kx x x k -=．设点P 的“相关弦”AB 的弦长为l ，则22222121212()()(1)()l x x y y k x x =-+-=+-222212121222222242(1)()44(1)()24414(4)(4)4(1)16m m m m m m m m m m m m m mk x x x x k x x x y x y x y y y x y y y x x ⎡⎤=++-=+-⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎢⎥-⎪⎛⎫⎢⎥⎝⎭=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦=+-=-+-+ 222222004(1)2(1)4(1)2(3)m m m m x y x x y x ⎡⎤⎡⎤=+---=----⎣⎦⎣⎦．因为200044(2)48m m y x x x <<=-=-，于是设2m t y =，则0(048)t x ∈-，． 记[]22200()2(3)4(1)l g t t x x ==---+-．若03x >，则002(3)(048)x x -∈-，，所以当02(3)t x =-，即202(3)m y x =-时，l 有最大值02(1)x -．若023x <≤，则02(3)0x -≤，()g t 在区间0(048)x -，上是减函数，所以20016(2)l x <<-，l 不存在最大值．综上所述，当03x >时，点0(0)P x ，的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为02(1)x -；当023x <≤时，点0(0)P x ，的“相关弦”的弦长中不存在最大值．湖南文10．若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．(B ．)+C ．(11⎤⎦D ．)1+，∞湖南文19．（本小题满分13分）已知椭圆的中心在原点，一个焦点是(20)F ，，且两条准线间的距离为(4)λλ>． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若存在过点(10)A ，的直线l ，使点F 关于直线l 的对称点在椭圆上，求λ的取值范围．19．解：（Ⅰ）设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由条件知2c =，且22a cλ=，所以2a λ=， 2224b a c λ=-=-．故椭圆的方程是221(4)4x y λλλ+=>-． （Ⅱ）依题意，直线l 的斜率存在且不为0，记为k ，则直线l 的方程是(1)y k x =-．设点(20)F ，关于直线l 的对称点为00()F x y '，，则000021221.2y x k y k x ⎧+⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-⎪-⎩， 解得0202212.1x kk y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， 因为点00()F x y '，在椭圆上，所以2222221114k k k λλ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=-．即 422(4)2(6)(4)0k k λλλλλ-+-+-=．设2k t =，则22(4)2(6)(4)0t t λλλλλ-+-+-=．因为4λ>，所以2(4)0(4)λλλ->-．于是，当且仅当[]232(6)4(4)02(6)0.(4)λλλλλλλλ⎧∆=---⎪⎨-->⎪-⎩≥， （*）上述方程存在正实根，即直线l 存在．解（*）得1634 6.λλ⎧⎪⎨⎪<<⎩≤， 所以1643λ<≤． 即λ的取值范围是1643λ<≤．上海文6．若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = ．6．1- 上海文12．设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于（ ） A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 上海文 20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．已知双曲线2212x C y -=：．（1）求双曲线C 的渐近线方程；（2）已知点M 的坐标为(01)，．设p 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点． 记MP MQ λ=．求λ的取值范围；（3）已知点D E M ，，的坐标分别为(21)(21)(01)---，，，，，，P 为双曲线C 上在第一象限内的点．记l 为经过原点与点P 的直线，s 为DEM △截直线l 所得线段的长．试将s 表示为直线l 的斜率k 的函数．20．解：（1）所求渐近线方程为02y x -=，02y x +=．······························ 3分 （2）设P 的坐标为00()x y ，，则Q 的坐标为00()x y --，． ···································· 4分 0000(1)(1)MP MQ x y x y λ==----，，2220003122x y x =--+=-+． ··········································································· 7分02x ≥λ∴的取值范围是(]1-∞-，． ·········································································· 9分 （3）若P 为双曲线C 上第一象限内的点，则直线l 的斜率0k ⎛∈ ⎝⎭． ········································································ 11分由计算可得，当102k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，()s k =当12k ⎛∈ ⎝⎭时，()s k = ····················································· 15分s ∴表示为直线l 的斜率k的函数是102()122k s k k <=<<≤， ······· 16分 重庆文8．若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D．重庆文21．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分．）如题（21）图，(20)M -，和(20)N ，是平面上的两点，动点P 满足：2PM PN -=． （Ⅰ）求点P 的轨迹方程； （Ⅱ）设d 为点P 到直线12l x =：的距离，若22PM PN =，求PM d的值．21．（本小题12分） 解：（Ⅰ）由双曲线的定义，点P 的轨迹是以M N ，为焦点，实轴长22a =的双曲线．因此半焦距2c =，实半轴1a =，从而虚半轴b =所以双曲线的方程为2213y x -=． （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）及答（21）图，易知1PN≥，因22PM PN =，①知PM PN >，故P 为双曲线右支上的点，所以2PM PN =+．②将②代入①，得2220PN PN --=，解得PN =，所以14PN =． 因为双曲线的离心率2ce a==，直线12l x =：是双曲线的右准线，故2PNe d==， 所以12d PN =，因此22441PM PM PN PN d PN PN====+ 解法二： 设()P x y ，． 因1PN≥知222PM PN PN PN=>≥，故P 在双曲线右支上，所以1x ≥． 由双曲线方程有2233y x =-．因此21PM x ===+，PN ===．从而由22PM PN =得2212(441)x x x +=-+，即281010x x -+=．所以58x =（舍去58x -=）．有9214PM x =+=，1128d x +=-=．故1117PM d==+．重庆理8．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的一条渐近线为(0)y kx k =>，离心率e =，则双曲线方程为（ ）A ．222214x y a a -= B ．222215x y a a -=C ．222214x y b b-=D ．222215x y b b-=重庆理 21．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）如题（21）图，(20)M -，和(20)N ，是平面上的两点，动点P 满足：6PM PN +=． （Ⅰ）求点P 的轨迹方程； （Ⅱ）若21cos PM PN MPN=-，求点P 的坐标．21.（本小题12分） 解：（Ⅰ）由椭圆的定义，点P 的轨迹是以M N ，为焦点，长轴长26a =的椭圆．因此半焦距2c =，长半轴3a =，从而短半轴b ==，所以椭圆的方程为22195x y +=． （Ⅱ）由21cos PM PN MPN=-，得xcos 2PM PN MPN PM PN =-． ①因为cos 1MPN ≠，P 不为椭圆长轴顶点，故P M N ，，构成三角形，在PMN △中，4MN =，由余弦定理有2222cos MN PM PN PM PN MPN =+-．②将①代入②，得22242(2)PM PN PM PN =+--．所以2()12PM PN -=，即PM PN -=故点P 在以M N ，为焦点，实轴长为2213x y -=上． 由（Ⅰ）知，点P 的坐标又满足22195x y +=，所以 由方程组2222594533x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，．解得2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩ 即P点坐标为⎝⎭，⎝⎭，⎛⎝⎭或⎛ ⎝⎭． 北京文3．“双曲线的方程为221916x y -=”是“双曲线的准线方程为95x =±”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 北京文19．（本小题共14分）已知ABC △的顶点A B ，在椭圆2234x y +=上，C 在直线2l y x =+：上，且AB l ∥． （Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及ABC △的面积； （Ⅱ）当90ABC ∠=，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程． 19．（共14分）解：（Ⅰ）因为AB l ∥，且AB 边通过点(00)，，所以AB 所在直线的方程为y x =． 设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，．由2234x y y x ⎧+=⎨=⎩，得1x =±．所以12AB x =-=又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离．所以h =122ABC S AB h ==△． （Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y x m =+，由2234x y y x m⎧+=⎨=+⎩，得2246340x mx m ++-=． 因为A B ，在椭圆上， 所以212640m ∆=-+>．设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，，则1232m x x +=-，212344m x x -=，所以12AB x =-=又因为BC 的长等于点(0)m ，到直线l的距离，即BC =．所以22222210(1)11AC AB BC m m m =+=--+=-++．所以当1m =-时，AC 边最长，（这时12640∆=-+>） 此时AB 所在直线的方程为1y x =-． 北京理4．若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线北京理 19．（本小题共14分）已知菱形ABCD 的顶点A C ，在椭圆2234x y +=上，对角线BD 所在直线的斜率为1． （Ⅰ）当直线BD 过点(01)，时，求直线AC 的方程； （Ⅱ）当60ABC ∠=时，求菱形ABCD 面积的最大值． 19．（共14分）解：（Ⅰ）由题意得直线BD 的方程为1y x =+． 因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥． 于是可设直线AC 的方程为y x n =-+．由2234x y y x n⎧+=⎨=-+⎩，得2246340x nx n -+-=． 因为A C ，在椭圆上，所以212640n ∆=-+>，解得n <<． 设A C ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，，则1232n x x +=，212344n x x -=，11y x n =-+，22y x n =-+．所以122ny y +=． 所以AC 的中点坐标为344n n ⎛⎫⎪⎝⎭，． 由四边形ABCD 为菱形可知，点344n n ⎛⎫⎪⎝⎭，在直线1y x =+上， 所以3144n n=+，解得2n =-． 所以直线AC 的方程为2y x =--，即20x y ++=．（Ⅱ）因为四边形ABCD 为菱形，且60ABC ∠=， 所以AB BC CA ==．所以菱形ABCD 的面积2S =． 由（Ⅰ）可得22221212316()()2n AC x x y y -+=-+-=，所以2316)S n n ⎛=-+<< ⎝⎭．所以当0n =时，菱形ABCD 的面积取得最大值上海理 20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．设1()(0)P a b b ≠，是平面直角坐标系xOy 中的点，l 是经过原点与点(1)b ，的直线，记Q 是直线l 与抛物线22(0)x py p =≠的异于原点的交点． （1）已知a =1，b =2，p =2．求点Q 的坐标；（2）已知点()P a b ，，（ab ≠0）在椭圆2214x y +=上，12p ab =．求证：点Q 落在双曲线2244x y -=1上； （3）已知动点()P a b ，满足ab ≠0，12p ab=，若点Q 始终落在一条关于x 轴对称的抛物线上，试问动点P 的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由．。

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29江苏省徐州市08届高考数学二轮复习圆锥曲线测试题一、填空题(共14小题，每题5分，计70分) 1.称焦距与短轴长相等的椭圆为"黄金椭圆”，则黄金椭圆的离心率为 __________ .y = . 2x ，其离心率是的距离为24. 抛物线y= 4x 的焦点坐标为X 2 25. 已知△ ABC 的顶点B C 在椭圆 + y = 1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另3外一个焦点在 BC 边上，则△ ABC 的周长是 _______________x 2 y 26. 椭圆 += 1的焦点F 1、F 2, P 为椭圆上的一点，已知PF 1 A PF 2，则△ F 1PF 2的 25 9面积为 ______________ (3, 1)，F 是抛物线的焦点，点 P 是抛物线上一点,2. 中心在原点，焦点在坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为 2 23. 已知双曲线—--=1的焦点为6 3F 、F 2，点M 在双曲线上且 MF i Ax 轴，则F i 到直线F 2M7.已知抛物线y 2 = 4x ，一定点A |AP|+|PF|的最小值_______________ 。

&正四棱锥的侧棱长和底面边长都是 9.以下同个关于圆锥曲线的命题中①设 则动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆1，则侧棱和底面所成的角为 _A 、B 为两个定点，k 为非零常数，|PAC 上一定点 A 作圆的动点弦卜 | PB |= k ， AB, O 为坐标原点，若1 2OP= (OA+OB),则动点P 的轨迹为椭圆；③方程 2x 2- 5x +22= 0的两根可分别作为22 2椭圆和双曲线的离心率；④双曲线 ——y = 1与椭圆 —+ y 225 9 35。

(写出所有真命题的序号)1有相同的焦点•其中真命题的序号为 ____ __2 210 .方程一xy1表示椭圆的充要条件是9—k k -12x 11.在区间［1,5］和［2,4］分别各取一个数，记为 m 和n ,则方程二m 2■ 丫2 = 1表示焦点在xn 轴上的椭圆的概率是 _________________ .12.嫦娥一号奔月前第一次变轨后运行轨道是以地球中心F 为焦点的椭圆，测得近地点 A 距离地面m(km)，远地点B 距离地面n(km)，地球半径为 R(km)，关于这个椭圆有以下四 种说法：①焦距长为 n - m ；②短半轴长为；(m ' R)(n ' R):③离心率e = 其中正确的序号为2 213.以椭圆x -1内的点 16 4M (1,1)为中点的弦所在直线方程为14.设F 1, F 2分别是双曲线x2y1的左、右焦点.若点P 在双曲线上，且PF 1 PF 2 =0 ,高三数学圆锥曲线测试题答题纸班级姓名分数一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分.）1、2、34、5、67、8、910、11、1213、14、二、解答题（6大题共90分，要求有必要的文字说明和步骤）2 215.点A、B分别是椭圆— - 1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭36 20圆上，且位于x轴上方，PA_PF •求点P的坐标；16. (1)已知椭圆C的焦点F i (- 2^2, 0)和F2 ( 2^2, 0),长轴长6,设直线y = x + 2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。

2 2⑵已知双曲线与椭圆—-y1共焦点，它们的离心率之和为9 25求双曲线方程1 217. 已知抛物线C: y=-—x+6，点P (2, 4)、A、B在抛物线上，且直线PA、PB的倾斜角互2补•(I )证明：直线AB的斜率为定值；(II)当直线AB在y轴上的截距为正数时,求厶PAB面积的最大值及此时直线AB的方程•2 2x y18. 双曲线二亍=1 (a>1,b>0)的焦距为2c,直线I过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线I的a b4距离与点(-1,0)到直线l的距离之和s> c.求双曲线的离心率e的取值范围5佃.已知抛物线y =2px(p ■ 0)的焦点为F, A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5•过A作AB垂直于y轴，垂足为B, OB的中点为M.。

(1 )求抛物线方程；(2)过M作MN _ FA，垂足为N,求点N的坐标；(3)以M为圆心，MB为半径作圆M，当K(m,O)是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系•2 220.椭圆C:笃•爲=1(a • b • 0)的两个焦点为F1,F2，点P在椭圆C上，且a b(I)求椭圆C的方程；(H)若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心，交椭圆称，求直线|的方程.4PF^FF 2|PF 伸3 ,PFC于A、B两点，且A、B关于点M对高三数学圆锥曲线测试答案16解:由已知条件得椭圆的焦点在'2£9八x 2,消去 y 得，10x 236x 27 ".18y 1),B ( X 2, y2),AB 线段中点为 M(X °,y 0)那么：x ! X 2 ,X °51所以 y 。

=x 。

+2=-59 1也就是说线段 AB 中点坐标为(-三,丄)5 5(2) 解：由于椭圆焦点为F(0, — 4)，离心率为e= 5 ,所以双曲线的焦点为 F(0, - 4),离心率为2, 从而 c=4,a=2,b=2 虫.2 2—1所以求双曲线方程为：412(17) ( I )证:易知点P 在抛物线C 上,设PA 的斜率为k,则直线PA 的方程是y-4=k(x-2).1代入y=-X 2+6并整理得x 2+2kx-4(k+1)=0此时方程应有根 X A 及2,1. _!2.或 63.6 4. 1、(0,)5.4 3225166. 97. 48. 45°9 .③④ 10.1 :：: k :：: 9(k = 5)11.-212.①②③13. x 4y -5 =014. 2、1015.解:由已知可得点 A (- 6, 0), F (4, 0)设点 P 的坐标是 (x,y),则AP 二｛x 6,y ｝, FP 二｛x-4,y ｝， 由已知得2-1(x+6)(x —4)2 3则2x9—0,^ 或x 「6.3由于八0,只能--,于是 5 - 3 5- 二亠点P 的坐标是勺2・3).X 轴上，其中c= 2 2 ,a=3,从而b=1,所以其标准方程是：y 2 =1二 1•联立方程组设 A( X l ,2由韦达定理得：2 22x A=-4(k+1),二X A=-2(k+1).二y A=k(X A-2)+4.=-k -4k+4.二A(-2(k+1), -k -4k+4).由于PA 与PB 的倾斜角互补，故PB 的斜率为-k. 同理可得 B(-2(-k+1),-k 2+4k+4) …kAB =2.1 2 1 2 (n ) •/ AB 的方程为 y=2x+b, b>0.代入方程 y=- x +6 消去 y 得 x+2x+b-6=0.22|AB|=2 . (1一22)[4匚2(b 匚6)] = 2., 5(16匚2b). ab 2abs= d 1 +d 2= -------------- = -------.a 2 b 2 c42ab 、42 2^2由 s > c,得 A c,即 5a-c —a >2c .5 c 5于是得 5 e 2 -1 A 2e 2.即 4e 2-25e+25W 0. 5 2解不等式,得 w e 2w 5.由于e>1>0,4所以e 的取值范围是—_ . 52(19)解：(1)抛物线y 2 =2px 的准线为x =,于是4 •卫=5,. p =2.2 2•抛物线方程为y 2= 4x.(2)v 点A 的坐标是(4, 4), 由题意得B ( 0, 4), M ( 0, 2),43又••• F (1, 0),• k F A；MN _ FA, k MN ,34 4则FA 的方程为y=(x - 1), 3(3) 由题意得，圆 M 的圆心是点(0, 2),半径为2.当m=4时，直线AK 的方程为x=4，此时，直线 AK 与圆M 相离，4当m ^4时，直线AK 的方程为y(x -m),即为4x -(4 -m)y -4m = 0, 4 一 m••• S=〔|AB|d= 21------------- b -2 •、5(16 - 2b)-一 2 ,5.(16 —2b) b b < , J 6 一2； b b )364、一 3 9此时方程为y=2x+兰.3(18)解:直线l 的方程为bx+ay-ab=O.由点到直线的距离公式得到点(1,0)到直线l 的距离d 1 = b(a _1)，且 a>1,、a 2 b 2同理得到点(-1,0)到直线I 的距离d 2 =b(a_1) a 2 b 2MN 的方程为y - 23 x.4 y =3(x-1)解方程组彳3,得t c 3 y - 2 x y4 I8 5 4 5N (?4).圆心M (0, 2)到直线AK 的距离d：——| 2m 8 |，令d . 2,解得m . 1 j6+ (m-4)2.当m ■ 1时，直线AK 与圆M 相离;当m=1时，直线AK 与圆M 相切； 当m ：：: 1时，直线AK 与圆M 相交.20解法一： C 上，所以 2a = PF<| 十 PF 2 = 6 , a=3.从而 b 2=a 一 c 2=4,2 2X y =1.4(治—X 2X X 1 +X 2) 土(丫1 — y 2)(% +y 2)_09 4因为A 、B 关于点M 对称, 所以 X i + X 2=— 4, y i + y 2=2. 代入③得% T 2 = 8 ,x 1 - x 2 9(II )设 A , B 的坐标分别为(X 1,y 1)、(X 2,y 2).2 2已知圆的方程为(X +2) +(y — 1) =5,所以圆心M 从而可设直线I 的方程为 y=k(x+2)+1,代入椭圆C 的方程得 (4+9k 2) 因为A , 2 2 2 X 2+(36 k 2+18k)x+36k 2+36k —27=0.B 关于点M 对称.的坐标为(一 2, 1).X-1 所以-X 2218k 2 9k所以直线I 的方程为y =8(x • 2) • 1,9即8x-9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意 解法二：(I )同解法一. (I )已知圆的方程为(X +2)设A , B 的坐标分别为(2+(y —1)2=5,所以圆心 M X 1,y 1),(X2,y 2).由题意 X 1 = X 2 且的坐标为(一 2, 1).2 X i2「1,42 2U1,②9 4(I )因为点P 在椭圆在 Rt △ PF^ 中,F I F2|= J|PF 2『一|PF != 2.5,故椭圆的半焦距c=、5,所以椭圆C 的方程为-由①一②得8即直线I的斜率为上,98所以直线I的方程为y— 1 =— (x+2),9即8x—9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.)。

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