2019-2020学年天津市静海一中高三(下)期中数学试卷含答案
2019-2020学年天津市静海一中高三(下)期中数学试卷
2019-2020学年天津市静海一中高三（下)期中数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知2{*|30}A x N x x =∈-+…，12{|log 0}B x x =„，则A B =I ( )A ．[3，)+∞B ．[0，1]C ．[1，3]D ．{1，2，3}2．设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“2212a a <”是“数列{}n a 为递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )A ．516B ．1132C ．2132D ．11164．函数()()cos x x f x e e x -=-⋅在[2-，2]上的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．5．已知函数22,0()1,02x x x f x x x ⎧--⎪=⎨-+<⎪⎩…，113212111(()),(log ),(())233a f b c f ===，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a <<6．直线240ax by ++=与圆224210x y x y ++++=截得的弦长为4，则22a b +的最小值是( ) A ．3B ．2CD ．17．关于函数()sin cos ||f x x x =+有下述四个结论：①()f x 的周期为2π；②()f x 在5[0,]4π上单调递增；③函数()1y f x =-在[π-，]π上有3个零点；④函数()f x 的最小值为.其中所有正确结论的编号为( ) A ．①④B ．②③C ．①③④D ．②④8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，过2F 作C 的一条渐近线l 的垂线，垂足为M ，若△12MF F 的面积为24a ，则C 的渐近线方程为( ) A ．y x =±B．y =C ．2y x =±D ．4y x =±9．已知函数23,0()3,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩„的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是( ) A ．1(,1)2B ．1(2，2)C ．(1,2)-D ．(1,3)-10．若4212iz i i--=+，则复数z 的虚部为__. 11．二项式12(2x ，则该展开式中的常数项是__.12．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，ABC ∆是等腰三角形，其中2AB BC ==，120ABC ∠=︒，4PA =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为__.13．已知a ，b 均为正数，且1a b +=，则当a =__时，代数式2212a ab+-的最小值为__.14．在ABC ∆中，已知3AB =，2AC =，120BAC ∠=︒，D 为边BC 的中点.若BE AD ⊥，垂足为E ，则BE AC ⋅u u u r u u u r的值为__.15．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，8a =，2b c -=，1cos 4A =-. （1）求sinB 的值； （2）求cos(2)6A π+的值.16．某地有A 、B 、C 、D 四人先后感染了新冠状病毒，其中只有A 到过疫区. （1）如果B 、C 、D 受到A 感染的概率分别为12，那么B 、C 、D 三人中恰好有一人感染新冠状病毒的概率是多少？（2）若B 肯定受A 感染，对于C ，因为难以判断他是受A 还是受B 感染的，于是假定他受A 和受B 感染的概率都是12，同样也假设D 受A 、B 和C 感染的概率都是13，在这种假定之下，B 、C 、D 中直接受A 感染的人数X 为一个随机变量，求随机变量X 的分布列和均值（数学期望）.17．如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥平面ABCD .（1）求证：//DF 平面ABE ； （2）求二面角B EF D --的正弦值；（3）在线段BE 上是否存在点P ，使得直线AP 与平面BEF 所成角的正弦值为6，若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由.18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点(c,0)F ，右顶点为A ，点P 是椭圆上异于点A 的任意一点，APF ∆.（1）求椭圆C 的离心率； （2）设经过点F 且斜率为34-的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为Q ，圆B 同时与x 轴和直线l 相切，圆心B 在直线4x =-上，且//OB AQ ，求椭圆C 的方程.19．已知数列{}n a 是公差为1的等差数列，{}n b 是单调递增的等比数列，且235a a a +=，4124a b b =-，335b a a =+.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设2222(1)(1)nn n n b c b b +=--，数列{}n c 的前n 项和n S ，求n S ；（3）若数列1{}n nna b a +的前n 项积为n T ，求n T . （4）数列{}n d 满足11d =，11,22,2k k n kk n d b n +⎧<<=⎨=⎩，其中*k N ∈，*n N ∈，求21ni i i a d =∑. （5）解决数列问题时，经常需要先研究陌生的通项公式，只有先把通项公式研究明白，然后尽可能转化为我们熟悉的数列问题，由此使问题得到解决.通过对上面（2）（3）（4）问题的解决，你认为研究陌生数列的通项问题有哪些常用方法，要求介绍两个. 20．设函数21(),()xef x ax a lnxg x x e =--=-，其中a R ∈， 2.71828e =⋯为自然对数的底数.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1x >时，证明：函数()g x 无零点；（3）确定a 的所有可能取值，使得()()f x g x >在区间(1,)+∞内恒成立.（4）数学题目虽然千变万化，有很多形式虽然陌生新颖，但仔细分析其条件后又可以转换为若干熟悉的老问题，使新问题得以解决.因此，会将新问题转化为老问题的思想方法是学好数学的重要方法之一.下面你将问题（3）中的条件“()()f x g x >在区间(1,)+∞内恒成立”变化为两种新形式（不作解答）.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
【KS5U解析】天津市静海一中2020届高三下学期期中考试数学试卷 Word版含解析
14.在 中，已知 ， ， ， 为边 的中点.若 ，垂足为 ，则 的值为__.
【答案】
三、解答题（共50分）
15.在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， ， .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【详解】（1） 由 ，
可得 ，
， ， ，
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值；
（3）在线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，若存在，求出线段 的长，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）存在， 或 .
【解析】
【详解】（1）证明： 四边形 矩形， ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 .
取 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
如图，则 ，0， ， ，2， ， ，2， ， ，0， ， ，2， ，
设平面 的法向量 ， ， ，
， ， ， ，2， ，
由 ，取 ，得 ，0， ，
又 ，2， ， ， ，
又 平面 ， 平面 ；
（2） ，0， ， ，0， ， ，2， ， ， ， ， ，0， ，
又 ， ， 即 ， ，点 .
圆 同时与 轴和直线 相切，
即 ，解得 ，
故椭圆 的方程为 .
19.已知数列 是公差为1的等差数列， 是单调递增的等比数列，且 ， ， .
（1）求 和 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和 ，求 ；
（3）若数列 的前 项积为 ，求 .
（4）数列 满足 ， ，其中 ， ，求 .
【详解】（1） ，则 ，解得 ，故 ，
天津市静海区第一中学2020届高三3月学生学业能力调研考试数学试题+Word版含答案
1 静海一中2019-2020第二学期高三数学（5周）
学生学业能力调研考试试卷
考生注意：本次考试收到试卷1:45 考试时间为2:00—3:30 交卷时间截止到3:40请同学们严格按照考试时间作答，并将答题纸拍照上传
本试卷分第Ⅰ卷基础题（130分）和第Ⅱ卷提高题（20分）两部分，共150分。
第Ⅰ卷 基础题（共130分）
一、选择题: （每小题6分，共42分,每小题只有一个正确选项）
1．已知集合{|21
}A x x =->，2{|lg(2)}B x y x x ==-，则()R C A B =I （ ） A ．(1,2) B ．[1,2)
C ．(2,3)
D ．(0,1] 2．已知a R ∈，则“2a >”是“22a
a >”的（
）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件 C
．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
3．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数.设()8log 0.2a f =，()0.3log 4b f =，()1.12c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A ．c b a <<
B ．a b c <<
C ．a c b <<
D ．c a b <<
4．在平面直角坐标系中，经过点P ，渐近线方程为y =的双曲线的标准方程为（ ）
A ．22
142-=x y B ．221714x y -= C ．22136x y -= D ．221147
y x -= 5．函数1sin 1
x x e y x e +=⋅-的部分图像大致为（ ）。
天津市静海区2019-2020学年高一数学11月月考试题【含答案】
天津市静海区2019-2020学年高一数学11月月考试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第2页至第4页。
试卷满分120分。
考试时间100分钟。
第Ⅰ卷一、选择题（共12题；每题3分，共36分）1. 已知集合，则集合中元素的个数是A. B. C. D.2. 下列四个函数中，在上为增函数的是A. B.C. D.3. 如果，那么下列不等式成立的是A. B. C. D.4. 如果函数在区间上是增函数，则的取值范围为A. B. C. D.5. 若，则等于A. B. C.6 .函数的定义域是7 .已知函数，则的值为A. B. C. D.8 .设命题，，则为A. ，B. ，C. ，D. ，9 .已知集合的子集有个，则实数的取值范围为A. B. C. D.10. 已知，，且，则的最大值是A. B. C. D.11 .设函数是（）上的减函数，又若，则A. B.C. D.12. 奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集是A. B.C. D.第Ⅱ卷二、非选择题（共13题；其中填空题8×3=24分，解答题5×12=60分……共84分）13. 已知全集，集合，，则．14. 已知，，若，则实数的取值范围是．15. 设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合是．16. 已知，，若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则的取值范围是．17. 不等式的解集为．18. 若定义在上的减函数满足，则实数的取值范围是．19. 已知函数的定义域为的奇函数，且在上有两个零点，则的零点个数为．20. 已知关于的不等式的解集为，则的最小值是．21..求下列函数的定义域：（1）；（2）；（3）；（4）．22. 已知不等式的解是，设，．（1）求，的值；（2）求和．23. 某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为元，房屋侧面每平方米的造价为元，屋顶的造价为元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低?最低总造价是多少?24. 已知不等式的解集为，不等式的解集为．（1）求集合与；（2）若，求实数的取值范围．25.判断函数在区间上的单调性，并给出证明．数学答案一、选择题1—5 CCBDB 6—10 DCCCB 11—12 BA二、填空题13、{x|−1<x<1} 14、[2,+∞) 15、 16、17、18、 19、5 20、三、解答题21、（1）．（2）．（3）．（4）．22、（1）根据题意知，是方程的两实数根；所以由韦达定理得，解得，．（2）由上面，，；所以，且；所以，；所以．23、设房屋地面相邻两边边长分别为，，总造价为元．因为，所以当时，上式取等号．所以当房屋地面相邻两边边长分别建成和时，造价最低，最低总造价为元．24、（1）由，得，即，解得，所以．由，得．①若，则；②若，则；③若，则．（2）要使，则，且，所以当时，．25、。
天津市静海县2019-2020学年高考数学模拟试题含解析
天津市静海县2019-2020学年高考数学模拟试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一个盒子里有4个分别标有号码为1，2，3，4的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是4的取法有（ ）A ．17种B ．27种C ．37种D ．47种【答案】C【解析】【分析】由于是放回抽取,故每次的情况有4种,共有64种；先找到最大值不是4的情况,即三次取出标号均不为4的球的情况,进而求解.【详解】所有可能的情况有3464=种,其中最大值不是4的情况有3327=种,所以取得小球标号最大值是4的取法有642737-=种,故选:C【点睛】本题考查古典概型,考查补集思想的应用,属于基础题.2．已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，22()2x x x f x e +=-，设(ln (ln2a f b f c f ===，则（ ） A ．b a c >>B ．b a c >=C ．a c b =>D ．c a b >> 【答案】B【解析】【分析】 根据偶函数性质，可判断,a c 关系；由0x ≥时，22()2xx x f x e +=-，求得导函数，并构造函数()1x g x e x =--，由()g x '进而判断函数()f x 在0x ≥时的单调性，即可比较大小.【详解】()f x 为定义在R 上的偶函数，所以(ln ln 22c f f f ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以a c =;当0x ≥时，22()2xx x f x e +=-， 则)1(x f x e x =--'，令()1x g x e x =--则1()x g x e '=-，当0x ≥时，)0(1x g x e =-≥'，则()1x g x e x =--在0x ≥时单调递增，因为000)10(g e =--=，所以1(0)xg x e x --=≥，即)0(1x x f x e =--≥'， 则22()2xx x f x e +=-在0x ≥时单调递增，而0<<(f f <，综上可知，(ln 2f f f⎛⎫=< ⎪ ⎪⎝⎭即a c b =<，故选：B.【点睛】本题考查了偶函数的性质应用，由导函数性质判断函数单调性的应用，根据单调性比较大小，属于中档题.3．在ABC V 中，已知9AB AC ⋅=uu u r uuu r ，sin cos sin B A C =，6ABC S =V ，P 为线段AB 上的一点，且CA CB CP x y CA CB=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则11x y +的最小值为（ ）A ．712+B ．12C ．43D ．512+【答案】A【解析】【分析】在ABC V 中，设AB c =，BC a =，AC b =，结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求cos 0C =，可得2C π=，再由已知条件求得4a =，3b =，5c =，考虑建立以AC 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴建立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得4312x y +=，然后利用基本不等式可求得11x y+的最小值.【详解】在ABCV中，设AB c=，BC a=，AC b=，sin cos sinB A C=Q，即()sin cos sinA C A C+=，即sin cos cos sin cos sinA C A C A C+=，sin cos0A C∴=，0Aπ<<Q，sin0A∴>，cos0C∴=，0Cπ<<Q，2Cπ∴=，9AB AC⋅=u u u r u u u rQ，即cos9cb A=，又1sin62ABCS bc A==V，sin4tancos3bc A aAbc A b∴===，162ABCS ab==VQ，则12ab=，所以，4312abab⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得43ab=⎧⎨=⎩，225c a b∴=+=.以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则()0,0C、()3,0A、()0,4B，P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得()()()3,43,401AP ABλλλλλ==-=-≤≤u u u r u u u r，()33,4CP CA CBλλ∴=+=-u u u r u u u r u u u r，设1CAeCA=u u u ru ru u u r，1CeBCB=u u u ru ru u u r，则121e e==u r u u r，()11,0e∴=u r，()20,1e=u r，()12,CA CBCP x y xe ye x yCA CB=⋅+⋅=+=u u u r u u u ru u u r u r u u rQ u u u r u u u r，334xyλλ=-⎧∴⎨=⎩，消去λ得4312x y+=，134x y∴+=，所以，117737234341234121211x y x y x yx x y y x yy x⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⋅=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当3x y=时，等号成立，因此，11x y +的最小值为7312+. 故选：A.【点睛】本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解CA CAu u u r u u u r 是一个单位向量，从而可用x 、y 表示CP u u u r ，建立x 、y 与参数的关系，解决本题的第二个关键点在于由33x λ=-，4y λ=发现4312x y +=为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值，考查计算能力，属于难题.4．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（ ） A ．43 B ．916 C ．34 D ．169【答案】D【解析】【分析】分别求出球和圆柱的体积，然后可得比值.【详解】设圆柱的底面圆半径为r，则r，所以圆柱的体积2126V =π⋅⨯=π.又球的体积32432233V =π⨯=π，所以球的体积与圆柱的体积的比213216369V V ππ==，故选D. 【点睛】本题主要考查几何体的体积求解，侧重考查数学运算的核心素养.5．在平面直角坐标系xOy 中，锐角θ顶点在坐标原点，始边为x轴正半轴，终边与单位圆交于点5P m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则sin 24πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A．10 B．10 C．10 D【答案】A【解析】【分析】根据单位圆以及角度范围，可得m ，然后根据三角函数定义，可得sin ,cos θθ，最后根据两角和的正弦公式，二倍角公式，简单计算，可得结果.【详解】 由题可知：22515m ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，又θ为锐角 所以0m >，25m = 根据三角函数的定义：255sin ,cos θθ== 所以4sin 22sin cos 5θθθ== 223cos 2cos sin 5θθθ=-=- 由sin 2sin 2cos cos 2sin 444πππθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 所以42322sin 2455πθ⎛⎫+=⨯-⨯= ⎪⎝⎭ 故选：A【点睛】 本题考查三角函数的定义以及两角和正弦公式，还考查二倍角的正弦、余弦公式，难点在于公式的计算，识记公式，简单计算，属基础题.6．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30°，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A ．20B ．27C ．54D ．64【答案】B【解析】【分析】 设大正方体的边长为x ，从而求得小正方体的边长为3122x x -，设落在小正方形内的米粒数大约为N ，利用概率模拟列方程即可求解。
【精准解析】天津市静海区第一中学2020届高三下学期期中考试数学试题+Word版含解析
满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．
4.函数 f (x) (ex ex ) cos x 在 [2, 2] 上的图像大致为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】 【分析】
确定函数为奇函数排除
BD
，
f
1
e
1 e
cos1
0 ，排除
A ，得到答案.
【详解】 f (x) (ex ex ) cos x ，则 f (x) (ex ex ) cos x f x ，函数为奇函数，
【解析】
【分析】
计算得到 A 1, 2,3 ， B x x 1 ，计算交集得到答案. 【详解】 A {x N*| x2 3x 0} 1, 2,3 ， B {x | log1 x 0} x x 1 ，
2
故 A B {1, 2,3} .
故选： D .
【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于简单题.
只要坚持 梦想终会实现
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高中学习讲义
BE AC
FC
AC
cos ACF
FC
AC
FC
2 FC .
AC
AD
1
2
AB AC
，故
AD
2
1
4
AB AC
2
7
，故
4
AD
7. 2
1
根据等面积法：
AD
FC
k 2
4
0
，解得答案.
【详解】取 y f x 上一点 x, y ，则 x, y 关于 y 1对称的点为 x, 2 y ，
即 2 y kx 1 ，即 y kx 1 ，直线过定点 0, 1 .
2019-2020学年天津市静海一中高三(下)期中数学试卷(wd无答案)
2019-2020学年天津市静海一中高三（下）期中数学试卷一、单选题(★★) 1. 已知，，则( )A．，B．，C．，D．，2，(★★) 2. 设是首项大于零的等比数列，则“ ”是“数列为递增数列”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(★★) 3. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A．B．C．D．(★★) 4. 函数在，上的图象大致为( )A．B．D．C．(★★★) 5. 已知函数，，则，，的大小关系是( )A．B．C．D．(★★★) 6. 直线与圆截得的弦长为4，则的最小值是( )A．3B．2C．D．1(★★★) 7. 关于函数有下述四个结论：① 的周期为；② 在上单调递增；③函数在上有3个零点；④函数的最小值为.其中所有正确结论的编号为( )A．①④B．②③C．①③④D．②④(★★) 8. 已知双曲线的左右焦点分别为、，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，则的渐近线方程为( )A．B．C．D．(★★★) 9. 已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则实数的取值范围是( )A．B．，C．D．二、填空题(★★) 10. 若，则复数的虚部为 __ .(★★) 11. 二项式，则该展开式中的常数项是 __ .(★★★) 12. 在三棱锥中，平面，是等腰三角形，其中，，，则三棱锥的外接球的表面积为 __ .(★★★) 13. 在中，已知，，，为边的中点.若，垂足为，则的值为 __ .三、双空题(★★★) 14. 已知，均为正数，且，则当 __ 时，代数式的最小值为__ .四、解答题(★★) 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，，，.（1）求的值；（2）求的值.(★★★) 16. 某地有四人先后感染了新冠状病毒，其中只有到过疫区.（1）如果受到感染的概率分别为，那么三人中恰好有一人感染新冠状病毒的概率是多少？（2）若肯定受感染，对于，因为难以判断他是受还是受感染的，于是假定他受和受感染的概率都是，同样也假设受和感染的概率都是，在这种假定之下，B、 C、 D中直接受感染的人数为一个随机变量，求随机变量的分布列和均值（数学期望）.(★★★) 17. 如图所示，直角梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由.(★★★) 18. 已知椭圆的右焦点，右顶点为，点是椭圆上异于点的任意一点，的面积的最大值为.（1）求椭圆的离心率；（2）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且，求椭圆的方程.(★★★★) 19. 已知数列是公差为1的等差数列，是单调递增的等比数列，且，，.（1）求和的通项公式；（2）设，数列的前项和，求；（3）若数列的前项积为，求.（4）数列满足，，其中，，求.（5）解决数列问题时，经常需要先研究陌生的通项公式，只有先把通项公式研究明白，然后尽可能转化为我们熟悉的数列问题，由此使问题得到解决.通过对上面（2）（3）（4）问题的解决，你认为研究陌生数列的通项问题有哪些常用方法，要求介绍两个.(★★★★) 20. 设函数，其中，为自然对数的底数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：函数无零点；（3）确定的所有可能取值，使得在区间内恒成立.（4）数学题目虽然千变万化，有很多形式虽然陌生新颖，但仔细分析其条件后又可以转换为若干熟悉的老问题，使新问题得以解决.因此，会将新问题转化为老问题的思想方法是学好数学的重要方法之一.下面你将问题（3）中的条件“ 在区间内恒成立”变化为两种新形式（不作解答）.。
天津市静海区第一中学2020届高三3月学生学业能力调研考试试题 数学 含答案
天津市静海区第一中学2020届高三3月学生学业能力调研考试试题数学一、选择题: （每小题6分，共42分,每小题只有一个正确选项）1．已知集合{|21}A x x =->，2{|lg(2)}B x y x x ==-，则()R C A B =（ ）A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(2,3)D ．(0,1]2．已知a R ∈，则“2a >”是“22a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数.设()8log 0.2a f =，()0.3log 4b f =，()1.12c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c a b <<4．在平面直角坐标系中，经过点(22,2)P -，渐近线方程为2y x =±的双曲线的标准方程为（ ）A ．22142-=x yB ．221714x y -=C ．22136x y -=D ．221147y x -=5．函数1sin 1x x e y x e +=⋅-的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为（ ） A ．9π B ．29π C ．18π D ．24π7．若函数()()()34020a ax ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩xa x f x x x ，有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]1,2 B ．(]2,4 C ．(]3,4 D ．()3,5二、填空题（每小题6分共42分） 8．若复数()111iz m i i+=+--（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数m 的值为______ 9．在一次医疗救助活动中，需要从A 医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有________种.(用数字作答) 10．过点(4,0)-作直线l ，与圆2224200x y x y ++--=交于,A B 两点, 若8AB =，则直线l 的方程为______________.11．若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22x yx y -+的最大值为______.12．三棱锥P ABC -中，,E D 分别为,PB PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V =____________13．已知四边形ABCD 中，3BC =，4AC =，M 为AB 中点且MD AB ⊥，则AB CD ⋅=______ 14．已知函数()12cos 2xx f x e x e π⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，其中e 为自然对数的底数，若()()()22300f a f a f +-+<，则实数a 的取值范围为___________.三、解答题（46分）15．（13分）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，2225()ac a b c =--.（1）求cos A 的值； （2）求sin(2)B A -的值.16．（16分）如图，在三棱锥A BCD -中，顶点A 在底面BCD 上的射影O 在棱BD 上，2AB AD ==，2BC BD ==，90CBD ∠=︒，E 为CD 的中点。
天津市静海县2019-2020学年高考数学教学质量调研试卷含解析
天津市静海县2019-2020学年高考数学教学质量调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．i 是虚数单位，若17(,)2i a bi a b R i +=+∈-，则乘积ab 的值是( ) A ．－15B ．－3C ．3D ．15【答案】B【解析】 17(17)(2)1325i i i i i +++==-+-，∴1,3,3a b ab =-==-，选B ． 2．已知向量()()1,3,2a m b ==-v v ，，且()a b b +⊥v v v ，则m=( )A ．−8B ．−6C ．6D ．8【答案】D【解析】【分析】 由已知向量的坐标求出a b +r r 的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=-r r r r ，又()a b b +⊥r r r ，∴3×4+（﹣2）×（m ﹣2）＝0，解得m ＝1．故选D ．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．3．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，当该量器口密闭时其表面积为42.2（平方寸），则图中x 的值为( )A ．3B ．3.4C ．3.8D ．4【答案】D【解析】【分析】根据三视图即可求得几何体表面积，即可解得未知数.【详解】由图可知，该几何体是由一个长宽高分别为,3,1x 和 一个底面半径为12，高为5.4x -的圆柱组合而成. 该几何体的表面积为()()233 5.442.2x x x π+++⋅-=，解得4x =，故选：D.【点睛】本题考查由三视图还原几何体，以及圆柱和长方体表面积的求解，属综合基础题.4．甲在微信群中发了一个6元“拼手气”红包,被乙､丙､丁三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数多于其他任何人)的概率是（ ）A ．13B ．310C ．25D ．34【答案】B【解析】【分析】将所有可能的情况全部枚举出来,再根据古典概型的方法求解即可.【详解】设乙,丙,丁分别领到x 元,y 元,z 元,记为(,,)x y z ,则基本事件有(1,1,4),(1,4,1) ,(4,1,1),(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2),共10个,其中符合乙获得“最佳手气”的有3个,故所求概率为310, 故选：B.【点睛】本题主要考查了枚举法求古典概型的方法,属于基础题型.5．如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为176，320，则输出的a 为（ ）A ．16B ．18C ．20D ．15【答案】A【解析】【分析】 根据题意可知最后计算的结果为a b ，的最大公约数.【详解】输入的a ，b 分别为176,320,根据流程图可知最后计算的结果为a b ，的最大公约数，按流程图计算320-176=144,176-144=32,144-32=112,112-32=80,80-32=48,48-32=16,32-16=16,易得176和320的最大公约数为16，故选:A.【点睛】本题考查的是利用更相减损术求两个数的最大公约数,难度较易.6．若0,0x y >>，则“222x y xy +=”的一个充分不必要条件是A ．x y =B ．2x y =C ．2x =且1y =D ．x y =或1y =【答案】C【解析】 0,0x y >>，∴222x y xy +≥2x y = 时取等号.故“2,x =且1y = ”是“222x y xy +=的充分不必要条件.选C ．7．在ABC ∆中，30C =︒，2cos 3A =-，152AC =，则AC 边上的高为（ ）A ．5B ．2C ．5D ．152【答案】C【解析】【分析】结合正弦定理、三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，求得BC 边长，由此求得AC 边上的高.【详解】过B 作BD CA ⊥，交CA 的延长线于D .由于2cos 3A =-，所以A 为钝角，且25sin 1cos 3A A =-=，所以()()sin sin sin CBA CBA A C π∠=-∠=+5321152sin cos cos sin 32326A C A C -=+=⨯-⨯=.在三角形ABC 中，由正弦定理得sin sin a b AB =，即1525152-=-，所以25BC =.在Rt BCD ∆中有1sin 2552BD BC C ==⨯=，即AC 边上的高为5. 故选：C【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，属于中档题.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，若F 到直线20bx ay -=2，则E 的离心率为( ) A ．32 B ．12 C ．22 D ．23【答案】A【解析】【分析】由已知可得到直线20bx ay -=的倾斜角为45o ，有21b a=，再利用222a b c =+即可解决.由F 到直线20bx ay -=的距离为2c ，得直线20bx ay -=的倾斜角为45o ，所以21b a=， 即()2224a ca -=，解得32e =. 故选：A.【点睛】 本题考查椭圆离心率的问题，一般求椭圆离心率的问题时，通常是构造关于,,a b c 的方程或不等式，本题是一道容易题.9．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）A ．56B ．60C ．140D ．120【答案】C【解析】【分析】【详解】 试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为(0.160.080.04) 2.50.7++⨯=，故自习时间不少于22.5小时的频率为0.7200140⨯=，故选C.考点：频率分布直方图及其应用．10．函数()()()22214f x x x x =--的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】【分析】先判断函数()y f x =的奇偶性，以及该函数在区间()0,1上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项.【详解】函数()y f x =的定义域为R ，()()()()()()()2222221414f x x x x x x x f x ⎡⎤⎡⎤-=-⋅--⋅--=--=⎣⎦⎣⎦，该函数为偶函数，排除B 、D 选项；当01x <<时，()()()222140f x xx x =-->，排除C 选项. 故选：A.【点睛】本题考查根据函数的解析式辨别函数的图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，结合排除法得出结果，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11．运行如图所示的程序框图，若输出的值为300，则判断框中可以填（ ）A ．30i >?B ．40i >?C ．50i >?D ．60i >?【答案】B【解析】【分析】 由30020010203040=++++，则输出为300，即可得出判断框的答案【详解】由30020010203040=++++，则输出的值为300，401050i =+=，故判断框中应填40i >？ 故选：B ．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．12．定义,,a a b a b b a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数21()2sin f x x =-，21()2cos g x x =-，则函数()()()F x f x g x =⊗的最小值为（ ）A ．23B ．1C ．43D ．2【答案】A【解析】【分析】根据分段函数的定义得()()F x f x ≥，()()F x g x ≥，则2()()()F x f x g x ≥+,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式，可求得函数的最小值.【详解】依题意得()()F x f x ≥，()()F x g x ≥，则2()()()F x f x g x ≥+,22222211111()()()[(2sin )(2cos )]2sin 2cos 32sin 2cos f x g x x x x x x x+=+=+-+-----222212cos 2sin 14(2)(232sin 2cos 33x x x x --=++≥+=--(当且仅当222cos 2sin x x --222sin 2cos x x-=-，即221sin cos 2x x ==时“=”成立.此时,2()()3f x g x ==，42()3F x ∴≥，()F x ∴的最小值为23， 故选：A.【点睛】本题考查求分段函数的最值，关键在于根据分段函数的定义得出2()()()F x f x g x ≥+，再由基本不等式求得最值，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
天津市静海一中2019-2020学年高三第二学期月考含解析《附15套高考模拟卷》
天津市静海一中2019-2020学年高三第二学期月考一、单项选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、如图，S是波源，振动频率为100Hz，产生的简谐横波向右传播，波速为40m/s。
波在传播过程中经过P、Q两点，已知P、Q的平衡位置之间相距0.6m。
下列判断正确的是（）A．Q点比P点晚半个周期开始振动B．当Q点的位移最大时，P点的位移最小C．Q点的运动方向与P点的运动方向可能相同D．当Q点通过平衡位置时，P点也通过平衡位置2、如图所示，从匀速运动的水平传送带边缘，垂直弹入一底面涂有墨汁的棋子，棋子在传送带表面滑行一段时间后随传送带一起运动。
以传送带的运动方向为x轴，棋子初速度方向为y轴，以出发点为坐标原点，棋子在传送带上留下的墨迹为（）A．B．C．D．3、电源电动势反映了电源把其他形式的能转化为电能的本领，下列关于电动势的说法中正确的是A．电动势是一种非静电力B．电动势越大表明电源储存的电能越多C．电动势由电源中非静电力的特性决定，跟其体积、外电路无关D．电动势就是闭合电路中电源两端的电压4、图示为一种应用逻辑电路制作的简易走道灯的电路图，虚线框内的C是一门电路，R0和R1中有一个是定值电阻，另一个是光敏电阻（受光照时阻值减小），R2是定值电阻。
当走道里光线较暗或将手动开关S接通时灯泡L都会点亮，则电路中（）A．C是“或门”，R0是光敏电阻B．C是“或门”，R1是光敏电阻C．C是“与门”，R0是光敏电阻D．C是“与门”，R1是光敏电阻5、如图所示，P球质量为2m,物体Q的质量为m,现用一轻绳将小球P系于光滑墙壁上的O点，物体Q 位于墙壁和球P之间，已知P、Q均处于静止状态，轻绳与墙壁间的夹角为30°, 重力加速度为g,则下列说法正确的是( )A．P对Q有方向竖直向下的摩擦力，大小为mgB．若增大P球的质量，则P对Q的摩擦力一定变大C．若增大Q球的质量，则P对Q的摩擦力一定变大D．轻绳拉力大小为3mg6、如图所示，在两块相同的竖直木板之间，有质量均为m的4块相同的砖，用两个大小均为F的水平力压木板，使砖块静止不动，则第2块砖对第3块砖的摩擦力大小是（）A．0 B．mg C．12mg D．2mg二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年天津市静海区第一中学高三下学期期中考试数学试题及答案
2020届天津市静海区第一中学高三下学期期中考试数学试题一、单选题1．已知2{*|30}A x N x x =∈-+≥，12{|log 0}B x x =≤，则A B I =（ ）A ．[)3+∞，B ．[0,1]C ．[1]3，D ．{1,2,3}【答案】D【解析】计算得到{}1,2,3A =，{}1B x x =≥，计算交集得到答案. 【详解】{}2{*|30}1,2,3A x N x x =∈-+≥=，{}12{|log 0}1B x x x x =≤=≥，故{1,2,3}A B ⋂=. 故选：D . 【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于简单题.2．设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“2212a a <”是“数列{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】依次判断充分性和必要性，取11a =，22a =-，得到不充分，得到答案. 【详解】若数列{}n a 为递增数列，在210a a >>，故2212a a <，必要性； 若取11a =，22a =-，2212a a <，不满足21a a >，故不充分.故选：B . 【点睛】本题考查了充分性和必要性，意在考查学生的推断能力.3．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．1116【答案】A【解析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算． 【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．4．函数()()cos x x f x e e x -=-⋅在[2,2]-上的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】确定函数为奇函数排除BD ，()11cos10f e e ⎛⎫=-⋅> ⎪⎝⎭，排除A ，得到答案. 【详解】()()cos x x f x e e x -=-⋅，则()()()cos x xf x e e x f x --=-⋅=-，函数为奇函数，排除BD ；()11cos10f e e ⎛⎫=-⋅> ⎪⎝⎭，排除A .故选：C.【点睛】本题考查了函数图像的识别，意在考查学生的识图能力和综合应用能力.5．已知函数22,0 ()1,02x x xf xx x⎧--≥⎪=⎨-+<⎪⎩，113212111(()),(log),(())233a fb fc f===，则,,a b c的大小关系是（）A．a b c<<B．c a b<<C．b a c<<D．b c a<<【答案】C【解析】画出函数图像，确定函数单调递减，计算1321211311log32⎛⎫> ⎪⎝⎭⎛⎫> ⎪⎝⎭，得到答案. 【详解】画出函数图像，根据图像知函数单调递减，1122131122111log log11122332⎛⎫>=> ⎪⎛⎫⎛⎫>>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故b a c<<.故选：C.【点睛】本题考查了根据函数单调性比较函数值大小，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 6．直线240ax by++=与圆224210x y x y++++=截得的弦长为4，则22a b+的最小值是（）A ．3B ．2CD ．1【答案】B【解析】根据题意知直线过圆心得到2a b +=，再利用均值不等式计算得到答案. 【详解】224210x y x y ++++=，即()()22214x y +++=，圆心为()2,1--，半径为2.弦长为4，则直线过圆心，即2240a b --+=，即2a b +=.()()()22222222a b a b ab a a b b +=+-≥+-=+，当1a b ==时等号成立.故选：B . 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，均值不等式，意在考查学生的计算能力和转化能力. 7．关于函数()sin cos f x x x =+有下述四个结论：①()f x 的周期为2π；②()f x 在50,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③函数()1y f x =-在[],ππ-上有3个零点；④函数()f x 的最小值为. 其中所有正确结论的编号为（ ） A ．①④ B ．②③C ．①③④D ．②④【答案】A【解析】化简得到()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，再依次判断每个选项得到答案. 【详解】()sin cos sin cos f x x x x x =+=+，则()()()(2)sin 2cos 2f x x x f x πππ+=+++=，①正确；()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当50,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3,442x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，函数先增后减，②错误；()14f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即sin 42x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3,442x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，共有2个解，故③错误；()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最小值为④正确.故选：A . 【点睛】本题考查了三角函数的单调性，最值，周期，零点，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作C 的一条渐近线l 的垂线，垂足为M ，若12MF F ∆的面积为24a ，则C 的渐近线方程为（ ） A ．y x =± B．y =C ．2y x =±D ．4y x =±【答案】D【解析】计算3244,a a M bc c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据2MF a k b =-得到4ba =，得到渐近线方程. 【详解】1221242MF F M S c y a ∆=⋅=，故24M a y c=，取渐近线方程为b y x a =， 取24M a y c =，则3244,a a M bc c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22344MF a a c k a bc bc==--，整理得到：2344b b b a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得4b a =，故渐近线为4y x =±. 故选：D . 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，意在考查学生的计算能力和转化能力. 9．已知函数2ln 3,0()3,0x x x x f x x x x ->⎧=⎨+≤⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,3-C ．()1,2-D ．()1,3【答案】C【解析】(),x y 关于1y =-对称的点为(),2x y --，得到直线方程1y kx =--，当1y kx =--与()f x 相切时，2k =，计算()230340k k +>⎧⎪⎨∆=+->⎪⎩，解得答案. 【详解】取()y f x =上一点(),x y ，则(),x y 关于1y =-对称的点为(),2x y --， 即21y kx --=-，即1y kx =--，直线过定点()0,1-. 当0x >时，()ln 3f x x x x =-，()'ln 2f x x =-， 函数在()20,e上单调递减，在)2,e ⎡+∞⎣上单调递减，当1y kx =--与()f x 相切时，设切点为()00,x y ，则0ln 2x k -=-，0000ln 31x x k x x ---=，解得2k =，故2k <. 当0x ≤时，231k x x x =--+，即()2103x k x ++=+，则()230340k k +>⎧⎪⎨∆=+->⎪⎩，解得1k >-. 综上所述：12k -<<. 故选：C .【点睛】本题考查了根据交点个数求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.二、填空题10．若4212iz i i--=+，则复数z 的虚部为__________. 【答案】1-【解析】化简得到z i =-，得到答案. 【详解】4212iz i i --=+，则()()()()42121012125i i i z i i i i i ---=+=+=-+-，故复数的虚部为1-.故答案为：1-； 【点睛】本题考查了复数的运算，复数的虚部，意在考查学生的计算能力.11．二项式122x ⎛ ⎝，则该展开式中的常数项是______. 【答案】552-【解析】直接利用二项式定理计算得到答案. 【详解】 二项式122x ⎛⎝的展开式的通项为：()41231212112121221rrr r r rrr xx T C C --+-⎛=-⋅ ⎝⎛⎫⎛⎫=⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取9r =得到常数项为()1299129152512C -⎛⎫⋅- =-⎪⎝⎭. 故答案为：552-. 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.12．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥面ABC ，ABC ∆是等腰三角形，其中2AB BC ==，0120,ABC ∠=4,PA =则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为_______. 【答案】32π【解析】计算ABC ∆外接圆半径为2r =，根据22282PA R r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭得到R =得到表面积. 【详解】2AB BC ==，120ABC ∠=︒，则AC =ABC ∆外接圆半径为r ，24sin ACr ABC==∠，即2r =，设外接球半径为R ，则22282PA R r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故R =2432S R ππ==.故答案为：32π. 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 13．在ABC ∆中，已知03,2,120,AB AC BAC ==∠=D 为边BC 的中点.若BE AD ⊥，垂足为E ，则BE AC ⋅u u u r u u u r的值为________.【答案】277【解析】过点C 作CF AD ⊥于F ，BE FC =u u u r u u u r ，2BE AC FC ⋅=u u u r u u u r u u u r，计算AD =u u u r ，根据等面积法得到FC =u u u r ，得到答案.【详解】如图所示：过点C 作CF AD ⊥于F ，易知BED CFD ∆≅∆，故BE FC =u u u r u u u r，2cos FC BE AC FC AC ACF FC AC FC AC ⋅=⋅∠=⋅⋅=u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .()12AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，故()221744AD AB AC=+=u u u r u u u r u u u r，故2AD =u u u r . 根据等面积法：111sin 222AD FC AB AC BAC ⋅=⋅⋅∠u u ur u u u r u u u r u u u r，解得FC =u u u r . 故2277BE AC FC ⋅==u u u r u u u r u u u r . 故答案为：277.【点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力和转化能力.三、双空题14．已知,a b 均为正数，且1a b +=，则当a =_____时，代数式2212a ab+-的最小值为_______. 【答案】31223 【解析】变换()22222221322a a b a a b ab ab ab++++-=-=，利用均值不等式计算得到答案. 【详解】()222222213232223a a b a a b abab ab ab ++++-=-=≥= 当223a b =，即31a -=，33b -=.故答案为：312；3【点睛】本题考查了均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和转化能力，变换()22222122a a b a abab+++-=-是解题的关键.四、解答题15．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，8a =，2b c -=，1cos 4A =-.（1）求sin B 的值； （2）求cos(2)6A π+的值.【答案】（1）16；（2）16-. 【解析】（1）由1cos 4A =-，可得sin A 的值，由余弦定理及已知即可解得,b c 的值，由正弦定理即可得解sin B 的值；（2）由倍角公式及（1）可求cos 2,sin 2A A 的值，利用两角和的余弦函数公式即可计算求值. 【详解】（1）Q 由1cos 4A =-，可得sin A =∴由22642cos 2b c bc A b c ⎧=+-⎨-=⎩，可得：64b c =⎧⎨=⎩，∴由sin sin b a B A=得sin B =；（2）Q 27cos22cos 1,sin 22sin cos 8A A A A A =-=-==71cos(2)cos 2cos sin 2sin 6668282A A A πππ⎛⎫∴+=-=-⨯--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭16=.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，倍角公式，同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式的应用，熟练掌握和灵活应用相关公式定理是解题的关键，属于基础题.16．某地有A B C D 、、、四人先后感染了新冠状病毒，其中只有A 到过疫区. （1）如果B C D 、、受到A 感染的概率分别为12，那么B C D 、、三人中恰好有一人感染新冠状病毒的概率是多少？（2）若B 肯定受A 感染，对于C ，因为难以判断他是受A 还是受B 感染的，于是假定他受A 和受B 感染的概率都是12，同样也假设D 受A B 、和C 感染的概率都是13，在这种假定之下，B 、C 、D 中直接受A 感染的人数X 为一个随机变量，求随机变量X 的分布列和均值（数学期望）.【答案】（1）38；（2）分布列见解析，()116E X =【解析】（1）直接计算概率得到答案.（2）X 的可能取值为1,2,3，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案. 【详解】（1）2131131228p C ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）根据题意：X 的可能取值为1,2,3. 则()1211233p X ==⨯=；()12111223232p X ==⨯+⨯=；()1113236p X ==⨯=. 故分布列为：X1 23 p131216()111111233266E X =⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查了概率的计算，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 17．如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，,AD AB ⊥22,AB BC AD ===四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥ABCD .（1）求证：//DF 平面ABE ；（2）求二面角B EF D --二面角的正弦值；（3）在线段BE 上是否存在点P ，使得直线AP 与平面BEF 6若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）23；（3）存在，3BP =或23BP = 【解析】（1）以,,DA DG DE 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，DF AE AB =+u u u ru u u ru u u r，得到证明.（2）平面DEF 的一个法向量为()12,1,0n =u r ，平面BEF 的一个法向量为()12,1,2n =u r，计算夹角得到答案.（3）假设存在点P 满足条件，设BP BE λ=u u u r u u u r，设线AP 与平面BEF 所成角为θ，22cos AP n AP n θ⋅=⋅u u u r u u ru u u r u u r ，解得答案.【详解】（1）取BC 中点G ，连接DG ，易知DA DG ⊥，平面EDCF ⊥ABCD ，四边形EDCF 为矩形，故ED ⊥平面ABCD . 以,,DA DG DE 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()1,2,2F -，()1,0,0A ，()1,2,0B ，()1,2,0C -，()0,0,2E .()1,2,2DF =-u u u r ，()1,0,2AE =-u u u r ，()0,2,0AB =u u u r ，故DF AE AB =+u u u r u u u r u u u r ，故//DF 平面ABE .（2）设平面DEF 的一个法向量为()1,,n x y z =u r ，则1100n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u vu v u u u v ，即20220z x y z =⎧⎨-++=⎩， 取1y =，则()12,1,0n =u r.设平面BEF 的一个法向量为()2,,n a b c =u u r ，则220n EF n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u vu u v u u u v ，即20220x y x y z -+=⎧⎨+-=⎩， 取1y =，则()12,1,2n =u r.则121212cos ,3n n n n n n ⋅==⋅u r u u ru r u u r u r u u r ，故二面角B EF D --二面角的正弦值为23. （3）假设存在点P 满足条件，设BP BE λ=u u u r u u u r，则()1,22,2P λλλ--，(),22,2AP λλλ=--u u u r ，()12,1,2n =u r，设线AP 与平面BEF 所成角为θ，则()()222226cos 3222AP n AP n θλλλ⋅===⋅+-+u u u r u u r u u u r u u r ，解得23λ=或29λ=. 故3BP BE λλ==u u u r u u u r ，故3BP =或23BP =.【点睛】本题考查了线面平行，二面角，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点(c,0)F ，右顶点为A ，点P 是椭圆上异于点A 的任意一点，APF ∆23b . （1）求椭圆C 的离心率； （2）设经过点F 且斜率为34-的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为Q ，圆B 同时与x 轴和直线l 相切，圆心B 在直线4x =-上，且//OB AQ ，求椭圆C 的方程.【答案】（1）12e =；（2）2211612x y +=【解析】（1）APF ∆面积的最大值为()21326b b ac -=，化简得到答案.（2）直线l ：()34y x c =--，设圆心为()4,B m -，0m >，根据相切得到43cm +=，联立直线方程得到()222123,545c c c c Q c c ⎛⎫-+ ⎪ ⎪--⎝⎭，代入椭圆方程解得答案.【详解】（1）APF ∆面积的最大值为()12b a c -=22230c ac a -+=，即22310e e -+=，解得12e =或1e =（舍去），故12e =. （2）直线l ：()34y x c =--，设圆心为()4,B m -，0m >， 则圆方程为()()2224x y m m ++-=. 圆B 与直线l 相切，则41235m c m --=，故43cm +=， 故412OB c k +=-，则直线AQ ：()()4421212c cy x a x c ++=--=--. 联立方程得到：()()344212y x c c y x c ⎧=--⎪⎪⎨+⎪=--⎪⎩，解得225c c x c -=-，()212345c cy c +=- 将()222123,545c c c c Q c c ⎛⎫-+ ⎪ ⎪--⎝⎭代入椭圆方程2222143x y c c +=，解得2c =.故椭圆方程为：2211612x y +=.【点睛】本题考查了椭圆离心率，椭圆方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 19．已知数列{}n a 是公差为1的等差数列，{}n b 是单调递增的等比数列，且235,a a a +=4124a b b =-，335b a a =+. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设2222(1)(1)nn n n b c b b +=--，数列{}n c 的前n 项和n S ，求n S ；（3）若数列1n n n a b a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项积为n T ，求n T .（4）数列{}n d 满足11d =，11,22,2k k n kkn d b n +⎧<<=⎨=⎩，其中**k N n N ∈∈，，求21ni i i a d =∑.（5）解决数列问题时，经常需要先研究陌生的通项公式，只有先把通项公式研究明白，然后尽可能转化为我们熟悉的数列问题，由此使问题得到解决.通过对上面（2）（3）(4)问题的解决，你认为研究陌生数列的通项问题有哪些常用方法，要求介绍两个. 【答案】（1）,2nn n a b n ==；（2）221132311n n S +⎛-=-⎫⎪⎝⎭；（3）(1)2(1)2n nn T n +=+；（4）21113242623nn n i i i a d ==⋅-⋅+∑.（5）见解析 【解析】（1）直接利用等差数列等比数列公式计算得到答案. （2）22211132121n n n c +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，利用裂项求和法计算得到答案.（3）()112nn n n n a b a n++=，利用累乘法计算得到答案.（4）21211142n nn niii i i i i i i a d =====+-∑∑∑∑，代入公式计算得到答案.（5）介绍裂项求和和分组求和法，根据方法特点得到答案. 【详解】（1）235a a a +=，则11234a a +=+，解得11a =，故n a n =.4124a b b =-，即1144b q b =-，335218b b q a a =+==，解得2q =或4q =-（舍去）. 12b =，故2n n b =.（2）()()222222222222111(1)(1)321212121n n n n n n n n n b c b b +++⎛⎫===- ⎪------⎝⎭， 故2222211121211111111...331515633213n n n n S ++⎛⎫⎛⎫=-+----++= ⎪ ⎪⎝⎝-⎭⎭-. （3）()112nn n n n a b a n ++=，故()()12223122...21212n n nn n T n n++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+. （4）()()2211121111221412212424221412nnn nnn nnn niiiii i i i i i i ii a d i ======+--=+-=+-=+⋅-⋅--∑∑∑∑∑∑，即21113242623nn n i i i a d ==⋅-⋅+∑. （5）根据题意：（2）中应用了裂项相消求和法，裂项相消求和法是将数列分解为一个数列的前后项，方便计算；（4）中应用了分组求和法，分组求和法是将有规律的某一部分集中起来计算，易于计算. 【点睛】本题考查了等差数列，等比数列，裂项相消法，分组求和法，累乘法，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.20．设函数21()ln ,(),xef x ax a xg x x e =--=-其中, 2.71828a R e ∈=L 为自然对数的底数.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1x >时，证明：函数()g x 无零点；（3）确定a 的所有可能取值，使得()()f x g x >在区间()1+∞，内恒成立. 【答案】（1）0a ≤时，函数单调递减；0a >时，函数在⎛ ⎝⎭上单调递减，在2a ⎫+∞⎪⎪⎣⎭上单调递增；（2）证明见解析；（3）12a ≥ 【解析】（1）求导得到221'()ax f x x-=，讨论0a ≤和0a >两种情况，计算得到答案.（2）1()0x eg x x e=-=，即0x e ex -=，设()x h x e ex =-，证明()()10h x h >=，得到证明.（3）讨论0a ≤，102a <<，12a ≥三种情况，计算()()()2211'0x x x F x x-+->>，得到函数单调性，得到答案. 【详解】（1）2()ln f x ax a x =--，则2121'()2ax f x ax x x-=-=，当0a ≤时，'()0f x <恒成立，函数单调递减；当0a >时，取()221'0ax f x x -==，0x >，解得x =，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎣⎭上单调递增.综上所述：0a ≤时，函数单调递减；0a >时，函数在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎣⎭上单调递增. （2）1()0x eg x x e=-=，即0x e ex -=，设()x h x e ex =-， 则()'0xh x e e =->在()1+∞，上恒成立，故()()10h x h >=恒成立，故0x e ex -=无解.即1x >时，函数()g x 无零点.（3）()()f x g x >，即21ln x e ax a x x e-->- 当0a ≤时，函数()f x 单调递减，故()()10f x f <=，()0>g x 恒成立，故不成立；当102a <<时，12a >，故()(102f f a<=，()0>g x 恒成立，故不成立； 当12a ≥时，设()()()F x f x g x =-， 则()()()212222111111121'20x x x x F x ax e x x x x x x x x x x--+-=-+->-+-=-+=>， 故()()()()10F x f x g x F =->=恒成立. 综上所述：12a ≥. 【点睛】本题考查了函数单调性，函数零点问题，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。
天津市静海区静海区第一中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学试题(解析版)
静海一中2019-2020第一学期高三数学（12月）学生学业能力调研试卷一、选择题:（每小题5分，共45分）1.已知全集为R ，集合{}1,0,1,2,3A =-，201x B x x ⎧⎫-=≥⎨⎬+⎩⎭，则A B 元素个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】求出集合B ，利用交集的定义求出A B ，即可得到A B 元素个数【详解】由201x B xx ⎧⎫-=≥⎨⎬+⎩⎭，可得：()[)B=,12,-∞-⋃+∞，所以{}=2,3A B ⋂，即A B 元素个数为2，故答案选B【点睛】本题考查分式不等式的解法以及集合交集的定义，属于基础题． 2.设23342,log 5,log 5a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. a c b <<B. a b c <<C. b c a <<D. c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】先根据1来分段，然后根据指数函数性质，比较出,,a b c 的大小关系. 【详解】由于203221-<=，而344log 5log 5log 41>>=，故a c b <<，所以选A.【点睛】本小题主要考查指数函数的单调性，考查对数函数的性质，考查比较大小的方法，属于基础题.3.已知：1:12p a -<<，[]:1,1q x ∀∈-，220,x ax --<则p 是q 成立的（ ） A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件C. 充分必要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件【答案】A 【解析】 【分析】构造函数()22f x x ax =--，先解出命题q 中a 的取值范围，由不等式()0f x <对[]1,1x ∀∈-恒成立，得出()()1010f f ⎧-<⎪⎨<⎪⎩，解出实数a 的取值范围，再由两取值范围的包含关系得出命题p 和q 的充分必要性关系．【详解】构造函数()22f x x ax =--，对[]1,1x ∀∈-，()0f x <恒成立，则()()110110f a f a ⎧-=-<⎪⎨=--<⎪⎩，解得11a -<<，()1,11,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭Q Ü，因此，p 是q 的充分但不必要条件，故选A. 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，一般利用集合的包含关系来判断两条件的充分必要性： （1）A B Ü，则“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件； （2）A B Ý，则“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件； （3）A B =，则“x A ∈”是“x B ∈”的充要条件；（4）A B ⊄，则“x A ∈”是“x B ∈”的既不充分也不必要条件．4.设直线:340l x y a ++=，圆22:(2)2C x y -+=，若在圆C 上存在两点P ，Q ，在直线l 上存在一点M ，使得90PMQ ∠=︒，则a 的取值范围是（ ）．A. [18,6]-B. [6-+C. [16,4]-D. [66---+【答案】C【解析】 如图：过圆心C 作CE l ⊥交于E ， 过E 作圆C 的切线交圆于F 、G ，FEG ∠是圆心两点与l 上一点形成最大的角，只要90FEG ∠≥︒满足条件，即45FEC ∠≥︒，CF =EF ≤2EC ≤，即625a d +=≤，610a +≤， 164a -≤≤．故选C5.将函数2())sin 2sin 12f x x x x ππ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭图像向左平移ϕ(0)ϕ>个单位后图像关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则ϕ的值可能为（ ） A.6π B.34π C.712π D.23π 【答案】B 【解析】 【分析】先将函数化简整理，再向左平移，根据平移后图像关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，列出等式，即可得出结果. 【详解】由题意可得：2())sin 2sin 12cos 22sin(2)26f x x x x x x x πππ⎛⎫=-++-=-=- ⎪⎝⎭，将函数()f x 图像向左平移ϕ个单位后，得到2sin(22)6y x πϕ=-+，又平移后图像关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称， 所以22,36k k Z ππϕπ⨯-+=∈，因此,42k k Z ππϕ=-+∈，又因为0ϕ>，所以0,42k k Z ππ-+>∈，即1,2k k Z >∈， 当2k =时，34πϕ=.故选B【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，以及已知对称中心求参数的问题，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.6.过抛物线24y x =焦点F 的直线与双曲线221(0)y x m m-=>的一条渐近线平行，并交抛物线于,A B 两点，若|||AF BF >且||3AF =，则m 的值为（ ）A. 8B.C.D. 4【答案】A 【解析】 【分析】设A （x 0，y 0），根据抛物线的定义可得x 0，y 0，代入直线AB 的方程，求出m 的值即可. 【详解】抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为（1，0），准线方程为x 1=-，双曲线x 22y m-=1的一条渐近线方程为y ，不妨设直线AB 为y （x 1-），设A （x 0，y 0），则|AF |＝x 013+=，∴x 0＝2，又∵2004y x =且|AF |＞|BF |，∴y 0>0，∴y 0＝=，代入y x 1-）， 解得m ＝8， 故选A ．【点睛】本题考查了直线和抛物线的关系，以及抛物线的定义和双曲线的性质，属于中档题． 7.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且1453,23n n n S S a a a +=+++=，则8S =（ ）． A. 72 B. 88C. 92D. 98【答案】C 【解析】试题分析：1133n n n n n S S a a a ++=++⇒-=⇒{}n a 为等差数列，公差为3，所以由4523a a +=得118127231,8873922a d a S +=⇒==+⨯⨯⨯=，选C.考点：等差数列定义8.某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科.学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为（ ） A. 6 B. 12C. 18D. 19【答案】D 【解析】 【分析】 首先求出事件对立事件，然后用减法求解.【详解】从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中任选三科的方法有3620C =种方法，从物理、政治、历史三科中至少选考一科的对立事件是一科都不选，即从剩下的三科选三科，共1种方法，所以学生甲的选考方法种数有20-1=19种方法. 故选：D【点睛】本题考查组合问题，意在考查转化与计算，属于基础题型.9.已知函数21(0)()21(0)x xx f x ex x x ⎧+≥⎪=⎨⎪++<⎩，若函数(())1y f f x a =--有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1(11)(23]e，，+⋃ B. 11(11)(23]3ee ⎧⎫+⋃⋃+⎨⎬⎩⎭，， C. 11(11)[23)3ee ⎧⎫+⋃⋃+⎨⎬⎩⎭，， D. 2(11)(23]e+⋃，， 【答案】B 【解析】【详解】该题属于已知函数零点个数求参数范围的问题，解决该题的思路是转化为方程解的个数来完成，需要明确函数图象的走向，找出函数的极值，从而结合图象完成任务.详解：(())10f f x a --=，即(())1f f x a -=，结合函数解析式，可以求得方程()1f x =的根为2x =-或0x =，从而得到()2f x a -=-和()0f x a -=一共有三个根，即(),()2f x a f x a ==-共有三个根，当0x ≥时，()11x x f x e =+>，21'()x x xx e xe x f x e e--==，从而可以确定函数()f x 在(,1)-∞-上是减函数，在(1,1)-上是增函数，在(1,)+∞上是减函数，且1(1)0,(1)1f f e-==+，此时两个值的差距小于2，所以该题等价于20111a a e -<⎧⎪⎨<<+⎪⎩或2011a a e -=⎧⎪⎨=+⎪⎩或2001a a -=⎧⎨<≤⎩或02111a a e <-≤⎧⎪⎨>+⎪⎩或12111a ea e ⎧-=+⎪⎪⎨⎪>+⎪⎩，解得111a e <<+或23a <≤或13a e=+，所以所求a 的范围是11(1,1)(2,3]3e e ⎧⎫++⎨⎬⎩⎭，故选B.点睛：解决该题的关键是明确函数图象的走向，利用数形结合，对参数进行分类讨论，最后求得结果，利用导数研究函数的单调性显得尤为重要.二、填空题：（每小题5分，共30分）10.i 是虚数单位，则51ii+-的值为_____________．【解析】 【分析】 首先化简复数51ii+-，然后求复数的模. 【详解】()()()()51546231112i i i iz i i i i ++++====+--+23z i ∴=+==【点睛】本题考查复数的化简和计算，意在考查基本的计算能力，属于基础题型.11.已知正三棱柱的所有顶点都在球O 的球面上，且该正三棱柱的底面边长为2O 的表面积为________． 【答案】253π 【解析】 【分析】首先判断正三棱柱外接球的球心，即上下底面正三角形中心连线的中点，然后构造直角三角形求半径，代入公式24S R π=求解.【详解】如图：设1O 和2O 分别是上下底面等边三角形中心，由题意可知12O O 连线的中点O 就是三棱柱外接球的球心，连接2,OA OO ，ABC ∆是等边三角形，且2AB =，2AO ∴=，2OO =2222253212R AO ⎛⎛⎫∴==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴球O 的表面积22543S R ππ==.故答案为：253π 【点睛】本题考查求几何体外接球的表面积的问题，意在考查空间想象能力和转化与化归和计算能力，属于基础题型.12.已知,m n 为正实数，则当nm =__________时922m n m n m++取得最小值. 【答案】1 【解析】题中所给的代数式即：92921115212m n n n m n m m m ⎛⎫+=+⨯+-≥= ⎪+⎝⎭+⨯，当且仅当92112nn m m=⨯++⨯即1nm=时等号成立.故答案为1.13.已知函数2019()20192019log )2x x f x x -=-++，则关于x 不等式()(23)4f x f x +->的解集为_______． 【答案】(,1)-∞ 【解析】 【分析】设()())2019220192019log xxg x f x x -=-=-+，判断函数()g x 的奇偶性和单调性，将不等式()(23)4f x f x +->，转化为()()32g x g x >-，利用函数性质解不等式. 【详解】设()())2019220192019log xxg x f x x -=-=-+()())2019220192019log x x g x f x x --=--=-+ ，()()0g x g x +-= ，∴函数()()2g x f x =-奇函数，且()())2019220192019log xxg x f x x -=-=-+在()0,∞+单调递增，()00g =，()()2g x f x ∴=-在R 上是单调递增函数，且是奇函数()()234f x f x ∴+->()()()2232232f x f x f x ⇒->--+=---⎡⎤⎣⎦ ，即()()()2332g x g x g x >--=-，32x x ∴>-，解得：1x <，∴ 解集为(),1-∞.故答案为：(),1-∞【点睛】本题考查构造函数，利用函数的性质解抽象不等式，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型.14.如图，在平行四边形ABCD 中，3∠=πBAD ，2=AB ，1=AD ，若M ，N 分别是边AD ，CD 上的点，且满足==MD NCλAD DC，其中[]0,1∈λ，则⋅AN BM 的取值范围是______．【答案】[]3,1-- 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，作DH AB ⊥，求得点的坐标，由点的坐标可得522AN AD DD λ⎛∴=+=-⎝⎭，()11,22BM λ⎛=- ⎝⎭，利用平面向量数量积的坐标运算和二次函数求值域的方法可得AN BM ⋅的取值范围.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，作,,13DH AB BAD AD π⊥∠==，1,2AH DH ∴==()()510,0,2,0,,,,2222A B C D ⎛⎫⎛∴ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，()(),1,1MD NCAM AD DN DC AD DCλλλ==∴=-=-，()()()1351,12,02,2222AN AD DD AD DC λλλ⎛⎫⎛∴=+=+-=+-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，同理可得：()1BM AM AB AD AB λ=-=-- ()112λ⎛=- ⎝⎭ ()2,0- 3122λ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，5312,,222222AN BM λλ⎛⎛⎫∴⋅=-⋅--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22113324λλλ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭. [][]21130,1,3,124AN BM λλ⎛⎫∈∴⋅=+-∈-- ⎪⎝⎭.故AN BM ⋅的取值范围是[]3,1--.【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．15.定义域为R 的函数()f x 满足(2) 4 ()f x f x +=，当[0,2)x ∈时，2,[0,1)()1),[1,2)x x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨+∈⎪⎩，若[2,0)x ∈-时，对任意的[1,2)t ∈都有2()168t af x t≥-成立，则实数a 的取值范围是______． 【答案】[6,)+∞ 【解析】 【分析】首先求出当[)0,2x ∈时，函数的最小值14-，再根据条件可得()()124f x f x =+，从而确定[)2,0x ∈-时，函数的最小值116-，转化为2116816t a t -≤-，再根据参变分离可得322a t t ≥+ [1,2)t ∈时恒成立，即()32max2a t t ≥+，转化为求函数()32g t t t =+的最大值. 【详解】当[)0,2x ∈时，2,[0,1)()1),[1,2)x x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨+∈⎪⎩，[)0,1x ∈时，()221124f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， 函数的最小值是14-， 当[)1,2x ∈时，()()1f x x =+，函数是单调递增函数，函数的最小值是()122f ==，∴当[)0,2x ∈时，()f x 的最小值是14-. 由题意可得()()124f x f x =+， 当[)2,0x ∈-时，[)20,2x +∈，[)2,0x ∴∈-时，函数的最小值是116-，当[)2,0x ∈-时，对任意的[1,2)t ∈都有2()168t af x t≥-成立， 即2116816t a t -≤-成立， 整理为：322a t t ≥+ [1,2)t ∈时恒成立， 令()32g t t t =+，()2320g t t t '=+≥恒成立，当[1,2)t ∈时，∴函数()g t 在[1,2)t ∈上是单调递增函数，()()max 212g t g ==，即2126a a ≥⇒≥，∴a 的取值范围是[)6,+∞.故答案为：[)6,+∞【点睛】本题考查分段函数的应用和函数性质的综合问题，意在考查转化与变形和计算能力，属于中档题型，本题的关键是利用条件转化为()()124f x f x =+，求[)2,0x ∈-时的最小值. 三、解答题：（本大题共4小题，共55分）16.ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，)(sin )sin A B B B A +=+.（Ⅰ）已知cos 3C =，3a =，求sin B 与b 的值； （Ⅱ）若0,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且4cos()5A B -=，求sin B .【答案】（Ⅰ）sin B =1b =+ 【解析】 【分析】（Ⅰ）先由)(sin )sin A B B B A +=化简整理得到sin A A =，求出3A π=，再由cos 3C =求出sin C ，根据sin sin()B A C =+求出sin B ，再由正弦定理，即可求出结果；（Ⅱ）先由4cos()5A B -=结合题中条件，求出3sin()5A B -=，再由sin sin(())B A A B =--展开，即可求出结果.【详解】)(sin )sin A B B B A +=+得cos sin sin sin sin A B A B B A B A =+，故sin A A =，因为(0,)A π∈，且cos 0A ≠，所以tan A =3A π=.因为cos 3C =，(0,)C π∈，所以sin 3C = 因此sin sin()sin cos cos sin B A C A C +A C =+=123236=⋅+⋅=， 由正弦定理知：sin sin b aB A=，即1b =+（Ⅱ）因为0,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0,33A B B ππ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭，又4cos()5A B -=， 所以3sin()5A B -=， 所以sin sin(())sin cos()cos sin()B A A B A A B A A B =--=---=【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理、两角和与差的正弦公式等即可，属于常考题型.17.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，12a =且14n n n S a a +=⋅，()*n N ∈，数列{}n b 中，114b =，且()*1(1)nn nnb b n N n b +=∈+-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12332n nnb ac +=，求{}n c 的前n 项和n T ；（3）证明：对一切*n N ∈，()221322321i Ia na i -=⋅<-∑【答案】（1）1q =或2q =-；（2）1(31)(2)9nn n S -+-=；（3）见解析【解析】 【分析】（1）当2n ≥时，构造114n n n S a a --=⋅，变形为114n n a a +--=，再求数列的通项公式；（2）由已知变形为()1111111n n n b nb n n +⎡⎤-=--⎢⎥++⎣⎦，利用累加法求数列{}n b 的通项公式，然后再求数列{}n c 的通项公式，利用错位相减法求和；（3）()2213221i Ia na i -=⋅-∑表示求数列()22223221n n -⎧⎫⋅⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭的前n 项和，然后将通项放缩为2n ≥时，()()()()2212211232343411414141412141n n n n n n n nn----⋅⋅⋅=<=-------，然后利用裂项相消法求和.【详解】（1）1n =时，可得24a =，2n ≥时，14n n n S a a +=⋅，114n n n S a a --=⋅，两式相减，得()114n n n n a a a a +-=- ，0n a ≠，114n n a a +-∴-=，∴数列{}n a 的奇数项和偶数项分别成以4为公差的等差数列，当21n k =-，*k N ∈时，()()21114422212n k a a a k k k n -==+-⨯=-=-=， 当2n k =，*k N ∈时，()221442n k a a a k k n ==+-⨯== ，2n a n ∴=，*k N ∈.（2） ()*1(1)nn nnb b n N n b +=∈+-,1111n n n b nb n ++∴=- ，即()()111111n n n b nb n n +=-++ ，整理为：()1111111n nn b nb n n +⎡⎤-=--⎢⎥++⎣⎦， 21111122b b ⎛⎫∴-=-- ⎪⎝⎭， 3211113223b b ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭ ， 4311114334b b ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， …………………………,()1111111n n nb n b n n -⎡⎤-=--⎢⎥--⎣⎦，2n ≥时， 这1n -个式子相加可得11111n nb b n ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭ ， 131n b n ∴=+，当1n =时，111314b ==+成立， 131n b n ∴=+，1231213333nn n b ++=+=+， 1222n n nn n c +∴== ， 23123......2222n n n T =++++，12n T = 231121 (2222)n n n n+-++++ ， 两式相减可得：23111111 (222222)n n n nT +=++++-111112212212n n n n T +⎛⎫- ⎪⎝⎭=-- ，222n nn T +∴=-（3）()2213221i Ia na i -=⋅-∑表示求数列()22223221n n -⎧⎫⋅⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭的前n 项和，设前n 项和为n T ， 当1n =时，1312933T ==<成立， 当2n ≥时，()()()()2212211232343411414141412141n n n n n n n nn ----⋅⋅⋅=<=-------122311111111......3414141414141n n n T -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111212341413413n n ⎛⎫=+-=-< ⎪---⎝⎭. 综上可知23n T <， ∴对一切*n N ∈，()221322321i I a na i -=⋅<-∑.【点睛】本题考查了数列通项公式的求法和数列求和，已知考查转化与化归和计算能力，属于中高档习题，本题的难点是第三问放缩求数列的和，一般数列求和的方法包含1.公式法求和；2.错位相减法求和；3.裂项相消法求和；4.分组转化法求和；5.倒序相加法求和. 18.如图，已知等腰梯形ABCD 中，1//,2,2AD BC AB AD BC E ===是BC 的中点，AE ⋂BD M =，将BAE ∆沿着AE 翻折成1B AE ∆，使平面1B AE ⊥平面AECD ．（Ⅰ）求证：1CD B DM ⊥平面； （Ⅱ）求二面角1D AB E --的余弦值；（Ⅲ）在线段1B C 上是否存在点P ，使得//MP 平面1B AD ，若存在，求出11B PB C的值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）二面角的余弦值为；（Ⅲ）存在点P ，使得//MP 平面1B AD ，且．【解析】【详解】试题分析：（ I ） 根据直线与平面垂直的判定定理，需证明CD 垂直平面1B AD 内的两条相交直线．由题意易得四边形ABED 是菱形，所以EA BD ⊥，从而CD BD ⊥，即1,CD B M CD MD ⊥⊥，进而证得平面．（Ⅱ） 由（ I ）可知，、、两两互相垂直，故可以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求得二面角的余弦值．（Ⅲ）根据直线与平面平行的判定定理，只要能找到一点P 使得PM 平行平面内的一条直线即可．由于12AMCD ，故可取线段1B C 中点P ，1B D 中点Q ，连结,,MP PQ AQ ．则//PQ CD ，且1=2PQ CD ．由此即可得四边形AMPQ 是平行四边形，从而问题得证．试题解析：（ I ） 由题意可知四边形ABED 是平行四边形，所以，故．又因为AB BE =，M 为AE 的中点所以BM AE ⊥， 即.DM AE ⊥又因为//AD BC ， 2.AD CE == 所以四边形ADCE 是平行四边形． 所以//.AE CD 故CD DM ⊥． 因为平面平面， 平面平面，1B M ⊂平面所以平面．1.B M AE ⊥ 因为平面， 所以CD ．因为，、平面，所以平面．（Ⅱ） 以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，，．平面的法向量为． 设平面的法向量为， 因为，，， 令得，．所以， 因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．（Ⅲ） 存在点P ，使得//MP 平面1B AD ．法一: 取线段1B C 中点P ，1B D 中点Q ，连结,,MP PQ AQ ．则//PQ CD ，且1=2PQ CD ． 又因为四边形AECD 是平行四边形，所以//AE CD ．因为M 为AE 的中点，则//AM PQ ．所以四边形AMPQ 是平行四边形，则//MP AQ ． 又因为AQ ⊂平面1AB D ，所以//MP 平面1AB D ．所以在线段上存在点，使得平面，．法二：设在线段上存在点，使得平面，设11B P B C λ=，（），(2,3,0)C ，因为11MP MB B P =+．所以(2)MP λ=． 因为平面， 所以0MP m ⋅=，所以， 解得， 又因为MP ⊄平面，所以在线段上存在点，使得平面，．考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、二面角．19.已知直线220x y -+=经过椭圆C : ()222210x y a b a b+=>>的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线,AS BS 与直线103x =分别交于,M N 两点． （1）求椭圆方程；（2）求线段MN 的长度的最小值；（3）当线段MN 的长度最小时，在椭圆上有两点12,T T ，使得1T SB ∆,2T SB ∆的面积都为15，求直线12T T 在y 轴上的截距．【答案】(1) 2214x y +=；(2) 83 ；(3) 32【解析】 【分析】（1）因为直线过椭圆的左顶点与上顶点，故可解出直线与坐标轴的交点，即知椭圆的长半轴长与短半轴长，依定义写出椭圆的方程即可．（2）引入直线AS 的斜率k ，用点斜式写出直线AS 的方程，与l 的方程联立求出点M 的坐标，以及点S 的坐标，又点B 的坐标已知，故可解 出直线SB 的方程，亦用参数k 表示的方程，使其与直线l 联立，求出点N 的坐标，故线段MN 的长度可以表示成直线AS 的斜率k 的函数，根据其形式选择单调性法或者基本不等式法求最值，本题适合用基本不等式求最值．（3）在上一问的基础上求出的参数k ，则直线SB 的方程已知，可求出线段SB 的长度，若使面积为15，只须点T 到直线BS的距离为4 即可，由此问题转化为研究与直线SB平行且距离为4的直线与椭圆的交点个数问题，求出平行直线l '，即有得到y 轴上的截距．【详解】解（1）由已知得椭圆C 的左顶点A (-2，0)，上顶点D （0，1），得2,1a b ==,故椭圆方程：2214x y +=（2）直线AS 的斜率k 显然存在，且大于0，故设直线AS ：(2)y k x =+， 得1016(,)33k M 由22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222214161640k x k x k +++-= 设11(,)S x y ，则()212164-214k x k -=+，可得2122814k x k-=+ 从而12414ky k =+，即222284,1414k k S k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭B （2，0），直线BS ：1(2)4y x k=-- 1(2)4103y x kx ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得101,33N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，16133k MN k =+，0,k >1618333k MN k =+≥= ，当且仅当14k =时，线段MN 长度最小值83．（3）14k =，直线BS的方程为6420.,55x y S BS ⎛⎫+-=∴= ⎪⎝⎭， 椭圆上有两点使三角形面积为15，则点12,T T 到BS的距离等于4， 设直线12T T ：0x y t ++==132t =-或252t =- ①当132t =-，联立221432x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得251250x x -+=，检验440∆=>，符合题意． ②152t =-，联立221452x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2520210x x -+=，检验200∆=-<，舍去． 综上所述，直线12T T 在y 轴上的截距是32【点睛】本题是解析几何中直线与圆锥曲线位置关系中很复杂的题目，要求答题者拥有较高的探究转化能力以及对直线与圆锥曲线位置关系中特征有较好的理解，且运算能力较强才能胜任此类题的解题工作，这是一个能力型的题，好题．【此处有视频，请去附件查看】20.已知函数()()x f x mx n e -=+（,m n R ∈，e 是自然对数的底数）.（1）若函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为30x ey +-=，试确定函数()f x 的单调区间；（2）①当1n =-，m R ∈时，若对于任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，都有()f x x ≥恒成立，求实数m 的最小值；②当1m n ==时，设函数()()()()x g x xf x tf x e t R -'=++∈，是否存在实数[],,0,1a b c ∈，使得()()()g a g b g c +<？若存在，求出t 的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）()f x 在()0,∞+上单调递减，在(),0-∞上单调递增；（2）①212e +；②存在(),323,2e t e ⎛⎫∈-∞--+∞ ⎪⎝⎭，使得命题成立 【解析】 【分析】（1）利用切线方程可知()21f e =，()11f e'=-，从而构造出方程组求得,m n ，得到()f x 解析式，根据导函数的符号确定()f x 的单调区间；（2）①将问题转化为1x m e x ≥+对任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立；设()1x x e xϕ=+，利用导数求解()m a x x ϕ，可得()m a x m x ϕ≥；②设存在[],,0,1a b c ∈，使得()()()g a g b g c +<，将问题转化为()()()()min max 2g x g x <，利用导数分别在1t ≥，0t ≤和01t <<研究()g x 的最大值和最小值，从而根据最值的关系可求得t 的取值范围.【详解】（1）由题意()()()()2x xxx me mx n e mx m n f x e e -+-+-'== ()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为：30x ey +-=()21f e ∴=，()11f e '=-，即：21m n e e n ee +⎧=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩ 解得：1m =，1n = ()1x xf x e +∴=，()x x f x e'=- 当0x >时，()0f x '<，当0x <时，()0f x '>()f x ∴在()0,∞+上单调递减，在(),0-∞上单调递增（2）①由1n =-，m R ∈，1x mx x e -≥，即：1x m e x≥+ 对任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，都有()f x x ≥恒成立等价于1x m e x ≥+对任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立 记()1x x e x ϕ=+，()21x x e xϕ'=- 设()21xh x e x =- ()320x h x e x '∴=+>对1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立()21x h x e x ∴=-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增而1402h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()21204h e =->()21x x e x ϕ'∴=-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点0x 当01,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'<，当()0,2x x ∈时，()0x ϕ'>()x ϕ∴在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在()02x ,上单调递增()x ϕ∴最大值是12ϕ⎛⎫⎪⎝⎭和()2ϕ中的较大的一个()122m m ϕϕ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪∴⎝⎭⎨⎪≥⎩，即2212m m e ⎧≥⎪⎨≥+⎪⎩ 212m e ∴≥+，m ∴的最小值为212e +②假设存在[],,0,1a b c ∈，使得()()()g a g b g c +<，则问题等价于()()()()min max 2g x g x <()()211x x t x g x e +-+= ()()()1x x t x g x e ---'∴=⑴当1t ≥时，()0g x '≤，则()g x 在[]0,1上单调递减()()210g g ∴<，即321te -⋅<，得：312et >-> 3,2e t ⎛⎫∴∈-+∞ ⎪⎝⎭（2）当0t ≤时，()0g x '≥，则()g x 在[]0,1上单调递增()()201g g ∴<，即32te -<，得：320t e <-< (),32t e ∴∈-∞-（3）当01t <<时，当[)0,x t ∈时，()0g x '<；当(],1x t ∈时，()0g x '>，()g x ∴在[)0,t 上单调递减，在(],1t 上单调递增的()()(){}2max 0,1g t g g ∴<，即132max 1,t t t e e +-⎧⎫⨯<⎨⎬⎩⎭……（*） 由（1）知()1t t f t e+=在[]0,1t ∈上单调递减，故142t t e e +⨯≥，而33t e e -< ∴不等式（*）无解综上所述，存在(),323,2e t e ⎛⎫∈-∞--+∞ ⎪⎝⎭，使得命题成立 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到导数的几何意义的应用、研究函数的单调性、恒成立问题的求解.本题的解题关键是能够将问题转化为函数最值之间的关系，从而将恒成立问题进行等价转化，转变为函数最值的求解问题，。
2020年3月天津市静海一中2020届高三下学期学生学业能力(在线)调研考试数学试题及答案
绝密★启用前天津市静海区第一中学2020届高三下学期3月学生学业能力(在线)调研考试数学试题2020年3月考生注意：本次考试收到试卷1:45 考试时间为2:00—3:30 交卷时间截止到3:40请同学们严格按照考试时间作答，并将答题纸拍照上传本试卷分第Ⅰ卷基础题（130分）和第Ⅱ卷提高题（20分）两部分，共150分。
第Ⅰ卷 基础题（共130分）一、选择题: （每小题6分,共42分,每小题只有一个正确选项）1．已知集合{|21}A x x =->,2{|lg(2)}B x y x x ==-,则()R C A B =I （ ） A ．(1,2) B ．[1,2)C ．(2,3)D ．(0,1] 2．已知a R ∈,则“2a >”是“22a a >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知()f x 是定义在R 上的偶函数,且在(],0-∞上是增函数.设()8log 0.2a f =,()0.3log 4b f =,()1.12c f =,则a ,b ,c 的大小关系是（ ） A ．c b a << B ．a b c << C ．a c b << D ．c a b <<4．在平面直角坐标系中,经过点P ,渐近线方程为y =的双曲线的标准方程为（ ）A ．22142-=x yB ．221714x y -=C ．22136x y -=D ．221147y x -= 5．函数1sin 1x x e y x e +=⋅-的部分图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．6．将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度,再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变）,得到函数()g x 的图像,若()g x 为奇函数,则m 的最小值为（ ）A ．9πB ．29πC ．18πD ．24π7．若函数()()()34020a ax ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩x a x f x x x ,有三个不同的零点,则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]1,2 B ．(]2,4 C ．(]3,4 D ．()3,5二、填空题（每小题6分共42分）8．若复数()111i z m i i+=+--（i 为虚数单位）为纯虚数,则实数m 的值为______ 9．在一次医疗救助活动中,需要从A 医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生,且男医生中唯一的主任医师必须参加,则不同的选派案共有________种.(用数字作答)10．过点(4,0)-作直线l ,与圆2224200xy x y ++--=交于,A B 两点, 若8AB =,则直线l 的方程为______________.。
天津市七校(静海一中、宝坻一中、杨村一中等)2019-2020学年高三上学期期中联考数学试题(解析版)
2019～2020学年度第一学期期中七校联考高三数学一、选择题：共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|560}A x x x =-+≤，{|15}B x Z x =∈<<，则AB =（ ） A. [2,3]B. (1,5)C. {2,3}D. {2,3,4} 【答案】C【解析】【分析】解不等式简化集合A 的表示，用列举法表示集合B ，最后根据集合交集的定义求出A B . 【详解】2560(2)(3)023x x x x x -+≤⇒--≤⇒≤≤，{}23A x x ∴=≤≤， 又{}{|15}2,3,4B x Z x =∈<<=，所以{}2,3A B ⋂=，故本题选C.【点睛】本题考查了列举法表示集合、集合交集的运算，正确求解出不等式的解集是解题的关键. 2.若x ＞0＞y ，则下列各式中一定正确的是（ ）A. sinx siny >B. ()lnx ln y <-C. x y e e <D. 11x y> 【答案】D【解析】【分析】举反例否定A,B,C ，根据不等式性质证明D 成立.【详解】∵[]sin πsin πln1ln 1=-=--，,11 e e ->, ∴A,B,C 不正确， ∵x ＞0，∴1x ＞0，∵y ＜0，∴1y ＜0，∴1x ＞1y ． 故选：D ． 【点睛】本题考查比较大小，考查基本分析判断能力，属基本题.3.已知0.21.1a =，0.2log 1.1b =， 1.10.2c =，则（ ）A. a b c >>B. b c a >>C. a c b >>D. c a b >>【答案】C【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【详解】0.20 1.100.20.2a 1.1 1.11,?b log 1.1log 10,?0c 0.20.21=>==<=<=<=,故a c b >> 故选：C【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，熟记指对函数的单调性与底的关系是关键，属于基础题．4.要得到函数4y sin x =-（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象（ ） A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移12π个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3π个单位 【答案】B【解析】因为函数sin 4sin[4()]312y x x ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，要得到函数43y sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数4y sin x =的图象向右平移12π个单位。
2019-2020学年天津市静海一中高三(下)3月调研数学试卷(含答案)
2019-2020学年天津市静海一中高三（下）3月调研数学试卷一、选择题：（每小题6分，共48分。
每小题只有一个正确选项。
)1．（6分）设集合A＝{x|log2x≤1}，集合B＝{x|x2+x﹣2＜0}，则A∪B为（）A．（0，1）B．（﹣2，2]C．（﹣∞，2]D．（﹣2，1）2．（6分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝3，，sin C＝2sin B，则△ABC的周长为（）A．3+2B．C．D．3．（6分）若a＞0，b＞0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（6分）设a＝，b＝，c＝log32，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a5．（6分）已知数列{a n}满足：a1＝1，a n+1＝，则a6＝（）A．16B．25C．28D．336．（6分）函数f（x）＝（3x+3﹣x）•lg|x|的图象大致为（）A．B．C．D．7．（6分）已知函数的图象的一条对称轴为直线，且f（x1）•f（x2）＝﹣4，则|x1+x2|的最小值为（）A．B．0C．D．8．（6分）设F1，F2是双曲线C：﹣＝1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为（）A．B．2C．D．9．（6分）定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）＝f（x）+f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）＝﹣2x2+12x﹣18，若函数y＝f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）二、填空题（每小题6分共24分)10．（6分）已知复数z满足是虚数单位），则|z|＝．11．（6分）如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为．12．（6分）某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到A、B、C三个不同的乡镇中学，现要求甲乙两位名优老师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同的分配方案共有种．13．（6分）《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”现有如图所示的“塹堵”ABC ﹣A1B1C1，其中AC⊥BC，AA1＝AC＝1，当“阳马”即四棱锥B﹣A1ACC1体积为时，则“堑堵”即三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积为．14．（6分）已知a，b均为正数，且a+b＝1，﹣1的最小值为．15．（6分）已知△ABC中，AB＝AC＝3，D为边BC上一点，，，则的值为．三、解答题（46分）16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b sin A＝a cos（B ﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值．17．（15分）正项数列{a n}的前n项和S n满足：S n2﹣（n2+n﹣1）S n﹣（n2+n）＝0（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令b n＝，求数列{b n}的前n项和T n，证明：对于任意的n∈N*，都有T n．18．（15分）如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AE＝AB＝BC＝2AD＝2，四边形EDCF为矩形，．（1）求证：平面ECF⊥平面ABCD；（2）在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由．19．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2＝截得的线段的长为c，|FM|＝．（Ⅰ）求直线FM的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（Ⅲ）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围．20．已知函数f（x）＝ax﹣lnx﹣1（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性并指出相应单调区间；（2）若，设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若，且g（x1）﹣g（x2）≥k恒成立，求实数k的取值范围．。
天津市静海县2019-2020学年第一次高考模拟考试数学试卷含解析
天津市静海县2019-2020学年第一次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在关于x 的不等式2210ax x ++>中，“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】讨论当1a >时，2210ax x ++>是否恒成立；讨论当2210ax x ++>恒成立时，1a >是否成立，即可选出正确答案. 【详解】解：当1a >时，440a ∆=-<，由221y ax x =++开口向上，则2210ax x ++>恒成立； 当2210ax x ++>恒成立时，若0a =，则210x +> 不恒成立，不符合题意，若0a ≠ 时，要使得2210ax x ++>恒成立，则0440a a >⎧⎨∆=-<⎩，即1a > . 所以“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的充要条件. 故选:C. 【点睛】本题考查了命题的关系，考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时，一般分成两步，若p q ⇒，则推出p 是q 的充分条件；若q p ⇒，则推出p 是q 的必要条件. 2．已知命题p ：,x R ∃∈使1sin 2x x <成立． 则p ⌝为（ ） A ．,x R ∀∈1sin 2x x ≥均成立 B ．,x R ∀∈1sin 2x x <均成立 C ．,x R ∃∈使1sin 2x x ≥成立D ．,x R ∃∈使1sin 2x x =成立【答案】A 【解析】试题分析：原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即:p ⌝,sin 2x x x ∀∈≥R ． 考点：全称命题. 3．已知复数z 满足11i z=+，则z 的值为（ ）A ．12B ．C ．2D ．2【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法运算整理已知求得复数z ，进而求得其模. 【详解】因为21111111122i i z i z i i -=+⇒===-+-，所以2z == 故选：C 【点睛】本题考查复数的除法运算与求复数的模，属于基础题.4．已知集合2{|log (1)2},,A x x B N =-<=则A B =I （ ）A ．{}2345，，， B ．{}234，， C ．{}1234，，， D ．{}01234，，，， 【答案】B 【解析】 【分析】解对数不等式可得集合A ，由交集运算即可求解. 【详解】集合2{|log (1)2},A x x =-<解得{}15,A x x =<<,B N =由集合交集运算可得{}{}152,3,4A B x x N ⋂=<<⋂=， 故选：B. 【点睛】本题考查了集合交集的简单运算，对数不等式解法，属于基础题.5．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%【答案】A 【解析】 【分析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比. 【详解】水费开支占总开支的百分比为25020% 6.25%250450100⨯=++.故选：A 【点睛】本题考查折线图与柱形图，属于基础题. 6．复数()(1)2z i i =++的共轭复数为（ ） A ．33i - B ．33i +C ．13i +D ．13i -【答案】D 【解析】 【分析】直接相乘，得13i +，由共轭复数的性质即可得结果 【详解】∵21()()13z i i i =++=+ ∴其共轭复数为13i -. 故选：D 【点睛】熟悉复数的四则运算以及共轭复数的性质.7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2550S =，则1115a a +=（ ） A ．4B ．8C ．16D ．2【答案】A 【解析】 【分析】利用等差的求和公式和等差数列的性质即可求得. 【详解】()1252512511152550442a a S a a a a +==⇒+=⇒+=.故选:A . 【点睛】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质,考查基本量的计算,难度容易.8．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中左视图中三角形为等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是（ ）A ．16πB ．323πC ．6423πD ．205π【答案】C 【解析】 【分析】作出三视图所表示几何体的直观图，可得直观图为直三棱柱，并且底面为等腰直角三角形，即可求得外接球的半径，即可得外接球的体积. 【详解】2的等腰直角三角形，三棱柱的高为4，其外接球半径为22r =(34642223V π=⨯=. 故选：C 【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图、球的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意球心的确定.9．集合{}2,A x x x R =>∈，{}2230B x x x =-->，则A B =I （ ） A ．(3,)+∞ B ．(,1)(3,)-∞-+∞UC ．(2,)+∞D ．(2,3)【答案】A 【解析】 【分析】计算()(),13,B =-∞-+∞U ，再计算交集得到答案. 【详解】{}()()2230,13,B x x x =-->=-∞-⋃+∞，{}2,A x x x R =>∈，故(3,)A B =+∞I .故选：A . 【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.10．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（ ） A ．15︒ B ．30︒C ．45︒D ．60︒【答案】D 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得2l R =即可得圆锥轴截面底角的大小. 【详解】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,则有2222R Rl R R ππππ+=+,解得2l R =,所以圆锥轴截面底角的余弦值是12R l =,底角大小为60︒. 故选：D 【点睛】本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.11．设复数z 满足(1)21z i i ⋅+=+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】【分析】先把(1)21z i i ⋅+=+变形为211i z i+=+，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z ，得到其坐标可得答案. 【详解】解：由(1)21z i i ⋅+=+，得21(21)(1)3311(1)(1)222i i i i z i i i i ++-+====+++-， 所以3122z i =-，其在复平面内对应的点为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限 故选：D 【点睛】此题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 交双曲线的右支于点P ，以双曲线的实轴为直径的圆与直线l 相切，切点为H ，若113F P F H =，则双曲线C 的离心率为（ ）A B ．C ．D 【答案】A 【解析】 【分析】在12PF F ∆中，由余弦定理，得到2||PF ，再利用12||||2PF PF a -=即可建立,,a b c 的方程. 【详解】由已知，1||HF b ===，在12PF F ∆中，由余弦定理，得2||PF ===1133PF HF b ==，12||||2PF PF a -=，所以32b a =，32b a ⇒=e =∴= 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算问题，处理双曲线离心率问题的关键是建立,,a b c 三者间的关系，本题是一道中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2019-2020学年天津市静海一中高三（下）期中数学试卷一、选择题：（每小题5分，共45分，每小题只有一个正确选项.）1.已知2{*|30}A x N x x =∈-+，12{|log 0}B x x =，则AB =( )A. [3，)+∞B. [0，1]C. [1，3]D. {1，2，3}2.设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“2212a a <”是“数列{}n a 为递增数列”的( )A 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )A.516B.1132C.2132D.11164.函数()()cos x x f x e e x -=-⋅在[2-，2]上的图象大致为( )A. B.C. D..5.已知函数22,0()1,02x x x f x x x ⎧--⎪=⎨-+<⎪⎩，113212111(()),(log ),(())233a f b c f ===，则a ，b ，c 大小关系是( )A. a b c <<B. c a b <<C. b a c <<D. b c a <<6.直线240ax by ++=与圆224210x y x y ++++=截得的弦长为4，则22a b +的最小值是( ) A. 3B. 2C.D. 17.关于函数()sin cos ||f x x x =+有下述四个结论：①()f x 的周期为2π；②()f x 在5[0,]4π上单调递增；③函数()1y f x =-在[π-，]π上有3个零点；④函数()f x的最小值为.其中所有正确结论的编号为( ) A. ①④B. ②③C. ①③④D. ②④8.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，过2F 作C 的一条渐近线l 的垂线，垂足为M ，若△12MF F 的面积为24a ，则C 的渐近线方程为( ) A. y x =±B. y =C. 2y x =±D. 4y x =±9.已知函数23,0()3,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是( )A. 1(,1)2B. 1(2，2)C. (1,2)-D. (1,3)-二、填空题（每小题5分，共25分）10.若4212iz i i--=+，则复数z 的虚部为__. 11.二项式12(2x ，则该展开式中的常数项是__.12.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，ABC ∆是等腰三角形，其中2AB BC ==，120ABC ∠=︒，4PA =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为__.13.已知a ，b 均为正数，且1a b +=，则当a =__时，代数式2212a ab+-的最小值为__. 14.在ABC ∆中，已知3AB =，2AC =，120BAC ∠=︒，D 为边BC 的中点.若BE AD ⊥，垂足为E ，则BE AC ⋅的值为__.的三、解答题（共50分）15.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，8a =，2b c -=，1cos 4A =-.（1）求sin B值；（2）求cos(2)6A π+的值.16.某地有A 、B 、C 、D 四人先后感染了新冠状病毒，其中只有A 到过疫区 （1）如果B 、C 、D 受到A 感染的概率分别为12，那么B 、C 、D 三人中恰好有一人感染新冠状病毒的概率是多少？（2）若B 肯定受A 感染，对于C ，因为难以判断他是受A 还是受B 感染，于是假定他受A 和受B 感染的概率都是12，同样也假设D 受A 、B 和C 感染的概率都是13，在这种假定之下，B 、C 、D 中直接受A 感染的人数X 为一个随机变量，求随机变量X 的分布列和均值（数学期望）.17.如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥平面ABCD .（1）求证：//DF 平面ABE ； （2）求二面角B EF D --的正弦值；（3）在线段BE 上是否存在点P ，使得直线AP 与平面BEF 所成角的正弦值为6若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由.18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点(c,0)F ，右顶点为A ，点P 是椭圆上异于点A 的任意一点，APF ∆. （1）求椭圆C 的离心率；的.的（2）设经过点F 且斜率为34-的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为Q ，圆B 同时与x 轴和直线l 相切，圆心B 在直线4x =-上，且//OB AQ ，求椭圆C 的方程.19.已知数列{}n a 是公差为1的等差数列，{}n b 是单调递增的等比数列，且235a a a +=，4124a b b =-，335b a a =+.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设2222(1)(1)nn n n b c b b +=--，数列{}n c 的前n 项和n S ，求n S ；（3）若数列1{}n nna b a +的前n 项积为n T ，求n T . （4）数列{}n d 满足11d =，11,22,2k k n kk n d b n +⎧<<=⎨=⎩，其中*k N ∈，*n N ∈，求21ni i i a d =∑. （5）解决数列问题时，经常需要先研究陌生的通项公式，只有先把通项公式研究明白，然后尽可能转化为我们熟悉的数列问题，由此使问题得到解决.通过对上面（2）（3）（4）问题的解决，你认为研究陌生数列的通项问题有哪些常用方法，要求介绍两个. 20.设函数21(),()x ef x ax a lnxg x x e=--=-，其中a R ∈， 2.71828e =⋯为自然对数的底数. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当1x >时，证明：函数()g x 无零点；（3）确定a 的所有可能取值，使得()()f x g x >在区间(1,)+∞内恒成立.（4）数学题目虽然千变万化，有很多形式虽然陌生新颖，但仔细分析其条件后又可以转换为若干熟悉的老问题，使新问题得以解决.因此，会将新问题转化为老问题的思想方法是学好数学的重要方法之一.下面你将问题（3）中的条件“()()f x g x >在区间(1,)+∞内恒成立”变化为两种新形式（不作解答）.2019-2020学年天津市静海一中高三（下）期中数学试卷一、选择题：（每小题5分，共45分，每小题只有一个正确选项.）1. D2. B3. A4. C5. C6. B7. A8. D9. C二、填空题（每小题5分，共25分）10.【答案】1- 11.【答案】 12.【答案】32π13.【答案】 (1). (2). 14.【答案】三、解答题（共50分）15. （1）由1cos 4A =-，∴可得sin A =8a =，2b c -=，1cos 4A =-，∴由22642cos 2b c bc A b c ⎧=+-⎨-=⎩，可得：64b c =⎧⎨=⎩，∴由sin sin b a B A=，可得：sin B =.（2）27cos22cos 1,sin 22sin cos 8A A A A A =-=-==∴71cos(2)cos2cos sin 2sin ()(66682A A A πππ+=-=-⨯16.（1）B 、C 、D 三人中恰好有一人感染新冠状病毒的概率是1123113()()228P C =⋅⋅=.（2）B 一定被感染，∴主要考虑C 和D 的感染情况，∴随机变量X 的可能取值为1，2，3，111(1)(1)(1)233P X ==-⨯-=，11111(2)(1)(1)23232P X ==⨯-+-⨯=，111(3)236P X ==⨯=， X ∴的分布列为∴数学期望11111()1233266E X =⨯+⨯+⨯=.17. （1）证明：四边形EDCF矩形，DE CD ∴⊥，又平面EDCF ⊥平面ABCD ，平面EDCF⋂平面ABCD CD =，ED ∴⊥平面ABCD .取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系， 如图，则(1A ，0，0)，(1B ，2，0)，(1C -，2，0)，(0E ，0，2)，(1F -，2，2)， 设平面ABE 的法向量(m x =，y ，)z ， (1BE =-，2-，2)，(0AB =，2，0)，由22020m BE x y z m AB y ⎧⋅=--+=⎨⋅==⎩，取1z =，得(2m =，0，1)，又(1DF =-，2，2)，∴0DF m =，∴DF m ⊥， 又DF ⊂/平面ABE ，//DF ∴平面ABE ；（2）(0D ，0，0)，(0DE =，0，2)，(1DF =-，2，2)，(1BE =-，2-，2)，(2BF =-，0，2)， 设平面BEF 的法向量(n a =，b ，)c ，则220220n BE a b c n BF a c ⎧⋅=--+=⎨⋅=-+=⎩，取1a =，得(1n =，12，1)，设平面DEF 的法向量(p m =，n ，)t ， 则20220p DE t p DF m n t ⎧⋅==⎨⋅=-++=⎩，取1n =，得(2p =，1，0)，设二面角B EF D --的平面角为θ，则5||2cos ||||954n p n p θ⋅===⋅ ∴二面角B EF D --的正弦值2sin3θ=.（3）假设在线段BE 上存在点P ，使得直线AP 与平面BEF 设1(P x ，1y ，1)z ，BP BE λ=，则1(1x -，12y -，1)(1z λ=-，2-，2)， 解得11x λ=-，122y λ=-，12z λ=，(1P λ∴-，22λ-，2)λ， 平面BEF 的法向量(1n =，12，1)，(AP λ=-，22λ-，2)λ， 直线AP 与平面BEF∴||||||9n AP n AP ⋅==⋅，解得29λ=或23λ=， 3BE =，23BP ∴=或2BP =.18.（1）当点P 位于椭圆的上或下顶点时，APF ∆的面积最大，此时有1()2APFS b a c ∆=-=，即)b a c =-，222b a c =-，2223()a c a c ∴-=-，得2a c =或a c =（舍)，∴离心率12c e a ==. 故椭圆C 的离心率为12. （2）由题可知，直线l 的方程为3()4y x c =--，椭圆的方程为2222143x y c c+=，联立22223()4143y x c x y c c ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2276130x cx c --=，解得x c =-或137c ， 当x c =-时，32y c =；当137x c =时，9014cy =-<，∴点Q 的坐标为3(,)2c c -.点B 在直线4x =-上，∴可设点B 为(4,)m -， 又//OB AQ ，(,0)A a ，OBAQ k k ∴=即33122422c c m c a c c -===-----，2m ∴=，点(4,2)B -. 圆B 同时与x 轴和直线l 相切，2d ∴=3|(4)2|2c ----=，解得24c =，故椭圆C 的方程为2211612x y +=.19.（1）235a a a +=，则11234a a +=+，解得11a =，故n a n =，4124a b b =-，即1144b q b =-，335218b b q a a =+==，解得2q 或4q =-（舍去），12b =，故2n n b =.（2）222222222222111()(1)(1)(21)(21)32121n n n n n n n n n b c b b +++===------- 故222221*********()()3315156321213321n nn n S ++=-+-+⋯+-=----. （3）1(1)2nn n n a b n a n++=， 故(1)22231222(1)212n n nn n T n n++=⨯⨯⨯⨯⋯⨯⨯=+；（4）222111111(12)21412(21)2424221412n n nn n n nnnniiiii i i i i i i i a d i i ======+--=+-=+-=+---∑∑∑∑∑∑， 即21113242623nn n i i i a d ==⋅-⋅+∑. 20.（1）2()f x ax a lnx =--，(0,)x∈+∞.2121()2ax f x ax x x-'=-=. 当0a 时，()0f x '<，∴函数()f x 在(0,)x ∈+∞上单调递减.当0a >时，由()f x '=∴函数()f x 在x ∈上单调递减，)+∞上单调递增.综上可得：当0a 时，函数()f x (0,)x ∈+∞上单调递减.当0a >时，函数()f x 在x ∈上单调递减，，)+∞上单调递增. （2）证明：当1x >时，要证明：函数()g x 无零点.即可证明：()0>g x ，即证明xe e x>.令()xe h x x=，(1,)x ∈+∞.2(1)()0x e x h x x -'=>，∴函数()h x 在(1,)x ∈+∞上单调递增，()h x h ∴>（1）e =.∴当1x >时，()0>g x ，因此当1x >时，函数()g x 无零点.（3）解：()()f x g x >化为：2110xax a lnx e x----+>. 令211()xu x ax a lnx e x-=---+，(1,)x ∈+∞.可得0a >. u （1）0=，1122111()220x x x u x ax e ax e xxx---∴'=-+-=+-在(1,)x ∈+∞恒成立.令121()2xx v x ax e x --=+-， 11233122()22xx x v x a e a e x x x ---'=+-+=++， 当2x 时，()0v x '>. 令32()x x x ϕ-=，426()x x x ϕ-+'=. 函数()x ϕ在[1，2)上单调递增. ()v x ∴的最小值为v （1）21a =-. 10x e ->.12x ∴<<时，()0v x '>.综上可得：1x >时，()0v x '>.()v x 在(1,)x ∈+∞上单调递增. ()u x u ∴'>'（1）0，即()u x 在(1,)x ∈+∞上单调递增.210a ∴-，解得12a. （4）变化①：12a时，证明()()f x g x >在区间(1,)+∞内恒成立. 变化②：()()f x g x >在区间(1,)+∞内恒成立，求实数a 的取值范围.。