七年级数学 线段上的动点问题

专训2线段上的动点问题

名师点金：解决线段上的动点问题一般需注意：（1）找准点的各种可能的位置；（2）通常可用设元法，表示出移动变化后的线段的长（有可能是常数，那就是定值），再由题意列方程求解.

线段上动点与三等分点问题的综合

1.如图，在射线OM上有三点A、B、C，满足OA＝20 cm，AB＝60 cm，BC＝10 cm，点P从点O出发，沿OM方向以1 cm/s的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动（点Q运动到点O时，P、Q均停止运动），两点同时出发.

（1）当PA＝2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，求点Q的运动速度.

（2）若点Q运动速度为3 cm/s，经过多长时间P、Q两点相距70 cm.

（第1题）

线段上动点问题中的存在性问题

2.如图，已知数轴上A，B两点对应的数分别为－2，6，O为原点，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x.

（第2题）

（1）PA＝，PB＝（用含x的式子表示）.

（2）在数轴上是否存在点P，使PA＋PB＝10？若存在，请求出x的值；若不存在，请

说明理由.

（3）点P 以1个单位长度/s 的速度从点O 向右运动，同时点A 以5个单位长度/s 的速度向左运动，点B 以20个单位长度/s 的速度向右运动，在运动过程中，M ，N 分别是AP ，

OB 的中点，问：AB －OP MN

的值是否发生变化？请说明理由.

线段和差倍分关系中的动点问题

3.如图，线段AB ＝24，动点P 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB 运动，M 为AP 的中点，设P 的运动时间为x 秒.

（1）当PB ＝2AM 时，求x 的值.

（2）当P 在线段AB 上运动时，试说明2BM －BP 为定值.

（3）当P 在AB 延长线上运动时，N 为BP 的中点，下列两个结论：①MN 长度不变；②MA ＋PN 的值不变.选择一个正确的结论，并求出其值.

（第3题）

线段上的动点的方案问题

4.情景一：如图，从教学楼到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题.

（第4题）

情景二：如图，A，B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由.【导学号：53482030】

答案

1．解：(1)①当点P 在线段AB 上时，由PA ＝2PB 及AB ＝60，可求得PA ＝40，OP ＝60，故点P 运动时间为60 s .

当AQ ＝AB 3时，BQ ＝40，CQ ＝50，点Q 的运动速度为50÷60＝56

(cm /s )； 当BQ ＝AB 3时，BQ ＝20，CQ ＝30，点Q 的运动速度为50÷60＝12

(cm /s )． ②当点P 在线段AB 延长线上时，由PA ＝2PB 及AB ＝60，可求得PA ＝120， OP ＝140，故点P 运动时间为140 s .

当AQ ＝AB 3时，BQ ＝40，CQ ＝50，点Q 的运动速度为50÷140＝514

(c m /s )； 当BQ ＝AB 3时，BQ ＝20，CQ ＝30，点Q 的运动速度为30÷140＝314

(cm /s )． (2)设运动时间为t s ，则t ＋3t ＝90±70，t ＝5或40，

因为点Q 运动到O 点时停止运动，

所以点Q 最多运动30 s ，故经过5 s 两点相距70 cm .

2．解：(1)|x ＋2|；|x －6|

(2)分三种情况：

①当点P 在A ，B 之间时，PA ＋PB ＝8，故舍去；

②当点P 在B 点右边时，PA ＝x ＋2，PB ＝x －6，

因为(x ＋2)＋(x －6)＝10，所以x ＝7；

③当点P 在A 点左边时，PA ＝－x －2，PB ＝6－x ，

因为(－x －2)＋(6－x)＝10，所以x ＝－3.

综上，当x ＝－3或7时，PA ＋PB ＝10.

(3)AB －OP MN

的值不发生变化． 理由如下：设运动时间为t s ，

则O P ＝t ，OA ＝5t ＋2，OB ＝20t ＋6，AB ＝OA ＋OB ＝25t ＋8，

AB －OP ＝24t ＋8，AP ＝OA ＋OP ＝6t ＋2，AM ＝12

AP ＝3t ＋1， OM ＝OA －AM ＝5t ＋2－(3t ＋1)＝2t ＋1，ON ＝12

OB ＝10t ＋3，

所以MN ＝OM ＋ON ＝12t ＋4.所以AB －OP MN ＝24t ＋812t ＋4

＝2. 3．解：(1)当点P 在点B 左边时，PA ＝2x ，PB ＝24－2x ，AM ＝x ，所以24－2x ＝2x ，即x ＝6；当点P 在点B 右边时，PA ＝2x ，PB ＝2x －24，AM ＝x ，所以2x －24＝2x ，方程无解．综上可得，x 的值为6.

(2)当P在线段AB上运动时，BM＝24－x，BP＝24－2x，所以2BM－BP＝2(24－x)－(24－2x)＝24，即2BM－BP为定值．

(3)①正确．当P在AB延长线上运动时，PA＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x－24，PN＝1

2PB＝x－12，

所以①MN＝PM－PN＝x－(x－12)＝12.

所以MN长度不变，为定值12.

②MA＋PN＝x＋x－12＝2x－12，

所以MA＋PN的值是变化的．

4．解：情景一：横穿草坪是为了所走路程最短．因为两点之间的所有连线中，线段最短；

情景二：连接AB，交l于点P，如图．

(第4题)

理由：两点之间的所有连线中，线段最短．