传热学知识点 (2)

Re 数，称为临界 Re 数，记为 Re c ，其值为 2,300。一般认为， Re 大于 10,000 后为旺盛湍流，
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而
2,300 ≤ Re ≤ 10,000 的范围为过渡区。
管子壁面上的热边界层和热边界层均有一个从零开始增长直到汇合与管子中心线的过 程， 当流动边界层及热边界层汇合于管子中心线后称流动或换热已经充分发展， 此后的换热 强度将保持不变，从进口到充分发展段之间的区域称为入口段。 实验研究表明，层流时入口段长度由下式确定：
∆x = ∆y
*
t m ,n =
3∆x φ 2 ∆xq w 1 m ,n ( 2t m −1, n + 2t m ,n +1 + t m , n −1 + t m +1,n + + ) 6 2λ λ
2
qw = h(t f − t m ,n )
*
2(
h∆x + 3)t m ,n = 2(t m −1,n + t m ,n +1 ) + t m +1,n + t m ,n −1 + λ
l ≈ 0.05Re Pr d l > 60 而湍流时，只要 d ，则平均表面传热系数就不受入口段的影响。
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传热学就是研究由温差引起的热能传递规律的科学。 热能的传递有三种基本方式：热传导、热对流与热辐射。 物体各部分之间不发生相对位移时， 依靠分子、 原子及自由电子等微观粒子的热运动而 产生的热能传递称为热传导，简称导热。 傅立叶定律又称导热基本定律：
q=
φ dt = −λ A dx
q = h∆t 或 φ = hA∆t
物体通过电磁波来传递能量的方式称为辐射。 物体之间以辐射方式进行的热量传递，称为辐射传热，也常称为辐射换热。 所谓绝对黑体，是指能吸收投入到其表面上的所有热辐射能量的物体，简称黑体。 斯忒藩—波耳兹曼定律：
φ = AσT 4
热量由壁面一侧的流体通过壁面传到另一侧流体中去的过程称为传热过程。
k=
1 1 δ 1 + + h1 λ h2
1 1 δ 1 = + + Ak Ah1 Aλ Ah2
物体中存在温度的场，称为温度场，它是各个时刻物体中各点温度所组成的集合，又称 为温度分布。 稳态工作条件下的温度场， 此时物体中各点的温度不随时间而变， 称为稳态温度场或定 常温度场；当工作条件变动时，温度分布随时间而变的温度场，称为非稳态温度场，亦称为 非定常温度场或瞬态温度场。 温度场中同一瞬间相同温度各点连成的面称为等温面。 在任何一个二维的截面上等温面 表现为等温线。 为了获得导热物体温度场的数学表达式， 必须根据能量守恒定律和傅立叶定律来建立物 体中的温度场应当满足的变化关系式，称为导热微分方程。 笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方程：
( i +1) (i) (i ) (i ) tn = Fo∆ (t n +1 + t n −1 ) + (1 − 2 Fo∆ )t n
λ
(i ) (i ) ( i +1) (i ) tN − tn ∆x t ห้องสมุดไป่ตู้ (i ) −1 − t N + h (t f − t N ) = ρc ∆x 2 ∆τ
( i +1) (i) tN = tN (1 −
单位时间内通过某一给定面积的热量称为热流量（ φ ） 。单位时间内通过单位面积的热 流量称为热流密度[或者面积热流量]（ q ） 。 热对流是指由于流体的宏观运动而引起的流体各部分之间发生相对位移， 冷、 热流体相 互掺混所导致的热量传递过程。热对流必然伴随有热传导现象。 流体流过一个物体表面时流体与物体表面间的热量传递过程，称之为对流传热。 自然对流是由于流体冷、热各部分的密度不同而引起的。如果流体的流动是由于水泵、 风机及其他压差作用所造成的， 则称为强制对流。 液体在热表面上沸腾及蒸气在冷表面上凝 结的对流传热，分别简称为沸腾传热及凝结传热。 牛顿冷却公式：
2 h∆ τ 2 a ∆ τ 2 a∆τ ( i ) 2 h∆τ − )+ t N −1 + tf 2 ρ c ∆ x ∆x ∆x 2 ρc∆x
( i +1) (i ) (i ) tN = tN (1 − 2 Fo∆ ⋅ Bi∆ − 2 Fo∆ ) + 2 Fo∆ t N −1 + 2 Fo ∆ ⋅ Bi∆ t f
导热微分方程是所有导热物体的温度场都应该满足的通用方程，对于各个具体的问题， 还必须规定相应的时间与边界的条件，称为定解条件。 规定了边界上的温度值，称为第一类边界条件（Dirichlet 条件） 。
t w = 常量 或 τ > 0时 t w = f1 (τ )
规定了边界上的热流密度值，称为第二类边界条件（Neumann 条件） 。
φ=
4πλ (t1 − t 2 ) 1 / r1 − 1 / r2 1 1 1 ( − ) 4πλ r1 r2
R=
物体的温度随时间而变化的导热过程称为非稳态导热。 温度分布主要受初始温度分布的控制， 称为非正规状况阶段； 当过程进行到一定深度时， 物体初始温度分布的影响逐渐消失，此后不同时刻的温度分布主要受热边界条件的影响， 这 个阶段的非稳态导热称为正规状况阶段。 当固体内部的导热热阻远小于其表面的换热热阻时， 任何时刻固体内部的温度都趋于一 致，以致可以认为整个固体在同一瞬间均处于同一温度下。这时所要求解的温度仅是时间 τ 的一元函数而与空间坐标无关，好像该固体原来连续分布的质量与热容量汇总到一点上， 而 只有一个温度值那样。这种忽略物体内部导热热阻的简化分析方法称为集中参数法。
R=
多层圆筒壁：
∆t ln( d 2 / d1 ) = φ 2πλ l
φ=
通过球壳的导热：
2πl (t1 − t 4 ) ln(d 2 / d1 ) / λ1 + ln(d 3 / d 2 ) / λ2 + ln(d 4 / d 3 ) / λ3
t = t 2 + (t1 − t 2 )
1 / r − 1 / r2 1 / r1 − 1 / r2
∂t ∂ 2t ∂ 2 t ∂ 2 t = a( 2 + 2 + 2 ) ∂τ ∂x ∂y ∂z
常物性、稳态（泊松方程） ：
*
∂x 2
∂t ∂t ∂t φ + + + =0
2 2 2
∂y 2
∂z 2
λ
常物性、无内热源、稳态（拉普拉斯方程） ：
∂ 2t ∂ 2t ∂ 2t + + =0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
δ t 。通常 δ > δ t 。
Nu x = 0.332 Re x Pr Nul = 0.664 Re l Pr
1/ 2
1/ 2
1/ 3
1/ 3
用以确定特征数中流体物性的温度称为定性温度。 对于边界层类型的对流传热， 规定采 用边界层中流体的平均温度，即
t m = (t w + t∞ ) / 2 ，作为定性温度。 Nul 、 Rel 表示该两个特
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界面连续条件：
t I = t II ，
单层圆筒壁：
(λ
∂t ∂t ) I = (λ ) II ∂n ∂n
q = −λ
dt λ t1 − t 2 = dr r ln(r2 / r1 )
2πλl (t1 − t 2 ) ln(r2 / r1 )
φ = 2πrlq =
0.8
0.4
特征长度：管内流动时取管内经，外掠单管或管束时取管子外径。 特征速度：一般取截面平均流速，流体外掠平板传热取对流速度，管内对流传热取截面 平均流速。 定性温度：通道内部流动取进、出口截面的平均值；外部流动取边界层外的流体温度或 取这一温度与壁面温度的平均值。 流体在管道内的流动可以分为层流与湍流两大类， 其分界点为一管道直径为特征尺度的
Fo∆ =
1 a∆τ 1 Fo∆ ≤ ≤ 2(1 + Bi∆ ) ∆x 2 2 或
在固体表面附近流体速度发生剧烈变化的薄层称为流动边界层（又称速度边界层） 。通 常规定达到主流速度的 99%处的距离 y 为流动边界层的厚度，记为 δ 。固体表面附近流体 温度发生剧烈变化的这一薄层为温度边界层或热边界层，其厚度记为 流体外掠平板传热层流关联式：
∆x 2 φ
m ,n
λ
*
+
2 h∆x tf λ
λ
∆x = ∆y
t m −1, n − t m ,n ∆y t − t ∆x + λ m ,n −1 m ,n + ∆x 2 ∆y 2
∆x∆y φ 4
m ,n
+
∆y + ∆x qw = 0 2
*
tm,n =
1 (t m −1,n + t m ,n −1 + 2
∆x = ∆y
*
t m ,n =
1 ( 2t m −1,n + t m ,n +1 + t m ,n −1 + 4
∆x 2 φ
m,n
λ
+
2 ∆xq w ) λ
qw = h(t f − t m ,n )
*
2(
外部角点：
h∆x + 2)t m ,n = 2t m −1,n + t m ,n +1 + t m ,n −1 + λ
圆柱坐标系：
ρc
球坐标系：
* ∂t 1 ∂ ∂t 1 ∂ ∂t ∂ ∂t = (λ r ) + 2 (λ ) + (λ ) + φ ∂τ r ∂r ∂r r ∂ϕ ∂ϕ ∂z ∂z
ρc
* ∂t 1 ∂ ∂t 1 ∂ ∂t 1 ∂ ∂t = 2 (λ r 2 ) + 2 ( λ ) + ( λ sin θ ) + φ ∂τ r ∂r ∂r r sin 2 θ ∂ϕ ∂ϕ r 2 sin θ ∂θ ∂θ
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ρc
导热系数为常数：
* ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t = (λ ) + (λ ) + (λ ) + φ ∂τ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
*
φ ∂t ∂t ∂t ∂t = a( 2 + 2 + 2 ) + ∂τ ∂x ∂y ∂z ρc
2 2 2
导热系数为常数、无内热源：
θ t − t∞ hA = = exp(− τ ) = exp(− Bi ⋅ FO ) θ 0 t0 − t∞ ρcV
集中参数法适用条件：
Bi圆柱 ≤ 0.05 Bi平板 ≤ 0.1 Bi球 ≤ 0.033
边界节点离散方程： 平直边界：
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λ
t m −1, n − t m ,n t − t ∆x t − t ∆ x ∆x ∆ y * ∆y + λ m , n +1 m ,n + λ m ,n −1 m ,n + φ m,n + ∆yqw = 0 ∆x ∆y 2 ∆y 2 2
3∆x 2 φ 2λ
m ,n
+
2 h∆x tf λ
一维平板非稳态导热的离散方程：
( i +1) (i ) (i ) (i ) tn − tn t ( i ) − 2t n + tn −1 = a n +1 2 ∆τ ∆x
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( i +1) tn =
a∆τ ( i ) a∆τ (i ) (i ) (t n +1 + t n )t n −1 ) + (1 − 2 2 ∆x ∆x 2
Re = 5 ×105 作为边界层流动
征数中的特征长度是平板的全长 l 。 在一般传热学文献中， 都把 进入湍流的标志（称为临界雷诺数，记为
Re c ） 。
所谓比拟理论是指利用两个不同物理现象之间在控制方程方面的类似性， 通过测定其中 一种现象的规律而获得另一种现象基本关系的方法。 管内湍流传热：
Nu = 0.023 Re Pr
∂t qw = 常数 或 τ > 0时 − λ ( ∂n ) w = f 2 (τ )
规定了边界上物体与周围流体间的表面传热系数 h 及周围流体的温度 件（Robin 条件)。
tf
， 称为第三类边界条
− λ(
辐射边界条件：
∂t ) w = h (t w − t f ) ∂n
−λ
∂T 4 = εσ (Tw − Te4 ) ∂n
∆x 2 φ 2λ
m,n
+
2 ∆xq w ) λ
qw = h(t f − t m ,n )
*
2(
∆x φ h∆x 2 h ∆x m ,n + 1)t m ,n = t m −1,n + t m ,n −1 + + tf λ 2λ λ
2
内部节点： t −t t −t t − t ∆x t − t ∆y 3∆x∆y * ∆y + ∆x λ m −1,n m , n ∆y + λ m , n +1 m , n ∆x + λ m , n −1 m , n + λ m +1, n m ,n + φ m , n + 2 qw = 0 ∆x ∆y ∆y 2 ∆x 2 4