人教版高一必修5第二章数列求和
高中数学人教A版必修5数列数列求和(二)PPT课件
解得
，
或
，
舍 解得 ，即数列 的通项公式
；
，
数列 的前 n 项和
高中数学 人教A版 必修5 数列数 列求和 （二）P PT课件
．Hale Waihona Puke 高中数学 人教A版 必修5 数列数 列求和 （二）P PT课件
练习：已知数列 的前 n 项和 Ⅰ 求 的通项公式；
．
Ⅱ记
，求数列 的前 n 项和．
解： Ⅰ 数列 的前 n 项和
通项是什么？
＝2(1－n＋1 1)＝n2＋n1.
高中数学人教A版必修5数列数列求和 （二）P PT课件
高中数学 人教A版 必修5 数列数 列求和 （二）P PT课件
练习：在各项均为正数的等比数列
中，
求等比数列 的通项公式；
，且 ，
成等差数列．
若数列 满足
，求数列 的前 n 项和 ．
解： 设数列列
的公比为 q，
，可得
；
时，
上式对
也成立，则
，
Ⅱ
则数列 的前 n 项和为
．
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，
；
高中数学人教A版必修5数列数列求和 （二）P PT课件
裂项相消法求和法（拆项法）：
适用于分式的形式把一项拆成两个分式差的形式,然后再求和.
也就是将数列的每一项拆成二项或多项使数列中的项出现有规律的 抵消项，进而达到求和的目的。
归纳小结
(1)公式法.
(2)分组化归法.将该数列的通项变形后，每一项拆成两项或多项，重新分组，将一般数列
求和化为特殊数列求和.
(3)并项求和法.(4)错位相减法.(5)倒序相加法.
高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 第2课时 数列求和课件 新人教A版必修5
(2)由(1)可得 bn＝2n＋n， 所以 b1＋b2＋b3＋…＋b10 ＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝2（11－－2210）＋（1＋120）×10 ＝(211－2)＋55 ＝211＋53＝2 101.
第二章 数列
第 2 课时 数列求和
第二章 数列
1. 能 由 简 单 的 递 推 公 式 求 出 数 列 的 通 项 公 式． 2.掌握数列求和的几种基本方法．
1．基本求和公式 (1)等差数列的前 n 项和公式 Sn＝n（a12＋an）＝na1＋n（n2－1）d. (2)等比数列的前 n 项和公式 当 q＝1 时，Sn＝_n_a_1_； 当 q≠1 时，Sn＝a1（11－－qqn）＝a11－－aqnq.
求和时易忽视两边同 除以－3
(1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数 列{an·bn}的前 n 项和时，可采用错位相减法． (2)用错位相减法求和时，应注意 ①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形更 值得注意； ②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对 齐”，以便于下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式； ③应用等比数列求和公式必须注意公比 q≠1 这一前提条件，如 果不能确定公比 q 是否为 1，应分两种情况讨论．
探究点二 裂项相消法求和
(2015·高考全国卷Ⅰ改编)数列{an}满足 a1＝3，an＋1＝an ＋2. (1)求{an}的通项公式； (2)设 bn＝ana1n＋1，求数列{bn}的前 n 项和． [解] (1)由 a1＝3，an＋1＝an＋2， 所以{an}是首项为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为 an ＝2n＋1.
高一数学必修五第二章求和
高一数学必修五第二章——数列求和知识归纳：数列求和的主要方法：（1）公式法：等差或等比数列直接运用求和公式计算的方法。
（2）分组求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（等差、等比、常数列）然后分别求和的方法。
（3）裂项相消法：将数列的通项分成二项的差的形式，相加消去中间项，剩下有限项再求和的方法。
常用技巧有：①)11(1)(1k n n k k n n +-=+； ②)(11n k n kn k n -+=++③)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n ； ④])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n （4）错位相减法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，也即是仿照推导等比数列前n 项和公式的方法。
若}{n a 为等差、}{n b 为等比数列，则求数列}{n n b a 的前n 项和可用此法。
（5）倒序求和法：即仿照推导等差数列前n 项和公式的方法一：公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论；例1：等比数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则2232221n a a a a ++++ ＝____________；练习1．数列}{n a 的通项是21n a n =+，，则数列{}n a 的的前n 项和为（ ）A ．2n B ．)1(+n n C ．)2(+n n D ．)12(+n n二、分组求和：若数列{}n C 的通项公式为n n n b a c +=，其中{}{}n n b a ,中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般用分组结合法。
例2： 已知数列{}n a 的通项公式为231n n a n =+-，则数列{}n a 的前n 项和n S =___________；练习2．数列 ,21)12(,,815,413,211n n +-的前n 项和为n S ，则=n SA ．n n 2112-+B ．12211--+n nC ．n n n 21122-+-D ．n n n 2112-+-练习3、设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4.(1)求{a n }的通项公式； (2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .三、裂项相消：将数列的通项分成二项的差的形式，相加消去中间项，剩下有限项再求和的方法。
必修五第二章 数列 复习课【2】求数列前N项和的常用方法【原创】
例1：设等差数列{an}，公差为d，求证：{an}的 ：设等差数列 ，公差为 ，求证： 的 项和S 前n项和 n=n(a1+an)/2 项和 解：Sn=a1+a2+a3+...+an ① 倒序得： 倒序得： Sn=an+an-1+an-2+…+a1 ② ①+②得： ② 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1) 又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1 ∴2Sn=n(a2+an源自 Sn=n(a1+an)/2
6
类型三、用裂项相消法求数列的前 项和 类型三、用裂项相消法求数列的前n项和
裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项， 裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前 后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和 项和。 后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前 项和。
例3 求数列 的前n项和 的前 项和Sn 项和
点拨：由推导过程可看出， 点拨：由推导过程可看出，倒序相加法是借助 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1，即与首末项等距的两项 ， 之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实 现的。 现的。
类型二、用公式法求数列的前n项和 类型二、用公式法求数列的前 项和
对等差数列、等比数列，求前 项和 项和S 对等差数列、等比数列，求前n项和 n，可直接用 等差、等比数列的前n项和公式进行求解 项和公式进行求解。 等差、等比数列的前 项和公式进行求解。运用公式求 注意：首先要注意公式的应用范围，再计算。 解时，要注意：首先要注意公式的应用范围，再计算。 例2：求数列 ： 和 Sn 的前n项 的前 项
人教版高中数学必修五第二章 数列求和专题复习教学课件共17页含视频
1 1 1 ( ) k n nk
1 1 1 1 ( ) 2 2n 1 2n 1 (2n 1)(2n 1)
1 1 ( n k n) nk n k
（四）错位相减法
对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的 数列的前n项和，常用错位相减法。
常见类型：
bn 是等差数列，数列 cn 是等比数列 其中数列
an bn cn
三．课内探究
（一）分组求和法
• 例1.
已知函数f ( x) 2 x 3 x 1, 点（n,a n）n N*在f (x)的图像上， 求数列an 的前n项和S n
变式1 • 求数列
1,1 2,1 2 4,...,1 2 4 ... 2 ,... 的前 n 项和Sn
四.课堂小结 • 这节课你都学到了什么？
五.当堂检测
1.数列an 的通项公式为a n 2n 1, 前 n 项和为 Sn , Sn 75 则数列 的前10项和为：_____________ n
n 1 n 1 则数列 , n N 的前n项和S n ___________
（二）分组求和法:
一个数列的通项公式是由若干个等差数列 或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可 用分组求和法，分别求和后再相加减. 常见类型：
an bn cn , bn ， cn 可用公式法求和
（三）裂项相消法: 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间 的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
小结：对于不能由等差数列、等比数列 的前n项和公式直接求和的问题，一般需 要将数列通项的结构进行合理拆分，转 化成若干个等差数列、等比数列的求和。
高一人教A版必修五数学课件：2.5.2 混合数列求和 (共12张PPT)
1 n＋
n＋1，Sn＝10，则
n
等于(
)
A．90
B．119
C．120
D．121
答案 C
解析
an＝
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n，
∴Sn＝( 2－1)＋( 3－ 2)＋…＋( n＋1－ n)＝ n＋1－1＝10， ∴n＋1＝121，故 n＝120.
等比数列
课堂达标检测
等比数列
3．在数列{an}中，已知 Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，n∈N*，
等比数列
题型三 错位相减求和
等比数列
例 3 已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，
且 a1＝b1＝1，b2＋b3＝2a3，a5－3b2＝7. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)设 cn＝anbn，n∈N*，求数列{cn}的前 n 项和．
错位相减求和主要适用于：
{an}是等差数列，{bn}是等比数列， 求数列{anbn}的前 n 项和．
＋ 2×2n－1 －(2n－1)×2n
＝2n＋1－3－(2n－1)×2n＝－(2n－3)×2n－3，
所以 Sn＝(2n－3)·2n＋3，n∈N*.
题型四 并项求和
例 4 求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1)． 解 当 n 为偶数时，Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n＋3)＋(2n－1)＝ ] 2·n2＝n. 当 n 为奇数时，
∴Tn＝n·3n，n∈N*.
解 (1)设数列{an}的公比为 q，数列{bn}的公差为 d，由题意 q>0. 由已知，有2qq4－2－33dd＝＝102， ， 消去 d，整理得 q4－2q2－8＝0.
人教版高一数学必修5--第二章数列总结资料
人教版高一数学必修5第二章数列总结1、数列的基本概念(1)定义：按照一定的次序排列的一列数叫做数列．(2)通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式．(3)递推公式：如果已知数列{a n }的第一项(或前几项)，且任何一项a n 与它前一项a n －1(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 通项公式与递推公式，是给出一个数列的两种主要方法．2、主要公式(1)通项公式a n 与前n 项和公式S n 间的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 n ＝1S n －S n －1n ≥2.(2)等差数列a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d . S n ＝12n (a 1＋a n )，S n ＝na 1＋12n (n －1)d . A ＝a ＋b2(等差中项)． （3）等比数列a n ＝a 1q n －1，a n ＝a m ·q n －m . S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1 q ＝1a 1－a n q 1－q＝a 11－q n1－q q ≠1.G ＝±ab (等比中项)．3．主要性质(1)若m ＋n ＝p ＋q (m 、n 、p 、q ∈N *)， 在等差数列{a n }中有：a m ＋a n ＝a p ＋a q ； 在等比数列{a n }中有：a m ·a n ＝a p ·a q .(2)等差(比)数列依次k 项之和仍然成等差(比)．专题一 数列的通项公式的求法1．观察法 根据下面数列的前几项，写出数列的一个通项公式． (1)1,1，57，715，931，…；2．定义法等差数列{a n }是递增数列，前n 项和为S n ，且 a 1，a 3，a 9成等比数列，S 5＝a 25.求数列{a n }的通项公式． 3．前n 项和法(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋3n ＋1，求通项 a n ；(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋2，求通项 a n . 4．累加法已知{a n }中，a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝3n (n ∈N *)，求通项 a n . 5．累乘法已知数列{a n }，a 1＝13，前n 项和S n 与a n 的关系是S n ＝n (2n －1)a n ，求通项a n . 6．辅助数列法已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)．求数列{a n }的通项公式． 7．倒数法已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋1(n ∈N *)．求通项a n .专题二 数列的前n 项和的求法 1．分组转化求和法如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前n 项和可考虑拆项后利用公式求解． 求和：S n ＝112＋214＋318＋…＋(n ＋12n )．2．裂项求和法对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项，常见的拆项公式有：(1)1n n ＋k ＝1k ·(1n －1n ＋k )； (2)若{a n }为等差数列，公差为d ， 则1a n ·a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1)； (3)1n ＋1＋n＝n ＋1－n 等．3．错位相减法若数列{a n }为等差数列，数列{b n }是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n b n }，当求该数列的前n 项的和时，常常采用将{a n b n }的各项乘以等比数列{b n }的公比q ，然后错位一项与{a n b n }的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．已知数列{a n }中，a 1＝3，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝a n ·3n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 4．分段求和法如果一个数列是由各自具有不同特点的两段构成，则可考虑利用分段求和． 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝1(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝3＋log 4a n ，设T n ＝|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |，求T n .附注：常用结论1）1+2+3+...+n =2）1+3+5+...+(2n-1) =3）三、等差、等比数列的对比（1）判断数列的常用方法看数列是不是等差数列有以下三种方法：①②2()③(为常数).看数列是不是等比数列有以下四种方法：①②(，)③(为非零常数).④正数列{}成等比的充要条件是数列{}（）成等比数列.等差数列等比数列定义公式1．2．1．2．性质1．，称为与的等差中项1．，称为与的等比中项2．若（、、、），则3．，，成等差数列4. 2．若（、、、），则3．，，成等比数列4. ，（3）在等差数列｛｝中,有关Sn 的最值问题：1），时，有最大值；，时，有最小值；2）最值的求法：①若已知，可用二次函数最值的求法（）；②若已知，则最值时的值（）可如下确定或。
高中数学人教版必修5课件：第二章 数列前n项和的求法(2课时) (共16+11张PPT)1
Sn
a1(1 qn ) 1q
(2)当q=1时， Sn = na1
5、错项相减法：
• 若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比 数列，求和时一般在已知和式的两边都乘以组成 这个数列的等比数列的公比；然后再将得到的新 和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求 和，这种方法就是错位相减法。
当 a=1时，S=1+2+3+…+n n(n 1)
2
当 a≠1时，(1-a)S= 1 an -naSn
1 a
n(n 1)
S
1
(1
2
an a)2
na n 1 a
a 1 a 1
1 an (1 a )2
na n 1 a
知识盘点
• 4、倒序相加法：
• 5、错项相减法：
课后作业
播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性 制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你 时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去 这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！世上本无移 是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！亿万财富不是存在银行里，而是产生在人的思想里。你没找到路，不等于 什么，你必须知道现在应该先放弃什么！命运把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若自怨自艾，必会坐失良机人人都有两个 一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只有自己改变，才可改变世界。人最大的敌人不是别人，而是自己， 1、烦恼的时候，想一想到底为什么烦恼，你会发现其实都不是很大的事，计较了，就烦恼。我们要知道，所有发生的一切都是该发生的，都是因缘。顺利的就感恩，不顺 寒潭，雁过而潭不留影；风吹疏竹，风过而竹不留声。”修行者的心境，就是“过而不留”。忍得住孤独；耐得住寂寞；挺得住痛苦；顶得住压力；挡得住诱惑；经得起折腾 得起责任；1提得起精神。闲时多读书，博览凝才气；众前慎言行，低调养清气；交友重情义，慷慨有人气；困中善负重，忍辱蓄志气；处事宜平易，不争添和气；对已讲 远，修身立正气；居低少卑怯，坦然见骨气；卓而能合群，品高养浩气淡然于心，自在于世间。云淡得悠闲，水淡育万物。世间之事，纷纷扰扰，对错得失，难求完美。若 陷于计较的泥潭，不能自拔。若凡事但求无愧于心，得失荣辱不介怀，自然落得清闲自在。人活一世，心态比什么都重要。财富名利毕竟如云烟，心情快乐才是人生的至宝 在脚踏实地的道路上；我们的期待在哪里？在路上，在勤劳勇敢的心路上；我们的快乐在哪里？在路上，在健康阳光的大道上；我们的朋友在哪里？在心里，在真诚友谊的 己负责；善于发现看问题的角度；不满足于现状，别自我设限；勇于承认错误；不断反省自己，向周围的成功者学习；不轻言放弃。做事要有恒心；珍惜你所拥有的，不要 美；不找任何借口。与贤人相近，则可重用；与小人为伍，则要当心；只满足私欲，贪图享乐者，则不可用；处显赫之位，任人唯贤，秉公办事者，是有为之人；身处困境 任；贫困潦倒时，不取不义之财者，品行高洁；见钱眼开者，则不可用。人最大的魅力，是有一颗阳光的心态。韶华易逝，容颜易老，浮华终是云烟。拥抱一颗阳光的心态 心无所求，便不受万象牵绊；心无牵绊，坐也从容，行也从容，故生优雅。一个优雅的人，养眼又养心，才是魅力十足的人。容貌乃天成，浮华在身外，心里满是阳光，才 随流水宁。心无牵挂起，开阔空净明。幸福并不复杂，饿时，饭是幸福，够饱即可；渴时，水是幸福，够饮即可；裸时，衣是幸福，够穿即可；穷时，钱是幸福，够用即可 困时，眠是幸福，够时即可。爱时，牵挂是幸福，离时，回忆是幸福。人生，由我不由天，幸福，由心不由境。心是一个人的翅膀，心有多大，世界就有多大。很多时候限 也不是他人的言行，而是我们自己。人心如江河，窄处水花四溅，宽时水波不兴。世间太大，一颗心承载不起。生活的最高境界，一是痛而不言，二是笑而不语。无论有多 幸福在于祥和，生命的祥和在于宁静，宁静的心境在于少欲。无意于得，就无所谓失去，无所谓失去，得失皆安谧。闹市间虽见繁华，却有名利争抢；田园间无争，却有柴 最终不过梦一场。心静，则万象皆静。知足者常在静中邂逅幸福。顺利人生，善于处理关系；普通人生，只会使用关系；不顺人生，只会弄僵关系。为人要心底坦荡，不为 不为假象所惑。智者，以别人惨痛的教训警示自己；愚者，用自己沉重的代价唤醒别人。对人多一份宽容，多一份爱心；对事多一份认真，多一份责任；对己多一点要求， 可满，乐不可极，警醒自己。静能生慧。让心静下来，你才能看淡一切。静中，你才会反观自己，知道哪些行为还需要修正，哪些地方还需要精进，在静中让生命得到升华 心静下来，你才能学会放下。你放下了，你的心也就静了。心不静，是你没有放下。静，通一切境界。人与人的差距，表面上看是财富的差距，实际上是福报的差距；表面 人品的差距；表面上看是气质的差距，实际上是涵养的差距；表面上看是容貌的差距，实际上是心地的差距；表面上看是人与人都差不多，内心境界却大不相同，心态决定 一件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其 一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开 光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。知恩 为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实没什么道 就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开始；寒冷 长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。以平常心观不 面前，平常心就是勇敢；在利诱面前，平常心就是纯洁；在复杂的环境面前，平常心就是保持清醒智慧。平常心不是消极遁世，而是一种境界，一种积极的人生。不仅要为 价值的人而努力。命运不是机遇，而是选择；命运不靠等待，全靠争取。成熟就是学会在逆境中保持坚强，在顺境时保持清醒。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫 的赞许时，心灵才会真的自由。你没那么多观众，别那么累。温和对人对事。不要随意发脾气，谁都不欠你的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发现其实那都不算事。 有绝交，才有至交学会宽容伤害自己的人，因为他们很可怜，各人都有自己的难处，大家都不容易。学会放弃，拽的越紧，痛苦的是自己。低调，取舍间，必有得失。不要 面前没人爱听那些借口。慎言，独立，学会妥协的同时，也要坚持自己最基本的原则。付出并不一定有结果。坚持可能会导致失去更多过去的事情可以不忘记，但一定要放 个最好的打算和最坏的打算。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想。不庸人自扰。不说谎话，因为总有被拆穿的一天。别人光鲜的背后或者有着太多不为人知的痛苦 不管学习什么，语言，厨艺，各种技能。注意自己的修养，你就是孩子的第一位老师。孝顺父母。不只是嘴上说说，即使多打几个电话也是很好的。爱父母，因为他们给了 无私的人。
人教A版高中数学必修五2.5.2 数列求和的几种方法课件
我们把这种类型的数列称为“A G”型。
此类方法类似于等比数列求和的公式的
推导方法，叫做错位相减法。
A*G 错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应 项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求.
【错位相减法】设 {an}的前n项和为Sn，an＝n·2n，则Sn＝
解析：∵Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…
2S 89 S 89 2
例题1. 求和 (1)2 (x 2) (x2 3) (xn1 n)( x 0)
分析:原式=(1+2+3+…+n)+( x0 x1 x2 xn )
[解]原式=
1 x n1 1x
n(n1) (x≠1)
2
n(n+3)/2
(x=1)
我们把这种类型的数列称为“A+G”型。
指出下列求和的方法：
1.求
1 1
4
, 4
1
7
,
,
1
的和
(3n-2)(3n+1)
用裂项求和法.an
1 3
(1 3n
2
1) 3n 1
2.求 1 , 1 , 1 + 1+ 2 2 3 3 4
+ n 1 n 1 的前n项和Sn
用裂项求和法.an n 1 n
3.求1 2,23, ,n (n+1)的和
＋n·2n
①
∴2Sn＝
1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n+1②
21－2n
① －②得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n+1＝
－n·2n+1
(推荐)人教版高一数学必修5-第二章数列总结
人教版高一数学必修5第二章数列总结1、数列的基本概念(1)定义：按照一定的次序排列的一列数叫做数列．(2)通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式．(3)递推公式：如果已知数列{a n }的第一项(或前几项)，且任何一项a n 与它前一项a n －1(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 通项公式与递推公式，是给出一个数列的两种主要方法．2、主要公式(1)通项公式a n 与前n 项和公式S n 间的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 n ＝1S n －S n －1 n ≥2. (2)等差数列 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d . S n ＝12n (a 1＋a n )，S n ＝na 1＋12n (n －1)d .A ＝a ＋b 2(等差中项)． （3）等比数列a n ＝a 1q n －1，a n ＝a m ·q n －m . S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1 q ＝1a 1－a n q 1－q＝a 11－q n 1－q q ≠1.G ＝±ab (等比中项)．3．主要性质(1)若m ＋n ＝p ＋q (m 、n 、p 、q ∈N *)，在等差数列{a n }中有：a m ＋a n ＝a p ＋a q ；在等比数列{a n }中有：a m ·a n ＝a p ·a q .(2)等差(比)数列依次k 项之和仍然成等差(比)．专题一 数列的通项公式的求法1．观察法 根据下面数列的前几项，写出数列的一个通项公式．(1)1,1，57，715，931，…； 2．定义法等差数列{a n }是递增数列，前n 项和为S n ，且 a 1，a 3，a 9成等比数列，S 5＝a 25.求数列{a n }的通项公式．3．前n 项和法(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋3n ＋1，求通项 a n ；(2)已知数列{a n}的前n项和S n＝2n＋2，求通项a n. 4．累加法已知{a n}中，a1＝1，且a n＋1－a n＝3n(n∈N*)，求通项a n. 5．累乘法已知数列{a n }，a 1＝13，前n 项和S n 与a n 的关系是S n ＝n (2n －1)a n ，求通项a n . 6．辅助数列法已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)．求数列{a n }的通项公式．7．倒数法已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋1(n ∈N *)．求通项a n . 专题二 数列的前n 项和的求法1．分组转化求和法如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前n 项和可考虑拆项后利用公式求解．求和：S n ＝112＋214＋318＋…＋(n ＋12n )． 2．裂项求和法对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项，常见的拆项公式有：(1)1n n ＋k ＝1k ·(1n －1n ＋k)； (2)若{a n }为等差数列，公差为d ，则1a n ·a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1)； (3)1n ＋1＋n ＝n ＋1－n 等．3．错位相减法若数列{a n }为等差数列，数列{b n }是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n b n }，当求该数列的前n 项的和时，常常采用将{a n b n }的各项乘以等比数列{b n }的公比q ，然后错位一项与{a n b n }的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．已知数列{a n }中，a 1＝3，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ·3n ，求数列{b n }的前n 项和T n .4．分段求和法如果一个数列是由各自具有不同特点的两段构成，则可考虑利用分段求和．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝3＋log 4a n ，设T n ＝|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |，求T n .附注：常用结论1）1+2+3+...+n =2） 1+3+5+...+(2n-1) =3）三、等差、等比数列的对比（1）判断数列的常用方法看数列是不是等差数列有以下三种方法：①②2()③(为常数).看数列是不是等比数列有以下四种方法：①②(，)③(为非零常数).④正数列{}成等比的充要条件是数列{}（）成等比数列.（2）等差数列与等比数列对比小结：等差数列等比数列定义公式1．2．1．2．性质1．，称为与的等差中项2．若（、、、1．，称为与的等比中项2．若（、、、），则），则3．，，成等差数列4. 3．，，成等比数列4. ，（3）在等差数列｛｝中,有关Sn 的最值问题：1），时，有最大值；，时，有最小值；2）最值的求法：①若已知，可用二次函数最值的求法（）；②若已知，则最值时的值（）可如下确定或。
高中数学人教A版必修5第2章第5节《数列求和》课件
1 2
(1 2
1 4
1 3
1 5
1 4
1 6
1 5
1 7
1 1 1 1 ) n n 2 n 1 n 3
••
•
•
Sn
1 2
(1 2
1 3
n
1
2
1) n3
5 12
2(n
2n 5 2)(n
3)
小规律：
裂项相消时，前面剩几项， 对应后面就剩几项；前面剩 第几项，对应后面就剩倒数 第几项；前后至少各写出两 组数。
解：设等差数列an
的首项为a1
,
公差为d， an
1 an1
的前n项和为Tn
3a1a123dd36
ad1
1 1
an n
1 1 anan1 n(n 1)
1 1 n n1
Tn
11
1 2
1 2
1 3
1 1 n 1
n n 1
1 1 1 11 n 1 n n nn1
常见数列的裂项方法
(1)
(3)2 4 6 (4)12 22 32
(5)13 23 33
2n n(n 1)
n2 n(n 1)(2n 1) 6
n3 n2 (n 1)2 4
二.倒序相加法
适用于：如果一个数列 an 中与首
末两项“等距离”的两项之 和等于首末两项的和。
方法：把数列分别正着写和倒着写再 相加。
1 2
an 2n 1
(2)
1
1
anan1 (2n 1)(2n 1)
1( 1 1 ) 2 2n 1 2n 1
Tn
1 2
(1
1 3
1 3
高一数学必修5课件：数列求和
an(1＋2an－1)＝an－1(n≥2)，求数列{an}的
通项公式.
an
1 2n 1
第十一页，编辑于星期日：二十二点 十九分。
Байду номын сангаас
综合分析法
例5. 已知数列的首项a1 5，前n项
和为Sn ,且Sn1 2Sn n 5(n N *)
证明：an 1是等比数列.
例6.已知数列 an
满足：a1
=
1 2
求数列Sn=12-22+32-42+…+(－1)n-1n2
第三页，编辑于星期日：二十二点 十九分。
7.通项化归： 先将通项公式进行化简，再进行求和。
求数列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,…
的前n项和。
第四页，编辑于星期日：二十二点 十九分。
高一数学必修五第二章
《数列》
递推数列通项公式的求法
第九页，编辑于星期日：二十二点 十九分。
练习1：
已知数列{an}中，
a1
3 5
,
an1
an , 2an 1
求{an}的通项公式. （倒数法）
练习2: 在数列{an}中，a1=2，且 求{an}的通项公式． （平方法）
an1
an2 1, 2
第十页，编辑于星期日：二十二点 十九分。
练习3： 已知数列{an}满足：a1＝1，且
形如an1 an f (n)的数列, 若f (n)可求 和，则可用累加消项的方法求通项。
第七页，编辑于星期日：二十二点 十九分。
累乘法
例3. 已知数列 an 满足：a1=1，
an
+1
=
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?
s n (1 ) ( ) ( )
1 1 n n 1 n 1
1 2
1 2
1 3
1 3
1 4
(
1
n
1 ) n 1
8
练习
数列 an 的通项公式an 1
n (n 2)
,求它的前n项和sn
?
1 1 1 ( ) 2 n n 2
9
知识点3：裂项相消法
· · ·
· · ·
13
随堂练 习
1、数列 2、求和： 3、已知各项不为零的等差数列 · · · ， ， · · · 的前n项和 · · · ，求证： · · ·
14
3
1 1 1 1 ……的前n项和 例2：求数列 1 ,2 ,3 ,4 2 4 8 16
解：因为an n
1
2n
1 1 1 所以，sn (1 ) (2 ) (3 ) 2 4 8
1 (n n ) 2
=(1+2+3+
1 1 1 n)+( + + + 2 4 8
1 + n ) 2
a 和 bn 均为等差数列，
n
1 如果一个数列 cn 通项公式cn ， an bn 且 an bn d(d 为常数) ，则我们往往采用 裂项相消法。
10
1 3 5 2n 1 例5、求和： ＋ ＋ ＋＋ n 2 4 8 2
知识点4：错位相减法 若数列的通项公式为 cn an bn ，其中 an bn 中有一个是等差数列，另一个是等比数列，求和 时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的 等比数列的公比；然后再将得到的新和式和原和 式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方 法就是错位相减法。
例3：求和
解：由题 · · ·
6
如果题中的第n项本身就 是一个和式，那么可先将通 项化简再求和
7
想一想
1 1 1 1 例4、求和 1 2 2 3 3 4 n (n 1)
1 1 1 解：an n(n 1) n n 1
1 1 (1 n ) 2 n(n 1) 2 n n 1 2 n 1 1 2 2 2 1 2
4
知识点2：分组结合法
若数列 cn 的通项公式为cn an bn，其中
an ,bn 中一个是等差数列，另一个是等比
数列，求和时一般用分组结合法。
5
想一想
11
1、本节主要讲了4种数列求和方法 公式法 分组结合法 裂项相消法 错位相减法 总结 2、求和时应首先注意观察数列特点和规 律考察此数列，是否是基本数列求和或 者可转化为基本数列求和 3、要熟练运用这些方法，还需要我 们在练习中不断摸索
12
想一想
练习：求通项为 an 3n 3 1 n 的数列的前n项和
题目：数列的求和
1
等差数列的求和公式：
n(a1 an ) 1 sn na1 n(n 1)d 2 2
等比数列的求和公式：
q 1 q 1
2
例1、求和：
a a a a (a 0)
2 3 n
知识点1：公式法（若问题可以转化为等差、等比数列， 则可以直接利用求和公式即可）