卷积积分与积分变换ppt课件

p
4
p
0
p 1,3,5, p 2, 4, 6,
即
g (t )
4
sin
0t
1 3
sin
30t
1 5
sin
50t
4sin n0t
n1 (2n 1)
另外
Ap
2[ T
0 T
(1)eip0tdt
2
T 2 eip0tdt]
0
2 T
1
ip0
eip0t
0 T
2
(
1
ip0
)eip0t
T 2 0
第二章卷积积分与积分变 换
第二章 卷积积分与积分变换
本章主要复习傅立叶级数，介 绍傅立叶级数的复数表示，脉冲响 应与卷积积分、傅立叶变换和拉普 拉斯变换及其性质。
§2.1 傅立叶级数 §2.2 脉冲响应与卷积积分 §2.3 傅立叶变换 §2.4 拉普拉斯变换
§2.1 傅立叶级数
1 周期函数的傅立叶级数 2 复数形式的傅立叶级数
1 周期函数的傅立叶级数
如果g(t)是以T 为周期的周期函数，即 g(t+T) = g(t)
并且g(t)还满足下列条件(Dirichlet条件) 1. 在［-T/2，T/2］上连续,或者只有有限个一类
间断点(即存在极限的间断点); 2. 只有有限个极值； 3. 在［-T/2，T/2］上绝对可积，即
2 T
1
ip0
(1
eip0
T 2
)
(eip0
T 2
1)
4
eip eip
(1
)
i2 p
2
2
i p
(1
cos
p
)
4
ip
0
p 1,3,5, p 2, 4, 6,
因此
g(t) Re[ 4 ei0t ] Re[ 4 ei30t ] Re[ 4 ei50t ]
i
i3
i5
Re[
4
e ] i(2n1)0t
a0=c0，
b0=0
c0
1 T
T2
g(t)dt
T 2
θ0=0
ap
2 T
T2
T 2 g(t) cos p0tdt
bp
2 T
T2
T 2 g(t) sin p0tdt
c2p a2p bp2
cos p
ap cp
p
arctan
bp ap
sin p
bp cp
p=1,2,…
ap、bp、cp和θp(p=0,1,2,…)称为周期函数 g(t)的傅立叶系数或谐波系数， cp是谐波的振幅, θp是谐波的初相位。
p=1,2,…
5
0
2
1.5
1
-5 0.5
6
5
4
3
2
1
0 0
双边傅立叶级数
由于对任意复数z有
Re[z] z z 22
因此，当p≠0时
Re[ Apeip0t
]
1 2
[
Ap
eip0t
A eip0t p
]
1 [ 2 T 2 g(t)eip0tdt]eip0t 1 [ 2 T 2 g(t)eip0tdt]eip0t
p0
p
在频率轴的正半轴上，双边谱的系数dp与单边谱 的系数Ap之间有如下关系
｜Ap｜= 2｜dp｜ Re［Ap］= 2Re［dp］
Im［Ap］= 2Im［dp］
通常用频谱图来直观显示周期函数所包含的频 率成分及其大小。
以频率f (很少用ω)为横轴，分别以cp(或｜Ap｜) 和θp为纵轴作图，并称f ～cp图为g(t)的幅频图， f ～θp图为相频图。
T /2
| g(t) | dt T / 2
则在［-T/2，T/2］上g(t)可以展成傅立叶级数， 即有
g(t) (ap cos p0t bp sin p0t) p0
这里：
cp cos( p0t p ) p0
0
2
T
称为周期函数g(t)的基频
pω0(p=2，3，…)称为基频ω的p次倍频。
n1 i(2n 1)
同样
2
dp
1 2
(ap
ibp )
ip
0
p 1,3,5, p 2, 4, 6,
g(t)
2
ei(2n1)0t
n i(2n 1)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.5
1
0.5
2 T T 2
2 T T 2
[ 1 T 2 g(t)eip0tdt]eip0t [ 1 T 2 g(t)eip0tdt]eip0t
T T 2
T T 2
令
d p
1 T
T2 T 2
g (t )eip0t dt
1 2
(ap
ibp )
则
d p
1[ T
T 2 g(t)eip0tdt]
T 2
1 T
c1cos(ωt－θ1)称为周期函数g(t)的基波； cpcos(pωt－θp) （p>1）称为周期函数g(t)的 基波的p次谐波。
2 复数形式的傅立叶级数
单边傅立叶级数
根据欧拉公式 ei cos i sin
有
cos p0t Re[eip0t ]
代入g(t)的傅立叶级数表达式,有
g(t) cp cos( p0t p ) Re[cpei( p0tp ) ]
bp
2 T
T2
T 2 g(t) sin p0tdt
2 [ T
0
T 2 (1) sin p0tdt
T2
0 sin p0tdt
2 T
1
p0
cos
p0t
0 T
2
1
p0
( cos
p0t)
T 0
2
2 T
1
p0
1
cos[
p0
(
T 2
)]
1
cos(
p0
T 2
)
利用 0T = 2，有
bp
2
p
1 cwenku.baidu.coms
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1
0.5
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
0.5
一般来说，频谱图多为单边的，只画出f ≥0的 部分。
周期函数频谱图的特点是只在离散点0，f ， 2f ，…，上有值，被称为离散谱，有时也形象 地称为谱线图。
例：求下图所示周期方波信号g(t)的傅立叶级数
g
(t)
1
1
T t 0 2
0tT 2
a0=c0=0
ap
2 T
T2
T 2 g(t) cos p0tdt 0
T2 T 2
g(t)eip0t dt
1 2
(ap
ibp )
而
d p
1 T
T 2 g(t)ei( p)0t dt
T 2
1 T
T2 T 2
g (t )eip0t dt
dp
即
Re[Apeip0t ]
d peip0t
d
eip0t
p
因而可以得到
p0
g(t) Re[ Apeip0t ]
d peip0t
p0
p0
Re[ Apeip0t ] p0
这里
1 T2
A0 c0 T
g(t)dt
T 2
θ0 = 0
Ap cpeip = ap ibp = cp(cosθpisinθp)
2 T
T2
T 2 g(t)(cos p0t i sin p0t)dt
2 T 2 g(t)eip0tdt T T 2