广州增城高级中学高一数学上期末测试

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广东省广州高一上学期期末数学试题(解析版)

一、单选题1．设全集，集合M 满足，，则（） {}1,2,3,5,8U ={}1,8U M =ðA ． B ．C ．D ．1M ∈2M ∉3M ∈5M ∉【答案】C【分析】根据补集的定义求出，即可得到结果. {}235M =，，【详解】因为，所以， {}1,8U M =ð{}235M =，，则，所以C 正确. 3M ∈故选：C.2．对于实数，“”是“”的,,a b c a b >22ac bc >A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】试题分析：由于不等式的基本性质，“a ＞b”⇒“ac ＞bc ”必须有c ＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B 【解析】不等式的性质点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．3．不等式的解集是（） 26190x x --<A ． B ．∅R C ．D ．13⎧⎫⎨⎬⎩⎭11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【分析】由一元二次不等式的解法求解即可.【详解】不等式可化为，即，解得，26190x x --<29610x x -+>2(31)0x ->13x ≠故原不等式的解集为.11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D.4．某企业为了响应落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备．在过滤过程中，污染物含量M （单位：mg/L ）与时间t （单位：h ）之间的关系为（其中，k 是正常数）．已知0e ktW M -=0M 经过1h ，设备可以过滤掉的污染物，则过滤掉的污染物需要的时间约为（结果精确到50%90%0.1h ，参考数据：）（） lg 20.3010≈A ．3.0hB ．3.3hC ．6.0hD ．6.6h【答案】B【分析】由题意可得，进而得，利用指数与对数的关系可得，再用e 0.5k -=()0.10.5t=0.5log 0.1t =换底公式结合对数的运算性质求解即可.【详解】由题意可知，所以，()00150%e kM M --=e 0.5k -=设过滤的污染物需要的时间为，则，90%t ()00190%e ktM M --=所以，()()0.1e e 0.5ttkt k--===所以. 0.5lg 0.1111log 0.1 3.3lg 0.5lg 20.311200lg t -====≈≈故选：B.5．已知函数的大致图象如图所示，则（）log ,log ,log ,log a b c d y x y x y x y x ====①②③④A ．B ． a c b a +<+a d b c +<+C ．D ．b c a d +<+b d a c +<+【答案】A【分析】作直线，则由，可得，进而由不等式性质可以判断A 正1y =log 1a a =01c d a b <<<<<确，由不等式可加性可判断BCD 错误.【详解】作直线，则由， 1y =log 1a a =可得，01c d a b <<<<<则由不等式性质可得，所以A 正确.a cb a +<+由不等式可加性可得，故D 错误， a c b d +<+不能推出B 、C ，故B 、C 错误. 故选：A.6．方程的实数解所在的一个区间是（）e 410x x -+=A ．B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】利用函数零点存在定理即可求解.【详解】设，()e 41xf x x =-+，，1211e 41022f -⎛⎫-=+⨯+> ⎪⎝⎭()00e 40120f =-⨯+=>，，1211e 411022f ⎛⎫=-⨯+=> ⎪⎝⎭()1e 41e 30f =-+=-<，3233e 41022f ⎛⎫=-⨯+=<=< ⎪⎝⎭所以，所以存在，使，()1102f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00f x =所以方程的实数解所在的一个区间是.e 410x x -+=1,12⎛⎫⎪⎝⎭故选：C.7．下列函数中，最小正周期为，且在上单调递减的是（） π2π(,0)4-A ．B ．)πsin(42y x =+)πcos(42y x =-C ． D ．tan(π2)y x =+|sin(π2)|y x =+【答案】D【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，根据周期公式及三角函数的性质进行求解判断.【详解】，函数的最小正周期为；当时，，则此函c πsin(4)os 42y x x =+=π2)π(,04x ∈-4(π,0)x ∈-数在区间上单调递增，故A 错误；π(,0)4-，函数的最小正周期为；当时，，则此函数在区间s πcos(4)in 42y x x =-=π2)π(,04x ∈-4(π,0)x ∈-上是单调递减，在区间上是单调递增，故B 错误；(,π48)π--()π8,0-，函数的最小正周期为；当时，，则此函数在区间tan(π2)tan 2y x x =+=π2)π(,04x ∈-π2(,0)2x ∈-上单调递增，故C 错误； π(,0)4-，因为的最小正周期为，则此函数的最小正周期为|sin(π2)||sin 2||sin 2|y x x x =+=-=sin 2y x =ππ2；当时，，，则此函数在区间上单调递减，故)π(,04x ∈-π2(,0)2x ∈-|sin 2|sin 2y x x ==-π(,0)4-D 正确. 故选：D.8．设，，，则 3log 2a =5log 3b =8log 5c =A ． B ．C ．D ．b ac <<a b c <<b<c<a c<a<b 【答案】B【分析】根据对数函数的性质，结合基本不等式，即可得出结果. 【详解】由对数性质，可得：，(),,0,1a b c ∈，2255555l g 3l g 8l g 24log 3log 8122o o o +⎛⎫⎛⎫⋅<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，即；5851log 3log 5log 8∴<=b c <而，，3332log 2log log 3a ==<=5552log 3log log 3b ==>=综上所述，. a bc <<故选：B.【点睛】本题主要考查比较对数式的大小，熟记对数函数的性质即可，涉及基本不等式的应用，属于常考题型.二、多选题9．已知命题，则（） 2:R,10p x x x ∀∈-+>A ．命题p 是真命题 B ．命题p 的否定是“” 2R,10x x x ∀∈-+=C ．命题p 是假命题 D ．命题p 的否定是“”2R,10x x x ∃∈-+≤【答案】AD【分析】利用配方法可判断命题的真假，根据全称命题的否定是特称命题写出命题的否定．【详解】，则命题p 是真命题；2213R,1024x x x x ⎛⎫∀∈-+=-+> ⎪⎝⎭命题p 的否定是“”，故A 、D 正确． 2R,10x x x ∃∈-+≤故选：AD ．10．已知幂函数的图象过点，则（） ()y f x =(A ． B ．的值域是 ()12f x x =()f x [0,)+∞C ．是偶函数 D ．在上是减函数()f x ()f x (0,)+∞【答案】AB【分析】求出幂函数的解析式，然后根据幂函数的性质判断即可. 【详解】设，()f x x α=∵的图象过点，∴，∴，()y f x =(1233α==12α=∴，从而可得，的定义域为，值域是，既不是奇函数也不是偶函12()f x x =()f x [0,)+∞[0,)+∞()f x 数，在上是增函数，故A 、B 正确；C 、D 错误. [0,)+∞故选：AB.11．已知，且，则（）5sin 13π3x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ππ32x <<A ． B ．5sin 13π6x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭12cos 132π3x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭C ． D ．tan 12π53x ⎛⎫= ⎪⎝-⎭5cos 135π6x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】BCD【分析】根据角的范围及三角函数同角关系式求得，．由cos 3x ⎛⎫- ⎪⎝⎭πtan π3x -⎛⎫⎪⎝⎭结合诱导公式计算求解可判断A ；由结sin sin 2πππ63x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦πc c 2ππ3s 3o os x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦合诱导公式计算求解可判断B ；由结合诱导公式计算求解可判断C ；由tan tan ππ33x x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝-⎭-⎝⎭结合诱导公式计算求解可判断D. πc 2os 5ππ6s 3co x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦【详解】由得，则，.ππ32x <<ππ063x -<-<12cos 13π3x -⎛⎫== ⎪⎝⎭tan 12π53x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，故A 错误； 12sin sin cos 213ππππ633x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故B 正确；12cos cos cos 132ππππ333x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故C 正确；tan ta 2ππ533n 1x x ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--，故D 正确. 5cos cos sin 135ππππ6233x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：BCD.12．已知，则（） 01a b <<<A ．B ． b a a b <log log a b b a >C ．D ．log log 2a b b a +>sin(sin )sin a b <【答案】ACD【分析】由的单调性可得，由的单调性可得，从而可判断A ；由x y a =b a a a <a y x =a a a b <的单调性可得，从而可判断B ；由基本不等式可log ,log a b y x y x ==log log ,log log a a b b a b a b ∴>>判断C ；利用结论：当时，，可判断D.π(0,)2x ∈sin x x <【详解】在上单调递减，又，在上0< 1,x a y a <∴=(0,)+∞,b a a b a a <∴<0,a a y x >∴= (0,)+∞单调递增，由得，，故A 正确；a b <a a a b >，故B 错误； log 1log a b b a ∴<<由，可知，因此01a b <<<lg lg log 0,log 0lg lg a b b ab a a b=>=>，当且仅当取等号，但已知，故等号不lg lg log log 2lg lg a b b a b a a b +=+≥=a b =01a b <<<成立，从而得，故C 正确；log log 2a b b a +>当时，．，，又在单调递π(0,2x ∈sin x x <π012a b <<<< π0sin 2a a b ∴<<<<sin y x =π(0,2增，所以，故D 正确． sin(sin )sin sin a a b <<故选：ACD ．三、填空题13．若函数的定义域为A ，函数的定义域为B ，则A ∩B =______. ()f x =()()lg 2g x x =-【答案】()1,2-【分析】先求得集合，再利用交集定义即可求得. AB 、A B ⋂【详解】的定义域为； ()f x =()1,-+∞函数的定义域为， ()()lg 2g x x =-(),2-∞则. A B = ()1,2-故答案为：()1,2-14．已知，则__________.tan 2a =()2sin cos αα-=【答案】##0.215【分析】利用同角三角函数的基本关系，构造齐次式求解即可．【详解】．()2222222sin cos 2sin cos tan 12tan sin cos sin cos 1tan 51ααααααααααα+-+--===++故答案为：.15四、双空题15．函数的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是_____；若点P 在直线1101x y a a a -=+>≠(，)上，则的最小值为______. 100)mx ny m n +=>>(，21m n+【答案】； 8(1,2)【分析】利用指数幂的运算即可求得点P 的坐标，利用均值定理即可求得的最小值. 21m n+【详解】当时，，则函数的图象恒过定点， 1x =1112a -+=1101x y a a a -=+>≠(，)(1,2)P 点P 在直线上，可得， 100)mx ny m n +=>>(，2100)m n m n +=>>(，则21214(2)4448n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当时等号成立）122m n ==故答案为：；8(1,2)五、填空题16．数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形ABC ，再分别以点A ，B ，C 为圆心，线段AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）．若莱洛三角形的周长为，则其面积是___________. π2【分析】根据图形分析，利用扇形面积和三角形的面积公式，即可求解. 【详解】莱洛三角形的周长为，可得弧长， π2AA A 6πA BCB AC ===则等边三角形的边长，π16π23AB BC AC ====分别以点A 、B 、C 为圆心，圆弧所对的扇形面积均为，,,AB BC AC 1π1π26224⨯⨯=等边的面积ABC A 1122S =⨯=所以莱洛三角形的面积是π3224⨯-=六、解答题17．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(1)求的值； sin cos αα+(2)求的值.sin(π)cos(π)πtan(2π)sin()2αααα--+++【答案】(1)；15-(2) 14【分析】（1）先利用三角函数定义求得的值，进而求得的值； sin cos αα、sin cos αα+（2）先求得的值，再利用三角函数诱导公式即可求得该式的值. tan α【详解】（1）角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点，则，34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭43sin ,cos 55αα=-=则；431sin cos 555αα+=-+=-（2）由（1）得，则，43sin ,cos 55αα=-=4tan 3α=-则 sin(π)cos(π)sin cos πtan cos tan(2π)sin()2αααααααα--++=++41sin cos tan 1134sin tan 43ααααα-+++====-18．已知函数.()a f x x x=+(1)若，判断的奇偶性，并说明理由；()15f =()f x (2)若，判断在上的单调性，并加以证明. ()43f =()f x (0,)+∞【答案】(1)是奇函数，理由见解析 ()f x (2)在上的单调递增，证明见解析 ()f x (0,)+∞【分析】（1）由求出，从而得，由函数奇偶性的定义求解即可； (1)5f =a ()f x （2）由求出，从而得，由函数单调性的定义进行判断证明即可. ()43f =a ()f x 【详解】（1）是奇函数，理由如下： ()f x ∵，且，∴，解得 ()af x x x=+()15f =15a +=4a =∴，定义域为 4()f x x x=+(,0)(0,)-∞+∞ 又 44()()(()f x x x f x x x-=-+=-+=--所以为奇函数.()f x（2）在上的单调递增，理由如下：()f x (0,)+∞∵，且，∴，解得，∴ ()a f x x x=+()43f =434a +=4a =-4()f x x x=-设，则 120x x <<2121212112()()()()4(14)4f x f x x x x x x x x x --=-=-+-∵，∴， 120x x <<21x x -0>12410x x +>故，即 21()()0f x f x ->21()()f x f x >所以在上的单调递增.()f x (0,)+∞19．已知函数的最小正周期为.1π()sin(0,R)23f x x x ωω=->∈π(1)求的单调递减区间；()f x (2)求在区间上的最大值与最小值.()f x π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】(1) 5π11ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)在区间.()f x π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦14-【分析】（1）根据周期可以求出，进而求出的单调递减区间；2ω=()f x （2）根据求出，进而求出在区间上的最大值与最小值.π3π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π2π7π2,336x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦()f x π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】（1）由题意可得，则， 2πT==πω2ω=则，1π()sin(223f x x =-所以的单调递减区间需要满足：， ()f x ππ3π2π22π(Z)232k x k k +≤-≤+∈解得， 5π11πππ(Z)1212k x k k +≤≤+∈所以的单调递减区间为：. ()f x 5π11ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知，1π()sin(2)23f x x =-因为，则，π3π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π2π7π2,336x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦所以，π1sin(232x ⎡-∈-⎢⎣则，1()4f x ⎡∈-⎢⎣所以在区间. ()f x π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦14-20．已知函数的图象过点，且无限接近直线但又不与该直线相交． ||1()()2x f x a b =+()0,21y =(1)求函数的解析式：()y f x =(2)解关于x 的不等式． 3(ln )2f x <【答案】(1) ()||112x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2) ()10,e,e ⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据图象过点得的关系，根据图象无限接近直线但又不与该直线相交()0,2,a b 1y =求出，从而得解；b （2）利用指数函数和对数函数的单调性求解即可．【详解】（1）由图象过点，得，()0,2()02f a b =+=∵函数无限接近直线，但又不与该直线相交， ||1()()2x f x a b =+1y =∴，从而，1b =1a =∴． ()||112x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）由得，即，则， 3(ln )2f x <|ln |13122x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭|ln |1122x ⎛⎫< ⎪⎝⎭ln 1x >所以或，解得或． ln 1x <-ln 1x >10ex <<e x >所以不等式的解集为． 3(ln )2f x <()10,e,e ⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭21．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售人员的销售利润不低于10万元时，按其销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售人员的销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过其销售利润的．现有三个奖励模型：，请分别判断这三个模型是否符合公司25%80.2, 1.02,log 1x y x y y x ===+的要求？并说明理由．（参考数据：，当时，1.028log 581.274,log 1000 3.322≈≈8x ≥恒成立）8log 10.25x x +≤【答案】奖励模型符合公司的要求，理由见解析8log 1y x =+【分析】由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当时，①函数为增函数；②函数[10,1000]x ∈的最大值不超过5；③，根据函数的性质一一验证即可．25%y x ≤⋅【详解】由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当时，①函数为增函数；②函数[10,1000]x ∈的最大值不超过5；③．25%y x ≤⋅对于，易知满足①，但当时，，不符合公司的要求；0.2y x =25x >>5y 对于，易知满足①，但当时，，不符合公司的要求； 1.02x y =82x ≥ 1.02o 82l g 51.0251.02y >≥=对于，函数在上单调递增，而且函数的最大值，因而满足8log 1y x =+[10,1000]8log 1000 3.3225≈<①②，因为当时，恒成立，所以当时，，满足8x ≥8log 10.25x x +≤[10,1000]x ∈8log 125%x x +<⋅③，故符合公司的要求．综上，奖励模型符合公司的要求．8log 1y x =+22．对于定义在上的函数,若存在实数,使得,则称是函数的一个不动点,I ()f x 0x I ∈()00f x x =0x ()f x 已知有两个不动点,且2()2(0)f x ax x a =-+≠12,x x 122x x <<(1)求实数的取值范围；a (2)设，证明：在定义域内至少有两个不动点.[]()log ()a F x f x x =-()F x 【答案】(1) 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)证明见解析【分析】（1）由题意，得到的两个实数根为，设，根据二次函数210ax x -+=12,x x 2()1p x ax x =-+的图象与性质，列出不等式即可求解；（2）把可化为，设的两个实数根为，根据()F x x =()2log 22a ax x x -+=2()220p x ax x =-+=,m n 是方程的实数根，得出，结合函数单调性，即可1x =()g x x =()2()220n n h n a an n a =--+=>()h x 求解．【详解】（1）因为函数有两个不动点，()f x 12,x x 所以方程，即的两个实数根为，()f x x =2220ax x -+=12,x x 记，则的零点为和，2()22p x ax x =-+()p x 1x 2x 因为，所以，即，解得， 122x x <<(2)0a p ⋅<(42)0a a -<102a <<所以实数的取值范围为． a 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）因为 ()2()log [()]log 22a a F x f x x ax x =-=-+方程可化为，即 ()F x x =()2log 22a ax x x -+=2222220x a ax x ax x ⎧=-+⎨-+>⎩设，因为，所以有两个不相等的实数根． 2()22p x ax x =-+10,4(12)02a a <<∆=->()0=p x 设的两个实数根为，不妨设．2()220p x ax x =-+=,m n m n <因为函数图象的对称轴为直线，且2()22p x ax x =-+1x a=， 1112(1)0,2,20,20p a p p a a a a ⎛⎫⎛⎫=>>=-<=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以． 121m n a a<<<<记， ()2()22x h x a ax x =--+因为，且，所以是方程的实数根，(1)0h =(1)0p a =>1x =()F x x =所以1是的一个不动点，()F x ，()2()220n n h n a an n a =--+=>因为，所以，且的图象在上的图象是不间断曲102a <<24024,222a h a a a a ⎛⎫>=-<-< ⎪⎝⎭()h x 2,n a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦线，所以，使得， 0,2x n a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()00h x =又因为在上单调递增，所以，所以是的一个不动点， ()p x 2,n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0()0p x p n >=0x ()F x 综上，在上至少有两个不动点． ()F x (,)a +∞。

广东省广州市高一上学期期末数学试题(解析版)

一、单选题1．设集合，，（） {}15A x x =-<<{}2,3,4,5B =A B = A ． B ． C ． D ．{}2{}2,3{}3,4{}2,3,4【答案】D【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解作答. 【详解】因为集合，， {}15A x x =-<<{}2,3,4,5B =所以. {}2,3,4A B = 故选：D2．下列函数为增函数的是（） A ．B ．()f x x =()2xf x =C ．D ．()2f x x =()0.5log f x x =【答案】B【分析】把函数化成分段函数由单调性判断A ；利用二次函数、指数函数、对数函数单调性判断CBD 作答.【详解】对于A ，函数，函数在上单调递减，在定义域R 上不单,0(),0x x f x x x x -≤⎧==⎨>⎩()f x (,0]-∞调，A 不是；对于B ，函数在R 上单调递增，B 是；()2x f x =对于C ，函数在上单调递减，在定义域R 上不单调，C 不是； 2()f x x =(,0]-∞对于D ，函数在上单调递减，D 不是. 0.5()log f x x =(0,)+∞故选：B3．设a ，，则“”是的（） R b ∈0a b <<11a b>A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用不等式的性质，充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】因为， 11b a a b ab--=所以当时，，0a b <<0,0ab b a >->所以即， 110b a a b ab --=>11a b >当时，取，得不到， 11a b>1,1a b ==-0a b <<所以是充分不必要条件， 0a b <<11a b>故选:A.4．已知，，，则（） 3log 0.3a =0.33b =0.50.3c =A ． B ． a b c <<a c b <<C ． D ．c a b <=0.5000.30.31c <=<=所以. a c b <<故选：B5．已知是第四象限角，且，则（）θ()3sin π5θ+=πtan 4θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．7177-17-【答案】A【分析】利用诱导公式结合同角公式求出，再利用和角的正切计算作答. tan θ【详解】由得：，即，而是第四象限角，()3sin π5θ+=3sin5θ-=3sin 5θ=-θ则有，， 4cos 5θ===sin 3tan cos 4θθθ==-所以. π3tan tan1π144tan(π3471tan tan 1()144θθθ+-++===---⨯故选：A 6．已知，则的最小值为（）0x <21x x--A ．B ．4C ．D ．11【答案】D【分析】根据给定条件，利用配凑的方法，结合均值不等式求解作答.【详解】因为，则，， 0x <11x ->22(1)11111x x x x -=+--≥-=--当且仅当，即 211x x=--1x =所以的最小值为. 21x x--1-故选：D7．已知，，则的值为（） 1cos cos 2αβ+=1sin sin 3-=αβ()cos αβ+A ． B ．C ．D ．1372-13725972-5972【答案】C【分析】将条件中两式平方相加后整理即可得答案.【详解】， ()2221cos cos cos 2cos cos cos 4αβααββ+=++=，()2221sin sin sin 2sin sin sin 9αβααββ-=-+=两式相加得， ()()62221113cos cos sin sin 2cos 493αβαβαβ-=+=+=++. ()59cos 72αβ∴+=-故选：C.8．已知函数，若方程有四个不同的根，则的取值2ln(),0(),0x x f x x x x ⎧--<=⎨-≥⎩()f x a =1234,,,x x x x 1234x x x x 范围为（）A ．B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．D ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】分析给定的函数性质，画出函数的部分图象，确定a 的取值范围，进而求出()y f x =范围作答.1234x x x x 【详解】函数，当时，单调递增，，2ln(),0(),0x x f x x x x ⎧--<=⎨-≥⎩1x ≤-()ln()f x x =--()0f x ≤当时，单调递减，，10x -<<()ln()f x x =-()0f x <当时，在上递减，在上递增，，0x ≥2()f x x x =-1[0,]21[,)2+∞1()4f x ≥-作出函数的部分图象，如图，()y f x =方程有四个不同的根，不妨令，即直线与函数的()f x a =1234,,,x x x x 1234x x x x <<<y a =()y f x =图象有4个公共点，观察图象知，，，104a -<<123411012x x x x <-<<<<<<显然有，且，由得，12|ln()||ln()|x x --=--341x x +=12|ln()||ln()|x x --=--12ln()ln()0x x -+-=即，则有，因此，12ln()0x x =121=x x 21234333111(1)()(0,)244x x x x x x x =-=--+∈所以的取值范围为.1234x x x x 1(0,4故选：B【点睛】关键点睛：涉及用分段函数零点特性求参数范围问题，可以先独立分析各段上的零点，再综合考查所有零点是解决问题的关键.二、多选题9．下列函数为奇函数的是（） A ． B ．()21f x x =()3f x x =C ．D ． ()1ln 1x f x x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭()1f x x x=+【答案】BCD【分析】分析各选项中函数的定义域，再利用奇函数的定义判断作答. 【详解】对于A ，函数的定义域为，，是偶函()21f x x =(,0)(0,)-∞+∞ 21()()()f x f x x -==-()f x 数，A 不是；对于B ，函数的定义域为R ，是奇函数，B 是；()3f x x =()f x 对于C ，函数中，，解得，即的定义域为， 1()ln(1x f x x+=-101xx +>-11x -<<()f x (1,1)-，是奇函数，C 是；11()ln(ln()()11x xf x f x x x-+-==-=-+-()f x 对于D ，函数的定义域为，，是奇函数，1()f x x x =+(,0)(0,)-∞+∞ 1()()f x x f x x-=-+=--()f x D 是. 故选：BCD10．下列命题为真命题的是（） A ．任意两个等边三角形都相似 B ．所有的素数都是奇数 C ．， D ．，R x ∀∈0x x +≥R x ∃∈210x x -+=【答案】AC【分析】利用判定全称量词命题、存在量词命题真假的方法，逐项判断作答.【详解】对于A ，因为所有的等边三角形的每个内角都为，因此任意两个等边三角形都相似，60 A 正确；对于B ，2是素数，而2是偶数，即“所有的素数都是奇数”是假命题，B 错误；对于C ，因为，，即，C 正确；R x ∀∈||x x ≥-||0x x +≥对于D ，因为，，D 错误.R x ∀∈221331(0244x x x -+=-+≥>故选：AC11．记函数，，其中．若，则（） ()()sin 2f x x ϕ=+x ∈R π2ϕ≤π5π1662f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．B ．π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．为奇函数D ．为奇函数π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭π24f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】BD【分析】由对称性得到为对称轴，故，代入解析式得到或，求出函数解π2x =π12f ⎛⎫=± ⎪⎝⎭π2ϕ=-π2析式或，分两种情况计算出，及判断和()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的奇偶性，推断出四个选项的正误.π24f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【详解】A 选项，因为，所以为的对称轴， π5π1662f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππ5662πx =+=()f x 故，A 错误；ππsin 2122f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 选项，，解得：，πππ,Z 2k k ϕ+=+∈ππ,Z 2k k ϕ=-+∈因为，所以，解得：， π2ϕ≤ππππ222k -≤-+≤01k ≤≤因为，所以或1，Z k ∈0k =当时，，当时，，0k =π2ϕ=-1k =π2ϕ=故或，()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当时，，()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭3π3ππsin 0422f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，，B 正确； ()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3π3ππsin 0422f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C 选项，当时，，()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭i 1ππ32s n 2f x x ⎛⎫- ⎪⎭⎝⎫+= ⎪⎝⎭⎛此时不满足，不是奇函数，1212ππf x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，，()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭s 12π2πin 23f x x ⎪⎛⎫+= ⎪⎛⎫+ ⎝⎝⎭⎭不满足，不是奇函数，C 错误； 1212ππf x fx ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 选项，当时，，()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πππ2sin 4si 22n 44f x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时的定义域为R ，且，为奇函数，()f x ()sin 4sin 4x x -=-当时，，()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πππ2sin 4si 22n 44f x x x ⎛⎫⎛⎫+=++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时的定义域为R ，且，即，()f x ()sin 4sin 4x x --=()()f x f x -=-为奇函数，D 正确. ()f x 故选：BD12．已知正实数x ，y ，z 满足，则（） 3515x y z ==A ． B ． x y z +=xz yz xy +=C ．D ．3515x y z>>24xy z >【答案】BCD【分析】令，利用指数式与对数式互化表示出，再逐项计算、判断作答. 13515x y z t ==>=,,x y z 【详解】是正实数，令，则，,,x y z 13515x y z t ==>=3515log ,log ,log x t y t z t ===， 111log 3,log 5,log 15t t t x y z ===对于A ，，A 错误； ln ln ln ln15ln15ln 5ln 3()(2(24ln 3ln 5ln15ln 3ln 5ln 3ln 5t t t x y z z z +=+=+=++>+>对于B ，因为，则，B 正确；111log 3log 5log 15t t t x y z+=+==xz yz xy +=对于C ，因为，则，即，35153515<<3515log 3log 5log 15t t t <<3log 35log 515log 15t t t <<因此，即有，C 正确； 3515x y z <<3515x y z>>对于D ，， 2221515151515log 3log 5log 3log 511log 3log 5()(log 15)log 15log 15244t t t t z z z xy x y +=⋅=⋅=⋅<==因此，D 正确. 24xy z >故选：BCD【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.三、填空题13．若函数只有一个零点，则实数a 的值为_____________．()22f x x x a =-+【答案】1【分析】利用判别式等于零求解.【详解】因为函数只有一个零点，()22f x x x a =-+所以解得. 440a ∆=-=1a =故答案为:1. 14．计算_____________． 01331log log 120.60.24-+-+=【答案】5【分析】直接利用对数的运算性质及指数幂的运算可得答案. 【详解】. 0133311log log 120.60.2log 1215544-⎛⎫+-+=⨯-+= ⎪⎝⎭故答案为：.5四、双空题15．已知函数，分别由下表给出， ()f x ()g x x0 1 2()f x 1 2 1x 0 1 2 ()g x 2 1 0则_____________；满足的x 的值是_____________． ()1f g ⎡⎤⎣⎦=()()()f g x g f x ⎦>⎡⎤⎣【答案】 2 1【分析】根据列表法给定的函数，x 分别取0，1，2依次计算、即可作答. [()]f g x [()]g f x 【详解】依题意，；()()112f g f ⎡⎤==⎣⎦，，，，[(0)](2)1f g f ==[(0)](1)1g f g ==()()112f g f ⎡⎤==⎣⎦[(1)](2)0g f g ==，，因此当且仅当时，成立，[(2)](0)1f g f ==[(2)](1)1g f g ==1x =()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤>⎣⎦⎣⎦所以满足的x 的值是1. [()][()]f g x g f x >故答案为：2；1五、填空题16．已知，（且），若对任意的，都存在()221f x x x =--()log a g x x =0a >1a ≠[]11,2x ∈-，使得成立，则实数a 的取值范围是_____________． []22,4x ∈()()12f x g x <【答案】(1,2)【分析】求出函数在上的最大值，再根据给定条件列出不等式求解作答. ()f x []1,2-【详解】当时，，则， []1,2x ∈-2()(1)2f x x =--max ()(1)2f x f =-=因为对任意的，都存在，使得成立， []11,2x ∈-[]22,4x ∈()()12f x g x <因此函数在上的最大值小于函数在上的最大值， ()f x []1,2-()g x []2,4而当时，，，不符合题意，01a <<[]2,4x ∈log 0a x <于是，函数在上单调递增，则，即，解得，1a >()log a g x x =[]2,4log 42a >214a <<12a <<所以实数a 的取值范围是. (1,2)故答案为：(1,2)【点睛】结论点睛：一般地，已知函数， ()[],,y f x x a b =∈()[],,y g x x c d =∈（1）若，，总有成立，故； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∀∈()()12f x g x <()()max min f x g x <（2）若，，有成立，故； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x <()()max max f x g x <（3）若，，有成立，故.[]1,x a b ∃∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x <()()min min f x g x <六、解答题17．已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点． ()3,4P -(1)求的值；tan α(2)求的值．2sin(π)cos(2π)ππcos()sin()22αααα+++-++【答案】(1)；43-(2). 11-【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数定义计算作答. （2）利用诱导公式化简，结合（1）的结论，用齐次式法计算作答. 【详解】（1）角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点， α()3,4P -所以.4tan 3α=-（2）由（1）知，，4tan 3α=-所以. 42()12sin(π)cos(2π)2sin cos 2tan 1311ππ4sin cos tan 1cos()sin()1223αααααααααα-⨯-++++-+-+====-++-++-+18．已知函数，且，．()x b f x x a -=-()124f =()235f =(1)求函数的解析式；()f x (2)根据定义证明函数在上单调递增．()f x ()2,-+∞【答案】(1) ()12x f x x -=+(2)证明见解析【分析】（1）直接根据条件列方程组求解即可；（2）任取，计算判断的符号即可证明单调性.122x x >>-()()12f x f x -【详解】（1）由已知，解得，()()2122432335b f a b f a -⎧==⎪⎪-⎨-⎪==⎪-⎩21a b =-⎧⎨=⎩； ()12x f x x -∴=+（2）任取， 122x x >>-则，()()()()()()()()()()()12211212121122121212112222223x x x x x x f x f x x x x x x x x x -+--+---=-==++++++-，122x x >>-Q ，121220,20,0x x x x ∴+>+>->，即， ()()120f x f x ∴->()()12f x f x>函数在上单调递增.∴()f x ()2,-+∞19．已知函数．ππ())sin()sin cos 44f x x x x x =+-+(1)求函数的最小正周期； ()f x (2)在中，若，求的最大值． ABC A π()1212A f -=sin sinBC +【答案】(1)； π【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，再利用正弦函数性质求出周期作答.()f x （2）由（1）中函数式求出A ，再利用差角的正弦公式、辅助角公式结合正弦函数性质求解作答. 【详解】（1）依题意，πππ1ππ1()sin()sin[()]sin 2)cos()sin 24242442fx x x x x x x =+-++=+++， π11π2)sin 2sin 22sin(2)2223x x x x x =++==+所以函数的周期为. ()f x 2ππ2T ==（2）由（1）知，， ππππ()sin[2()]sin()121221236A A f A -=-+=+=在中，，有，于是，解得，则， ABC A 0πA <<ππ7π666A <+<ππ62A +=π3A =2π3BC +=， 2π13πsin sin sin sin()sin sin sin )3226B C B B B B B B B B +=+-=+=+显然，，因此当，即时，， 2π03B <<ππ5π666B <+<ππ62B +=π3B =max (sin sin )BC +=所以sin sin B C +20．某小区要在一块扇形区域中修建一个矩形的游泳池．如图，在扇形OPQ 中，半径，()100m OP =圆心角，C 是扇形弧上的动点，矩形ABCD 内接于扇形．记，矩形ABCD 的π4POQ ∠=POC α∠=面积为． ()2m S(1)将面积S 表示为角的函数；α(2)当角取何值时，S 最大？并求出这个最大值．α【答案】(1)； ππ5000,044S αα=+-<<(2)，. π8α=2max 5000(m )S =- 【分析】（1）根据给定的图形，用的正余弦函数表示矩形的一组邻边即可列式作答. α（2）利用（1）中函数，结合正弦函数的性质求解作答.【详解】（1）依题意，在中，，则， Rt OBC △π2OBC ∠=sin 100sin AD BC OC POC α==∠=，在中，，则， cos 100cos OB OC POC α=∠=Rt OAD △ππ,24OAD POQ ∠=∠=OA AD =因此， 100(cos sin )AB OB OA αα=-=-100sin 100(cos sin )S AB BC ααα=⋅=⋅-， 2π10000(sin cos sin )5000(sin 2cos 21)50004αααααα=-=+-=+-所以面积S 表示为角的函数是. αππ)5000,044S αα=+-<<（2）由（1）知，当时，，则当，即时，π04α<<ππ3π2444α<+<ππ242α+=π8α=， max π[sin(2)]14α+=所以当时，. π8α=2max 5000(m )S =21．已知函数的最大值为． ()cos 22sin 2f x x a x a =++12-(1)求a 的值：(2)当时，求函数的最小值以及取得最小值时x 的集合．x ∈R ()f x 【答案】(1)1a =-(2)最小值为-5，的取值构成的集合为 x π|2π,Z 2x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【分析】(1)换元法，分类讨论二次函数在给定区间的单调性和最值；(2)利用二次函数的性质求最值以及三角函数的性质求时x 的集合．【详解】（1）()2cos 22sin 212sin 2sin 2f x x a x a x a x a =++=-++，22sin 2sin 21x a x a =-+++令，则，对称轴， []sin 1,1t x =∈-2()2221f t t at a =-+++02a t =当即时， 012a t =≤-2a ≤-在单调递减，2()2221f t t at a =-+++[]1,1t ∈-所以不满足题意； max ()(1)22211f t f a a =-=--++=-当即时， 112a-<<22a -<<在单调递增，单调递减， 2()2221f t t at a =-+++1,2a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭,12a ⎛⎤ ⎥⎝⎦所以， 22max 1()()21222a a f t f a a ==-+++=-即解得或（舍）；2430a a ++=1a =-3a =-当即时， 012a t =≥2a ≥在单调递增，2()2221f t t at a =-+++[]1,1t ∈-所以， max 1()(1)22212f t f a a ==-+++=-解得不满足题意， 18a =综上.1a =-（2）由(1)可得在单调递增，单调递减， 2()221f t t t =---11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦所以当时函数有最小值为，1t =(1)2215f =---=-此时，则的取值构成的集合为. sin 1t x ==x π|2π,Z 2x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭22．已知函数，其中e 为自然对数的底数，记．()()e R x f x x =∈()()()g x f x f x =+-(1)解不等式；()()26f x f x +≤(2)若存在，使得成立，求实数k 的取值范围．(0x ∈()()20021g x k g x =⋅-【答案】(1)；(,ln 2]-∞(2) 37(,49【分析】（1）根据给定条件，解指数不等式作答.（2）求出的取值范围，分离参数并换元构造函数，利用对勾函数求出函数的值域作答.0e x 【详解】（1）函数，则不等式化为：，即，()()e R x f x x =∈()()26f x f x +≤2e e 6x x +≤2e e 60x x +-≤，而，因此，解得，(e 3)(e 2)0x x +-≤e 0x >0e 2x <≤ln 2x ≤所以原不等式的解集是(,ln 2]-∞（2）依题意，，当时，，()e e x x g x -=+0x∈0e x ∈，则， 0000002202202))e e )e e 1e e)1(2(1((x x x x x x g x k g x k ---+=++=+⋅-⇔=-0021)(1e e x x k -=-+令，，， 0e x t =∈001e e ()x x h t t t-+==+(1212,,t t t t ∀∈<，因为，则， 1212121212111()()()()(1)h t h t t t t t t t t t -=+-+=--121t t <<121210,10t t t t-<->因此，即，则有函数在上单调递增，12()()0h t h t -<12()()h t h t <()h t (于是当时，，， t ∈12t t <+≤002e e x x -<+00294(e e )2x x -<+≤，从而， 0022119e e )4(x x -≤<+3749k <≤所以实数k 的取值范围是． 37(,49【点睛】思路点睛：涉及含参方程有解的问题，分离参数构造函数，转化为求函数的值域得解.。

广东高一上学期期末数学试题(解析版)

数学本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处. 2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，，则（）{}1,2,3,4,5,6U ={}1,2,3A ={}3,4,5B =()UA B ⋂=ðA. B. C.D.{}4,5,6{}4,6{}6{}4,5【答案】D 【解析】【分析】直接根据补集和交集的概念可得答案.【详解】由已知，又，{}4,5,6=U A ð{}3,4,5B =.(){}U 4,5B A ∴= ð故选：D.2. 命题“，”的否定是（）ππ,22x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭2cos 12x x >-A. ，B. ，2ππ,2x ⎛⎫∀∉- ⎪⎝⎭2cos 12x x >-ππ,22x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭2cos 12x x -≤C. ，D. ，ππ,22x ⎛⎫- ⎪⎝∈⎭∃2cos 12x x -≤ππ,22x ⎛⎫- ⎪⎝∈⎭∃2cos 12x x <-【答案】C 【解析】【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题可得答案. 【详解】根据全称命题的否定是特称命题得命题“，”的否定是“，”. ππ,22x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭2cos 12x x >-ππ,22x ⎛⎫- ⎪⎝∈⎭∃2cos 12x x -≤故选：C.3. 已知函数的最小正周期为2π，则下列说法错误的是（） ()()2sin 0f x x ωω=>A.1ω=B. 函数是奇函数()f x C. 当时，函数在上是减函数，在上是增函数 []0,2x π∈()f x []0,π[],2ππD. 当时，在上是增函数，在，上是减函数[],x ππ∈-()f x ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】CD 【解析】【分析】由周期公式判断A ；根据定义判断B ；根据正弦函数的单调性判断CD. 【详解】因为函数的最小正周期为2π，所以，故A 正确；()()2sin 0f x x ωω=>2π2π,1ωω==，定义域为，，即函数是奇函数，故B()2sin f x x =R ()()()2sin 2sin f x x x f x -=-=-=-()f x 正确；当时，由正弦函数的单调性可知，函数在和上单调递增，在[]0,2x π∈()2sin f x x =0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 错误； 3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦当时，由正弦函数的单调性可知，函数在和上单调递减，在[],x ππ∈-()2sin f x x =,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故D 错误； ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：CD4. 已知a ，b 是实数，且，则“”是“”的（） 0a b +≠0a b +>a b +≥A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行求解即可【详解】因为满足，但不满足，故充分性不满足； 2,1a b ==-0a b +>a b +≥因为等价于，所以，a b +≥20≥0,0a b ≥≥因为，所以不同时为0， 0a b +≠,a b 所以能得到，故必要性满足，0a b +>所以“”是“”的必要不充分条件 0a b +>a b +≥故选：B 5. 已知，，，则的大小关系为（） 12a=2log b =5log 3c =,,a b c A. B. c<a()0,∞+，221log log 2b a =>==，55log 31log 2a c ==>=，2453311log log 3log 3log 4log 5b c ===>==.a cb ∴<<故选：B.6. 已知是第二象限的角，，则的值是（） α23sin sin cos 2ααα-=cos αA. B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】先将条件等式变形为分子分母为关于的二次齐次式，然后同除即可得关于sin ,cos αα2cos α的方程，求出，进而可得，则可求.tan αtan ααcos α【详解】是第二象限的角，αQtan 0,cos 0αα∴<≠， 2222223sin sin cos 3tan tan 3sin sin cos 2sin cos tan 1ααααααααααα--∴-===++解得，tan 1α=-， 3π2π,Z 4k k α∴=+∈. cos α∴=故选：A.7. 下列函数中，最小值为2的是（） A. ()1f x x x=+B. ()()2212sin π,Z 2sin f x x x k k x=+≠∈C.()e e xxf x -=+D. ()()111f x x x x =+>-【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式以及等号的成立条件逐一判断即可. 【详解】对于A ：当时，，A 错误； =1x -()12f -=-对于B ：， ()2212sin 22sin f x x x =+≥=当且仅当，即时等号成立，故等号不能成立，，B 错误； 2212sin 2sin x x=2sin 2x =()2f x ∴>对于C ：，当且仅当，即时等号成立，C 正确； ()2e e x x f x -+=≥=e e =x x -0x =对于D ：当时，，当且仅当1x >()11111311f x x x x x =+=-++≥+=--111x x -=-，即时等号成立，D 错误； 2x =故选：C.8. 已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，()f x R ()1f x +()10-,1x ，且，都有成立，，则不等式的解集()20,x ∈+∞12x x ≠()()2112120x f x x f x x x ->-()11f =()0f x x ->为（）A. B.()(),11,-∞-⋃+∞()1,1-C. D.()(),10,1-∞-⋃()()1,01,-⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】利用函数的图象的对称中心是可得是上的奇函数，由()1f x +()10-,()f x R 可得，故可得在上单调递增，然后分()()2112120x f x x f x x x ->-()()1212120f x f x x x x x ->-()()f xg x x=()0,+∞，和三种情况进行求范围即可0x =0x >0x <【详解】因为是向左平移1个单位长度得到，且函数的图象的对称中心是()1f x +()f x ()1f x +()10-,，所以的图象的对称中心是，故是上的奇函数，所以， ()f x ()0,0()f x R ()()111f f -=-=-对任意的，，且，都有成立，1x ()20,x ∈+∞12x x ≠()()2112120x f x x f x x x ->-所以， ()()()()()12211212121212f x f x x f x x f x x x x x x x x x --=>--令，所以根据单调性的定义可得在上单调递增， ()()f xg x x=()g x ()0,+∞由是上的奇函数可得是上的偶函数 ()f x R ()g x ()(),00,∞-+∞U 所以在上单调递减，()g x (),0∞-当时，不等式得到，矛盾； 0x =()0f x x ->000->当时，转化成即，所以； 0x >()0f x x ->()()111f x f x >=()()1g x g >1x >当时，转化成，，所以， 0x <()0f x x ->()()111f x f x -<=-()()1g x g <-10x -<<综上所述，不等式的解集为 ()0f x x ->()()1,01,-⋃+∞故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列函数中是偶函数，且在上是减函数的是（） ()0,∞+A. B. cos y x =2y x =-C .D. y x =21y x =【答案】BD 【解析】【分析】直接根据函数的性质逐一判断即可.【详解】对于A ：是偶函数，但在上不是单调函数，A 不符； cos y x =()0,∞+对于B ：是偶函数，且在上单调递减，B 符合； 2y x =-()0,∞+对于C ：是偶函数，且在上单调递增，C 不符； y x =()0,∞+对于D ：是偶函数，且在上单调递减，D 符合. 221y x x-==()0,∞+故选：BD.10. 设实数a ，b 满足，则下列不等式中正确的是（）01b a <<<A.B.11a b a b+>+1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. D.ln ln a b >b b a b <【答案】BC 【解析】【分析】选项A ：做差判断；选项BCD ：构造函数，利用函数单调性判断.【详解】对于A ：，，，()()111b a ab a b a b ab --⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭01b a <<< 0,10,0b a ab ab ∴-<->>，即，A 错误； 110a b a b ⎛⎫+-+< ⎪⎝⎭11a b a b +<+对于B ：函数在上的单调递减，又，，B 正确；12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭R b a <1122a b⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于C ：函数在上的单调递增，又，，C 正确； ln y x =()0,∞+b a <ln ln a b \>对于D ：函数在上的单调递增，又，，D 错误； ,0b y x b =>()0,∞+b a 故选：BC.11. 给出下列四个命题，其中是真命题的为（） A. 如果θ是第一或第四象限角，那么 cos 0θ>B. 如果，那么θ是第一或第四象限角 cos 0θ>C. 终边在x 轴上的角的集合为{}2,Z k k ααπ=∈D. 已知扇形OAB 的面积为1，周长为4，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为2 【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，利用三角函数的定义即可判断；对于B ，举反例即可；对于C ，直接写出对应角的集合；对于D ，利用扇形的面积和弧长公式即可【详解】对于A ，若θ是第一或第四象限角，根据三角函数的定义可得，故正确； cos 0θ>对于B ，若，则，但此时θ不是第一或第四象限角，故错误； 0θ=cos 10θ=>对于C ，终边在x 轴上的角的集合为，故错误； {},Z k k ααπ=∈对于D ，设扇形的圆心角的弧度数为，半径为，βr 则，解得，故正确 224112r r r ββ+=⎧⎪⎨=⎪⎩21r β=⎧⎨=⎩故选：AD12. 已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）()2,12,1a x x a x f x x --⎧≥=⎨<⎩A.1a =B.1a =-C. 函数是偶函数 ()1y f x =+D. 关于x 的不等式的解集为 ()12f x >()0,2【答案】ACD 【解析】【分析】根据函数图象可得函数图象的对称轴，进而求得参数a 的值，判断A ，B ；根据图象的平移结合偶函数的性质可判断C ；分段解不等式可得不等式的解集，判断D. ()12f x >【详解】由函数图像可知为函数的对称轴，即函数满足， 1x =()f x ()2()f x f x -=则当时，则，故，则， 1x >21x -<2,222x a a x x a a x ---∴--=-=1a =同理当时，则，故，则， 1x <21x ->2,222a x x a a x x a -+--+=∴=-1a =综合可知，A 正确；B 错误.1a =将的图象向左平移1个单位，即得函数的图象，()2,12,1a x x a x f x x --⎧≥=⎨<⎩()1,R y f x x =+∈则的图象关于y 轴对称，故为偶函数，C 正确；()1y f x =+()1y f x =+当时，，令，解得，故； 1x ≥1()2x f x -=1212x->2x <12x ≤<当时，，令，解得，故，1x <1()2x f x -=1122x ->0x >01x <<综合可得，即不等式的解集为，D 正确，02x <<()12f x >()0,2故选：ACD【点睛】方法点睛：解答本题，要注意数形结合的思想方法，同时要结合函数图像的特征，利用相应的定义去判断解答，即可求解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 函数_____________． ()()2log 2f x x =-+【答案】 [)3,2-【解析】【分析】直接根据对数的真数大于零及被开方数不小于零列不等式求解. 【详解】由已知得，解得， 22090x x ->⎧⎨-≥⎩32x -≤<即函数. ()()2log 2f x x =-+[)3,2-故答案为：. [)3,2-14. 已知，，则_____________． 12sin cos 25αα=-π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin cos αα-=【答案】## 751.4【解析】【分析】先通过角的范围确定的符号，然后通过计算可得答案. sin cos αα-()2sin cos αα-【详解】， π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，即，sin 0,cos 0αα∴><sin cos 0αα->又， ()21249sin cos 12sin cos 122525αααα⎛⎫-=-=-⨯-=⎪⎝⎭. 7sin cos 5αα∴-=故答案为：. 7515. 已知函数在上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式是()y f x =R 0x ≥()f x =0x <()f x _____________．【答案】()f x =【解析】【分析】利用奇函数的定义计算即可得答案.【详解】函数在上为奇函数，且当时，()y f x =R 0x ≥()f x =当时，，0x <0x ->，()()f x f x ∴=--=故答案为：.()f x =16. 对于函数和，设，，若存在使得，则()f x ()g x (){}0x f x α∈=(){}0x g x β∈=,,αβ1αβ-≤称函数和互为“零点相邻函数”，若函数与()f x ()g x ()()ln 23f x x x =-+-互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围为_____________．()()()22log 1g x x a =-+⋅2log 3x +【答案】1,3⎡⎤-⎣⎦【解析】【分析】首先求出函数的零点，从而得，结合新定义可得，则，从而可知()f x 3α=31β-≤24β≤≤方程在区间上存在实数根，通过分离参数并化简整理得()()22log 1x a -+⋅2log 3x +[]2,4，结合函数的单调性求出值域，从而确定实数的取值范围.2231log log a x x+=+a 【详解】函数是上的单调递增函数，且，据此可知， ()()ln 23f x x x =-+-()2,+∞()30f =3α=结合“零点相邻函数”的定义可得，则，31β-≤24β≤≤据此可知函数在区间上存在零点，()()()22log 1g x x a =-+⋅2log 3x +[]2,4即方程在区间上存在实数根，()()22log 1x a -+⋅2log 30x +=[]2,4整理可得：， ()22222log 331log log log x a x xx++==+令，则， 2log ,12t x x =≤≤31a t t +=+根据对勾函数的性质，函数在区间上单调递减，在上单调递增，又()3h t t t=+⎡⎣2⎤⎦()14,h h ==(2)h =则314a t t ⎡⎤+=+∈⎣⎦据此可知实数的取值范围是. a 1,3⎡⎤-⎣⎦故答案为：1,3⎡⎤-⎣⎦【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.四、解答题：本题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 计算：（1）；()110520.01321π---++（2）．3log 22log 8lg 2lg 53++-【答案】（1）5（2）2【解析】【分析】（1）直接计算指数幂即可；（2）利用对数的运算性质计算即可.【小问1详解】；()110520.01321102125π---+=---=【小问2详解】．()3log 22log 8lg 2lg 53lg 25223=+++-⨯-=18. 已知集合，． {}20log 3A xx =≤≤∣{}08B x x =<<（1）求：A B ⋃（2）若集合，且，求实数a 的取值范围{}9C x a x a =≤≤+A C ⊆【答案】（1）{}08x x <≤（2）11a -≤≤【解析】【分析】（1）先求出集合A 中元素范围，然后直接求即可；A B ⋃（2.【小问1详解】，又，{}{}20log 318A x x x x =≤≤=≤≤ ∣∣{}08B x x =<<；{}08A B x x ∴⋃=<≤【小问2详解】，，，{}18A x x =≤≤ ∣{}9C x a x a =≤≤+A C ⊆， 198a a ≤⎧∴⎨+≥⎩解得.11a -≤≤19. 如图，在平面直角坐标系中，角和角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆交于点αβαA ，将射线OA 绕坐标原点沿顺时针方向旋转后，所得射线与单位圆交于点B ，且射线OB 是角的终π2β边．（1）求的值； ()()sin cos 23πco πs πsin 2αββα⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎫++ ⎪⎝⎭（2）若点A ，求的值． ()tan πβ-【答案】（1）1（2） 12【解析】【分析】（1）利用的关系及诱导公式计算即可；,αβ（2）先通过三角函数的定义得，然后利用的关系及诱导公式计算即可.sin ,cos αα,αβ【小问1详解】由已知， π2π,Z 2k k αβ=++∈； ()()()sin cos sin sin sin sin cos sin 213πcos cos cos sin cos πsi π2ππ2n cos c 22os π2πk k αββαβββαββαβββββ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭∴⎛⎫++==⎭-=-=--+ ⎪⎝⎛-⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎪⎫+ ⎝⎭【小问2详解】若点A ，则sin αα===. ()2sin t π2πcos 12πsin cos 2πan πt 2an k k βαβααα⎛⎫-- ⎪⎝⎭==⎛⎫-- ⎪⎝-=-=-⎭20. 某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q （单位：元/10kg ）与上市时间t （单位：天）的数据如下表：时间t7 9 10 11 13 种植成本Q 19 11 10 11 19为了描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系，现有以下四种函数模型供选择：①，()Q t a t b =⋅+②，()2Q t a t b t c =⋅+⋅+③， ()tQ t a b =⋅④．()log b Q t a t =⋅（1）选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由，同时求出相应的函数解析式；（2）在第（1）问的条件下，若函数在区间上的最大值为110，最小值为10，求实数m 的最()Q t []0,m 大值．【答案】（1）选择，理由见解析，()2Q t a t b t c =⋅+⋅+()220110Q t t t =-+（2）20【解析】【分析】（1）由表中数据可知，先单调递减后单调递增，故选择满足题意的二次函数，然后利用待()Q t 定系数法即可求解；（2）通过二次函数的性质即可求出实数m 的最大值【小问1详解】由表中数据可知，先单调递减后单调递增，()Q t 因为，，都是单调函数，所以不符合题意， ()Q t a t b =⋅+()tQ t a b =⋅()log b Q t a t =⋅因为可先单调递减后单调递增，故符合题意，()2Q t a t b t c =⋅+⋅+由表格数据可得，解得，2221977101010111111a b c a b c a b c ⎧=⨯+⨯+⎪=⨯+⨯+⎨⎪=⨯+⨯+⎩120110a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以，经检验其他几组数据也满足表达式 ()220110Q t t t =-+【小问2详解】由（1）知，故其对称轴为，且开口向上， ()()21010Q t t =-+10t =，所以()()()()22001010110,20201010110,Q Q =-+==-+=()()21010101010Q =-+=，1020m ≤≤所以实数m 的最大值为2021. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象()()()sin 0,0,0πf x A x B A ωϕωϕ=++>><<时，列表并填入了部分数据，如下表： x π6- π3x ωϕ+0 π2 π 3π2 2π()f x 1 －1（1）求函数的解析式；()f x （2）当时，求函数的最大值及相应的x 值； ,4π11π12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x （3）求关于x 的不等式的解集．()2f x >【答案】（1） ()2sin 21f x x ⎛=++ ⎝（2）最大值3，或 11π12x =-π12x =（3） πππ,π,Z 124k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据表中数据列方程组求解即可；（2）通过的范围求出的范围，然后利用正弦函数的性质求最值； x π23x +（3）利用正弦函数的图像和性质来解不等式即可.【小问1详解】由表可得，解得，π06ππ3sin 013πsin 12A B A B ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎪+=⎪⎨⎪+=⎪⎪+=-⎪⎩2π321A B ωϕ=⎧⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪=⎪⎩； ()π2sin 213f x x ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭【小问2详解】当时，， 11π124πx -≤≤5ππ2π2336x -≤+≤ π1sin 213x ⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭当或，即或时，函数取最大值3； ∴π3π232x +=-ππ232x +=11π12x =-π12x =()f x 【小问3详解】关于x 的不等式，即， ()2f x >π2sin 2123x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭， π1sin 232x ⎛⎫∴+> ⎪⎝⎭， ππ5π2π22π,Z 636k x k k ∴+≤+≤+∈， ππππ,Z 124k x k k ∴-+≤≤+∈关于x 的不等式的解集为. ∴()2f x >πππ,π,Z 124k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦22. 已知函数（a 为常数，）．()22x x f x a -=⋅-R a ∈（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；()f x （2）当为偶函数时，若对任意的，不等式恒成立，求实数m ()f x [)2,0x ∈-()()220f x mf x --≥的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2） 17,.4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）求出和时的具体值，即可判断奇偶；()()=f x f x -()()f x f x -=-a （2）由（1）可得，题意可转化成对恒成立，设()22x x f x -=--22x x m -≥+[2,0)x ∈-12,14x t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，，利用单调性的定义判断在上为减函数，即可求解 ()1t t t ϕ=+()t ϕ1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭【小问1详解】函数的定义域为，，()22x x f x a -=⋅-R ()22x x f x a --=⋅-当时，即，解得，()()=f x f x -2222x x x x a a --⋅-=⋅-()(1)220x x a -+-=1a =-所以时，函数是偶函数，1a =-()f x 当时，即，解得，()()f x f x -=-()2222x x x x a a --⋅-=-⋅-()(1)220x x a --+=1a =所以时，函数是奇函数，1a =()f x 综上所述，当时，函数是奇函数；1a =()f x 当时，函数是偶函数；1a =-()f x 当时，函数是非奇非偶函数1a ≠±()f x 【小问2详解】为偶函数，根据（1）可知()f x 1,()22.x x a f x -=-=--对于任意的，都有成立，故即[2,0)x ∈-(2)()20f x mf x --≥()22222220x x x x m --------≥， ()()22222x x x x m --+≤+因为，所以对恒成立，220x x -+>22x x m -≥+[2,0)x ∈-设，， 12,14x t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭()1t t t ϕ=+任取，且，即， 121,,14t t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭12t t <12114t t ≤<<则， ()()()12121212121111t t t t t t t t t t ϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()1212211212121t t t t t t t t t t t t ---=-+=因为，所以，可得，即 12114t t ≤<<12120,1t t t t -<<()()120t t ϕϕ->()()12t t ϕϕ>所以在上为减函数，，故 ()t ϕ1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭max 117()44t ϕϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭174m ≥所以实数m 的取值范围是 17,.4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】方法点睛：函数存在性和恒成立问题，构造新函数并利用新函数的性质是解答此类问题的关键，并注意把握下述结论：①存在解；恒成立；()()f x g a <min ()()f x g a ⇔<()()f x g a <max ()()f x g a ⇔<②存在解；恒成立；()()f x g a ≤min ()()f x g a ⇔≤()()f x g a ≤max ()()f x g a ⇔≤③存在解；恒成立；()()f x g a >max ()()f x g a ⇔>()()f x g a >min ()()f x g a ⇔>④存在解；恒成立()()f x g a ≥max ()()f x g a ⇔≥()()f x g a ≥min ()()f x g a ⇔≥。

广东省广州中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题(含答案解析)

广东省广州中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}318A x x =->,{}10B x x =≤,则A B = （）A ．()10+∞，B ．()3,10C ．(]3,10D ．[)10+∞，2．下列函数既是偶函数,又在区间()0,3上是减函数的是（）A ．ln y x=B ．y =C ．cos y x =D ．e e x xy-=+3．若a ，b 是实数，则a b >是lg lg a b >的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．函数sin cos 36y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为（）A BC ．1D ．25．设160.7a =,130.9b =,2log 0.8c =,则a,b,c 的大小关系是（）A ．b a c>>B ．a b c>>C ．c a b >>D ．a c b>>6．函数cos y x x =⋅,[]5,5x ∈-的大致图象为（）A ．aB ．C ．D ．7．已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的,且有如下对应值表:x 1234()f x 532-5-那么函数()()2g x f x x =-一定存在零点的区间是（）A ．()–,1∞B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,48．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在容积为40L 的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出L V 用水补满，搅拌均匀，第二次倒出4L 5V 后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V 的最小值为（）A ．5B ．10C ．15D ．20二、多选题9．设,,a b c ∈R ，且0b a <<，则下列结论一定正确的是（）A ．11b a>B ．22ac bc >C ．22a b >D ．ab a b>+10．已知1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则（）A ．sin 63πα⎛⎫+=⎪⎝⎭B ．51cos 63πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭C ．1sin 33πα⎛⎫-=⎪⎝⎭D ．角α可能是第二象限角11．以下结论正确的是（）A ．函数2(1)x y x+=的最小值是4B ．若,R a b ∈且0ab >，则2b aa b+≥C ．若x ∈R ，则22132x x +++的最小值为3D ．函数12(0)y x x x=++<的最大值为012．已知函数()2221,021,0x x x f x x x x ⎧++≥=⎨-++<⎩，则下列判断正确的是（）A ．()f x 为奇函数B ．对任意12,x x ∈R ，且12x x ≠，则有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦C ．对任意x ∈R ，则有()()2f x f x +-=D ．若函数|()|y f x mx =-有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是(,0)(4,)-∞+∞三、填空题13．计算:22318lg 902lg 34-⎛⎫++-= ⎪⎝⎭________.14．已知扇形的圆心角为3π，弧长为45π，则扇形的面积为___________.15．已知πtan α26⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则7tan 2απ12⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．16．已知函数21()21x x f x -=+，若对于任意的[,2]x t t ∈+，不等式()()0f x t f x -+≤恒成立，则实数t 的取值范围是___________．四、解答题17．已知集合R {1A xx =≤-∣ð或3}x ≥，集合{23}B x k x k =<<+∣.(1)当1k =-时，求A B ⋂；(2)若A B ⋂是空集，求实数k 的取值范围.18．已知α为第一象限角,且sin 2cos αα=.（1）求sin 2α的值;（2）求的sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭值.19．已知函数()e ,()xf xg x =e 为自然对数的底数，e 2.71828=⋅⋅⋅．(1)判断()g x 单调性，并用定义证明；(2)求方程()()f x g x =实数解的个数．20．已知函数()sin sin cos 66f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为1，（1）求常数a 的值；（2）求函数()f x 的单调递减区间；（3）求使()0f x成立的x 的取值集合.21．国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验》国家标准．新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车．经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下：该函数模型如下：0.540sin()13,02()39014,2x x x f x ex π-⎧+≤<⎪=⎨⎪⋅+≥⎩根据上述条件，回答以下问题：（1）试计算喝1瓶啤酒多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？（2）试计算喝一瓶啤酒多少小时后才可以驾车？（时间以整小时计算）（参考数据：ln15 2.71,ln 30 3.40,ln 90 4.50≈≈≈）22．已知函数()()()ln e 1,()ln e 1x xf xg x =+=-．(1)试判断函数1()2f x x -的奇偶性，并证明；(2)若对任意的[ln 2,ln 4]x ∈，都有不等式()()ln 0g x f x x k --+≥恒成立，求实数k 的取值范围．参考答案：1．C【解析】化简集合A ，再求交集.【详解】{}318{|3}A x x x x =->=> {|310}A B x x ∴⋂=<≤故选：C【点睛】本题主要考查了集合间的交集运算，属于基础题.2．C【解析】根据奇偶性的判断排除B 选项，根据单调性排除A ，D.【详解】令()ln ||,(,0)(0,)f x x x =∈-∞⋃+∞，()ln ||ln ||()f x x x f x -=-==，则ln y x =为偶函数当0x >时，ln ln y x x ==，在(0,)+∞上单调递增，故A 错误；令()g x x R =∈，则()()g x g x -===-，则函数y =为奇函数，故B 错误；令()cos ,h x x x R =∈，()cos()cos ()h x x x h x -=-==，则函数cos y x =为偶函数cos y x =在区间(0,)π上单调递减，则cos y x =在区间()0,3上是减函数，故C 正确；令(),x x t x e e x R -=+∈，()()x x t x e e t x --=+=，则函数e e x x y -=+是偶函数令()()()()12111221221212 0,1x x x x x x x x x x e e e x x t x t x e e e e e --++-≤<-=+---=因为120x x ≤<，所以22110,10x x x x e e e +<->-，即()()120t x t x -<所以函数e e x x y -=+在(0,)+∞上单调递增，故D 错误；故选：C【点睛】本题主要考查了利用函数奇偶性以及单调性定义判断函数的奇偶性和单调性，属于基础题.3．B【分析】由对数函数单调性即可得到二者之间的逻辑关系.【详解】由lg lg a b >可得a b >；但是0a b >>时，不能得到lg lg a b >.则a b >是lg lg a b >的必要不充分条件故选：B 4．D【解析】利用诱导公式得出cos sin 63x x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合正弦函数的性质，得出最大值.【详解】cos cos sin 6233x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2sin 3y x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭即当62,x k k Z ππ=+∈时，y 取最大值2故选：D【点睛】本题主要考查了诱导公式以及正弦型函数的最值，属于基础题.5．A【解析】利用6y x =的单调性比较,a b ，c 与0比较即可得出答案.【详解】6620.7,0.90.81a b ===，则66a b <因为函数6y x =在()0,+¥上单调递增，则660a b a b<⇒<<22log 0.8log 10c =<=所以b a c >>故选：A【点睛】本题主要考查了利用幂函数以及对数函数单调性比较大小，属于基础题.6．B【解析】判断函数奇偶性，取特殊值判断即可.【详解】令()cos f x x x =⋅，()cos()cos ()f x x x x x f x -=-⋅-=-⋅=-，则函数cos y x x =⋅为奇函数，则排除D ；3522ππ<<(5)5cos50f ∴=⨯>，则排除AC故选：B【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，属于基础题.7．B【解析】利用零点存在性定理判断即可.【详解】()()()()112523,224341g f g f =-=-==-=-=- ()()120g g ∴<则函数()()2g x f x x =-一定存在零点的区间是()1,2故选：B【点睛】本题主要考查了利用零点存在性定理判断零点所在区间，属于基础题.8．B【分析】依据题意列出不等式即可解得V 的最小值.【详解】由4540(40)4060%40VV V ---≤⨯，解得1040V ≤≤则V 的最小值为10.故选：B 9．AD【分析】根据不等式的性质判断AD ，列举例子判断BC.【详解】A.0b a <<Q ，同除ab 可得11b a>，A 正确；B.当2c =0时，22ac bc =，B 错误；C.若1,2a b =-=-，此时有22a b <，C 错误；D.0,0ab a b >+<，故ab a b >+，D 正确.故选：AD.10．BC【分析】根据给定条件结合诱导公式、同角公式逐项分析、计算并判断作答.【详解】因1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则6πα+是第一象限或者第四象限角，当6πα+是第四象限角时，sin 63πα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，A 不正确；51cos cos[()]cos()6663πππαπαα⎛⎫-=-+=-+=- ⎪⎝⎭，B 正确；1sin sin[()]cos()32663ππππααα⎛⎫-=-+=+= ⎪⎝⎭，C 正确；因6πα+是第一象限或者第四象限角，则()66ππαα=+-不可能是第二象限角.故选：BC11．BD【分析】结合基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A.对于函数2(1)x y x+=，当0x <时，0y <，所以A 选项错误.B.由于0ab >，所以0,0b aa b>>，所以2b a a b +≥=，当且仅当22,b a a b a b ==时等号成立，所以B 选项正确.C.2222113211322x x x x ++=+++≥+=++，但22122x x +=+无解，所以等号不成立，所以C 选项错误.D.由于0x <，所以()1122220y x x x x ⎡⎤=++=--+≤-⎢⎥-⎣⎦，当且仅当1,1x x x-==--时等号成立，所以D 选项正确.故选：BD 12．BCD【分析】举出反例可得函数不是奇函数，A 错误；研究二次函数的单调性得到B 正确；分情况讨论并计算可判断C 正确；构造函数|()|(),f x g x y m x==，将函数的零点转化为两个函数图象的交点问题可判断D 正确．【详解】A 选项，(1)4,(1)2f f =-=-，即(1)(1)f f -≠-，则()f x 不是奇函数，即A 不正确；B 选项，0x <时，()22()2112f x x x x =-++=--+，对称轴为1x =，开口向下，故()f x 在(,0)-∞上递增，0x ≥时()22()211f x x x x =++=+，对称轴为=1x -，开口向上，故()f x 在(0,)+∞上递增，且2202010201-+⨯+=+⨯+，于是得()f x 在R 上单调递增，则()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，B 正确；C 选项，0x >时，()220,()()21()2()12x f x f x x x x x ⎡⎤-<+-=+++--+-+=⎣⎦，0x <时，()220,()()21()2()12x f x f x x x x x ⎡⎤->+-=-+++-+-+=⎣⎦，0x =时，()()2(0)2f x f x f +-==综上得：对任意x ∈R ，则有()()2f x f x +-=成立，C 正确；D 选项，因为(0)1f =，则0不是|()|y f x mx =-的零点，0x ≠时，|()||()|0f x f x mx m x-=⇔=，令|()|(),f x g x y m x==，依题意函数()y g x =的图象与直线y m =有两个公共点，0x <时，令2()210f x x x =-++≥，解得：1x ⎡∈+⎣，结合0x <可得：)1x ⎡∈-⎣，令2()210f x x x =-++<，解得：((),11x ∈-∞+∞ ，结合0x <可得：(,1x ∈-∞-，0x ≥时，()22()2110f x x x x =++=+≥恒成立，综上：()0f x ≥时，1()0x f x ≥<时，1x <于是得()12,012,1012,1x x x g x x x x x x x ⎧++>⎪⎪⎪=-++≤<⎨⎪⎪--<⎪⎩，由对勾函数知，()g x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，又()g x在[1上递减，在(,1-∞上递增，如图：直线1y m =与()y g x =的图象有两个公共点，14m >，直线2y m =与()y g x =的图象有两个公共点，20m <，从而得函数()y g x =的图象与直线y m =有两个公共点时0m <或4m >，所以实数m 的取值范围是(,0)(4,)-∞+∞ ，D 正确．故选：BCD ．13．21【解析】由指数的运算性质与对数的运算性质化简即可得出答案.【详解】()222233318lg 902lg 342lg 9lg10lg 9214-⎛⎫++-=++-= ⎪⎭+⎝故答案为：21【点睛】本题主要考查了指数的运算性质与对数的运算性质，属于基础题.14．2425π【分析】利用圆心角和弧长求出半径，根据扇形面积公式求解即可.【详解】依题意，扇形的半径412553l r ππα===，所以扇形的面积1141224225525S lr ππ==⨯⨯=，故答案为：2425π.15．17-【分析】由题意利用二倍角的正切公式求得πtan 2α3⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再利用两角和的正切公式求得7ππtan 2απtan 2α1234⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．【详解】已知πtan α26⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2π2tan απ46tan 2απ331tan α6⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭∴+==- ⎪⎛⎫⎝⎭-+ ⎪⎝⎭，则ππtan 2αtan7ππ134tan 2απtan 2αππ123471tan 2αtan 34⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=++==- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-+ ⎪⎝⎭，故答案为17-．【点睛】本题主要考查二倍角的正切公式，两角和的正切公式的应用，属于基础题．16．(,4]-∞-【分析】先判断()f x 在R 上是奇函数和增函数，故题意可转化成2,[,2]x t x t t ≤∈+，求()max 2x 即可求解【详解】()f x 的定义域为R ，且2112()()2112x x x xf x f x -----===-++，所以()f x 为奇函数，212()12121x x x f x -==-++，对任意12,x x <()()()()()12122112122222222110212121212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---=-=< ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为单调递增函数，由()()0f x t f x -+≤，得()()f x t f x -≤-，即()()f x t f x -≤-，所以,[,2]x t x x t t -≤-∈+，即2,[,2]x t x t t ≤∈+恒成立，因为当[,2]x t t ∈+时，()()max 222x t =+，所以2(2),t t +≤，解得4t ≤-，故答案为：(,4]-∞-．17．(1){12}xx -<<∣(2){4k k ≤-∣或3}2k ≥【分析】（1）先根据补集的定义求出集合A ，再将集合,A B 取交集；（2）需要分类讨论集合B 是否为空集.【详解】（1）集合{13}A xx =-<<∣，当1k =-时，集合{22}B xx =-<<∣，所以{12}A B xx =-<< ∣.（2）当A B ⋂是空集时，分两种情况：情况一：集合B =∅时，23k k ≥+，所以3k ≥；情况二：集合B ≠∅时，3k <，要使A B ⋂是空集，则需要满足31k +≤-或23k ≥，解得4k ≤-或32k ≥，所以这种情况下，实数k 的取值范围为{4kk ≤-∣或33}2k ≤<.综上，实数k 的取值范围为{4k k ≤-∣或3}2k ≥.18．（1）45；（2【解析】（1）利用平方关系以及二倍角的正弦公式求解即可；（2）利用两角和的正弦公式求解即可.【详解】（1）2222sin cos 1(2cos )cos 1αααα+=⇒+=cos αα∴=4sin 22sin cos 2555ααα∴=⋅=⨯=（2）3sin sin cos 42225510πααα⎛⎛⎫+=+=⨯+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查了二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式，属于基础题.19．(1)()g x 为(1,)-+∞上的单调递减函数；证明见解析(2)唯一的实数解【分析】（1）根据函数单调性的定义判断并证明即可；（2）令()()()e x h x f x g x =-=-，易知()h x 在(1,)-+∞单调递增，又因为102h ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，1(0)02h =>，所以()h x 在(1,)-+∞存在唯一零点01,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，从而得出结论．【详解】（1）()g x =(1,)-+∞对任意的121x x -<<()()12g x g x -+-+==所以()()12,()g x g x g x >为(1,)-+∞上的单调递减函数.（2）由()()f x g x =可得()()0f x g x -=，令()()()e x h x f x g x =-=-易知()h x 在(1,)-+∞单调递增又因为102h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1(0)02h =>所以()h x 在(1,)-+∞存在唯一零点01,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭所以()()f x g x =有唯一的实数解01,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.20．（1）1a =-；（2）42,2,33k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ；（3）2|22,3x k x k k πππ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭Z 【解析】（1）利用两角和与差的公式化简成为sin()y A x ωϕ=+的形式，根据三角函数的性质可得a 的值．（2）将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；（3）根据三角函数的性质求解()0f x成立的x 的取值集合．【详解】（1）由题意：函数()sin()sin(cos 66f x x x x a ππ=++-++，化简得：()sin cos cos sin sin cos cos sin cos 6666f x x x x x x aππππ=++-++cos x x a=++2sin()6x a π=++，sin()6x π+ 的最大值为1，()211f x a ∴=⨯+=，解得：1a =-．（2）由（1）可知()2sin(16f x x π=+-．根据三角函数的性质可得：[262x k πππ+∈+，32]()2k k Z ππ+∈．即322262k x k πππππ+++ ，()k ∈Z 解得：42233k x k ππππ++ ，()k ∈Z ，()f x ∴的单调递减区间为42,2,33k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ；（3）由题意：()0f x ，即2sin(106x π+- ，可得：1sin(62x π+ ．522666k x k πππππ∴+++ ，()k ∈Z ．解得：2223k x k πππ+ ．()k ∈Z()0f x ∴ 成立的x 的取值范围是2|22,3x k x k k πππ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭Z ．【点睛】本题考查了三角函数的化简和计算能力，三角函数的性质的运用．属于基础题．21．（1）喝1瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精含量达到最大值53毫克/百毫升；（2）喝1瓶啤酒后需6小时后才可以驾车.【详解】（1）由图可知，当函数()f x 取得最大值时，02x <<，此时()40sin 133f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当32x ππ=，即32x =时，函数()f x 取得最大值为max 53y =.故喝1瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精含量达到最大值53毫克/百毫升.（2）由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升时可以驾车，此时2x >.由0.5901420x e -+<，得：0.5115x e-<，两边取自然对数得：0.51ln ln 15x e-<即0.5ln15x -<-，∴2ln15 5.42x >≈，故喝1瓶啤酒后需6小时后才可以驾车.22．(1)偶函数；证明见解析(2)20,3⎡+∞⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断并证明；（2）利用参变量分离法可得()e e 1e 1x x x k +≥-在[ln 2,ln 4]x ∈上恒成立，利用换元法(令e 1x t =-)及函数的单调性求出()e e 1e 1x x x +-的最大值，即可求解k 的取值范围．【详解】（1）()1h()ln e 12x x x =+-的定义域为R ()()()e e 111e 1()()ln e 1ln e 1ln ln 02e e 211x x x xx x x h x h x x x x --+⎛⎫+--=+--+-=-=-= ⎪++⎝⎭所以()1()ln e 12x h x x =+-为偶函数.（2）对任意的[ln 2,ln 4]x ∈，都有不等式()()ln 0g x f x x k --+≥恒成立，∴e 1ln ln 0e 1x x x k --+≥+恒成立，即e 1ln ln 0e 1x x x lne k --+≥+在[ln 2,ln 4]x ∈上恒成立，即()e e 1e 1x x x k +≥-在[ln 2,ln 4]x ∈上恒成立，令e 1,[1,3]x t t =-∈∴()e e 1(1)(2)23e 1x x x t t t t t +++==++-令2()3,[1,3]g t t t t=++∈121212121212121222222()()3(3)()()()t t g t g t t t t t t t t t t t t t --=++-++=-+-=-当12,t t ⎡∈⎣且12t t <时，1212120,20,0t t t t t t -<-<>，则12()()0g t g t ->当12,t t ⎤⎦∈且12t t <时，1212120,20,0t t t t t t -<->>，则12()()0g t g t -<可得()g t在⎡⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增又20(1)6,(3)3g g ==，所以()g t 在[1,3]上的最大值为203∴203k ≥，即实数k 的取值范围是20,3⎡+∞⎫⎪⎢⎣⎭．。

高一数学期末考试试题及答案

俯视图高一期末考试试题命题人:增城高级中学吴玮宁一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题中的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1.已知集合{}/8,M x N x m m N =∈=-∈，则集合M 中的元素的个数为（） A.7 B.8 C.9 D.102.已知点(,1,2)A x 和点(2,3,4)B，且AB =，则实数x 的值是（） A.3-或4 B.6或2 C.3或4- D.6或2- 3.已知两个球的表面积之比为1:9，则这两个球的半径之比为（） A.1:3B.1:1:9 D.1:814.圆221x y +=上的动点P 到直线34100x y --=的距离的最小值为（） A.2 B.1 C.3 D.45.直线40x y -+=被圆224460x y x y ++-+=截得的弦长等于（）A.6.已知直线1:20l ax y a -+=,2:(21)0l a x ay a -++=互相垂直,则a 的值是( ) A.0 B.1 C.0或1 D.0或1-7.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A.()y x x R =-∈B.3()y x x x R =--∈C.1()()2xy x R =∈ D.1(,0)y x R x x=-∈≠且 8.如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，主视图左视图俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（）A.4πB.54πC.πD.32π9.设,m n 是不同的直线，,,αβγ是不同的平面，有以下四个命题：①//////αββγαγ⎫⇒⎬⎭ ②//m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭ ③//m m ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⎭ ④////m n m n αα⎫⇒⎬⊂⎭其中，真命题是（） A.①④ B.②③ C.①③ D.②④10.函数2()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是（） A.()1,2 B.()2,3 C.11,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(),e +∞ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）11.设映射3:1f x x x →-+，则在f 下，象1的原象所成的集合为12.已知2()41f x x mx =-+在(],2-∞-上递减，在[)2,-+∞上递增，则(1)f =13.过点(3,2)A 且垂直于直线4580x y +-=的直线方程为14.已知12,9x y xy +==，且x y <，则12112212x y x y-=+三、解答题。

广东省广州市高一数学上学期期末模拟试题带答案

广东省广州市高一数学上学期期末模拟试题带答案一、选择题1．已知全集{}=0,1,2,3,4U ，集合{}=1,2,3A ，{}=2,4B ，则()=U C B A （）A ．{}0,1,2,3B ．{}1,3C ．{}1,2,3,4D ．{}0,2,42．若函数()13f x x =-的定义域是（） A ．[)1,3-B ．[)1,-+∞C ．[)()1,33,-⋃+∞D ．()3,+∞3．225︒化为弧度是（） A ．34π B ．54π C ．43π D ．76π4．已知角θ的终边经过点)P ，则sin θ=（）A ．67B C D 5．函数()22xf x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是（）A ．()1,3B ．()1,2C ．()0,3D ．()0,26．碳14是碳的一种具放射性的同位素，1940年被人类首次发现，而后利用其半衰期发明的碳十四测年技术被广泛用于考古研究．其基本原理是，以年为单位，死亡生物机体中原有的碳14按确定的规律衰减．设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14含量为1，1年后残留量为x ，2年后残留量为2x ，3年后残留量为3x ……以此类推，一个生物体内放射性碳14衰变至原来数量的一半所需的时间，叫做碳14的半衰期．已知生物体内碳14的半衰期为5730年．湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时，碳14的残余量约占原始含量的76.7%，则推算马王堆古墓的年代约为（）（参考数据：lg 0.7670.115,lg 0.50.301,57300.115658.95≈-≈-⨯=） A ．1567年前B ．1857年前C ．2189年前D ．2538年前7．已知函数3,0(),0x e x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，若(1)()f a f a -≥-，则实数a 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．已知定义域为[]7,7-的函数()f x 的图象是一条连续不断的曲线，且满足()()0f x f x -+=.若(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <时，总有()()2112f x f x x x >，则满足()()()()212144m f m m f m --≤++的实数m 的取值范围为（）A ．[]1,3-B ．[]1,5-C ．[]3,5-D ．[]3,3-二、填空题9．已知函数()f x 满足(3)()f x f x +=，且(1)2f =，则下列结论正确的是（） A ．()11f -=B ．(0)0f =C ．(4)2f =D ．(10)2f =10．已知定义在R 上的函数()f x 的图象连续不断，若存在常数λ（R λ∈），使得()()0f x f x λλ++=对任意的实数x 恒成立，则称()f x 是回旋函数．给出下列四个命题中，正确的命题是（）．A ．函数()f x a =（其中a 0≠）为回旋函数的充要条件是1λ=-．B ．若函数()x f x a =（1a >）为回旋函数，则1λ>．C ．函数()cos f x x π=不是回旋函数．D ．若()f x 是2λ=的回旋函数，则()f x 在[0,2020]上至少有1010个零点． 11．若0a b >>，则（） A ．a c b c -<-B ．22a b >C ．ac bc >D ．11a b< 12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为()1,0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数关于函数()D x 有以下四个命题，其中真命题有（）A ．()D x 既不是奇函数也不是偶函数B ．()(),r Q D x r D x ∀∈+=C ．()(),D 1x R D x ∀∈=D ．()()(),,x y R D x y D x D y ∃∈+=+三、多选题13．若命题“∃x 0∈R ，x 02﹣2x 0﹣a ＝0”为假命题，则实数a 的取值范围是_____． 14．若函数()f x 满足：在定义域D 内存在实数0x ，使得()()001(1)f x f x f +=+成立，则称函数()f x 为“1阶马格丁香小花花”函数．给出下列四个函数：①1()f x x=；②()x f x e =；③()2()lg 2f x x =+；④()cos f x x π=．其中是“1阶马格丁香小花花”函数的所有函数的序号是___________；15．已知0x >，0y >，且4x yxy x y +=+，则11x y+的最小值为________. 16．若函数sin()(0)y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则ω的值为_______________．四、解答题17．已知函数()223f x x x =--.(Ⅰ)设集合(){|0}A x f x =>,(){|0}B x f x ==,(){|0}C x f x =<,分别指出2,3,4是A ,B ,C 中哪个集合的元素;(Ⅱ)若R a ∃∈,[)12,,x x a ∀∈+∞,当12x x <时,都有()()12f x f x <,求实数a 的取值范围. 18．已知函数()()sin (0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<图象上相邻两个零点的距离为2π．（1）若()y f x =的图象过点(,0)12π，求函数()f x 的解析式；（2）若函数()y f x =是偶函数，将()y f x =的图象向右平移4π个单位长度，得到()y g x =的图象，求函数22[()]()2x y f g x =-在(0,)2π上的值域．19．已知定义域为R 的函数()f x 是奇函数，当0x >时，()1213xx f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的t R ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围．20．某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：万元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式3C x =+，每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 的函数关系式35,07819,7k x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩.已知每日的利润L S C =-，且当2x =时，143L =.（1）求k 的值，并将该产品每日的利润L 万元表示为日产量x 吨的函数；（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值.21．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在（单位：）时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度（单位：）由关系式确定，其中，，．在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为．且最高点与最低点间的距离为．（1）求小球相对平衡位置的高度（单位：）和时间（单位：）之间的函数关系；（2）小球在内经过最高点的次数恰为50次，求的取值范围．22．已知函数2(1)()()x x a f x x ++=为偶函数．（1）求实数a 的值；（2）记集合{}{}|(),,1,1,2E y y f x x A A ==∈=-，21lg 2lg 2lg5lg54λ=++-，判断λ与E的关系；（3）当11,,(0,0)x m n m n ⎡⎤∈>>⎢⎥⎣⎦时，若函数()f x 值域为[]23,23m n --，求,m n 的值.【参考答案】一、选择题 1．B 【分析】先求U C B ，再与A 求交集即可【详解】∵全集{}=0,1,2,3,4U ，{}=2,4B ∴{}=0,1,3U C B 又{}=1,2,3A ∴()=U C B A {}1,3.故选：B 【点睛】集合的交、并、补运算： (1)离散型的数集用韦恩图； (2)连续型的数集用数轴． 2．C 【分析】根据偶次根号下非负，分母不等于零求解即可. 【详解】解：要使函数有意义，则需满足不等式1030x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得：1x ≥-且3x ≠，故选：C ． 3．B 【分析】根据角度制与弧度制的相互转化，计算即可. 【详解】 52252251804ππ︒=⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查了角度制化为弧度制的应用问题，属于基础题. 4．A 【分析】由正弦函数的定义即可求出. 【详解】角θ的终边经过点)P，6sin7θ∴==.故选：A.5．C【分析】根据零点存在定理得出()()120f f⋅<，代入可得选项.【详解】由题可知：函数()22xf x ax=--单调递增，若一个零点在区间()1,2内，则需：()()120f f⋅<，即122222012a a⎛⎫⎛⎫--⨯--<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得0<<3a，故选：C.【点睛】本题考查零点存在定理，属于基础题.6．C【分析】由题设有573012x=，设马王堆古墓的年代约为n年前则0.767nx=，利用对数的运算性质求n即可.【详解】由题意，知：573012x=，即lg0.5log0.55730lgx x==，得lg0.5lg5730x=，设马王堆古墓的年代约为n年前，则0.767nx=，∴lg0.7675730lg0.7672189lg lg0.5nx⨯==≈.故选：C7．A【分析】首先判断函数的单调性，再将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；【详解】解：因为3,0(),0x e x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，当0x ≤时()x f x e -=单调递减，且()1f x ≥，当0x >时，3()f x x =-单调递减，且()0f x <，所以函数3,0(),0x e x f x x x -⎧≤=⎨->⎩在定义域上单调递减，因为(1)()f a f a -≥-，所以1a a -≤-，解得12a ≤，即不等式的解集为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦故选：A 8．A 【分析】根据(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <，时，总有()()2112f x f x x x >，转化为(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <，时，总有()()2211x f x x f x >，令()()g x xf x =，则()g x 在(]0,7上递增，再根据()()0f x f x -+=，得到()g x 在[]7,7-上是偶函数，将()()()()212144m f m m f m --≤++，转化为()()214g m g m -≤+求解.【详解】令()()g x xf x =，因为(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <时，总有()()2112f x f x x x >，即(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <时，总有()()2211x f x x f x >，即(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <时，总有()()21g x g x >，所以()g x 在(]0,7上递增，又因为()()0f x f x -+=，所以()g x 在[]7,7-上是偶函数，又因为()()()()212144m f m m f m --≤++，所以()()214g m g m -≤+，即()()214g m g m -≤+，所以21747214m m m m ⎧-≤⎪+≤⎨⎪-≤+⎩即3411315m m m -≤≤⎧⎪-≤≤⎨⎪-≤≤⎩，解得13m -≤≤，所以实数m 的取值范围为 []1,3- 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题令()()g x xf x =是关键，利用()g x 在(]0,7上递增，结合()g x 在[]7,7-上是偶函数，将问题转化为()()214g m g m -≤+求解.二、填空题9．CD 【分析】根据函数的周期，计算求值. 【详解】由条件()()3f x f x +=，可知函数的周期3T =，因为()12f =，则()()4102f f ==. 故选：CD 10．AD 【分析】对于选项A,B,C 利用回旋函数的定义判断其是否正确；对于选项D ，由回旋函数的定义可得：(2)2()f x f x +=-，由零点存在性定理知在区间[x ，2]x +上至少有一个零点，可令0x =，2，4，6，⋯，10102⨯，即可得到正确选项．【详解】因为函数()f x a =（其中a 0≠）为回旋函数()()(1)01f x a f x a a λλλλλ⇔+==-=-⇔+=⇔=-，所以选项A 正确；若(1)x y a a =>为回旋函数，则0x x a a λλ++=，即0a λλ+=，0λ∴<，结论不成立，故选项B 错误；假设函数()cos f x x π=是回旋函数，所以cos ()cos 0x x πλλπ++=对任意实数x 都成立，令12x =，则1cos ()0,sin 0,sin 02πλλπλπ+=∴-=∴=；令1x =得cos()0,cos 0,cos =ππλλπλλπλλ+-=∴--=∴-，所以21,1λλ=∴=±，经检验当1λ=±时，cos ()cos 0x x πλλπ++=对任意实数x 都成立，所以函数()cos f x x π=是回旋函数，所以选项C 错误；若()f x 是2λ=的回旋函数，则(2)2()0f x f x ++=，即(2)2()f x f x +=-恒成立，()(2)0f x f x +，∴由零点存在性定理得：函数()f x 在区间[x ，2]x +上至少有一零点，可令0x =，2，4，6，⋯，10102⨯，∴函数()f x 在[0，2020]上至少有1010个零点，故选项D 正确．故选：AD 【点睛】方法点睛：类似本题的定义题，解答时，首先必须要理解掌握这个新的定义，再利用这个定义来解题.所以要解答本题，首先必须理解回旋函数的定义.11．BD 【分析】A. 取2,1,1a b c ===判断；B. 利用不等式的乘方性质判断；C. 取0c 判断；D.利用不等式的取倒数性质判断. 【详解】A. 当2,1,1a b c ===时，a c b c ->-，故错误；B. 由不等式的乘方性质得22a b >，故正确；C. 当0c 时，ac bc =，故错误；D. 由不等式的取倒数性质得11a b<，故正确；故选：BD 12．BCD 【分析】根据自变量x 是有理数和无理数进行讨论，可判定A 、B 、C ，举特例根据x x =判断D 即可得到答案. 【详解】对于A ，当x 为有理数时，则x -为有理数，则()()1D x D x -==．当x 为无理数时，则x -为无理数，则()()0D x D x -==．故当x ∈R 时，()()D x D x -=，∴函数为偶函数，若自变量x 是有理数，则x -也是有理数，可得()()112D x D x +-=+=，所以()D x 不是奇函数，所以A 不是真命题；对于B ，r Q ∀∈，当x 是有理数时， x r +是有理数，()()1D x r D x +==，当x 是无理数时， x r +是无理数，()()0D x r D x +==，所以B 是真命题；对于C ，若自变量x 是有理数，则[]()(1)1D D x D ==，若自变量x 是无理数，则[]()(0)1D D x D ==，所以C 是真命题；对于D ，当x =y =x y += 则()0,()()000D x y D x D y +=+=+=，满足()()()D x y D x D y +=+，所以D 是真命题. 故选：BCD. 【点睛】本题考查了特殊函数的性质及求函数的值，关键点是理解函数的定义和性质去做判断，考查了逻辑推理，数学运算.三、多选题 13．(),1-∞-【分析】首先根据题意得到x R ∀∈，220x x a --≠，再根据440a ∆=+<求解即可. 【详解】由题知：x R ∀∈，220x x a --≠，即440a ∆=+<，解得1a <-. 故答案为：(),1-∞- 14．②④ 【分析】判断函数是否为 “1阶马格丁香小花花”，只需判断方程()()1(1)f x f x f +=+是否有实数解，逐个函数代入验证，即可求解. 【详解】 ①1()f x x =，方程()()1(1)f x f x f +=+为1111x x=++，整理得，210x x ++=无实根，①不是“1阶马格丁香小花花”函数； ②()x f x e =，方程()()1(1)f x f x f +=+为1x x e e e +=+，整理得,1xee e =-解得1ln(1)x e =--，②是“1阶马格丁香小花花”函数； ③()2()lg 2f x x =+，方程()()1(1)f x f x f +=+为22lg[(1)2]lg(2)lg 3x x ++=++，整理得22230x x -+=，方程无实根，③不是“1阶马格丁香小花花”函数； ④()cos f x x π=，方程()()1(1)f x f x f +=+为 cos[(1)]cos cos x x πππ+=+，整理得1cos 2x π=12(),2()33x k k z x k k z πππ∴=±∈∴=±∈， ④是“1阶马格丁香小花花”函数. 故答案为:②④ 【点睛】本题考查新定义问题，要认真审题，转化为判断方程是否有实数解，属于中档题. 15．3 【分析】由条件4x y xy x y +=+可知114x y x y +=+，先求()211114x x x y y y ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+的最小值即可.【详解】由0x >，0y >，4x yxy x y +=+可得114x y x y xy x y++==+，所以()2511114459y x x x x x y y y y +++≥+⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭，当且仅当4y x x y =，即11,2x y ==等号成立，所以113x y +≥，即11x y+的最小值为3，故答案为：3 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 16．=4ω. 【分析】由所给函数图像过点05(,)24y π,011(,)24y π-，列式115sin()sin()2424ππωϕωϕ+=-+，利用诱导公式可得. 【详解】由函数图像过点05(,)24y π,011(,)24y π-,得05sin()24y πωϕ=+，011sin()24y πωϕ-=+，所以115sin()sin()2424ππωϕωϕ+=-+，又两点在同一周期，所以115()2424ππωϕπωϕ+=++，4ω=.故答案为4. 【点睛】本题考查三角函数的图像与性质，考查简单三角方程的解，考查图形识别与运算求解能力，属于基础题.四、解答题17．（Ⅰ）2C ，3B ∈，4A ∈；（Ⅱ）{}1a a ≥ 【分析】(Ⅰ)根据题意,求出2230x x -->的解集,即可得集合A ､B ､C ,据此分析可得答案; (Ⅱ)根据题意可知函数()f x 在[a ,)+∞上单调递增,再结合二次函数的单调性分析可得答案. 【详解】(Ⅰ)函数2()23f x x x =--, 若2230x x -->,解得3x >或1x <-,则{|3A x x =>或1}x <-,{|1B x x ==-或3},{|13}C x x =-<<; 所以2C ,3B ∈,4A ∈;(Ⅱ)因为二次函数()223f x x x =--的图象是开口朝上的抛物线,且对称轴是1x =,所以()f x 在()1-∞，上单调递减,在[)1+∞，上单调递增, 因为R a ∃∈,[)12,,x x a ∀∈+∞,当12x x <时,都有()()12f x f x <, 所以函数()f x 在[),a +∞上单调递增,所以[),a +∞⊆[)1+∞，, 所以1a ≥,即a 的取值范围是{}1a a ≥. 【点睛】本题考查集合,考查二次函数的性质应用,涉及一元二次不等式的解法,难度不大.18．（1）5()sin(2?)6f x x π=+；（2）[1-．【分析】（1）由题意求得函数()f x 的最小正周期，从而由周期公式求得2ω=，再由()012f π=，可求得56πϕ=，由此得出函数()f x 的解析式；（2）根据偶函数的性质求得2ϕπ=，再根据图象的平移可求得函数()g x 的解析式，由三角恒等变换化简函数，根据余弦函数的性质可求得答案. 【详解】解：（1）由题意得，2T ππω==，所以2ω=，()sin(2)f x x ϕ=+．由于()012f π=，则6k πϕπ+=，,6k k Z πϕπ=-∈,又0ϕπ<<，则56πϕ=，故5()sin(2)6f x x π=+．（2）由于()sin(2)f x x ϕ=+是偶函数，则(0)sin 1f ϕ==±，又0ϕπ<<，所以2ϕπ=，()sin(2)cos 22f x x x π=+=，将()cos 2f x x =的图象向右平移4π个单位长度，得到()cos 2()cos(2)sin 242g x x x x ππ=-=-=的图象，故222[()]()2cos sin 21cos 2sin 21)24x y f g x x x x x x π=-=-=+-=+．因为(0,)2x π∈，52444x πππ<+<，所以1cos(2)4x π-≤+<11)24x π≤+<，所以函数22[()]()2x y f g x =-在(0,)2π上的值域为[1-．19．（1）()()()()121,030,0131,02xxxx x f x x x ⎧⎛⎫-->⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪-++< ⎪⎪⎝⎭⎩（2）（﹣∞，﹣13）．【分析】（1）定义域为R 的奇函数f （x ），则f （0）＝0，当x ＞0时，()1213xx f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，根据奇函数的性质即可求解x ＜0的解析式，可得f （x ）的解析式；（2）从条件可知()f x 单调递减，由单调性和奇偶性脱去“f ”，转化为求解二次不等式恒成立的问题，从而求解实数k 的取值范围．【详解】解：（1）定义域为R 的奇函数f （x ），则f （0）＝0，当x ＞0时，()1213xx f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当x ＜0时，﹣x ＞0，则()11213132xxx x f x --⎛⎫⎛⎫-=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵f （x ）是奇函数，∴()1312xxf x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即()1312xx f x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭．∴f （x ）的解析式为： ()()()()121,030,0131,02xxxx x f x x x ⎧⎛⎫-->⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪-++< ⎪⎪⎝⎭⎩．（2）当x ＞0时，()1213xx f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭单调递减，且()()100f x f <-<=，则()f x 在R上单调递减，若不等式f （t 2﹣2t ）+f （2t 2﹣k ）＜0恒成立，即f （t 2﹣2t ）＜﹣f （2t 2﹣k ） ∴t 2﹣2t ＞k ﹣2t 2，即3t 2﹣2t ＞k ，可得3（t ﹣13）2﹣13＞k 对任意的t ∈R ．∴k ＜﹣13．故得实数k 的取值范围是（﹣∞，﹣13）．【点睛】思路点睛：对于已知函数大小关系解不等式的问题，常应用函数的奇偶性和单调性去掉外层函数，构造内层函数的不等关系，解不等式即可.20．（1）8k ，822(07)816(7)x x L x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-⎩（2）当日产量为6吨时，日利润达到最大10万元．【分析】（1）利用每日的利润L S C =-，且当2x =时，3L =，可求k 的值；（2）利用分段函数，分别求出相应的最值，即可得出函数的最大值．【详解】解：由题意，每日利润L 与日产量x 的函数关系式为22(07)816(7)k x x L x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-⎩ （1）当2x =时，143L =，即：14222283k ⨯++=- 8k ∴=所以822(07)816(7)x x L x xx ⎧++<<⎪=-⎨⎪-⎩ （2）当7x 时，16L x =-为单调递减函数，故当7x =时，9max L = 当07x <<时，888222(8)182(8)18888L x x x x x x ⎡⎤=++=-++=--+-⎣-+⎢⎥-⎦1810≤-= 当且仅当82(8)(07)8x x x-=<<-，即6x =时，10max L =综合上述情况，当日产量为6吨时，日利润达到最大10万元．【点睛】本题考查函数解析式的确定，考查函数的最值，确定函数的解析式是关键，属于中档题． 21．（1），；（2）．【分析】（1）首先根据题意得到，，从而得到，．（2）根据题意，当时，小球第一次到达最高点，从而得到，再根据周期为，即可得到.【详解】（1）因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为，所以．因为在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为，所以周期为2，即，所以．所以，．（2）由题意，当时，小球第一次到达最高点，以后每隔一个周期都出现一次最高点，因为小球在内经过最高点的次数恰为50次，所以．因为，所以，所以的取值范围为．（注：的取值范围不考虑开闭） 22．（1）1a =-；（2）E λ∈；（3）3535m n +-==【详解】试题分析：（1）由()()f x f x =-恒成立，可得()210a x +=恒成立，进而得实数a的值；（2）化简集合E =30,4⎧⎫⎨⎬⎩⎭ ，34λ=得E λ∈；（3）先判定()f x 的单调性，再求出11.x m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()f x 的范围，与[]23,23m n --等价即可求出实数,m n 的值. 试题解析：（1）()f x 为偶函数()()2222(1)(1),x a x a x a x af x f x x x +++-++∴=-∴=，()210,0,1a x x R x a ∴+=∈≠∴=-且.（2）由（1）可知：()221x f x x -=，当1x =±时，0f x；当2x =时，()3,0,4f x E ⎧⎫=∴⎨⎬⎩⎭.()211lg 2lg 215lg5lg 2lg 2lg5lg544g λ=++-=++-113lg 2lg5lg10444=+-=-=，E λ∴∈.（3）()()22231121,,'0x f x f x x x x-==-∴=>.()f x ∴在11,m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，221()23123{,{1123()23f mm m mn n f n n=--=-∴∴-=-=-，,m n ∴为2310x x -+=的两个根，又由题意可知：11m n<，且0,0,.m n m n m n >>∴>∴==考点：1、函数的奇偶性及值域；2、对数的运算.。

2007-2008学年度增城市高一上学期期末考试高一数学试题

2007-2008学年度增城市高一上学期期末考试数学试题满分150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若{}32，M{}54321，，，，，的个数为：则MA. 5B. 6C. 7D. 8 2. 函数2()lg (31)f x x =+的定义域是：A. 1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B. 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C. 11,33⎛⎫-⎪⎝⎭D. 1,13⎛⎫-⎪⎝⎭3. 一个圆柱的侧面展开图是正方形，这个圆柱的表面积与侧面积之比是： A ．ππ221+ B.ππ441+ C.ππ21+ D.ππ41+4. 下列函数中既是奇函数，又是其定义域上的增函数的是：A.2y x = B.12y x = C.13y x = D.3y x -=5. 把正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二角后，下列命题正确的是：A. BC AB ⊥B. BD AC ⊥C. ABC CD 平面⊥D. ACD ABC 平面平面⊥6. 已知函数2()4,[1,5)f x x x x =-∈，则此函数的值域为：A. [4,)-+∞B. [3,5)-C. [4,5]-D. [4,5)-那么函数()f x 在区间[]1,6上的零点至少有：A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 8. 若函数()f x 在R 上是单调递减的奇函数，则下列关系式成立的是：A.()()34f f <B.()()34f f <--C.()()34f f --<-D.()()34f f ->- 9. 已知直线l 在x 轴上的截距为1，且垂直于直线x y 21=，则l 的方程是：A. 22+-=x yB. 12+-=x yC. 22+=x yD. 12+=x y 10. 若两直线k x y 2+=与12++=k x y 的交点在圆422=+y x 上，则k 的值是： A. 51-或1- B. 51-或1 C. 31-或1 D. 2-或2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在题中的横线上. 11. 圆台的上，下底面积分别为ππ4,，侧面积为π6，则这个圆台的体积是12. 对于函数2341()2x x y -+=的值域13. 若平面α∥β平面，点,25,48,,,,==∈∈CD AB D B C A 且点βα又CD 在平面β内的射影长为7，则AB 于平面β所长角的度数是14.若((112,2a b --=+=-，则()()2211a b --+++的值是三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15（本小题满分12分）若02x ≤≤，求函数124325x xy -=-∙+的最大值和最小值.16（本小题满分12分）求过点()1,2-A ,圆心在直线x y 2-=上，且与直线01=-+y x 相切的圆的方程. 17（本小题满分14分）已知函数xx x f 2)(+=.（1）判断)(x f 的奇偶性，并证明你的结论；（2）证明：函数)(x f 在[)+∞,2内是增函数.18（本小题满分14分）（本小题14分）如图，棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，（1）求证：DB D B AC 11平面⊥; (2) 求三棱锥1ACB B - 的体积.19．（本小题满分12分）某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1％，若最初时含杂质2％，每B1D DA1A 1B 1C C过滤一次可使杂质含量减少13，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？（已知lg 20.3010=，lg 30.4771=） 20．（本小题满分16分）已知函数()()()lg 10xxf x a ba b =->>>.（1）求()y f x =的定义域；（2）在函数()y f x =的图像上是否存在不同的两点，使过此两点的直线平行于x 轴；（3）当,a b 满足什么关系时，()f x 在()1,+∞上恒取正值. 答案：一. B D A C B D B C A B二. 11.π33712. ,2⎛-∞ ⎝⎦ 13.30 14. 23 三. 15. 解：原式可变形为1244325xxy -=∙-∙+， (2分)即()()212325022xxy x =∙-∙+≤≤ (4分)令2xt =，则问题转化为()2135142y t t t =-+≤≤ （6分）将函数配方有()()21131422y t x =-+≤≤ （8分）根据二次函数的区间及最值可知：当3t =，即23x=时，函数取得最小值，最小值为12. （10分）当1t =，即0x =时，函数取得最大值，最大值为52. （12分）16. 解：设圆心为()a a 2,-，圆的方程为()()2222r a y a x =++- （2分）则()()⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-+-r a a r a a 212212222 （6分）解得1=a ，2=r （10分）因此，所求得圆的方程为()()22122=++-y x （12分） 17. 解：（1）函数的定义域是()()+∞∞-,00, （1分） )()2(2)(x f xx xx x f -=+-=-+-=-)(x f ∴是奇函数（5分）（2）设[)∞+∈,2,21x x ，且21x x < （6分）则)2(2)()(221121x x x x x f x f +-+=- （7分）（10分）212x x <<，0,02,0212121>>-<-∴x x x x x x （12分）)()(,0)()(2121x f x f x f x f <<-∴即（13分）故)(x f 在[)∞，＋2内是增函数（14分）18. 解:(1)证明：AC BB ABCDAC ABCD BB ⊥⇒⎩⎨⎧⊂⊥11平面平面（3分）在正方形ABCD 中，BD AC ⊥, （5分）DB D B AC 11平面⊥∴ （7分）(2)6131111=∙∙==∆--ABB ABBC ACBB S CB V V 三棱锥三棱锥（14分）19.解：每过滤一次可使杂质含量减少13，则杂质含量降为原来的23，那么过滤n 次后杂质含量为221003n⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，（2分）结合按市场要求杂质含量不能超过0.1％，)2)(()22()(2121212121x x x x x x x x x x --=-+-=则有220.1%1003n ⎛⎫⨯≤ ⎪⎝⎭，即21320n⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，（6分）则()()lg 2lg 31lg 2n -≤-+，（8分）故1lg 27.4lg 3lg 2n +≥≈-，（10分）考虑到n N ∈，故8n ≥，即至少要过滤8次才能达到市场要求. （12分）20. 解：（1）由0xxa b ->得1xa b ⎛⎫> ⎪⎝⎭，（2分）由已知1a b>，故0x >，（3分）即函数()f x 的定义域为()0,+∞. （4分）（2）设120,10,x x a b >>>>> （5分） 1212,,x x x xa a bb ∴><则12x x bb->-. （6分）故11220x x x x abab->->，（7分） ()()1122lg lg x x x x abab∴->- （9分）即()()12f x f x >.()f x ∴在()0,+∞上为增函数. （10分）假设函数()y f x =的图像上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，使直线A B 平行于x 轴，即1212,x x y y ≠=，这与()f x 是增函数矛盾.故函数()y f x =的图像上不存在不同的两点，使过这两点的直线平行于x 轴. （11分）（3）由（2）知，()f x 在()0,+∞是增函数，()f x ∴在()1,+∞上也是增函数. （12分）∴当()1,x ∈+∞时，()()1fx f >. （13分）∴只需()10f ≥，即()lg 0a b -≥，即1a b -≥，（15分）1a b ≥+时，()fx 在()1,+∞上恒取正值. （16分）全市平均分估计为80分。

广东省广州市高一上学期期末(线上)数学试题(解析版)

一、单选题1．已知集合，则的真子集个数是（）{}21M x x ==M A ． B ． C ． D ．3456【答案】A【分析】首先求集合中的元素个数，再根据集合的真子集个数公式求解.【详解】因为，所以，即，集合中有两个元素，所以的真子集个数是21x =1x =±{}11M =-，M .2213-=故选：A2．命题“”的否定是（） 2[0,),0∀∈+∞+≥x x x A ．B ．2[0,),0∀∈+∞+<x x x 2(,0),0∀∈-∞+≥x x x C ．D ．2000[0,),0∃∈+∞+<x x x 2000[0,),0∃∈+∞+≥x x x 【答案】C【分析】全称命题的否定形式，变，变即可.∀∃20+≥x x 2000x x +<【详解】命题“”为全称命题，则命题的否定为，2[0,),0∀∈+∞+≥x x x 2000[0,),0∃∈+∞+<x x x 故选：C ．【点睛】本题考查了含有量词的命题的否定形式，考查了逻辑推理能力，属于基础题. 3．在中，，则（）ABC A cos A =1tan 3B =()tan A B -=A ． B ． C ． D ．22-12-12【答案】A【解析】根据已知条件计算出的值，然后根据两角差的正切公式结合的值计算出tan A tan ,tan A B 的值. ()tan A B-【详解】因为，所以，所以，cos A =()0,A π∈34A π=tan 1A =-所以，()()11tan tan 3tan 211tan tan 113A BA B A B ----===-++-⨯故选：A.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是根据特殊角的余弦值求出其正切值以及两角差的正切公式的熟练运用.4．已知，，，则（） 0.62a =sin 2b =0.3log 1.3c =A ． B ． C ． D ．c<a0sin 21<<0.3log 1.30<c b a <<故选：D ．5．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数是奇函数，且当()f x 3x y =y x =()g x 0x >时，，则（） ()()g x f x x =-(9)g -=A ． B ．6 C ． D ．76-7-【答案】D【分析】先求出，再求出即得解.3()log f x x =(9)7g =-【详解】由已知，函数与函数互为反函数，则． ()y f x =3x y =3()log f x x =由题设，当时，，则． 0x >3()log g x x x =-3(9)log 99297g =-=-=-因为为奇函数，所以. ()g x (9)(9)7g g -=-=故选：D ．6．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；③若，则与的终边相同；④若，是第sin sin αβ=αβcos 0θ<θ二或第三象限的角.其中正确的命题个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A【分析】根据题意，对题目中的命题进行分析，判断正误即可.【详解】对于①，根据任意角的概念知，第二象限角不一定大于第一象限角，①错误；对于②，根据角的定义知，不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关，②正确；对于③，若，则与的终边相同，或关于轴对称，③错误； sin sin αβ=αβy 对于④，若，则是第二或第三象限的角，或终边在负半轴上，④错误； cos 0θ<θx 综上，其中正确命题是②，只有个. 1故选：A 【点睛】本题考查真假命题的判断，考查三角函数概念，属于基础题.7．函数的零点个数为（）()23log 1xf x x =-A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】所求零点个数等价于与图象的交点个数，作出函数图象，由数形结合2log y x =13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭即可判断.【详解】函数的零点即的解，即与()23log 1xf x x =-2213log 10log 3xxx x ⎛⎫-=⇒= ⎪⎝⎭2log y x =图象的交点，如图所示， 13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭从函数图象可知，与有两个交点.2log y x =13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭故选：C8．若函数的图象与轴有交点，且值域，则()[]sin (0,,0)4f x x x πωπω⎛⎫=-∈> ⎪⎝⎭x [)M ⊆+∞ω的取值范围是（） A ．B ．14[,234[,2]3C ．D ．11[,]43119[,]412【答案】D【分析】由函数有零点，可求得，由函数的值域可求得，()f x 14ω≥()f x [)M ⊆+∞1912ω≤综合二者即可得到的取值范围.ω【详解】定义在上的函数，[]0,π()sin 04y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭则，由函数有零点，所以，解得； ,444x πππωωπ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦()f x 04πωπ-≥14ω≥由函数的值域，所以，解得； ()f x M ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎪⎣⎭443ππωπ-≤1912ω≤综上，的取值范围是．ω119,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：D二、多选题9．已知x ，y ∈R ，且<0，则（）11x y <A ．x -y >0 B ．sin x -sin y >0C ．>0D ．>2 22x y -y x x y+【答案】ACD【分析】由不等式的性质得出，再由三角函数的性质、指数函数的单调性以及基本不等式0x y >>即可求解.【详解】因为x ，y ∈R ，且<0， 11x y<且，， 110y x x y xy -∴-=<0,0x y <<0y x ∴<<A ，由题意可得，故A 正确；0x y ->B ，因为正弦函数是周期函数，仅有，不能得出sin x -sin y >0，故B 错误； 0y x <<C ，由，则，即，故C 正确； 0y x <<22y x <220x y ->D ，因为，则，即， 0y x <<0,0y x x y >>2y x x y +≥=当且仅当，即取等号，又因为，x yy x =x y =0y x <<所以，故D 正确. 2y xx y+>故选：ACD10．下列函数中，最小正周期为的有（） πA ． B ．C ．D ．|cos |y x =sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭cos ||y x =【答案】AB【分析】逐项分析即得.【详解】对于A ，的最小正周期为，故A 正确；|cos |y x =π对于B ，的最小正周期为，故B 正确； sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22ππ=对于C ，的最小正周期为，故C 错误；tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭2π对于D ，的最小正周期为2，故D 错误. cos ||cos y x x ==π故选：AB.11．下列各式正确的是（） A ．设0a >16a =B ．已知，则31a b +=81333a ba⋅=C ．若，则log 2,log 5a a m n ==220m n a +=D ．114511lg 311log log 93+=【答案】ABC【分析】根据指数运算法则和对数运算法则即可判断答案.【详解】对于A，故A 对；1656a a a===对于B ，，故B 对； 43813333333a b a ba b a a+⋅⋅===对于C ，，，，故C 对；2m a =5n a =()2220m n m n a a a +==对于D ，，故D 错．933334511451111log log log log log 11log log log log 4525109933=+=+=+=+故选：ABC ．12．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为R 的图，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当，盛水筒M 位于点，经过t 秒后运动到点，点P 的纵坐标满足0=t (03,P -(),P x y （，，），则下列叙述正确的是（） ()()sin y f t R t ωϕ==+0t ≥0ω>π2<ϕA ．筒车转动的角速度 π60ω=B ．当筒车旋转100秒时，盛水筒M 对应的点P 的纵坐标为 2-C ．当筒车旋转100秒时，盛水筒M 和初始点的水平距离为60P D ．筒车在秒的旋转过程中，盛水筒M 最高点到x 轴的距离的最大值为6 (]0,60【答案】ACD【分析】根据题意可知周期为120秒，进而可求，根据可求解，进而得ω0(3,P -π3ϕ=-，根据三角函数的性质，即可结合选项逐一求解.ππ()6sin 603f t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【详解】对于A,因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，所以，故A 正确； 2ππ=12060ω=对于B,因为当时，盛水筒位于点，所以， 0=t M 0(3,P -6R ==所以有， (0)6sin sin f ϕϕ==-=因为，所以，π||2ϕ<π3ϕ=-即， ππ()6sin 603f t t ⎛⎫=-⎪⎝⎭所以B 错误； ππ4π(100)6sin 1006sin 66033f ⎛⎛⎫=⨯-==⨯=-⎪ ⎝⎭⎝对于C,由B 可知：盛水筒的纵坐标为， M -x，63x =⇒=±因为筒车旋转100秒时，所以此时盛水筒在第三象限，M 故，盛水筒和初始点的水平距离为,故C 正确； 3x =-M 0P 3(3)6--=对于D,因为，， πππ50(06032t x -=⇒=∈60]所以筒车在，秒的旋转过程中，盛水筒最高点到轴的距离的最大值为6，故D 正确．(060]M x故选：ACD三、填空题13．已知，，且，则的最小值是________．0x >0y >41x y +=11x y+【答案】9【分析】，再根据基本不等式求解. ()4111114511y xx y x x x x y y y y ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】 ()1114145111y xx y x x x y x y y y ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 又因为 40,00,0y xx y x y>>∴>>由基本不等式得，当且仅当并且 44y x x y +≥=4y x x y =41x y +=所以，所以，即的最小值为. 110,063y x =>=>459y x x y ++≥11x y +9故答案为：914．函数的表达式为，若，则实数的取值集合是______．()y f x =()3,12,1x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩()1f x >x 【答案】{}|2x x >-【分析】分类讨论和不同条件下，即可得到实数的取值集合. 1x ≤1x >()1f x >x 【详解】解：由题意在中，()3,12,1x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩当时，， 1x ≤()3f x x =+当时，解得：()1f x >21x -<≤当时，，1x >()2xf x =当时，解得： ()1f x >1x >综上，2x >-∴满足的实数的取值集合是 ()1f x >x {}|2x x >-故答案为：.{}|2x x >-15．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为：．已知新丸经过50天后，体积变为．若一个新丸体积变为e kt V a -=⋅49a 827a，则需经过的天数为______．【答案】75【分析】由题意，先算出，由此可算出一个新丸体积变为需经过的天数. 1504e 9k -⎛⎫= ⎪⎝⎭827a 【详解】由已知，得，504e 9ka a -=⋅∴． 1504e 9k-⎛⎫= ⎪⎝⎭设经过天后，一个新丸体积变为， 1t 827a 则， 18e 27kt a a -=⋅∴， ()115084e 279t t k -⎛⎫== ⎪⎝⎭∴，． 13502t =175t =故答案为：75.16．已知是定义在R 上的奇函数，满足，有下列说法： ()=y f x ()()12f x f x +=-①的图象关于直线对称； ()=y f x 3=2x ②的图象关于点对称；()=y f x 3,02⎛⎫⎪⎝⎭③在区间上至少有5个零点；()=y f x []0,6④若上单调递增，则在区间上单调递增． []0,1[]2021,2022其中所有正确说法的序号为_______．【答案】②③④【分析】求得函数的图象关于点对称判断①②；求得在区间上零点个数=()y f x 3,02⎛⎫⎪⎝⎭()=y f x []0,6判断③；求得在区间上的单调性判断④ ()=y f x []2021,2022【详解】因为，所以，(1)(2)f x f x +=-(3)()f x f x +=故函数是周期为3的周期函数，又是定义在R 上的奇函数， ()f x =()y f x 则，所以，(3)()()f x f x f x +==--(3)()0f x f x ++-=故函数的图象关于点对称，故①错误，②正确；=()y f x 3,02⎛⎫⎪⎝⎭由题意可知，，因为，(6)(3)(0)0f f f ===()(3)()f x f x f x =+=--令，可得，即， 32x =-3322f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322f f⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，从而，302f ⎛⎫= ⎪⎝⎭93022f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故函数在区间上至少有5个零点，故③正确； =()y f x [0,6]因为，，202136741=⨯-20223674=⨯且函数在区间上单调递增，则函数在区间上单调递增， ()f x [0,1]()f x [1,0]-故函数在区间上也单调递增，故④正确． ()f x [2021,2022]故答案为：②③④四、解答题17．设 {}{}22,430,0,1,4x U R A x x x B xC x a x a a R x ⎧⎫-==-+≤=<=≤≤+∈⎨⎬-⎩⎭(1)分别求(),U A B A B ⋂⋃ð(2)若，求实数的取值范围B C C = a 【答案】(1)；或 {}23A B x x =<≤ {|3U A B x x ⋃=≤ð}4x ≥(2) ()2,3a ∈【分析】（1）解不等式，直接计算集合的交集并集与补集；（2）根据集合间的计算结果判断集合间关系，进而确定参数取值范围.【详解】（1）解：解不等式可得，{}{}243013A x x x x x =-+≤=≤≤，{}20244x B x x x x ⎧⎫-=<=<<⎨⎬-⎩⎭所以，或，或； {}23A B x x =<≤ {2U B x x =≤ð}4x ≥{3U A B x x =≤ ð}4x ≥（2）解：由可得，且，B C C = C B ⊆C ≠∅所以，解得，即.214a a >⎧⎨+<⎩23a <<()2,3a ∈18．在平面直角坐标系xOy 中，角以Ox 为始边，点位于角的终边上．α)1P-α(1)求和的值；sin αcos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)若，求函数的定义域和单调递增区间．(),αππ∈-()()tan f x x α=-【答案】(1)，1sin 2α=-cos 4πα⎛⎫-=⎪⎝⎭(2)定义域，单调递增区间 |,3x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z 2,,33k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z【分析】（1）利用三角函数的定义，结合两角和与差的三角函数转化求解和的值；sin αcos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）求解角，然后利用正切函数的定义域以及单调区间求解即可． α【详解】（1）∵点位于角的终边上，，)1P-α1sin 2α∴=-cos α=1cos cos cos sin sin 4442πππααα⎛⎫∴-=+== ⎪⎝⎭（2），，(),αππ∈- 1sin 2α=-cos α=，所以6πα∴=-()tan 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，,62x k k πππ+≠+∈Z ,3x k k ππ∴≠+∈Z 所以函数的定义域为|,3x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z 令，解得 ,262k x k k πππππ-+<+<+∈Z 2,33k x k k ππππ-+<<+∈Z 所以函数的单调递增区间 2,,33k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z 19．已知函数（为常数且）的图象经过点， ()x f x b a =⋅,a b 0,1a a >≠(1,8)A (3,32)B （1）试求的值；,a b （2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围.11(()0x xm a b+-≥(,1]x ∈-∞m 【答案】（1）；（2）.2,4a b ==3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用函数图像上的两个点的坐标列方程组，解方程组求得的值. ,a b （2）将原不等式分离常数，利用函数的单调性，求出的取值范围.m m 【详解】（1）由于函数图像经过，，所以，解得，所以()f x (1,8)A (3,32)B 3832a b a b ⋅=⎧⎨⋅=⎩2,4a b ==.()2422x x f x +=⋅=（2）原不等式为，即在时恒成立，11(()0x x m a b +-≥11024x x m ⎛⎫⎛⎫+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1124x xm ⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(,1]x ∈-∞而在时单调递减，故在时有最小值为，故1124x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(,1]x ∈-∞1x =1124x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11113244⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以实数的取值范围是. 34m ≤m 3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】本小题主要考查待定系数法求函数的解析式，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查函数的单调性以及最值，属于中档题.20．已知函数. 21()sin()cos cos 64f x x x x π=-+-（1）求函数的最小正周期和单调区间；()f x （2）求函数在上的值域. ()f x [0,]2π【答案】⑴，递增区间为，递减区间 T π=[,36k k k Z ππππ-+∈2[,],63k k k Z ππππ++∈⑵ 11[,]42-【分析】整理函数的解析式可得：. ()1sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（1）由最小正周期公式和函数的解析式求解最小正周期和单调区间即可.⑵结合函数的定义域和三角函数的性质可得函数的值域为. 11,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【详解】 ()221111cos cos cos cos cos 2424f x x x x x x x x ⎫=-+-=⋅+-⎪⎪⎭11cos2111cos222422x x x x ⎫+=+⋅-=+⎪⎪⎭. 1sin 226x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（1），T π=递增区间满足：， ()222262k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z 据此可得，单调递增区间为， ,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦递减区间满足：， ()3222262k x k k ππππ+≤+≤π+∈Z 据此可得，单调递减区间为. 2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2），，， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 72,666x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤∴+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 111sin 2,2642x π⎛⎫⎡⎤∴+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域为. ()f x ∴11,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查三角函数的性质，三角函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21．某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本万元. 21()150600p x x x =++（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量（单8(60),130()15480,30m m m q m m ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少多少？【答案】（1）300台；（2）90人.【解析】（1）每台机器人的平均成本为，化简后利用基本不等式求最小值；（2）由（1）()p x y x=可知，引进300台机器人，并根据分段函数求300台机器人日分拣量的最大值，根据最大值求若人工分拣，所需人数，再与30作差求解.【详解】（1）由总成本， 21()150600p x x x =++可得每台机器人的平均成本. 21150()11506001600x x p x y x x x x++===++因为. 1150112600y x x =++≥=当且仅当，即时，等号成立. 150600x x =300x =∴若使每台机器人的平均成本最低，则应买300台.（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量为：当时，300台机器人的日平均分拣量为130m ≤≤2160(60)1609600m m m m -=-+∴当时，日平均分拣量有最大值144000.30m =当时，日平均分拣量为30m >480300144000⨯=∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件.若传统人工分拣144000件，则需要人数为（人）. 1440001201200=∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少（人）.1203090-=【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，根据实际问题抽象出函数关系，并会求最值，本题最关键的一点时会求的最大值.()300q m 22．已知函数的图象过点，.()ln()()f x x a a R =+∈()1,02()()2f x g x x e =-（1）求函数的解析式；()f x （2）若函数在区间上有零点，求整数k 的值；()ln(2)y f x x k =+-()1,2（3）设，若对于任意，都有，求m 的取值范围. 0m >1,x m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()ln(1)g x m <--【答案】（1）；（2）的取值为2或3；（3）.()ln f x x =k ()1,2【解析】（1）根据题意，得到，求得的值，即可求解；ln(1)0a +=a （2）由（1）可得，得到，设，根据题意转化为函()2ln 2y x kx =-2210x kx --=2()21h x x kx =--数在上有零点，列出不等式组，即可求解；()y h x =()1,2（3）求得的最大值，得出，得到，设()g x ()g m max ()ln(1)g x m <--22ln(1)m m m -<--，结合单调性和最值，即可求解.2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->()h m 【详解】（1）函数的图像过点，所以，解得， ()ln()()f x x a a R =+∈()1,0ln(1)0a +=0a =所以函数的解析式为.()f x ()ln f x x =（2）由（1）可知，，()2ln ln(2)ln 2y x x k x kx =+-=-(1,2)x ∈令，得，()2ln 20x kx -=2210x kx --=设，则函数在区间上有零点，2()21h x x kx =--()ln(2)y f x x k =+-()1,2等价于函数在上有零点，所以，解得， ()y h x =()1,2(1)10(2)720h k h k =-<⎧⎨=->⎩712k <<因为，所以的取值为2或3.Z k ∈k （3）因为且，所以且， 0m >1m m >1m >101m<<因为，2()22()22(1)1f x g x x e x x x =-=-=--所以的最大值可能是或， ()g x ()g m 1g m ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为 22112()2g m g m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22122m m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ 112m m m m ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21(1)0m m m m -⎛⎫=-⋅> ⎪⎝⎭所以，2max ()()2g x g m m m ==-只需，即，max ()ln(1)g x m <--22ln(1)m m m -<--设，在上单调递增，2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->()h m (1,)+∞又，∴，即，所以，(2)0h =22ln(1)0m m m -+-<()(2)h m h <12m <<所以m 的取值范围是.()1,2【点睛】已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，()f x 从而确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题的情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类的标准，在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各校范围并在一起，即为所求的范围.。

广东省广州市普通高中高中高一数学上学期期末考试试卷试题10

上学期高一数学期末模拟试题 10一．选择题： ( 本大题共 10 小题，每题 4 分，共 40 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 .)1、设会合 U 01，，2，3，4，5 ，会合 M 0，3，5 ， N 1，4，5 ，则 M(C U N ) 等于（）A．0,1,3,4,5 B ． 0,2,3,5 C ．0,3D ．52、函数 f (x)2 x+ log 2 x 的定义域为（）x 1A ． (0, 2]B ． (0, 2)C ． (0,1) (1,2)D ． (0,1) (1,2]3、用二分法研究函数 f (x)x 3 3 x 1 的零点时，第一次经计算f (0)0，f (0.5) 0 ，可得其中一个零点 x 0，第二次应计算 . 以上横线上应填的内容为（）A ．（ 0.5 ， 1）， f (0.75)B ．（ 0，0.5 ）， f (0.125)C ．（ 0，0.5 ）， f (0.25)D ．（0，1）， f (0.25)rr (1, r ( 1, 2)r 4、已知向量 a(1,1),b1),c ，则 c（）A.1 r 3rB.1r3rC. 3r1rD.3r1r2 ab2 aba bab2222225、 sin570 °的值是（）A ．1B ．－1C．3D ．－ 322226、若角 α 的终边落在直线x - y =0 上，则sin1 cos 2）1 sin 2cos的值等于（A2B2C2或 2D7、一质点遇到平面上的三个力F 1 , F 2 , F 3 （单位：牛顿）的作用而处于均衡状态．已知F 1 , F 2 成 120o角，且 F 1 , F 2 的大小分别为 1 和 2，则有（）A ． F 1, F 3 成 90o 角B ． F 1 , F 3 成 150o 角C ． F 2 , F 3 成 90o 角D ． F 2 , F 3 成 60o 角 8、设函数f ( x)21 x , x 1，则知足f ( x)2的 x 的取值范围是（）1 log2 x, x1A ．[-1 ， 2]B ． [0 ，+ ）C ．[1 ， + ）D ．[0 ， 2]- 1 -9、函数f (x) Asin( x ) b 图象如右图，则 f ( x) 的分析式与S f (0) f (1) f ( 2 ) f ( 2012 ) 的值分别为（）A．f ( x) 1sin x 1 ， S 2013 B ． f (x)1sin x 1 ， S 20131 2 2 2 2 2C．f ( x) 1sin 2 x 1 ， S 2012 D ． f ( x)1sin x 1 ， S 20121 2 2 2 210 、在股票买卖过程中，常常用到两种曲线，一种是即市价钱曲线y＝f ( x)，一种是均匀价格曲线 y＝ g( x)(如 f (2)＝3表示开始交易后第 2 小时的即市价钱为 3 元；g(2) ＝4 表示开始交易后两个小时内全部成交股票的均匀价钱为 4 元 ). 下边所给出的四个图象中，实线表示y＝ f ( x)，虚线表示 y＝ g( x)，此中可能正确的选项是（）y y y yx x x xA. B. C. D.二．填空题： ( 本大题共7 小题，每题 4 分，共 28 分 .)11、设f ( x )是定义在R上的奇函数，当x 0 时， f ( x )2x2 x ，则 f ( 1 ) = ．12、函数y tan x 在( 0,2) 内的零点是.13、函数y x x 3的值域是.uuur uuur14、△ ABC中，AB 3, BC 4,CA 5 ,则CB CA＝.1 115、若a log2sin , b log , , c 23 则 a,b,c 的大小关系是．37 116、下边有五个命题：①终边在 y 轴上的角的会合是{ β| β= 2k, k Z }.22②设一扇形的弧长为4cm，面积为4cm，则这个扇形的圆心角的弧度数是 2.③函数 y sin 4 x cos4 x 的最小正周期是2.- 2 -④为了获得 y 3 sin 2 x的图象，只要把函数 y 3 sin( 2x )的图象向右平移.3 6⑤函数y tan( x)在，上是增函数 .2全部正确命题的序号是.（把你以为正确命题的序号都填上）17、定义在 R 上的奇函数f (x)知足：关于随意x R ,有 f ( x ) f ( 2 x ). 若 tan 1 ,2 则 f ( 10 sin cos ) 的值为.三．解答题（本大题共 5 小题，满分52 分．解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18、（本小题满分10 分）如图 : A、B是单位圆O上的点，C是圆与 x 轴正半轴的交点，三角形AOB 为正三角形，且 AB∥ x 轴．y （1）求COB的三个三角函数值；BA （2）求BC及OA BC．CO x- 3 - 注：答案高出边框部分无效19、（本小题满分 10 分）（ 1）求值：（ 2）化简：11tan()cos(2 )sin( 383log 3 log 6 5 (log 5 2 log 5 3 ) 10lg 3)cos()sin(2 .27)20、（本小题满分 10 分）已知函数f ( x ) 1 2 sin( 2 x) （此中 0 1），若直线 x是函数 f ( x ) 图63象的一条对称轴．（ 1）求及最小正周期；（ 2）求函数 f ( x) , x ,的单一减区间．21、（本小题满分 r3 r 10 分）已知向量 a(sin x, ), b (cos x, 1).2r r2 sin x cos x 的值；（ 1）当 a // b 时，求 2 cos 2 x- 4 -f ( x ) 2 sin x ( a b ) ( a b )在 ,0 上的最小值，及获得最小值时 x 2的值．- 5 -22、（本小题满分12 分）2 (1) x, x 0已知函数 f ( x) 3 .1 x2 x 1, x 02（ 1）写出该函数的单一区间；（ 2）若函数g ( x) f ( x) m 恰有3个不一样零点，务实数 m 的取值范围；(3) 若f (x) n2 2bn 1对全部 x [ 1,1], b [ 1,1] 恒建立，务实数n 的取值范围 .答案一、选择题- 6 -1 2 3 4 5 6 7 8 9 10C D C D B C A B A D二、填空11、 3 ；12、；13、0, ； 14 、 16 ；15、a b c ；16 、②④； 17 、0 .三、解答（本大共 5 小，分 52 分。

高一上学期期末考试数学卷附答案完全版

高一上学期期末考试数学试卷考试时间：120分钟满分:150分命题:增城华侨中学徐容辉一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合}{50<≤=x x A ，}{0<=x x B ，则集合B A =（） A. }{50<≤x x B. }{0 C. }{5<x x D. R 2.若()f x =(3)f -等于（） A. 32-B. 34- C. 34 D. 32± 3. 左面的三视图所示的几何体是（）A. 六棱台B. 六棱柱C. 六棱锥D. 六边形 4. 若函数x x x f 6)(2+=，则函数)(x f 是（）A. 奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 既不是奇函数也不是偶函数 5．下列函数中，在R 上单调递增的是（）A. y x =B.2log y x =C.13y x = D.0.5xy =6．已知点(,1,2)A x B 和点(2,3,4),且AB =,则实数x 的值是（） A.-3或4 B.–6或2 C.3或-4 D.6或-2 7．已知两个球的表面积之比为1∶9，则这两个球的半径之比为（）A. 1∶3B. 11∶9 D. 1∶81 8．函数xx x x f +=)(的图像为（）A B C D 9. 函数xe x xf --=44)(的零点所在的区间为（）A. （1，2）B. (0,1)C. (-1,0)D. (-2,-1)10. 下列函数中，当自变量x 变得很大时，随x 的增大速度增大得最快的是（） A. xe y 1001=B. x y ln 100=C. 100x y =D. x y 2100⋅= 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在题中的横线上.x xy11. 函数43)(-=xx f 的定义域是 _ .12. 设函数421()log 1x x f x x x -⎧<=⎨>⎩,满足()f x =41的x 的值是 .13. 直线l 的斜率是-2，它在x 轴与y 轴上的截距之和是12，那么直线l 的一般式方程是。

2022-2023学年广东省广州市增城中学高一上学期期末数学试题(解析版)

，函数是奇函数，图像关于原点对称，故排除A选项；
又，故排除D选项；
，当时，，即在上单调递增，故排除C选项.
故选：B.
7.若函数在R上为严格增函数，则实数a的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依据题给条件列出关于实数a的不等式组，解之即可求得实数a的取值范围.
画出与的图象，
所以，
即实数的取值范围是 .
故选：B.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）
9.下列选项中，与的值相等的是（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】求得的值，利用诱导公式，两角和差公式及二倍角公式对选项逐一化简求值，即可得出答案.
【详解】，
C. 的最小值是4D. 的最大值是
【答案】AD
【解析】
【分析】求得的最小值判断选项A；求得的范围判断选项B；求得的最小值判断选项C；求得的最大值判断选项D.
【详解】选项A：由正数x，y满足，
可得
（当且仅当时等号成立）
则的最小值是2，判断正确；
选项B：由正数x，y满足，可得
则
当且仅当时等号成立，这与x为正数矛盾，
【详解】由函数，在R上为严格增函数故选：C
8.设，若有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将的根的个数，转化为两函数的交点个数问题，利用数形结合即得.
【详解】因为有三个不同的实数根，等价于与有3个不同的交点，
故选：A.
2.已知，则下列结论不正确的是（）

广东省增城市1112年上学期高一期末试题数学(附答案)

增城市2011-2012学年第一学期期末考试高一数学试题考试时间：120分钟，满分150分第一部分选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题的四个选项中，有一项是符合题目要求的.1．若{}{}1,2,3,2,3,4A B ==，则A B ⋂=A ． {}2,3B ． {}1,4C ． {}1,2,3,4D ． {}2 2．如果0m n >>，那么下列不等式成立的是A. 33log log m n <B. 0.30.3log log m n >C. 33mn< D. 0.30.3mn< 3．点P （-5,7）到直线12510x y +-=的距离是A ．2B ．2413 C ．9413 D ．95134．已知幂函数()y f x =的图像过点1(2,)2，则此函数是A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既是偶函数又是奇函数 5．若直线a 不平行于平面α，且a α⊄，则下列结论成立的是：A. α内的所有直线与a 异面B. α内不存在与a 平行的直线C. α内存在唯一的直线与a 平行D. α内的直线与a 都相交6．函数y =A. [2,)+∞B. (2,)+∞C. (0,1]D. [1,)+∞7.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么它就会在下一轮病毒发作时传播一次病毒，并感染其它20台未感染病毒的计算机。

现有一台计算机被第一轮病毒感染，问被第4轮病毒感染的计算机有（）台. A. 60 B. 400 C. 8000 D. 1600008．函数y =A ．（,4+∞）B ．（3,1]4C ．(,1]-∞D ． [1,)+∞9．设集合2{1},{1}A x x B x ax ====，若B A ⊆，则实数a 的值是A ．1B ． -1C ．1±D ． 0 或1±10．已知两条不同直线12:(3)453,:2(5)8l m x y m l x m y ++=-++=相交，则m 的取值是A ． 1m ≠-B ． 7m ≠-C ． 1m ≠-或7m ≠-D ． 1m ≠-且7m ≠-第二部分非选择题（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分 11．直线50x y +-=的倾斜角为__________.12．如图1是一个圆柱的三视图，则此圆柱的侧面积是 _____.13．若2510ab==，则11a b+= ______ . 14．某学校举办运动会时，高一（1）班共有26名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加球类比赛和田径比赛的学生有人.三、解答题：本大题共6小题，共80分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分12分）（1）计算：（2）计算：552log 10log 0.25+16.（本题满分12分）求满足下列条件的直线的方程. （1）经过点A （3，2），且与直线420x y +-=平行；（2）经过点B （3，0），且与直线250x y +-=垂直.17.（本题满分14分）如图2，正方体1111D C B A ABCD -中，,,,M N E F 分别是棱11111111,,,A B A D B C C D 的中点.（1）求证：直线MN ∥平面EFDB ；（2）求证：平面AMN ∥平面EFDB .正视图侧视图俯视图24图1ABCD 1A N1D F1C E1B M图218.（本题满分14分）已知矩形ABCD 的周长为l ，面积为a . （1）当4l =时，求面积a 的最大值；（2）当4a =时，求周长l 的最小值.19.（本题满分14分）如图3：在四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，其它四个侧面都是.（1）求二面角V AB C --的平面角的大小；（2）求四棱锥V ABCD -的体积.20.（本题满分14分）如图4，OAB ∆是边长为2的正三角形，记OAB ∆位于直线(0)x t t =>左侧的图形的面积为()f t .（1）求函数()f t 解析式；（2）画出函数()y f t =的图像；（3）当函数()()g t f t at =-有且只有一个零点时，求a 的值.增城市2011-2012学年第一学期期末考试高一数学参考答案及评分标准一、选择题：ADABB DCBDD二、填空题：11. 135° 12.8π 13. 1 14. 5 三、解答题：15.解（1）原式= 3分= 4分= 5分ABC DV图3Ox t= AxBy图4=6 6分（2）原式=255log 10log 0.25+ 7分 5log 1000.25=⨯ 9分 5log 25= 10分 52log 5= 11分 =2 12分16.解：（1）因为直线420x y +-=的斜率为-4 1分所以所求直线的斜率是-4 3分因为所求直线过点A （3,2）所以所求的直线方程是24(3)y x -=--，即4140x y +-= 6分或由条件设所求直线方程为40x y c ++= 3分因为所求直线过点A （3,2）所以4320c ⨯++=14c ∴=- 5分所以所求直线方程为4140x y +-= 6分（2）因为直线250x y +-=的斜率为-2 7分所求直线与直线250x y +-=垂直，所以所求直线的斜率是129分因为所求直线过点B （3,0）所以所以直线方程为1(3)2y x =-，即230x y --= 12分或由条件设所求直线方程为20x y c -+= 9分因为所求直线过点B （3,0）所以30c +=，即3c =- 11分所以所求直线方程为230x y --= 12分 17. （1）证明：连11B D 1分,,,M N E F 分别是棱11111111,,,A B A D B C C D 的中点 MN ∴∥11,B D EF ∥11B D 3分 MN ∴∥EF 4分 MN ∴∥平面EFDB 6分ABCD 1A N1D F1C E1B M(2)连MF ，1111ABCD A BC D -是正方体 7分则MF ∥11A D 且11MF A D = 9分又11A D AD =且11A D ∥AD MF ∴∥AD 且MF AD = 10分 M F D A ∴是平行四边形 11分AM ∴∥DF 12分 AM ∴∥平面EFDB 13分由（1）知MN ∥平面EFDB MN AM M ⋂= 所以平面AMN ∥平面EFBD 14分 18.（1）设矩形ABCD 的长为x ， 1分则宽为2(02)x x -<< 3分(2)a x x ∴=- 4分2(1)1x =--+ 5分所以当1x =时，a 有最大值1 7分（2）设矩形ABCD 的长为x ， 8分则宽为4(0)x x > 9分 42()4l x ∴=+ 10分22]=+ 11分28=+ 12分=，即2x =时，l 有最小值8 14分或解：设128()2,0f x x x x x=+>> 7分则12121288()()22f x f x x x x x -=+-- 121242()(1)x x x x =--8分当1220x x >>>时，121204,0x x x x <<-> 9分12401x x ∴<<，即12410x x -< 12()()0f x f x ∴-< 10分 ()f x ∴在(0,2)上是单调减函数 11分当122x x >>时，12124,0x x x x >-> 1241x x ∴>，即12410x x -> 12()()0f x f x ∴-> 12分 ()f x ∴在(2,)+∞上是单调增函数 13分所以当2x =时()f x 即l 有最小值8 14分 19.解（1）取AB 的中点M ，CD 的中点N ，连MN ， 1分 ABCD 是边长为2的正方形 ,2MN AB MN ∴⊥= 2分又VA VB == V M A B ∴⊥ 3分V M N ∴∠是二面角V AB C --的平面角 4分在Rt VAM中，1,AM VA = 2VM ∴= 5分同理2VN =V M N ∴是正三角形 6分 60VMN ∴∠=︒ 7分（2）由（1）知AB ⊥平面VMN 8分所以平面ABCD ⊥平面VMN 9分过V 作VO MN ⊥, 10分则VO ⊥平面ABCD 11分2V M M N V N===VO ∴= 12分所以13V ABCD ABCD V S VO -=⨯ 13分1433=⨯=14分 ABCDV图320.（1）当01t <≤时，2()2f t =1分当12t <≤时，2())2f t t =- 2分当2t >时，()f t = 3分22(01)()(2)(12)(2)t f t t t t ⎧<≤⎪⎪∴=-<≤⎪>⎪⎪⎩4分（2）画图像4分，（其中图形3分，规范1分）（3）当01t <≤时，2()0g t at =-=t =01,01t <≤∴≤0a ∴< 9分当a =时，直线y at =过点，这两点都在()f t 的图像上当0a <<时，直线y at =与射线y = 10分当12t <≤时，直线y at=(2a >逆时针旋转时与()f t 图像有两个交点，相切时有一个交点，且与射线y = . 11分此时2(2)02t at --= Ox t= AxBy图42(4)203t a t ∴--+=2(4)803a ∴∆=--=a ∴=a = 12分当a =2[4203t t --+=220t -+=t ∴=(1,2]内当a =t =(1,2]内 13分当0a ≤或a >y at =与()f t 的图像无交点所以a = 14分各大题的答案仅供参考，其它答案参照给分.。

2017-2018增城中学高一数学数学期末考试试卷

2017-2018学年度第一学期期末考试高一年级数学科试题（增城中学）一、选择题1、下列集合中，是集合}2|{≤x x 的真子集的是（）A 、}2|{>x xB 、}2|{≤x xC 、}0|{≤x xD 、}3210{，，，2、若一个圆锥的轴截面是面积为9的等腰直角三角形，则次圆锥的底面圆的半径为（） A 、6 B 、32 C 、3 D 、33、设函数x x f 44)(-=，则函数)4(xf 的定义域为（）A 、(]4,∞-B 、(]1,∞-C 、(]4,0D (]1,04、已知直线0=+y mx 与直线02)1(=+++y m x 垂直，则=m （） A 、2 B 、2- C 、21-D 、21 5、下列函数中，既是奇函数又在（1，2）上有零点的是（）A 、)1ln()1ln(x x y +--= B 、x x y --=33 C 、32-=x y D 、x x y 33-=6、已知圆C(C 为圆心，且C 在第一象限)经过点A （0，0），B （2，0），且△ABC 为直角三角形，则圆C 的方程为（）A 、4)1()1(22=-+-y x B 、2)2()2(2=-+-y x C 、5)2()1(22=-+-y x D 、2)1()1(22=-+-y x 7、某几何体的三视图如图所示，则该集合体的体积为（）正视图侧视图俯视图A 、4B 、5C 、6D 、7 8、在同一平面直角坐标系中，函数xay -=1，x y a log 2-=（其中0>a 且1≠a ）的图像只可能是（）9、如图，E 是正方体1111D C B A ABCD -的棱11D C 上的一点（不与端点重合），1BD ∥平面CE B 1，则（）A 、DB 1∥CE B 、1AC ⊥1BD C 、112ECE D = D 、11EC E D =10、已知斜率为3的直线l 过点），（43，则直线l 被圆05422=-++y y x 截得的弦长为（）A 、3B 、4C 、33D 、2411、定义在R 上的奇函数)(x f 满足当0>x 时，42)(-=xx f .若关于x 的方程k x f =)(恰有两个实根，则k 的取值范围为（） A 、（－3，0）∪（0，3） B 、[)0,3-∪(]3,0 C 、（－3，3） D 、[]3,3-12、在四棱锥ABCD P -中，PC ⊥底面ABCD ，底面为正方形，QA ∥PC ，异面直线PB 与AD ，QB 与PC 所成的角均为60°，记四棱锥ABCD P -与四棱锥ABCD Q -的外接球的半径分别为1R ,2R ，则=12R R ( ) A 、735 B 、15105 C 、935 D 、18105 二、填空题13、在空间直角坐标系xOy 中，设），，（31m A ，)4,1,(-m B ，若3=AB ，则=m14、设函数x x x f lg )(+=，则()=+)5(2f f15、已知幂函数a x x f =)(的图像过点），（212，则函数)()1()(x f x x g -=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡221，上的最小值是16、点A,B 分别为圆M ：1)3(22=-+y x 与圆N ：4)2.3(6.922=-+-y x ）（上的动点，点C 在直线02=+y x 上运动，则|AC|+|BC|的最小值为 . 三、解答题：17、如图，在三棱柱111C B A ABC -中，BC AC =，1AA ⊥底面ABC ，D 是线段AB 的中点,E 是线段11B A 上任意一点，C B 1∩O BC =1.(1)证明：CD ⊥平面11A ABB ; (2)证明：OD ∥平面E AC 1.18、已知函数x y 2=的值域为集合A ，函数2)1(log )(21++=x x f 的定义域为集合B ，集合}21|{a x a x C ≤≤-=. （1）求）（B C R ∩A ；（2）若A ∩C =∅,求a 的求值范围.19、在△ABC 中，A )1,4(-，)5,2(B ,)2,1(-C .(1) 若AD 为△ABC 的中线，求直线AD 的方程；(2) 若直线l 经过点C ，且A 、B 两点到直线l 的距离相等，求直线l 的方程.20、已知敖定义在),0(+∞上的函数)1(log )(>=a x x f a ,且)(x f 在]3,21[上的最大值为1. （1）求a 的值；（2）令)31()31()(x f x f x F -++=，判断函数)(x F 的奇偶性，并求函数)(x F 的值域.21、如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为梯形，平面PAD ⊥平面ABCD ，BC ∥AD ，PA ⊥PD ，AB ⊥AD ，∠PDA=60°，E 为侧棱PD 的中点，且AD=2BC. (1) 证明：CE ∥平面PAB ；(2) 若点D 到平面PAB 的距离为2，且AD=2AB ，求点A 到平面PBD 的距离.22、已知圆O ：)0(222>=+r r y x 与直线01543=+-y x 相切.(1)若P 为圆O 上的动点，)8,6(-Q ,求|PQ|的取值范围；（2）设圆O 与x 轴的负半轴的交点为A ，过点A 作两条斜率分别为21,k k 的直线交圆O 与B ，C 两点，且321-=k k ，试证明直线BC 恒过一定点，并求出该定点的坐标.参考答案。

广州增城高级中学高一数学(上)期末测试

增城高级中学高一级数学期列模拟考试（一）姓名班级考号第I 卷（选择题12 共60分）一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分1. 如果{}5,4,3,2,1=S ，{}4,3,1=M ，{}5,4,2=N ，那么()()N C M C S S ⋂等于（） A.φ B. {}3,1 C. {}4 D. {}5,22. 下列函数中，在区间()0,+∞是增函数的是（）A. x y 2=B. x y lg =C. 3x y =D. 1y x= 3. 条件甲：2log 2=x a 是条件乙：1log =x a 成立的（） A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在等差数列}{n a 中，已知6099531=++++a a a a ，21=d ，那么这个数列前100 项的和等于（）A. 170B. 145C. 120D. 805. 已知1|1|3)(2---=x x x x f ，则函数)(x f 的定义域为（）3) (2,2) (0, (D) 3] (2,2) (0, (C) 3] (2,2) [0, (B)3] [0, )(⋃⋃⋃A 6. 已知函数123)(-+=x x f 的反函数图象过下列各点中的一点，则这点是（） A.（2，5） B.（1，3） C.（5，2） D.（3，1）7. 已知x a x f -=)( )10(≠>a a 且，且)3()2(->-f f ，则a 的取值范围是（） A. 0>a B. 1>a C. 1<a D. 10<<a 8. 在正项等比数列{a n }中，若s 2=7,s 6=91,则s 4的值为（）A 28B 32C 35D 499. 在等差数列{a n }中，若a 1+a 4+a 7=39,a 2+a 5+a 8=33,则a 3+a 6+a 9的值为A 、30B 、27C 、24D 、2110. 若x lg ，)23lg(-x ，)23lg(+x 成等差数列，则2log x 的值为（）A.21B. 2C. 2D. 不存在11. 在等比数列}{n a 中，若3a ，9a 是一元二次方程091132=+-x x 的两根，则6a = A. 3 B. 3± C.3 D. 3±12. 函数)26(log )(221x x x f -+=的单调递增区间是（）A. ),41[+∞B. )2,41[C. ]41,23(- D. ]41,(-∞二. 填空题：（每小题3分，共12分） 13. 已知函数()213434x f x x x +⎛⎫=≠- ⎪+⎝⎭，则()12f -=_________.14 某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（一个分裂为两个），经过4小时，这种细菌由1个可繁殖成个.15. 设函数()()()()4242x x f x x f x ⎧≥⎪=⎨∠+⎪⎩，则12log 3f ⎛⎫⎪⎝⎭= 16、有下列四个命题：①空集是任何集合的真子集；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题； ③若命题p 的逆命题是q ，命题p 的否命题是r ，则q 是r 的逆否命题； ④2与8的等比中项是4 . 其中正确．．命题的序号是_______________. （把你认为正确命题的序号都．填上）一. 选择题：（每小题3分，共39分）二. 填空题：（每小题3分，共12分）13 . 14 . 15 . 16 . 三. 解答题：（共49分）17、（本小题10分）一次函数f(x)=23)1(22+-+-m m x m 是减函数，且f(1)=0,求m 的值；18、（10分）根据函数单调性定义证明：函数31y x =+在上是增函数。

2022-2023学年广东省广州市增城区高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年广东省广州市增城区高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合，则（）{}{}1,2,31,0,1,2A B ==-，A B ⋃=A ．B ．C ．D ．{}1{1,2}{0,1,2,3}{1,0,1,2,3}-【答案】D【分析】根据并集的运算，可得答案.【详解】由题意，，{}1,0,1,2,3A B ⋃=-故选：D.2．已知函数，则的值是 3log ,0()3,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩1(())9f f A ．B ．C ．D ．9199-19-【答案】B【分析】首先根据题中所给的分段函数解析式，将多层函数值从内向外求解，根据自变量的范围，选择相应的式子，代入求解.【详解】因为，所以，3log ,0()3,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩311(log 299f ==-，21(2)39f --==故选B.【点睛】该题考查的是有关分段函数求值的问题，在求解的过程中，需要注意多层函数值需要从内向外求解，属于简单题目.3．“”是“的（）6πθ=cos θ=A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可【详解】解：当时，6πθ=cos cos6πθ==而当或，cos θ=26k πθπ=+2,6k k Z πθπ=-+∈所以“”是“的充分不必要条件，6πθ=cos θ=故选：A 4．函数的零点所在的区间是（）()ln 26f x x x =+-A ．B ．C ．D ．()0,1()1,2()2,3()3,4【答案】C【分析】先判断函数单调性，再根据零点存在定理将端点值代入，即可判断零点所在区间.【详解】由于均为增函数，ln ,26y x y x ==-所以为定义域上的增函数，()ln 26f x x x =+-,()()()()140,2ln 220,3ln 30,4ln 420f f f f =-<=-<=>=+> 根据零点存在定理,零点在区间内.()f x \()2,3故选：C5．设，则a ，b ，c 的大小关系为（）0.920.5log 0.3,log 0.4,0.5a b c ===A ．B ．C ．D ．a b c <<a c b<<b<c<a c a b<<【答案】B【分析】根据指对数函数的性质判断a ，b ，c 的大小即可.【详解】因为，0.90220.50.5log 0.3log 100.50.5log 0.5log 01.4a c b =<<<===<==所以.a c b <<故选：B6．已知角终边经过点，则的值为（）α()3,4P -sin αA ．B ．C ．D ．3535-4545-【答案】D【解析】根据三角函数的定义计算即可.sin yr α=【详解】因为角终边过点,所以,,,所以,α()3,4P -3x =4y =-5=4sin 5y r α==-故选：D.【点睛】本题考查三角函数的定义，是基础题.7．声强级（单位：dB ）由公式给出，其中I 为声强（单位：W/）一般正常人L 1210lg 10IL -=（）2m 听觉能忍受的最高声强级为120dB ，蝙幅发出超声波的声强级为140dB ，设蝙蝠发出的超声波的声强为，人能忍受的最高声强为，则=（）1I 2I 12I I A ．10B ．100C ．1000D ．10000【答案】B【分析】先得到，分别代入dB 和120dB ，求出，求出答案.121010LI -=140L =12,I I 【详解】由得到，1210lg 10I L -=（）121010LI -=将dB 代入得：，140L =2110100I ==将dB 代入得：，120L =02101I ==故.12100I I =故选：B8．已知曲线的周期为，，则下面结论正确的是（）12π:sin 3C y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2:sin C y x =A ．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，2C π3得到曲线1C B ．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，2C π6得到曲线1C C ．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，2C 12π3得到曲线1C D ．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，2C 12π6得到曲线1C 【答案】C【分析】先根据周期为，求出，再根据伸缩变换和平移变换，得到相应的曲线方程，选出π2ω=正确答案.【详解】曲线的周期为，故，故，12π:sin 3C y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2ππω=2ω=A 选项，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单2C π3位长度，得到，A 错误；1πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B 选项，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位2C π6长度，得到，B 错误；1πsin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C选项，把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位2C 12π3长度，得到，C 正确；2πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D选项，把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单2C 12π6位长度，得到，D 错误.πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：C二、多选题9．设全集，若集合，则下列结论正确的是（）U =R A B ⊆A ．B ．C ．D ．A B A = A B B⋃=()()UUB A ⊆ ()A B A⊆ 【答案】ABC【分析】根据包含关系和交并补的定义依次判断各个选项即可.【详解】对于A ，，，A 正确；A B ⊆ A B A ∴⋂=对于B ，，，B 正确；A B ⊆ A B B ∴= 对于C ，，，C 正确；A B ⊆ ()()U U B A∴⊆ 对于D ，当时，，D 错误.A B A ()A B 故选：ABC.10．在下列函数中，即是偶函数又在上单调递增的函数的有（）()0,1A ．B ．C ．D ．sin y x=cos y x =3y x =2xy =【答案】AD【分析】根据函数的奇偶性与单调性结合基本初等函数的性质逐项判断即可.【详解】解：函数，定义域为，所以为偶函数，()sin y f x x==R ()()()sin sin f x x x f x -=-==又时，，所以函数在上单调递增的函数，故A 符合；()0,1x ∈sin y x =()0,1函数是定义在上的偶函数，又函数在上单调递减的函数，故B 不符合；cos y x =R ()0,1函数是定义在上的奇函数，故C 不符合；3y x =R 函数，定义域为，所以为偶函数，又时，()2xy f x ==R ()()22xxf x f x --===()0,1x ∈，所以函数在上单调递增的函数，故D 符合；2x y =()0,1故选：AD.11．下列几种说法中，正确的是（）A ．若，则0a b <<22a ab b>>B ．若，则a b >11a b <C ．若，则的最小值是0x >2log log 2x x +2D ．若，则的最小值为0x <423x x --2+【答案】AD【分析】利用不等式的性质可判断A B ，根据基本不等式可判断C D.【详解】因为，不等式两边同乘，则两边同乘，则，所以A 正确.0a b <<a 2,a ab >b 2ab b >时，所以B 错误.0a b >>11a b >时，的符号不确定，所以不能用基本不等式求最值，所以C 错误.0x >2log ,log 2x x因为，，当且仅当0x <44232(3)()22x x x x --=+-+-≥+=+x =立，所以D 正确.故选：A D12．已知函数，，下列结论正确的是（）()2,02,0x xa x f x a x -⎧-+<=⎨->⎩R a ∈A ．是奇函数()f xB ．若在定义域上是增函数，则()f x 1a <C ．若的值域为，则()f x R 1a >D ．当时，若，则1a ≤()(34)0f x f x ++>()0,x ∞∈+【答案】AC【分析】根据题意，结合函数的奇偶性、单调性、值域，将分段函数分情况讨论，逐一判断即可．【详解】解：当时，，，；0x <0x ->()2x f x a -=-+()2(2)()x xf x a a f x ---=-=--+=-当时，，，，0x >0x -<()2xf x a =-()2(2)()x x f x a a f x -=-+=--=-则函数为奇函数，故A 正确；()f x 若在定义域上是增函数，则，即，故B 不正确；()f x 0022a a --+≤-1a ≤当时，在区间上单调递增，此时值域为，0x <()2xf x a -=-+(,0)-∞(,1)a -∞-当时，在区间上单调递增，此时值域为．0x >()2xf x a =-(0,)+∞(1),a -+∞要使的值域为，则，即，故C 正确；()f x R 11a a ->-1a >当时，由于，则函数在定义域上是增函数，1a ≤0022a a --+≤-()f x 由，得，则，，，()(34)0f x f x ++>()(34)f x f x >--0x ≠340x --≠34x x >--解得，故D 不正确．()()1,00,x ∈-⋃+∞故选：AC ．三、填空题13．函数的定义域是______.()()lg 2f x x =-【答案】()2,+∞【分析】根据对数的真数大于0列方程，解方程即可得到定义域..【详解】由，得，所以函数的定义域为.20x ->2x >()2,+∞故答案为：.()2,+∞14．若，则___________.tan 2α=sin 2cos 5cos sin αααα+=-【答案】43【分析】利用求得所求表达式的值.sin tan cos ααα=【详解】.sin 2cos sin 2cos tan 2224cos 5cos sin 5cos sin 5tan 523cos αααααααααααα++++====----故答案为：4315．函数在上不单调，则实数k 的取值范围为___________．()248f x x kx =--[]5,20【答案】()40,160【分析】根据函数在上不单调，可得函数的对称轴属于区间()248f x x kx =--[]5,20()f x 8kx =，从而解出的取值范围即可．()5,20k 【详解】解：根据题意，二次函数的对称轴为，()248f x x kx =--8k x =函数在上不单调，()248f x x kx =--[]5,20，即，则实数k 的取值范围为.5208k∴<<40160k <<()40,160故答案为：．()40,16016．设函数，方程有四个不相等的实数根，由小到大分别为，()()ln ,024,24x x f x f x x ⎧<<⎪=⎨-<<⎪⎩()f x m =1x ，，，则的取值范围为___________．2x 3x 4x 13x x -【答案】32,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】不防令，由题意的图象是关于对称的，可1234x x x x <<<()f x 2x =得．助于的图象可以得到，之间的关系，最终将表示成的14234x x x x +=+=|ln |y x =1x 2x 13x x -2x 函数，根据函数的单调性求最值即可．【详解】时，，在与上的图象关于对称，24x << ()(4)f x f x =-()f x ∴(2,4)(0,2)2x =作出图象如图：不妨令，1234x x x x <<<可得，，，14234x x x x +=+=12ln ln x x -=121x x ∴=，，，121x x ∴=4214x x =-324x x =-，132241x x x x =+--()21,2x ∈设，，故在单调递增，1()h x x x =+()1,2x ∈()h x ()1,2x ∈，故的取值范围为 ()522h x ∴<<13x x -32,2⎛⎫--⎪⎝⎭故答案为：．32,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭四、解答题17．已知函数.()()log 1a f x x b a =+>(1)若函数的图像过点，求b 的值：()f x ()1,1(2)若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，求a 的值．()f x [2,4]【答案】(1)1；(2)a =【分析】（1）将点代入函数解析式即可求出的值；a （2）根据函数的单调性，结合条件列出方程即可求出的值.a 【详解】（1）因为函数的图像过点，()f x ()1,1所以，log 11a b +=即；1b =（2）因为，函数在区间上的最大值与最小值的差为2，()f x log 1a x =+()f x [2,4]因为，故在上是增函数，1a >()f x [2,4]所以，()()42log o 241l g 21a a f f -=+-=-解得a =18．已知，β都是锐角，αtan 3sin ，αβ==(1)；cos 2α(2)求的值．()tan 22αβ-【答案】(1)45-(2)247-【分析】（1）由切化弦，再由倍角公式及平方关系可求；（2）由弦化切，结合倍角公式及正切和差公式可求.【详解】（1），22221cos 1tan 9cos cos 10αααα-==Þ=24cos22cos 15αα=-=-（2）∵，β都是锐角，∴，又，∴，∴α()220,παβÎ、os 254c 0α=-<π2,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.3tan 24α=-=-，.1tan 3β=22tan 3tan 21tan 4βββ==-∴()33tan 2tan 22444tan 22331tan 2tan 27144αβαβαβ----===-+⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭19．已知函数是定义在上的奇函数()2(R)21x f x a a =-∈+R (1)求a 值：(2)判断并证明函数的单调性？()f x (3)求不等式的解集()()2260f x x f x -+->【答案】(1)；1a =(2)函数在上单调递增；详见解析；()f x R (3).()2,3-【分析】（1）利用奇函数的定义可得的值；a （2）利用单调性定义证明即可；（3）根据的奇偶性和单调性即得.()f x 【详解】（1）函数的定义域为，()2(R)21x f x a a =-∈+R 因为为奇函数，所以，()f x ()()f x f x -=-所以，222121xxa a --=-+++所以，222222121x x x a ⨯=+=++所以；1a =（2）函数在上单调递增.()f x R 下面用单调性定义证明：任取，且，则12,R x x ∈12x x <，121222()()112121x x f x f x -=--+++12122(22)=(21)(21)x xx x-++因为在上单调递增，且，所以，2xy =R 12x x <12220x x -<又，12(21)(21)0x x ++>所以，12()()f x f x <所以函数在上单调递增；()f x R （3）因为为奇函数，所以，()f x ()()f x f x -=-由，可得，()()2260f x x f x -+-<()()226f x x f x -<-又函数在上单调递增，()f x R 所以，即，226x x x -<-260x x --<解得，23x -<<所以不等式的解集为.()()2260f x x f x -+->()2,3-20．如图，某地一天从4~18时的温度变化曲线近似满足函数．()cos ,0πy A x b ωφφ=++<<(1)求A ，b ，，；ωφ(2)为响应国家节能减排的号召，建议室温室25°C 以上才开空调，求在内，该地适宜开空调[]0,24的时间段．【答案】(1)10；20；；π8π4(2)234500,,333 ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭【分析】（1）根据图象及三角函数的图象性质求解；（2）在定义域内解函数不等式.[]0,24【详解】（1）根据图象，，，3010102A -==3010202b +==∵，∴，2π,1462T T ω==-π8ω=由当，，解得.6x =π10cos 620410,0π8y φφ⎛⎫=⨯++=<< ⎪⎝⎭π4φ=（2）由（1）得，，ππ10cos 2084y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∵，则，由，即，得[]0,24x ∈πππ13π,8444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ππ10cos 202584y x ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭ππ1cos 842x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭.ππππ5π7π,,844333x ⎡⎫⎛⎫+∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭故.234500,,333x ⎡⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭∴适宜开空调的时间段为234500,,333x ⎡⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭21．已知函数的最大值为．()ππsin 2sin 2cos266f x x x x a ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4(1)求常数a 的值；(2)若函数f (x )在[，m ]上只有两个零点，求m 的取值范围．π2-【答案】(1)2a =(2)25π,π33m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【分析】（1）先根据三角函数的两角和与差公式化简得正弦型函数，由最大值可求得结果.（2）函数f(x)在[，m]上只有两个零点，即在[，m]上只有两个零点，由π2-πsin(2)16x +=-π2-，求得，数形结合可得的范围，进而求得结果.π,2x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π5π2π,2666x m ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦π26m +【详解】（1）根据三角函数的两角和与差公式可得：()ππsin 2sin 2cos266f x x x x a ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112cos 22cos 2cos 222x x x x x a =+-++2cos 2x x a=++π2sin 26x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭由于函数的最大值是，所以424a +=即2a =（2），π()2sin 2206f x x ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭ 在[，m ]上只有两个零点，πsin(216x ∴+=-π2-，ππ5π,2π,22666x m x m ⎡⎤⎡⎤∈-∴+∈-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ .3π725π2π,ππ26233m m ∴≤+<≤<.25π,π33m ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭22．为了给空气消毒，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，环境中释放的浓度y （单位：毫克/立方米）随着时间x （单位：小时）变化的函数关系式近似为．若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒629,03102172,36log 17xx x y x -⎧≤≤⎪=-⎨⎪-<≤+⎩剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到给空气消毒的作用．(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则消毒时间约达几小时？(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，3小时后再喷洒2个单位的消毒剂，设第二次喷洒t 小时后空气中消毒剂浓度为g （t ）（毫克/立方米），其中03t <≤①求g (1)的表达式：②求第二次喷洒后的3小时内空气中消毒剂浓度的最小值．【答案】(1)10小时(2)35.73【分析】（1）根据已知可得，一次喷洒4个单位的净化剂，浓度，分类讨论解出即可()()6236,0310244172,36log 17x x x f x y x -⎧≤≤⎪-==⎨⎪-<≤+⎩()4f x ≥（2）①由题意可得（），求即可；②由于利用基本不等式可求出其最小值()g t 03t <≤(1)g ()g t 【详解】（1）根据已知可得，一次喷洒4个单位的净化剂，浓度()()636,0310244172,36log 17x x x f x y x -⎧≤≤⎪-==⎨⎪-<≤+⎩则当时，由，即得，所以，03x ≤≤364102x ≥-21x ≥0x ≥03x ≤≤当时，由，得，得，所以，36log17x <≤+64(172)4x --≥6216x -≤10x ≤310x <≤综上，，010x ≤≤所以一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达小时.10（2）①由题意可知，第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后的浓度为（毫克/立方米），3929102⨯=-所以第二次喷洒小时后空气中净化剂浓度为t （），(3)621818()2[172]234102102t t t t g t +--=+-=-+--03t <≤12187143(1)2343410244g -=-+=+=-②（），()21818163()23410210210242t t t t g t -=-+=+-+--03t <≤（毫克/立方米）636322≥=，当且仅当，即时取等号，181(102)1024t t =--((]2log 100,3t =-∈所以第二次喷洒小时内空气中净化剂浓度达到最小值毫克/立方米3632。

广东省广州市增城中学2022年高一上数学期末调研模拟试题含解析

【点睛】本题考查了线面角的求法,考查了数学运算能力.
9、D
【解析】与终边相同的角是 .
当 1时，
故选D
10、B
【解析】因为函数，要得到函数的图象，只需要将函数的图象向右平移个单位
本题选择B选项.
点睛：三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的ω倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同
解得，
故实数k的值为 .
若时
当时，，此时对数，解得，根据对数的图象和性质可知，要使在时恒成立，则有，如图选B.
【点睛】本题主要考查对数函数与指数函数的应用，熟记对数函数与指数函数的性质即可，属于常考题型.
5、C
【解析】设椭圆方程为：，由题意可得：
，解得：，
则椭圆的标准方程为： .
本题选择D选项
6、B
【解析】先依据图像求得函数的解析式，再去代入验证对称轴、对称中心、单调区间的说法.
【小问2详解】
由，
可得当时，，
所以时，
每台机器人的日平均工作量最大时，安排的人工数最小为20人，
而此时人工操作需要的人工数为，
所以可减少
20、（1）（2）
【解析】【试题分析】（1）利用可求得的值，利用，可求得的值.（2）利用奇函数的性质，将圆不等式转化为然后利用函数的单调性列不等式来求解.
，为增函数，为减函数.
所以函数的单调递减区间为 .
故答案为：
16、
【解析】函数定义域为
故答案为 .
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）