高中数学竞赛教案讲义(17)整数问题
高中数学竞赛培训教程 初等代数
高中数学竞赛培训教程初等代数第一章代数基础整数是数学中最基本的数，包括正整数、负整数和零。
在代数中，我们经常使用整数来进行运算和表示未知数。
1.2 有理数有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数和分数。
在代数中，我们常常使用有理数来计算方程的根，解方程组等。
实数是包括有理数和无理数的数集。
在代数中，我们必须了解实数的性质和运算法则，才能进行更复杂的数学运算和证明。
第二章一次方程与不等式2.1 一次方程一次方程是指最高次项为一次的代数方程。
我们需要学习如何解一次方程，并利用解方程的方法解决实际问题。
2.2 一次不等式一次不等式是指最高次项为一次的不等式。
我们需要学习如何解一次不等式，并应用不等式来解决实际问题。
2.3 一次方程与一次不等式的应用一次方程与一次不等式在实际问题中的应用非常广泛。
我们需要学会如何将实际问题转化为一次方程或一次不等式，并利用解方程和解不等式的方法得出问题的解。
第三章二次方程与不等式3.1 二次方程的定义与性质二次方程是指最高次项为平方项的代数方程。
我们需要学习二次方程的基本性质，如判别式、根的性质等。
3.2 二次方程的解法解二次方程是数学中非常重要的一部分。
我们需要学会使用求根公式、配方法等解二次方程，以及利用因式分解、完全平方式解二次方程。
3.3 二次不等式的解法解二次不等式是在二次方程的基础上进一步扩展的。
我们需要学会使用判别式、区间判断等方法来解二次不等式，并应用它们来解决实际问题。
第四章分式与分式方程4.1 分式的定义与性质分式是指一个整数与一个非零整数的比值。
我们需要学习分式的基本性质，如约分、通分、化简等。
4.2 分式的运算分式的加减乘除是数学中常见的运算。
我们需要学习如何进行分式的加减乘除，并应用它们解决实际问题。
4.3 分式方程的解法分式方程是包含分式的方程。
我们需要学会解分式方程，并利用解方程的方法解决实际问题。
第五章根式与根式方程5.1 根式的定义与性质根式是指包含根号的数。
高中数学数字整除问题教案
高中数学数字整除问题教案
教学目标：
1. 掌握整除的概念和判定方法。
2. 训练学生分析问题并运用整除性质进行解题。
3. 提高学生数学推理和逻辑思维能力。
教学重点：
1. 整除的定义和性质。
2. 数学问题中的整除运用。
教学难点：
1. 理解和掌握整除的应用。
2. 运用整除性质解决复杂问题。
教学准备：
1. 教师准备相关教学资料和教学案例。
2. 学生准备好纸笔进行课堂练习。
教学过程：
一、导入：
教师通过引导学生回顾整除的定义和判定方法，提出本节课要讨论整除问题，并引入相关实际问题。
二、讲解：
1. 整除的定义和性质：通过案例或实例讲解整除的概念和性质，引导学生理解整除乘法法则和整除性质。
2. 数学问题中的整除运用：通过实际问题讲解如何运用整除性质解决问题。
三、练习：
教师出示一些数字整除问题，让学生进行思考和运用整除性质解题，并进行课堂讲解和订正。
四、作业：
布置相关数字整除问题作业，让学生巩固所学知识。
五、总结：
通过课堂讨论和总结，引导学生理解整除的重要性和应用，并巩固整个内容。
教学延伸：
教师可以结合实际生活中的整除问题，引导学生思考和解决，提高学生数学推理和应用能力。
高中数学第十七课教案
高中数学第十七课教案
教学目标：
1. 理解正弦、余弦和正切三角函数的定义。
2. 掌握角度的度数和弧度的转换方法。
3. 能够应用三角函数解决实际问题。
教学重点与难点：
重点：正弦、余弦和正切三角函数的定义及应用。
难点：角度的度数和弧度的转换方法。
教学准备：
1. 教材：高中数学教材
2. 教具：黑板、彩色粉笔、计算器等
教学步骤：
一、引入
老师介绍三角函数的概念及其在数学中的重要性，并提出本节课的学习目标。
二、讲解
1. 正弦、余弦和正切三角函数的定义及性质。
2. 角度的度数和弧度的概念及转换方法。
三、实例讲解
通过几个实际问题的讲解，引导学生理解三角函数的应用。
四、练习
1. 学生课堂练习，加深对三角函数的理解。
2. 布置相关习题作业，巩固所学知识。
五、总结
回顾本节课所学内容，强调三角函数的重要性及应用。
教学反思：
本节课通过实例讲解和练习等方式，提升学生对三角函数的理解和应用能力。
在引入、讲解、练习的过程中，应注意引导学生自主思考和解决问题的能力。
高中数学竞赛专题讲座竞赛讲座17数学归纳法
比赛讲座 17-数学概括法基础知识数学概括法是用于证明与正整数n 相关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．在数学比赛中据有很重要的地位．1．数学概括法的基本形式（ 1）第一数学概括法设 P(n) 是一个与正整数相关的命题，假如①当 n n0（ n0N ）时， P( n) 建立；②假定 n k (k n0 , k N ) 建立，由此推得n k 1时，P(n)也建立，那么，依据①②对全部正整数n n0时， P(n) 建立．（ 2）第二数学概括法设 P(n) 是一个与正整数相关的命题，假如①当 n n0（ n0N ）时， P( n) 建立；②假定 n k (k n0 , k N ) 建立，由此推得n k 1时，P( n)也建立，那么，依据①②对全部正整数n n0时， P(n) 建立．2．数学概括法的其余形式（ 1）跳跃数学概括法①当 n1,2,3,, l 时， P(1), P( 2), P(3),, P(l ) 建立，②假定 n k 时P( k)建立，由此推得 n k l 时，P( n)也建立，那么，依据①②对一切正整数 n 1 时，P(n)建立．（ 2）反向数学概括法设 P(n) 是一个与正整数相关的命题，假如① P(n) 对无穷多个正整数n 建立；②假定 n k 时，命题P(k)建立，则当 n k 1时命题P(k 1)也建立，那么依据①②对全部正整数 n 1时， P(n) 建立．3．应用数学概括法的技巧（ 1）起点前移：有些命题对全部大于等于1 的正整数正整数n 都建立，但命题自己对n 0也建立，并且考证起来比考证n 1时简单，所以用考证n 0建立取代考证n1，同理，其余起点也能够前移，只需前移的起点建立且简单考证就能够．因此为了便于起步，存心前移起点．（ 2）起点增加：有些命题在由 n k 向 n k 1跨进时，需要经其余特别情况作为基础，此时常常需要增补考证某些特别情况，所以需要适合增加起点．（ 3）加大跨度：有些命题为了减少概括中的困难，适合能够改变跨度，但注意起点也应相应增加．（ 4）选择适合的假定方式：概括假定为必定要拘泥于“假定n k 时命题建立”不行，需要依据题意采纳第一、第二、跳跃、反向数学概括法中的某一形式，灵巧选择使用．（ 5）变换命题：有些命题在用数学概括证明时，需要引进一个协助命题帮助证明，或许需要改变命题马上命题一般化或增强命题才能知足概括的需要，才能顺利进行证明．5．概括、猜想和证明在数学中常常经过特例或依据一部分对象得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，这类不严格的推理方法称为不完整概括法． 不完整概括法得出的结论， 只好是一种猜想， 其正确与否，一定进一步查验或证明，常常采纳数学概括法证明．不完整概括法是发现规律、解决问题极好的方法．例题剖析例 1．用数学概括法证明：(1 1)(11)(1 1 )(11 ) 33n 1 （ n N * ,n1 ）473n 2例 2．已知对随意 nN * ，n 1，a n 0 且 a 13a 23a n 3(a 1 a 2a n )2 ，求证： a nn ．例 3．假如正整数 n 不是 6 的倍数，则 1986n1 不是 7 的倍数．例 4．设 a 1 , a 2 , , a n 都是正数，证明a 1a 2 a nna 1 a 2 a n ．n例 5 ．已知函数f (x) 的定义域为 [a,b] ，对于区间 [ a, b] 内的随意两数c, d 均有c d1[ f (c) f (d )] ．求证：对于随意 x 1, x 2 ,, x n[a,b] ，均有f ()2 2x 1x 2x n)1f ( x 2 ) f ( x n )] ．f (n[ f ( x 1 )n例 6 试证：对全部大于等于1 的自然数 n 都有1sin2n1cos cos2cosn2．22 sin2例 7 试证：对全部自然数n （ n 1）都有 2n2 n 2 ．例 8．证明：任一正方形能够剖分红随意个数多于 5 个的正方形．例9．设0a 1 ，a11 a ， a n 11a ，求证：对全部n N 均有a n1 a n例 10．已知a1a2 1 ，aa n21(1) n1N，a n都是整数．2，求证：对全部 nn a n例 11．设 f ( n)1111，能否存在对于正整数n 的函数 g(n) 使等式23nf (1) f (2) f (n1)g(n)[ f ( n)1] 对于n 2 的全部自然数都建立？并证明你的结论．例 12 ．设整数数列{ a n}满足 a1 1 ， a212 ， a3 20，且a n32a n 22a n 1a n．证明：随意正整数n ，14a n a n 1是一个整数的平方．例13．设x1 , x2 ,, x n为正数（n2），证明：x12x22x n21x n2n1．x12x2 x3x22x3 x4x n2x n x1x n2x1 x21例 14．已知a1 1 ， a n 1a n1（ n N * , n1），求证： a900030 ．a n2例 15．整数列{ a n}（n*, n1）知足 a12, a27 ，且有1a na n22 ．求N21an 1证： n2时， a n是奇数．训练题1．证明n N时，12222325 n1能被 31 整除．2．设n不小于 6 的自然数，证明：能够将一个正三角形分红n 个较小的正三角形．3．用数学概括法证明：11112242n14n 为自然数，求证：11112．．设2232n25（n3），求证：n n1(n1)n．．对于自然数 n6．已知a1a2 1 ，a n2a n21(1)n1，求证：对于全部n N *， a n是整数．a n7．设有2n个球分红了很多堆，我们能够随意选甲、乙两堆来依据以下规则搬动：若甲戴盆望天的球数 p 不小于乙堆的球数 q ，则从甲堆拿 q 个球放堆乙堆，这样算是搬动一次．证明：能够经过有限次搬动把全部的球归并成一堆．8．已知数列n}知足：13，a28， 4(a n 1 a n 2 ) 3a n 5n224n 20{ a a （ n3），试证：a n n22n．。
高中数学竞赛教案讲义
高中数学竞赛教案讲义主题：高中数学竞赛备考一、课程目标：1. 提高学生数学逻辑思维能力和解题能力；2. 增强学生对数学知识的理解和应用能力；3. 培养学生团队合作意识和竞赛意识；4. 培养学生学习数学的兴趣和信心。
二、教学内容：1. 数论知识与解题方法；2. 代数知识与解题方法；3. 几何知识与解题方法；4. 概率与统计知识与解题方法。
三、教学重点：1. 突出数学问题解题的逻辑思维；2. 突出数学知识运用的方法；3. 突出解题过程中的技巧与技法。
四、课堂教学安排：第一节课：数论知识与解题方法1. 介绍数论基础知识；2. 讲解数论解题方法；3. 练习数论题目。
第二节课：代数知识与解题方法1. 复习代数基础知识；2. 讲解代数解题方法；3. 练习代数题目。
第三节课：几何知识与解题方法1. 复习几何基础知识；2. 讲解几何解题方法；3. 练习几何题目。
第四节课：概率与统计知识与解题方法1. 介绍概率与统计基础知识；2. 讲解概率与统计解题方法；3. 练习概率与统计题目。
五、课后作业：1. 每节课的课后习题；2. 复习本节课的知识点；3. 复习前几节课的知识点；4. 组织小组讨论解题方法。
六、教学评估：1. 每节课的课堂练习成绩；2. 期中考试成绩；3. 期末考试成绩；4. 学生综合表现与进步情况。
七、教学心得与总结：数学竞赛备考是一个长期的过程，需要坚持不懈和不断努力。
教师要引导学生找到解题的方法，培养学生的数学思维和解题能力。
同时，学生也要积极主动，多加练习，不断提高自己的数学水平。
希望通过我们的共同努力，可以在数学竞赛中获得好的成绩。
高中数学整数与整除教案
高中数学整数与整除教案一、教学目标：1. 理解和掌握整数的概念；2. 掌握整数的加、减、乘、除运算规律；3. 掌握整数的大小比较；4. 理解和掌握整除的概念及相关性质。
二、教学内容：1. 整数的概念及表示方法；2. 整数的加减法规律；3. 整数的乘法规律；4. 整数的除法规律；5. 整数的大小比较；6. 整除的概念及性质。
三、教学重点与难点：1. 整数的概念及加减乘除运算规律为重点；2. 整除的概念及相关性质为难点。
四、教学过程设计：1. 整数的概念及表示方法（5分钟）- 通过实例引导学生理解整数的概念，如正整数、负整数和零的概念。
- 教师板书整数的表示方法，引导学生掌握整数的表示形式。
2. 整数的加减法规律（15分钟）- 通过一些具体的例题，引导学生掌握整数的加减法规律。
- 讲解整数的加法和减法规律，引导学生进行相关练习。
3. 整数的乘法规律（15分钟）- 通过示例引导学生理解整数的乘法规律，包括同号相乘与异号相乘的规律。
- 讲解整数的乘法规律，引导学生进行相关练习。
4. 整数的除法规律（15分钟）- 通过实例引导学生理解整数的除法规律，包括整除和余数的概念。
- 讲解整数的除法规律，引导学生进行相关练习。
5. 整数的大小比较（10分钟）- 通过比较不同整数的大小，引导学生理解和掌握整数的大小比较方法。
- 讲解整数的大小比较规律，引导学生进行相关练习。
6. 整除的概念及性质（10分钟）- 通过实例引导学生理解整除的概念，包括约数和倍数的概念。
- 讲解整除的性质，引导学生进行相关练习。
五、教学总结与作业布置：1. 总结本堂课的重点内容，强调整数的加减乘除运算规律及整除的概念及性质。
2. 布置相关作业，让学生巩固所学知识。
六、板书设计：1. 整数的概念及表示方法2. 整数的加减法规律3. 整数的乘法规律4. 整数的除法规律5. 整数的大小比较6. 整除的概念及性质七、教学反思：通过本节课的设计和实施，整合了整数的基本概念及运算规律，加深了学生对整数和整除的理解和掌握。
高中数学竞赛教案讲义(17)整数问题
第十七章 整数问题一、常用定义定理1．整除：设a,b ∈Z,a ≠0，如果存在q ∈Z 使得b=aq ，那么称b 可被a 整除，记作a|b ，且称b 是a 的倍数,a 是b 的约数。
b 不能被a 整除，记作a b.2 带余数除法：设a,b 是两个给定的整数，a ≠0，那么，一定存在唯一一对整数q 与r ，满足b=aq+r,0≤r<|a|，当r=0时a|b 。
3．辗转相除法：设u 0,u 1是给定的两个整数，u 1≠0，u 1 u 0,由2可得下面k+1个等式：u 0=q 0u 1+u 2,0<u 2<|u 1|；u 1=q 1u 2+u 3,0<u 3<u 2；u 2=q 2u 3+u 4,0<u 4<u 3；…u k-2=q k-2u 1+u k-1+u k ,0<u k <u k-1；u k-1=q k-1u k+1,0<u k+1<u k ；u k =q k u k+1.4．由3可得：（1）u k+1=(u 0,u 1)；（2）d|u 0且d|u 1的充要条件是d|u k+1；（3）存在整数x0,x 1，使u k+1=x 0u 0+x 1u 1.5．算术基本定理：若n>1且n 为整数，则k a k a a p p p n 2121=，其中p j (j=1,2,…,k)是质数（或称素数），且在不计次序的意义下，表示是唯一的。
6．同余：设m ≠0,若m|(a-b)，即a-b=km ，则称a 与b 模同m 同余，记为a ≡b(modm)，也称b 是a 对模m 的剩余。
7．完全剩余系：一组数y 1,y 2,…,y s 满足：对任意整数a 有且仅有一个y j 是a 对模m 的剩余，即a ≡y j (modm)，则y 1,y 2,…,y s 称为模m 的完全剩余系。
8．Fermat 小定理：若p 为素数，p>a,(a,p)=1，则a p-1≡1(modp)，且对任意整数a,有a p ≡a(modp).9．若(a,m)=1，则)(m a ϕ≡1(modm),ϕ(m)称欧拉函数。
高中数学讲义：数列中的整数问题
数列中的整数问题一、基础知识：1、整数的基本性质：（1）整数的和，差，积仍为整数（2）整数的奇偶性：若()21n k k Z =+Î，则称n 为奇数；若()2n k k Z =Î，则称n 为偶数，在加，减，乘法运算中，其结果有以下规律：① 奇数±奇数=偶数 ② 奇数±偶数=奇数③ 偶数±偶数=偶数 ④ 奇数´偶数=偶数⑤ 偶数´偶数=偶数 ⑥ 奇数´奇数=奇数（3）若,a b Z Î，且a b <，则1a b £-（4）已知,,a b R a b Î<，若n Z Î，且(),n a b Î，则n 只能取到有限多个整数（也有可能无解）（5）若aZ bÎ，称a 能被b 整除，则有：①b a£②b 为a 的一个因数（6）最小数原理：自然数集的任何非空子集，均有一个最小的自然数2、整数性质的应用：（1）若变量属于整数，则利用方程与不等式均可求出变量的值：在实数范围内，若要求得变量的值，通常要依赖方程，而不等式只能解得变量的范围。
但是在整数范围内，除了方程，在不等式中也可以利用整数的离散性求出变量的值（即性质（4）），例如：若(),2,5n N n ÎÎ，则n 的取值只能是3,4。
所以在涉及求整数的值时，思路不要局限于寻找等量关系，构造不等关系依然可以求解。
（2）整除问题：若表达式形式较为简单，可通过对常数进行因数分解，进而确定变量的取值；若表达式次数较高，则可以先利用二项式定理去掉高次的项，再进行处理。
（3）多元整数不定方程：当变量的值为整数时，不定方程的解可能有有限多组解。
通常的处理方式有两个：① 通过对表达式进行因式分解，对另一侧的常数进行因数分解，进而将不定方程拆成多个方程的方程组，进而解出变量② 将一个字母视为变量（其余视为参数）并进行参变分离，求出含变量函数的值域，进而将参数置于一个范围内，再利用整数离散性求得参数的值（4）反证法：运用反证法处理整数问题时，常见的矛盾有以下几点：① 所解得变量非整数，或不符合已知范围② 等式两侧为一奇一偶3、整数问题通常会与数列联系起来，其特征就是数列中项的序数，以及前n 项和的项数，均为正整数。
高中数学 第十七章《整数问题》数学竞赛讲义 苏教版
第十七章 整数问题一、常用定义定理1．整除：设a,b ∈Z,a ≠0，如果存在q ∈Z 使得b=aq ，那么称b 可被a 整除，记作a|b ，且称b 是a 的倍数,a 是b 的约数。
b 不能被a 整除，记作a b.2.带余数除法：设a,b 是两个给定的整数，a ≠0，那么，一定存在唯一一对整数q 与r ，满足b=aq+r,0≤r<|a|，当r=0时a|b 。
3．辗转相除法：设u 0,u 1是给定的两个整数，u 1≠0，u 1 u 0,由2可得下面k+1个等式：u 0=q 0u 1+u 2,0<u 2<|u 1|； u 1=q 1u 2+u 3,0<u 3<u 2； u 2=q 2u 3+u 4,0<u 4<u 3； …u k-2=q k-2u 1+u k-1+u k ,0<u k <u k-1； u k-1=q k-1u k+1,0<u k+1<u k ； u k =q k u k+1.4．由3可得：（1）u k+1=(u 0,u 1)；（2）d|u 0且d|u 1的充要条件是d|u k+1；（3）存在整数x 0,x 1，使u k+1=x 0u 0+x 1u 1.5．算术基本定理：若n>1且n 为整数，则k ak aap p p n 2121=，其中p j (j=1,2,…,k)是质数（或称素数），且在不计次序的意义下，表示是唯一的。
6．同余：设m ≠0,若m|(a-b)，即a-b=km ，则称a 与b 模同m 同余，记为a ≡b(modm)，也称b 是a 对模m 的剩余。
7．完全剩余系：一组数y 1,y 2,…,y s 满足：对任意整数a 有且仅有一个y j 是a 对模m 的剩余，即a ≡y j (modm)，则y 1,y 2,…,y s 称为模m 的完全剩余系。
8．Fermat 小定理：若p 为素数，p>a,(a,p)=1，则a p-1≡1(modp)，且对任意整数a,有a p≡a(modp). 9．若(a,m)=1，则)(m aϕ≡1(modm),ϕ(m)称欧拉函数。
培训高中数学竞赛教案范文
培训高中数学竞赛教案范文
教学内容：数学竞赛题型训练
教学目标：通过训练，提高学生的数学思维能力和解题技巧，为参加数学竞赛做好准备。
教学重点：数学竞赛常见题型训练
教学难点：复杂题型的解题技巧训练
教学方法：示例讲解法、练习巩固法
教学手段：教师讲解、学生练习、互动讨论
教学过程：
一、导入
教师首先介绍数学竞赛的重要性，以及参加数学竞赛需要具备的素质和能力。
然后简要介绍本次训练的内容和目标。
二、讲解常见题型
1.整数问题：教师给出一些关于整数的题目，让学生分析解题思路。
2.函数问题：教师解释函数的基本概念，并给出一些函数题目，让学生分析解题思路。
3.几何问题：教师讲解几何知识，并给出一些几何题目，让学生运用几何知识解题。
三、练习训练
1.学生在教师的指导下，进行题目练习，针对不同类型的题目，分别进行训练。
2.学生互相交流讨论解题思路，在教师的帮助下，找出解题中的关键点。
3.教师针对学生的解题情况，提出建议和指导，帮助学生提升解题能力。
四、总结
教师总结本次训练的重点和难点，鼓励学生继续努力，坚持训练，提高数学竞赛的成绩。
五、作业布置
布置相关的练习题目作业，让学生在课后巩固所学知识。
六、课程结束
教师对本节课进行总结，鼓励学生在平时多加实践，勤加练习，提高数学竞赛的成绩。
教案结束。
高中数学竞赛讲义-整除 新人教A 版.doc
§26整除整除是整数的一个重要内容，这里仅介绍其中的几个方面：整数的整除性、最大公约数、最小公倍数、方幂问题.Ⅰ. 整数的整除性初等数论的基本研究对象是自然数集合及整数集合. 我们知道，整数集合中可以作加、减、乘法运算，并且这些运算满足一些规律（即加法和乘法的结合律和交换律，加法与乘法的分配律），但一般不能做除法，即，如b a ,是整除，0≠b ，则b a 不一定是整数. 由此引出初等数论中第一个基本概念：整数的整除性.定义一：（带余除法）对于任一整数a 和任一整数b ，必有惟一的一对整数q ，r 使得r bq a +=，b r <≤0，并且整数q 和r 由上述条件惟一确定，则q 称为b 除a 的不完全商，r 称为b 除a 的余数.若0=r ，则称b 整除a ，或a 被b 整除，或称b a 是的倍数，或称a b 是的约数（又叫因子），记为a b |.否则，b | a .任何a 的非1,±±a 的约数，叫做a 的真约数.0是任何整数的倍数，1是任何整数的约数.任一非零的整数是其本身的约数，也是其本身的倍数.由整除的定义，不难得出整除的如下性质：（1）若.|,|,|c a c b b a 则（2）若.,,2,1,,|,|1n i Z c b c a b a i n i ii i Λ=∈∑=其中则（3）若c a |，则.|cb ab 反之，亦成立.（4）若||||,|b a b a ≤则.因此，若b a a b b a ±=则又,|,|.（5）a 、b 互质，若.|,|,|c ab c b c a 则（6）p 为质数，若,|21n a a a p ⋅⋅⋅Λ则p 必能整除n a a a ,,,21Λ中的某一个.特别地，若p 为质数，.|,|a p a p n则 （7）如在等式∑∑===m k k n i ib a 11中除开某一项外，其余各项都是c 的倍数，则这一项也是c的倍数.（8）n 个连续整数中有且只有一个是n 的倍数.（9）任何n 个连续整数之积一定是n 的倍数.本讲开始在整除的定义同时给出了约数的概念，又由上一讲的算术基本定理，我们就可以讨论整数的约数的个数了.Ⅱ. 最大公约数和最小公倍数定义二：设a 、b 是两个不全为0的整数.若整数c 满足：b c a c |,|，则称b a c ,为的公约数，b a 与的所有公约数中的最大者称为b a 与的最大公约数，记为),(b a .如果),(b a =1，则称b a 与互质或互素.定义三：如果a d 是、b 的倍数，则称a d 是、b 的公倍数. b a 与的公倍数中最小的正数称为b a 与的最小公倍数，记为],[b a .最大公约数和最小公倍数的概念可以推广到有限多个整数的情形，并用),,,(21n a a a Λ表示n a a a ,,,21Λ的最大公约数，],,,[21n a a a Λ表示n a a a ,,,21Λ的最小公倍数.若1),,,(21=n a a a Λ，则称n a a a a ,,,,321Λ互质，若n a a a ,,,21Λ中任何两个都互质，则称它们是两两互质的.注意，n 个整数互质与n 个整数两两互质是不同的概念，前者成立时后者不一定成立（例如，3，15，8互质，但不两两互质）；显然后者成立时，前者必成立.因为任何正数都不是0的倍数，所以在讨论最小公倍数时，一般都假定这些整数不为0.同时，由于|||,|,b a b a 与有相同的公约数，且|)||,(|),(b a b a =（有限多个亦成立），因此，我们总限于在自然数集合内来讨论数的最大公约数和最小公倍数.Ⅲ.方幂问题一个正整数n 能否表成m 个整数的k 次方和的问题称为方幂和问题.特别地，当1=m 时称为k 次方问题，当2=k 时，称为平方和问题.能表为某整数的平方的数称为完全平方数.简称平方数，关于平方数，明显有如下一些简单的性质和结论：（1）平方数的个位数字只可能是0，1，4，5，6，9.（2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只能是0或1.（3）奇数平方的十位数字是偶数.（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6.（5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整除的数的平方能被3整除.因而，平方数被9除的余数为0，1，4，7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能为0，1，4，7.（6）平方数的约数的个数为奇数.（7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数.例题讲解1．证明：对于任何自然数n 和k ，数1042),(3++=k k n nk n f 都不能分解成若干个连续的正整数之积.2．设p 和q 均为自然数,使得.131911318131211+--+-=Λq p 证明：p 可被1979整除.3．对于整数n 与k ，定义,),(112∑=-=n r k r k n F 求证：)1,(n F 可整除).,(k n F4．求一对整数b a ,，满足：(1))(b a ab +不能被7整除；（2）777)(b a b a --+能被77整除.5．求设a 和b 是两个正整数，p b a ,1),(=为大于或等于3的质数，ba b a b a c pp +++=,(），试证：（1）1),(=a c ；（2）1=c 或.p c =6．m 盒子中各若干个球，每一次在其中)(m n n <个盒中加一球.求证：不论开始的分布情况如何，总可按上述方法进行有限次加球后使各盒中球数相等的充要条件是.1),(=n m7．求所有这样的自然数n ，使得n222118++是一个自然数的平方.例题答案：1. 证明：由性质9知，只需证明数),(k n f 不能被一个很小的自然数n 整除.因,1)1)(1()3(31033),(333++--++=++-+=k k k k k k k k k n n n n n n n n n k n f ),1)(1(|3),3(3|33+-++k k k k k n n n n n 3 1，故3 ),(k n f ，因而),(k n f 不能分解成三个或三个以上的连续自然数的积.再证),(k n f 不能分解成两个连续正整数的积. 由上知，)(13),(N q q k n f ∈+=，因而只需证方程：)1(13+=+x x q 无正整数解.而这一点可分别具体验算234,134,3++=r x 时，)1(+x x 均不是13+q 形的数来说明. 故),(k n f 对任何正整数n 、k 都不能分解成若干个连续正整数之积.2. 证明：)131814121(2)1319131211(+++-+++=ΛΛq p =)6591211()1319131211(+++-++++ΛΛ =)99019891()131816611()131916601(++++++Λ =1979×)99098911318661113196601(⨯++⨯+⨯Λ 两端同乘以1319！得1319！*).(1979N m m qp ∈⨯=⨯ 此式说明1979|1319！×.p 由于1979为质数，且1979 1319！，故1979|.p【评述】把1979换成形如23+k 的质数，1319换成*)(12N k k ∈+，命题仍成立. 牛顿二项式定理和n b a b a b a b a n n n n (|)(,|)(-+--为偶数), n b a b a n n (|)(-+为奇数)在整除问题中经常用到.3.证明：当m n 2=时，,)12()1,2(21∑=+==mr m m r m F ∑∑+=-=-+=m m r k m r k r rk m F 2112112),2(],)12([)12(12112112112-=-=-=--++=-++=∑∑∑k m r k m r k m r k r m r r m r由于[…]能被12)12(+=-++m r m r 整除，所以),2(k m F 能被12+m 整除，另一方面， =),2(k m F ,)2(])2([1212121112----=-++-+∑k k k m r k m m r m r上式中[…]能被m r m r 2)2(=-+整除，所以),2(k m F 也能被m 整除.因m 与2m +1互质，所以),2(k m F 能被m （2m +1）（即)1,(m F ）整除.类似可证当12+=m n 时，F （2m +1，k ）能被F （2m +1,1）整除. 故),(k n F 能被)1,(n F 整除.4. 777)(b a b a --+=)](5)(3)[(7223355b a b a b a ab b a ab +++++=.))((7222ab b a b a ab +++根据题设要求(1)(2)知，|,)(|72226ab b a ++即.|7223ab b a ++ 令,7322=++ab b a 即,343)(2=-+ab b a 即19=+b a ，则.343192-=ab 故可令1,18==b a 即合要求.5. 由已知得),(,N s t cs ba b a ct b a pp ∈=++=+，两式相乘得 ,)(1112ct pa t pac t c a ct a b a st c p p p p p p p p p ---++-=-+=+=Λ于是,12211-----++-=p p p p p pa t pac t c cs Λ故.|1-p pa c（1）现用反证法来证明1),(=a c .若,1),(>=k a c 令q 是k 的一个质因子，则有.|,|a q c q 因b a c +|，则b a q +|，从而.|b q 于是q 是a 、b 的一个公约数，这与),(b a =1矛盾，故1),(=a c .（2）因为,1),(,|1=-a c pa c p 所以.|p c 而p 为质数且3≥p ，故1=c 或.p c =6. 证明：设1),(=n m ，则有Z v u ∈,使得)1()1(1++-=+=v m v vm un ，此式说明：对盒子连续加球u 次，可使1-m 个盒子各增加了v 个，一个增加)1(+v 个.这样可将多增加了一个球的盒子选择为原来球数最少的那个，于是经过u 次加球之后，原来球数最多的盒子中的球与球数最少的盒子中的球数之差减少1，因此，经过有限次加球后，各盒球数差为0，达到各盒中的球数相等.用反证法证明必要性.若1),(>=d n m ，则只要在m 个盒中放1+m 个球，则不管加球多少次，例如，加球k 次，则这时m 个盒中共有球kn m ++1（个），因为,1,|,|>d n d m d 所以kn m ++1不可能是d 的倍数，更不是m 的倍数，各盒中的球决不能一样多，因此，必须1),(=n m .7. 证明：（1）当8≤n 时，)122(222118118++⋅++=--n n n N ，因（…）为奇数，所以要使N 为平方数，n 必为偶数.逐一验证8,6,4,2=n 知，N 都不是平方数.（2）当9=n 时，11222289118⨯=++=N 不是平方数. （3）当10≥n 时，)29(288-+=n N ，要N 为平方数，829-+n 应为奇数的平方，不妨假设829-+n =2)12(+k ,则).2()1(210+⨯-=-k k n 由于1-k 和2+k 是一奇一偶，左边为2的幂，因而只能1-k =1，于是得2=k ，由21022=-n 知12=n 为所求.。
高中数学竞赛强基计划讲义教案
高中数学竞赛强基计划讲义教案教学目标：1. 提升学生的数学竞赛能力，掌握数学竞赛的基本知识和技巧；2. 培养学生的思维能力、创新精神和团队协作能力；3. 帮助学生建立数学自信心，提高解决数学问题的兴趣和热情。
教学重、难点：1. 教学重点：让学生掌握数学竞赛的基本知识和技巧，提高学生的思维能力和解决问题的能力。
2. 教学难点：培养学生的创新精神和实践能力，同时帮助学生建立数学自信心。
3. 解决方法：通过大量的案例分析和实践练习，让学生逐步掌握解题的思路和方法，同时注重培养学生的创新思维和实践能力。
教学准备：1. 辅助教学资源：包括多媒体课件、试题库、案例库等，以提高教学效率和效果，让学生更直观地了解数学知识。
2. 工具使用：在教学过程中使用多种教具和工具，如数字模型、图形模型、计算器等，帮助学生学习和理解数学知识。
3. 实验课程：组织实验课程或实践活动，让学生亲身感受数学在生活中的应用和实践效果。
教学方法和手段：1. 采用案例式、探究式、讨论式等多种教学方法，注重启发式教学，充分发挥学生的主体作用。
2. 利用多媒体课件、数学软件等现代化教学手段，提高教学效率和效果。
3. 针对学生的学习特点和需求，设计多样化的教学活动和练习，激发学生的学习兴趣和积极性。
教学过程：1. 知识点导入（5分钟）：通过问题导入或案例分析，引出当天的教学内容，让学生明确教学目标和教学重点。
2. 知识点讲解（25分钟）：通过讲解典型例题、探究数学思想和方、总结解题规律等方式，让学生掌握数学竞赛的基本知识和技巧。
同时注重培养学生的思维能力和解决问题的能力。
3. 学生实践（15分钟）：让学生通过自主解题、小组讨论等方式，实践所学知识和方法，并鼓励学生提出自己的见解和思路。
4. 教师点评与反馈（15分钟）：教师针对学生的实践情况进行点评和反馈，帮助学生发现问题并解决问题，同时对教学重点和难点进行强化。
5. 课堂小结（5分钟）：对当堂教学内容进行总结，并布置适当的作业和练习，让学生巩固所学内容。
高二数学竞赛班二试数论讲义-整数的性质
高二数学竞赛班二试讲义整数的性质班级姓名一、知识点金一、整数的性质1．两个连续整数之间不再有其他整数，两个连续整数的完全平方数之间不存在完全平方数；2．若,,i a b x Z ∈，1,2,3,,i n =⋅⋅⋅，|i a b ，则1|n i ii a b x =∑。
3．n 个连续整数的乘积一定能被!n 整除。
4．设N 是自然数，在十进制中的1n +位数可表示为1210n n N a a a a a -=⋅⋅⋅，09(0,1,2,,),0i n a i n a ≤≤=⋅⋅⋅≠（1）若03|ni i a =∑，则3|N 。
（2）若104|a a ，则4|N 。
（3）若1107|(2)n n a a a a -⋅⋅⋅-，则07|(21)7|N a N -⇒。
（4）若2108|a a a ，则8|N 。
（5）若09|n i i a=∑，则9|N 。
（6）若02413511|[()()]a a a a a a +++⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅，则11|N 。
5．算术基本定理：任何一个正整数n ，都可以唯一分解成素因数乘积的形式，其中1212k k n p p p ααα=⋅⋅⋅。
12,,,k p p p ⋅⋅⋅均为素数，12,,,k ααα⋅⋅⋅为非负整数。
6．设12121212,k k k k m p p p n p p p αβααββ=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，12,,,k p p p ⋅⋅⋅均为素数，,i i αβ为非负整数。
,m n 的最大公约数1212(,),min(,)k k i i i m n p p p γγγγαβ=⋅⋅⋅=，1,2,,i k =⋅⋅⋅,m n 的最小公倍数1212[,],max(,)k k i i i m n p p p γγγγαβ=⋅⋅⋅=，1,2,,i k=⋅⋅⋅二、例题分析例1．设,x y 是正整数，,667x y x y <+=，它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商为120，求x 和y 。
高中数学竞赛———整数问题 ppt课件
高中数学竞赛———整数问题
1
1答案 2答案 3答案 4答案 5答案 课外思考
∵13 是质数 ∴ 212 1(mod13) . ∴ 2100 21284 24 3(mod13)
高中数学竞赛———整数问题
3
3.(教程 P581 4) 22225555 55552222 ____(mod 7)
22225555 55552222 222292565 555537062 22225 55552 35 42 0(mod 7)
1.(教程 P573 5)3960 的正约数的个数(包括 1 和自身) 有___个.
∵ 3960 23 32 511 ∴3960 的正约数共有 (3 1)(2 1)(1 1)(1 1) 48 个.
高中数学竞赛———整数问题
2
2.(教程 P581 1)当 2100 被 13 除时,余数是( ) (A)1 (B)3 (C)7 (D)11
关于整数问题的几个训练
1.(教程 P573 5)3960 的正约数的个数(包括 1 和自身)
有_4__8个. B 2.(教程 P581 1)当 2100 被 13 除时,余数是( )
(A)1 (B)3 (C)7 (D)11
0 3.(教程 P581 4) 22225555 55552000
高中数学竞赛———整数问题
5
5.(美国第 4 届数学邀请赛题)使 n3+100 能被 n+10 整 除的正整数 n 的最大值是多少?
高中数学竞赛课教案
高中数学竞赛课教案目标：1. 熟悉高中数学竞赛常见题型2. 提升解题技巧和思维能力3. 训练学生在有限时间内解决问题的能力教学内容：1. 数论2. 几何3. 代数4. 组合数学教学步骤：1. 引入（5分钟）- 介绍高中数学竞赛的重要性和对学生数学思维能力的提升- 提出本节课的学习目标2. 知识点讲解（20分钟）- 分别介绍数论、几何、代数和组合数学在竞赛题目中的应用- 讲解每个知识点的常见题型，重点掌握解题思路和技巧3. 解题演练（30分钟）- 给学生分发练习题目，让学生单独或小组完成- 在解题过程中引导学生思考，指导他们正确的解题思路- 汇总讲解每道题的解题方法和答案4. 课堂讨论（15分钟）- 要求学生就解题过程中遇到的问题进行讨论和交流- 引导学生分享不同的解题思路和方法- 提醒学生注意解题的时间限制和答题策略5. 总结与评价（5分钟）- 对本节课的知识点进行总结回顾- 评价学生在解题过程中的表现和思考能力- 提出下节课的学习任务和要求扩展活动：1. 组织学生参加数学竞赛练习2. 设计更具挑战性的数学题目，激发学生的学习兴趣3. 鼓励学生积极参与数学竞赛，提升自身的数学水平和竞赛能力作业：1. 完成课堂练习题目2. 自主查阅数学竞赛相关资料，扩展数学知识领域3. 准备下次课堂的学习资料和心理准备教学反思：本节课主要是针对高中数学竞赛的常见题型进行讲解和解题演练，通过梳理知识点和指导解题，帮助学生提升数学解题的技巧和思维能力。
在未来的教学中，可以结合更多实例和案例，激发学生的学习兴趣，培养他们的数学竞赛能力。
高中校考数学讲解教案范文
高中校考数学讲解教案范文
一、教学内容：初一数学整数
二、教学目标：
1.掌握整数的定义和性质；
2.能够进行整数的加减乘除运算；
3.能够灵活运用整数进行实际问题的解决。
三、教学重点与难点：
重点：整数的性质、加减乘除运算的方法；
难点：灵活运用整数进行实际问题的解决。
四、教学过程：
1.导入：通过介绍现实生活中的整数问题引导学生了解整数的概念和意义。
2.概念讲解：讲解整数的定义、性质、以及整数的加减乘除运算方法。
3.例题演练：引导学生进行一些整数加减乘除的练习，并讲解解题思路和方法。
4.实际问题解决：通过实际生活中的问题，让学生运用所学知识解决问题，培养学生的运
算思维和解决问题的能力。
5.课堂练习：布置课堂练习，巩固学生对整数的理解和运用能力。
6.作业布置：布置作业，巩固学生对整数的掌握和运用能力。
五、板书设计：
整数的定义：整数是指自然数、0、负自然数的集合
整数的性质：加法逆元、乘法逆元、相反数
整数的加减乘除运算方法
六、教学反思：
本节课主要讲解了整数的基本概念和性质，通过例题演练和实际问题解决，让学生初步掌
握了整数的加减乘除运算方法。
在教学过程中，应注重引导学生灵活运用所学知识解决问题，培养学生的数学思维和计算能力。
同时，应根据学生的掌握情况，及时调整教学进度，确保教学效果。
高中数学 第17课时 数学归纳法与不等式教案
第17课时 数学归纳法与不等式目的要求：重点难点：教学进程：一、引入：数学归纳法是一个递推的数学论证方式，论证的第一步是证明命题在n ＝1(或n 0)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n ＝k 时命题成立，再证明n ＝k ＋1时命题也成立，这是递推的依据。
事实上它使命题的正确性冲破了有限，达到无穷。
证明时，关键是k ＋1步的推证，要有目标意识。
二、典型例题：例一、证明：23333)321(321n n ++++=++++ 。
例二、设1->x ，*N n ∈，证明贝努利不等式：nx x n +>+1)1(。
例3、设b a ,为正数，*N n ∈，证明：n n n b a b a )2(2+≥+。
例4、设数列{a n }的前n 项和为S n ，假设关于所有的自然数n ，都有S n ＝2)(1n a a n +，证明{a n }是等差数列。
（94年全国文） 例五、已知数列811322··，得，…，8212122··n n n ()()-+，…。
S n 为其前n 项和，求S 1、S 2、S 3、 S 4，推测S n 公式，并用数学归纳法证明。
（93年全国理）解：计算得S 1＝89，S 2＝2425，S 3＝4849，S 4＝8081 ， 猜想S n ＝()()2112122n n +-+ (n ∈N) 【注】 从实验、观看动身，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是探讨性问题的证法，数列中常经常使用到。
（试值 → 猜想 → 证明）【另解】 用裂项相消法求和例六、设a n ＝12×＋23×＋…＋n n ()+1 (n ∈N),证明：12n(n ＋1)<a n <12(n ＋1)2 。
三、小结：四、练习：。
江苏省丹阳高级中学高二数学竞赛培训讲义整数的简单性质缺答案
整数的简单性质（一）（一）知识、技能、方法一、整数的离散性任何两个整数,x y之间的距离至少为1，因此有不等式<⇔+≤.x y x y1二、整数的奇偶性将全体整数分为两类,凡是2的倍数的数称为偶数，否则称为奇数.因此,任一偶数可表示为2m（m∈Z）的形式，任一奇数可表示为2m+1或2m－1的形式. 奇、偶数具有如下性质：（1）奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；奇数±偶数=奇数;偶数×偶数=偶数；奇数×偶数=偶数；奇数×奇数=奇数；（2）两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若为整数，它必为偶数。
（3）奇数的平方都可表示为8m+1形式，偶数的平方都可表示为8m 或8m+4的形式（m∈Z）。
（4）任何一个正整数n，都可以写成ln m2=的形式，其中m为非负整数,l为奇数.三、整数的整除性1．定义：设a，b是整数，且b≠０，若存在整数c，使a＝bc，则称b整除a或a能被b整除，记作b|a，并称b是a的一个约数（因子），称a是b的倍数。
若不存在上述c,则称b不能整除a，记为b| a。
显然，１和-1能整除任意整数，任意整数都能整除０。
2．性质：①若c|b，b｜a,则c｜a. ②若b｜a,则bc|a c.③若c|a，c|b，则对任意整数m、n，有c|m a＋nb。
④若b|a c，且（a，b）＝1，则b|c。
⑤ 若p 为质数，p | a b ，则p | a 或p ｜ b ，特别地，若p ｜ a n ，*n N ∈,则p | a 。
⑥ 若(a ，b ）＝1，且a |c ，b ｜c ，则a b ｜c. ⑦ 带余除法:设b ＞0，对于任意整数a ，总可以找到一对惟一确定的q ，r 满足a =bq+r ，0≤r ＜b.⑧ (a －b ）｜（a n －b n )（n ∈N)，(a ＋b)|(a n ＋b n )(n 为正奇数) .⑨ 如果在等式11n miki k a a ===∑∑中除开某一项外,其余各项都是c 的倍数，则这一项也是c 的倍数。
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第十七章 整数问题
一、常用定义定理
1．整除：设a,b ∈Z,a ≠0，如果存在q ∈Z 使得b=aq ，那么称b 可被a 整除，记作a|b ，且称b 是a 的倍数,a 是b 的约数。
b 不能被a 整除，记作a b.
2 带余数除法：设a,b 是两个给定的整数，a ≠0，那么，一定存在唯一一对整数q 与r ，满足b=aq+r,0≤r<|a|，当r=0时a|b 。
3．辗转相除法：设u 0,u 1是给定的两个整数，u 1≠0，u 1 u 0,由2可得下面k+1个等式：u 0=q 0u 1+u 2,0<u 2<|u 1|； u 1=q 1u 2+u 3,0<u 3<u 2； u 2=q 2u 3+u 4,0<u 4<u 3； …
u k-2=q k-2u 1+u k-1+u k ,0<u k <u k-1； u k-1=q k-1u k+1,0<u k+1<u k ； u k =q k u k+1.
4．由3可得：（1）u k+1=(u 0,u 1)；（2）d|u 0且d|u 1的充要条件是d|u k+1；（3）存在整数x 0,x 1，使u k+1=x 0u 0+x 1u 1.
5．算术基本定理：若n>1且n 为整数，则k a
k a
a
p p p n 2121 ，其中p j (j=1,2,…,k)是质数（或
称素数），且在不计次序的意义下，表示是唯一的。
6．同余：设m ≠0,若m|(a-b)，即a-b=km ，则称a 与b 模同m 同余，记为a ≡b(modm)，也称b 是a 对模m 的剩余。
7．完全剩余系：一组数y 1,y 2,…,y s 满足：对任意整数a 有且仅有一个y j 是a 对模m 的剩余，即a ≡y j (modm)，则y 1,y 2,…,y s 称为模m 的完全剩余系。
8．Fermat 小定理：若p 为素数，p>a,(a,p)=1，则a p-1≡1(modp)，且对任意整数a,有a p
≡a(modp). 9．若(a,m)=1，则)
(m a
≡1(modm), (m)称欧拉函数。
10．（欧拉函数值的计算公式）若k a k
a a p p p m 21
2
1
，则 (m)=.)1
1(1
k
i i
p m
11．（孙子定理）设m 1,m 2,…,m k 是k 个两两互质的正整数，则同余组： x ≡b 1(modm 1),x ≡b 2(modm 2),…,x ≡b k (modm k )有唯一解， x ≡'
1M M 1b 1+'
2M M 2b 2+…+'
k M M k b k (modM)， 其中M=m 1m 2m k ；i M =
i
m M ，i=1,2,…,k ；i i M M '
≡1(modm i ),i=1,2,…,k. 二、方法与例题 1．奇偶分析法。
例1 有n 个整数，它们的和为0，乘积为n ，（n>1），求证：4|n 。
2．不等分析法。
例2 试求所有的正整数n ，使方程x 3+y 3+z 3=nx 2y 2z 2
有正整数解。
3．无穷递降法。
例3 确定并证明方程a 2+b 2+c 2=a 2b 2
的所有整数解。
4．特殊模法。
例4 证明：存在无穷多个正整数，它们不能表示成少于10个奇数的平方和。
5．最小数原理。
例5 证明：方程x 4+y 4=z 2
没有正整数解。
6．整除的应用。
例6 求出所有的有序正整数数对(m,n)，使得1
1
3 mn n 是整数。
7．进位制的作用
例7 能否选择1983个不同的正整数都不大于105
，且其中没有3个正整数是等差数列中的连
续项？证明你的结论。
三、习题精选
1．试求所有正整数对(a,b)，使得(ab-a 2
+b+1)|(ab+1).
2．设a,b,c ∈N +，且a 2+b 2-abc 是不超过c+1的一个正整数，求证：a 2+b 2
-abc 是一个完全平方数。
3．确定所有的正整数数对(x,y)，使得x ≤y ，且x 2+1是y 的倍数，y 2
+1是x 的倍数。
4．求所有的正整数n ，使得存在正整数m,(2n -1)|(m 2
+9).
5．求证：存在一个具有如下性质的正整数的集合A ，对于任何由无限多个素数组成的集合，存在k ≥2及正整数m ∈A 和n A ，使得m 和n 均为S 中k 个不同元素的乘积。
6．求最小的正整数n(≥4)，满足从任意n 个不同的整数中能选出四个不同的数a,b,c,d 使20|(a+b-c-d).
7.对于正整数a,n,定义F n (a)=q+r ，其中q,r 为非负整数，a=qn+r 且0≤r ≤n ，求最大正整数A ，使得存在正整数n 1,n 2,…,n 6，对任意正整数a ≤A ，都有))((((((1
2
3
4
5
6
a F F F F F F n n n n n n =1，
并证明你的结论。
8．设x 是一个n 位数，问：是否总存在非负整数y ≤9和z 使得10n+1
z+10x+y 是一个完全平方数？证明你的结论。
9．设a,b,c,d ∈N +,且a>b>c>d,ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)。
证明：ab+cd 不是素数。