2020年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷(理科) 含解析

2020年高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（共12小题）1．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，则A∩B＝（）A．{2，3}B．{2，4}C．{3，4}D．{2，3，4，5} 2．已知复数，则|z|＝（）A．B．5C．13D．3．已知非零向量，给定p：∃λ∈R，使得，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若2sin，则tanα＝（）A．4B．3C．﹣4D．﹣35．已知双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），则它的离心率是（）A．B．C．D．6．已知集合，从A中任选两个角，其正弦值相等的概率是（）A．B．C．D．7．已知函数，且a＝f（0.20.2），b＝f（log34），，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a8．近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示：年份12345羊只数量（万只） 1.40.90.750.60.3草地植被指数 1.1 4.315.631.349.7根据表及图得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，去掉第一年数据后得到的相关系数为r2，则|r1|＜|r2|；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数；以上判断中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．39．已知圆锥的顶点为A，高和底面的半径相等，BE是底面圆的一条直径，点D为底面圆周上的一点，且∠ABD＝60°，则异面直线AB与DE所成角的正弦值为（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），若函数f（x）的图象与直线y＝1在（0，π）上有3个不同的交点，则ω的范围是A．（，]B．（，]C．（，]D．（，]11．已知点M（﹣4，﹣2），抛物线x2＝4y，F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线，P为抛物线上一点，过P做PQ⊥l，点Q为垂足，过P作抛物线的切线l1，l1与l交于点R，则|QR|+|MR|的最小值为（）A．B．C．D．512．对于定义域为D的函数y＝f（x），如果存在区间[a，b]⊆D（a＜b）满足f（x）是[a，b]上的单调函数，且f（x）在区间[a，b]上的值域也为[a，b]，小则称函数f（x）为区间[a，b]上的“保值函数”，[a，b]为“保值区间”．根据此定义给出下列命题：①函数f（x）＝x2﹣2x是[0，1]上的“保值函数”；②若函数g（x）＝|2x﹣1|是[a，b]上的“保值函数”，则a+b＝1；③对于函数h（x）＝x2e x存在区间[0，m]，且m∈（，1），使函数h（x）为[0，m]上的“保值函数”．其中所有真命题的序号为（）A．②B．③C．①③D．②③二、填空题13．已知函数，则＝．14．已知向量，满足||＝，向量，夹角为120°，且（+）⊥，则向量|+|＝．15．大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房．蜂房的结构如图所示，开口为正六边形ABCDEF，侧棱AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且与平面ABCDEF垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成．瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园．英国数学家麦克劳林通过计算得到∠B′C′D′＝109°28′16''．已知一个房中BB'＝5，AB＝2，tan54°44′08''＝，则此蠊房的表面积是．16．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知a＝7，b＝5，c＝3，点I是△ABC的内心，则IB＝．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在等差数列{a n}中，a1＝﹣8，a2＝3a4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设（n∈N*），T n为数列{b n}的前n项和，若，求n的值．18．如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点P在面ABCD内的射影为A，PA＝AB＝1，点A到平面PBC的距离为，且直线AC与PB垂直．（Ⅰ）在棱PD上找一点E，使直线PB与平面ACE平行，并说明理由；（Ⅱ）在（I）的条件下，求二面角B﹣AC﹣E的大小．19．甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进．2019年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代入治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号．在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为0表示该插针处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图．（I）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；（Ⅱ）若一个插钎的风蚀值小于30，则该数据要标记“*”，否则不标记．根据以上直方图，完成列联表：标记不标记合计坡腰坡顶合计并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？（Ⅲ）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为和，若|﹣|＞20cm，则可认为此固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算和（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异．附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828 20．已知点F为椭圆（a＞b＞0）的一个焦点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若M、N在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM∥直线BN，直线AN、BM的斜率分别为k1和k2，求证：k1•k2＝e2﹣1（e为椭圆的离心率）．21．已知函数（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）当a＝时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性与单调区间；（Ⅲ）若y＝f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＜9﹣lna．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的直角坐标方程为．（Ⅰ）若直线l与曲线C1交于M、N两点，求线段MN的长度；（Ⅱ）若直线l与x轴，y轴分别交于A、B两点，点P在曲线C2上，求的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x+2|，g（x）＝|x+2|﹣|x﹣2a|+a．（Ⅰ）求不等式f（x）＞4的解集；（Ⅱ）对∀x1∈R，∃x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的1．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，则A∩B＝（）A．{2，3}B．{2，4}C．{3，4}D．{2，3，4，5}【分析】利用交集定义直接求解．解：∵集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，∴A∩B＝{2，4}．故选：B．2．已知复数，则|z|＝（）A．B．5C．13D．【分析】利用复数的运算法则求出z，再求其模长即可．解：因为复数＝+2＝i（2+i）+2＝1+2i；∴|z|＝＝；故选：A．3．已知非零向量，给定p：∃λ∈R，使得，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由q可得向量同向共线，进而判断出关系．解：由q可得向量同向共线，∴q⇒p，反之不成立．∴p是q的必要不充分条件．故选：B．4．若2sin，则tanα＝（）A．4B．3C．﹣4D．﹣3【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的正弦公式以及同角三角函数的基本关系，求得tanα的值．解：若2sin，即2cos•（﹣sin）＝2•，即﹣sin＝＝﹣，∴＝﹣，故tanα＝﹣4，故选：C．5．已知双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），则它的离心率是（）A．B．C．D．【分析】根据题意可知（2，﹣1）在y＝﹣x上，可得a2＝4b2，即可得到离心率．解：由题可知（2，﹣1）在双曲线的渐近线y＝﹣x上，则a＝2b，即a2＝4b2，所以e＝＝＝，故选：A．6．已知集合，从A中任选两个角，其正弦值相等的概率是（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n＝＝10，利用列举法求出其正弦值相等包含的基本事件有4个，由此能求出其正弦值相等的概率．解：集合，从A中任选两个角，基本事件总数n＝＝10，sin＝sin，sin，sin，sin，∴其正弦值相等包含的基本事件有4个，∴其正弦值相等的概率为p＝．故选：B．7．已知函数，且a＝f（0.20.2），b＝f（log34），，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a【分析】推导出0＜0.20.2＜0.20＝1，log34＞1，＝﹣1，由此能比较三个数的大小．解：∵函数的减区间为（﹣∞，0），增区间为（0，+∞），0＜0.20.2＜0.20＝1，log34＞1，＝﹣1，∵a＝f（0.20.2），b＝f（log34），，∴b＞c＞a．故选：D．8．近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示：年份12345羊只数量（万只） 1.40.90.750.60.3草地植被指数 1.1 4.315.631.349.7根据表及图得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，去掉第一年数据后得到的相关系数为r2，则|r1|＜|r2|；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数；以上判断中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据两组数据的相关性，对题目中的命题判断正误即可．解：对于①，羊只数量与草场植被指数成负相关关系，不是减函数关系，所以①错误；对于②，用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，因为第一组数据（1.4，1.1）是离群值，去掉后得到的相关系数为r2，其相关性更强，所以|r1|＜|r2|，②正确；对于③，利用回归直线方程，不能准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数，只是预测值，所以③错误；综上知，正确的判断序号是②，共1个．故选：B．9．已知圆锥的顶点为A，高和底面的半径相等，BE是底面圆的一条直径，点D为底面圆周上的一点，且∠ABD＝60°，则异面直线AB与DE所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】建立直角坐标系．不妨设OB＝1．高和底面的半径相等，得OE＝OB＝OA，OA⊥底面DEB，利用向量夹角公式即可得出．解：如图所示，建立直角坐标系．不妨设OB＝1．因为高和底面的半径相等，∴OE＝OB＝OA，OA⊥底面DEB．∵点D为底面圆周上的一点，且∠ABD＝60°，∴AB＝AD＝DB；∴D为的中点则O（0，0，0），B（0，﹣1，0），D（1，0，0），A（0，0，1），E（0，1，0），∴＝（0，﹣1，﹣1），＝（﹣1，1，0），∴cos＜，＞＝＝，∴异面直线AM与PB所成角的大小为．∴异面直线AB与DE所成角的正弦值为．故选：A．10．已知函数f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），若函数f（x）的图象与直线y＝1在（0，π）上有3个不同的交点，则ω的范围是A．（，]B．（，]C．（，]D．（，]【分析】先根据两角和与差的三角函数个数化简解析式，再把问题转化为sin（2）＝有三个根，借助于正弦函数的性质即可求解．解：因为函数f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）＝（1﹣cos2ωx）+sin2ωx＝sin （2）+（ω＞0），∵函数f（x）的图象与直线y＝1在（0，π）上有3个不同的交点；即sin（2）+＝1有3个根；∴sin（2）＝有三个根；∵x∈（0，π）；∴2∈（﹣，2ωπ﹣）；∵2π＜2ωπ﹣≤2π+⇒＜ω≤．故选：C．11．已知点M（﹣4，﹣2），抛物线x2＝4y，F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线，P为抛物线上一点，过P做PQ⊥l，点Q为垂足，过P作抛物线的切线l1，l1与l交于点R，则|QR|+|MR|的最小值为（）A．B．C．D．5【分析】画出图形，设出P的坐标，结合抛物线的定义，转化说明|QR|+|MR|的最小值就是MF的距离即可．解：设P（m，），则过P的切线的斜率为：k＝，Q（m，﹣1），k PQ＝，k PQ ＞k＝﹣1，根据抛物线的定义，|PF|＝|PQ|．l1为FQ的垂直平分线，|RF|＝|RQ|，|QR|+|MR|的最小值为|MF|＝＝5，故选：D．12．对于定义域为D的函数y＝f（x），如果存在区间[a，b]⊆D（a＜b）满足f（x）是[a，b]上的单调函数，且f（x）在区间[a，b]上的值域也为[a，b]，小则称函数f（x）为区间[a，b]上的“保值函数”，[a，b]为“保值区间”．根据此定义给出下列命题：①函数f（x）＝x2﹣2x是[0，1]上的“保值函数”；②若函数g（x）＝|2x﹣1|是[a，b]上的“保值函数”，则a+b＝1；③对于函数h（x）＝x2e x存在区间[0，m]，且m∈（，1），使函数h（x）为[0，m]上的“保值函数”．其中所有真命题的序号为（）A．②B．③C．①③D．②③【分析】①根据函数单调性的定义以及“保值函数“的定义判断即可．②由g（x）＝|2x﹣1|的图象可知其为区间[0，1]上的“保值函数“，进而可得结论．③有题意可得x2e x＝x解得有两个根x1＝0，＝e，构造函数k（x）＝﹣e x，易知k（）＞0，k（1）＜0，由零点存在定理知存在x2＝m∈（，1），使x2e x＝x成立，进而可得结论．解：由“保值函数”定义可知f（x）为区间[a，b]上的“保值函数“，则f（x）在[a，b]上是单调函数且在区间[a，b]时其值于也为[a，b]，那么当函数f（x）为增函数时满足条件x＝f（x）在[a，b]上有两个不同的实数解a，b 的函数f（x）就是“保值函数“，命题①中f（x）＝x2﹣2x，虽满足在[0，1]上单调但值域为[﹣1，0]，不是[0，1]，故①为假命题．②中由g（x）＝|2x﹣1|的图象可知其为区间[0，1]上的“保值函数“故②为真命题，③中h（x）＝x2e x则由h′（x）＝e x（x2+2x）≥0在[0，m]成立，所以h（x）为[0，m]上的增函数，再由x2e x＝x解得有两个根x1＝0，＝e，构造函数k（x）＝﹣e x，易知k（）＞0，k（1）＜0，由零点存在定理知存在x2＝m∈（，1），使x2e x＝x成立，故③为真命题，综上所有真命题的序号为②③，故选：D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数，则＝4．【分析】先求出f（log2）＝＝，从而＝f（），由此能求出结果．解：∵函数，∴f（log2）＝＝，∴＝f（）＝2×．故答案为：4．14．已知向量，满足||＝，向量，夹角为120°，且（+）⊥，则向量|+|＝．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式可得||•||cos＜，＞＝﹣2，及||的值，而|+|＝展开可求出其值．解：因为（+）⊥，所以（+）•＝0，即+2＝0，因为||＝，向量，夹角为120°，整理可得﹣2＝||•||cos＜，＞＝﹣2，即﹣2＝||•（），所以||＝2，所以|+|＝＝＝＝故答案为：．15．大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房．蜂房的结构如图所示，开口为正六边形ABCDEF，侧棱AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且与平面ABCDEF垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成．瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园．英国数学家麦克劳林通过计算得到∠B′C′D′＝109°28′16''．已知一个房中BB'＝5，AB＝2，tan54°44′08''＝，则此蠊房的表面积是216．【分析】连接BD，B′D′，则由题意BD∥B′D′，BD＝B′D′＝6，由OB′C′D′为菱形，可求OC′＝2•＝6，B′C′＝3，进而可求CC′，可求S梯形BB′CC′，即可计算得解S表面积的值．解：连接BD，B′D′，则由题意BD∥B′D′，BD＝B′D′＝6，∵OB′C′D′为菱形，∠B′C′D′＝109°28′16''，tan54°44′08''＝，∴OC′＝2•＝2×＝6，B′C′＝3，∴CC′＝BB′﹣＝4，∴S梯形BB′CC′＝＝27，∴S表面积＝6×+3×＝216．故答案为：216．16．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知a＝7，b＝5，c＝3，点I是△ABC的内心，则IB＝．【分析】先利用正弦定理求得A以及cos C，进而得到sin，再在△BIC中，结合正弦定理即可求解结论．解：因为在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知a＝7，b＝5，c＝3，∴cos A＝＝﹣⇒A＝120°；同理可得：cos C＝＝1﹣2sin2⇒sin＝；（负值舍）；∵+＝＝30°；∴∠BIC＝150°；在△BIC中，＝⇒IB＝＝．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在等差数列{a n}中，a1＝﹣8，a2＝3a4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设（n∈N*），T n为数列{b n}的前n项和，若，求n的值．【分析】（Ⅰ）等差数列{a n}的公差设为d，由等差数列的通项公式，解方程可得公差d，进而得到所求通项公式；（Ⅱ）求得＝＝＝﹣，由数列的裂项相消求和，可得T n，解方程可得所求值．解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差设为d，a1＝﹣8，a2＝3a4．，可得﹣8+d＝3（﹣8+3d），解得d＝2，则a n＝﹣8+2（n﹣1）＝2n﹣10；（Ⅱ）＝＝＝﹣，T n＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣＝1+﹣﹣＝，化为11n2﹣27n﹣68＝0，解得n＝4（﹣舍去）．18．如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点P在面ABCD内的射影为A，PA＝AB＝1，点A到平面PBC的距离为，且直线AC与PB垂直．（Ⅰ）在棱PD上找一点E，使直线PB与平面ACE平行，并说明理由；（Ⅱ）在（I）的条件下，求二面角B﹣AC﹣E的大小．【分析】（Ⅰ）点E为PD中点时，连结BD，交AC于点O，则点O为BD的中点，从而OE∥PB，由此能证明PB与平面ACE平行．（Ⅱ）根据题意⊥PB，PA⊥底面ABCD，从而AC⊥PA，进而AC⊥平面PAB，由V P﹣ACB＝V A﹣PBC，解得AC＝1，由OE∥PB，AC⊥PB，得OE⊥AC，从而AB⊥AC，由此能求出二面角B﹣AC﹣E的大小．解：（Ⅰ）点E为PD中点时，直线PB与平面ACE平行．证明：连结BD，交AC于点O，则点O为BD的中点，∵点E为PD中点，∴OE是△PDB的中位线，则OE∥PB，∵OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，∴PB与平面ACE平行．（Ⅱ）根据题意⊥PB，PA⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，则有AC⊥PA，PA∩PB＝P，∴AC⊥平面PAB，设AC＝x，V P﹣ACB＝V A﹣PBC＝＝，解得AC＝1，由（Ⅰ）知OE∥PB，AC⊥PB，∴OE⊥AC，AC⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，∴AB⊥AC，如图，二面角为钝角，则OE，AB所成角为二面角B﹣AC﹣E的补角，∠PBA＝，OE∥PB，∴OE，AB所成角为，∴二面角B﹣AC﹣E的大小为．19．甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进．2019年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代入治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号．在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为0表示该插针处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图．（I）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；（Ⅱ）若一个插钎的风蚀值小于30，则该数据要标记“*”，否则不标记．根据以上直方图，完成列联表：标记不标记合计坡腰坡顶合计并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？（Ⅲ）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为和，若|﹣|＞20cm，则可认为此固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算和（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异．附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828【分析】（I）利用频率分布直方图计算“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的频率值；（Ⅱ）由频率分布表填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（Ⅲ）计算和，求出|﹣|，即可得出结论．解：（I）设“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的事件为C，则P（C）＝0.08+0.16+0.36＝0.6；（Ⅱ）由频率分布表，填写列联表如下：标记不标记合计坡腰302050坡顶203050合计5050100由表中数据，计算K2＝＝4＞3.841，所以有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关；（Ⅲ）计算＝0.08×5+0.16×15+0.36×25+0.24×35+0.12×45+0.04×55＝25.8（cm），＝0.04×5+0.12×15+0.24×25+0.32×35+0.20×45+0.08×55＝32.6（cm），且|﹣|＝4.8＜20，所以判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果没有差异．20．已知点F为椭圆（a＞b＞0）的一个焦点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若M、N在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM∥直线BN，直线AN、BM的斜率分别为k1和k2，求证：k1•k2＝e2﹣1（e为椭圆的离心率）．【分析】（Ⅰ）由题意可知，a+c＝3，a﹣c＝1，可求出a，c的值，再利用b2＝a2﹣c2求出b的值，即可得到椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线AM的斜率为k，则直线BN的斜率也为k，所以直线AM的方程为y＝k （x﹣2），直线BN的方程为y＝kx﹣，联立直线AM与椭圆方程求出点M的坐标，联立直线BN与椭圆方程求出点N的坐标，再利用斜率公式分别求出k1，k2，化简k1•k2＝﹣，从而得到k1•k2＝e2﹣1．解：（Ⅰ）由题意可知，，解得，∴b2＝a2﹣c2＝3，∴椭圆的标准方程为：；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，A（2，0），B（0，﹣），设直线AM的斜率为k，则直线BN的斜率也为k，故直线AM的方程为y＝k（x﹣2），直线BN的方程为y＝kx﹣，由得：（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12＝0，∴，∴，，∴，由得：，∴，，∴，∴＝，＝，∴k1k2＝•＝﹣，又∵，∴k1•k2＝e2﹣1．21．已知函数（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）当a＝时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性与单调区间；（Ⅲ）若y＝f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＜9﹣lna．【分析】（Ⅰ）因为a＝时，f′（x）＝2﹣﹣x⇒f′（1）＝﹣1，易求f（1）＝2，从而可得曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）由题意可知f′（x）＝2﹣﹣x＝（x＞0），令﹣x2+2x﹣a ＝0，通过对△＝12﹣4a符号的分析，即可求得函数f（x）的单调性与单调区间；（Ⅲ）依题意，f′（x）＝＝0有两个正根x1，x2，则△＝12﹣4a＞0，x1+x2＝2，x1•x2＝a＞0，f（x1）+f（x2）＝2（x1+x2）﹣aln（x1x2）﹣（+）+1＝﹣alna+a+7，利用分析法，若要f（x1）+f（x2）＜9﹣lna，即要alna﹣lna﹣a+2＞0，构造函数g（x）＝xlnx﹣lnx﹣x+2，通过对其导数的分析，存在x0∈（1，2），使得g （x0）＝0，且g（x0）为（1，2）上的最小值，g（x0）＝x0lnx0﹣x0﹣lnx0+2＝3﹣（x0+），利用对勾函数的单调性即可证得结论成立．解：（Ⅰ）因为a＝时，，所以f′（x）＝2﹣﹣x，那么f′（1）＝﹣1，f（1）＝2，所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣2＝﹣（x﹣1），即x+y ﹣2﹣1＝0，（Ⅱ）由题意可知f（x）的定义域为（0，+∞），因为f′（x）＝2﹣﹣x＝，由﹣x2+2x﹣a＝0可得：△＝12﹣4a ＞0，即a＜3时，有x1＝+，x2＝﹣，x1＞x2，又当x∈（0，3）时，满足x1＞x2＞0，所以有x∈（0，x2）和（x1，+∞）时，f′（x）＜0，即f（x）在区间（0，x2）和（x1，+∞）上为减函数．又x∈（x2，x1）时，f′（x）＞0，即f（x）在区间（x2，x1）上为增函数．当a＜0时，有x1＞0，x2＜0，则x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；x∈（x1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当a≥3时，△≤0，f′（x）≤0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）为减函数，综上所述，当a＜0时，在（0，3+），f（x）为增函数；在（3+，+∞），f （x）为减函数；当0＜a＜3时，f（x）在区间（0，3﹣）和（3+，+∞）上为减函数，在（3﹣，3+），f（x）为增函数；当a≥3时，在（0，+∞）上，f（x）为减函数．（Ⅲ）因为y＝f（x）有两个极值点x1，x2，则f′（x）＝＝0有两个正根x1，x2，则△＝12﹣4a＞0，x1+x2＝2，x1•x2＝a＞0，即a∈（0，3），所以f（x1）+f（x2）＝2（x1+x2）﹣aln（x1x2）﹣（+）+1＝﹣alna+a+7，若要f（x1）+f（x2）＜9﹣lna，即要alna﹣lna﹣a+2＞0，构造函数g（x）＝xlnx﹣lnx﹣x+2，则g′（x）＝1+lnx﹣﹣1＝lnx﹣，且在（0，3）上为增函数，又g′（1）＝﹣1＜0，g′（2）＝ln2﹣＞0，所以存在x0∈（1，2），使得g（x0）＝0，即lnx0＝，且x∈（1，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，x∈（x0，2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）在（1，2）上有最小值g（x0）＝x0lnx0﹣x0﹣lnx0+2＝3﹣（x0+），又因为x0∈（1，2），则x0+∈（2，），所以g（x0）＞0在x0∈（1，2）上恒成立，即f（x1）+f（x2）＜9﹣lna成立．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的直角坐标方程为．（Ⅰ）若直线l与曲线C1交于M、N两点，求线段MN的长度；（Ⅱ）若直线l与x轴，y轴分别交于A、B两点，点P在曲线C2上，求的取值范围．【分析】（Ⅰ）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换的应用求出结果．（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系的应用建立等量关系，进一步求出范围．解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为x+y ﹣1＝0，曲线C1的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y ＝0，转换为标准式为（x﹣1）2+（y+1）2＝2，所以圆心（1，﹣1）到直线x+y﹣1＝0的距离d＝，所以弦长|MN|＝2．（Ⅱ）线C2的直角坐标方程为．转换为直角坐标方程为x2+y2＝4，转换为参数方程为（0≤θ≤π）．由于A（1，0），B（0，1），点P在曲线C2上，故P（2cosθ，2sinθ），所以，，（0≤θ≤π），所以＝2，故：，所以．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x+2|，g（x）＝|x+2|﹣|x﹣2a|+a．（Ⅰ）求不等式f（x）＞4的解集；（Ⅱ）对∀x1∈R，∃x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）将函数化为分段函数的形式，再分类讨论分别解不等式，最后把每种情况的解集取并集即可；（Ⅱ）易知f（x）min＝2，g（x）≥|2a+2|+a，结合题意可知2≥|2a+2|+a，由此求得实数a的取值范围．解：（Ⅰ），∴f（x）＞4即为或或，∴或x∈∅或x＞1，∴不等式的解集为；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x＝﹣1时，f（x）min＝2，g（x）＝|x+2|+|x﹣2a|+a≥|（x+2）﹣（x﹣2a）|+a＝|2a+2|+a，由题意，对∀x1∈一、选择题，∃x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，故f（x）min≥g（x）min，即2≥|2a+2|+a，解得﹣4≤a≤0，∴实数a的取值范围为[﹣4，0]．。