2020年广东省广州二中中考数学一模试卷
(答案)广东省2020年中考数学一模试题
2020年广东省中考数学一模试卷一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）1．（3分）﹣的相反数是（）A．﹣B．C．D．【分析】根据求一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，即可得出答案．【解答】解：﹣的相反数是，故选：C．【点评】本题考查了相反数的意义．解题的关键是掌握相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．学生易把相反数的意义与倒数的意义混淆．2．（3分）下列图形中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称的定义，结合选项进行判断即可．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项符合题意；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形的知识，解答本题的关键是掌握轴对称的特点．3．（3分）2019年末到2020年3月16日截止，世界各国感染新冠状肺炎病毒患者达到15万人，将数据15万用科学记数表示为（）A．1.5×104B．1.5×103C．1.5×105D．1.5×102【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：15万＝15×104＝1.5×105．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）计算a4•a2的结果是（）A．a8B．a6C．a4D．a2【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可．【解答】解：a4•a2＝a4+2＝a6．故选：B．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．5．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．B．x＜2C．D．x≥0【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得，1﹣2x＞0，解得，x＜，故选：A．【点评】本题考查的是二次根式、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不为0是解题的关键．6．（3分）不透明袋子中有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机取出1个球，是红球的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：∵袋子装有3个红球，2个白球，∴从中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率是故选：D．【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．7．（3分）如图，直线AC和直线BD相交于点O，若∠1+∠2＝70°，则∠BOC的度数是（）A．100°B．115°C．135°D．145°【分析】根据对顶角和邻补角的定义即可得到结论．【解答】解：∵∠1＝∠2，∠1+∠2＝70°，∴∠1＝∠2＝35°，∴∠BOC＝180°﹣∠1＝145°，故选：D．【点评】本题考查了邻补角、对顶角的应用，主要考查学生的计算能力．8．（3分）若关于x的方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＜1且k≠0C．k≥﹣1且k≠0D．k≥﹣1【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：当该方程是一元二次方程时，由题意可知：△＝4+4k≥0，∴k≥﹣1，∵k≠0，∴k≥﹣1且k≠0，当该方程时一元一次方程时，k＝0，满足题意，故选：D．【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．9．（3分）在一次函数y＝（2m﹣1）x+1中，y的值随着x值的增大而减小，则它的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】由y的值随着x值的增大而减小可得出2m﹣1＜0，再利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数y＝（2m﹣1）x+1的图象经过第一、二、四象限，进而可得出一次函数y＝（2m﹣1）x+1的图象不经过第三象限．【解答】解：∵在一次函数y＝（2m﹣1）x+1中，y的值随着x值的增大而减小，∴2m﹣1＜0．∵2m﹣1＜0，1＞0，∴一次函数y＝（2m﹣1）x+1的图象经过第一、二、四象限，∴一次函数y＝（2m﹣1）x+1的图象不经过第三象限．故选：C．【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及一次函数的性质，牢记“k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限”是解题的关键．10．（3分）如图，已知点A为反比例函数y＝（x＜0）的图象上一点，过点A作AB⊥y 轴，垂足为B，若△OAB的面积为3，则k的值为（）A．3B．﹣3C．6D．﹣6【分析】再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝2，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．【解答】解：∵AB⊥y轴，∴S△OAB＝|k|，∴|k|＝3，∵k＜0，∴k＝﹣6．故选：D．【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．二．填空题（共7小题，每题4分，共28分）11．（4分）11的平方根是．【分析】根据正数有两个平方根可得11的平方根是±．【解答】解：11的平方根是±．故答案为：±．【点评】此题主要考查了平方根，关键是掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．12．（4分）已知，|a﹣2|+|b+3|＝0，则b a＝9．【分析】根据非负数的性质可求出a、b的值，再将它们代b a中求解即可．【解答】解：∵|a﹣2|+|b+3|＝0，∴a﹣2＝0，b+3＝0，∴a＝2，b＝﹣3，则b a＝（﹣3）2＝9．故答案为：9．【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．13．（4分）分解因式：m4﹣81m2＝m2（m﹣9）（m+9）．【分析】首先提公因式m2，再利用平方差进行二次分解即可．【解答】解：原式＝m2（m2﹣81），＝m2（m﹣9）（m+9）．故答案为：m2（m﹣9）（m+9）．【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．14．（4分）点M（3，﹣1）到x轴距离是1．【分析】根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值，可得答案．【解答】解：M（3，﹣1）到x轴距离是1．故答案为：1【点评】本题考查了点的坐标，利用点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值是解题关键．15．（4分）圆锥的母线长为3，底面圆的半径为2，则这个圆锥的全面积为10π．【分析】由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，所以根据扇形的面积公式可得圆锥的侧面积，然后求得底面积，二者相加即可求得全面积．【解答】解：圆锥的侧面积＝×3×2π×2＝6π，底面积为22π＝4π，所以全面积为：6π+4π＝10π．故答案为：10π．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式．16．（4分）如图，六边形ABCDEF的六个内角都等于120°，若AB＝BC＝CD＝3cm，DE ＝2cm，则这个六边形的周长等于17cm．【分析】凸六边形ABCDEF，并不是一规则的六边形，但六个角都是120°，所以通过适当的向外作延长线，可得到等边三角形，进而求解．【解答】解：分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P，如图所示：∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°，∴△APF、△BGC、△DHE、△GHP都是等边三角形，∴GC＝BC＝3cm，DH＝DE＝EH＝2cm，∴GH＝3+3+2＝8（cm），F A＝P A＝PG﹣AB﹣BG＝8﹣3﹣3＝2（cm），EF＝PH﹣PF﹣EH＝8﹣2﹣2＝4（cm）．∴六边形的周长为2+3+3+3+2+4＝17（cm）；故答案为：17．【点评】本题考查了等边三角形的性质及判定定理；解题中巧妙地构造了等边三角形，从而求得周长．是非常完美的解题方法，注意学习并掌握．17．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（，0）和（m，y），对称轴为直线x＝﹣1，下列5个结论：其中正确的结论为②④．（注：只填写正确结论的序号）①abc＞0；②a+2b+4c＝0；③2a﹣b＞0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b），【分析】根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，得到b＝2a，则b＞0，根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，所以abc＜0；由x＝，y＝0，得到a+b+c＝0，即a+2b+4c＝0；由a＝b，a+b+c＞0，得到b+2b+c ＞0，即3b+2c＞0；由x＝﹣1时，函数值最小，则a﹣b+c≤m2a﹣mb+c（m≠1），即a ﹣b≤m（am﹣b）．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，则2a﹣b＝0，所以③错误；∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以①错误；∵x＝时，y＝0，∴a+b+c＝0，即a+2b+4c＝0，所以②正确；∵a＝b，a+b+c＞0，∴b+2b+c＞0，即3b+2c＞0，所以④正确；∵x＝﹣1时，函数值最小，∴a﹣b+c≤am2﹣mb+c，∴a﹣b≤m（am﹣b），所以⑤错误．故答案为②④．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小．一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a 与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）．抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．三．解答题（一）（共3小题，每题6分，共18分）18．（6分）计算：+（）0+•sin45°﹣（π﹣2019）0．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝3+1+×﹣1＝4+1﹣1＝4．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．19．（6分）先化简，再从2、3、4中选一个合适的数作为x的值代入求值．（）÷【分析】首先计算括号里面的减法，然后再算括号外的除法，化简后，根据分式有意义的条件确定x的取值，再代入x的值即可．【解答】解：原式＝[﹣]•，＝（﹣）•，＝•，＝x+2，∵x﹣2≠0，x﹣4≠0，x+2≠0，∴x≠2或4或﹣2，∴x取3，当x＝3时，原式＝3+2＝5．【点评】此题主要考查了分式的化简求值，关键是掌握计算顺序，正确把分式进行化简．20．（6分）已知：△ABC中，AB＝AC．（1）求作：△ABC的外接圆；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝12，求⊙O的面积．【分析】（1）作线段BC的垂直平分线AD，线段AB的垂直平分线EF，最小AD交EF 于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O即可．（2）设BC的垂直平分线交BC于点D，连接OB．利用勾股定理求出OB2即可．【解答】解：（1）如图，⊙O即为所求．（2）设BC的垂直平分线交BC于点D，连接OB．由题意得：OD＝4，BD＝CD＝BC＝6，在Rt△OBD中，OB2＝OD2+BD2＝42+62＝52，∴⊙O的面积＝π•OB2＝52π．【点评】本题考查﹣复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．四．解答题（二）（共3小题，每题8分，共24分）21．（8分）2019年9月10日是我国第35个教师节，某中学德育处发起了感恩小学恩师的活动，德育处要求每位同学从以下三种方式中选择一种方式表达感恩：A．信件感恩，B．信息感恩，C．当面感恩．为了解同学们选择以上三种感恩方式的情况，德育处随机对本校部分学生进行了调查，并根据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息解答下列问题：（1）扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为120°，并补全条形统计图；（2）本次调查在选择A方式的学生中有两名男生和两名女生来自于同一所小学，德育处打算从他们四个人中选择两位在主题升旗仪式上发言，请用画树状图或列表的方法求恰好选到一男一女的概率．【分析】（1）由A类别人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以C部分人数所占比例可得；据此即可补全条形图；（2）分别用树状图和列表两种方法表示出所有等可能结果，从中找到恰好选到一男一女的概率结果数，利用概率公式计算可得．【解答】解：（1）被调查的总人数为15÷25%＝60（人），C类的总人数＝60﹣25﹣15＝20（人）所以扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为360°×＝120°，补全条形统计图如图所示：故答案为：120°；（2）画树状图如下：共有12种可能的结果，恰好选到一男一女的结果有8个，∴P（选到一男一女）＝＝．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的应用．解题时注意：概率＝所求情况数与总情况数之比．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．22．（8分）如图，一名滑雪爱好者先从山脚下A处沿登山步道走到点B处，再沿索道乘坐缆车到达顶部C．已知在点A处观测点C，得仰角为35°，且A，B的水平距离AE＝1000米，索道BC的坡度i＝1：1，长度为2600米，求山的高度（即点C到AE的距离）（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，≈1.41，结果保留整数）【分析】作CD⊥AE于点D，BF⊥CD于点F．证四边形BEDF是矩形，由BC＝2600米知米、米．由AE＝1000米知米．结合∠CAD＝35°求解可得．【解答】解：如图，作CD⊥AE于点D，BF⊥CD于点F．又∵BE⊥AD，∴四边形BEDF是矩形．在Rt△BCF中，∵BC的坡度i＝1：1，∴∠CBF＝45°．∵BC＝2600米，∴米．∴米．∵A，B的水平距离AE＝1000米，∴米．∵∠CAD＝35°，∴（米）．答：山高CD约为1983米．【点评】本题考查解直角三角形﹣坡度坡角问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．23．（8分）某超市购进一批水杯，其中A种水杯进价为每个15元，售价为每个25元；B 种水杯进价为每个12元，售价为每个20元（1）该超市平均每天可售出60个A种水杯，后来经过市场调查发现，A种水杯单价每降低1元，则平均每天的销量可增加10个．为了尽量让顾客得到更多的优惠，该超市将A种水杯售价调整为每个m元，结果当天销售A种水杯获利630元，求m的值．（2）该超市准备花费不超过1600元的资金购进A、B两种水杯共120个，其中B种水杯的数量不多于A种水杯数量的两倍．请设计获利最大的进货方案，并求出最大利润．【分析】（1）直接利用A种水杯单价每降低1元，平均每天的销量可增加10个，用m 表示出A种水杯的销量，再根据销量×每件利润＝630，进而解方程得出答案；（2）设购进A种水杯x个，则B种水杯（120﹣x）个．求得利润y关于x的一次函数，再利用x的取值范围和一次函数的增减性求出y的最大值．【解答】解：（1）超市将A种水杯售价调整为每个m元，则单件利润为（m﹣15）元，销量为[60+10（25﹣m）]＝（310﹣10m）个，依题意得：（m﹣15）（310﹣10m）＝630，解得：m1＝22，m2＝24，答：为了尽量让顾客得到更多的优惠，m＝22．（2）设购进A种水杯x个，则B种水杯（120﹣x）个．设获利y元，依题意得：，解不等式组得：40≤x≤53，利润y＝（25﹣15）x+（120﹣x）（20﹣12）＝2x+960．∵2＞0，∴y随x增大而增大，当x＝53时，最大利润为：2×53+960＝1066（元）．答：购进A种水杯53个，B种水杯67个时获利最大，最大利润为1066元．【点评】此题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，一元二次方程应用的关键是理解题意找到等式两边的平衡条件，列出方程．求一次函数应用最值关键是求出自变量的取值范围．五．解答题（三）（共2小题，每题10分，共20分）24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，连结OA、OB、OC，延长BO与AC交于点D，与⊙O交于点F，延长BA到点G，使得∠BGF＝∠GBC，连接FG．（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4．①当OD＝3，求AD的长度；②当△OCD是直角三角形时，求△ABC的面积．【分析】（1）连接AF，分别证∠BGF+∠AFG＝90°，∠BGF＝∠AFB，即可得∠OFG ＝90°，进一步得出结论；（2）①连接CF，则∠ACF＝∠ABF，证△ABO≌△ACO，推出∠CAO＝∠ACF，证△ADO∽△CDF，可求出DF，BD的长，再证△ADB∽△FDC，可推出AD•CD＝7，即AD2＝7，可写出AD的长；②因为△ODC为直角三角形，∠DCO不可能等于90°，所以存在∠ODC＝90°或∠COD＝90°，分两种情况讨论：当∠ODC＝90°时，求出AD，AC的长，可进一步求出△ABC 的面积；当∠COD＝90°时，△OBC是等腰直角三角形，延长AO交BC于点M，可求出MO，AM的长，进一步可求出△ABC的面积．【解答】（1）证明：连接AF，∵BF为⊙O的直径，∴∠BAF＝90°，∠F AG＝90°，∴∠BGF+∠AFG＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ACB＝∠AFB，∠BGF＝∠ABC，∴∠BGF＝∠AFB，∴∠AFB+∠AFG＝90°，即∠OFG＝90°，又∵OF为半径，∴FG是⊙O的切线；（2）解：①连接CF，则∠ACF＝∠ABF，∵AB＝AC，AO＝AO，BO＝CO，∴△ABO≌△ACO（SSS），∴∠ABO＝∠BAO＝∠CAO＝∠ACO，∴∠CAO＝∠ACF，∴AO∥CF，∴＝，∵半径是4，OD＝3，∴DF＝1，BD＝7，∴＝＝3，即CD＝AD，∵∠ABD＝∠FCD，∠ADB＝∠FDC，∴△ADB∽△FDC，∴＝，∴AD•CD＝BD•DF，∴AD•CD＝7，即AD2＝7，∴AD＝（取正值）；②∵△ODC为直角三角形，∠DCO不可能等于90°，∴存在∠ODC＝90°或∠COD＝90°，当∠ODC＝90°时，∵∠ACO＝∠ACF，∴OD＝DF＝2，BD＝6，∴AD＝CD，∴AD•CD＝AD2＝12，∴AD＝2，AC＝4，∴S△ABC＝×4×6＝12；当∠COD＝90°时，∵OB＝OC＝4，∴△OBC是等腰直角三角形，∴BC＝4，延长AO交BC于点M，则AM⊥BC，∴MO＝2，∴AM＝4+2，∴S△ABC＝×4×（4+2）＝8+8，∴△ABC的面积为12或8+8．【点评】本题考查了圆的有关概念及性质，切线的判定定理，相似三角形的判定及性质，直角三角形的存在性质等，解题关键是在求直角三角形的存在性及三角形ABC的面积时注意分类讨论思想的运用等．25．（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为C（3，6），并与y轴交于点B（0，3），点A是对称轴与x轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP 的面积的最大值；（3）如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意可设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+6，将B（0，3）代入可得a＝﹣，则可求解析式；（2）连接PO，设P（n，﹣n2+2n+3），分别求出S△BPO＝n，S△APO＝﹣n2+3n+，S△ABO＝，所以S△ABP＝S△BOP+S△AOP﹣S△ABO＝﹣n2+n＝﹣（n﹣）2+，当x＝时，S△ABP的最大值为；（3）设点的坐标为（t，﹣t2+2t+3），过D作对称轴的垂线，垂足为G，则DG＝t﹣3，CG＝6﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t+3，在Rt△CGD中，CG＝＝DG，所以（t﹣3）＝t2﹣2t+3，求出D（3+，﹣3），所以AG＝3，GD＝3，连接AD，在Rt△ADG中，AD＝AC＝6，∠CAD＝120°，在以A为圆心，AC为半径的圆与y轴的交点上，此时，∠CQD＝∠CAD＝60°，设Q（0，m），AQ为圆A的半径，AQ2＝OA2+QO2＝9+m2＝36，求出m＝3或m＝﹣3，即可求Q．【解答】解：（1）抛物线顶点坐标为C（3，6），∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+6，将B（0，3）代入可得a＝﹣，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）连接PO，BO＝3，AO＝3，设P（n，﹣n2+2n+3），∴S△ABP＝S△BOP+S△AOP﹣S△ABO，S△BPO＝n，S△APO＝﹣n2+3n+，S△ABO＝，∴S△ABP＝S△BOP+S△AOP﹣S△ABO＝﹣n2+n＝﹣（n﹣）2+，∴当x＝时，S△ABP的最大值为；（3）存在，设点的坐标为（t，﹣t2+2t+3），过D作对称轴的垂线，垂足为G，则DG＝t﹣3，CG＝6﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t+3，∴∠ACD＝30°，∴2DG＝DC，在Rt△CGD中，CG＝＝DG，∴（t﹣3）＝t2﹣2t+3，∴t＝3+3或t＝3（舍）∴D（3+，﹣3），∴AG＝3，GD＝3，连接AD，在Rt△ADG中，∴AD＝＝6，∴AD＝AC＝6，∠CAD＝120°，∴在以A为圆心，AC为半径的圆与y轴的交点上，此时，∠CQD＝∠CAD＝60°，设Q（0，m），AQ为圆A的半径，AQ2＝OA2+QO2＝9+m2，∴AQ2＝AC2，∴9+m2＝36，∴m＝3或m＝﹣3，综上所述：Q点坐标为（0，3）或（0，﹣3）．【点评】本题考查二次函数的综合题；熟练掌握二次函数的图象及性质，能够利用直角三角形和圆的知识综合解题是关键．。
2020年广东省广州市中考数学一模试卷(含答案解析)
2020年广东省广州市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.在实数−3，0，5，3中，最小的实数是()A. −3B. 0C. 5D. 32.如图是五个相同的小正方体搭成的几何体，其俯视图是()A.B.C.D.3.下列计算中，正确的是()A. (a2)3⋅a3=a9B. (a−b)2=a2+2ab−b2C. x2⋅x4=x8D. √2⋅√3=√54.如图，将△ABC沿AB方向平移至△DEF，且AB=5，BD=2，则CF的长度为()A. 4B. 5C. 3D. 25.学校为了解七年级学生参加课外兴趣小组活动情况，随机调查了４０名学生，将结果绘制成了如图所示的统计图，则参加绘画兴趣小组的频数是()。
A. 8B. 9C. 11D. 126.在下列性质中，菱形具有而矩形不具有的性质是()A. 内角和等于360°B. 对角相等C. 对角线平分一组对角D. 邻角互补7.不等式组{2x−1>1−x≤2的解集为()A. x>1B. −2≤x<1C. x≥−2D. 无解8.已知：如图，将∠ABC放置在正方形网格纸中，其中点A、B、C均在格点上，则tan∠ABC的值是()A. 2B. 12C. √52D. 2√559.已知一元二次方程x2−2018x+10092=0的两个根为α，β，则α2β+αβ2=()A. 10093B. 2×10093C. −2×10093D. 3×1009310.如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(2,1)，直线l与x轴，y轴分别交于点B(−4,0)，C(0,4)，当x轴上的动点P到直线l的距离PE与到点A的距离PA之和最小时，则点E的坐标是()A. (−2,2)B. (−32,52) C. (−12,72) D.(1,0)二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.太阳的半径大约为696000000，将数据696000000用科学记数法表示为______．12.已知a<0，b>0，化简√(a−b)2=______．13.分式方程2xx−3=1的解是______．14.如图，已知∠ABC=30°，以O为圆心、2cm为半径作⊙O，使圆心O在BC边上移动，则当OB=______ cm时，⊙O与AB相切．15.一个圆锥的高线长是8cm，底面直径为12cm，则这个圆锥的侧面积是______．16.如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在AB，AD上，若CE=3√5，且∠ECF=45°，则CF的长为__________．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）17.先化简，再求值：a2−2aba−b −b2b−a，其中a=1+√3，b=−1+√3．四、解答题（本大题共8小题，共92.0分）18.计算：√83−2cos60°−(π−2018)0+|1−√4|19.如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE=AB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．(1)求证：BF=CF；(2)若BC=6，DG=4，求FG的长．20.为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画；D：信息学；E：科技小制作等五项比赛活动(每人限报一项)，将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：(1)本次参加比赛的学生人数是______名；(2)把条形统计图补充完整；(3)求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角α的度数；(4)在C组最优秀的3名同学(1名男生2名女生)和E组最优秀的3名同学(2名男生1名女生)中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．21.已知一次函数y=ax+b与反比例函数y=3b−ax 的图象交于点(12,2)，求：(1)这两个函数的解析式；(2)两个函数图象另一个交点的坐标．22.某超市用1200元购进一批甲玩具，用800元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的54，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多1元．(1)求：甲、乙玩具的进货单价各是多少元？(2)玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具(甲、乙玩具的进货单价不变)，购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多60件，求：该超市用不超过2100元最多可以采购甲玩具多少件？23.尺规作图(保留作图痕迹，不写作法和证明)如图，已知：△ABC，∠ACB=90°，求作：⊙O，使圆心O在AC边上，且⊙O与AB，BC均相切．24.如图，在平面直角坐标系中．直线y=−x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过B，C两点，与x轴负半轴交于点A(−1,0)，连结AC．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，若点P(m,n)是抛物线上在第一象限内的一点，求四边形OCPB面积S关于m的函数表达式及S的最大值；(3)如图2，若M为抛物线的顶点，点Q在直线BC上，点N在直线BM上，Q，M，N三点构成以MN为底边的等腰直角三角形，求点N的坐标．25.如图，∠ABD=∠BCD=90°，DB平分∠A DC，过点B作BM//CD交AD于M，连接CM交DB于N。
2020年广东省广州市中考数学一模试卷
2020年广东省广州市中考数学一模试卷一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分．下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）1．（3分）在实数13、0、1-、2-中，最小的实数是( )A ．2-B ．1-C ．0D ．132．（3分）如图所示的几何体的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．3．（3分）下列运算正确的是( ) A ．111x y x y+=+ B ．2353()p q p q -=- C ．ab ab =D ．222()a b a b +=+4．（3分）如图所示，将面积为5的ABC ∆沿BC 方向平移至DEF ∆的位置，平移的距离是边BC 长的两倍，那么图中的四边形ACED 的面积为( )A ．10B ．15C ．20D ．255．（3分）学校抽查了30名学生参加“学雷锋社会实践”活动的次数，并根据数据绘制成了条形统计图，则30名学生参加活动的平均次数是( )A ．2B ．2.8C ．3D ．3.36．（3分）菱形具有而平行四边形不具有的性质是( ) A ．对角线互相垂直 B ．两组对角分别相等C ．对角线互相平分D ．两组对边分别平行7．（3分）不等式组3020x x +>⎧⎨-⎩的解集是( )A ．2x <B ．3x -C ．32x -<D ．2x8．（3分）如图，ABC ∆的顶点都是正方形网格中的格点，则tan (ABC ∠= )A ．12B ．2C ．55D ．2559．（3分）已知α，β是一元二次方程2520x x --=的两个实数根，则22ααββ++的值为( ) A ．1-B ．9C ．23D ．2710．（3分）如图，直线243y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，点P 为OA 上一动点，当PC PD +最小时，点P 的坐标为( )A ．(3,0)-B ．(6,0)-C ．3(2-，0)D ．5(2-，0)二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分．）11．（3分）太阳半径约为696 000千米，数字696 000用科学记数法表示为 ． 12．（3分）若1a <，化简2(1)1a --= ． 13．（3分）分式方程211x =+的解是 ． 14．（3分）如图，是用一把直尺、含60︒角的直角三角板和光盘摆放而成，点A 为60︒角与直尺交点，点B 为光盘与直尺唯一交点，若3AB =，则光盘的直径是 ．15．（3分）如图，圆锥的底面半径为6cm ，高为8cm ，那么这个圆锥的侧面积是 2cm ．16．（3分）如图，在正方形ABCD 中，边长为2的等边三角形AEF 的顶点E 、F 分别在BC 和CD 上， 下列结论：①BE DF EF +=；②CE CF =；③75AEB ∠=︒；④23ABCD S =+正方形， 其中正确的序号是 ．三、解答题（本题有9个小题，共102分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤．） 17．（9分）计算034cos 458(3)(1)π︒++-．18．（9分）如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，M 为AD 中点，连接OM 、CM ，且CM 交BD 于点N ，1ND =． （1）证明：~MNO CND ∆∆；（2）求BD 的长．19．（10分）先化简，再求值：22x y x y x y-++，其中23,23x y =+=-． 20．（10分）当前， “精准扶贫”工作已进入攻坚阶段， 凡贫困家庭均要“建档立卡” ． 某初级中学七年级共有四个班， 已“建档立卡”的贫困家庭的学生人数按一、 二、 三、 四班分别记为1A ，2A ，3A ，4A ，现对1A ，2A ，3A ，4A 统计后， 制成如图所示的统计图 ．（1） 求七年级已“建档立卡”的贫困家庭的学生总人数；（2） 将条形统计图补充完整， 并求出1A 所在扇形的圆心角的度数；（3） 现从1A ，2A 中各选出一人进行座谈， 若1A 中有一名女生，2A 中有两名女生， 请用树状图表示所有可能情况， 并求出恰好选出一名男生和一名女生的概率 ．21．（12分）如图，一次函数y ax b =+与反比例函数ky x =的图象交于A 、B 两点，点A 坐标为(6,2)，点B 坐标为(4,)n -，直线AB 交y 轴于点C ，过C 作y 轴的垂线，交反比例函数图象于点D ，连接OD 、BD ．（1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式； （2）求四边形OCBD 的面积．22．（12分）某超市预测某饮料有发展前途， 用 1600 元购进一批饮料， 面市后果然供不应求， 又用 6000 元购进这批饮料， 第二批饮料的数量是第一批的 3 倍， 但单价比第一批贵 2 元 ． （1） 第一批饮料进货单价多少元？（2） 若二次购进饮料按同一价格销售， 两批全部售完后， 获利不少于 1200 元， 那么销售单价至少为多少元？23．（12分）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点O 是BC 上一点．（1）尺规作图：作O ，使O 与AC 、AB 都相切．（不写作法与证明，保留作图痕迹） （2）若O 与AB 相切于点D ，与BC 的另一个交点为点E ，连接CD 、DE ，求证：2DB BC BE =．24．（14分）如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ． （1）求m 的值；（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式；（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．25．（14分）如图①，在四边形ABCD中，AC BD==，点M为BC⊥于点E，AB AC BD中点，N为线段AM上的点，且MB MN=（1）求证：BN平分ABE∠；（2）若1BD=，连接DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；（3）若点F为AB的中点，连接FN、FM（如图②)，求证：MFN BDC∠=∠．2020年广东省广州市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分．下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）1．（3分）在实数13、0、1-、2-中，最小的实数是( )A ．2-B ．1-C ．0D ．13【解答】解：12103-<-<<，∴在实数13、0、1-、2-中，最小的实数是2-．故选：A ．2．（3分）如图所示的几何体的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：如图所示的几何体的俯视图是．故选：C ．3．（3分）下列运算正确的是( ) A ．111x y x y+=+ B ．2353()p q p q -=- C ab ab =D ．222()a b a b +=+【解答】解：A 、11y xx y xy++=，故此选项错误；B 、2363()p q p q -=-，故此选项错误；C 、ab ab =，正确；D 、222()2a b a ab b +=++，故此选项错误；故选：C ．4．（3分）如图所示，将面积为5的ABC ∆沿BC 方向平移至DEF ∆的位置，平移的距离是边BC 长的两倍，那么图中的四边形ACED 的面积为( )A ．10B ．15C ．20D ．25【解答】解：设点A 到BC 的距离为h ，则152ABC S BC h ∆==， 平移的距离是BC 的长的2倍，2AD BC ∴=，CE BC =，∴四边形ACED 的面积111()(2)33515222AD CE h BC BC h BC h =+=+=⨯=⨯=．故选：B ．5．（3分）学校抽查了30名学生参加“学雷锋社会实践”活动的次数，并根据数据绘制成了条形统计图，则30名学生参加活动的平均次数是( )A ．2B ．2.8C ．3D ．3.3【解答】解：(3152113114)30⨯+⨯+⨯+⨯÷(3103344)30=+++÷ 9030=÷3=．故30名学生参加活动的平均次数是3． 故选：C ．6．（3分）菱形具有而平行四边形不具有的性质是( ) A ．对角线互相垂直 B ．两组对角分别相等C ．对角线互相平分D ．两组对边分别平行【解答】解：A 、正确．对角线互相垂直是菱形具有而平行四边形不具有的性质；B 、错误．两组对角分别相等，是菱形和平行四边形都具有的性质；C 、错误．对角线互相平分，是菱形和平行四边形都具有的性质；D 、错误．两组对边分别平行，是菱形和平行四边形都具有的性质；故选：A ．7．（3分）不等式组3020x x +>⎧⎨-⎩的解集是( )A ．2x <B ．3x -C ．32x -<D ．2x【解答】解：3020x x +>⎧⎨-⎩①解不等式①得：3x >-， 解不等式②得：2x ， ∴不等式组的解集是32x -<，故选：C ．8．（3分）如图，ABC ∆的顶点都是正方形网格中的格点，则tan (ABC ∠= )A ．12B ．2C ．55D ．255【解答】解：在Rt ABD ∆中，2AD =，4BD =， 则21tan 42AD ABC BD ∠===， 故选：A ．9．（3分）已知α，β是一元二次方程2520x x --=的两个实数根，则22ααββ++的值为( ) A ．1-B ．9C ．23D ．27【解答】解：α，β是方程2520x x --=的两个实数根，5αβ∴+=，2αβ=-，又222()ααββαββα++=+-，2225227ααββ∴++=+=；故选：D ．10．（3分）如图，直线243y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，点P 为OA 上一动点，当PC PD +最小时，点P 的坐标为( )A ．(3,0)-B ．(6,0)-C ．3(2-，0)D ．5(2-，0)【解答】解：（方法一）作点D 关于x 轴的对称点D '，连接CD '交x 轴于点P ，此时PC PD +值最小，如图所示．令243y x =+中0x =，则4y =， ∴点B 的坐标为(0,4)；令243y x =+中0y =，则2403x +=，解得：6x =-， ∴点A 的坐标为(6,0)-．点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，∴点(3,2)C -，点(0,2)D ．点D '和点D 关于x 轴对称，∴点D '的坐标为(0,2)-．设直线CD '的解析式为y kx b =+，直线CD '过点(3,2)C -，(0,2)D '-，∴有232k b b =-+⎧⎨-=⎩，解得：432k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线CD '的解析式为423y x =--． 令423y x =--中0y =，则4023x =--，解得：32x =-， ∴点P 的坐标为3(2-，0)． 故选C ．（方法二）连接CD ，作点D 关于x 轴的对称点D '，连接CD '交x 轴于点P ，此时PC PD+值最小，如图所示． 令243y x =+中0x =，则4y =， ∴点B 的坐标为(0,4)； 令243y x =+中0y =，则2403x +=，解得：6x =-， ∴点A 的坐标为(6,0)-．点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，∴点(3,2)C -，点(0,2)D ，//CD x 轴，点D '和点D 关于x 轴对称，∴点D '的坐标为(0,2)-，点O 为线段DD '的中点．又//OP CD ，∴点P 为线段CD '的中点，∴点P 的坐标为3(2-，0)．故选：C ．二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分．）11．（3分）太阳半径约为696 000千米，数字696 000用科学记数法表示为 56.9610⨯ ．【解答】解：696 5000 6.9610=⨯．12．（3分）若1a <2(1)1a -= a - ．【解答】解：1a <，10a ∴-<， ∴2(1)1|1|1a a -=--(1)1a =---11a =-+-a =-．故答案为：a -．13．（3分）分式方程211x =+的解是 1x = ． 【解答】解：方程的两边同乘(1)x +，得21x =+，解得1x =．检验：把1x =代入(1)20x +=≠．∴原方程的解为：1x =．14．（3分）如图，是用一把直尺、含60︒角的直角三角板和光盘摆放而成，点A 为60︒角与直尺交点，点B 为光盘与直尺唯一交点，若3AB =，则光盘的直径是 3 ．【解答】解：如图，点C 为光盘与直角三角板唯一的交点，连接OB ，OB AB ∴⊥，OA 平分BAC ∠，18060120BAC ∠=︒-︒=︒，60OAB ∴∠=︒，在Rt OAB ∆中，333OB AB ==，∴光盘的直径为63．故答案为63．15．（3分）如图，圆锥的底面半径为6cm ，高为8cm ，那么这个圆锥的侧面积是 60π 2cm ．【解答】解：底面半径为6cm ，高为8cm ，则底面周长12π=，由勾股定理得，母线长10=，那么侧面面积211210602cm ππ=⨯⨯=． 16．（3分）如图，在正方形ABCD 中，边长为2的等边三角形AEF 的顶点E 、F 分别在BC和CD 上，下列结论：①BE DF EF +=；②CE CF =；③75AEB ∠=︒；④23ABCD S =+正方形其中正确的序号是 ②③④ ．【解答】解：四边形ABCD 为正方形，AB AD ∴=，90B D ∠=∠=︒，AEF ∆为等边三角形，AE AF ∴=，在Rt ABE ∆和ADF ∆中，AE AF AB AD =⎧⎨=⎩， Rt ABE ADF ∴∆≅∆，BE DF ∴=，BAE DAF ∠=∠，而60EAF ∠=︒，15BAE DAF ∴∠=∠=︒，75AEB ∴∠=︒，所以③正确，CB CD =，CB BE CD DF ∴-=-，即CE CF =，所以②正确；CEF ∴∆为等腰直角三角形，22CE CF ∴=== 设正方形的边长为x ，则AB x =，2BE x =，在Rt ABE ∆中，222AB BE AE +=，222(2)2x x ∴+-=， 整理得2210x x -=，解得126x +=226x -=， 262(2)2(2)622BE DF x +∴+==-=≠，所以①错误； 2226()23ABCD S x +∴===+正方形，所以④正确． 故答案为②③④．三、解答题（本题有9个小题，共102分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤．）17．（9分）计算034cos 458(3)(1)π︒-+-+-．【解答】解：原式24221122221102=⨯-+-=-+-=． 18．（9分）如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，M 为AD 中点，连接OM 、CM ，且CM 交BD 于点N ，1ND =．（1）证明：~MNO CND ∆∆；（2）求BD 的长．【解答】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、BD 交于点O ，∴点O 是AC 的中点．M 为AD 中点，OM ∴是ACD ∆的中位线，//OM CD ∴，OMN NCD ∴∠=∠．又MNO CND ∠=∠，~MNO CND ∴∆∆；（2）OM 是ACD ∆的中位线，12OM CD ∴=． 由（1）知，~MNO CND ∆∆，1ND =，∴12OM ON CD DN ==， 12ON ∴=， 32OD ON ND ∴=+=， 23BD OD ∴==．19．（10分）先化简，再求值：22x y x y x y -++，其中23,23x y =+=-． 【解答】解：原式22()()x y x y x y x y x y x y-+-===-++， 当23x =+，23y =-时，原式232323=+-+=．20．（10分）当前， “精准扶贫”工作已进入攻坚阶段， 凡贫困家庭均要“建档立卡” ． 某初级中学七年级共有四个班， 已“建档立卡”的贫困家庭的学生人数按一、 二、 三、 四班分别记为1A ，2A ，3A ，4A ，现对1A ，2A ，3A ，4A 统计后， 制成如图所示的统计图 ．（1） 求七年级已“建档立卡”的贫困家庭的学生总人数；（2） 将条形统计图补充完整， 并求出1A 所在扇形的圆心角的度数；（3） 现从1A ，2A 中各选出一人进行座谈， 若1A 中有一名女生，2A 中有两名女生， 请用树状图表示所有可能情况， 并求出恰好选出一名男生和一名女生的概率 ．【解答】解： （1） 总数人数为：640%15÷=人（2）2A 的人数为152643---=（人)补全图形， 如图所示1A 所在圆心角度数为：23604815⨯︒=︒ （3） 画出树状图如下：故所求概率为：3162P == 21．（12分）如图，一次函数y ax b =+与反比例函数k y x=的图象交于A 、B 两点，点A 坐标为(6,2)，点B 坐标为(4,)n -，直线AB 交y 轴于点C ，过C 作y 轴的垂线，交反比例函数图象于点D ，连接OD 、BD ．（1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式；（2）求四边形OCBD 的面积．【解答】解：（1）反比例函数k y x=的图象过(6,2)A ， 26k ∴=， 解得12k =，故反比例函数的解析式为12y x=， (4,)B n -在12y x=的图象上， 124n ∴=-， 解得3n =-，(4,3)B ∴--，一次函数y ax b =+过A 、B 点，则6243a b a b +=⎧⎨-+=-⎩， 解得121a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 故一次函数解析式为112y x =-； （2）当0x =时，1y =-，(0,1)C ∴-，当1y =-时，121x-=，12x =-， (12,1)D ∴--，OCBD ODC BDC s S S ∆∆=+11|12||1||12||2|22=⨯-⨯-+⨯-⨯- 612=+18=．22．（12分）某超市预测某饮料有发展前途， 用 1600 元购进一批饮料， 面市后果然供不应求， 又用 6000 元购进这批饮料， 第二批饮料的数量是第一批的 3 倍， 但单价比第一批贵 2 元 ．（1） 第一批饮料进货单价多少元？（2） 若二次购进饮料按同一价格销售， 两批全部售完后， 获利不少于 1200 元，那么销售单价至少为多少元？【解答】解： （1） 设第一批饮料进货单价为x 元， 则第二批饮料进货单价为(2)x +元， 根据题意得：1600600032x x =+， 解得：8x =， 经检验，8x =是分式方程的解 ．答： 第一批饮料进货单价为 8 元 ．（2）设销售单价为m元，根据题意得：200(8)600(10)1200m m-+-，解得：11m．答：销售单价至少为11 元．23．（12分）如图，在ABC∆中，90ACB∠=︒，点O是BC上一点．（1）尺规作图：作O，使O与AC、AB都相切．（不写作法与证明，保留作图痕迹）（2）若O与AB相切于点D，与BC的另一个交点为点E，连接CD、DE，求证：2DB BC BE=．【解答】解：（1）如图，O即为所求．（2）连结OD．AB是O的切线，OD AB∴⊥，90ODB∴∠=︒，即1290∠+∠=︒，CE是直径，3290∴∠+∠=︒，13∴∠=∠，OC OD=，43∴∠=∠，14∴∠=∠，又B B∠=∠，CDB DEB∴∆∆∽，∴DB BC BE DB=，2DB BC BE∴=．24．（14分）如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ．（1）求m 的值；（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式；（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将(0,3)-代入y x m =+， 可得：3m =-；（2）将0y =代入3y x =-得：3x =， 所以点B 的坐标为(3,0)，将(0,3)-、(3,0)代入2y ax b =+中，可得：390b a b =-⎧⎨+=⎩， 解得：133a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 所以二次函数的解析式为：2133y x =-； （3）存在，分以下两种情况：①若M 在B 上方，设MC 交x 轴于点D ，则451560ODC ∠=︒+︒=︒， tan303OD OC ∴=︒=设DC 为3y kx =-，代入(30)，可得：3k = 联立两个方程可得：233133y x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩， 解得：1212033,36x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩， 所以1(33M 6)；②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ，则451530OEC ∠=︒-︒=︒， 60OCE ∴∠=︒，tan 6033OE OC ∴=︒=设EC 为3y kx =-，代入(330)可得：3k ， 联立两个方程可得：233133y y x ⎧-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 解得：121203,32x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩ 所以2(3M 2)-，综上所述M 的坐标为(33，6)或(32)-．25．（14分）如图①，在四边形ABCD 中，AC BD ⊥于点E ，AB AC BD ==，点M 为BC 中点，N 为线段AM 上的点，且MB MN =（1）求证：BN平分ABE∠；（2）若1BD=，连接DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；（3）若点F为AB的中点，连接FN、FM（如图②)，求证：MFN BDC∠=∠．【解答】（1）证明：如图①，AB AC=，ABC ACB∴∠=∠，M是BC的中点，AM BC∴⊥，在Rt ABM∆中，90MAB ABC∠+∠=︒，在Rt CBE∆中，90EBC ACB∠+∠=︒，MAB EBC∴∠=∠，MB MN=，MBN∴∆是等腰直角三角形，45MNB MBN∴∠=∠=︒，45EBC NBE MAB ABN MNB∠+∠=∠+∠=∠=︒，NBE ABN∴∠=∠，即BN平分ABE∠；（2）解：设BM CM MN a===，四边形DNBC是平行四边形，2DN BC a∴==，在ABN∆和DBN∆中，AB DBNBE ABNBN BN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABN DBN SAS∴∆≅∆，2AN DN a∴==，在Rt ABM ∆中，由222AM MB AB +=，可得：22(2)1a a a ++=，解得：a =（负值舍去），2BC a ∴==； （3）解：F 是AB 的中点， ∴在Rt MAB ∆中，MF AF BF ==， MAB FMN ∴∠=∠， MAB CBD ∠=∠，FMN CBD ∴∠=∠，12MF MN AB BC ==，即MFMNBD BC =，MFN BDC ∴∆∆∽， MFN BDC ∴∠=∠．。
2020广东省中考数学模拟试卷(一)(含答案和解析)
2020广东省中考数学模拟试卷(一)说明:1. 全卷共4页,满分为120分,考试用时为90分钟.2. 答卷前,考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号.用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑.3. 选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试题上.4. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.5. 考生务必保持答题卡的整洁.考试结束时,将试卷和答题卡一并交回.一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题列出的四个选项中,只有一个是正确的.1.-16的相反数是()A.6B.-6C.16D.-162.港珠澳大桥被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”之一,它是世界总体跨度最长的跨海大桥,全长55 000米.数字55 000用科学记数法表示为()A.5.5×104B.55×104C.5.5×105D.0.55×1063.已知∠α=60°32',则∠α的余角是()A.29°28'B.29°68'C.119°28'D.119°68'4.一元二次方程x2+px-2=0的一个根为x=2,则p的值为()A.1B.2C.-1D.-25.某校女子排球队12名队员的年龄分布如下表所示:年龄(岁) 13 14 15 16人数(人) 1 2 5 4则该校女子排球队12名队员年龄的众数、中位数分别是()A.13,14B.14,15C.15,15D.15,146.下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是()A B C D图象的一个交点坐标为(-1,2),则另一个交点的坐7.若正比例函数y=-2x与反比例函数y=kx标为()A.(2,-1)B.(1,-2)C.(-2,-1)D.(-2,1)8.下列运算中,正确的是()A.2x·3x2=5x3B.x4+x2=x6C.(x2y)3=x6y3D.(x+1)2=x2+19.如图,AB是☉O的弦,OC⊥AB交☉O于点C,点D是☉O上一点,∠ADC=30°,则∠BOC的度数为()A.30°B.40°C.50°D.60°10.如图1,在矩形ABCD中,E是AD上一点,点P从点B沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止;点Q从点B沿BC运动到点C时停止,速度均为每秒1个单位长度.如果点P,Q同时开始运动,设运动时间为t,△BPQ的面积为y,已知y与t的函数图象如图2所示,有以下结论:①BC=10; ②cos ∠ABE=35; ③当0≤t ≤10时,y=25t 2;④当t=12时,△BPQ 是等腰三角形; ⑤当14≤t ≤20时,y=110-5t. 其中正确的有( )A.2个B.3个C.4个D.5个二、填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分) 11. 因式分解:ab-7a= .12. 若一个多边形的内角和等于它的外角和,则这个多边形的边数为 .13. 一枚材质均匀的骰子,六个面的点数分别是1,2,3,4,5,6,投这个骰子,掷得点数大于4的概率是 .14. 若a-b=2,则代数式5+2a-2b 的值是 .15. 如图,数轴上A ,B 两点所表示的数分别是-4和2,点C 是线段AB 的中点,则点C 所表示的数是 .16. 观察以下一列数:3,54,79,916,1125,…,则第20个数是 .17. 将长为2、宽为a (a 大于1且小于2)的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平,剪下一个边长等于长方形宽的正方形,称为第一次操作;再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平,剪下一个边长等于此时长方形宽的正方形,称为第二次操作;如此反复操作下去……若在第n 次操作后,剩下的长方形恰为正方形,则操作终止,当n=3时,a 的值为 .三、解答题(一)(本大题共3小题,每小题6分,共18分) 18. 计算: (3-π)0-2cos 30°+|1-√3|+(12)-1.19 .先化简,再求值: x 2-1x 2-2x+1·1x+1-1x , 其中x=2.20. 小甘到文具超市去买文具.请你根据图中的对话信息,求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？四、解答题(二)(本大题共3小题,每小题8分,共24分)21.(1)如图1,已知EK垂直平分线段BC,垂足为D,AB与EK相交于点F,连接CF.求证:∠AFE=∠CFD.(2)如图2,在Rt△GMN中,∠M=90°,P为MN的中点.①用直尺和圆规在GN边上求作点Q,使得∠GQM=∠PQN(保留作图痕迹,不要求写作法);②在①的条件下,如果∠G=60°,那么Q是GN的中点吗?为什么?22. 某校为了解八年级男生“立定跳远”成绩的情况,随机选取该年级部分男生进行测试,以下是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分.成绩等级频数(人) 频率优秀15 0.3良好及格不及格 5(1) 被测试男生中,成绩等级为“优秀”的男生人数为人,成绩等级为“及格”的男生人数占被测试男生总人数的百分比为%;(2) 被测试男生的总人数是多少?成绩等级为“不及格”的男生人数占被测试男生总人数的百分比是多少?(3) 若该校八年级共有180名男生,根据调查结果,估计该校八年级男生成绩等级为“良好”的学生人数.23. 如图,抛物线y=12x 2-32x-2与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C ,点D 与点C 关于x 轴对称.(1) 求点A ,B ,C 的坐标; (2) 求直线BD 的解析式;(3) 在直线BD 下方的抛物线上是否存在一点P ,使△PBD 的面积最大?若存在,求出点P 的坐标; 若不存在,请说明理由.五、解答题(三)(本大题共2小题,每小题10分,共20分)24. 如图,点O 是线段AH 上一点,AH=3,以点O 为圆心,OA 的长为半径作☉O ,过点H 作AH 的垂线交☉O 于C ,N 两点,点B 在线段CN 的延长线上,连接AB 交☉O 于点M ,以AB ,BC 为边作▱ABCD.(1) 求证:AD 是☉O 的切线;(2) 若OH=13AH ,求四边形AHCD 与☉O 重叠部分的面积; (3) 若NH=13AH ,BN=54,连接MN ,求OH 和MN 的长.25. 如图1,已知点G在正方形ABCD的对角线AC上,GE⊥BC,垂足为点E,GF⊥CD,垂足为点F.(1)证明与推断:①求证:四边形CEGF是正方形;的值是多少?②推断:AGBE(2)探究与证明:将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°),如图2,试探究线段AG与BE 之间的数量关系,并说明理由;(3)拓展与运用:正方形CEGF在旋转过程中,当B,E,F三点在一条直线上时,如图3,延长CG交AD于点H,若AG=6,GH=2 √2,求BC的长.参考答案1.C2.A3.A4.C5.C6.C7.B8.C9.D 10.B 11.a (b-7) 12.4 13.13 14.9 15.-1 16.41400 17.65或3218.解:原式=1-2×√32+√3-1+2=2. 19.解:原式=(x+1)(x-1)(x-1)2·1x+1-1x=1x-1-1x =x x(x-1)-x-1x(x-1)=1x(x-1), 当x=2时,原式=12×1=12. 20.解:设中性笔和笔记本的单价分别是x 元、y 元, 根据题意,得{12y +20x =11212x +20y =144,解得{x =2y =6. 答:中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元. 21.(1)证明:∵EK 垂直平分线段BC ,∴FC=FB ,CD=BD ,∴∠CFD=∠BFD , ∵∠BFD=∠AFE ,∴∠AFE=∠CFD.(2)①解:如图,作点P 关于GN 的对称点P',连接P'M 交GN 于Q ,连接PQ ,点Q 即为所求.②解:结论:Q 是GN 的中点.理由如下:设PP'交GN 于K.∵∠G=60°,∠GMN=90°,∴∠N=30°, ∵PK ⊥KN ,∴PK=KP'=12PN , ∴PP'=PN=PM ,∴∠P'=∠PMP',∵∠NPK=∠P'+∠PMP'=60°,∴∠PMP'=30°,∴∠N=∠QMN=30°,∠G=∠GMQ=60°,∴QM=QN ,QM=QG ,∴QG=QN ,∴Q 是GN 的中点.22.解:(1)15 20(2)被测试男生的总人数为15÷0.3=50(人),成绩等级为“不及格”的男生人数占被测试男生总人数的百分比为550×100%=10%.(3)由(1)(2)可知,优秀占30%,及格占20%,不及格占10%,则良好占40%, 故该校八年级男生成绩等级为“良好”的学生人数为180×40%=72(人). 23.解:(1)解方程12x 2-32x-2=0,得x 1=-1,x 2=4, ∴A 点坐标为(-1,0),B 点坐标为(4,0).当x=0时,y=-2,∴C 点坐标为(0,-2).(2)∵点D 与点C 关于x 轴对称,∴D 点坐标为(0,2).设直线BD 的解析式为y=kx+b ,则{0=4k +b 2=b ,解得{k =-12b =2, ∴直线BD 的解析式为y=-12x+2. (3)如图,作PE ∥y 轴交BD 于E ,设P (m,12m 2-32m-2),则E (m,-12m +2),∴PE=-12m+2-(12m 2-32m-2)=-12m 2+m+4, ∴S △PBD =12·PE ·(x B -x D )=12×(-12m 2+m +4)×4 =-m 2+2m+8=-(m-1)2+9,∵-1<0,∴当m=1时,△PBD 的面积最大,面积的最大值为9, 此时,P 的坐标为(1,-3).24.(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥BC ,∵∠AHC=90°,∴∠HAD=90°,即OA ⊥AD ,又∵OA 是☉O 的半径,∴AD 是☉O 的切线.(2)解:如图,连接OC ,∵OH=12OA ,AH=3,∴OH=1,OA=2, ∵在Rt △OHC 中,∠OHC=90°,OH=12OC , ∴∠OCH=30°,∴∠AOC=∠OHC+∠OCH=120°, ∴S 扇形OAC =120×π×22360=4π3, ∵CH=√22-12=√3,∴S △OHC =12×1×√3=√32, ∴四边形AHCD 与☉O 重叠部分的面积=S 扇形OAC +S △OHC =4π3+√32. (3)解:∵AH ⊥NC ,NH=13AH ,AH=3, ∴CH=NH=1.设☉O 的半径OA=OC=r ,OH=3-r ,在Rt △OHC 中,OH 2+HC 2=OC 2,∴(3-r )2+12=r 2,∴r=53,∴OH=43, 在Rt △ABH 中,AH=3,BH=54+1=94,∴AB=154, 在Rt △ACH 中,AH=3,CH=1,得AC=√10, ∵∠BMN+∠AMN=180°,∠NCA+∠AMN=180°, ∴∠BMN=∠NCA.在△BMN 和△BCA 中,∠B=∠B ,∠BMN=∠BCA ,∴△BMN ∽△BCA ,∴MN AC =BN AB ,即MN 10=54154, ∴MN=√103,∴OH=43,MN=√103. 25.(1)①证明:∵四边形ABCD 是正方形, ∴∠BCD=90°,∠BCA=45°,∵GE ⊥BC ,GF ⊥CD ,∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°,∴四边形CEGF 是矩形,∠CGE=∠ECG=45°, ∴EG=EC ,∴四边形CEGF 是正方形.②解:由①知四边形CEGF 是正方形,∴∠CEG=∠B=90°,∠ECG=45°,∴GE ∥AB ,CG CE =√2,∴AG BE =CG CE=√2. (2)解:如图,连接CG ,由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α,在Rt △CEG 和Rt △CBA 中,CE CG =cos 45°=√22,CB CA =cos 45°=√22, ∴CG CE =CA CB=√2, ∴△ACG ∽△BCE ,∴AG BE =CA CB=√2, ∴线段AG 与BE 之间的数量关系为AG=√2BE.(3)解:∵∠CEF=45°,点B ,E ,F 三点共线, ∴∠BEC=135°,∵△ACG ∽△BCE ,∴∠AGC=∠BEC=135°,∴∠AGH=45°=∠CAH , ∵∠CHA=∠AHG ,∴△AHG ∽△CHA ,∴AG AC =GH AH =AH CH, 设BC=CD=AD=a ,则AC=√2a ,由AG AC =GH AH ,得√2a =2√2AH ,∴AH=23a ,∴DH=AD -AH=13a ,∴CH=√CD 2+DH 2=√103a , 由AG AC =AH CH ,得√2a =23a √103a , 解得a=3 √5,即BC=3 √5.。
广东省广州市2020年中考数学一模试卷解析版
远地点高度约 368000 千米的地月转移轨道．数字 368000 用科学记数法表示为（
）
A. 36.8×104
B. 3.68×106
C. 3.68×105
D. 0.368×106
4. 已知 a，b 满足方程组
A. -4
B. 4
，则 a+b 的值为（ ）
C. -2
D. 2
5. 如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接正方形，点 P 是 上不同
于点 C 的任意一点，则∠BPC 的大小是（ ）
A. 22.5° B. 45° C. 30° D. 50°
6. 在平面直角坐标系中，将点 A（-1，2）向右平移 3 个单位长度得到点 B，则点 B 关 于 x 轴的对称点 C 的坐标是（ ）
A. （-4，-2）
B. （2，2）
C. （-2，F 翻折，得到四边形 EFC′D′，ED′交 BC 于点 G，则△GEF 的周长为（ ）
A. 6
B. 12
C. 6
二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分）
11. 计算：
=______．
12. 分解因式：b2-6b+9=______．
13. 如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当
①∠CDF=60°；②△EDB∽△FDC；③BC= ；④S△ADB=
S△EDB． 其中所有正确结论的序号为______． 三、计算题（本大题共 1 小题，共 12.0 分） 17. 已知：关于 x 的一元二次方程 tx2-（3t+2）x+2t+2=0（t＞0） （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根分别为 x1，x2（其中 x1＜x2），若 y 是关于 t 的函数，且 y=x2-2x1，求这个函数的解析式，并画出函数图象； （3）观察（2）中的函数图象，当 y≥2t 时，写出自变量 t 的取值范围．
2020年广东省广州市中考数学模拟试卷 (含答案解析)
2020年广东省广州市中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.用科学记数法表示660000的结果是()A. 66×104B. 6.6×105C. 0.66×106D. 6.6×1062.某校开设了艺术、体育、劳技、书法四门拓展性课程，要求每一位学生都要选且只能选一门课．小黄同学统计了本班50名同学的选课情况，并将结果绘制成条形统计图(如图，不完全)，则选书法课的人数有()A. 12名B. 13名C. 15名D. 50名3.下列运算正确的是()A. a2·a2=2a4B. 3√2−2√2=1C. (−a2)3=a6D. (−2ab2)3=−8a3b64.如图，点D、E分别是△ABC边BA、BC的中点，AC=3，则DE的长为()A. 2B. 43C. 3 D. 325.我国传统文化中的“福禄寿喜”图(如图)由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A. B. C. D.6.一次函数y=kx+m的图象如图所示，若点(0,a)，(−2,b)，(1,c)都在函数的图象上，则下列判断正确的是()A. a<b<cB. c<a<bC. a<c<bD. b<a<c7.在△ABC中，AB=13cm，AC=12cm，BC=5cm，以点B为圆心，5cm为半径作⊙B，则边AC所在的直线和⊙B的位置关系()A. 相切B. 相交C. 相离D. 都有可能8.据史料记载，绵阳市安州区雎水太平桥建于清嘉庆年间，已有200余年历史．桥身为一巨型单孔圆弧，既没有用钢筋，也没有用水泥，全部由石块砌成，犹如一道彩虹横卧河面上，桥拱半径OC为13m，河面宽AB为24m，则桥高CD为()A. 15mB. 17mC. 18mD. 20m9.若一元二次方程x2−2x−m=0无实数根，则一次函数y=(m+1)x+m−1的图象不经过第()象限．A. 四B. 三C. 二D. 一10.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，OE⊥AC交AD于E，则AE的长为()A. 4B. 3.4C. 2.5D. 2二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.已知∠A的度数为30°30′30″，则∠A的补角的度数为______ ．12.化简：√50−√72=______ ．13.方程xx−1=x−1x+2的解是______．14.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(1,0)，(4,0)，点C在第一象限内，∠CAB=90°，且BC=6.将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=√3x−2√3上时，线段BC扫过的面积为________________．15.如图，将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转到正方形ABˈCˈDˈ，旋转角为α(0°<α<180°)，连接BˈD、CˈD，若BˈD=CˈD，则∠α=_________．16.从地面竖直向上抛出一个小球.小球的高度ℎ(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的关系式是ℎ=24t−4t2.小球运动的高度最大为____m．三、解答题（本大题共9小题，共102.0分）17.解不等式组：{3x−4≤xx+3>12x−118.如图，点B、D、C、F在同一直线，已知AB=DE，∠B=∠EDF，BD=CF(1)求证：△ABC≌△EDF(2)若∠ACB=40°，求∠F的度数．19.如图所示，是反比例函数y=1−2k的图象的一支．根据图象回答下x列问题：(1)图象的另一支在哪个象限？常数k的取值范围是什么？(2)在这个函数图象的某一支上任意取两点A(x1,y1)和B(x2,y2).如果x1<x2，那么y1和y2有怎样的大小关系？(3)在函数y=1−2k的图象上任意取两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，且xx1<0<x2，那么y1和y2的大小关系又如何？20.某校举行了“防溺水”知识竞赛．八年级两个班各选派10名同学参加预赛，依据各参赛选手的成绩(均为整数)绘制了统计表和折线统计图(如图所示)．班级八(1)班八(2)班最高分10099众数a98中位数96b平均数c94.8(1)统计表中，a=______，b=______，c=______；(2)若从两个班的预赛选手中选四名学生参加决赛，其中两个班的第一名直接进入决赛，另外两个名额在成绩为98分的学生中任选两个，求另外两个决赛名额落在不同班级的概率．(k≠0)的图21.如图，已如平行四边形OABC中，点O为坐标顶点，点A(3,0)，C(1,2)，函数y=kx 象经过点C．(1)求k的值及直线OB的函数表达式：(2)求四边形OABC的周长．22.某地出租车的收费标准是：起步价7元(即行驶路程不超过3km都需付费7元车费)；超过3km以后，以每增加1km，加收2.4元(不足1km按1km计)，某人乘坐这种出租车从甲地到乙地地共付车费19元，试求此人从甲地到乙地的路程的最大值．23.如图，在△ABC中，AC=BC，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，连接DE，DF．(1)求证：四边形DFCE是菱形；(2)若∠A=75°，AC=4，求菱形DFCE的面积．24.如图，点D是等边三角形ABC外接圆的BC⏜上一点(与点B，C不重合)，BE//DC交AD于点E，BC与AD相交于P．(1)求证：△BDE是等边三角形；(2)如果BD=2，CD=1，求△ABC的边长．(3)求证：CDDB =CPPB．25.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=−14x2−x+2，其顶点为A．(1)写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；(2)直线BC平行于x轴，交这条抛物线于B、C两点(点B在点C左侧)，且cot∠ABC=2，求点B坐标．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：660 000=6.6×105．故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2.答案：A解析：解：选书法课的人数有50−13−15−10=12，故选：A．根据总人数减去其它三门的人数解答即可．本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．3.答案：D解析：【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，同底数幂的乘方，二次根式的运算等知识，根据同底数幂的乘法，同底数幂的乘方，二次根式的运算性质，依次进行计算判断．【解答】解：A、a2·a2=a4，故本选项错误；B、3√2−2√2=√2，故本选项错误；C、(−a2)3=−a6，故本选项错误；D、(−2ab2)3=−8a3b6，故本选项正确．故选D．4.答案：D解析：解：∵点D、E分别是△ABC的边BA、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=1AC=1.5．2故选：D．直接利用中位线的定义得出DE是△ABC的中位线，进而利用中位线的性质得出答案．此题主要考查了三角形中位线定理，正确得出DE是△ABC的中位线是解题关键．5.答案：B解析：【分析】本题主要考查的是中心对称图形与轴对称图形的有关知识，根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．【解答】解：A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故错误；B.是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确；C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；D.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故错误．故选B．6.答案：B解析：【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．由一次函数y=kx+m的图象，可得y随x的增大而减小，进而得出a，b，c的大小关系．【解答】解：由图可得，y随x的增大而减小，∵−2<0<1，∴c<a<b．故选B．7.答案：A解析：【分析】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.则直线l和⊙O相交⇔d<r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d>r．先利用勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，则点B到直线AC的距离等于5cm，然后根据直线与圆的位置关系判断边AC所在的直线和⊙B的位置关系．【解答】解：∵AB=13cm，BC=5cm，AC=12cm，∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，∴点B到直线AC的距离等于5cm，而⊙B的半径为5cm，∴边AC所在的直线与⊙B相切．故答案为A．8.答案：C解析：【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理，连接OA，根据垂径定理求出OD，与OC相加即为CD．【解答】解：连接OA，∵OD⊥AB，∴AD=1AB=12，2在Rt△OAD中，OD=√OA2−AD2=√132−122=5，∴CD=OD+OC=13+5=18(m)故选C．9.答案：D解析：【分析】根据判别式的意义得到△=(−2)2+4m<0，解得m<−1，然后根据一次函数的性质可得到一次函数y=(m+1)x+m−1图象经过的象限．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．也考查了一次函数图象与系数的关系．【解答】解：∵一元二次方程x2−2x−m=0无实数根，∴△<0，∴△=4−4(−m)=4+4m<0，∴m<−1，∴m+1<1−1，即m+1<0，m−1<−1−1，即m−1<−2，∴一次函数y=(m+1)x+m−1的图象不经过第一象限，故选：D．10.答案：B解析：【分析】连接CE，根据矩形的对边相等可得AD=BC=5，CD=AB=3，根据矩形的对角线互相平分可得OA=OC，然后判断出OE垂直平分AC，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AE=CE，设AE=CE=x，表示出DE，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列出方程求解即可．本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．【解答】如图，连接CE∵矩形ABCD中，AB=3，BC=5，∴AD=BC=5，CD=AB=3，OA=OC，∵OE⊥AC，∴OE垂直平分AC，∴AE=CE，设AE=CE=x，则DE=5−x，在Rt△CDE中，CD2+DE2=CE2，即32+(5−x)2=x2，解得x=3.4，即AE的长为3.4．故选B．11.答案：149°29′30′′解析：【分析】此题主要考查了补角，关键是掌握两角互补，和为180°．根据如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角进行计算．【解答】解：180°−30°30′30″=149°29′30″，故答案为149°29′30″．12.答案：−√2解析：【分析】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．首先化简二次根式，进而合并即可．【解答】解：√50−√72=5√2−6√2=−√2．故答案为：−√2．13.答案：x=14解析：解：方程xx−1=x−1x+2，去分母得：x2+2x=x2−2x+1，解得：x=14，经检验x=14是分式方程的解．故答案为：x=14．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．14.答案：12√3解析：【分析】本题考查了一次函数的性质、平移的性质、勾股定理以及平行四边形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．首先根据题意作出图形，则可得线段BC扫过的面积应为平行四边形BCC′B′的面积，其高是AC的长，底是点C平移的路程．则可由勾股定理求得AC的长，由点与一次函数的关系，求得A′的坐标，即可求得BB′的值，继而求得答案．【解答】解：如图所示：∵点A、B的坐标分别为(1,0)、(4,0)，∴OA=1，OB=4，∴AB=3，∵∠CAB=90°，BC=6，∴AC=√BC2−AB2=3√3，∵将△ABC沿x轴向右平移，点C平移到点C′处，∴A′C′=AC=3√3，∴当y=3√3时，√3x−2√3=3√3，解得：x=5，∴OA′=5，∴BB′=AA′=OA′−OA=5−1=4，∴S▱BCC′B′=4×3√3=12√3，∴线段BC扫过的面积为12√3．故答案为12√3．15.答案：60°解析：【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．作DH⊥B′C′于H，交AD′于G，如图，根据旋转的性质得AD′=AD，∠DAD′=α，再根据等腰三角形的性质由B′D=C′D得到B′H=C′H，则AG=DG′，从而在Rt△ADG′中可计算出∠ADG=30°，于是得到∠DAG=60°，从而得到α的度数．【解答】解：作DH⊥B′C′于H，交AD′于G，如图，∵正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转到正方形AB′C′D′，旋转角为α，∴AD′=AD，∠DAD′=α，∵B′D=C′D，∴B′H=C′H，∵四边形AB′C′D′为正方形，∴AG=D′G′，在Rt△ADG′中，AG=12AD′=12AD，∴∠ADG=30°，∴∠DAG=60°，即α=60°．故答案为60°．16.答案：36解析：[分析]小球的高度ℎ(m)与小球运动时间t(s)的函数关系式是二次函数关系式，所以可根据求二次函数最值的方法求解．[详解]解：∵ℎ=24t −4t 2，∴当t =−b 2a =−24−4×2=3时，h 有最大值．即：ℎ=24×3−4×32=36(m)．那么小球运动中的最大高度为36m ．故答案为：36．[点睛]解本题的关键是把实际问题转化成数学问题，利用二次函数的性质就能求出结果，二次函数y =ax 2+bx +c 的顶点坐标是(−b 2a ,4ac−b 24a )当x 等于−b 2a 时，y 的最大值(或最小值)是4ac−b 24a ．17.答案：解：{3x −4≤x①x +3>12x −1②解①得x ≤2，解②得x >−8，所以不等式组的解集为−8<x ≤2．解析：本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．分别解两个不等式得到x ≤2和x >−8，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集． 18.答案：证明：(1)∵BD =CF ，∴BD+CD=CF+CD即BC=DF，在△ABC和△EDF中，{AB=DE∠B=∠EDF BC=DF，∴△ABC≌△EDF(SAS)；(2)∵△ABC≌△EDF，∠ACB=40°，∴∠F=40°．解析：本题主要考查全等三角形的判定与性质．(1)根据ASA可证明△ABE≌△DCF；(2)根据全等三角形的性质可得∠F=∠ACB=40°.19.答案：解：(1)由反比例函数的对称性，知图象的另一支在第二象限；根据反比例函数的性质，知1−2k<0，解得，k>12；(2)由该函数图象的性质知，当反比例函数y=1−2kx经过第二、四象限时，该函数是减函数，即y随x的增大而增大，∴当x1<x2时，y1<y2；(3)由(1)知1−2k<0．∵x1<0<x2，∴y1=1−2kx1>0，y2=1−2kx2<0，∴y1>y2．解析：(1)根据反比例函数y=kx(k≠0)的性质知，当k<0，该函数的图象经过第二、四象限；(2)根据反比例函数的单调性解答；(3)根据反比例函数图象上点的坐标特征，将A(x1,y1)和B(x2,y2)代入函数y=1−2kx，求得y1和y2的符号，然后比较它们的大小即可．本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质．本题充分利用了反比例函数的图象的单调性．20.答案：96 96 94.5解析：解：(1)八(1)班的成绩为：88、89、92、92、96、96、96、98、98、100，八(2)班成绩为89、90、91、93、95、97、98、98、98、99，所以a=96、c=110×(88+89+92+92+96+96+96+98+98+100)=94.5，b=95+972=96，故答案为：96、96、94.5；(2)设(1)班学生为A1，A2，(2)班学生为B1，B2，B3，一共有20种等可能结果，其中2人来自不同班级共有12种，所以这两个人来自不同班级的概率是1220=35．(1)根据平均数和众数、中位数的定义分别求解可得；(2)先设(1)班学生为A1，A2，(2)班学生为B1，B2，B3，根据题意画出树形图，再根据概率公式列式计算即可．本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21.答案：解：(1)依题意有：点C(1,2)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，∴k=xy=2，∵A(3,0)∴CB=OA=3，又CB//x轴，∴B(4,2)，设直线OB的函数表达式为y=ax，∴2=4a，∴a=12，∴直线OB的函数表达式为y=12x；(2)作CD⊥OA于点D，∵C(1,2)，∴OC=√12+22=√5，在平行四边形OABC中，CB=OA=3，AB=OC=√5，∴四边形OABC的周长为：3+3+√5+√5=6+2√5，即四边形OABC的周长为6+2√5．解析：(1)根据函数y=kx(k≠0)的图象经过点C，可以求得k的值，再根据平行四边形的性质即可求得点B的坐标，从而可以求得直线OB的函数解析式；(2)根据题目中各点的坐标，可以求得平行四边形各边的长，从而可以求得平行四边形的周长．本题考查待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22.答案：解：设此人从甲地到乙地的路程的最大值为xkm，由题意得：(x−3)×2.4+7=19，整理得：x−3=5，解得：x=8，答：此人从甲地到乙地的路程的最大值为8km．解析：本题主要考查一元一次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解．根据题意找出等量关系：某人乘坐这种出租车从甲地到乙地共付车费=19元．设此人从甲地到乙地的路程的最大值为xkm，由于19>7，所以x>3，即：某人乘坐这种出租车从甲地到乙地需付车费：7+2.4×(x−3)，根据等量关系列出方程求解即可，由于不足1km按1km收费，所以此时求出的x 的值即为最大值．23.答案：(1)证明：∵点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，∴DE//CF，DE=12BC，DF//CE，DF=12AC，∴四边形DECF是平行四边形，∵AC=BC，∴DE=DF，∴四边形DFCE是菱形；(2)过E作EG⊥BC于G，∵AC=BC，∠A=75°，∴∠B=∠A=75°，∴∠C=30°，∴EG=12CE=14AC=1，∴菱形DFCE的面积=2×1=2．解析：(1)根据三角形的中位线的性质和菱形的判定定理即可得到结论；(2)过E作EG⊥BC于G，根据等腰三角形和直角三角形的性质即可得到结论．本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，菱形的面积，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．24.答案：解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠CBA=∠ACB=60°，∴∠ADB=∠ACB=60°、∠ADC=∠ABC=60°，∵CD//BE，∴∠CDA=∠DEB=60°，∴∠ADB=∠DEB=60°，∴△BDE是等边三角形；(2)如图，过点B作MB⊥CD，交CD延长线于点M，∵∠CDB=∠ADC+∠ADB=120°，∴∠BDM=60°，∵在Rt△BDM中，BD=2，∴DM=1、BM=√3，则CM=CD+DM=2，∴BC=√7；(3)∵CD//BE，∴△CDP∽△BEP，∴CDBE =CPPB，由(1)知BD=BE，∴CDBD =CPBP．解析：(1)由等边△ABC知∠CBA=∠ACB=60°，根据圆周角定理得∠ADB=∠ACB=60°、∠ADC=∠ABC=60°，由CD//BE知∠CDA=∠DEB=60°，据此得出∠ADB=∠DEB=60°，即可得证；(2)作MB⊥CD，交CD延长线于点M，由∠BDM=60°知在Rt△BDM中，BD=2、DM=1、BM=√3，继而由CM=CD+DM=2即可得BC=√7；(3)由CD//BE知△CDP∽△BEP，即可得CDBE =CPPB，根据BD=BE可得答案．本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．学会构建直角三角形，利用勾股定理计算线段的长．25.答案：解：(1)抛物线y=−14x2−x+2=−14(x+2)2+3的开口方向向下，顶点A的坐标是(−2,3)，抛物线的变化情况是：在对称轴直线x=−2左侧部分是上升的，右侧部分是下降的；(2)如图，设直线BC与对称轴交于点D，则AD⊥BD．设线段AD的长为m，则BD=AD⋅cot∠ABC=2m，∴点B的坐标可表示为(−2m−2,3−m)，代入y=−14x2−x+2，得3−m=−14(−2m−2)2−(−2m−2)+2．解得m1=0(舍)，m2=1，∴点B的坐标为(−4,2)．解析：本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的应用，利用参数求点B坐标是本题的关键．(1)由二次函数的性质可求解；(2)如图，设直线BC与对称轴交于点D，则AD⊥BD，设线段AD的长为m，则BD=AD⋅cot∠ABC=2m，可求点B坐标，代入解析式可求m的值，即可求点B坐标．。
2020-2021学年广东省广州市中考一模数学试题及答案解析
九年级综合练习（一模）数学卷本试卷分为选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，满分150分. 考试时间120分钟.一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 4的算术平方根是（ ）A. 2B. －2C. ±2D. 42. 众志成城，抗震救灾．某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：50， 20，50，30，50，30，120．这组数据的众数和中位数分别是（ ）A.120，50B. 50，50C.50，30D. 50，203. 在平面直角坐标系中，将点P （-2,3）沿x 轴方向向右平移3个单位得到点Q ，则点Q 的坐标是（ ） A.(-2,6) B.(-2,0) C. (1,3) D. (-5,3)4.已知ABC ∆与'''A B C ∆关于直线l 对称，则∠B 的度数（ ）A. 30°B. 50°C. 100°D. 90° 5. 下列命题中，是真命题的为（ ）lA.等边三角形都相似B.直角三角形都相似C.等腰三角形都相似D.锐角三角形都相似6.下列计算正确的是（ ）A. 222()m n m n -=- B. 221(0)m m m-=≠ C.22(2)(2)2m n m n m n +-=- D. 224()m n mn =7. 长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是（ ）A ．52B ．32C ．24D ．9主视图 俯视图8.已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列说法错误的是：( )A ．图象关于直线x =1对称B ．函数()20y ax bx c a =++≠的最小值是-4C ．-1和3是方程()200ax bx c a ++=≠的两个根D ．当x ＜1时，y 随x 的增大而增大 9. 如图，1∠的正切值等于 ( ) A. 2 B. 1 C. 12D. 1310.反比例函数a by x+=图像上一点(1,1)P m m -+ ，且有21415a b a b +=-++-，则关4234-41-1O yx于x 的方程210x mx ++= 的根的情况为（ ）A. 有两个不等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 无法判断二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11. 为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽出20株测得其高度，并求得它们的方差分别为2s 甲＝3.6，2s乙＝15.8，则种小麦的长势比较整齐．12. 计算：sin30︒＝ ，（－3a 2）2＝，＝13. 方程121x x=-的解是 . 14. 已知扇形的半径为6cm ，圆心角的度数为120，则此扇形的弧长为 cm. 15. 如图在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，034A OB D ==，，为OB边OA 上的一个动点，当CDE ∆的周长最小时，则点E 为 .16. 王宇用火柴棒摆成如图所示的三个“中”字形图案，依次规律，第字形图案需要 根火柴棒.三、解答题（本大题共9小题，共102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 解不等式组：312(1)312x x x ->+⎧⎪⎨-≤⎪⎩，并在数轴上表示出其解集.18. 如图，四边形ABCD 中，//,AB CD ABC CDA ∠=∠ ，求证：四边形ABCD 为平行四边形.19. 已知,a b 是方程2530x x -+=的两根，（1）求a b +和ab 的值.（2）求()()a bb a b a a b ---的值.20. 端午节前，爸爸先去超市买了大小，质量都相同的咸肉粽和碱水粽若干，碱水粽是咸肉粽的2倍；妈妈发现咸肉粽偏少，于是妈妈又去买了同样的3只咸肉粽和1只碱水粽，此时碱水粽和咸肉粽的数量相等。
2020年广东省广州市中考数学一模试卷及解析
2020年广省广州市中考一模试卷数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. -2020的相反数是( )A. -2020B. 2020C.20201- D.20201- 2. 下列图案由正多边形拼成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A.B.C. D.3. 如图几何体的俯视图是( )A. B. C. D.4. 下列运算正确的是( )A. a 6÷a 3=a 2B. a 4−a =a 3C. 2a ⋅3a =6aD. (−2x 2y)3=−8x 6y 35. 使分式x2x−4有意义的x 的取值范围是( )A. x =2B. x ≠2C. x =−2D. x ≠06. 下列说法正确的是( )A. 一个游戏中奖的概率是110，则做10次这样的游戏一定会中奖B. 为了了解一批炮弹的杀伤半径，应采用全面调查的方式C. 一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数和中位数都是8D. 若甲组数据的方差是0.1，乙组数据的方差是0.2，则乙组数据比甲组数据波动小7. 在二次函数y =−x 2+2x +1的图象中，若y 随x 的增大而增大，则x 的取值范围是( ) A. x <1 B. x >1 C. x <−1 D. x >−18. 已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2−ax −2=0的两根，下列结论一定正确的是( )A. x 1≠x 2B. x 1+x 2>0C. x 1⋅x 2>0D. x 1<0，x 2<09. 如图，已知圆锥的母线长为6，圆锥的高与母线所夹的角为θ，且sinθ=13，则该圆锥的侧面积是( )A. 24√2πB. 24πC. 16πD. 12π10. 如图1，点E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P ，点Q 同时从点B 出发，点P 沿BE →ED →DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到点C 停止，它们的运动速度都是1cm/s ，设P 、Q 出发t 秒时，△BPQ 的面积为y(cm 2)，已知y 与t 的函数关系的图象如图2(曲线OM 为抛物线的一部分)，则下列结论：①AD =BE =5cm ；②当0<t ≤5时，y =25t 2；③直线NH 的解析式为y =−25t +27；④若△ABE与△QBP相似，则t=294秒，其中正确结论的个数为()A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（本大题共6小题，共18分）11.因式分解：a2−2ab+b2=______．12.分式方程1x−2=3x的解是______．13.要了解全市中考生的数学成绩在某一范围内的学生所占比例的大小，需知道相应样本的______(填“平均数”或“频数分布”)14.科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行．如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶6千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C.小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，则B、C两地的距离是______千米．15.等腰三角形ABC中，顶角A为40°，点P在以A为圆心，BC长为半径的圆上，且BP=BA，则∠PBC的度数为______．16.如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，∠BCD=60°，AD=12AB，连接OE.下列结论：①S▱ABCD= AD⋅BD；②DB平分∠CDE；③AO=DE；④S△ADE=5S△OFE，其中正确的结论是______．三、计算题（本大题共2小题，共22分）17.某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A.篮球B.乒乓球C.羽毛球D.足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：(1)这次被调查的学生共有______人；(2)请你将条形统计图(2)补充完整；(3)在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率(用树状图或列表法解答)．18.【问题情境】已知矩形的面积为a(a为常数，a>0)，当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？【数学模型】设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为y=2(x+ax)(x>0)．【探索研究】(1)我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y=x+1x(x>0)的图象和性质．x (1)413121234…y……③在求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大(小)值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数y=x+1x(x>0)的最小值．【解决问题】(2)用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．四、解答题（本大题共7小题，共80分）19.解不等式组{−2x≤03x−1<520.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=3，求线段AB的长．4(k>0)21.如图，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，双曲线y=kx与矩形两边AB、BC分别交于E、F．(1)若E是AB的中点，求F点的坐标；(2)若将△BEF沿直线EF对折，B点落在x轴上的D点，作EG⊥OC，垂足为G，证明△EGD∽△DCF，并求k的值．22.荔枝是深圳的特色水果，小明的妈妈先购买了2千克桂味和3千克糯米糍，共花费90元；后又购买了1千克桂味和2千克糯米糍，共花费55元．(每次两种荔枝的售价都不变)(1)求桂味和糯米糍的售价分别是每千克多少元；(2)如果还需购买两种荔枝共12千克，要求糯米糍的数量不少于桂味数量的2倍，请设计一种购买方案，使所需总费用最低．23.联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念．定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．举例：如图1，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心．AB，应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=12求∠APB的度数．探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长．24.如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点(不与点A、点D重合)将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG 交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．(1)求证：∠APB=∠BPH；(2)当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；(3)设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．25.抛物线y=a(x+2)2+c与x轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C，已知点A(−1,0)，OB=OC．(1)求此抛物线的解析式；(2)若把抛物线与直线y=−x−4的交点称为抛物线的不动点，若将此抛物线平移，使其顶点为(m,2m)，当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点；(3)Q为直线y=−x−4上一点，在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB=2∠AQB，且这样的Q点有且只有一个？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：-2020的相反数是：2020．故选：B．直接利用相反数的定义分析得出答案．此题主要考查了相反数，正确把握定义是解题关键．2.【答案】B【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故B选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不符合题意．故选：B．根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．3.【答案】C【解析】解：从上面看得到图形为，故选：C．找到从几何体的上面看所得到图形即可．此题主要考查了简单几何体的三视图，三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．注意所看到的线都要用实线表示出来．4.【答案】D【解析】解：(A)原式=a3，故A错误；(B)原式=a4−a，故B错误；(C)原式=6a2，故C错误；故选：D．根据整式的运算法则即可求出答案．本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．5.【答案】B有意义，【解析】解：∵分式x2x−4∴2x−4≠0，即x≠2．故选：B．先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．本题考查的是分式有意义的条件，即分式的分母不为0．6.【答案】C【解析】解：A、一个游戏中奖的概率是1，做10次这样的游戏也不一定会中奖，故此10选项错误；B、为了了解一批炮弹的杀伤半径，应采用抽样调查的方式，故此选项错误；C、一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数和中位数都是8，故此选项正确；D、若甲组数据的方差是0.1，乙组数据的方差是0.2，则乙组数据比甲组数据波动大；故此选项错误；故选：C．根据概率的意义可判断出A的正误；根据抽样调查与全面调查意义可判断出B的正误；根据众数和中位数的定义可判断出C的正误；根据方差的意义可判断出D的正误．此题主要考查了概率、抽样调查与全面调查、众数和中位数、方差，关键是注意再找中位数时要把数据从小到大排列再找出位置处于中间的数．7.【答案】A【解析】解：∵a=−1<0，∴二次函数图象开口向下，又对称轴是直线x=1，∴当x<1时，函数图象在对称轴的左边，y随x的增大增大．故选：A．抛物线y=−x2+2x+1中的对称轴是直线x=1，开口向下，x<1时，y随x的增大而增大．本题考查了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质：当a<0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=−b，在对称轴左边，y随x的增大而增大．2a8.【答案】A【解析】解：A.∵△=(−a)2−4×1×(−2)=a2+8>0，∴x1≠x2，结论A正确；B.∵x1、x2是关于x的方程x2−ax−2=0的两根，∴x1+x2=a，∵a的值不确定，∴B结论不一定正确；C.∵x1、x2是关于x的方程x2−ax−2=0的两根，∴x1⋅x2=−2，结论C错误；D.∵x1⋅x2=−2，∴x1、x2异号，结论D错误．故选：A．A.根据方程的系数结合根的判别式，可得出△>0，由此即可得出x1≠x2，结论A正确；B.根据根与系数的关系可得出x1+x2=a，结合a的值不确定，可得出B结论不一定正确；C.根据根与系数的关系可得出x1⋅x2=−2，结论C错误；D.由x1⋅x2=−2，可得出x1、x2异号，结论D错误．综上即可得出结论．本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．9.【答案】D【解析】解：∵sinθ=1，母线长为6，3×6=2，∴圆锥的底面半径=13∴该圆锥的侧面积=12×6×2π⋅2=12π．故选：D ．先根据正弦的定义计算出圆锥的半径=2，然后根据扇形的面积公式求圆锥的侧面积． 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 10.【答案】B【解析】解：①根据图(2)可得，当点P 到达点E 时点Q 到达点C ， ∵点P 、Q 的运动的速度都是1cm/s ， ∴BC =BE =5cm ，∴AD =BE =5(故①正确)；②如图1，过点P 作PF ⊥BC 于点F ，根据面积不变时△BPQ 的面积为10，可得AB =4， ∵AD//BC ，∴∠AEB =∠PBF ，∴sin∠PBF =sin∠AEB =ABBE =45， ∴PF =PBsin∠PBF =45t ，∴当0<t ≤5时，y =12BQ ⋅PF =12t ⋅45t =25t 2(故②正确)；③根据5−7秒面积不变，可得ED =2，当点P 运动到点C 时，面积变为0，此时点P 走过的路程为BE +ED +DC =11， 故点H 的坐标为(11,0)，设直线NH 的解析式为y =kx +b ，将点H(11,0)，点N(7,10)代入可得：{11k +b =07k +b =10，解得：{k =−52b =552．故直线NH 的解析式为：y =−52t +552，(故③错误)；④当△ABE 与△QBP 相似时，点P 在DC 上，如图2所示：∵tan∠PBQ =tan∠ABE =34， ∴PQBQ =34，即11−t 5=34，解得：t =294.(故④正确)；综上可得①②④正确，共3个．故选：B ．据图(2)可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P 到达点E 时点Q 到达点C ，从而得到BC 、BE 的长度，再根据M 、N 是从5秒到7秒，可得ED 的长度，然后表示出AE 的长度，根据勾股定理求出AB 的长度，然后针对各小题分析解答即可．本题考查了二次函数的综合应用及动点问题的函数图象，根据图(2)判断出点P到达点E时，点Q到达点C是解题的关键，也是本题的突破口，难度较大．11.【答案】(a−b)2【解析】解：原式=(a−b)2故答案为：(a−b)2根据完全平方公式即可求出答案．本题考查因式分解法，解题的关键是熟练运用因式分解法，本题属于基础题型．12.【答案】3【解析】解：去分母得：x=3(x−2)，去括号得：x=3x−6，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．13.【答案】频数分布【解析】解：频数分布是反映一组数据中，某一范围内的数据的出现的次数，通过次数计算出所占的比，而平均数则反映一组数据集中变化趋势，故答案为：频数分布．平均数是反映一组数据集中变化趋势，而频数分布则反映某一范围内的数出现的次数，即频数，因此选择频数分布．考查频数分布的意义、平均数的意义及求法，理解各个统计量的意义和反映数据的特征，才是解决问题的关键．14.【答案】3√6【解析】解：作BE⊥AC于E，在Rt△ABE中，sin∠BAC=BEAB，∴BE=AB⋅sin∠BAC=6×√32=3√3，由题意得，∠C=45°，∴BC=BEsinC =3√3÷√22=3√6(千米)，故答案为：3√6．作BE⊥AC于E，根据正弦的定义求出BE，再根据正弦的定义计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．15.【答案】30°或110°【解析】解：如图，当点P在直线AB的右侧时．连接AP．∵AB=AC，∠BAC=40°，∴∠ABC=∠C=70°，∵AB=AB，AC=PB，BC=PA，∴△ABC≌△BAP，∴∠ABP=∠BAC=40°，∴∠PBC=∠ABC−∠ABP=30°，当点P′在AB的左侧时，同法可得∠ABP′=40°，∴∠P′BC=40°+70°=110°，故答案为30°或110°．分两种情形，利用全等三角形的性质即可解决问题；本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．16.【答案】①②【解析】解：∵∠BAD=∠BCD=60°，∠ADC=120°，DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠DAE=60°=∠AED，∴△ADE是等边三角形，∴AD=AE=1AB，2∴E是AB的中点，∴DE=BE，∴∠BDE=1∠AED=30°，2∴∠ADB=90°，即AD⊥BD，∴S▱ABCD=AD⋅BD，故①正确；∵∠CDE=60°，∠BDE=30°，∴∠CDB=∠BDE，∴DB平分∠CDE，故②正确；∵Rt△AOD中，AO>AD，∴AO>DE，故③错误；∵O是BD的中点，E是AB的中点，∴OE是△ABD的中位线，AD，∴OE//AD，OE=12∴△OEF∽△ADF，∴S△ADF=4S△OEF，且AF=2OF，∴S△AEF=2S△OEF，∴S△ADE=6S△OFE，故④错误；故答案为：①②．求得∠ADB=90°，即AD⊥BD，即可得到S▱ABCD=AD⋅BD；依据∠CDE=60°，∠BDE= 30°，可得∠CDB=∠BDE，进而得出DB平分∠CDE；依据Rt△AOD中，AO>AD，即AD，进而得可得到AO>DE；依据OE是△ABD的中位线，即可得到OE//AD，OE=12到△OEF∽△ADF，依据S△ADF=4S△OEF，S△AEF=2S△OEF，即可得到S△ADE=6S△OFE．本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式以及相似三角形的判定与性质的综合运用，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．17.【答案】(1)200；(2)补全图形，如图所示：甲 乙 丙 丁 甲 --- (乙，甲) (丙，甲) (丁，甲) 乙 (甲，乙) --- (丙，乙) (丁，乙) 丙 (甲，丙) (乙，丙) --- (丁，丙) 丁(甲，丁)(乙，丁)(丙，丁)---所有等可能的结果为种，其中符合要求的只有种， 则P =212=16．【解析】解：(1)根据题意得：20÷36360=200(人)，则这次被调查的学生共有200人；故答案为：200； (2)见答案； (3)见答案． 【分析】(1)由喜欢篮球的人数除以所占的百分比即可求出总人数；(2)由总人数减去喜欢A ，B 及D 的人数求出喜欢C 的人数，补全统计图即可；(3)根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出满足题意的情况数，即可求出所求的概率．此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及列表法与树状图法，弄清题意是解本题的关键．18.【答案】解：(1)①故答案为：174，103，52，2，52，103，174．函数y =x +1x 的图象如图：②答：函数两条不同类型的性质是：当0<x <1时，y 随x 的增大而减小，当x >1时，y 随x 的增大而增大；当x =1时，函数y =x +1x(x >0)的最小值是2．③y =x +1x =x 2+1x=x 2−2x+1x+2=(x−1)2x+2，∵x >0，所以(x−1)2x≥0，所以当x =1时，(x−1)2x的最小值为0，∴函数y=x+1x(x>0)的最小值是2．(2)答：矩形的面积为a(a为常数，a>0)，当该矩形的长为√a时，它的周长最小，最小值是4√a．【解析】(1)①把x的值代入解析式计算即可；②根据图象所反映的特点写出即可；③根据完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，进行配方即可得到最小值；(2)根据完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，进行配方得到y=2[(√x−√ax)2+2√a]，即可求出答案．本题主要考查对完全平方公式，反比例函数的性质，二次函数的最值，配方法的应用，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用学过的性质进行计算是解此题的关键．19.【答案】解：{−2x≤0 ①3x−1<5 ②解不等式①得：x≥0解不等式②得：x<2∴不等式组的解集为0≤x<2．【解析】别求出各不等式的解集，再求出其公共解集．本题考查的是解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．20.【答案】解：∵四边形ABCD为菱形∴BO=OD，∠AOB=90°∵BD=8∴BO=4∵tan∠ABD=AOBO，∴34=AO4∴AO=3在Rt△ABC中，AO=3，OB=4则AB=√AD2+OB2=√32+42=5【解析】由菱形的性质可得BO=OD=4，∠AOB=90°，由锐角三角函数可求AO=3，由勾股定理可求AB的长．本题考查了菱形的性质，锐角三角函数，勾股定理，熟练运用菱形的性质是本题的关键．21.【答案】解：(1)∵点E是AB的中点，OA=2，AB=4，∴点E的坐标为(2,2)，将点E的坐标代入y=kx，可得k=4，即反比例函数解析式为：y=4x，∵点F的横坐标为4，∴点F的纵坐标=44=1，故点F的坐标为(4,1)；(2)由折叠的性质可得：BE =DE ，BF =DF ，∠B =∠EDF =90°， ∵∠CDF +∠EDG =90°，∠GED +∠EDG =90°， ∴∠CDF =∠GED ，又∵∠EGD =∠DCF =90°， ∴△EGD∽△DCF ，结合图形可设点E 坐标为(k2,2)，点F 坐标为(4,k4)，则CF =k4，BF =DF =2−k4，ED =BE =AB −AE =4−k2，在Rt △CDF 中，CD =√DF 2−CF 2=√(2−k 4)2−(k4)2=√4−k ，∵CD GE=DFED ，即√4−k2=2−k44−k 2，∴√4−k =1， 解得：k =3．【解析】(1)根据点E 是AB 中点，可求出点E 的坐标，将点E 的坐标代入反比例函数解析式可求出k 的值，再由点F 的横坐标为4，可求出点F 的纵坐标，继而得出答案； (2)证明∠GED =∠CDF ，然后利用两角法可判断△EGD∽△DCF ，设点E 坐标为(k2,2)，点F 坐标为(4,k4)，即可得CF =k4，BF =DF =2−k4，在Rt △CDF 中表示出CD ，利用对应边成比例可求出k 的值．本题考查了反比例函数的综合，解答本题的关键是利用点E 的纵坐标，点F 的横坐标，用含k 的式子表示出其他各点的坐标，注意掌握相似三角形的对应边成比例的性质，难度较大．22.【答案】解：(1)设桂味的售价为每千克x 元，糯米糍的售价为每千克y 元； 根据题意得：{2x +3y =90x +2y =55，解得：{x =15y =20；答：桂味的售价为每千克15元，糯米糍的售价为每千克20元；(2)设购买桂味t 千克，总费用为W 元，则购买糯米糍(12−t)千克， 根据题意得：12−t ≥2t ， ∴t ≤4，∵W =15t +20(12−t)=−5t +240， k =−5<0，∴W 随t 的增大而减小，∴当t =4时，W 的最小值=220(元)，此时12−4=8； 答：购买桂味4千克，糯米糍8千克时，所需总费用最低．【解析】(1)设桂味的售价为每千克x 元，糯米糍的售价为每千克y 元；根据单价和费用关系列出方程组，解方程组即可；(2)设购买桂味t 千克，总费用为W 元，则购买糯米糍(12−t)千克，根据题意得出12−t ≥2t ，得出t ≤4，由题意得出W =−5t +240，由一次函数的性质得出W 随t 的增大而减小，得出当t =4时，W 的最小值=220(元)，求出12−4=8即可．本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用；根据题意方程方程组和得出一次函数解析式是解决问题的关键．23.【答案】应用：解：①若PB =PC ，连接PB ，则∠PCB =∠PBC ， ∵CD 为等边三角形的高， ∴AD =BD ，∠PCB =30°， ∴∠PBD =∠PBC =30°， ∴PD =√33DB =√36AB ， 与已知PD =12AB 矛盾，∴PB ≠PC ，②若PA =PC ，连接PA ，同理可得PA ≠PC ， ③若PA =PB ，由PD =12AB ，得PD =BD ， ∴∠APD =45°， 故∠APB =90°；探究：解：∵BC =5，AB =3， ∴AC =√BC 2−AB 2=√52−32=4， ①若PB =PC ，设PA =x ，则x 2+32=(4−x)2，∴x =78，即PA =78，②若PA =PC ，则PA =2，③若PA =PB ，由图知，在Rt △PAB 中，不可能． 故PA =2或78．【解析】应用：连接PA 、PB ，根据准外心的定义，分①PB =PC ，②PA =PC ，③PA =PB三种情况利用等边三角形的性质求出PD 与AB 的关系，然后判断出只有情况③是合适的，再根据等腰直角三角形的性质求出∠APB =45°，然后即可求出∠APB 的度数； 探究：先根据勾股定理求出AC 的长度，根据准外心的定义，分①PB =PC ，②PA =PC ，③PA =PB 三种情况，根据三角形的性质计算即可得解．本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，读懂题意，弄清楚准外心的定义是解题的关键，根据准外心的定义，要注意分三种情况进行讨论． 24.【答案】(1)证明：如图1，∵PE =BE ， ∴∠EBP =∠EPB ．又∵∠EPH =∠EBC =90°，∴∠EPH −∠EPB =∠EBC −∠EBP ． 即∠PBC =∠BPH ． 又∵AD//BC ， ∴∠APB =∠PBC ． ∴∠APB =∠BPH ．(2)△PHD 的周长不变为定值8．证明：如图2，过B 作BQ ⊥PH ，垂足为Q ． 由(1)知∠APB =∠BPH ，在△ABP和△QBP中{∠APB=∠BPH ∠A=∠BQPBP=BP，∴△ABP≌△QBP(AAS)．∴AP=QP，AB=BQ．又∵AB=BC，∴BC=BQ．又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，∴△BCH≌△BQH．∴CH=QH．∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．(3)如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB．又∵EF为折痕，∴EF⊥BP．∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°，∴∠EFM=∠ABP．又∵∠A=∠EMF=90°，∴△EFM≌△PBA(ASA)．∴EM=AP=x．∴在Rt△APE中，(4−BE)2+x2=BE2．解得，BE=2+x28．∴CF=BE−EM=2+x28−x．又∵折叠的性质得出四边形EFGP与四边形BEFC全等，∴S=12(BE+CF)BC=12(4+x24−x)×4．即：S=12x2−2x+8．配方得，S=12(x−2)2+6，∴当x=2时，S有最小值6．【解析】(1)根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案；(2)首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出PD+DH+PH= AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；(3)利用已知得出△EFM≌△BPA，进而利用在Rt△APE中，(4−BE)2+x2=BE2，利用二次函数的最值求出即可．此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理、二次函数的最值问题等知识，熟练利用全等三角形的判定得出对应相等关系是解题关键．25.【答案】解：(1)由抛物线y=a(x+2)2+c可知，其对称轴为x=−2，∵点A坐标为(−1,0)，∴点B坐标为(−3,0)，∵OB=OC，∴C点坐标为(0,−3)．将A(−1,0)、C(0,−3)分别代入解析式得，{a +c =04a +c =−3，解得，{a =−1c =1，则函数解析式为y =−x 2−4x −3．(2)由题意平移后的抛物线的解析式为y =−(x −m)2+2m ， 由{y =−x −4y =−(x −m)2+2m ，消去y 得到：x 2−(2m +1)x +m 2−2m −4=0， ∵平移后的抛物线总有不动点， ∴△≥0，∴4m 2+4m +1−4(m 2−2m −4)≥0， 解得m ≥−1712．(3)如图，设P(−2,m)，以P 为圆心的圆与直线y =−x −4相切，切点为D ，直线y =−x −4交抛物线的对称轴于E ，则E(−2,−2)∴PE =m +2，PD =√22PE ，∵PA =PD ， ∴(m+2)22=1+m 2，解得m =2±√6，故P(−2,2+√6)或(−2,2−√6).【解析】(1)根据函数的解析式可以得到函数的对称轴是x =−2，则B 点的坐标可以求得，求得OB 的长，则C 的坐标可以求得，把A 、C 的坐标代入函数解析式即可求得；(2)由题意平移后的抛物线的解析式为y =−(x −m)2+2m ，由{y =−x −4y =−(x −m)2+2m ，消去y 得到：x 2−(2m +1)x +m 2−2m −4=0，平移后的抛物线总有不动点，推出△≥0，由此构建不等式即可解决问题；(3)设P(−2,m)，以P 为圆心的圆与直线y =−x −4相切，根据切线的性质即可求解． 本题考查二次函数综合题、待定系数法求函数的解析式、一次函数的应用，以及直线与圆相切的判定等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．。
2020年广东省中考数学模拟试卷(含两套,附解析)
2020中考模拟卷一（含两套）数 学（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
5．考试范围：广东中考全部内容。
第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．6的相反数是 A ．16B ．16-C ．6-D ．6【答案】C ．【解析】6的相反数是6-，故选C ．2．一条数学信息在一周内被转发了2180000次，将数据2180000用科学记数法表示为 A ．62.1810⨯ B ．52.1810⨯C ．621.810⨯D ．521.810⨯【答案】A ．【解析】将数据2180000用科学记数法表示为62.1810⨯．故选A ． 3．观察下列图形，是中心对称图形的是A ．B ．C ．D ．【答案】D.【解析】A 、不是中心对称图形，故本选项错误；B 、不是中心对称图形，故本选项错误； C 、不是中心对称图形，故本选项错误；D 、是中心对称图形，故本选项正确．故选D ．4．下列数据：75，80，85，85，85，则这组数据的众数和中位数是( ) A ．75，80 B ．85，85 C ．80，85 D ．80，75【答案】B ．【解析】此组数据中85出现了3次，出现次数最多，所以此组数据的众数是85；将此组数据按从小到大依次排列为：75，80，85，85，85，此组数据个数是奇数个，所以此组数据的中位数是85；故选B ．5．在平面直角坐标系中，点(3,2)-所在的象限是 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B ．【解析】点(3,2)-所在的象限在第二象限．故选B ． 6．下列运算正确的是A ．236a a a =gB ．32a a a -=C ．842a a a ÷=D =【答案】B ．【解析】A 、235a a a =g ，故此选项错误；B 、32a a a -=，正确；C 、844a a a ÷=，故此选项错误；D B ．7．如图，//a b ，180∠=︒，则2∠的大小是A ．80︒B ．90︒C ．100︒D ．110︒【答案】C ．【解析】//a b Q ，12180∴∠+∠=︒，又180∠=︒Q ，2100∴∠=︒，故选C ． 8．二元一次方程组22x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解是A ．02x y =⎧⎨=⎩B ．02x y =⎧⎨=-⎩C ．20x y =⎧⎨=⎩D ．20x y =⎧⎨=⎩【答案】A ．【解析】22x y x y +=⎧⎨-=-⎩①②，①+②得；20x =，解得：0x =，把0x =代入①得：2y =，则方程组的解为02x y =⎧⎨=⎩，故选A ．9．如图，一把直尺，60︒的直角三角板和光盘如图摆放，A 为60︒角与直尺交点，3AB =，则光盘的直径是A ．3B ．C ．6D ．【答案】D ．【解析】设三角板与圆的切点为C ，连接OA 、OB ，由切线长定理知3AB AC ==，OA 平分BAC ∠，60OAB ∴∠=︒，在Rt ABO ∆中，tan OB AB OAB =∠=∴光盘的直径为，故选D ．10．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论：①0abc >；②20a b +>；③240b ac ->；④0a b c -+>，其中正确的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D ．【解析】①Q 抛物线对称轴是y 轴的右侧，0ab ∴<，Q 与y 轴交于负半轴，0c ∴<，0abc ∴>，故①正确；②0a >Q ，12bx a=-<，2b a ∴-<，20a b ∴+>，故②正确； ③Q 抛物线与x 轴有两个交点，240b ac ∴->，故③正确； ④当1x =-时，0y >，0a b c ∴-+>，故④正确．故选D ．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 11．分解因式：29a -=__________． 【答案】(3)(3)a a +-．【解析】29(3)(3)a a a -=+-．故答案为：(3)(3)a a +-． 12．不等式20190x ->的解集是__________． 【答案】2019x >． 【解析】20190x ->， 移项得，2019x >， 故答案为2019x >．13．2018年5月13日，中国首艘国产航空母舰首次执行海上试航任务，共排水量超过6万吨，将数60000用科学记数法表示应为__________． 【答案】4610⨯．【解析】460000610=⨯，故答案为：4610⨯．14=__________． 【答案】4．【解析】2416=Q ，∴4=，故答案为4．15．一个多边形的内角和等于900︒，则这个多边形是__________边形． 【答案】七．【解析】设多边形为n 边形，由题意，得 (2)180900n -︒=g ，解得7n =， 故答案为：七． 16．观察以下一列数：3，54，79，916，1125，⋯则第20个数是__________．【答案】41400． 【解析】观察数列得：第n 个数为221n n +，则第20个数是41400，故答案为：41400． 17．如图，四边形ACDF 是正方形，CEA ∠和ABF ∠都是直角且点E ，A ，B 三点共线，4AB =，则阴影部分的面积是__________．【答案】8．【解析】Q 四边形ACDF 是正方形，AC AF ∴=，90CAF ∠=︒，90EAC FAB ∴∠+∠=︒， 90ABF ∠=︒Q ，90AFB FAB ∴∠+∠=︒，EAC AFB ∴∠=∠，在CAE ∆和AFB ∆中，CAE AFBAEC FBA AC AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，CAE AFB ∴∆≅∆，4EC AB ∴==，∴阴影部分的面积182AB CE =⨯⨯=，故答案为：8． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 18．计算：20190(1)|)π-++．【解析】原式11=-．19．先化简，再求值：22212()11a a a a a a+-÷-+-，其中a ． 【答案】2aa +，原式5=- 【解析】原式212[](1)(1)(1)(1)(1)a a a a a a a a a -+=-÷+-+--1(1)(1)(1)2a a a a a a +-=+-+g2aa =+，当a原式5===-20．已知平行四边形ABCD ．（1）尺规作图：作BAD ∠的平分线交直线BC 于点E ，交DC 延长线于点F （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求证：CE CF =．【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1）如图所示，AF 即为所求；（2）Q 四边形ABCD 是平行四边形，//AB DC ∴，//AD BC ，12∴∠=∠，34∠=∠．AF Q 平分BAD ∠，13∴∠=∠，24∴∠=∠，CE CF ∴=．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）21．坐火车从上海到娄底，高铁1329G 次列车比快车575K 次列车要少9小时，已知上海到娄底的铁路长约1260千米，1329G 的平均速度是575K 的2.5倍． （1）求575K 的平均速度；（2）高铁1329G 从上海到娄底只需几小时？ 【答案】（1）84千米/小时；（2）6小时．【解析】（1）设575K 的平均速度为x 千米/小时，则1329G 的平均速度是2.5x 千米/小时， 由题意得，1260126092.5x x=+， 解得，84x =，检验：当84x =时，2.50x ≠，84x =是原方程的根，答：575K 的平均速度为84千米/小时； （2）高铁1329G 从上海到娄底需要：1260684 2.5=⨯（小时），答：高铁1329G 从上海到娄底只需6小时．22．如图，矩形ABCD 中，过对角线BD 中点O 的直线分别交AB ，CD 边于点E 、F ． （1）求证：四边形BEDF 是平行四边形；（2）只需添加一个条件，即__________，可使四边形BEDF 为菱形．【答案】（1）证明见解析；（2）EF BD ⊥或DE BE =或EDO FDO ∠=∠（答案不唯一）． 【解析】（1）Q 四边形ABCD 是平行四边形，O 是BD 的中点， //AB DC ∴，OB OD =，OBE ODF ∴∠=∠，又BOE DOF ∠=∠Q ，()BOE DOF ASA ∴∆≅∆，EO FO ∴=，∴四边形BEDF 是平行四边形；（2）EF BD ⊥或DE BE =或EDO FDO ∠=∠． Q 四边形BEDF 是平行四边形，EF BD ⊥Q ，∴平行四边形BEDF 是菱形．故答案为：EF BD ⊥或DE BE =或EDO FDO ∠=∠（答案不唯一）．23．有四张正面分别标有数字1，2，3-，4-的不透明卡片，它们除了数字之外其余全部相同，将它们背面朝上，洗匀后从四张卡片中随机地抽取一张不放回，将该卡片上的数字记为m ，再随机地抽取一张，将卡片上的数字记为n ．（1）请用画树状图或列表法写出(,)m n 所有的可能情况；（2）求所选的m ，n 能使一次函数y mx n =+的图象经过第一、三、四象限的概率． 【答案】（1）答案见解析；（2）13．【解析】（1）画树状图如下：则(,)m n 所有的可能情况是(1，2)(1，3)(1-，4)(2-，1)(2，3)(2-，4)(3--，1)(3-，2)(3-，4)(4--，1)(4-，2)；(4,3)--．（2）所选的m ，n 能使一次函数y mx n =+的图象经过第一、三、四象限的情况有： (1，3)(1-，4)(2-，3)(2-，4)-共4种情况，则能使一次函数y mx n =+的图象经过第一、三、四象限的概率是41123=． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24．如图，AB 是O e 的直径，点E 为线段OB 上一点（不与O 、B 重合），作EC OB ⊥，交O e 于点C ，作直径CD ，过点C 的切线交DB 的延长线于点P ，作AF PC ⊥于点F ，连接CB ．（1）求证：AC 平分FAB ∠； （2）求证：2BC CE CP =g ； （3）若34CE CP =，O e 的面积为12π，求PF 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）7PF =． 【解析】（1）CP Q 是O e 的切线，OC CP ∴⊥， AF PC ⊥Q ，//OC AF ∴，FAC ACO ∴∠=∠， OA OC =Q ，OAC ACO ∴∠=∠， FAC OAC ∴∠=∠，即AC 平分FAB ∠；（2）证明：AB Q 是O e 的直径， 90ACB ∴∠=︒，即90CAB ABC ∠+∠=︒，EC OB ⊥Q ，90ECB ABC ∴∠+∠=︒，CAB ECB ∴∠=∠， CP Q 是O e 的切线，CAB BCP ∴∠=∠，ECB BCP ∴∠=∠， CD Q 是O e 的直径，90CBD ∴∠=︒， CEB CBP ∴∠=∠，又ECB BCP ∠=∠，CEB CBP ∴∆∆∽，∴CE CBCB CP=，即2BC CE CP =g ； （3）解：设3CE x =， Q34CE CP =，4CP x ∴=，2BC CE CP =Q g ，BC ∴=，由勾股定理得，BE ，O Q e 的面积为12π，O ∴e 的半径为AB = 90ACB ∠=︒Q ，CE AB ⊥，2BC BE AB ∴=g ，即2)=g 1x =，则3CE =，4CP =，AC Q 平分FAB ∠，AF PC ⊥，EC OB ⊥，3CF CE ∴==， 7PF CF CP ∴=+=．25．已知抛物线21()22y a x =--，顶点为A ，且经过点3(,2)2B -，点5(,2)2C ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线AB 与x 轴相交于点M ，y 轴相交于点E ，抛物线与y 轴相交于点F ，在直线AB 上有一点P ，若OPM MAF ∠=∠，求POE ∆的面积；（3）如图2，点Q 是折线A B C --上一点，过点Q 作//QN y 轴，过点E 作//EN x 轴，直线QN 与直线EN 相交于点N ，连接QE ，将QEN ∆沿QE 翻折得到1QEN ∆，若点1N 落在x 轴上，请直接写出Q 点的坐标．【答案】（1）21()22y x =--；（2）POE ∆的面积为115或13；（3）点Q 的坐标为5(4-，3)2或(，2)或，2)．【解析】（1）把点3(,2)2B -代入21()22y a x =--，解得：1a =，∴抛物线的解析式为：21()22y x =--；（2）由21()22y x =--知1(2A ，2)-，设直线AB 解析式为：y kx b =+，代入点A ，B 的坐标， 得：122322k b k b⎧-=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得：21k b =-⎧⎨=-⎩，∴直线AB 的解析式为：21y x =--，易求(0,1)E -，7(0,)4F -，1(,0)2M -，若OPM MAF ∠=∠，//OP AF ∴，OPE FAE ∴∆∆∽，∴14334OP OE FA FE ===，∴43OP FA ===设点(,21)P t t --解得1215t =-，223t =-， POE ∆Q 的面积1||2OE t =g g ，POE ∴∆的面积为115或13． （3）若点Q 在AB 上运动，如图1，设(,21)Q a a --，则NE a =-、2QN a =-， 由翻折知2QN QN a '==-、N E NE a '==-， 由90QN E N ∠'=∠=︒易知QRN ∆'∽△N SE '，∴QR RN QN N S ES EN ''==''，即21221QR a a ES a ---===-，2QR ∴=、212a ES --=， 由NE ES NS QR +==可得2122a a ---+=，解得：54a =-，5(4Q ∴-，3)2；若点Q 在BC 上运动，且Q 在y 轴左侧，如图2，设NE a =，则N E a '=，易知2RN '=、1SN '=、3QN QN '==，QR ∴=SE a ，在Rt SEN ∆'中，222)1a a -+=，解得：a =，(Q ∴，2)； 若点Q 在BC 上运动，且点Q 在y 轴右侧，如图3，设NE a =，则N E a '=，易知2RN '=、1SN '=、3QN QN '==，QR ∴=SE a ，在Rt SEN ∆'中，222)1a a -+=，解得：a =，Q ∴2)．综上，点Q 的坐标为5(4-，3)2或(，2)或2)．2020中考模拟卷二数 学（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2020年广东省中考数学一模试卷 (含答案解析)
2020年广东省中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.−2011的相反数是()A. −2011B. −12011C. 2011 D. 120112.一组数据2，4，6，4，8的中位数为()A. 2B. 4C. 6D. 83.在平面直角坐标系中，点(3,−1)关于x轴对称的点的坐标为()A. (3,1)B. (−3,1)C. (1,−3)D. (−3,−1)4.一个多边形的内角和是1440°，求这个多边形的边数是()A. 7B. 8C. 9D. 105.若式子√4−3x在实数范围内有意义，则x的取值范围是()A. x>43B. x<43C. x≥43D. x≤436.如图，在△ABC中，点E、F分别为AB、AC的中点．若△ABC的周长为6，则△AEF的周长为()A. 12B. 3C. 4D. 不能确定7.将二次函数y=x2−4x−5向右平移1个单位，得到的二次函数为解析式为()A. y=x2−4x−6B. y=x2−4x−4C. y=x2−6xD. y=x2−6x−58.不等式组{x−2<03x<4x+3的解集为()A. −3<x<2B. −3<x<−2C. x<2D. x>−39.如图，正方形ABCD中，AB=1，M，N分别是AD，BC边的中点，沿BQ将△BCQ折叠，若点C恰好落在MN上的点P处，则PQ的长为()A. 12B. √33C. 13D. √310.已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴为x=−1，交x轴的一个交点为(x1,0)，且0<x1<1，则下列结论正确的有几个()①b>0，c<0；②a−b+c>0；③b<a；④3a+c>0；⑤9a−3b+c>0A. 1个B. 3个C. 2个D. 4个二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）11.分解因式：xy―x=_____________．12.若单项式2a x+1b与−3a3b y+4是同类项，则x y=______．13.若(a−√2)2+|b−1|=0，则1的值为______ ．a+b14.若x−2y=−3，则5−x+2y=______．BC的长为半径作15.如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于12弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB 的度数为______．16.如图，若从一块半径是6cm的圆形纸片圆O上剪出一个圆心角为60°的扇形(点A、B、C在圆O上)，再将剪下的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆半径是______cm．17.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)、B(1−t,0)、C(1+t,0)(t>0)，点P在以D(3,3)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则t的最小值是____．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）18.先化简，再求值：[(x+2y)2−(x+4y)(3x+y)]÷(2x)，其中x=−2，y=1．2四、解答题（本大题共7小题，共56.0分）19.解放中学为了了解学生对新闻、体育、动画、娱乐四类电视节目的喜爱程度，随机抽取了部分学生进行调查(每人限选1项)，现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中所给的信息解答下列问题．(1)喜爱动画的学生人数和所占比例分别是多少？(2)请将条形统计图补充完整；(3)若该校共有学生1000人，依据以上图表估计该校喜欢体育的人数约为多少？20. 如图，∠A =∠D =90°，AB =CD ，AC ，BD 相交于点E ．求证：(1)△ABC ≌△DCB ；(2)△EBC 是等腰三角形．21. 若方程组{3x +y =93ax −4by =18与{4x −y =5ax +by =−1的解相同，求a ，b 的值．22. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 是直径，弦BD =BA ，EB ⊥DC ，交DC 的延长线于点E ．(1)求证：BE 是⊙O 的切线；(2)当sin∠BCE=3，AB=3时，求AD的长．423.倡导健康生活推进全民健身，某社区去年购进A，B两种健身器材若干件，经了解，B种健身器材的单价是A种健身器材的1.5倍，用7200元购买A种健身器材比用5400元购买B种健身器材多10件．(1)A，B两种健身器材的单价分别是多少元？(2)若今年两种健身器材的单价和去年保持不变，该社区计划再购进A，B两种健身器材共50件，且费用不超过21000元，请问：A种健身器材至少要购买多少件？(m>0,x>0)图象上的两点，一次函数y=kx+ 24.如图，点A(2,n)和点D是反比例函数y=mx3(k≠0)的图象经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，连接OA，OD.已知△OAB与△ODE的面积满足S△OAB：S△ODE=3：4．(1)S△OAB=______，m=______；(2)已知点P(6,0)在线段OE上，当∠PDE=∠CBO时，求点D的坐标．25.如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A(0,2)，对称轴为直线x=−2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6．(1)求此抛物线的解析式．(2)点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题主要考查了相反数的定义，a的相反数是−a．根据相反数的定义即可求解．解：−2011的相反数是2011．故选C．2.答案：B解析：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力.注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数．解：一共5个数据，从小到大排列此数据为：2，4，4，6，8，故这组数据的中位数是4，故选B．3.答案：A解析：本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数.关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．解：点P(3,−1)关于x轴对称的点的坐标是(3,1)，故选A．4.答案：D解析：解：设这个多边形的边数是n，根据题意得，(n−2)⋅180°=1440°，解得n=10．故选：D．根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°列出方程，然后求解即可．本题考查了多边形的内角和公式，熟记公式并列出方程是解题的关键．5.答案：D解析：此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件可得：4−3x≥0，再解即可．解：由题意得：4−3x≥0，解得：x≤43，故选D．6.答案：B解析：解：∵点E、F分别为AB、AC的中点．∴EF=12BC，EA=12BA，AF=12AC，∵△ABC的周长为6，即AB+AB+BC=6，∴△AEF的周长=AE+AF+EF=12(AB+AC+BC)=3，故选B．根据题意可得出EF=12BC，再根据三角形的周长公式可得出答案．本题考查了三角形的中位线定理，三角形的中位线等于第三边的一半．7.答案：C解析：此题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式，解答此题可先将二次函数配成顶点式，写出顶点坐标，然后得到平移后的顶点坐标，从而可得到平移后的二次函数的解析式．解：y=x2−4x−5=(x−2)2−9，∴顶点坐标为(2,−9)，向右平移一个单位后的顶点坐标为(3,−9)，∴平移后的函数解析式为：y=(x−3)2−9=x2−6x+9−9=x2−6x．故选C．8.答案：A解析：解：解不等式x−2<0，得：x<2，解不等式3x<4x+3，得：x>−3，则不等式组的解集为−3<x<2，故选：A．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．9.答案：B解析：本题主要考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．由折叠的性质知∠BPQ=∠C=90°，利用直角三角形中的cos∠PBN=BN：PB=1：2，可求得∠PBN=60°，∠PBQ=30°，从而求出PQ=PBtan30°=1√3．3∠PBC，BC=PB=2BN=1，∠BPQ=∠C=90°，解：∵∠CBQ=∠PBQ=12∴cos∠PBN=BN：PB=1：2，∴∠PBN=60°，∠PBQ=30°，∴PQ=PBtan30°=13√3．故选：B．10.答案：B解析：本题考查了二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：(1)a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a>0，否则a<0；(2)b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=−b2a判断符号；(3)c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c>0，否则c<0；(4)b2−4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2−4ac>0；1个交点，b2−4ac=0；没有交点，b2−4ac<0.先充分挖掘图象所给出的信息，包括对称轴、开口方向、与坐标轴的交点、顶点位置等，然后根据二次函数图象的性质解题．解：如图所示：①∵开口向上，∴a>0，又∵对称轴在y轴左侧，∴−b2a<0，∴b>0，又∵图象与y轴交于负半轴，∴c<0，正确．②由图，当x=−1时，y<0，把x=−1代入解析式得：a−b+c<0，错误．③∵对称轴在x=−12左侧，∴−b2a <−12，∴ba>1，∴b>a，错误．④由图，x1x2>−3×1=−3；根据根与系数的关系，x1x2=c，a >−3，故3a+c>0，正确．于是ca⑤由图，当x=−3时，y>0，把x=−3代入解析式得：9a−3b+c>0，正确．所以其中正确的有①④⑤，故选B．11.答案：x(y−1)解析：[分析]直接提取公因式x，进而分解因式得出答案．[详解]解：xy―x=x(y−1)故答案为：x(y−1)．[点睛]此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．12.答案：18解析：解：单项式2a x+1b与−3a3b y+4是同类项，∴x+1=3，y+4=1，∴x=2，y=−3．∴x y=2−3=1．8故答案为：1．8依据同类项的相同字母指数相同列方程求解即可．本题主要考查的是同类项的定义，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．13.答案：√2−1解析：解：由题意得，a−√2=0，b−1=0，解得a=√2，b=1，所以，1a+b =√2+1=√2−1．故答案为：√2−1．根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．14.答案：8解析：解：∵x−2y=−3，∴5−x+2y=5−(x−2y)=5−(−3)=8．故本题答案为8．将已知条件整体代入所求代数式即可．本题考查了代数式的求值，根据已知条件，运用整体代入的思想解题．15.答案：105°解析：解：由题意可得：MN垂直平分BC，则DC=BD，故∠DCB=∠DBC=25°，则∠CDA=25°+25°=50°，∵CD=AC，∴∠A=∠CDA=50°，∴∠ACB=180°−50°−25°=105°．故答案为：105°．利用线段垂直平分线的性质得出DC=BD，再利用三角形外角的性质以及三角形内角和定理得出即可．此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，得出∠A=∠CDA=50°是解题关键．16.答案：√3解析：连接OA，作OD⊥AB于点D，利用勾股定理即可求得AD的长，则AB的长可以求得，然后利用弧长公式即可求得弧长，即底面圆的周长，再利用圆的周长公式即可求得半径．本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．解：连接OA，BC，OB，作OD⊥AB于点D．∵圆O上剪出一个圆心角为60°的扇形(点A、B、C在圆O上)，∴AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠AOB=2∠ACB=120°，又∵OA=OB，∴∠OAD=30°，在直角△OAD中，OA=6，∠OAD=30°，则AD=3√3．则AB=2AD=6√3，=2√3π，则扇形的弧长是：60π×6√3180设底面圆的半径是r，则2πr=2√3π，解得：r=√3．故答案为：√3．17.答案：√13−1解析：本题考查点与圆的位置关系、坐标与图形性质等知识，由题意PA=AB=AC=t，连接AD交⊙D于P，此时PA的值最小．解：∵AB=AC=t，∠BPC=90°，∴PA=AB=AC=t，连接AD交⊙D于P，此时PA的值最小，PA最小值=√32+22−1=√13−1，∴t的最小值为√13−1．故答案为√13−1．18.答案：解：[(x+2y)2−(x+4y)(3x+y)]÷(2x)=[x2+4xy+4y2−(3x2+xy+12xy+4y2)]÷(2x)=(x2+4xy+4y2−3x2−xy−12xy−4y2)÷(2x)=(−2x2−9xy)÷(2x)=−x−92y，当x=−2，y=12时，原式=2−94=−14．解析：本题主要考查整式的混合运算及求代数式的值，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则．先根据整式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x、y的值代入计算可得．19.答案：解：(1)调查人数为20÷10%=200(人)，喜欢动画的比例为(1−46%−24%−10%)=20%，喜欢动画的人数为200×20%=40(人)；(2)补全图形：(3)该校喜欢体育的人数约有：1000×24%=240(人)．解析：此题考查了条形统计图与扇形统计图.注意掌握条形统计图与扇形统计图的有关知识是解此题的关键．(1)首先由喜欢新闻的有20人，占10%，求得总人数；然后由扇形统计图，求得喜爱动画的学生人数所占比例，继而求得喜爱动画的学生人数；(2)由(1)可将条形统计图补充完整；(3)直接利用样本估计总体的方法求解即可求得答案．20.答案： 解：(1)∵∠A =∠D =90°，∴在Rt △ABC 和Rt △DCB 中，{BC =CB AB =DC, ∴Rt △ABC≌Rt △DCB(HL)．(2)∵Rt △ABC≌Rt △DCB ，∴∠ACB =∠DBC ，∴BE =CE ，∴△EBC 是等腰三角形．解析： 本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，证明三角形全等是解题的关键．(1)由“HL ”可证Rt △ABC≌Rt △DCB ；(2)由全等三角形的性质可得∠ACB =∠DBC ，可得BE =CE ，可得结论．21.答案：解：把3x +y =9和4x −y =5联立，得：{3x +y =9①4x −y =5②①+②得：7x =14，则x =2，把x =2代入①得：y =3，则{x =2y =3， 把{x =2y =3代入{3ax −4by =18ax +by =−1中， 得到{a −2b =32a +3b =−1解得：{a =1b =−1．解析：此题主要考查了二元一次方程组的解，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键．将第一个方程组第一个方程与第二个方程组第一个方程联立求出x 与y 的值，代入剩下的方程得到关于a 与b 的方程组，即可求出a 与b 的值．22.答案：解：(1)证明：连结OB ，OD ，在△ABO 和△DBO 中，{AB =BD BO =BO OA =OD，∴△ABO≌△DBO(SSS)，∴∠DBO =∠ABO ，∵∠ABO =∠OAB =∠BDC ，∴∠DBO =∠BDC ，∴OB//ED ，∵BE ⊥ED ，∴EB ⊥BO ，∴BE 是⊙O 的切线；(2)∵AC 是直径，∴∠ABC =90°，∵∠OBA +∠OBC =∠EBC +∠OBC =90°，∴∠OBA =∠EBC ，∴∠BAC =∠EBC ，∵BE ⊥DE ，∴∠E =90°，∴∠BCE +∠EBC =∠BAC +∠ACB =90°，∵∠BAC =∠EBC ，∴∠ACB =∠BCE ，∵sin∠BCE =34，∴sin∠ACB =34，∵AB =3，∴AC =4，∵∠BDE =∠BAC ，∴sin∠DBE =34，∵BD =AB =3，∴DE =94， ∴BE =√BD 2−DE 2=3√74，∵∠CBE =∠BAC =∠BDC ，∠E =∠E ，∴△BDE∽△CBE ，∴BE CE =DE BE ，∴CE =74，∴CD =12，∴AD =√AC 2−CD 2=3√72．解析：(1)连接OB ，OD ，证明△ABO≌△DBO ，推出OB//DE ，继而判断BE ⊥OB ，可得出结论；(2)根据圆周角定理得到∠ABC =90°，根据余角的性质得到∠ACB =∠BCE ，求得AC =4，根据勾股定理得到BE =2−DE 2=3√74，根据相似三角形的性质得到CE =74，根据勾股定理即可得到结论．本题考查了圆的切线性质与判定，全等三角形的性质与判定，锐角三角函数的定义等知识，综合程度较高，需要学生综合运用知识． 23.答案：解：(1)设A 种型号健身器材的单价为x 元/套，B 种型号健身器材的单价为1.5x 元/套， 根据题意，可得：7200x −54001.5x =10，解得：x =360，经检验x =360是原方程的根，1.5×360=540(元)，因此，A ，B 两种健身器材的单价分别是360元，540元；(2)设购买A 种型号健身器材m 套，则购买B 种型号的健身器材(50−m)套，根据题意，可得：360m+540(50−m)≤21000，，解得：m≥3313因此，A种型号健身器材至少购买34套．解析：(1)设A种型号健身器材的单价为x元/套，B种型号健身器材的单价为1.5x元/套，根据“B 种健身器材的单价是A种健身器材的1.5倍，用7200元购买A种健身器材比用5400元购买B种健身器材多10件”，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论；(2)设购买A种型号健身器材m套，则购买B种型号的健身器材(50−m)套，根据总价=单价×数量结合这次购买两种健身器材的总费用不超过21000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．24.答案：解：(1)3；8；(2)如图：由(1)知，反比例函数解析式是y=8．x∴2n=8，即n=4．故A(2,4)，将其代入y=kx+3得到：2k+3=4．．解得k=12x+3．∴直线AC的解析式是：y=12x+3=0，令y=0，则12∴x=−6，∴C(−6,0)．∴OC =6．由(1)知，OB =3．设D(a,b)，则DE =b ，PE =a −6．∵∠PDE =∠CBO ，∠COB =∠PED =90°，∴△CBO∽△PDE ，∴OB DE =OC PE ，即3b =6a−6 ①， 又ab =8 ②．联立①②，得{a =−2b =−4(舍去)或{a =8b =1． 故D (8,1)．解析：本题考查了反比例函数综合题，需要掌握待定系数法确定函数关系式，函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k 的几何意义，三角形的面积公式，相似三角形的判定与性质等知识点，综合性较强．(1)由一次函数解析式求得点B 的坐标，易得OB 的长度，结合点A 的坐标和三角形面积公式求得S △OAB =3，所以S △ODE =4，由反比例函数系数k 的几何意义求得m 的值；(2)利用待定系数法确定直线AC 函数关系式，易得点C 的坐标；利用∠PDE =∠CBO ，∠COB =∠PED =90°判定△CBO∽△PDE ，根据该相似三角形的对应边成比例求得PE 、DE 的长度，易得点D 的坐标．解：(1)由一次函数y =kx +3知，B(0,3)．又点A 的坐标是(2,n)，∴S △OAB =12×3×2=3． ∵S △OAB ：S △ODE =3：4．∴S △ODE =4．∵点D 是反比例函数y =m x (m >0,x >0)图象上的点， ∴12m =S △ODE =4，则m =8．故答案是：3；8；(2)见答案．25.答案：解：(1)由题意得：x=−b2a =−b2=−2，c=2，解得：b=4，c=2，则此抛物线的解析式为y=x2+4x+2；(2)∵抛物线对称轴为直线x=−2，BC=6，∴B横坐标为−5，C横坐标为1，把x=1代入抛物线解析式得：y=7，∴B(−5,7)，C(1,7)，设直线AB解析式为y=kx+2，把B坐标代入得：k=−1，即y=−x+2，作出直线CP，与AB交于点Q，过Q作QH⊥y轴，与y轴交于点H，BC与y轴交于点M，可得△AQH∽△ABM，∴QHBM =AQAB，∵点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，∴AQ：QB=2：3或AQ：QB=3：2，即AQ：AB=2：5或AQ：AB=3：5，∵BM=5，∴QH=2或QH=3，当QH=2时，把x=−2代入直线AB解析式得：y=4，此时Q(−2,4)，直线CQ解析式为y=x+6，令y=0，得到x=−6，即P(−6,0)；当QH=3时，把x=−3代入直线AB解析式得：y=5，此时Q(−3,5)，直线CQ解析式为y=12x+132，令y=0，得到x=−13，此时P(−13,0)，综上，P的坐标为(−6,0)或(−13,0)．解析：(1)由对称轴直线x=2，以及A点坐标确定出b与c的值，即可求出抛物线解析式；(2)由抛物线的对称轴及BC的长，确定出B与C的横坐标，代入抛物线解析式求出纵坐标，确定出B与C坐标，利用待定系数法求出直线AB解析式，作出直线CP，与AB交于点Q，过Q作QH⊥y轴，与y轴交于点H，BC与y轴交于点M，由已知面积之比求出QH的长，确定出Q横坐标，代入直线AB解析式求出纵坐标，确定出Q坐标，再利用待定系数法求出直线CQ解析式，即可确定出P的坐标．此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数性质，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．。
2020年广东省广州市中考数学一模试题及答案
2020年广东省广州市中考数学一模试题及答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．－2020的相反数的绝对值是（）A ．－2020B ．2020C ．12020D ．12020-2．目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.00000004 m ，将0.00000004用科学记数法表示为4×4×1010n ，则n 是（）A ．8 B ．－8 C ．－9 D ．－7 3．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一中展开图，那么在原正方体中，与点字所在面相对的面上的汉字是（）A ．青B ．春C ．梦D ．想4．函数y =21x x +-中自变量x 的取值范围是（）A ．2x ≥-且1x ≠B ．2x ≥-C ．1x ≠D ．21x -≤<5．学校举行图书节义卖活动，将所售款项捐给其他贫困学生．在这次义卖活动中，某班级售书情况如下图：下列说法正确的是（）A ．该班级所售图书的总数收入是226元B ．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，中位数是4C ．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，众数是15D ．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，方差是26．估计()123+623⨯的值应在（的值应在（ ） A ．4和5之间 B ．5和6之间 C ．6和7之间 D ．7和8之间 7．《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不如其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50；而甲把其23的钱给乙．则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x ，乙的钱数为y ，则可建立方程组为（ ）A ．15022503x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩B ．15022503x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩C ．15022503x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩D ．15022503x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩8．按如图所示的运算程序，能使输出y 值为1的是（的是（ ）A ．11m n ==，B ．10m n ==，C ．12m n ==，D ．21m n ==， 9．如图，将矩形ABCD 的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD 的长是（的长是（ ）A ．12厘米B ．16厘米C ．20厘米D ．28厘米 10．如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为直线1x =-，给出四个结论：①24b ac >；②20a b +=；③0a b c ++>；④若点B （52-，1y ）、C （12-，2y ）为函数图象上的两点，则12y y <，其中正确结论是（ ）A ．②④②④B ．①④①④C ．①③①③D ．②③②③11．64立方根是__________．12．分解因式：(x ＋5)2－4＝____．13．如图，在扇形AOB 中，120AOB ︒∠=，半径OC 交弦AB 于点D ，且OC OA ⊥．若23=OA ，则阴影部分的面积为_____．14．观察下列一组数：1121231234123451,,,,,,,,,,,,,,,,1213214321543216…．它们是按分子、分母和的递增顺序排列的（和相等的分数，分子小的排在前面），那么这一组数的第108个数是______15．阅读材料：定义：如果一个数的平方等于1-，记为21i =-，这个数i 叫做虚数单位，把形如a bi +（a ，b 为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：(4)(62)(46)(12)10i i i i ++-=++-=-； 2(2)(3)6326(1)7i i i i i i i -+=-+-=---=-；2(4)(4)1616(1)17i i i +-=-=--=；22(2)4444134i i i i i +=++=+-=+根据以上信息，完成下面计算：根据以上信息，完成下面计算： 2(12)(2)(2)i i i +-+-=_______．16．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 在反比例函数()0ky k x =≠的图象上运动，且始终保持线段42AB =的长度不变．M 为线段AB 的中点，连接OM ．则线段OM 长度的最小值是_____(用含k 的代数式表示)．17．（1）计算：（2﹣1）0﹣2sin30°2sin30°++（13）﹣1+（﹣1）2019（2）解不等式组：21452x x x -<⎧⎨+>+⎩并把解集在数轴上表示出来．18．如图，在Rt △ABC 中，M 是斜边AB 的中点，以CM 为直径作圆O 交AC 于点N ，延长MN 至D ，使ND ＝MN ，连接AD 、CD ，CD 交圆O 于点E(1)判断四边形AMCD 的形状，并说明理由；(2)求证：ND ＝NE ；(3)若DE ＝2，EC ＝3，求BC 的长．19．某汽车销售公司一位销售经理1—5月份的汽车销售统计图如下：月份的汽车销售统计图如下：（1）已知1月的销售量是2月的销售量的3.5倍，则1月的销售量为________辆，在扇形图中，2月的销售量所对应的扇形的圆心角大小为________；（2）补全图中销售量折线统计图；）补全图中销售量折线统计图；（3）已知4月份销售的车中有3辆国产车和2辆合资车，国产车分别用G 1，G 2，G 3表示，合资车分别用H 1，H 2表示，现从这5辆车中随机抽取两辆车参加公司的回馈活动，请用列举法（画树状图或列表）求出“抽到的两辆车都是国产车”的概率．20．图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A 处，手柄长25AB cm =， AB 与墙壁'DD 的夹角'37D AB ∠=︒，喷出的水流BC 与AB 形成的夹角72ABC ∠=︒，现在住户要求：当人站在E 处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C 处，且使50,130.DE cm CE cm == 问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？ （参考数据：sin370.60,cos370.80,tan370.75,sin 720.95,cos720.31,︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈tan 72 3.08,sin350.57,cos350.82,tan350.70︒≈︒≈︒≈︒≈）．21．如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与y 轴交于点(0,7)B ，与反比例函数8y x-=在第二象限内的图象相交于点(1, )A a -．（1）求直线AB 的解析式； （2）将直线AB 向下平移9个单位后与反比例函数的图象交于点C 和点E ，与y 轴交于点D ，求ACD ∆的面积；的面积；（3）设直线CD 的解析式为y mx n =+，根据图象直接写出不等式8mx n x-+≤的解集．22．某商店准备购进,A B 两种商品，A 种商品毎件的进价比B 种商品每件的进价多20元，用3000元购进A 种商品和用1800元购进B 种商品的数量相同．商店将A 种商品每件的售价定为80元，B 种商品每件的售价定为45元．（1）A 种商品每件的进价和B 种商品每件的进价各是多少元？（2）商店计划用不超过1560元的资金购进,A B 两种商品共40件，件，其中其中A 种商品的数量不低于B 种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？（3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A 种商品售价优惠m（1020m <<）元，B 种商品售价不变，在（2）条件下，请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．23．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以BC 为直径的为直径的⊙⊙O 交AB 于点D ，E 、F 是⊙O 上的两点，连结AE 、CF 、DF ，满足EA ＝CA ．(1)求证：AE 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径是3，tan ∠CFD ＝43，求AD 的长．24．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝10cm ，E 为对角线BD 上一动点，连接AE ，CE ，过E 点作EF ⊥AE ，交直线BC 于点F ．E 点从B 点出发，沿着BD 方向以每秒2cm 的速度运动，当点E 与点D 重合时，运动停止．设△BEF 的面积为y cm 2，E 点的运动时间为x 秒．（1）求证：CE ＝EF ；（2）求y 与x 之间关系的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围；的取值范围；（3）求△BEF 面积的最大值．25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y ax x c =-+与直线y kx b =+都经过(0,3)A -、(3,0)B 两点，该抛物线的顶点为C ．（1）求此抛物线和直线AB 的解析式；（2）设直线AB 与该抛物线的对称轴交于点E ，在射线EB 上是否存在一点M ，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，使点M 、N 、C 、E 是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，当PAB ∆面积最大时，求点P 的坐标，并求PAB ∆面积的最大值．参考答案1．B【解析】【分析】根据相反数的定义：指绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数，绝对值的性质：正数的绝对值是它本身即可求解．【详解】【详解】解：-2020的相反数的绝对值是2020．故选：B【点睛】【点睛】本题主要考查的是相反数和绝对值，掌握相反数和绝对值是解题的关键．2．B【解析】【分析】绝对值小于1的正数利用科学记数法表示为：10n a -⨯，将0.00000004 m 表示为此形式即可得出n 的值．【详解】解：0.00000004=4×0.00000004=4×1010-8故选：B【点睛】本题主要考查的是绝对值小于1的正数的科学记数法的表示形式，掌握这个知识点是解题的关键．3．B【解析】【解析】【分析】根据正方体展开图可知，相对的面一定不相邻即可得出结果．根据正方体展开图可知，相对的面一定不相邻即可得出结果．【详解】解：“梦”的对面是“青”，“想”的对面是“亮”，“点”的对面是“春”．故选：B【点睛】【点睛】本题主要考查的是正方体展开图，熟练掌握正方体展开图找对面的方法是解题的关键． 4．A【解析】【解析】【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．，就可以求解．【详解】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：x+2≥0且x-1≠0，解得：x≥-2且x≠1．故选：A ．【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义：①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y=2x+13中的x ．②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y=x+2x-1．③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．5．A【解析】【分析】【分析】根据表即可算出总收入，根据表即可算出总收入，可对可对A 进行判断；利用中位数和众数的定义对B 、C 进行判断；利用方差的计算公式计算出这组数据的方差，从而对D 进行判断．进行判断．【详解】解：该班级所售图书总收入为：：3×3×14+4×14+4×14+4×11+5×11+5×11+5×10+6×10+6×10+6×15=22615=226，故A 选项正确；选项正确；第25个数字是4，第26个数字是5，所以这组数据的中位数为4.5，故B 选项错误；选项错误； 这组数据的众数为6，故C 选项错误；这组数据的平均数为：226÷226÷50=4.5250=4.52，所以这组数据的方差为：()()()()22221143 4.52114 4.52105 4.52156 4.52 1.450⎡⎤⨯⨯-+⨯-+⨯-+⨯-≈⎣⎦，故D 选项错误．故选：A【点睛】本题主要考查的是众数、中位数与方差，掌握众数、中位数和方差是解题的关键． 6．C【解析】【分析】【分析】先将原式化简为2+24，由于24在4和5之间，那么2+24就在6和7之间.【详解】解：()123+623⨯=2+623=2+24 又因为4＜24＜5所以6＜2+24＜7故答案为C.【点睛】本题考查了二次根式的化简，其中明确化简方向和正确的估值是解题的关键.7．A【解析】【分析】根据“乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50”和“甲把其23的钱给乙．则乙的钱数也为50”两个等量关系，即可列出方程组.【详解】【详解】解：设甲的钱数为x ，乙的钱数为y ；由甲得乙半而钱五十，可得：1x y 502+= 由甲把其23的钱给乙，则乙的钱数也为50；可得：2503x y += 故答案为:A【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题，解题的关键在于，找到正确的等量关系. 8．D【解析】【解析】【分析】逐项代入，寻找正确答案即可.【详解】【详解】解：A选项满足m≤n，则y=2m+1=3；B选项不满足m≤n，则y=2n-1=-1；C选项满足m≤n，则y=2m-1=3；D选项不满足m≤n，则y=2n-1=1；故答案为D；【点睛】本题考查了根据条件代数式求值问题，解答的关键在于根据条件正确的所代入代数式及代入得值.9．C【解析】【解析】【分析】【详解】【详解】∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=90°，∴∠HEF=90°，同理四边形EFGH的其它内角都是90°，∴四边形EFGH是矩形．∴EH=FG（矩形的对边相等）；又∵∠1+∠4=90°，∠4+∠5=90°，∴∠1=∠5（等量代换），同理∠5=∠7=∠8，∴∠1=∠8，∴Rt △AHE ≌Rt △CFG ，∴AH=CF=FN ，又∵HD=HN ，∴AD=HF ，在Rt △HEF 中，EH=12cm ，EF=16cm ，根据勾股定理得HF=22+EF EH ，∴HF=20cm ，∴AD=20cm ，故选C10．B【解析】【解析】【分析】根据抛物线与x 轴的交点情况判断轴的交点情况判断①①，根据对称轴判断根据对称轴判断②②，根据抛物线的对称性判断根据抛物线的对称性判断③③、④． 【详解】∵抛物线的开口方向向下，抛物线的开口方向向下，∴a ＜0；∵抛物线与x 轴有两个交点，轴有两个交点，∴240b ac ->，即24b ac >，故①正确 由图象可知：对称轴12b x a=-=-， ∴20a b -=，故②错误；∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，∴c ＞0，由图象可知：当x=1时y=0，∴0a b c ++=，故③错误；由图象可知：当x=﹣1时y ＞0，∴点B （52-，1y ）、C （12-，2y ）为函数图象上的两点，为函数图象上的两点，则则12y y <，故④正确．故选B ． 11．2；【解析】【分析】【分析】先计算64=8，再计算8的立方根即可.【详解】【详解】∵64=8，38=2，∴64的立方根是2.故答案为：2.【点睛】【点睛】本题考查了立方根及算术平方根的知识，属于基础题，掌握基本的定义是关键．12．(x ＋7)(x ＋3)【解析】【分析】【分析】将原式化为()2252x +-，再利用平方差公式：()()22a b a b a b -=+-，即可得出结果． 【详解】解：原式()()()()()22=52=52527+3x x x x x +-++⨯+-=+⨯．故答案为：(x ＋7)(x ＋3)【点睛】本题主要考查的是利用平方差公式进行因式分解，掌握平方差公式是解题的关键．本题主要考查的是利用平方差公式进行因式分解，掌握平方差公式是解题的关键．13．3π+【解析】【解析】【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形可知阴影部分的面积是AOD ∆的面积与扇形OBC 的面积之和再减去BDO ∆的面积，本题得以解决．【详解】【详解】解：作OE AB ⊥于点F ，Q 在扇形AOB 中，120AOB ︒∠=，半径OC 交弦AB 于点D ，且OC OA ⊥．23=OA ， 90AOD ︒∴∠=，90BOC ︒∠=，OA OB =，30OAB OBA ︒∴∠=∠=， 3tan302323OD OA ︒∴=⋅=⨯=，4=AD ，3222362AB AF ==⨯⨯=，3OF =， 2BD ∴=，∴阴影部分的面积是：223230(23)23323602AOD BDO OBC S S S ππ∆∆⨯⨯⨯-++-==+扇形， 故答案为：3π+．【点睛】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 14．313【解析】【分析】【分析】根据观察数列，可发现规律：1121231234123451,,,,,,,,,,,,,,,,1213214321543216⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…和相等的数分别为1个、2个、3个、4个…，即可得出答案．【详解】【详解】解：()114141+2+3+4++14=1052+⨯=K ， 即第105个数是141， 第106个数是115， 第107个数是214， 第108个数是313． 故答案为：313【点睛】 本题主要考查了找规律，根据题目提供的已知数据找出其中所存在的规律是解题的关键．15．7i -【解析】【分析】【分析】根据题目材料，可得复数计算方法，先去括号，再进行加减运算.【详解】【详解】解：222(12)(2)(2)24244i i i i i i i i +-+-=-+-++- 26i i =-- 61i =-+7i =-．故答案为：7i -．【点睛】【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是读懂题意，掌握有理数的混合运算.16．28k +【解析】【解析】【分析】如图，如图，当当OM ⊥AB 时，线段OM 长度的最小．长度的最小．首先证明点首先证明点A 与点B 关于直线y=x 对称，对称，因因为点A ，B 在反比例函数()0ky k x=≠的图象上，AB=42，所以可以假设A （m ，k m），则B （m+4，k m -4），则有+4k m =4k m -，解得k=m 2+4m ，推出A （m ，m+4），B （m+4，m ），可得M （m+2，m+2），求出OM 即可解决问题．【详解】 如图，当OM AB ⊥时，线段OM 长度的最小，长度的最小，∵M 为线段AB 的中点，∴OA OB =，∵点A ，B 在反比例函数()0ky k x =≠的图象上，的图象上，∴点A 与点B 关于直线y x =对称，∵42AB =，∴可以假设,k A m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则4,4k B m m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭， ∴22222(4)(4)k km m m m +=++-， 解得24k m m =+，∴(),4A m m +，()4,B m m +， ∴()2,2M m m ++， ∴()()2222248OM m m m =+=++28k =+， ∴OM 的最小值为28k +．故答案为28k +．【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的特征，反比例函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题.17．（1）2；（2）﹣1＜x ＜3，数轴见解析【解析】【分析】(1)任何数的零次幂等于1（零除外），sin30°等于12，一个不为0的数的负指数幂等于它正指数幂的倒数，-1的奇次幂等于-1，根据以上知识点即可得出结果；，根据以上知识点即可得出结果；(2)分别解出不等数组中的两个不等式，再求出不等式组的解集在数轴上表示出来即可．【详解】解：(1)原式＝1﹣2×12+3﹣1＝1﹣1+3﹣1＝2． (2)解不等式x ﹣2＜1得x ＜3，解不等式4x+5＞x+2，得：x＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x＜3，将解集表示在数轴上如下：【点睛】【点睛】本题主要考查的是实数的综合运算以及不等式组的解集，掌握实数的综合运算以及解不等式组是解题的关键．18．(1)四边形AMCD是菱形，理由见解析；(2)证明见解析；(3)BC＝25．【解析】【解析】【分析】(1)证明四边形AMCD的对角线互相平分，且为菱形；的对角线互相平分，且∠∠CNM＝90°，可得四边形AMCD为菱形；(2)可证得∠CMN＝∠DEN，由CD＝CM可证出∠CDM＝∠CMN，则∠DEN＝∠CDM，结论得证；论得证；(3)证出△MDC∽△EDN，由比例线段可求出ND长，再求MN的长，则BC可求出．【详解】【详解】(1)四边形AMCD是菱形，理由如下：∵M是Rt△ABC中AB的中点，的中点，∴CM＝AM，∵CM为⊙O的直径，的直径，∴∠CNM＝90°，∴MD⊥AC，∴AN＝CN，∵ND＝MN，∴四边形AMCD是菱形；(2)∵四边形CENM为⊙O的内接四边形，∴∠CEN+∠CMN＝180°，∵∠CEN+∠DEN＝180°，∴∠CMN＝∠DEN，∵四边形AMCD是菱形，是菱形，∴CD ＝CM ，∴∠CDM ＝∠CMN ，∴∠DEN ＝∠CDM ，∴ND ＝NE ；(3)∵∠CMN ＝∠DEN ，∠MDC ＝∠EDN ，∴△MDC ∽△EDN ，∴MD DC DE DN=， 设DN ＝x ，则MD ＝2x ，由此得252x x =， 解得：x ＝5或x ＝﹣5(不合题意，舍去)，∴5MN =，∵MN 为△ABC 的中位线，∴BC ＝2MN ，∴BC ＝25．【点睛】本题考查了圆的综合知识，熟练运用圆周角定理、菱形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．勾股定理以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．19．（1）7；36°；（2）见解析；（3）树状图见解析，310【解析】【分析】【分析】(1)结合扇形统计图和折线统计图即可得出销售总量，再求出三月份的销售量，根据1月的销售量是2月的销售量的3.5倍即可得出1月份的销售量，再根据2月份销售量占销售总量几分之几即可得出2月份销售量所对圆心角；月份销售量所对圆心角；(2)由题(1)中得出来的每个月的销售量即可补充完整折线统计图；中得出来的每个月的销售量即可补充完整折线统计图；(3)根据题目要求画出树状图即可．【详解】解：(1)∵由题得销售总量为：5÷5÷25%=2025%=20（辆），三月份销售量为：20×20×10%=210%=2（辆），则一月份和二月份销售量和为：20-2-5-4=9（辆），1月的销售量是2月的销售量的3.5倍，倍，∴2月份销售量：：9÷（1+3.5）=2（辆），1月销售量为2×2×3.5=73.5=7（辆），2月份销售量所对的圆心角：2÷2÷20×20×20×360°360°360°=36°=36°．(2)由题（1）得：如图所示．(3)画树状图如下：所有等可能的情况有20种，抽到的两辆车都是国产车的情况有6种．所以P(抽到的两辆车都是国产车)＝632010=. 【点睛】【点睛】本题主要考查的是折线统计图和扇形统计图的结合，掌握这两种统计图是解题的关键． 20．安装师傅应将支架固定在离地面160cm 的位置．的位置．【解析】【分析】【分析】过B 作'BG D D ⊥于点G ，延长EC 、GB 交于点F ，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【详解】【详解】过点B 作'BG D D ⊥于点G ，延长EC 、GB 交于点F ，∵25AB =，50DE =，∴sin37GB AB ︒=，cos37GA AB︒=， ∴250.6015GB ≈⨯=，250.8020GA ≈⨯=，∴501535BF =-=，∵72ABC ∠=︒，'37D AB ∠=︒，∴53GBA ∠=︒，∴55CBF ∠=︒，∴35BCF ∠=︒，∵tan35BF CF ︒=， ∴35500.70CF ≈=， ∴50130180FE =+=，∴180GD FE ==，∴18020160AD =-=，∴安装师傅应将支架固定在离地面160cm 的位置．的位置．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．21．（1））7y x =-+；（2）ACD ∆的面积为18；（3）40x -≤<或2x ≥．【解析】【分析】【分析】 （1）将点A （-1，a ）代入反比例函数8y x-=求出a 的值，确定出A 的坐标，再根据待定系数法确定出一次函数的解析式；（2）根据直线的平移规律得出直线CD 的解析式为y=-x-2，从而求得D 的坐标，联立方程求得交点C 、E 的坐标，根据三角形面积公式求得△CDB 的面积，然后由同底等高的两三角形面积相等可得△ACD 与△CDB 面积相等；（3）根据图象即可求得．）根据图象即可求得．【详解】（1））∵点(1, )A a -在反比例函数8y x -=的图象上，的图象上， ∴881a -==-， ∴(1,8)A -，∵点(0,7)B ，∴设直线AB 的解析式为7y k x =+， ∵直线AB 过点(1,8)A -，∴87k =-+，解得1k =-，∴直线AB 的解析式为7y x =-+；（2）∵将直线AB 向下平移9个单位后得到直线CD 的解析式为2y x =--， ∴(0,2)D -，∴729BD =+=，联立28y x y x =--⎧⎪⎨=⎪⎩，解得42x y =-⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=-⎩， ∴(4,2)C -，(2,4)E -，连接AC ，则CBD ∆的面积194182=⨯⨯=， 由平行线间的距离处处相等可得ACD ∆与CDB ∆面积相等，∴ACD ∆的面积为18．（3）∵(4,2)C -，(2,4)E -，∴不等式8mx n x-+≤的解集是：40x -≤<或2x ≥．【点睛】【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积求法，以及一次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．22．（1A 种商品每件的进价是50元，B 种商品每件的进价是30元；（2）商店共有5种进货方案;（3）①当18a =时，获利最大，时，获利最大，即买即买18件A 商品，22件B 商品，②当15m =时，150m -=，（2）问中所有进货方案获利相同，）问中所有进货方案获利相同，③③当14a =时，获利最大，即买14件A 商品，26件B 商品．【解析】【解析】【分析】（1）设A 商品每件进价为x 元，B 商品每件的进价为（x-20）元，根据A 种商品毎件的进价比B 种商品每件的进价多20元，用3000元购进A 种商品和用1800元购进B 种商品的数量相同，列方程求解；量相同，列方程求解；（2）设购买A 种商品a 件，则购买B 商品（40a -）件，根据商店计划用不超过1560元的资金购进,A B 两种商品共40件，其中A 种商品的数量不低于B 种商品数量的一半，列出不等式组即可不等式组即可（3）先设销售,A B 两种商品共获利y 元，然后分析求解新的进货方案【详解】（1）设A 种商品每件的进价是x元，则B 种商品每件的进价是()20x -元，元， 由题意得：3000180020x x =-， 解得：50x =，经检验，50x =是原方程的解，且符合题意，是原方程的解，且符合题意，502030-=，答：A 种商品每件的进价是50元，B 种商品每件的进价是30元；（2）设购买A 种商品a 件，则购买B 商品（40a -）件，）件，由题意得：()5030401560402a a a a ⎧+-⎪⎨-≥⎪⎩…， 解得：40183a ≤≤， ∵a 为正整数，为正整数，∴a =14、15、16、17、18，∴商店共有5种进货方案；（3）设销售,A B 两种商品共获利y 元，元，由题意得：(())(()()())8050453040y m a a =--+-- ()15600m a =-+，①当1015m <<时，150m ->，y 随a 的增大而增大，的增大而增大，∴当18a =时，获利最大，即买18件A 商品，22件B 商品，②当15m =时，150m -=，y 与a 的值无关，即（2）问中所有进货方案获利相同，③当1520m <<时，150m -<，y 随a 的增大而减小，的增大而减小，∴当14a =时，获利最大，即买14件A 商品，26件B 商品．【点睛】【点睛】此题考查一元一次不等式组的应用，分式方程的应用，解题关键在于根据题意列出方程 23．（1）证明见解析；（2）325. 【解析】【分析】（1）连接OA ，OE ，易证△AOC ≌△AOE （SSS ），从而可知，从而可知∠∠OEA=∠ACB=90°，所以AE 是⊙O 的切线．（2）连接CD ，因为∠CBA=∠CFD ，所以tan ∠CBA=tan ∠CFD=43，从而可求出AC=8，利用勾股定理即可求出AB=10，再证明△ADC ∽△ACB ，从而可求出AD 的长度．的长度．【详解】（1）连接OA ，OE ，在△AOC 与△AOE 中，中，AC AE OC OE OA OA⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△AOC ≌△AOE （SSS ）∴∠OEA=∠ACB=90°，∴OE ⊥AE ，∴AE 是⊙O 的切线的切线（2）连接CD∵∠CBA=∠CFD∴tan ∠CBA=tan ∠CFD=43，∵在Rt △ACB 中，中，tan ∠CBA=463CA CA CB == ∴AC=8∴由勾股定理可知：AB=10，∵BC 为⊙O 的直径，∴∠CDB=∠ADC=90°，∵∠ADC=∠ACB ，∠DAC=∠CAB ，∴△ADC ∽△ACB∴AD AC AC AB=， ∴AD=6.4本题考查圆的综合问题，本题考查圆的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，涉及全等三角形的性质与判定，涉及全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定勾股定理，圆周角定理等知识，综合程度较高．24．（1）见解析；（2）22522520252252522y x x x y x x x ⎧⎛⎫=-+≤≤⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-<≤ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩；（3）50 【解析】【分析】【分析】 （1）作辅助线，构建三角形全等，证明△AEM ≌△EFN 和△ADE ≌△CDE （SAS ），可得AE=CE=EF ；（2）分两种情况：根据三角形的面积公式可得y 与x 之间关系的函数表达式，根据勾股定理计算BD 的长可得x 的取值；（3）根据（2）中的两种情况，分别利用配方法和二次函数的增减性可得结论．）中的两种情况，分别利用配方法和二次函数的增减性可得结论．【详解】（1）证明：过E 作MN ∥AB ，交AD 于M ，交BC 于N ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ，AB ⊥AD ，∴MN ⊥AD ，MN ⊥BC ，∴∠AME ＝∠FNE ＝90°＝∠NFE +∠FEN ，∵AE ⊥EF ，∴∠AEF ＝∠AEM +∠FEN ＝90°，∴∠AEM ＝∠NFE ，∵∠DBC ＝45°，∠BNE ＝90°，∴BN ＝EN ＝AM ，∴△AEM ≌△EFN （AAS ），AE EF∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ，∠ADE ＝∠CDE ，∵DE ＝DE ，∴△ADE ≌△CDE （SAS ），∴AE ＝CE ＝EF ；（2）解：在Rt △BCD 中，由勾股定理得：BD ＝221010102+=，∴0≤x ≤52，由题意得：BE ＝2x ，∴BN ＝EN ＝2x ，由（1）知：△AEM ≌△EFN ，则AE=EF=EC ，分两种情况：分两种情况：当0≤x≤ 522时，如图1，∵AB=MN=10，∴ME ＝FN ＝10﹣2x ，∴BF ＝FN ﹣BN ＝10﹣2x ﹣2x ＝10﹣22x ，∴y ＝11(1022)222BF EN x x ⋅=-⋅＝﹣2x 2+52x （0≤x ≤522）；当52522x <≤时，如图2，过E 作EN ⊥BC 于N ，∴EN=BN=2x ，∴FN=CN=10-2x ，∴BF=BC-2CN=10-2（10-2x ）=22x-10，∴y ＝11(2210)222BF EN x x ⋅=-⋅＝2x 2-52x （52522x <≤）； 综上，y 与x 之间关系的函数表达式为22522520252252522y x x x y x x x ⎧⎛⎫=-+≤≤⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-<≤ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩（3）①当0≤x≤ 522时，如图1，∴y ＝﹣2x 2+52x ＝﹣2（x ﹣524）2+254，∵﹣2＜0，∴当x ＝524时，y 有最大值是254； 当52522x <≤时，如图2， ∴y ＝﹣2x 2+52x ＝2（x ﹣524）2-254，∵2>0，∴当x ＝52时，y 有最大值是50；即△BEF 面积的最大值是50．【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积，角形面积，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，难度适中，难度适中，熟练掌握正方形中利用辅助线构建全等来解决问题是本题的关键．25．（1）抛物线的解析式为223y x x =--，直线AB 的解析式为3y x =-，（2）(2,1)-或317317(,)22+-+．（3）当32m =时，PAB ∆面积的最大值是278，此时P 点坐标为33(,)22-． 【解析】【解析】【分析】（1）将(0,3)A -、(3,0)B 两点坐标分别代入二次函数的解析式和一次函数解析式即可求解；（2）先求出C 点坐标和E 点坐标，则2CE =，分两种情况讨论：，分两种情况讨论：①①若点M 在x 轴下方，四边形CEMN 为平行四边形，则CE MN =，②若点M 在x 轴上方，四边形CENM 为平行四边形，则CE MN =，设(,3)M a a -，则2(,23)N a a a --，可分别得到方程求出点M 的坐标；（3）如图，作//PG y 轴交直线AB 于点G ，设2(,23)P m m m --，则(,3)G m m -，可由12PAB S PG OB ∆=g，得到m 的表达式，利用二次函数求最值问题配方即可．的表达式，利用二次函数求最值问题配方即可． 【详解】解：（1）∵抛物线22y ax x c =-+经过(0,3)A -、(3,0)B 两点，两点，∴9603a c c -+=⎧⎨=-⎩，∴13a c =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为223y x x =--，∵直线y kx b =+经过(0,3)A -、(3,0)B 两点，两点，∴30k b b +=⎧⎨，解得：k 1=⎧⎨，∴直线AB 的解析式为3y x =-，（2）∵2223(1)4y x x x =--=--，∴抛物线的顶点C 的坐标为(1,4)-，∵//CE y 轴，轴，∴(1,2)E -，∴2CE =，①如图，若点M 在x 轴下方，四边形CEMN 为平行四边形，则CE MN =， 设(,3)M a a -，则2(,23)N a a a --， ∴223(23)3MN a a a a a =----=-+，∴232a a -+=，解得：2a =，1a =（舍去），∴(2,1)M -，②如图，若点M 在x 轴上方，四边形CENM 为平行四边形，则CE MN =，设(,3)M a a -，则2(,23)N a a a --，答案第23页，总23页 ∴2223(3)3MN a a a a a =----=-，∴232a a -=， 解得：3172a +=，3172a -=（舍去）， ∴317317(,)22M +-+， 综合可得M 点的坐标为(2,1)-或317317(,)22+-+． （3）如图，作//PG y 轴交直线AB 于点G ，设2(,23)P m m m --，则(,3)G m m -，∴223(23)3PG m m m m m =----=-+，∴22211393327(3)3()2222228PAB PGA PGB S S S PG OB m m m m m ∆∆∆=+==⨯-+⨯=-+=--+g ，∴当32m =时，PAB ∆面积的最大值是278，此时P 点坐标为33(,)22-． 【点睛】本题是二次函数综合题，本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，考查了待定系数法求函数解析式，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数求最值问题，二次函数求最值问题，二次函数求最值问题，以及二次以及二次函数与平行四边形、三角形面积有关的问题．。
2020年广东省广州二中中考数学一模试卷
中考数学一模试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分） 1. 下列无理数中，在-2 与 1 之间的是（ ）A. -B. -C.D.2.3.下列图形中，属于中心对称图形的是（）A.B.C. D.下列运算正确的是（）A.（-x ） =-x B.xy 2÷ =2xy （y ≠0）C.2 +3 =5D.-6a ÷2a =-3a 4.如图，将一张含有 30°角的三角形纸片的两个顶点放在直尺的两条对边上，若∠1=20°，则∠2 的度数是（ ）A.30°B.40°C.50°D.60°5.小明和小华两同学某学期数学四次测试的平均成绩恰好都是 87 分，方差分别为 S小6.=0.75，S=2.37，则成绩最稳定的是（）明小华D. A. 小明B. 小华C. 小明和小华如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图是（）A.无法确定B.7.C.D.当 k ＜0 时，一次函数 y =kx -k 的图象不经过（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限8.若一元二次方程 x -2x +m =0 有两个不相同的实数根，则实数 m 的取值范围是（ ）A. m ≥1B. m ≤1C. m ＞1D. m ＜12 3 5 6 2 42 2 29.如图，等腰直△角ABC的直角边长为1，正方形MNPQ的边长为2，C、M、A、N在同一条直线上，开始时点A与点M重合，让△ABC向右平移，△当ABC完全移出正方形MNPQ时停止，设三角形与正方形重合的面积为S，点A平移的距离为x，则S关于x的大致图象是（）A. B.C. D.10. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=2，点E是AB边上的动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为（）A.πB.πC.πD.π二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11. 分解因式：4ax-9ay=______．12. 分式方程+=1的解为______．13.若扇形的面积为π，圆心角为60°，则该扇形的半径为______．14.抛物线y=ax+bx+c过点A（-2，0），且a+b+c=0，则抛物线的对称轴是______．15. 如图，第一角限内的点A在反比例函数的图象上，第四象限内的点B在反比例函数∠OAB=60度，则k值为______．图象上，且OA⊥OB，16. 如图，将矩形ABCD点A逆时针方向旋转一定角度后，BC的对应边B C交CD边于点G，AB=B G时，1111AD=，CG=3，连接BB，CC，则11=______．22 2三、计算题（本大题共2小题，共20.0分）17. 先化简，再求值：，其中a是满足不等式3a-1＞-4的最小整数解．18. 为了解某中学学生课余生活情况，对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计．现从该校随机抽取n名学生作为样本，采用问卷调查的方法收集数据（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项）．并根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．由图中提供的信息，解答下列问题：（1）求n的值；（2）若该校学生共有1200人，试估计该校喜爱看电视的学生人数；（3）若调查到喜爱体育活动的4名学生中有3名男生和1名女生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，求恰好抽到2名男生的概率．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）19. 解方程：2x2-4x-1=0（用配方法）第3 页，共20 页20. 如图，在矩形ABCD中，AD=AE（1）尺规作图：作DF⊥AE于点F；（保留作图痕迹，不写作法）（2）求证：AB=DF．21. 如图△在ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以AO为半径的⊙O交AB于D，BD的垂直平分线交BD于F，交BC于E，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠B=30°，BC=，且AD：DF=1：2，求⊙O的直径．22. 如图，双曲线y=（x＞0）经△过AOB的点顶A（2，3），AB∥x轴，OB交双曲线于点C，且OB=3OC（1）求k的值；（2）连接 AC ，求点 C 的坐标 △和ABC 的面积．23. 如图，一般捕鱼船在 A 处发出求救信号，位于 A 处正西方向的 B 处有一艘救援艇 决定前去数援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达．救援艇决定马上调整方向， 先向北偏东 60°方以每小时 30 海里的速度航行，同时捕鱼船向正北低速航行．30 分钟后，捕鱼船到达距离 A 处 1.5 海里的 D 处，此时救援艇在 C 处测得 D 处在南 偏东 53°的方向上．（1）求 C 、D 两点的距离；（2）捕鱼船继续低速向北航行，救援艇决定再次调整航向，沿C E 方向前去救援， 并且捕鱼船和救援艇同达时到 E 处，若两船航速不变，求∠ECD 的正弦值．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈ ）24. 如图 1，抛物线 C1 ：y =ax+bx -2 与直线 l ：y =- x -交于 x 轴上的一点 A ，和另一点 B（3，n ）（1）求抛物线 C 的解析式；1（2）点 P 是抛物线 C 上的一个动点（点 P 在 A ，B 两点之间，但不包括 A ，B 两1 点）PM ⊥AB 于点 M ，PN ∥y 轴交 AB 于点 N ，求 MN 的最大值； （3）如图 2，将抛物线 C 绕顶点旋转 180°后，再作适当平移得到抛物线 C ，已知1 2抛物线 C 的顶点 E 在第一象限的抛物线 C 上，且抛持线 C 与抛物线 C 交于点 D ，2121过点 D 作 DF ∥x 轴交抛物线 C 于点 F ，过点 E 作 EG ∥x 轴交抛物线 C 于点 G ，是 否存在这样的抛物线 C ，使得四边形 DFEG 为菱形？若存在，请求 E 点的横坐标；2若不存在，请说明理由．2 2 125. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，⊙M与x轴交于A，B两点，与y轴于C，D两点，其中A（-4，0），B（1，0），C（0，2）．（1）求圆心M的坐标；（2）点P为上任意一点（不与A、D重合），连接PC，PD，作AE⊥DP的延长线于点E．当点P在上运动时，的值发生变化吗？若不变，求出这个值，若变化，请说明理由．（3）如图2，若点Q为直线y=-1上一个动点，连接QC，QO，当sin∠OQC的值最大时，求点Q的坐标．1.【答案】B【解析】解：A .答案和解析，不成立； B ．-2C.D.，成立； ，不成立； ，不成立， 故选：B ．根据无理数的定义进行估算解答即可．此题主要考查了实数的大小的比较，解答此题要明确，无理数是不能精确地表示为两个 整数之比的数，即无限不循环小数．2.【答案】B【解析】解：A 、不是中心对称图形，故本选项错误； B 、是中心对称图形，故本选项正确； C 、不是中心对称图形，故本选项错误； D 、不是中心对称图形，故本选项错误． 故选：B ．根据中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部 分重合．3.【答案】D【解析】解：A 、（-x ）=-x ，故此选项错误；B 、xy÷ =2xy （y ≠0），故此选项错误；C 、2 +3 ，无法计算，故此选项错误；D 、-6a ÷2a =-3a ，故此选项正确． 故选：D ．直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘除运算、二次根式的加减运算，正确掌 握相关运算法则是解题关键．4.【答案】C【解析】解：如图，∵AB ∥CD ， ∴∠3=∠2， ∵∠3=∠1+30°，∠1=20°， ∴∠2=∠3=50°，故选：C ．利用平行线的性质，三角形的外角的性质解决问题即可．本题考查平行线的性质，三角形的外角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于 中考常考题型．5.【答案】A【解析】解：∵0.75＜2.37，∴S ＜S ， 小明小华2 3 6 2 3 6 2 4 2 2∴成绩最稳定的是小明，故选：A．根据方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立解答．本题考查的是方差的性质，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．6.【答案】B【解析】解：主视图和左视图均为等腰三角形，底面为圆，所以该几何体为圆锥，∵圆锥的侧面展开图是扇形，底面是圆，∴B符合，故选：B．首先根据三视图确定该几何体的形状，然后确定其展开图即可．本题考查了由三视图判断几何体及几何体的展开图的知识，解题的关键是能够确定该几何体的形状，难度不大．7.【答案】C【解析】解：∵k＜0，∴-k＞0，∴一次函数y=kx-k的图象经过第一、二、四象限．故选：C．由k＜0可得出-k＞0，结合一次函数图象与系数的关系即可得出一次函数y=kx-k的图象经过第一、二、四象限，此题得解．本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限”是解题的关键．8.【答案】D2【解析】解：∵方程x-2x+m=0有两个不相同的实数根，∴=（-2）2-4m＞0，解得：m＜1．故选：D．根据方程的系数结合根的判别式＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．本题考查了根的判别式，牢记“当＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．9.【答案】C【解析】解：当0＜x＜a时，S=，此时为抛物线，排除B，D．当a≤x≤b时，S=为常数，故选：C．根据三角形在移动过程中，重合面积和x之间的关系建立分段函数，利用分段函数确定函数的图象即可本题考查了动点问题的函数图象，此类题目的图象往往是几个函数的组合体．10.【答案】B【解析】解：∵∠CFB=90°，∴点F的运动轨迹是以BC为直径的圆弧，如图，当点E在点A处时，点F在点M处，当点E在点B处时，点F在点B处，故点F的运动轨迹是以BC为直径的圆弧BM 取BC的中点O，连接OM．∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，∴∠BCM=60°，∴∠BOM=120°(同弧所对圆周角等于圆心角的一半)，∵OM=OC=OB=1，∴的长==π．故选：B．因为∠CFB=90°，推出点F的运动轨迹是以BC为直径的圆弧BM，求出圆心角∠BOM即可解决问题；本题考查轨迹、菱形的性质、弧长公式、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会准确寻找点的运动轨迹，所以中考常考题型．11.【答案】a（2x+3y）（2x-3y）【解析】解：原式=a（4x-9y）=a（2x+3y）（2x-3y），故答案为：a（2x+3y）（2x-3y）原式提取a，再利用平方差公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12.【答案】x=1【解析】【分析】本题考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根，根据解分式方程的步骤，即可解答．【解答】解：方程两边都乘以x-2，得：3-2x-2=x-2，解得：x=1，检验：当x=1时，x-2=1-2=-1≠0，所以分式方程的解为x=1，故答案为：x=1．13.【答案】第10 页，共20 页22【解析】解：设扇形的半径为r，由题意：π=，∴r=（负根已经舍弃），故答案为．利用扇形的面积公式构建方程即可解决问题．本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积公式．14.【答案】x=-【解析】解：∵抛物线y=ax+bx+c中a+b+c=0，∴该抛物线必过点B（1，0），∵点A（-2，0），B（1，0）,∴此抛物线的对称轴是直线x=纵坐标都是0，=-．故答案为：直线x=-；根据点A、B的纵坐标相等，利用二次函数的对称性列式计算即可得解．本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称，关键在于观察出点A、B的纵坐标相同．15.【答案】-6【解析】解：作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D，如图，设A（a，），B（b，），∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠DOB=90°，而∠AOC+∠OAC=90°，∴∠OAC=∠DOB，∴△R t OAC∽△R t BOD，∴==，∵在△R t AOB中，tan∠OAB=tan60°==∴==，即= =，∴ab=2，，∴k=-ab=-×2=-6．故答案为-6．作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D，如图，根据反比例函数图象上点的坐标特征，设A（a，），B（b，），再证明△R t OAC∽△R t BOD，根据相似的性质得==，而在△R t AOB 中，根据正切的定义得到tan∠OAB==，即==，然后利用比例性质先求出ab的值再计算k的值．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了相似三角2形的判定与性质．16.【答案】【解析】解：连接 AC ，AG ，AC ，如图所示： 1由旋转可得，AB=AB ，AC =AC ，∠BAB =∠CAC ，∴ = ，∴△ABB △∽ACC 1 1 ，∴ = ， ∵AB ∴△A B =B G ，∠AB G=∠ABC =90°， G 是等腰直角三角形， 1 ∴AG = AB 1 ，设 AB =AB =x ，则 AG = x ，DG =x-3，1∵ △R t ADG 中，AD +DG =AG ，∴（ ） +（x -3） =（ x ） ，解得：x =4，x =-10（舍去）， 1 2 ∴AB =4， ∴ △R t ABC 中，AC == = ，∴= = ， 故答案为：．连接 AC ，AG ，AC ，由旋转可得，AB =AB ，AC =AC ，∠BAB =∠CAC ，证 △明ABB △∽ACC ， 得出= ，证明△A B △ G 是等腰直角三角形，得出 AG = AB ，设 AB =AB =x ，则 AG = x ，DG =x -3，在 △R t ADG 中，由勾股定理得出方程，解方程得出 AB =4，在 △R t ABC 中，AC== ，即可得出答案．本题考查了翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、 勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形相似是解题的关键．17.【答案】解：A =• = ，由 3a-1＞-4，解得：a ＞-1，即 a =2（a =0 与 a =1 原式没有意义），则原式=1．【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变 形，约分得到最简结果，求出不等式的最小整数解，代入计算即可求出值．此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18.【答案】解：（1）n =5÷10%=50；（2）样本中喜爱看电视的人数为 50-15-20-5=10（人），1200× =240，所以估计该校喜爱看电视的学生人数为 240 人；（3）画树状图为：1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 11 1 1共有 12 种等可能的结果数，其中恰好抽到 2 名男生的结果数为 6，所以恰好抽到 2 名男生的概率= = ．【解析】（1）用喜爱社会实践的人数除以它所占的百分比得到 n 的值；（2）先计算出样本中喜爱看电视的人数，然后用 1200 乘以样本中喜爱看电视人数所占 的百分比可估计该校喜爱看电视的学生人数；（3）画树状图展示 12 种等可能的结果数，再找出恰好抽到 2 名男生的结果数，然后根 据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从 中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m ，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率．也 考查了统计图．19.【答案】解：2x x-2x - =0x-2x +1= +1 -4x -1=0（x -1） 2=∴x 1 =1+ ，x =1- ． 2【解析】解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．然 后利用直接开平方法即可求解．用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如 x +px +q =0 型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加 上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可． （2）形如 ax +bx +c=0 型，方程两边同时除以二次项系数，即化成 x +px+q =0，然后配 方． 20.【答案】（1）解：如图，F 点为所作；（2）证明：∵四边形 ABCD 为矩形，∴AD ∥BC ，∠B =90°，∴∠DAE =∠AEB ，∵DF ⊥AE ，∴∠AFD =90°，△在ABE 和△DFA 中，2 2 2 2 2 2∴△ABE≌△DFA（AAS），∴AB=DF．【解析】（1）利用基本作图作DF⊥AE于F点即可；（2）证△明ABE≌△DFA即可．本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了矩形的性质．21.【答案】解：（1）如图，连接OD，∵OD=OA，∴∠A=∠ODA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠B=∠EDB，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∴∠ODE=180°-90°=90°，∴直线DE与⊙O相切；，（2）如图，∵∠B=30°，BC=∴AC=4，AB=8，∵EF垂直平分BD，∴DF=BF，BE=DE，又∵AD：DF=1：2，∴BF=AB=，∴AD=8-=，又∵AO=OD，∠A=90°-∠B=60°，∴△AOD是等边三角形，∴AO=AD=，∴⊙O的直径为．【解析】（1）直线 DE 与圆 O 相切，理由如下：连接 OD ，由 OD =OA ，利用等边对等 角得到一对角相等，等量代换得到∠ODE 为直角，即可得证；（2）利用∠B =30°，BC =，且 AD ：DF =1：2，求得 AD 的长，再根 △据AOD 是等边 三角形，可得 AO =AD = ，进而得到⊙O 的直径为 ．此题考查了直线与圆的位置关系，以及线段垂直平分线定理，熟练掌握直线与圆相切的 性质是解本题的关键．22.【答案】解：（1）把 A （2，3）代入 y = 得：k =2×3=6，答：k 的值为：6．（2）过点 A 、C 、B 分别作 AF ⊥x 轴，CD ⊥x 轴，BE ⊥x 轴，垂足为 F 、D 、E ，∵A （2，3），∴OF =2，AF =3，△由OCD △∽OBE 得：，∴CD =1，把 y =1 代入 y = 得：x =6，∴C （6，1），∴OE =18，∴S △OAB =S -S = （18+16）×3- ×18×3=24， OABE ∵OB =3OC ，∴S = S = =16．答：点 C 的坐标为（6，1） △，ABC 的面积为 16．【解析】（1）把点 A 的坐标代入可直接求出 k 的值；（2）通过作垂线，将坐标、线段的比、相似三角形联系起来，根据 O B =3OC ，可求出 CD ，即点 C 的纵坐标，再代入求横坐标即可，最后将 OB =3OC ，转化为三角形的面积 比，从而解决问题．考查反比例函数的图象和性质、相似三角形的性质和判定以及三角形梯形的面积公式等 知识，恰当的转化是解决问题的关键，同时注意将点的坐标与相应的线段的长联系起来． 23.【答案】解：（1）过点 C 、D 分别作 CG ⊥AB ，DF ⊥CG ，垂足分别为 G ，F ，∵在 △R t CGB 中，∠CBG =90°-60°=30°，∴CG = BC = ×（30× ）=7.5 海里， ∵∠DAG =90°，∴四边形 ADFG 是矩形，∴GF =AD =1.5 海里，∴CF =CG -GF =7.5-1.5=6 海里，梯形 △O BE △ABC △AOB∵∠DCF=53°，∴cos ∠DCF = ，∴CD = = =10（海里）．答：CD 两点的距离是 10 海里；（2）如图，设渔船调整方向后 t 小时能与捕渔船相会合，由题意知 CE =30t ，DE =1.5×2×t =3t ，∠EDC =53°，过点 E 作 EH ⊥CD 于点 H ，则∠EHD =∠CHE =90°，∴sin ∠EDH= ，∴EH =ED sin53°=3t ×0.8=2.4t ，∴在 △R t EHC 中，sin ∠ECD = ==0.08．答：sin ∠ECD 的正弦值是 0.08．【解析】（1）过点 C 、D 分别作 CG ⊥AB ，DF ⊥CG ，垂足分别为 G ，F ，根据直角三角 形的性质得出 CG ，再根据三角函数的定义即可得出 CD 的长；（2）如图，设渔政船调整方向后 t 小时能与捕渔船相会合，由题意知 CE =30t ，DE=1.5×2×t =3t ，∠EDC =53°，过点 E 作 EH ⊥CD 于点 H ，根据三角函数表示出 EH ，在 △R t EHC 中，根据正弦的定义求值即可．考查了解直角三角形的应用-方向角问题，此题是一道方向角问题，结合航海中的实际 问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想． 24.【答案】解：（1）直线 l ：y =- x -∴- x - =0，解得：x =-1∴A （-1，0）交 x 轴于点 A ∵点 B （3，n ）在直线 l ∴n =- ×3- =-2∴B （3，-2）上∵抛物线 C1 ：y =ax+bx -2 经过点 A 、B ∴∴抛物线 C 1 解得： 的解析式为 y = x -x -2（2）如图 1，延长 PN 交 x 轴于点 H∴∠AHN =90°设 P （m ， m - m -2）（-1＜m ＜3）∵PN ∥y 轴∴x =x =x =m N H P∴N （m ，- m - ），AH =m +1，2 2 2∴NH=-（-m-）=m+，PN=-m--（m - m-2）=-m+m+∵△R t AHN中，tan∠NAH=∴sin∠NAH==∵PM⊥AB于点M∴∠AHN=∠PMN=90°∵∠ANH=∠PNM∴∠NAH=∠NPM∴△R t PMN中，sin∠NPM=∴MN=PN=（-m+m+）=-（m-1）+∴MN的最大值为（3）存在满足条件的抛物线C，使得四边形DFEG2为菱形如图2，连接DE，过点E作EQ⊥DF于点Q∵y=x-x-2=（x-）-∴抛物线C1顶点为（，-）设E（e，e - e-2）（e＞4）∴抛物线C2顶点式为y=-（x-e）+e-e-2当-（x-e）+e - e-2=x - x-2解得：x=e，x=12∴两抛物线另一交点D（，-）为抛物线C1顶点∵EG∥x轴，DF∥x轴∴EG=DF=2DQ=2（e-）=2e-3，EQ=e-e-2+=e - e+∴四边形DFEG是平行四边形若DFEG为菱形，则DG=DF∵由抛物线对称性可得：DG=DE=EF∴DE=EF=DF∴△DEF是等边三角形∴=tan∠EDQ=∴e - e+=（e-）解得：e=（舍去），e=212+22222222222222 2∴E 点的横坐标为（2【解析】（1）求直线 l ）时，四边形 DFEG 为菱形．与 x 轴交点 A 坐标、B 坐标，用待定系数法求抛物线 C 的解析 1 式．（2）延长 PN 交 x 轴于点 H ，设点 P 横坐标为 m ，由 PN ∥y 轴可得点 N 、H 横坐标也为 m ，即能用 m 表示 PN 、NH 、AH 的长．由∠AHN =∠PMN =90°及对顶角∠ANH =∠PNM 可 得∠NAH =∠NPM ．发现在 △R t PMN 中，MN 与 PN 比值即为 sin ∠NPM ，故先在 △R t ANH 中求 sin ∠NAH 的值，再代入 MN =PN •sin ∠NPM ，即得到 MN 与 m 的函数关系式，配方 即求得 MN 最大值．（3）设点 E （e ， e - e -2），所以可设抛物线 C 顶点式为 y =- （x -e ） + e - e -2．令两 2抛物线解析式 y =0 列得关于 x 的方程，解得两抛物线的另一交点 D 即为抛物线 C 的顶 1点，故 DG =DE =EF ，且求得 DF 平行且等于 GE ，即四边形 DFEG 首先一定是平行四边 形．由 DFEG 为菱形可得 DF =DG ，故此 △时DEF 为等边三角形．利用特殊三角函数值 作为等量关系列方程，即求得 e 的值．本题考查了二次函数的图象与性质，三角函数的应用，求二次函数最值，二元一次方程 组和一元二次方程的解法，菱形的判定和性质．第（3）题问是否存在满足条件的点 E ， 使四边形 DFEG 为菱形，需要先证明它一定是平行四边形，才有可能存在．25.【答案】解：（1）∵A （-4，0），B （1，0），MA =MB ，∴M （-1.5，0）．（2）结论：的值不变．理由：如图 1 中，连接 AC ，BC ，BD ，PA ，PB ，作 AH ⊥PC 于 H ，在 PC 上截取一点 K ， 使得 PK =PD ，连接 BK ．∵AB ⊥CD ，AB 是直径，∴OC=OD ， = ， ∴∠BPD =∠BPK ，∵PK =PD ，PB =PB ，∴△PBD ≌△PBK （SAS ），∴BD =BK =BC ，以 B 为圆心，BC 为半径作⊙B ，∵AB 是⊙M 的直径，∴∠ACB =90°，∴AC ⊥BC ，2 2 2∴AC是⊙B的切线，∴∠ACH=∠CDK，∵∠AHC=∠AOC=90°，∴A，H，O，C四点共圆，∴∠ACH=∠AOH，∠OAH=∠KCD，∴∠AOH=∠CDK，∵A（-4，0），C（0，2），∴OA=4，OC=OD=2，∴OA=CD=4，∴△AOH≌△CDK（ASA），∴AH=CK，∴PC-PD=PC-PK=CK=HA，∵∠APE+∠APD=180°，∠APD+∠ABD=180°，∴∠APE=∠ABD，∵AB⊥CD，∴=，∴∠ABD=∠APC，∴∠APE=∠APC，∵AE⊥PE，AH⊥PC，∴AH=AE，∴=1．（3）如图2中，作线段OC的垂直平分线GF交OC于G，以N为圆心，NC为半径作⊙N，当⊙N与直线y=-1相切于点Q时，∠CQO的值最大，此时sin∠CQO的值最大．∵∠NQH=∠QHG=∠NGH=90°，∴四边形NQHG是矩形，∴NQ=HG=NC=2，在△R t NCG中，NG=QH==，∴Q（-，-1）．根据对称性可知，当Q（，-1）时，也满足条件．综上所述．满足条件的点Q坐标为（-，-1）或（，-1）．【解析】（1）利用中点坐标公式计算即可．（2）结论：的值不变．如图1中，连接AC，BC，BD，PA，PB，作AH⊥PC于H，在PC上截取一点K，使得PK=PD，连接BK．想办法证明CK=AH，AE=AH即可解决问题．（3）如图2中，作线段OC的垂直平分线GF交OC于G，以N为圆心，NC为半径作⊙N，当⊙N与直线y=-1相切于点Q时，∠CQO的值最大，此时sin∠CQO的值最大．求出HQ的长即可解决问题．本题属于圆综合题，考查了垂径定理，切线的判定和性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．。
2020年广东省广州市中考数学一模试卷
中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.在0，1，-1，π四个数中，最小的实数是（）A. -1B. πC. 0D. 12.若△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：3，则S△ABC：S△DEF=（）A. 1：3B. 1：9C. 1：D. 1：1.53.如图，C岛在A岛的北偏东45°方向，C岛在B岛的北偏西25°方向，则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB的度数是（）A. 70°B. 20°C. 35°D. 110°4.下列运算正确的是（）A. 3x2•4x2=12x2B. aC. （x5）2=x10D. a10÷a2=a55.如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转60°后得到△A′B′C，若∠A=40°，∠B=110°，则∠BCA′的度数是（）A. 100°B. 90°C. 70°D. 110°6.我市某中学举办了一次以“我的中国梦”为主题的演讲比赛，最后确定9名同学参加决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中小辉已经知道自己的成绩，但能否进前5名，他还必须清楚这9名同学成绩的（）A. 众数B. 平均数C. 中位数D. 方差7.在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，下列说法一定正确的是（）A. AC=BDB. AC⊥BDC. AO=DOD. AO=CO8.已知数轴上点A（表示整数a）在点B（表示整数b）的左侧，如果|a|=|b|，且线段AB长为6，那么点A表示的数是（）A. 3B. 6C. -6D. -39.已知a、b、c分别为Rt△ABC（∠C=90°）的三边的长，则关于x的一元二次方程（c+a）x2+2bx+（c-a）=0根的情况是（）A. 方程无实数根B. 方程有两个不相等的实数根C. 方程有两个相等的实数根D. 无法判断10.若点M、N是一次函数y1=-x+5与反比例函数y2=（k≠0，x＞0）图象的两个交点，其中点M的横坐标为1，下列结论：①一次函数y1=-x+5的图象不经过第三象限；②点N的纵坐标为1；③若将一次函数y1=-x+5的图象向下平移1个单位，则与反比例函数y2=（k≠0，x＞0）图象有且只有一个交点；④当1＜x＜4时，y1＜y2．其中结论正确的个数是（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.若梯形的中位线长为8，高为4，则梯形的面积为______ ．12.分解因式：ay2+2ay+a= ______ ．13.半径等于12的圆中，垂直平分半径的弦长为______．14.一个几何体的三视图如图所示，根据图示的数据计算该几何体的全面积为______ ．15.将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF，若AB=3，则菱形AECF的周长为______．16.如图一组有规律的正多边形，各正多边形中的阴影部分面积均为a，按此规律，则第n个正多边形的面积为______ ．三、计算题（本大题共2小题，共21.0分）17.已知a、b分别是方程x2-3x-4=0的两个实数根，求的值．18.如图，已知直线AB与x轴交于点C，与双曲线交于A（3，）、B（﹣5，a）两点．AD⊥x轴于点D，BE∥x轴且与y轴交于点E．（1）求点B的坐标及直线AB的解析式；（2）判断四边形CBED的形状，并说明理由．四、解答题（本大题共7小题，共81.0分）19.如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，-1）、（2，1）．（1）以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形；（2）分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标；（3）如果△OBC内部一点M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标．20.广州市中山大道快速公交（简称BRT）试验线道路改造工程中，某工程队小分队承担了100米道路的改造任务．为了缩短对站台和车道施工现场实施围蔽的时间，在确保工程质量的前提下，该小分队实际施工时每天比原计划多改造道路10米，结果提前5天完成了任务，求原计划平均每天改造道路多少米？21.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD=∠A．（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若AD=BD=2，求⊙O的面积．22.某校九年级有400名学生参加全国初中数学竞赛初赛，从中抽取了50名学生，他们的初赛成绩（得分为整数，满分为100分）都不低于40分，把成绩分成六组：第一组39.5～49.5，第二组49.5～59.5，第三组59.5～69.5，第四组69.5～79.5，第五组79.5～89.5，第六组89.5～100.5．统计后得到下图所示的频数分布直方图（部分）观察图形的信息，回答下列问题：（1）第五组的频数为______ （直接写出答案）（2）估计全校九年级400名学生在69.5～79.5的分数段的学生约有______ 个．（直接写出答案）（3）在抽取的这50名学生中成绩在79.5分以上的学生组成一个培训小组，再从这个小组中随机挑选2名学生参加决赛，用树状图或列表法求出挑选的2名学生的初赛成绩恰好都不小于90分的概率．23.校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l 上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：=1.73，=1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．24.已知：如图，二次函数y=a（x+1）2-4的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点D，点C是二次函数y=a（x+1）2-4的图象的顶点，CD=．（1）求a的值．（2）点M在二次函数y=a（x+1）2-4图象的对称轴上，且∠AMC=∠BDO，求点M的坐标．（3）将二次函数y=a（x+1）2-4的图象向下平移k（k＞0）个单位，平移后的图象与直线CD分别交于E、F两点（点F在点E左侧），设平移后的二次函数的图象的顶点为C1，与y轴的交点为D1，是否存在实数k，使得CF⊥FC1？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．25.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=．点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点．（1）若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE，如图1．设CF=kEF，则k=______；（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2．求证：BE-DE=2CF；（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵-1＜0＜1＜π，∴最小的数是-1，故选：A．根据正数＞0＞负数，几个负数比较大小时，绝对值越大的负数越小解答即可．本题主要考查了正、负数、0和负数间的大小比较，几个负数比较大小时，绝对值越大的负数越小．2.【答案】B【解析】解：∵△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：3，∴S△ABC：S△DEF=1：9．故选B．由△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：3，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．此题考查了相似三角形的性质．注意熟记定理是解此题的关键．3.【答案】A【解析】解：如图，连接AB，∵两正北方向平行，∴∠CAB+∠CBA=180°-45°-25°=110°，∴∠ACB=180°-110°=70°．故选：A．根据两直线平行，同旁内角互补求得∠C的度数即可．本题考查了方向角，解决本题的关键是利用平行线的性质．4.【答案】C【解析】解：A、3x2•4x2=12x4，错误；B、，错误；C、（x5）2=x10，正确；D、a10÷a2=a8，错误；故选C．根据多项式的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法和同类项的合并计算判断即可．此题考查多项式的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法和同类项的合并，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5.【答案】B【解析】解：如图，∵∠A=40°，∠B=110°，∴∠ACB=180°-110°-40°=30°；由题意得：∠ACA′=60°，∴∠BCA′=30°+60°=90°，故选B．如图，首先运用三角形的内角和定理求出∠ACB=30°，然后运用旋转变换的性质得到∠ACA′=60°，进而求出∠BCA′，即可解决问题．该题主要考查了三角形的内角和定理、旋转变换的性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握三角形的内角和定理、旋转变换的性质等几何知识点是灵活解题的基础和关键．6.【答案】C【解析】解：由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5名的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道自已的成绩和中位数．故选：C．9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．7.【答案】D【解析】解：由平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分，可知选项D是正确的．故选：D．根据平行四边形的性质逐项分析即可．本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是正确画出几何图形，了解并掌握平行四边形的各种性质．8.【答案】D【解析】解：∵数轴上点A（表示整数a）在点B（表示整数b）的左侧，|a|=|b|，∴点A和点B的中点是原点，∵线段AB长为6，∴点A表示的数是-3．故选：D．由于数轴上点A（表示整数a）在点B（表示整数b）的左侧，|a|=|b|，可知点A和点B 的中点是原点，再根据线段AB长为6，可求点A表示的数．考查了数轴和绝对值，本题关键是理解点A和点B的中点是原点．9.【答案】C【解析】解：∵a、b、c分别为Rt△ABC（∠C=90°）的三边的长，∴a2+b2=c2，∵△=4b2-4（c+a）（c-a）=4（b2-c2+a2），∴△=0，∴方程有两个相等的两个实数根．故选C．先根据勾股定理得到a2+b2=c2，再计算出△=4b2-4（c+a）（c-a）=4（b2-c2+a2）=0，于是根据判别式的意义判断方程根的情况．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了勾股定理．10.【答案】B【解析】解：由一次函数y1=-x+5可知，一次函数y1=-x+5的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限；故①正确；∵点M的横坐标为1，∴y=-1+5=4，∴M（1，4），∴k=4，∴反比例函数y2=（k≠0，x＞0），解得或，∴N的纵坐标为1，故②正确；将一次函数y1=-x+5的图象向下平移1个单位长度，则函数的解析式为y=-x+4，解解得，，∴将一次函数y1=-x+5的图象向下平移1个单位，则与反比例函数y2=（k≠0，x＞0）图象有且只有一个交点；故③正确；∵M（1，4），N（4，1），根据图象可知当1＜x＜4时，一次函数图象部分在反比例函数图象的上方，所以y1＞y2．故④错误．故选B．根据一次函数的性质即可判断①；利用待定系数法求得M的坐标，进而求得N的坐标，即可判断②；求得直线向下平移后的解析式，然后联立方程求得交点坐标即可判断③；根据函数的图象结合交点坐标即可判断④．本题考查了一次函数和二次函数的交点坐标，其知识点有：待定系数法求解析式，平移的性质以及交点的求法等．11.【答案】32【解析】解：梯形的面积=中位线×高=8×4=32．故答案是：32．根据梯形的面积=中位线×高，进行计算．此题主要考查梯形的中位线定理：梯形的中位线等于上底与下底和的一半．12.【答案】a（y+1）2【解析】解：ay2+2ay+a=a（y2+2y+1）=a（y+1）2．故答案为：a（y+1）2．首先提取公因式a，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．13.【答案】12【解析】解：如图，∵OD=CD=6，∴由勾股定理得AD=6，∴由垂径定理得AB=12，故答案为：12．先画图，根据题意得OD=CD=6，再由勾股定理得AD的长，最后由垂径定理得出弦AB的长即可．本题综合考查了垂径定理和勾股定理．解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．14.【答案】8+72【解析】解：根据三视图可得该几何体是一个三棱柱，底面积为×4×=4，侧面积为4×3×6=72，则该几何体的全面积为4×2+72=8+72，故答案为：8+72．根据三视图判断出该几何体的形状，再分别求出底面积和侧面积即可得出答案．此题考查了由三视图判断几何体，用到的知识点是三角形、长方形的面积、勾股定理，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．15.【答案】8【解析】解：∵矩形ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF，∴AD=AO，CO=BC，∠BCE=∠OCE，而AD=BC，∴AC=2BC，∴∠CAB=30°，∴BC=AB=，∠ACB=60°，∴∠BCE=30°，∴BE=BC=1，∴CE=2BE=2，∴菱形AECF的周长=4×2=8．根据折叠的性质得AD=AO，CO=BC，∠BCE=∠OCE，所以AC=2BC，则根据含30度的直角三角形三边的关系得∠CAB=30°，于是BC=AB=，∠ACB=60°，接着计算出∠BCE=30°，然后计算出BE=BC=1，CE=2BE=2，于是可得菱形AECF的周长．本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．16.【答案】 a【解析】解：第一个：正多边形的面积等于a；第二个：如图作AE⊥BD于E，设正六边形的边长为2，∵正六边形的一个内角为120°，∴∠ABE=30°，则AE=1，BE=，△ABD的面积为：×2×1=，a=2×2=4，∴正六边形的面积为：a，第三个：如图，∵正八边形的一个内角为135°，∴∠ABD=45°，设正八边形的边长为2，则BD=AD=，△ABD的面积为1，四边形ABEF的面积为1+2+1=2+2，a=2×（2+2）=4+4，∴正八边形的面积为2a，通过计算可以看出：第n个正多边形的面积为a．设出正多边形的边长，根据正多边形与圆的关系，分别求出正四边形、正六边形和正八边形的面积，找出规律，得到答案．本题考查的是正多边形与圆的关系，求出正多边形的一个内角，设出边长，根据特殊角的性质和勾股定理表示出有关的边长，求出正多边形的面积，根据计算结果找出规律是解题的关键．17.【答案】解：原式=[-]×=-=-，∵a、b分别是方程x2-3x-4=0的两个实数根，∴a+b=3，∴原式=．【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再a、b分别是方程x2-3x-4=0的两个实数根得出a+b的值，再代入原式进行计算即可．本题考查的是分式的化简求值及实数的运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．18.【答案】解：（1）∵双曲线过A（3，），∴k=20．把B（-5，a）代入，得a=-4．∴点B的坐标是（-5，-4）．设直线AB的解析式为y=mx+n，将A（3，）、B（-5，-4）代入，得，解得：，∴直线AB的解析式为：；（2）四边形CBED是菱形．理由如下：∵直线AB的解析式为：，∴当y=0时，x=-2，∴点C的坐标是（-2，0）；∵点D在x轴上，AD⊥x轴，A（3，），∴点D的坐标是（3，0），∵BE∥x轴，∴点E的坐标是（0，-4）．而CD=5，BE=5，且BE∥CD．∴四边形CBED是平行四边形．在Rt△OED中，ED2=OE2+OD2，∴ED====5，∴ED=CD．∴平行四边形CBED是菱形．【解析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点A代入双曲线方程求得k值，即利用待定系数法求得双曲线方程；然后将B点代入其中，从而求得a值；设直线AB 的解析式为y=mx+n，将A、B两点的坐标代入，利用待定系数法解答；（2）由点C、D的坐标、已知条件“BE∥x轴”及两点间的距离公式求得，CD=5，BE=5，且BE∥CD，从而可以证明四边形CBED是平行四边形；然后在Rt△OED中根据勾股定理求得ED=5，所以ED=CD，从而证明四边形CBED是菱形．本题考查了反比例函数综合题．解答此题时，利用了反比例函数图象上点的坐标特征．19.【答案】解：（1）（2）B′（-6，2），C′（-4，-2）；（3）从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以-2的坐标，所以M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标为（-2x，-2y）．【解析】（1）延长BO，CO到B′C′，使OB′，OC′的长度是OB，OC的2倍．顺次连接三点即可；（2）从直角坐标系中，读出B′、C′的坐标；（3）从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以-2的坐标，所以M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标为（-2x，-2y）．本题综合考查了直角坐标系和相似三角形的有关知识，注意做这类题时，性质是关键，看图也是关键．很多信息是需要从图上看出来的．20.【答案】解：设原计划每天改造x米，则实际每天改造（x+10）米，由题意，得=+5，解得：x1=-20，x2=10，经检验，x-20，x=10都是原方程的根，但x-20不符合题意，舍去．∴x=10．答：原计划平均每天改造道路10米．【解析】设原计划每天改造x米，则实际每天改造（x+10）米，根据时间之间的数量关系建立方程求出其解即可．本题考查了列分式方程解工程问题的运用，分式方程的解法的运用，解答时根据工程问题的时间关系为等量关系建立方程是关键．21.【答案】解：（1）直线BD与⊙O相切．（1分）证明：如图1，连接OD．（2分）∵OA=OD，∴∠A=∠ADO．（3分）∵∠C=90°，∴∠CBD+∠CDB=90°又∵∠CBD=∠A，（5分）∴∠ADO+∠CDB=90°，∴∠ODB=180°-（∠ADO+∠CDB）=90°．∴直线BD与⊙O相切．（6分）（2）连OD、DE．∵AD=BD，∴∠A=∠DBA．（7分）在Rt△BDC中，∵∠C=90°，∠CBD=∠A=∠DBA，∴3∠A=90°，即有∠A=30°．（8分）由，得．（10分）又∠DOE=60°，OD=OE，∴△DOE为等边三角形，∴．（10分）即⊙O的半径，故⊙O的面积．（12分）【解析】（1）连接OD．证直线与圆相切，即证BD⊥OD．由∠CBD+∠CDB=90°，∠CBD=∠A=∠ODA，可得∠ODA+∠CDB=90°．根据平角定义得证；（2）即求圆的半径求解．连接DE，则∠ADE=90°．在Rt△BCA中，∠CDB=∠A=∠ABD，得∠A=30°．从而在△ADE 中利用三角函数求解．本题考查了切线的判定，解直角三角形等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．22.【答案】2；56【解析】解：（1）50-12-10-17-7-2=2（3分）（2）7÷50×400=56（6分）（3）设分数79.5～89.5的两个学生为A、B，分数89.5～100.5的两个学生为C、D树状图：（9分）共有12种等可能出现的结果，其中挑选的2名学生的初赛成绩恰好都不小于90分的结果共有2个（CD，DC）所以P（两个学生都不小于90分）=（12分）（1）用总人数减去其他5个小组的人数即可解答．（2）求出样本的频率，再用样本估计总体的方法求出总体的人数即可．（3）这50名学生中成绩在79.5分以上的学生有四个，再从这个小组中随机挑选2名学生参加决赛，出现的情况列出树状图，利用概率的求法解答即可．本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．23.【答案】解：（1）由題意得，在Rt△ADC中，AD==≈36.33（米），…2分在Rt△BDC中，BD=≈12.11（米），…4分则AB=AD-BD=36.33-12.11=24.22≈24.2（米）…6分（2）超速．理由：∵汽车从A到B用时2秒，∴速度为24.2÷2=12.1（米/秒），∵12.1×3600=43560（米/时），∴该车速度为43.56千米/小时，…9分∵大于40千米/小时，∴此校车在AB路段超速．…10分【解析】（1）分别在Rt△ADC与Rt△BDC中，利用正切函数，即可求得AD与BD的长，继而求得AB的长；（2）由从A到B用时2秒，即可求得这辆校车的速度，比较与40千米/小时的大小，即可确定这辆校车是否超速．此题考查了解直角三角形的应用问题．此题难度适中，解题的关键是把实际问题转化为数学问题求解，注意数形结合思想的应用．24.【答案】解：（1）∵C（-1，-4），CD=，∴D（0，-3）∴a=1∴y=（x+1）2-4即y=x2+2x-3．（2）如右图，设抛物线对称轴与x轴的交点为N，则N（-1，0）；由（1）的抛物线：y=x2+2x-3，得：A（-3，0）、B（1，0）在Rt△OBD中，OD=3，OB=1，tan∠BDO==．若∠AMC=∠BDO，则tan∠AMN=tan∠BDO=；在Rt△AMN中，AN=OA-ON=2，MN=AN÷tan∠AMN=6；故M（-1，6）或（-1，-6）．（3）存在．∵CC1=DD1=k，CC1∥DD1，∴四边形CC1D1D为平行四边形，∴C1D1∥CD，∴∠D1C1C=∠DCN=45°，∵CF⊥FC1，∴∠CC1F=45°即△CFC1为等腰直角三角形，CFC1D1是正方形．FD1与CC1互相垂直平分．且CC1=k，∴F（-k-1，-k-4），由点F在新抛物线y=x2+2x-3-k上，∴（-k-1）2+2（-k-1）-3-k=-k-4，解得k=2或k=0（舍），∴k=2．当k=2时，CF⊥FC1．【解析】（1）根据函数的解析式，可以直接写出顶点C的坐标．（2）根据（1）得到的抛物线解析式，能确定点A、B的坐标，在Rt△OBD中，首先求出∠OBD的正弦值，设抛物线的对称轴与x轴的交点为N，若∠AMC=∠BDO，那么它们的正弦值相等，在Rt△AMN中即可求出MN的长，由此得出点M的坐标．（3）抛物线在向下平移的过程中，顶点、抛物线与y轴交点同时向下平移了k个单位，由此易发现四边形CC1D1D为平行四边形，进一步能推出△CFC1是等腰直角三角形，根据C、C1两点的坐标，结合等腰直角三角形的性质可写出点F的坐标，再代入平移后的抛物线解析式中进行求解即可．本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象的平移、平行四边形以及等腰直角三角形的性质等综合知识；（3）题的难度较大，能够准确判断出△CFC1的形状是打开解题思路的关键所在．25.【答案】1【解析】解：（1）∵DE⊥AB于E，F为BD中点．∴，，∴CF=EF．∵CF=kEF，∴k=1；（2）如图2，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q．由题意，tan∠BAC=，∴．∵D、E、B三点共线，∴AE⊥DB．∵∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°，∴∠QBC=∠EAQ．∵∠ECA+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°，∴∠ECA=∠BCG．∴△BCG∽△ACE．∴．∴GB=DE．∵F是BD中点，∴F是EG中点．在Rt△ECG中，，∴BE-DE=EG=2CF；（3）情况1：如图，当AD=时，取AB的中点M，连结MF和CM，∵∠ACB=90°，tan∠BAC=，且BC=6，∴AC=12，AB=．∵M为AB中点，∴CM=，∵AD=，∴AD=4．∵M为AB中点，F为BD中点，∴FM==2．∴当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，此时CF=CM+FM=．同理最小值为-2．情况2：如图，当AD=时，取AB的中点M，连结MF和CM，类似于情况1，可知CF的最大值为．综合情况1与情况2，可知当点D在靠近点C的三等分点时，线段CF的长度取得最大值为．同理最小值为-4．（1）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，，CF=EF，于是得k=1；（2）过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q．得，△BCG∽△ACE．所以，GB=DE．在Rt△ECG中，，BE-DE=EG=2CF；（3）情况1：当AD=时，取AB的中点M，连结MF和CM，最大为，最小值为-2．情况2：当AD=时，取AB的中点M，连结MF和CM，最大值为，最小值为为-4．再综合情况1与情况2即可．本题主要考查了相似三角形的判定及性质．综合性较强，有一定难度，注意第（3）题分情况讨论．。
2020年广东省广州二中中考数学一模试卷
2020年广东省广州二中中考数学一模试卷（考试时间：120分钟满分：150分）一、选择题（每小题3分，满分30分）1．四个数0，1，，中，无理数的是（）A．1 B．C．0 D．2．自新冠肺炎疫情发生以来，全国广大共产党员积极响应党中央的号召，为支持新冠肺炎疫情防控工作踊跃捐款．据统计，截至3月26日，全国已有7901万多名党员自愿捐款．共捐款82.6亿元．将82.6亿元用科学记数法表示为（）元．A．82.6×108B．8.26×109C．0.826×1010D．8.26×10103．下列运算正确的是（）A．＝±2 B．a3÷a2＝a C．m2•m3＝m6D．（2x2）3＝6x64．如图，由5个相同正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（）A．B．C．D．5．已知点A（1，﹣3）关于y轴的对称点A′在反比例函数y＝的图象上，则实数k的值为（）A．3 B．C．﹣3 D．﹣6．已知直线a∥b，将一块含45°角的直角三角板（∠C＝90°）按如图所示的位置摆放，若∠1＝55°，则∠2的度数为（）A．80°B．70°C．85°D．75°7．AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，∠P＝40°，D为圆上一点，则∠D的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．40°8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AD＝6，tanB＝，则BC的值为（）A．B．8 C．D．149．在下列函数图象上任取不同两点A（x1，y1）、B（x2，y2），一定能使＜0成立的是（）A．y＝3x﹣1（x＜0）B．y＝﹣x2+2x﹣1（x＞0）C．y＝﹣（x＞0）D．y＝x2﹣4x﹣1（x＜0）10．关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两根为x1和x2，且（x1﹣2）（x1﹣x2）＝0，则k的值是（）A．﹣2 B．C．﹣2或D．﹣2或二、填空题（每小题3分，满分18分）11．分解因式：a3﹣4a＝．12．在函数y＝中，自变量x的取值范围是．13．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD＝90°，CO＝CD，若B （1，0），则点C的坐标为．14．当≤x≤2时，函数y＝的图象为曲线段CD，y＝﹣2x﹣b的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，若曲线段CD在△AOB的内部（且与三条边无交点），则b的取值范围为．15．如图，已知圆锥的高为2，高所在直线与母线的夹角为30°，则圆锥的全面积为．16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF＝DC，连接AF，CF，AF＝10，BC＝4．则下列结论：①∠BAC＝2∠DAC；②CA垂直平分BF；③DE＝；④tan∠BAD＝．其中正确的结论是．（写出所有正确结论的序号）三、解答题（满分102分）17．（9分）解方程组：．18．（9分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）若AB＝10，AC＝12，求▱ABCD的面积．19．（10分）已知代数式A满足A＝．（1）化简A；（2）若x2﹣3x＝4，求代数式A的值．20．（10分）某市将开展以“玩转数学”为主题的数学展示活动，我校对100名参加选拔赛的同学的成绩按A，B，C，D四个等级进行统计，绘制成不完整的统计表和扇形统计图：成绩等级频数（人数）频率A 4 0.04B m 0.51C nD合计100 1（1）求m＝，n＝；（2）在扇形统计图中，求“C等级”所对应扇形的圆心角的度数；（3）成绩等级为A的4名同学中有2名男生和2名女生，现从中随机挑选2名同学代表学校参加全市比赛，请用画树状图或列表的方法，求“选出的两名同学中至少有一名是女生”的概率．21．（12分）2020年新冠肺炎疫情影响全球，各国感染人数持续攀升，医用口罩供不应求，全社会积极参与疫情防控工作，广州市某企业临时增加甲、乙两个厂房参与生产一批口罩，先由甲厂房生产600箱口罩，再由乙厂房完成剩下的生产任务，已知乙厂房生产口罩箱数是甲厂房生产口罩箱数的倍．甲厂房比乙厂房少生产4天．（1）求乙厂房生产口罩总箱数；（2）若甲、乙两厂房平均每天生产口罩箱数之比为5：4，求乙厂房平均每天生产口罩多少箱．22．（12分）直线y＝kx+b与反比例函数（x＞0）的图象分别交于点A（m，4）和点B（8，n），与坐标轴分别交于点C和点D．（1）求直线AB的解析式；（2）观察图象，当x＞0时，直接写出的解集；（3）若点P是x轴上一动点，当△COD与△ADP相似时，求点P的坐标．23．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点C是上一点，AB＝13，AC＝5．（1）尺规作图：作出的中点D；（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接AD，求AD的长；（3）若点G为△ABC的内心，连接DG，求DG的长．24．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A在抛物线y＝x2+bx+c（b＞0）上，且A（1，﹣1）．（1）求b，c满足的关系式；（2）若该抛物线与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点C，抛物线的顶点为D，若直线BC分四边形OBDC 的面积的比为2：3，求二次函数的解析式；（3）将该抛物线平移，平移后的抛物线仍经过（1，﹣1），点A的对应点为A′（1﹣m，2b﹣1），当m≥﹣1时，求平移后抛物线的顶点所能达到的最高点的坐标．25．（14分）如图，在正方形ABCD中，点E为BC边上一点，以AE为直角边作等腰直角△AEF，EF交DC于点G，AF交DC于点H，连接EH．（1）求证：∠AHE＝∠AHD；（2）若tan∠HEG＝，求的值；（3）若正方形ABCD的边长为4，点E在运动过程中，△AEH的面积是否为定值？如果是，请求出定值；如果不是，请求出△AEH面积的最小值．。
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中考数学一模试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列无理数中，在-2与1之间的是（）A. -B. -C.D.2.下列图形中，属于中心对称图形的是（）A. B. C. D.3.下列运算正确的是（）A. （-x2）3=-x5B. xy2÷=2xy（y≠0）C. 2+3=5D. -6a6÷2a2=-3a44.如图，将一张含有30°角的三角形纸片的两个顶点放在直尺的两条对边上，若∠1=20°，则∠2的度数是（）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°5.小明和小华两同学某学期数学四次测试的平均成绩恰好都是87分，方差分别为S小明2=0.75，S小华2=2.37，则成绩最稳定的是（）A. 小明B. 小华C. 小明和小华D. 无法确定6.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图是（）A.B.C.D.7.当k＜0时，一次函数y=kx-k的图象不经过（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限8.若一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（）A. m≥1B. m≤1C. m＞1D. m＜19.如图，等腰直角△ABC的直角边长为1，正方形MNPQ的边长为2，C、M、A、N在同一条直线上，开始时点A与点M重合，让△ABC向右平移，当△ABC完全移出正方形MNPQ时停止，设三角形与正方形重合的面积为S，点A平移的距离为x，则S关于x的大致图象是（）A. B.C. D.10.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=2，点E是AB边上的动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为（）A. πB. πC. πD. π二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.分解因式：4ax2-9ay2=______．12.分式方程+=1的解为______．13.若扇形的面积为π，圆心角为60°，则该扇形的半径为______．14.抛物线y=ax2+bx+c过点A（-2，0），且a+b+c=0，则抛物线的对称轴是______．15.如图，第一角限内的点A在反比例函数的图象上，第四象限内的点B在反比例函数图象上，且OA⊥OB，∠OAB=60度，则k值为______．16.如图，将矩形ABCD点A逆时针方向旋转一定角度后，BC的对应边B1C1交CD边于点G，AB1=B1G时，AD=，CG=3，连接BB1，CC1，则=______．三、计算题（本大题共2小题，共20.0分）17.先化简，再求值：，其中a是满足不等式3a-1＞-4的最小整数解．18.为了解某中学学生课余生活情况，对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计．现从该校随机抽取n名学生作为样本，采用问卷调查的方法收集数据（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项）．并根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．由图中提供的信息，解答下列问题：（1）求n的值；（2）若该校学生共有1200人，试估计该校喜爱看电视的学生人数；（3）若调查到喜爱体育活动的4名学生中有3名男生和1名女生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，求恰好抽到2名男生的概率．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）19.解方程：2x2-4x-1=0（用配方法）20.如图，在矩形ABCD中，AD=AE（1）尺规作图：作DF⊥AE于点F；（保留作图痕迹，不写作法）（2）求证：AB=DF．21.如图在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以AO为半径的⊙O交AB于D，BD的垂直平分线交BD于F，交BC于E，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠B=30°，BC=，且AD：DF=1：2，求⊙O的直径．22.如图，双曲线y=（x＞0）经过△AOB的点顶A（2，3），AB∥x轴，OB交双曲线于点C，且OB=3OC（1）求k的值；（2）连接AC，求点C的坐标和△ABC的面积．23.如图，一般捕鱼船在A处发出求救信号，位于A处正西方向的B处有一艘救援艇决定前去数援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达．救援艇决定马上调整方向，先向北偏东60°方以每小时30海里的速度航行，同时捕鱼船向正北低速航行．30分钟后，捕鱼船到达距离A处1.5海里的D处，此时救援艇在C处测得D处在南偏东53°的方向上．（1）求C、D两点的距离；（2）捕鱼船继续低速向北航行，救援艇决定再次调整航向，沿CE方向前去救援，并且捕鱼船和救援艇同达时到E处，若两船航速不变，求∠ECD的正弦值．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈）24.如图1，抛物线C1：y=ax2+bx-2与直线l：y=-x-交于x轴上的一点A，和另一点B（3，n）（1）求抛物线C1的解析式；（2）点P是抛物线C1上的一个动点（点P在A，B两点之间，但不包括A，B两点）PM⊥AB于点M，PN∥y轴交AB于点N，求MN的最大值；（3）如图2，将抛物线C1绕顶点旋转180°后，再作适当平移得到抛物线C2，已知抛物线C2的顶点E在第一象限的抛物线C1上，且抛持线C2与抛物线C1交于点D，过点D作DF∥x轴交抛物线C2于点F，过点E作EG∥x轴交抛物线C1于点G，是否存在这样的抛物线C2，使得四边形DFEG为菱形？若存在，请求E点的横坐标；若不存在，请说明理由．25.如图1，在平面直角坐标系xOy中，⊙M与x轴交于A，B两点，与y轴于C，D两点，其中A（-4，0），B（1，0），C（0，2）．（1）求圆心M的坐标；（2）点P为上任意一点（不与A、D重合），连接PC，PD，作AE⊥DP的延长线于点E．当点P在上运动时，的值发生变化吗？若不变，求出这个值，若变化，请说明理由．（3）如图2，若点Q为直线y=-1上一个动点，连接QC，QO，当sin∠OQC的值最大时，求点Q的坐标．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A.，不成立；B．-2，成立；C.，不成立；D.，不成立，故选：B．根据无理数的定义进行估算解答即可．此题主要考查了实数的大小的比较，解答此题要明确，无理数是不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．2.【答案】B【解析】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：B．根据中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3.【答案】D【解析】解：A、（-x2）3=-x6，故此选项错误；B、xy2÷=2xy3（y≠0），故此选项错误；C、2+3，无法计算，故此选项错误；D、-6a6÷2a2=-3a4，故此选项正确．故选：D．直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘除运算、二次根式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．4.【答案】C【解析】解：如图，∵AB∥CD，∴∠3=∠2，∵∠3=∠1+30°，∠1=20°，∴∠2=∠3=50°，故选：C．利用平行线的性质，三角形的外角的性质解决问题即可．本题考查平行线的性质，三角形的外角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5.【答案】A【解析】解：∵0.75＜2.37，∴S小明2＜S小华2，∴成绩最稳定的是小明，故选：A．根据方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立解答．本题考查的是方差的性质，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．6.【答案】B【解析】解：主视图和左视图均为等腰三角形，底面为圆，所以该几何体为圆锥，∵圆锥的侧面展开图是扇形，底面是圆，∴B符合，故选：B．首先根据三视图确定该几何体的形状，然后确定其展开图即可．本题考查了由三视图判断几何体及几何体的展开图的知识，解题的关键是能够确定该几何体的形状，难度不大．7.【答案】C【解析】解：∵k＜0，∴-k＞0，∴一次函数y=kx-k的图象经过第一、二、四象限．故选：C．由k＜0可得出-k＞0，结合一次函数图象与系数的关系即可得出一次函数y=kx-k的图象经过第一、二、四象限，此题得解．本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限”是解题的关键．8.【答案】D【解析】解：∵方程x2-2x+m=0有两个不相同的实数根，∴=（-2）2-4m＞0，解得：m＜1．故选：D．根据方程的系数结合根的判别式＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．本题考查了根的判别式，牢记“当＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．9.【答案】C【解析】解：当0＜x＜a时，S=，此时为抛物线，排除B，D．当a≤x≤b时，S=为常数，故选：C．根据三角形在移动过程中，重合面积和x之间的关系建立分段函数，利用分段函数确定函数的图象即可本题考查了动点问题的函数图象，此类题目的图象往往是几个函数的组合体．10.【答案】B【解析】解：∵∠CFB=90°，∴点F的运动轨迹是以BC为直径的圆弧，如图，当点E在点A处时，点F在点M处，当点E在点B处时，点F在点B处，故点F的运动轨迹是以BC为直径的圆弧BM取BC的中点O，连接OM．∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，∴∠BCM=60°，∴∠BOM=120°(同弧所对圆周角等于圆心角的一半)，∵OM=OC=OB=1，∴的长==π．故选：B．因为∠CFB=90°，推出点F的运动轨迹是以BC为直径的圆弧BM，求出圆心角∠BOM即可解决问题；本题考查轨迹、菱形的性质、弧长公式、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会准确寻找点的运动轨迹，所以中考常考题型．11.【答案】a（2x+3y）（2x-3y）【解析】解：原式=a（4x2-9y2）=a（2x+3y）（2x-3y），故答案为：a（2x+3y）（2x-3y）原式提取a，再利用平方差公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12.【答案】x=1【解析】【分析】本题考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根，根据解分式方程的步骤，即可解答．【解答】解：方程两边都乘以x-2，得：3-2x-2=x-2，解得：x=1，检验：当x=1时，x-2=1-2=-1≠0，所以分式方程的解为x=1，故答案为：x=1．13.【答案】【解析】解：设扇形的半径为r，由题意：π=，∴r=（负根已经舍弃），故答案为．利用扇形的面积公式构建方程即可解决问题．本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积公式．14.【答案】x=-【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c中a+b+c=0，∴该抛物线必过点B（1，0），∵点A（-2，0），B（1，0）, 纵坐标都是0，∴此抛物线的对称轴是直线x==-．故答案为：直线x=-；根据点A、B的纵坐标相等，利用二次函数的对称性列式计算即可得解．本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称，关键在于观察出点A、B的纵坐标相同．15.【答案】-6【解析】解：作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D，如图，设A（a，），B（b，），∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠DOB=90°，而∠AOC+∠OAC=90°，∴∠OAC=∠DOB，∴Rt△OAC∽Rt△BOD，∴==，∵在Rt△AOB中，tan∠OAB=tan60°==，∴==，即==，∴ab=2，∴k=-ab=-×2=-6．故答案为-6．作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D，如图，根据反比例函数图象上点的坐标特征，设A（a，），B（b，），再证明Rt△OAC∽Rt△BOD，根据相似的性质得==，而在Rt△AOB 中，根据正切的定义得到tan∠OAB==，即==，然后利用比例性质先求出ab的值再计算k的值．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了相似三角形的判定与性质．16.【答案】【解析】解：连接AC，AG，AC1，如图所示：由旋转可得，AB=AB1，AC=AC1，∠BAB1=∠CAC1，∴=，∴△ABB1∽△ACC1，∴=，∵AB1=B1G，∠AB1G=∠ABC=90°，∴△AB1G是等腰直角三角形，∴AG=AB1，设AB=AB1=x，则AG=x，DG=x-3，∵Rt△ADG中，AD2+DG2=AG2，∴（）2+（x-3）2=（x）2，解得：x1=4，x2=-10（舍去），∴AB=4，∴Rt△ABC中，AC===，∴==，故答案为：．连接AC，AG，AC1，由旋转可得，AB=AB1，AC=AC1，∠BAB1=∠CAC1，证明△ABB1∽△ACC1，得出=，证明△AB1G是等腰直角三角形，得出AG=AB1，设AB=AB1=x，则AG=x，DG=x-3，在Rt△ADG中，由勾股定理得出方程，解方程得出AB=4，在Rt△ABC中，AC==，即可得出答案．本题考查了翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形相似是解题的关键．17.【答案】解：A=•=，由3a-1＞-4，解得：a＞-1，即a=2（a=0与a=1原式没有意义），则原式=1．【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出不等式的最小整数解，代入计算即可求出值．此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18.【答案】解：（1）n=5÷10%=50；（2）样本中喜爱看电视的人数为50-15-20-5=10（人），1200×=240，所以估计该校喜爱看电视的学生人数为240人；（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到2名男生的结果数为6，所以恰好抽到2名男生的概率==．【解析】（1）用喜爱社会实践的人数除以它所占的百分比得到n的值；（2）先计算出样本中喜爱看电视的人数，然后用1200乘以样本中喜爱看电视人数所占的百分比可估计该校喜爱看电视的学生人数；（3）画树状图展示12种等可能的结果数，再找出恰好抽到2名男生的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．19.【答案】解：2x2-4x-1=0x2-2x-=0x2-2x+1=+1（x-1）2=∴x1=1+，x2=1-．【解析】解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．然后利用直接开平方法即可求解．用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．20.【答案】（1）解：如图，F点为所作；（2）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∠B=90°，∴∠DAE=∠AEB，∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°，在△ABE和△DFA中，∴△ABE≌△DFA（AAS），∴AB=DF．【解析】（1）利用基本作图作DF⊥AE于F点即可；（2）证明△ABE≌△DFA即可．本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了矩形的性质．21.【答案】解：（1）如图，连接OD，∵OD=OA，∴∠A=∠ODA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠B=∠EDB，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∴∠ODE=180°-90°=90°，∴直线DE与⊙O相切；（2）如图，∵∠B=30°，BC=，∴AC=4，AB=8，∵EF垂直平分BD，∴DF=BF，BE=DE，又∵AD：DF=1：2，∴BF=AB=，∴AD=8-=，又∵AO=OD，∠A=90°-∠B=60°，∴△AOD是等边三角形，∴AO=AD=，∴⊙O的直径为．【解析】（1）直线DE与圆O相切，理由如下：连接OD，由OD=OA，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到∠ODE为直角，即可得证；（2）利用∠B=30°，BC=，且AD：DF=1：2，求得AD的长，再根据△AOD是等边三角形，可得AO=AD=，进而得到⊙O的直径为．此题考查了直线与圆的位置关系，以及线段垂直平分线定理，熟练掌握直线与圆相切的性质是解本题的关键．22.【答案】解：（1）把A（2，3）代入y=得：k=2×3=6，答：k的值为：6．（2）过点A、C、B分别作AF⊥x轴，CD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为F、D、E，∵A（2，3），∴OF=2，AF=3，由△OCD∽△OBE得：，∴CD=1，把y=1代入y=得：x=6，∴C（6，1），∴OE=18，∴S△OAB=S梯形OABE-S△OBE=（18+16）×3-×18×3=24，∵OB=3OC，∴S△ABC=S△AOB==16．答：点C的坐标为（6，1），△ABC的面积为16．【解析】（1）把点A的坐标代入可直接求出k的值；（2）通过作垂线，将坐标、线段的比、相似三角形联系起来，根据OB=3OC，可求出CD，即点C的纵坐标，再代入求横坐标即可，最后将OB=3OC，转化为三角形的面积比，从而解决问题．考查反比例函数的图象和性质、相似三角形的性质和判定以及三角形梯形的面积公式等知识，恰当的转化是解决问题的关键，同时注意将点的坐标与相应的线段的长联系起来．23.【答案】解：（1）过点C、D分别作CG⊥AB，DF⊥CG，垂足分别为G，F，∵在Rt△CGB中，∠CBG=90°-60°=30°，∴CG=BC=×（30×）=7.5海里，∵∠DAG=90°，∴四边形ADFG是矩形，∴GF=AD=1.5海里，∴CF=CG-GF=7.5-1.5=6海里，在Rt△CDF中，∠CFD=90°，∵∠DCF=53°，∴cos∠DCF=，∴CD===10（海里）．答：CD两点的距离是10海里；（2）如图，设渔船调整方向后t小时能与捕渔船相会合，由题意知CE=30t，DE=1.5×2×t=3t，∠EDC=53°，过点E作EH⊥CD于点H，则∠EHD=∠CHE=90°，∴sin∠EDH=，∴EH=ED sin53°=3t×0.8=2.4t，∴在Rt△EHC中，sin∠ECD===0.08．答：sin∠ECD的正弦值是0.08．【解析】（1）过点C、D分别作CG⊥AB，DF⊥CG，垂足分别为G，F，根据直角三角形的性质得出CG，再根据三角函数的定义即可得出CD的长；（2）如图，设渔政船调整方向后t小时能与捕渔船相会合，由题意知CE=30t，DE=1.5×2×t=3t，∠EDC=53°，过点E作EH⊥CD于点H，根据三角函数表示出EH，在Rt△EHC中，根据正弦的定义求值即可．考查了解直角三角形的应用-方向角问题，此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．24.【答案】解：（1）直线l：y=-x-交x轴于点A∴-x-=0，解得：x=-1∴A（-1，0）∵点B（3，n）在直线l上∴n=-×3-=-2∴B（3，-2）∵抛物线C1：y=ax2+bx-2经过点A、B∴解得：∴抛物线C1的解析式为y=x2-x-2（2）如图1，延长PN交x轴于点H∴∠AHN=90°设P（m，m2-m-2）（-1＜m＜3）∵PN∥y轴∴x N=x H=x P=m∴N（m，-m-），AH=m+1，∴NH=-（-m-）=m+，PN=-m--（m2-m-2）=-m2+m+∵Rt△AHN中，tan∠NAH=∴sin∠NAH==∵PM⊥AB于点M∴∠AHN=∠PMN=90°∵∠ANH=∠PNM∴∠NAH=∠NPM∴Rt△PMN中，sin∠NPM=∴MN=PN=（-m2+m+）=-（m-1）2+∴MN的最大值为（3）存在满足条件的抛物线C2，使得四边形DFEG为菱形如图2，连接DE，过点E作EQ⊥DF于点Q∵y=x2-x-2=（x-）2-∴抛物线C1顶点为（，-）设E（e，e2-e-2）（e＞4）∴抛物线C2顶点式为y=-（x-e）2+e2-e-2当-（x-e）2+e2-e-2=x2-x-2解得：x1=e，x2=∴两抛物线另一交点D（，-）为抛物线C1顶点∵EG∥x轴，DF∥x轴∴EG=DF=2DQ=2（e-）=2e-3，EQ=e2-e-2+=e2-e+∴四边形DFEG是平行四边形若▱DFEG为菱形，则DG=DF∵由抛物线对称性可得：DG=DE=EF∴DE=EF=DF∴△DEF是等边三角形∴=tan∠EDQ=∴e2-e+=（e-）解得：e1=（舍去），e2=2+∴E点的横坐标为（2）时，四边形DFEG为菱形．【解析】（1）求直线l与x轴交点A坐标、B坐标，用待定系数法求抛物线C1的解析式．（2）延长PN交x轴于点H，设点P横坐标为m，由PN∥y轴可得点N、H横坐标也为m，即能用m表示PN、NH、AH的长．由∠AHN=∠PMN=90°及对顶角∠ANH=∠PNM可得∠NAH=∠NPM．发现在Rt△PMN中，MN与PN比值即为sin∠NPM，故先在Rt△ANH 中求sin∠NAH的值，再代入MN=PN•sin∠NPM，即得到MN与m的函数关系式，配方即求得MN最大值．（3）设点E（e，e2-e-2），所以可设抛物线C2顶点式为y=-（x-e）2+e2-e-2．令两抛物线解析式y=0列得关于x的方程，解得两抛物线的另一交点D即为抛物线C1的顶点，故DG=DE=EF，且求得DF平行且等于GE，即四边形DFEG首先一定是平行四边形．由▱DFEG为菱形可得DF=DG，故此时△DEF为等边三角形．利用特殊三角函数值作为等量关系列方程，即求得e的值．本题考查了二次函数的图象与性质，三角函数的应用，求二次函数最值，二元一次方程组和一元二次方程的解法，菱形的判定和性质．第（3）题问是否存在满足条件的点E，使四边形DFEG为菱形，需要先证明它一定是平行四边形，才有可能存在．25.【答案】解：（1）∵A（-4，0），B（1，0），MA=MB，∴M（-1.5，0）．（2）结论：的值不变．理由：如图1中，连接AC，BC，BD，PA，PB，作AH⊥PC于H，在PC上截取一点K，使得PK=PD，连接BK．∵AB⊥CD，AB是直径，∴OC=OD，=，∴∠BPD=∠BPK，∵PK=PD，PB=PB，∴△PBD≌△PBK（SAS），∴BD=BK=BC，以B为圆心，BC为半径作⊙B，∵AB是⊙M的直径，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∴AC是⊙B的切线，∴∠ACH=∠CDK，∵∠AHC=∠AOC=90°，∴A，H，O，C四点共圆，∴∠ACH=∠AOH，∠OAH=∠KCD，∴∠AOH=∠CDK，∵A（-4，0），C（0，2），∴OA=4，OC=OD=2，∴OA=CD=4，∴△AOH≌△CDK（ASA），∴AH=CK，∴PC-PD=PC-PK=CK=HA，∵∠APE+∠APD=180°，∠APD+∠ABD=180°，∴∠APE=∠ABD，∵AB⊥CD，∴=，∴∠ABD=∠APC，∴∠APE=∠APC，∵AE⊥PE，AH⊥PC，∴AH=AE，∴=1．（3）如图2中，作线段OC的垂直平分线GF交OC于G，以N为圆心，NC为半径作⊙N，当⊙N与直线y=-1相切于点Q时，∠CQO的值最大，此时sin∠CQO的值最大．∵∠NQH=∠QHG=∠NGH=90°，∴四边形NQHG是矩形，∴NQ=HG=NC=2，在Rt△NCG中，NG=QH==，∴Q（-，-1）．根据对称性可知，当Q（，-1）时，也满足条件．综上所述．满足条件的点Q坐标为（-，-1）或（，-1）．【解析】（1）利用中点坐标公式计算即可．（2）结论：的值不变．如图1中，连接AC，BC，BD，PA，PB，作AH⊥PC于H，在PC上截取一点K，使得PK=PD，连接BK．想办法证明CK=AH，AE=AH即可解决问题．（3）如图2中，作线段OC的垂直平分线GF交OC于G，以N为圆心，NC为半径作⊙N，当⊙N与直线y=-1相切于点Q时，∠CQO的值最大，此时sin∠CQO的值最大．求出HQ的长即可解决问题．本题属于圆综合题，考查了垂径定理，切线的判定和性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．。