韦达定理与一元二次不等式(教学设计)
一元二次不等式教案5篇
一元二次不等式教案一元二次不等式教案5篇作为一名优秀的教育工作者，总不可避免地需要编写教案，借助教案可以更好地组织教学活动。
那么教案应该怎么写才合适呢？以下是小编整理的一元二次不等式教案，仅供参考，希望能够帮助到大家。
一元二次不等式教案1教学内容3.2一元二次不等式及其解法三维目标一、知识与技能1.巩固一元二次不等式的解法和解法与二次函数的关系、一元二次不等式解法的步骤、解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系；2.能熟练地将分式不等式转化为整式不等式(组)，正确地求出分式不等式的解集；3.会用列表法,进一步用数轴标根法求解分式及高次不等式；4.会利用一元二次不等式，对给定的与一元二次不等式有关的问题，尝试用一元二次不等式解法与二次函数的有关知识解题.二、过程与方法1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析得出结论的方法进行启发式教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性教学；3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.三、情感态度与价值观1.进一步提高学生的运算能力和思维能力；2.培养学生分析问题和解决问题的能力；3.强化学生应用转化的数学思想和分类讨论的数学思想.教学重点1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.教学难点1.深入理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.教学方法启发、探究式教学教学过程复习引入师：上一节课我们通过具体的问题情景，体会到现实世界存在大量的不等量关系，并且研究了用不等式或不等式组来表示实际问题中的不等关系。
回顾下等比数列的性质。
生：略师：某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两种ISP公司可供选择，公司A每小时收费1.5元（不足1小时按1小时计算），公司B的收费原则是第1小时内（含恰好1小时，下同）收费1.7元，第2小时内收费1.6元以后每小时减少0.1元（若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算）那么，一次上网在多少时间以内能够保证选择公司A的上网费用小于等于选择公司B所需费用。
问题探究促发现，深度学习促素养——一节“一元二次不等式”习题研究课教学实录与反思
案例反思问题探究促发现，深度学习促素养———一节“一元二次不等式”习题研究课教学实录与反思文|杨建新一元二次不等式是高考数学中的重要知识点，我们有必要加强对其难点的突破，以巩固基础知识并提高对所学数学知识和方法的灵活运用能力。
一、课程导入，创设教学情境（温故知新）师：同学们，我们刚刚学习了“一元一次不等式”，今天，我们尝试将所学的知识应用到具体的例题中。
借助PPT，让学生回顾所学内容。
师：同学们，我们要如何求解一元二次不等式？对于学生来说这道题非常简单，因而学生会争先恐后地举手回答。
生1：通过移项，可以得到x2>1，故x>1或者是x<-1。
师：同学们，你们说这位同学的回答正确吗？生2：正确。
因为将其因式分解可得（x-1）（x+1）> 0，因此可以得到方程组x-1>0x+1>0{或x-1<0x+1<0{最终可以得到x>1或者是x<-1。
师：因式分解可以将二次式转化为两个一次式的乘积，通过实施降次的操作，将高次项变成低次项，使得问题更加熟悉和易于处理。
根据实数乘法的符号法则，我们可以将一元二次不等式转化为两个一元一次不等式组。
这种代数方法不仅有助于解决一元二次不等式，还为解决更复杂的高次不等式问题奠定了基础。
（设计意图：通过启发和引导，帮助学生从函数的视角理解和处理一元二次不等式。
）在教学中，我们应以批判的眼光审视教材，并以开阔的视野来分析教材。
在温故阶段，教师需要综合思考与学生的认知能力、生活经验、学科思维特点和技能相适应的要求，以确保学生能够通过自身经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程。
因此，在教学设计中，我们可以通过情境引入环节提出以下问题：习题1：一家粮食加工厂引进一条生产线，该生产线的大米产量为x吨。
由于设备成本、人工费用和运输方式等因素的不同，每吨大米的收益与产量之间存在以下关系：x（吨）829111y（万元）15324488师：同学们，如果你是这家粮食加工厂的管理人员，你如何保障大米产量在可盈利的范围内？（设计意图：培养学生的数据分析能力和数学抽象能力以及对该知识进行探究的兴趣。
4.2一元二次不等式及其解法第1课时教案-高一上学期数学北师大版
4.2一元二次不等式及其解法第1课时1．正确理解一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系，掌握一二次不等式的解法；2．通过看图象找解集，培养学生“从形到数”的转化能力和从“特殊到一般”的归纳能力；重点：1．一元二次不等式及一元二次不等式解集的概念；2．一元二次方程、一元二次函数与一元二次不等式的内在联系； 3．运用函数、方程以及一元二次函数的图象求解一元二次不等式的解集． 难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集之间的关系．PPT 课件．一、问题引入问题1：汽车在行驶过程中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，一 般称这段距离为“刹车距”.刹车距s (单位：m )与车速弑单位：h km /)之间具有确定的函数关系，不同车型的刹车距函数不同.它是分析交通事故的一个重要依据.甲、乙两辆汽车相向而行，由于突发情况，两车相撞.交警在现场测得甲车的刹车距接近 但未超过m 12，乙车的刹车距刚刚超过m 10.已知这两辆汽车的刹车距函数如下：x x s 1.001.02+=甲．x x s 05.0005.02+=乙．车速超过h km /40属违章.试问：哪一辆车违章超速行驶？师生活动：学生独立思考，把实际问题中的数量关系用数学模型表示出来．预设的答案：只需分别解出使不等式121.001.02≤+x x 和1005.0005.02>+x x 成立的x 的取值范围，再确认两车的行驶速度，就可以判断哪一辆车违章超速行驶.追问1：不等式1005.0005.02>+x x 即01005.0005.02>-+x x ，与我们学习过的一元一次不等式有什么不同？你能再举出一些类似的不等式吗？师生活动：学生可以回答这个问题．之后教师给出一元二次不等式的定义，一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫作一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式：2200ax bx c ax bx c ++>++<或，并且强调二次项的系数0≠a ．一元二次不等式形如20(0)ax bx c a ++>≠，其中“>”也可换成“≥”“<”“≤”，使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集．设计意图：通过具体问题抽象出一元二次不等式的过程，明确一元二次不等式的定义和一般形式，体会一元二次不等式的现实意义．二、探究新知1．探究一元二次不等式的解法问题2：在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法．那么这三个“一次”之间的关系是什么？师生活动：教师引导学生回答问题，并强调从代数和几何两方面的理解，注意数形结合的思想．师生共同总结如下：设计意图：通过对三个“一次”的关系的总结，帮学生梳理函数和相应的方程、不等式之间的关系，为下面的探索做好铺垫．问题3：类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？以函数223y x x =--为例．师生活动：学生类比研究，应该有一部分学生可以获得思路．教师设计追问，引导学生思考．追问2：教师用信息技术画出函数223y x x =--的图象，图象与x 轴有两个交点，并在函数图象上任取一点()y x p ,．当点p 在抛物线上移动时，请你观察：随着点p 的移动，它的纵坐标的符号怎样变化？★资源名称： 【数学探究】二次函数与一元二次方程、不等式的关系★使用说明：本资源动态展示了二次函数的零点与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之间的关系，使用时可通过滑动条改变二次函数中的系数，直观观察三者之间的关系．)0(02>=++=a c bx ax y 的图象)0(02>=++a c bx ax 的根)0(02>>++a c bx ax 的解集)0(02><++a c bx ax 的解集师生活动：学生思考并对上述方法进行了归纳、概括，获得求解一般一元二次不等式的解法．预设的答案：求解一元二次不等式的关键是利用二次函数的图象与x 轴的相关位置确定不等式对应的x 的取值范围，而确定x 的取值范围需要先求出相应一元二次方程的根．这种关系体现在下表中．Δ＞0Δ＝0Δ＜0)0(02>=++=a c bx ax y 的图象)0(02>=++a c bx ax 的根有两个不相等的实数根21,x x ()21x x <有两个相等的实数根abx x 221-==没有实数根)0(02>>++a c bx ax 的解集{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R)0(02><++a c bx ax 的解集{}21x x xx <<∅∅设计意图：通过问题引导学生从具体的“三个二次”的关系，归纳、概括、获得一般的一元二次不等式的解法．在这个过程中培养学生数学抽象概括的能力，以及从具体到抽象，从特殊到一般的研究问题的基本方法．并体会数形结合和函数思想的应用．教师总结：(1)解一元二次不等式的口诀：先看开口再看根． 函数图象是根本． 横轴上方y 为正． 根间根外想谨慎．(2)一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>的解法思路： 三、初步应用例2.求不等式29610x x -+>的解集.预设的答案：函数2961y x x =-+，抛物线开口向上，对应二次方程有两个相等实根1213x x ==，所以不等式29610x x -+>的解集为{1|3x x ⎫≠⎬⎭；例3.求不等式23520x x +->的解集. 预设的答案：解法1：对应抛物线开口向上，方程有两个实根1212,3x x =-=大于零解集是“两根之外”，所以不等式解集为{1|23x x x ⎫<->⎬⎭或. 解法2：由2352(2)(31)x x x x +-=+-，即()()2310x x +->由“同号得正，异号得负”，得20310x x +>⎧⎨->⎩或20310x x +<⎧⎨-<⎩，解得123x x <->或所以不等式解集为{1|23x x x ⎫<->⎬⎭或.追问5：二次项系数是负数（即0<a )的不等式，如何求解？ 预设的答案：先把二次项系数化成正数，再求解．师生活动：学生总结，教师完善．师生总结解一元二次不等式的一般步骤是：（1）先把二次项系数化为正数；（2）求判别式的值；（3）求相应方程的实数根；（4）结合函数图象写出一元二次不等式的解集．设计意图：这三道例题对应的两个二次函数的图象分别与x 轴有一个交点、两个交点，再次巩固了利用二次函数解二次不等式的方法．并要注重代数问题的求解程序的提炼总结，以便学生有序地思考，规范地求解，提升学生的数学运算素养．注重数形结合思想方法的应图235用，培养学生思维的严谨性．【课堂练习一】已知一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为{}53><x x x 或-，则02<+-c bx ax 的解集为________．追问6：如何利用“三个二次”的关系求解？能大致画出不等式对应的函数的草图吗？ 师生活动：学生先独立思考，画出函数的草图，从而可以确定a 0<．并利用方程的根与函数零点的关系，及韦达定理求出c b a ,,之间的关系（而不是具体的值），再化简求值．预设的答案：解：根据题意可知a 0<．令)0(02≠=++a c bx ax ．由根与系数的关系得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=,53,53-ac a b解得⎩⎨⎧-=-=.15,2a c a b 代入所求不等式得01522<-+a ax ax ．①又∵0<a ，∴①化为01522>-+x x ．对于方程015-22=+x x ，因为∆＞0，所以它有两个实数根，解得3,-521==x x ，画出二次函数15-22x x y +=的图象（图2－3－5），结合图象得不等式015-22>+x x 的解集为}{53-<>x x x ，或设计意图：进一步理解三个“二次”之间的关系，在较复杂的情境中应用新知识，提高学生分析问题的能力．【课堂练习一】1．求下列不等式的解集： （1）2830x x -+->； （2）1021x x -≤+师生活动：学生独立完成，学生代表在黑板板书解答过程，教师根据步骤重点讲解易错细节.预设的答案：（1）{|44x x <<+；（2）1,12⎛⎤-⎥⎝⎦. （1）因为284(1)(3)520∆=-⨯-⨯-=>．所以方程2830x x -+-=有两个不相等的实根14x =24x =又二次函数283y x x =-+-的图象开口向下．所以原不等式的解集为{|44x x -<<+.（2）方法一：1021x x -≤+等价于10210x x -≤⎧⎨+>⎩①或10210x x -≥⎧⎨+<⎩ ② 解①得112x -<≤，解②得x ∈∅． 所以原不等式的解集为1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦.方法二：不等式1021x x -≤+⇔(1)(21)0,210,x x x -+≤⎧⎨+≠⎩所以由二次不等式知11,21,2x x ⎧-≤≤⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩所以112x -<≤.所以原不等式的解集为1,12⎛⎤-⎥⎝⎦. 设计意图：帮助学生巩固利用“三个二次”之间的关系来解不等式. 【课堂练习二】2．已知关于x 的一元二次方程0222=++-a ax x ，当a 为何值时，该方程： （1）有两个不同的正根；（2）有不同的两根且两根在()3,1内.师生活动：教师引导学生分析题意，挖掘隐藏的不等式，学生完成作答. 预设的答案：（1）(2,)+∞；（2）11(2,)5解：（1）由题意，关于x 的一元二次方程2220x ax a -++=有两个不同的正根时，满足2121244(2)02020a a x x a x x a ⎧∆=-+>⎪+=>⎨⎪⋅=+>⎩，得2a >，所以a 的范围为(2,)+∞. （2）令2()22f x x ax a =-++，则当21344(2)0(1)30(3)1150a a a f a f a <<⎧⎪∆=-+>⎪⎨=->⎪⎪=->⎩时．即1125<<a 时，方程2220x ax a -++=有不同的两根且两根在(1,3)内.设计意图：利用一元二次函数图象总结一元二次方程根的分布. 四、归纳小结，布置作业问题4：这节课我们学习了解一元二次不等式，那么我们是如何去研究一元二次不等式解的过程的？在这个过程中体现了哪些数学方法和思想？师生活动：师生共同总结，教师强调关键点是从具体的实际问题入手，利用函数、方程与不等式的关系，结合相应的二次函数图象，求一元二次不等式的解集．其中体现了数形结3．若220ax bx ++>的充要条件是1123xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣，则a b +的值为___________. 设计意图：考查学生由一元二次不等式求解参数值．4.已知{}22|320,0A x x ax a a =-+>>，{}2|60B x x x =--≥，若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围_______.所以ax 2+bx +2=0的两根为－12和3，且a <0. 所以112321123ba a⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩，且a <0．解得a =－12，b =－2. ∴ a +b =－14. 4.3(0,)2由题意，{|A x x a =<或2x a >，0}a >，{|2B x x =≤-或3}x ≥．∵x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，即B A ≠⊂. ∴2230a a a >-⎧⎪<⎨⎪>⎩，解得302a <<．。
一元二次函数方程和不等式教学设计
一元二次函数、方程和不等式（衔接课）一、教学设计1.教学内容解析在现行人民教育出版社A版高中数学教材中，“一元二次不等式的解法”这一部分内容安排在《必修5》的第三章第二节，学生高二时才学习，导致高一学生在学习《必修1》的“集合”、“函数”等内容时，有一定的障碍，达不到一定的深度，初高中数学内容衔接不连贯，对于这一部分内容，老师普遍认为应调整到《必修1》之前，或是安排在《必修1》的“集合”之后，“函数”之前比较好.本节课的产生正是基于以上原因，但它并不是一节“一元二次不等式的解法”的新知课，也不是一节复习课，而是一节衔接课，以一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式（后面称三个“二次”）三者之间的关系及其应用为核心内容，特别是用函数的观点来处理方程与不等式问题，引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，为高中数学课程的学习作学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡.三个“二次”是初中三个“一次”（一元一次函数、一元一次方程与一元一次不等式）在知识上的延伸和发展，它是函数、方程、不等式问题的基础和核心，在高中数学中，许多问题的解决都会直接或间接用到三个“二次”.如，解析几何中解决直线与二次曲线位置关系问题，导数中导函数为二次函数时的许多问题等，同时，此部分内容又是培养函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想以及等价转化思想的极好素材，本节课的地位和作用主要体现在它的基础性和工具性方面.根据以上分析，本节课的教学重点确定为教学重点：一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系及应用.2.学生学情诊断本节课的授课对象为华中师大一附中高一平行班学生，华中师大一附中是湖北省示范高中，学生基础很好，一般而言，学生已经掌握了一次函数、二次函数的图象与性质，简单的一元二次不等式的解法，能利用函数图象解决简单的方程和不等式问题. 但是，当所研究的问题中含有参数或者综合性较强、或者运算较复杂的时候，学生往往不能正确理解题意，不能准确地利用三个“二次”之间的内在联系进行合理转化，不善于分类讨论，不善于归纳总结，对函数、方程、不等式的处理方法不够完整，没有形成基本的规律.教学难点：含参数的二次方程、不等式，如何利用三个“二次”之间的关系进行等价转化处理，为今后处理其它类型的函数、方程、不等式问题提供范式.3.教学目标设置(1)理解一元二次函数、一元二次方程及一元二次不等式三者之间的关系；(2)能够用二次函数的观点处理二次方程和二次不等式问题，感悟函数的重要性以及数学知识之间的关联性；(3)引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，能够在本主题的学习中，逐步提升数学抽象、逻辑推理、几何直观和数学运算等核心素养.4.教学策略分析本课作为初高中内容和方法上的“衔接课”，有其重要特点：一不能靠单纯的复习；二不宜上成新课；三，必须展示基本的套路，而又不可能一次到位；四，需要立足于函数、圆锥曲线等核心概念必然联系的高度，着眼于继续学习，而又必须遵循数学的自然顺序，避免后继内容的前移。
3 一元二次方程与韦达定理(学生版)
新高一暑假数学讲义 “一元二次方程与韦达定理” 学生姓名授课日期 教师姓名授课时长 知识定位 本讲内容：韦达定理、韦达定理的综合运用掌握目标：掌握韦达定理的基本内容，会运用韦达定理求解一元二次方程根相关的问题，对判断根的符号以及大小能够熟练掌握。
考试分析：韦达定理是一元二次方程最重要的一个定理，也是高中数学里二次不等式与解析几何里经常使用到的一个内容，虽然考试不会直接考察，但是作为重要的基础知识还是务必要掌握的。
知识梳理知识梳理1. 根与系数的关系----韦达定理1. 一元二次方程 02=++c bx ax （0≠a ）的韦达定理：ab x x -=+21 ， ac x x =21 注意 0<∆时韦达定理仍然成立，但此时方程无实根.2. 韦达定理原理：对于任意方程02=++c bx ax （0≠a ）都可以转化为()()021=--x x x x a 的形式，展开后可得 ()021212=++-x ax x x x a ax 让对应系数相等即得到韦达定理。
类似地，可以得到一元三次方程023=+++d cx bx ax 的韦达定理：a b x x x -=++321 ，a c x x x x x x =++133221 ，ad x x x -=321知识梳理2. 韦达定理综合运用1. 判断根的大致情况（假设0≥∆）方程有2个正根，等价于⎩⎨⎧>>+002121x x x x方程有一正根有一负根，等价于 021<x x 此时21x x +正负用于判断1x 和2x 的大小 2. 的范围求一元二次方程的系数或系数的范围 常用的韦达定理变式： ()()aac b a c a b x x x x x x x x 4442222122122121-=⋅-=-+=-=-a ∆= 3. 一元二次方程a b x x -=+21 ac x x =21 ()021212=++-∴x x x x x x例题精讲【试题来源】【题目】若12+=m m ，012=--n n ，n m ≠，求33n m +【试题来源】【题目】实数y x ,,z 满足 6=+y x ，92-=xy z ，求证：y x =【试题来源】【题目】方程 01)23(422=-++-n x n x 的根是另一个根的3倍，整数=n ____【试题来源】【题目】已知关于x 的方程012)14(2=-+++m x m x ，若方程的两根为21,x x ，且满足211121-=+x x ，求m【试题来源】【题目】设21,x x 是一元二次方程01522=+-x x 的两个根，求()()222111+++x x 的值【试题来源】【题目】设一元二次方程0622=-++a ax x 的根分别满足下列条件，求相应的实数a 的范围（1）二根均大于1；（2）一根大于1，另一根小于1.【试题来源】【题目】已知关于x 的方程08)3(2=++--m x m x 的两个实根的平方和等于13，求m 的值及方程的两根。
中职数学教案：一元二次不等式(全3课时)
中等专业学校2023-2024-1教案编号：备课组别数学组课程名称数学所在年级一年级主备教师授课教师授课系部授课班级授课日期课题§2.3一元二次不等式教学目标1.了解方程、不等式、函数的图像之间的联系；2. 掌握一元二次不等式的图像解法．重点方程、不等式、函数的图像之间的联系难点一元二次不等式的解法教法引导探究，讲练结合教学设备多媒体一体机教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容一回顾思考复习导入问题一次函数的图像、一元一次方程与一元一次不等式之间存在着哪些联系？解决观察函数26y x=-的图像：方程260x-=的解3x=恰好是函数图像与x轴交点的横坐标；在x轴上方的函数图像所对应的自变量x 的取值范围，恰好是不等式260x->的解集{|3}x x>；在x轴下方的函数图像所对应的自变量x的取值范围，恰好是不等式260x-<的解集{|3}x x<．()0或()0(a≠感受新知二次函数的图像、一元二次方程与一元二次不等式之间存在着哪些联系？中等专业学校2023-2024-1教案编号：备课组别数学组课程名称数学所在年级一年级主备教师授课教师授课系部授课班级授课日期课题§2.3一元二次不等式教学目标1.了解方程、不等式、函数的图像之间的联系2. 掌握一元二次不等式的图像解法．重点方程、不等式、函数的图像之间的联系难点一元二次不等式的解法．教法引导探究，讲练结合教学设备多媒体一体机教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容一、动脑思考探索新知解法利用一元二次函数2y ax bx c=++()0a>的图像可以解不等式20ax bx c++>或20ax bx c++<．（1）当240b ac∆=->时，方程20ax bx c++=有两个不相等的实数解1x和2x12()x x<，一元二次函数2y ax bx c=++的图像与x轴有两个交点1(,0)x，2(,0)x (如图（1）所示)．此时，不等式20ax bx c++<的解集是()12,x x，不等式20a x bx c++>的解集是12(,)(,)x x-∞+∞；（1）（2）（3）0(,)x +∞24b ac ∆=-一元二次函数y ax =）所示）．此时，不等式2(,)x +∞0(,)x +∞0([)2,x +∞R 0< 12,)x∅]2,x }0x224,b ac x -． 例题讲解解下列各一元二次不等式：0． 首先判定二次项系数是否为正数，再研究对应一元二次方程解的情况，最后对照表格写出不等式的解+∞．(3,)）29x<可化为，且方程2x()-．3,33）53x x-0．故方程22xx+的解集为300的解集为．是什么实数时，2x-有意义．根据题意需要解不等式0．解方程．由于二次项系数为[)1,+∞．[)-有意义．1,+∞时，20．、本节课主要学习了一元二次不等式解法；、一元二次不等式的特点及解的过程中注意事项；中等专业学校2023-2024-1教案编号：备课组别数学组课程名称数学所在年级一年级主备教师授课教师授课系部授课班级授课日期课题§2.3一元二次不等式教学目标1. 掌握利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法。
一元二次不等式教案
欢迎来到我们的一元二次不等式教案！在本课程中，您将了解一元二次不等 式的概念，学习解决它们的步骤和技巧，并讨论它们的性质。让我们开始吧！
了解一ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ二次不等式
了解一元二次不等式的定义和表示方法，掌握解决它们的基本知识。
解一元二次不等式的步骤
通过示例和练习，学习如何正确地解决一元二次不等式，包括变换形式、移 项和合并同类项。
解决一元二次不等式的技巧
掌握解决一元二次不等式的一些快速和有效的技巧，如确定开口方向、找到关键点和使用图像法。
讨论一元二次不等式的性质
深入了解一元二次不等式的性质，例如开口方向、最值点和图像特征，以便更好地理解和应用它 们。
根据题目分析不等式的解集
学习如何根据题目中给定的条件来分析一元二次不等式的解集，包括判断是 否有解或多个解，以及确定解的范围。
练习题的解答和讨论
通过解答和讨论一些挑战性的练习题，加深对一元二次不等式的理解和应用能力。
总结一元二次不等式的教法和 实践方法
总结本课程中学到的一元二次不等式的教学方法和实践经验，让学生能够系 统地掌握和应用这一重要的数学概念。
一元二次不等式的教案
一元二次不等式的教案教案标题：一元二次不等式的教案教案目标：1. 了解一元二次不等式的基本概念和解法方法；2. 能够正确使用一元二次不等式的解法方法解决实际问题；3. 培养学生分析和解决一元二次不等式问题的能力。
教学资源：1. 教材：包含一元二次不等式相关知识点的数学教材；2. 幻灯片或白板，用于展示教学内容；3. 教学实例，用于实际问题解决的演示；4. 学生练习题。
教学步骤：【导入】1. 引入一元二次不等式的概念，让学生回顾一元二次方程的知识，并引导他们思考不等式与方程的区别。
【讲解】2. 介绍一元二次不等式的定义和性质，包括大于号和小于号的含义，以及解的集合表示方法。
3. 教授解一元二次不等式的基本步骤，包括将不等式化为一元二次方程的形式，求解方程的根，并绘制数轴表示解的集合。
4. 解释一元二次不等式中常见的问题类型，例如求解区间、最大最小值等。
【示范】5. 在板书或幻灯片上展示一些解一元二次不等式的例题，并演示解题过程，引导学生思考解题方法的灵活运用。
6. 通过实际问题，如一个商品的价格与销售量的关系，让学生应用一元二次不等式解决真实生活中的问题。
【练习】7. 分发练习题给学生，让他们独立解答并分享答案，提供必要的指导和讲解。
8. 鼓励学生设计并解答一元二次不等式问题，以巩固所学知识，并展示解决问题的能力。
【总结】9. 综合总结一元二次不等式的概念、解法和应用，并强调解题思路和方法的重要性。
10. 鼓励学生提出问题和疑惑，并解答他们的疑虑。
【作业】11. 布置一些课后作业题，要求学生巩固和拓展所学的一元二次不等式知识。
教学辅助策略：1. 主动参与策略：鼓励学生在课堂上积极发言并讨论解题思路。
2. 直观呈现策略：通过图像、实例等方式直观展示一元二次不等式的解法过程和解的集合。
评估方法：1. 教学过程中观察学生的学习状态和反馈，并及时调整教学方法；2. 练习题和作业的完成情况和准确度；3. 学生的课堂参与度、讨论质量和问题解决能力。
八年级秋季班-第5讲一般一元二次方程的解法及韦达定理
一般一元二次方程的解法及韦达定理内容分析利用配方法和求根公式法解一元二次方程是八年级数学上学期第十七章第二节内容，主要对一般的一元二次方程不能运用直接开平方或者是因式分解进行求解的时候，采取的两种方法，重点是对一元二次方程这两种解法的原理和过程的理解，难点是配方法和因式分解在解一元二次方程中的灵活应用．经过本节课学习，我们已经将解方程的常用方法讲解完毕，注意灵活运用和综合提高，在计算的准确度上和选择合适的方法解题上多下功夫．知识结构模块一：一般一元二次方程的解法知识精讲1、配方法的步骤①先把二次项系数化为1：即方程左右两边同时除以二次项系数；②移项：把常数项移到方程右边；③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成(x +m)2 =n 的形式；④当n ≥ 0 时，用直接开平方的方法解变形后的方程．2例题解析2、求根公式法的一般步骤①把一元二次方程化成一般形式ax 2 + bx + c = 0 （ a ≠ 0 ）； ②确定 a 、b 、c 的值；③求出b 2 - 4ac 的值（或代数式）；若b 2- 4ac ≥ 0 ，则把 a 、b 、c 及b 2- 4ac 的值代入求根公式 x = 2a ，求出 x 1 、x ；若b 2 - 4ac < 0 ，则方程无解．【例1】 填空：（1） x 2 - 1x + = (x -2b)2； （2） x 2-+ 21= (x - 25b 2)2 ；2（3） x 2 - x + = (x - )2；（4）4xa- += (2x - ) ． a 2【例2】 如果 x 2 + ax + 4 是一个完全平方式，那么a 的值可以是（）A ．4B ． -2C ．2 或-2D ．都不对【例3】 若 m < 0 且 x = 2 时，等式 x 2 - mx + m 2 - 7 = 0 成立，则m 值为．【例4】 如果一元二次方程有一个根为 1，那么这个方程可以是．【例5】 解下列方程(配方法)：（1） x 2 + 3x - 4 = 0 ；（2） 0.04x 2 + 0.4x +1 = 0 ；（3） 2x 2 + 4mx + m 2 = 0 ；（4） ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) ．-b b 2- 4ac【例6】解下列方程（求根公式法）：（1）x2 = 2(x -1) ；（2）0.2x2 - 0.1x =1；（3）x2 + 2(+1)x +2= 0 ；（4）x2 - 2mx +m2 -n2 = 0 ．33【例7】解下列关于x 的方程（用适当的方法）：（1）mx2 -nx -p = 0(m ≠ 0) ；（2）(x -5)(x -3) +x(x + 6) =145 ．【例8】用指定的方法解下列方程：（1）x2-12x=3（配方法）；（2）3(2x -1)2 = 75 （开平方）；（3）(1 - 2)x2= (1 + 2)x（因式分解）；（4）3x2+12x+7=0（公式法）．【例9】已知：(x2 + 2x + 1)0 =x2 - 2x - 2 ，求x 的值．【例10】 x 为何值时，代数式10x 2 - 21x + 9x 2 + 1的值等于零．【例11】 的例题：解方程 x 2 - | x | -2 = 0解：当 x ≥ 0 时，原方程化为 x 2 - x - 2 = 0 ，解得： x = 2 ，x = -1 （舍）12当 x < 0 时，原方程化为 x 2 + x - 2 = 0 ，解得： x = -2 ，x = 1 （舍）12∴原方程的根是 x 1 = 2 ，x 2 = -2请参照例题解方程 x 2 - | x - 1| -1 = 0 ．【例12】 解下列关于 x 的方程方程：（1） kx 2 + 2(k - 2)x + (k - 3) = 0 ；（2） (x - 5)(x + 3) + (x - 2)(x + 4) = 49 ；（3） 2x 2 + (3a - b )x - 2a 2 + 3ab - b 2 = 0 ．【例13】 已知： y = 2x 2 - 3x + 1，y = 4x 2 + 4x + 7 ，求 x 为何值时， y = y ．1212⎨【例14】解关于x 的一元二次方程x2 - 4 =x(mx - 3) ，其中m 是满足不等式⎧3m + 1 > 0的⎩3 - 2m > 0 整数．【例15】求关于x 的方程：5x2 + 5y2 + 8xy + 2 y - 2x + 2 = 0 的实数解．【例16】已知a +b -=-1c - 5 ，求a +b +c 的值．2【例17】已知a ，b ，c 是有理数，试证明关于x 的方程：x2- 2ax +a2-b2-c2+ 2bc = 0 的根也是有理数．【例18】已知关于x 的方程：x2 - 4(m -1)x + 3m2 - 2m + 4k = 0 ，当m 取任意有理数时，方程的根都是有理数，求k 的值或者是k 的取值范围．-b + b 2 - 4ac- b - b 2 - 4ac 51 2韦达定理：如果 x ，x 是一元二次方程 ax 2- bx + c = 0(a ≠ 0) 的两个根,由解方程中的公式法得, x 1 =2a ，x 2 = 2a．那么可推得 x + x = - b ，x ⋅ x = c这是一元二次方程根与系数的关系．1 2a 1 2 a【例19】 若方程 x 2 - (m + 1)x + m = 0 有解，利用适当的方法解这两个根，分别是；若这两个根互为相反数则m 的值是；若两个根互为倒数，则 m 的值是．【例20】 如果 x ， x 是方程2x 2 + 3x - 6 = 0 的两个根，那么 x + x =；1212x 1 ⋅ x 2 =．【例21】 若方程： kx 2 - 9x + 8 = 0 的一个根为 1，则 k =；另一个根为 ．【例22】 写出一个一元二次方程，使它的两个根分别是5 -23，5 + 3 ．2【例23】 已知-1 - 、 是关于 x 的方程ax 2 2 2+ bx + 1 = 0(a ≠ 0) 的两根，求 b 的值． 模块二：韦达定理知识精讲例题解析-1 + 5【例24】已知x ，x 是方程1x2 - 3x -3= 0 的两根，求下列各式的值：1 2 2 2（1）1+1；（2）x 2 -x 2 ；（3）x 2 +x 2 ；（4）| x -x | ．x1x2【例25】已知一个直角三角形的两个直角边的长恰好是方程：2x2 - 8x + 7 = 0 两个根，求这个直角三角形的周长．【例26】已知方程：x2 - 4x +a = 0 的一个根大于3，另一个根小于3，求a 的取值范围．【例27】已知2m2 - 5m -1 = 0 ，n2 + 5n - 2 = 0.mn ≠ 1 ，求1+n 的值．m【例28】已知α，β是方程：x2-2x-4=0的两根，求代数式α3 +8 β+6 的值．1 2 1 2 1 2随堂检测【习题1】完成下列填空：（1）x2 - 2 2x + = (x - )2 ；（2）(2 y - )2 = +1 ；（3）3x2 + + 9 =3(x + )2 ．【习题2】完成下列填空：（1）对于方程3x2 = 2x ，用法解比较好，其根为；（2）对方程(2x -1)2 = 4 ，用法解比较好，其根为；（3）对方程2x2 - 3x - 6 = 0 ，用法解比较好，其根为．【习题3】已知x2 +ax +a - 2 = 0 的两根互为倒数，则a 的值为．【习题4】用指定的方法解下列方程：（1）ax2 -bx = 0(a ≠ 0) （因式分解）；（2）4x2 - 9a2 + 6a -1 = 0(a为已知数) （直接开平方）；（3）5x2+6x-9=0（配方法）；（4）3x2 - 2x - 4 = 0 （求根公式）．【习题5】用适当的方法解下列方程：（1）x2 -x = 1 ；（2）2(2x - 3)2 - 3(2x - 3) = 0 ；（3）3x2 - 2 6x + 2 = 0 ；（4）(3x + 5)2 - 5(3x + 5) + 4 = 0 ．【习题6】解关于x 方程：（1）x2 - 2ax +a2 =1；（2）x2 -px +q = 0 ．【习题7】如果9x2 - 6(n + 1)x +n2 + 5 是一个完全平方式，求n 的值．【习题8】用配方法说明：不论x 为何值，代数式x2 - 5x + 7 的值总大于 0，再求出当x 为何值时，代数式x2 - 5x + 7 有最小值，最小值是多少？1 2【习题9】已知关于x 的方程(m -1)x2 + (2m -1)x + 3 -m = 0(m为实数) 有两根x ，x ，其中x 1 > 0 ，x2< 0 且| x1|>| x2| ，求m 的取值范围．【习题10】解方程x | x | -3 | x | +2 = 0 ．【习题11】已知关于x 的方程(k -1)x2 -px +k = 0 有两个正整数根，求整数k 和p 的值．【习题12】已知实数a ≠b ，且满足(a + 1)2 = 3 - 3(a + 1) ，3(b + 1) = 3 - (b + 1)2 ，求1 2【作业1】 已知代数式3x 2 - 9x + m 是一个完全平方式，则m =．【作业2】 以下说法正确的有几个：（1）方程 x 2 = 0 ，有两个根；（2）方程 x 2 = 4x 两边同除以 x ，解得方程的解为 x = 4 ；（3）因为一个数的平方不可能是负数，所以方程(x - 1 )2 = -x 无解； 2（4）对于方程(x -1)2 = (x + 3)2 ，因为无论 x 取何值， x -1和 x + 3 都不可能相等，所以方程无解．【作业3】 如果 x ，x 是方程5x 2 - 7x + 5 = 0 的两根，求下列各式的值：（1） 1 + 1 ；（2） x 2 + x 2 ． x 1 x 2【作业4】 用适当的方法解下列方程：（1） x 2 = 49 ； （2） 3x 2 - 21x = 0 ；（3） 2x 2 - 3x - 5 = 0 ； （4） (x - 4)2 = 5(x - 4) ；（5） 3x 2 - 4x - 2 = 0 ； （6） ( y -1)2 + 5( y -1) + 4 = 0 ．课后作业1 2（1）4(x - 2)2 - (3x -1)2 = 0 ；（2）(3x -1)2 - 3(3x -1) + 2 = 0 ；（3）6x2 - 2x - 2 = 0 ；（4）12x2 - 20x -525 = 0 ．6【作业6】用适当的方法解下列关于x 方程：（1）x2 +2ax +a2 =1(a为已知常数) ；（2）x2 +ax - 2a2 = 0(a为已知常数) ；（3）-3x2 -xb + 2b2 = 0 ( b为已知常数) ．【作业7】若α，β是方程x2 +3x -17=0 的两个根，求α2 +2α-β的值．n m 的值．【作业9】 已知6m 2 - mn - 2n 2 = 0(n ≠ 0) ，求m 的值．n【作业10】 解关于 x 的方程5x 2 - | x | -3 = 0 ．【作业11】 已知方程 x 2 - 2x - 12= 0的两根是 α ，β ，设 C =α + β ， C =α 2 + β 2 ，．．．， 1 2 C =α n + β n （n 是正整数）．（1） 求C 3 的值；（2） 求证： C n +1 =2C n + 12C n -1 ．。
一元二次不等式的解法教案
一元二次不等式的解法教学设计方案【教学目标】知识与技能理解三个“二次”的关系，掌握图像法解一元二次不等式；培养学生数形结合的能力。
过程与方法经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图像探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；情感态度与价值观激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
【教学重点】一元二次不等式的解法。
【教学难点】弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系．教学过程第一课时Ⅰ．设置情境问题：1.什么是一次函数？什么是二次函数？一般，把形如y=kx+b(k≠0，b为常数)的函数，叫一次函数。
一般，把形如y=ax²+bx+c（a≠0，b,c为常数）的函数叫二次函数。
2.什么是一元一次方程？什么是一元二次方程？只含有一个未知数,且未知数最高次数是一次的方程叫一元一次方程。
一般形式是kx+b=0(k，b为常数，且k≠0）只含有一个未知数,且未知数最高次数是二次的方程叫一元二次方程。
一般形式是ax²+bx+c=0（a，b,c为常数）3.什么是一元一次不等式？你能类比得出什么是一元二次不等式？你能举几个例子吗？（类比得到一元一次不等式）只含有一个未知数,且未知数最高次数是一次的不等式叫一元一次不等式。
一般形式是kx+b<0或kx+b>0 (k，b为常数，且k≠0）只含有一个未知数,且未知数最高次数是二次的不等式叫一元二次不等式。
4.一元二次不等式的一般形式是什么？一般形式是ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0（a，b,c为常数）那么，怎么解一元二次不等式呢？（引出课题）我们先复习一元一次不等式的解法：问题： 解不等式023>+x 你有几种解法？利用一元一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系。
能通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集。
二次函数与一元二次方程、不等式 高中数学教案
二次函数与一元二次方程、不等式【教材分析】三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高中数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法。
【教学目标】课程目标1．通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
2．使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题。
3．渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。
数学学科素养1．数学抽象：一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系；2．逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；3．数学运算：解一元二次不等式；4．数据分析：一元二次不等式解决实际问题；5．数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
【教学重难点】重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集；难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用。
【教学准备】【教学方法】以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
【教学过程】一、情景导入在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题。
类似地，能否从二次函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察。
研探。
二、预习课本，引入新课阅读课本，思考并完成以下问题1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系。
2．解一元二次不等方的步骤？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c（a>0）的图象一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根有两相异实根x1，x2（x1<x2）有两相等实根x1=x2没有实数根ax2+bx+c>0（a>0）的解集{x│x>x2或x<x1}{x│x≠‒2b a}Rax2+bx+c<0（a>0）的解集{x│x1<x<x2}∅∅ab2-=22．一元二次不等式ax+bx+c>0（a>0）的求解的算法。
蒋王中学初高中衔接教材教案2—韦达定理、一元二次方程、判别式……
一元二次方程及不等式的解法教学目标：1．熟练掌握一元二次方程的解法及其根的判断；2．理解韦达定理并能运用其来处理相关问题.一、课前自学与诊断1、概念:方程)0(02≠=++a c bx ax 称为一元二次方程．2、基本解法有开平方法、配方法、公式法和因式分解法．3、对于方程)0(02≠=++a c bx ax ，∆= 称为该方程的根的判别式．当0>∆时，方程有两个 的实数根，即当0=∆时，方程有两个 的实数根，即当0<∆时，方程 实数根．4、(1)若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根为21,x x则21x x ⋅=_____ ，21x x ⋅ =_______ . （韦达定理）(2)若21,x x 是方程02=++q px x 的两个根，则p =______, q =_______，以实数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 . 二、问题探究1、二次函数的图象顶点为)16,1(A ，且图象在x 轴上截得的线段长为8，求这个二次函数的表达式.2、若21,x x 是方程0201022=-+x x 的两个根，试求下列各式的值：（1）21x x +，21x x ⋅；（2）2111x x +；（3）2221x x +，21x x -；（4）)1()1(21+⋅+x x3、解不等式（1）260x x +-> （2）022>-+-x x小结：解一元二次不等式的步骤4、解下列不等式： (1)2301x x -<+ (2) 1132≤+-x x5、解下列不等式：（1）132>-x （2）121≤-x练习：1、已知21,x x 是方程025-2=-x x 的两个实数根.求（1）21x x + （2）21x x ⋅；（3）2111x x +；（4）2221x x + （5）3231x x + （6）222111x x + （7）)1()1(21-⋅-x x2、解下列不等式：（1）02732<+-x x ；（2）0262≤+--x x ；（3）42≤x ；（4）01442<+-x x ；（5）0532<+-x x ；（6）0962≤+-x x ；（7）011≥-+x x ； （8） 21213<-+x x （9）312≤+x ；（10）1132>+-x x3、解关于x 的不等式（1）01222≤-++a x x （a 为常数）（2）a x ax +<-12（a 为常数）三、小结与答疑。
《一元二次函数方程和不等式》教学设计
一元二次函数、方程和不等式（衔接课）一、教学设计1.教学内容解析在新一轮课程改革后，初中数学的教学要求有所降低，有些学习高中数学所必须具备的基础知识、基本方法和基本能力，在初中的教材中都进行了淡化处理，有的甚至不做要求，为高中的教学带来了不小的障碍.初高中衔接主要有以下三块内容：①一元二次不等式的解法，②二次函数在闭区间上的最值问题，③二次方程根的分布问题.这三部分内容是研究函数、方程、不等式问题的基础，也是解决直线与二次曲线位置关系问题的重要手段，同时又是培养函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想以及等价转化思想的极好素材.对于一元二次不等式的解法现行教材安排在必修5，我认为调整到必修1之前，或是安排在《集合》之后，《函数》之前比较好. 对于“二次函数在闭区间上的最值问题”和“二次方程根的分布问题”可以安排在函数性质讲完之后讲解.本节课是在学生掌握一元一次方程、一元一次不等式的解法及一次函数图象的基础上，通过类比，提出一元二次不等式的解法，通过例1，让学生直观了解三个“二次”的联系，再通过例2，例3对三个“二次”的内在联系进行整合，三个例题，由浅入深，层层递进，既学会解题方法，又总结了规律，同时又渗透了数学思想.根据以上分析，本节课的教学重点确定为教学重点：一元二次函数、二次方程与一元二次不等式三者之间的关系及应用.2.学生学情诊断这是一节初、高中数学衔接课，本课前学生已经掌握了一次函数、二次函数的图象与性质（如开口方向、对称轴、顶点、单调性等），以及简单的一元二次不等式的解法，能利用函数图象解决较简单的方程和不等式问题，但对一类高中常见的含参的一元二次不等式、一元二次方程根的分布，以及一类恒成立问题往往缺少办法，学生的问题主要出现在题意的理解以及合理的等价转化上，他们往往会孤立地看待问题，不善于利用三个“二次”之间的内在联系灵活转化，不善于分类讨论，不善于归纳总结，对函数、方程、不等式的处理方法不完整，没有形成模式.根据以上分析，本节课的教学难点确定为教学难点：一元二次函数、二次方程与一元二次不等式三者之间的关系的应用.3.教学标准设置(1)掌握二次函数的图像和性质，理解二次函数的图像、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系；(2)经历从不同角度寻求分析问题和解决问题方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法；(3)通过用方程、不等式、函数表述数量关系的过程，体会模型思想，建立符号意识；(4)培养学生的识图、绘图、用图能力，提升学生图形直观想象的核心素养，体会数形结合思想及普遍联系的辩证观.4.教学策略分析在“教师是主导，学生是主体”理念指导下，本节课主要采用探究式教学方法，即“问题驱动——启发诱导——探索结果——拓展提高”，注重“引、导、思、探、归”的有机结合. 引导学生学习方式发生转变，采用激发兴趣，主动参与，积极体验，自主探究，总结提高的学习方式，形成师生互动的教学氛围，充分调动学生的学习积极性，为学生提供自主探究，自主学习的时间和空间.教法：（1）启发式教学，始终以问题驱动，引导学生在不断思考中获取知识.（2）互动式教学，体现在提问，例题教学，课堂练习，学生板演，小结等方面，引导学生积极参与.课堂教学突出以下三个方面：①导——教师引导，循序渐进；②动——师生互动，共同探索；③归——归纳总结，拓展提高.教学流程：二、课堂实录环节一：回顾回顾初中利用一次函数的图象解决过一次方程的根和一次不等式的解的问题.【设计意图】回顾初中三个“一次”问题，类比引出课题.环节二：整合【例1】已知二次函数322--=x x y ，（1）画出二次函数的草图；（2）方程0322=--x x 的解为 ； （3）不等式0322>--x x 的解集为 ；（4）不等式0322<--x x 的解集为 . 【设计意图】类比三个“一次”，让学生理解三个“二次”之间的内在联系.【例2】已知关于x 的不等式02<--a bx x 的解集为)3,1(-，求关于x 的不等式012>--bx ax 的解集.【设计意图】逆向变式，进一步实现一元二次函数、方程和不等式的整合.解法1：依题意，3,1是对应一元二次方程02=--a bx x 的两根，将1-=x 和3=x 代入方程得，⎪⎩⎪⎨⎧=-⋅-=--⋅--0330)1()1(22a b a b ，即⎩⎨⎧=-+=+-09301b a b a ， 解得⎩⎨⎧==23b a ，将它代入不等式012>--bx ax ，得01232>--x x ，又因为一元二次方程01232=--x x 的根为31-=x 或1=x ，所以01232>--x x 的解集为}131|{>-<x x x 或. 解法2：依题意，3,1是对应一元二次方程02=--a bx x 的两根，由韦达定理有⎩⎨⎧-=⨯-=+-a b 3131，解得⎩⎨⎧==23b a ， 将它代入不等式012>--bx ax ，得01232>--x x ，又因为一元二次方程01232=--x x 的根为31-=x 或。
《2.3 二次函数与一元二次方程、不等式》公开课优秀教案教学设计(高中必修第一册)
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式教学设计三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高中数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法。
课程目标1. 通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
2. 使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题．3. 渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。
数学学科素养1.数学抽象：一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系；2.逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；3.数学运算：解一元二次不等式；4.数据分析：一元二次不等式解决实际问题；5.数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集; 难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题.类似地，能否从二次函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探. 二、 预习课本，引入新课阅读课本50-52页，思考并完成以下问题1. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系.2.解一元二次不等方的步骤？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1.一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二 次方程的关系如下表：判别式Δ=b 2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0二次函数y=ax 2+bx+c (a>0)的图象一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异 实根x 1,x 2 (x 1<x 2)有两相等实根 x 1=x 2没有实数根ax 2+bx+c>0 (a>0)的解集{x|x >x 2或x <x 1}{x|x ≠−2b a} Rax 2+bx+c<0 (a>0)的解集{x|x 1<x <x 2}∅∅ab 2-=2.一元二次不等式ax 2+bx+c>0 (a>0)的求解的算法.(1)解ax 2+bx+c=0；(2)判断开口方向；(3)根据开口方向和两根画草图；(4)不等式>0，看草图上方，写对应x的结果；不等式<0，看草图下方，写对应x的结果.四、典例分析、举一反三题型一解不等式例1求下列不等式的解集（1）x2−5x+6>0（2）9x2−6x+1>0（3）−x2+2x−3>0【答案】（1）{x|x<2,或x>3}（2）{x|x≠13}（3）∅解题方法（解不等式）(1)解ax 2+bx+c=0；(2)判断开口方向；(3)根据开口方向和两根画草图；(4)不等式>0，看草图上方，写对应x的结果；不等式<0，看草图下方，写对应x的结果；跟踪训练一1、求下列不等式的解集（1）(x+2)(x−3)>0；（2）3x2−7x≤10；（3）−x2+4x−4<0（4）x2−x+14≤0【答案】（1）{x|x<−2,或x>3}（2）{x|x≤−3,或x≥103}（3） {x|x ≠2} （4） {x|x =12}题型二 一元二次不等式恒成立问题 例2 (1). 如果方程20ax bx c ++=的两根为2-和3且0a <，那么不等式20ax bx c ++>的解集为____________．(2).已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．01k ≤≤ B ．01k <≤C ．k 0<或1k >D ．0k ≤或1k >【答案】（1）{}|23x x -<< （2）A【解析】（1）由韦达定理得231236bac a⎧-=-+=⎪⎪⎨⎪=-⨯=-⎪⎩，6b a c a =-⎧∴⎨=-⎩，代入不等式20ax bx c ++>，得260ax ax a -->，0a <，消去a 得260x x --<，解该不等式得23x -<<，因此，不等式20ax bx c ++>的解集为{}|23x x -<<，故答案为：{}|23x x -<<.（2）当0k =时，不等式为80≥恒成立，符合题意；当0k >时，若不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立， 则2364(8)0k k k ∆=-+≤，解得01k <≤；当k 0<时，不等式2680kx kx k -++≥不能对任意x ∈R 恒成立。
二次函数与一元二次方程、不等式 教学设计(2)
【新教材】2.3 二次函数与一元二次方程、不等式教学设计（人教A版）三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高中数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法。
课程目标1. 通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
2. 使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题．3. 渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。
数学学科素养1.数学抽象：一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系；2.逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；3.数学运算：解一元二次不等式；4.数据分析：一元二次不等式解决实际问题；5.数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集; 难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题.类似地，能否从二次函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探. 二、 预习课本，引入新课阅读课本50-52页，思考并完成以下问题1. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系.2.解一元二次不等方的步骤？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1.一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二 次方程的关系如下表：判别式Δ=b 2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0二次函数y=ax 2+bx+c (a>0)的图象一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异 实根x 1,x 2 (x 1<x 2)有两相等实根 x 1=x 2没有实数根ax 2+bx+c>0 (a>0)的解集{x|x >x 2或x <x 1}{x|x ≠−2b a} Rax 2+bx+c<0 (a>0)的解集{x|x 1<x <x 2}∅∅ab 2-=2.一元二次不等式ax 2+bx+c>0 (a>0)的求解的算法.(1)解ax 2+bx+c=0；(2)判断开口方向；(3)根据开口方向和两根画草图；(4)不等式>0，看草图上方，写对应x的结果；不等式<0，看草图下方，写对应x的结果.四、典例分析、举一反三题型一解不等式例1求下列不等式的解集（1）x2−5x+6>0（2）9x2−6x+1>0（3）−x2+2x−3>0【答案】（1）{x|x<2,或x>3}（2）{x|x≠13}（3）∅解题方法（解不等式）(1)解ax 2+bx+c=0；(2)判断开口方向；(3)根据开口方向和两根画草图；(4)不等式>0，看草图上方，写对应x的结果；不等式<0，看草图下方，写对应x的结果；跟踪训练一1、求下列不等式的解集（1）(x+2)(x−3)>0；（2）3x2−7x≤10；（3）−x2+4x−4<0（4）x2−x+14≤0【答案】（1）{x|x<−2,或x>3}（2）{x|x≤−3,或x≥103}（3） {x|x ≠2} （4） {x|x =12}题型二 一元二次不等式恒成立问题例2 (1). 如果方程20ax bx c ++=的两根为2-和3且0a <，那么不等式20ax bx c ++>的解集为____________．(2).已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．01k ≤≤ B ．01k <≤C ．k 0<或1k >D ．0k ≤或1k >【答案】（1）{}|23x x -<< （2）A【解析】（1）由韦达定理得231236bac a⎧-=-+=⎪⎪⎨⎪=-⨯=-⎪⎩，6b a c a =-⎧∴⎨=-⎩，代入不等式20ax bx c ++>，得260ax ax a -->，0a <，消去a 得260x x --<，解该不等式得23x -<<，因此，不等式20ax bx c ++>的解集为{}|23x x -<<， 故答案为：{}|23x x -<<.（2）当0k =时，不等式为80≥恒成立，符合题意；当0k >时，若不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立， 则2364(8)0k k k ∆=-+≤，解得01k <≤；当k 0<时，不等式2680kx kx k -++≥不能对任意x ∈R 恒成立。
一元二次不等式教案
《2.3一元二次不等式》教学设计学习目标学习重难点教材分析一元二次不等式解法是初中一元一次不等式解法在知识上的延伸和发展，由于它是高中数学的重要基础，而且也有非常广泛的应用，所以本节内容教学在中学数学教学中有重要的地位。
学情分析学生在初中已经学习了一元二次方程和二次函数，基本上掌握了一元二次方程和二次函数的基本知识，学生为中职一年级学生，普遍基础较差，对知识的理解处于模糊阶段，因此借助图像直观学习和理解数学，以使学生更好理解知识．知识能力与素养（1）了解方程、不等式、函数的图像之间的联系；（2）掌握一元二次不等式的图像解法．（1）通过一元二次不等式的学习，培养计算技能和观察能力。
（2）通过现代信息技术应用的学习，培养计算工具使用技能。
重点难点（1）方程、不等式、函数的图像之间的联系；（2）一元二次不等式的解法．一元二次不等式的解法．教学工具教学课件课时安排2课时教学过程（一）创设情境，生成问题一次函数的图像、一元一次方程与一元一次不等式之间存在着哪些联系？观察函数26y x =-的图像：方程260x -=的解3x =恰好是函数图像与x 轴交点的横坐标；在x 轴上方的函数图像所对应的自变量x 的取值范围，恰好是不等式260x ->的解集(3,)+∞；在x 轴下方的函数图像所对应的自变量x 的取值范围，恰好是不等式260x -<的解集(,3)-∞．由此看到，通过对函数y ax b =+的图像的研究，可以求出不等式0ax b +>与0ax b +<的解集．当a ＞0时，关于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0和二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 之间有下表所示结论．Δ＝b 2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的实数解的个数22y=ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的图象与x 轴交点个数21y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)的图象图像在轴上方的部分所对应的函数值>0，即ax 2＋bx ＋c ＞0，图像在轴下方的部分所对应的函数值<0，即ax 2＋bx ＋c ＜0．像这样，含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的不等式，称为一元二次不等式．其一般形式为ax 2＋bx ＋c ＞0（a ≠0)．上面不等式中的”>”也可以换成”<”、“≥”或“≤”例如，2−9>0，32−2−1⩽0，−22+5+4<0等都是一元二次不等式．一元二次不等式与一元二次方程、二次函数形式上很接近，关系很密切，我们是能否借助它们之间的关系求解形如ax 2＋bx ＋c ＜0或ax 2＋bx ＋c ＞0这样的一元二次不等式呢？【设计意图】复习相关知识内容,强化知识点的内在联系,突出数形结合明确定义（二）调动思维，探究新知分析一元二次不等式2230x x --<和二次函数223y x x =--、一元二次方程223=0x x --之间的关系.如图(1)所示，二次函数223y x x =--的图像与x 轴交于两点，方程223=0x x --的解是11x =-，也就是抛物线与23x =轴交点(-1,0)和(3,0)的横坐标．如图(2)所示，当-1<x <3时，函数的图像位于x 轴的下方，此时y <0.由此得到，不等式2230x x --<的解集为(-1,3)；如图(3)所示，当x <-1或x >3时，函数的图像位于x 轴的上方，此时y >0.不等式2230x x -->的解集为(-∞，-1)∪(3,+∞)．按照上面的分析，可以得到一般的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a >0)和ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的求解方法：先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图象与x 轴的相关位置确定一元二次不等式的解集．假设12x x <【设计意图】引导学生经历由特殊到一般的提炼过程,强化图像作用熟练数形结合应用,综合归纳便于学生理解记忆,强化求解步骤使学生进一步明确方法（三）巩固知识，典例练习【典例1】求下列一元二次不等式的解集：(1)260x x --<(2)()30x x -≥(3)2243x x -+<0解（1）因为不等式的二次项系数1＞0，对应方程260x x --=的解为12=23x x -=,，对应的二次函数的图像如图所示．所以不等式260x x --<的解集为[]2,3-．（2）因为不等式的二次项系数1＞0，对应方程(3)0x x -=的解为12=03x x =,，对应的二次函数的图像如图所示．所以不等式()30x x -≥的解集为(][),03,-∞+∞ ．（3）因为不等式的二次项系数2＞0，对应方程2243x x -+=0无实数根（()2442380∆=--⨯⨯=-<），对应的二次函数的图像如图所示．所以不等式2243x x -+<0的解集为∅．【典例2有意义，试求x 的取值范围．解有意义，x 应该满足不等式2321x x --≥0．因为不等式的二次项系数3＞0，对应方程2321x x --=0的解为12113x x =-=,，对应的二次函数的图像如图所示．所以不等式2321x x --≥0的解集为1(,][1,)3-∞-+∞ ,即当1(,][1,)3-∞-+∞ 有意义．探究与发现如何求解一元二次不等式20(0)ax bx c a ++=<？当二次项系数a ＜0时，由不等式的性质，不等式两边同乘−1，不等号方向改变，就可以将a ＜0的情形转化为a ＞0的情形，得到与原不等式同解的不等式，然后求解即可．【典例3】求一元二次不等式2420x x -++<的解集．解因为不等式的二次项系数为-1<0，，所以将不等式的两边同乘-1，不等号方向改变，得到与原不等式同解的不等式2-420x x +>，其对应方程2-42=0x x +的解为12x x ==2-420x x +>0的解集为-∞∞ （）.即不等式2420x x -++<的解集为-∞∞ （，）.【设计意图】强化一元二次不等式的解题思路（四）巩固练习，提升素养【巩固1】解下列各一元二次不等式：（1）260x x -->；（2）29x <；（3）25320x x -->；（4）22430x x -+- ．分析首先判定二次项系数是否为正数，再研究对应一元二次方程解的情况，最后对照表格写出不等式的解集．解（1）因为二次项系数为10>，且方程260x x --=的解集为{2,3}-，故不等式260x x -->的解集为(,2)(3,)-∞-+∞ ．（2）29x <可化为290x -<，因为二次项系数为10>，且方程290x -=的解集为{3,3}-，故29x <的解集为()3,3-．（3）25320x x -->中，二次项系数为30-<，将不等式两边同乘1-，得23520x x -+<．由于方程23520x x -+=的解集为2{,1}3．故不等式23520x x -+<的解集为2,13⎛⎫⎪⎝⎭，即25320x x -->的解集为2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭．（4）因为二次项系数为20-<，将不等式两边同乘1-，得22430x x -+ ．由于判别式()2442380∆=--⨯⨯=-<，故方程22430x x -+=没有实数解．所以不等式22430x x -+ 的解集为R ，即22430x x -+- 的解集为R ．【巩固2】x 解根据题意需要解不等式2320x x -- ．解方程2320x x --=得122,13x x =-=．由于二次项系数为30>，所以不等式的解集为[)2,1,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ ．即当[)2,1,3x ⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝⎦ 有意义．【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺（五）巩固练习，提升素养1.不等式(2)(3)0x x --≥的解集为()．2．不等式220x x ->解集为()．3．不等式2-2+10x x ≤解集为()．4．求下列一元二次不等式的解集：5.当x在什么范围取值时，有意义？6．若一元二次方程2++10x mx=无实数解，求m的取值范围．（六）课堂小结，反思感悟1.知识总结：2.自我反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？【设计意图】通过总结，让学生进一步理解区间的概念。
一元二次不等式的解法教案宁龙
3.2 一元二次不等式及其解法3.2.1 一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法教学重点 1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.教学难点 理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.教具准备 多媒体及课件三维目标一、知识与技能1.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程;2.通过函数图象了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系;3.会解一次二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图.二、过程与方法1.采用探究法，按照思考、交流、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学;2.发挥学生的主体作用，作好探究性实验;3.理论联系实际，激发学生的学习兴趣.三、情感态度与价值观1.通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想;2.通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辩证的世界观.教学过程导入新课上网获取信息已经成为人们日常生活的重要组成部分，因特网服务公司（I nternet S ervice P rovider ）的任务就是负责将用户的计算机接入因特网，同时收取一定的费用. 某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP 公司可供选择，公司A 每小时收费1.5元；（不足1小时按1小时计算）；公司B 的收费原则是在用户上网的第一小时内收费1.7元，第二小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元.（若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算）一般来说，一次上网时间不会超过17小时，所以，不妨一次上网时间总小于17小时，那么，一次上网在多长时间以内能够保证选择公司A 的上网费用小于或等于选择公司B 所需费用？［师生互动过程］假设一次上网x 小时，则A 公司收取的费用为1.5x ，那么B 公司收取的费用为多少？怎样得来？B 公司收取的费用的结果是20)35(x x -元，因为是等差数列，其首项为1.7，公差为-0.1，项数为x 的和，即.20)35()1.0(2)1(7.1x x x x x -=--+ 如果能够保证选择A 公司比选择B 公司所需费用少，则如何列式？由题设条件应列式为x x x 5.120)35(≥-，(0＜x ＜17)，整理化简得不等式052≤-x x .推进新课因此这个问题实际就是解不等式：052≤-x x 的问题.这样的不等式就叫做一元二次不等式，它的解法是我们下面要学习讨论的重点.什么叫做一元二次不等式？一元二次不等式的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，它的一般形式是ax 2+bx +c ＞0或ax 2+bx +c ＜0（a ≠0）.那么如何求解呢？二次函数y =x 2-5x 的图象如下：由函数图象（如上图）可知：当x =0或x =5时，y =0，即x 2-5x =0；当0＜x ＜5时，y ＜0，即x 2-5x ＜0；当x ＜0或x ＞5时，y ＞0，即x 2-5x ＞0.这就是说，若抛物线y =x 2-5x 与x 轴的交点是(0，0)与(5，0),则一元二次方程x 2-5x =0的解就是x 1=0，x 2=5.一元二次不等式x 2-5x ＜0的解集是{x |0＜x ＜5};一元二次不等式x 2-5x ＞0的解集是{x |x ＜0或x ＞5}.［教师精讲］一元二次不等式的解法步骤：一求解，作为一元二次方程求解；二画图，作为一元二次函数画图；三写解集，作为一元二次不等式写解集。
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韦达定理与一元二次不等式
一、教学目标
通过本节课学习，要达到以下三个目标：
（1）知识目标：进一步学习一元二次不等式的解法，体会韦达定理在一元二次不等式中的应用。
（2）能力目标：体会数形结合、转化、分类讨论等数学思想方法，提高运算能力、逻辑思维能力。
（3）情感目标：激发学习数学的热情，培养勇于探索、勇于创新的精神，体会事物之间普遍联系的辩证思想，同时
认识到数学知识源自生产生活实际，是人类文化的结晶
这一特点。
二、教材分析
中学阶段涉及的一元二次内容由二次函数作为铺垫，高中阶段研究圆锥曲线中又有二次曲线，一元二次方程的根公式向我们提示了两根与系数间的密切关系，而韦达定理介绍的根与系数的关系是在求根公式的基础上，根与系数的进一步发现，这一发现在数学学科中具有较强的实用价值，学生在处理有关一元二次方程的问题时，比如一元二次不等式问题，就会多一些思想和方法，让解题更为简单、更为灵活，同时也为今后进一步的学习打下基
础。
三、学情分析
刚从初中升入高一的高职学生，基础薄弱，学习习惯较差，对初
中所学习知识的储备不够丰富，而且数形结合思想方面的缺失，望图生畏，这导致教师在教学过程中带来一定的困难。
所以教师必须认识到这些在教学时不可盲目地拔高和追求一次到位，而在今后的学习中不滚动式、螺旋式逐步深化，多关注学生的学习过程。
四、重难点分析
（1）重点：一元二次不等式中韦达定理的应用
（2）难点：根据一元二次不等式的解集写出对应的一元二次不等式
五、教学方法
培养学生学会学习，学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务，如何培养学生学会学习、学会探究呢？建构主义认为：“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。
”在教学过程中教师只是起到帮助建构和促进的作用。
所以本节课采用了启发式和探究式相结合的教学方法，让教师的主导性和学生的主体性有机结合，使学生能够愉快的自觉学习，通过学生自己观察、分析、探索等步骤，自己发现解决问题的方法，并得到一般性结论，形成完整的数学模型，再运用所得理论和方法去解决问题。
一句话：还课堂以生命力，还学生以活力。
六、教学过程
（一）情景引入
韦达（法国人）“代数学之父”（插入介绍韦达的视频）
你知道最早有意识地使用字母来表示数的人是谁吗？他就是法国数学家韦达。
韦达一生都致力于数学的研究，做出了很多重要贡献，成为那个时代最伟大的数学家，自从韦达系统使用字母表示数后，引出了大量数学发现，解决了古代的许多复杂问题。
（设计意图：引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性，扣紧本节的主题）
（二）复习思考
（韦达定理是什么？解一元二次不等式有哪3招？）
1、已知方程3x2−19x+m=0的一个根是1，求它的另一根及m的值。
2、设x1,x2是方程2x2+4x−3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。
3、不等式−x2+5x−6>0的解集是：
（设计意图：复习初中的学习的韦达定理和上节课中解一元二次不等式的步骤，为本节课的教学打下基础）
（三）新知探究
1、探究一：例1：已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为{x|1<x<2}
求a,b的值。
（设计意图：学生根据已有的知识，探索由一元二次不等式的解写出对应不等式，从模仿到创新，提高学生对知识的迁移能力，让学生在探索过程中，充分
感受到成功的情感体验。
）
练一练：①若不等式−2x2+bx+c<0的解集为{x|−1
2
<x<2},则实数b=______ , 实数c=______。
②一元二次不等式ax2+bx+2<0的解集是(−1
2，1
3
)，则a+b的值
是：______。
（设计意图：学生仿照例题求出类似的题，内化韦达定理在一元二次不等式中的应用，可使解题简单快捷，并总结得到类题通法。
）
2、探究二：例2：已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为{x|−1<x<2}求关于x的不等式bx2+ax+1>0的解集。
（设计意图：探索由写出一元二次不等式再到求解另一个不等式，渗透对知识点的正用和逆用，进一步提高学生运用知识的能力掌握利用数形结合的思想的解题方法。
）
3、练习巩固：
①已知关于x的不等式x2+px+q≤0的解集为{x|1≤x≤5}
求关于x的不等式qx2+px+1<0的解集。
②已知关于x的不等式ax2+2x+c>0的解集为(−1
3,1 2 )
求−cx2+2x−a>0的解集。
（设计意图：变式训练，深化认识，增加思维的梯度的同时，提高学生的模式识别能力和总结归纳的能力，渗透转化思想和数形结合的思想。
）
4、总结归纳：
①一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方
程ax2+bx+c=0的根，也是函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐
标。
②二次函数y =ax 2+bx +c 的图象在x 轴上方的部分是由不等式ax 2+bx +c >0的x 的值构成的；图象在x 轴下方的部分是由不等式ax 2+bx +c <0的x 的值构成的。
③
（设计意图：形成知识模块，从知识的归纳延伸到思想方法的提炼，优化学生的认知结构。
）
5、布置作业：
同步练习；（必做）
（1） 若不等式x 2+ax +b <0解集是{x |2<x <3}，求a,b 的值；
（2） 若关于x 的二次不等式ax 2+x +b ≥0解集是{x |−2≤x ≤3}，求
a,b 的值；
（3） 已知a 是实数，不等式x 2−6x +a ≤0的解集是[1，5]，求不等式
ax 2−6x +1<0的解集。
思考题：（选做）
（1） 已知方程ax 2+bx +2=0的两根为−12和2, ① 求a,b 的值； ②解不等式ax 2+bx −1>0
（2） 已知关于x 的不等式ax 2+bx +c <0的解集为{x |x <−2或x >
−1
2
} 求关于x 的不等式ax 2−bx +c >0的解集。
（设计意图：为了使所有学生巩固所学知识，布置了“必做题”；“选做题”，又为学有余力者留有自由发展的空间。
） ax 2+bx +c =y ax 2+bx +c =0 ax 2+bx +c >0 三者之间相互依存，相互转化
七、教学反思
1、课难点根据一元二次不等式的解集写出对应的一元二次不等
式，这是解一元二次不等式的逆运用，所以对这节课效果的
好坏，体现在对这一逆运算是否实现的程度上，因此练习和
作业都围绕这方面来设计。
2、分析教材，联系实际，将本节内容用一元二次方程根与系的
关系做桥梁，架建韦达定理在一元二次不等式中的运用，推
动一元二次不等式的正用和逆用的随意切换，从而提高逻辑
思维能力和渗透数形结合的思想。