初三数学换元法专练
初中数学竞赛——换元法和待定系数法
第3讲换元法和待定系数法典型例题一.换元法【例1】分解因式：63-+x x2827【例2】分解因式：44222-+++-()()()a b a b a b【例3】分解因式：4444(4)++-a a【例4】分解因式：44+++-y y(1)(3)272+++-+y y y(1)(3)4(35)【例5】分解因式：33【例6】 分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++【例7】 证明：四个连续整数的的乘积加1是整数的平方.【例8】 分解因式：(1)(1)(3)(5)9x x x x -+++-【例9】 分解因式：22(76)(6)56x x x x -+--+.【例10】 分解因式：42199819991998x x x -+-【例11】 分解因式：24(5)(6)(10)(12)3x x x x x ++++-【例12】 分解因式：()()()()()()()b c a c a b a b c a a b c a b c b a b c b c a +-+-+-+-++-++-+-+()()c b c a a b c +--+.【例13】 分解因式：2(3)(1)(5)20x x x +-+-.【例14】 分解因式：4322212()x x x x x +++++.【例15】 分解因式：22222(21)(44)(21)x y x y xy x y x +-+----+.【例16】 分解因式：2(1)(2)(2)xy x y x y xy -++-+-.【例17】 证明：对任意自然数n ，都存在一个自然数m ，使得1mn +是一个合数.【例18】化简：2323234 (1)1x x x xx x x x+++-++++.【例19】将199551-分解成三个整数之积，且每一个因数都大于1005.二.待定系数法【例20】分解因式：43223x x x x++-+【例21】分解因式：432x x--【例22】 分解因式：432266x x x x -+-+【例23】 分解因式：432615x x x x -+-+.【例24】 421x x -+能否分解因式？【例25】 分解因式：2422(1)1a a a a ++-+.【例26】 若226541122x xy y x y m ---++可分解为两个一次式的积，求m 的值并将多项式分解因式.【例27】 已知4326134x x x kx -+++是一个完全平方式，求常数k 的值.【例28】 已知32x bx cx d +++的系数均为整数，若bd cd +为奇数.求证：此多项式不能分解为两个整系数的多项式之积.【例29】 已知关于x ，y 的二次六项式226372x axy y x y +----能分解为一次式2x by c ++与2dx ey +-的积，求a b c d e ++++的值.【例30】 已知关于y 的五次三项式554y my n -+有二次因式2()y a -（其中a ，n 均不为零）.求证：（1）n a m =；（2）54m n =.【例31】 将分式251126x x x -+-分解成部分分式.思维飞跃【例32】 设3434a b -≤-≤，5917a b ≤+≤，求7a b +的最小值和最大值。
中考数学专题复习1 配方法与换元法
考数学二轮专题复习之一：配方法与换元法
把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．
所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
【范例讲析】：
例1： 填空题：
1）．将二次三项式x 2+2x －2进行配方，其结果为 。
2）．方程x 2+y 2+4x －2y+5=0的解是 。
3）．已知M=x 2－8x+22，N=－x 2+6x －3，则M 、N 的大小关系为 。
例 2.已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，且a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ，则△ABC 的形状为 。
例3.解方程：422740x x --=
【闯关夺冠】
1.已知13x x +=．则221x x
+的值为__________． 2．若a 、b 、c 是三角形的三边长，则代数式a 2 –2ab+b 2 –c 2的值 （ ）
A 大于零
B 等于零
C 小于零
D 不能确定
3已知：a 、b 为实数，且a 2+4b 2－2a+4b+2=0，求4a 2－
b 1的值。
4. 解方程：211(
)65()11
x x +=--。
专题04 换元法专题研究(解析版)
备战2020中考数学解题方法专题研究专题4 换元法专题【方法简介】解一些复杂的因式分解问题，常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数,降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。
换元法又称变量替换法, 是我们解题常用的方法之一。
利用换元法, 可以化繁为简, 化难为易, 从而找到解题的捷径。
【真题演练】1. 若（x2+y2﹣2）2=9，则x2+y2的值为（）A．1 B．﹣1 C．5 D．5或﹣1【解析】：设t=x2+y2（t≥0），由原方程得：（t﹣2）2=9，解得t﹣2=±3，解得t=5或t=﹣1（舍去）．故选：C．2. 用“整体法”求得方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解为（）A．x1=1，x2=3 B．x1=﹣2，x2=3 C．x1=﹣3，x2=﹣1 D．x1=﹣2，x2=﹣1【解析】：（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0，设2x+5=y，则原方程变形为y2﹣4y+3=0，解得：y1=1，y2=3，当y=1时，2x+5=1，解得：x=﹣2，当y=3时，2x+5=3，解得：x=﹣1，即原方程的解为x1=﹣2，x2=﹣1，故选：D．3. 若实数a，b满足（2a+2b）（2a+2b﹣2）﹣8=0，则a+b=．【解析】设a+b=x，则由原方程，得2x（2x﹣2）﹣8=0，整理，得4x2﹣4x﹣8=0，即x2﹣x﹣2=0，分解得：（x+1）（x﹣2）=0，解得：x1=﹣1，x2=2．则a+b的值是﹣1或2．故答案是：﹣1或2．4. 阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=4时，x2=4，∴x=±2；∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到的目的，体现了数学的转化思想．【解析】：（1）换元，降次（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，解得y1=6，y2=﹣2．由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．【名词释义】概念：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。
初中数学换元法
②、 (x 1) (x 2) (x 6) (x 3) x2
③、 2009x 2 (20092 1)x 2009
★2、在代数式的计算、化简中的运用
1、 如果 a b c 0 ， 1 1 1 0 ，求： (a 1)2 (b 2)2 (c 3)2 的值。 a 1 b 2 c 3
their being are g 3、 若 x2 xy y 14, y2 xy x 28，求 x y 的值。 nd All things in 4、 若 a b 2 a 1 4 b 2 3 c 3 c 5，求 a b c 的值。
a 2 y one thing at a time 3
3
in their being are g 2、 a1， a2 ， ,a2004 都是正数，如果 M (a1 a2 a2003)(a2 a3 a2004) ，
gs N (a1 a2 a2004 )(a2 a3 a2003) ，那么 M 、 N 的大小关系是（
）
thin A、 M N
nd S 学如逆水行舟，不进则退。 ing a ②已知 x2 x 1 0 ，求代数式 x3 2x2 2002 的值。
②、解方程 x2 1 2 x 1 。
x2
x
for someth ★3、在方程、不等式中的运用
od 1、 求方程 x 2 10 3x 的实数解。
o x2 2 x
。
ethin ◆目标训练五：
om 1、已知 for s A. 3 ;
a(a 4) b2
2b 5 ，则
ab
的值等于（
ab
1
B. ;
3
C. 3;
）
D. 1 . 3
od 2、若实数 x 、 y 满足 x2 y 2 4x 2 y 5 0 ，求
2018中考数学专题复习 换元法解答通关50题(pdf)
h．
4. 解下列方程组．
（1）
⸷
⸷
（2）
㤠
5. 阅读并探索：在数学中，有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决．例：试
比较 h hh数 h hh 与 h hh㤠 h hh数 的大小．
解：设 h hh数 ， h hh数 h hh ， h hh㤠 h hh数，
㤵（填“ ”、“ ”或“ ”）；
②当 点在抛物线上运动时，猜想 R 与 㤵 有何数量关系，并证明你的猜想；
（3）当 㤵R 为等边三角形时，求点 坐标；
（4）如图 2，设点 h ⸷ ，问是否存在点 ，使得以 ，R，㤵 为顶点的三角形与 th 相
似?若存在，求出 点的坐标；若不存在，请说明理由．
19. 若
7. 解下列分式方程：
（1）
；
（2） ；
（3）
；
（4）
．
8. 下面是某同学对多项式
解：设 ，
原式
㤠 第一步 数 㤠 第二步 第三步
第四步
请问：
（1）该同学因式分解的结果是否彻底?
出因式分解的最后结果．
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式
，t
，试比较
与 t 的大小．
20. 分解因式：
㤠．
21. 阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．
计算：
令 t， 则
原式
t t
tt
t t t tt
．
问题：计算：
t h
t
h h
初中数学换元法练习
（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计 ， 两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加 和 ．由于 品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨 ，而 品种的售价保持不变， ， 两个品种全部售出后总收入将增加 ，求 的值．
25.阅读材料：为解方程 ，我们可以将 视为一个整体，然后设 ，则 ，原方程化为 ①，解得 ， ．
当 时， ， ， ；
当 时， ， ， ；
原方程的解是 ， ， ， ．
解答问题：（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中利用了换元法达到了的目的；
（2）利用材料中的方法解方程： ．
答案
第一部分
1. B
2. C
因为 不小于 ，
所以 ．
13. 或
【解析】 ，
将 两边同除以 得： ，
令 ，则 ，
因式分解得： ，
解得 或 ，
即 的值是 或 ．
14.
【解析】设 ，则方程 可变形为： ，
方程两边同乘 ，整理得 ．
故答案为： ．
15.无解
【解析】设 ， ，则 ．
原方程化为 ．
又 ，
，
，解得 ．
经检验， 是增根．故原方程无解．
7.用换元法解方程 时，如果设 ，则原方程可化为
A. B. C. D.
8.我们知道方程组： 的解是 则方程组 的解是
A. B. C. D.
9.为求 的值，可令 ，则 ，因此 ．仿照以上推理，计算出 的值为
A. B. C. D.
10.在求 的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的 倍，于是她设： 然后在 式的两边都乘以 ，得： 得 ，即 ，所以 得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“ ”换成字母“ ”（ 且 ）能否求出 的值?你的答案是
初中数学十大思想方法-换元法
解：（用平均值 x x 4 代换） 2
设 y= x－2 ，则 x=y+2.
原方程化为 (y+2)4+(y－2)4=626.
［((y+2)2－(y－2)2)2＋2(y+2)2(y－2)2－626=0
整理，得 y4+24y2－297=0.
(这是关于 y 的双二次方程).
(y2+33)(y2－9)=0.
3. (2x+7)4+(2x+3)4=32 .
4. (2x2－x－6)4+(2x2－x－8)4=16.
5. (2 5 x 1 1)4+(2 5 x 1 3 )4=16.
6.
x x2 1
x1 =3
2
.
x2
7. 2x4－3x3－x2－3x+2=0.
x 2 y 2 x y 18 8. x 2 y 2 xy 19
则
x2+
1 x2
=y2－2.
原方程化为 2y2+3y－20=0.
5
解得 y=－4；或 y= .
2
由 y=－4 得 x=－2+ 3 ；或 x=－2－ 3 .
由 y=2.5 得
x=2；或 x= 1 . 2
2x 2 5xy 2 y 2 x y 1 0 例 4 解方程组 x 2 4xy y 2 12x 12 y 10 0
形如 ax4－bx3+cx2＋bx+a=0 的方程，其特点是：
与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数.
x
2
1
x
2
1
两边都除以 x2, 可化为 a(x2+
巧用换元法解数学题
１利用三角 函数 的平方关 系 ｛ ｎ ＋ ＝ｅ ： 行巧妙的代 ． ｔ ２ １ ｓｃ 进 ａｘ
【 ｏ２ ＋ ｃ ｃｘ ｃ ｔ １ ｓ ２ ｘ
＝
＝
４ｉ ０ ｓｎＺ－８ｓｎ０ —Ｃ Ｓ０ ｉ ＋４ —Ｏ ２ ５ｉ ０ ｓｎ２－８ｓｎ０ ｉ ＋３
换 ． 以把 根 式 转 化 为有 理 式 ． 把 繁 杂 的 式 子 化 简 可 或
ｆ ａｉ ｘ＝ ｓｎｔ
＝
５ｓ （ｉ
，
在积分学中， 利用｛＝ｔ ｔ ａ ｎ 来求 、 ａ ／
ｔ ｘ＝ａｓｅｃｔ
） 厂ｘＶｚ ） 或 （／ ￣一
所 以 ， ｓ ０ 时 ｚ｜一 ； ｓ ０ 一 当 ｉ ＝４ ｎ Ｉ 当 ｉ ＝ １时 ， １ 。 ＝ ｎ 。 ＝ ０
之 类 的 积 分 是 求 积 分 的 基 本 方 法 之 一 对 于 其 他 某 些 题 目用 此 变 换 往 往 也 能 巧 解 问 题
元 法在 解题 中 的巧 妙 运 用 ． 培 养 学 生 换 元 的 思 想 以
关 键 词 ： 原 法 ： 原 ： 换 还 还 代 “ 元” 换 的思 想 和 方 法 ． 数 学 里 有 着 广泛 的 应 用 。不 少 数 在 学 问题 的解 决 “ ” 难 在 换 元 ． 巧 ” 巧 在换 元 。 有 时 通 过 适 难 就 “ 也 当 的代 换 ． 不但 可 以 简 化 书 写 ． 繁 为 简 。 重 要 的 是 能 够 使 数 变 更 学 关 系 明 朗化 ． 化难 为 易 。 面 我 们 就 用 实 例 进 行 分 析 ， 用 换 下 利 元 的方 法 巧 妙 解 决 一 些 数 学 问 题 有 些 数 学 问 题 让 人 无 从 下 手 ． 果 我 们 仔 细 观 察 ． 妙 地 如 巧 运 用 换 元 法 ， 会 使 问题 出现 转 折 ． 峰 回路 转 的 功 效 。 就 有
中考数学复习换元法解一元二次方程专项练习35题
换元法解一元二次方程(1)（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8=0(2)（2x2﹣3x）2+5（2x2﹣3x）+4=0．(3)已知：（x2+2x﹣1）（x2+2x+2）=4，求x2+2x的值”(4)已知：（x2+y2﹣3）（2x2+2y2﹣4）=24，求x2+y2的值．（5）（x2﹣2x）2+（x2﹣2x）﹣2=0 （6）2（﹣x）2﹣（x ﹣）﹣1=0．（7）（x﹣1）2+5（1﹣x）﹣6=0 （8）（x+3）2﹣5（x+3）﹣6=0．（9）2（x﹣1）2+5（x﹣l）+2=0．（10）（x+2）2﹣3（x+2）+2=0．（11）（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）=﹣6 （12）（2x﹣x2）2﹣2（x2﹣2x）+1=0．（13）（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0．（14）（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3=0 （15）已知（a+2b）2﹣2a﹣4b+1=0，求（a+2b）2020的值．（16）（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6=0，（17）已知（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6=0，求a2+b2的值．（18）（2x+1）2﹣6（2x+1）+5=0（19）（x2+3x﹣4）2+（2x2﹣7x+6）2=（3x2﹣4x+2）2．（20）已知（x2+y2）2﹣3（x2+y2）﹣40=0，求x2+y2．（21）（x2+x）（x2+x﹣3）﹣3（x2+x）+8=0．（22）（x+2）2+6（x+2）﹣91=O；（23）（3x﹣2）2+（2﹣3x）=20．（24）（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8=0．（25）（x2﹣2）2﹣7（x2﹣2）=0．（26）已知（x2+y2）（x2+y2+2）﹣8=0，求x2+y2的值．（27）已知x，y满足方程x4+y4+2x2y2﹣x2﹣y2﹣12=0，求x2+y2的值．（28）（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，（29）（x2﹣x）2﹣8（x2﹣x）+12=0．（30）（x2+x）2﹣8（x2+x）+12=0． (31)（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0， (32)（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3=0(33)（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，（34）x（x+3）（x2+3x+2）=24．（35）已知：（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣12=0，求x2+y2的值．换元法解一元二次方程35题参考答案：(1)（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8=0解：设x2﹣3x=y则原方程可化为y2﹣2y﹣8=0解得：y1=﹣2，y2=4当y=﹣2时，x2﹣3x=﹣2，解得x1=2，x2=1当y=4时，x2﹣3x=4，解得x1=4，x2=﹣1∴原方程的根是x1=2，x2=1，x3=4，x4=﹣1，(2)（2x2﹣3x）2+5（2x2﹣3x）+4=0．解：设2x2﹣3x=y，原方程转化为：y2+5y+4=0（1分），解得：y1=﹣4，y2=﹣1（3分）当y1=﹣4时，2x2﹣3x+4=0，无实数根．（4分）当y2=﹣1时，2x2﹣3x+1=0，解得x1=，x2=1．故原方程根为x1=，x2=1(3)（x2+2x﹣1）（x2+2x+2）=4，求x2+2x的值”，解：设x2+2x=y，则原方程可变为：（y﹣1）（y+2）=4整理得y2+y﹣2=4即：y2+y﹣6=0解得y1=﹣3，y2=2∴x2+2x的值为﹣3或2(4)已知：（x2+y2﹣3）（2x2+2y2﹣4）=24，求x2+y2的值．解：设x2+y2=m，则原方程可变为：（m﹣3）（2m﹣4）=24∴2（m﹣3）（m﹣2）=24．∴m2﹣5m+6=12．∴m2﹣5m﹣6=0解得m1=6，m2=﹣1∵x2+y2≥0∴x2+y2的值为6（5）（x2﹣2x）2+（x2﹣2x）﹣2=0解：设y=x2﹣2x原方程可变为：y2+y﹣2=0解方程得y=﹣2或1所以x2﹣2x=﹣2或1．当x2﹣2x=﹣2时，△＜0，没实数根，当x2﹣2x=1时，解得x=1±．∴原方程的根是x1=1+，x2=1﹣（6）2（﹣x）2﹣（x ﹣）﹣1=0．解：2（﹣x）2﹣（x ﹣）﹣1=0，变形得：2（x ﹣）2﹣（x ﹣）﹣1=0，设y=x ﹣，则原方程可化为2y2﹣y﹣1=0，…（2分）因式分解得：（2y+1）（y﹣1）=0，解得：y=﹣或y=1，…（5分）当y=﹣时，x ﹣=﹣，解得：x=0；当y=1时，x ﹣=1，解得：x=，∴x1=，x2=0（7）（x﹣1）2+5（1﹣x）﹣6=0解：设x﹣1=y，则原方程可化为：y2﹣5y﹣6=0，∴y1=﹣1，y2=6，∴x﹣1=﹣1，x﹣1=6∴x1=0，x2=7（8）（x+3）2﹣5（x+3）﹣6=0．解：设y=x+3，则原方程可化为y2﹣5y﹣6=0．解得：y1=6，y2=﹣1．当y1=6时，x+3=6，x1=3；当y2=﹣1时，x+3=﹣1，x2=﹣4．∴x1=3，x2=﹣4（8）2（x﹣1）2+5（x﹣l）+2=0．解：设x﹣l=y，则由原方程，得2y2+5y+2=0，即（y+2）（2y+1）=0，∴y+2=0，或2y+1=0，解得，y=﹣2，或y=﹣；①当y=﹣2时，x﹣1=﹣2，解得，x=﹣1；②当y=﹣时，x﹣1=﹣，解得，x=；综上所述，原方程的解是x1=﹣1，x2=（9）（x+2）2﹣3（x+2）+2=0．解：令x+2=t，原方程可化为t2﹣3t+2=0，（t﹣1）（t﹣2）=0，解得t1=1，t2=2，∴x+2=1或x+2=2，∴x1=﹣1，x2=0（10）（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）=﹣6解：（1）∵3x2﹣5x﹣2=0∴（3x+1）（x﹣2）=0即3x+1=0或x﹣2=0解得x1=2；x2=．（11）设t=2x﹣3，则原方程可化为：t2﹣5t+6=0 ∴（t﹣2）（t﹣3）=0∴t=2或3，即2x﹣3=2或3解得x1=；x2=3（12）根据题意，令y=x2﹣2x，原方程可化为：y2﹣2y+1=0，解得y=1，即x2﹣2x=1，可用公式法求解，其中a=1，b=﹣2，c=﹣1，∴△=8＞0，∴方程的解为x==，即x1=1﹣，x2=1+（13）（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0．解：设x2﹣1=t．则由原方程，得t2﹣5t+4=0，即（t﹣1）（t﹣4）=0，解得，t=1或t=4；①当t=1时，x2﹣1=1，∴x2=2，∴x=±；②当t=4时，x2﹣1=4，∴x2=5，∴x=±．综合①②，原方程的解是：x1=，x2=﹣，x3=，x4=﹣（14）（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3=0解：设x2﹣x=y，所以原方程变化为：y2﹣2y﹣3=0，解得y=﹣1或3，当y=﹣1时，x2﹣x=﹣1，无解；当y=3时，x2﹣x=3，解得，x1=，x2=，∴原方程的解为x1=，x2=（15）已知（a+2b）2﹣2a﹣4b+1=0，求（a+2b）2020的值．解：根据题意，设a+2b=x，代入原方程得：x2﹣2x+1=0，即（x﹣1）2=0∴x=1，即a+2b=1，所以（a+2b）2020=1（16）（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6=0解：根据题意x2﹣x=y，把原方程中的x2﹣x换成y，所以原方程变化为：y2﹣5y+6=0，解得y=2或3，当y=2时，x2﹣x=2，解得：x1=2，x2=﹣1；当y=3时，x2﹣x=3，解得，x3=，x4=，∴原方程的解为x1=2，x2=﹣1，x3=，x4=．（17）已知（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6=0，求a2+b2的值．解：设a2+b2=y据题意得y2﹣y﹣6=0解得y1=3，y2=﹣2∵a2+b2≥0∴a2+b2=3（18）（2x+1）2﹣6（2x+1）+5=0解：设2x+1=a，原方程可化为a2﹣6a+5=0，解得a=1或5，当a=1时，即2x+1=1，解得x=0；当a=5时，即2x+1=5，解得x=2；∴原方程的解为x1=0，x2=2（19）．解：设u=x2+3x﹣4，v=2x2﹣7x+6，则u+v=3x2﹣4x+2．则原方程变为u2+v2=（u+v）2，即u2+v2=u2+2uv+v2，∴uv=0，∴u=0或v=0，即x2+3x﹣4=0或2x2﹣7x+6=0．解得（20）解：设x2+y2=t（t≥0），则t2﹣3t﹣40=0，所以（t﹣8）（t+5）=0，解得，t=8或t=﹣5（不合题意，舍去），故x2+y2=8（21）解：设x2+x=y，原方程可变形为：y（y﹣3）﹣3y+8=0，y2﹣6y+8=0，（y﹣4）（y﹣2）=0，解得：y1=4，y2=2，当y1=4时，x2+x=4，解得：x1=，x2=．当y2=2时，x2+x=2，解得：x3=1，x4=﹣2（22）（x+2）2+6（x+2）﹣91=O；设x+2=y，则原方程可变形为：y2+6y﹣91=0，解得：y1=7，y2=﹣13，当y1=7时，x+2=7，x1=5，当y2=﹣13时，x+2=﹣13，x2=﹣15；（23）设3x﹣2=t，则t2﹣t﹣20=0，∴（t+4）（t﹣5）=0，∴t+4=0或t﹣5=0，解得 t=﹣4或t=5．当t=﹣4时，3x﹣2=﹣4，解得 x=﹣；当t=5时，3x﹣2=5，解得 x=，综上所述，原方程的解为：x=﹣或 x=．（24）解：（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8=0，分解因式得：（x2﹣3x﹣4）（x2﹣3x+2）=0，即（x﹣4）（x+1）（x﹣1）（x﹣2）=0，可得x﹣4=0或x+1=0或x﹣1=0或x﹣2=0，解得：x1=4，x2=﹣1，x3=1，x4=2（25）解：根据题意，把y=x2﹣2代入方程（x2﹣2）2﹣7（x2﹣2）=0得：y2﹣7y=0，解得y1=0，y2=7，当y1=0时，即x2﹣2=0，解得：x1=﹣，x2=，当y2=7时，即x2﹣2=7，解得：x3=﹣3，x4=3，∴原方程的解为：x1=﹣，x2=，x3=﹣3，x4=3（26）已知（x2+y2）（x2+y2+2）﹣8=0，求x2+y2的值．解：设x2+y2=t，则原方程变形为t（t+2）﹣8=0，整理得t2+2t﹣8=0，∴（t+4）（t﹣2）=0，∴t1=﹣4，t2=2，当t=﹣4时，则x2+y2=﹣4，无意义舍去，当t=2时，则x2+y2=2．所以x2+y2的值为2（27）已知x，y满足方程x4+y4+2x2y2﹣x2﹣y2﹣12=0，求x2+y2的值．解：∵x4+y4+2x2y2﹣x2﹣y2﹣12=0，∴（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣12=0，即（x2+y2+3）（x2+y2﹣4）=0，∴x2+y2=﹣3，或x2+y2=4，∵x2+y2≥0，∴x2+y2=4 (28)解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，设x2﹣1=y原方程可化为y2﹣5y+4=0，解此方程得y1=1，y2=4．当y=1时，x2﹣1=1，∴x=±；当y=4时，x2﹣1=4，∴x=±，∴原方程的解为x1=，x2=﹣，x3=，x4=﹣．（29）解方程：（x2﹣x）2﹣8（x2﹣x）+12=0．设x2﹣x=A，由题意，得A2﹣8A+12=0，解得：A1=6，A2=2．当A=6时，x2﹣x=6，解得：x1=3，x2=﹣2；当A=2时，x2﹣x=2，解得：x3=2，x4=﹣1．∴原方程的解为：x1=6，x2=﹣2，x3=2，x4=﹣1 （30）解方程：（x2+x）2﹣8（x2+x）+12=0．解：设y=x2+x，方程化为y2﹣8y+12=0，即（y﹣2）（y﹣6）=0，解得y=2或y=6，即x2+x=2或x2+x=6，分解因式得：（x+2）（x﹣1）=0或（x﹣2）（x+3）=0，解得：x1=﹣2，x2=1，x3=2，x4=﹣3（31）解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，解;设x2﹣1=y，即（x2﹣1）2=y2，原方程可化为y2﹣5y+4=0，又化为（y﹣1）（y﹣4）=0解得y1=1，y2=4．当y=1即x2﹣1=1时，x2=2，x=±；x1=，x2=﹣当y=4即x2﹣1=4时，x2=5，x=±；x3=，x4=﹣(32)解方程（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3=0解：设x2﹣2x=y，即（x2﹣2x）2=y2，原方程可化为y2﹣2y﹣3=0，解得y1=3，y2=﹣1，当y1=3时，x2﹣2x=3，解得x1=3，x2=﹣1；当y2=﹣1时，x2﹣2x=﹣1，解得x3=x4=1；∴原方程的解为x1=3，x2=﹣1；x3=x4=1（33）解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，解：设x2﹣1=y，则原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y1=1时，x2﹣1=1，∴；当y2=4时，x2﹣1=4，∴．因此原方程的解为：．（34）设x2+3x=y．∵x（x+3）（x2+3x+2）=24，∴（x2+3x）（x2+3x+2）=24，∴y（y+2）=24，即（y﹣4）（y+6）=0，解得，y=4或y=﹣6；①当y=4时，x2+3x=4，即（x﹣1）（x+4）=0，解得，x1=﹣4，x2=1；②当y=﹣6时，x2+3x=﹣6，即x2+3x+6=0，∵△=9﹣24=﹣15＜0，∴该方程无解；综上所述，原方程的根是：x1=﹣4，x2=1 （35）解：（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣12=0，设x2+y2=a，则有a2﹣a﹣12=0，因式分解得：（a﹣4）（a+3）=0，解得：a1=4，a2=﹣3，∵x2+y2＞0，即a＞0，∴a=﹣3不合题意，舍去，则x2+y2=a=4中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意） 1．关于x 的分式方程230x x a+=-解为4x =，则常数a 的值为( ) A ．1a = B ．2a = C ．4a =D ．10a =【答案】D【解析】根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a 的一次方程，解得a 的值即可． 【详解】解：把x=4代入方程230x x a+=-，得 23044a+=-， 解得a=1．经检验，a=1是原方程的解 故选D ．点睛：此题考查了分式方程的解，分式方程注意分母不能为2．2．如图，钓鱼竿AC 长6m ，露在水面上的鱼线BC 长32m ，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC 转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为33m ，则鱼竿转过的角度是（ ）A ．60°B ．45°C ．15°D ．90°【答案】C【解析】试题解析：∵sin ∠CAB=32262BC AC ==∴∠CAB=45°． ∵33362B C sin C AB AC '''∠==='， ∴∠C′AB′=60°． ∴∠CAC′=60°-45°=15°， 鱼竿转过的角度是15°． 故选C ．考点：解直角三角形的应用．3． 如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝50°，则∠2＝（ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°【答案】C【解析】由两直线平行，同位角相等，可求得∠3的度数，然后求得∠2的度数． 【详解】∵∠1=50°， ∴∠3=∠1=50°，∴∠2=90°−50°=40°. 故选C. 【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟悉掌握性质是关键. 4．用加减法解方程组437651x y x y +=⎧⎨-=-⎩①②时，若要求消去y ，则应（ ） A ．32⨯+⨯①② B ．3-2⨯⨯①② C ．53⨯+⨯①②D ．5-3⨯⨯①②【答案】C【解析】利用加减消元法53⨯+⨯①②消去y 即可．【详解】用加减法解方程组437651x y x y +=⎧⎨-=-⎩①②时，若要求消去y ，则应①×5+②×3， 故选C 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 5．如图，已知∠1＝∠2，要使△ABD ≌△ACD ，需从下列条件中增加一个，错误的选法是（ ）A ．∠ADB ＝∠ADC B ．∠B ＝∠C C ．AB ＝ACD ．DB ＝DC【答案】D【解析】由全等三角形的判定方法ASA 证出△ABD ≌△ACD ，得出A 正确；由全等三角形的判定方法AAS 证出△ABD ≌△ACD ，得出B 正确；由全等三角形的判定方法SAS 证出△ABD ≌△ACD ，得出C 正确．由全等三角形的判定方法得出D 不正确；【详解】A 正确；理由： 在△ABD 和△ACD 中，∵∠1=∠2，AD=AD ，∠ADB=∠ADC ， ∴△ABD ≌△ACD （ASA ）； B 正确；理由： 在△ABD 和△ACD 中， ∵∠1=∠2，∠B=∠C ，AD=AD ∴△ABD ≌△ACD （AAS ）； C 正确；理由： 在△ABD 和△ACD 中，∵AB=AC ，∠1=∠2，AD=AD ， ∴△ABD ≌△ACD （SAS ）；D 不正确，由这些条件不能判定三角形全等； 故选：D ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法；三角形全等的判定是中考的热点，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．6．某公司第4月份投入1000万元科研经费,计划6月份投入科研经费比4月多500万元.设该公司第5、6个月投放科研经费的月平均增长率为x,则所列方程正确的为( ) A ．1000(1+x)2=1000+500B ．1000(1+x)2=500C ．500(1+x)2=1000D ．1000(1+2x)=1000+500 【答案】A【解析】设该公司第5、6个月投放科研经费的月平均增长率为x ，5月份投放科研经费为1000（1+x ），6月份投放科研经费为1000（1+x ）（1+x ），即可得答案.【详解】设该公司第5、6个月投放科研经费的月平均增长率为x ，则6月份投放科研经费1000（1+x ）2=1000+500， 故选A.【点睛】考查一元二次方程的应用，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x）2=b．7．如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E；B、E是半圆弧的三等分点，BD 的长为43π，则图中阴影部分的面积为（）A．4633π-B．8933π-C．33223π-D．8633π-【答案】D【解析】连接BD，BE，BO，EO，先根据B、E是半圆弧的三等分点求出圆心角∠BOD的度数，再利用弧长公式求出半圆的半径R，再利用圆周角定理求出各边长，通过转化将阴影部分的面积转化为S△ABC﹣S扇形BOE，然后分别求出面积相减即可得出答案.【详解】解：连接BD，BE，BO，EO，∵B，E是半圆弧的三等分点，∴∠EOA＝∠EOB＝∠BOD＝60°，∴∠BAD＝∠EBA＝30°，∴BE∥AD，∵BD的长为43π，∴6041803Rππ=解得：R＝4，∴AB＝ADcos30°＝43，∴BC＝12AB＝23，∴AC＝3BC＝6，∴S△ABC＝12×BC×AC＝12×23×6＝63，∵△BOE和△ABE同底等高，∴△BOE和△ABE面积相等，∴图中阴影部分的面积为：S△ABC﹣S扇形BOE＝2604863633603ππ⨯-=-故选：D．【点睛】本题主要考查弧长公式，扇形面积公式，圆周角定理等，掌握圆的相关性质是解题的关键.8．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，沿CE 折叠△CDE，点D恰好落在AC的中点F处，若CD ＝3，则△ACE的面积为（）A．1 B3C．2 【答案】B【解析】由折叠的性质可得3DE=EF，AC=23由三角形面积公式可求EF的长，即可求△ACE的面积．【详解】解：∵点F是AC的中点，∴AF=CF=12AC，∵将△CDE沿CE折叠到△CFE，∴CD=CF=3，DE=EF，∴AC=23，在Rt△ACD中，AD=22AC CD-=1．∵S△ADC=S△AEC+S△CDE，∴12×AD×CD=12×AC×EF+12×CD×DE∴1×3=23EF+3DE，∴DE=EF=1，∴S△AEC=12×23×1=3．故选B．【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，熟练运用三角形面积公式求得DE=EF=1是解决本题的关键．9．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2的度数为（）．A．50°B．40°C．30°D．25°【答案】B【解析】解：如图，由两直线平行，同位角相等，可求得∠3=∠1=50°，根据平角为180°可得，∠2=90°﹣50°=40°．故选B．【点睛】本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题关键．10．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（）A．10°B．20°C．50°D．70°【答案】B【解析】要使木条a与b平行，那么∠1=∠2，从而可求出木条a至少旋转的度数.【详解】解：∵要使木条a与b平行，∴∠1=∠2，∴当∠1需变为50 º，∴木条a至少旋转：70º-50º=20º.故选B.【点睛】本题考查了旋转的性质及平行线的性质：①两直线平行同位角相等；②两直线平行内错角相等；③两直线平行同旁内角互补；④夹在两平行线间的平行线段相等.在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角.二、填空题（本题包括8个小题）11．已知函数22y x x=--，当时，函数值y随x的增大而增大．【答案】x≤﹣1．【解析】试题分析：∵22y x x=--=2(1)1x-++，a=﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=﹣1，∴当x≤﹣1时，y随x的增大而增大，故答案为x≤﹣1．考点：二次函数的性质．12．将三角形纸片（ABC ∆）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点'B ，折痕为EF ，已知3AB AC ==，4BC =，若以点'B ，F ，C 为顶点的三角形与ABC ∆相似，则BF 的长度是______.【答案】127或2 【解析】由折叠性质可知B’F=BF ，△B’FC 与△ABC 相似，有两种情况，分别对两种情况进行讨论，设出B’F=BF=x ，列出比例式方程解方程即可得到结果. 【详解】由折叠性质可知B’F=BF ，设B’F=BF=x ，故CF=4-x当△B’FC ∽△ABC ，有'B F CFAB BC=，得到方程434x x -=，解得x=127，故BF=127； 当△FB’C ∽△ABC ，有'B F FCAB AC=，得到方程433x x -=，解得x=2，故BF=2； 综上BF 的长度可以为127或2.【点睛】本题主要考查相似三角形性质，解题关键在于能够对两个相似三角形进行分类讨论.13．已知关于 x 的函数 y=（m ﹣1）x 2+2x+m 图象与坐标轴只有 2 个交点，则m=_______． 【答案】1 或 0 15± 【解析】分两种情况讨论：当函数为一次函数时，必与坐标轴有两个交点；当函数为二次函数时，将（0，0）代入解析式即可求出m 的值．【详解】解：（1）当 m ﹣1=0 时，m=1，函数为一次函数，解析式为 y=2x+1，与 x 轴 交点坐标为（﹣12，0）；与 y 轴交点坐标（0，1）．符合题意．（2）当 m ﹣1≠0 时，m≠1，函数为二次函数，与坐标轴有两个交点，则过原点，且与 x 轴有两个不同的交点，于是△=4﹣4（m ﹣1）m ＞0， 解得，（m ﹣12）2＜54，解得 m 1+5或 m 1-5． 将（0，0）代入解析式得，m=0，符合题意． （3）函数为二次函数时，还有一种情况是：与 x 轴只有一个交点，与 Y 轴交于交于另一点， 这时：△=4﹣4（m ﹣1）m=0， 解得：15± ． 故答案为1 或 0 15±． 【点睛】此题考查一次函数和二次函数的性质，解题关键是必须分两种情况讨论，不可盲目求解．14．若关于x 的不等式组3122x a x x ->⎧⎨->-⎩无解， 则a 的取值范围是 ________.【答案】2a ≥-【解析】首先解每个不等式，然后根据不等式无解，即两个不等式的解集没有公共解即可求得．【详解】3122x a x x ->⎧⎨->-⎩①②，解①得：x ＞a+3， 解②得：x ＜1．根据题意得：a+3≥1， 解得：a ≥-2． 故答案是：a≥-2． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的步骤.．15．将23x =代入函数1y x=-中，所得函数值记为1y ，又将11x y =+代入函数1y x=-中，所得的函数值记为2y ，再将21x y =+代入函数中，所得函数值记为3y …，继续下去．1y =________；2y =________；3y =________；2006y =________．【答案】32- 2 13- 2【解析】根据数量关系分别求出y1，y2，y3，y4，…，不难发现，每3次计算为一个循环组依次循环，用2006除以3，根据商和余数的情况确定y2006的值即可． 【详解】y 1=32-， y 2=−1312-+=2，y 3=−112+=13-，y 4=−1113-+=32-，…，∴每3次计算为一个循环组依次循环， ∵2006÷3=668余2，∴y2006为第669循环组的第2次计算，与y2的值相同， ∴y2006=2，故答案为32-；2；13-；2.【点睛】本题考查反比例函数的定义，解题的关键是多运算找规律.16．让我们轻松一下，做一个数字游戏： 第一步：取一个自然数15n =，计算211n +得1a ；第二步：算出1a 的各位数字之和得2n ，计算221n +得2a ；第三步：算出2a 的各位数字之和得3n ，再计算231n +得3a ；依此类推，则2019a =____________【答案】1【解析】根据题意可以分别求得a 1，a 2，a 3，a 4，从而可以发现这组数据的特点，三个一循环，从而可以求得a 2019的值． 【详解】解：由题意可得， a 1=52+1=26， a 2=（2+6）2+1=65， a 3=（6+5）2+1=1， a 4=（1+2+2）2+1=26， …∴2019÷3=673， ∴a 2019= a 3=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查数字变化类规律探索，解题的关键是明确题意，求出前几个数，观察数的变化特点，求出a 2019的值．17．亚洲陆地面积约为4400万平方千米，将44000000用科学记数法表示为_____． 【答案】4.4×1【解析】分析：科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．详解：44000000=4.4×1，故答案为4.4×1．点睛：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．18．如图，在每个小正方形边长为1的网格中，ABC△的顶点A，B，C均在格点上，D为AC 边上的一点.线段AC的值为______________;在如图所示的网格中，AM是ABC△的角平分线，在AM上求一点P，使CP DP+的值最小，请用无刻度的直尺，画出AM 和点P，并简要说明AM和点P的位置是如何找到的（不要求证明）___________.【答案】（Ⅰ）5（Ⅱ）如图，取格点E、F，连接AE与BC交于点M，连接DF与AM交于点P.【解析】（Ⅰ）根据勾股定理进行计算即可.（Ⅱ）根据菱形的每一条对角线平分每一组对角，构造边长为1的菱形ABEC，连接AE交BC于M，即可得出AM是ABC的角平分线，再取点F使AF=1，则根据等腰三角形的性质得出点C与F关于AM对称，连接DF交AM于点P，此时CP DP+的值最小．【详解】（Ⅰ）根据勾股定理得AC=22345+=；故答案为：1．（Ⅱ）如图，如图，取格点E、F，连接AE与BC 交于点M，连接DF与AM交于点P，则点P即为所求．说明：构造边长为1的菱形ABEC，连接AE交BC 于M，则AM即为所求的ABC的角平分线，在AB上取点F，使AF=AC=1，则AM垂直平分CF，点C与F关于AM对称，连接DF交AM于点P，则点P即为所求．【点睛】本题考查作图-应用与设计，涉及勾股定理、菱形的判定和性质、几何变换轴对称—最短距离等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题．三、解答题（本题包括8个小题）19．某校对六至九年级学生围绕“每天30分钟的大课间，你最喜欢的体育活动项目是什么？（只写一项）”的问题，对在校学生进行随机抽样调查，从而得到一组数据．如图是根据这组数据绘制的条形统计图，请结合统计图回答下列问题：该校对多少学生进行了抽样调查？本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的有多少？占被调查人数的百分比是多少？若该校九年级共有200名学生，如图是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，请估计全校六至九年级学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少？【答案】（1）50（2）36％（3）160【解析】（1）根据条形图的意义，将各组人数依次相加即可得到答案；（2）根据条形图可直接得到最喜欢篮球活动的人数，除以（1）中的调查总人数即可得出其所占的百分比；（3）用样本估计总体，先求出九年级占全校总人数的百分比，然后求出全校的总人数；再根据最喜欢跳绳活动的学生所占的百分比，继而可估计出全校学生中最喜欢跳绳活动的人数．【详解】（1）该校对50名学生进行了抽样调查．()2本次调查中，最喜欢篮球活动的有18人，18100%36%50⨯=， ∴最喜欢篮球活动的人数占被调查人数的36%． （3）()130%26%24%20%-++=，20020%1000÷=人， 8100%100016050⨯⨯=人． 答：估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为160人．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图中各部分占总体的百分比之和为1，直接反映部分占总体的百分比大小．20．先化简：2222421121x x x x x x x ---÷+--+，然后在不等式2x ≤的非负整数解中选择一个适当的数代入求值. 【答案】21x +；2. 【解析】先将后面的两个式子进行因式分解并约分，然后计算减法，根据题意选择x=0代入化简后的式子即可得出答案.【详解】解：原式=()()()()222121112x x xx x x x ---⋅++-- =()21211x x x x --++ =21x + 2x ≤的非负整数解有：2,1,0,其中当x 取2或1时分母等于0，不符合条件，故x 只能取0∴将x=0代入得：原式=2 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，注意选择数时一定要考虑化简前的式子是否有意义.21．有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18吨，2辆大货车与6辆小货车一次可以运货17吨. 请问1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多少吨？ 目前有33吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共计10辆，全部货物一次运完，其中每辆大货车一次运费花费130元，每辆小货车一次运货花费100元，请问货运公司应如何安排车辆最节省费用？【答案】（1）1辆大货车一次可以运货4吨，1辆小货车一次可以运货32吨；（2）货运公司应安排大货车8辆时，小货车2辆时最节省费用.【解析】（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x 吨和y 吨，根据“3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18吨、2辆大货车与6辆小货车一次可以运货17吨”列方程组求解可得；（2）因运输33吨且用10辆车一次运完，故10辆车所运货不低于10吨，所以列不等式，大货车运费高于小货车，故用大货车少费用就小进行安排即可．【详解】（1）解：设1辆大货车一次可以运货x 吨，1辆小货车一次可以运货y 吨，依题可得：34182617x y x y +=⎧⎨+=⎩ , 解得：432x y =⎧⎪⎨=⎪⎩.答：1辆大货车一次可以运货4吨，1辆小货车一次可以运货32吨. （2）解：设大货车有m 辆，则小货车10-m 辆，依题可得：4m+32（10-m ）≥33m≥0 10-m≥0 解得：365≤m≤10， ∴m=8,9,10；∴当大货车8辆时，则小货车2辆； 当大货车9辆时，则小货车1辆； 当大货车10辆时，则小货车0辆； 设运费为W=130m+100(10-m ）=30m+1000， ∵k=30〉0，∴W 随x 的增大而增大， ∴当m=8时，运费最少， ∴W=130×8+100×2=1240（元），答：货运公司应安排大货车8辆时，小货车2辆时最节省费用. 【点睛】考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，体现了数学建模思想，考查了学生用方程解实际问题的能力，解题的关键是根据题意建立方程组，并利用不等式求解大货车的数量，解题时注意题意中一次运完的含义，此类试题常用的方法为建立方程，利用不等式或者一次函数性质确定方案．22．已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，DE ⊥AC 于点F ，交BC 于点G ，交AB 的延长线于点E ，且AE=AC ．求证：BG=FG ；若AD=DC=2，求AB的长．【答案】（1）证明见解析；（2）AB=3【解析】（1）证明：∵90ABC ∠=，DE ⊥AC 于点F ，∴∠ABC=∠AFE ． ∵AC=AE,∠EAF=∠CAB ， ∴△ABC ≌△AFE ∴AB=AF ． 连接AG ， ∵AG=AG,AB=AF ∴Rt △ABG ≌Rt △AFG ∴BG=FG（2）解：∵AD=DC ，DF ⊥AC∴1122AF AC AE == ∴∠E=30° ∴∠FAD=∠E=30° ∴AB=AF=323．某高中进行“选科走班”教学改革，语文、数学、英语三门为必修学科，另外还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理（分别记为A 、B 、C 、D 、E 、F ）六门选修学科中任选三门，现对该校某班选科情况进行调查，对调查结果进行了分析统计，并制作了两幅不完整的统计图．请根据以上信息，完成下列问题：该班共有学生人；请将条形统计图补充完整；该班某同学物理成绩特别优异，已经从选修学科中选定物理，还需从余下选修学科中任意选择两门，请用列表或画树状图的方法，求出该同学恰好选中化学、历史两科的概率． 【答案】（1）50人；（2）补图见解析；（3）110. 【解析】分析：（1）根据化学学科人数及其所占百分比可得总人数；（2）根据各学科人数之和等于总人数求得历史的人数即可；（3）列表得出所有等可能结果，从中找到恰好选中化学、历史两科的结果数，再利用概率公式计算可得．详解：（1）该班学生总数为10÷20%=50人；（2）历史学科的人数为50﹣（5+10+15+6+6）=8人，补全图形如下：（3）列表如下： 化学生物 政治 历史 地理 化学 生物、化学政治、化学 历史、化学 地理、化学 生物 化学、生物政治、生物历史、生物 地理、生物 政治 化学、政治 生物、政治历史、政治地理、政治 历史 化学、历史 生物、历史 政治、历史地理、历史地理化学、地理生物、地理政治、地理历史、地理由表可知，共有20种等可能结果，其中该同学恰好选中化学、历史两科的有2种结果， 所以该同学恰好选中化学、历史两科的概率为21=2010． 点睛：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式求事件A 或B 的概率．24．如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC ＞BC ，CD 是Rt △ABC 的高，E 是AC 的中点，ED 的延长线与CB 的延长线相交于点F ．求证：DF 是BF 和CF 的比例中项；在AB 上取一点G ，如果AE•AC=AG•AD ，求证：EG•CF=ED•DF ．【答案】证明见解析【解析】试题分析：（1）根据已知求得∠BDF=∠BCD ，再根据∠BFD=∠DFC ，证明△BFD ∽△DFC ，从而得BF ：DF=DF ：FC ，进行变形即得；（2）由已知证明△AEG ∽△ADC ，得到∠AEG=∠ADC=90°，从而得EG ∥BC ，继而得EG BFED DF= ， 由（1）可得BF DF DF CF = ，从而得EG DFED CF= ，问题得证.试题解析：（1）∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°， ∵CD 是Rt △ABC 的高，∴∠ADC=∠BDC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCD ， ∵E 是AC 的中点，∴DE=AE=CE ，∴∠A=∠EDA ，∠ACD=∠EDC ， ∵∠EDC+∠BDF=180°-∠BDC=90°，∴∠BDF=∠BCD ， 又∵∠BFD=∠DFC ， ∴△BFD ∽△DFC ， ∴BF ：DF=DF ：FC ， ∴DF 2=BF·CF ； （2）∵AE·AC=ED·DF ， ∴AE AGAD AC= ， 又∵∠A=∠A ， ∴△AEG ∽△ADC ， ∴∠AEG=∠ADC=90°， ∴EG ∥BC ， ∴EG BFED DF= ， 由（1）知△DFD ∽△DFC ，∴BF DFDF CF = ， ∴EG DFED CF= ， ∴EG·CF=ED·DF.25．班级的课外活动，学生们都很积极.梁老师在某班对同学们进行了一次关于“我喜爱的体育项目”的调査，下面是他通过收集数据后，绘制的两幅不完整的统计图.请根据图中的信息，解答下列问题：调查了________名学生；补全条形统计图；在扇形统计图中，“乒乓球”部分所对应的圆心角度数为________；学校将举办运动会，该班将推选5位同学参加乒乓球比赛，有3位男同学(,,)A B C 和2位女同学(,)D E ，现准备从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率.【答案】50 见解析（3）115.2° (4)35【解析】试题分析：（1）用最喜欢篮球的人数除以它所占的百分比可得总共的学生数;（2）用学生的总人数乘以各部分所占的百分比,可得最喜欢足球的人数和其他的人数,即可把条形统计图补充完整;（3）根据圆心角的度数=360 º×它所占的百分比计算;（4）列出树状图可知，共有20种等可能的结果，两名同学恰为一男一女的有12种情况，从而可求出答案.解：（1）由题意可知该班的总人数=15÷30%=50（名）故答案为50；（2）足球项目所占的人数=50×18%=9（名），所以其它项目所占人数=50﹣15﹣9﹣16=10（名）补全条形统计图如图所示：（3）“乒乓球”部分所对应的圆心角度数=360°×=115.2°，故答案为115.2°；（4）画树状图如图．由图可知，共有20种等可能的结果，两名同学恰为一男一女的有12种情况，所以P（恰好选出一男一女）==．点睛：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，概率的计算.读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息及掌握概率的计算方法是解决问题的关键.26．如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．求证：△ADE≌△CBF；求证：四边形BFDE为矩形．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由DE与AB垂直，BF与CD垂直，得到一对直角相等，再由ABCD为平行四边形得到AD=BC，对角相等，利用AAS即可的值；（2）由平行四边形的对边平行得到DC与AB平行，得到∠CDE为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形即可的值．【详解】解：（1）∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠AED=∠CFB=90°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C，在△ADE和△CBF中，{AED CFBA CAD BC∠=∠∠=∠=，∴△ADE≌△CBF（AAS）；（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴∠CDE+∠DEB=180°，∵∠DEB=90°，∴∠CDE=90°，∴∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°，则四边形BFDE为矩形．【点睛】本题考查1．矩形的判定；2．全等三角形的判定与性质；3．平行四边形的性质．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图所示，给出下列结论：①k 0<；②0a >；③当3x <时，12y y <.其中正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个 D ．3个【答案】B【解析】仔细观察图象，①k 的正负看函数图象从左向右成何趋势即可；②a ，b 看y 2=x+a ，y 1=kx+b 与y 轴的交点坐标；③看两函数图象的交点横坐标；④以两条直线的交点为分界，哪个函数图象在上面，则哪个函数值大．【详解】①∵y 1=kx+b 的图象从左向右呈下降趋势， ∴k ＜0正确；②∵y 2=x+a ，与y 轴的交点在负半轴上， ∴a<0，故②错误； ③当x<3时，y 1>y 2错误； 故正确的判断是①． 故选B ． 【点睛】本题考查一次函数性质的应用.正确理解一次函数的解析式：y=kx+b （k≠0）y 随x 的变化趋势：当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小.2．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，并且OA=5，OC=1．若把矩形OABC 绕着点O 逆时针旋转，使点A 恰好落在BC 边上的A 1处，则点C 的对应点C 1的坐标为（ ）A ．（﹣91255，） B ．（﹣12955，） C ．（﹣161255，）D ．（﹣121655，）【答案】A【解析】直接利用相似三角形的判定与性质得出△ONC 1三边关系，再利用勾股定理得出答案． 【详解】过点C 1作C 1N ⊥x 轴于点N ，过点A 1作A 1M ⊥x 轴于点M ，由题意可得：∠C 1NO=∠A 1MO=90°， ∠1=∠2=∠1， 则△A 1OM ∽△OC 1N ， ∵OA=5，OC=1， ∴OA 1=5，A 1M=1， ∴OM=4，∴设NO=1x ，则NC 1=4x ，OC 1=1， 则（1x ）2+（4x ）2=9，解得：x=±35（负数舍去）， 则NO=95，NC 1=125，故点C 的对应点C 1的坐标为：（-95，125）．故选A ．【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理等知识，正确得出△A 1OM ∽△OC 1N 是解题关键． 3．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c ＞0，③a ＞b ，④4ac ﹣b 2＜0；其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个 D ．4个【答案】C【解析】根据图像可得：a<0，b<0，c=0，即abc=0，则①正确；当x=1时，y<0，即a+b+c<0，则②错误； 根据对称轴可得：－=－，则b=3a ，根据a<0，b<0可得：a>b ；则③正确； 根据函数与x 轴有两个交点可得：－4ac>0，则④正确. 故选C. 【点睛】本题考查二次函数的性质.能通过图象分析a ，b ，c 的正负，以及通过一些特殊点的位置得出a ，b ，c 之间的关系是解题关键.4．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与111A B C ∆相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可．【详解】解：因为111A B C ∆中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B ，且满足两边成比例夹角相等， 故选：B ． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．5．图（1）是一个长为2m ，宽为2n （m ＞n ）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）A ．2mnB ．（m+n ）2C ．（m-n ）2D ．m 2-n 2。
初三数学换元法专练
利用换元法解分式方程的四种常见类型一、直接换元 例1 解方程015)1(2)1(2=----x x x x . 解：设y x x=-1，则原方程可化为01522=--y y . 解得 5,321=-=y y .当3-=y 时，31-=-x x，解得 43=x ；当5=y 时，51=-x x ，解得 45=x . 经检验，45,4321==x x 是原方程的根.二、配方换元例2 解方程 1)1(3)1(222=+-+x x xx . 解：原方程配方，得 05)1(3)1(22=-+-+xx x x .设,1y xx =+则05322=--y y .解得 25,121=-=y y .当1-=y 时，,11-=+xx 即012=++x x .因为0311412<-=⨯⨯-=∆， 所以方程012=++x x 无实数根.当25=y 时，,251=+x x 即02522=+-x x . 解得 21,221==x x .经检验，21,221==x x 是原方程的根.三、倒数换元例3 解方程031)1(21122=-+++++x x x x . 解：设y x x =++112，则原方程可化为032=-+yy .去分母，整理，得0232=+-y y ，解得 2,121==y y .当1=y 时，1112=++x x ，即02=-x x . 解得 1,021==x x .当2=y 时，2112=++x x ，即0122=--x x . 解得 21,2143-=+=x x .经检验，,1,021==x x 21,2143-=+=x x 都是原方程的根. 四、变形换元例4 解方程12222422=+-+-x x x x . 解：原方程可变形为05222)22(222=-+-++-x x x x . 设y x x =+-222，则原方程可化为0522=-+yy . 去分母，整理，得02522=+-y y . 解得 21,221==y y . 当2=y 时，2222=+-x x ，即022=-x x . 解得 21,021==x x . 当21=y 时，21222=+-x x ，即03242=+-x x . 因为044344)2(2<-=⨯⨯--=∆， 所以方程03242=+-x x 无实数根. 经检验，21,021==x x 是原方程的根. 例1 解方程分析 括号里的分式相同，由这个特点，知可用换元法来解。
中考数学复习微专题：例说换元法在初中数学中的应用
例说换元法在初中数学中的应用利用换元法解题，具有极大的灵活性。
关键在于根据问题的结构特征，恰当地引入辅助未知数，达到以简驭繁，化难为易的目的。
在具体应用时，换元的具体形式也是多种多样的。
要在解题的实践中，不断摸索规律，积累经验，掌握有关的变换技巧，提高运用换元法解题的能力。
下面举例说明换元法在初中数学中应用。
一、用换元法分解因式例1 把(4)(2)(1)(1)72x x x x ---+-分解因式。
本题如果把括号、合并同类项以后，会得到关于x 的四次式，分解起来比较困难。
认真观察题目的结构，可以发现2(4)(1)34,x x x x -+=--2(4)(2)(1)32x x x x x ---=-+，它们的二次项、一次项完全相同，这就具备了换元的条件，选用换元法进行降次处理，就使得分解变得简单易行。
在设辅助未知数时，方法比较灵活，如可设23y x x =-，或设234y x x =--等，一般地，设y 等于234x x --和232x x -+的算术平均式比较简捷。
解 22(4)(2)(1)(1)72(34)(32)72x x x x x x x x ---+-=---+-设231y x x =--，则22343,323x x y x x y --=--+=+原式=2(3)(3)72972(9)(9)y y y y y -+-=--=+-=22(38)(310)x x x x -+--=2(38)(5)(2)x x x x -+-+总结提示 当在一个多项式中出现相同的部分时，一般可采用换元法来解决问题。
二、换元法在解方程中作用掌握运用换元法解方程和方程组是初中数学的一个重点要求而在解高次方程、分式方程、无理方程时，要注意方程的特点创造运用换元法的条件往往会简化求解过程。
例2 解下列方程:①222(23)64x x -+=解 原方程变形为222(23)2(23)0x x ---=。
设223y x =-，原方程形变为220y y -=。
换元法
《换元法》专题班级 姓名一个今天胜过两个明天。
1. 用换元法解方程4)3(5322=---xx x x 时,令32-x x = y,于是原方程变为 . A.y 2-5y+4=0 B.y 2-5y-4=0 C.y 2-4y-5=0 D.y 2+4y-5=02. 用换元法解方程4)3(5322=---x x x x 时,令23x x -= y ,于是原方程变为 . A.5y 2-4y+1=0 B.5y 2-4y-1=0 C.-5y 2-4y-1=0 D. -5y 2-4y-1=0 3. 用换元法解方程(1+x x )2-5(1+x x )+6=0时，设1+x x=y ，则原方程化为关于y 的方程是 .A.y 2+5y+6=0B.y 2-5y+6=0C.y 2+5y-6=0D.y 2-5y-6=04.用换元法解分式0213122=+---x xx x ,并设xx y 12-=,那么原方程化为 A.0232=+-y y B.0232=-+y y C.0322=+-y y D.0322=-+y y5.用换元法解方程41122=-++x x x x ,设y x x =-1,则原方程变形为 A.42=+y y B.22=+y y C.62=+y y D.42=-y y6.用换元法解方程21⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x -⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 33=-2时,如果设x -x1=y ,那么原方程可化为 A.y 2+3y +2=0 B.y 2-3y -2=0C.y 2+3y -2=0D.y 2-3y +2=07.方程02112=---⎪⎭⎫⎝⎛-x x x x 的解为 8.在方程x 2＋xx 312-＝3x －4中，如果设y ＝x 2－3x ，那么原方程可化为关于y 的整式方程是________．9.解方程132-+x x ＋312+-x x ＝25时，设y ＝132-+x x ，则原方程化成整式方程是________．例：已知(x 2+y 2+1)(x 2+y 2+3)=8，则x 2+y 2的值为（ ）A ．-5或1B ．1C ．5D ．5或-1分析：解题时把x 2+y 2当成一个整体来考虑，再运用因式分解法就比较简单 解答：设x 2+y 2=t ，t ≥0，则原方程变形得 (t+1)(t+3)=8，化简得： (t+5)(t-1)=0， 解得：t 1=-5，t 2=1 又t≥0 ∴t=1∴x 2+y 2的值为只能是1． 故选B ．1.解方程06)1(5)1(222=+---x x x x2.解方程：21⎪⎭⎫⎝⎛+x x －15+x x ＋6＝03.解方程：x x +-23＝5－()x x -+324．4.解方程x 2＋21x －3⎪⎭⎫⎝⎛+x x 1＝2．5.解方程x 2＋21x －3⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 1＋4＝0． 6.解方程：2()2011x x x x +-=--。
初中数学换元法典型例题
初中数学换元法典型例题哎呀，数学这玩意儿，有时候真让人抓狂，尤其是换元法。
别紧张，今天咱就轻松聊聊这个话题，保证让你觉得数学其实也可以很有趣。
你想啊，换元法就像是一个魔法，能把复杂的数学题变得简单明了。
想象一下，原本复杂的方程，就像是一道拗口的菜，你一换材料，哎呀，立马变成了你爱吃的那种，简单又好下咽。
举个例子，想象一下，有个方程，咱们称它为“老大难”。
这时候，你要先看看，里面有没有什么可以换的部分，像是找到了那颗隐蔽的珍珠。
比如说，有个方程是x² +3x + 2 = 0。
这个方程里，你可能会觉得 x 这个家伙太难伺候，没关系，咱们可以用 y代替它，换成y² + 3y + 2 = 0，嘿嘿，突然间感觉简单多了，不是吗？再说，换元法可不是随便换换就完事。
你得选好合适的“替身”，有时候就像找对象，得找个合适的，才能事半功倍。
比如，咱们可以把 x 设为 y 1，结果一代入，方程变成了y² + 1 = 0。
哎呀，这一下直接变成了平方和，清清爽爽！你看，原本麻烦的事情，经过一番巧妙的“换元”，就轻松化解了。
再想象一下，换元法就像换了一条新路。
原本走那条蜿蜒曲折的小路，结果一不小心，咱们找到了条宽敞的马路。
比如说，咱们再来个例子，方程是x³ 3x + 2 = 0。
先把x 设成 y 1，结果你会发现，方程变得清晰了，像是在雾霭中突然看到蓝天。
只要稍微动动脑筋，神奇的事情就会发生。
换元法的魅力在于它的灵活性。
咱们可以用不同的元，像是变魔术似的，把复杂的变得简单。
就像变脸，今天是这个角色，明天换个身份，瞬间让人耳目一新。
比如把 x 设为 2y，结果一代入，你会发现，方程的结构也悄悄变了。
这种变化就像人生，今天你是学生，明天可能就是个专家，一步一个脚印，最终达成你的目标。
在解题过程中，换元法更像是一位耐心的老师，教你如何寻找解决问题的钥匙。
每当遇到棘手的题目，不妨停下来，先用换元法想一想，可能会有意想不到的收获。
人教版2020九年级数学上册第二十一章解-换元法同步练习(新版)新人教版
21.2.5解一元二次方程-换元法学校：___________姓名：___________班级：___________一．选择题（共15小题）1．已知方程x2+3x﹣4=0的解是x1=1，x2=﹣4，则方程（2x+3）2+3（2x+3）﹣4=0的解是（）A．x1=﹣1，x2=﹣3.5 B．x1=1，x2=﹣3.5C．x1=1，x2=3.5 D．x1=﹣1，x2=3.52．已知实数a、b满足（a2﹣b2）2﹣2（a2﹣b2）=8，则a2﹣b2的值为（）A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．﹣4或23．已知x、y都是实数，且（x2+y2）（x2+y2+2）﹣3=0，那么x2+y2的值是（）A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1或34．已知方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，则另一个方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=0的解是（）A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=2，x2=6 D．x1=﹣2，x2=﹣65．如果（x+2y）2+3（x+2y）﹣4=0，那么x+2y的值为（）A．1 B．﹣4 C．1或﹣4 D．﹣1或36．已知x是实数且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3=0，那么x2+3x的值为（）A．3 B．﹣3或1 C．1 D．﹣1或37．若实数x、y满足（x2+y2+2）（x2+y2﹣2）=0，则x2+y2的值为（）A．1 B．2 C．2或﹣1 D．2或﹣28．若实数x、y满足（x+y﹣3）（x+y）+2=0，则x+y的值为（）A．﹣1或﹣2 B．﹣1或2 C．1或﹣2 D．1或29．已知方程ax2+bx+c=0的解是x1=2，x2=﹣3，则方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0的解是（）A．x1=1，x2=﹣4 B．x1=﹣1，x2=﹣4 C．x1=﹣1，x2=4 D．x1=1，x2=410．设（x2+y2）（x2+y2+2）﹣15=0，则x2+y2的值为（）A．﹣5或3 B．﹣3或5 C．3 D．511．（m2+n2）（m2+n2﹣2）﹣8=0，则m2+n2=（）A．4 B．2 C．4或﹣2 D．4或212．用“整体法”求得方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解为（）A．x1=1，x2=3 B．x1=﹣2，x2=3 C．x1=﹣3，x2=﹣1 D．x1=﹣2，x2=﹣113．若实数x满足方程（x2+2x）•（x2+2x﹣2）﹣8=0，那么x2+2x的值为（）A．﹣2或4 B．4 C．﹣2 D．2或﹣414．已知x为实数，且满足（x2+x+1）2+2（x2+x+1）﹣3=0，那么x2+x+1的值为（）A．1 B．﹣3 C．﹣3或1 D．﹣1或315．若（x2+y2﹣2）2=9，则x2+y2的值为（）A．1 B．﹣1 C．5 D．5或﹣1二．填空题（共5小题）16．若实数a，b满足（2a+2b）（2a+2b﹣2）﹣8=0，则a+b= ．17．设x，y是一个直角三角形两条直角边的长，且（x2+y2）（x2+y2﹣1）=20，则这个直角三角形的斜边长为．18．已知（x2+y2）（x2+y2﹣1）=12，则x2+y2的值是．19．若（x2+y2+3）2﹣6（x2+y2+3）+8=0，则x2+y2﹣5= ．20．如果（m+n）（m+n+5）=6，则m+n= ．三．解答题（共4小题）21．阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=4时，x2=4，∴x=±2；∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0．22．（3x﹣2）2﹣5（3x﹣2）+4=0．23．已知实数x，y满足（x2+y2）（x2+y2﹣12）=45，求x2+y2的值．24．阅读下面的材料，解答后面的问题材料：“解方程x4﹣3x2+2=0”解：设x2=y，原方程变为y2﹣3y+2=0，（y﹣1）（y﹣2）=0，得y=1或y=2当y=1时，即x2=1，解得x=±1；当y=2时，即x2=2，解得x=±综上所述，原方程的解为x1=1，x2=﹣1，x3=．x4=﹣问题：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是A．加减消元法 B．代入消元法 C．换元法 D．待定系数法（2）采用类似的方法解方程：（x2﹣2x）2﹣x2+2x﹣6=0．2018-2019学年度人教版数学九年级上册同步练习：21.2.5解一元二次方程-换元法参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．解：把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程，所以2x+3=1或2x+3=﹣4，所以x1=﹣1，x2=﹣3.5．故选：A．2．解：设y=a2﹣b2，原式化为y2﹣2y﹣8=0，即（y﹣4）（y+2）=0，可得y﹣4=0或y+2=0，解得：y1=4，y2=﹣2，∴a2﹣b2=4或﹣2．故选：C．3．解：（x2+y2）（x2+y2+2）﹣3=0，（x2+y2）2+2（x2+y2）﹣3=0，（x2+y2+3）（x2+y2﹣1）=0，x2+y2﹣1=0，x2+y2=1，故选：B．4．解：∵方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，∴方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=0中x+3=1或﹣3，解得：x=﹣2或﹣6，即x1=﹣2，x2=﹣6，故选：D．5．解：设x+2y=a，则原方程变形为a2+3a﹣4=0，解得a=﹣4或a=1．故选C．6．解：由y=x2+3x，则（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3=0，可化为：y2+2y﹣3=0，分解因式，得，（y+3）（y﹣1）=0，解得，y1=﹣3，y2=1，当x2+3x=﹣3时，经△=32﹣3×4=﹣3＜0检验，可知x不是实数当x2+3x=1时，经检验，符合题意．故选：C．7．解：设t=x2+y2，则t≥0，原方程变形为（t+2）（t﹣2）=0，解得：t=2或t=﹣2（舍去）．故选：B．8．解：t=x+y，则由原方程，得t（t﹣3）+2=0，整理，得（t﹣1）（t﹣2）=0．解得t=1或t=2，所以x+y的值为1或2．故选：D．9．解：设t=x+1，则方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0化为at2+at+c=0，因为方程ax2+bx+c=0的解是x1=2，x2=﹣3，所以t1=2，t2=﹣3，当t=2时，x+1=2，解得x=1；当t=﹣3时，x+1=﹣3，解得x=﹣4，所以方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0的解是x1=1，x2=﹣4．故选：A．10．解：设t=x2+y2，则原方程可化为t2+2t﹣15=0，∴t=x2+y2=3或t=x2+y2=﹣5，又∵t≥0，∴x2+y2=3．故选：C．11．解：设m2+n2=t（t≥0），由原方程，得t（t﹣2）﹣8=0，整理，得（t﹣4）（t+2）=0，解得t=4或t=﹣2（舍去），所以m2+n2=4．故选：A．12．解：（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0，设2x+5=y，则原方程变形为y2﹣4y+3=0，解得：y1=1，y2=3，当y=1时，2x+5=1，解得：x=﹣2，当y=3时，2x+5=3，解得：x=﹣1，即原方程的解为x1=﹣2，x2=﹣1，故选：D．13．解：设x2+2x=y，则原方程化为y（y﹣2）﹣8=0，解得：y=4或﹣2，当y=4时，x2+2x=4，此时方程有解，当y=﹣2时，x2+2x=﹣2，此时方程无解，舍去，所以x2+2x=4．故选：B．14．解：设y=x2+x+1=y，则（x2+x+1）2+2（x2+x+1）﹣3=0，可化为：y2+2y﹣3=0，分解因式得：（y+3）（y﹣1）=0，解得：y1=﹣3，y2=1，当x2+x+1=﹣3时，经△=12﹣4×1×4＜0检验，可知x不是实数，当x2+x+1=1时，经检验，符合题意．故选：A．15．解：设t=x2+y2（t≥0），由原方程得：（t﹣2）2=9，解得t﹣2=±3，解得t=5或t=﹣1（舍去）．故选：C．二．填空题（共5小题）16．解：设a+b=x，则由原方程，得2x（2x﹣2）﹣8=0，整理，得4x2﹣4x﹣8=0，即x2﹣x﹣2=0，分解得：（x+1）（x﹣2）=0，解得：x1=﹣1，x2=2．则a+b的值是﹣1或2．故答案是：﹣1或2．17．解：设x2+y2=t，则原方程可化为：t（t﹣1）=20，∴t2﹣t﹣20=0，即（t+4）（t﹣5）=0，∴t1=5，t2=﹣4（舍去），∴x2+y2=5，∴这个直角三角形的斜边长为，故答案为：．18．解：（x2+y2）（x2+y2﹣1）=12，（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣12=0，（x2+y2+3）（x2+y2﹣4）=0，x2+y2+3=0，x2+y2﹣4=0，x2+y2=﹣3，x2+y2=4，∵不论x、y为何值，x2+y2不能为负数，∴x2+y2=4，故答案为：4．19．解：设x2+y2+3=t∵（x2+y2+3）2﹣6（x2+y2+3）+8=0，∴t2﹣6t+8=0∴t=2或t=4当t=2时，x2+y2+3=2∴x2+y2=﹣1故t=2舍去当t=4时，x2+y2+3=4∴x2+y2=1∴原式=1﹣5=﹣4故答案为：﹣420．解：设m+n为x则（m+n）（m+n+5）=6变形为x（x+5）=6 移项去括号得x2+5x﹣6=0因式分解得（x+6）（x﹣1）=0解得x=1或﹣6即m+n=1或﹣6．三．解答题（共4小题）21．解：（1）换元，降次（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，解得y1=6，y2=﹣2．由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．22．解：设（3x﹣2）=y，原方程等价于y2﹣5y+4=0因式分解，得（y﹣4）（y﹣1）=0，于是，得y﹣4=0或y﹣1=0，解得y=4或y=1，3x﹣2=4，3x﹣2=1，解得x1=2，x2=1．23．解：设x2+y2=a，则a（a﹣12）=45，a2﹣12a﹣45=0，（a﹣15）（a+3）=0，a1=15，a2=﹣3，∵x2+y2=a≥0，∴x2+y2=15．24．解：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是换元法．故答案是：C；（2）设x2﹣2x=y，原方程化为y2﹣y﹣6=0，整理，得（y﹣3）（y+2）=0，得y=3或y=﹣2当y=3时，即x2﹣2x=3，解得x=﹣1或x=3；当y=﹣2时，即x2﹣2x=2，解得x=1±综上所述，原方程的解为x1=﹣1，x2=3，x3=1+．x4=1﹣．11。
历年初三数学中考总复习专题训练16-换元法选题通关50题(含答案)
换元法选题通关50题（含答案）1. 为解方程 x 4−5x 2+4=0，我们可设 x 2=y ，则 x 4=y 2，原方程可化为 y 2−5y +4=0．解得 y 1=1，y 2=4，当 y =1 时，x 2=1，所以 x =±1；当 y =4 时，x 2=4，所以 x =±2．故原方程的解为 x 1=1，x 2=−1，x 3=2，x 4=−2．以上解题方法主要体现的数学思想是 ( ) A. 数形结合 B. 换元与降次C. 消元D. 公理化2. 已知 1−4x +4x 2=0，则 2x的值等于 ( ) A. 1 B. 2C. −1D. −1 或 23. 当使用换元法解方程 (xx+1)2−2(xx+1)−3=0 时，若设 y =xx+1 ，则原方程可变形为 ( ) A. y 2+2y +3=0 B. y 2−2y +3=0 C. y 2+2y −3=0 D. y 2−2y −3=04. 解分式方程 3x x 2−1+x 2−13x=2 时，可设 3x x 2−1=y ，则原方程可化为整式方程是 ( ) A. y 2+2y +1=0 B. y 2+2y −1=0C. y 2−2y +1=0D. y 2−2y −1=05. 我们知道方程 x 2+2x −3=0 的解是 x 1=1，x 2=−3．现给出另一个方程 (2x +3)2+2(2x +3)−3=0，它的解是 ( ) A. x 1=1，x 2=3 B. x 1=1，x 2=−3C. x 1=−1，x 2=3D. x 1=−1，x 2=−36. 用换元法把方程2(x 2+1)x+1+6(x+1)x 2+1=7 化为 2y +6y=7 ，那么下列换元方法正确的是 ( ) A.1x+1=y B.1x 2+1=y C. x 2+1x+1=y D.x+1x 2+1=y7. 已知 √25−x 2−√15−x 2=2，则 √25−x 2+√15−x 2 的值为 ( )A. 3B. 4C. 5D. 68. 如果一个三角形的三边长分别为 1，k ，3，化简 7−√4k 2−36k +81+∣2k −3∣ 的结果是 ( ) A. 1B. 4k −5C. 13D. 19−4k9. 方程 (2x +1)2+6(2x +1)−16=0 的解为 ( ) A. x 1=−8，x 2=2 B. x 1=12，x 2=−92C. x 1=8，x 2=−2D. x 1=−12，x 2=9210. 若 (a +b )(a +b +2)=8 ， 则 a +b = ( )A. 2 或 −4B. −2 或 −4C. −2 或 4D. 2 或 411. 用换元法解方程x 2x 2−1−6(x 2−1x 2)+1=0 时，如果设 x 2x 2−1=y ，那么原方程可化为 ( )A. y +6y+1=0 B. y 2−6y +1=0C. y −6y+1=0 D. y −6y 2+1=012. 用换元法解方程 x 2−2x +7x 2−2x=8 ，若设 x 2−2x =y ，则原方程化为关于 y 的整式方程是 ( ) A. y 2+8y −7=0 B. y 2−8y −7=0C. y 2+8y +7=0D. y 2−8y +7=0 13. (x 2+y 2)2−4(x 2+y 2)−5=0，则 x 2+y 2 的值为 ( ) A. 5B. −1C. 5 或 −1D. 无法确定14. 已知 (m 2+n 2)2−2(m 2+n 2)−3=0，则 m 2+n 2= ( )A. −1 或 3B. 3C. −1D. 无法确定15. 要使多项式 (x −1)(x +3)(x −4)(x −8)+m 为一个完全平方式，则m 等于 ( )A. 12B. 24C. 98D. 19616. 若方程组 {2a −3b =13,3a +5b =30.9的解是 {a =8.3,b =1.2, 则方程组{2(x +2)−3(y −1)=13,3(x +2)+5(y −1)=30.9 的解是 ( ) A. {x =6.3,y =2.2 B. {x =8.3,y =1.2 C. {x =10.3,y =2.2 D. {x =10.3,y =0.217. 已知 (a 2+2b 2+3)(a 2+2b 2−1)=0 则 a 2+2b 2 的值是 ( ) A. −3B. 1C. −3或1D. 3或−118. 已知 a 2=b3=c 4≠0 ，则a+b c的值 ( )A. 45B. 54C. 2D. 1219. 用换元法解方程 x 2−3x +3x 2−3x=4 时，设 y =x 2−3x ，则原方程可化为 ( )A. y +3y−4=0 B. y −3y+4=0C. y +13y−4=0D. y +13y+4=020. 已知方程 (x +1x )2−2x −2x −7=0，用换元法解此方程时，设 x +1x=y ，则可得关于 y 的整式方程是 ( ) A. y 2+y −7=0 B. y 2−y −7=0C. y 2+2y −7=0D. y 2−2y −7=021. 若实数 a ，b 满足 (a +b )(2a +2b −1)−1=0，则 a +b = ( )A. 1B. −12C. 1 或 −12D. 222. 用换元法解分式方程1−x x 2+2+x 2+22(1−x)=32, 设 1−x x 2+2=y, 则原分式方程换元整理后的整式方程为 ( ) A. y +1y=32B. y 2+y =32C. 2y 2−3y +1=0D. 2y 2−3y +2=0 23. 已知 x −3y =−3 ，则 5−x +3y 的值是 ( )A. 0B. 2C. 5D. 824. 若(m−2016)2+(2014−m)2=2，则(2014−m)(m−2016)=( )A. 2015B. 2016C. 1D. 225. 为了求1+2+22+23+⋯+22008+22009的值，可令S=1+2+22+23+⋯+22008+22009，则2S=2+22+23+24+⋯+22008+ 22009+22010，因此2S−S=22010−1，所以1+2+22+23+⋯+ 22009=22010−1．仿照以上推理计算出1+5+52+53+⋯+52009的值是( )A. 52010+1B. 52010−1C. 52010−14D. 52010+1426. 用换元法解方程6(x+1)x2+1+x2+1x+1=7，若设x2+1x+1=y，则原方程可化为( )A. y2−7y+6=0B. y2+6y−7=0C. 6y2−7y+1=0D. 6y2+7y+1=027. 用换元法解方程(x+2x )2−(x+2x)=1，设y=x+2x，则原方程可化为( )A. y2−y−1=0B. y2+y+1=0C. y2+y−1=0D. y2−y+1=028. 求1+2+22+23+⋯+22016的值，可令S=1+2+22+23+⋯+22016，则2S=2+22+23+24+⋯+22017，因此2S−S=22017−1，所以S=22017−1．仿照上述的思路方法，计算出1+3+32+33+⋯+32016的值为( )A. 12(32017−1) B. 13(32017−1) C. 12(32016−1) D. 32017−129. 已知a，b为实数，(a2+b2)2−(a2+b2)−6=0，则代数式a2+b2的值为( )A. 2B. 3C. −2D. 3或−230. 若3x2+x−x2=2+x，则代数式2x2+2x的值是( )A. 2B. −6C. 2或−6D. −2或631. (m2−n2)(m2−n2−2)−8=0，则m2−n2的值是( )A. 4B. −2C. 4或−2D. −4或232. 用换元法解分式方程x−1x −3xx−1+1=0时，如果设x−1x=y，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是( ) A. y2+y−3=0 B. y2−3y+1=0 C. 3y2−y+1=0 D. 3y2−y−1=033. 用换元法解方程(x+2x )2−(x+2x)=1时，若设y=x+2x，则原方程可化为( )A. y2−y+1=0B. y2+y+1=0C. y2+y−1=0D. y2−y−1=034. 已知a1，a2，a3，...，a1997均为正数，又M=(a1+a2+a3+...+a1996)(a2+a3+...+a1997)N=(a1+a2+a3+...+a1997)(a2+a3+...+a1996)则M与N的大小关系为( )A. M=NB. M<NC. M>ND. 不确定35. 若实数x、y满足(x+y+2)(x+y−1)=0，则x+y的值为( )A. 1B. −2C. 2或−1D. −2或136. 已知实数x满足x2+1x2+x+1x=0，那么x+1x的值是( )A. 1或−2B. −1或2C. 1D. −237. 若方程组{2a−3b=13,3a+5b=30.9的解是{a=8.3,b=1.2,则方程组{2(x+2)−3(y−1)=13,3(x+2)+5(y−1)=30.9的解是( )A. {x=6.3,y=2.2 B. {x=8.3,y=1.2 C. {x=10.3,y=2.2 D. {x=10.3,y=0.238. 用换元法解方程2x x 2−1−x 2−1x=1 ，如果设x 2−1x=y ，那么原方程可转化为 ( ) A. 2y 2−y −1=0 B. 2y 2+y −1=0C. y 2+y −2=0D. y 2−y +2=039. 如果 ab =2 ，则a 2−ab+b 2a 2+b 2= ( )A. 45B. 1C. 35D. 240. 解方程 x 2+2x −6x 2+2x=5 时，令 y =x 2+2x ，原方程可化为 ( )A. y 2−5y −6=0B. y 2−6y −5=0C. y 2+5y −6=0D. y 2+6y −5=041. 若 x +y =0 ，则下列各式不成立的是 ( )A. x 2−y 2=0B. √x 3+√y 3=0 C. √x 2−√y 2=0 D. √x +√y =042. 在求 1+6+62+63+64+65+66+67+68+69 的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的 6 倍，于是她设： S =1+6+62+63+64+65+66+67+68+69,① 然后在 ① 式的两边都乘 6，得：6S =6+62+63+64+65+66+67+68+69+610,② ②−① 得 6S −S =610−1，即 5S =610−1， 所以 S =610−15，得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“6”换成字母“a ”（a ≠0 且 a ≠1），能否求出 1+a +a 2+a 3+a 4+⋯+a 2014 的值?你的答案是 ( )A.a 2014a−1B. a 2015−1a−1C. a 2014−1aD. a 2014−143. 已知实数 x ，y 满足：4x4−2x 2=3，y 4+y 2=3，则4x4+y 4 的值为 ( )A. 7B.1+√132C. 7+√132D. 544. 已知方程组 {2a −3b =13,3a +5b =30.9 的解是 {a =8.3,b =1.2.则方程组{2(x +2)−3(y −1)=13,3(x +2)+5(y −1)=30.9 的解是 ( ) A. {x =8.3y =1.2 B. {x =10.3y =2.2 C. {x =6.3y =2.2 D. {x =10.3y =0.245. 已知 a 1，a 2，⋯，a 2002 均为正数，且满足 M =(a 1+a 2+⋯+a 2001)(a 2+a 3+⋯+a 2002)，N =(a 1+a 2+⋯+a 2002)(a 2+a 3+⋯+a 2001)．则 M 与 N 之间的关系为 ( ) A. M >NB. M =NC. M <ND. 无法确定46. 小明用计算器计算 (a +b )c 的值，其按键顺序和计算器显示结果如表：这时他才明白计算器是先做乘法再做加法的，于是他依次按键：从而得到了正确结果，已知 a 是 b 的 3 倍，则正确的结果是 ( ) A. 24B. 39C. 48D. 9647. 有面额为壹圆、贰圆、伍圆的人民币共 10 张，购买一把价值为 18元的雨伞，不同的付款方式共有 ( ) A. 1 种B. 2 种C. 3 种D. 4 种48. 若方程组 {3x +y =k +1,x +3y =3的解 x 、 y 满足 0<x −y <1 ，则 k的取值范围是 ( ) A. 2<k <3 B. 2<k <4C. −4<k <0D. −4<k <−249. 已知b2−4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个实数根，则ab的取值范围为( )A. ab≥18B. ab≤18C. ab≥14D. ab≤1450. 已知实数x满足x2+1x2+x−1x=4，则x−1x的值是( )A. −2B. 1C. −1或2D. −2或1参考答案，仅供参考哦1. B 【解析】本题体现了两个重要的数学思想，换元和降次的数学思想．2. A3. D4. C5. D6. C7. C 【解析】由已知条件直接求解比较困难，通过观察，不难发现所求代数式与已知条件之间存在一定的关系，即 (√25−x 2+√15−x 2)(√25−x 2−√15−x 2)=25−x 2−(15−x 2)=10．若设 √25−x 2+√15−x 2=m ，则 2m =10，m =5． 8. B 9. B 【解析】将 2x +1 看成一个整体， 移项，得 (2x +1)2+6(2x +1)=16， 配方，得 (2x +1)2+6(2x +1)+9=25， 即 (2x +1+3)2=25． 得 2x +4=±5， ∴ x 1=12，x 2=−92．10. A【解析】令 a +b =y ， 则原方程化为 y 2+2y −8=0， 即 (y +4)(y −2)=0， 所以 y 1=−4，y 2=2． ∴ a +b =−4或2． 11. C 12. D 13. A 14. B 15. D【解析】多项式 (x −1)(x +3)(x −4)(x −8)+m ， 可化为 (x 2−5x +4)(x 2−5x −24)+m ， 把 x 2−5x 看成一个整体，设 x 2−5x =y ， 则 (y +4)(y −24)+m 为完全平方式， 故 y 2−20y +m −96 为完全平方式， 即为 (y −10)2，故 m −96=100， ∴ m =100+96=196． 16. A 17. B 18. B 【解析】答案：B19. A 20. D21. C 22. C 23. D 【解析】5−x +3y =5−(x −3y )=5−(−3)=8． 24. C 25. C26. A 27. A 28. A 29. B 30. A31. C 32. A 33. D 34. C 【解析】设 a 2+a 3+...+a 1996=x ，则 M =(a 1+x )(x +a 1997)=a 1x +x 2+a 1a 1997+a 1997x ； N =(a 1+x +a 1997)x =a 1x +x 2+a 1997x ， 故 M −N =a 1a 1997>0，M >N ． 35. D36. A 37. A 【解析】令 {a =x +2,b =y −1, 原方程组变为 {2a −3b =13,3a +5b =30.9.38. C 39. C 【解析】因为 ab =2，则 a =2b ，把 a =2b 代入分式得a 2−ab+b 2a 2+b 2=(2b )2−2b⋅b+b 2(2b )2+b 2=4b 2−2b 2+b 24b 2+b 2=3b 25b 2=35．40. A41. D 42. B 【解析】设 S =1+a +a 2+a 3+a 4+⋯+a 2014, ⋯⋯① 则 aS =a +a 2+a 3+a 4+⋯+a 2014+a 2015, ⋯⋯② ②−① 得 (a −1)S =a 2015−1， 所以 S =a 2015−1a−1，即 1+a +a 2+a 3+a 4+⋯+a 2014=a 2015−1a−1．43. A 44. C 45. A46. C 【解析】由题意可得：{a +bc =21,b +ac =39,a =3b,则 {3b +bc =21,b +3bc =39,解得：{a =9,b =3,c =4,故 (9+3)×4=48．47. C 【解析】设壹圆、贰圆、伍圆的人民币分别有 x 张， y 张， z 张，则由题意可得： {x +y +z =10，x +2y +5z =18．第11页（共11 页） 48. B 【解析】{3x +y =k +1，⋯⋯①x +3y =3．⋯⋯②将 ① − ② 得 2x −2y =k −2 ，即 x −y =k 2−1 ． 所以 0<k 2−1<1 ，解得2<k <4．49. B 【解析】∵方程有实数根，∴ b 2−4ac ≥0 ． 由题意得−b+√b 2−4ac 2a =b 2−4ac (1) 或 −b−√b 2−4ac 2a =b 2−4ac (2)令 u =√b 2−4ac ，则方程 (1) 可化为： 2au 2−u +b =0 ；方程 (2) 化为： 2au 2+u +b =0 ．∵ u =√b 2−4ac 是方程 (1) 或 (2) 的解， ∴方程 (1) 、 (2) 的判别式非负，即 Δ1=Δ2=1−8ab ≥0 ，∴ ab ≤18 ．50. D。
初三换元法例题
初三换元法例题一、题目：计算下列等式的值1. 17a + 8b - 3c，其中a = 2，b = 5，c = 3。
2. 4x + 2y - 5z，其中x = 3，y = 7，z = 2。
1. 代入a = 2，b = 5，c = 3，得：17(2) + 8(5) - 3(3)= 34 + 40 - 9所以，17a + 8b - 3c 的值为74。
2. 代入x = 3，y = 7，z = 2，得：4(3) + 2(7) - 5(2)= 12 + 14 - 10所以，4x + 2y - 5z 的值为16。
二、题目：写出下列等式的换元表达式。
1. 5a + 3b - 2c，a = x + 1，b = 2y，c = z - 3。
2. 2x + 4y - 3z，x = a - 1，y = b + 2，z = c + 3。
1. 代入a = x + 1，b = 2y，c = z - 3，得：5(x + 1) + 3(2y) - 2(z - 3)= 5x + 5 + 6y - 2z + 6= 5x + 6y - 2z + 11所以，换元后的表达式为 5x + 6y - 2z + 11。
2. 代入x = a - 1，y = b + 2，z = c + 3，得：2(a - 1) + 4(b + 2) - 3(c + 3)= 2a - 2 + 4b + 8 - 3c - 9= 2a + 4b - 3c - 3所以，换元后的表达式为 2a + 4b - 3c - 3。
三、题目：用换元法解下列问题。
1. 有一个长方形，长是x + 3，宽是x - 2，求其周长和面积。
2. 小明的体重是a - 10kg，小明增加了b kg，现在的体重是多少？1. 周长 = 2(长 + 宽) = 2(x + 3 + x - 2) = 4x + 2面积 = 长× 宽 = (x + 3)(x - 2) = x^2 + x - 6所以，长方形的周长为4x + 2，面积为x^2 + x - 6。
初中数学专题训练换元法解题方法练习及试题解析
专题02 换元法【规律总结】换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量的变量求出结果之后，返回去求原变量的结果.换元法通过引入新的元素将分散的条件联系起来，或者把隐含的条件显示出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的问题.其理论根据是等量代换.我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量取值范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。
【典例分析】 例1、已知方程组{2a −3b =133a +5b =30.9的解是{a =8.3b =1.2，则{2(x −2)−3(y +1)=133(x −2)+5(y +1)=30.9的解是：（ ）A. {x =8.3y =1.2B. {x =10.3y =2.2C. {x =6.3y =2.2D. {x =10.3y =0.2【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了换元法和二元一次方程组的解，掌握其解得定义是解题的关键．根据换元法先令x −2=a ，y +1=b ，再根据二元一次方程组的解，得x −2=8.3和y +1=1.2，即可求得x 与y 的值． 【解答】解：令x −2=a ，y +1=b ， 则方程组{2(x −2)−3(y +1)=133(x −2)+5(y +1)=30.9, 可化为：{2a −3b =133a +5b =30.9，∵方程组{2a −3b =133a +5b =30.9的解为{a =8.3b =1.2，∴{x −2=8.3y +1=1.2, ∴{x =10.3y =0.2． 故选：D ．例2、已知(2016+a)(2018+a)=b ，则(2016+a)2+(2018+a)2=_________________(用含b的代数式表示)【答案】4+2b【解析】1.【分析】本题考查了完全平方公式和整体代入法的思想，灵活使用整体代入法是解本题的关键．令2016+a=x，2018+a=y，将原式化为(x−y)2+2xy，即可求解．【解答】解：令2016+a=x，2018+a=y，则(2016+a)(2018+a)=xy=b，(2016+a)2+(2018+a)2=x2+y2=(x−y)2+2xy=(−2)2+2b=4+2b；故答案为4+2b．例3、【阅读材料】若x满足(80−x)(x−60)=30，求(80−x)2+(x−60)2的值．解：设(80−x)=a，(x−60)=b，则(80−x)(x−60)=ab=30，a+b=(80−x)+ (x−60)=20，所以(80−x)2+(x−60)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=202−2×30=340【解决问题】(1)若x满足(2019−x)2+(2017−x)2=4042，求(2019−x)(2017−x)的值；(2)已知a1,a2,a3,...a2015均为负数，M=(a1+a2+...+a2014)(a2+a3+...+a2015)，N=(a1+a2+...+a2015)(a2+a3+...+a2014)，比较M与N的大小关系并说明理由；(3)如图，正方形ABCD的边长为x，AE=1，CG=2，长方形EFGD的面积是5，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，则图中阴影部分的面积为多少？直接写出答案.(结果必须是一个具体的数值)．【答案】解：(1)设(2019−x)=c,(2017−x)=d，则c−d=(2019−x)−(2017−x)=2，(2019−x)(2017−x)=cd，∴(2019−x)2+(2017−x)2=c2+d2=(c−d)2+2cd=4042，即22+2cd=4042解得：cd=2019，即(2019−x)(2017−x)=2019；(2)设x=a1+a2+⋯+a2014，y=a2+a3+⋯+a2015，则M=xy，2，N=(x+a2015)(y−a2015)=xy+a2015(y−x)−a2015M−N=a2015(y−x−a2015)=−a1a2015由于a1,a2,a3,...a2015均为负数所以−a1a2015为负数，则M−N=−a1a2015<0，M<N；(3)由题意得：(x−1)(x−2)=5，设x−1=a，x−2=b，则ab=5，a−b=1，∴(a +b )2=(a −b )2+4ab =21． 则阴影部分的面积为21．【解析】本题考查完全平方公式，换元法等知识，解题的关键是学会利用换元法解决问题，熟练掌握完全平方公式．(1)模仿例题，利用换元法解决问题即可．(2)设x =a 1+a 2+⋯+a 2014，y =a 2+a 3+⋯+a 2015，则M =xy ，N =(x +a 2015)(y −a 2015)=xy +a 2015(y −x)−a 20152，M −N =a 2015(y −x −a 2015)=−a 1a 2015由于a 1,a 2,a 3,...a 2015均为负数，所以−a 1a 2015为负数，则M −N =−a 1a 2015<0，最后得M <N ； (3)模仿例题，利用换元法解决问题：由题意得：(x −1)(x −2)=5，设x −1=a ，x −2=b ，则ab =5，a −b =1，得出(a +b )2=(a −b )2+4ab =21．【好题演练】一、选择题1.设a 、b 是实数，且11+a −11+b =1b−a ，则1+b1+a 的值为( )．A. 1±√52B. ±1±√52C. ±3−√52D. 3±√52【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观．先设1+a =x ，1+b =y ，则b −a =y −x ，原方程可化为1x −1y =1y−x ，整理得，y 2−3xy +x 2=0，方程两边同除以x 2，解关于yx 的一元二次方程即可． 【解答】解：解：设1+a =x ，1+b =y ，则b −a =y −x ，原方程可化为1x −1y =1y−x ， 整理得，y 2−3xy +x 2=0，两边同除以x2，得(yx )2−3(yx)+1=0，解得yx =3±√52，即1+b1+a 等于3±√52，故选D．2.已知实数a,b,c满足a+b+c=1，1a+1+1b+3+1c+5=0，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为()．A. 125B. 120C. 100D. 81【答案】C【解析】【分析】本题考查换元法和整体代入法，巧妙利用换元法是解题的关键.首先令a+1=x，b+3=y，c+5=z，分别求出x+y+z和xy+yz+xz，然后所求代数式即为x2+y2+z2，整体代入可求出值．【解答】解：令a+1=x，b+3=y，c+5=z，∵a+b+c=1∴x+y+z=(a+1)+(b+3)+(c+5)=10，又1a+1+1b+3+1c+5=0则1x +1y+1z=0，∴xy+yz+xz=0，∴(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2=x2+y2+z2=(x+y+z)2−2(xy+yz+xz)=102=100．故选C．3.已知(x−2015)2+(x−2017)2=34，则(x−2016)2的值是()A. 4B. 8C. 12D. 16【答案】D【解析】【分析】本题考查了完全平方公式以及换元法．将x−2016设为t，则x−2015=t+1，x−2017=t−1，代入原方程中，可得到关于t 的方程，进而求解。
2019-2020学年人教版九年级上册人教版思维特训(三) 换元法在解方程中“四两拨千斤”(PDF版)
思维特训(三) 换元法在解方程中“四两拨千斤”方法点津 ·1．换元法是指在解决数学问题时，通过引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量 (或代数式)，对新的变量求出结果之后，返代回去求原变量的结果的方法．．解方程时，把方程中的某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，从而把复 2杂方程化为简单方程，通过解简单方程，实现对方程的求解．典题精练 ·类型一 用换元法解一元二次方程1．下面是昊昊用换元法解方程 2(x ＋1)2＋3(x ＋1)(x －2)－2(x －2)2＝0 的解答过程，请 你判断是否正确．若有错误，请按这种思路求出正确答案．解：设 x ＋1＝m ，x －2＝n ，则原方程可化为 2m 2＋3mn －2n 2＝0，则 a ＝2，b ＝3n ，c ＝ －2n 2，m ＝3 n ± 9n 2－4×2（－2n 2） 3n±5n ＝ ， ∴ 2 2即 m ＝4n ，m ＝－n ， 1 2∴ x ＋1＝4(x －2)或 x ＋1＝－(x －2)，1 2∴ x ＝3，x ＝ . 1 2 类型二 用换元法解含有绝对值的一元二次方程2．阅读下面的例题，解方程 x 2－|x|－2＝0.解：原方程化为|x|2－|x|－2＝0.令 y ＝|x|，则化成 y 2－y －2＝0.解得 y ＝2，y ＝－1. 1 2当|x|＝2 时，x ＝±2；当|x|＝－1 时，不符合题意，舍去．∴ 原方程的解是 x ＝2，x ＝－2.1 2 请模仿上面的方法解方程：(1)x 2－2|x|＝0；(2)(x －1)2－5|x －1|－6＝0；(3)x 2－2x －4|x －1|＋5＝0.类型三 用换元法解一元高次方程3．阅读下面的例题： 解方程：x 4－7x 2＋12＝0.解：设 x 2＝y ，则 x 4＝y 2，原方程可化为 y 2－7y ＋12＝0，①解得 y ＝3，y ＝4. ∴ 1 2当 y ＝3 时，x 2＝3，x ＝± 3；当 y ＝4 时，x 2＝4，x ＝±2.∴ 原方程有四个根：x ＝ 3，x ＝－ 3，x ＝2，x ＝－2.1 2 3 4 以上方法叫换元法，它起到了降次的作用，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题：(1)解方程：①(x 2＋x)2－4(x 2＋x)－12＝0；(x 2＋x －2)(x 2＋x －3)＝2. ②(2)已知 a ，b ，c 是 Rt △ABC 的三边长(c 为斜边长)，S △ABC ＝6，且 a ，b 满足(a 2＋b 2)2 －21(a 2＋b 2)－100＝0，试求 Rt △ABC 的周长．类型四 用换元法解可化为一元二次方程的分式方程或无理方程4．解方程时，把某个式子看成一个整体，用一个新的未知数去代替它，从而使方程得 到简化，这种方法叫换元法．先阅读下面的解题过程，再回答问题：例：解方程：2 x －3＝0.解：设 x ＝t(t ≥0)．3 2 3 2∴ ∴ 原方程化为 2t －3＝0，∴t ＝ ，而 t ＝ ＞0， 3 9 x ＝ ，∴x ＝ . 2 4请利用上面的方法，解出下面两个方程：(1)x ＋2 x －8＝0；(2)x ＋ x －4－6＝0.5．按照下面的步骤解方程： x ＋1 2x － ＝1. x ＋1xx x ＋1解：设 y ＝ ，则原方程可化为关于 y 的方程________． 请你将后面的过程补充完整．类型五 均值换元法6．阅读下面的范例，按要求解答问题． 3 2例：已知实数 a ，b ，c 满足 a ＋b ＋2c ＝1，a 2＋b 2＋6c ＋ ＝0，求 a ，b ，c 的值． 解：∵a ＋b ＋2c ＝1，∴a ＋b ＝1－2c. 设 a ＝1 －2c 2 ＋t ，b ＝ 1－2c －t.① 23 2 将①代入 a 2＋b 2＋6c ＋ ＝0，得 (1 －2c 2 ＋t)2＋( 1－2c －t)2＋6c ＋ ＝0， 3 2 2整理，得 t 2＋(c 2＋2c ＋1)＝0，即 t 2＋(c ＋1)2＝0，∴t ＝0，c ＝－1.3 2 3 2将 t ，c 的值代入①，可得 a ＝ ，b ＝ ， 3 2∴ a ＝b ＝ ，c ＝－1. m 2以上解法采用了“均值换元法”．一般地，若实数 x ，y 满足 x ＋y ＝m ，则可设 x ＝ ＋ m 2t ，y ＝ －t ，合理运用这种换元技巧，可顺利解决一些问题．现请你根据上述方法试解决下 面的问题：已知实数 a ，b ，c 满足 a ＋b ＋c ＝6，a 2＋b 2＋c 2＝12，求 a ，b ，c 的值．典题讲评与答案详析1 ．解：该解答有错误．正确解答如下：设x＋1＝m，x－2＝n，则原方程可化为 2m2＋3mn－2n2＝0，则a＝2，b＝3n，c＝－2n2，∴∴m＝－3n±9n2－4×2（－2n2）－3n±5n＝，2 ×2 41m ＝n，m ＝－2n，1 2 212∴∴x＋1＝(x－2)或x＋1＝－2(x－2)，x ＝－4，x ＝1.1 22 ．解：(1)原方程可化为|x|2－2|x|＝0.设|x|＝y，则y2－2y＝0.解得y ＝0，y ＝2.1当y＝0 时，|x|＝0，解得x＝0；当y＝2 时，|x|＝2，解得x＝±2.2∴原方程的解是x ＝0，x ＝－2，x ＝2.1 2 3(2)原方程可化为|x－1|2－5|x－1|－6＝0.令y＝|x－1|，原方程可化为y2－5y－6＝0.解得y ＝6，y ＝－1.1 2当|x－1|＝6 时，x－1＝±6，解得x ＝7，x ＝－5.1 2当|x－1|＝－1 时(舍去)．则原方程的解是x ＝7，x ＝－5.1 2(3)原方程可化为|x－1|2－4|x－1|＋4＝0.设|x－1|＝y，则y2－4y＋4＝0，解得y ＝y ＝2.1 2即|x－1|＝2，解得x ＝－1，x ＝3.1 2∴原方程的解是x ＝－1，x ＝3.1 23 ．解：(1)①设x2＋x＝y，则原方程可化为y2－4y－12＝0，解得y ＝6，y ＝－2.1 2由x2＋x＝6，得x ＝－3，x ＝2.1 2由x2＋x＝－2，得方程x2＋x＋2＝0，Δ＝1－4×2＝－7＜0，此时方程无实数根．∴②∴原方程的解为x ＝－3，x ＝2.1 2设x2＋x－3＝y，则x2＋x－2＝y＋1，原方程可化为(y＋1)·y＝2，即y2＋y－2＝0，解得y ＝－2，y ＝1.1 2当y＝－2 时，x2＋x－3＝－2，即x2＋x－1＝0，－1－ 52 5－1 2解得x ＝，x ＝；1 2当y＝1 时，x2＋x－3＝1，即x2＋x－4＝0，－1－172 －1＋17解得x ＝，x ＝.3 4 2原方程的解是 x ＝－1－ 5 ，x ＝ 5－1 2，x ＝ －1－ 17 ，x ＝ －1＋ 17 . ∴ 1 2 2 3 2 4 2 (2)设 a 2＋b 2＝x ，∴ 原方程可化为 x 2－21x －100＝0，解得 x ＝25，x ＝－4(不符合题意，舍去)． 1 2∵ a ，b ，c 是 Rt △ABC 的三边(c 为斜边)，S △ABC ＝6，∴a ，b ，c 均为正数， c 2＝a 2＋b 2＝25，ab ＝12，∴ ∴ ∴ a ＋b ＝ a 2＋b 2＋2ab ＝7，c ＝5，Rt △ABC 的周长为 a ＋b ＋c ＝7＋5＝12.4 ．解：(1)设 x ＝t ，则原方程转化为 t 2＋2t －8＝0，解得 t ＝2，t ＝－4， 1 2而 t ＝2＞0，t ＝－4＜0， 1 2∴ x ＝2，∴x ＝4.(2)设 x －4＝t (t ≥0)，原方程可化为 t 2＋t －2＝0，解得 t ＝1，t ＝－2， ∴ 1 2而 t ＝1＞0，t ＝－2＜0， 1 2∴ x －4＝1，∴x ＝5.x 1 y 5 ．解：设 y ＝ ，则原方程可化为关于 y 的方程 －2y ＝1. x ＋1两边同乘 y ，得 1－2y 2＝y ，1 2解得 y ＝－1，y ＝ . 1 2 1 2经检验，y ＝－1，y ＝ 是该方程的解． 1 2 x 1 2 当 y ＝－1 时，有－1＝ ，解得 x ＝－ . x ＋11 2经检验，x ＝－ 是该方程的解． 1 2 1 2 x 当 y ＝ ，有 ＝ ，解得 x ＝1. x ＋1经检验，x ＝1 是该方程的解．1 2 综上所述，原方程的解为 x ＝－ ，x ＝1. 1 26 ．解：∵a ＋b ＋c ＝6，∴ a ＋b ＝6－c . 设 a ＝6 ＋t ，b ＝ －c 2 6－c 2－t . ∵ a 2＋b 2＋c 2＝12，(6 ＋t )2＋( －c 2 6－c 2－t )2＋c 2＝12. ∴ 整理，得 3c 2－12c ＋4t 2＋12＝0. 配方，得 3(c －2)2＋4t 2＝0， ∴ ∴ ∴ c ＝2，t ＝0，a ＝2，b ＝2，a ＝b ＝c ＝2.。
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利用换元法解分式方程的四种常见类型
一、直接换元 例1 解方程015)1
(2)1(2=----x x x x . 解：设
y x x
=-1
，则原方程可化为01522=--y y . 解得 5,321=-=y y .
当3-=y 时，31
-=-x x ，解得 43=x ；
当5=y 时，51=-x x ，解得 45
=x .
经检验，4
5
,4321==x x 是原方程的根.
二、配方换元
例2 解方程 1)1
(3)1(22
2
=+-+
x x x
x . 解：原方程配方，得 05)1
(3)1(22=-+-+x
x x x .
设,1y x
x =+则05322
=--y y .
解得 25
,121=-=y y .
当1-=y 时，,11-=+x
x 即012
=++x x .
因为0311412
<-=⨯⨯-=∆， 所以方程012
=++x x 无实数根.
当25=y 时，,2
51=+x x 即02522
=+-x x . 解得 21
,221==x x .
经检验，2
1
,221==x x 是原方程的根.
三、倒数换元
例3 解方程
031
)
1(21122=-+++++x x x x . 解：设
y x x =++1
12，则原方程可化为032
=-+y y .
去分母，整理，得0232
=+-y y ，解得 2,121==y y .
当1=y 时，
11
1
2=++x x ，即02=-x x . 解得 1,021==x x .
当2=y 时，
21
1
2=++x x ，即0122=--x x . 解得 21,2143-=+=x x .
经检验，,1,021==x x 21,2143-=+=x x 都是原方程的根. 四、变形换元
例4 解方程12
22
242
2
=+-+
-x x x x . 解：原方程可变形为052
22
)22(22
2
=-+-+
+-x x x x . 设y x x =+-222
，则原方程可化为052
2=-+
y
y . 去分母，整理，得02522
=+-y y . 解得 2
1,221=
=y y . 当2=y 时，2222
=+-x x ，即022
=-x x . 解得 2
1,021==x x . 当21=
y 时，2
1222
=+-x x ，即03242=+-x x . 因为044344)2(2
<-=⨯⨯--=∆， 所以方程03242
=+-x x 无实数根. 经检验，2
1
,021=
=x x 是原方程的根. 例1 解方程
分析 括号里的分式相同，由这个特点，知可用换元法来解。
解设，于是原方程变形为
解得
例2 解方程
分析方程左边分式分母为，可将右边看成一个整体，然后用换元法求解。
解设，则原方程变形为
例3 解方程
分析这是一个根号里面含有分式的无理方程，也可通过变形后换元求解。
解原方程为
例4 解方程解设
练习：
1. 解方程
2. 解方程
3. 解方程
提示：1. 设
2.
3. 设。
二次根式
一、知识要点概述
1、二次根式：式子叫做二次根式．
2、最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式．
(1)被开方数的因数是整数，因式是整式．
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
3、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式．
4、二次根式的主要性质
5、二次根式的运算
(1)因式的外移和内移
如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外；如果被开方数是多项式的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外．反之，也可以将根号外的正因式平方后移到根号里面去．
(2)有理化因式与分母有理化
两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式，将分母中的根号化去，叫做分母有理化．
(3)二次根式的加减法：
先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式．
(4)二次根式的乘除法
二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)所得的积(商)仍作积(商)的被开方数，并将运算结果化为最简二次根式．
(5)有理数的加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律、乘法对加法的分配律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
二、典例剖析
分析：因一个等式中含有两个未知量，初看似乎条件不足，仔细观察两被开方数互为相反数，不妨从二次根式定义入手．
例3、已知xy＞0，化简二次根式的正确结果是（）
A．B．－C．D．－
分析：解题的关键是首先确定被开方式中字母的符号，既可以化简被开方式，又可把根号外的因式移入根号内．
说明：运用二次根式性质解题时，既要注意每一性质成立的条件，又要学会性质的“正用”与“逆用”特别地字母因式由根号内(外)移到根号(外)内时必须考虑字母因式隐含的符号．。