高二数学下学期中段考试试题
2021-2022学年浙江省杭州市长河高级中学高二下学期期中数学试题(解析版)
2021-2022学年浙江省杭州市长河高级中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．已知两个向量()()1,2,1,2,,2a b m ==，若a b ⊥，则m 的值为（ ） A ．4- B ．2- C ．2 D ．8【答案】B【分析】直接利用空间向量垂直的坐标运算计算即可.【详解】因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，即2220m ++=，解得2m =-. 故选：B2．已知直线l 过点()2,4P ，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的两倍，则直线l 的方程为（ ） A ．20x y -=B ．280x y +-=C ．20x y -=或2100x y +-=D ．20x y -=或280x y +-=【答案】D【分析】对直线l 是否经过原点分类，结合条件，求出l 的方程．【详解】解：若直线l 经过原点，满足条件，可得直线l 的方程为2y x =，即20x y -=； 若直线l 不经过原点，可设直线l 的方程为12x ya a+=()0a ≠， 把点()2,4P 代入可得2412a a+=，解得4a =， ∴直线l 的方程为148x y+=，即280x y +-=， 综上可得直线l 的方程为20x y -=或280x y +-=； 故选：D ．3．如图，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是8y x =-+，则()()55limx f x f x x∆→+∆--∆=∆（ ）A ．12-B ．2C ．1-D ．2-【答案】D【分析】依题意可知切点坐标，由切线方程得到()51f '=-，利用导数的概念解出即可. 【详解】依题意可知切点()5,3P ，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是8y x =-+，∴ ()51f '=-，即()()55lim 1x f x f x∆→+∆-=-∆∴()()()()5555lim2lim2x x f x f x f x f x x x∆→∆→+∆--∆+∆--∆=∆∆又()()()()5555limlim12x x f x f x f x f x x ∆→∆→+∆--∆+∆-==-∆∆ ∴()()()()5555lim2lim22x x f x f x f x f x xx∆→∆→+∆--∆+∆--∆==-∆∆即()()55lim2x f x f x x∆→+∆--∆=-∆故选：D.4．已知动圆圆心在抛物线24x y =上，且动圆恒与直线1y =-相切，则此动圆必过定点（ ） A ．()2,0 B ．()1,0 C ．()0,1 D ．()0,1-【答案】C【分析】首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，根据抛物线的定义判断即可.【详解】解：抛物线24x y =的焦点坐标为()0,1F ，准线方程为1y =-，依题意根据抛物线的定义可知动圆必过点()0,1F ； 故选：C5．“杭帮菜”山肤水豢，回味无穷.今有人欲以“糟烩鞭笋”、“冰糖甲鱼”、“荷叶粉蒸肉”、“宋嫂鱼羹”、“龙井虾仁”、“叫化童鸡”共六道杭帮菜宴请远方来客.这六道菜要求依次而上，其中“冰糖甲鱼”和“叫化章鸡”不能接连相邻上菜，请问不同的上菜顺序种数为（ ） A ．480 B ．240 C ．384 D ．1440【答案】A【分析】利用插空法求解，先排列“糟烩鞭笋”、“荷叶粉蒸肉”、“宋嫂鱼羹”、“龙井虾仁”这4道菜，然后用“冰糖甲鱼”和“叫化章鸡”去插空即可.【详解】根据题意，先排列“糟烩鞭笋”、“荷叶粉蒸肉”、“宋嫂鱼羹”、“龙井虾仁”这4道菜，共有44A 24=种方法，4道菜排列后，有5个空，然后用“冰糖甲鱼”和“叫化章鸡”去插空，有25A 20=种方法，所以由分步计数原理可知共有2420480⨯=种不同的上菜顺序， 故选：A6．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且4813S S =，则816SS 等于（ ）A ．18B ．19C ．13D ．310【答案】D【分析】由题设及等差数列前n 项和公式可得114618283a d a d +=+，求1,a d 的数量关系，进而求816S S 即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 由题设，41814618283S a d S a d +==+，可得152a d =， ∴8116182831612010S a d S a d +==+. 故选：D.7．某项上机考试的规则是：每位学员最多可上机考试3次，一旦通过，则停止考试；否则一直到3次上机考试结束为止.某学员一次上机考试通过的概率为()0p p ≠，考试次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值可能是（ ） A ．12 B ．512C ．712 D ．34【答案】B【分析】根据独立重复实验的概率计算方法求出随机变量X 的分布列，根据数学期望的公式即可计算p 的范围.【详解】考试次数X 的所有可能取值为1，2，3，()1P X p ==，()()21P X p p ==-，()()231P X p ==-，∴()()()22131 1.75E X p p p p =+-+->， 即241250p p -+>，解得2p 1<或52p >， 又01p <<，故102p <<． 故选：B.8．已知双曲线22221x y a b -=，过左焦点F 作一条渐近线的垂线，记垂足为P ，点Q 在双曲线上，且满足FQ QP =，则双曲线的离心率为（ ） A1 BCD ．2【答案】C【分析】设P 在渐近线b y x a=-上，直线FP 的方程为()ay x c b =+，联立求得2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由FQ QP =，求得2,222a c ab Q c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入双曲线的方程化简即可得出答案.【详解】设P 在渐近线b y x a=-上，直线FP 的方程为()ay x c b =+，由()b y x a a y x c b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得2,a x c ab y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由FQ QP =，得Q 为FP 的中点，又因为(),0F c -所以2,222a c ab Q c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为Q 在双曲线上，所以2222222()1,44c a a a c c+-=化简得：222,c a =ce a=故选：C二、多选题9．某同学投篮1次，投中的概率是0.8，他连续投篮4次，且他每次投篮互不影响，则下列四个选项中，正确的（ ） A ．他第3次投中的概率是0.8 B ．他恰投中3次的概率是30.80.2⨯C ．他至少投中1次的概率是410.2-D ．他恰好有连续2次投中的概率为330.80.2⨯⨯ 【答案】AC【分析】利用相互独立事件的概率和独立重复试验的概率公式判断即可.【详解】A 选项：投篮1次，投中的概率为0.8，所以第3次投中的概率为0.8，故A 正确；B 选项：恰投中3次的概率为33340.80.240.80.2⨯⨯=⨯⨯C ，故B 错；C 选项：至少投中1次对立事件为都没有投中，所以至少投中1次的概率为044410.210.2-⨯=-C ，故C 正确；D 选项：恰好有连续2次投中的概率为22220.80.20.80.2⨯⨯+⨯，故D 错. 故选：AC.10．已知直线():12330l m x my m -+-+=，m R ∈和圆()()22:214C x y -+-=，下列说法正确的是（ ） A ．直线l 恒过定点()3,0B ．圆C 被x 轴截得的弦长为C ．直线被圆截得的弦长存在最大值，且最大值为D ．直线被圆截得的弦长存在最小值，且最小值为【答案】ABD【分析】利用直线系方程求得直线所过定点的坐标判断A ；求出圆C 被x 轴截得的弦长判断B ；当直线过圆心时可判断C ，当直线l PC ⊥时算出弦长可判断D. 【详解】对于A ，由()12330m x my m -+-+=，得()2330m x y x +--+=，联立23030x y x +-=⎧⎨-+=⎩，得30x y =⎧⎨=⎩，无论m 为何值，直线l 恒过定点()3,0，故A 正确；对于B ，在22(2)(1)4x y -+-=中，令0y =，得2=x C 被x 轴截得的弦长为2(2=B 正确；对于C ，当直线l 过圆心C (2,1)时，直线被圆截得的弦长最大，最大值为圆C 直径4，故C 错误；对于D ，由于直线l 恒过的定点()3,0，易知此点在圆内，设此定点为P ，当直线l 与直径垂直时，直线l 被圆截得的弦长最小，且最小值为=D正确. 故选：ABD11．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，且11a >，565612a a a a +>+>，记{}n a 的前n 项积为n T ，则下列选项中不正确的是（ ） A ．01q << B ．61a > C ．101T > D ．111T >【答案】BD【分析】等比数列{}n a 的各项均为正数，11a >，565612a a a a +>+>，可得56(1)(1)0a a --<，因此51a >，61a <，01q <<．进而判断出结论．【详解】等比数列{}n a 的各项均为正数，11a >，565612a a a a +>+>，56(1)(1)0a a ∴--<，11a >，若51a <，则一定有61a <，不符合不等式，故51a >，61a <，01q ∴<<．5612a a +>，561a a ∴>，0565101231()1T a a a a a a =⋯=>，111161T a =<，综上可知，AC 正确，BD 错误． 故选：BD ．12．若三次函数()32127f x ax x cx =+++有三个相异且成等差的零点，则a 的可能取值为（ ） A ．3 B ．1C ．13D ．19-【答案】CD【分析】利用三次函数有三个相异的零点，得到()232f x ax x c '=++有两个相异的根，由根的判别式求出13ac <，根据三次函数的三个零点，利用加减消元法得到213x a =-，利用()2103f x f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭求出()()1,00,1a ∈-⋃，得到正确答案.【详解】()32127f x ax x cx =+++定义域为R ，且0a ≠， ()232f x ax x c '=++，因为三次函数有三个相异的零点，所以()232f x ax x c '=++有两个相异的根，所以4120ac ∆=->，解得：13ac <，设三次函数三个相异的零点分别为()123123,,x x x x x x <<，则1322x x x += 则321111027ax x cx +++=①，322221027ax x cx +++=②，323331027ax x cx +++=③，①－②得：()()()33221212120a x x x x c x x -+-+-=，即()()()()()221211221212120a x x x x x x x x x x c x x -+++-++-=，因为120x x -≠，所以()()221122120a x x x x x x c +++++=④，同理②－③得：()()223322320a x x x x x x c +++++=⑤，④-⑤得：()()()()1313132130a x x x x x x x x x ⎡-++-⎤+-=⎣⎦， 因为130x x -≠，所以()13210a x x x ⎡++⎤+=⎣⎦， 因为1322x x x +=，所以2310x a +=， 解得：213x a=-， 则()322111110333327f x f a c a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-+-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：229a c a+=，代入13ac <得：22193a a a +⋅<， 解得：21a <，又0a ≠， 所以()()1,00,1a ∈-⋃，从而a 的可能取值为13，19-故选：CD【点睛】处理三次函数零点问题，可通过消元法将三次问题转化为一次问题，再结合题目特征求出参数的取值范围.三、填空题13．北京冬奥会期间，小苏抢购了3个冰墩墩和4个雪容融且造型不一的吉祥物，现抽取3个吉祥物送给一位朋友，其中至少有冰墩墩雪容融各1个，则不同的送法有________种.（用数字作答） 【答案】30【分析】分选1个冰墩墩和2个雪容融与选2个冰墩墩和1个雪容融两种情况讨论，按照分类加法与分步乘法计数原理计算可得；【详解】若选1个冰墩墩和2个雪容融，则有1234C C =18种； 若选2个冰墩墩和1个雪容融，则有2134C C =12种； 综上可得一共有181230+=种； 故答案为：3014．已知()62601262x a a x a x a x -=++++，则0126a a a a ++++=________（用数字作答） 【答案】729【分析】由二项式定理确定各项的符号，则原式可化为()6012345621a a a a a a a ⎡⎤-+-+-+=--⎣⎦，即可求值【详解】由二项式定理可知，0246a a a a 、、、均为正数，135a a a 、、均为负数， 可得()6601260123456213729a a a a a a a a a a a ⎡⎤++++=-+-+-+=--==⎣⎦.故答案为：72915．若对1x ∀，()2,∈+∞x m ，且12x x <，都有1212ln ln 1x x x x -<-，则m 的最小值是________.【答案】1【分析】根据题意整理可得：1122ln ln x x x x ->-，理解可得：()ln f x x x =-在(),m +∞上单调递减，即()0f x '≤在(),m +∞上恒成立，结合参变分离运算求解. 【详解】∵12x x <，则120x x -<由题意可得：1212ln ln x x x x ->-，即1122ln ln x x x x ->- ∴()ln f x x x =-在(),m +∞上单调递减，则()110f x x'=-≤在(),m +∞上恒成立 即1≥x 在(),m +∞上恒成立，则m 1≥，即m 的最小值是1 故答案为：1.16．已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为4. 若M 是平面11BCC B 内的动点，且AM MC ⊥，则1A M 与平面11BCC B 所成角的正切值的最大值为________.【答案】512+ 【分析】先由AM MC ⊥判断出M 点轨迹，再求出1A M 与平面11BCC B 所成角为11A MB ，要使11tan A MB ∠最大，则1B M 最小，结合M 点轨迹求出1B M 最小值即可. 【详解】连接1,BM B M ，如图，易知AB ⊥平面11BCC B ，CM ⊂平面11BCC B ，所以AB CM ⊥，又AM MC ⊥，AB AM A =，故CM ⊥平面ABM ，BM ⊂平面ABM ，所以⊥CM BM ，即M 点在平面11BCC B 内的轨迹为以BC 为直径的圆（除去点C ）， 又11A B ⊥平面11BCC B ，故1A M 与平面11BCC B 所成角即为11A MB ， 又1111114tan A B A MB B M B M∠==，故要使11tan A MB ∠最大，则1B M 最小，将平面11BCC B 及M 点轨迹画出如下图：设O 为BC 中点，连接1OB ，则2212425OB +=1B M 最小为52， 此时1151tan 252A MB +∠=-51+.四、解答题17．已知函数()ln f x x =，()tan g x x =. (1)求曲线()y g x =在ππ,44g ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处切线的方程；(2)若直线l 过坐标原点且与曲线()y f x =相切，求直线l 的方程. 【答案】(1)2102x y(2)e 0x y -=【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式写切线方程即可； （2）根据()ln f x x =设切点坐标()00,ln x x ，然后利用导数的几何意义得到斜率01k x =，再利用点斜式写切线方程，将()0,0代入切线方程得到0e x =即可得到切线方程.【详解】(1)()sin tan cos x g x x x ==，所以()2222cos sin 1cos cos x x g x x x+'==，所以24g π⎛⎫'= ⎪⎝⎭，14g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以切线方程为：124y x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，整理得2102x y .(2)()ln f x x =，所以()1f x x'=，设切点坐标为()00,ln x x ，所以切线斜率为01k x =，则切线方程为：()0001ln y x x x x -=-，又因为切线过原点，所以将()0,0代入切线方程得()0001ln x x x -=⋅-，解得0e x =，所以切线方程为：()11e ey x -=-，整理得e 0x y -=. 18．甲、乙两班进行多场趣味比赛，若每场比赛相互独立，且均能分出胜负.已知每场比赛甲、乙两班胜出的概率相同，都是12.(1)若比赛采用五局三胜制（在不超过五场的比赛中，先赢得三场者胜），设比赛的局数为X ，写出X 的分布列；(2)若比赛规定某班率先赢得四场比赛则为胜出，假定比赛已进行了5场，请问此时甲胜出的概率.【答案】(1)见解析；(2)18.【分析】（1）分别求出3,4,5X =时的概率，然后写分布列即可； （2）此时甲胜出意味着乙只在前4场胜出1场，然后表示概率即可. 【详解】(1)由题意知X 可取3，4，5，()31211324P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭C ，()4112313428P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭C C ，()5122413528P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭C C ， 所以X 的分布列为：(2)设此时甲胜出为事件B ，则()5141128P B ⎛⎫== ⎪⎝⎭C ，所以此时甲胜出的概率为18. 19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*16n n S a n +=∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令n n b a n =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)412-⎛⎫= ⎪⎝⎭n n a(2)427,19,241,322n n n T n n n n -⎧⎪=⎪⎪==⎨⎪++⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩【分析】（1）当1n =时，可得1a ；2n ≥时，由2n n S a +=，可得112n n S a --+=，两式作差可得数列{}n a 是等比数列，进而可得通项公式； （2）利用分类讨论求解即可．【详解】(1)由题意知，当1n =时，1116S a +=，即18a =，2n ≥时，由1116,16n n n n S a S a --+=+=得110n n n n S S a a ---+-=即12n n a a -=，所以数列{}n a 是首项为8，公比为12的等比数列.所以1411822n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.(2)由题意知，441,1221,32n n n n n n b a n n n --⎧⎛⎫-≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=-=⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩， 所以127,2b b ==，所以112127,729T b T b b ===+=+=， 当3n ≥时，20144135119[3][4][5]112222n n n T T b b b b n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=+++++=+-+-+-++ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11411119345[]2222n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++++212[1]329(2)1212n n n -⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+⨯---221214422n n n -++⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭424122n n n -++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.所以427,19,241,322n n n T n n n n -⎧⎪=⎪⎪==⎨⎪++⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. 20．如图，把以AC 为底边的等腰ACD △绕着它的一条腰AD 旋转到ABD △的位置，使得BCD △为正三角形，且30ACD ∠=︒，2BC =，E 、F 为线段AB 、CD 上的点，且3AE EB =，3CF FD =.(1)求证：EF ⊥平面ACD ； (2)求二面角A CD B --的正弦值. 【答案】(1)证明如下(2)223【分析】（1）通过作辅助线，构造平面BCM ，使得AD ⊥平面BCM ，再在平面BCM 内作直线E F ''与EF 平行，即AM E F ''⊥，并通过勾股定理求证E F MC ''⊥，从而证明出EF ⊥平面ACD ；（2）因为BCD △为等边三角形，所以BN CD ⊥，并在平面ACD 作辅助线QN CD ⊥，构造出二面角A CD B --所对应的平面角，通过求出各边长，从而求出二面角A CDB --的正弦值【详解】(1)过点C 作CM AD ⊥，连接BM 过点E 作//EE AC '交BC 于点E '过点F 作//FF AC '交CM 于点F '，连接E F ''//EE AC '，3AE EB =，∴14EE AC '=CM AD ⊥，ACD △为等腰三角形，且30ACD ∠=︒∴ 30DCM ∠=︒，且2222cos 12AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠=，∴3AC =∴3EE '=//FF AC '，30ACD ∠=︒，∴30CFF '∠=︒∴CFF '△为等腰三角形又3CF FD =，2CD =，∴32CF =∴22232cos 4F F CF F C CF F C DCM '''=+-⋅⋅∠=，即3FF CF ''==∴//FF EE ''且FF EE ''=∴四边形FF E E ''为平行四边形，∴//EF E F ''CM AD ⊥，ACD △全等于ABD △∴3CF BM ==BM AD ⊥，∴3cos MCB ∠= 32CE '=∴22232cos 2EE CF E C CF E C BCM '''''=+-⋅⋅∠=∴222E F F C E C ''''+=∴E F MC ''⊥BM AD ⊥，CM AD ⊥，BM CM M ⋂=，BM ⊂平面BCM ，CM ⊂平面BCM∴AM ⊥平面BCME F ''⊂平面BCM ，∴AM E F ''⊥E F MC ''⊥，AM CM M ⋂=，AM ⊂平面ACD ，CM ⊂平面ACD∴E F ''⊥平面ACD//EF E F ''∴EF ⊥平面ACD(2)过点A 作AP CD ⊥，取CD 的中点N ，连接BN 过点N 作//QN AP 交AC 于点Q ，连接BQBCD △为等边三角形，N 为CD 的中点，∴BN CD ⊥AP CD ⊥，//QN AP ，∴QN CD ⊥∴二面角A CD B --的平面角为BNQ ∠2CD =，BN CD ⊥∴3BN =1CN =由（1）得3AC =又ACD △为等腰三角形，且30ACD ∠=︒，AP CD ⊥∴3AP =1DP =，∴13CN CP = 又//QN AP ，∴13CQ QN AC AP == ∴3QN =，23CQ =3cosACB ∠=∴2222cos 4BQ BC CQ BC CQ ACB =+-⋅∠=，即2BQ =∴在BNQ 中，2221cos 23BN QN BQ BNQ BN BQ +-∠==-⋅∴二面角A CD B --2221．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点()22,2P ，A 、B 为左右顶点，且8AB =.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点A 作椭圆内的圆()222:0O x y r r +=>的两条切线，交椭圆于C 、D 两点，若直线CD 与圆O 相切，求圆O 的方程；(3)过点P 作（2）中圆O 的两条切线，分别交椭圆于两点Q 、R ，求证：直线QR 与圆O 相切.【答案】(1)221164x y += (2)22169x y +=(3)证明见解析【分析】（1）根据椭圆的基本量可得4a =，代入()22,2P 即可得椭圆的方程； （2）根据对称性可得直线CD 与x 轴垂直，再根据相切的性质，结合三角函数的关系列式求解半径r 即可；（3）设圆O 的切线方程为()222y k x -=-，根据切线到圆心的距离可得k 的二次方程，进而得到,PQ PR 的斜率12,k k ，再联立,PQ PR 的方程与椭圆方程可得,Q R 的横坐标，进而表达出QR 的方程，求解圆心到QR 的距离表达式，代入数据求解得43d =即可证明. 【详解】(1)依题意，8AB =则4a =，代入()22,2P 可得282116b+=，解得24b =，故椭圆方程为221164x y += (2)由椭圆与圆的对称性可得，直线,AC AD 关于x 轴对称，故直线CD 与x 轴垂直. 代入x r =到221164x y +=，不妨设21,162C r r ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设E 为AC 与圆O 的切点，F 为CD 与圆O 的切点.则由切线的性质，21162CE CF r ==-OE OF r ==，故22216AE AO OE r =--故AC AE EC =+=故1sin 34CF OE r CAF AC OA ∠====，故43r =. 故圆O 的方程为22169x y +=. (3)设圆O的切线方程为(y k x =-，即0kx y -=.43=，故()2212819k k -=+，化简得2283610k k -+=. 则该方程两根分别为,PQ PR 的斜率12,k k，则1k =，2k =联立(221164y k x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，则()()()222141284410k x k x k k ++-+--=.设()()1122,,,Q x y R x y ，则()211121844114k k k--=+，即)21112144114k k x k--==+，同理)22222244114k k x k --==+故11k x =，22k x =((121122y y k x k x -=---)112212k x k x k k =---=又1212QR y y k x x -=-，故直线QR 的方程为()121112y y y y x x x x --=--，即 ()()121212210y y x x x y x y x y ---+-=，故O 到直线QR 的距离d=代入数据可得43d =，故直线QR 与圆O 相切.【点睛】本题主要考查了根据直线与圆和直线与椭圆的位置关系问题，需要根据题意设直线方程，联立椭圆方程得出对应的点坐标，从而得出直线方程，根据点到直线的距离公式化简求解.计算量较大，属于难题.22．已知()e cos xf x x =⋅.(1)求()f x 的极大值点；(2)若0a >，当2x ≥-时，()()()2e 2cos 242xf x x x a x x ≤⋅++-++恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1)π2π,Z 4k k +∈；(2)2e ,1-⎡⎤⎣⎦.【分析】（1）由题可得()πcos 4xf x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，根据函数的导数与函数的极值点的关系即得；（2）由题可得()()2e 22420x x a x x ⋅+-++≥恒成立，构造函数()()()2e 2242x h x x a x x =⋅+-++，利用导数求函数的最值即得.【详解】(1)因为()e cos xf x x =⋅，所以()()πe cos sin cos 4x xf x x x x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，由()0f x '>可得，πππ2π2π,Z 242k x k k -<+<+∈，即3ππ2π2π,Z 44k x k k -<<+∈， 由()0f x '<可得，ππ3π2π2π,Z 242k x k k +<+<+∈，即π5π2π2π,Z 44k x k k +<<+∈，所以()f x 的极大值点为π2π,Z 4k k +∈；(2)由()()()2e 2cos 242xf x x x a x x ≤⋅++-++，可得()()2e 22420x x a x x ⋅+-++≥，当2x ≥-时，()()2e 22420x x a x x ⋅+-++≥恒成立，令()()()2e 2242x h x x a x x =⋅+-++，则()()()24e xh x x a '=+-，由()()()24e 0xh x x a '=+-=，可得2x =-或ln x a =，因为2x ≥-，240x +≥，所以当ln 2a ≤-，即20e a -<≤时，()0h x '≥，()h x 在[)2,-+∞上单调递增， ∴()()2222e h x h a -≥-=-，则222e 0a --≥，即2e a -≥，所以2e -=a ；当ln 2>-a ，即2e a ->时，当()2,ln x a ∈-时，()()0,h x h x '<单调递减， 当()ln ,x a ∈+∞时，()()0,h x h x '>单调递增，所以()()()()2ln 2ln 2ln 4ln 2h x h a a a a a a ≥=+-++，则()()22ln 2ln 4ln 20a a a a a +-++≥，∴2ln 0a -≤≤，即2e 1a -≤≤， 所以2e 1a -<≤；综上，a 的取值范围为2e ,1-⎡⎤⎣⎦.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法： 若()f x 在区间D 上有最值，则（1）恒成立：()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<； （2）能成立：()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>；()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<. 若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则 （1）恒成立：()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<； （2）能成立：()()min a f x a f x >⇔>；()()max a f x a f x <⇔<.。
重庆市巴蜀中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
1 2
B．1
e
C．
D． e
2．
æ çè
x
+
2 x
ö5 ÷ø
的二项展开式中
x
的系数为（
）
A． -40
B．40
C． -80
D．80
3．已知公比为正数的等比数列{an} 前 n 项和为 Sn ，且 S2 = 1 ， S4 = 5 ，则 a1 = （ ）
A． -1 或 1 3
B． -1
C． 1 3
D．
-
1 3
所以当
-
3 2
<
x
<
-1或1 <
x
<Байду номын сангаас
3 2
时
f
¢( x)
<
0
，
当 -1 < x < 1时 f ¢(x) > 0 ，
所以
f
(
x)
在
æ çè
-
3 2
,
-1ö÷ø
， æçè1,
3 2
ö ÷ø
上单调递减，在
( -1,1)
上单调递增，
所以
f
(
x)
在
x=-
1
处取得极小值，又
f
( -1)
=
-1 ，
f
æ çè
3 2
ì
( ) ï
a1
1- q2
( ) 所以
ï í ï
a1
1- q 1- q4
ï î
1- q
=1
ìïía1
=
1 3
，解得 ïî q = 2 ，
=5
所以
北京市第一六六中学高二下学期期中考试数学试题(含简单答案)
【答案】D
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】D
【9题答案】
【答案】C
【10题答案】
【答案】D
二､填空题（本大题共5小题，每小题5分）
【11题答案】
【答案】-5
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】0（答案不唯一， 即可）
【14题答案】
【答案】36
【15题答案】
【答案】②③④
三､解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
【16题答案】
【答案】（1）平均分为69；
（2）分布列略，数学期望为 .
【17题答案】
【答案】（1）
（2）答案略（3）证明略
【18题答案】
【答案】（1）
（2）分布列略，期望
（3）青年人
老年人
中年人
青年人
酸奶
鲜奶
酸奶
鲜奶
酸奶
鲜奶
满意
100
10
不满意
50
30
30
50
50
80
（1）从样本中任意取1人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率；
（2）从该地区青年人中随机选取3人，以频率估计概率，记这3人中对酸奶满意的人数为 ，求 的分布列与期望；
（3）依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大？（直接写出结果）
6.已知直线 与圆 相交于 两点，且 （其中 为原点），那么 的值是
A. B. C. D.
河北省唐山市十县一中联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含简单答案)
唐山市十县一中联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法种数为（ ）A. 4B. 6C. 12D. 162. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 3. 4幅不同的国画和2幅不同的油画排成一列，2幅油画不相邻，则不同的排法种数为（ ）A. 240B. 360C. 480D. 7204. 若曲线在点处的切线与直线平行，则（ ）A B. C. 0 D. 15. 在的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则正整数（ ）A. 7B. 8C. 9D. 106. 从4名医生，3名护士中选出3人组成一个医疗队，要求医生和护士都有，则不同的选法种数为（ ）A. 12B. 18C. 30D. 607. 已知函数，则（ ）A. B. C. D. 8. 如图，已知正方形，边长为2，点，分别在线段，上，，将沿折起，使得点到达点的位置，且平面平面，则五棱锥体积的最大值为（ ）.ππ(sin )cos 33'=(2)2ln 2x x '=1[ln()]x x '-=-(cos )sin x x'=()sin ln(1)f x a x x =++(0,0)21y x =-=a 2-1-()1n x +n =22()e (2)1x f x f x -'=++(3)f '=e 2-e 2+e 5+e 10+ABCD E F AB BC //EF AC BEF △EF B P PEF ⊥ADCFE P ADCFE -A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知为函数导数，的图象如图所示，则（ ）A. 是的极大值点B. 当时，取得最小值C. 在区间上单调递减D. 在区间上单调递增10. 已知，是正整数，且，则下列等式正确的是（ ）A. B. C D. 11. 已知函数有两个极值点，，且，则（ ）A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知为函数的导数，则______.13. 从黄瓜、白菜、豆角、韭菜、青椒5种蔬菜种子中选出3种分别种在，，三块不同土地上，每块土地只种1种，其中黄瓜不种在土地上，则不同的种法共有__________种.14. 展开式中的的系数为__________.的.的()f x '()f x ()y f x ='0x =()f x 1x =()f x ()f x ()0,1()f x ()1,∞+m n m n ≤461010A A =3441C C C n n n ++=()111A A m m n n n +++=123C C C C 2n n n n n n ++++= ()32f x x kx =-+a b a b <0k ≥0a b +=()2f a >()2f b <()f x '21()f x x x=+()1f '=A B C A ()52x y y -+25x y四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 某学习小组共6人，其中男生3名，女生3名.（1）将6人排成一排，3名男生从左到右的顺序一定（不一定相邻），不同排法有多少种？（2）从6人中选出4人，女生甲和女生乙至少1人在内的不同选法共有多少种？16. 已知曲线上一点.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为9，求实数的值.17. 已知函数.（1）求极值；（2）若方程有两个不相等的实数根，求的值.18. 已知，求下列各式的值.（1）；（2）；（3）.19. 已知，为的导数.（1）证明：当时，；（2）讨论在上的零点个数，并证明的()31f x x mx =--()()1,1P f 2m =()y f x =P ()f x P m ()2e xf x x =()f x ()()f x a a =∈R a ()()523456012345621x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++5a 0246a a a a +++12345623456a a a a a a +++++()2cos e x f x x x =+-()f x '()f x 0x ≥()1f x '≤()f x R ()f x <唐山市十县一中联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学简要答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】AC【10题答案】【答案】BC【11题答案】【答案】BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】1【13题答案】【答案】48【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）120（2）14【16题答案】【答案】（1）；（2）或.【17题答案】【答案】（1）极大值为，极小值为0 （2）【18题答案】【答案】（1）3（2）16 （3）0【19题答案】【答案】（1）证明略（2）有2个零点，证明略30-3y x =-527224e 24e a =。
福建省永春第一中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题
福建省永春第一中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．某市为了研究该市空气中的 2.5PM 浓度和2SO 浓度之间的关系，环境监测部门对该市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的 2.5PM 浓度和2SO 浓度（单位：3μg/m ），得到如下所示的22´列联表：四、双空题16．定义：在等式()()2021212222122nn n n n nn n n n n x x D x D xD x D x D n N ---++-=+++++ÎL 中，把nD ，1n D ，2n D ，…，2n n D 叫做三项式()22n x x +-的n 次系数列(如三项式的1次系数列是1，1，-2).则（1）三项式()22nx x+-的2次系数列各项之和等于______；（2）34D=______.【分析】（1）根据n 次系数列的定义，令1x =即可得系数之和．（2）根据定义得34D 为5x 的系数，然后进行计算即可．【详解】解：（1）三项式2(2)n x x +-的2次系数列为22(2)x x +-，则令1x =得三项式2(2)n x x +-的2次系数列各项之和等于2(112)0+-=，（2）当4n =时，三项式为24(2)x x +-，则34D 为5x 的系数，244444(2)(1)(2)(1)(2)x x x x x x +-=-+=-+Q ，4(1)x \-的通项公式为4()k k C x -，4(2)x \+的通项公式为42r C 4rr x -，5x \的系数为41442C C g 3322231444444422329648420C C C C C C -+-=-+-=-g g g ．即3420D =-故答案为：0；20-；【点睛】本题主要考查二项式定理的综合应用，结合新定义，利用展开式的通项公式是解决本题的关键．考查学生的理解应用能力，属于中档题．17．(1)n a n=(2)n nP Q <【分析】（1）根据n S 与n a 的关系，结合等差数列的通项公式进行求解即可；（2）根据裂项相消法，结合等比数列前n 项和、二项式定理进行求解即可.【详解】（1）当1n =时，211112a S a a =-=，所以11a =或10a =（舍去），当2n ³时，有221112,2,n n n n n n a S a a S a ---ì=-í=-î。
山东省实验中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含简单答案)
山东省实验中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.展开式中 的系数为（ ）A. B. C. 30D. 902. 若是区间上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. 或 D.3. 2020年是脱贫攻坚年，为顺利完成“两不愁，三保障”，即农村贫困人口不愁吃、不愁穿，农村贫困人口义务教育、基本医疗、住房安全有保障，某市拟派出6人组成三个帮扶队，每队两人，对脱贫任务较重的甲、乙、丙三县进行帮扶，则不同的派出方法种数共有A. 15 B. 60 C. 90 D. 5404. 若，则（ ）A. B. C. D. 5. 在5个大小相同的球中有2个红球和3个白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率是（ ）A.B.C.D.6. 随机变量ξ的分布列如下：其中，则等于（ ）A.B.()()6231x x --3x 90-30-()32112132f x x x x =-+++()1,4m m -+m 5m ≤-3m ≥5m ≤-3m ≥53m -≤≤2022220220122022(32)x a a x a x a x -=++++ 2022a a =2022220221()220222(320223()2110142512ξ1-01Pabc2b a c =+(1)P ξ=1314C.D.7. 蜂房绝大部分是一个正六棱柱的侧面，但它的底部却是由三个菱形构成的三面角. 18世纪初，法国学者马拉尔奇曾经专门测量过大量蜂巢的尺寸. 令人惊讶的是，这些蜂巢组成底盘的菱形的所有钝角都是，所有的锐角都是. 后来经过法国数学家克尼格和苏格兰数学家马克洛林从理论上的计算，如果要消耗最少的材料，制成最大的菱形容器正是这个角度. 从这个意义上说，蜜蜂称得上是“天才的数学家兼设计师”. 如图所示是一个蜂巢和部分蜂巢截面. 图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相遇．现在有一只蜜蜂从入口向下（只能向下，不能向上）运动，蜜蜂在每个交点处向左到达下一层或者向右到达下一层的可能性是相同的．蜜蜂到达第层（有条竖直线段）第通道（从左向右计）的不同路径数为. 例如：，. 则不等式的解集为（）A. B. C. D. 8. 已知函数，若恰有四个不同的零点，则a 取值范围为（）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知A ，B ，C 为随机事件，则下列表述中不正确的是（ ）A B. C. D. 10. 对于函数，下列说法中正确是（ ）A. 存在有极大值也有最大值.的122310928'︒7032'︒n n m (),A n m ()3,11A =()4,23A =()10,81A m ≤{}1,2,3,7,8,9{}1,2,3,8,9,10{}1,2,3,9,10,11{}4,5,6,7,8()xf x x e =()()()21g x fx af x =-+()2,∞+1,e e⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭12,e e ⎛⎫+⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()()()P AB P A P B =()()()P B C A P B A P C A ⋃=+()1P A A =()()P A B P AB ≥()222272exx x f x +-=()f xB. 有三个零点C. 当时，恒成立D. 当时，有3个不相等的实数根11. 在信道内传输信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两个信号的概率均为．若输入四个相同的信号的概率分别为，且．记事件分别表示“输入”“输入”“输入”，事件表示“依次输出”，则（ ）A. 若输入信号，则输出信号只有两个的概率为B.C.D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 若，则实数a 取值范围为________13. 编号为A 、B 、C 、D 、E 的5种蔬菜种在如图所示的五块实验田里，每块只能种一种蔬菜，要求A 品种不能种在1，2试验田里，B 品种必须与A 种在相邻的两块田里，则不同的种植方法种数为________14. 设为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱异面时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离，则数学期望=________.四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．的的()f x x ⎫∈+∞⎪⎪⎭()0f x >450,2e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x a =,,M N P ()01αα<<12α-,,MMMM NNNN PPPP 123,,p p p 1231p p p ++=111,,M N P MMMM NNNN PPPP D MNPM MMMM M ()221αα-()22112P D M αα-⎛⎫= ⎪⎝⎭()3112P D P αα-⎛⎫= ⎪⎝⎭()()1112311p P M D p ααα=-+-e ln()x ax x ax -≥-+ξ0ξ=1ξ=ξE ξ15. 在二项式的展开式中，已知第2项与第8项的二项式系数相等．（1）求展开式中各项系数之和；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展开式中的有理项．16. 学生甲想加入校篮球队，篮球教练对其进行投篮测试．测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不予录取．已知学生甲在罚球线处投篮命中率为，在三分线处投篮命中率为．假设学生甲每次投进与否互不影响．（1）求学生甲被录取的概率；（2）在这次测试中，记学生甲投篮的次数为，求的分布列．17. 已知函数在点处切线与直线垂直.（1）求的值；（2）求的单调区间和极值.18. 人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）.（1）求首次试验结束的概率；（2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整.①求选到的袋子为甲袋的概率，②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.19. 已知函数，．的1n⎫⎪⎭3423X X ()21ex x af x -+=()()1,1f 420240x y ++=a ()f x 12()23ln f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭R a ∈（1）若的定义域为，值域为，求的值；（2）若，且对任意的，当，时，总满足，求的取值范围．（附加题）20. 帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m ，n ，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，．（注：，，，，…；为的导数）已知在处的阶帕德近似为．（1）求实数a ，b 的值；（2）比较与的大小；（3）若在上存在极值，求的取值范围．()f x {|0,R}x x x ≠∈R a 0a >1,13c ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1x 2x ∈()()12ln2f x f x -≤a ()f x 0x =[,]m n 011()1mm nn a a x a x R x b x b x+++=+++ (0)(0)f R =(0)(0)f R ''=(0)(0)f R ''''=()()(0)(0)m n m n f R ++=[]()()f x f x '='''[]()()f x f x ''''''=[](4)()()f x f x ''''=(5)(4)()()f x f x '⎡⎤=⎣⎦()()n f x (1)()n f x -()ln(1)f x x =+0x =[]1,1()1ax R x bx=+()f x ()R x ()1()()()2f x h x m f x R x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭(0,)+∞m山东省实验中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题简要答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】AB【10题答案】【答案】CD【11题答案】【答案】BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】30【14题答案】四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）0（2）（3）有理项为，，【16题答案】【答案】（1）（2）分布列略【17题答案】【答案】（1）（2）单调递减区间为和，单调递增区间为，的极大值为，极小值为.【18题答案】【答案】（1） （2）①；②方案二中取到红球的概率更大.【19题答案】【答案】（1） （2）（附加题）【20题答案】【答案】（1），； (]0,e 4370x -228x -156x --1563a =-(),1-∞-()3,+∞()1,3-()f x ()263e f =()212e f -=-1120190a =45,7∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭1a =12b =（2）答案略；（3）．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭。
山东省潍坊市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
山东省潍坊市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若23a =，292S =，则公比q =（ ） A ．12B ．13C ．3D ．22．已知随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且()020.4P ξ<<=，则()0P ξ>=（ ）A ．0.9B ．0.8C ．0.4D ．0.13．函数()f x 的图象如图所示，且()f x '是()f x 的导函数，记()()43a f f =-，()3b f ='，()4c f ='，则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b<c<aD ．c<a<b4．若银行的储蓄卡密码由六位数字组成，小王在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，但记得密码的最后一位是奇数，则不超过2次就按对密码的概率是（ ）A ．15B ．25C ．110D ．3105．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()()121nn a n =--，则101S =（ ） A ．301B ．101C ．101-D ．301-6．函数()()322,f x x ax bx a a b =+++∈R 在0x =处取得极大值9，则a b +=（ ）A ．3B ．3-C ．3-或3D ．07．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x '为其导函数．当0x >时，()()0xf x f x '->，()10f =，则不等式()0f x >的解集为（ ）A ．()(),11,-∞-⋃+∞B ．()(),10,1-∞-⋃C ．()()1,00,1-UD ．()()1,01,-⋃+∞8．某高校为研究学生每周平均体育运动时间进行了一次抽样调查，已知被抽取的男、女生人数相同．调查显示：抽取的男生中每周平均体育运动时间超过4小时的人数占比为45，抽取的女生中每周平均体育运动时间超过4小时的人数占比为35，若在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该校学生每周平均体育运动时间与性别有关，则被抽取的男生人数至少为（ ） 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++A ．60B ．65C ．70D ．75二、多选题9．下列函数的导数运算正确的是（ ） A ．()e e e x x x x x '=+B ．'=C ．2sin 1cos cos x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()1lg 2ln10x x '=⎡⎤⎣⎦10．有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用x 表示第一次取到的小球的标号，用y 表示第二次取到的小球的标号，记事件A ：x y +为偶数，B ：xy 为偶数，C ：2x >，则（ ）A ．()34P B =B ．A 与B 相互独立C ．A 与C 相互独立D ．B 与C 相互独立11．黎曼函数（Riemann function ）在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：[]0,1x ∈时，()()*1,,,0,0,10,1p p x p q q q q R x x ⎧⎛⎫=∈⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩N 为既约真分数和内的无理数，若数列2221n n n a R ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭，*n ∈N ，则（ ）A ．121n n a =- B ．12n n a a ++>C ．()111112321nii i n i a a ++==--∑ D ．1211ni i a n =≤-+∑三、填空题12．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生的概率是．13．记公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()15485k S a a a =++，则k =． 14．已知函数()ln x f x x=，设()()()2g x f x af x =-，若()g x 只有一个零点，则实数a 的取值范围是；若不等式()0g x >的解集中有且只有三个整数，则实数a 的取值范围是．四、解答题15．已知函数()2ln f x x x x =+-．(1)求()f x 的单调区间和极值；(2)求()f x 在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值．16．某高中学校组织乒乓球比赛，经过一段时间的角逐，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取7局4胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为23，且各局比赛的结果相互独立． (1)求比赛结束时恰好打了5局的概率；(2)若前三局比赛甲赢了两局，记还需比赛的局数为X ，求X 的分布列及数学期望． 17．已知数列{}n a 满足123111n n a a a a a n -⋅⋅⋅=+． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)令21n n b a =，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，若不等式2122n n n S n λ⋅-≥+对*n ∀∈N 恒成立，求实数λ的取值范围．18．近年来，中国新能源汽车产业，不仅技术水平持续提升，市场规模也持续扩大，取得了令人瞩目的成就．以小米SU7、问界M9等为代表的国产新能源汽车，正逐步引领全球新能源汽车的发展潮流，某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下：(1)已知y 与x 线性相关，求出y 关于x 的线性回归方程，并估计该地区新能源汽车在2024年5月份的销量；(2)该企业为宣传推广新能源汽车，计划在宣传部门开展人工智能工具使用的培训．该次培训分为四期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为()01p p <<．该企业规定：员工至少两期培训达到“优秀”标准．才能使用人工智能工具，（i ）记某员工经过培训后，恰好两期达到“优秀”标准的概率为()f p ．求()f p 的最大值点0p ； （ii ）该企业宣传部现有员工100人，引进人工智能工具后，需将宣传部的部分员工调整至其他部门，剩余员工进行该次培训已知开展培训前，员工每人每年平均为企业创造利润12万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润16万元，本次培训费每人1万元．现要求培训后宣传部员工创造的年利润不低于调整前的年利润，以（i ）中确定的0p 作为p 的值．预计最多可以调多少人到其他部门？参考公式：()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． 19．已知函数()()220m f x mx m m x-=+->． (1)当1m =时，求函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程；(2)若()2ln 2f x x ≥-在[)1,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围； (3)证明：()()*11ln 122nk n n n kn =>++∈+∑N ．。
浙江省宁波市镇海2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷含答案
镇海2023学年第二学期期中考试试题高二年级数学学科（答案在最后）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{230}P x x x =+-<∣，集合3{1}Q x x =>-∣，则P Q = （）A.()3,1- B.()2,1- C.()1,1- D.()1,3-【答案】C 【解析】【分析】先求出集合A ，B ，再结合交集的定义，即可求解．【详解】集合2{|230}{|31}P x x x x x =+-<=-<<，集合{}{}311Q x x x x =-=-，故(1,1)P Q ⋂=-．故选：C ．2.已知函数4log ,01()2,1xx x f x x <<⎧=⎨≥⎩，则21()(log 3)4f f +=（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据条件，利用指、对数的运算性质，即可求出结果.【详解】因为4log ,01()2,1xx x f x x <<⎧=⎨≥⎩，所以411()log 144f ==-，又2log 31>，所以2log 32(log 3)23f ==，则21((log 3)1324f f +=-+=，故选：B.3.22cos 25sin 25sin110cos 70︒-︒=︒⋅︒（）A.1-B.1C.2- D.2【答案】D 【解析】【分析】直接利用三角函数的关系式的变换求出三角函数的值．【详解】22cos 25sin 25cos50cos50sin 40211sin110cos 70sin 70cos 70sin140sin 4022︒-︒︒︒︒====︒⋅︒︒⋅︒︒︒．故选：D ．4.在ABC 中，“cos sin A B =”是“90C =︒”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】先证明条件是必要的，再构造反例说明条件不是充分的.【详解】若90C =︒，则()()cos cos 180cos 90sin A C B B B =︒--=︒-=，故条件是必要的；当10A =︒，100B =︒，70C =︒时，有cos cos10sin100sin A B =︒=︒=，7090C =︒≠︒，故条件不是充分的.故选：B.5.函数}}:f →，}}:g →，如图所示，则()(){}x f g x g f x ⎡⎤⎡⎤<=⎣⎦⎣⎦∣（）A.{}ln2B.C.{}cos2 D.【答案】A 【解析】【分析】对x =，ln 2x =cos 2x =，分别计算可判断[()][()]f g x g f x <是否成立，可求{|[()][()]}x f g x g f x <.【详解】当x =时，[()](cos 2)ln 20f g x f ==>，[()]cos 20g f x g ==<，不满足[()][()]f g x g f x <，当ln 2x =时，[()](ln 2)cos 20f g x f ==<，[()](cos 2)0g f x g ==>，满足[()][()]f g x g f x <，当cos 2x =时，[()]f g x f ==[()](ln 2)ln 21g f x g ==<，不满足[()][()]f g x g f x <，综上所述：{|[()][()]}{ln 2}x f g x g f x <=.故选：A.6.我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意两条平行直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等.已知函数()()πtan 06h x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭图象中的两条相邻“平行曲线”与直线2024y =相交于A 、B 两点，且3AB =，则34f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.B.C.2D.2+【答案】D 【解析】【分析】由“平行曲线”的性质和周期公式求出ω，再代入函数值结合两角和的正切展开式计算即可.【详解】由“平行曲线”的性质可得函数的最小正周期为3T AB ==，所以ππ3T ω==，所以()ππtan 36h x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以ππtantan 13π3πππ463tan tan 2ππ43464631tan tan 463f ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⨯故选：D.7.如图所示，在梯形ABCD 中，//AB CD ，π2ABC ∠=，点E 是BC 上一点，π24,3CE BE AED ==∠=，ADE V的面积为AD 的长为（）A.B. C.8D.【答案】A 【解析】【分析】设,AB x CD y ==，求得24tan(π)124x y AED x y +-∠=-420x y ---=，再由ADE V的面积为2x y +=,x y 的值，即可求解.【详解】由题意，设,AB x CD y ==，则24tan(π)tan()124x y AED AED CED x y +-∠=∠+∠=-，可得2π24tan3124x y x y +==-420x y ---=，又由111()624222x y x y =+⨯-⋅-⋅，即2x y +=联立可得24xy =，联立方程组242xy x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得x y ==所以AD ==.故选：A.8.已知0.5log x x =，0.5log yx y =，0.5log zx z =，则（）A.z x y <<B.y z x <<C.x y z<< D.y x z<<【答案】D 【解析】【分析】构造函数()0.5log x f x x =-，利用零点存在定理得到112x <<；由0.5log 0yx y =>得01y <<，从而有0.50.5log log y x >，得到y x <，由0.5log zx z =得到log log x x z x <，得到z x >，从而求出结果.【详解】令()0.5log x f x x =-，易得()f x 单调递增，又0.50log 111112222f ⎛⎫=-=-<⎪⎝⎭，()0.511110log f =-=>，所以()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭存在唯一零点，因为0.5log x x =，所以112x <<，由0.5log 0y x y =>，知01y <<，所以0.50.5log log yx y x x =>=，又函数0.5log y x =在(0,)+∞上单调递减，所以y x <，由0.5log zx z =，知0z >，所以00.5log 1log zx x z x <=<=，所以z x >，综上，y x z <<.故选：D.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于构造函数()0.5log x f x x =-，利用零点存在定理得到112x <<，再利用指对数函数的单调性解决问题.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.若2x a x ++-的最小值是1，则实数a 的值可以为（）A.1-B.2- C.3- D.4-【答案】AC 【解析】【分析】根据条件，利用绝对值三角不等式，即可求出结果.【详解】因为22x a x a ++-≥+，当且仅当(2)()0x a x +-≥取等号，又2x a x ++-的最小值是1，所以21a +=，解得1a =-或3a =-，故答案为：AC.10.已知函数()1e exxm f x m -⋅=+是定义域上的奇函数，则下列选项中错误．．的是（）A.1m = B.()1f x =有解C.()()210f f +-=D.()2y f x =+与()4y f x =-的图象关于3x =对称【答案】ABCD【解析】【分析】对于A ，验证1m =-符合题意即可说明选项错误；对于B ，假设()1f x =，再得出矛盾即可说明选项错误；对于C ，利用单调性和奇偶性可验证结论不成立，从而说明选项错误；对于D ，利用图象对称对应的恒等式，验证其不恒成立，即可说明选项错误.【详解】对于A ：若1m ≠-，则由0e 0m +≠知()f x 的定义域包含0x =，再由()f x 是奇函数有()00f =，代入得101mm -=+，故1m =，经检验符合题意.若1m =-，则()1e e 11e e 1x x xxf x ++==-+-，其定义域0x ≠关于原点对称，且()()e 11e e 1e 11e e 1x x x x xx f x f x --+++-===-=----，从而()f x 是奇函数.这表明m 的所有可能值是1m =或1m =-，故A 错误；对于B ：由上面的结论知()1e 1e x xf x -=+或()e 1e 1x x f x +=-.无论哪种情况，()1f x =都意味着e 1e 1xx+=-，两边同时平方得到22e 2e 1e 2e 1x x x x ++=-+，即4e 0x =，这是不可能的.所以()1f x =无解，故B 错误；对于C ：若()1e 1e x x f x -=+，则由()1e 211e 1e x x xf x -==-+++知()f x 单调递减；若()e 1e 1x x f x +=-，则由()e 121e 1e 1x x xf x +==+--知()f x 在()0,∞+上单调递减.无论怎样，都有()f x 在()0,∞+上单调递减，故()()21f f <.所以()()()()21210f f f f +-=-<，故C 错误；对于D ：该选项的描述即为()()()264f x f x +-=-（若等号两边都有意义）.即()()84f x f x -=-（若等号两边都有意义）.但根据上面的论证，知()f x 在()0,∞+上单调递减，故4x <时必有()()84f x f x -<-.故D 错误.故选：ABCD.11.若a ，b 为函数()()2sin 1f x x m x =++-的两个不同零点，令()h m a b =-，则下列命题正确的是（）A.π是函数()h m 的一个周期B.02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，是函数()h m 的一个单调递减区间C.函数()h m 的图象是轴对称图形 D.函数()h m 的图象是中心对称图形【答案】BC 【解析】【分析】由于此题的零点无法求解，因此联想到数形结合来做，即通过分析特殊值来确定选项A ，再通过24x x m π⎛⎫⎝⎭=--⎪的解来分析选项BC ，利用反证法可判断D .【详解】对于A ，若π2m =时，()2cos 1f x x x =+-，此时()sin 2f x x x '=-+，设()sin 2s x x x =-+，则()cos 20s x x '=-+>，故()f x '为R 上的增函数，而()00f '=，故当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x ¢>，故()f x 在(),0∞-上为减函数，在()0,∞+上为增函数，而()00f =，故()f x 仅有一个零点，与题设矛盾，故π2m ≠.同理π2π,Z 2m k k ≠+∈，当3π2m =时，()2cos 1f x x x =-+-，此时()sin 2f x x x '=+，同理可得()f x 在(),0∞-上为减函数，在()0,∞+上为增函数，而()020f =-<，()()223cos 20f f =-=->，故此时()f x 有两个不同的零点，故()h m 的周期不是π，故A 错误.对于B ，()()2sin 1f x x m x =++-的x m =-的零点差的绝对值,其中π2π,Z 2m k k ≠+∈.设()n 24g x x π⎛⎫- ⎪⎝=⎭=，其图像如图所示，根据对称性及A 中讨论，24x x m π⎛⎫⎝⎭=--⎪在ππ,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上的两个不同零点差的绝对值，其中02m π<<，设该方程较大的零点为b ，较小的零点为a ，则π02b <<，因为πππ222m m g ⎛⎫--=+>=- ⎪⎝⎭，故π2a >-.设1202m m π<<<，1x m =-的两个根为11,a b ，且11ππ22a b -<<<，11m a =-11b m =-11b a +=-.同理()22sin 1y x m x =++-的两边不同的零点22,a b 也满足：22b a +-，其中1212ππ22a ab b <<<-<<，而ππ,22y x ⎡⎫=∈-⎪⎢⎣⎭为减函数，<，<，故2211b a b a -<-即()()12h m h m >，故()h m 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故B 成立.对于C ，结合B 中()g x 的图像关于直线2x π=对称可知22h m h m ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即函数()h m 的图象关于直线2m π=对称，即选项C 是正确的；对于D ，当R m ∈且π2π,Z 2m k k ≠+∈时，结合()g x 的图像可得()h m 的最小正周期为2π，且()h m 的图象有两类对称轴：π2π,Z 2m k k =+∈，3π2π,Z 2m k k =+∈，若()h m 图像有对称中心()00,m h ，根据()h m 的最小正周期为2π及对称性不妨设0π3π,22m ⎛⎤∈⎥⎝⎦，且()()0022h m m h m n -+=，而()()πh m h m -=，故()()002π2h m m h m n -+-=，故()()002π2h m m h m n -++=，所以()()00042π2π2h m m h m m n -++-+=，故()()042πh m m h m -+=，故()h m 的周期为042m π-，但(]04π,4πm π-∈，结合最小正周期为2π可得042π4πm -=即03π2m =，但直线03π2m =为对称轴，故()h m 的图像无对称中心.故D 错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：复杂函数的零点问题，可利用变换转化为简单函数的图象的交点问题，而抽象函数的性质的讨论，可以依据定义来进行判断.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.用列举法表示集合6{|}9x x∈∈-N N 的结果为_____________.【答案】{}1,2,3,6【解析】【分析】根据题意可9x -知为6的约数，求得x 的取值，用列举法表示集合即可.【详解】由6N 9x∈-可知9x -为6的约数，所以91,2,3,6x -=，因为N x ∈，所以8,7,6,3x =，此时，66,3,2,19x=-集合为{}1,2,3,6.故答案为：{}1,2,3,6.13.将函数()π3cos 2y x ϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移π3个单位得到曲线C .若曲线C 的图象关于直线π4x =对称，则ϕ的值为_________.【答案】π6##1π6【解析】【分析】先求出曲线C 的解析式π3cos 23y x ϕ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后根据图象的对称性即得πcos 16ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，最后利用余弦函数的性质及ϕ的范围可求得ϕ的值.【详解】将函数()3cos y x ϕ=+的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，得到函数()3cos 2y x ϕ=+的图象；再将函数()3cos 2y x ϕ=+的图象向右平移π3个单位，得到曲线π3cos 23y x ϕ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由条件知该曲线关于直线π4x =对称，故对应函数在π4x =处取得最大值或最小值，从而ππcos 2143ϕ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πcos 16ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.从而()ππ6k k ϕ-=∈Z ，即()ππ6k k ϕ=+∈Z .再由π2ϕ<即ππ22ϕ-<<，就得到2133k -<<，从而0k =，故π6ϕ=.故答案为：π6.14.已知1x >，1y >，1z >，且满足log 10log 10log 10log 101x y xy z +=+=，则z 的最大值为_________.【答案】4310【解析】【分析】由已知结合对数的换底公式进行化简，然后结合基本不等式即可求解．【详解】因为1x >，1y >，1z >，且满足log 10log 10log 10log 101x y xy z +=+=，所以111lg lg x y +=，111lg()lg xy z+=，所以2lg lg lg lg lg lg (2x y x y x y +⋅=+≤，当且仅当100x y ==时取等号，所以lg lg 4x y +≥，110lg lg 4x y <≤+，因为111lg()lg xy z+=，所以111311[,1)lg lg()lg lg 4z xy x y =-=-∈+，所以41lg 3z <≤，所以431010z <≤，故z 的最大值为4310．故答案为：4310．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知不等式603xx -≥-的解集为A ，函数()()2lg 2f x x x a =-+的定义域为B .（1）求A ；（2）若A B ⊆，求a 的范围.【答案】（1）(3,6]（2）[3,)-+∞【解析】【分析】（1）直接利用分式不等式的解法求出结果；（2）利用对数的定义域和集合间的关系求出参数a 的取值范围．【小问1详解】不等式603x x -≥-，整理得：603x x -≤-，即(3)(6)030x x x --≤⎧⎨-≠⎩，解得：36x <≤，故集合A 的解集为(3,6]．【小问2详解】由于(3A =,6]，由于A B ⊆，则2()lg(2)f x x x a =-+的定义域满足对(3A ∀=,6]，220x x a -+>恒成立，故满足2360a -+≥，整理得3a ≥-，故实数a 的取值范围[3,)-+∞．16.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()223f x f x x +-=+.（1）求()f x ；（2）若函数()()()33f x x g x t f t =+⋅-，[]1,1x ∈-，是否存在实数t 使得()g x 的最小值为3-？若存在，求出实数t 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()21f x x =+（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）将已知中的x 替换为x -，得出方程组，求解即可得到答案；（2）由（1）可得()21323x x g x t +=+⋅，利用换元法令3x u =，结合一元二次函数的单调性讨论即可.【小问1详解】由()()223f x f x x +-=+可得()()223f x f x x -+=-+，联立()()()()223223f x f x x f x f x x ⎧+-=+⎪⎨-+=-+⎪⎩，解得()21f x x =+.【小问2详解】由（1）可得()()21213231323x x x x g x t t t ++=+⋅⨯+-=+⋅，令3x u =，则当[]1,1x ∈-时，1,33u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()232g u u tu =+，所以()g u 在,3t ∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在,3t ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，当133t -≤，即1t ≥-时，()2min111323333g u g t ⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得5t =-，与1t ≥-矛盾，当33t-≥，即9t ≤-时，()()2min 333233g u g t ==⨯+⨯=-，解得5t =-，与9t ≤-矛盾，当1333t <-<，即91t -<<-时，()2min323333t t t g u g t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得1t =±，与91t -<<-矛盾，综上不存在实数t 使得()g x 的最小值为3-.17.已知函数()()2cos 2sin 10f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π.（1）求ω的值及函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 在区间[]π,αα-内既有最大值又有最小值，求α的取值范围.【答案】（1）1ω=，πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦（2）5π,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换得π()2sin 26f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再由周期公式及正弦函数的单调性求解即可；（2）首先根据区间形式得到π2α>，再利用整体法结合正弦函数性质得到不等式组，解出即可.【小问1详解】()2πcos 2sin 12cos 22sin 26f x x x x x x x ωωωωωω⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭，由题意可得：2π==π2T ω，则1ω=，∴()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令πππ2π22π,Z 262k x k k -≤-≤+∈，则ππππ,Z 63k x k k -≤≤+∈∴函数()f x 的单调增区间为πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦；【小问2详解】根据区间形式得παα>-，则π2α>，又因为[]π,x αα∈-，则11πππ222666x αα-≤-≤-，π5π266α->，若()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]π,αα-内既有最大值又有最小值，则11ππ262α-≤-，解得7π6α≥；或者π3π26211ππ262αα⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得5π6α≥；综上两者取并集得5π6α≥.所以α的取值范围为5π,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.18.已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()sin cos cos cos B c B b C B +=.（1）求B ；（2）若π2C =，且C 的角平分线交AB 于P ，Q 为边AC 的中点，CP 与BQ 交于点D .求cos PDQ ∠；（3）若5b =，求ABC 内切圆半径r 的取值范围.【答案】（1）π3B =（2）42214cos 14PDQ -∠=（3）ABC 内切圆半径r 的取值范围为(0,]6【解析】【分析】（1）由正弦定理可得sin (sin cos sin cos )cos B C B B C A B +=，利用三角恒等变换可得B ；（2）设2BC a =，可求得cos BQC ∠，sin BQC ∠，利用cos cos()PDQ PCQ BQC ∠=∠+∠，可求值；（3）由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，可求得510a c <+≤，进而可得325acr a c =++，进而计算可求得ABC 内切圆半径r 的取值范围.【小问1详解】由sin (cos cos )cos B c B b C B +=,结合正弦定理得sin (sin cos sin cos )cos B C B B C A B +=，所以sin sin()cos B C B A B +=，所以sin sin(π)cos B A A B -=,所以sin sin cos B A A B =，因为sin 0A ≠，所以sin B B =，所以tan B =，因为(0,π)B ∈，所以π3B =.【小问2详解】当π2C =时，设2BC a =，由（1）可知π3B =，则AC =，因为Q是AC的中点，故QC=，所以BQ==，所以cosCQBQCBQ∠==sin BCBQCBQ∠==，所以πππcos cos()cos()cos cos sin sin444 PDQ PCQ BQC BQC BQC BQC ∠=∠+∠=+∠=∠-∠2214=-=；【小问3详解】由余弦定理可得2222cosb ac ac B=+-，所以222222125()3()3(()24a ca c ac a c ac a c a c+=+-=+-≥+-=+，当且仅当5a c==时取等号，所以10a c+≤，又5a c b+>=，所以510a c<+≤,因为1111sin2222ABCar br cr S ac B++==，由225()3a c ac=+-，可得21[()25]3ac a c=+-，所以213[()25]32(5)25256a cac acr a ca b c a c a c+-====+-++++++，所以06r<≤，所以ABC内切圆半径r的取值范围为(0,6.19.已知函数()2241mx xf xx+=+，函数()22mg x x=+.（1）若0m=，求()f x的值域；（2）若(]0,4m∈：（ⅰ）解关于x的不等式：()()f xg x≤；（ⅱ）设,a b∈R，若实数t满足()()2f a f b t⋅=-，比较()()1g t m g--与18的大小，并证明你的结论.【答案】（1）[]22-,（2）（ⅰ）4,m ∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭（ⅱ）当2t =且12m =时，()()118g t m g --=；当2t ≠或12m ≠时，()()118g t m g --<，证明见解析【解析】【分析】（1）利用函数的奇偶性和双勾函数的性质可求值域.（2）利用()()()()()221421x mx g x f x x -+-=+即可求出不等式的解集，然后证明2t ≤，再代入解析式证明()()118g t m g --≤，最后判断不等号两边相等的条件即可.【小问1详解】当0m =时，()241xf x x =+，其定义域为R ，而()()241xf x f x x -=-=-+，故()f x 为奇函数，当0x =时，()0f x =;当0x >时，()41f x x x=+，而1y x x=+在()0,+∞上的值域为[)2,+∞,故此时()(]0,2f x ∈，结合()f x 为奇函数可得()f x 的值域是[]22-,.【小问2详解】若(]0,4m ∈：（ⅰ）由于()()()()()()()2222224144412421212121x mx x mx m mx x mx x g x f x x mx x x x x +-+++⎛⎫-=+-=-=-+= ⎪++++⎝⎭，故不等式()()f x g x ≤等价于()()2140x mx -+≥，即40mx +≥或1x =.由4m -是负数，知原不等式的解集为4,m ∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭；（ⅱ）由于关于x 的方程()2241mx x f a x +=+有解x a =，故关于x 的方程()()()240f a m x x f a --+=有解.如果()0f a m -≠，则该方程是二次方程，所以其判别式非负，即()()()1640f a f a m --≥.从而()0f a m -=和()()()1640f a f a m --≥这两个结论中，至少有一个成立.但当()0f a m -=时，亦有()()()164160f a f a m --=≥.故()()()1640f a f a m --≥一定成立，所以()()()4f a f a m -≤.同理()()()4f b f b m -≤，所以()(),22m m f a f b ⎡-+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦.故()()2422m m t f a f b +-=≥⋅=-，所以22t -≤≤.所以由0m >，2t ≤即可得到()()()()()211111221122228228m m m m g t m g t m t m m m ⎛⎫--=-+--=--≤-=--≤ ⎪⎝⎭.根据上面的证明过程显然能够得出，不等号两边相等当且仅当2t =且12m =.综上，比较的结果为：当2t =且12m =时，()()118g t m g --=；当2t ≠或12m ≠时，()()118g t m g --<.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于将函数的解析式与不等式结合，利用函数的性质即可更容易地解出与之相关的不等式.。
安徽省合肥市2023-2024学年高二下学期期中检测数学试题含答案
智学大联考·皖中名校联盟合肥2023-2024学年第二学期高二年级期中检测数学试题卷（答案在最后）注意事项：1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟.2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效.第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确答案涂在答题卡上）1.甲乙两人独立的解答同一道题，甲乙解答正确的概率分别是112p =，213p =，那么只有一人解答对的概率是（）A.16B.12C.13D.56【答案】B 【解析】【分析】根据独立事件概率公式，即可求解.【详解】只有1人答对的概率()()1212121111123232P p p p p =-+-=⨯+=.故选：B2.若6x⎛- ⎝的展开式中常数项为15，则=a （）A.2 B.1C.1± D.2±【答案】C 【解析】【分析】利用二项式定理的通项公式和常数项为15，求解出a【详解】6x⎛- ⎝的通项公式()3662166C C rr r r r r r T x a x --+⎛==- ⎝,令3602r -=，则4r =，由展开式中的常数项为15，故()446C =15a -，所以1a =±.故选：C3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若530S =，84a =，则10S =（）A.50 B.63C.72D.135【答案】A 【解析】【分析】思路一：由已知利用等差数列的求和公式和通项公式求解1a 和d ，即可求解10S ；思路二：由530S =得36a =，结合84a =、等差数列求和公式以及等差数列下标和性质即可求解.【详解】方法一：设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知可得1154530274d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得134525a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以10110910502dS a ⨯=+=.方法二：()()5152433530S a a a a a a =++++==，所以36a =，从而由等差数列求和公式得()()()()11010110381055564502a a S a a a a +==+=+=⋅+=.故选：A .4.若曲线2ln y x a x =-在点()1,1P 处的切线与直线2y x =-垂直，则实数a 的值为（）A.1B.C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】求导2ay x x'=-，12x y a ='=-与直线2y x =-垂直，求出a 的值.【详解】由2ln y x a x =-，求导2a y x x'=-，则2ln y x a x =-在点()1,1P 处的切线的斜率为12x y a ='=-，而2ln y x a x =-在点()1,1P 处的切线与直线2y x =-垂直,则21a -=-，故3a =.故选：D5.将分别标有数字1,2,3,4,5的五个小球放入,,A B C 三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球.若标有数字1和2的小球放入同一个盒子，则不同放法的总数为（）A.2B.24C.36D.18【答案】C 【解析】【分析】将所有情况分为标有数字1和2的小球所放入盒子中无其他小球和共有3个小球两种情况，结合分组分配、平均分组问题的求法，利用分类加法计数原理可求得结果.【详解】若标有数字1和2的小球所放入盒子中无其他小球，则剩余三个小球需放入两个不同的盒子中，将剩余三个小球分为12+的两组，则共有13C 3=种分法；将分组后的小球放入三个盒子中，共有33A 6=种放法，则共有1863=⨯种方法；若标有数字1和2的小球所放入盒子中共有3个小球，则需选择一个小球与标有数字1和2的小球放在一起，有13C 3=种选法；将剩余两个小球平均分为两组，有1222C 1A =种分法；将分组后的小球放入三个中，共有33A 6=种放法，则共有31618⨯⨯=种方法；综上：不同放法的总数为181836+=.故选：C.6.已知12e a -=，3ln 2b =，12c =，则（）A.a b c >>B.c b a>> C.c a b>> D.a c b>>【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数及对数函数的单调性判断即可.2<12>，即a c >，又322lnl 94n ln e=12b ==<，所以12b c <=，所以a c b >>.故选：D.7.随机变量X 的取值为1，2，3，若()115P X ==，()2E X =，则()D X =（）A.15B.25C.5D.5【答案】B 【解析】【分析】根据概率之和为1，以及方差公式，即可解得()2P X =和()3P X =，进而利用方差公式直接求解即可.【详解】由题知，()()()423115P X P X P X =+==-==，又()()()()122332E X P X P X P X ==+=+==，所以()()922335P X P X =+==，所以()325P X ==，()135P X ==，所以()()()()22213121222325555D X =-⨯+-⨯+-⨯=.故选：B8.设O 为坐标原点，直线1l 过抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 且与C 交于A B 、两点（点A 在第一象限），min 4AB =，l 为C 的准线，AM l ⊥，垂足为M ，()0,1Q ，则下列说法正确的是（）A.4p =B.AM AQ +的最小值为2C.若3MFO π∠=，则5AB = D.x 轴上存在一点N ，使AN BN k k +为定值【答案】D 【解析】【分析】对于A 选项，利用过焦点的弦长最短时是通径的结论即可得到；对于B 选项，利用抛物线上的点的性质进行转化，再结合图象，三点共线时，对应的线段和最小；对于C 选项，得到A 点的坐标，直线方程，联立直线与抛物线的方程求得B 点的坐标进而求得；对于D 选项，设出直线方程，与抛物线方程联立，得到韦达定理，代入AN BN k k +进行化简，要使得为定值，1t =-，从而存在点N .【详解】A 选项，因为1l 过焦点F ，故当且仅当AB 为通径时，AB 最短，即min 24AB p ==，从而2p =，故A 错误；B 选项，由抛物线的定义知AM AF =，所以AM AQ AF AQ +=+，由图知，当且仅当Q A F 、、三点共线时，AF AQ +取得最小值，即()minAM AQ QF +==B 错误；C 选项，由图K 是抛物线的准线l 与准线的交点，所以2FK p ==，在MFK Rt 中，3MFO π∠=，所以KM =，所以A y =，所以(3,A，所以1:l y =-，联立24y y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩得231030x x -+=，得13,3A B x x ==，从而123,33B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以1163233AB =++=，故C 错误；D 选项，设1:1l x my =+，联立241x xy y m =+=⎧⎨⎩得2440y my --=，216160m +>，设()()1122,,,A x y B x y ，则121244y y my y +=⎧⎨⋅=-⎩，设x 轴上存在一点(),0N t ，则1212121211AN BN y y y y k k x t x t my t my t+=+=+--+-+-()()()()()()()()()()()1212222222212122124414111441114my y t y y m m tm t m y y m t y y t m t m t t m t+-+-+--+===+-++--+-+---，故当1t =-时，0AN BN k k +=，即存在()1,0N -使得AN BN k k +为定值0，故D 正确.故选：D .二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，两个选项部分选对得3分；三个选项选对一个得2分，选对两个得4分，选错得0分.请把正确答案涂在答题卡上）9.已知数列{}n a 满足11a =，()*12N nn n a a n ++=∈，则下列结论中正确的是（）A.45a = B.{}n a 为等比数列C.221221213a a a -+++=D.231222213a a a -+++=【答案】AC 【解析】【分析】利用递推式可求得234,,a a a 的值，可判断A ，B ，利用并项求和法结合等比数列的求和公式判断C ，D.【详解】数列{}n a 满足11a =，()*12nn n a a n ++=∈N，则122a a+=，234+=a a ，3342a a +=，有21a =，33a =，45a =，A 正确；显然211a a =，323a a =，因此数列{}n a 不是等比数列，B 错误；1221123520214()()()a a a a a a a a a a +++=++++++++ 11112224201(14)412112+2++2===1433⨯---=+- ，C 正确.()()()122212342122a a a a a a a a a +++=++++++ ()1111231321214242222+2++2===1433-⨯--=- ，D 错误；故选：AC 10.已知()14P A =，()13P B A =.若随机事件A ，B 相互独立，则（）A.()13P B =B.()112P AB =C.()34P A B =D.()1112P A B +=【答案】ABC 【解析】【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的乘法公式，结合条件概率逐项计算即得.【详解】随机事件A ，B 相互独立，()14P A =，()13P B A =，对于A ，()()()()1()()()3P A P B P AB P B P B A P A P A ====，A 正确；对于B ，()111()()4312P AB P A P B ==⨯=，B 正确；对于C ，()()()()3()1()()()4P AB P A P B P A B P A P A P B P B ====-=，C 正确；对于D ，()11113()()()1)43434P A B P A P B P AB +=+-=+---=，D 错误.故选：ABC11.已知函数()2ln x f x x=，下列说法正确的是（）A.()f x 在1x =处的切线方程为22y x =-B.()f x 的单调递减区间为()e,+∞C.若()f x a =有三个不同的解，则22e ea -<<D.对任意两个不相等正实数1x ，2x ，若()()12f x f x =，则212ex x ⋅>【答案】AD 【解析】【分析】选项A ，根据条件，利用导数的几何意义，即可求解；选项B ，对()f x 求导，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解；选项C ，作出()2ln x f x x =的图象，数形结合即可求解；选项D ，由条件知1212ln ln x x x x =，设120e x x <<<，构造函数ln ()x h x x =，2e ()()()H x h x h x =-，利用2e ()()()H x h x h x =-在区间(0,e)上单调性，得到2121e ()()()h x h x h x =<，再利用ln ()x h x x =的单调性即可求解.【详解】对于选项A ，因为()2ln x f x x=，所以当0x >时，()222ln x f x x -'=，所以()12f '=，又()10f =，所以()f x 在1x =处的切线方程为22y x =-，故选项A 正确，对于选项B ，易知函数定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，因为()222ln x f x x-='，由()0f x '<，得到22ln 2ln e x >=，解得e x <-或e x >，所以()f x 的单调递减区间为(),e ∞--，()e,∞+，所以选项B 错误，对于选项C ，因为()222ln x f x x -='，由()222ln 0x f x x-'=>得到e e x -<<且0x ≠，所以()f x 的增区间为区间()e,0-，()0,e ，由选项B 知，()f x 的减区间为(),e ∞--，()e,∞+，又22(e),(e)e ef f =-=-，当x →-∞时，()0f x <，且()0f x →，当x →+∞时，()0f x >，且()0f x →，当0x <且0x →时，()f x →+∞，当0x >且0x →时，()f x →-∞，其图象如图所示，由图知，()f x a =有三个不同的解，则22e ea -<<且0a ≠，所以选项C 错误，对于选项D ，由题知()1212122ln 2ln ()x x f x f x x x ===，得到1212ln ln x x x x =，由图，不妨设120e x x <<<，设ln ()x h x x =，2e ()()()H x h x h x =-，则222222222e e 1ln 1ln (1ln )(e )()()()e ex x x x H x h x h x x x x ----'''=+=-=，当0e x <<时，1ln 0x ->，22e 0x ->，所以()0H x '>，即2e ()()()H x h x h x =-在区间(0,e)上单调递增，又(e)(e)(e)0H h h =-=，所以2111e ()()()0H x h x h x =-<，得到2121e ()()()h x h x h x =<，又21ln ()x h x x-'=，当e x >时，()0h x '<，即ln ()xh x x =在区间(e,)+∞上单调递减，又221e e,e x x >>，所以221e >x x ，得到212e x x ⋅>，所以选项D 正确，故选：AD.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的相应位置.）12.已知数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，132n n S S +=+，则5a =____________.【答案】108【解析】【分析】由题设可得122n n a S +=+，利用,n n a S 的关系求出数列通项，进而求出5a 即可.【详解】由题意可知，111,32n n a S S +==+，所以122n n a S +=+，则12)2(2n n a S n -=+≥，所以12n n n a a a +=-，则13(2)n n a a n +=≥，又因为11a =，所以21224a S =+=，所以数列{}n a 从第二项开始成等比数列，因此通项公式为22,143,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩，，所以3543108a =⨯=.故答案为：108.13.设()525012512x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则135a a a ++=____________.【答案】122【解析】【分析】分别令1x =和=1x -，作差即可求得结果.【详解】令1x =，则50123453243a a a a a a +++++==；令=1x -，则()501234511a a a a a a -+-+-=-=-；两式作差得：()()135********a a a ++=--=，135122a a a ∴++=.故答案为：122.14.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，经过点F 作直线l 与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为点M ，直线l 与双曲线的另一条渐近线相交于点N ，若3MN MF =，则双曲线的离心率e =____________.【答案】3【解析】【分析】设直线:(0)MN ty x c t =-<，11122(,)(0),(,)M x y y N x y >，由22220x y a b ty x c ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得到2222222()20b t a y b tcy b c -++=，从而有22212122222222,b tc b c y y y y b t a b t a+=-=--，根据条件有212y y =-，从而得到2229b t a =，再利用bt a=-，即可求出结果.【详解】易知(c,0)F ，如图，由对称性不妨设直线:(0)MN ty x c t =-<，11122(,)(0),(,)M x y y N x y >，由22220x y a b ty x c ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，消x 得到2222222()20b t a y b tcy b c -++=，则22212122222222,b tc b c y y y y b t a b t a+=-=--，因为3MN MF =，所以212111(,)3(,)x x y y c x y --=--，得到2113y y y -=-，即212y y =-，将212y y =-代入22212122222222,b tc b c y y y y b t a b t a +=-=--，整理得到2229b t a =，又易知b t a =-，所以2229(b b a a -=，得到223b a =，即2213b a =，所以双曲线的离心率c e a ===，故答案：3.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.已知递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22a =，37S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）12n n a -=（2）()121nn T n =-⋅+【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a 公比为q ，根据题意列式求1,a q ，即可得通项公式；（2）由（1）可知：12n n b n -=⋅，利用错位相减法分析求解.【小问1详解】设等比数列{}n a 公比为q ，由题意可得212311127a a q S a a q a q ==⎧⎨=++=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩或1412a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，又因为等比数列{}n a 为递增数列，可知112a q =⎧⎨=⎩，所以12n n a -=.【小问2详解】由（1）可知：12n n b n -=⋅，则01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯ ，可得12321222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯ ，两式相减得()0211222222212112n n nn n n T n n n ---=++++-⨯=-⨯=-⨯-- ，所以()121n n T n =-⋅+.16.某大学为丰富学生课余生活，举办趣味知识竞赛，分为“个人赛”和“对抗赛”，竞赛规则如下：①个人赛规则：每位学生需要从“历史类、数学类、生活类”问题中随机选1道试题作答，其中“历史类”有8道，“数学类”有6道，“生活类”有4道，若答对将获得一份奖品.②对抗赛规则：两位学生进行答题比赛，每轮只有1道题目，比赛时两位参赛者同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得1分，答错者得1-分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分，对抗赛共设3轮，每轮获得1分的学生会获得一份奖品，且两位参赛者答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响.（1）学生甲参加个人赛，若学生甲答对“历史类”“数学类”“生活类”的概率分别为15，25，35，求学生甲答对所选试题的概率；（2）学生乙和学生丙参加对抗赛，若每道题学生乙和学生丙答对的概率分别为13，12，求三轮结束学生乙仅获得一份奖品的概率.【答案】（1）1645；（2）2572.【解析】【分析】（1）根据题意可知分三类求解：选题为历史类并且答对，选题为数学类且答对，选题为生活类且答对，由条件概率和全概率计算即可；（2）可先求出乙同学每轮获得1分的概率，然后由二项分布概率模型计算即可.【小问1详解】设学生甲选1道“历史类”试题为事件A ，选1道“数学类”试题为事件B ，选1道“生活类”试题为事件C ，答对试题为事件D ，则()844689P A ==++，()614683P B ==++，()424689P C ==++，()15P D A =，()25P D B =，()35P D C =，所以：()()()()()()()41122316|||95359545P D P A P D A P B P D B P C P D C =++=⨯+⨯+⨯=，故学生甲答对所选试题的概率为1645.【小问2详解】由题可知每一轮中学生乙得1分的概率为1111326⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，在3轮比赛后，学生乙得1分的概率为21131525C 6672P ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭，故三轮结束学生乙仅获得一份奖品的概率为：2572.17.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，且120AF AF ⋅= ，动直线l 与椭圆交于,P Q 两点；当直线l 过焦点且与x 轴垂直时，2PQ =.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过点()1,0E ，椭圆的左顶点为B ，当BPQ V时，求直线l 的斜率k .【答案】（1）22142x y +=（2）1±【解析】【分析】（1）根据向量数量积坐标运算和通径长可构造方程组求得,a b ，进而得到椭圆方程；（2）设:1l x ty =+，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论；根据1212BPQ S EB y y =⋅- ，结合韦达定理可构造方程求得结果.【小问1详解】由题意得：()1,0F c -，()2,0F c ，()0,A b ，()1,AF c b ∴=-- ，()2,AF c b =- ，22120AF AF c b ∴⋅=-+= ，即22b c =，22222a b c b ∴=+=；当直线l 过焦点且与x 轴垂直时，:l x c =±，不妨令:l x c =，由22221x c x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩得：2b y a =±，222b PQ a ∴==，由222222a b b a⎧=⎪⎨=⎪⎩得：2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴椭圆C 的方程为：22142x y +=.【小问2详解】由题意知：直线l 斜率不为0，可设:1l x ty =+，由221142x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()222230t y ty ++-=，则()222Δ412216240t t t =++=+>，设()()1122,,,P x y Q x y ，则12222t y y t +=-+，12232y y t =-+，1222462y y t ∴-=+，又()2,0B -，()123EB ∴=--=，12213222BPQ S EB y y t ∴=⋅-=⨯=+ ，解得：1t =±，∴直线l 的斜率11k t==±.18.已知函数()()1ln 1a x x g x x +-=-，（R a ∈）.（1）若1a =，求函数()g x 的单调区间；（2）若函数()1y g x x=+有两个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()g x 单调递增区间()0,1，()g x 单调递减区间()1,+∞（2）2,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）求导后构造函数()21ln x x x ϕ=--，再求导分析单调性，得到()10ϕ=，进而得到()g x 的单调性即可；（2）问题等价于2ln 0a x x a -+=有两解，构造函数()2ln f x a x x a =-+，求导分析单调性，得到202f ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭，再结合对数运算解得2e a >，之后构造函数()8ln 414e g t t t t a ⎛⎫=-+=> ⎪⎝⎭，求导分析单调性和最值，验证即可.【小问1详解】当1a =，()ln x g x x x=-，()221ln ,0x x g x x x--=>，当0x >，令()21ln x x x ϕ=--，则()12,0x x x xϕ=-->'，因为()0x ϕ'<恒成立，所以()x ϕ在()0,∞+上为减函数，因为()10ϕ=，所以当()0,1x ∈，()0g x '>，()g x 单调递增；()1,x ∞∈+，()0g x '<，()g x 单调递减.【小问2详解】根据条件()1y g x x=+有两个零点等价于2ln 0a x x a -+=有两解.不妨令()2ln f x a x x a =-+，则()2a f x x x='-（0x >），当0a ≤时，()0f x '<在定义域()0,∞+内恒成立，因此()f x 在()0,∞+递减，最多一个零点，不符.当0a >时，由()0f x '>，解得02x <<；()0f x '<，解得2x >；所以，0a >时，()f x 的单调减区间为,2∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，增区间为0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；若()f x 有两个零点，则必有2222ln 0222f a a ⎛⎫⎛=-+> ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，化简得ln 102a +>，解得2e a >，又因2110e ef ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()()24ln 416ln 4161f a a a a a a a a =-+=-+，即()()8114ln 4144e t h t t t t a h t t t -⎛⎫=-+=>⇒=-= ⎪⎝'⎭，当8,e t ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0h t '<恒成立，即()h t 在8,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递减，可得()883283232ln 1ln ln e ln 80e e e e e eh t g ⎛⎫≤=-+=-+=-< ⎪⎝⎭，也即得()0h t <在8,et ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭恒成立，从而可得()f x 在1,e 2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,42a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭区间上各有一个零点，综上所述，若()f x 有两个零点实数a 的范围为2,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：函数零点问题可理解为方程根的个数问题，求导分析单调性和极值可求解.19.英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当()f x 在0x =处n （*n ∈N ）阶导数都存在时，()()()()()()()()323000002!3!!n n f f f f x f f x x x x n =++++++''' .注：()f x ''表示()f x 的2阶导数，即为()f x '的导数，()()n f x （3n ≥）表示()f x 的n 阶导数，该公式也称麦克劳林公式.（1）写出()11f x x =-泰勒展开式（只需写出前4项）；（2）根据泰勒公式估算1sin 2的值，精确到小数点后两位；（3）证明：当0x ≥时，2e sin cos 02xx x x ---≥.【答案】（1）()231f x x x x =+++（2）0.48（3）证明见解析【解析】【分析】（1）分别求解()f x 的一阶，二阶，三阶导数，代入公式可得答案；（2）写出sin x 的泰勒公式，代入12可得答案；（3）方法一利用泰勒公式得2e 12xx x ≥++，把不等式进行转化，求最小值可证结论；方法二构造函数，通过两次导数得出函数的最小值，进而可证结论.【小问1详解】()11f x x=-，()()21=1f x x '-，()()32=1f x x ''-，()()()346=1f x x -；()()00=1f f '=，()0=2f ''，()()30=6f ；所以()23111f x x x xx ==+++-.【小问2详解】因为()()sin cos ,cos sin x x x x ''==-，由该公式可得357sin 3!5!7!x x x x x =-+-+ ，故111sin 0.482248=-+≈ .【小问3详解】法一：由泰勒展开2345e 12!3!4!5!!nxx x x x x x n =++++++++ ，易知当0x ≥，2e 12xx x ≥++，所以222e sin cos 1sin cos 222xx x x x x x x x ---≥++---1sin cos sin x x x x x =+--≥-，令()sin x x x f -=，则()1cos 0f x x '=-≥，所以()f x 在[)0,∞+上单调递增，故()()00f x f ≥=，即证得2e sin cos 02xx x x ---≥.法二：令()2e sin cos 2xG x x x x =---，()πe 4x x G x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭'，易知当3π0,4x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，e x y x =-，π4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭均为增函数，所以()πe 4x x G x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭'单调递增，所以()()00G x G '≥='，所以当3π0,4x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，()G x 单调递增，所以()()00G x G ≥=，当3π,4x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()22e sin cos e 222x x x x G x x x =---≥--，令()2e 22xF x x =--，则()e 0x x F x =-≥'，则()2e 22x F x x =--单调递增，则()()22e 2e 2022xF x F x =--≥=-≥，综上，原不等式得证.【点睛】方法点睛：导数证明不等式的常用方法:1、最值法：移项构造函数，求解新函数的最值，可证不等式；2、放缩法：利用常用不等式对所证不等式进行放缩，利用传递性进行证明.。
浙江省杭州第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(解析版)
2023学年第一学期杭州二中高二期中考试数学1. 两条平行直线1l ：注意事项：1．本试卷满分150分，考试用时120分钟.2．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，多选、错选或不选都给不分.3450x y +−=与2l：6850x y +−=之间的距离是（ ） A. 0 B.12C. 1D.32【答案】B 【解析】【分析】利用平行线间距离公式进行求解即可. 【详解】345068100x y x y +−=⇒+−=，12， 故选：B2. 已知圆()()()2122292:x m y m m C −+−=−与圆22288340:x y x C y m +−−+−=，则“4m = ”是“圆1C 与圆2C 外切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用两圆相切圆心距与两半径之和相等，分别证明充分性和必要性是否成立即可得出答案. 【详解】根据题意将圆2C 化成标准方程为()()22442x y m −+−=−； 易知20m −>，所以可得圆心()12,2C m m，半径为1r =，圆心()24,4C，半径为2r =可得122C C =−，两半径之和12r r += 若4m=，圆心距12C C =，两半径之和12r r +，此时1212C C r r =+=， 所以圆1C 与圆2C 外切，即充分性成立；若圆1C 与圆2C外切，则2−=4m =或2m =（舍）， 所以必要性成立；即“4m =”是“圆1C 与圆2C 外切”的充分必要条件. 故选：C3. 已知直线y kx m =+（m 为常数）与圆224x y +=交于点M N ，，当k 变化时，若||MN 的最小值为2，则m =A. 1±B. C. D. 2±【答案】C 【解析】【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m 【详解】由题可得圆心为()0,0，半径为2，则圆心到直线的距离d =，则弦长为||MN =， 则当0k =时，MN 取得最小值为2=，解得m =. 故选：C.4. 直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y −+=上，则ABP 面积的取值范围是A. []26，B. []48，C. D.【答案】A 【解析】【详解】分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解： 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点 ()()A 2,0,B 0,2∴−−,则AB = 点P 在圆22x 22y −+=（）上∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1d =故点P 到直线x y 20++=的距离2d 的范围为则[]2212,62ABPS AB d ==∈故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．5. 已知正方形ABCD 的边长为2，点M 在以C 为圆心，1为半径的圆上，则2MB MD +的最小值为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】建立直角坐标系，取点1(0,)2E ，探讨满足条件||2||M D M E ′′=的点M ′的轨迹，再结合已知，求出两条线段长度和的最小值作答.【详解】依题意，以点C 为原点，直线,CB CD 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，则(2,0),(0,2)B D ，如图，取点1(0,)2E ，设(,)M x y ′，当||2||M D M E ′′=化简整理得221x y +=，即点M ′的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，而点M 在以C 为圆心，1为半径的圆上，因此||2||MD ME =，显然点B 在圆C ：221x y +=外，则22||2||2(||||)2||MB MD MB ME MB ME BE +=+=+≥，当且仅当M 为线段BE 与圆C 的交点时取等号，而||BE ，所以2MB MD +的最小值为2||BE =故选：D【点睛】关键点睛：建立坐标系，取点1(0,)2E 并求出满足条件||2||M D M E ′′=的点M ′的轨迹是解题的关键.6. 设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，O 为坐标原点，过F 且斜率为1的直线交椭圆于A ，B两点（A 在x 轴上方）.A 关于x 轴的对称点为D ，连接DB 并延长交x 轴于点E ，若DOF S ，DEF S △，DOE S △成等比数列，则椭圆的离心率e 的值为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据DOF S ，DEF S △，DOE S △成等比数列，得到2EF OF OE =⋅，设直线AB 的方程为：()()()112211,,,,,,y x c A x x c B x x c D x x c =+++−−，与椭圆方程联立，再设直线BD 的方程为：()122221x x c y x cx x x x ++−−=−−，令0y =结合韦达定理，得到点E 的坐标，代入2EF OF OE =⋅求解.【详解】解：如图所示：设,,DOF DEF DOE 分别以OF ，EF ，OE 为底，高为h ，则111,,222DOFDEF DOE S OF h S EF h S OE h === ， 因为DOF S ，DEF S △，DOE S △成等比数列，所以2DEFDOF DEF S S S =⋅ ，即2EF OF OE =⋅，设直线AB 的方程为：()()()112211,,,,,,y x c A x x c B x x c D x x c =+++−−，联立22221x y a b y x c += =+，消去y 得()2222222220a b x a cx a c a b +++−=， 由韦达定理得：2121222222222,2x x x x a ca c ab a b a b−+=−=++⋅， 直线BD 的方程为：()1222212x x cy x c x x x x ++−−=−−，令0y =得，()12121222E x x c x x x x x c⋅++=++，则()22121212222222222222222222E x x c x x a x c a c a b a c a b a b a b x x c c c a ⋅−⋅++===−++−++−++， 则2EF OF OE =⋅，即为222a a c c c c ⋅−，则()22222c a ac =−，即422430a c a c −+=，即42310e e −+=，解得2e =e =，故选：D7. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，经过1F 的直线交椭圆于A ，B ，2ABF △的内切圆的圆心为I ，若23450++=IB IA IF ，则该椭圆的离心率是（ ）A.B.23C.D.12【答案】A 【解析】【分析】对23450++= IB IA IF 变形得到2351882IB IF IA +=−，进而得到以22::3:4:5AF BF AB =，结合椭圆定义可求出2AF a =，245,33BF a AB a ==，1AF a =，由余弦定理求解,a c 关系式，求出离心率.【详解】因为23450++= IB IA IF ，所以2351882IB IF IA +=−， 如图，在2BF 上取一点M ，使得2:5:3BM MF =，连接IM ，则12IM IA =−，则点I 为AM 上靠近点M 的三等分点，所以22::3:4:5IAF IBF IBA S S S = ， 所以22::3:4:5AF BF AB =设23AF x =，则24,5BF x AB x ==， 由椭圆定义可知：224AF BF AB a ++=，即124x a =，所以3ax =， 所以2AF a =，245,33BF a AB a ==，1AF a = 故点A 与上顶点重合， 在2ABF △中，由余弦定理得：222222222222516399cos 52523a a a AB F A F B BAF AB F A a +−+−∠===⋅×，在12AF F △中，2222243cos 25a a c BAF a +−∠==，解得：c a =故选：A【点睛】对于求解圆锥曲线离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出,,a b c 的齐次方程，解出离心率，本题的难点在于如何将23450++=IB IA IF 进行转化，需要作出辅助线，结合内心的性质得到三角形2ABF 三边关系，求出离心率.8. 在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线C :y 2=2px (0p >)的焦点为F ，直线x =3与抛物线C 交于A ，B 两点，｜AF |=4，圆E 为FAB 的外接圆，直线OM 与圆E 切于点M ，点N 在圆E 上，则OM ON ⋅的取值范围是（ ）A. 63,925−B. []3,21−C. 63,2125D. []3,27【答案】B 【解析】【分析】由已知及抛物线的定义，可求p ，进而得抛物线的方程，可求A ，B ，F 的坐标，直线AF 的方程，可得圆的半径，求得圆心，设N 的坐标，求得M 的坐标，结合向量数量积的坐标表示，以及辅助角公式和正弦函数的值域，可得所求范围．【详解】解：由题意，设(A ，所以||342pAF =+=，解得2p =，所以抛物线的方程为24y x =，(3,A ，(3,B −，(1,0)F ，所以直线AF 的方程为1)yx =−，设圆心坐标为0(x ，0)，所以2200(1)(3)12x x −=−+，解得05x =，即(5,0)E ，∴圆的方程为22(5)16x y −+=，不妨设0M y >，设直线OM 的方程为y kx =，则0k >，4=，解得43k =， 由2243(5)16y x x y= −+=，解得912,55M， 设(4cos 5,4sin )N θθ+，所以364812cos sin 9(3cos 4sin )9555OM ON θθθθ⋅=++=++ ， 因为[]3cos 4sin5sin()5,5θθθϕ+=+∈−， 所以OM ON ⋅∈[]3,21−． 故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是：首先求出圆的方程为22(5)16x y −+=，然后利用直线OM 与圆E 切于点M ，求出M 点的坐标，引入圆的参数方程表示N 点坐标，再根据向量数量积的坐标表示及辅助角公式，可得所求范围．.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知直线1l ：230ax y a ++=和直线2l ：()3170x a y a +−+−=，下列说法正确的是（ ） A. 当25a =时，12l l ⊥ B. 当2a =−时，12l l ∥C. 直线1l 过定点()3,0-，直线2l 过定点()1,1−D. 当1l ，2l 【答案】AD 【解析】【分析】A 选项：把a 的值分别代入两直线，根据直线垂直时，斜率相乘为1−，直接判断即可； B 选项，把a 的值分别代入两直线，根据直线平行时，斜率相等判断即可； C 选项，把直线的方程变形，根据直线过定点的定义判断即可；D 选项，由直线平行时，斜率相等，可求得a 得值，排除重合情况，再利用平行直线的距离公式直接求解即可.【详解】对于A ，当25a =时，那么直线1l 为262055x y ++=，直线2l 为3237055x y −+−=，此时两直线的斜率分别为115k =−和25k =，所以有121k k ⋅=-，所以12l l ⊥，故A 选项正确；对于B ，当2a =−时，那么直线1l 为30x y −+=，直线2l 为30x y −+=，此时两直线重合，故B 选项错误；对于C ，由直线1l ：230ax y a ++=，整理可得： ()320a x y ++=，故直线1l 过定点()3,0-，直线2l ：()3170x a y a +−+−=，整理可得：()1370a y x y −+−+=，故直线2l 过定点()2,1−，故C 选项错误；对于D ，当1l ，2l 平行时，两直线的斜率相等，即213a a −−=−，解得：3a =或2a =−，当2a =−时，两直线重合，舍去；当3a =时，直线1l 为3290x y ++=，2l 为3240x y ++=，此时两直线的距离d，故D 选项正确. 故选：AD .10. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右两焦点分别是12,F F ，其中12||2F F c =.直线()():R l y k x c k =+∈与椭圆交于,A B 两点，则下列说法中正确的有（ ）A. 2ABF △的周长为4aB. 若AB 的中点为M ，则22OMb k k a⋅=C. 若2124AF AF c ⋅=，则椭圆的离心率的取值范围是 D. 若1k =时，则2ABF △【答案】ACD 【解析】【分析】根据椭圆定义可知2ABF △的周长为4a ，可判断A 正确；联立直线和椭圆方程求出点M 的坐标，表示出斜率公式即可得22OMb k k a⋅=−，可得B 正确；由2124AF AF c ⋅= 易知A 点在以()0,0为圆心，半径为的圆上，即可得圆222115x y c +=与椭圆22221x y a b+=有交点，需满足b a ≤≤，可得离心率e ∈，可知C 正确；将1k =代入联立的方程可得2ABF △的面积12S c x x =−，可得D 正确.【详解】由12||2F F c =可知，()()12,0,,0F c F c −；显然直线()():R l y k x c k =+∈过点()1,0F c −，如下图所示：由椭圆定义可知2ABF △的周长为2212214AB AF BF AF AF BF BF a ++=+++=，所以A 正确； 设()()1122,,,A x y B x y ，中点()0,Mx y ；将直线和椭圆方程联立()22221x y a b y k x c += =+ ，消去y 整理可得()2222222222220b a k x a k cx a k c a b +++−=； 由韦达定理可得22122222a k c x x b a k +=−+，所以221202222x x a k cx b a k+==−+，代入直线方程解得20222b cky b a k =+，即222222222,a k c b ck M b a k b a k − ++； 所以2222222222222200OMb ckb ck b b a k k a kc a k c a k b a k −+==−=−−−+， 可得2222OMk b k a k b k a⋅−==⋅−，所以B 错误；根据B 选项，由2124AF AF c ⋅=可得()()2222111111,4,c x y c x y x c y c −⋅=+−−=−−−， 可得222115x y c +=，即A 点在以()0,0圆上； 又A 点在椭圆上，即可得圆222115x y c +=与椭圆22221x y a b+=有交点，根据对称性可知b a ≤≤，即22256c a c ≤≤，所以可得离心率e ∈，即C 正确；若1k =时，由选项B 可知联立直线和椭圆方程可得()2222222220b axa cx a c ab +++−=； 所以可得22222121222222,a c a c a b x x x x b a b a−+=−=++； 所以12x x −==易知2ABF △面积12112212121122S F F y F F y c y y c x x =+=−==− 即可得2ABF△，故D 正确. 故选：ACD【点睛】方法点睛：在求解圆锥曲线与直线的位置关系时，特别是在研究跟焦点三角形有关的问题时，经常将直线和圆锥曲线联立并利用韦达定理求解，注意变量间的相互转化即可.11. 已知斜率为k 的直线交抛物线()220y px p =>于()11,A x y 、()22,B x y 两点，下列说法正确的是（ ） A. 12x x 为定值B. 线段AB 的中点在一条定直线上的的C.11OA OBk k +为定值（OA k 、OB k 分别为直线OA 、OB 的斜率） D. AF BF为定值（F 为抛物线的焦点）【答案】BC 【解析】【分析】分析可知，0k ≠，设直线AB 的方程为y kx m =+，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理可判断A 选项；求出线段AB 中点的纵坐标，可判断B 选项；利用斜率公式结合韦达定理可判断C 选项；利用抛物线的焦半径公式可判断D 选项.【详解】若0k =，则直线AB 与抛物线()220y px p =>只有一个交点，不合乎题意，则0k ≠， 设直线AB 的方程为y kx m =+，联立22y kx m y px=+ = 可得()222220k x km p x m +−+=， ()2222224480km p k m p kmp ∆=−−=−>，对于A 选项，2122m x x k =不一定是定值，A 错；对于B 选项，设线段AB 的中点为()00,P x y ，则12022x x p kmx k+−==， 00p km p y kx m m k k−++为定值，故线段AB 的中点在定直线py k =上，B 对；对于C 选项，()121212122222111222OA OB p kmm k x x m x x y y k k k y y p p p k−+++++=+====为定值，C 对；对于D 选项，21222222222p km p p x x AF k p p BF x x −+−+==++不一定为定值，D 错.故选：BC.12. 已知圆22:(2)1M x y +−=，点P 为x 轴上一个动点，过点P 作圆M 的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与MP 交于点C ，则下列结论正确的是（ ）A. 四边形PAMB周长的最小值为2 B. ||AB 的最大值为2C. 若(1,0)P ，则三角形PAB 的面积为85D.若Q ，则||CQ 的最大值为94【答案】CD 【解析】【分析】首先设||MP t =，对于选项A ，根据题意，表达四边形PAMB 周长关于t 的函数，由t 的取值范围求函数的最小值可判断A 错误；对于选项B ，根据等面积法，求出||AB 关于t 的函数关系，由t 的取值范围求函数的最大值可判断B 错误；对于选项C ，根据题意，计算PAB 底和高，求出面积判断C 正确；对于选项D ，设动点(,0)P m AB 的方程与直线PM 的方程，二者联立消去m 得到二者交点C 的轨迹是圆，||CQ 的最大值为圆心1O 与Q 距离加半径，可判断D 正确． 【详解】对于选项A ，设||MP t =，则||||BP AP ==则四边形PAMB周长为2+，则当t 最小时周长最小，又t 最小值为2， 所以四边形PABM周长最小为2+，故A 错误；对于选项B ，12||||2MAP PAMBS S MP AB ==△四边形，即1121||22t AB ××=，所以||AB =，因为2t，所以)||AB ∈，故B 错误； 对于选项C ，因为(1,0)P，所以||MP =t =，所以||AB ，1||||2AC AB ==，||2AP =，||PC ，所以三角形PAB 的面积为18||||25AB PC =，故C 正确；的对于选项D ，设(,0)P m ，()11,A x y ,则切线PA 的方程为()()11221x x y y +−−=， 又因为直线PA 过点(,0)P m ，代入可得()()112021x m y +−−=化简得11230mx y −+= 设()22,B x y ,同理可得22230mx y −+=， 因此点,A B 都过直线230mx y −+=，即直线AB 的方程为230mx y −+=， MP 的方程为22y x m=−+， 二者联立得，22230y x mmx y =−+−+=①②， 由①式解出22x m y =−，代入②式并化简得227302x y y +−+=， 配方得2271()416x y +−=，2y ≠， 所以点C 的轨迹是以(70,4)为圆心，14为半径的圆， 设其圆心为1O ，所以||CQ的最大值为1119||2444O Q R ++=+=，故D 正确． 故选：CD.【点睛】本题综合性较强，难度较大，具备运动变化的观点和函数思想是解题的关键，对于AB 选项，设变量||MP t =，用t 分别表达周长函数和距离函数求最值，对于D 选项，设出动点(),0P m ，分别表达直线AB 和MP 的方程，联立消去m ，得到动点C 的轨迹，进一步求解答案.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知实数0,0a b ><的取值范围是______.【答案】[)2,1−− 【解析】【分析】根据题意，设直线l ：0ax by +=的几何意义为，点(1,到直线l 的距离，即可求出取值范围.【详解】根据题意，设直线l ：0ax by +=，设点(1,A那么点(1,A 到直线l的距离为：d因为0,0a b ><，所以d =l 的斜率0ak b=−>， 当直线l的斜率不存在时，1d ==，所以1d >，当OA l ⊥时，max 2d OA ===，所以12d <≤，即12<≤，=21−≤<−，故答案为：[)2,1−−.14. 形如()0b y ax b x=+≠的函数图象均为双曲线，则双曲线4135y x x =−的一个焦点坐标为______.【答案】或 【解析】【分析】先确定双曲线的渐近线、对称轴方程，确定焦点位置及实半轴a ，最后由渐近线与对称轴夹角正切值确定b ，利用双曲线性质求出焦点. 【详解】由4135−x y =x 知，其两条渐近线分别为403x x =,y =， 所以双曲线4135−x y =x 的两条对称轴为403xx =,y =的夹角平分线， 令43x y =的倾斜角为0,2πθ ∈，则4tan 3θ=，且一条对称轴倾斜角为42πθ+，而22tan42tan 31tan 2θθθ==−，则22tan 3tan 2022θθ+−=，解得tan 22θ=−（舍去），1tan 22θ=， 所以11+tan 1+22tan ==31421tan 122π +=−−θθθ，即一条对称轴为3y x =， 故另一条对称轴为13y x =−，显然13y x =−与4135−x y =x有交点, 即为双曲线的顶点，则双曲线的实半轴长a = 而渐近线0x =与对称轴13y x =−夹角的正切值为3，3b a =，又因为=a，所以33b =a = 由2222641553+=c =a +b =，设焦点为13 − m,m ，则221433 +−=m m ，所以m =, .故答案为：或.15. 在椭圆2213x y +=上有点31,22P ，斜率为1的直线l 与椭圆交于不同的A ，B 两点（且不同于P ），若三角形ABO 的外接圆恰过点P ，则外接圆的圆心坐标为______. 【答案】71,88 −【解析】【分析】根据题意得到():0AB y x b b =+≠，联立直线AB 与椭圆方程，利用韦达定理求得12x x +，12x x ，12y y +，12y y ；法一：先利用点斜式求得,OP AB 的中垂线方程，联立两者方程即可求得圆心C ，再由半径相等得到2222AC BC OC +=，利用两点距离公式，代入上述式子得到关于b 的方程，解之即可； 法二：根据题意得到圆的方程，联立直线AB 与圆的方程，利用韦达定理求得12x x +，12x x ，进而得到,D E 关于b 的表达式，又由点P 在圆上得到关于b 的方程，解之即可.【详解】依题意，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线():0AB y x b b =+≠， 联立2213y x bx y =++=，消去y ，得246330x bx b ++−=， 所以1232x x b +=−，()212314b x x −=， 则121212y y x b b b x ++=+=+，()()2121234b y y x b b x =+−=+， .法一：因为31,22P ，所以10123302OP k −==−，OP 的中点坐标为3,414 ，OP 中垂线的斜率为3−，所以OP 中垂线方程为113:344l y x −=−−，即532y x =−+， 因为AB 的斜率为1，AB 的中点坐标为1212,22x x y y ++ ，即31,44b b− ，所以AB 中垂线的斜率为1−，则AB 中垂线方程213:44l y b x b−=−+，即12y x b =−−， 联立53212y x y x b=−+ =−− ，解得54354b x b y + = + =− ，则圆心坐标535,44b b C ++ − ， 因为22222AC BC OC AC +==， 所以222222112253515355354424444b b b b b b x y x y +++++++=−+++−++， 整理得()()22221212121253522044b b x x x x y y y y ++ +−+++++=， 因为1232x x b +=−，()212314b x x −=，1212y y b +=，21234b y y −=， 所以()22222112123624x x x x b x x +=+−+=，()2222211212624y b y y y y y −+=+−+=， 则2203563614242532244b b b b b b ++ −++= − + +−× ， 整理得22530b b ++=，解得32b =−，1b =-， 当1b =-时，直线:1AB y x =−，显然直线AB 过P 点，舍去，当32b =−时，()2299361633361633044b b ∆=−−=×−×−>，直线3:2AB y x =−，满足题意，又535,44b b C ++ −，所以此时圆心坐标71,88C − . 法二：因为圆过原点()0,0O ，所以设圆的方程为220x y Dx Ey +++=()220D E +>，联立220y x b x y Dx Ey =++++=，消去y ，得()22220x b D E x b Eb +++++=， 所以1222b D E x x +++=−，2122b Ebx x =+， 又1232x x b +=−，()212314b x x −=，所以3222b D E b ++−=−，()223142b b Eb −+=， 所以1322D b b=+，1322E b b =−， 因为P 点在圆上，所以913104422D E +++=，即530D E ++=，所以13135302222b b b b +++−=，整理得22530b b ++=，解得32b =−，1b =-， 当1b =-时，直线:1AB y x =−，显然直线AB 过P 点，舍去， 当32b =−时，1332722234D =×−+×−=− ，1332122234E =×−−×−= ， 对于方程2246330x bx b ++−=，有()2299361633361633044b b ∆=−−=×−×−>，对于方程()22220x b D E x b Eb +++++=，即29152028x x −+=，有2915Δ42028 =−−××>，满足题意，又因为外接圆的圆心坐标为,22D E −− ，所以圆心为71,88− . 故答案为：71,88 −.【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习，做到胸有成竹.16. 已知直线l 过抛物线C ：24y x =的焦点F ，与抛物线交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，过M作MN 垂直于抛物线的准线，垂足为N ，则2324NF AB +的最小值是______.【答案】【解析】【分析】设直线:1AB x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立抛物线方程得到关于y 的一元二次方程，得到韦达定理式，求出,M N 坐标，利用弦长公式和两点距离公式得到AB 和NF 的表达式，再利用基本不等式即可得到答案.【详解】显然当直线AB 斜率为0时，不合题意；故设直线:1AB x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ， 联立抛物线方程有2440y my −−=，则216160m ∆=+>，124y y m +=，124y y =−，则1222My y y m +==，111x my =+，221x my =+， 则()21221224221222M m y y x x m x m ++++====+，则()221,2M m m +，准线方程为=1x −，()1,0F ，则()1,2N m −，()22||41AB y m =−=+，()()()22222||1124441||[4,)NF m m m AB =++−=+=+=∈+∞，所以232||32||||4||4NF AB AB AB +=+==，当且仅当32||||4AB AB =，即()2||41AB m =+=时等号成立，此时m .故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是采取设线法联立抛物线方程得到韦达定理式，再利用中点公式得到,M N 点坐标，最后利用弦长公式和两点距离公式得到相关表达式，最后利用基本不等式即可得到答案.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知点()1,0A −和点B 关于直线l ：10x y +−=对称． （1）若直线1l 过点B ，且使得点A 到直线1l 的距离最大，求直线1l 的方程； （2）若直线2l 过点A 且与直线l 交于点C ，ABC 的面积为2，求直线2l 的方程．【答案】（1）30x y +−=（2）0y =或=1x − 【解析】【分析】根据对称先求出B 点坐标（1）过点B 到点A 距离最大的直线与直线AB 垂直，从而求出直线方程；（2）画出图像，可求出点C 到直线AB 的距离，又点C 在直线l 上，可设出C 点的坐标，利用点到直线的距离公式求出C ，又直线过点A ，利用两点A 、C 即可求出直线2l 的方程. 【详解】解：设点(),B m n则1102211m nn m −+ +−== + ，解得：12m n = = ，所以点()1,0A −关于直线l ：10x y +−=对称的点的坐标为()1,2B（1）若直线1l 过点B ，且使得点A 到直线1l 的距离最大，则直线1l 与过点AB 的直线垂直，所以1k =−，则直线1l 为：()21y x −=−−，即30x y +−=. （2）由条件可知：AB =，ABC 的面积为2，则ABC的高为h =又点C 在直线l 上，直线l 与直线AB 垂直，所以点C 到直线AB. 直线AB 方程为1y x =+，设(),C a b，即1b a =−或3b a =+又1b a =−，解得：10a b == 或12a b =− =则直线2l 为：0y =或=1x −【点睛】本题考查求点关于直线的对称点，考查直线与直线相交的综合应用..方法点睛：（1）设出交点坐标（2）两点的中点在直线上，两点连线与原直线垂直，列方程组； （3）解出点坐标.18. 已知圆221:(1)5C x y +−=，圆222:420C x y x y +−+=.（1）求圆1C 与圆2C 的公共弦长；（2）求过两圆的交点且圆心在直线241x y +=上的圆的方程.【答案】（1）（2）22317222x y −++=【解析】【分析】（1）将两圆方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圆心1C 到公共弦的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求得答案，（2）解法一：设过两圆的交点的圆为()()222242240,1x y x y x y y λλ+−+++−−≠−，求出圆心坐标代入241x y +=中可求出λ，从而可求出圆的方程，解法二：将公共弦方程代入圆方程中求出两圆的交点坐标，设所求圆的圆心坐标为(),a b ，然后列方程组可求出,a b ，再求出圆的半径，从而可求出圆的方程.【小问1详解】将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，即()()222242240x y x y x y y +−+−+−−=，化简得10x y −−=，所以圆1C 的圆心()0,1到直线10x y −−=的距离为d ，则22215232AB r d =−=−=，解得AB =所以公共弦长为【小问2详解】 解法一：设过两圆的交点的圆为()()222242240,1x y x y x y y λλ+−+++−−≠−， 则2242240,1111x y x y λλλλλλ−+−+−=≠−+++； 由圆心21,11λλλ− −++ 在直线241x y +=上，则()414111λλλ−−=++，解得13λ=， 所求圆的方程为22310x y x y +−+−=，即22317222x y −++=. 解法二：由（1）得1y x =−，代入圆222:420C x y x y +−+=， 化简可得22410x x −−=，解得x =；当x =时，y =x =时，y =；设所求圆的圆心坐标为(),a b ，则2222241a b a b a b −+=++ += ，解得3212a b ==−；所以222317222r =+−−= ； 所以过两圆的交点且圆心在直线241x y +=上的圆的方程为22317222x y −++=19. 已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b−=>>的焦距为10，且经过点M ．A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，P 为直线2x =上的动点，连接P A ，PB 交双曲线E 于点C ，D （不同于A ，B ）．（1）求双曲线E 的标准方程．（2）直线CD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】（1）221169x y −= （2）直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)． 【解析】【分析】（1）方法一：将M 代入方程，结合222+=a b c 求得,a b 得双曲线方程；方法二：根据双曲线定义求得a 得双曲线方程.（2）方法一：设CD 的方程为x my t =+，与双曲线联立，由A 点与C 点写出AC 方程，求出p y ，由B 点与D 点写出BD 方程，求出p y ，利用两个p y 相等建立关系式，代入韦达定理可求得t 为定值.方法二：设CD 的方程为,(2,)x my t P n =+，与双曲线联立，由P 点与A 点写出AC 方程，由P 点与B 点写出BD 方程，将()()1122,,,C x y D x y 代入以上两方程，两式相比消去n 建立关系式，代入韦达定理可求得t 为定值. 【小问1详解】法一．由222225,64271,a b ab += −=解得2216,9a b ==，∴双曲线E 的标准方程为221169x y −=． 法二．左右焦点为()()125,0,5,0F F −，125,28c a MF MF ∴==−=，22294,a b c a ∴===−，∴双曲线E 的标准方程为221169x y −=． 【小问2详解】直线CD 不可能水平，故设CD 方程为()()1122,,,,x my t C x y D x y =+， 联立221169x my t x y =+−= 消去x 得()()2222916189144=0,9160m y mty t m −++−−≠， 12218916mt y y m −∴+=−，21229144916t y y m −=−，12y y −，AC 的方程为11(4)4y yx x ++，令2x =，得1164p y y x =+， 的BD 的方程为22(4)4y yx x −−，令2x =，得2224p y y x −=−，1221112212623124044y y x y y x y y x x −∴=⇔−++=+− ()()21112231240my t y y my t y y ⇔+−+++=()()1212431240my y t y t y ⇔+−++= ()()()()12121242480my y t y y t y y ⇔+−++−−=()22249144(24)180916916m t t mt m m −−⇔−±=−−3(8)(0m t t ⇔−±−=(8)30t m ⇔−±=， 解得8t =3m =±，即8t =或4t =（舍去）或4t =−（舍去）， ∴CD 的方程为8x my =+，∴直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)． 方法二．直线CD 不可能水平，设CD 的方程为()()1122,,,,,(2,)x my t C x y D x y P n =+， 联立22,1,169x my t x y =+ −=，消去x 得()2229161891440m y mty t −++−=， 2121222189144,916916mt t y y y y m m −−∴+==−−， AC 的方程为(4)6nyx =+，BD 的方程为(4)2ny x −−， ,C D 分别在AC 和BD 上，()()11224,462n ny x y x ∴=+=−−， 两式相除消去n 得()211211223462444x y y y x x x y −−−=⇔+=+−， 又22111169x y −=，()()211194416x x y ∴+−=． 将()2112344x y x y −−+=代入上式，得()()1212274416x x y y −−−=⇔()()1212274416my t my t y y −+−+−=()()221212271627(4)27(4)0m y y t m y y t ⇔++−++−=⇔()22222914418271627(4)27(4)0916916t mtm t m t m m −−++−+−=−−． 整理得212320t t +=−，解得8t =或4t =（舍去）． ∴CD 方程为8x my =+，∴直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)． 【点睛】圆锥曲线中直线过定点问题通法，先设出直线方程y kx m =+，通过韦达定理和已知条件若能求出m 为定值可得直线恒过定点，若得到k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可得到直线恒过定点.20. 已知双曲线22:154x y Γ−=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是直线8:9l y x =−上不同于原点O 的一个动点，斜率为1k 的直线1PF 与双曲线Γ交于A ，B 两点，斜率为2k 的直线2PF 与双曲线Γ交于C ，D 两点．（1）求1211k k +的值；（2）若直线OA ，OB ，OC ，OD 的斜率分别为OA k ，OB k ，,OC k ，OD k ，问是否存在点P ，满足0OA OB OC OD k k k k +++=，若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）94−； （2）存在98(,)55P −或98(,)55P −满足题意．【解析】【分析】（1）设出(9,8)P λλ−，然后计算1211k k +即可得；（2）假设存在，设设00(9,8)P x x −，写出直线AB 方程，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入双曲线方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入到式子OA OB k k +中，同理设3344(,),(,)C x y D x y ，直线CD方程代入双曲线方程，应用韦达定理，代入计算OC OD k k +，然后由条件0OA OB OC OD k k k k +++=求得0x 得定点坐标．的【小问1详解】由已知1(3,0)F −，2(3,0)F ，设(9,8)P λλ−，(0)λ≠， ∴1839k λλ=−−，2893k λλ−=−，121139939884k k λλλλ−−−+=+=−−；【小问2详解】 设00(9,8)P x x −，（00x ≠），∴010893x k x −=+，∴直线AB 的方程是008(3)93x yx x −++，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，008(3)93x yx x −++代入双曲线方程得2220203204(69)20(93)x x x x x −++=+， 即222200000(549)480(112527045)0x x x x x x x ++−−++=， 2012200480549x x x x x +=++，20012200112527045549x x x x x x ++=−++， 00121212012012883()33(2)[2]9393OA OB x x y y x x k k x x x x x x x x ++=+=−++=−+++2000200008832(2(2)93932561x x x x x x x =−+=−−++++ 2000220000082(31)16(31)9325612561x x x x x x x x −+−+=⋅=+++++， 同理CD 的方程为008(3)93x yx x −−−，设33(,)C x y ，44(,)D x y ，仿上，直线方程代入双曲线方程整理得：222200000(549)4801125270450x x x x x x x −++−+−=，234200480549x x x x x +=−−+，20034200112527045549x x x x x x −+−=−+， ∴2303400423403400083()83480[2](2)9393112527045OC ODy x x x x x y k k x x x x x x x x −+−⋅+=+=−=−−−−+ 20000220000083216(31)(2)9325613(2561)x x x x x x x x x −−−=−=−−+−+．由0OA OB OC OD k k k k +++=得00022000016(31)16(31)025613(2561)x x x x x x x −+−−+=++−+， 整理得200(251)0x x −=，∵00x ≠，∴015x =±， ∴存在98(,)55P −或98(,)55P −满足题意．【点睛】方法点睛：是假设定点存在，题中设00(9,8)P x x −，写出直线方程，设出直线与双曲线的交点坐标如1122(,),(,)x y x y ，直线方程代入双曲线方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入到式子OA OB k k +中，最后利用已知条件求得0x ，若求不出结果说明不存在．本题考查了学生的逻辑能力，运算求解能力，属于困难题．21. 抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为,l A 为C 上的一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点，（1）若90,BFD ABD ∠=的面积为p 的值及圆F 的方程（2）若直线y kx b =+与抛物线C 交于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥，准线l 与y 轴交于点S ，点S 关于直线PQ 的对称点为T ，求||FT 的取值范围.【答案】（1）2p =，圆F 的方程为()2218x y +−=（2）(],4p p 【解析】【分析】（1）由焦半径和圆的半径得到2A py FA FD +===，结合ABD △面积求出2p =，圆F 的方程为()2218x y +−=；（2）表达出0,2p S −关于直线PQ 的对称点的坐标，利用垂直关系列出方程，求出2b p =，从而利用两点间距离公式表达出(],2FT p p ==. 【小问1详解】由对称性可知：90,BFD FS BS DS p ∠=°===， 设(),A A A x y，由焦半径可得：2A py FA FD +===，112222ABD A p S BD y p=⋅⋅+=×=解得：2p =圆F 的方程为：()2218x y +−=【小问2详解】由题意得：直线PQ 的斜率一定存在，其中0,2p S−，设0,2p S−关于直线PQ 的对称点为(),T m n ，则12222p n m kp n m k b + =− − =⋅+ ，解得：221212b p m k k b p pn k + =− + +=− + ，联立y kx b =+与22x py =得：2220x pkx pb −−=，设()()1122,,,P x y Q x y ，则12122,2x x pk x x pb +==−， 则()()()2212121212y y kx b kx b k x x kb x x b =++=+++，则()()22121212121x x y y k x x kb x x b +=++++ ()222221220pb k pk b b pb b −+++=−+=，解得：0b =（此时O 与P 或Q 重合，舍去）或2b p =，所以FT =(],4p p ==， 【点睛】圆锥曲线相关的取值范围问题，一般思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，由题干条件列出方程，求出变量之间的关系，再表达出弦长或面积等，结合基本不等式，导函数，函数单调性等求出最值或取值范围.22. 如图，已知点P 是抛物线24C y x =：上位于第一象限的点，点()20A −，，点,M N 是y 轴上的两个动点(点M 位于x 轴上方)， 满足,PM PN AM AN ⊥⊥，线段PN 分别交x 轴正半轴、抛物线C 于点,D Q ，射线MP 交x 轴正半轴于点E ．（1）若四边形ANPM 为矩形，求点P 的坐标；（2）记,DOP DEQ △△的面积分别为12S S ，，求12S S ⋅的最大值．【答案】（1）(2,P（2）192 【解析】【分析】（1）根据矩形性质，可得对角线互相平分，即AP 的中点在y 轴上，然后点P 在抛物线，即可得(2,P ；（2）联立直线PQ 方程与抛物线C ，根据韦达定理求得,P Q 两点的纵坐标关系，再根据,PM PN AM AN ⊥⊥条件判断MOE △与DON △相似，进而求得,D E 两点的坐标关系，再表示并化简12S S ⋅为关于m 的函数，根据,D E 两点的位置关系，以线段DE 为直径的圆K 与抛物线C 有交点得出关于m 的约束，即可确定12S S ⋅中m 取值范围，最后可得12max ()(4192S S g ⋅=−= 【小问1详解】当四边形ANPM 为矩形时，AP 的中点在y 轴上，则有：2P A x x =−=故(2,P -【小问2详解】设点(,0)D m ，直线PQ 方程：x m ty −=， 显然有0,0m t >≠联立直线PQ 与抛物线C ，得：24x m ty y x −==消去x 得：2440y ty m −−=则有：4P Q y y m ⋅=− 由AM AN ⊥，得：2||||||4OM ON OA ⋅==又由PM PN ⊥，可得：△MOE ∽△DON 则有：||||||||OM OE OD ON = 从而||||||||4OE OD OM ON ⋅=⋅=，即4E D x x ⋅=所以4E x m=，进而有：4||E D DE x x m m =−=− 结合||,4P Q OD m y y m =⋅=−（注：由E D x x >，得4m m >，故有02m <<） 可得：12111(||||)(||||)||||||224P Q P Q S S OD y DE y OD DE y y ⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ 314()444m m m m m m=⋅⋅−⋅=−+ 又由题意知，存在抛物线上的点P 满足条件，即以线段DE 为直径的圆K 与抛物线C 有交点，且易得圆K 方程：24()()0x m x y m−⋅−+=联立抛物线C 与圆K ，得224()()04x m x y my x−⋅−+= = 消去y 得：24(4)40x m x m−+−+= 由0∆≥，结合02m <<，可解得：04m <≤−令3()4g m m m =−+，求导可知()g m在上单调递增又4−≤ 故有：()g m在(0,4−上单调递增因此，12max ()(4192S S g ⋅=−=【点睛】解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；在求解相关最值问题时，通常是先建立目标函数，然后应用函数的知识来解决问题；。
陕西省西安市工业大学附属中2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
陕西省西安市工业大学附属中2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．计算52752C 3A +的值是（ ）A ．72B ．102C ．507D ．5102．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且35294a a a =⋅，21a =，则1a =（ ）A ．4B ．2C ．1D ．123．某校迎新晩会上有A ，B ，C ，D ，E ，F 共6个节目，为了考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目A ，B 不相邻，节目D ，F 必须连在一起，则不同的节目编排方案种数为（ ）A ．60B ．72C ．120D ．1444．已知函数()y f x =的图像如图所示，则其导函数()y f x ='的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．设随机变量X 服从两点分布，若()()100.4P X P X =-==，则()D X =（ ） A ．0.21 B ．0.3 C ．0.4 D ．0.76．nx⎛ ⎝的展开式中，第四项和第五项的二项式系数相等，则该展开式中有理项的项数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．27．将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（ ）．A ．420B ．180C ．64D ．258．已知实数,,a b c 成公差非零的等差数列，集合(){}(),0,3,2A x y ax by c P =++=-∣，()2,3,N M A ∈，若()//,MP a b u u u r ，则MN 的最大值是（ ）A ．4B ．5C ．D ．二、多选题9．若()()()113,,324P A P B P B A ===∣则下列说法正确的是（ ） A ．()14P AB = B ．事件A 与B 相互独立C ．()712P A B =UD ．()12P A B =∣ 10．在平面直角坐标系xOy 中，过拋物线2:4C y x =的焦点F 作直线l 交抛物线C 于,A B 两点，则（ ）A ．AB 的最小值为2 B ．以线段AF 为直径的圆与y 轴相切C ．111FA FB +=D ．0OA OB ⋅=u u u r u u u r11．若()6260126(21)1(1)(1)x a a x a x a x +=+++++++L ，则下列等式正确的有（ ）A ．01a =B ．3160a =C ．0246365a a a a +++=D ．123623612a a a a ++++=L三、填空题12．81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为（用数字作答）． 13．设12,F F 为椭圆22:15x C y +=的两个焦点，点P 在椭圆C 上，若120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，则12PF PF ⋅=.14．设函数()()e 1x f x a x b =+-+在区间[]1,3上存在零点，则22a b +的最小值为.四、解答题15．中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅的“饺子”，2盒三鲜馅的“饺子”和5盒青菜馅的“饺子”,乙箱中有3盒肉馅的“饺子”，3盒三鲜馅的“饺子”和4盒青菜馅的“饺子”.问：(1)从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？(2)若依次从甲箱中取出两盒“饺子”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率；(3)若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，从乙箱取出的“饺子”是肉馅的概率.16．已知函数()2112ln 22f x x x x =--+. (1)求()f x 的最值；(2)求曲线()y f x =过点()0,2的切线方程.17．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的20件产品作为样本称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为(]490,495，(]495,500，…，(]510,515．由此得到样本的频率分布直方图（如下图）．(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的20件产品中任取3件，设X 为质量超过505克的产品数量，求X 的分布列；(3)从该流水线上任取5件产品，设Y 为质量超过505克的产品数量，求Y 的数学期望和方差．18．已知双曲线2222;1(0,0)x y C a b a b -=>>经过点⎛ ⎝⎭，右焦点为(),0F c ，且222,,c a b 成等差数列.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的右支交于,P Q 两点（P 在Q 的上方），PQ 的中点为,M M 在直线:2l x =上的射影为,N O 为坐标原点，设POQ △的面积为S ，直线,PN QN 的斜率分别为12,k k ，试问12k k S-是否为定值，如果是，求出该定值，如果不是，说明理由. 19．已知函数()y f x =的定义域为区间D ，若对于给定的非零实数m ，存在0x ，使得()()00f f x x m =+，则称函数()y f x =在区间D 上具有性质()P m ，(1)判断函数()2f x x =在区间[]1,1-上是否具有性质12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，并说明理由； (2)若函数()sin f x x =在区间()0,(0)n n >上具有性质π4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求n 的取值范围； (3)已知函数()y f x =的图象是连续不断的曲线，且()()02f f =，判断函数()y f x =在区间[]0,2上是否具有性质13P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，说明理由.。
陕西省西安市第八十三中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含简单答案)
西安市第八十三中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中只有一项符合要求）1. 已知是实数集，集合，，则（ ）A. B. C. D. 2. 为虚数单位，则（ ）A B. C. D. 3. 已知向量，，则与向量共线的向量的坐标可以是（ ）A. B. C. D. 4. 奇函数对任意都有，且，则（ ）A. B. 0 C. 1 D. 25. 为了解某块田地小麦的株高情况，随机抽取了10株，测量数据如下（单位cm ）：60，61，62，63，65，65，66，67，69，70，则第40百分位数是（ ）A. 62B. 63C. 64D. 656. 已知，则（ ）A. B. C. 1 D. 7. 函数的部分图像大致是（ ）A. B.C. D..R {}1,0,1A =-{}210B x x =-≥A B = {}1,0-{}11,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭i ()i 12i ⋅-=2i +2i -2i -+2i--1,12a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2,1b =r 2a b + ()3,1-()8,3-()9,4-()3,2-()f x x ∈R ()()12f x f x =+()81f -=-()2024f =1-2936m n ==112m n +=6log 18126log 5()22411x x f x x ++=+8. 设的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且，则（ ）A B. C. D. 二、多选题（本小题4小题，每小题5分，共20分.每小题有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9. 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为且支出在元的样本，其频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）A. 估计众数为B.估计中位数是C. 估计平均数D. 支出在的频率为10. （多选）已知函数（），下列结论正确的是（ ）A. 函数的最小正周期为B. 函数是偶函数C. 函数的图象关于直线对称D. 函数在区间上是增函数11. 如图，在直三棱柱中，底面为等边三角形，，，分别为，的中点，记过，，三点的平面与的交点为，则下列说法正确的是（ ）.为ABC V 35cos ,cos ,3513A B b ===c =1451351252n [)20,6043400943[)50,600.253π()sin 22f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭x ∈R ()f x π()f x ()f x π4x =()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦111ABC A B C -ABC 16AA AB ==E F 1BB 11A C A E F 11B C DA. 为的中点B. 三棱锥C. 截面的周长为D. 截面的面积为2412.设，，，则下列结论中正确的是（）A. B. 当时，C. 若，，则D. 当，时，三、填空题（本小题4小题，每小题5分，共20分）13. 函数的零点所在的区间是，则__________.14. 若实数满足，则的最小值为_________.15. 设函数的部分图象如图所示，直线是它的一条对称轴，则函数的解析式为__________．16. 已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率_______D 11B C 1B DEF -AEDF +AEDF ()23012312n n n x a a x a x a x a x -=++++⋅⋅⋅+x ∈R *N n ∈()121231212222n n n n a a a a -+-+⋅⋅⋅+-=-3n ≥()()2326141n a a n n a n n ++⋅⋅⋅+-=-87a a >89a a >12n =12000x =-2024n =()125n x ->()ln 23f x x x =+-()(),1N n n n +∈n =,a b 221a b +=22141a b ++()()sin f x x ωϕ=+π(0,0)2ωϕ><<π6x =()f x 23四、解答题（本题共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知函数在时取得极值.（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最小值.18. 的内角A ，B ，C 所对的边分别为，已知.（1）求角C .（2）设D 为边AB 的中点，的面积为2，求的最小值.19. 一个不透明的盒子中有质地、大小均相同的7个小球，其中4个白球，3个黑球，现采取不放回的方式每次从盒中随机抽取一个小球，当盒中只剩一种颜色时，停止取球.（1）求停止取球时盒中恰好剩3个白球的概率；（2）停止取球时，记总的抽取次数为X ，求X 的分布列与数学期望.20. 如图，长方体中，为线段的中点,.(Ⅰ)证明：⊥平面；(Ⅱ)求点到平面距离.21. 据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，所以越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展），A 市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人（其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生）（1）若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率悬多大?（2）从这8名跟角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数的期望与方差；（3）若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从市的小学生中，随机选出20位小学生，记其中佩戴角膜塑形镜的人数为Y ，求恰好时的概率（不用化简）及Y 的方差.的32()2f x x x ax =--+1x =()f x ()f x []22-,ABC ∆,,a b c cos 2cos 22sin sin 1A B A B ++=+cos 2C ABC ∆2CD 1111ABCD A B C D -EBC 11,2,AB AD AA ===X A 5Y =22. 已知椭圆C ：过点，过其右焦点且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B两点，且（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l ：与椭圆C 交于E ，F 两点，线段EF 的中点为Q ，在y 轴上是否存在定点P ，使得∠EQP ＝2∠EFP 恒成立？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．()222210x y a b a b +=>>⎛ ⎝2F AB =12y kx =-西安市第八十三中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题简要答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中只有一项符合要求）【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】A二、多选题（本小题4小题，每小题5分，共20分.每小题有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得部分分，有选错的得0分）【9题答案】【答案】B【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】BCD【12题答案】【答案】ACD三、填空题（本小题4小题，每小题5分，共20分）【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】##45【15题答案】【答案】【16题答案】【答案】四、解答题（本题共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）【17题答案】【答案】（1）递增区间是，递减区间是；（2）.【18题答案】【答案】（1）（2）【19题答案】【答案】（1） （2）分布列略，【20题答案】【答案】(Ⅰ)略；(Ⅱ) 1【21题答案】【答案】（1）（2）， （3），【22题答案】.192()πsin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭151(,)3-∞-+∞1(,1)3-8-3π335()275E X =13()34E X =()45112D X =()155520(5)C 0.0810.08P Y ==⨯⨯-() 1.472D Y =【答案】（1） （2）存在定点，2213x y +=()0,1P。
浙江省杭州市第十四中学2022-2023学年高二下学期阶段性测试(期中)数学试题
浙江省杭州市第十四中学2022-2023学年高二下学期阶段性测试（期中）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________故将五项工作分成三组有10+15=25种分法，安排到3人有3325A 150´=种安排方式.故选：C 7．C【分析】由递推式得到122n n n a a a ++=+，结合等差中项知{}na 为等差数列，进而写出其通项公式并判断单调性，最后判断{}()*12N n n n a a a n ++Î上各项的符号，即可确定前n 项和取得最大值时n 的值.【详解】()1194n n na n a +=-+①，则()12194n n n a na +++=+②，②－①得：()()12111n n n n n ana na n a ++++-=--，即122n n n a a a ++=+，则数列{}na 为等差数列，且194a =，由123273a a a ++=得：291a =，则公差2d a =13a -=-，所以973n a n =-，数列{}n a 单调递减，而321a =，332a =-，345a =-，......，设n n b a =12n n a a ++，当30n £时，0n b >，且318b =-，3210b =，当33n ³时，0n b <恒成立，显然31322b b +=，3132330b b b ++=，即数列{}()*12N n n n a a a n ++Î的前32项和最大.故选：C 8．D【分析】由题设两曲线任意一点切线斜率分别为()e 1m f m ¢=--、()32sin g n a n ¢=-，根据垂直关系及指数函数、正弦函数的性质确定()f m ¢、()g n ¢的范围，进而判断包含关系，即可求参数范围.【详解】由()e 1x f x ¢=--，则x m =的切线斜率为()e 11m f m ¢=--<-，答案第241页，共22页。
2023-2024学年江苏省溧阳市高二下学期期中考试数学试题
2023-2024学年江苏省溧阳市高二下学期期中考试数学试题1.若，则（）A．10B．8C．D．2.函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（）A．B．1C．2D．3.下列导数运算中错误的是（）A．B．C．D．4.若，且为直线l的一个方向向量，为平面的一个法向量，则m的值为（）．A．B．C．D．85.已知，则（）A．B．C．D．6.抛掷三枚硬币，若记出现“三个正面”“两个正面一个反面”“两个反面一个正面”分别为事件，，，则下列说法错误的是（）A．事件，，两两互斥B．C．D．事件，相互独立7.已知，则点到直线的距离为（）A．B．C．D．8.设定义在上，若对任意实数，存在实数，使得成立，则称满足“性质”，下列函数满足“性质”的有（）A．B．C．D．9.直线的方向向量为，两个平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（）A．若，则直线平面B．若，则平面平面C．若，则平面所成锐二面角的大小为D ．若，则直线与平面所成角的大小为10.已知函数，则（）A ．有两个极值点B ．有三个零点C ．点是曲线的对称中心D ．过点可作曲线的一条切线11.已知正方体的棱长为分别为线段中点，则下列说法正确的是（）A ．若，则的最大值为B ．若，则三棱锥的体积为1C ．若，则与平面所成角的最大值为D ．若，当最小时，则12.若函数的图象在点处的切线平行于轴，则______.13.已知随机事件，则______.______.14.等腰梯形中，，现沿直线把折起，使二面角为直二面角，则二面角的余弦值为______.15.如图，已知四棱锥的底面为正方形，平面，分别为线段，中点.(1)证明：共面；(2)求直线与平面所成角的大小.16.扇形的面积公式为为扇形的弧长，为扇形的半径）.已知某扇形的面积为，半径为，将此扇形卷成一个圆锥侧面，得到的圆锥的体积为.(1)试把表示为的函数，并写出的取值范围；(2)多大时，圆锥的体积最大？17.甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球.先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球.(1)求随机取到的是甲袋且从中取出的两球均为白球的概率；(2)求第一次取出的是白球的概率；(3)求第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率；18.图①展现的是一种被称为“正四角反棱柱”的多面体，其上下底面平行且均为正方形，它的俯视图是一个正八边形（图②）.已知此多面体上下底面的边长为2，高为.(1)判断直线与直线是否垂直，并说明理由；(2)求二面角的大小；(3)求点到平面的距离.19.已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若有两个零点.①求的取值范围；②若函数有两个极值点，求的取值范围.。
吉林省长春博硕学校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题
吉林省长春博硕学校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{|10}=--<，则正确的是( )A x xA．0AÍB．{0}AÎC．AÍÆÎD．{0}A 2．2021年初以来，5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了1月-5月以来5G手机的实际销量，如下表所示：表：四、解答题17．已知集合{}|11A x m x m =-££+，集合{}2|8200B x x x =--£.(1)若5m =，求A B Ç，A B È；(2)若x B Î是x A Î的必要条件，求实数m 的取值范围.18．甲、乙两名同学同时参加学校象棋兴趣小组，在一次比赛中，甲、乙两名同学与同一位象棋教练进行比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得2分；如果甲输而乙赢，则甲得－2分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分．设甲赢教练的概率为0.5，乙赢教练的概率为0.4．求：(1)在一轮比赛中，甲得分X 的分布列；(2)在两轮比赛中，甲得分Y 的分布列及均值．19．爱心蔬菜超市为确定某种蔬菜的日进货量，需了解日销量y （单位：kg ）随上市天数x 的变化规律.工作人员记录了该蔬菜上市10天来的日销量i y 与上市天数(1,2,,10)i x i =×××的对应数据，并对数据做了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量的值：()2P x=以及x的方差；(2)利用样本估计总体，果园老板提出两种方案供采购商参考.方案一：不分等级出售，价格为30元/箱；方案二：分等级出售，芒果价格如下表， 从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？数学成绩优秀数学成绩不优秀合计经常整理不经常整理合计(1)求图1中m的值；(2)根据图1、图2中的数据，补全上方22´列联表，并根据小概率值0.05a=的独立检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关因为存在10x £，20x >，使得()()12f x f x =，设()()12f x f x t ==，则e 2e t ££，且12e x t +=，所以，12e x t =-，所以，()()()222122e e e e x f x t t t =-=--³-，当且仅当e t =时，等号成立.故()12x f x 的最小值是2e -.故答案为：2e -.17．(1){}|26A B x x Ç=-££，{}|410A B x x È=-££；(2)3m £【分析】（1）代入若5m =再求解交集并集即可；（2）根据必要条件满足的集合包含关系，列出,A B 区间端点满足的不等式求解即可.【详解】（1）若5m =则{}|46A x x =-££，()(){}{}|1020|210B x x x x x =-+£=-££，故{}|26A B x x Ç=-££，{}|410A B x x È=-££（2）{}|210B x x =-££，若x B Î是x A Î的必要条件，则A B Í或A 为空集.当A B Í时1121110m mm m -£+ìï-£-íï+£î，解得03m ££；当A为空集时11->+，即0m mm<.综上有3m£18．(1)分布列见解析；(2)分布列见解析，0.4.【分析】（1）确定X的可能值并求出对应的概率，即可写出分布列.（2）首先确定Y的可能值并求出对应的概率，写出分布列，再利用分布列求均值.【详解】（1）由题设，X的可能取值为－2，0，2，()20.50.40.2P X=-=´=，()()()P X==´+-´-=，00.50.410.510.40.5()()P X==´-=．20.510.40.3X的概率分布为Y的概率分布为经常整理错题的有()´+=人，10040%20%60不经常整理错题的是1006040-=人，经常整理错题且成绩优秀的有5070%35´=人，则。
2022-2023学年江苏省常州市高二下学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省常州市高二下学期期中数学试题一、单选题1．已知（，且），则的值为（ ）2C 15n =N n ∈2n ≥2A n A ．25B ．30C ．42D ．56【答案】B【分析】根据排列数组合式公式求解即可.【详解】，解得或（舍去）.()21C 152n n n -==6n =5n =-.26A 6530=⨯=故选：B2．邮递员把两封信随机投入A ，B ，C 三个空邮箱中，则不同的投入方法共有（ ）A ．6种B ．8种C ．9种D ．10种【答案】C【分析】根据分步乘法计数原理求解即可.【详解】第一步先投一封信有3种不同的投法，第二步投剩余的一封信也有3种不同的投法，根据分步乘法计数原理可知，共有种不同的投法.339⨯=故选：C3．已知直线l 的一个方向向量，且直线l 过A (0，y ，3)和B (－1，2，z )两点，则y －z()2,1,3m =-等于（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【分析】根据求解即可.//m AB 【详解】由题知：，()1,2,3AB y z =---因为，所以，解得，//m AB 213123y z -==---33,22y z ==所以.0y z -=故选：A4．学校安排元旦晩会的4个舞蹈节目和2个音乐节目的演出顺序，要求2个音乐节目要连排，且都不能在第一个演出，则不同的排法种数是（ ）A ．96B ．144C ．192D ．240【答案】C【分析】按照捆绑法，结合排列数公式，即可求解.【详解】将2个音乐节目看成1个元素，有种方法，和4个舞蹈节目共看成5个元素，其中22A 2=2个音乐节目不排在首位，有4种方法，再全排列4个舞蹈节目，有种方法，所以共有44A 24=种方法.2424A 4A 192⨯⨯=故选：C5．下列说法正确的是（ ）A ．若向量、共线，则向量、所在的直线平行；a b a bB ．若向量、所在的直线是异面直线，则向量、一定不共线；a b a bC ．若直线l 的方向向量为，平面的法向量，则l ；()1,0,1e =α()1,0,1n =-//αD ．若、、是空间三个向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使a b cp (),,x y z .p xa yb zc =++ 【答案】B【分析】根据空间直线与直线和直线与平面的位置关系和空间向量基本定理依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若向量、共线，则向量、所在的直线平行或重合，故A 错误.a b a b对选项B ，因为向量、所在的直线是异面直线，所以向量、一定不共线，a b a b 故B 正确.对选项C ，因为无法判断直线是否在平面内，故C 错误.l α对选项D ，只有、、三个向量不共面时，才有，故D 错误.a b cp xa yb zc =++ 故选：B6．已知空间中三点，则点到直线的距离为（ ）()()()1,0,0,0,1,1,1,1,2A B C ----C ABA B C D 【答案】C【分析】根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解．【详解】因为，()()()1,0,0,0,1,1,1,1,2A B C ----所以，()()0,1,2,1,1,1AC AB =-=-则点到直线.CAB ==故选：C.7．已知两个随机变量X ，Y ，其中，（σ>0），若E (X )=E (Y )，且1~5,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭()2~,Y N μσ，则（ ）()10.3P Y <=()1P Y <-=A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.1【答案】A【分析】由二项分布期望公式求得，再根据正态分布的对称性及已知求()()1E X E Y μ===.()1P Y <-【详解】由题设，即，1()()515E X E Y ==⨯=1μ=又，故.()1(11)0.3P Y P Y <=-<<=()10.50.30.2P Y <-=-=故选：A8．在空间直角坐标系中，，则三棱锥内部整点(所有O xyz -()()()8,0,0,0,8,0,0,0,8A B C O ABC -坐标均为整数的点，不包括边界上的点)的个数为（ ）A ．35B ．36C ．84D ．21【答案】A【分析】首先求平面的一个法向量，并根据法向量确定三棱锥内部的点满足的条件，ABC 并结合隔板法，求方法种数.【详解】由条件可知，，，()8,8,0AB =-()8,0,8AC =-设平面的一个法向量，则ABC (),,n x y z =，令，则，故，880880AB n x y AC n x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 1x =1y z ==()1,1,1n =设是平面上的点，则，(),,P a b c ABC ()8,,AP a b c =-故，则，80AP n a b c ⋅=-++= 8a b c ++=不妨设三棱锥内部整数点为，则，且，，，则O ABC -(),,Q r s t *,,N r s t ∈1r ≥1s ≥1t ≥3r s t ++≥若时，则在平面上，8r s t ++=Q ABC 若，则在三棱锥的外部，8r s t ++>Q O ABC -所以，37r s t ≤++≤当，且时，*,N r s t n n ++=∈37n ≤≤将写成个1排成一列，利用隔板法将其隔成三部分，则结果的个数为的取值的方法个数，n n ,,r s t 显然有个方法，21C n -所有整数点的个数为.(),,Q r s t 2222223456C C C C C 35++++=故选：A二、多选题9．下列命题正确的是（ ）A ．若甲、乙两组数据的相关系数分别为0.66和，则乙组数据的线性相关性更强；0.85-B ．回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好；C ．对变量x 与y 的统计量来说，值越小，判断“x 与y 有关系”的把握性越大；2χ2χD ．对具有线性相关关系的变量x 、y ，有一组观测数据，其线性回归方程是()1,(1,2,,10)i x y i = ，且，则实数的值是.ˆ1y bx =+()123101231039x x x x y y y y ++++=++++= ˆb 79-【答案】ABD【分析】A.通过比较两数据的相关系数的绝对值可得该选项正确；B.残差平方和越小，拟合效果越好，所以该选项正确；C. 值越小，判断“x 与y 有关系”的把握性越小，所以该选项错误；D.求出2χ样本中心点，再求出，得该选项正确.(0.9,0.3)7ˆ9b=-【详解】A. 因为乙数据的相关系数的绝对值为，比甲数据的相关系数的绝对值0.66大 ，所0.85以乙组数据的线性相关性更强，所以该选项正确；B. 回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好，所以该选项正确；C. 对变量x 与y 的统计量来说，值越小，判断“x 与y 有关系”的把握性越小，所以该选项错2χ2χ误；D. 由题得，所以样本中心点满足方程，所以0.90.3x y ==，(0.9,0.3) ˆ1y bx =+，所以该选项正确.7ˆˆ0.30.91,9bb =⨯+∴=-故选：ABD 10．已知，则（ ）8280128()(2)f x x a a x a x a x =-=++++ A ．B ．01281a a a a +++⋅+=812383a a a a +++⋯+=C ．除以5所得的余数是1D ．(1)f -12382388a a a a ++++=- 【答案】ACD【分析】对于选项A ，通过赋值即可判断出结果的正误；对于选项B ，通过展开式的通项公式，1x =得到，再通过赋值即可判断出结果的正误；对于选项12381283a a a a a a a a -+++⋯-=++++ C ，通过，再利用二项展开式展开即可判断出结果的正误；对于选项D ，通过84(1)3(101)f -==-对等式两边同时求导，再进行赋值即可得出结果的正误.【详解】选项A ，因为，令，得到，所8280128(2)x a a x a x a x -=++++ 1x =01281a a a a +++⋅+=以选项A 正确；选项B ，因为二项展开式的通项公式为，8(2)x -()()()88188C 21C 208,N r rr rr r r r T x x r r --+=-=-≤≤∈由通项公式知，二项展开式中偶数项的系数为负数，所以8(2)x -，12381283a a a a a a a a -+++⋯-=++++ 由，令，得到，8280128(2)x a a x a x a x -=++++ 0x =802a =令，得到，=1x -8012833a a a a a ++--+= 所以，所以选项B 错误；88123823a a a a +++=-⋯+选项C ，因为，844413223312213444444(1)39(101)10C 10C 10C 10110(10C 10C 10C )1f -===-=-+-+=⨯-+-+所以除以5所得的余数是1，选项C 正确；(1)f -对于选项D ，因为，8280128(2)x a a x a x a x -=++++两边同时对求导，得到，x 77212388(2)238x a a x a x a x -⨯-=++++ 令，得到，所以选项D 正确.1x =12382388a a a a ++++=- 故选：ACD.11．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“第一次掷出A =B =的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则（ ）C =A ．A 与B 互斥B ．B 与C 相互独立C ．D ．A 与C 相互独立1()6P A B =【答案】BC【分析】由互斥事件的定义判断A ；由相互独立事件的定义判断B ，D ；由条件概率的计算公式判断C.【详解】解：对于A ，当事件为：“第一次出现1，第二次出现5”或“第一次出现3，第二次出现A 3”或“第一次出现5，第二次出1时”，与事件同时发生了，故不互斥，故错误；B ,A B 对于B ，因为，，，所以B 与C 相互31()62P B ==61()666P C ==⨯31()()()6612P BC P B P C ===⋅⨯独立，故正确；对于C ，因为事件同时发生即为“第一次出现1，第二次出现5”或“第一次出现3，第二次出现,A B 3”或“第一次出现5，第二次出1时”，所以，又因为，31()3612P AB ==1()2P B =所以，故正确；1()112()1()62P AB P A B P B ===对于D ，因为，，，，5()36P A =1()6P C =1()36P AC =()()()P AC P A P C ≠⋅所以A 与C 不相互独立，故错误.故选：BC ．12．在棱长为2的正方体中，下列选项正确的是（ ）1111ABCD A B C D -A ．若M ，N 分别为，的中点，直线平面；1BB CD //MN 11A DCB ．若，三棱锥的体积为定值；[]()10,1BP BC BB λλ=+∈1P A BC -C ．若､､分别为､､的中点，则存在实数､使得成立；E F G BC 1CC 1BB λμ1λμ=+ A G AF AED ．若，则异面直线BP 和所成角取值范围是.[]()10,1AP AD λλ=∈ 1C Dππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】BCD【分析】建立空间直角坐标系，用向量的方法即可判断A 、C 、D ，变换三棱锥的顶点和1P A BC -底面，用等积法可判断B.【详解】以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系：则，，，，，(0,0,0)A (2,0,1)M (1,2,0)N (2,0,0)B 1(0,2,2)D ，是平面的一个法向量，(1,2,1)MN =--1(2,2,2)BD =- 11A DC 因为，所以A 错误；140MN BD ⋅=≠若，则点在线段上，如图：[]()10,1BP BC BB λλ=+∈P 11B C则三棱锥的体积1P A BC -为一定值，故B 正确；111111142223323P A BC A BC PB P C V V S A B --==⋅=⨯⨯⨯⨯=以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系：则，，，，，(0,0,0)A (2,1,0)E (2,2,1)F (2,0,1)G 1(0,0,2)A ，，，(2,2,1)AF = (2,1,0)AE =1(2,0,1)A G =- 若存在实数､使得成立，λμ1λμ=+ A G AF AE 则有，(2,0,1)(2,2,1)(2,1,0)(22,2,)λμλμλμλ-=+=++所以有，解得，所以C 正确；222201λμλμλ+=⎧⎪+=⎨⎪=-⎩12λμ=-⎧⎨=⎩以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系：则，，，，，(2,0,0)A 1(0,0,2)D (0,0,0)D 1(0,2,2)C (2,2,0)B ，，1(2,0,2)AD =-1(0,2,2)DC = 若，得，则，[]()10,1AP AD λλ=∈ 22,0(,2)P λλ-(2,2,2)BP λλ=-- 设异面直线BP 和所成角为，则，1C Dθπ(0,2θ∈所以有，11cos BP DC BP DC θ⋅==当时，，此时异面直线BP 和所成角为；1λ=cos 0θ=1C Dπ2当时，令，则，1λ≠1x λ-=(0,1]x ∈cosθ==令，则，1tx=1t≥cosθ=因，所以当即时，，1t≥1t=0λ=cosθ此时此时异面直线BP和所成角为，故D正确.1C Dπ4故选：BCD.三、双空题13．随机变量的分布列如下表，则________ ；__________.X(21)E X-=(21)D X-=X012P0.3p0.3【答案】 1 2.4【分析】首先根据题意得到，从而得到，，再根据数学期望和方差的性0.4p=()1E X=()0.6D X=质求解即可.【详解】由题知：，，10.30.30.4p=--=()00.310.420.31E X=⨯+⨯+⨯=.()()()()222010.3110.4210.30.6D X=-⨯+-⨯+-⨯=，.()()21211E X E X-=-=()()214 2.4D X D X-==故答案为：，1 2.4四、填空题14．展开式中含项的系数为______．()521x y-+2x y【答案】－60【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】，()()552112x y x y -+=+-⎡⎤⎣⎦设该二项式的通项公式为，()()5155C 12C 2rrr r rr T x y x y -+=⋅⋅-=⋅-因为的次数为，所以令，2x y 33r =二项式的通项公式为，()32x y -()313C 2r r r r T x y '''-'+'=⋅⋅-令，1r '=所以项的系数为，2x y ()3153C C 260⋅⋅-=-故答案为：60-15．如图所示，某人从A 按最短路径走到B ，其中PQ 段道路施工，不能通行，问共有_____种不同的行走路线.【答案】52【分析】按照间接法，结合组合数公式，列式求解.【详解】从A 按最短路径走到B ，共有种方法，48C 70=其中从按最短路径走到P ，有种方法，从Q 按最短路径走到B ，A 24C 6=有种方法，所以走段，从A 按最短路径走到B ，有种方法，13C 3=PQ 6318⨯=所以不走，共有种不同的走法.PQ 701852-=故答案为：5216．一种糖果的包装纸由一个边长为6的正方形和2个等腰直角三角形组成（如图1），沿AD ，BC 将2个三角形折起到与平面ABCD 垂直（如图2），连接EF ，AE ，CF ，AC ，若点P 满足且，则的最小值为 ___________ .DP xDA yDC zDF =++1x y z ++=EP【答案】【分析】由向量满足条件可知是平面上的动点，转化为求到平面的距离，利用DP P ACF E ACF 补形及等体积法求解即可.【详解】因为点P 满足且，DP xDA yDC zDF =++1x y z ++=所以四点共面，即是平面上的动点，,,,A C F P P ACF 所以的最小值即为到平面的距离.EPE ACF 由题意，几何体可补成边长为6的正方体，如图，则可知，AF AC CF AE FE CE ======设到平面的距离为，E ACF h 则,143E ACF ACF E ABCV S h V V --=⋅⋅=-△正方体即，2311164666332h ⋅=-⨯⨯⨯⨯⨯解得，h =所以的最小值为EP故答案为：五、解答题17．给出下列条件:①若展开式前三项的二项式系数的和等于16；②若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为4:1.从中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答(注:若选择多个条件，按第一个解答计分)已知，___________.()*nx n N ⎛∈ ⎝(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中所有的有理项.【答案】(1)和4352T x =74254T x =(2)，，51T x =4352T x =35516T x =【分析】（1）无论选①还是选②，根据题设条件可求，从而可求二项式系数最大的项.5n =（2）利用二项展开式的通项公式可求展开式中所有的有理项.【详解】（1）二项展开式的通项公式为：.211C C ,0,1,2,,2rr r rr n n n r r n T x x r n --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 若选①，则由题得，012C C C 16n n n ++=∴，即，()11162n n n -++=2300n n +-=解得或(舍去)，∴.5n =6n =-5n =若选②，则由题得，∴，()221111C 22141C 22n n nn n n n n n n ----⎛⎫- ⎪⎝⎭==-=⎛⎫ ⎪⎝⎭5n =展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为，22443515C 22T x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，.7732345215C 24T x x⎛⎫== ⎪⎝⎭（2）由（1）可得二项展开式的通项公式为：.5521551C C ,0,1,2,,52rr r rr r r T x x r --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 当即时得展开式中的有理项，52r Z -∈0,2,4r =所以展开式中所有的有理项为:，，.51T x =5423522215C 22T x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭=5342545415C 216T x x -⎛⎫= ⎪=⎝⎭18．有甲、乙两只不透明的袋子，其中甲袋放有2个红球，3个白球，乙袋放有3个红球，2个白球，且所有球的大小和质地均相同.(1)从这10个球中随机取4个球，设事件A 为“取出的4个球中恰有2个红球，且这2个红球来自同一个袋子”，求事件A 发生的概率；(2)先从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，求从乙袋中取出的2个球均为红球的的概率.【答案】(1)；421(2).1142【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解；（2）记“从甲袋中取出2个红球”为事件，“从甲袋中取出2个白球”为事件，“从甲袋中取出1个1C 2C红球和1个白球”为事件，记“从乙袋中取出的2个球均为红球”为事件B ，再利用全概率公式求3C 解.【详解】（1）由题意可知，从这10个球中随机取4个球共有种选法，410C 210=事件A 的选法共有种，故.22222535C C C C 40+=()40421021P A ==所以事件A 发生的概率为.421（2）记“从甲袋中取出2个红球”为事件，“从甲袋中取出2个白球”为事件，“从甲袋中取出1个1C 2C红球和1个白球”为事件，记“从乙袋中取出的2个球均为红球”为事件B ，3C 显然，事件，，两两互斥，且++为“从甲袋中任取2个球”的样本空间，由全概率公1C 2C 3C 1C 2C 3C 式得：=.13()()()i i i P B P C P B C ==∑22211225333224222222575757C C C C C C C 5511C C C C C C 21042⨯+⨯+⨯==所以先从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的2个球均为红球的的概率为.114219．如图所示的几何体中，平面平面，，ABCDE DAB ⊥EAB AB AD AE ==22BC ==若为的中点，为的中点，.BE BD CB ==//,DA M CE N BE 3AF FD =(1)求证：平面；FN //MBD (2)求点到平面的距离；F MBD (3)求平面与平面所成角（锐角）的余弦值.MBD ABD 【答案】(1)证明见解析；(2)；13(3).13【分析】（1）证明平面，以点A 为原点，射线AE ，AB ，AD 分别为x ，y ，z 轴非负半轴AD ⊥EAB 建立空间直角坐标系，利用向量法证明平面；FN //MBD （2）利用向量法求点到平面的距离；F MBD （3）利用向量法求平面与平面所成角（锐角）的余弦值.MBD ABD【详解】（1）因为，，即有，2AB AD AE ===BE BD ==2228AB AD BD +==AD AB ⊥同理，，AE AB ⊥因为平面平面，平面平面，DAB ⊥EAB DAB ⋂EAB AB =又平面，因此，平面，AD ⊂DAB AD ⊥EAB 即AE ，AB ，AD 两两垂直，以点A 为原点，射线AE ，AB ，AD 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则，的中点，又，即(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,2,1),(1,1,0)A E B D C N CE 1(1,1,)2M 3AF FD =，3(0,0,2F 于是得，，，3(1,1,2FN =- 1(1,1,2BM =- (0,2,2)BD =-设平面的法向量，则，MBD (,,)n x y z = 102220n BM x y z n BD y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩令，得，2z =(1,2,2)n =因此，，即，平面，而平面，31112202FN n ⋅=⨯+⨯-⨯= FN n ⊥ //FN MBD FN ⊄MBD 所以平面.FN //MBD （2）由（1）知，，则点F 到平面的距离，1(0,0,)2DF =- MBD ||13||DF n n ⋅==所以点到平面的距离是.F MBD 13（3）由（1）知，平面的法向量，平面的一个法向量为，MBD (1,2,2)n =ABD (2,0,0)AE = 依题意，，||1|cos ,|3||||m AE m AE m AE ⋅〈〉===所以，平面与平面所成角（锐角）的余弦值为.MBD ABD 1320．某实验中学的暑期数学调研学习小组为调查本校学生暑假玩手机的情况，随机调查了位同100学月份玩手机的时间单位：小时，并将这个数据按玩手机的时间进行整理，得到下表：8（）100玩手机时间[015，）[1530，）[3045，）[4560，）[6075，）[7590，）[90+∞，）人数112282415137将月份玩手机时间为小时及以上者视为“手机自我管理不到位”，小时以下者视为“手机自我87575管理到位”.(1)请根据已知条件完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为“手机自我管理是否到位22⨯99%与性别有关”；手机自我管理到位手机自我管理不到位合计男生女生1240合计(2)学校体育老师从手机自我管理不到位的学生中抽取了2名男生和1名女生进行投篮训练，已知男生投篮进球的概率为，女生投篮进球的概率为，每人投篮一次，假设各人投篮相互独立，求32312人投篮进球总次数的分布列和数学期望.附录：，其中.()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++独立性检验临界值表：2χ20P χχ≥（）0.100.050.0100.001χ 2.706 3.841 6.63510.828【答案】(1)列联表见解析，没有(2)分布列见解析，116【分析】（1）根据已知条件完成列联表，利用表中数据求出观测值与临界值表进行比较即可求解；（2）根据已知条件求出随机变量的取值，利用概率的加法公式和乘法公式求出对应的概率，进X 而求出随机变量的分布列，结合随机变量的期望公式即可求解.X X 【详解】（1）列联表如下：手机自我管理到位手机自我管理不到位合计男生52860女生281240合计8020100的观测值，2χ222()100(5212828) 4.167 6.635()()()()60408020n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯所以没有99%的把握认为“手机自我管理是否到位与性别有关”.（2）设3人投篮进球总次数为，X 由题意知随机变量的可能取值分别为0，1，2，3；X 故，()211103218P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭，()2121111C (1)13232182253P X ⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯=⎪ ⨯⨯⎪⎝⎭⎝⎭， ()221222122142C 1C (1)323329P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-+⨯⨯-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22223C 32129P X ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎝⎭⨯⎭所以分布列如下表，X123P1185184929所以.15421101231818996EX =⨯+⨯+⨯+⨯=21．如图，圆锥SO ，S 为顶点，是底面的圆心，为底面直径，，圆锥高SO =6，点O AE AE AS =P 在高SO 上，是圆锥SO 底面的内接正三角形.ABC(1)若PO ，判断和平面是否垂直，并证明；PA PBC (2)点P 在高SO 上的动点，当和平面所成角的正弦值最大时，求三棱锥P-ABC 的体积.PE PBC 【答案】(1)平面，证明见解析PA ⊥PBC(2)【分析】（1）根据题意易证，，再根据线面垂直的判定即可证明平面.AP BP ⊥AP CP ⊥PA ⊥PBC （2）首先点为原点，平行于方向为x 轴，以方向为y 轴，以方向为z 轴，建立空间直O CB OE OS角坐标系，利用空间向量法和基本不等式得到当与平面所成角的正弦值最PO =PE PBC 大，再求三棱锥的体积即可.-P ABC 【详解】（1）因为，，所以是正三角形，则，AE AS =AS SE =ASE △π3SAO ∠=易知底面圆，而底面圆，所以，SO ⊥O AE ⊂O SO AE ⊥又在中，，所以，Rt AOS 6SO =AO ==因为是正三角形，所以，ABC 26AB AO ===且，，所以，，AP ==BP AP =222AP BP AB +=AP BP ⊥同理可证，AP CP ⊥又，平面，所以平面；BP PC P = ,BP PC ⊂PBC PA ⊥PBC （2）如图，因为，所以以点为原点，平行于方向为x 轴，以方向为y 轴，以AE BC ⊥O CB OE 方向为z 轴，建立以为原点的空间直角坐标系，OS O O xyz-设，||,(06)PO m m =≤≤则.(0,0,),(P m E B C -所以),),(),PE m PB m PC m =-=-=-- 设平面的法向量为，则，PBC (),,n x y z =·3z 0·30n PB x m n PC x mz ⎧=-=⎪⎨=-+-=⎪⎩ 令，则，故，0x=,y m z ==(0,n m →=设直线和平面所成的角为，PE PBC θ则sin θ==，13≤=当且仅当，即与平面所成角的正弦值最大，2236m m =PO m ==PE PBC 故.2111sin 60332ABC V S PO AB ∆=⋅=⨯⨯⨯= 22．从甲､乙､丙等5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.(1)记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列；X X (2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的n 概率为，,1,2,3,n p n =①直接写出的值；123p p p ，，②求与的关系式，并求.1n p +n p *()n N ∈n p *()n N ∈【答案】(1)分布列见解析(2)①，，；②；10p =212p =314p =111,1,2,322n n p p n +=-+=11(1)132n n -⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由离散型随机变量的分布列可解；（2）记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，由全概率公式可求nA n 再由数列知识，由递推公式求得通项公式.111,22n n p p +=-+【详解】（1）可能取值为，X 1,2,3；；()1232353110C C p X C ===()213235325C C p X C ===()3032351310C C p X C ===所以随机变量的分布列为X X123P31035110（2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且次传球后球在甲手中的概率为，n ,1,2,3,n p n = 则有10,p =2221,22p ==3321,24p ==记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，nA n 所以111n n n n n A A A A A +++=⋅+⋅()()()11111n n n n n n n n n p P A A A A P A A P A A +++++=⋅+⋅=⋅+⋅()()()()()()111110122n n n n n n n n n P A P A A P A P A A p p p ++=⋅+⋅=-⋅+⋅=-∣∣即，111,1,2,322n n p p n +=-+=所以，且1111323n n p p +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭11133p -=-所以数列表示以为首项，为公比的等比数列，13n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭13-12-所以所以1111332n n p -⎛⎫-=-⨯- ⎪⎝⎭1111111132332n n n p --⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯-+=--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦即次传球后球在甲手中的概率是.n 11(1)132n n -⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦。
上海市位育中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
上海市位育中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．直线10x +=的倾斜角为．2．方程221259x y m m +=-+表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是． 3．双曲线2238x y -=的两条渐近线夹角为．4．6x⎛ ⎝的二项展开式中常数项是. 5．已知双曲线C ：22197x y -=的左､右焦点分别为1F ，2F ，双曲线C 上有一点P ，若15PF =，则2PF =.6．为了研究小滑块在平面上的运动，测量得到如下一组数据：这组数据的线性回归方程经过点()4,a ，则=a ．7．已知随机变量()2~4,X N σ，且()20.3P X ≤=，则()6P X <=．8．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率为215，在下雨天里，刮风的概率为38，则既刮风又下雨的概率为． 9．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有种(用数字作答).10．已知实数,x y 满足y =24y x --的取值范围是． 11．已知点P 在圆22:1O x y +=上运动，若对任意点P ，在直线:40l x y +-=上均存在两点A ，B ，使得π2APB ∠≥恒成立，则线段AB 长度的最小值是． 12．设1F ，2F 是椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线2222222:1x y C a b -=（20a >，20b >）的公共焦点，曲线1C ，2C 在第一象限内交于点M ，1260F MF ∠=︒，若椭圆的离心率1e ⎫∈⎪⎪⎣⎭，则双曲线的离心率2e 的取值范围是．二、单选题13．为了评价某个电视栏目的改革效果，某机构在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算20.95χ≈，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）（附：()2 3.8410.05P χ≥≈）A ．有95%的人认为该电视栏目优秀B ．有95%的人认为该电视栏目是否优秀与改革有关系C ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为该电视栏目是否优秀与改革有关系D ．没有理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系14．直线()1:110l a x y -++=，()2:4210l x a y ++-=，则“2a =”是“12l l //”的（ ）条件A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 15．设01a <<，随机变量X 的分布是01111333a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则当a 在()0,1内增大时，（ ） A ．[]D X 增大B ．[]D X 减小C ．[]D X 先增大后减小 D ．[]D X 先减小后增大16．在平面直角坐标系中，当(,)P x y 不是原点时，定义P 的“伴随点”为2222(,)y x P x y x y -++'；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C '定义为曲线C 的“伴随曲线”，现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点A '，则点A '的“伴随点”是点A ；②若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线” 'C 关于y 轴对称；③单位圆的“伴随曲线”是它自身；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中真命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4三、解答题17．一个盒子中有大小、形状完全相同的m 个红球和6个黄球，从盒中每次随机取出一个球，记下颜色后放回，共取5次，设取到红球的个数为X ，若()72E X =，求m 的值．18．已知椭圆的焦点是()1F ，)2F ，长轴长是短轴长的2倍，求椭圆上的点到直线2380x y ++=距离的最大值． 19．已知双曲线22:14x C y -=，直线l 经过点3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，且与双曲线C 交于,M N 两点，线段MN 的垂直平分线过点()0,1，求直线l 的方程．20．如图，一个质点在随机外力的作用下，从数轴点1的位置出发，每隔1s 向左或向右移动一个单位，设每次向右移动的概率为(01)p p <<．(1)当12p =时，求5s 后质点移动到点0的位置的概率； (2)记3s 后质点的位置对应的数为X ，若随机变量X 的期望()0E X >，求p 的取值范围．21．已知椭圆22:12x C y +=(1)若双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的一条渐近线方程为y ，且与椭圆C 有公共焦点，求此双曲线的方程；(2)过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试问在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出T 的坐标，若不存在，说明理由．。
仙游一中2021-2022年度下学期期中考高二数学试卷含答案
仙游一中2022-2023年度下学期期中考高二年数学试题一，单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地．1．i 为虚数单位,若i 3)i 3(-=+z ,则=||z ()A ．1B ．2C ．3D ．22.某制药厂为了检验某种疫苗预防地作用,把1000名使用疫苗地人与另外1000名未使用疫苗地人一年中地记录作比较,提出假设0H ：“这种疫苗不能起到预防地作用”,利用22⨯列联表计算得2 3.918K ≈,经查对临界值表知()2 3.8410.05P K ≥≈.则下面结论中,正确地结论是（）A ．若某人未使用该疫苗,则他在一年中有95%地可能性生病B ．这种疫苗预防地有效率为95%C ．在犯错误地概率不超过5%地前提下认为“这种疫苗能起到预防地作用”D ．有95%地把握认为这种疫苗不能起到预防生病地作用3.已知随机变量X 地分布列表如下表,且随机变量23Y X =+,则Y 地期望是（）X-11P1213m A ．73B ．53C ．13D ．164.63x x ⎛- ⎝地展开式中常数项为（）A ．135-B ．135C ．15-D ．155.函数地图象如图所示,则不等式+3ʹ<0地解集为 A ．−∞,−3∪−1,1B ．−∞,−3C ．−∞,−1∪1,+∞D ．1,+∞6.在8张奖券中有一，二，三等奖各1张,其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同地获奖情况有（）种．A ．24B ．36C ．60D ．1087.若函数f (x )＝e x ﹣ax 2（a ∈R ）在（0,+∞）有两个不同地零点,则实数a 地取值范围是（）A ．（22,+∞）B ．（2,+∞）C ．（4,+∞）D ．（24,+∞）8.设F 为双曲线）＞,＞00(1:2222b a by a x C =-地右焦点,过点F 且斜率为-1地直线l 与双曲线C 地两款渐近线分别交于B A ,两点,若AF AB 3-=,则双曲线C 地离心率=e ()A.310 B.25C.5D.334二，多项选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出地选项中,有多项符合题目要求．全部选对地得5分,部分选对地得2分,有选错地得0分．9．某班级学生开展课外数学探究活动,将一杯冷水从冰箱中取出后静置,在25C o 地室温下测量水温(y 单位)C随时长x （单位：min ）地变化关系,在测量了15个数据后,依据这些实验数据()(),1,2,,15i i x y i =得到如下地散点图：现需要选择合适地回归方程进行回归思路,则依据散点图,合适地回归方程类型有（）A ．2125e c xy c -=-B ．1225y c x c =+C ．12125y c x c=-+D ．()1225y c x c =-+10．有关函数x xx f ln 1)(+=,下面表达正确地是（）A ．f （1）是f （x ）地极大值B ．函数y ＝f (x )﹣x 有且只有1个零点C ．f （x ）在（﹣∞,1）上单调递减D ．设g （x ）＝xf （x ）,则o 1)＜o p 11．已知数列{}n a 地前n 项和为2n 33S n n =-,则下面表达正确地是（）A ．342n a n=-B ．16S 为n S 地最小值C ．1216272a a a +++= D ．1230450a a a +++= 12．甲盒中有3个红球和2个白球,乙盒中有2个红球和3个白球．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒．用事件E 表示“从甲盒中取出地是红球”,用事件F 表示“从甲盒中取出地是白球”。
安徽省六安市裕安区新安中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题
安徽省六安市裕安区新安中学2022-2023学年高二下学期
期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
12．若函数()()()2ln 2121f x x x a x =++-+的图象上不存在互相垂直的切线，则实数a 的值可以是（ ）A ．
1
-B ．1C ．2D ．3
三、填空题
13．已知函数()f x 的导函数为()f x ¢，且满足()()21ln f x x f x ¢=-，则()1f ¢=________.
14．已知等比数列{}n a 满足25320a a +=，则数列{}n a 的通项公式可能是n a =_________.
（写出满足条件的一个通项公式即可）
15．在4月举行的高中学校篮球联赛中，8个篮球队中有2个强队，先任意将这8个队分成两个组（每组4个队）进行比赛，这两个强队被分在一个组内的分法有__________种．
16．若函数3y x ax =-+在[1,)+¥上是减函数，则a 的最大值是__________．
四、解答题
17．解方程：（1）2399x x C C -=；（2）288
6x x A A -=．
18．已知()()323,f x x ax bx a b =+++ÎR 的两个极值点分别为1-，2.(1)求a ，b 的值；
(2)求函数()f x 在区间[]22-,上的最值.19．已知7270127(12)x a a x a x a x -=+++¼¼+
（1）求7a ；（2）0246
a a a a +++
(1)向5个空格中分别放入0，1，2，3，4这。
福建省漳州市第一外国语学校(漳州八中)2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题
漳州八中2021-2022学年高二下期中考试卷数学试卷一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．下列函数的求导正确的是（）A ．()22xx'-=-B ．(sin )cos x x'=-C ．()1ln 33x x e e '+=+D ．()22ln x x '=2．抛掷一枚均匀的骰子，观察掷出的点数，若掷出的点数不超过3，则掷出的点数是奇数的概率为（）A ．13B ．23C ．12D ．143．在空间直角坐标系中，()1,2,1a =为直线l 的一个方向向量，()2,,4n t = 为平面α的一个法向量，且//l α，则t =（）A ．3B ．3-C ．1D ．1-4．已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是（）A ．[－1，1]B ．[－1，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，1]5．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则恰好取出2个红球的概率是()A ．3742B ．1742C ．1021D ．17216．郫都区高2019级理科学生参加“成都一诊”考试的数学成绩X 服从正态分布()295,N σ，下列结论中不正确的是（）（附：()0.68P X μσμσ-<<+≈，()220.95P X μσμσ-<<+≈，()330.99P X μσμσ-<<+≈）A ．σ越大，学生数学成绩在()90,100的概率就越大B ．当20σ=时，()751350.815P X <<≈C ．无论σ为何值，学生数学成绩大于95的概率为0.5D ．无论σ为何值，学生数学成绩在小于75与大于115的概率相等7．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是DD 1的中点，则（）A ．直线CE //平面A 1BDB ．CE ⊥BD 1C ．三棱锥C 1－B 1CE 的体积为16D ．直线B 1E 与平面CDD 1C 1所成的角正切值为38．设函数()ln f x x x =⋅，则关于x 的方程()0f x m -=的实数根的个数不可能为（）A ．4B ．3C ．2D ．1二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9．关于空间向量，以下说法正确的是（）A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面；B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则,,,P B A C 四点共面；C ．已知{},,a b c 是空间的一组基底，若m a c =+ ，则{},,a b m 也是空间的一组基底；D ．若0a b ⋅>，则,a b 是锐角.10．已知随机变量1~(4,)4X B ，则下列命题正确的有（）A ．()2E X =B ．3()4D X =C ．若甲投篮命中率为14，则X 可以表示甲连续投篮4次的命中次数D ．若一个不透明盒子装有大小相同，质地均匀的10个绿球和30个红球，则X 可以表示从该盒子中不放回地随机抽取4个球后抽到的绿球个数11．已知函数2()e x f x x =-，则下列说法正确的是（）A ．()f x 在R 上单调递增B ．()f x 在(,ln 2)-∞上单调递减C ．若函数2()ln y f x x x =-+在0x x =处取得最小值，则0(0,1)x ∈D ．(0,)∀∈+∞x ，2()ln 2f x x x >-+12．对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数()3211133212x x f x =-+，则以下说法正确的是（）A ．函数()f x 对称中心1,02⎛⎫⎪⎝⎭B ．129899100100100100f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值是99C ．函数()f x 对称中心1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．129899100100100100f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值是1三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量ξ的期望为15，则()35E ξ+=___________.14．当[1,1]x ∈-时，函数2()e xx f x =的最小值为___________，最大值为___________.15．曲线2x 1y x 2-=+在点()1,3--处的切线方程为__________．16．已知正方形的边长为4，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以EF 为棱将正方形ABCD 折成如图所示的60°的二面角，点M 在线段AB 上.直线DE 与平面EMC 所成的角为60°，则面MCE 与面CEF 夹角余弦值为___________.四､解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知()3223f x x ax bx a =+++（1a >）在=1x -时有极值0.（1）求常数a ，b 的值；（2）求函数()y f x =在区间[]4,0-上的值域.18．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB ==点E是棱PB 的中点．（Ⅰ）求直线AD 与平面PBC 的距离；（Ⅱ）若AD =A EC D --的平面角的余弦值．19．为降低雾霾等恶劣气候对居民的影响，某公司研发了一种新型防雾霾产品．每一台新产品在进入市场前都必须进行两种不同的检测，只有两种检测都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该新型防雾霾产品第一种检测不合格的概率为16，第二种检测不合格的概率为110，两种检测是否合格相互独立．（1）求每台新型防雾霾产品不能销售的概率；（2）如果产品可以销售，则每台产品可获利40元；如果产品不能销售，则每台产品亏损80元（即获利80-元）．现有该新型防雾霾产品3台，随机变量X 表示这3台产品的获利，求X 的分布列及数学期望．20．为促进物资流通，改善出行条件，驻某县扶贫工作组引入资金新建了一条从该县到市区的快速道路.该县脱贫后，工作组为了解该快速道路的交通通行状况，调查了行经该道路的各种类别的机动车共1000辆，对行车速度进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图：（1）试根据频率分布直方图，求样本中的这1000辆机动车的平均车速(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；（2）设该公路上机动车的行车速度v 服从正态分布()2,N μσ，其中μ，2σ分别取自该调查样本中机动车的平均车速和车速的方差2s (经计算2210.25s =).（i ）请估计该公路上10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数(精确到个位)：（ii ）现从经过该公路的机动车中随机抽取10辆，设车速低于85千米/时的车辆数为X ，求X 的数学期望.附注：若()2~,N ξμσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+=，()220.9545P μσξμσ-<≤+=，()330.9973P μσξμσ-<≤+=.参考数据：229841=.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，//AB CD ，且2CD =，1AB =，BC =1PA =，AB BC ⊥，N 为PD 的中点.(1)求证：AN ∥平面PBC ；(2)在线段PD 上是否存在一点M ，使得直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值是13.若存在，求出DMDP的值，若不存在，说明理由.22．已知()()()2ln 21f x x mx m x m =---∈R ，()212xe g x x =--.（1）讨论()f x 单调性；（2）当0m >时，若对于任意1>0x ，总存在[]22,1x ∈--，使得()()12f x g x ≤，求m 的取值范围.。
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高二数学下学期中段考试试题2008年4月28日参考公式：a y bx =- 121()()ˆ()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑ ˆˆˆˆybx a =+ 一、选择题: 每小题4分，共40分1、曲线y =x 3在点P （2，8）处的切线方程为 ( )A.y =6x -12B.y =12x -16C.y =8x +10D.y =12x -32 2、复数（2321+3)i 的值是（ ） A. －i B.i C.－1 D.13、将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（ ）A 81B 64C 12D 14 4、下面表可以作为离散型随机变量的分布列. ( )D.5、在十进制中01232004410010010210=⨯+⨯+⨯+⨯，那么在5进制中2004折合成十进制为（ ） A.29 B. 254 C. 602 D. 20046、人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，第3次拨号才接通电话的概率（ ）A.110 B. 19 C. 18 D. 177、下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据y 关于x 的线性回归方程是（ ）A. 0.60.3y x =+B. 0.650.35y x =+C. 0.70.35y x =+D. 0.750.4y x =+8、在310(1)(1)x x -+的展开中，5x 的系数是（ ） A. 297- B. 252- C. 297 D. 207 9、已知n 为正偶数，用数学归纳法证明 )214121(2114131211nn n n +++++=-++-+-时，若已假设2(≥=k k n 为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（ ）A ．1+=k n 时等式成立B ．2+=k n 时等式成立C ．22+=k n 时等式成立D ．)2(2+=k n 时等式成立10、曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴围成的面积是（ ） A.4 B.52C.3D.2二、填空题：每小题4分，共16分.11、已知1＋i 3=⋅z (1－i 3)，则复数z =12、在50件产品中有4件是次品，从中任意抽了5件，至少有3件是次品的抽法共有______________种（用数字作答）13、函数S =e t 2-sin3t ,那么t s '为14、甲、乙两名工人加工同一种零件，每人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ξ，，ξ与的分布列如下：甲 乙试对这两名工人的技术水平进行比较： 更稳定。
2007－2008下学期高二数学中段考试试题4分，共16分.、 12、、 14、 5个题，共44分 、（本题8分）复数z 满足(1+2i )z +(3－10i )z =4－34i ，求z 、（本题8分）高二年级数学课外小组40人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同3名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？17. （本题8分）已知函数f (x )=－x 3＋3x 2＋9x ＋a , （I ）求f (x )的单调递减区间；（II ）若f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．18、（本题10分）（1）在n（1+x ）的展开式中，若第3项与第6项系数相等，且n 等于多少？ （2）n⎛⎝的展开式奇数项的二项式系数之和为128，求展开式中二项式系数最大的项 19、（本题10分）某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次），设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为19，110，111，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中： （Ⅰ）获赔的概率；（Ⅱ）获赔金额ξ的分布列与期望．20、数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意*N n ∈，总有2,,n n n a S a 成等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且2ln nn n a x b =，求证:对任意实数(]e x ,1∈（e 是常数，e ＝2.71828⋅⋅⋅）和任意正整数n ，总有n T < 2；(3) 正数数列{}n c 中，())(,*11N n c a n n n ∈=++.求数列{}n c 中的最大项.2007－2008下学期高二数学中段考试试题答案B C B A B A C D B C 11、i 2321+-12、32414464464186C C C C += 13、222sin 33cos3t t e t e t ---+ 14、乙 15、解：设z =x +yi (x , y ∈R )，则(1+2i )(x +yi )+(3－10i )(x －yi ) =4－34i ，整理得(4x －12y )－(8x +2y )i =4－34i .∴ 41248234x y x y -=⎧⎨+=⎩, 解得41x y =⎧⎨=⎩, ∴ z =4+i .16、①是排列问题，共有2401560A =种选法；②是组合问题，共有3409880C =种选法17、解：（I ） f ’(x )＝－3x 2＋6x ＋9．令f ‘(x )<0，解得x <－1或x >3，所以函数f (x )的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．（II ）因为f (－2)＝8＋12－18＋a =2＋a ，f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ，所以f (2)>f (－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x )>0，所以f (x )在[－1, 2]上单调递增，又由于f (x )在[－2，－1]上单调递减，因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a ＝20，解得 a ＝－2．故f (x )=－x 3＋3x 2＋9x －2，因此f (－1)＝1＋3－9－2＝－7， 即函数f (x )在区间[－2，2]上的最小值为－7．18、①由已知得257n n C C n =⇒=② 由已知得1351...128,2128,8n n n n C C C n -+++===，而展开式中二项式系数最大项是444418(70T C x +==19、解：设k A 表示第k 辆车在一年内发生此种事故，123k =，，．由题意知1A ，2A ，3A 独立，且11()9P A =，21()10P A =，31()11P A =． （Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为123123891031()1()()()19101111P A A A P A P A P A -=-=-⨯⨯=．（Ⅱ）ξ的所有可能值为0，9000，18000，27000．12312389108(0)()()()()9101111P P A A A P A P A P A ξ====⨯⨯=，123123123(9000)()()()P P A A A P A A A P A A A ξ==++123123123()()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++ 19108110891910119101191011=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2421199045==， 123123123(18000)()()()P P A A A P A A A P A A A ξ==++ 123123123()()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++ 1110191811910119101191011=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 273990110==， 123123(27000)()()()()P P A A A P A P A P A ξ=== 111191011990=⨯⨯=． 综上知，ξ的分布列为由ξ811310900018000270001145110990E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯ 299002718.1811=≈（元）． （1）解：由已知：对于*N n ∈，总有22n n n S a a =+ ①成立 ∴21112n n n S a a ---=+ （n ≥ 2）② ①--②得21122----+=n n n n n a a a a a ∴()()111----+=+n n n n n n a a a a a a∵1,-n n a a 均为正数，∴11=--n n a a （n ≥ 2） ∴数列{}n a 是公差为1的等差数列又n=1时，21112S a a =+， 解得1a =1 ∴n a n =.(*N n ∈)（2）证明：∵对任意实数(]e x ,1∈和任意正整数n ，总有2ln nn n a x b =≤21n. ∴()n n nT n 113212*********22-++⋅+⋅+<+++≤21211131212111<-=--++-+-+=nn n (3)解：由已知 221212=⇒==c c a ，54545434343232355,244,33=⇒====⇒===⇒==c c a c c a c c a易得 12234,...c c c c c <>>>猜想 n ≥2 时，{}n c 是递减数列.令()()22ln 1ln 1,ln x xx xx x x f x x x f -=-⋅='=则 ∵当().00ln 1,1ln 3<'<->≥x f x x x ，即则时， ∴在[)+∞,3内()x f 为单调递减函数.由()11ln ln 11++==++n n c c a n n n n 知.∴n ≥2 时, {}n c ln 是递减数列.即{}n c 是递减数列.又12c c < , ∴数列{}n c 中的最大项为323=c .。