高等数学方法——中值定理ppt
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微分中值定理【高等数学PPT课件】
可导，且
证：设辅助函数
显然 在 因此至少存在
上满足罗尔定理条件, 使得
推广： 存在
使
例3. 若
可导, 试证在其两个零点间一定有 的零点.
的零点. 的零点.
(2) 提示: 欲证:
使
只要证
亦即
二、拉格朗日中值定理
满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在区间 ( a , b ) 内可导
证: 在 I 上任取两点
日中值公式 , 得
由 的任意性知, 在 I 上为常数 .
例1. 证明等式 证: 设
由推论可知
(常数)
令x=0,得
又 经验: 欲证
故所证等式在定义域
上成立.
时
只需证在 I 上
自证:
例2. 证明不等式 证: 设 中值定理条件, 因此应有
即 因为
故 推论2: 若函数f 和g 均在区间上可导,且
证: M 和最小值 m .
若M=m,则 因此
故在[ a , b ]上取得最大值
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,
不妨设
则至少存在一点
使
则由费马引理得
注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如,
2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为 在 ( a , b ) 内可导, 且
至少存在一点
使
证: 问题转化为证
作辅助函数
显然 ,
在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 由罗尔定理知至少存在一点
思路: 利用逆向思维找即出定一理个结满论足成罗立尔.定证理毕条件的函数
拉格朗日中值定理的有限增量形式:
高等数学 第3章 第一节 中值定理
6 6
（函数
即
6
,
y
5
6
ln sin x
是 y
是初等函数， 且当
x
6
ln sin x 定义域内的一部分；
,
5
6
时，cossixn
y'
sin x
x
0,
cot x.)
且ln s in
lnsin 5
ln 1 .
6
62
令 y' cos x cot x 0, sin x
得 x , 5 .
F(b) F(a)
( x) 满足罗尔定理的全部条件，且：
'(x) f '(x) f (b) f (a) F '(x)
F(b) F(a)
Y F , f Fb, f b
C•
•B
由罗尔定理，至少存在一点 ∈（a，b） ，
即：
使
f
'( )
'( ) 0,
f (b) f (a) F '( ) 0
即 1、 2、 3都是方程 f 'x 0 的根。 注意到 f ' x 0 为三次方程， 它最多有三个根。
我们已经找到它的三个实根
1、 2、 3 ,
所以这三个根就是方程
f 'x 0 的全部根。
14
例3 证明当x 0时， x ln1 x x
1 x
证 设f x ln1 x, 显然，函数 f x 在 0, x 上满足
f (b) f (a)
O a
bx
结论等价于： f f b f a
ba
或： f f b f a 0
ba
AB的方程为：
（函数
即
6
,
y
5
6
ln sin x
是 y
是初等函数， 且当
x
6
ln sin x 定义域内的一部分；
,
5
6
时，cossixn
y'
sin x
x
0,
cot x.)
且ln s in
lnsin 5
ln 1 .
6
62
令 y' cos x cot x 0, sin x
得 x , 5 .
F(b) F(a)
( x) 满足罗尔定理的全部条件，且：
'(x) f '(x) f (b) f (a) F '(x)
F(b) F(a)
Y F , f Fb, f b
C•
•B
由罗尔定理，至少存在一点 ∈（a，b） ，
即：
使
f
'( )
'( ) 0,
f (b) f (a) F '( ) 0
即 1、 2、 3都是方程 f 'x 0 的根。 注意到 f ' x 0 为三次方程， 它最多有三个根。
我们已经找到它的三个实根
1、 2、 3 ,
所以这三个根就是方程
f 'x 0 的全部根。
14
例3 证明当x 0时， x ln1 x x
1 x
证 设f x ln1 x, 显然，函数 f x 在 0, x 上满足
f (b) f (a)
O a
bx
结论等价于： f f b f a
ba
或： f f b f a 0
ba
AB的方程为：
高数中值定理
令y f g 取对数
0型
f g f 1g
导数的应用
单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数 图形的描绘; 曲率;求根方法.
高等数学（XAUAT）
第三章 中值定理与导数的应用
1. 中值定理 2. 常用麦克劳林公式 3. 洛必达法则 4. 函数的单调性、凹凸性、极值与拐点 5. 函数图形性质的讨论 6. 判定极值的充分条件 7. 最值问题 8. 典型例题
单调性定理 设函数y f ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，那么
(1) 如果在(a, b)内f ( x) 0，则函数y f ( x)在[a, b]上单调增加 (2) 如果在(a, b)内f ( x) 0，则函数y f ( x)在[a, b]上单调减少
高等数学（XAUAT）
o( x 2n2 )
k0
(2k 1)!
cos x
n
( 1) k
x 2k
o( x 2n1 )
k0
(2k )!
ln(1 x) n (1)k1 x k o( x n )
k 1
k
1
n
x k o( x n )
1 x k0
(1
x)
n k0
k
x
k
o( x n )
k
(
1)(
k!
n
1)
(2)
如
果f
(
x0
)
0，
则f
(
x
)在x
取
0
极
大
值
高等数学（XAUAT）
7. 最值问题
求最值的步骤：
1. 建立目标函数 2. 求最值可疑点：驻点、不可导点、边界点 3. 确定最值点：
0型
f g f 1g
导数的应用
单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数 图形的描绘; 曲率;求根方法.
高等数学（XAUAT）
第三章 中值定理与导数的应用
1. 中值定理 2. 常用麦克劳林公式 3. 洛必达法则 4. 函数的单调性、凹凸性、极值与拐点 5. 函数图形性质的讨论 6. 判定极值的充分条件 7. 最值问题 8. 典型例题
单调性定理 设函数y f ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，那么
(1) 如果在(a, b)内f ( x) 0，则函数y f ( x)在[a, b]上单调增加 (2) 如果在(a, b)内f ( x) 0，则函数y f ( x)在[a, b]上单调减少
高等数学（XAUAT）
o( x 2n2 )
k0
(2k 1)!
cos x
n
( 1) k
x 2k
o( x 2n1 )
k0
(2k )!
ln(1 x) n (1)k1 x k o( x n )
k 1
k
1
n
x k o( x n )
1 x k0
(1
x)
n k0
k
x
k
o( x n )
k
(
1)(
k!
n
1)
(2)
如
果f
(
x0
)
0，
则f
(
x
)在x
取
0
极
大
值
高等数学（XAUAT）
7. 最值问题
求最值的步骤：
1. 建立目标函数 2. 求最值可疑点：驻点、不可导点、边界点 3. 确定最值点：
高等数学6讲中值定理
第六讲 中值定理一、罗尔(Rolle)定理1、引理(费马引理) 设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内有定义,若()f x 在点0x 可导,且0()x U x ∀∈有0()()f x f x ≤ (或0()()f x f x ≥).则0()0f x '=.2、定理(罗尔定理) 若函数()f x 满足:(1)在闭区间[,]a b 上连续; (2)在开区间(,)a b 内可导; (3)()()=f a f b , 则至少存在一点(,)∈a b ξ,使()0'=f ξ3、几何意义：例1 验证函数3()3=-f x x x在[内至少存在一点ξ,使得()0'=f ξ,并求出ξ的具体位置例 2 设,,a b c 是任意实数,证明32432ax bx cx a b c ++=++在(0,1)内至少有一个实根.二、拉格朗日(Lagrange)中值定理1、定理(拉格朗日中值定理) 如果函数()f x 满足：(1)在闭区间[,]a b 上连续； (2)在开区间(,)a b 内可导,则至少存在一点(,)∈a b ξ,使得： ()()()-'=-f b f a f b a ξ. 2、几何意义：例3 证明不等式ln --<<b a b b a b a a (0)<<a b . 3. 两个重要推论推论 1 如果函数()f x 在区间(,)a b 内可导,则()f x 在(,)a b 内恒等于常数的充要条件是()0'≡f x .推论2 如果函数()f x 、()g x 在区间(,)a b 内可导,且对任意的(,)∈x a b 有()()''=f x g x ,则在区间(,)a b 内()f x 与()g x 只差一个常数C ,即()()=+f x g x C例4 试证明恒等式:arctan arctan ()2x x e e x π-+=-∞<<+∞课堂练习1. 利用微分中值定理证明下列不等式: (1)sin sin b a b a -≤-;(2)1(0)x x x e xe x <-<>.2. 证明恒等式: arcsin arccos (11)2x x x π+=-≤≤.3. 设()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(1)0f =,证明存在一点(0,1)ξ∈,使 ()()0f f ξξξ'+=.。
中值定理与导数的应用(高等数学)省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
函数旳极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值旳点称为极值点.
定义 使导数为零的点(即方程f ( x) 0的实根)叫 做函数f ( x)的驻点.
定理(必要条件) 设 f ( x) 在点x0 处具有导数,且 在 x0处取得极值,那末必定 f '( x0 ) 0.
注意：可导函数 f ( x) 的极值点必定是它的驻 点, 但函数的驻点却不一定 是极值点.
2、罗必塔法则
(1). 0 型及 型未定式 0
定义 这种在一定条件下经过分子分母分别求导再 求极限来拟定未定式旳值旳措施称为罗必塔法则.
(2). 0 , , 00,1 , 0型未定式
关键:将其他类型未定式化为罗必塔法则可处理 旳类型 ( 0 ), ( ) .
0
定理 设(1)当x 0时,函数 f ( x) 及 F ( x) 都趋于零; (2) 在 a 点的某领域内(点 a 本身可以除外 ), f ( x) 及 F ( x) 都存在且 F ( x) 0; (3) lim f ( x) 存在(或为无穷大);
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导
(3)在开区间 ( a , b ) 内F(x) 0
至少存在一点
(a,b) , 使
f (b) f (a) F (b) F (a)
f ( ) . F( )
注意：若令F(x)=x，则柯西中值定理变为拉氏中值 定理，即拉
0
原式
lim
x
1
1
x 1 x2
2
lim
x
1
x
2
x
2
1.
例8
求
lim
x0
tan x x2 tan
x x
.
解
定义 使导数为零的点(即方程f ( x) 0的实根)叫 做函数f ( x)的驻点.
定理(必要条件) 设 f ( x) 在点x0 处具有导数,且 在 x0处取得极值,那末必定 f '( x0 ) 0.
注意：可导函数 f ( x) 的极值点必定是它的驻 点, 但函数的驻点却不一定 是极值点.
2、罗必塔法则
(1). 0 型及 型未定式 0
定义 这种在一定条件下经过分子分母分别求导再 求极限来拟定未定式旳值旳措施称为罗必塔法则.
(2). 0 , , 00,1 , 0型未定式
关键:将其他类型未定式化为罗必塔法则可处理 旳类型 ( 0 ), ( ) .
0
定理 设(1)当x 0时,函数 f ( x) 及 F ( x) 都趋于零; (2) 在 a 点的某领域内(点 a 本身可以除外 ), f ( x) 及 F ( x) 都存在且 F ( x) 0; (3) lim f ( x) 存在(或为无穷大);
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导
(3)在开区间 ( a , b ) 内F(x) 0
至少存在一点
(a,b) , 使
f (b) f (a) F (b) F (a)
f ( ) . F( )
注意：若令F(x)=x，则柯西中值定理变为拉氏中值 定理，即拉
0
原式
lim
x
1
1
x 1 x2
2
lim
x
1
x
2
x
2
1.
例8
求
lim
x0
tan x x2 tan
x x
.
解
《高等数学(上册)》课件 第三章
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
例7
求
ln x
lim
x
xn
(n 0)．
解 此题属于“ ”型未定式，应用洛必达法则有
1
xl im ln xnxxl im nxxn1
1 lim
xnxn
0
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
在使用洛必达法则时，应注意如下几点：
0
0
lim f ( x ) g ( x )
lim f ( x ) g (x)
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
高等数学
推论2 如果对(a,b)内的任意x，均有f ’(x)= g ’(x) ，那么 在(a,b)内f(x)与g(x)之间只差一个常数，即f(x)= g(x) +C〔 C 为 常数〕．
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
例1 函数f(x)=1－x2在区间[－1,2]上是否满足拉格朗日 中值定理条件？假设满足，找出点．
解 函数f(x)=1－x2在区间[－1,2]上连续，在(－1,2)上可
导，因此，满足拉格朗日定理的条件，即至少存在一点
ξ ，使
高等数学第三章第一节中值定理课件.ppt
及 满足 :
(1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导
(3)在开区间 ( a , b ) 内 至少存在一点
使
f (b) f (a) F (b) F (a)
f ( ) . F( )
分析: F(b) F(a) F()(b a) 0 a b
要证 f (b) f (a) F( ) f ( ) 0
且 x0 I , 使 f (x0 ) C0.
自证: arctan x arccot x , x (, )
2
例3. 证明不等式 x ln(1 x) x (x 0). 1 x
证: 设 f (t) ln(1 t) ,
中值定理条件, 因此应有
即 因为
故
三、柯西(Cauchy)中值定理
即
2. 设 f (x) 0 , f (0) 0 证明对任意 x1 0, x2 0 有
f (x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) 证：不妨设 0 x1 x2
f (x1 x2) f (x2) f (x1)
f (x1 x2) f (x2) f (x1) f (0)
上面两式相比即得结论. 错!
柯西定理的几何意义:
弦的斜率 切线斜率
注意:
x F (t)
y
f
(t)
d y f (t) d x F(t)
y
f (b)
f (a)
o F(a)F( )
F (b) x
例4. 设
至少存在一点
使
证: 结论可变形为
证明
设 F (x) x2, 则 f (x), F(x) 在 [0, 1] 上满足柯西中值 定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 , 使
(1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导
(3)在开区间 ( a , b ) 内 至少存在一点
使
f (b) f (a) F (b) F (a)
f ( ) . F( )
分析: F(b) F(a) F()(b a) 0 a b
要证 f (b) f (a) F( ) f ( ) 0
且 x0 I , 使 f (x0 ) C0.
自证: arctan x arccot x , x (, )
2
例3. 证明不等式 x ln(1 x) x (x 0). 1 x
证: 设 f (t) ln(1 t) ,
中值定理条件, 因此应有
即 因为
故
三、柯西(Cauchy)中值定理
即
2. 设 f (x) 0 , f (0) 0 证明对任意 x1 0, x2 0 有
f (x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) 证：不妨设 0 x1 x2
f (x1 x2) f (x2) f (x1)
f (x1 x2) f (x2) f (x1) f (0)
上面两式相比即得结论. 错!
柯西定理的几何意义:
弦的斜率 切线斜率
注意:
x F (t)
y
f
(t)
d y f (t) d x F(t)
y
f (b)
f (a)
o F(a)F( )
F (b) x
例4. 设
至少存在一点
使
证: 结论可变形为
证明
设 F (x) x2, 则 f (x), F(x) 在 [0, 1] 上满足柯西中值 定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 , 使
经典高等数学课件D3-1微分中值定理
在 x0 , x1 之间至少存在一点 , 使 f ( ) 0.
矛盾, 故假设不真! 步骤： 1)证根的存在性；2)证根的唯一性. 证毕
9
例2. 证: 欲证结论只需证
证明至少存在
设F ( x ) f ( x ) x 2 [ f (1) f (0)] 则F ( x )在[0，上满足罗尔定理的条件, 1] 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 , 使 F ( ) 0 F ( x ) f ( x ) 2 x[ f (1) f (0)] F ( ) f ( ) 2 [ f (1) f (0)] 即 f ( ) 2 [ f (1) f (0)]
2
, x ( , )
17
x 例5. 证明不等式 ln(1 x ) x ( x 0). 1 x 证: 设 f ( t ) ln(1 t ) ,
因此应有 即
经验3：利用中值定理证明不等式的步骤:
设辅助函数 ( x ) 1 1 选择在哪个区间上使用拉格朗日中值定理. 1 1 1 x , 1 1 x 1 根据 a<ξ< b 的关系,证明出不等式.
x0
b x
证毕
3
费马(1601 – 1665)
法国数学家, 他是一位律师, 数学
只是他的业余爱好.
览群书并善于思考, 重大贡献. 的费马大定理:
他兴趣广泛, 博
在数学上有许多
他特别爱好数论, 他提出
" 当 n 2时, 方程 x n y n z n 无整数解 "
至今尚未得到普遍的证明. 他还是微积分学的先驱 , 费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中 提炼出来的.
§4-1：中值定理
f (b) f (a) f ( ). 【注】 (1)结论亦可写成 ba
(2)与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b).
几何解释：
在曲线弧 AB 上至少有 一点 C , 在该点处的切 线平行于弦 AB. 另见P82： “局部与整体”的关系
A
y
C
y f ( x)
B
D
o a
费马定理：如果x0 是函数 f ( x ) 的极值点，并且 f ( x ) 该点可导，则
f ( x0 ) 0
定义2：使得导数f ( x) 为零的点，称为函数 f ( x ) 的驻点或稳定点。
f ( x0 ) 0是 f ( x) 在点 x0 取得极值的必要条件，即 由费马定理可知：
可导函数的极值点一定是驻点，但是驻点却不一定是极值点。
设 f (t ) sin t 2 t cos t sin t cos t (t tan t ) , 则当0 t 时, f (t ) 0 t 2 t2 t2
因此f (t )在（0， ）内严格单调减少即对 . 0 t ，有 2 2 sin t 2 2 2 0 1 , 即 t sin t t 亦即当0 x 时, sin x x t 2 【证毕】
f ( x ) f ( ) f ( ) lim 0; x 0 x f ( x ) f ( ) f ( ) lim 0; x 0 x
f ( )存在,
f ( ) f ( ).源自 只有 f ( ) 0.
证明参见《高等数学》，此略。
小
结
罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；
Rolle 定理
高教社2024高等数学第五版教学课件-3.1 微分中值定理与洛必达法则
() = 时的特例.所以柯西中值定理又称为广义中值定理.
二
洛必达法则
1.未定式
当 → 0 （→ ∞ ） 若两个函数()与()都趋于零或者
()
都趋于无穷大，则极限
可能存在，也可能不存在.
()
→0
这种极限叫做未定式
通常把
0
∞
并简记为“ ”型或“ ”型．例如，
0
−
′ − ′()
显然 如果取() = 那么() − () = − ′ () = 1 从而柯西中值公
式就可以写成
() − () = ′ ()( − )
( < < ) .
这样就变成拉格朗日中值公式了，因此拉格朗日中值定理是柯西中值定理在取
′ () ≡ 0.
若 ≠ 由于() = ()，则最大值和最小值至少有一个在区间内部取
得，不妨设有一点 ∈ (, )使() = (如图3—1)．从而有
−
−
→
≥0
−
+
−
→
≤0
−′ = −
+′
=
故 ′ = 0.
→0
1
2
∞
这是1 型未定式,( )
1
2
+ ( ) =
→0
1
2
2
→0+
=
=
(
−
→0+ 2
1
)2
1
2
−
=
= .
2
,
0
0
∞
∞
本节的定理只能用于 或 型的函数的极限,对其他未定型必须先化为两种类
二
洛必达法则
1.未定式
当 → 0 （→ ∞ ） 若两个函数()与()都趋于零或者
()
都趋于无穷大，则极限
可能存在，也可能不存在.
()
→0
这种极限叫做未定式
通常把
0
∞
并简记为“ ”型或“ ”型．例如，
0
−
′ − ′()
显然 如果取() = 那么() − () = − ′ () = 1 从而柯西中值公
式就可以写成
() − () = ′ ()( − )
( < < ) .
这样就变成拉格朗日中值公式了，因此拉格朗日中值定理是柯西中值定理在取
′ () ≡ 0.
若 ≠ 由于() = ()，则最大值和最小值至少有一个在区间内部取
得，不妨设有一点 ∈ (, )使() = (如图3—1)．从而有
−
−
→
≥0
−
+
−
→
≤0
−′ = −
+′
=
故 ′ = 0.
→0
1
2
∞
这是1 型未定式,( )
1
2
+ ( ) =
→0
1
2
2
→0+
=
=
(
−
→0+ 2
1
)2
1
2
−
=
= .
2
,
0
0
∞
∞
本节的定理只能用于 或 型的函数的极限,对其他未定型必须先化为两种类
高等数学 第一节 微分中值定理
f ( x )
1 1 x
2
1 1 x
2
0
在 ( 1, 1 ) 内成立 .
所以 f ( x ) 在 ( 1, 1 ) 内取常数 c .
又 f (0) arcsin 0 arccos0 0 , 所以 c . 2 2 2 又 f ( 1) , 2 2 f ( 1) 0 . 2 2
2 2 为求 , 需解方程 cos x 2 . 1 sin x 2
9
设 y x, 2 y y 2 sin cos cos x sin y 2 2 cot y 2 . 则 2 2 1 sin x 1 cos y 2 sin 2 y 2 y tan 1 , y 2 arc tan 1 , 2 2 2 x y 2 arc tan 1 . 2 2 2 0 2 1 1 , 0 arctan 1 , 2 4 x 2 arc tan 1 0 , . 2 2 2 因此 , 取 2 arc tan 1 0 , . 2 2 2 ( ) ( 0) ( ) 2 确能使 ) (0) 成立 . 10 ( ) ( 2
使
或
y f (b) f (a ) f ( ) , ba f (b) f (a ) f ( ) (b a ) .
f (b) f (a ) 注 . 1. 弦的斜率 k . ba
2 . 若令 f (a ) f (b) ,
o
a
b
xБайду номын сангаас
高等数学 上、下册3_1 中值定理
中值定理的条件，求. 解 由题设知，拉格朗日中值定理
中，b 2, a 0， f (2) 8, f (0) 0, f (x) 2x 2
故由拉格朗日中值定理得
8 0 (2 2)2
则
10, 2
例 3 证明： 当 x 0时，
x ln(1 x) x 1 x
导利，用满辅足助罗函尔数定理(x)的及三罗个尔条定件理，可即以可证利明用拉 (格x)朗证日明中拉值格定朗
日理中. 值定理. 证明详见主教材.
类似罗尔定理的物理意义，可以思考拉格朗日中值 定理的物理背景. 如果一辆汽车从甲地开往乙作变速直 线运动，其运动规律(即位置函数) s = s (t), 当这辆汽车 从时刻T0运动到时刻T1时，平均速度为
可导，但 f (1) f (1) ，不满足条件（1），可知不存在
(1,1)，使 f ( ) 0.
定理的条件是充分的，即在特殊情况虽所给函数罗 尔定理中三条件都不满足也可能在 (a, b) 内存在这样一
点，使 f ( ) 0.
例如函数
(x 1)2 1,0 x 3 f (x)
先看一下定理的几何意义，如把
y
（1）式改写成
f (b) f (a) f ( )
C
B
b a
A
由图 3-2 看出， f (b) f (a) 为弦 AB
ba
的斜率，而 f ( )为曲线在点 C 处的曲 O a
bx
线斜率，因此拉格朗日中值定理的几何
图3-2
意义是：
如果连续曲线 y f (x) 的弧 AB 上除了端点外处处具 有不垂直与 x 轴的切线，那么这弧上至少有一点 C，使 得曲线在 C 点处的切线平行于弦 AB.
中，b 2, a 0， f (2) 8, f (0) 0, f (x) 2x 2
故由拉格朗日中值定理得
8 0 (2 2)2
则
10, 2
例 3 证明： 当 x 0时，
x ln(1 x) x 1 x
导利，用满辅足助罗函尔数定理(x)的及三罗个尔条定件理，可即以可证利明用拉 (格x)朗证日明中拉值格定朗
日理中. 值定理. 证明详见主教材.
类似罗尔定理的物理意义，可以思考拉格朗日中值 定理的物理背景. 如果一辆汽车从甲地开往乙作变速直 线运动，其运动规律(即位置函数) s = s (t), 当这辆汽车 从时刻T0运动到时刻T1时，平均速度为
可导，但 f (1) f (1) ，不满足条件（1），可知不存在
(1,1)，使 f ( ) 0.
定理的条件是充分的，即在特殊情况虽所给函数罗 尔定理中三条件都不满足也可能在 (a, b) 内存在这样一
点，使 f ( ) 0.
例如函数
(x 1)2 1,0 x 3 f (x)
先看一下定理的几何意义，如把
y
（1）式改写成
f (b) f (a) f ( )
C
B
b a
A
由图 3-2 看出， f (b) f (a) 为弦 AB
ba
的斜率，而 f ( )为曲线在点 C 处的曲 O a
bx
线斜率，因此拉格朗日中值定理的几何
图3-2
意义是：
如果连续曲线 y f (x) 的弧 AB 上除了端点外处处具 有不垂直与 x 轴的切线，那么这弧上至少有一点 C，使 得曲线在 C 点处的切线平行于弦 AB.
高等数学上3.1中值定理.ppt
即ln(1 x) xf ( ), (0 x)
又 f ( x) 1 , 1 x
ln(1 x) x ,
1
又0 x 1 1 1 x
1 1 1,
1 x 1
x x x, 1 x 1
即 x ln(1 x) x. 1 x
证毕
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结束
[x0, x0 x] (a,b), 上的拉格朗日定理，
零点定理 用不上!
证明：设F(x) 4ax3 3bx2 2cx a b c F( x) ax4 bx3 cx2 (a b c)x
?!
F(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导, F(0) F(1) 0,
由Rolle定理知，至少 (0，1),使F( ) 0,
即: 4a 3 3b 2 2c a b c 0.
k过M或D点红线 ,
X F(x)
C
Y f ( x)
M
B
在曲线弧AB上至少有一点 A
N
C(F ( ), f ( )),在该点处的
切线平行于弦AB.
o F(a) F(1) F(x)
D
F (2 )F (b)
X
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结束
柯西（Cauchy）中值定理 若函数 f ( x )及 F ( x )满足：
例2. 证明方程
正实根 .
有且仅有一个小于1 的
证: 1) 存在性 .
存在 x0 (0,1),
使
f ( x ) 0, 0
2) 唯一性 .
假设另有
使f ( x ) 0, 1
f ( x)在以 x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 ,
在 x0 , x1 之间 至少存在一点
高等数学《中值定理-泰勒》课件
3x 4 2
1
3 4
x
2
1
1 2
(
3 4
x)
21!
1 2
(
1 2
1)
(
3 4
x)2
o(
x2
)
2
3 4
x
1 4
9 16
x2
o( x2 )
4 3x
2
3 4
x
1 4
196
x2
o( x2 )
原式
lim
x0
1 2
9 16
x2
o(
x2
)
x2
9 32
例7 证明
证明
1
1 x (1 x)2
1 x 1 1 (1 1)x2 2 2! 2 2
使其精确到0.005,试确定 x 的适用范围.
解 近似公式的误差
R3(x)
x4 cos( x)
4!
x4 24
令
x 4 0.005
24
解得 x 0.588
即当 x 0.588 时,由给定的近似公式计算的结果
能准确到 0.005 .
例6 求
用洛必塔法则
解 用泰勒公式将分子展到 x2 项,由于 不方便 !
由f（x）、Pn（x）的性质知，Rn（x）在（a ，b）内
有直至（n+1）阶的导数，且有
Rn(n1) (x) f (n1) (x)
而 Rn (x0) Rn(x0) Rn(n) (x0) 0
对于函数Rn（x）与（x－x0）n+1在以 x0、x 为端 点的区间上，应用柯西中值定理，则有
பைடு நூலகம்(x
x
x0
n1
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辅助函数法 逆向分析
例如, 证明拉格朗日定理 : f (b) f (a) f ( )(b a)
要构造满足罗尔定理条件的辅助函数 .
方法1. 直观分析 由图可知 , 设辅助函数
y f (x)
y
F(x) f (x) f (b) f (a) x C ba
(C 为任意常数 )
即
x2
sin
1 x
(
2
sin
1
cos
1
)
x,
(0, x)
cos
1
2
sin
1
x
sin
1 x
当
x
0
时
0 ,
因此由上式得
cos
1
0.
问是否可由此得出
lim
x0
cos
1 x
0
?
不能 ! 因为 (x) 是依赖于 x 的一个特殊的函数.
x 0表示 x 从右侧以任意方式趋于 0 .
证： f (x) 0, f (x) 单调递增，
(2007 考研）
f (1) f (2) , f (2) f (1) f (1) 0 , 1 (1, 2) f (x) f (1) 0 , x 1 f (n) f (2) f (2)(n 2) f ( ) (n 2)2 (2,n)
f (b) g(b)
h(x)
f (a) g(a) h(a)
f (b) g (b) h(b)
f (x) g(x) h(x)
显然 F(x) 在[a , b] 上连续 , 在 (a , b)内可导, 且
F(a) F(b) 0, 因此,由罗尔定理知至少存在一点
gf ((aa())a
h(a)
,
bgf)((,bb使))
1 2
f ()
(1 x)2
1 2
f ( ) x2
(1 x)2 x2 1 2 x(1 x) 1, x [0, 1]
例6. 设函数 f (x)在(0,)上具有二阶导数，且满足 f (x) 0, f (1) f (2), 证明序列{ f (n)}发散.
g(a) h(a)
g(b) h(b)
f ( )
f (a) h(a)
f (b) h(b)
g( )
f (a) g(a)
f (b) g(b)
h( )
利用逆向思维设辅助函数
F(x)
g(a) h(a)
g(b) h(b)
f (x)
f (a) h(a)
f (b) h(b)
g(x)
f (a) g(a)
得
f (x) f (x0) f ( )(x x0)
( 界于 x0 与x 之间)
f (x) f (x0) f ( )(x x0)
f (x0) f ( ) x x0 f (x0) M (b a)
令 K f (x0) M (b a), 则对任意 x (a ,b),
在区间 [1, 2] 上满足拉格朗日定理
条件, 则中值 _3__145__ .
2) 设
方程
有 3 个根 , 它们分别在区间 (1, 2), (2, 3), (3, 4) 上.
例2. 思考: 在
上对函数
应用拉格朗日中值定理得
f (x) f (0) f ( )(x 0), (0, x)
g(b) g(a) 原函数法 F(x) f (x) f (b) f (a) g( x)
g(b) g(a)
(3) 中值定理的条件是充分的, 但非必要. 因此 可适当减弱. (如p85例13)
设 在 内可导,且 f (a 0) f (b 0),
则至少存在一点
使
证:
设辅助函数
证：逆向分析做辅助函数
设辅助函数 (x) xn f (x) 显然 (x) 在 [0,1] 上满足罗尔定理条件, 因此至少存在 (0,1) , 使得
( ) n n1 f ( ) n f ( ) 0
即
例2. 设函数 f (x)在 [0,1] 上二阶可导, 且
若取 h(x) 1, g(x) x , 即为拉格朗日中值定理;
若取 h(x) 1, g(x) 0, 即为柯西中值定理;
( 自己验证 )
2. 微分中值定理的主要应用 (1) 研究函数或导数的性态 (2) 证明恒等式或不等式 (3) 证明有关中值问题的结论
3. 中值定理的主要解题方法
2! f (2) f (2)(n 2) n 故序列 { f (n)} 发散.
第六讲(一元微分学之二)
微分中值定理
及其应用
2. 证明有关中值问题的结论
例1 设 f (x) 在 [0,1] 连续，(0,1) 可导，且 f (1) 0 ,
求证，存在 (0,1),使
例3. 当 x 0 时, 试证
(p76例2)
x 1 x 1
( 1 (x) 1 )
2 x (x) 4
2
证: 设 f (t) t , 当 x 0 时, f (t) 在[x , x 1] 上
满足拉氏中值定理条件, 因此有
x 1 x 1
(0 (x) 1)
分析: n
在f n结1(论 )中f (换 )
f (1为
x),得f
n
(
)
f
(1
)
0
n f (x) f 因(x) f
n (ff)((1f1(1xx))
积分
) 0,
所nfln以n (fx()xnf)f(f1(()xl)n) f
2 x (x)
解出 (x) 1 1 ( x(x 1) x ) , 则 x 0 时
42
(x) 1 2x 1 1 1
2 2 x(x 1)
2
x
1 2
1 0
(x
1 2
)
2
1 4
(x) 1 1 ( x(x 1) x ) , (x) 0
内可导,
且
但当
时
求证对任意
自然数 n , 必有 (0, 1) , 使 n f ( ) f (1 ) f ( ) f (1 )
证: 两边积分设辅助函数 F(x) f n(x) f (1 x) 显然 F (x) 在 [0,1] 上满足罗尔定理条件, 因此必有
(0, 1) , 使 F( ) 0, 即
第五讲(一元微分学之二)
微分中值定理
及其应用
第二章第二节
微分中值定理
一. 方法指导
1. 微分中值定理的理解及它们之间的关系
(1) 几个中值定理的关系
罗尔定理 f (a) f (b) 拉格朗日中值定理
f ( ) 0
yF (x) y xf (x) f (a) f (b)
柯o 西a 中值b定x理
oa b x
y
x C f (b) f (a) ba
方法2. 逆向分析 要证 即证
F(x) f (x) f (b) f (a) ba
原函数法 F(x) f (x) f (b) f (a) x
ba 辅助函数
同样, 柯西中值定理要证
即证 设 F(x) f (x) f (b) f (a) g(x)
罗分尔析定: 理在条结件论,中将故必 存换在为
x
,得(
,1) ,
使
F (
)
0
即有f (x) f (x)
2
f1(x)
积分
21f(l(n)1,fx()x2)(f(,x1))2lnC((10,1)x) ln
C
例3. 设函数
在 上连续, 在
(4) 若已知条件或结论中含高阶导数 , 多考虑用 泰勒公式 , 有时也可考虑对导数用中值定理 .
(5) 若结论为恒等式 , 先证变式导数为 0 , 再利用 特殊点定常数 .
(6) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的 技巧.
二. 实例分析 1.对微分中值定理的理解
例1. 填空题 1) 函数
42
又因 (0) 1
4
() lim
11(
x 4 2
x(x 1) x )
1 1 lim
x
1
4 2 x x(x 1) x 2
及 (x) 在 [0, ) 单调递增 , 于是 1 (x) 1 .
4
2
说明: 中值定理只告诉位于区间内的中值存在 , 一般 不能确定其值 , 此例也只给出一个最好的上下界 .
第六讲(一元微分学之二)
微分中值定理
及其应用
微分中值定理的主要应用 (1) 研究函数或导数的性态 (2) 证明恒等式或不等式 (3) 证明有关中值问题的结论
例4. 设函数 在 内可导, 且
证明 在
内有界. (p77例3)
证: 取点 x0 (a ,b), 再取异于 的点 x (a ,b),
对 f (x)在以x0 , x 为端点的区间上用拉氏中值定理
F(x)
f f
(a 0), (x) ,
xa a xb
f (b 0) , x b
显然 在
上连续, 在
内可导, 由罗尔
定理可知 , 存在一点
使 F( ) 0 , 即
f ( ) 0 .
(4) 中值定理的统一表达式
例如, 证明拉格朗日定理 : f (b) f (a) f ( )(b a)
要构造满足罗尔定理条件的辅助函数 .
方法1. 直观分析 由图可知 , 设辅助函数
y f (x)
y
F(x) f (x) f (b) f (a) x C ba
(C 为任意常数 )
即
x2
sin
1 x
(
2
sin
1
cos
1
)
x,
(0, x)
cos
1
2
sin
1
x
sin
1 x
当
x
0
时
0 ,
因此由上式得
cos
1
0.
问是否可由此得出
lim
x0
cos
1 x
0
?
不能 ! 因为 (x) 是依赖于 x 的一个特殊的函数.
x 0表示 x 从右侧以任意方式趋于 0 .
证： f (x) 0, f (x) 单调递增，
(2007 考研）
f (1) f (2) , f (2) f (1) f (1) 0 , 1 (1, 2) f (x) f (1) 0 , x 1 f (n) f (2) f (2)(n 2) f ( ) (n 2)2 (2,n)
f (b) g(b)
h(x)
f (a) g(a) h(a)
f (b) g (b) h(b)
f (x) g(x) h(x)
显然 F(x) 在[a , b] 上连续 , 在 (a , b)内可导, 且
F(a) F(b) 0, 因此,由罗尔定理知至少存在一点
gf ((aa())a
h(a)
,
bgf)((,bb使))
1 2
f ()
(1 x)2
1 2
f ( ) x2
(1 x)2 x2 1 2 x(1 x) 1, x [0, 1]
例6. 设函数 f (x)在(0,)上具有二阶导数，且满足 f (x) 0, f (1) f (2), 证明序列{ f (n)}发散.
g(a) h(a)
g(b) h(b)
f ( )
f (a) h(a)
f (b) h(b)
g( )
f (a) g(a)
f (b) g(b)
h( )
利用逆向思维设辅助函数
F(x)
g(a) h(a)
g(b) h(b)
f (x)
f (a) h(a)
f (b) h(b)
g(x)
f (a) g(a)
得
f (x) f (x0) f ( )(x x0)
( 界于 x0 与x 之间)
f (x) f (x0) f ( )(x x0)
f (x0) f ( ) x x0 f (x0) M (b a)
令 K f (x0) M (b a), 则对任意 x (a ,b),
在区间 [1, 2] 上满足拉格朗日定理
条件, 则中值 _3__145__ .
2) 设
方程
有 3 个根 , 它们分别在区间 (1, 2), (2, 3), (3, 4) 上.
例2. 思考: 在
上对函数
应用拉格朗日中值定理得
f (x) f (0) f ( )(x 0), (0, x)
g(b) g(a) 原函数法 F(x) f (x) f (b) f (a) g( x)
g(b) g(a)
(3) 中值定理的条件是充分的, 但非必要. 因此 可适当减弱. (如p85例13)
设 在 内可导,且 f (a 0) f (b 0),
则至少存在一点
使
证:
设辅助函数
证：逆向分析做辅助函数
设辅助函数 (x) xn f (x) 显然 (x) 在 [0,1] 上满足罗尔定理条件, 因此至少存在 (0,1) , 使得
( ) n n1 f ( ) n f ( ) 0
即
例2. 设函数 f (x)在 [0,1] 上二阶可导, 且
若取 h(x) 1, g(x) x , 即为拉格朗日中值定理;
若取 h(x) 1, g(x) 0, 即为柯西中值定理;
( 自己验证 )
2. 微分中值定理的主要应用 (1) 研究函数或导数的性态 (2) 证明恒等式或不等式 (3) 证明有关中值问题的结论
3. 中值定理的主要解题方法
2! f (2) f (2)(n 2) n 故序列 { f (n)} 发散.
第六讲(一元微分学之二)
微分中值定理
及其应用
2. 证明有关中值问题的结论
例1 设 f (x) 在 [0,1] 连续，(0,1) 可导，且 f (1) 0 ,
求证，存在 (0,1),使
例3. 当 x 0 时, 试证
(p76例2)
x 1 x 1
( 1 (x) 1 )
2 x (x) 4
2
证: 设 f (t) t , 当 x 0 时, f (t) 在[x , x 1] 上
满足拉氏中值定理条件, 因此有
x 1 x 1
(0 (x) 1)
分析: n
在f n结1(论 )中f (换 )
f (1为
x),得f
n
(
)
f
(1
)
0
n f (x) f 因(x) f
n (ff)((1f1(1xx))
积分
) 0,
所nfln以n (fx()xnf)f(f1(()xl)n) f
2 x (x)
解出 (x) 1 1 ( x(x 1) x ) , 则 x 0 时
42
(x) 1 2x 1 1 1
2 2 x(x 1)
2
x
1 2
1 0
(x
1 2
)
2
1 4
(x) 1 1 ( x(x 1) x ) , (x) 0
内可导,
且
但当
时
求证对任意
自然数 n , 必有 (0, 1) , 使 n f ( ) f (1 ) f ( ) f (1 )
证: 两边积分设辅助函数 F(x) f n(x) f (1 x) 显然 F (x) 在 [0,1] 上满足罗尔定理条件, 因此必有
(0, 1) , 使 F( ) 0, 即
第五讲(一元微分学之二)
微分中值定理
及其应用
第二章第二节
微分中值定理
一. 方法指导
1. 微分中值定理的理解及它们之间的关系
(1) 几个中值定理的关系
罗尔定理 f (a) f (b) 拉格朗日中值定理
f ( ) 0
yF (x) y xf (x) f (a) f (b)
柯o 西a 中值b定x理
oa b x
y
x C f (b) f (a) ba
方法2. 逆向分析 要证 即证
F(x) f (x) f (b) f (a) ba
原函数法 F(x) f (x) f (b) f (a) x
ba 辅助函数
同样, 柯西中值定理要证
即证 设 F(x) f (x) f (b) f (a) g(x)
罗分尔析定: 理在条结件论,中将故必 存换在为
x
,得(
,1) ,
使
F (
)
0
即有f (x) f (x)
2
f1(x)
积分
21f(l(n)1,fx()x2)(f(,x1))2lnC((10,1)x) ln
C
例3. 设函数
在 上连续, 在
(4) 若已知条件或结论中含高阶导数 , 多考虑用 泰勒公式 , 有时也可考虑对导数用中值定理 .
(5) 若结论为恒等式 , 先证变式导数为 0 , 再利用 特殊点定常数 .
(6) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的 技巧.
二. 实例分析 1.对微分中值定理的理解
例1. 填空题 1) 函数
42
又因 (0) 1
4
() lim
11(
x 4 2
x(x 1) x )
1 1 lim
x
1
4 2 x x(x 1) x 2
及 (x) 在 [0, ) 单调递增 , 于是 1 (x) 1 .
4
2
说明: 中值定理只告诉位于区间内的中值存在 , 一般 不能确定其值 , 此例也只给出一个最好的上下界 .
第六讲(一元微分学之二)
微分中值定理
及其应用
微分中值定理的主要应用 (1) 研究函数或导数的性态 (2) 证明恒等式或不等式 (3) 证明有关中值问题的结论
例4. 设函数 在 内可导, 且
证明 在
内有界. (p77例3)
证: 取点 x0 (a ,b), 再取异于 的点 x (a ,b),
对 f (x)在以x0 , x 为端点的区间上用拉氏中值定理
F(x)
f f
(a 0), (x) ,
xa a xb
f (b 0) , x b
显然 在
上连续, 在
内可导, 由罗尔
定理可知 , 存在一点
使 F( ) 0 , 即
f ( ) 0 .
(4) 中值定理的统一表达式