实数指数幂及运算

实数指数幂及运算

教学目标：掌握实数指数幂的拓展过程过程中的不变性质。 掌握根式和有理数指数幂的意义

注意指数幂的拓展过程中的底数的约束条件

教学重点：实数指数幂的运算和底数的限制条件

教学难点：实数指数幂的运算

教学过程：

一、正整数指数幂（复习）：

1．()n a n N +∈的意义： n n

a a a a

=⋅ 2．()n a n N +∈的运算：

（1）m n m n a a a +⋅= （2）()m n m n a a ⋅=

（3）(,0)m

m n n a a m n a a

-=>≠ （4）()m m m a b a b ⋅=⋅ 二、负整数指数幂（拓展）：

规定： 01(0)a a =≠ 1(0)n n

a a a -=≠ 三、分数指数：

1．复习：

问题： 2x a = 3

x a = 则x 的取值是什么？

2．拓展：

如果存在实数x ，使得n x a =(,1,)a R n n N +∈>∈，则x 叫做a 的n 次方根； 求a 的n 次方根，叫做把a 开n 次方，称作开方运算，

正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根。

n 叫做根指数。

3．根式性质：

(1) (1,)n a n n N +=>∈

(2)

a n a n ⎧=⎨-⎩，当为正奇数时，当为正偶数时 4．分数指数幂（有理指数幂）：

（1）正分数指数幂：

1

0)n a a =>

0,,,)m n m a a n m N n

+=>∈且为既约分数

（2）负分数指数幂：1

(0,,,)m

n m

n m a a n m N n

a -+=>∈且为既约分数 5、有理指数幂运算法则：0,0a

b >>，,αβ是有理数

(1) a a a αβαβ+⋅= (2) ()a a αβαβ⋅= (3) ()a b a b ααα⋅=⋅

四、无理指数幂：

1、0,0a b >>，,αβ是无理数

(1) a a a αβαβ+⋅= (2) ()a a αβαβ⋅= (3) ()a b a b ααα⋅=⋅

2、实数指数幂： 0,0a b >>，,αβ是实数

(1) a a a αβαβ+⋅= (2) ()a a αβαβ⋅= (3) ()a b a b ααα⋅=⋅

五、典型例题：

例1、（整数指数幂）化简下列各式：

（1）()03.14π- （2）512-⎛⎫- ⎪⎝⎭ （3）()42x - （4

）

))109

22 （5）()32212339a b a b a b -----⋅⋅- （6）()()()()33334411a a a a a a a a ----+-++-

练习：

一组：

（1）57x x （2）232(2)a b --- （3）23(2)()x x -- （4）13

()()a

ab b - （5）2222(2)()a a a a ---+÷- （6）2222()()x

y x y ---÷- 二组：

（1）若,m n Z ∈，满足5m a =，15n b

=，则25m n -= . （2

）已知21n a =，*

()n N ∈，则33n n

n n a a a a ---=- （3）已知11a a --=，则66a a -+的值为

例2、（根式）求下列各式的值：

（1

（2

（3

2

（4

)a b <

练习：求下列各式的值

（1）（2

（3） 63⋅ （4）若42x a =，求x x

x x a a a a

--+-

例3(3a =-a 的取值范围

=，求实数a 的取值范围

例4．（有理指数幂）计算下列各式：

（1）1

020.5231(2)2(2)(0.01)54

--+⋅- （2）20.520371037(2)0.1(2)392748

π--++-+ （3）141030.753

327(0.064)()[(2)]16|0.01|8-

----+-+--

（4）2

110323(3)(0.002)2)8----+-+ 练习：计算下列各式：

（1）0212

121236253

----⨯⨯⨯-； （2）；

（3）1

2113142[(1](111212---+÷ （4）21

1

1333324()3

a b a b ---÷- 例5．（1）已知0x >，0y >，化简y x

y x x y y x

（2）已知22()x x a -+=常数，求88x x -+的值

练习： （1）设0x >，0y >y y x x --=，求y y x x -+的值

小结：

1、根式和根式的性质：

2、指数幂的拓展：

3、实数指数幂的运算律：

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