信息论与编码(傅祖云_讲义)第三章(谷风校园)
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信息论与编码答案傅祖芸
信息论与编码答案傅祖芸【篇一：信息论与编码课程设计报告】t>设计题目：统计信源熵与香农编码专业班级学号学生姓名指导教师教师评分2014年3月24日目录一、设计任务与要求................................................. 2 二、设计思路....................................................... 2 三、设计流程图..................................................... 3 四、程序运行及结果................................................. 5 五、心得体会....................................................... 6 参考文献 .......................................................... 6 附录：源程序.. (7)一、设计任务与要求1、统计信源熵要求：统计任意文本文件中各字符（不区分大小写）数量，计算字符概率，并计算信源熵。
2、香农编码要求：任意输入消息概率，利用香农编码方法进行编码，并计算信源熵和编码效率。
二、设计思路1、统计信源熵：统计信源熵就是对一篇英文文章（英文字母数为n），通过对其中的a,b,c,d/a,b,c,d.....(不区分大小写)统计每个字母的个数n，有这个公式p=n/n可得每个字母的概率，最后又信源熵计算公式h（x）=??p(xi)logp(xi)i?1n，可计算出信源熵h,所以整体步骤就是先统计出英文段落的总字符数，在统计每个字符的个数，即每遇到同一个字符就++1，直到算出每个字符的个数，进而算出每个字符的概率，再由信源熵计算公式计算出信源熵。
2、香农编码：香农编码主要通过一系列步骤支出平均码长与信源之间的关系，同时使平均码长达到极限值，即选择的每个码字的长度ki满足下式：i(xi)?ki?i(xi)?1,?i具体步骤如下：a、将信源消息符号按其出现的概率大小依次排列为：p1?p2?......?pn b、确定满足下列不等式的整数码长ki为：?lb(pi)?ki??lb(pi)?1 c、为了编成唯一可译码，计算第i个消息的累加概率：pi??p(ak)k?1i?1d、将累加概率pi变换成二进制数。
精品课课件信息论与编码(全套讲义)
拓展应用领域 信息论的应用领域将进一步拓展，如生物信息学、 量子信息论等新兴领域，以及与人工智能、大数 据等技术的结合。
跨学科交叉融合
信息论将与更多学科进行交叉融合，如物理学、 化学、社会学等，共同推动信息科学的发展。
编码技术的发展趋势
高效编码算法
随着计算能力的提升，更高效的编码算法将不断涌现，以提高数据 传输和存储的效率。
智能化编码
借助人工智能和机器学习技术，编码将实现智能化，自适应地调整 编码参数以优化性能。
跨平台兼容性
未来的编码技术将更加注重跨平台兼容性，以适应不同设备和网络环 境的多样性。
信息论与编码的交叉融合
理论与应用相互促进
信息论为编码技术提供理论支持， 而编码技术的发展又反过来推动 信息论的深入研究。
共同应对挑战
精品课课件信息论与编码(全套 讲义)
目
CONTENCT
录
• 信息论基础 • 编码理论 • 信道编码 • 信源编码 • 信息论与编码的应用 • 信息论与编码的发展趋势
01
信息论基础
信息论概述
信息论的研究对象
研究信息的传输、存储、处理和变换规律的科学。
信息论的发展历程
从通信领域起源，逐渐渗透到计算机科学、控制论、 统计学等多个学科。
卷积编码器将输入的信息序列按位输入到一个移位寄存器中，同时根据生成函数将移位寄存 器中的信息与编码器中的冲激响应进行卷积运算，生成输出序列。
卷积码的译码方法
卷积码的译码方法主要有代数译码和概率译码两种。代数译码方法基于最大似然译码准则， 通过寻找与接收序列汉明距离最小的合法码字进行译码。概率译码方法则基于贝叶斯准则， 通过计算每个合法码字的后验概率进行译码。
04
跨学科交叉融合
信息论将与更多学科进行交叉融合，如物理学、 化学、社会学等，共同推动信息科学的发展。
编码技术的发展趋势
高效编码算法
随着计算能力的提升，更高效的编码算法将不断涌现，以提高数据 传输和存储的效率。
智能化编码
借助人工智能和机器学习技术，编码将实现智能化，自适应地调整 编码参数以优化性能。
跨平台兼容性
未来的编码技术将更加注重跨平台兼容性，以适应不同设备和网络环 境的多样性。
信息论与编码的交叉融合
理论与应用相互促进
信息论为编码技术提供理论支持， 而编码技术的发展又反过来推动 信息论的深入研究。
共同应对挑战
精品课课件信息论与编码(全套 讲义)
目
CONTENCT
录
• 信息论基础 • 编码理论 • 信道编码 • 信源编码 • 信息论与编码的应用 • 信息论与编码的发展趋势
01
信息论基础
信息论概述
信息论的研究对象
研究信息的传输、存储、处理和变换规律的科学。
信息论的发展历程
从通信领域起源，逐渐渗透到计算机科学、控制论、 统计学等多个学科。
卷积编码器将输入的信息序列按位输入到一个移位寄存器中，同时根据生成函数将移位寄存 器中的信息与编码器中的冲激响应进行卷积运算，生成输出序列。
卷积码的译码方法
卷积码的译码方法主要有代数译码和概率译码两种。代数译码方法基于最大似然译码准则， 通过寻找与接收序列汉明距离最小的合法码字进行译码。概率译码方法则基于贝叶斯准则， 通过计算每个合法码字的后验概率进行译码。
04
信息论及编码理论基础(第三章)讲诉
2018/11/16
9
§3.2 离散无记忆（简单）信 源的等长编码
（9）在无错编码的前提下，编码的最低代价 当R≥logK时，能够实现无错编码。 （DN≥KL） 当R<H(U1)时，无论怎样编码都是有错编码。这是因为 R<H(U1)≤logK。 （DN<KL） （如果H(U1)=logK，则以上两种情形已经概括了全部情形。 但如果H(U1)<logK，则还有一种情形） 当logK>R>H(U1)时，虽然无论怎样编码都是有错编码， 但可以适当地编码和译码使译码错误的概率pe任意小。这 就是所谓“渐进无错编码”。
EV1 qk loga
k 1
2018/11/16
qk
H (U1 )
13
§3.2 离散无记忆（简单）信 源的等长编码
取IL是(V1V2…VL)的如下函数： I L
1 L Vl L l 1
则 ① IL最终是(U1U2…UL)的函数； ② 1 L 1 L 1 EI L EVl H (U1 ) DI L D Vl 2 L l 1 L l 1 L
2018/11/16
12
§3.2 离散无记忆（简单）信 源的等长编码
设…U-2U-1U0U1U2…是离散无记忆（简单）信源的输出随机变 量序列。设U1的概率分布为
a1 a2 aK U1 ~ q q q K 1 2
取Vl是Ul的如下函数：当Ul=ak时， Vl=loga(1/qk)。则 ①随机变量序列…V-2V-1V0V1V2…相互独立，具有相同的概率 分布； K ② 1
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§3.2 离散无记忆（简单）信 源的等长编码
例：离散无记忆简单信源发出的随机变量序列为：…U-2U1U0U1U2…。其中U1的事件有3个：{晴, 云, 阴}。 (U1U2)有9个事件 {（晴晴），（晴云），（晴阴），（云晴），（云云）， （云阴），（阴晴），（阴云）， （阴阴）}。 用字母表{0, 1}对(U1U2)的事件进行2元编码如下： （晴晴）→0000，（晴云）→0001，（晴阴）→0011， （云晴）→0100，（云云）→0101，（云阴）→0111， （阴晴）→1100，（阴云）→1101，（阴阴）→1111。
信息论-复习资料(傅祖芸版本)
P(aik)是符号集A的一维
概率分布
23
3）离散无记忆信源的N次扩展信源
若X为离散无记忆信源：
X P(x)
a1 P(a1
)
a2 P(a2 )
a3 P(a3 )
... ... ... ...
aq P(aq )
信源X的各输出Xi间统计独立、且取值同一符号集A。该信源 输出的N维随机矢量X为离散无记忆信源X的N次扩展信源。
27
信息的度量
要点：
信息的度量（信息量）和不确定性消除的程度有关，消除的不 确定性＝获得的信息量；
不确定性就是随机性，可以用概率论和随机过程来测度；
推论：
概率小－>信息量大，即信息量是概率的单调递减函数； 信息量应该具有可加性； 信息量的计算公式为（香农（自）信息量的度量）：
I (ak )
33
3.3 信息熵的基本性质
信息熵是信源概率空间的一种特殊函数。这个函数的取 值大小，与信源的符号数及其概率分布有关。
用概率矢量P来表示概率分布P(x)：
（下标1-N为时间标志）
N
P(X) P( X1X 2 X N ) P( Xi )
i 1
若各随机变量Xi取值同样符号集A:{a1,a2,…,aq}，则
N
P(x i ) P(ai1ai2 ,..., aiN ) P(aik ), ik (1,2,..., q) k 1
N维随机矢量的一个取值， i＝(ai1 ai2…aiN)
信道编码的主要方法 增大码率或频带,即增大所需的信道容量。这恰与信源 编码相反。
信道译码器的作用 具有检错或纠错的功能,它能将落在其检错或纠错范围 内的错传码元检出或纠正,以提高传输消息的可靠性。
信息论与编码课件第三章
入侵检测技术
利用信息论中的信号分析原理，检 测网络中的异常流量和行为，及时 发现和防范网络攻击。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
解码卷积码的方法包括最大似然解码、维特比解 码等，其中维特比解码算法具有较低的复杂度。
03 第三章 加密编码
加密编码的基本概念
加密编码是信息隐藏的一种形式， 通过将信息转化为难以理解的形 式，保护信息的机密性和完整性。
加密编码的基本要素包括明文、 密文、加密算法和解密算法。
加密编码的目标是确保只有授权 用户能够解密和读取密文，而未 经授权的用户无法获取明文信息。
离散无记忆信源的熵计算公式为$H(X) = - sum p(x) log_2 p(x)$，其中 $p(x)$表示输出符号$x$的概率。
离散无记忆信源的熵
离散无记忆信源的熵是用来度量其信 息量的一个重要参数，它表示在给定 概率分布下，输出符号所包含的平均 信息量。
离散有记忆信源的熵
离散有记忆信源的定义
信息论与编码课件第三章
contents
目录
• 第三章 信源编码 • 第三章 信道编码 • 第三章 加密编码 • 第三章 信息论与编码的应用
01 第三章 信源编码
信源编码的基本概念
01
信源编码的定义
信源编码是对信源输出的符号序列进行变换，使其满足某种特定规则的
过程。
02
信源编码的目的
信源编码的主要目的是在保证通信质量的前提下，尽可能地压缩信源输
对称密钥密码体制
对称密钥密码体制是指加密和 解密使用相同密钥的密码体制。
对称密钥密码体制的优点是加 密和解密速度快，适合于大量 数据的加密。
常见的对称密钥密码体制包括 AES（高级加密标准）和DES （数据加密标准）。
利用信息论中的信号分析原理，检 测网络中的异常流量和行为，及时 发现和防范网络攻击。
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解码卷积码的方法包括最大似然解码、维特比解 码等，其中维特比解码算法具有较低的复杂度。
03 第三章 加密编码
加密编码的基本概念
加密编码是信息隐藏的一种形式， 通过将信息转化为难以理解的形 式，保护信息的机密性和完整性。
加密编码的基本要素包括明文、 密文、加密算法和解密算法。
加密编码的目标是确保只有授权 用户能够解密和读取密文，而未 经授权的用户无法获取明文信息。
离散无记忆信源的熵计算公式为$H(X) = - sum p(x) log_2 p(x)$，其中 $p(x)$表示输出符号$x$的概率。
离散无记忆信源的熵
离散无记忆信源的熵是用来度量其信 息量的一个重要参数，它表示在给定 概率分布下，输出符号所包含的平均 信息量。
离散有记忆信源的熵
离散有记忆信源的定义
信息论与编码课件第三章
contents
目录
• 第三章 信源编码 • 第三章 信道编码 • 第三章 加密编码 • 第三章 信息论与编码的应用
01 第三章 信源编码
信源编码的基本概念
01
信源编码的定义
信源编码是对信源输出的符号序列进行变换，使其满足某种特定规则的
过程。
02
信源编码的目的
信源编码的主要目的是在保证通信质量的前提下，尽可能地压缩信源输
对称密钥密码体制
对称密钥密码体制是指加密和 解密使用相同密钥的密码体制。
对称密钥密码体制的优点是加 密和解密速度快，适合于大量 数据的加密。
常见的对称密钥密码体制包括 AES（高级加密标准）和DES （数据加密标准）。
信息论与编码讲义第十讲
2010-10-31 4
§3.4 最佳不等长编码
补充引理3 补充引理 设信源随机变量U的2元异字头码S。对码S进行如下 的变换： （1）取出一个概率最小的事件a；在剩下的事件中取出一个概 率最小的事件b。 （2）找出一个最长的码字，将该码字与事件a的码字交换位置。 此时事件a的码字就是一个最长的码字。 （3）在事件a的码字之外找出一个最长的码字，将该码字与事 件b的码字交换位置。此时事件b的码字就是一个除了事件a的 码字之外最长的码字。 对码S进行如上的变换后变成了码T。则码T是2元异字头码，且 码T的平均码长≤码S的平均码长。 证明 补充引理3是补充引理2的简单推论。
2 − m1 + 2 − m2 + L + 2 − mK ≤ 1
码字长度依次为m1、m2、…、mK的2元不等长码的平均码长 =码字长度依次为m1、m2、…、mK的2元异字头码的平均码长 ≥码字长度依次为n1、n2、…、nK的2元异字头码的平均码长。 得证。
2010-10-31 3
§3.4 最佳不等长编码
补充引理2 补充引理 设信源随机变量U的2元异字头码S 。设 事件a的概率qa ≤事件b的概率qb ； 事件a的码字长度na ≤事件b的码字长度nb 。 将事件a与事件b交换码字，则平均码长不增加。 证明 （1）交换码字前，两个码字对平均码长的贡献为qana+qbnb； （2）交换码字后，两个码字对平均码长的贡献为qanb+qbna。 (qana+qbnb)-(qanb+qbna)=(qa-qb)(na-nb)≥0。 这就是说， 交换码字前两个码字的贡献≥交换码字后两个码字的贡献； 因此，交换码字使平均码长不增加。
2010-10-31 12
§3.4 最佳不等长编码
§3.4 最佳不等长编码
补充引理3 补充引理 设信源随机变量U的2元异字头码S。对码S进行如下 的变换： （1）取出一个概率最小的事件a；在剩下的事件中取出一个概 率最小的事件b。 （2）找出一个最长的码字，将该码字与事件a的码字交换位置。 此时事件a的码字就是一个最长的码字。 （3）在事件a的码字之外找出一个最长的码字，将该码字与事 件b的码字交换位置。此时事件b的码字就是一个除了事件a的 码字之外最长的码字。 对码S进行如上的变换后变成了码T。则码T是2元异字头码，且 码T的平均码长≤码S的平均码长。 证明 补充引理3是补充引理2的简单推论。
2 − m1 + 2 − m2 + L + 2 − mK ≤ 1
码字长度依次为m1、m2、…、mK的2元不等长码的平均码长 =码字长度依次为m1、m2、…、mK的2元异字头码的平均码长 ≥码字长度依次为n1、n2、…、nK的2元异字头码的平均码长。 得证。
2010-10-31 3
§3.4 最佳不等长编码
补充引理2 补充引理 设信源随机变量U的2元异字头码S 。设 事件a的概率qa ≤事件b的概率qb ； 事件a的码字长度na ≤事件b的码字长度nb 。 将事件a与事件b交换码字，则平均码长不增加。 证明 （1）交换码字前，两个码字对平均码长的贡献为qana+qbnb； （2）交换码字后，两个码字对平均码长的贡献为qanb+qbna。 (qana+qbnb)-(qanb+qbna)=(qa-qb)(na-nb)≥0。 这就是说， 交换码字前两个码字的贡献≥交换码字后两个码字的贡献； 因此，交换码字使平均码长不增加。
2010-10-31 12
§3.4 最佳不等长编码
信息论与编码理论-第三章
03 信源编码理论
离散无记忆信源的编码定理
香农第一定理
对于离散无记忆信源，存在一种码字， 使得码字的平均长度等于信源熵，且 可以无失真地恢复原始信源。
香农第二定理
对于离散有记忆信源，当码长趋于无 穷时，最理想的无失真编码方法的码 字平均长度趋近于信源熵。
连续信源的编码定理
连续信源熵的定义
连续信源熵是描述连续随机变量不确定性的量度，其值等于该随机变量取值范围所占据的微分体积。
信道编码
通过在信息中加入冗余，以降低 信息传输过程中的误码率，提高 通信的可靠性。
在数据压缩中的应用
无损压缩
利用信息论中的熵概念，将数据压缩至其理 论最小值，同时保持数据的完整性。
有损压缩
通过去除数据中的冗余和无关信息，实现数 据的较大程度压缩，常见于图像、音频和视
频压缩。
在网络安全中的应用
要点一
连续信源的编码定理
对于连续信源，存在一种码字，使得码字的平均长度等于连续信源熵，且可以无失真地恢复原始信源 。
预测编码与变换编码
预测编码
预测编码是根据原始信号的过去值来预测当前值，然后对预测误差进行编码。这种方法 常用于消除时间相关性，减少数据冗余。
变换编码
变换编码是将信号从时域变换到频域进行编码，通过去除信号中的冗余成分来压缩数据。 常见的变换编码方法包括离散余弦变换（DCT）和快速傅里叶变换（FFT）。
3
信道编码是一种主动的错误控制方法，它通过在 信息中添加冗余信息，使得接收端能够检测和纠 正传输过程中的错误。
线性码与循环码
线性码是一类特殊的码，它的编 码规则满足线性性质，即对于任 意两个码字进行线性运算，其结
果仍然是码字。
循环码是线性码的一种，它的码 字具有循环移位的性质，即一个
信息论与编码答案傅祖芸
信息论与编码答案傅祖芸【篇一：信息论与编码课程设计报告】t>设计题目：统计信源熵与香农编码专业班级学号学生姓名指导教师教师评分2014年3月24日目录一、设计任务与要求................................................. 2 二、设计思路....................................................... 2 三、设计流程图..................................................... 3 四、程序运行及结果................................................. 5 五、心得体会....................................................... 6 参考文献 .......................................................... 6 附录：源程序.. (7)一、设计任务与要求1、统计信源熵要求：统计任意文本文件中各字符（不区分大小写）数量，计算字符概率，并计算信源熵。
2、香农编码要求：任意输入消息概率，利用香农编码方法进行编码，并计算信源熵和编码效率。
二、设计思路1、统计信源熵：统计信源熵就是对一篇英文文章（英文字母数为n），通过对其中的a,b,c,d/a,b,c,d.....(不区分大小写)统计每个字母的个数n，有这个公式p=n/n可得每个字母的概率，最后又信源熵计算公式h（x）=??p(xi)logp(xi)i?1n，可计算出信源熵h,所以整体步骤就是先统计出英文段落的总字符数，在统计每个字符的个数，即每遇到同一个字符就++1，直到算出每个字符的个数，进而算出每个字符的概率，再由信源熵计算公式计算出信源熵。
2、香农编码：香农编码主要通过一系列步骤支出平均码长与信源之间的关系，同时使平均码长达到极限值，即选择的每个码字的长度ki满足下式：i(xi)?ki?i(xi)?1,?i具体步骤如下：a、将信源消息符号按其出现的概率大小依次排列为：p1?p2?......?pn b、确定满足下列不等式的整数码长ki为：?lb(pi)?ki??lb(pi)?1 c、为了编成唯一可译码，计算第i个消息的累加概率：pi??p(ak)k?1i?1d、将累加概率pi变换成二进制数。
信息论与编码课件(全部课程内容)
P(b1 | a1 ) P(b2 | a1 ) P(b | a ) P(b | a ) 2 2 [ PY | X ] 1 2 P(b1 | ar ) P(b2 | ar )
一.1.”输入符号 a,输出符号 b”的联合概率 i j
P{X a i ,Y=b j } p a i ,b j p a i p b j /a i
1。当p (ai / b j ) 1时， 1 I (ai ; b j ) log I (ai )(i 1, 2, , r; b 1, 2, , s) p (ai )
信号 a i ．
收信者收到输出符号 bj 后，推测信源以概率１发
2。当p (ai〈p (ai / b j〈1时， ) ) I (ai ; b j ) log p (ai / b j ) p (ai ) 〉 i 1, 2, , r ; b 1, 2, , s ) 0(
此式称为符号 a i 和 bj 之间的互信函数． 我们把信宿收到 bj 后，从 bj 中获取关于 a i 的信 息量 I (ai ; bj ) 称为输入符号 a i 和输出符号 bj 之间 的交互信息量，简称互信息．它表示信道在把 输入符号 a i 传递为输出符号 bj 的过程中，信道 所传递的信息量．
收信者收到 b j后，推测信源发信号 a i的后验概率，反而小于 收到 b j 前推测信源发信号 a i的先验概率.
例2.3 表2.1中列出某信源发出的八种不同消息ai(i=1,2,…,8),相应的
先验概率p(ai)(i=1,2,…,8),与消息ai(i=1,2,…,8)一一对应的码字wi
(i=1,2,…,8).同时给出输出第一个码符号“0”后，再输出消息a1,a2,a3,
信息论与编码PPT教学课件
4. 干扰源 • 是整个通信系统中各个干扰的集中反映，用以 表示消息在信道中传输时遭受干扰的情况。 • 对于任何通信系统而言，干扰的性质、大小是 影响系统性能的重要因素。
第二节 通信系统的模型
5. 密钥源 • 是产生密钥k的源 • 信源编码器输出信号x经过k的加密运算后，就 把明文x变换为密文y
三、通信系统的性能指标及相应的编码问题
第二节 通信系统的模型
问题：能否将三种码（信源编码、信道编码和密码） 合成一种码进行编译？
• 提高有效性必须去掉信源符号中的冗余部分， 此时信道误码会使接收端不能恢复原来的信息 ，也就是必须相应提高传送的可靠性，不然会 使通信质量下降；
• 反之，为了可靠而采用信道编码，往往需扩大 码率，也就降低了有效性。安全性也有类似情 况
▪ 到70年代，有关信息论的研究，从点与点间的单用 户通信推广到多用户系统的研究。1972年盖弗（Caer ）发表了有关广播信道的研究，以后陆续有关于多接 入信道和广播信道模型的研究，但由于这些问题比较 难，到目前为止，多用户信息论研究得不多，还有许 多尚待解决的课题。
第一节 信息论的形成和发展
➢ 几个概念
3．三处最有可能发展成为城 市的是哪一处？为什么？除此 而外，你知道哪些地方还分布 有较大的城市？ 4. 综上所述，影响聚落形成 和发展的因素有哪些？
• 通信系统的性能指标主要是有效性、可靠性、安全 性和经济性。通信系统优化就是使这些指标达到最 佳。
• 根据信息论的各种编码定理和上述通信系统的指标 ，编码问题可分解为三类：信源编码、信道编码和 密码。
第二节 通信系统的模型
1. 信源编译码器 信源编码器的作用 • 是把信源发出的消息变换成由二进制码元（或 多进制码元）组成的代码组，这种代码组就是 基带信号； • 同时通过信源编码可以压缩信源的冗余度（即 多余度），以提高通信系统传输消息的效率。
第二节 通信系统的模型
5. 密钥源 • 是产生密钥k的源 • 信源编码器输出信号x经过k的加密运算后，就 把明文x变换为密文y
三、通信系统的性能指标及相应的编码问题
第二节 通信系统的模型
问题：能否将三种码（信源编码、信道编码和密码） 合成一种码进行编译？
• 提高有效性必须去掉信源符号中的冗余部分， 此时信道误码会使接收端不能恢复原来的信息 ，也就是必须相应提高传送的可靠性，不然会 使通信质量下降；
• 反之，为了可靠而采用信道编码，往往需扩大 码率，也就降低了有效性。安全性也有类似情 况
▪ 到70年代，有关信息论的研究，从点与点间的单用 户通信推广到多用户系统的研究。1972年盖弗（Caer ）发表了有关广播信道的研究，以后陆续有关于多接 入信道和广播信道模型的研究，但由于这些问题比较 难，到目前为止，多用户信息论研究得不多，还有许 多尚待解决的课题。
第一节 信息论的形成和发展
➢ 几个概念
3．三处最有可能发展成为城 市的是哪一处？为什么？除此 而外，你知道哪些地方还分布 有较大的城市？ 4. 综上所述，影响聚落形成 和发展的因素有哪些？
• 通信系统的性能指标主要是有效性、可靠性、安全 性和经济性。通信系统优化就是使这些指标达到最 佳。
• 根据信息论的各种编码定理和上述通信系统的指标 ，编码问题可分解为三类：信源编码、信道编码和 密码。
第二节 通信系统的模型
1. 信源编译码器 信源编码器的作用 • 是把信源发出的消息变换成由二进制码元（或 多进制码元）组成的代码组，这种代码组就是 基带信号； • 同时通过信源编码可以压缩信源的冗余度（即 多余度），以提高通信系统传输消息的效率。
信息论与编码原理第三章讲课文档
3.2.1 数学模型
信道模型:
1-P
0
0
P
P
1
1
1-P
这种信道的输出符号仅与对应时刻输入符号 有关,与以前输入无关，故称此信道是无记忆信道 的.
第23页，共149页。
3.2.1 数学模型
2.离散无记忆信道 若输入值的集合 X={X0,X1…Xr-1}
输出 Y={y0,y1…ys-1} 且信道和调制过程是无记忆的
信息论与编码原理第三章
第1页，共149页。
本次课内容
3.1 信道的基本概念 3.2 离散单符号信道及容量
3.2.1 数学模型
3.2.2 信道容量
第2页，共149页。
相 关
信道(information channels)：
知 识
是信号的传输媒质。
复
信道的作用：
习
把携有信息的信号从它的输入端传递到输出
信道输入、输出符号之间的联合分布为
p(ai,bj)p(ai)p(bj ai)
p(bj ai )
前向概率，表示在输入为x=ai 时，通 过信道后接收为bj 的概率，描述了信 道噪声的特性。P(ai) 为先验概率。
联合分布还可以表示为
p(ai bj )
第19页，共149页。
后验概率,表示当接收符号为bj时,信 道输入为ai的概率。
第13页，共149页。
3.2
3.2离散单符号信道及容量
离 散
3.2.1 数学模型
单 符
若信道的输入符号之间、输出符号之间都不存
号 在关联性，信道的分析可简化为对单个符号的信道
信
道 分析，此时输入、输出可以看做是单符号的，称这
及 容
信息论与编码第课程介绍绪论
37
1.2 信息论的形成与发展
信息论的发展过程
✓ 1924年奈奎斯特(H·Nyquist)发表了 《影响电报速度的某些因素》 一文，指出了电信信号的传输速率与信道频带宽度之 间存在着确
定的比例关系。带宽（band width）又叫频宽，是指在固定的的
时间可传输的资料数量，亦即在传输管道中可以传递数据的能力。
8. 可以信息化方式可以取代一些传统的业务，以虚拟操作代替实体操作 ，减少成本、节能减排，比如签字、邮件。
9. 改变传统的方式，而催生了大量新概念（电子、数控、数字），并且 依然有很大空间。
信息论与编码的意义：
所有以上这些编码为二进制，以及计算的数字，都 是依靠编码方法。
第1章 绪论
信息论的形成与发展 通信系统的模型
23
全程问题
面对信息化环境，你认为可以抽象出哪些问题，需 要怎么解决？（发散思维，不要局限于所学）。
在搜索引擎和各种电子资源库中检索每一章的关键 词，以及这些关键词联合“综述”、“发展”、“ 进展”等进行检索，阅读最新相关文献。
学习到的信息论与编码知识是否可以应用在新的领 域？
当前所学习的理论给我们的启示？学习的过程中有 哪些创新性的想法？
30
信息论标志性问题锦囊4
（9）我们认为，信息量与概率有关系 ，概率越小，信息量越大，当一个事情 确定的时候，即概率为1的时候，信息 量为0，什么函数可以输入1得到0？
（10）我们一般认为，告诉我们两个独 立事件，信息量是相加的关系，但是从 概率上来说，两个独立事件同时发生， 其概率是相乘的关系，什么函数有这样 的性质？
信息技术的优势-理论角度
5. 通过将现实的各种问题，包括分析、判断都可以转换为连续 的或离散的函数的问题，然后用算法来逼近它，这样我们就 可以通过计算机来解决几乎所有的问题。
1.2 信息论的形成与发展
信息论的发展过程
✓ 1924年奈奎斯特(H·Nyquist)发表了 《影响电报速度的某些因素》 一文，指出了电信信号的传输速率与信道频带宽度之 间存在着确
定的比例关系。带宽（band width）又叫频宽，是指在固定的的
时间可传输的资料数量，亦即在传输管道中可以传递数据的能力。
8. 可以信息化方式可以取代一些传统的业务，以虚拟操作代替实体操作 ，减少成本、节能减排，比如签字、邮件。
9. 改变传统的方式，而催生了大量新概念（电子、数控、数字），并且 依然有很大空间。
信息论与编码的意义：
所有以上这些编码为二进制，以及计算的数字，都 是依靠编码方法。
第1章 绪论
信息论的形成与发展 通信系统的模型
23
全程问题
面对信息化环境，你认为可以抽象出哪些问题，需 要怎么解决？（发散思维，不要局限于所学）。
在搜索引擎和各种电子资源库中检索每一章的关键 词，以及这些关键词联合“综述”、“发展”、“ 进展”等进行检索，阅读最新相关文献。
学习到的信息论与编码知识是否可以应用在新的领 域？
当前所学习的理论给我们的启示？学习的过程中有 哪些创新性的想法？
30
信息论标志性问题锦囊4
（9）我们认为，信息量与概率有关系 ，概率越小，信息量越大，当一个事情 确定的时候，即概率为1的时候，信息 量为0，什么函数可以输入1得到0？
（10）我们一般认为，告诉我们两个独 立事件，信息量是相加的关系，但是从 概率上来说，两个独立事件同时发生， 其概率是相乘的关系，什么函数有这样 的性质？
信息技术的优势-理论角度
5. 通过将现实的各种问题，包括分析、判断都可以转换为连续 的或离散的函数的问题，然后用算法来逼近它，这样我们就 可以通过计算机来解决几乎所有的问题。
信息论与编码全部课件
• 信息论的三个层次：
• （1）信息论基础（狭义信息论）：主要研究信息的测度、 信道容量、信源和信道编码理论等问题。
（2）一般信息论：主要研究信息传输和处理问题，除 香农理论外，还包括噪声理论、信号滤波和预测、统计 检测与估计理论、调制理论以及信息处理理论等。 （3）广义信息论：不仅包括上述两方面内容，还包括 与信息有关的领域，如心理学、遗传学、神经生理学、 语言学、语义学等。
I
( xi
)
log
P( xi
)
log
1 P( xi
)
• 通常取对数的底为2，单位为比特（bit）。
37
#;
.
2.1.1 自信息量
• 三个单位间的转换关系为：
• 1奈特=log2e 1.433比特 • 1哈特莱=log210 3.332比特
• 自信息量非负且单调递减。
信信
噪声源
信信
信 变源 道调 发 息 换编 编制 射 源 器码 码器 机
器器
信道
接解道 收调译 机器码
器
源 译 码 器
反信 变息 换宿 器
发送端
信道
接收端
1.2 数字信息传输系统的一般模型
18
#;
.
1.2.2 数字信息传输系统
• 调制方式有幅度键控ASK、频移键控FSK、 相移键控PSK等。
信源编码器：模/数（A/D）变换器，将模拟信 号变换成数字信号。 信源译码器：数/模（D/A）变换器，将数字信 号变换成模拟信号。 信道编译码器：提高传输系统的抗干扰能力。
33
#;
.
2.1.1 自信息量
• 设信源X的概率空间为
X P(x)
x1
p(
• （1）信息论基础（狭义信息论）：主要研究信息的测度、 信道容量、信源和信道编码理论等问题。
（2）一般信息论：主要研究信息传输和处理问题，除 香农理论外，还包括噪声理论、信号滤波和预测、统计 检测与估计理论、调制理论以及信息处理理论等。 （3）广义信息论：不仅包括上述两方面内容，还包括 与信息有关的领域，如心理学、遗传学、神经生理学、 语言学、语义学等。
I
( xi
)
log
P( xi
)
log
1 P( xi
)
• 通常取对数的底为2，单位为比特（bit）。
37
#;
.
2.1.1 自信息量
• 三个单位间的转换关系为：
• 1奈特=log2e 1.433比特 • 1哈特莱=log210 3.332比特
• 自信息量非负且单调递减。
信信
噪声源
信信
信 变源 道调 发 息 换编 编制 射 源 器码 码器 机
器器
信道
接解道 收调译 机器码
器
源 译 码 器
反信 变息 换宿 器
发送端
信道
接收端
1.2 数字信息传输系统的一般模型
18
#;
.
1.2.2 数字信息传输系统
• 调制方式有幅度键控ASK、频移键控FSK、 相移键控PSK等。
信源编码器：模/数（A/D）变换器，将模拟信 号变换成数字信号。 信源译码器：数/模（D/A）变换器，将数字信 号变换成模拟信号。 信道编译码器：提高传输系统的抗干扰能力。
33
#;
.
2.1.1 自信息量
• 设信源X的概率空间为
X P(x)
x1
p(
信息论与编码
• 信息是抽象的意识或知识，它是看不见、 摸不到的。
• 人脑的思维活动产生的一种想法，当它 仍储存在脑子中的时候它就是一种信息。
8
信息论和信息技术研究什么样的问题？
• 信息不是静止的，它会产生也会消亡，人们需 要获取它，并完成它的传输、交换、处理、检 测、识别、存储、显示等功能。研究这方面的 科学就是信息科学。
24
密码学研究的内容
• 如何隐蔽消息中的信息内容,使它在传输过程 中不被窃听.提高通信系统的安全性； – 将明文变换成密文,通常不需要增大信道容 量,例如在二进码信息流上叠加一密钥流； – 但也有些密码要求占用较大的信道容量。
25
• 问题：能否将三种码(信源编码、信道编 码和密码) 合成一种码进行编译？
• 香农应用数理统计的方法来研 究通信系统，从而创立了影响 深远的信息论。
• 香农因此成为信息论的奠基人
33
• 香农，1816年生于美国密执安州的加洛德。在大 学中他就表现出了对数理问题的高度敏感。他的 硕士论文就是关于布尔代数在逻辑开关理论中的 应用。后来,他就职于贝尔电话研究所,在这个世界 上最大的通信公司(美国电话电报公司)的研究基 地里,他受着前辈的工作的启示,其中最具代表性的 是《贝尔系统技术杂志》上所披露的奈奎斯特的 《影响电报速率的一些因素》和哈特莱的《信息 的传输》。正是他们最早研究了通信系统的信息 传输能力,第一次提出了信息量的概念,并试图用教 学公式予以描述。香农则创造性地继承了他们的 事业,在信息论的领域中钻研了8年之久,终于在 1948年也在《贝尔系统技术杂志》上发表了244页 的长篇论著《通信的数学理论》。次年,他又在同 一杂志上发表了另一篇名著《噪声下的通信》。 34
– 信源编码与信道编码
• 教学重点
• 人脑的思维活动产生的一种想法，当它 仍储存在脑子中的时候它就是一种信息。
8
信息论和信息技术研究什么样的问题？
• 信息不是静止的，它会产生也会消亡，人们需 要获取它，并完成它的传输、交换、处理、检 测、识别、存储、显示等功能。研究这方面的 科学就是信息科学。
24
密码学研究的内容
• 如何隐蔽消息中的信息内容,使它在传输过程 中不被窃听.提高通信系统的安全性； – 将明文变换成密文,通常不需要增大信道容 量,例如在二进码信息流上叠加一密钥流； – 但也有些密码要求占用较大的信道容量。
25
• 问题：能否将三种码(信源编码、信道编 码和密码) 合成一种码进行编译？
• 香农应用数理统计的方法来研 究通信系统，从而创立了影响 深远的信息论。
• 香农因此成为信息论的奠基人
33
• 香农，1816年生于美国密执安州的加洛德。在大 学中他就表现出了对数理问题的高度敏感。他的 硕士论文就是关于布尔代数在逻辑开关理论中的 应用。后来,他就职于贝尔电话研究所,在这个世界 上最大的通信公司(美国电话电报公司)的研究基 地里,他受着前辈的工作的启示,其中最具代表性的 是《贝尔系统技术杂志》上所披露的奈奎斯特的 《影响电报速率的一些因素》和哈特莱的《信息 的传输》。正是他们最早研究了通信系统的信息 传输能力,第一次提出了信息量的概念,并试图用教 学公式予以描述。香农则创造性地继承了他们的 事业,在信息论的领域中钻研了8年之久,终于在 1948年也在《贝尔系统技术杂志》上发表了244页 的长篇论著《通信的数学理论》。次年,他又在同 一杂志上发表了另一篇名著《噪声下的通信》。 34
– 信源编码与信道编码
• 教学重点
《信息论与编码》傅祖芸_赵建中_课后答案资料
第二章课后习题【2.1】设有12 枚同值硬币，其中有一枚为假币。
只知道假币的重量与真币的重量不同，但不知究竟是重还是轻。
现用比较天平左右两边轻重的方法来测量。
为了在天平上称出哪一枚是假币，试问至少必须称多少次？解：从信息论的角度看，“12 枚硬币中，某一枚为假币”该事件发生的概率为P1 12；“假币的重量比真的轻，或重”该事件发生的概率为P 12 ；为确定哪一枚是假币，即要消除上述两事件的联合不确定性，由于二者是独立的，因此有I log12 log 2 log 24 比特而用天平称时，有三种可能性：重、轻、相等，三者是等概率的，均为P 平每一次消除的不确定性为I log 3 比特因此，必须称的次数为13，因此天I 1 I 2 log 24log 32.9 次因此，至少需称 3 次。
【延伸】如何测量？分 3 堆，每堆 4 枚，经过 3 次测量能否测出哪一枚为假币。
【2.2】同时扔一对均匀的骰子，当得知“两骰子面朝上点数之和为2”或“面朝上点数之和为8”或“两骰子面朝上点数是 3 和4”时，试问这三种情况分别获得多少信息量？解：“两骰子总点数之和为2”有一种可能，即两骰子的点数各为1，由于二者是独立的，因此该种情况发生的概率为P 1 16 6136，该事件的信息量为：52I log 365.17 比特“两骰子总点数之和为8”共有如下可能： 2 和6、3 和5、4 和4、5 和3、6 和2，概率为P1 1 6 65 36，因此该事件的信息量为：36I log2.85 比特5“两骰子面朝上点数是3 和4”的可能性有两种：3 和4、4 和3，概率为P 1 1 6 61 18，因此该事件的信息量为：I log18 4.17 比特【2.3】如果你在不知道今天是星期几的情况下问你的朋友“明天星期几？”则答案中含有多少信息量？如果你在已知今天是星期四的情况下提出同样的问题，则答案中你能获得多少信息量（假设已知星期一至星期日的顺序）？解：如果不知今天星期几时问的话，答案可能有七种可能性，每一种都是等概率的，均为P1 7，因此此时从答案中获得的信息量为I log 72.807 比特而当已知今天星期几时问同样的问题，其可能性只有一种，即发生的概率为1，此时获得的信息量为0 比特。
信息论-基础理论与应用第三版(傅祖芸)-第三章PPT课件
单符号离散信道的相关概率关系
（1）联合概率
Hale Waihona Puke P ( a ib j) P ( a i) P ( b j/a i) P ( b j) P ( a i/b j)
其中
P (b j / ai ) 前向概率，描述信道的噪声特性 P ( a i ) 输入符号的先验概率 P (ai / b j ) 后向概率（后验概率）
X ,Y
p ( x ) X ,Y
p(x | y)
p ( xy ) log p ( x | y ) p ( xy ) log p ( y | x )
X ,Y
p ( x ) X ,Y
p(y)
p ( xy )
p ( xy ) log
X ,Y
p(x) p(y)
I(X;Y)是I (x ; y)的统计平均，可以证明I(X;Y)≥0 。 若I(X;Y)
r
P(ai)P(bj |ai)
i1
(其中P(bj)0,i 1,2,...r,; j 1,2,...s,)
且
含义：
r
P(ai / bj ) 1
i 1
输出端收到的某符号，必是输入端某一符号输入所致。
3.2 信道疑义度与平均互信息
研究离散单符号信道的信息传输问题。
一、信道疑义度
先验熵：即信道输入信源X的熵
X,Y
p(x)p(y)
I(X;Y) = H(X) + H(Y) - H(XY)
其中：
H ( X |Y ) ＝ p ( x ) ly o1 g ;H ( Y |X ) ＝ p ( x ) ly o1 g
X ,Y
p ( x |y )
X ,Y
p ( y |x )
信息论与编码-复习
能够进行伴随式译码:例：步骤见p178，课件中有具 体的例子
第6章 信道编码
计算：
对于循环码，已知（n,k）循环码 会求g(x),并根据g(x)求G， 例p191-192 6.3.3,p193 6.3.4 会求h(x)=(xn+1)/g(x),并根据h(x), 例p193 6.3.4 会求系统循环码码字:由G经过初等行变换得Gs, 再通过C=mGS得系统循环码码字
第4章 信息率失真函数
计算：
对于离散信源(如作业4.1(3))：
R(D)的计算、R(D)与D的关系图 只要求等概信源，对称失真的R(D),见P120 (4.2.50式) 关系图见P109 图4.1.1（注意区分离散和连续信源）， 所取的点的纵坐标根据R(D)的计算式求得
第4章 信息率失真函数
计算：
会计算达到稳态时的状态概率分布（作业2.16（1））和 极限熵（作业2.16（2），2.17（2）和p48 例2.2.4）；
给定状态转移概率，会画状态转移图，反之亦要求。
第二章 ——续
计算：
信源冗余度的计算（作业2.17（3）） 根据给出的离散信源，能够进行定长编码，求出码字。
掌握信源编码器的性能指标（编码效率η）及其与码 长（k）之间的关系。
第3章 信道容量
掌握离散无记忆信道的N次扩展信道的容量的求解
CN次扩展 NC单符号无记忆信道
无噪信道的容量：见作业3.14 应用连续信道的信道容量公式进行解题
连续信道的容量 所需的信号功率
S 如作业3.19,使用公式 C连续 B log 2 (1 ) N 注意：
C就是信号的传输速率 dB表示的信噪比在代入时要进行转换
能够通过分析电路的运行过程，得到生成的循环码字。 见课件
第6章 信道编码
计算：
对于循环码，已知（n,k）循环码 会求g(x),并根据g(x)求G， 例p191-192 6.3.3,p193 6.3.4 会求h(x)=(xn+1)/g(x),并根据h(x), 例p193 6.3.4 会求系统循环码码字:由G经过初等行变换得Gs, 再通过C=mGS得系统循环码码字
第4章 信息率失真函数
计算：
对于离散信源(如作业4.1(3))：
R(D)的计算、R(D)与D的关系图 只要求等概信源，对称失真的R(D),见P120 (4.2.50式) 关系图见P109 图4.1.1（注意区分离散和连续信源）， 所取的点的纵坐标根据R(D)的计算式求得
第4章 信息率失真函数
计算：
会计算达到稳态时的状态概率分布（作业2.16（1））和 极限熵（作业2.16（2），2.17（2）和p48 例2.2.4）；
给定状态转移概率，会画状态转移图，反之亦要求。
第二章 ——续
计算：
信源冗余度的计算（作业2.17（3）） 根据给出的离散信源，能够进行定长编码，求出码字。
掌握信源编码器的性能指标（编码效率η）及其与码 长（k）之间的关系。
第3章 信道容量
掌握离散无记忆信道的N次扩展信道的容量的求解
CN次扩展 NC单符号无记忆信道
无噪信道的容量：见作业3.14 应用连续信道的信道容量公式进行解题
连续信道的容量 所需的信号功率
S 如作业3.19,使用公式 C连续 B log 2 (1 ) N 注意：
C就是信号的传输速率 dB表示的信噪比在代入时要进行转换
能够通过分析电路的运行过程，得到生成的循环码字。 见课件
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于｛0，1｝；输出符号取值于｛0，2，1｝。
0
p 0
1-p
2 1-q
1
q
1
信道传递矩阵：
02 1
0 p 1 p 0
1
0
1沐风教q资 q
9
二元删除信道BEC的说明
这种信道实际是存在的，当信号波形传输中失真 较大时，我们在接收端不是对接收信号硬性判为 0和1，而是根据最佳接收机额外给出的信道失真 信息增加一个中间状态2（称为删除符号），采 用特定的纠删编码，可有效的恢复出这个中间状 态的正确取值。
沐风教资
2
3.1信道的数学模型及分类
在广义的通信系统中，信道是很重要的一部分。
信道的任务是以信号方式传输信息和存储信息。
研究信道的目的就是研究信道中能够传送或存储 的最大信息量，即信道容量问题。
本章首先讨论离散信道的统计特性和数学模型， 然后定量地研究信道传输的平均互信息及其性质 ，并导出信道容量及其计算方法。
p
(b1
a2
)
p(b2 a1) p(b2 a2 )
ar p(b1 ar ) p(b2 ar )
关于信道矩阵的几点说明：
bs
p(bs a1) p(bs a2 ) P
p(bs ar )
1、输入和输出符号的联合概率为
p(aibj ) p(ai ) p(b沐j风a教i资) p(bj ) p(ai bj )
根据信道的统计特性即条件概率 P( y x)的不同，离
散信道又可分成三种情况。
沐风教资
5
离散信道的数学模型
无干扰（无噪）信道
y f (x)
1 y f (x) P( y x) 0 y f (x)
有干扰无记忆信道：离散无记忆信道的充要条件 N P( y x) P( y1 y2...yN x1x2...xN ) P( yi xi )
；输出变量为Y，取值于b1,b2,...,bs 。并有条件概
率 P( y x) P( y bj x ai ) P(bj ai ) 这一组条件概率称为信道的传递概率或转移概率
一般简单的单符号离散信道的数学模型可以用概率
空间[X,p(y|x),Y]来描述。
a1
a2
X. .P(bFra bibliotekj ai )11
单符号离散信道的数学模型
其中p(bj ai )是信道传递概率，通常称为前向概率， 它是由于噪声引起的，描述了信道噪声的特性。 而 p(ai称bj )为后向概率。也把 p(称ai )为先验概率， 而把 p(ai b称j ) 为后验概率。
2、根据联合概率可得输出符号的概率 r P(bj ) p(ai ) p(bj / ai )
b1
b2
. .
Y
.
.
ar
沐风教资
bs
7
两种重要的二元信道BSC和BEC
例3.1 二元对称信道BSC（Binary Symmetric Channel） 这是很重要的一种特殊信道。输入符号X取值于 ｛0，1｝；输出符号也取值于｛0，1｝。
X a1=0
1-p p
Y b1=0
p
a2=1
1-p
b2=1
沐风教资 波形信道
4
3.1.2离散信道的数学模型
离散信道的数学模型如下图所示
X
信道
Y
X ( X1,..., X 2,..., X N ) P( y x) Y (Y1,...,Yi ,...,YN )
X : a1,..., ar
Y : b1,...,bs
P(y x) 1
y
图3.1 离散信道数学模型
3、根据贝叶斯公式得后i验1 概率
上式说明P，(ai /在bj )信 PP道((abibj输)j ) 出端接收ir1到P(任ai / 一bj ) 符 1 号bj
一定是输入符号 a1 ,… ar 沐中风教的资 一个输入信道。 12
3.2平均互信息及平均条件互信息
3.2.1信道疑义度
信源输入信道的熵—先验熵H(X)
第三章 离散信道及其信道容量
本章主要内容： 3.1 信道的数学模型及分类 3.2 平均互信息及平均条件互信息 3.3 平均互信息的特征 3.4 信道容量及其一般计算方法 3.9 信源与信道的匹配 小结
沐风教资
1
第三章 离散信道及其信道容量
本章的重、难点内容： 了解信道的分类及基本数学模型 掌握平均互信息和平均条件互信息的概念 和意义 知道平均互信息的特征 掌握信道容量及其一般计算方法*
对任意N值和任意x、y的取值，i1上式都成立。
有干扰有记忆信道：即有干扰（噪声）又有记忆
，实际信道往往是这种类型。信道输出不但与输
入有关，还与其它时刻的输入和输出有关，这样
的信道称为有记忆信道。
沐风教资
6
3.1.3单符号离散信道的数学模型
单符号离散信道的输入变量为X，取值于a1, a2,..., ar
如果信道干扰不是很严重的话，1 0和 0 1的可能 性要比0 2和1 2的可能性小得多，所以，假设
p( y 1 x 0) p( y 0 x 1) 0 是较合理的。
沐风教资
10
单符号离散信道的数学模型
由此可见，一般单符号离散信道的转移概率可用
信道转移矩阵P来表示：
b1
b2
a1 a2
p(b1 a1)
本章只限于研究一个输入端和一个输出端即单用
户信道，以无记忆、无反馈、恒参离散信道为重
点。
沐风教资
3
3.1.1 信道的分类
两端（单用户）信道
根据信道的用户多少 多端（多用户）信道
无反馈信道
根据信道输入输出的关联 反馈信道
固定参数信道
根据信道参数与时间的关系 时变参数信道
离散信道
根据输入输出信号的特点 连续信道 半离散或半连续信道
意义：后验熵是当信道接收端接收到输出
H (X )
r i 1
p(ai ) log
1 p(ai )
X
p(x) log p(x)
信道中有干扰(噪声)存在，接收到符号b j 后输入的
是什么符号仍存在有不确定性— 后验熵。
r
H ( X bj ) p(ai bj ) log
i 1
1 p(ai bj )
X
p(x bj ) log
1 p(x bj )
传递概率：
传递矩阵：
P(b1 a1) P(0 0) 1 p p
01
P(b2 a2 ) P(11) 1 p p
0 1 p p
P(b1 a2 ) P(01) p P(b2 a1) P(10) p
1 沐风教资
p
1 p
8
两种重要的二元信道BSC和BEC
例3.2 二元删除信道BEC（Binary Erasure Channel） 这也是很重要的一种特殊信道。输入符号X取值