(小学奥数)7-5-4 组合之插板法.教师版

合集下载

排列组合之插板法及变形

排列组合之插板法及变形主要⽤于“相同元素”分到“不同容器”的排列组合。

【例1】共有10本相同的书分到7个班⾥，每个班⾄少要分到⼀本书，问有⼏种不同分法？【解析】注意，这⾥⾯有个隐含的条件，根据常理，7个班肯定是不同的。

如果是书柜，可能是相同的。

因为书是相同的，可以排成⼀排，分给7个班，也就是在这⼀排书中间插⼊6个板，把书分成7份即可。

这排书共10本，中间有9个空，选6个空插板，所以有C(9,6)种分法。

【例2】共有10本相同的书分到7个班⾥，问有⼏种不同分法？【解析】注意这⾥没有要求每个班⾄少要分到⼀本，如果⽤插板法，两个板可以插到同⼀个空⾥。

显然⽤原来的⽅法不能解决。

但思路是⼀样的，把书分给7个班，我们还是插6块板，把书分成7份（如果板中间没有书，说明这⼀份是0）。

但这个时候空位的数量不⼀定了，把思路换⼀下，当插好板以后，书和板⼀共16个位⼦，其实就是16个位⼦选6个位⼦放板。

所以有C(16,6)种分法。

【例3】10个相同的球放⼊编号为1、2、3的盒⼦内，盒内球数不少于编号数，有⼏种不同的放法？【解析】球数不少于编号数，就是1号盒⼦最少放1个球，2号盒⼦最少放2个球...。

如果我们先把2号盒⼦放1个球，2号盒⼦放1个球，就变成每个盒⼦⾄少放⼀个球了，这时可以⽤最普通的插板法。

答案是C(7,2)。

【例4】有10颗相同的糖，每天⾄少吃1颗，共有⼏种吃法？【解析】注意，此题没有确定要⼏天吃完（例如如果要5天吃完，那么就是9个空插4个板，C(9,4)种），所以可以1天吃完，可以两天吃完。

也可以10天吃完。

那么就有C(9,0)+C(9,1)+C(9,2)+...+C(9,9)。

此题有⼀个更简单的思路，根据上⾯的分析，10颗糖排成⼀排，中间有9个空，每个空都可以插板，也可以不插板，插板或不插板各代表⼀种吃法，所以共有2*2*2...*2(9个2）=2^9种吃法。

由此也可以知道，C(9,0)+C(9,1)+C(9,2)+...+C(9,9)=2^9。

小学奥数教程：组合之插板法_全国通用(含答案)

奥数精编训练-组合之插板法【精品】

(小学奥数)组合之插板法

1.使學生正確理解組合的意義；正確區分排列、組合問題；2.瞭解組合數的意義，能根據具體的問題，寫出符合要求的組合；3.掌握組合的計算公式以及組合數與排列數之間的關係；4.會分析與數字有關的計數問題，以及與其他專題的綜合運用，培養學生的抽象能力和邏輯思維能力；通過本講的學習，對組合的一些計數問題進行歸納總結，重點掌握組合的聯繫和區別，並掌握一些組合技巧，如排除法、插板法等．一、組合問題日常生活中有很多“分組”問題．如在體育比賽中，把參賽隊分為幾個組，從全班同學中選出幾人參加某項活動等等．這種“分組”問題，就是我們將要討論的組合問題，這裏，我們將著重研究有多少種分組方法的問題．一般地，從n 個不同元素中取出m 個(m n ≤)元素組成一組不計較組內各元素的次序，叫做從n 個不同元素中取出m 個元素的一個組合．從排列和組合的定義可以知道，排列與元素的順序有關，而組合與順序無關．如果兩個組合中的元素完全相同，那麼不管元素的順序如何，都是相同的組合，只有當兩個組合中的元素不完全相同時，才是不同的組合．從n 個不同元素中取出m 個元素(m n ≤)的所有組合的個數，叫做從n 個不同元素中取出m 個不同元素的組合數．記作m n C ．一般地，求從n 個不同元素中取出的m 個元素的排列數m n P 可分成以下兩步：第一步：從n 個不同元素中取出m 個元素組成一組，共有m n C 種方法；第二步：將每一個組合中的m 個元素進行全排列，共有m m P 種排法．根據乘法原理，得到m m m n n m P C P =⨯．因此，組合數12)112321mm n n m m P n n n n m C m m m P ⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⨯⨯（）（（）（）（）．這個公式就是組合數公式．知識要點教學目標7-5-4.組合之插板法二、組合數的重要性質一般地，組合數有下麵的重要性質：m n m n n C C -=(m n ≤)這個公式的直觀意義是：m n C 表示從n 個元素中取出m 個元素組成一組的所有分組方法．n m n C -表示從n 個元素中取出(n m -)個元素組成一組的所有分組方法．顯然，從n 個元素中選出m 個元素的分組方法恰是從n 個元素中選m 個元素剩下的(n m -)個元素的分組方法．例如，從5人中選3人開會的方法和從5人中選出2人不去開會的方法是一樣多的，即3255C C =．規定1n n C =，01n C =．插板法一般用來解決求分解一定數量的無差別物體的方法的總數，使用插板法一般有三個要求：①所要分解的物體一般是相同的：②所要分解的物體必須全部分完：③參與分物體的組至少都分到1個物體，不能有沒分到物體的組出現．在有些題目中，已知條件與上面的三個要求並不一定完全相符，對此應當對已知條件進行適當的變形，使得它與一般的要求相符，再適用插板法．使用插板法一般有如下三種類型：⑴ m 個人分n 個東西，要求每個人至少有一個．這個時候我們只需要把所有的東西排成一排，在其中的(1)n -個空隙中放上(1)m -個插板，所以分法的數目為11m n C --． ⑵ m 個人分n 個東西，要求每個人至少有a 個．這個時候，我們先發給每個人(1)a -個，還剩下[(1)]n m a --個東西，這個時候，我們把剩下的東西按照類型⑴來處理就可以了．所以分法的數目為1(1)1m n m a C ----．⑶ m 個人分n 個東西，允許有人沒有分到．這個時候，我們不妨先借來m 個東西，每個人多發1個，這樣就和類型⑴一樣了，不過這時候物品總數變成了()n m +個，因此分法的數目為11m n m C -+-．【例 1】將三盆同樣的紅花和四盆同樣的黃花擺放成一排，要求三盆紅花互不相鄰，共有種不同的放法。

小学数学奥赛7-6-3 计数之对应法.教师版

前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用．将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量上是相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式．模块一、图形中的对应关系【例 1】在8×8的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L”形（如图），一共有多少种不同的方法？【考点】计数之图形中的对应关系【难度】3星【题型】解答【解析】注意：数“不规则几何图形”的个数时，常用对应法．第1步：找对应图形每一种取法，有一个点与之对应，这就是图中的A点，它是棋盘上横线与竖线的交点，且不在棋盘边上．第2步：明确对应关系从下图可以看出，棋盘内的每一个点对应着4个不同的取法（“L”形的“角”在2×2正方形的不同“角”上）．第3步：计算对应图形个数由于在8×8的棋盘上，内部有7×7=49（个）交叉点，第4步：按照对应关系，给出答案故不同的取法共有49×4=196（种）．评注:通过上面两个范例我们知道,当直接去求一个集合元素的个数较为困难的时候,可考虑采用相等的原则,把问题转化成求另一个集合的元素个数．【答案】196【例 2】在8×8的黑白相间染色的国际象棋棋盘中，以网格线为边的、恰包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形共有多少个？【考点】计数之图形中的对应关系【难度】3星【题型】解答【解析】首先可以知道题中所讲的13⨯长方形中间的那个小主格为黑色，这是因为两个白格不相邻，所以不能在中间．显然，位于棋盘角上的黑色方格不可能被包含在这样的长方形中．下面分两种情况来分析：第一种情况，一个位于棋盘内部的黑色方格对应着两个这样的13⨯长方形(一横一竖)；第二种情例题精讲教学目标7-6-3计数之对应法况，位于边上的黑色方格只能对应一个13⨯长方形．由于在棋盘上的32个黑色方格中，位于棋盘内部的18个，位于边上的有12个，位于角上的有2个，所以共有1821248⨯+=个这样的长方形．本题也可以这样来考虑：事实上，每一行都有6个13⨯长方形，所以棋盘上横、竖共有13⨯长方形68296⨯⨯=个．由于棋盘上的染色具有对称性，因此包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形正好与包含两个黑色小方格与一个白色小方格的长方形具有一一对应关系，这说明它们各占一半，因此所求的长方形个数为96248÷=个．【答案】48【巩固】用一张如图所示的纸片盖住66⨯方格表中的四个小方格，共有多少种不同的放置方法？【考点】计数之图形中的对应关系【难度】3星【题型】解答【解析】如图，将纸片中的一个特殊方格染为黑色，下面考虑此格在66⨯方格表中的位置．易见它不能位于四个角上；若黑格位于方格表中间如图浅色阴影所示的44⨯正方形内的某格时，纸片有4种不同的放法，共计44464⨯⨯=种；若黑格位于方格表边上如图深色阴影所示的方格中时，纸片的位置随之确定，即只有1种放法，此类放法有4416⨯=种．所以，纸片共有641680+=种不同的放置方法．【答案】80种【例 3】图中可数出的三角形的个数为．【考点】计数之图形中的对应关系【难度】4星【题型】填空【解析】这个图不像我们以前数三角形那样规则，粗看似乎看不出其中的规律，不妨我们取出其中的一个三角形，发现它的三条边必然落在这个图形中的三条大线段上，而每三条大线段也正好能构成一个三角形，因此三角形的个数和三条大线段的取法是一一对应的关系，图中一共有8条大线段，因此有3856C =个三角形．【答案】56个三角形【例 4】如图所示，在直线AB 上有7个点，直线CD 上有9个点．以AB 上的点为一个端点、CD 上的点为另一个端点的所有线段中，任意3条线段都不相交于同一个点，求所有这些线段在AB 与CD 之间的交点数．【考点】计数之图形中的对应关系【难度】4星【题型】解答C D BA【解析】常规的思路是这样的：直线AB 上的7个点，每个点可以与直线CD 上的9个点连9根线段，然后再分析这些线段相交的情况．如右图所示，如果注意到下面这个事实：对于直线AB 上的任意两点M 、N 与直线CD 上的任意两点P 、Q 都可以构成一个四边形MNQP ，而这个四边形的两条对角线MQ 、NP 的交点恰好是我们要计数的点，同时，对于任意四点(AB 与CD 上任意两点)都可以产生一个这样的交点，所以图中两条线段的交点与四边形有一一对应的关系．这说明，为了计数出有多少个交点，我们只需要求出在直线AB 与CD 中有多少个满足条件的四边形MNQP 就可以了！从而把问题转化为：在直线AB 上有7个点，直线CD 上有9个点．四边形MNQP 有多少个？其中点M 、N 位于直线AB 上，点P 、Q 位于直线CD 上．这是一个常规的组合计数问题，可以用乘法原理进行计算：由于线段MN 有2721C =种选择方式，线段PQ 有2936C =种选择方式，根据乘法原理，共可产生2136756⨯=个四边形．因此在直线AB 与CD 之间共有756个交点．【答案】756个交点模块二、数字问题中的对应关系【例 5】有多少个四位数，满足个位上的数字比千位数字大，千位数字比百位大，百位数字比十位数字大？【考点】计数之数字问题中的对应关系【难度】4星【题型】解答【解析】由于四位数的四个数位上的数的大小关系已经非常明确，而对于从0～9中任意选取的4个数字，它们的大小关系也是明确的，那么由这4个数字只能组成1个符合条件的四位数(题目中要求千位比百位大，所以千位不能为0，本身已符合四位数的首位不能为0的要求，所以进行选择时可以把0包含在内)，也就是说满足条件的四位数的个数与从0～9中选取4个数字的选法是一一对应的关系，那么满足条件的四位数有410109872104321C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯个．【答案】210个【巩固】三位数中，百位数比十位数大，十位数比个位数大的数有多少个？【考点】计数之数字问题中的对应关系【难度】4星【题型】解答【解析】相当于在10个数字中选出3个数字，然后按从大到小排列.共有10×9×8÷（3×2×1）=120种．实际上，前铺中每一种划法都对应着一个数．【答案】120种【例 6】数3可以用4种方法表示为一个或几个正整数的和，如3，12+，21+，111++．问：1999表示为一个或几个正整数的和的方法有多少种？【考点】计数之数字问题中的对应关系【难度】4星【题型】解答【解析】我们将1999个1写成一行，它们之间留有1998个空隙，在这些空隙处，或者什么都不填，或者填上“＋”号．例如对于数3，上述4种和的表达方法对应：1 1 1，1+1 1，1 1+1，1+1+1．可见，将1999表示成和的形式与填写1998个空隙处的方式之间是一一对应的关系，而每一个空隙处都有填“＋”号和不填“＋”号2种可能，因此1999可以表示为正整数之和的不同方法有1998199822222⨯⨯⨯=L 14243个相乘种．【答案】19982种【例 7】请问至少出现一个数码3，并且是3的倍数的五位数共有多少个？【考点】计数之数字问题中的对应关系【难度】4星【题型】解答【关键词】小学数学竞赛【解析】五位数共有90000个，其中3的倍数有30000个．可以采用排除法，首先考虑有多少个五位数是3的倍数但不含有数码3.首位数码有8种选择，第二、三、四位数码都有9种选择．当前四位的数码确定后，如果它们的和除以余数为0，则第五位数码可以为0、6、9；如果余数为1，则第五位数码可以为2、5、8；如果余数为2，则第五位数码可以为1、4、7.可见只要前四位数码确定了，第五位数码都有3种选择，所以五位数中是3的倍数但不含有数码3的数共有8999317496⨯⨯⨯⨯=个．所以满足条件的五位数共有300001749612504-=个．【答案】12504个模块三、对应与阶梯型标数法【例 8】游乐园的门票1元1张，每人限购1张．现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票，售票员没有准备零钱．问有多少种排队方法，使售票员总能找得开零钱？【考点】计数之对应与阶梯型标数法【难度】5星【题型】解答【解析】与类似题目找对应关系．要保证售票员总能找得开零钱，必须保证每一位拿2元钱的小朋友前面的若干小朋友中，拿1元的要比拿2元的人数多，先将拿1元钱的小朋友看成是相同的，将拿2元钱的小朋友看成是相同的，可以利用斜直角三角模型．在下图中，每条小横线段代表1元钱的小朋友，每条小竖线段代表2元钱的小朋友，因为从A 点沿格线走到B 点，每次只能向右或向上走，无论到途中哪一点，只要不超过斜线，那么经过的小横线段都不少于小竖线段，所以本题相当于求下图中从A 到B 有多少种不同走法．使用标数法，可求出从A 到B 有42种走法．A B 424228145141494553221111111 但是由于10个小朋友互不相同，必须将他们排队，可以分成两步，第一步排拿2元的小朋友，5个人共有5120=！种排法；第二步排拿到1元的小朋友，也有120种排法，所以共有5514400⨯=！！种排队方法．这样，使售票员能找得开零钱的排队方法共有4214400604800⨯=(种)．【答案】604800种【例 9】学学和思思一起洗5个互不相同的碗（顺序固定），思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有种不同的摞法．【考点】计数之对应与阶梯型标数法【难度】5星【题型】解答【关键词】学而思杯，5年级，第7题【解析】方法一：如下所示，共有42种不同的摞法：54321----，45321----，35421----，53421----，34521----，54231----，45231----，25431----，52431----，24531----，52341----，25341----，23541----，23451----，54312----，45312----，53412----，35412----，34512----，54132----，45132----，15432----，51432----，14532----，51342----，15342----，13542----，13452----，54123----，45123----，15423----，51423----，14523----，12543----，51243----，15243----，12453----，12354----，12534----，15234----，51234----，12345----。

小学奥数组合

7 计数综合 7-5 组合7-5-1组合及其应用7-5-2排除法 7-5-3插板法1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等．一、组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作mn C ．一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数n m P 可分成以下两步：第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法；第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m m P 种排法．组合根据乘法原理，得到m m m n n m P C P =⋅．因此，组合数12)112321⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅L L m mn nm m P n n n n m C P m m m （）（（）（）（）．这个公式就是组合数公式．二、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：m n m n n C C -=(m n ≤)这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n mn C -表示从n 个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法．例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C =．规定1n nC =，01n C =．模块一、组合及其应用【例 1】计算：⑴ 26C ，46C ；⑵ 27C ，57C ．（2级）【小结】注意到上面的结果中，有2466C C =，2577C C =．【例 2】计算：⑴ 198200C ；⑵ 5556C ；⑶ 981001001002C C -．（2级）【巩固】计算：⑴ 312C ；⑵ 9981000C ；⑶ 2288P C -．（2级）【例 3】6个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？（2级）【巩固】某班毕业生中有20名同学相见了，他们互相都握了一次手，问这次聚会大家一共握了多少次手？（2级）【例 4】（难度等级※※）学校开设6门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种不同的选法？（4级）【例 5】某校举行排球单循环赛，有12个队参加．问：共需要进行多少场比赛？（2级）【巩固】芳草地小学举行足球单循环赛，有24个队参加．问：共需要进行多少场比赛？（2级）【例 6】一批象棋棋手进行循环赛，每人都与其他所有的人赛一场，根据积分决出冠军，循环赛共要进行78场，那么共有多少人参加循环赛？（4级）【例 7】某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成4个小组，每组4人，分别进行单循环赛；第三阶段：由4个小组产生的4个第1名进行2场半决赛和2场决赛，确定1至4名的名次．问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？（4级）【例 8】从分别写有1、3、5、7、9的五张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的乘法题，问：⑴有多少个不同的乘积？⑵有多少个不同的乘法算式？（6级）【巩固】9、8、7、6、5、4、3、2、1、0这10个数字中划去7个数字，一共有多少种方法？（4级）【巩固】从分别写有1、2、3、4、5、6、7、8的八张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的加法题，有多少种不同的和？（4级）【例 9】在1~100中任意取出两个不同的数相加，其和是偶数的共有多少种不同的取法？（6级）【巩固】从19、20、……、93、94这76个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少？（6级）【例 10】一个盒子装有10个编号依次为1，2，3，L，10的球，从中摸出6个球，使它们的编号之和为奇数，则不同的摸法种数是多少？（6级）【例 11】用2个1，2个2，2个3可以组成多少个互不相同的六位数？用2个0，2个1，2个2可以组成多少个互不相同的六位数？（6级）【例 12】从1，3，5，7，9中任取三个数字，从2，4，6，8中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，一共可以组成多少个数？（6级）【例 13】从0、0、1、2、3、4、5这七个数字中，任取3个组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？（这里每个数字只允许用1次，比如100、210就是可以组成的，而211就是不可以组成的）．（2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛五年级）（4级）【例 14】用2个1，2个2，2个3可以组成多少个互不相同的六位数？用2个0，2个1，2个2可以组成多少个互不相同的六位数？（6级）【巩固】用两个3，一个2，一个1，可以组成多少个不重复的4位数？（6级）【例 15】工厂某日生产的10件产品中有2件次品，从这10件产品中任意抽出3件进行检查，问：（1）一共有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种？（6级）【例 16】200件产品中有5件是次品，现从中任意抽取4件，按下列条件，各有多少种不同的抽法（只要求列式）？⑴都不是次品；⑵至少有1件次品；⑶不都是次品．（6级）【例 17】在一个圆周上有10个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的：⑴直线段；⑵三角形；⑶四边形．（6级）【巩固】平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？（4级）【巩固】在正七边形中，以七边形的三个顶点为顶点的三角形共有多少个？（4级）【例 18】平面内有12个点，其中6点共线，此外再无三点共线．⑴ 可确定多少个三角形？⑵ 可确定多少条射线？（6级）【巩固】如图，问：⑴ 图1中，共有多少条线段？⑵ 图2中，共有多少个角？（4级）54321 ...P 9P 3P 2P 1BAO图1 图2【例 19】某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营，问共有多少种选法？如果在42人中选3人站成一排，有多少种站法？（6级）【巩固】学校新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不影响正常的照明，可以熄灭其中2盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的2盏灯，那么熄灯的方法共有多少种？（6级）【例 20】将三盘同样的红花和四盘同样的黄花摆放成一排，要求三盘红花互不相邻，共有__________种不同的方法．（2007年“希望杯”第一试）（4级）【例 21】在一次合唱比赛中，有身高互不相同的8个人要站成两排，每排4个人，且前后对齐．而且第二排的每个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住．一共有多少种不同的排队方法？（4级）【例 22】在一次考试的选做题部分，要求在第一题的4个小题中选做3个小题，在第二题的3个小题中选做2个小题，在第三题的2个小题中选做1个小题，有多少种不同的选法？（6级）【例 23】某年级6个班的数学课，分配给甲、乙、丙三名数学老师任教，每人教两个班，分派的方法有多少种？（6级）【例 24】(2007年“迎春杯”高年级初赛)将19枚棋子放入55的方格网内，每个方格至多只放一枚棋子，且每行每列的棋子个数均为奇数个，那么共有________种不同的放法．（4级）【例 25】甲射击员在练习射击，前方有三种不同类型的气球，共3串，有一串是红气球3个，有一串是黄气球2个，有一串是绿气球4个，而且每次射击必须射最下面的气球，问有多少种不同的射法？（6级）绿红黄【例 26】有8个队参加比赛，采用如下图所示的淘汰制方式．问在比赛前抽签时，可以得到多少种实质不同的比赛安排表？（6级）【例 27】某池塘中有A B C、、三只游船，A船可乘坐3人，B船可乘坐2人，C船可乘坐1人，今有3个成人和2个儿童要分乘这些游船，为安全起见，有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，那么他们5人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种？（6级）【例 28】有蓝色旗3面，黄色旗2面，红色旗1面．这些旗的模样、大小都相同．现在把这些旗挂在一个旗杆上做成各种信号，如果按挂旗的面数及从上到下颜色的顺序区分信号，那么利用这些旗能表示多少种不同信号? （4级）【例 29】从10名男生，8名女生中选出8人参加游泳比赛．在下列条件下，分别有多少种选法？⑴恰有3名女生入选；⑵至少有两名女生入选；⑶某两名女生，某两名男生必须入选；⑷某两名女生，某两名男生不能同时入选；⑸某两名女生，某两名男生最多入选两人．（6级）【例 30】从4名男生，3名女生中选出3名代表．⑴不同的选法共有多少种？⑵“至少有一名女生”的不同选法共有多少种？⑶“代表中男、女生都要有”的不同选法共有多少种？（6级）【巩固】在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各一名，现要组成5人医疗小组送医下乡，按照下列条件各有多少种选派方法？⑴有3名内科医生和2名外科医生；⑵既有内科医生，又有外科医生；⑶至少有一名主任参加；⑷既有主任，又有外科医生．（8级）【例 31】在10名学生中，有5人会装电脑，有3人会安装音响设备，其余2人既会安装电脑，又会安装音响设备，今选派由6人组成的安装小组，组内安装电脑要3人，安装音响设备要3人，共有多少种不同的选人方案？（8级）【例 32】有11名外语翻译人员，其中5名是英语翻译员，4名是日语翻译员，另外两名英语、日语都精通．从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作．问这样的分配名单共可以开出多少张？（8级）【巩固】某旅社有导游9人，其中3人只会英语，2人只会日语，其余4个既会英语又会日语．现要从中选6人，其中3人做英语导游，另外3人做日语导游．则不同的选择方法有多少种？（8级）板块二、排除法对于某些有特殊要求的计数，当限制条件较多时，可以先计算所有可能的情况，再从中排除掉那些不符合要求的情况．【例 33】如图所示，在半圆弧及其直径上共有9个点，以这些点为顶点可画出多少个三角形？（6级）【例 34】如图，正方形ACEG的边界上共有7个点A、B、C、D、E、F、G、其中B、D、F分别在边AC、CE、EG上．以这7个点中的4个点为顶点组成的不同的四边形的个数是_____ 个．(小学数学奥林匹克决赛) （6级）【巩固】图中正方形的四边共有8个点，其中任意4点不在一条直线上，那么可组成多少个四边形？（4级）【例 35】如图，有53个点，取不同的三个点就可以组合一个三角形，问总共可以组成＿＿＿＿个三角形．（4级）【例 36】在100~1995的所有自然数中，百位数与个位数不相同的自然数有多少个？（4级）【例 37】1到1999的自然数中，有多少个与5678相加时，至少发生一次进位？（6级）【巩固】所有三位数中，与456相加产生进位的数有多少个？（6级）【巩固】从1到2004这2004个正整数中，共有几个数与四位数8866相加时，至少发生一次进位？（6级）【例 38】在三位数中，至少出现一个6的偶数有多少个？（6级）【例 39】由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位数中，百位不是2的奇数有个．（6级）【例 40】从三个0、四个1，五个2中挑选出五个数字，能组成多少个不同的五位数？（6级）【例 41】10个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法？（6级）【例 42】一栋12层楼房备有电梯，第二层至第六层电梯不停．在一楼有3人进了电梯，其中至少有一个要上12楼，则他们到各层的可能情况共有多少种？（6级）【例 43】8个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间（不一定相邻），小慧和大智不能相邻，小光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种？（6级）【例 44】若一个自然数中至少有两个数字，且每个数字小于其右边的所有数字，则称这个数是“上升的”．问一共有多少“上升的”自然数？（6级）【例 45】6人同时被邀请参加一项活动．必须有人去，去几个人自行决定，共有多少种不同的去法？（6级）【例 46】由数字1，2，3组成五位数，要求这五位数中1，2，3至少各出现一次，那么这样的五位数共有________个．(2007年“迎春杯”高年级组决赛) （6级）【例 47】5条直线两两相交，没有两条直线平行，没有任何三条直线通过同一个点，以这5条直线的交点为顶点能构成几个三角形？(构成的三角形的边不一定在这5条直线上) （8级）【例 48】正方体的顶点(8个)，各边的中点(12个)，各面的中心(6个)，正方体的中心(1个)，共27个点，以这27个点中的其中3点一共能构成多少个三角形？（6级）【例 49】用A 、B 、C 、D 、E 、F 六种染料去染图中的两个调色盘，要求每个调色盘里的六种颜色不能相同，且相邻四种颜色在两个调色盘里不能重复，那么共有多少种不同的染色方案（旋转算不同的方法）（6级）板块三、插板法插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．使用插板法一般有如下三种类型：⑴ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的(1)n -个空隙中放上(1)m -个插板，所以分法的数目为11m n C --．⑵ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有a 个．这个时候，我们先发给每个人(1)a -个，还剩下[(1)]n m a --个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为1(1)1m n m a C ----．⑶ m 个人分n 个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来m 个东西，每个人多发1个，这样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了()n m +个，因此分法的数目为11m n m C -+-．【例 50】有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法？（4级）【巩固】小红有10块糖，每天至少吃1块，7天吃完，她共有多少种不同的吃法？（6级）【巩固】(2008年西城实验考题)有12块糖，小光要6天吃完，每天至少要吃一块，问共有种吃法．（6级）【巩固】（2009年十三分小升初入学测试题）把5件相同的礼物全部分给3个小朋友，要使每个小朋友都分到礼物，则分礼物的不同方法一共有种．（6级）【巩固】把7支完全相同的铅笔分给甲、乙、丙3个人，每人至少1支，问有多少种方法？（6级）【巩固】学校合唱团要从6个班中补充8名同学，每个班至少1名，共有多少种抽调方法？（6级）【例 51】10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，允许有的盘子空着．请问一共有多少种不同的放法？（6级）【例 52】把20个苹果分给3个小朋友，每人最少分3个，可以有多少种不同的分法？（6级）【巩固】如果把20支铅笔，分给甲、乙、丙三人，每人至少3支，可以有多少种不同的分法？（6级）【巩固】三所学校组织一次联欢晚会，共演出14个节目，如果每校至少演出3个节目，那么这三所学校演出节目数的不同情况共有多少种？（6级）【例 53】(1)小明有10块糖，每天至少吃1块，8天吃完，共有多少种不同吃法?(2)小明有10块糖，每天至少吃1块，8天或8天之内吃完，共有多少种吃法? （6级）【例 54】马路上有编号为1，2，3，…，10的十只路灯，为节约用电又能看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但又不能同时关掉相邻的两只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法有多少种？（6级）【例 55】在四位数中，各位数字之和是4的四位数有多少？（6级）【巩固】大于2000小于3000的四位数中数字和等于9的数共有多少个？（6级）【例 56】兔妈妈摘了15个相同的磨菇，分装在3个相同的筐子里，如果不允许有空筐，共有多少种不同的装法？如果分装在3个不同的筐子里，不允许有空筐，又有多少种不同的装法？（8级）。

小学奥数教师版-7-5-3 组合之排除法

7-5-3.组合之排除法.题库
教师版
page 1 of 6
请；
例题精讲
对于某些有特殊要求的计数，当限制条件较多时，可以先计算所有可能的情况，再从中排除掉那些不符
合要求的情况．
【例 1】在100 ~ 1995 的所有自然数中，百位数与个位数不相同的自然数有多少个？
【考点有人，每个人都有 7 种选择，总共就有 7 10 70 种选择，但是
需要注意的是，选择的过程中，会出现“选了甲、乙，选了乙、甲”这样的情况本来是同一种选择，
而却算作了两种，所以最后的结果应该是(10 1 1 1 ) 10 2 35 (种)．
(法 2)排除法．可以从所有的两人组合中排除掉相邻的情况，总的组合数为 C120 ，而被选的两个人相
【例 5】由 0，1，2，3，4，5 组成的没有重复数字的六位数中，百位不是 2 的奇数有
个．
【考点】组合之排除法
【难度】3 星
【题型】解答
【解析】由 0，1，2，3，4，5 组成的没有重复数字的奇六位数，个位可以为 1，3，5，有 3 种选法；个位选
定后，十万位不能与个位相同，且不能为 0，有 4 种；十万位选定后万位有 4 种；……；故由 0，1，
2，3，4，5 组成的没有重复数字且百位为 2 的奇六位数的个数为： 3 3 3 2 1 54 个；
所以，满足条件的数有： 288 54 234 个．
【答案】 234
【例 6】从三个 0、四个 1，五个 2 中挑选出五个数字，能组成多少个不同的五位数？
【考点】组合之排除法
【难度】3 星
【题型】解答
2，3，4，5 组成的没有重复数字的奇六位数的个数为： 3 4 4 3 2 1 288 个；

小学数学竞赛7-5-组合

1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等．一、组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作m n C ．一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数n m P 可分成以下两步：第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法；第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m mP 种排法．根据乘法原理，得到m m mn n m P C P =⋅．知识要点教学目标组合因此，组合数12)112321⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅m mn nm m P n n n n m C P m m m （）（（）（）（）．这个公式就是组合数公式．二、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：m n m n n C C -=(m n ≤)这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n mn C -表示从n 个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法．例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C =．规定1n nC =，01n C =．模块一、组合及其应用【例 1】计算：⑴ 26C ，46C ；⑵ 27C ，57C ．（2级）【解析】 ⑴ 226622651521P C P ⨯===⨯，4466446543154321P C P ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯ ⑵ 227722762121P C P ⨯===⨯，557755765432154321P C P ⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯ 【小结】注意到上面的结果中，有2466C C =，2577C C =．【例 2】计算：⑴ 198200C ；⑵ 5556C ；⑶ 981001001002C C -．（2级）【解析】 ⑴ 21982001982200200200200222001991990021P CCCP -⨯=====⨯； ⑵ 15556551565656561156561P C CC P -=====；⑶ 2981002100100100100221009922122494821P CCCP ⨯-=-⨯=-=-=⨯．【巩固】计算：⑴ 312C ；⑵ 9981000C ；⑶ 2288P C -．（2级）例题精讲【解析】⑴312121110220 321C⨯⨯==⨯⨯⑵9982100010001000999499500 21C C ⨯===⨯⑶2288878756282821P C ⨯-=⨯-=-=⨯．【例 3】6个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？（2级）【解析】这与课前挑战的情景是类似的．因为两个人握手是相互的，6个朋友每两人握手一次，握手次数只与握手的两个人的选取有关而与两个人的顺序无关，所以这是个组合问题．由组合数公式知，266515 21C⨯==⨯(次)．所以一共握手15次．【巩固】某班毕业生中有20名同学相见了，他们互相都握了一次手，问这次聚会大家一共握了多少次手？（2级）【解析】2202019190 21C⨯==⨯(次)．【例 4】（难度等级※※）学校开设6门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种不同的选法？（4级）【解析】被选中的3门排列顺序不予考虑，所以这是个组合问题．由组合数公式知，3665420 321C⨯⨯==⨯⨯(种)．所以共有20种不同的选法．【例 5】某校举行排球单循环赛，有12个队参加．问：共需要进行多少场比赛？（2级）【解析】因为比赛是单循环制的，所以，12个队中的每两个队都要进行一场比赛，并且比赛的场次只与两个队的选取有关而与两个队选出的顺序无关．所以，这是一个在12个队中取2个队的组合问题．由组合数公式知，共需进行212121166 21C⨯==⨯(场)比赛．【巩固】芳草地小学举行足球单循环赛，有24个队参加．问：共需要进行多少场比赛？（2级）【解析】由组合数公式知，共需进行2242423276 21C⨯==⨯(场)比赛．【例 6】一批象棋棋手进行循环赛，每人都与其他所有的人赛一场，根据积分决出冠军，循环赛共要进行78场，那么共有多少人参加循环赛？（4级）【解析】从若干人中选出2人比赛，与选出的先后顺序无关，这是一个组合问题．依题意，假设有n个人参加循环赛，应该有217821⋅-==⨯n n nC （），所以17821312⋅-=⨯=⨯n n（），所以13n=，即一共有13人参加循环赛．【例 7】某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成4个小组，每组4人，分别进行单循环赛；第三阶段：由4个小组产生的4个第1名进行2场半决赛和2场决赛，确定1至4名的名次．问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？（4级）【解析】第一阶段中，每个小组内部的6个人每2人要赛一场，组内赛266515 21C⨯==⨯场，共8个小组，有158120⨯=场；第二阶段中，每个小组内部4人中每2人赛一场，组内赛24436 21C⨯==⨯场，共4个小组，有6424⨯=场；第三阶段赛224+=场．根据加法原理，整个赛程一共有120244148++=场比赛．【例 8】从分别写有1、3、5、7、9的五张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的乘法题，问：⑴有多少个不同的乘积？⑵有多少个不同的乘法算式？（6级）【解析】⑴要考虑有多少个不同乘积．由于只要从5张卡片中取两张，就可以得到一个乘积，所以，有多少个乘积只与所取的卡片有关，而与卡片取出的顺序无关，所以这是一个组合问题．由组合数公式，共有225522541021PCP⨯===⨯(个)不同的乘积．⑵要考虑有多少个不同的乘法算式，它不仅与两张卡片上的数字有关，而且与取到两张卡片的顺序有关，所以这是一个排列问题．由排列数公式，共有255420P=⨯=(种)不同的乘法算式．【巩固】9、8、7、6、5、4、3、2、1、0这10个数字中划去7个数字，一共有多少种方法？（4级）【解析】相当于在10个数字选出7个划去，一共有10×9×8×7×6×5×4÷（7×6×5×4×3×2×1）=10×9×8÷（3×2×1）=120种．【巩固】从分别写有1、2、3、4、5、6、7、8的八张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的加法题，有多少种不同的和？（4级）【解析】228822872821PCP⨯===⨯(种)．【例 9】在1~100中任意取出两个不同的数相加，其和是偶数的共有多少种不同的取法？（6级）【解析】两个数的和是偶数，通过前面刚刚学过的奇偶分析法，这两个数必然同是奇数或同是偶数，而取出的两个数与顺序无关，所以是组合问题．从50个偶数中取出2个，有25050491225 21C⨯==⨯(种)取法；从50个奇数中取出2个，也有25050491225 21C⨯==⨯(种)取法．根据加法原理，一共有122512252450+=(种)不同的取法．【小结】在本题中，对两个数的和限定了条件．不妨对这个条件进行分类，如把和为偶数分成两奇数相加或两偶数相加．这样可以把问题简化．【巩固】从19、20、……、93、94这76个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少？（6级）【解析】19、20、……、93、94中有38个奇数，38个偶数，从38个数中任取2个数的方法有：238383770321C ⨯==⨯(种)，所以选法总数有：70321406⨯=(种)．【例 10】一个盒子装有10个编号依次为1，2，3，，10的球，从中摸出6个球，使它们的编号之和为奇数，则不同的摸法种数是多少？（6级）【解析】 10个编号中5奇5偶，要使6个球的编号之和为奇数，有以下三种情形：⑴ 5奇1偶，这时对奇数只有1种选择，对偶数有5种选择．由乘法原理，有155⨯=(种)选择；⑵ 3奇3偶，这时对奇数有3554310321C ⨯⨯==⨯⨯(种)选择，对偶数也有3554310321C ⨯⨯==⨯⨯(种)选择．由乘法原理，有1010100⨯=(种)选择；⑶ 1奇5偶，这时对奇数有5种选择，对偶数只有1种选择．由乘法原理，有515⨯=(种)选择．由加法原理，不同的摸法有51005110++=(种)．【例 11】用2个1，2个2，2个3可以组成多少个互不相同的六位数？用2个0，2个1，2个2可以组成多少个互不相同的六位数？（6级）【解析】先考虑在6个数位上选2个数位放1，这两个1的顺序无所谓，故是组合问题，有26651521C ⨯==⨯(种)选法；再从剩下的4个数位上选2个放2，有2443621C ⨯==⨯(种)选法；剩下的2个数位放3，只有1种选法．由乘法原理，这样的六位数有156190⨯⨯=(个)．在前一问的情况下组成的90个六位数中，首位是1、2、3的各30个．如果将3全部换成0，这30个首位是0的数将不是六位数，所以可以组成互不相同的六位数903060-=(个)．【例 12】从1，3，5，7，9中任取三个数字，从2，4，6，8中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，一共可以组成多少个数？（6级）【解析】整个过程可以分三步完成：第一步，从1，3，5，7，9中任取三个数字，这是一个组合问题，有35C 种方法；第二步，从2，4，6，8中任取两个数字，也是一个组合问题，有24C 种方法；第三步，用取出的5个数字组成没有重复数字的五位数，有55P 种方法．所以总的个数为：3255457200C C P ⨯⨯=（个）．【例 13】从0、0、1、2、3、4、5这七个数字中，任取3个组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？（这里每个数字只允许用1次，比如100、210就是可以组成的，而211就是不可以组成的）．（2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛五年级）（4级）【解析】若三位数不含有0，有54360⨯⨯=（个），若含有一个0，有54240⨯⨯=（个），若含有两个0，有5（个），所以共有60405105++=（个）．【例 14】用2个1，2个2，2个3可以组成多少个互不相同的六位数？用2个0，2个1，2个2可以组成多少个互不相同的六位数？（6级）【解析】先考虑在6个数位上选2个数位放1，这两个1的顺序无所谓，故是组合问题有2615C =种选法；再从剩下的4个数位上选2个放2，有246C =种选法；剩下的2个数位放3，只有1种选法．由乘法原理，这样的六位数有156190⨯⨯=个．在前一问的情况下组成的90个六位数中，首位是1、2、3的各30个．如果将3全部换成0，这30个首位是0的数将不是六位数，所以可以组成互不相同的六位数903060-=个．【巩固】用两个3，一个2，一个1，可以组成多少个不重复的4位数？（6级）【解析】这道题由于3有2个，是其中最特殊的，所以从它入手．先从四位数的4个数位中选择2个来放3，有246C =种选法；然后剩下的两个数位放1和2，有2种放法；根据乘法原理，共有6212⨯=种不同的方法，所以可以组成12个不重复的四位数．【例 15】工厂某日生产的10件产品中有2件次品，从这10件产品中任意抽出3件进行检查，问：（1）一共有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种？（6级）【解析】（1）从10件产品中抽出3件，抽法总数为310C =120（种）（2）3件中恰好一件次品，那么还有两件正常品．抽法总数为12C ×28C =56（种）（3）与“至少有一件是次品”互补的事件是“全都不是次品” 全都不是次品的抽法总数为38C =56（种）所以至少有一件次品的抽法总数为120-56=64（种）．【例 16】 200件产品中有5件是次品，现从中任意抽取4件，按下列条件，各有多少种不同的抽法（只要求列式）？⑴都不是次品；⑵至少有1件次品；⑶不都是次品．（6级）【解析】第⑴题：与顺序无关；都不是次品，即全部都是正品，正品有195件．第⑵题：与顺序无关；至少有1件次品，即有1件次品、2件次品、3件次品、4件次品等四类情况，次品共5件．可用直接法解答，也可用间接法解答．第⑶题：与顺序无关；不都是次品，即至少有1件是正品． ⑴都不是次品，即全部为正品．共有抽法4195C 种．⑵至少有1件次品，包括1件、2件、3件、4件次品的情况．共有抽法31221341955195519555()C C C C C C C +++种（或44200195()C C -种）．⑶不都是次品，即至少有1件正品．共有抽法1322314195519551955195()C C C C C C C +++种（或442005()C C -种）．【例 17】在一个圆周上有10个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的：⑴ 直线段；⑵ 三角形；⑶ 四边形．（6级）【解析】由于10个点全在圆周上，所以这10个点没有三点共线，故只要在10个点中取2个点，就可以画出一条线段；在10个点中取3个点，就可以画出一个三角形；在10个点中取4个点，就可以画出一个四边形，三个问题都是组合问题．由组合数公式：⑴ 可画出221010221094521P C P ⨯===⨯(条)直线段．⑵ 可画出331010331098120321P C P ⨯⨯===⨯⨯(个)三角形． ⑶ 可画出44101044109872104321P C P ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯(个)四边形．【巩固】平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？（4级）【解析】这道题不考虑线段两个端点的顺序，是组合问题，实际上是求从10个元素中取出2个元素的组合数，由组合数公式，2101094521C ⨯==⨯，所以以10个点中每2个点为端点的线段共有45条．【巩固】在正七边形中，以七边形的三个顶点为顶点的三角形共有多少个？（4级）【解析】三角形的形状与三个顶点选取的先后顺序无关，所以这是一个组合问题，实际上是求从7个点中选出3个点的选法，等于3776535321C ⨯⨯==⨯⨯(种)．【例 18】平面内有12个点，其中6点共线，此外再无三点共线．⑴ 可确定多少个三角形？⑵ 可确定多少条射线？（6级）【解析】 ⑴ 分三类：①有2个顶点在共线的6点中，另1个顶点在不共线的6点中的三角形有2665669021C ⨯⨯=⨯=⨯个； ②有1个顶点在共线的6点中，另2个顶点在不共线的6点中的三角形有2665669021C ⨯⨯=⨯=⨯(个)； ③3个顶点都在不共线的6点中的三角形有3665420321C ⨯⨯==⨯⨯个．根据加法原理，可确定909020200++=个三角形． ⑵ 两点可以确定两条射线，分三类： ①共线的6点，确定10条射线；②不共线的6点，每两点确定两条射线，共有2665223021C ⨯⨯=⨯=⨯(条)射线； ③从共线的6点与不共线的6点中各取一个点可以确定66272⨯⨯=(条)射线．根据加法原理，可以确定103072112++=(条)射线．【巩固】如图，问：⑴ 图1中，共有多少条线段？⑵ 图2中，共有多少个角？（4级）54321 ...P 9P 3P 2P 1BAO图1 图2 【解析】 ⑴ 在线段AB 上共有7个点（包括端点A 、B ）．注意到，只要在这七个点中选出两个点，就有一条以这两个点为端点的线段，所以，这是一个组合问题，而27C 表示从7个点中取两个不同点的所有取法，每种取法可以确定一条线段，所以共有27C 条线段．由组合数公式知，共有227722762121P C P ⨯===⨯(条)不同的线段； ⑵ 从O 点出发的射线一共有11条，它们是OA ， 1OP ，2OP ，3OP ，，9OP ，OB ．注意到每两条射线可以形成一个角，所以，只要看从11条射线中取两条射线有多少种取法，就有多少个角．显然，是组合问题，共有211C 种不同的取法，所以，可组成211C 个角．由组合数公式知，共有2211112211105521P C P ⨯===⨯(个)不同的角．【例 19】某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营，问共有多少种选法？如果在42人中选3人站成一排，有多少种站法？（6级）【解析】要在42人中选3人去参加夏令营，那么，所有的选法只与选出的同学有关，而与三名同学被选出的顺序无关．所以，应用组合数公式，共有342C 种不同的选法．要在42人中选出3人站成一排，那么，所有的站法不仅与选出的同学有关，而且与三名同学被选出的顺序有关．所以，应用排列数公式，共有342P 种不同的站法．由组合数公式，共有3342423342414011480321P C P ⨯⨯===⨯⨯(种)不同的选法；由排列数公式，共有34242414068880P =⨯⨯=(种)不同的站法．【巩固】学校新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不影响正常的照明，可以熄灭其中2盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的2盏灯，那么熄灯的方法共有多少种？（6级）【解析】要熄灭的是除两端以外的2盏灯，但不相邻．可以看成有10盏灯，共有9个空位，在这9个空位中找2个空位的方法数就是熄灭2盏灯的方法数，那么熄灯的方法数有29983621C ⨯==⨯(种)．【例 20】将三盘同样的红花和四盘同样的黄花摆放成一排，要求三盘红花互不相邻，共有__________种不同的方法．（2007年“希望杯”第一试）（4级）【解析】因为三盘红花不能相邻，所以可以先将四盘黄花摆好，红花只能摆在黄花之间或者黄花的两边．这样共有5个空，每个空最多只能放一盘红花，相当于从5个元素中取出3个，所以共有3554310123C ⨯⨯==⨯⨯种不同的放法．【例 21】在一次合唱比赛中，有身高互不相同的8个人要站成两排，每排4个人，且前后对齐．而且第二排的每个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住．一共有多少种不同的排队方法？（4级）【解析】因为所有人的身高两两不同，所以只要确定了位于同一列的两个人是谁，也就确定了他们的前后关系．所以排队方法总数为：222 864281562520C C C⨯⨯=⨯⨯=（种）．【例 22】在一次考试的选做题部分，要求在第一题的4个小题中选做3个小题，在第二题的3个小题中选做2个小题，在第三题的2个小题中选做1个小题，有多少种不同的选法？（6级）【解析】由于选做的题目只与选取的题目有关，而与题目的顺序无关，所以在三道题中选题都是组合问题．第一题中，4个小题中选做3个，有344324 321C⨯⨯==⨯⨯(种)选法；第二题中，3个小题中选做2个，有23323 21C⨯==⨯(种)选法；第三题中，2个小题中选做1个，有12212 1C⨯==(种)选法．根据乘法原理，一共有43224⨯⨯=(种)不同的选法．【例 23】某年级6个班的数学课，分配给甲、乙、丙三名数学老师任教，每人教两个班，分派的方法有多少种？（6级）【解析】分三步进行：第一步，取两个班分配给甲，与先后顺序无关，是组合问题，有266515 21C⨯==⨯(种)选法；第二步，从余下的4个班中选取两个班给乙，有24436 21C⨯==⨯(种)选法；第三步，剩余的两个班给丙，有1种选法．根据乘法原理，一共有156190⨯⨯=(种)不同的分配方法．【例 24】(2007年“迎春杯”高年级初赛)将19枚棋子放入55⨯的方格网内，每个方格至多只放一枚棋子，且每行每列的棋子个数均为奇数个，那么共有________种不同的放法．（4级）【解析】55⨯的方格网共有25个方格，放入19枚棋子，说明还有6个空格．由于棋子的数目较多，直接考虑棋子比较困难，可以反过来考虑6个空格．由于每行每列的棋子个数均为奇数个，而每行每列都有5个方格，说明每行每列的空格数都是偶数个．那么每行每列的空格数可能为0，2或4．如果有某一行或某一列的空格数为4个，为保证每行每列的空格数都是偶数个，那么这4个空格所在的列或行都至少还有另外1枚棋子，这样至少有8个空格，与题意不符，所以每行每列的空格数不能为4个，只能为0个或2个．则肯定是某3行和某3列中每行每列各有2个空格，如下：□□○□○□○□□其中□表示空格，○表示有棋子的方格，其它的方格则全部有棋子．选择有空格的3行3列有33551010100C C⨯=⨯=种选法，在这3行3列中选择6个空格(也相当于每行每列选择1枚棋子)有3216⨯⨯=种选法，所以总共有1006600⨯=种不同的放法．【例 25】甲射击员在练习射击，前方有三种不同类型的气球，共3串，有一串是红气球3个，有一串是黄气球2个，有一串是绿气球4个，而且每次射击必须射最下面的气球，问有多少种不同的射法？（6级）绿黄红【解析】根据射击规则，任意一种打法都对应三个红色气球，二个黄色气球，四个绿色气球，即9个物体的排列，当然有987654321⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯种排列方法．但是，其中三个红色气球是不能随意排列的，应该是固定由下到上的，而上面却包括了它的随意排列的情况，所以应该除以321⨯⨯，其他黄色气球、绿色气球依此类推．所以共有射击方法：(987654321)(321)(21)(4321)⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯÷⨯⨯÷⨯÷⨯⨯⨯(987654)(21)(4321)=⨯⨯⨯⨯⨯÷⨯÷⨯⨯⨯1260=(种)．本题也可以这样想：任意一种打法都对应9个物体的排列，从中先选出3个位置给红色气球，有39C种选法；这3个红色气球的顺序是固定的，所以它们之间只有一种排列顺序；再从剩下的6个位置中选出2个给黄色气球，有26C种选法；它们之间也只有一种排列顺序；剩下的4个位置给绿色气球，它们之间也只有一种排列顺序．所以，根据乘法原理，共有32961260C C⨯=种不同的射法．【例 26】有8个队参加比赛，采用如下图所示的淘汰制方式．问在比赛前抽签时，可以得到多少种实质不同的比赛安排表？（6级）【解析】(法1)先选4人，再考虑组合的方法．8选4有4870C=种组合，其中实质不同的有一半，即70235÷=种；对每一边的4个人，共有实质性不同的2423C÷=种，所以，可以得到3533315⨯⨯=种实质不同的比赛安排表．(法2)先考虑所有情况，再考虑重复情况首先是8!87654321=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯考虑到实质相同：1、2；3、4；5、6；7、8；一、二；三、四；A、B，以上7组均可交换，即每一种实际上重复计算了72次，答案为：78!2315÷=．【例 27】某池塘中有A B C、、三只游船，A船可乘坐3人，B船可乘坐2人，C船可乘坐1人，今有3个成人和2个儿童要分乘这些游船，为安全起见，有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，那么他们5人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种？（6级）【解析】由于有儿童乘坐的游船上必须至少有1个成人陪同，所以儿童不能乘坐C船．⑴若这5人都不乘坐C船，则恰好坐满A B、两船，①若两个儿童在同一条船上，只能在A船上，此时A船上还必须有1个成人，有133C=种方法；②若两个儿童不在同一条船上，即分别在A B、两船上，则B船上有1个儿童和1个成人，1个儿童有122C=种选择，1个成人有133C=种选择，所以有236⨯=种方法．故5人都不乘坐C船有369+=种安全方法；⑵若这5人中有1人乘坐C船，这个人必定是个成人，有133C=种选择．其余的2个成人与2个儿童，①若两个儿童在同一条船上，只能在A船上，此时A船上还必须有1个成人，有122C=种方法，所以此时有326⨯=种方法；②若两个儿童不在同一条船上，那么B船上有1个儿童和1个成人，此时1个儿童和1个成人均有122C=种选择，所以此种情况下有32212⨯⨯=种方法；故5人中有1人乘坐C船有61218+=种安全方法．所以，共有91827+=种安全乘法．【例 28】有蓝色旗3面，黄色旗2面，红色旗1面．这些旗的模样、大小都相同．现在把这些旗挂在一个旗杆上做成各种信号，如果按挂旗的面数及从上到下颜色的顺序区分信号，那么利用这些旗能表示多少种不同信号? （4级）【解析】按挂旗的面数来分类考虑．第一类：挂一面旗．从蓝、黄、红中分别取一面，可以表示3种不同信号；第二类：挂两面旗．按颜色分成：红+黄（222P=种）；红+蓝（222P=种）；黄+蓝（222P=种）；黄+黄（1种）；蓝+蓝（1种）；共8种；第三类：挂三面旗．按颜色分类：红+蓝+蓝（133C=种）；红+黄+黄（133C=种）；红+黄+蓝（336P=种）；黄+黄+蓝（133C=种）；黄+蓝+蓝（133C=种）；蓝+蓝+蓝（1种）；共19种；第四类：挂四面旗．按颜色分类：红+黄+黄+蓝（24212C⨯=或44212P÷=种）；红+黄+蓝+蓝（24212C⨯=或44212P÷=种）；红+蓝+蓝+蓝（144C=种）；黄+黄+蓝+蓝（22426C C⨯=种）；黄+蓝+蓝+蓝（144C=种），共38种；第五类：挂五面旗．按颜色分类：红+黄+黄+蓝+蓝（32153130C C C⨯⨯=种）；红+黄+蓝+蓝+蓝（352120C⨯⨯=种）；黄+黄+蓝+蓝+蓝（325210C C⨯=种），共60种；第六类：挂六面旗．红+黄+黄+蓝+蓝+蓝（32163160C C C⨯⨯=种）．根据加法原理，共可以表示3819386060188+++++=种不同的信号．【例 29】从10名男生，8名女生中选出8人参加游泳比赛．在下列条件下，分别有多少种选法？⑴恰有3名女生入选；⑵至少有两名女生入选；⑶某两名女生，某两名男生必须入选；⑷某两名女生，某两名男生不能同时入选；⑸某两名女生，某两名男生最多入选两人．（6级）【解析】⑴恰有3名女生入选，说明男生有5人入选，应为3581014112C C⨯=种；⑵要求至少两名女生人选，那么“只有一名女生入选”和“没有女生入选”都不符合要求．运用包含与排除的方法，从所有可能的选法中减去不符合要求的情况：8871181010843758C C C C --⨯=；⑶4人必须入选，则从剩下的14人中再选出另外4人，有4141001C =种； ⑷从所有的选法818C 种中减去这4个人同时入选的414C 种：84181443758100142757C C -=-=．⑸分三类情况：4人无人入选；4人仅有1人入选；4人中有2人入选，共：817261441441434749C C C C C +⨯+⨯=．【例 30】从4名男生，3名女生中选出3名代表．⑴ 不同的选法共有多少种？⑵ “至少有一名女生”的不同选法共有多少种？⑶ “代表中男、女生都要有”的不同选法共有多少种？（6级）【解析】 ⑴ 相当于从7名学生中任意选3名，不同的选法有3776535321C ⨯⨯==⨯⨯(种)．⑵ 方法一：可以分成三类：①选1名女生，选2名男生．由乘法原理，有12344331821C C ⨯⋅=⨯=⨯(种)选法； ②选2名女生，选1名男生．由乘法原理，有21343241221C C ⨯⋅=⨯=⨯(种)选法； ③选3名女生，男生不选，有1种选法．根据加法原理，“至少有一名女生”的不同选法有1812131++=(种)．方法二：先不考虑对女生的特殊要求，从从7名学生中任意选3名，有3776535321C ⨯⨯==⨯⨯(种)选法；考虑一个女生都不选的情况，则3名代表全产生于男生中，有344324321C ⨯⨯==⨯⨯ (种)选法，所以，至少选一名女生的选法有35431-=种，这种“去杂法”做起来也比较简单．⑶ “代表中男、女生都要有”，可以分成两类：①1名男生，2名女生，由乘法原理，有21343241221C C ⨯⋅=⨯=⨯(种)选法； ②2名男生，1名女生，由乘法原理，有12344331821C C ⨯⋅=⨯=⨯(种)选法．根据加法原理，“代表中男、女生都要有”的不同选法共有121830+=(种)．【小结】选择问题是组合问题中的一类常见问题，可根据具体情况从正面考虑或逆向求解，采用“去杂法”．【巩固】在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各一名，现要组成5人医疗小组送医下乡，按照下列条件各有多少种选派方法？ ⑴ 有3名内科医生和2名外科医生； ⑵ 既有内科医生，又有外科医生； ⑶ 至少有一名主任参加； ⑷ 既有主任，又有外科医生．（8级）。

小学奥数教程之-组合之插板法 (含答案)

小学奥数教师版-7-6-4 计数之递推法

【答案】 296
【例 10】对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以 2，如果是奇数则加 1，如此进行直到得数为 1 操作停止．问经过 9 次操作变为 1 的数有多少个？
【考点】计数之递推法【难度】4 星【题型】解答【解析】可以先尝试一下，倒推得出下面的图：
5
10
3
6
11
12 24
1
2
4
8
在一月份买了一对小兔子，那么十二月份的时候他共有多少对兔子？【考点】计数之递推法【难度】3 星【题型】解答【解析】第一个月，有 1 对小兔子；第二个月，长成大兔子，所以还是 1 对；第三个月，大兔子生下一对小
兔子，所以共有 2 对；第四个月，刚生下的小兔子长成大兔子，而原来的大兔子又生下一对小兔子，共有 3 对；第五个月，两对大兔子生下 2 对小兔子，共有 5 对；……这个特点的说明每月的大兔子数为上月的兔子数，每月的小兔子数为上月的大兔子数，即上上月的兔子数，所以每月的兔子数为上月的兔子数与上上月的兔子数相加．依次类推可以列出下表：经过月数：---1---2---3---4---5---6---7---8---9---10---11---12 兔子对数：---1---1---2---3---5---8--13--21--34--55--89—144，所以十二月份的时候总共有 144 对兔子．【答案】 144
数等于取到前三根火柴所有情况之和，以此类推，参照上题列表如下：
1 根 2 根 3 根 4 根 5 根 6 根 7 根 8 根 9 根 10 根 11 根 12 根 1 2 4 7 13 24 44 81 149 274 504 927 取完这堆火柴一共有 927 种方法．【答案】 927
7-6-4.计数之递推法.题库

小学数学组合之插板法.教师版

[小学奥数专题15】75_组合_题库学生版

7 计数综合 7-5 组合7-5-1组合及其应用7-5-2排除法 7-5-3插板法1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等．一、组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n )元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完知识要点教学目标组合全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作m n C ．一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数n m P 可分成以下两步：第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法；第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m m P 种排法．根据乘法原理，得到m m m n n m P C P =⋅．因此，组合数12)112321⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅m mn nm m P n n n n m C P m m m （）（（）（）（）．这个公式就是组合数公式．二、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：m n m n n C C -=(m n ≤)这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n mn C -表示从n 个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法．例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C =．规定1n nC =，01n C =．模块一、组合及其应用【例 1】计算：⑴ 26C ，46C ；⑵ 27C ，57C ．（2级）【例 2】计算：⑴ 198200C ；⑵ 5556C ；⑶ 981001001002C C -．（2级）例题精讲【巩固】计算：⑴ 312C ；⑵ 9981000C ；⑶ 2288P C ．（2级）【例 3】 6个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？（2级）【巩固】某班毕业生中有20名同学相见了，他们互相都握了一次手，问这次聚会大家一共握了多少次手？（2级）【例 4】（难度等级 ※※）学校开设6门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种不同的选法？（4级）【例 5】某校举行排球单循环赛，有12个队参加．问：共需要进行多少场比赛？（2级）【巩固】芳草地小学举行足球单循环赛，有24个队参加．问：共需要进行多少场比赛？（2级）【例 6】一批象棋棋手进行循环赛，每人都与其他所有的人赛一场，根据积分决出冠军，循环赛共要进行78场，那么共有多少人参加循环赛？（4级）【例 7】某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成4个小组，每组4人，分别进行单循环赛；第三阶段：由4个小组产生的4个第1名进行2场半决赛和2场决赛，确定1至4名的名次．问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？（4级）【例 8】从分别写有1、3、5、7、9的五张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的乘法题，问：⑴ 有多少个不同的乘积？⑵ 有多少个不同的乘法算式？（6级）【巩固】9、8、7、6、5、4、3、2、1、0这10个数字中划去7个数字，一共有多少种方法？（4级）【巩固】从分别写有1、2、3、4、5、6、7、8的八张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的加法题，有多少种不同的和？（4级）【例 9】在1~100中任意取出两个不同的数相加，其和是偶数的共有多少种不同的取法？（6级）【巩固】从19、20、……、93、94这76个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少？（6级）【例 10】一个盒子装有10个编号依次为1，2，3，，10的球，从中摸出6个球，使它们的编号之和为奇数，则不同的摸法种数是多少？（6级）【例 11】用2个1，2个2，2个3可以组成多少个互不相同的六位数？用2个0，2个1，2个2可以组成多少个互不相同的六位数？（6级）【例 12】从1，3，5，7，9中任取三个数字，从2，4，6，8中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，一共可以组成多少个数？（6级）【例 13】从0、0、1、2、3、4、5这七个数字中，任取3个组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？（这里每个数字只允许用1次，比如100、210就是可以组成的，而211就是不可以组成的）．（2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛五年级）（4级）【例 14】用2个1，2个2，2个3可以组成多少个互不相同的六位数？用2个0，2个1，2个2可以组成多少个互不相同的六位数？（6级）【巩固】用两个3，一个2，一个1，可以组成多少个不重复的4位数？（6级）【例 15】工厂某日生产的10件产品中有2件次品，从这10件产品中任意抽出3件进行检查，问：（1）一共有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种？（6级）【例 16】200件产品中有5件是次品，现从中任意抽取4件，按下列条件，各有多少种不同的抽法（只要求列式）？⑴都不是次品；⑵至少有1件次品；⑶不都是次品．（6级）【例 17】在一个圆周上有10个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的：⑴直线段；⑵三角形；⑶四边形．（6级）【巩固】平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？（4级）【巩固】在正七边形中，以七边形的三个顶点为顶点的三角形共有多少个？（4级）【例 18】平面内有12个点，其中6点共线，此外再无三点共线．【例 19】⑴可确定多少个三角形？⑵可确定多少条射线？（6级）【巩固】如图，问：⑴图1中，共有多少条线段？【巩固】⑵图2中，共有多少个角？（4级）54321...P9P3P2P1 BA O图1图2【例 20】某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营，问共有多少种选法？如果在42人中选3人站成一排，有多少种站法？（6级）【巩固】学校新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不影响正常的照明，可以熄灭其中2盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的2盏灯，那么熄灯的方法共有多少种？（6级）【例 21】将三盘同样的红花和四盘同样的黄花摆放成一排，要求三盘红花互不相邻，共有__________种不同的方法．（2007年“希望杯”第一试）（4级）【例 22】在一次合唱比赛中，有身高互不相同的8个人要站成两排，每排4个人，且前后对齐．而且第二排的每个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住．一共有多少种不同的排队方法？（4级）【例 23】在一次考试的选做题部分，要求在第一题的4个小题中选做3个小题，在第二题的3个小题中选做2个小题，在第三题的2个小题中选做1个小题，有多少种不同的选法？（6级）【例 24】某年级6个班的数学课，分配给甲、乙、丙三名数学老师任教，每人教两个班，分派的方法有多少种？（6级）【例 25】(2007年“迎春杯”高年级初赛)将19枚棋子放入55的方格网内，每个方格至多只放一枚棋子，且每行每列的棋子个数均为奇数个，那么共有________种不同的放法．（4级）【例 26】甲射击员在练习射击，前方有三种不同类型的气球，共3串，有一串是红气球3个，有一串是黄气球2个，有一串是绿气球4个，而且每次射击必须射最下面的气球，问有多少种不同的射法？（6级）绿红黄【例 27】有8个队参加比赛，采用如下图所示的淘汰制方式．问在比赛前抽签时，可以得到多少种实质不同的比赛安排表？（6级）【例 28】某池塘中有A B C、、三只游船，A船可乘坐3人，B船可乘坐2人，C船可乘坐1人，今有3个成人和2个儿童要分乘这些游船，为安全起见，有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，那么他们5人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种？（6级）【例 29】有蓝色旗3面，黄色旗2面，红色旗1面．这些旗的模样、大小都相同．现在把这些旗挂在一个旗杆上做成各种信号，如果按挂旗的面数及从上到下颜色的顺序区分信号，那么利用这些旗能表示多少种不同信号? （4级）【例 30】从10名男生，8名女生中选出8人参加游泳比赛．在下列条件下，分别有多少种选法？【例 31】⑴恰有3名女生入选；⑵至少有两名女生入选；⑶某两名女生，某两名男生必须入选；【例 32】⑷某两名女生，某两名男生不能同时入选；⑸某两名女生，某两名男生最多入选两人．（6级）【例 33】从4名男生，3名女生中选出3名代表．【例 34】⑴不同的选法共有多少种？【例 35】⑵“至少有一名女生”的不同选法共有多少种？【例 36】⑶“代表中男、女生都要有”的不同选法共有多少种？（6级）【巩固】在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各一名，现要组成5人医疗小组送医下乡，按照下列条件各有多少种选派方法？【巩固】⑴有3名内科医生和2名外科医生；【巩固】⑵既有内科医生，又有外科医生；【巩固】⑶至少有一名主任参加；【巩固】⑷既有主任，又有外科医生．（8级）【例 37】在10名学生中，有5人会装电脑，有3人会安装音响设备，其余2人既会安装电脑，又会安装音响设备，今选派由6人组成的安装小组，组内安装电脑要3人，安装音响设备要3人，共有多少种不同的选人方案？（8级）【例 38】有11名外语翻译人员，其中5名是英语翻译员，4名是日语翻译员，另外两名英语、日语都精通．从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作．问这样的分配名单共可以开出多少张？（8级）【巩固】某旅社有导游9人，其中3人只会英语，2人只会日语，其余4个既会英语又会日语．现要从中选6人，其中3人做英语导游，另外3人做日语导游．则不同的选择方法有多少种？（8级）板块二、排除法对于某些有特殊要求的计数，当限制条件较多时，可以先计算所有可能的情况，再从中排除掉那些不符合要求的情况．【例 39】如图所示，在半圆弧及其直径上共有9个点，以这些点为顶点可画出多少个三角形？（6级）【例 40】如图，正方形ACEG 的边界上共有7个点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、其中B 、D 、F 分别在边AC 、CE 、EG 上．以这7个点中的4个点为顶点组成的不同的四边形的个数是_____ 个．(小学数学奥林匹克决赛) （6级）【巩固】图中正方形的四边共有8个点，其中任意4点不在一条直线上，那么可组成多少个四边形？（4级）【例 41】如图，有53 个点，取不同的三个点就可以组合一个三角形，问总共可以组成＿＿＿＿个三角形．（4级）【例 42】在100~1995的所有自然数中，百位数与个位数不相同的自然数有多少个？（4级）【例 43】 1到1999的自然数中，有多少个与5678相加时，至少发生一次进位？（6级）【巩固】所有三位数中，与456相加产生进位的数有多少个？（6级）【巩固】从1到2004这2004个正整数中，共有几个数与四位数8866相加时，至少发生一次进位？（6级）【例 44】在三位数中，至少出现一个6的偶数有多少个？（6级）【例 45】由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位数中，百位不是2的奇数有个．（6级）【例 46】从三个0、四个1，五个2中挑选出五个数字，能组成多少个不同的五位数？（6级）【例 47】10个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法？（6级）【例 48】一栋12层楼房备有电梯，第二层至第六层电梯不停．在一楼有3人进了电梯，其中至少有一个要上12楼，则他们到各层的可能情况共有多少种？（6级）【例 49】8个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间（不一定相邻），小慧和大智不能相邻，小光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种？（6级）【例 50】若一个自然数中至少有两个数字，且每个数字小于其右边的所有数字，则称这个数是“上升的”．问一共有多少“上升的”自然数？（6级）【例 51】6人同时被邀请参加一项活动．必须有人去，去几个人自行决定，共有多少种不同的去法？（6级）【例 52】由数字1，2，3组成五位数，要求这五位数中1，2，3至少各出现一次，那么这样的五位数共有________个．(2007年“迎春杯”高年级组决赛) （6级）【例 53】5条直线两两相交，没有两条直线平行，没有任何三条直线通过同一个点，以这5条直线的交点为顶点能构成几个三角形？(构成的三角形的边不一定在这5条直线上) （8级）【例 54】正方体的顶点(8个)，各边的中点(12个)，各面的中心(6个)，正方体的中心(1个)，共27个点，以这27个点中的其中3点一共能构成多少个三角形？（6级）【例 55】用A 、B 、C 、D 、E 、F 六种染料去染图中的两个调色盘，要求每个调色盘里的六种颜色不能相同，且相邻四种颜色在两个调色盘里不能重复，那么共有多少种不同的染色方案（旋转算不同的方法）（6级）【解析】板块三、插板法插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．使用插板法一般有如下三种类型：⑴ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的(1)n -个空隙中放上(1)m -个插板，所以分法的数目为11m n C --．⑵ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有a 个．这个时候，我们先发给每个人(1)a -个，还剩下[(1)]n m a --个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为1(1)1m n m a C ----．⑶ m 个人分n 个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来m 个东西，每个人多发1个，这样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了()n m +个，因此分法的数目为11m n m C -+-．【例 56】有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法？（4级）【巩固】小红有10块糖，每天至少吃1块，7天吃完，她共有多少种不同的吃法？（6级）【巩固】(2008年西城实验考题)有12块糖，小光要6天吃完，每天至少要吃一块，问共有种吃法．（6级）【巩固】（2009年十三分小升初入学测试题）把5件相同的礼物全部分给3个小朋友，要使每个小朋友都分到礼物，则分礼物的不同方法一共有种．（6级）【巩固】把7支完全相同的铅笔分给甲、乙、丙3个人，每人至少1支，问有多少种方法？（6级）【巩固】学校合唱团要从6个班中补充8名同学，每个班至少1名，共有多少种抽调方法？（6级）【例 57】10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，允许有的盘子空着．请问一共有多少种不同的放法？（6级）【例 58】把20个苹果分给3个小朋友，每人最少分3个，可以有多少种不同的分法？（6级）【巩固】如果把20支铅笔，分给甲、乙、丙三人，每人至少3支，可以有多少种不同的分法？（6级）【巩固】三所学校组织一次联欢晚会，共演出14个节目，如果每校至少演出3个节目，那么这三所学校演出节目数的不同情况共有多少种？（6级）【例 59】(1)小明有10块糖，每天至少吃1块，8天吃完，共有多少种不同吃法?(2)小明有10块糖，每天至少吃1块，8天或8天之内吃完，共有多少种吃法? （6级）【巩固】（难度等级※※※※）有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完为止，共有多少种不同的吃法？（6级）【例 60】马路上有编号为1，2，3，…，10的十只路灯，为节约用电又能看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但又不能同时关掉相邻的两只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法有多少种？（6级）【例 61】在四位数中，各位数字之和是4的四位数有多少？（6级）【巩固】大于2000小于3000的四位数中数字和等于9的数共有多少个？（6级）【例 62】兔妈妈摘了15个相同的磨菇，分装在3个相同的筐子里，如果不允许有空筐，共有多少种不同的装法？如果分装在3个不同的筐子里，不允许有空筐，又有多少种不同的装法？（8级）。

小学奥数计数之插板法经经典例题【三篇】

小学奥数计数之插板法经经典例题【三篇】
【第一篇】
【解析】：题目中球的分法共三类：
第一类：有3个班每个班分到2个球，其余4个班每班分到1个球。

其分法种数为。

第二类：有1个班分到3个球，1个班分到2个球，其余5个班每班分到1个球。

其分法种数。

第三类：有1个班分到4个球，其余的6个班每班分到1个球。

其分法种数。

所以，10个球分给7个班，每班至少一个球的分法种数为：。

由上面解题过程可以明显感到对这类问题进行分类计算，比较繁锁，若是上题中球的数目较多处理起来将更加困难，因此我们需要寻求一种新的模式解决问题，我们创设这样一种虚拟的情境——插板。

将10个相同的球排成一行，10个球之间出现了9个空档，现在我们用“档板”把10个球隔成有序的7份，每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球（可能是1个、2个、3个、4个），借助于这样的虚拟“档板”分配物品的方法称之为插板法。

由上述分析可知，分球的方法实际上为档板的插法：即是在9个空档之中插入6个“档板”（6个档板可把球分为7组），其方法种数为。

由上述问题的分析解决看到，这种插板法解决起来非常简单，但同时也提醒各位考友，这类问题模型适用前提相当严格，必须同时满足以下3个条件：
①所要分的元素必须完全相同；
②所要分的元素必须分完，决不允许有剩余；
③参与分元素的每组至少分到1个，决不允许出现分不到元素的组。

【第二篇】
【第三篇】。

小学奥数专题157-5-组合-题库学生版

小学奥数专题157-5-组合-题库学生版组合知识框架图7-5-1组合及其应用7计数综合7-5组合7-5-2排除法7-5-3插板法教学目标1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；知识要点一、组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从n个不同元素中取出m个(mn)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．7-5.组合.题库学生版page1of13从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n个不同元素中取出m个元素(mn)的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数．记作Cnm．一般地，求从n个不同元素中取出的m个元素的排列数Pmn可分成以下两步：第一步：从n个不同元素中取出m个元素组成一组，共有Cnm种方法；m种排法．第二步：将每一个组合中的m个元素进行全排列，共有PmmmPm根据乘法原理，得到PnmCn．Pnmn（n1）（n2)（nm1）因此，组合数Cm．Pmm（m1）（m2）321mn这个公式就是组合数公式．二、组合数的重要性质mnmCn一般地，组合数有下面的重要性质：Cn(mn)nm这个公式的直观意义是：Cnm表示从n个元素中取出m个元素组成一组的所有分组方法．Cn表示从n个元素中取出(nm)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n个元素中选出m个元素的分组方法恰是从n个元素中选m个元素剩下的(nm)个元素的分组方法．3C52．例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即C501．规定Cnn1，Cn例题精讲模块一、组合及其应用7-5.组合.题库学生版page2of13【例1】计算：⑴C62，C64；⑵C72，C75．（2级）198********C100【例2】计算：⑴C200；⑵C56；⑶C100．（2级）3998【巩固】计算：⑴C12；⑵C1000；⑶P82C82．（2级）【例3】6个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？（2级）【巩固】某班毕业生中有20名同学相见了，他们互相都握了一次手，问这次聚会大家一共握了多少次手？（2级）【例4】（难度等级）学校开设6门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种不同的选法？（4级）【例5】某校举行排球单循环赛，有12个队参加．问：共需要进行多少场比赛？（2级）【巩固】芳草地小学举行足球单循环赛，有24个队参加．问：共需要进行多少场比赛？（2级）【例6】一批象棋棋手进行循环赛，每人都与其他所有的人赛一场，根据积分决出冠军，循环赛共要进行78场，那么共有多少人参加循环赛？（4级）【例7】某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成4个小组，每组4人，分别进行单循环赛；第三阶段：由4个小组产生的4个第1名进行2场半决赛和2场决赛，确定1至4名的名次．问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？（4级）7-5.组合.题库学生版page3of13【例8】从分别写有1、3、5、7、9的五张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的乘法题，问：⑴有多少个不同的乘积？⑵有多少个不同的乘法算式？（6级）【巩固】9、8、7、6、5、4、3、2、1、0这10个数字中划去7个数字，一共有多少种方法？（4级）【巩固】从分别写有1、2、3、4、5、6、7、8的八张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的加法题，有多少种不同的和？（4级）【例9】在1~100中任意取出两个不同的数相加，其和是偶数的共有多少种不同的取法？（6级）【巩固】从19、20、……、93、94这76个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少？（6级）数，则不同的摸法种数是多少？（6级）【例11】用2个1，2个2，2个3可以组成多少个互不相同的六位数？用2个0，2个1，2个2可以组成多少个互不相同的六位数？（6级）【例12】从1，3，5，7，9中任取三个数字，从2，4，6，8中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，一共可以组成多少个数？（6级）7-5.组合.题库学生版page4of13【例13】从0、0、1、2、3、4、5这七个数字中，任取3个组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？（这里每个数字只允许用1次，比如100、210就是可以组成的，而211就是不可以组成的）．（2022年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛五年级）（4级）【例14】用2个1，2个2，2个3可以组成多少个互不相同的六位数？用2个0，2个1，2个2可以组成多少个互不相同的六位数？（6级）【巩固】用两个3，一个2，一个1，可以组成多少个不重复的4位数？（6级）【例15】工厂某日生产的10件产品中有2件次品，从这10件产品中任意抽出3件进行检查，问：（1）一共有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种？（6级）【例16】200件产品中有5件是次品，现从中任意抽取4件，按下列条件，各有多少种不同的抽法（只要求列式）？⑴都不是次品；⑵至少有1件次品；⑶不都是次品．（6级）【例17】在一个圆周上有10个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的：⑴直线段；⑵三角形；⑶四边形．（6级）【巩固】平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？（4级）7-5.组合.题库学生版page5of13。

7-5-2 组合的基本应用(二).教师版

C54 )
种）．
【答案】⑴
C4 195
⑵
(C2400
C4 195
)
⑶ (C2400 C54 )
【例 8】某班要在 42 名同学中选出 3 名同学去参加夏令营，问共有多少种选法？如果在 42 人中选 3 人站成一排，有多少种站法？
【考点】组合之基本运用
【难度】3 星
【题型】解答
【解析】要在 42 人中选 3 人去参加夏令营，那么，所有的选法只与选出的同学有关，而与三名同学被选出的
因此，组合数 Cnm
Pnm Pmm
n （ n 1（（ n 2) （ n m 1（ m （ m 1（（ m 2（ 3 2 1
．
这个公式就是组合数公式．
二、组合数的重要性质
一般地，组合数有下面的重要性质： Cnm
Cnm n
(
m
n
)
7-5-2.组合的基本应用（二）.题库
教师版
page 1 of 11
7-5-2.组合的基本应用（二）.题库
教师版
page 4 of 11
共有抽法
(C1395C51
C1295C52
C1195C53
C54 )
种（或
(C2400
C4 195
)
种）．
⑶不都是次品，即至少有 1 件正品．
共有抽法
(C1195C53
C1295C52
C1395C51
C4 195
)
种（或
(C2400
7-5-2.组合的基本应用（二）.题库
教师版
page 2 of 11
6 C62
6
65 21
90 个；
②有1 个顶点在共线的 6 点中，另 2 个顶点在不共线的 6 点中的三角形有

排列组合--插板法、插空法、捆绑法

排列组合问题——插板法(分组)、插空法（不相邻）、捆绑法（相邻）插板法（m为空的数量）【基本题型】有n个相同的元素，要求分到不同的m组中，且每组至少有一个元素，问有多少种分法？”表示相同的名额，“”表示名额间形成的空隙，设想在这几个空隙中插入六块“挡板”，则将这10 个名额分割成七个部分，将第一、二、三、……七个部分所包含的名额数分给第一、二、三……七所学校，则“挡板”的一种插法恰好对应了10 个名额的一种分配方法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的，【总结】需满足条件：n个相同元素，不同个m组，每组至少有一个元素，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。

注意：这样对于很多的问题，是不能直接利用插板法解题的。

但，可以通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到的效果。

插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板,可以把n个元素分成（b+1）组的方法. 应用插板法必须满足三个条件：（1）这n个元素必须互不相异（2）所分成的每一组至少分得一个元素(3) 分成的组别彼此相异举个很普通的例子来说明把10个相同的小球放入3个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况?问题的题干满足条件（1）（2）,适用插板法,c9 2=36下面通过几道题目介绍下插板法的应用e 二次插板法例8 ：在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况?-o - o - o - o - o - o - 三个节目abc可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位所以一共是c7 1×c8 1×c9 1=504种【基本解题思路】将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、….），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

【考点】计数之插板法【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，一试，第18题【解析】四盆黄花摆好后，剩下5个位子可插进红花，选三个位置将三盆红花插入，35543==10321C ⨯⨯⨯⨯，所以有10种选择.【答案】10种【例 2】在1，2，3，……，7，8的任意排列中，使得相邻两数互质的排列方式共有______ 种．【考点】复杂乘法原理【难度】4星【题型】解答【关键词】西城实验【解析】这8个数之间如果有公因子，那么无非是2或3．8个数中的4个偶数一定不能相邻，对于这类多个元素不相邻的排列问题，考虑使用“插入法”即首先忽略偶数的存在，对奇数进行排列，然后将偶数插入但在偶数插入时，还要考虑3和6相邻的情况．奇数的排列一共有4!24=种对任意一种排列4个数形成5个空位，将6插入，可以有符合条件的3个位置可以插再在剩下的四个位置中插入2、4、8，一共有43224⨯⨯=种所以一共有243241728⨯⨯=种．【答案】1728【例 3】有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法？【考点】计数之插板法【难度】2星【题型】解答【解析】如图：○○|○○○○|○○○○，将10粒糖如下图所示排成一排，这样每两颗之间共有9个空，从头开始吃，若相邻两块糖是分在两天吃的，就在其间画一条竖线隔开表示之前的糖和之后的糖不是在同一天吃掉的，九个空中画两条竖线，一共有98236⨯÷=种方法．【答案】36【巩固】小红有10块糖，每天至少吃1块，7天吃完，她共有多少种不同的吃法？【考点】计数之插板法【难度】3星【题型】解答【解析】分三种情况来考虑：⑴ 当小红最多一天吃4块时，其余各每天吃1块，吃4块的这天可以是这七天里的任何一天，有7种吃法；⑵ 当小红最多一天吃3块时，必有一天吃2块，其余五天每天吃1块，先选吃3块的那天，有7种选择，再选吃2块的那天，有6种选择，由乘法原理，有7642⨯=种吃法；⑶ 当小红最多一天吃2块时，必有三天每天吃2块，其四天每天吃1块，从7天中选3天，有例题精讲3776535321C ⨯⨯==⨯⨯(种)吃法．根据加法原理，小红一共有7423584++=(种)不同的吃法．另外还可以用挡板法来解这道题，10块糖有9个空，选6个空放挡板，有639984C C ==(种)不同的吃法．【答案】84【巩固】有12块糖，小光要6天吃完，每天至少要吃一块，问共有种吃法．【考点】计数之插板法【难度】3星【题型】解答【关键词】西城实验【解析】将12块糖排成一排，中间共有11个空，从11个空中挑出5个空插挡板，把12块糖分成6堆，则这样的每一种分法即对应一种吃法，所以共有511111098746212345C ⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯种．【答案】462【巩固】把5件相同的礼物全部分给3个小朋友，要使每个小朋友都分到礼物，则分礼物的不同方法一共有种．【考点】计数之插板法【难度】3星【题型】解答【关键词】十三分，小升初，入学测试【解析】把5件相同的礼物排成一列，中间有4个间隔，现在用两个板去隔，每个间隔最多放一个板．这2个板的每一种放法都把5件礼物分成3份，所以这两个板的每一种放法都对应一种分礼物的方法．而板的放法有246C =种，所以分礼物的不同方法有6种．【答案】6【巩固】把7支完全相同的铅笔分给甲、乙、丙3 个人，每人至少1支，问有多少种方法？【考点】计数之插板法【难度】3星【题型】解答【解析】将铅笔排成一排，用两块挡板将这一排铅笔隔开成三份，然后分与甲、乙、丙，挡板可插入的位置一共有716-=个，6个位置中安插两个不分次序的挡板一共有65215⨯÷=种方法．处理分东西的问题用隔板(挡板)法可以顺利解决．【答案】15【巩固】学校合唱团要从6个班中补充8名同学，每个班至少1名，共有多少种抽调方法？【考点】计数之插板法【难度】3星【题型】解答【解析】插板法，8名同学之间有7个空，插5块板，一共有5277762121C C ⨯===⨯(种)方法．【答案】21【例 4】 10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，允许有的盘子空着．请问一共有多少种不同的放法？【考点】计数之插板法【难度】3星【题型】解答【解析】把10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，允许有的盘子空着，然后在每个盘子里再另加一个橘子，这就变成了把13只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，不允许任何一个盘子空着．反过来也是一样，把13只橘子放到3个盘子里，不允许任何一个盘子空着，再从每一个盘子中取出一个橘子，这就变回题目中的放法．所以把10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里且允许有的盘子空着的放法数目，和把13只无差别的橘子放到3个不同的盘子里且不允许任何一个盘子空着的放法数目相同．我们现在来计算把13只无差别的橘子放到3个不同的盘子里且不允许任何一个盘子空着的放法数目．这时我们用隔板地方法，把这13只橘子排成一列，则这13只橘子之间有12个空隙．我们只要选定这12个空隙中的2个空隙，再这两个空隙中分别放一块隔板，这样就分成了3组，就相当于把这13只橘子分成了3堆，如下图．所以只要求出从12个空隙中选出2个空隙有多少种方法就可以了．1211266=⨯÷=212C ，所以题目中所求的不同的放法有66种．【答案】66【巩固】将13个相同的苹果放到3个不同的盘子里，允许有盘子空着。

一共有种不同的放法。

【考点】计数之插板法【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，6年级，第8题【解析】215105C=种。

【答案】105种【例 5】把20个苹果分给3个小朋友，每人最少分3个，可以有多少种不同的分法？【考点】计数之插板法【难度】3 【题型】解答【解析】先给每人2个，还有14个苹果，每人至少分一个，13个空插2个板，有21378C=种分法．【答案】78【巩固】三所学校组织一次联欢晚会，共演出14个节目，如果每校至少演出3个节目，那么这三所学校演出节目数的不同情况共有多少种？【考点】计数之插板法【难度】3星【题型】解答【解析】由于每校至少演出3个节目，所以可以由每所学校先分别出2个节目，剩下的8个节目再由3所学校分，也就是在8个物体间插入2个挡板，8个物体一共有7个间隔，这样的话一共有762121⨯÷⨯=（）种方法．【答案】21【例 6】(1)小明有10块糖，每天至少吃1块，8天吃完，共有多少种不同吃法?(2)小明有10块糖，每天至少吃1块，8天或8天之内吃完，共有多少种吃法?【考点】计数之插板法【难度】3星【题型】解答【解析】将10拆成8个自然数的和，有两种拆法，10=1+1+1+1+1+1+1+3=1+1+1+1+1+1+2+2．若8天中有7天每天吃一块，另外一天吃三块，有8种吃法．若8天中有6天每天吃一块，另外2天每天吃两块，有8×7÷2=28种吃法．8+28=36，所以共有36种吃法．（2）考虑有n块糖，每天至少吃1块，n天之内吃完的情况．将n块糖排成一行，这样在n块糖之间就产生了n-1个空隙．可以在这些空隙中插入竖线，如果一条竖线都没有插，就代表着1天把所有的糖吃完．如果每个空隙都插入竖线，就代表着每天吃一块糖，n天吃完．每个空隙都可以选择插或者不插，这样每一种插法都代表着一种吃法．由于每个空隙都有插或者不插两个选择，所以n-1个空隙就有2n-1种插法，即n块糖每天至少吃1块，一共有2n-1种不同的吃法．当有10块糖时，10天之内吃完共有29=512种吃法．10块糖9天吃完时，其中1天要吃2块，其余8天每天吃1块，共有9种吃法．10块糖10天吃完时，每天吃1块，有1种吃法．512-9-1=502，所以10块糖8天或8天之内吃完，共有502种吃法．【答案】502【巩固】有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完为止，共有多少种不同的吃法？【考点】计数之插板法【难度】3星【题型】解答【解析】初看本题似乎觉得很好入手，比如可以按天数进行分类枚举：1天吃完的有1种方法，这天吃10块；2天吃完的有9种方法，10=1+9=2+8=……=9+1；当枚举到3天吃完的时，情况就有点错综复杂了，叫人无所适从……所以我们必须换一种角度来思考．不妨从具体的例子入手来分析，比如这10块糖分4天吃完：第1天吃2块；第2天吃3块；第3天吃1块；第4天吃4块．我们可以将10个“○”代表10粒糖，把10个“○”排成一排，“○”之间共有9个空位，若相邻两块糖是分在两天吃的，就在其间画一条竖线(如下图)．○○|○○○|○|○○○○比如上图就表示“第1天吃2块；第2天吃3块；第3天吃1块；第4天吃4块．”这样一来，每一种吃糖的方法就对应着一种“在9个空位中插入若干个‘|’的方法”，要求有多少个不同的吃法，就是要求在这9个空位中插入若干个“|”的方法数．由于每个空位都有画‘|’与“不画‘|’两种可能：根据乘法原理，在这9个空位中画若干个“|”的方法数有：9922222512⨯⨯⨯==，这也就说明吃完10颗糖共有512种不同的吃法．【答案】512【例 7】马路上有编号为1，2，3，…，10的十只路灯，为节约用电又能看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但又不能同时关掉相邻的两只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法有多少种？【考点】计数之插板法【难度】3星【题型】解答【解析】 10只灯关掉3只，实际上还亮7只灯，而又要求不关掉两端的灯和相邻的灯，此题可以转化为在7只亮着的路灯之间的6个空档中放入3只熄灭的灯，有3620C =种方法．【答案】20【巩固】学校新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不影响正常的照明，可以熄灭其中2盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的2盏灯，那么熄灯的方法共有多少种？【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】解答【解析】要熄灭的是除两端以外的2盏灯，但不相邻．可以看成有10盏灯，共有9个空位，在这9个空位中找2个空位的方法数就是熄灭2盏灯的方法数，那么熄灯的方法数有29983621C ⨯==⨯(种)．【答案】2936C =【例 8】在四位数中，各位数字之和是4的四位数有多少？【考点】计数之插板法【难度】3星【题型】解答【解析】设原四位数为ABCD ，按照题意，我们有4A B C D +++=，但是对A 、B 、C 、D 要求不同，因为这是一个四位数，所以应当有0A ≠，而其他三个字母都可以等于0，这样就不能使用我们之前的插板法了，因此我们考虑将B 、C 、D 都加上1，这样B 、C 、D 都至少是1，而且这个时候它们的和为437+=，即问题变成如下表达：一个各位数字不为0的四位数，它的各位数字之和为7，这样的四位数有多少个？采用插板法，共有6个间隔，要插入3个板，可知这样的四位数有3620C =个，对应着原四位数也应该有20个．【答案】20【巩固】大于2000小于3000的四位数中数字和等于9的数共有多少个？【考点】计数之插板法【难度】3星【题型】解答【解析】大于2000小于3000的四位数，首位数字只能为2，所以后三位数字之和为7，后三位数字都有可能为0，为使用隔板法，先将它们变成至少为1的数，可以将每个数都加上1，这样它们的和为10，且每个数都至少为1，那么采用隔板法，相当于在9个间隔中选择2个插入隔板，有2936C =种方法，所以满足题意的四位数有36个．【答案】36【例 9】兔妈妈摘了15个相同的磨菇，分装在3个相同的筐子里，如果不允许有空筐，共有多少种不同的装法？如果分装在3个不同的筐子里，不允许有空筐，又有多少种不同的装法？【考点】计数之插板法【难度】4星【题型】解答【解析】 ⑴分装在3个相同的筐子里，两种不同的装法意味着这两种装法中3个筐子里的蘑菇数量不完全相同．可以进行分类讨论：①如果每个筐至少有5个，有1种情况；②如果每个筐至少有4个，则相当于把15433-⨯=个蘑菇分装在3个筐子里，且至少有1个筐子是空的(否则没有筐子是空的，将与①中的情况相同)，有(0，0，3)和(0，1，2)2种情况；③如果每个筐至少有3个，则相当于把6个蘑菇分装在3个筐子里，且至少有1个筐子是空的，有(0，0，6)，(0，1，5)，(0，2，4)和(0，3，3)4种情况；④如果每个筐至少有2个，类似分析可知有5种情况；⑤如果每个筐至少有1个，类似分析可知有7种情况．所以共有1245719++++=种不同的装法．⑵如果分装在3个不同的筐子里，不允许有空筐，可以把这15个蘑菇排成一列，中间有14个间隔，现在用两个板去隔，每个间隔最多放一个板．这2个板的每一种放法都把15个蘑菇分成3份，所以这两个板的每一种放法都对应一种装蘑菇的方法．而板的放法有21491C=种，所以装蘑菇的不同方法有91种．【答案】91。