11弹性力学试题及答案

2012年度弹性力学与有限元分析复习题及其答案
(绝密试题)
一、填空题
1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。

2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。

3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。

4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。

与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。

应力及其分量的量纲是L -1MT -2。

5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。

6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。

7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力
=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135'ο。

8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。

9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力
=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。

10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。

11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。

12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。

分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。

13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。

14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。

其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。

15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。

16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。

17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。

18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为
了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。

19、在有限单元法中，单元的形函数N i 在i 结点N i =1；在其他结点N i =0及∑N i =1。

20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。

二、判断题（请在正确命题后的括号内打“√”，在错误命题后的括号内打“×”） 1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。

（√） 5、如果某一问题中，0===zy zx z ττσ，只存在平面应力分量x σ，y σ，xy τ，且它们不沿z 方向变化，仅为x ，y 的函数，此问题是平面应力问题。

（√）
6、如果某一问题中，0===zy zx z γγε，只存在平面应变分量x ε，y ε，xy γ，且它们不沿z 方向变化，仅为x ，y 的函数，此问题是平面应变问题。

（√） 9、当物体的形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。

（√） 10、当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。

（√） 14、在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。

（√） 15、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。

（√ ）
四、分析计算题
1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。

（1）By Ax x +=σ，Dy Cx y +=σ，Fy Ex xy +=τ； （2）)(22y x A x +=σ，)(22y x B y +=σ，Cxy xy =τ； 其中，A ，B ，C ，D ，E ，F 为常数。

解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂0
0x y
y x xy y yx
x τστσ；（2）在区域内的相容方程()02222=+⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂y x y x σσ；（3）在边界上的应力边界条件()()
()()
⎪⎩⎪⎨
⎧=+=+s f
l m s f m l y s xy y x
s yx x τστσ；（4）对于多连体的位移单值条件。

（1）此组应力分量满足相容方程。

为了满足平衡微分方程，必须A =-F ，D =-E 。

此
外还应满足应力边界条件。

（2）为了满足相容方程，其系数必须满足A +B =0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A =B =-C /2。

上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。

2、已知应力分量312x C Qxy x +-=σ，2
223xy
C y -=σ，y x C y C xy 2332--=τ，体力不计，Q 为常数。

试利用平衡微分方程求系数C 1，C 2，C 3。

解：将所给应力分量代入平衡微分方程
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂00x y
y x
xy y yx
x τστσ 得
⎩⎨
⎧=--=--+-0
230
33322322212xy C xy C x C y C x C Qy 即
()()()⎩⎨
⎧=+=+--0230
3332
22231xy C C y C Q x C C 由x ，y 的任意性，得
⎪⎩⎪
⎨⎧=+=+=-0
23030
332
231C C C Q C C 由此解得，61Q C =
，32Q C -=，2
3Q
C = 3、已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。

解：将已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ，代入平衡微分方程
⎪⎪
⎭
⎪
⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00Y x y X y x xy
y yx
x τστσ
可知，已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略不计时才满足。

按应力求解平面应力问题的相容方程：
y x x
y xy x y y x ∂∂∂+=-∂∂+-∂∂τννσσνσσ222
2
2)1(2)()( 将已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ代入上式，可知满足相容方程。

按应力求解平面应变问题的相容方程：
y x x
y xy
x y y x ∂∂∂-=--∂∂+--∂∂τνσννσσννσ2
222
212)1()1( 将已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ代入上式，可知满足相容方程。

4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否
可能存在。

（1）Axy x =ε，3By y =ε，2Dy C xy -=γ； （2）2Ay x =ε，y Bx y 2=ε，Cxy xy =γ； （3）0=x ε，0=y ε，Cxy xy =γ； 其中，A ，B ，C ，D 为常数。

解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即
y x x
y xy
y x ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε2
222
2 将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：
（1）相容。

（2）C By A =+22（1分）；这组应力分量若存在，则须满足：B =0，2A =C 。

（3）0=C ；这组应力分量若存在，则须满足：C =0，则0=x ε，0=y ε，0=xy γ（1分）。

5、证明应力函数2by =ϕ能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，0≠b ）。

解：将应力函数2by =ϕ代入相容方程
024
422444=∂∂+∂∂∂+∂∂y y x x ϕ
ϕϕ 可知，所给应力函数2by =ϕ能满足相容方程。

由于不计体力，对应的应力分量为
b y
x 222=∂∂=ϕ
σ，022=∂∂=x y ϕσ，02=∂∂∂-=y x xy ϕτ 对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四
个边上的面力分别为：
上边，2h
y -=，0=l ，1-=m ，0)(2=-=-=h y xy x f τ，0)(2=-=-=h y y y f σ；
下边，2h
y =，0=l ，1=m ，0)(2===h y xy x f τ，0)(2
===h y y y f σ；
左边，2l
x -=，1-=l ，0=m ，b f l x x x 2)(2-=-=-=σ，0)(2=-=-=l x xy y f τ；
右边，2l
x =，1=l ，0=m ，b f l x x x 2)(2===σ，0)(2
===l x xy y f τ。

可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b 。

因此，应力函数2by =ϕ能解决矩形板在x 方向受均布拉力（b >0）和均布压力（b <0）的问题。

6、证明应力函数axy =ϕ能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，0≠a ）。

解：将应力函数axy =ϕ代入相容方程
024422444=∂∂+∂∂∂+∂∂y
y x x ϕ
ϕϕ 可知，所给应力函数axy =ϕ能满足相容方程。

由于不计体力，对应的应力分量为
022=∂∂=y
x ϕ
σ，022=∂∂=x y ϕσ，a y x xy -=∂∂∂-=ϕτ2 对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四
个边上的面力分别为：
上边，2h
y -=，0=l ，1-=m ，a f h y xy x =-=-=2)(τ，0)(2=-=-=h y y y f σ；
下边，2h
y =，0=l ，1=m ，a f h y xy x -===2)(τ，0)(2===h y y y f σ；
左边，2l
x -=，1-=l ，0=m ，0)(2=-=-=l x x x f σ，a f l x xy y =-=-=2)(τ；
右边，2l
x =，1=l ，0=m ，0)(2===l x x x f σ，a f l x xy y -===2
)(τ。

可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a ，而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力a 。

因此，应力函数axy =ϕ能解决矩形板受均布剪力的问题。

7、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为ρ，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量。

解：根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，
即设0=x σ。

由此可知
022∂∂=y
x ϕ
σ
将上式对y 积分两次，可得如下应力函数表达式
())()(,21x f y x f y x +=ϕ
将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得
0)()(4
24414=+dx x f d dx x f d y 这是y 的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内的y 值都应该满足它），
可见它的系数和自由项都应该等于零，即
0)(414dx x f d ， 0)
(4
24=dx x f d 这两个方程要求
I Cx Bx Ax x f +++=231)(， K Jx Ex Dx x f +++=232)(
代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得
2323)(Ex Dx Cx Bx Ax y ++++=ϕ
对应应力分量为
022=∂∂=y
x ϕ
σ
gy E Dx B Ax y x
y ρϕ
σ-+++=∂∂=26)26(22
C Bx Ax y
x xy ---=∂∂∂-=2322ϕτ
以上常数可以根据边界条件确定。

左边，0=x ，1-=l ，0=m ，沿y 方向无面力，所以有
0)(0==-=C x xy τ
右边，b x =，1=l ，0=m ，沿y 方向的面力为q ，所以有
q Bb Ab b x xy =--==23)(2τ
上边，0=y ，0=l ，1-=m ，没有水平面力，这就要求xy τ在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即
0)(00
==⎰dx y b
xy
τ
将xy τ的表达式代入，并考虑到C =0，则有
0)23(2
30230
2=--=--=--⎰
Bb Ab Bx Ax dx Bx Ax b b
而00)(00
=⋅=⎰dx y b xy τ自然满足。

又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求y σ在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即
0)(00
==⎰
dx y b
y σ，
0)(00
==⎰xdx y b
y
σ
将y σ的表达式代入，则有
02323)26(2
02
=+=+=+⎰Eb Db Ex Dx
dx E Dx b b
022)26(2
30230
=+=+=+⎰
Eb Db Ex Dx xdx E Dx b b
由此可得
2
b q A -
=，b q
B =，0=
C ，0=
D ，0=
E 应力分量为
0=x σ, gy b x b y q y ρσ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=312, ⎪⎭
⎫
⎝⎛-=23b x b x q xy τ
虽然上述结果并不严格满足上端面处（y =0）的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离y =0处这一结果应是适用的。

8、证明：如果体力分量虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为
x
V
f x ∂∂-
=，y V f y ∂∂-=，其中V 是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示为，
V y
x +∂∂=22ϕ
σ，V x y +∂∂=22ϕσ，y x xy ∂∂∂-=ϕτ2，试导出相应的相容方程。

证明：在体力为有势力的情况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量x σ，y σ，xy τ应当满足平衡微分方程
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂00y V x y
x V y x
xy y yx x τστσ（1分） 还应满足相容方程
()()⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+∂∂+-=+⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+∂∂y
f x f y x y x y x μσσ12222（对于平面应力问题） ()⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛∂∂+∂∂--=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂y f x f y x y x y x μσσ112222（对于平面应变问题） 并在边界上满足应力边界条件（1分）。

对于多连体，有时还必须考虑位移单值条件。

首先考察平衡微分方程。

将其改写为
()()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=∂∂+-∂∂=∂∂+-∂∂
00x V y y V x
xy y yx x
τστσ 这是一个齐次微分方程组。

为了求得通解，将其中第一个方程改写为
()()yx x y
V x τσ-∂∂=-∂∂
根据微分方程理论，一定存在某一函数A （x ，y ），使得
y A V x ∂∂=
-σ，x
A
yx ∂∂=-τ 同样，将第二个方程改写为
()()yx y x
V y τσ-∂∂=-∂∂
（1分） 可见也一定存在某一函数B （x ，y ），使得
x
B
V y ∂∂=
-σ，y B yx ∂∂=-τ
由此得
y
B
x A ∂∂=∂∂ 因而又一定存在某一函数()y x ,ϕ，使得
y A ∂∂=
ϕ，x
B ∂∂=ϕ 代入以上各式，得应力分量
V y
x +∂∂=22ϕ
σ，V x y +∂∂=22ϕσ，y x xy ∂∂∂-=ϕτ2 为了使上述应力分量能同量满足相容方程，应力函数()y x ,ϕ必须满足一定的方程，将上述应力分量代入平面应力问题的相容方程，得
()V y x V x V y y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+∂∂++∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂2222222222221μϕϕ ()V y x V y x x y y x ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂222222222222222212μϕϕ 简写为
V 24)1(∇--=∇μϕ
将上述应力分量代入平面应变问题的相容方程，得
V y x V x V y y x ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂++∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂22222222222211μϕϕ V y x V y x x y y x ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂2222222222222222112μϕϕ 简写为
V 2
4121∇---=∇μ
μϕ
9、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为ρ，试用纯三次的应力函数求解。

解：纯三次的应力函数为
3223dy cxy y bx ax +++=ϕ
相应的应力分量表达式为
dy cx xf y
x x 6222+=-∂∂=ϕ
σ, gy by ax yf x y y ρϕσ-+=-∂∂=2622, cy bx y x xy 222--=∂∂∂-=ϕτ 这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。

现在来考察，如果适当选择各个系数，
是否能满足应力边界条件。

上边，0=y ，0=l ，1-=m ，没有水平面力，所以有
02)(0==-=bx y xy τ
对上端面的任意x 值都应成立，可见
0=b
同时，该边界上没有竖直面力，所以有
06)(0==-=ax y y σ
对上端面的任意x 值都应成立，可见
0=a
因此，应力分量可以简化为
dy cx x 62+=σ，gy y ρσ-=，cy xy 2-=τ
斜面，αtan x y =，ααπsin 2cos -=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=l ，()ααcos cos =-=m ，没有面力，所以有
()()⎪⎩
⎪⎨
⎧=+=+==00
tan tan αατστσx y xy y x y yx x l m m l 由第一个方程，得
()0sin tan 6sin 4cos tan 2sin tan 62=--=-+-αααααααdx cx cx dx cx
对斜面的任意x 值都应成立，这就要求
0tan 64=--αd c
由第二个方程，得
0sin sin tan 2cos tan sin tan 2=-=-αρααααρααgx cx gx cx
对斜面的任意x 值都应成立，这就要求
0tan 2=-g c ρα（1分）
由此解得
αρcot 21g c =（1分），αρ2cot 3
1g d -= 从而应力分量为
αραρσ2cot 2cot gy gx x -=, gy y ρσ-=, αρτcot gy xy -=
设三角形悬臂梁的长为l ，高为h ，则l
h =αtan 。

根据力的平衡，固定端对梁的约束反力沿x 方向的分量为0，沿y 方向的分量为glh ρ2
1-。

因此，所求x σ在这部分边界上合成的主矢应为零，xy τ应当合成为反力glh ρ2
1-。

()()0cot cot cot 2cot 22020=-=-=⎰⎰=αραραραρσgh glh dy gy gl dy h
l x h x ()()glh gh dy gy dy h h
l x xy ραραρτ2
1cot 21cot 200-=-=-=⎰⎰= 可见，所求应力分量满足梁固定端的边界条件。

10、设有楔形体如图所示，左面铅直，右面与铅直面成角α，下端作为无限长，承受重
力及液体压力，楔形体的密度为1ρ，液体的密度为2ρ，试求应力分量。

：采用半逆解法。

首先应用量纲分析方法来假设应力分量的函数形式。

取坐标轴如图所示。

在楔形体的任意
一点，每一个应力分量都将由两部分组成：一部分由重
力引起，应当与g 1ρ成正比（g
是重力加速度）；另一
部分由液体压力引起，应当与g 2ρ成正比。

此外，每一
部分还与α，x ，y 有关。

由于应力的量纲是L -1MT -2，
g 1ρ和g 2ρ的量纲是L -2MT -2，α是量纲一的
量，而x 和y 的量纲是L ，因此，如果应力分量具有多项式的解答，那么它们的表达式只可能是gx A 1ρ，gy B 1ρ，gx C 2ρ，gy D 2ρ四项的组合，而其中的A ，B ，C ，D 是量纲一的量，只与α有关。

这就是说，各应力分量的表达式只可能是x 和y 的纯一次式。

其次，由应力函数与应力分量的关系式可知，应力函数比应力分量的长度量纲高二次，应该是x 和y 纯三次式，因此，假设
3223dy cxy y bx ax +++=ϕ
相应的应力分量表达式为
dy cx xf y
x x 6222+=-∂∂=ϕσ, gy by ax yf x y y 12226ρϕσ-+=-∂∂=, cy bx y x xy 222--=∂∂∂-=ϕτ 这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。

现在来考察，如果适当选择各个系数，是否能满足应力边界条件。

左面，0=x ，1-=l ，0=m ，作用有水平面力gy 2ρ，所以有
gy dy x x 206)(ρσ=-=-=
对左面的任意y 值都应成立，可见
62g
d ρ-=
同时，该边界上没有竖直面力，所以有
02)(0==-=cy x xy τ
对左面的任意y 值都应成立，可见
0=c
因此，应力分量可以简化为
gy x 2ρσ-=，gy by ax y 126ρσ-+=，bx xy 2-=τ
斜面，αtan y x =，αcos =l ，ααπsin 2cos -=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=m ，没有面力，所以有 ()()⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+==00tan tan αατστσy x xy y y x yx x l m m l 由第一个方程，得
0sin tan 2cos 2=+-αααρby gy
对斜面的任意y 值都应成立，这就要求
0sin tan 2cos 2=+-αααρb g
由第二个方程，得
()()0sin sin 4sin tan 6cos tan 2sin 2tan 611=+--=--+-y g b a by gy by ay αρααααααρα 对斜面的任意x 值都应成立，这就要求
04tan 61=+--g b a ρα
由此解得
αραρ321cot 31cot 61g g a -=，αρ22cot 2
1g b = 从而应力分量为
gy x 2ρσ-=, ()()y g g x g g y 122321cot cot 2cot ραραραρσ-+-=, αρτ22cot gx xy -=。