一、多元函数、极限与连续解读

一、多元函数、极限与连续

㈠二元函数

1 ．二元函数的定义：设 D 是平面上的一个点集，如果对于每个点 P （x，y）∈ D ，变量按照

一定法则总有确定的值与它对应，则称是变量 x 、y 的二元函数（或点 P 的函数），记为

（或），点集 D 为该函数的定义域， x 、y 为自

变量，为因变量，数集为该函数值域。由此也可定义三元函数以及三元以上的函数。二元函数的图形通常是

一张曲面。例如是球心在原点，半径为 1 的上半球面。

㈡二元函数的极限

⒈设函数 f（x,y）在开区域（或闭区域） D 内有定义，

是 D 的内点或边界点，如果对于任意给定的正数，总存在正

数，使得对于适合不等式的一切点

，都有成立，则称常数 A 为函数f（x,y）当

时的极限，记作或, 这里

。为了区别一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限。

⒉注意：二重极限存在是指沿任意路径趋于，函数

都无限接近 A 。因此，如果沿某一特殊路径，例如沿着一

条定直线或定曲线趋于时，即使函数无限接近于某一确定值，我们也不能由此判定函数的极限存在。

㈢多元函数的连续性

1 ．定义：设函数 f（x，y）在开区间（或闭区间） D 内有定

义，是 D 的内点或边界点且。如果

，则称函数 f（x，y）在点连续。如果函数 f（x，y）在开区间（或闭区间） D 内的每一点连续，那么就称函数 f（x，y）在 D 内连续，或者称 f（x，y）是 D 内的连续函数。

2 ．性质

⑴一切多元初等函数在其定义域内是连续的；

⑵在有界闭区域 D 上的多元连续函数，在 D 上一定有最大值和最小值；

⑶在有界闭区域 D 上的多元连续函数，如果在 D 上取两个不同的函数值，则它在 D 上取得介于这两

个值之间的任何值至少一次；

⑷在有界闭区域 D 上的多元连续函数必定在 D 上一致连续。二、偏导数和全微分

㈠偏导数

⒈偏导数定义：设函数在点的某一邻域内有定义，

当固定在而在处有增量时，相应地函数有增量

，如果存在，则称此极限为

函数在点处对的偏导数，记作，，

或

类似，函数在点处对的偏导数定义为

，记作，或。在实

际中求的偏导数，并不需要用新的方法，因为这里只

有一个自变量在变动，另一个自变量是看作固定的，所以求时

只要将暂时看作常量而对求导数；求时，则只要将暂时看作常量而对求导数。偏导数可以推广到二元以上的函数

注意：对于一元函数来说可以看作函数的微分与自变量微分之商，而偏导数的记

号是一个整体符号，不能看作分母与分子之商。

⒉偏导数的几何意义：设为曲面上的一点，

过做平面

，截此曲面得一曲线，此曲线在平面上的方程为

，则导数

，即偏导数，就是这曲线在点处的切线

对轴的

斜率。同样，偏导数的几何意义是曲面被平面所

截得的曲线在点处

的切线对轴的斜率。

⒊高阶偏导数：设函数在区域 D 内具有偏导数

，，那么在 D 内，都是，的函数，如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数

的二阶偏导数。按照对变量求导次序的不同有以下四个

二阶偏导数：，，

,

。二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。

定理：如果函数的两个二阶混合偏导数及在区

域 D 内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。（即二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。）

㈡全微分

⒈全微分定义：如果函数在点的全增量

可表示为，其中 A 、B 不依

赖于、而仅与、有关，

，则称函数在点可微分，而称

为函数

在点的全微分，记作，即。如果函数

在区域 D 内各点都可微分，那么称这函数在 D 内可微分。

定理 1（必要条件）：如果函数在点可微分，则该

函数在点的偏导数

必定存在，且函数在点的全微分为

。

定理2（充分条件）：如果函数的偏导数在点连

续，则函数在该点可微分。

以上关于二元函数全微分的定义及可微分的必要条件和充分条件，可以完全类似地推广到三元和三元以上的多元函数。

习惯上将自变量的增量、分别记作、；并分别称

为自变量的微分，则函数

的全微分可表示为。通常将二元函数的全微

分等于它的两个偏微分之和

这件事称为二元函数的微分符合叠加原理。叠加原理也适用于二元以上的函数的情形。

三、多元复合函数的求导法则

㈠复合函数的全导数：如果函数及都在点可导，

函数在对应点

具有连续偏导数，则复合函数在点可导，且其导数可用下列公式计算：

。此定理可推广到中间变量多余两个的情况，例如，，

，，则，其中称为全导数。

上述定理还可推广

到中间变量不是一元函数而是多元函数的情形。

㈡复合函数的偏导数 : 设，并且，，

则是

的复合函数。如果可微，函数，对

的偏导数存在，则

复合函数对的偏导数存在，且

㈢全微分形式的不变性 : 设函数具有连续偏导数，

则有全微分，如

果、又是的函数、，且这两个函数

也具有连续偏导数，则复合

函数的全微分为

由此可见，无论是自变量、的函数或中间变量、的函数，它的全微分形式是一样的，这个性质叫做全微分形式不变性。

四、隐函数的求导公式

㈠、一个方程的情形

隐函数存在定理 1 ：设函数在点的某一邻域内具

有连续的偏导数，且

，，则方程在点的某一邻域

内恒能

唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，它满