一、多元函数、极限与连续解读
高等数学第10章：多元函数的概念、极限与连续
z
x x0 y y0
，z
( x0 , y 0 )或
f ( x0 , y0 )
例３ 设 z ln e x sin( y x)求 f (0, ), f ( y, x) 2
2
却未 在与 枝群 头芳 独同 欢温 笑暖
解
1 1 2 f (0, ) ln e 0 sin( 0) 1 2 2 2 2
不存在,所以函数f ( x, y )
在点 (0,0)处不连续，即原点 (0,0)是函数的间 断点．
却未 在与 枝群 头芳 独同 欢温 笑暖
3．有界闭区域上连续函数的性质
性质1（最值定理） 在有界闭区域上连续的二元
却未 在与 枝群 头芳 独同 欢温 笑暖
函数，在该区域上一定有最大值和最小值．
性质2（介值定理） 在有界闭区域上连续的二元 函数，必能取得介于函数的最大值与最小 值之间的任何值．
3
x y lim 6 2 x 0 x y y 0
x kx k lim 6 2 6 , 2 x 0 x k x 1 k 3 y kx
3 3
3
故极限不存在． 其值随k的不同而变化，
却未 在与 枝群 头芳 独同 欢温 笑暖
确定极限不存在的方法：
（1）令点 P ( x , y ) 沿 y kx 趋向于 P0 ( x0 , y0 ) ，若
如果函数 z
f ( x, y) 在区域 D 内每一点都连续,则
称函数 f ( x, y )在区域 D 内连续. 如果函数 z f ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 )不连续，则称点
f ( x, y )的间断点. P 0 ( x0 , y0 ) 是函数
多元函数的概念极限与连续性
§5.1 多元函数的概念、极限与连续性一、多元函数的概念1. 二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集，如果对每个点()p x y D ∈，，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x y ，的二元函数，记以()z f x y =，，D 称为定义域。
二元函数()z f x y =，的图形为空间一块曲面，它在xy 平面上的投影区域就是定义域D 。
例如 22: 1z D x y =+≤二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。
2. 三元函数与n 元函数。
()()u f x y z x y z =∈ΩΩ，，，，，，为空间一个点集则称()u f x y z =，，为三元函数()12n u f x x x =，，，，称为n 元函数。
它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。
条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。
【例1】 求函数arcsin 3x z =解 要求13x ≤，即33x -≤≤； 又要求0xy ≥即00x y ≥≥，或00x y ≤≤，综合上述要求得定义域300x y -≤≤⎧⎨≤⎩或030x y ≤≤⎧⎨≥⎩【例2】求函数()2ln 21z y x =-+的定义域。
解 要求2240x y --≥和2210y x -+>即 2222212x y y x⎧+≤⎪⎨+>⎪⎩ 函数定义域D 在圆2222x y +≤的内部（包括边界）和抛物线212y x +=的左侧（不包括抛物线上的点）【例3】 设()22f x y x y x y y +-=+，，求()f x y ，。
解 设x y u x y v +=-=，解出()()1122x u v y u v =+=-， 代入所给函数化简 ()()()()221184f u v u v u v u v +-+-，＝ 故 ()()()()221184f x y x y x y x y +-+-，＝ 【例4】 设()2235f x y xy x xy y ++++，＝，求()f x y ，。
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限与连续性在微积分学中，多元函数的极限与连续性是重要的概念和理论。
本文将介绍多元函数的极限与连续性的定义、性质和相关定理，并通过实例和推导来加深理解。
一、多元函数的极限多元函数是指自变量为多个变量的函数，例如f(x, y)。
在研究多元函数的极限时，需要先定义自变量的趋近方式。
我们定义自变量(x, y)趋近于(a, b)，并记为(x, y)→(a, b)，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当(x, y)离开点(a, b)的距离小于δ时，对应的函数值f(x, y)与极限L的差的绝对值小于ε。
即满足以下条件：|f(x, y) - L| < ε，当0 < √((x-a)² + (y-b)²) < δ时。
二、多元函数的连续性多元函数在某个点上的连续性是指这个函数在该点的值与其极限相同。
具体地，函数f(x, y)在点(a, b)连续的定义如下：lim (x, y)→(a, b) f(x, y) = f(a, b)。
三、多元函数的极限运算法则多元函数的极限与一元函数类似，也遵循一些运算法则，如极限的唯一性、四则运算法则和复合函数的极限等。
其中，极限的唯一性法则指出：如果(x, y)→(a, b)时，f(x, y)存在极限L，则这个极限L唯一确定。
四、多元函数连续性的充分条件在一元函数中，连续函数的充分条件是极限存在。
但是在多元函数中，连续函数的充分条件有所不同。
根据多元函数的极限运算法则，可以得到以下结论：1. 一元函数的连续构成了多元函数的局部连续性；2. 极限与连续性的传递性：如果f(x, y)在点(a, b)连续，g(u, v)在点(f(a, b), c)连续，则复合函数g[f(x, y)]在点(a, b)也连续。
五、多元函数连续性的局部性质与一元函数连续性一样，多元函数的连续性也具有局部性质。
具体地，如果多元函数f(x, y)在点(a, b)连续，则在点(a, b)的任意邻域内，f(x, y)仍然连续。
多元函数的极限与连续性判定
多元函数的极限与连续性判定在数学分析中，多元函数的极限与连续性是重要的概念，在研究函数的性质和求解问题时起着关键作用。
本文将介绍多元函数的极限和连续性的概念、判定条件以及相关性质。
一、多元函数的极限1. 极限的定义对于二元函数$f(x,y)$，当自变量$(x,y)$无限接近于某一点$(a,b)$时，函数值$f(x,y)$是否趋近于某一确定的值$L$，即$\lim_{(x,y) \to(a,b)}f(x,y)=L$。
2. 多元函数的极限存在判定条件(1) 二元函数的极限存在：若对于给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} < \delta$时，有$|f(x,y)−L| < \epsilon$成立，则称函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处的二重极限存在，记作$\lim_{(x,y) \to (a,b)}f(x,y)=L$。
(2) 多元函数的极限存在：若对于给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < \sqrt{(x_1−a_1)^2+...+(x_n−a_n)^2} < \delta$时，有$|f(x_1,...,x_n)−L| < \epsilon$成立，则称函数$f(x_1,...,x_n)$在点$(a_1,...,a_n)$处的$n$重极限存在，记作$\lim_{(x_1,...,x_n) \to(a_1,...,a_n)}f(x_1,...,x_n)=L$。
二、多元函数的连续性判定1. 连续性的定义对于二元函数$f(x,y)$，若在点$(a,b)$的某个邻域内，函数$f(x,y)$在该点处的极限存在且等于函数在该点处的函数值，即$\lim_{(x,y) \to (a,b)}f(x,y)=f(a,b)$，则称函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处连续。
多元函数的极限和连续性
多元函数的极限和连续性在高等数学中，多元函数的极限和连续性是比较基础的概念，对于学习后续的微积分、偏微分方程等内容都有重要的意义，因此本文将从多元函数极限和连续性的定义、求解及其应用等方面进行探讨和阐述。
一、多元函数的极限和连续性的定义在一元函数中，极限的概念是比较容易理解和推广的，而在多元函数中，由于独立变量的个数增加，问题变得更加复杂。
因此，我们需要重新定义多元函数的极限。
1. 多元函数的极限定义设$f(\boldsymbol{x})$是定义在某点$\boldsymbol{x_0}=(x_0,y_0, z_0, ...)$的某一邻域内的多元函数，$\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)$是任一常数向量，那么当对于任意$\epsilon>0$，都存在$\delta>0$，使得当$0<\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x_0}\Vert<\delta$时，都有$\vert f(\boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{x_0}+\boldsymbol{\alpha})\vert<\epsilon$成立，则称$\boldsymbol{x_0}$是$f(\boldsymbol{x})$的一个极限点，记作$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x_0}+\boldsym bol{\alpha})$。
可以看出，多元函数的极限与一元函数的极限相似，但是需要考虑的变量更多。
在多元函数中，只有当$\boldsymbol{x}$从任意方向趋近于$\boldsymbol{x_0}$时，$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})$才存在。
多元函数在某点极限,连续,偏微商,全微分之间的关系
多元函数在某点极限,连续,偏微商,全微分之间的关系极限、连续、偏微分、全微分是讨论多元函数的参数。
（一）极限
极限定义为：在某一点上，函数值趋近于一定值，则此值与函数极限等值。
也就是说，函数在此点上无论怎么变化，有一个定量，恒定不变。
函数的极限可以理解为函数的分析度，也就是说，可以从更小的层次上理解函数的变化。
（二）连续
连续主要指多元函数在不同点的趋势是一致的。
一般而言，函数的连续可以用来描述函数的变化趋势，而不同的点总有一个顺序的变化，从而反映函数的变化趋势，这正是函数的连续性。
（三）偏微分
偏微分定义为：取某一点在某一变量上的偏导数，其本质就是在某一变量上求函数的变化值最大化，从而反映函数在此点的变化趋势。
它是多元函数最基本的求导方法，在很多多元函数的运算中，都有着重要的作用。
（四）全微分
全微分定义为：将函数中的每一个变量分别求偏导数，组成偏导数向量，这个向量叫做函数的全微分。
它是多元函数求导的重点，反映了函数在各个变量上的变化趋势。
可以看出，全微分可以表现函数分析度的变化，从而深入理解函数的变化趋势。
总结而言，极限、连续、偏微分、全微分是描述多元函数变化趋势的重要参数，他们之间互相协作，可以深入理解多元函数的变化。
大学四年级多元函数的极限与连续性
大学四年级多元函数的极限与连续性在大学数学的学习过程中，多元函数是一个重要的概念。
多元函数的极限与连续性是其中一项重要的内容，它们对于理解和应用多元函数具有重要的意义。
一、多元函数的极限多元函数的极限是指当自变量趋向于某一特定值时，函数的取值会趋向于某一确定值。
与一元函数的极限类似，多元函数的极限同样可以通过数列的极限定义来进行讨论。
具体而言，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当自变量与目标点的距离小于δ 时，函数值与极限值的差的绝对值小于ε，那么我们就说函数在这个特定点有极限。
在研究多元函数的极限时，还需要考虑自变量趋于无穷大时的情况。
对于这种情况，我们需要更加精确地定义多元函数的收敛性。
常用的方法是使用ε-δ语言描述，即当自变量中至少有一个趋向于无穷大时，函数的极限可以通过引进新的变量来描述。
这样，当自变量趋于无穷大时，函数值的极限就可以用引进的新变量来表示。
二、多元函数的连续性多元函数的连续性是指在函数定义域内，任意一点的极限与函数值是相等的。
与一元函数的连续性类似，多元函数的连续性也可以用ε-δ语言来进行描述。
具体而言，对于函数定义域内的任意一点，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当自变量与目标点的距离小于δ 时，函数值与极限值的差的绝对值小于ε，那么我们就称函数在这个特定点连续。
如果一个多元函数在其定义域内的每一个点都连续，那么我们就说这个函数是连续的。
连续函数在数学分析和应用中有着重要的地位，它们具有许多良好的性质，例如介值定理和最值定理等。
三、多元函数的极限与连续性的应用多元函数的极限与连续性在数学科学和实际问题中有着广泛的应用。
首先，在微积分中，多元函数的极限与连续性是理解和应用导数和积分的基础。
通过研究多元函数的极限，我们可以得到导数的定义和性质，并进一步研究微分方程和曲线积分等应用问题。
其次，在物理学和工程学中，多元函数的极限与连续性也具有重要的应用价值。
例如，研究物体在空气中的运动轨迹时，我们需要借助多元函数的极限与连续性来建立运动方程，并进一步求解问题。
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限与连续性在数学中，多元函数的极限与连续性是重要的概念。
本文将介绍多元函数的极限和连续性的定义，并探讨它们的性质和应用。
一、多元函数的极限多元函数的极限可以类比于一元函数的极限，但其定义稍有不同。
对于一个二元函数，我们将自变量表示为(x,y)，则当自变量趋近于某个点(a,b)时，函数值f(x,y)的极限记为：lim (x,y)→(a,b) f(x,y) = L其中，L为实数。
我们称函数f(x,y)在点(a,b)处具有极限L，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当(x,y)满足0< √((x-a)^2+(y-b)^2) < δ时，都有 |f(x,y)-L|<ε 成立。
类似地，对于一个三元函数，自变量表示为(x,y,z)，其极限定义与二元函数类似。
多元函数的极限有以下性质：1. 极限存在且唯一：如果一个多元函数在某点具有极限，那么它的极限是唯一的。
2. 有界性：如果一个多元函数在某点具有极限，则它在该点附近是有界的。
但需要注意，多元函数在整个定义域内有界不一定代表在每个点处都具有极限。
3. 加法性、乘法性：如果两个多元函数在某点都具有极限，则它们的和、差、积仍在该点处具有极限。
4. 复合函数的极限性质：多元函数的复合函数在某点处具有极限的条件是，内部函数在该点处具有极限，且外部函数在内部函数极限处连续。
二、多元函数的连续性多元函数的连续性是指函数在整个定义域内的连续性。
对于一个二元函数，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当(x,y)满足0<√((x-a)^2+(y-b)^2) < δ时，都有 |f(x,y)-f(a,b)|<ε 成立，那么我们称函数f(x,y)在点(a,b)处连续。
类似地，对于一个三元函数，连续性的定义也类似。
多元函数的连续性具有以下性质：1. 极限与连续性的关系：如果一个多元函数在某点处具有极限L，则它在该点处连续。
分析方法第十六章多元函数的极限与连续性概要
分析方法第十六章多元函数的极限与连续性概要第十六章多元函数的极限与连续性是数学分析中的重要概念之一、多元函数与一元函数不同，它们的自变量可以是多个变量。
因此，多元函数的极限与连续性的讨论需要引入多元的概念和方法。
本章主要分为三个部分：多元函数的极限、多元函数的连续性、多元函数的一致连续性。
接下来，将对这三个部分进行详细的概要分析。
1.多元函数的极限多元函数的极限是指当自变量自一些点无限接近于给定点时，函数值接近于一些常数。
与一元函数类似，多元函数的极限也需要满足极限存在性和极限唯一性两个条件。
首先，要讨论多元函数的极限，需要引入点列的概念。
点列是指给定一个序列$x_n$，其中每个$x_n$均为函数的自变量，如果$x_n$收敛于给定点$(a,b)$，则函数$f(x_n)$在点$(a,b)$处的极限就是函数在该点的极限。
此外，还需要讨论曲面函数在特殊方向上的极限。
当自变量沿着特定方向逼近给定点时，函数的极限是否存在，如果存在则是多少。
2.多元函数的连续性多元函数的连续性是指函数在其中一点处的极限等于函数在该点的函数值。
与一元函数类似，多元函数的连续性也需要满足三个条件：函数在该点处定义、函数在该点处极限存在、函数在该点处极限等于函数值。
如果函数在定义域的每一个点均满足连续性条件，则称函数在定义域连续。
为了判断多元函数的连续性，可以通过分量函数的连续性进行判断。
具体来说，若多元函数的每个分量函数都是连续的，则多元函数在该点连续。
此外，还可以通过间断点的分类来分析函数在特定点的连续性。
3.多元函数的一致连续性一致连续性是连续性的一种更强的条件。
在多元函数中，一致连续性要求函数在整个定义域内的每一点都连续。
为了判断多元函数的一致连续性，可以使用函数值在一个闭区域上的上确界和下确界的性质进行证明。
在具体分析中，多元函数的一致连续性还可以通过函数的偏导数和导数的连续性来判断。
若函数的偏导数和导数均连续，则函数是一致连续的。
数学分析第十六章多元函数的极限与连续
数学分析第十六章多元函数的极限与连续数学分析第十六章介绍了多元函数的极限与连续的概念。
多元函数是指有多个自变量的函数，比如二元函数，有两个自变量，三元函数，有三个自变量，以此类推。
多元函数的极限与连续是研究多元函数性质的基础，对于优化理论、微分方程等领域都具有重要的应用价值。
本文将详细讨论多元函数的极限与连续的概念及其性质。
1.多元函数的极限：多元函数的极限与一元函数的极限类似，都是研究函数自变量趋于一些点时函数值的趋近情况。
对于二元函数f(x,y)，当点(x,y)趋于(x0,y0)时，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当0<，(x,y)-(x0,y0)，<δ时，有，f(x,y)-L，<ε，那么称函数f(x,y)在点(x0,y0)处的极限为L，记为lim(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=L。
类似地，对于三元函数，有lim(x,y,z)→(x0,y0,z0)f(x,y,z)=L。
2.多元函数的极限的性质：与一元函数类似，多元函数的极限也具有唯一性、局部有界性和四则运算等性质。
具体而言，如果多元函数f(x,y)在点(x0,y0)处的极限存在，则该极限唯一；如果多元函数f(x,y)在点(x0,y0)处的极限存在，则该函数在以点(x0,y0)为中心的邻域上有界；对于两个多元函数f(x,y)和g(x,y)，如果它们在点(x0,y0)处的极限分别存在，则它们的和、差、积和商（除数不为0）的极限也存在且相等。
3.多元函数的连续：多元函数的连续是指函数在各点的极限与该点的函数值相等。
对于二元函数f(x,y)，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当0<，(x,y)-(x0,y0)，<δ时，有，f(x,y)-f(x0,y0)，<ε，那么称函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续。
类似地，对于三元函数，有lim(x,y,z)→(x0,y0,z0)f(x,y,z)=f(x0,y0,z0)，则函数f(x,y,z)在点(x0,y0,z0)处连续。
92多元函数的极限与连续性-文档资料
在讨论二重极限时，如果点P(x,y)仅以某些特殊方式
( 例如，沿着某定直线或某定曲线 ) 趋于P0(x0 ,y0)时，即使 函数 f (x,y) 趋于某一确定的值，我们仍不能确定函数的极
限存在。但反之，如果当P(x,y)以不同方式趋于P0 (x0 ,y0) 时， f (x,y) 趋于不同的值，则可断定函数的极限不存在。
那么，就称当(x,y) → (x0,y0)时，二元函数f (x,y)在点(x0,y0) 的极限为A。记为
lim f (x, y) A 或 f (x, y) A, (x, y) (x0, y0)
( x, y)( x0 , y0 )
二元函数的极限又称为二重极限。
上述极限的定义可以推广到n元函数的情形。
第二节 多元函数的极限与连续性
一、多元函数的极限 二、多元函数的连续性
一、多元函数的极限
为方便起见，我们以二元函数为例，讨论多元函数 的极限问题
定义1. 设有二元函数 f (x, y),(x, y) D ，点 P0 (x0, y0 )
是D的聚点。如果当属于D的点 P(x, y) 以任何方式趋于点
lim
( x, y)( x0 , y0 )
f (x, y)
f (x0, y0),
则称函数 f (x, y) 在点 P0 处连续，点 P0 称为函数的连续点.
如果函数 f (x, y) 在区域D内的每个点都连续，则称函数
f (x, y) 在区域D上连续,或称函数 f (x, y) 是D上的连续函数.
内容小结
1. 区域
• 邻域 : U (P0,δ ), U (P0 ,δ )
• 区域
连通的开集
• R n 空间
2. 多元函数概念
多元函数的概念极限与连续性
§7.1多元函数的概念、极限与连续性一．多元函数的基本概念1.引例在自然科学和工程技术中常常遇到一个变量依赖于多个自变量的函数关系，比如：例1矩形面积S 与边长x ，宽y 有下列依从关系：)0,0(>>⋅=y x y x S ．其中，长x 与宽y 是独立取值的两个变量．在它们变化范围内，当x ，y 取定值后，矩形面积S 有一个确定值与之对应．例2在第7章中我们学习了曲面的方程，例如椭圆抛物面的方程为：2222b y a x z +=，双曲抛物面的方程为2222by a x z -=，这里的z 坐标既跟x 有关，又跟y 有关，它是x ，y 的二元函数.2.多元函数的概念定义1设D 是R 2的一个非空子集，映射f ：D →R 称为定义在D 上的二元函数，记为z =f (x ，y ),(x ，y )∈D (或z =f (P ),P ∈D )其中，点集D 称为该函数的定义域，x ，y 称为自变量，z 称为因变量.上述定义中，与自变量x 、y 的一对值(x ，y )相对应的因变量z 的值，也称为f 在点 (x , y ) 处的函数值，记作f (x ，y )，即z =f (x ,y ).函数f (x ，y )值域：f (D )={z |z =f (x ，y )，(x ，y )∈D }.函数的其它符号:z =z (x ，y )，z =g (x ，y )等.类似地可定义三元函数u =f (x , y , z )，(x , y , z )∈D 以及三元以上的函数.一般地，把定义1中的平面点集D 换成n 维空间R n 内的点集D , 映射f ：D →R 称为定义在D 上的n 元函数，通常记为u =f (x 1，x 2，...，x n )，(x 1，x 2，...，x n )∈D ，或简记为u =f (x )，x =(x 1，x 2，...，x n )∈D ，也可记为u =f (P )，P (x 1，x 2，...，x n )∈D .关于函数定义域的约定：在一般地讨论用算式表达的多元函数u =f (x )时，就以使这个算式有意义的变元x 的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域.因而，对这类函数,它的定义域不再特别标出. 例如：函数z =ln(x +y )的定义域为{(x ，y )|x +y >0}(无界开区域);函数z =arcsin(x 2+y 2)的定义域为{(x ，y )|x 2+y 2≤1}(有界闭区域).二元函数的图形:点集{(x ，y ，z )|z =f (x ，y )，(x ，y )∈D }称为二元函数z =f (x ，y )的图形，由第6章的学习知，二元函数的图形是一张曲面.例如z =ax +by +c 是一张平面，而函数z =x 2+y 2的图形是旋转抛物面.例1求二元函数229y x z --=的定义域．解 容易看出，当且仅当自变量x ，y 满足不等式922≤+y x ,函数z 才有定义．其几何表示是xOy 平面上以原点为圆心，半径为3的圆内及圆周边界上点的全体，如图7.1.1所示．即函数z 的定义域为922≤+y x ．例2求函数)ln(y x z +=的定义域． 解 函数的定义域为0>+y x ，其几何图形是xOy 平面上位于直线x y -=上方的半平面，而不包括直线的阴影部分，如图7.1.2所示．例3求函数2222arcsin arcsec()2x y z x y +=++的定义域． 解 函数z 是两个函数的和，其定义域应是这两个函数的定义域的公共部图7.1.1 图7.1.2分．函数的定义域由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+122222y x y x 构成，即2122≤+≤y x ．定义域的图形是圆环（包括边界），如图7.1.3所示．例5求函数2211y x z --=的定义域．解 函数的定义域为0)(122>+-y x ，即122<+y x .它的图形是不包括边界的单位圆，如图7.1.4所示． 二.多元函数的极限与一元函数的极限概念类似，如果在P (x ，y )→P 0(x 0，y 0)的过程中，对应的函数值f (x ，y ) 无限接近于一个确定的常数A ，则称A 是函数f (x ，y ) 当 (x ，y )→(x 0，y 0)时的极限.定义2设二元函数f (P )=f (x ,y )的定义域为D ，P 0(x 0，y 0)是D 的聚点. 如果存在常数A ，使得对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，当0(,)(,)P x y D U P δ∈⋂时，总有|f (P )-A |=|f (x ,y )-A |<ε成立，则称常数A 为函数f (x ，y )当(x ，y )→(x 0，y 0)时的极限，记为00(,)(,)lim (,)x y x y f x y A →=，或f (x ，y )→A ((x ，y )→(x 0，y 0)图7.1.3 图7.1.4也可简记为0lim ()P P f P A →=或f (P )→A (P →P 0)上面定义的极限也称为二重极限. 定义用两个正数ε，δ和相关距离对极限过程做出了精确描述，这种描述通常称为ε—δ语言，该语言可以用来验证某个常数是函数在相关过程中的极限.极限概念的推广：在定义2中将P (x ，y ) 改为P (x 1，x 2，…，x n )即可得到n 元函数的极限.多元函数的极限运算法则与一元函数的运算法则类似.例5 设22221sin)(),(y x y x y x f ++=，求证0),(lim )0,0(),(=→y x f y x . 证 因为 2222222222 |1sin ||| |01sin )(||0),(|y x y x y x y x y x y x f +≤+⋅+=-++=-， 可见∀ ε>0，取εδ=，则当δ<-+-<22)0()0(0y x ,即),(),(δO U D y x P ⋂∈时，总有|f (x ,y )-0|<ε，因此0),(lim )0,0(),(=→y x f y x .例6求极限22200sin()lim .x y x y x y →→+ 解 22200sin()lim x y x y x y →→+2222200sin()lim ,x y x y x y x y x y →→=⋅+令u =x 2y ，则 2200sin()lim x y x y x y →→=0sin lim u u u →1,=而222x y x y +22122xy x x y =⋅+12x ≤00,x →−−−→ 所以22200sin()lim 0.x y x y x y →→=+ 例7证明2200lim x y xy x y →→+不存在. 证取(y kx k =为常数)，则222222000lim lim ,1x x y y kxxy x kx k x y x k x k →→→=⋅==+++ 易见，所要求的极限值随k 的变化而变化，故2200limx y xy x y →→+不存在. 例8证明36200lim x y x y x y →→+不存在. 证取3,y kx =333362626000lim lim x x y y kxx y x kx x y x k x →→→=⋅=++2,1k k =+其极限值随k 的不同而变化，故极限不存在.例9证明100lim(1)x y x y xy +→→+极限不存在.证取10,n n x y n ==(n 为自然数)，则当n →∞时，0,n y →且 1101/lim(1)lim(10) 1.n n x y n n n n n x y ++→∞→∞+=+= 取11,,1n n x y n n ==-+则当n →∞时，0,n x →0,n y →且 (1)111lim(1)lim 1,(1)n n n n x y n n n n x y n n e++→∞→∞⎡⎤+=-=⎢⎥+⎣⎦ 因为对于不同的子列，所求得的极限的值不同，故10lim(1)x y x y xy +→→+不存在.三.多元函数的连续性1.多元函数连续性概念定义3设二元函数f (P )=f (x ，y )的定义域为D ,（1）P 0(x 0，y 0)为D 的聚点,且P 0∈D . 如果0000(,)(,)lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称函数f (x ，y )在点P 0(x 0，y 0)连续.（2）设D 内的每一点都是D 的聚点，如果函数f (x ，y )在D 的每一点都连续, 则称函数f (x ，y )在D 上连续, 或称f (x ，y )是D 上的连续函数.二元函数的连续性概念可相应地推广到n 元函数f (P )上去.一元基本初等函数可看成其中一个自变量不出现的二元函数，很容易证明，把一元基本初等函数看成二元函数时它们都是连续的.例10 设f (x ，y )=cos x ，证明f (x , y )是R 2上的连续函数.证 对于任意的P 0(x 0，y 0)∈R 2，因为),(cos cos lim ),(lim 000),(),(),(),(0000y x f x x y x f y x y x y x y x ===→→,所以，函数f (x ，y )=cos x 在点P 0(x 0，y 0)连续，由P 0的任意性知, cos x 作为x , y 的二元函数在R 2上连续.类似的讨论可知, 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时，它们在各自的定义域内都是连续的.定义4设函数f (x ,y )的定义域为D , P 0(x 0,y 0)是D 的聚点.如果函数f (x ,y )在点P 0(x 0,y 0)不连续, 则称P 0(x 0，y 0)为函数f (x ,y )的间断点.注: 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点.可以证明, 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数，连续函数的商在分母不为零处的点仍连续；多元连续函数的复合函数也是连续函数.多元初等函数: 与一元初等函数类似，多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数，这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的.例如 2221x x y y +-+,cos(x +y +z ),222x y z e ++都是多元初等函数. 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的. 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.由多元连续函数的连续性, 如果要求多元连续函数f (P )在点P 0处的极限, 而该点又在此函数的定义区域内, 则00lim ()()p p f P f P →=.例11讨论二元函数3322,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪=⎩在(0,0)处的连续性.解由(,)f x y 表达式的特征，利用极坐标变换：令cos ,sin ,x y ρθρθ==则33(,)(0,0)0lim (,)lim (sin cos )x y f x y ρρθθ→→=+0(0,0),f == 所以函数在(0,0)点处连续.例12求极限01lim ln().x y y x →→⎡⎤-⎢⎣ 解01lim ln()ln(10)x y y x →→⎡⎤⎡-=-+⎢⎢⎣⎣ 1.= 例13求01lim .x x y e y x y →→++ 解 因初等函数(,)x e y f x y x y +=+在(0,1)处连续，故 0011lim 2.01x x y e y e x y →→++==++ 2.多元连续函数的性质性质1(有界性与最大值最小值定理) 在有界闭区域D 上的多元连续函数，必定在D 上有界,且在D 上取得它的最大值和最小值.性质1表明：若f (P )在有界闭区域D 上连续，则必存在常数M >0，使得对一切P ∈D ，有|f (P )|≤M ，且存在P 1、P 2∈D ，使得f (P 1)=max{f (P )|P ∈D }，f (P 2)=min{f (P )|P ∈D }性质2(介值定理) 在有界闭区域D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.问题讨论：1.若点(,)x y 沿着无数多条平面曲线趋向于点00(,)x y 时，函数(,)f x y 都趋向于A ，能否断定00(,)(,)lim (,)?x y x y f x y A →=2.讨论函数2222422,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩的连续性.3.你能否用ε—δ语言证明22200sin()lim 0.x y x y x y →→=+本节引入了多元函数概念，给出了多元函数极限的定义和计算方法，通过例题介绍了根据定义证明极限存在（即ε-δ语言）和不存在（沿不同方向或取不同子列得不同值）的方法，最后讨论了多元连续函数，给出了定义和它的基本性质.习题7.11.设22,,y f x y x y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭求(,).f x y 2.已知函数22cot ),(yx xy y x y x f -+=，试求f (tx ，ty ). 3.求下列各函数的定义域(1) z =ln(y 2-5xy +1); (2) 2211y x yx z -++=; (3) y x z -=; (4) 222222221rz y x z y x R u -+++---=(R >r >0); (5) 22arcsin y x zu +=.4. 求下列各极限: (1)332)3,0(),(1lim y x y x y x +-→; (2)22)1,1(),()ln(lim y x e y x y x ++→;(3)xy xy y x 42lim)0,0(),(+-→; (4)11lim )0,0(),(-+→xy xy y x ; (5)x xy y x )sin(lim)2,0(),(→; (6)22)()cos(1lim 2222)0,0(),(yx y x e y x y x ++-→. 5.证明下列极限不存在: (1)y x y x y x +-→)0,0(),(lim; (2)y x y x y x y x -+→)0,0(),(lim . 6.函数xy ax e z y 2-+=（a 为常数）在何处间断？ 7.用 ε-δ 语言证明0lim 22)0,0(),(=+→y x xy y x .。
大学数学多元函数的极限与连续性
大学数学多元函数的极限与连续性一、引言在大学数学课程中，多元函数的极限与连续性是基础且重要的概念之一。
本文将探讨多元函数的极限以及连续性的概念、性质和应用。
二、多元函数的极限多元函数的极限是指当自变量趋于某一点时，函数的取值趋于一个确定的常数。
要确定一个多元函数的极限，需要考虑不同的自变量趋近方式。
1. 非路径问题对于一般的多元函数，当自变量趋于某一点时，可以用数列方法来讨论极限的存在与求解。
可以分别取函数中的两个或多个自变量构成一个数列，并分别求出数列的极限，若这些极限都相等，则可以确定该点处的极限存在，并且该极限就是所得的值。
2. 路径问题当自变量趋近于某一点的路径是任意的，需要考虑使用极限的定义来求解。
通过逐步逼近，可以确定多元函数在该点处的极限存在，并求出极限值。
三、多元函数的连续性多元函数的连续性是指函数在定义域内的任意一点满足极限存在且与该点处函数值相等。
连续性可以用一元函数的连续性来理解，即函数在某一点处的左右极限存在且相等。
1. 连续函数的性质若一个多元函数在其定义域内每一点处都连续，则称该函数为连续函数。
连续函数具有以下性质：- 两个连续函数的和、差、积仍为连续函数；- 两个连续函数的商（分母不为零）仍为连续函数；- 连续函数经过有界闭区间上时，一定可以达到最大值和最小值。
2. 连续函数的应用连续函数在实际问题中具有广泛的应用，例如在物理学、经济学等领域中，通过建立数学模型，可以将实际问题转化为多元函数的极限与连续性问题，进而对问题进行分析和求解。
四、多元函数的极限与连续性的例题分析为加深对多元函数的极限与连续性概念的理解，我们选取几个例题进行分析。
1. 例题一求函数$f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}$在点$(0,0)$处的极限。
首先考虑非路径问题的求解方法，我们可以分别取$(x,y)$沿直线$x=y$和$x=0$的极限。
通过计算可以得到两条直线上的函数极限都为0，并且相等，因此可以确定函数在$(0,0)$处的极限为0。
数分三知识点总结
数分三知识点总结数分三（Calculus III）是数学中的一个分支，主要研究多元函数的极限、连续性、偏导数、多元积分等问题。
在数学和应用数学的领域中，数分三是极为重要的一门课程，对于理解和应用很多复杂的数学问题都起着至关重要的作用。
本文将从三个方面来总结数分三的知识点，包括多元函数的极限与连续性、偏导数与全微分、多元积分与曲线曲面积分。
一、多元函数的极限与连续性1. 多元函数的极限多元函数的极限是数分三中最基础的概念之一。
多元函数的极限是在多元空间中描述函数在某一点的局部行为的重要工具。
在二元函数中，函数f(x,y)在点(x0,y0)处的极限为L，即lim(f(x,y),(x,y)→(x0,y0))=L，当且仅当对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当点(x,y)满足0<√((x−x0)^2+(y−y0)^2)<δ时有|f(x,y)−L|<ε。
在多元函数中，极限的概念也可以类似地推广。
多元函数的极限的存在性与唯一性是数分三中的一个重要定理，它为后续的连续性、偏导数等概念的研究奠定了基础。
2. 多元函数的连续性多元函数的连续性即多元函数在定义域内某一点处的连续性。
若多元函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续，则对于任意ε>0，存在δ>0，使得当点(x,y)满足0<√((x−x0)^2+(y−y0)^2)<δ时有|f(x,y)−f(x0,y0)|<ε。
多元函数的连续性与一元函数的连续性类似，但需要更精细的分析和证明。
多元函数的连续性与多元函数的极限密切相关，通常需要利用极限的性质来证明函数的连续性。
二、偏导数与全微分1. 偏导数偏导数是描述多元函数变化率的重要概念。
对于二元函数f(x,y)，在点(x0,y0)处关于变量x的偏导数定义为fx(x0,y0)=lim(f(x,y)−f(x0,y0))/(x−x0)，x→x0。
类似地，关于y的偏导数定义为fy(x0,y0)=lim(f(x,y)−f(x0,y0))/(y−y0)，y→y0。
多元函数极限与连续性例题和知识点总结
多元函数极限与连续性例题和知识点总结在高等数学中，多元函数的极限与连续性是一个重要的概念和知识点。
理解它们对于解决许多数学问题以及在其他学科中的应用都具有关键意义。
下面我们将通过一些例题来深入探讨这一主题，并对相关知识点进行总结。
一、多元函数极限的概念多元函数的极限是指当自变量在定义域内以任意方式趋近于某个点时，函数值趋近于一个确定的常数。
设函数＄z ＝ f(x,y)＄的定义域为＄D$，＄P_0(x_0,y_0)＄是＄D$ 的聚点。
如果对于任意给定的正数＄＼epsilon$，总存在正数＄＼delta$，使得当点＄P(x,y) ＼in D$ 且满足＄0 ＜＼sqrt{（x x_0)＾2 ＋（y y_0)＾2} ＜＼delta$ 时，都有＄｜f(x,y) A| ＜＼epsilon$ 成立，那么就称常数＄A$ 为函数＄f(x,y)＄当＄（x,y) ＼to （x_0,y_0)＄时的极限，记作＄＄＼lim_{（x,y) ＼to （x_0,y_0)｝ f(x,y) ＝ A$＄二、多元函数连续性的概念若函数＄z ＝ f(x,y)＄在点＄（x_0,y_0)＄处的极限存在，且等于该点的函数值＄f(x_0,y_0)＄，则称函数＄f(x,y)＄在点＄（x_0,y_0)＄处连续。
三、例题分析例 1：求极限＄＼lim_{（x,y) ＼to （0,0)｝＼frac{x^2 ＋ y^2}｛＼sqrt{x^2 ＋ y^2 ＋ 1} 1}＄解：＼＼begin{align}＆＼lim_{（x,y) ＼to （0,0)｝＼frac{x^2 ＋ y^2}｛＼sqrt{x^2 ＋y^2 ＋ 1} 1}＼＼＝＆＼lim_{（x,y) ＼to （0,0)｝＼frac{x^2 ＋ y^2}｛＼sqrt{x^2 ＋y^2 ＋ 1} 1} ＼cdot ＼frac{＼sqrt{x^2 ＋ y^2 ＋ 1} ＋ 1}｛＼sqrt{x^2 ＋y^2 ＋ 1} ＋ 1}＼＼＝＆＼lim_{（x,y) ＼to （0,0)｝＼frac{（x^2 ＋ y^2)（＼sqrt{x^2 ＋ y^2 ＋ 1} ＋ 1)｝｛（x^2 ＋ y^2)｝＼＼＝＆＼lim_{（x,y) ＼to （0,0)｝（＼sqrt{x^2 ＋ y^2 ＋ 1} ＋ 1)＼＼＝＆2＼end{align}＼例 2：讨论函数＄f(x,y) ＝＼begin{cases} ＼frac{xy}｛x^2 ＋ y^2}，＆（x,y) ＼neq （0,0) ＼＼ 0, ＆（x,y) ＝（0,0) ＼end{cases}＄在点＄（0,0)＄处的连续性。
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限与连续性在数学分析中，多元函数的极限与连续性是十分重要的概念，它们在研究函数性质和解决实际问题时起到了关键作用。
本文将对多元函数的极限与连续性进行详细探讨，并给出相应的定义和性质。
一、多元函数的极限对于一个函数f(x1, x2, ..., xn)，当自变量(x1, x2, ..., xn)接近某一点(a1, a2, ..., an)时，如果函数值f(x1, x2, ..., xn)趋于某个常数L，那么我们就说f(x1, x2, ..., xn)在点(a1, a2, ..., an)处收敛于L，记作：lim(f(x1, x2, ..., xn)) = L (当(x1, x2, ..., xn) → (a1, a2, ..., an))多元函数的极限与一元函数的极限类似，但需要考虑多个自变量同时趋于某个特定值。
在计算多元函数极限时，可以使用极限的定义、夹逼定理、两个变量夹逼定理等方法。
多元函数的极限性质包括唯一性、局部有界性、局部保号性、极限的四则运算等。
这些性质的证明与一元函数类似，但需要注意多个变量同时进行推导。
二、多元函数的连续性多元函数的连续性是指函数在某一点处的极限与函数在该点处的函数值相等。
具体而言，对于函数f(x1, x2, ..., xn)在点(a1, a2, ..., an)处连续，需要满足以下条件：1. 函数在点(a1, a2, ..., an)存在；2. 函数在点(a1, a2, ..., an)的极限存在；3. 函数在点(a1, a2, ..., an)的极限等于函数在该点的函数值。
在多元函数中，我们可以使用分量函数的连续性来判断函数的连续性。
分量函数是将多元函数中的每个自变量固定，其他自变量视为参数得到的一元函数。
如果分量函数都连续，那么多元函数在该点处连续。
多元函数的连续性性质包括局部连续性、全局连续性、复合函数的连续性等。
这些性质的证明需要使用到一元函数连续性的基本性质，并进行适当的推导和运算。
一、多元函数、极限与连续解读
一、多元函数、极限与连续㈠二元函数1 ．二元函数的定义：设 D 是平面上的一个点集，如果对于每个点 P （x，y）∈ D ，变量按照一定法则总有确定的值与它对应，则称是变量 x 、y 的二元函数（或点 P 的函数），记为（或），点集 D 为该函数的定义域， x 、y 为自变量，为因变量，数集为该函数值域。
由此也可定义三元函数以及三元以上的函数。
二元函数的图形通常是一张曲面。
例如是球心在原点，半径为 1 的上半球面。
㈡二元函数的极限⒈设函数 f（x,y）在开区域（或闭区域） D 内有定义，是 D 的内点或边界点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式的一切点，都有成立，则称常数 A 为函数f（x,y）当时的极限，记作或, 这里。
为了区别一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限。
⒉注意：二重极限存在是指沿任意路径趋于，函数都无限接近 A 。
因此，如果沿某一特殊路径，例如沿着一条定直线或定曲线趋于时，即使函数无限接近于某一确定值，我们也不能由此判定函数的极限存在。
㈢多元函数的连续性1 ．定义：设函数 f（x，y）在开区间（或闭区间） D 内有定义，是 D 的内点或边界点且。
如果，则称函数 f（x，y）在点连续。
如果函数 f（x，y）在开区间（或闭区间） D 内的每一点连续，那么就称函数 f（x，y）在 D 内连续，或者称 f（x，y）是 D 内的连续函数。
2 ．性质⑴一切多元初等函数在其定义域内是连续的；⑵在有界闭区域 D 上的多元连续函数，在 D 上一定有最大值和最小值；⑶在有界闭区域 D 上的多元连续函数，如果在 D 上取两个不同的函数值，则它在 D 上取得介于这两个值之间的任何值至少一次；⑷在有界闭区域 D 上的多元连续函数必定在 D 上一致连续。
二、偏导数和全微分㈠偏导数⒈偏导数定义：设函数在点的某一邻域内有定义，当固定在而在处有增量时，相应地函数有增量，如果存在，则称此极限为函数在点处对的偏导数，记作，，或类似，函数在点处对的偏导数定义为，记作，或。
多元函数的概念、极限和连续
但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 .
（3）联系 由于一元函数与二元函数极限的定义方式相同.
所以一元函数极限的性质如惟一性、保号性、局部有 界性及极限的四则运算法则，夹逼准则；无穷小的概 念与性质，两个重要极限及求极限的变量代换法，等价 无穷小代换法等都可直接推广到多元函数极限上来.
解 由例6
lim
x0
x2 y x2 y2
0，又
f (0,0)
0，
y0
所以
x2 y
lim
x0
x2
y2
0
f (0,0).
y0
由定义知:所给函数在原点处连续.
18
例8. 证明
在(0,0)处连续. 证:
因为 0 x y x2 y2
由夹逼准则得
f (0,0)
故函数在(0,0)处连续 .
19
2.间断点：如果 f (P) 在点 P0 处不连续，则称 P0 是函数 f (P)的间断点.
P P0 时极限存在且相等
y
x x0 x x0
x
x0
x
(x, y)
x x0
( x0 , y0 )
o
x
( x, y) ( x0 , y0 )
7
二元函数极限 如果P( x, y)沿某种特殊路径趋近于P0 , 即使f ( x, y)无限趋近于某一常数A,也不能断定函数的 极限存在.
反之,若点P( x, y)以不同方式趋近于P0( x0 , y0 )时, 函数趋于不同的值，则可判定函数的极限不存在.
9
例3 考察函数
f
( x,
y)
xy x2 y2
,
0,
x2 y2 0,
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一、多元函数、极限与连续㈠二元函数1 ．二元函数的定义：设 D 是平面上的一个点集，如果对于每个点 P （x，y）∈ D ，变量按照一定法则总有确定的值与它对应，则称是变量 x 、y 的二元函数（或点 P 的函数），记为（或），点集 D 为该函数的定义域， x 、y 为自变量，为因变量，数集为该函数值域。
由此也可定义三元函数以及三元以上的函数。
二元函数的图形通常是一张曲面。
例如是球心在原点，半径为 1 的上半球面。
㈡二元函数的极限⒈设函数 f（x,y）在开区域（或闭区域） D 内有定义，是 D 的内点或边界点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式的一切点，都有成立，则称常数 A 为函数f（x,y）当时的极限，记作或, 这里。
为了区别一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限。
⒉注意：二重极限存在是指沿任意路径趋于，函数都无限接近 A 。
因此，如果沿某一特殊路径，例如沿着一条定直线或定曲线趋于时，即使函数无限接近于某一确定值，我们也不能由此判定函数的极限存在。
㈢多元函数的连续性1 ．定义：设函数 f（x，y）在开区间（或闭区间） D 内有定义，是 D 的内点或边界点且。
如果，则称函数 f（x，y）在点连续。
如果函数 f（x，y）在开区间（或闭区间） D 内的每一点连续，那么就称函数 f（x，y）在 D 内连续，或者称 f（x，y）是 D 内的连续函数。
2 ．性质⑴一切多元初等函数在其定义域内是连续的；⑵在有界闭区域 D 上的多元连续函数，在 D 上一定有最大值和最小值；⑶在有界闭区域 D 上的多元连续函数，如果在 D 上取两个不同的函数值，则它在 D 上取得介于这两个值之间的任何值至少一次；⑷在有界闭区域 D 上的多元连续函数必定在 D 上一致连续。
二、偏导数和全微分㈠偏导数⒈偏导数定义：设函数在点的某一邻域内有定义，当固定在而在处有增量时，相应地函数有增量，如果存在，则称此极限为函数在点处对的偏导数，记作，，或类似，函数在点处对的偏导数定义为，记作，或。
在实际中求的偏导数，并不需要用新的方法，因为这里只有一个自变量在变动，另一个自变量是看作固定的，所以求时只要将暂时看作常量而对求导数；求时，则只要将暂时看作常量而对求导数。
偏导数可以推广到二元以上的函数注意：对于一元函数来说可以看作函数的微分与自变量微分之商，而偏导数的记号是一个整体符号，不能看作分母与分子之商。
⒉偏导数的几何意义：设为曲面上的一点，过做平面，截此曲面得一曲线，此曲线在平面上的方程为，则导数，即偏导数，就是这曲线在点处的切线对轴的斜率。
同样，偏导数的几何意义是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率。
⒊高阶偏导数：设函数在区域 D 内具有偏导数，，那么在 D 内，都是，的函数，如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数的二阶偏导数。
按照对变量求导次序的不同有以下四个二阶偏导数：，，,。
二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。
定理：如果函数的两个二阶混合偏导数及在区域 D 内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。
（即二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。
）㈡全微分⒈全微分定义：如果函数在点的全增量可表示为，其中 A 、B 不依赖于、而仅与、有关，，则称函数在点可微分，而称为函数在点的全微分，记作，即。
如果函数在区域 D 内各点都可微分，那么称这函数在 D 内可微分。
定理 1（必要条件）：如果函数在点可微分，则该函数在点的偏导数必定存在，且函数在点的全微分为。
定理2（充分条件）：如果函数的偏导数在点连续，则函数在该点可微分。
以上关于二元函数全微分的定义及可微分的必要条件和充分条件，可以完全类似地推广到三元和三元以上的多元函数。
习惯上将自变量的增量、分别记作、；并分别称为自变量的微分，则函数的全微分可表示为。
通常将二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理。
叠加原理也适用于二元以上的函数的情形。
三、多元复合函数的求导法则㈠复合函数的全导数：如果函数及都在点可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点可导，且其导数可用下列公式计算：。
此定理可推广到中间变量多余两个的情况，例如，，，，则，其中称为全导数。
上述定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情形。
㈡复合函数的偏导数 : 设，并且，，则是的复合函数。
如果可微，函数，对的偏导数存在，则复合函数对的偏导数存在，且㈢全微分形式的不变性 : 设函数具有连续偏导数，则有全微分，如果、又是的函数、，且这两个函数也具有连续偏导数，则复合函数的全微分为由此可见，无论是自变量、的函数或中间变量、的函数，它的全微分形式是一样的，这个性质叫做全微分形式不变性。
四、隐函数的求导公式㈠、一个方程的情形隐函数存在定理 1 ：设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数，且，，则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，并有隐函数存在定理 2 ：设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数，且，，则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，并有㈡、方程组的情况隐函数存在定理 3 ：设、在点的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又，，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（ Jacobi ）行列式）：在点不等于零，则方程组，在点的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数，它们满足条件，并有，，，五、方向导数、梯度㈠、方向导数1 、定义：设函数在点的某一邻域内有定义，自点 P 引射线。
设轴正向到射线的转角为, 并设为上的另一点，且。
我们考虑函数的增量与和两点间的距离的比值。
当沿着趋于时，如果这个比的极限存在，则称这极限为函数在点沿着方向的方向导数，记作，即。
2 、定理：如果函数在点是可微分的，那么函数在该点沿任一方向的方向导数都存在，且有，其中为 x 轴到方向的转角。
上述定义也可推广到三元函数，它在空间一点沿着方向（设方向的方向角为）的方向导数可以定义为，其中，如果函数在所考虑的点处可微，则函数在该点沿着方向的方向导数为㈡、梯度1 、定义 ( 二元函数的情形 ) ：设函数在平面区域 D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点，都可定出一个向量，这个向量称为函数在点的梯度，记作，即，由梯度的定义可知，梯度的模为：，当不为零时， x 轴到梯度的转角的正切为2 、与方向导数的关系：如果设是与方向同方向的单位向量，则由方向导数的计算公式可知：由此可知，就是梯度在上的投影，当方向与梯度的方向一致时，有，从而有最大值。
所以沿梯度方向的方向导数达最大值，也就是说，梯度的方向是函数在该点增长最快的方向，因此，函数在某点的梯度的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。
※上述所讲的梯度的概念也可推广到三元函数的情况。
设函数在空间区域 G 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点，都可定出一个向量，这个向量称为函数在点的梯度，即六、多元函数的泰勒公式、极值和几何应用㈠、二元函数的泰勒公式定理：设在点的某一邻域内连续且有直到阶的连续偏导数，为此邻域内任一点，则有一般地，记号表示设，则上式可表示为⑴，公式⑴称为二元函数在点的n阶泰勒公式，而的表达式为拉格朗日型余项。
在泰勒公式⑴中，如果取，则⑴式成为 n 阶麦克劳林公式㈡、多元函数的极值定理 1 （必要条件）：设函数在点（, ）具有偏导数，且在点( , ) 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：，定理 2 （充分条件） : 设函数在点（, ）的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又，，令(, )=A,(, )=B, (, )=C,则 f(x,y) 在（, ）处是否取得极值的条件如下：⑴ AC->0 时具有极值，且当 A<0 时有极大值，当 A>0 时有极小值；⑵ AC-<0 时没有极值；⑶ AC-=0 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。
㈢、几何应用1 、空间曲线的切线和法平面：⑴设空间曲线的参数方程为，假设三个函数都可导，在曲线上取相应于的一点，则曲线在点 M 处的切线方程为，这里假设均不为零。
如果有个别为零，则应按空间解析几何中有关直线的对称式方程来理解。
切线的方向向量成为曲线的切向量。
向量就是曲线在点 M 处的一个切向量。
⑵通过点 M 而与切线垂直的平面称为曲线在点 M 处的法平面，它是通过点而与 T 为法向量的平面，因此方程为。
⑶若空间曲线的方程以的形式给出 , 则切线方程为：，其中分母中带下标 0 的行列式表示行列式在点的值；曲线在点处的法平面方程为的值；曲线在点处的法平面方程为2 、曲面的切平面和法线⑴若曲面方程为，是曲面上一点，则曲面在点M 处的切平面的方程为：；法线方程为：⑵若曲面方程为，则切平面方程为或；而法线方程为。