圆周角 圆心角的概念及其关系

3.如图(3),AB是直径,你能确定∠C的度数吗?
练习：
4、AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使 AD5=、AB如，图如，果在∠⊙AOD中B=，2B5⌒0C，=求2D⌒∠E，BO∠C的BO度C数=。100°，求
∠ A的度数。
二、方法上主要学习了圆周角定理的证明渗透了 “特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思想方法。
拓展 化心动为行动
• 1.如图(1),在⊙O中,∠BAD=70°,求∠C的大小.
A
C D
B
●O
B
D
EA ●O
●O
B
C (1)
A
C
(2)
(3)
2.如图(2),在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系?
为什么?
圆 周 角 （一） 圆周角定理
旧知回放:
1.圆心角的定义? 顶点在圆心的角
2.圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系? 相等.
3、如图，⊙O中，∠AOB=100º，则AB弧的度数
为_1_0_0_º__，AnB弧的度数为_2_6_0_º__。
n
4、判断题：
(1)相等的圆心角所对的弧相等 。× A
(2)等弦对等弧 。
2、圆周角的度数与它所对的弧的 度数有什么关系？
E
B
D
圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.
圆周角和圆心角的关系
如图,在⊙O中，圆周角∠ABC的一条边BC经过圆 心O，观察弧AC所对的圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它 们的大小有什么关系?
A
∵∠AOC是△ABO的外角，
C
∴∠AOC=∠B+∠A.
●O
C 120°
O
. . O
C
O
70° x
X
A
BA
BA C
B
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=_1_3_0°。
做做看，收获知多少？
一、判断
1、顶点在圆上的角叫圆周角。
（ ）×
2、圆周角的度数等于所对弧的度数的一半。（ √）
二、计算
C1
. 1、半径为R的圆中，弦AB分圆周成1：2两部分， O
• 你能将这两种情况转化成特殊情况吗？
圆周角和圆心角的关系
当圆心O在圆周角∠ABC的内部时：
过点B作直径BD.由1可得:
∠ABD = 1 ∠AOD,∠CBD = 1∠COD,
2
2
∠ABD +∠CBD = 1 ∠AOD+ 1 ∠COD,
即 ∠ABC = 1∠A2OC.
2
2
AD C
●O
B
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度 数的一半.
同理：_∠BOC
2
证明：
∠ACB= 21∠AOB
∠BAC=
1 2
∠BOC
O
A
C
B
∠ACB=2∠BAC
∠AOB=2∠BOC
规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对
的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理
一 、这节课主要学习了两个知识点：
1、圆周角定义。 2、圆周角定理及其推论一。
圆周角和圆心角的关系
当圆心O在圆周角∠ABC的外部时：
过点B作直径BD.由1可得:
∠ABD
=
1∠AOD,∠CBD
2
= 1 ∠COD, 2
A C
∠ABD -∠CBD = 1∠AOD - 1 ∠COD,
2
2
∴ ∠ABC = 1∠AOC.
●O B
2
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度 数的一半.
圆周角定理
图１不是
图２不是
图３ 是
图４ 不是
图５不是
足球射门
猜一猜 在射门游戏中(如图), 三名 球员站在B、D、E哪个位置较容易 射中球门？
问题变成了考察
A
E B
C D
比较三个圆周角∠ABC、 ∠ADC、∠AEC的大小 问题。
探索圆周角和所对的弧的关系
1、观察一下这三个圆周角，他们有
A
什么共同点？
C ●O
×
(3)等弧对等弦 。
√
(4)长度相等的两条弧是等弧 。 ×
(5)平分弦的直径垂直于弦 。
×
O B
生活中的数学
思考：1 在射门游戏
中(如图),球员射中球
门的难易程度与那些
因素有关？
A
C
张角∠ABC越大，
射门越容易.
B
2 球的位置发生变化时,球相对于球门的张角的顶点 B相对于圆可能有几种情况?
二、探索新知：
思考：圆周角∠ABC与它所对的弧AC的关系是:
∵
∠ABC = 1∠AOC.
2
∠ AOC=AC的度数
∴ ∠ ABC=AC的度数的一半
A
A
C
C
A C
●O
●O
B
●O
B
B
圆周角定理: 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.
推 论 一：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的 度数的一半.
练习： D
1.求圆中角X的度数
则弦所对的圆周角的度数是 60°或。120°
A
B
2、如图,在⊙O中,∠B=50°,∠C=20°,
B
C2
求∠BOC的大小.
C
●O A
如图：OA、OB、OC都是⊙O的半径
∠AOB=2∠BOC.∠ACB与∠BAC的大小 分A⌒B析所:对圆周角是∠A有CB什, 圆么心关角系是？∠为AO什B.么？.
则∠ACB= _1__∠AOB
探索1:
.B
.
O
A
C
圆内角
.B
.
O
A
C
圆外角
B.
.
O
A
C
圆周角
观察：图中的∠ABC的顶点B在圆的什么位置？
B.
∠ABC的两边和圆是什么关系？
定义: 顶点在圆上,它们的两边在圆内的部分
分别是圆的弦。
A
.
O C
特征：① 角的顶点在圆上 ② 角的两边在圆内的部分是圆的弦.
练习： 1.判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
∵OA=OB， ∴∠A=∠B.
B
∴∠AOC=2∠B.
圆心在∠ABC一边上
即
∠ABC
=
1∠AOC.
2
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度 数的一半.
圆周角和圆心角的关系
• 如果圆周角∠ABC的两边都不经过圆心，那么圆心O
与∠ABC有几种位置关系?
A
A
C
C
●O
●O
B
B
圆心在∠ABC内部
圆心在∠ABC外部