材料非线性.答案

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理想弹塑性
硬化塑性
反向加载 对于硬化材料，在一个方向加载进入塑性后， 在 s r1 时卸载，并反向加载进入新的塑性，这 时新的屈服应力在数值上与初始的屈服应力不等， 也不等于卸载时的应力。
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s1 r1
各向同性硬化
r1 s1 2 s 0
运动（随动）硬化
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第二节
线性方程组
非线性方程组的解法
K Q
其中K为常数矩阵，可以直接求解。
非线性方程组
K ( ) Q
其中K ( ) 依赖于 不能直接求解。为变形后的 平衡方程。 求解方法包括：迭代法、增量法和混合法。
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一、直接迭代法
K ( ) f 0
假设有初始的试探解

n
0

p ij 0
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各向同性硬化法则 规定材料进入塑性后，加载曲面在各方向均匀 向外扩张，而其形状、中心及其在应力空间的方位 3 0 时 均保持不变。如： 采用Mises屈服条件，后 继屈服函数表示为 F ( ij , k ) f k 0 其中：
1 f sij sij 2
1 2 p k s ( ) 3
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运动硬化法则 规定材料在进入塑性后，加载曲面在应力空间 作刚体移动，其形状、大小和方位均不改变。 后继屈服函数表示为 F ( ij ,ij ) f k0 0
ij --加载曲面中心在应力
空间的移动张量。它 与材料的硬化特性和 变形历史有关。 根据 ij 的规定不同，则 Prager运动硬化法则：加载面中心移动沿现时应力状 态的应力点的法线方向。 Zeigler修正运动硬化法则：加载面中心移动沿连接中 心和现时应力状态的方向。
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( ) P( ) f 0 0
其中： 表示载荷变化的量。 dP d d f 0 KT f0 0 d d d d 1 K T ( ) f 0 d 切线矩阵
1 1 m1 m KT ( m ) f0m KT ( m )f m
F 0 ( ij ) --应力空间的超曲面。
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对于金属材料通常采用以下两种屈服条件。 V. Mises条件
2 1 F 0 ( ij ) sij sij s 0 0 2 3 其中： s 0 --屈服应力； sij --偏斜应力张量分量。
sij ij mij
其中： 1 ( 11 22 33 ) m --平均应力； m 3
ij
1 (i j ) ij --Kronercker符号； 0 (i j )
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在三维主应力空间内，V.Ｍｉｓｅｓ屈服条件为 2 1 F 0 ( ij ) ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 s 0 0
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直接迭代法的收敛性分析 单自由度问题

P( ) K ( )

0 1 2

n 2 n n1 n3
曲线是凸的，收敛
曲线是凹的，不收敛
其他的迭代方法： Newton-Raphson方法（N-R方法） 修正的Newton-Raphson方法（mN-R方法）
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第六章 材料非线性问题的有限元法
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第一节
引言
线弹性力学基本方程的特点： 几何方程的位移和应变的关系是线性的； 物理方程的应力和应变的关系是线性的； 建立于变形前的平衡方程也是线性的。 几何非线性问题 结构的变形使体系的受力状态发生显著变化， 以致于不能用变形前的平衡方程分析，且位移和应 变的关系不是线性的。 状态变化（接触） 与状态相关的非线性问题，系统的刚度在不同 状态下发生改变。
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硬化法则 硬化法则规定材料进入塑性变形后的后继屈服函 数（加载函数或加载曲面）。
F ( ij , ijp , k ) 0
k --硬化参数，依赖于变形历史。 其中：
理想弹塑性材料，因无硬化效应，后继屈服函 数和初始屈服函数一致
F ( ij , , k ) F ( ij ) 0 对于硬化材料，根据不同的硬化特征，采用不 同的硬化法则：各向同性硬化法则、运动硬化法则、 混合硬化法则。
s1 r1 r1 s1 2 s 0
混合硬化
进入反向塑性后，应 力和应变关系不同于 正向，需根据实验重 新确定。
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循环加载 循环加载是指在上述反向进入塑性变形以后， 载荷再反转进入正向，又一次达到新的屈服点和新 的塑性变形，如此反复循环。 加载分支：从载荷的反转点 开始，沿此方向加载到新的 屈服点，继续塑性变形到下 一个载荷反转点。 如：OA，AB，BC各为一载 荷分支。 实验表明，从第二个分支开始 各分支的应力-应变关系是相似 的。
K 0 K ( 0 )
) f
n1 1
1 ( K 0 )1 f
重复上述步骤
其中：
( K
当误差小于规定的范围即可。
假设的初始的试探解可以由线性问题得到。 每次迭代需要计算和形成新的系数矩阵并进行求逆 计算，这表明K可以表示成 的函数，因此迭代法只 适用于与变形历史无关的非线性问题。
几何意义是以 1 2 3 为轴线的圆柱面。在 过原点Ｏ，并垂直于直线 1 2 3 的 平面上， 屈服函数的轨迹为半径为 s 0 的圆周。而在 3 0 的 平面上，屈服函数的轨迹是一椭圆。
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Tresca条件
屈服条件为 F 0 ( ij ) (1 2 )2 s20 ( 2 3 )2 s20 ( 3 1 )2 s20 0 几何意义是以 1 2 3 为轴线并内接V.Mises 圆柱面的正六棱柱面。在平面上的屈服函数的轨迹 为内接V.Mises屈服轨迹的正六边形。 从数学角度分析， 在棱边处的导数 不存在，所以有 限元分析通常采 用V.Mises屈服 条件。
e e Dijmn (f / mn ) Drskl (f / rs ) e (f / ij ) Dijkl (f / kl ) (4 / 9) E p s2
M表示各向同性硬化特性在全部硬化中所占的比例 --混合硬化参数。 1 M 1 M为负表示材料软化情况。
后继屈服函数为 F ( ij ,ij , k ) f k 0
1 k s2 ( p , M ) 3
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加载、卸载准则
该准则用以判断从一塑性状态出发是继续加载 还是弹性卸载—决定是采用弹性本构关系还是弹塑 性本构关系。
s --现时的弹塑性应力； p --等效塑性应变。
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s 为等效塑性应变的函数，可由单轴拉伸试验确定。
定义：
d s E d p E p --塑性模量（硬化系数）。
p
它与弹性模量和切线模量的关系为
t EE Ep E Et d t E --切线模量。 d 注意：各向同性硬化主要适用于单调加载情况。如 果用于卸载，只适用于反向屈服应力和反转点应力 相等的材料。
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材料非线性的问题： 由于加载历史、环境状况及加载时间总量等因 素影响使得材料的应力-应变关系不符合胡克定律。
不依赖于时间的弹塑性问题：当载荷作用时， 材料立即变形，并不随时间变化而变化。
依赖于时间的黏（弹、塑）性问题：载荷作用以后， 材料立即变形，并随时间变化而变化。在载荷不变 的条件下，由于材料黏性而继续增长的变形称为蠕 变。在变形保持不变的条件下，由于材料的黏性而 使应力衰减称为松弛。
采用硬化法则和混合硬化法则的材料
f sij ij ij
其中：
ij --移动张量的偏斜张量。
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三、应力-应变关系
符合各向同性硬化法则的材料应力和应变增量的关系
ep d ij Dijkl d kl ep e p Dijkl Dijkl Dijkl
塑性矩阵
p Dijkl
f F 0, d ij 0 ij f F 0, d ij 0 ij f F 0, d ij 0 ij
继续塑性加载 按弹性卸载
理想塑性材料，塑性加载。
对于硬化材料，保持塑性状态，但不发生新的塑性流动。
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理想塑性材料，采用各向同性硬化法则
f sij ij
一、材料弹塑性行为的描述
弹塑性材料进入塑性的特征是当载荷卸去后 存在不可恢复的永久变形，因而在涉及卸载的情 况下，应力和应变之间不再存在一一对应的关系， 这是区别于非线性弹性的基本属性。

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单调加载 对于大多数材料存在屈服应力，应力低于屈服 应力时，材料为弹性，而当应力超出屈服应力时， 材料进入 弹塑性状态。 当应力达到屈服应力后，应力不再增加，而材料 变形可以继续增加—理想弹塑性材料。 当应力达到屈服应力后，再增加变形，应力必须 增加—应变硬化材料。此时，应力和应变的关系 s s ( p ) 应变硬化材料还可以这样理解：如果在某个大于 屈服应力的应力值下卸载，然后再加载，材料重新进 入塑性的应力值将高于初始的屈服应力。
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混合硬化法则 同时考虑各向同性硬化和运动硬化。塑性应变增 量表示为 d ijp d ijp(i ) d ijp( k ) d ijp(i ) --与各向同性硬化法则相关联；
d ijp( k ) --与运动硬化法则相关联； d ijp(i ) Md ijp d ijp(k ) (1 M )d ijp
二、增量法
K ( ) f 0
增量法 载荷分为若干步： f 0 , f1 , f 2 , f 3 位移分成若干步： 0 , 1 , 2 , 3 每两步之间增长量为增量。 增量解法的一般做法是： 假设第m步的载荷 f m 和位移 m ； 让载荷增加 f m1 ( f m f ) ，再求解 m1( m )。 如果每一步的增量 f 足够小，解的收敛性 可以得到保证
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N-R法解增量方程
mN-R法解增量方程
对于mR-N方法求解非线性方程组时，收敛速度 较慢，特别是对于结构分析时载荷趋近极限载荷或突 然变软的情况下，收敛速度会很慢。为了加速收敛， 可以采用一些方法，比较常用和有效的是Aitken法。 该方法每隔一次迭代进行一次加速。
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第三节
材料非线性的本构关系
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流动法则 流动法则规定塑性应变增量的分量和应力分量 以及应力分量增量之间的关系。 V.Mises流动法则假设塑性应变增量可由塑性势导出 Q p d ij d ij 其中：
d ijp --塑性应变增量分量；
d --待定的有限量，与材料的硬化法则有关；
Q --塑性势函数，是应力状态和塑性应变的函数。
求解常微分方程组的问题，可以利用Euler方法。
其中： m m1 m
f m f m1 f m
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以上的分析方法计算得到的是近似积分的结果， 因此计算得到的位移不能完全满足微分方程，导致 解的漂移。
P K
Euler法求解增量方程和解的漂移
改进方法：在每一增量步中引入迭代法（如N-R 法或mN-R法），直到满足误差要求，进行下一增 量步的分析。
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二、塑性力学的基本法则
将上述单轴应力状态的基本概念推广到一般的应力 状态，需要利用塑性力学的增量理论。 初始屈服条件 此条件规定材料开始塑性变形的应力状态。对于 初始各向同性的材料，在一般应力状态下开始进入塑 性流动的条件是
其中：
F F ( ij ) 0
0 0
ij --应力张量；
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等幅应变控制的循环加载，材料呈现循环硬（软） 化现象—材料硬（软）化性质增强，直至最后趋于稳 定，进而得到稳定的循环应力-应变曲线。
不等幅应变控制的循环加载，材料呈现循环松弛— 循环过程中平均应力不断减小，通常以趋于0为极限。
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不等幅应力控制的循环加载，材料呈现循环蠕变— 循环过程中平均应变不断增加，这种性质又称为棘轮 效应。