《勾股定理》复习学案(单元复习)

《勾股定理》复习学案

★知识汇总

1．勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改；②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理

常见方法如下：设直角三角形的两直角边和斜边长由短到长分别为a,b,c 方法一：如图，S △AFD = EF= S 正方形EFGH = S 正方形ABCD = = 化简过程为：

方法二：如图，S △= S 大正方形= S 小正方形= = 化简过程为：

方法三：如图，S △AED = S △BEC = S △AEB = S 梯形ABCD = = ， 化简过程为：

2.面积问题：

⑴如图1，以直角三角形的三边长作正方形，则三个正方形的面积之间存在关系是 ⑵如图2，以直角三角形的三边长为直径作半圆，则三个半圆的面积之间存在关系是 ⑶如图3，以直角三角形的三边长为斜边作等腰直角三角形，则三个三角形的面积之间存在关系 是 小练习：

1.如图1，①若S 1=9 S 2=16，则S 3= ，BC= ；②若AB=2，S 3=10，则S 2= ； ③若S 3=10，则S 1+S 2+S 3= ；④若S 1+S 2=5，则S 1+S 2+S 3= 。

2.如图2，①若S 1=2π S 3=

258π，则S 2= ；②若S 1=3π，S 2=3

2

π，则S 3= ，BC= ； ③若BC=10，则S 1+S 2= 。

3.如图3，BC=6，则S 1+S 2+S 3= 。

4.如图4，以直角三角形的三边长为直径作半圆，若AB=12,AC =5,则S 阴影= 。

5.如图5，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，①若最大的正方形的边长为7㎝，则正方形A 、B 、C 、D 的面积之和为 ；②若最大的正方形的边长为10㎝，正方形A 的边长为6㎝，B 的边长为5㎝，C 的边长也为5㎝，则正方形D 的边长为 。 3．勾股定理的逆定理

内容：如果三角形三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。

4. 勾股数

条件：①满足a 2+b 2=c 2；②a,b,c 为三个正整数，则a,b,c 为一组勾股数。 请写出一些常见的勾股数（至少写出5组）：

5.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边：在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c 2=a 2+b 2，b 2=c 2-a 2，a 2=c 2-b 2 ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题

④在空间图形中求不在同一平面上两点的距离，需要将立体图形展开，使两点放入同一平面内，然后用勾股定理计算。

★练习题

一. 选择题

1.已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25

2.等腰△ABC 的底边BC 为16，底边上的高AD 为6，则腰长AB 的长为（ ） A 、10 B 、12 C 、15 D 、20

3.下列说法正确的是（ ）

A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2

B.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2

C.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠A

，则a

2

＋b 2

＝c 2

D.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 2

4.把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ） A ． 2倍 B ． 4倍 C ． 6倍 D ． 8倍

5.△ABC 是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮元计算，那么共需要资金（ ）. A. 50元 B. 600元 C. 1200元 D. 1500元

图4 图5

6.如图,将一棵长为24cm 的筷子置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中（如图），设筷子露在杯子外面的长为hcm ，则h 的取值范围是（ ）

A 、h ≤13cm

B 、h ≥12cm

C 、5cm ≤h ≤13cm

D 、11cm ≤h ≤12cm

7.如图,直线L 上有三个正方形a 、b 、c,若a 、c 的面积分别为5和11,则正方形b 的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 16 D. 55 8.如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与 A 点重合，则EB 的长是（ ）． A ．3

B ．4 C

D ．5

9.如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°

10.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )

（A ） 钝角三角形 （B ） 锐角三角形 （C ） 直角三角形 （D ） 等腰三角形.

11.已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足(a －b )(a 2+b 2－c 2

)＝0，则它的形状为（ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 二. 填空题

1.若△ABC 的三边a 、b 、c 满足▕a-3▏+5 c +b 2

+16=8b,则△ABC 的形状为 。

2.如图是一个外轮廓为矩形的零件平面示意图，根据图中标注的尺寸（单位：㎜），计算两圆孔中心A 和B 的距离为 。

3.如图，是02年8月在北京召开的国际数学大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长为13cm ，小正方形的边长为7cm ，则直角三角形较短的直角边长为 。

4.如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为AC 上一点，且DA=DB=5，又S △DAB =10，则CD= 。

5.如图，学校有一块长方形花圃，有极少学生为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了 步路，却踩上了花草。（假设2步为1米）

6.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，AB=1㎝，AD=2㎝，CD=4㎝，则BC= 。

则矩形ABCD 的边BC

的长为 。

7.直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边上的高为 。

8.在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲被吹到了一边，花朵正好没入水

中，已知红莲移动的水平距离为2米，这里的水有多深？答：

米。

9.小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 。

10.下列三角形①三边之比为1∶2∶4 ②三角之比为2∶3∶5 ③三边之比为2∶3∶4 ④三边之比为9∶40

∶41

⑤三边长分别为3、7、2 ⑥三边长分别为32

、42

、5

2

其中是直角三角形的有（填序号） 。

11.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要 米. 12.如图，对面的两棵树高分别为8m 和2m ，两棵树间距为8m ，一小鸟从一棵树梢飞到另一棵树梢，至少需要飞过的距离为 。

13.如图，一棵大树在一次强烈的地震中从离地面10米处折断倒下，树顶落在距树根24米处，则大树在折断前的高度为 。

14.在一棵树的10米高B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到距树20米处的池塘A 处，另一只爬到树顶D 后，直接跃到A 处，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高约为 。

15.如图，一圆柱体如图所示，圆柱体的底面半径为2，高AB 为5。（π取3）

⑴若一只蚂蚁从A 点出发，沿圆柱体的侧面爬行到点C ，则爬行的最短距离的平方为 。 ⑵若一只蚂蚁从A 点出发，沿圆柱体的侧面爬行到点B ，则爬行的最短距离为 。

16.如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要______cm.

17.如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm,现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB ，且与AE 重合，则CD 长为 。 18.如图，矩形ABCD 中，AB=10，BC=8，沿直线CE 折叠，使点D 落在点F 处，则BF= ，AF= ，AE= 。 19.如图，将矩形纸条ABCD 沿EF 、GH 同时折叠，B 、C 两点恰好落在AD 边的P 点，若∠FPH=90°，PF=8，PH=6，则BC 长为 。

第6题

第7题 第8题 C B

A 第9题 第2题 第3题 第4题 第5题

第6题

第11题 第12题

第13题

第14题

B A 6cm 3cm 1cm 第16题 第15题

第17题 第18题 第19题