第十五章傅里叶级数

第十五章 傅里叶级数

§1 傅里叶级数

教学目标 掌握三角级数和傅里叶级数定义，了解傅里叶级数的收敛定理． 教学要求

(1) 基本要求：掌握三角级数和傅里叶级数定义，了解傅里叶级数的收敛定理；能够展开比较简单的函数的傅里叶级数．

(2) 较高要求：有关傅里叶级数的逐项求导和逐项求积的问题，向学生介绍引入傅里叶级数的意义 (包括物理意义和数学意义)． 教学建议

(1) 向学生介绍引入傅里叶级数的意义(包括物理意义和数学意义)． (2) 三角级数和傅里叶级数的展开计算量较大，可布置适量习题使学生了解展

开的方法与步骤． 教学程序

一、 Fourier 级数的定义

背景：

⑴ 波的分析：频谱分析 . 基频

T

1

( ωπ2=T ) . 倍频.

⑵ 函数展开条件的减弱 : 积分展开 .

⑶ n R 中用Descartes 坐标系建立坐标表示向量思想的推广:

调和分析简介: 十九世纪八十年代法国工程师Fourier 建立了Fourier 分析理论的基础.

（一） 定义 设()f x 是(,)-∞+∞上以2π为周期的函数，且()f x 在[,]ππ-上绝对可积，称形如

01

(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞

=++∑ 的函数项级数为()f x 的 Fourier 级数或三角级数(()f x 的 Fourier 展开式)，其

中

01

()a f x dx π

π

π-

=

⎰，1

()cos ,1,2,n a f x nxdx n π

ππ

-

==⎰，

1

()sin ,1,2,n b f x nxdx n πππ

-

=

=

⎰

称为()f x 的 Fourier 系数，记为0

1

()~

(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑ 定理15.1 若级数∑∞

=++1

0) |||| (2||n n n b a a 收敛 , 则级数 01

(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞

=++∑ 在R 内绝对且一致收敛 . 证明： 用M 判别法. （二）说明

1）在未讨论收敛性，证明01

(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞

=++∑一致收敛到()f x 之前，

不能将“~”改为“=”；此处“~”也不包含“等价”之意，而仅仅表示

01

(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞

=++∑是()f x 的 Fourier 级数，或者说()f x 的 Fourier 级数是01

(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞

=++∑. 2) 要求[,]ππ-上()f x 的 Fourier 级数,只

须求出Fourier 系数.

例1 设()f x 是以2π为周期的函数，其在[,]ππ-上可表示为

1,0()0,0x f x x π

π≤≤⎧=⎨

-<<⎩

, 求()f x 的 Fourier 展开式.

3) 计算()f x 的 Fourier 系数的积分也可以沿别的长度为2π的去件来积.如

200

1

()a f x dx π

π

=

⎰

，20

1

()cos ,1,2,

n a f x nxdx n π

π

==⎰

，

20

1

()sin ,1,2,

n b f x nxdx n π

π=

=

⎰

例 2 设()f x 是以2π为周期的函数,其在[0,2)π上等于x ,求()f x 的 Fourier 级数.

4) 如果()f x 仅定义在长为2π的区间上,例如定义在[0,2)π上, 此时()f x 不是周期函数, 从而不能按上述方法展开为Fourier 级数.但可对()f x 在[0,2)π外补充定义,使其以2π为周期, 如定义

~

()(2)f x f x n π=-, (2,2(1))x n n ππ∈+

它有下述性质: a) [0,2)x π∈时,~

()()f x f x =； b) ~

()f x 以2π为周期.

例3 (),()x f x e x ππ=-≤<,求()f x 的 Fourier 级数. 内积和正交: 由R 3中的内积与正交概念引入.

设函数f 和g 在区间] , [b a 上 ( R )可积 . 定义内积为 ⎰=>

a dx x g x f g f )()( , .

当>< , g f =0时 , 称函数)(x f 和)(x g 在区间] , [b a 上正交

函数的正交性与区间有关 . 例如函数)(x f =x -和2)(x x g =在区间] 1 , 0 [上并不正交 ( 因为>< , g f =4

1

-

) , 但在区间] 1 , 1 [-却是正交的 . 正交函数系统 : 标准正交系 ( 幺正系 ) , 完全系 二、 以π2为周期函数的Fourier 级数 定理15.2 若在整个数轴上

)(x f =

∑∞

=++1

, sin cos 2n n n nx b nx a a 且等式右端的级数一致收敛，则有如下关系式 π1

=n a ⎰-

π

πnxdx x f cos )(， , 2 , 1 , 0=n

π

1

=

n b ⎰-

π

πnxdx x f sin )( ， , 2 , 1=n

三、 收敛定理:

（一） 按段光滑函数: .

定义：若)(x f 的导函数)(x f '在区间] , [b a 上连续 , 则称函数)(x f 在区间