第十五章傅里叶级数
(整理)第十五章 傅里叶级数
第十五章 傅立叶级数§1 傅立叶级数1．在指定区间内把下列函数展开成傅立叶级数： （1）f(x)=x (i),x p p -<<(ii) 02;x p << (2) f(x)=x 2 (i),x p p -<<(ii) 02;x p << (3) ax 0,x p -<?f(x)= (a,b 为不等于0的常数，且a ≠b) bx 0x p <<解：（1）（i ）f(x)按段光滑，由收敛定理知它可以展成傅立叶级数。
011()0,a f x dx xdx p p p p p p--===蝌1n ³时，有11cos sin sin 0n xa x nxdx nxnxdx n n p p ppp pp pp---==-=蝌2,1sin 2,n nb x nxdx n p pp -ìïï-ïï==íïïïïïîò所以在(,)p p -上11sin ()2(1)n n nx f x n ¥+==-å（ii ）f(x)按段光滑，由收敛定理知它可以展成傅立叶级数。
20012,a xdx pp p ==ò1n ³时，有201cos 0,n a x nxdx pp ==ò2012sin ,n b x nxdx np p ==-ò所以在(0,2)p 上1sin ()2n nxf x n p ¥==-å（2）（i ）f(x)按段光滑，由收敛定理知它可以展成傅立叶级数。
22012,3a x dx p p p p -==ò1n ³时，有22241cos 4n n a x nxdx np pp -ìïïïï==íïï-ïïïîò 21sin 0n b x nxdx p pp -==ò所以在(,)p p -上221cos ()4(1)3n n nx f x n p ¥==+-å （ii ）f(x)按段光滑，由收敛定理知它可以展成傅立叶级数。
第十五章 傅里叶级数
第十五章 傅里叶级数1 三角级数与傅里叶级数1．证明(1) sin x ，sin 2x ， ， sin nx ， 是[0,]π上的正交系； (2) sin x ，sin 3x ， ， ()sin 21n x +， 是[0,]2π上的正交系；(3) 1，cos x ，cos 2x ， ，cos nx ， 是[0,]π上的正交系； (4) 1，sin x ，sin 2x ， ， sin nx ， 不是[0,]π上的正交系； 2．求下列周期为2π的函数的傅里叶级数： (1) 三角多项式()()0cos sin nn iii P x a ix b ix ==+∑；(2) ()()3f x x x ππ=-<<； (3) ()cos2xf x =； (4) ()() axf x e x ππ=-<<； (5) ()()sin f x x x ππ=-<<； (6) ()()cos f x x x x ππ=-<<； (7) (), 00, 0x x f x x ππ-<<⎧=⎨≤<⎩；(8) ()()22f x x x πππ=--<<； (9) ()sgncos f x x =； (10) ()() 022xf x x ππ-=<<.3．设()f x 以2π为周期，在[,]ππ-绝对可积，证明： (1) 如果函数()f x 在[,]ππ-满足()()f x f x π+=，则21210, 1,2,m m a b m --=== ；(2) 如果函数()f x 在[,]ππ-满足()()f x f x π+=-，则220, 1,2,m m a b m === .2 傅里叶级数的收敛性1．将下列函数展成傅里叶级数，并讨论收敛性： (1) ()sin [,]f x x x x ππ=∈-；(2) ()2, [0,]1, [,0)x x f x x ππ⎧∈=⎨∈-⎩；2．由展开式()11sin 2(1) n n nxx x nππ∞+==--<<∑， (1) 用逐项积分法求2x ，3x ，4x 在(,)ππ-中的傅里叶展开式；(2) 求级数()1411n n n +∞=-∑，411n n∞=∑的和. 3． (1) 在 (,)ππ-内，求()xf x e =的傅里叶展开式； (2) 求级数2111n n ∞=+∑的和. 4．设()f x 在[,]ππ-上逐段可微，且()()f f ππ-=. n a ，n b 为()f x 的傅里叶系数，'n a ，'n b 是()f x 的导函数'()f x 的傅里叶系数，证明：0'0a =，'n n a nb =，'n n b na =- ( n 1,2,=. 5．证明：若三角级数()01cos sin 2n n n a a nx b nx ∞=++∑ 中的系数n a ，n b 满足关系{}33max ,n n n a n b M ≤，M 为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导函数.6．设()()01cos sin 2nn k k k a T x a kx b kx ==++∑，求证：()()1sin 122sin2n n n tT x T x t dt t πππ-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+⎰. 7．设()f x 以2π为周期，在(0,2)π上单调递减，且有界，求证：()0 0n b n ≥>. 8．设()f x 以2π为周期，在(0,2)π上导数'()f x 单调上升有界. 求证：()0 0n a n ≥>.9．证明：若()f x 在0x 点满足α阶的利普希茨条件，则()f x 在0x 点连续. 给出一个表明这论断的逆命题不成立的例子.10．设()f x 是以2π为周期的函数，在[,]ππ-绝对可积，又设()n S x 是()f x 的傅里叶级数的前n 项部分和()()01cos sin 2nn k k k a S x a kx b kx ==++∑，则 ()()()()2022422n n f x t f x t S x D t dt ππ++-=⎰，其中()n D t 是狄利克雷核.11．设()f x 是以2π为周期，在(),-∞∞连续，它的傅里叶级数在0x 点收敛. 求证：()()()00 n S x f x n →→+∞.12．设()f x 是以2π为周期、连续，其傅里叶系数全为0，则()0f x ≡. 13．设()f x 是以2π为周期，在[,]ππ-绝对可积. 又设0(,)x ππ∈-满足()()000lim 2t f x t f x t L +→++-= 存在. 证明()0lim n n x L σ→∞=. 进一步，若()f x 在0x 点连续，则()()00lim n n x f x σ→∞=，其中()()011nn k k x S x n σ==+∑.3 任意区间上的傅里叶级数1．将下列函数在指定区间上展开为傅里叶级数，并讨论其收敛性： (1) 在区间()0,2l 展开, 0,()0, 2;A x l f x l x l <<⎧=⎨≤<⎩(2) ()cos , ,22f x x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭； (3) ()(), 0,f x x l =；(4) , 01,()1, 12,3, 2 3.x x f x x x x ≤≤⎧⎪=<<⎨⎪-≤≤⎩2．求下列周期函数的傅里叶级数： (1) ()cos f x x =； (2) []()f x x x =-.3．把下列函数在指定区间上展开为余弦级数： (1) ()sin , 0f x x x π=≤≤；(2) 1, 02,()3, 2 4.x x f x x x -<≤⎧=⎨-<<⎩4．把下列函数在指定区间上展开为正弦级数： (1) ()cos, 02xf x x π=≤≤ (2) 2(), 02f x x x =≤≤.5．把函数()2()1f x x =-在()0,1上展开成余弦级数，并推出222116123π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭.6．将函数()f x 分别作奇延拓和偶延拓后，求函数的傅里叶级数，其中1, 0,21(), ,220, .2x f x x x ππππ⎧<<⎪⎪⎪==⎨⎪⎪<≤⎪⎩7．应当如何把给定在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的可积函数延拓到区间(),ππ-内，使得它在(),ππ-中对应的傅里叶级数为： (1) ()()211cos 21n n f x an x ∞-=-∑； (2) ()()211sin 21n n f x bn x ∞-=-∑ .4 傅里叶级数的平均收敛性1．若()f x ,()g x 以2π为周期，在[,]ππ-平方可积，()01()cos sin 2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑ ，()01()cos sin 2n n n g x nx nx ααβ∞=++∑，则()0011()()2n n n n n a f x g x dx a b ππααβπ∞-==++∑⎰.2．设()f x 在[0,]l 上平方可积，求证：22200121()2l n n f x dx a a l ∞==+∑⎰， 其中02()cos l n n xa f x dx l lπ=⎰.。
十五章傅里叶级数
2
2
2
当只给出一种周期旳体现式时，傅里叶级数在两端点旳值
可用 上述公式求之.
例1：设
x, f (x) 0,
0 x x 0
求f
旳傅里叶级数展开式.
解： 函数f 及其周期延拓后的图象如图所示，
y
3 2 O 2 3 4
x
显然 f 是按段光滑旳,故由收敛定理，它能够展开成傅里叶级数。
因为
第十五章 傅里叶级数
§15.1 傅里叶级数
一、 三角级数 • 正交函数系
二、以 2 为周期旳函数旳傅里叶级数
三、收敛定理
§15.1 傅里叶级数
一、三角函数 正交函数系
在科学试验与工程技术旳某些现象中，常会遇到一种周期运动，最简
单旳周期运动，可用正弦函数 A sin(x ) 来描写。
所体现旳周期运动也称为简谐运动，其中 A 为振幅， 为初相角，
f (x) cos kxdx
a0 cos kxdx 2
(an cos nx cos kx bn sin nx cos kx)dx n1
cos2 kxdx
f (x) cos kxdx ak
ak
1
f (x) cos kxdx
(k 1, 2, )
同理可得:
bk
1
f (x) sin kxdx
f 的傅里叶级数收敛于f 在点x的左，右极限的算术平均值，即
f
(x
0) 2
f
(x 0)
a0 2
(an
n1
cos nx bn
sin nx)
其中an ,bn为f的傅里叶系数。
推论：
若f 是以2为周期的连续函数，且在[， ]上按段光滑，则 f 的
数学分析15傅里叶级数总练习题
第十五章 傅里叶级数总练习题1、求三角多项式T n (x)=2A 0+∑=n1k k k sinkx )B +coskx (A 的傅里叶级数展开式.解：T n (x)以2π为周期，且在(-∞,+∞)上光滑，∴能展开为傅里叶级数.又a 0=⎰ππ-02A π1dx+∑⎰⎰=n 1k ππ-k ππ-k dx )sinkx B +dx coskx A (π1=A 0; 当m ≥0时，a m =⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=ππ-n1k k k 0sinkx)B +coskx (A 2A π1cosmxdx=⎩⎨⎧>≤n m 0，n m ，A m ;b m =⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=ππ-n1k k k 0sinkx)B +coskx (A 2A π1sinmxdx=⎩⎨⎧>≤nm ，0n m ，B m .∴在(-∞,+∞)上，有T n (x)=2a 0+∑∞=1m m m sinm x )b +cosmx (a =2A 0+∑=n1k k k sinkx )B +coskx (A ，即T n (x)的傅里叶级数展开式是其本身.2、设f 为[-π,π]上的可积函数，a 0, a k , b k (k=1,2,…,n)为f 的傅里叶系数. 试证明：当A 0=a 0, A k =a k , B k =b k (k=1,2,…,n)时，积分⎰-ππ-2n ](x )T )x (f [dx取得最小值，且最小值为⎰ππ-2)x (f dx-π[2a 0+∑=n 1k 2k 2k )b +(a ]. 其中 T n (x)=2A 0+∑=n1k k k sinkx )B +coskx (A ，A 0, A k , B k 为其傅里叶系数.证：⎰-ππ-2n ](x )T )x (f [dx=⎰∑⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=ππ-2n1k k k 0sinkx)B +coskx (A 2A )x (f dx=-2⎰∑∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∞=ππ-n1k k k 01k k k 0sinkx)B +coskx (A 2A sinkx)b +coskx (a 2a dx+⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=ππ-2n 1k k k 0sinkx)B +coskx (A 2A dx+⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∞=ππ-21k k k 0sinkx)b +coskx (a 2a dx =-2π⎪⎭⎫ ⎝⎛++∑∑==n 1k n 1k k k k k 00b B a A a 2A +π⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∑∑==n 1k n 1k 2k 2k 20B A 2A +2π⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∑∑==n 1k n 1k 2k 2k 20b a 2a -π⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∑∑==n 1k n 1k 2k 2k 20b a 2a +π⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∑∞+=∞+=1n k 1n k 2k 2k b a =π⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∑∑==n1k 2k k n 1k 2k k 200)b -(B )a -(A )a -(A 21+π∑∞+=+1n k 2k 2k )b (a .∴当A 0=a 0, A k =a k , B k =b k (k=1,2,…,n)时，⎰-ππ-2n ](x )T )x (f [dx 取得最小值.方法一：根据帕塞瓦尔等式有⎰ππ-2(x)f π1dx=2a 20+∑∞=1n 2n 2n )b +(a ，即 ⎰ππ-2(x )f dx=2πa 20+π∑∞=1n 2n 2n )b +(a ，∴这个最小值为 π∑∞+=+1n k 2k2k)b (a =π∑∞=+n k 2k2k)b (a -π∑=n1k 2k2k)b +(a =⎰ππ-2)x (f dx-π[2a 0+∑=n 1k 2k 2k )b +(a ]. 方法二：又⎰-ππ-2n ](x )T )x (f [dx=⎰ππ-2)x (f dx-2⎰ππ-n (x )T )x (f dx+⎰ππ-2n (x )T dx.∵2⎰ππ-n (x )T )x (f dx=π00A a +2π∑=+n 1k k k k k )B b A a (=π2a +2π∑=n1k 2k 2k )b +(a ，由贝塞尔不等式有⎰ππ-2n(x )T dx ≥2πA 20+∑=n 1k 2n 2n )B +(A π=2πa 20+π∑=n 1k 2k 2k )b +(a ， ∴⎰-ππ-2n ](x )T )x (f [dx ≥⎰ππ-2)x (f dx-π2a -2π∑=n1k 2k2k )b +(a +2πa 20+π∑=n 1k 2k 2k )b +(a=⎰ππ-2)x (f dx-π[2a 0+∑=n 1k 2k 2k )b +(a ]，即 ⎰-ππ-2n ](x )T )x (f [dx 有最小值⎰ππ-2)x (f dx-π[2a 0+∑=n 1k 2k 2k )b +(a ]. 方法三：又⎰-ππ-2n ](x )T )x (f [dx=⎰∑⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=ππ-2n1k k k 0sinkx)b +coskx (a 2a )x (f dx=⎰ππ-2)x (f dx-2⎰∑∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∞=ππ-n1k k k 01k k k 0sinkx)b +coskx (a 2a sinkx)b +coskx (a 2a dx+⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=ππ-2n1k k k 0sinkx)b +coskx (a 2a dx=⎰ππ-2)x (f dx-2π⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∑∑==n 1k n 1k 2k 2k 20b a 2a +π⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∑∑==n 1k n1k 2k 2k 20b a 2a =⎰ππ-2)x (f dx-π[2a 0+∑=n 1k 2k 2k )b +(a ].3、设f 是以2π为周期，且具有二阶连续可微的函数. b n =nx sin )x (f π1ππ-⎰dx ，b n ”=nx sin )x (f π1ππ-⎰''dx. 证明：若级数∑''nb 绝对收敛，则∑=n1k k |b |≤)|b |2(21n1k k∑=''+. 证：利用∑=n1k 2k 1≤∑∞=1k 2k1=6π2<2，及分部积分法可得：b n ”=nx sin )x (f π1ππ-⎰''dx=-cosnx )x (f πn ππ-⎰'dx=-sinnx )x (f πn ππ-2⎰dx=-n 2b n ；∴)|b |2(21n 1k k ∑=''+≥)|b |k 1(21n1k k n 1k 2∑∑==''+=])|b |(k k 1[212k 2n 1k 2+∑=≥|b |k k 1221k n 1k ⋅⋅∑==∑=n 1k k |b |.注：可记a ’n =cosnx )x (f π1ππ-⎰'dx; 则a ’n =-nb n ，b ”n =na ’n ，∴b ”n =-n 2b n .4、设周期为2π的可积函数f(x)与g(x)分别满足以下关系式： (1)f(-x)=g(x)；(2)f(-x)=-g(x). 试问：f 的傅里叶系数a n , b n 和g 的傅里叶系数αn , βn 有什么关系？ 解：令x=-t ，则 a n =cosnx )x (f π1ππ-⎰dx=-cos(-nt))t (f π1ππ-⎰-d(-t)=cosnt )t (f π1ππ-⎰-dt, n=0,1,2,…； b n =sinnx )x (f π1ππ-⎰dx=-sin(-nt))x (f π1ππ-⎰-d(-t)= -sinnt )t (f π1ππ-⎰-dt, n=1,2,….(1)当f(-x)=g(x)时，a n =cosnt )t (g π1ππ-⎰dt=αn , n=0,1,2,…； b n = -sinnt )t (g π1ππ-⎰dt=-βn , n=1,2,….(2)当f(-x)=-g(x)时，a n =cosnt )t (g -π1ππ-⎰dt=-αn , n=0,1,2,…； b n =sinnt )t (g π1ππ-⎰dt=βn , n=1,2,….5、设定义在[a,b]上的连续函数列{g n }满足：⎰bam n )x (g )x (g dx=⎩⎨⎧=≠m n 1mn 0，，；对于在[a,b]上的可积函数f ，定义αn =⎰ba n )x (g )x (f dx, n=1,2,….证明：∑∞=1n 2nα收敛，且有不等式∑∞=1n 2nα≤⎰ba 2)x (f dx.证：作级数∑∞=1n n n )x (g α，令S m (x)=∑=m1n n n )x (g α，则⎰-ba2m )]x (S )x ([f dx=⎰b a2)x (f dx-2⎰b am )x (S )x (f dx+⎰ba2m )x (S dx ；又2⎰ba m )x (S )x (f dx=2⎰∑=ba m 1n n n )x (g α)x (f dx=2∑⎰=m1n ba n n )x (g )x (f αdx=2∑=m1n 2n α；由{g n }的定义有：⎰b a 2m)x (S dx=⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ba2m 1n n n )x (g αdx=∑=m1n 2n α；∴0≤⎰-b a 2m )]x (S )x ([f dx=⎰ba 2)x (f dx-∑=m 1n 2nα, 即∑=m1n 2n α≤⎰ba2)x (f dx. 又m 为任意自然数，且⎰ba 2)x (f dx 为有限值，∴∑∞=1n 2nα因部分和数列有界而收敛，且有∑∞=1n 2nα≤⎰ba 2)x (f dx.。
傅里叶级数
第十五章 傅里叶级数§1 傅里叶级数教学目标 掌握三角级数和傅里叶级数定义，了解傅里叶级数的收敛定理． 教学要求(1) 基本要求：掌握三角级数和傅里叶级数定义，了解傅里叶级数的收敛定理；能够展开比较简单的函数的傅里叶级数．(2) 较高要求：有关傅里叶级数的逐项求导和逐项求积的问题，向学生介绍引入傅里叶级数的意义 (包括物理意义和数学意义)． 教学建议(1) 向学生介绍引入傅里叶级数的意义(包括物理意义和数学意义)． (2) 三角级数和傅里叶级数的展开计算量较大，可布置适量习题使学生了解展开的方法与步骤． 教学程序一、 Fourier 级数的定义背景：⑴ 波的分析：频谱分析 . 基频T1( ωπ2=T ) . 倍频.⑵ 函数展开条件的减弱 : 积分展开 .⑶ n R 中用Descartes 坐标系建立坐标表示向量思想的推广:调和分析简介: 十九世纪八十年代法国工程师Fourier 建立了Fourier 分析理论的基础.（一） 定义 设()f x 是(,)-∞+∞上以2π为周期的函数，且()f x 在[,]ππ-上绝对可积，称形如01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑ 的函数项级数为()f x 的 Fourier 级数或三角级数(()f x 的 Fourier 展开式)，其中01()a f x dx πππ-=⎰，1()cos ,1,2,n a f x nxdx n πππ-==⎰，1()sin ,1,2,n b f x nxdx n πππ-==⎰称为()f x 的 Fourier 系数，记为01()~(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑ 定理15.1 若级数∑∞=++10) |||| (2||n n n b a a 收敛 , 则级数 01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑ 在R 内绝对且一致收敛 . 证明： 用M 判别法. （二）说明1）在未讨论收敛性，证明01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑一致收敛到()f x 之前，不能将“~”改为“=”；此处“~”也不包含“等价”之意，而仅仅表示01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑是()f x 的 Fourier 级数，或者说()f x 的 Fourier 级数是01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑. 2) 要求[,]ππ-上()f x 的 Fourier 级数,只须求出Fourier 系数.例1 设()f x 是以2π为周期的函数，其在[,]ππ-上可表示为1,0()0,0x f x x ππ≤≤⎧=⎨-<<⎩, 求()f x 的 Fourier 展开式.3) 计算()f x 的 Fourier 系数的积分也可以沿别的长度为2π的去件来积.如2001()a f x dx ππ=⎰，201()cos ,1,2,n a f x nxdx n ππ==⎰，201()sin ,1,2,n b f x nxdx n ππ==⎰例 2 设()f x 是以2π为周期的函数,其在[0,2)π上等于x ,求()f x 的 Fourier 级数.4) 如果()f x 仅定义在长为2π的区间上,例如定义在[0,2)π上, 此时()f x 不是周期函数, 从而不能按上述方法展开为Fourier 级数.但可对()f x 在[0,2)π外补充定义,使其以2π为周期, 如定义~()(2)f x f x n π=-, (2,2(1))x n n ππ∈+它有下述性质: a) [0,2)x π∈时,~()()f x f x =； b) ~()f x 以2π为周期.例3 (),()x f x e x ππ=-≤<,求()f x 的 Fourier 级数. 内积和正交: 由R 3中的内积与正交概念引入.设函数f 和g 在区间] , [b a 上 ( R )可积 . 定义内积为 ⎰=><ba dx x g x f g f )()( , .当>< , g f =0时 , 称函数)(x f 和)(x g 在区间] , [b a 上正交函数的正交性与区间有关 . 例如函数)(x f =x -和2)(x x g =在区间] 1 , 0 [上并不正交 ( 因为>< , g f =41-) , 但在区间] 1 , 1 [-却是正交的 . 正交函数系统 : 标准正交系 ( 幺正系 ) , 完全系 二、 以π2为周期函数的Fourier 级数 定理15.2 若在整个数轴上)(x f =∑∞=++1, sin cos 2n n n nx b nx a a 且等式右端的级数一致收敛，则有如下关系式 π1=n a ⎰-ππnxdx x f cos )(， , 2 , 1 , 0=nπ1=n b ⎰-ππnxdx x f sin )( ， , 2 , 1=n三、 收敛定理:（一） 按段光滑函数: .定义：若)(x f 的导函数)(x f '在区间] , [b a 上连续 , 则称函数)(x f 在区间] , [b a 上光滑. 若函数)(x f 在区间] , [b a 上至多有有限个第一类间断点, 且)(x f '仅在区间] , [b a 上有限个点处不连续且为第一类间断点, 则称)(x f 是区间] , [b a 上的按段光滑函数.按段光滑函数的性质: 设函数)(x f 在区间] , [b a 上按段光滑, 则 ⑴ )(x f 在区间] , [b a 上可积;⑵ 对∈∀x ] , [b a , )0(±x f 都存在 , 且有)0()0()(lim 0+'=+-++→x f tx f t x f t ,)0()0()(lim 0-'=----+→x f t x f t x f t . ( 用Lagrange 中值定理证明 )⑶ )(x f '在区间] , [b a 上可积 . （二）收敛定理:定理15.3 设函数)(x f 是以π2为周期的周期函数且在区间] , [ππ-上按段光滑 , 则在∀∈x ] , [ππ-, )(x f 的Fourier 级数∑∞=++1sin cos 2n n n nx b nx a a 收敛于)(x f 在点x 的左、右极限的算术平均值 , 即 =-++2)0()0(x f x f ∑∞=++10 sin cos 2n n n nx b nx a a 其中n a 和n b 为函数)(x f 的Fourier 系数. ( 证明放到以后进行 )推论 若)(x f 是以π2为周期的连续函数 , 在] , [ππ-上按段光滑,且则)(x f 的Fourier 级数在) , (∞+∞-内收敛于)(x f .四、 正弦级数和余弦级数 （一）定义 形如1sin nn bnx ∞=∑的三角级数(函数项级数)称为正弦级数;形如1cos 2n n a a nx ∞=+∑的三角级数(函数项级数称为余弦级数. （二） 如果()f x 是以2π为周期的函数,在[,]ππ-上绝对可积, 若()f x 是奇函数,则有1()~sin n n f x b nx ∞=∑；若()f x 是偶函数,则有01()~cos 2n n a f x a nx ∞=+∑. （三）设()f x 仅在[0,]π上有定义, 如果按奇函数的要求,补充定义()(),[,0)f x f x x π=--∈-,然后再作2π周期延拓,必得奇函数, 所得Fourier 级数必为正弦级数. 对应地, 补充定义()(),[,0)f x f x x π=-∈-后,再作2π周期延拓,必得偶函数, 所得Fourier 级数必为余弦级数.例4 1,0()0,x hf x h x π≤<⎧=⎨≤<⎩ (0h π<<),将()f x 展开成余弦函数.五、 一般周期函数的Fourier 级数设()f x 是周期为T 的函数,且在[0,]T 上绝对可积, 则有0122()~(cos sin )2n n n a n n f x a x b x T T ππ∞=++∑,其中002()Ta f x dx T =⎰，022()cos ,1,2,T n n a f x xdx n T T π==⎰022()sin ,1,2,T n n b f x xdx n T Tπ==⎰例5: 求(),11f x x x =-≤≤的Fourier 展开式. 六、 Fourier 级数的复数表示形式设01()~(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑, 则其复数表示形式为 ()~inx n f x C e +∞-∞∑,其中, 复的Fourier 系数201()22inx n n n n a ib C f x e dx C ππ---===⎰.作业 教材P70：1，2，3，4，5，6，7，8.§2 以l 2为周期的函数的展开式教学目的 掌握以l 2为周期的函数的展开式，偶函数和奇函数的傅里叶级数的展开，正弦级数，余弦级数． 教学要求(1)掌握以l 2为周期的函数的傅里叶级数展开的基本方法．(2)掌握通过对函数做奇延拓或偶延拓并展开为正弦级数或余弦级数的基本 方法． 教学建议三角级数和傅里叶级数的展开计算量较大，可布置少量习题使学生了解展开 的方法与步骤． 教学程序一、 以l 2为周期的函数的Fourier 级数设函数)(x f 以l 2为周期 , 在区间] , [l l -上 (R )可积 . 作代换πtl x =,则函数)()(πltf t F =以π2为周期. 由πtl x =是线性函数, )(t F 在区间], [ππ-上(R )可积 .函数)(t F 的Fourier 系数为 ⎰-=πππntdt t F a n cos )(1, , 2 , 1 , 0=n⎰-=πππntdt t F b n sin )(1, , 2 , 1 =n)(t F ～ ∑∞=++10. sin cos 2n n n nt b nt a a还原为自变量x , 注意到l xt x f t l f t F , )() ()(ππ===, 就有 )()(t F x f =～∑∞=++10. sin cos 2n n n l x n b l x n a a ππ其中⎰-=πππntdt t F a n cos )(1⎰-=====l l l xt dx l x n x f l ππcos )(1, , 2 , 1 , 0=n=n b ⎰-l l dx l xn x f l πsin )(1, , 2 , 1 =n当函数)(x f 在区间] , [l l -上按段光滑时, )(x f 可展开为Fourie r 级数. 註明三角函数系 } , sin , cos, , sin, cos, 1 { l xn l x n lxlxππππ是区间], [l l -上的正交函数系统 .例１把函数⎩⎨⎧<≤<<-=50 , 3 , 05, 0 )(x x x f 展开成Fourier 级数. 二、 偶函数和奇函数的Fourier 级数（一）区间[ , ]l l -上偶函数和奇函数的Fourier 级数设f 是以2l 为周期的偶函数，或是定义在[],l l -上的偶函数，则()()()01cos 2cos ,0,1,2.,sin 0,1,2,.ln l l l n l n xa f x dxl ln x f x dx n l l n x b f x dx n l πππ--⎫=⎪⎪⎪⎪==⎬⎪⎪⎪===⎪⎭⎰⎰⎰ (6) 于是()01cos 2n n a n x f x a l π∞=+∑ （7）其中n a 如(6)所示，（7）的右边为余弦级数。
《数学分析》第十五章 傅立叶级数
1 22
1 32
1 42
,
2
4
1
2
4
,
1
2
2 , 6
2
1 3
2 , 2432 1
2 . 12
例 3 设f ( x)是以2为周期的连续函数，且
f ( x) a0
2 试证明：1
n1
f
(an cos nx 2( x)dx
第十五章 傅立叶级数
15.1 傅立叶级数 15.2 正弦级数与余弦级数 15.3 以 为周期的函数的展开式 15.4 收敛定理的证明
15.1 傅立叶级数
一、问题的提出 二、三角级数 三角函数系的正交性
三、函数展开成傅里叶级数
一、问题的提出
非正弦周期函数:矩形波
u
u(t
)
1,
1,
当 t 0 当0 t
sin nx)
问题:
f
(x)
条件?
a0 2
(an
n1
cos nx
bn
sin nx)
2.狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)
设 f ( x)是以2为周期的周期函数.如果它满足条件: 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,并且 至多只有有限个极值点,则 f ( x) 的傅里叶级数收敛, 并且 (1) 当x 是 f ( x)的连续点时,级数收敛于 f ( x) ;
f
( x)sin nxdx]
n1
f 2( x)dx
傅里叶级数
∫πcos nxdx = 0,
π
π
∫πsin nxdx = 0,
π
( n = 1,2,3,L)
0, m ≠ n ∫ πsin mx sin nxdx = π, m = n, 0, m ≠ n ∫ πcos mx cos nxdx = π, m = n,
π
∫π
π
sin mx cos nxdx = 0.
右端级数收敛吗?若收敛是否收敛于 右端级数收敛吗?若收敛是否收敛于f(x)?
f ( x)在 a, b]光滑: f ′( x )在[a , b]连续. [ 光滑: 连续. f ( x)在 a, b]按段光滑: [ 按段光滑:
f ( x )在[a , b]有定义,且至多有有限 个第一类 有定义, 间断点, 间断点, f ′( x )在 [a , b] 除有限个点外有定义且 连续,在这有限个点上 f ′( x ) 左右极限存在. 左右极限存在. 连续,
第, 古今往来,众多数学家一直在寻找用简单函数较好 地近似代替复杂函数的途径,除了理论上的需要外, 地近似代替复杂函数的途径,除了理论上的需要外, 它对实际应用的领域的意义更是不可估量. 它对实际应用的领域的意义更是不可估量. 在微积分发明之前,这个问题一直没有本质上的 在微积分发明之前, 突破. 突破. 熟知的简单函数:幂函数,三角函数. 熟知的简单函数:幂函数,三角函数.
π π
1 π bn = ∫π f ( x)sinnxdx π
( n = 1,2,3,L)
f(x)的傅里叶系数 的傅里叶系数
1 π ) an = π ∫π f ( x)cos nxdx, (n = 0,1,2,L 1 π bn = ∫π f ( x)sinnxdx, (n = 1,2,L) π 1 2π ) an = π ∫0 f ( x)cos nxdx, (n = 0,1,2,L 或 2 bn = 1 π f ( x)sin nxdx, (n = 1,2,L ) ∫0 π
傅里叶级数
2. 三角级数的一般形式
一般的三角级数为
取 1, 由于
A A i n ( n x ) 0 ns n
n 1
s i n c o s n x c o s s i n n x s i n ( n x ) n n n
a0 设 A0 , 2
A s i n a , A c o s b n n n n n n
最简单的周期运动，可用正弦函数
y A s i n ( x )
( 1 )
来描写。 由(1)所表达的周期运动称为简谐振动
初 相 角 , 其 中 A 振 幅 , 角 频 率 ,
简谐振动(1)的周期为
2 T
对于较为复杂的周期运动，常可以用几个 简谐振动
f ( x )cos nxdx ，
1
n0,1,2,
f ( x )sin nxdx
1
， n 1 , 2 ,
2. Fourier系数和Fourier级数 Euler―Fourier公式：
如 f 是以2 为周期 的函数 , 则
可换为
c 2
c
设函数 f ( x ) 在区间[ , ] 上可积，称公式
1 , s i n k x sinkxdx 0 ,
k 1 , 2 , ;
k , h 1 , 2 ,
s i n k x c o s h x d x s i n, k x c o s h x 1 s i n ( kh ) x s i n ( kh ) x d x 0, 2
傅里叶级数
§15.1 傅 里 叶 级 数教学要求：掌握三角函数列、三角级数、正交函数系、傅里叶级数的概念以及以2π为周期的函数的傅里叶级数展开,了解傅里叶级数的收敛定理。
教学重点难点：以2π为周期的函数的傅里叶级数展开本章将讨论在数学与工程技术中都有着广泛应用的一类函数项级数，即由三角函数列所产生的三角级数。
一 三角级数·正交函数系 1．三角级数在科学实验与工程技术的某些现象中，常会碰到一种周期运动。
最简单的周期运动，可用正弦函数()ϕω+=x A y s i n （1）来描写。
由（1）所表达的周期运动也称为简谐振动，其中A 为振幅，ϕ为初相角，ω为角频率，于是简谐振动y 的周期是ωπ2=T 。
较为复杂的周期运动，则常是几个简谐振动 ()k k k x k A y ϕω+=s i n ， n k ,,2,1 = 的叠加()∑∑==+==nk k k nk k x k A y y 11s i n ϕω。
（2）由于简谐振动k y 的周期为kT （ωπ2=T ），n k ,,2,1 =，所以函数（2）的周期为T 。
对无穷多个简谐振动进行叠加就得到函数项级数()∑∞=++10s i nn n n x n A A ϕω。
（3） 若级数（3）收敛，则它所描述的是更为一般的周期运动现象。
对于级数（3），只要讨论1=ω（如果1≠ω，可用x ω代替x ）的情形。
由于()nx nx nx n n n sin cos cos sin sin ϕϕϕ+=+， 所以()∑∞=++10s i n n n n x n A A ϕω()∑∞=++=10s i n c o s c o s s i n n n n n n nx A nx A A ϕϕ。
（3’）记20a A =，n n n a A =ϕsin ，n n n b A =ϕcos ， ,2,1=n ， 则级数（3’）可写成()∑∞=++10s i n c o s 2n n n nx b nx a a 。
第十五章傅里叶(Foueier)级数78页PPT
§1 Fourier 级数 §2 以2l为周期的函数的展开式
第十五章 傅里叶(Foueier)级数
§1 Fourier级数
一 问题的提出
非正弦周期函数:矩形波
u
u(t) 11 ,,
当 t0 当 0t
1
o
t
1
不同频率正弦波逐个叠加
bn )
收敛,则级数
a20n 1(anconsxbnsin)x
在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.
证 x R ,由 a n c于 n o b n x sn i n a x n b n ,
由M判别法即得定理结论.
2.定理(收敛定理,狄利克雷(Dirichlet)充分条件)
anco2snxdxan,
可得 an 1 f(x)co nsxd(x n1,2,3, )
(3)求bn.
f(x)sin nx da0xsin nxdx
2
[a k co kss xinnx b d k s xikn sxinnx ]d bn,x
a 2 0d x k 1a kck odx s x k 1b ksikn xd
a0 2, 2
可得 a0 1f(x)dx
(2)求an.
f(x)co nsxda 2 0x co nsxdx
[a k ck ocx sn os x b k d sx k in cx n os x ] d n 1
把以上得到的系数代入三角级数
a 2 0n 1(anco ns xbnsin n)x
该级数称为傅里叶级数 问题:
《数学分析》第十五章傅立叶级数
二、将函数 f ( x ) 2 x 2 ( 0 x ) 分别展开成正弦级数 和余弦级数 .
x 三、将以2 为周期的函数 f ( x ) 在( , ) 内展开成 2 1 n1 傅里叶级数,并求级数 ( 1) 的和 . 2n 1 n 0
2 2 cos nx x x . 四、证明:当0 x 时, 2 n 4 2 6 n 1
1 1 1 1 y 2(sin x sin 2 x sin 3 x sin 4 x sin 5 x ) 2 3 4 5 观 察 两 函 y x 数 图 形
例 2 将周期函数u( t ) E sin t 展开成傅氏级数, 其中 E 是正常数.
解 所给函数满足狄利克雷充分条件, 在整个 数轴上连续.
y x 1
(2)求余弦级数. 对f ( x )进行偶延拓 , 2 a0 ( x 1)dx 2, 0 2 an 0 ( x 1) cos nxdx 0 当 n 2 , 4 , 6 , 2 2 (cos n 1) 4 当 n 1 , 3 , 5 , n 2 n 4 1 1 x 1 1 (cos x 2 cos 3 x 2 cos 5 x ] 2 3 5
2 2 ( 1) n f ( x ) 8 2 cos nx ( 0 x ) . 3 n 1 n x n 1 1 ( 1 ) sin nx x ( , ) 三、 ； . 2 n 1 n 4
a.只有周期函数才能展成傅氏级数;
b.在[0, ]上, 展成周期为2的傅氏级数唯一;
c .在[ , ]上连续且只有有限个极 值点时, 级数处处收敛于f ( x ).
第十五章 付里叶级数
第十五章 付里叶级数填空题1．设f x x x x ()()()=≤≤-<<⎧⎨⎩000ππ则f(x)的付里叶展开式中b n =( )；2．x a anx b nx nn n 2012=++=∞∑(cos sin ) (0<x<2π)则a 0 =_______, a n =__________, b n =____________ 3． x =∑∞=++10)sin cos (2n n nnx b nx aa x <π则a n =_______________b n =_________________计算题1． 求周期函数f(x)=sgn(cosx)的傅里叶级数展开式.2．将函数 f(x)=sinax(-π<x<π )展成付里叶级数 .( a 为非整数) 3．将函数f x x ()=-π22在(,)-ππ内展成付里叶级数。
4．求f x x ()sin =4的付里叶级数.(10分)5．设函数f(x)=|x| ,x ∈ [-π,π]求f 的付里叶(Fourier)级数展开式. 6． 把函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤lx lx l l x x 2,20, 展开成正弦级数. 7．将 f x x a a x a()=<≤-<≤⎧⎨⎪⎩⎪10212 (a>0)展成余弦函数的付立叶级数. 8． 把f(x)=x 在(0,2)内展开成正弦级数.证明题1．若函数f x ()在[]02,π上单调，a n , b n 是f x ()的付里叶系数，则{}na n 与{}nb n 都有界。
(10分)证明题答案1． πξππa f x nxdx n =<<⇒⎰()cos ()()0202由第二积分中值定理=f(0)cos ()cos nxdx f nxdx +⎰⎰022ξξππ=f f nn ()()sin 02-πξ于是na f f n f f n ≤-≤-()()|sin ||()()|0202ππξππ(得4分)又ππξπξπb f x nxdx f nxdx f nxdx n ==+⎰⎰⎰()sin ()sin ()sin 02202=f f nn ()()(cos )()02102--<<πξξπ有 nb f f n f f n ≤--≤-()()|cos ||()()021202ππξππ(得8分)于是{}{}na nb n n 与都有界 (得10分)填空题答案1．()-+11n n2．a a nb nn n 0228344===-ππ,,3．a b nn n n ==-+0121,()计算题答案1．解: f x f x b n ()()-=∴=0 (得2分) a 0=1πππsgn(cos )x dx -⎰=2ππsgn(cos )x dx ⎰=0 (得3分)a n =22ππ[cos nxdx ⎰-cos ]nxdx ππ2⎰=⎪⎩⎪⎨⎧=+=-)2(0)12()1(4k n k n nkπ(得6分)∴=-++⎧⎨⎩⎫⎬⎭=∞∑f x k x k k k ()()c o s ()4121210π (得8分)2．解: f x ax a n ()sin =∴=为奇函数0 (得1分) b ax nxdx n a x n a x dx n ==--+⎰⎰2212ππππsin sin [cos()cos()] =10ππ[sin()sin()]-+++--n a x n an a xn a=21122na n an ππ()sin --- (得5分)故sinax=211122sin ()sin a n n anx n n ππ---=∞∑3．解: f x ()为偶函数 ),2,1(,0==n b n (得2分) a x dx 0222243=-=⎰ππππ() … (得3分)a x u x d x xnd nx n =-=-⎰⎰22222πππππ()cos (sin )= ⎰--πππ02sin 2sin [2nxdx x nnnxx (得4分)=4410n x n d nx n x nnx nnxdx πππππ-=-+⎰⎰(cos )[cos cos=()--1412n n… (得6分)故f(x)=23412121π+--=∞∑()cos n n nnx … (得7分)4．解: f x x x ()cos cos =-+382248(得5分)∴f x ()是偶函数. 于是b n = 0 (得7分) 又a f x dx 00234==⎰ππ() (得8分)a f x n x d x n ==-⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎰201218ππ()c o s n n n n ≠≠==2424, (得9分) 于是f(x)的付里叶级数为 f x x x ()cos cos =-+382248(得10分)5．解:将函数f 按周期2π延拓,因为f 在[-π , π)是偶函数所以 b n =0,n=1,2,… (得2分) 且a 0 =12ππππππ||x dxxdx-⎰⎰== (得3分)a n =12πππππ||cos cos x nxdxx nxdx -⎰⎰=(得4分)=2112n nπ[()]-- n=1,2,…故|x|~ππ24212121---=∞∑cos()()n x n n (得8分)6．解:把函数f 奇延拓到[,]-l 0 上,然后按周期2l 再延拓到整个数轴,得到一个奇函数(得2分)于是a n =0 n=0,1,2,… (得3分) b n =222022lf x n x ldx lx n x ldx ll x n x ldx lll l ()sinsin()sin⎰⎰⎰=+-πππ⎰⎰-+=ππππππ22202sin )(2sin 2ntdtt lntdt t l=4222lnn ππsinn=1,2,… (得7分)故f(x)~4121212121ln n xln n ππ()()sin()----=∞∑ (得8分)7．按偶式展开式有 b n =0 (得2分)a a dx dx a aa 0022210=+-=⎰⎰[()]a an x adx n x adx n n n aa =+-=⎰⎰2422[cos()cos]sinππππ (得4分)f(x)=4133155ππππ(coscoscos)xa xa xa-+- 2|2|0a a x <-< (得8分)8．为了要把f 展开为正弦级数, 对f 作奇式周期延拓a n =0 n=0,1,2,… (得2分)b x n x dx n n n n n ==-=--⎰+222441021sincos ()ππππn=1,2,… (得4分)x=41211n n x n n ππ()sin-+=∞∑(得8分)。
数学分析15.2以2L为周期的函数的展开式
第十五章 傅里叶级数 2以2l 为周期的函数的展开式一、以2l 为周期的函数的傅里叶级数概念1：设f 是以2l 为周期的函数，通过变量置换lxπ=t 或x=πx l ，将f 变换成以2π为周期的t 的函数F(t)=f(πxl ). 若f 在[-l,l]上可积，则F 在[-π,π]上可积. 函数F 的傅里叶级数展开式为：F(t)~2a 0+∑∞=1n n n sinnt)b +cosnt (a ，其中a n =⎰ππ-F(t)cosnt π1dt, n=0,1,2,…； b n =⎰ππ-F(t)sinnt π1dt, n=1,2,…. 由t=lxπ得以2l 为周期的函数f 的傅里叶级数： f(x) ~2a 0+∑∞=1n n n ) xn πsinn b + x n πcos (a l l ， 及以2l 为周期的函数f 的傅里叶系数： a n =⎰l l l l - x n πf(x)cos 1dx, n=0,1,2,…； b n =⎰l l ll - xn πf(x)sin 1dx, n=1,2,…. 若f 在[-l,l]上按段光滑，则由收敛定理有：20)-f(x 0)f(x ++=2a 0+∑∞=1n n n ) xn πsinn b + x n πcos (a l l .例1：把函数f(x) 5x 0，30x 5-，0⎩⎨⎧<≤<≤=展开成傅里叶级数. 解：f 在(-5,5)上按段光滑，∴可展开成傅里叶级数.由收敛定理，有a 0=⎰55-f(x)51dx=⎰50dx 53=3. 当n ≥1时，a n =⎰55-5 x n πf(x)cos 51dx=⎰505 x n πcos 53dx=50|5x n πsin n π3=0； b n =⎰55-5 x n πf(x)sin 51dx=⎰505 x n πsin 53dx=-50|5x n πcos n π3=n π](-1)-3[1n .∴在(-5, 0)∪(0,5)上，f(x)=23+∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1n 5 x 1)π-(2n sin 12n 1π6. 当x=0和±5时，该傅里叶级数收敛于23.一、偶函数与奇函数的傅里叶级数概念2：设f 为以2l 为周期的偶函数，或定义在[-l,l]上的偶函数，则在[-l,l]上的f(x)cosnx 为偶函数，f(x)sinx 为奇函数， f 的傅里叶系数有：a n =⎰l l l l - x n πf(x)cos 1dx=⎰l ll 0 xn πf(x)cos 2dx=, n=0,1,2,…； b n =⎰l l ll - x n πf(x)sin 1dx=0, n=1,2,…. 于是f 的傅里叶级数只含有余弦函数的项，即：f(x) ~2a 0+∑∞=1n n x n πcos a l ，称为余弦级数. 同理，当f 为奇函数时，则在[-l,l]上的f(x)sinnx 为偶函数，f(x)cosx 为奇函数，f 的傅里叶系数有：a n =⎰l l ll - xn πf(x)cos 1dx=0, n=0,1,2,…；b n =⎰l l l l - x n πf(x)sin 1dx=⎰l ll 0 xn πf(x)sin 2dx, n=1,2,…. 于是f 的傅里叶级数只含有正弦函数的项，即：f(x) ~∑∞=1n n xn πsinb l，称为正弦级数. 若l=π，则偶函数f 展开的余弦级数为：f(x) ~2a 0+∑∞=1n n cosnx a ，其中a n =⎰π0f(x)cosnx π2dx=0, n=0,1,2,…；奇函数f 的正弦级数展开式为：f(x) ~∑∞=1n n sinnx b ，其中b n =⎰π0f(x)sinnx π2dx, n=1,2,….注：定义在[0,l]上的函数可以直接展开成余弦级数或正弦级数. 因为它可以通过偶式延拓或奇式延拓到[-l,l]上.例2：设函数f(x)=|sinx|, -π≤x<π，求f 的傅里叶级数展开式. 解：f 在[-π,π)上按段光滑，∴可展开成傅里叶级数.又∵f 是[-π,π)上的偶函数，∴|sinx|=2a 0+∑∞=1n n cosnx a ，其中a 0=⎰π0sinx π2dx =π4；a 1=⎰π0sinxcosx π2dx =0；当n ≥2时， a n =⎰π0sinxcosnx π2dx =⎰+π0n)x sin(1π1dx+⎰π0n)x -sin(1π1dx=π)1-(n ]12[(-1)2n +-. ∴f(x)=|sinx|=π2-∑∞=1n 2cos2nx 1-4n 1π4；x ∈(-∞,+∞) .注：当x=0时，0=π2-∑∞=1n 21-4n 1π4；由此可得：21=311⋅+531⋅+…+1)-)(2m 1(2n 1+=∑∞=1n 21-4n 1.例3：把定义在[0, π]上的函数为f(x)=πx h 0 h x 21hx 0 1⎪⎩⎪⎨⎧≤<=<<，，，(0<h<π)展开成正弦级数.解：f 在[0, π]上按段光滑，∴可展开成正弦级数. b n =⎰π0f(x)sinnx π2dx=⎰h 0sinnx π2dx=h0|cosnx n π2-=n πcosnh)-2(1, n=1,2,… ∴在(0, π)上，f(x)=∑∞=-1n sinnx nnhcos 1π2.当x=0时，f(x)=0；当x=h 时，f(h)=20)-f(h 0)f(h ++=201+=21.注：若例3中h=π，则有f(x)=∑∞=--1n n sinnx n )1(1π2=∑∞=1n 1-2n 1)x -sin(2n π4, 0<x<π.例4：把f(x)=x 在(0,2)内展开成正弦级数和余弦级数.解：f 在[0, 2]上按段光滑，∴可展开成正弦级数和余弦级数(如图). 又a 0=⎰20x dx=2；当n ≥1时， a n =⎰22 x n πxcos dx=-⎰202 x n πsin n π2dx=2022|2 x n πcos πn 4=22n πn ]1-4[(-1)； b n =⎰22 x n πxsin dx=20|2x n πxcos n π2-=n π4(-1)1n +；∴在(0, 2)上，f 的余弦级数为：x=1-∑∞=1n 221)-(2n 1π8cos 2 x1)π-(2n ； 正弦级数为：x=∑∞=+-1n 1n n )1(π4sin 2xn π；当x=0,2时，正弦级数收敛于0.余弦级数正弦级数习题1、求下列周期函数的傅里叶级数展开式：(1)f(x)=|cosx|；(2)f(x)=x-[x]；(3)f(x)=sin 4x ；(4)f(x)=sgn(cosx). 解：(1)函数f 及其延拓后的函数按段光滑，可以展开成傅里叶级数. ∵f(x)=|cosx|在(2π-,2π)是偶函数，∴其展开式为余弦级数；又a 0=⎰2π0cosx π4dx=π4；当n ≥1时，a n =nx 2cos cosx π42π0⎰dx=⎰+2π0n)x 2cos(1π2dx+⎰-2π0n)x 2cos(1π2dx=2πn)2sin(12n)π(12+++2π2n)sin(1n)π2(12--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+n 2112n 11π2(-1)n=)4n π(14(-1)2n - ∴f(x)=|cosx|=π2+∑∞=-1n 2n4n-1)1(π4cos2nx, x ∈(-∞,+∞). (2)函数f 以1为周期，在(0,1)上等价于f(x)=x ， 函数f 按段光滑，可以展开成傅里叶级数. 又a 0=⎰10x 2dx=1；当n ≥1时，a n = x n π2cos x 210⎰dx=1022| x cos2n ππ2n 1=0； b n = x sin2n πx 210⎰dx=-10| x xcos2n πn π1=-n π1；∴当x ≠0, ±1, ±2,…时，f(x)=x-[x]=21-∑∞=1n n1π1sin2n πx ；当x=0, ±1, ±2,…时，该傅里叶级数收敛于21. (3)函数f 按段光滑，可以展开成傅里叶级数，其周期为π，在(2π-,2π)是偶函数，∴其展开式为余弦级数； sin 4x=sin 2x(1-cos 2x)=8cos4x -12cos2x -1- =8cos4x2cos2x 83+-； 又a 0=⎰2π04x sin π4dx=43；a 1=x 2cos 83π42π0⎰dx-⎰2π0222x cos π4dx+x 2cos 8cos4x π42π0⎰dx=-⎰2π022x cos π1d2x=-21； a 2=x 4cos 83π42π0⎰dx-cos4x 2cos2x π42π0⎰dx+⎰2π0284x cos π4dx=⎰2π024x cos 8π1d4x=81； 当n ≥3时，a n =nx 2cos 83π42π0⎰dx-nx 2cos 2cos2x π42π0⎰dx+nx 2cos 8cos4x π42π0⎰dx=0. ∴f(x)=sin 4x=83-21cos2x+8cos4x, x ∈(-∞,+∞). (4)函数f(x)按段光滑，可展开成傅里叶级数，周期为2π，在(π-,π)上等价于f(x)= 2πx 2πx 12πx 02πx 2π1⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-<-±=<<-或，，，是偶函数，∴其展开式为余弦级数. 又a 0=⎰2π0dx π2-⎰π2πdx π2=0；当n ≥1时，a n =⎰2π0nx cos π2dx-⎰π2πnx cos π2dx =⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=12k n 1)π(2k 4)1(2k n 0k，，, k=0,1,2,…； ∴当x ≠2π±时，f(x)=sgn(cosx)=∑∞=+-0n n 12n )1(π4cos(2n+1)x ；当x=2π±时，该余弦级数收敛于0，∴该余弦级数在(-∞,+∞)上成立.2、求函数f(x)= 3x 2x 32x 111x 0x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<<≤≤，，，的傅里叶级数并讨论其收敛性. 解：函数f 在[0,3]按段光滑，可以展开成傅里叶级数； 将f 作偶式延拓，则在[-3,3]上，f 可以展开成余弦级数；又 a 0=⎰30f(x)32dx=⎰10x 32dx+⎰21dx 32+⎰32x)-(332dx=31+32+2-35=34；当n ≥1时， a n =⎰103 x n πxcos 32dx+⎰213 x n πcos 32dx +3x n πcos x)-(33232⎰dx ； 又⎰103 x n πxcos 32dx=⎰10x n π2d 3x n πsin =10|3 x n πxsin n π2-⎰103 x n πsin n π2dx=3n πsin n π2+1022|3 x n πcos πn 6=3n πsin n π2+3n πcos πn 622-22πn 6； ⎰213 x n πcos 32dx=21|3 x n πsin n π2=32n πsin n π2-3n πsin n π2； 3 x n πcos x)-(33232⎰dx =32|3 x n πx)sin -(3n π2+⎰323xn πsin n π2dx =-32n πsin n π2-3222|3 x n πcos πn 6=-32n πsin n π2-22n πn 6(-1)+32n πcos πn 622；∴a n =3n πcos πn 622+32n πcos πn 622-22n πn ])1(1[6-+=])1(16n πcos 2n πcos 2[πn 6n 22--- =⎪⎩⎪⎨⎧=--=2k n ]，13k πcos )1[(πk 31-2k n 0k 22，, k=1,2,…；b n =0. 又f(x)延拓后连续，∴f(x)=32+∑∞=--1n n22]13n πcos )1[(n1π3cos 3 x 2n π, x ∈(-∞,+∞). 又∑∞=--1n n2]13n πcos )1[(n 1cos 3 x 2n π=∑∞=-+-1n 2n 2]3n πcos n )1(n 1[cos 3 x 2n π=(-1-21)cos3 x 2π+(-221-21212⋅)cos 3 x 4π+(-231+231)cos2πx+(-241-21412⋅)cos 3 x 8π+(-251-21512⋅)cos 3 x 10π+(-261+261)cos4πx+… =-23cos 3 x 2π-22123⋅cos 3 x 4π+(-231-21312⋅+21312⋅+231)cos2πx -24123⋅cos 3 x 8π-25123⋅cos 3 x10π+(-261-21612⋅+21612⋅+261)cos4πx+…=-23cos 3 x 2π-22123⋅cos 3 x 4π-23123⋅cos 3 x 6π-…-2n 123⋅cos 3x 2n π +23123⋅cos2πx+22213123⋅⋅cos4πx+…+22n 13123⋅⋅cos2n πx=-∑∞=1n 23 x 2n πcos n 123+∑∞=1n 2n161cos2n πx. ∴f 的余弦展开式也可写为：f(x)=32- ∑∞=1n 22n12π9cos 3 x 2n π+∑∞=1n 22n12π1cos2n πx, x ∈(-∞,+∞).3、把函数f(x)=2π-x 在[0,π]上展开成余弦级数.解：对f 作偶式周期延拓，所得函数分段光滑且在(-∞,+∞)上连续.又a 0=⎰⎪⎭⎫⎝⎛π0x -2ππ2dx=0；当n ≥1时，a n =⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛π0x -2ππ2cosnxdx=⎰π0nx sin n π2dx=π02|cosnx πn 2-=πn ](-1)-2[12n ；∴在[0,π]上，f(x)=2π-x=∑∞=1n 21)-(2n 1π4cos(2n-1)x.4、将函数f(x)=cos 2x在[0,π]上展开正弦级数. 解：对f 作奇式周期延拓，所得函数分段光滑.b n =⎰π0sinnx 2x cos π2dx=⎰+π0)x 21sin(n π1dx+⎰-π0)x 21sin(n π1dx=-π0|)x 21cos(n 1)π(2n 2++-π0|)x 21cos(n 1)π(2n 2--=1)π(2n 2++1)π(2n 2-=1)π(4n 8n 2-；∴在(0,π)上，f(x)= cos 2x =∑∞=1n 21-4n nπ8sinnx.当x=0, π时，该正弦级数收敛于0.5、把函数f(x)=⎩⎨⎧<<≤<-4x 23-x 2x 0x 1，，在(0,4)上展开成余弦级数.解：对f 作偶式周期延拓，则 a 0=⎰40f(x)21dx=⎰20x)-(121dx +⎰423)-(x 21dx =0；当n ≥1时， a n =4 x n πcos x)-(12120⎰dx +4xn πcos 3)-(x 2142⎰dx=⎰+20204 x n πsin n π2|4 x n πx)sin -(1n π2dx+⎰-42424 x n πsin n π2|4 x n π3)sin -(x n π2dx =-2222πn 82n πcos πn 82n πsin n π2+-+2n πcos πn 8n πcos πn 82n πsin n π22222-+ =])1(1[πn 8n 22-+-2n πcos πn 1622=⎪⎩⎪⎨⎧===2-4k n π)1-(2k 84k n 1-2k n 022，，或, k=0,1,2,…； ∴在(0,4)上，f(x)=2 x1)π-(2n cos 1)-(2n 1π81n 22∑∞=.6、把函数f(x)=(x-1)2在(0,1)上展开成余弦级数，并推出π2= 6∑∞=1n 2n 1. 解：对f 作偶式延拓，则a 0=2⎰1021)-(x dx=32；当n ≥1时， a n =2⎰1021)-(x cosn πxdx=-⎰101)-(x n π4sinn πxdx=22πn 4(x-1)cosn πx|10=22πn 4.∴在(0,1)上，f(x)=(x-1)2=31+∑∞=1n 22n1π4cosn πx. 又f 延拓后连续；∴f(0)=1=31+∑∞=1n 22n1π4；∴∑∞=1n 22n 1π2=31，即π2=6∑∞=1n 2n 1.7、求下列函数的傅里叶级数展开式： (1)f(x)=arcsin(sinx)；(2)f(x)=arcsin(cosx).解：(1)f 以2π为周期，且在[-π,π]上是奇函数，∴a n =0, n=0,1,2,…；b n =⎰⋅π0sinnx x)arcsin(sin π2dx=⎰2π0x sinnx π2dx+⎰π2πx )sinnx -(ππ2dx=-2π2|sinnx n 1xcosnx n 1π2⎪⎭⎫ ⎝⎛--π2π2|sinnx n 1x)cosnx -(πn 1π2⎪⎭⎫ ⎝⎛+ =-2n πcosn 1+2n πsin πn 22+2n πcos n 1+2n πsin πn 22 =2n πsin πn 42=⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=12k n π)1k 2(4)1(2k n 02k ，，, k=0,1,2,…； ∴在(-∞,+∞)上，f(x)=∑∞=+-0n 2n)12n ()1(π4sin(2n+1)x. (2)f 以2π为周期，且在[-π,π]上是偶函数，∴b n =0, n=1,2,…；又a 0=⎰π0x)arcsin(cos π2dx=⎰π0x))-2π(arcsin(sin π2dx=⎰π0x)-2π(π2dx=0；当n ≥1时，a n =⎰⋅π0nx cos x)arcsin(cos π2dx=⎰⋅π0nx cos x))-2π(arcsin(sin π2dx =⎰π0x)cosnx -2π(π2dx=π02|cosnx n 1-x )sinnx -2π(n 1π2⎪⎭⎫ ⎝⎛=](-1)-[1πn 2n2 =⎪⎩⎪⎨⎧==1-2k n π)1-(2k 42k n 02，，, k=0,1,2,…；∴在(-∞,+∞)上，f(x)=∑∞=1n 2)1-2n (1π4cos(2n-1)x.8、试问如何把定义在[0,2π]上的可积函数f 延拓到区间[-π,π]上，使它们的傅里叶级数如为如下的形式：(1)∑∞=1n 1-n 21)x -cos(2n a ；(2)∑∞=1n 1-n 21)x -sin(2n b .解：(1)为使f 的傅里叶级数为余弦级数的形式，需对其进行偶式延拓.又a 0=⎰π0)x (f π2dx=0，且f 在[0,π]的图象由f 从[0,2π]延拓而得， ∴延拓后函数的图象在[0,π]上关于(2π,0)对称.∴可先将f 由[0,2π]延拓到[0, π]，使图象在[0,π]上关于(2π,0)对称； 再将f 由[0, π]偶式延拓到[-π,π]上，即可得所求傅里叶级数.(2)为使f 的傅里叶级数为正弦级数的形式，需对其进行奇式延拓.又b 2n =⎰π0)x (f π2sin2nxdx=0，且sin2nx 在[0,π]上关于(2π,0)对称； ∴f 由[0,2π]延拓到[0, π]后，在[0, π]上关于x=2π对称.∴可通过将f 作奇式延拓使其周期为π，即可得所求傅里叶级数.。
十五章傅里叶级数
§15.1 傅里叶级数
一、 三角级数 • 正交函数系
二、以 2 为周期的函数的傅里叶级数
三、收敛定理
§15.1 傅里叶级数
一、三角函数 正交函数系
在科学实验与工程技术的某些现象中，常会碰到一种周期运动，最简
单的周期运动，可用正弦函数 Asin x()来描写。
所表达的周期运动也称为简谐运动，其中 A 为振幅， 为初相角，
A 0 ( A n s in c n n o t A s n c o n sn s i t) n
n 1
令a0 2
A0,
anA nsi n n,bnA nco n,stx,
a 2 0n 1 (anco ns x bnsin n )x三角级数
定理15.1
若级数
|
a0 2
|
(|
２．收敛定理:
若 以 2 为 周 期 的 函 数 f 在 [ ， ] 上 按 段 光 滑 ， 则 在 每 一 点 x [ , ] ,
f 的 傅 里 叶 级 数 收 敛 于 f 在 点 x 的 左 ， 右 极 限 的 算 术 平 均 值 ， 即
f(x 0 ) 2f(x 0 ) a 2 0 n 1(a ncn o x s b nsn in )x
定义：若 f ( x ) 的导函数 f ( x ) 在 [ a , b ]上连续，则称 f ( x ) 在 [ a , b ]上光滑。
若函数 f ( x ) 在 [ a , b ]上至多有有限个第一类间断点，且 f ( x ) 仅在 [ a , b ]上
有限个点处不连续且为第一类间断点, 则称 f ( x )是 [ a , b ]上的按段光滑函数。
若f ( x )是以 2 为周期且在 [ , ] 可积的函数, 则称按上述公
高中数学(人教版)傅里叶级数课件
其导函数在[a, b]上除了至多有限个点外都存 并且在这有限个点上导函数
在且连续, 极限存在,
f 的左、右
则称 f 在
[a , b]上按段光滑.
§1 傅里叶级数
三角级数 · 正交函数系
以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
在[a, b]上按段光滑的函数 f ,有如下重要性质: (i) f 在 (ii) 在
所产生的一般形式的三角级数. 容易验证,若三角级数(4)收敛, 则它的和一定是一
个以
为周期的函数. 2π
关于三角级数(4)的收敛性有如下定理:
§1 傅里叶级数
三角级数 · 正交函数系
以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
定理15.1
若级数
| a0 | (| an | | bn, |) 收敛 2 n 1
(8)
( x ) ( x )dx 0,
a
b
则称 交性.
与 在 [a , b] 上是正交的,
由此三角函数系(5)在
或在
[a , b]上具有正
[ π, π] 上具有正交性.
或者说(5)是正交函数系.
§1 傅里叶级数
三角级数 · 正交函数系
以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
(10a ) (10b周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
以的傅里叶系数为系数的三角级数(9)称为 f (关于三
角函数系) 的傅里叶级数,
记作
a0 f ( x ) ~ (an cos nx bn sin nx ). 2 n1
这里记号“~”表示上式右边是左边函数的傅里叶级
π
(7)
§1 傅里叶级数
第十五章傅里叶级数
第十五章傅里叶级数第十五章 Fourier 级数§1 Fourier 级数的一些概念教学目标掌握三角级数和傅里叶级数定义，了解傅里叶级数的收敛定理．教学要求(1) 基本要求：掌握三角级数和傅里叶级数定义，了解傅里叶级数的收敛定理；能够展开比较简单的函数的傅里叶级数．(2) 较高要求：有关傅里叶级数的逐项求导和逐项求积的问题，向学生介绍引入傅里叶级数的意义(包括物理意义和数学意义)．教学建议(1) 向学生介绍引入傅里叶级数的意义(包括物理意义和数学意义)．(2) 三角级数和傅里叶级数的展开计算量较大，可布置适量习题使学生了解展开的方法与步骤．教学程序一、 Fourier 级数的定义背景：⑴ 波的分析：频谱分析 . 基频T1( ωπ2=T ) . 倍频.⑵ 函数展开条件的减弱 : 积分展开 .⑶ n R 中用Descartes 坐标系建立坐标表示向量思想的推广:调和分析简介: 十九世纪八十年代法国工程师Fourier 建立了Fourier 分析理论的基础. （一）定义设()f x 是(,)-∞+∞上以2π为周期的函数，且()f x 在[,]ππ-上绝对可积，称形如01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑ 的函数项级数为()f x 的Fourier 级数或三角级数(()f x 的Fourier 展开式)，其中01()a f x dx πππ-=，1()cos ,1,2,n a f x nxdx n πππ-==?L ， 1()sin ,1,2,n b f x nxdx n πππ-==?L称为()f x 的 Fourier 系数，记为01()~(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑定理15.1 若级数∑∞=++10) |||| (2||n n n b a a 收敛 , 则级数 01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑ 在R 内绝对且一致收敛 . 证明：用M 判别法. （二）说明1）在未讨论收敛性，证明01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑一致收敛到()f x 之前，不能将“~”改为“=”；此处“~”也不包含“等价”之意，而仅仅表示01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑是()f x 的Fourier 级数，或者说()f x 的 Fourier 级数是01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑. 2) 要求[,]ππ-上()f x 的 Fourier 级数,只须求出Fourier 系数.例1 设()f x 是以2π为周期的函数，其在[,]ππ-上可表示为1,0()0,0x f x x ππ≤≤?=?-<3) 计算()f x 的Fourier 系数的积分也可以沿别的长度为2π的去件来积.如2001()a f x dx ππ=，201()cos ,1,2,n a f x nxdx n ππ==?L ，201()sin ,1,2,n b f x nxdx n ππ==?L例2 设()f x 是以2π为周期的函数,其在[0,2)π上等于x ,求()f x 的Fourier 级数. 4) 如果()f x 仅定义在长为2π的区间上,例如定义在[0,2)π上, 此时()f x 不是周期函数, 从而不能按上述方法展开为Fourier 级数.但可对()f x 在[0,2)π外补充定义,使其以2π为周期, 如定义~()(2)f x f x n π=-, (2,2(1))x n n ππ∈+它有下述性质: a) [0,2)x π∈时,~()()f x f x =； b) ~()f x 以2π为周期.例3 (),()x f x e x ππ=-≤<,求()f x 的 Fourier 级数. 内积和正交: 由R 3中的内积与正交概念引入.设函数f 和g 在区间] , [b a 上 ( R )可积 . 定义内积为 ?=><b< bdsfid="150" p=""></b<>a dx x g x f g f )()( , .当>< , g f =0时 , 称函数)(x f 和)(x g 在区间] , [b a 上正交函数的正交性与区间有关 . 例如函数)(x f =x -和2)(x x g =在区间] 1 , 0 [上并不正交 ( 因为>< , g f =41-) , 但在区间] 1 , 1 [-却是正交的 . 正交函数系统 : 标准正交系 ( 幺正系 ) , 完全系二、以π2为周期函数的Fourier 级数定理15.2 若在整个数轴上)(x f =∑∞=++10 , sin cos 2n n n nx b nx a a 且等式右端的级数一致收敛，则有如下关系式π1=n a ?-ππnxdx x f cos )(，Λ, 2 , 1 , 0=nπ1=n b ?-ππnxdx x f sin )( ，Λ, 2 , 1=n三、收敛定理:（一）按段光滑函数: .定义：若)(x f 的导函数)(x f '在区间] , [b a 上连续 , 则称函数)(x f 在区间] , [b a 上光滑. 若函数)(x f 在区间] , [b a 上至多有有限个第一类间断点, 且)(x f '仅在区间] , [b a 上有限个点处不连续且为第一类间断点, 则称)(x f 是区间] , [b a 上的按段光滑函数. 按段光滑函数的性质: 设函数)(x f 在区间] , [b a 上按段光滑, 则⑴ )(x f 在区间] , [b a 上可积;⑵ 对∈?x ] , [b a , )0(±x f 都存在 , 且有)0()0()(lim 0+'=+-++→x f tx f t x f t ,)0()0()(lim 0-'=----+→x f tx f t x f t . ( 用Lagrange 中值定理证明) ⑶ )(x f '在区间] , [b a 上可积 . （二）收敛定理:定理15.3 设函数)(x f 是以π2为周期的周期函数且在区间] , [ππ-上按段光滑 , 则在∈x ] , [ππ-, )(x f 的Fourier 级数∑∞=++1sin cos 2n n n nx b nx a a 收敛于)(x f 在点x 的左、右极限的算术平均值 , 即=-++2)0()0(x f x f ∑∞=++10 sin cos 2n n n nx b nx a a 其中n a 和n b 为函数)(x f 的Fourier 系数. ( 证明放到以后进行 )推论若)(x f 是以π2为周期的连续函数 , 在] , [ππ-上按段光滑,且则)(x f 的Fourier 级数在) , (∞+∞-内收敛于)(x f .四、正弦级数和余弦级数（一）定义形如1sin n n b nx ∞=∑的三角级数(函数项级数)称为正弦级数;形如01cos 2n n a a nx ∞=+∑的三角级数(函数项级数称为余弦级数.（二）如果()f x 是以2π为周期的函数,在[,]ππ-上绝对可积, 若()f x 是奇函数,则有1()~sin n n f x b nx ∞=∑；若()f x 是偶函数,则有01()~cos 2n n a f x a nx ∞=+∑. （三）设()f x 仅在[0,]π上有定义, 如果按奇函数的要求,补充定义()(),[,0)f x f x x π=--∈-,然后再作2π周期延拓,必得奇函数, 所得Fourier 级数必为正弦级数. 对应地, 补充定义()(),[,0)f x f x x π=-∈-后,再作2π周期延拓,必得偶函数, 所得Fourier 级数必为余弦级数.例4 1,0()0,x hf x h x π≤五、一般周期函数的Fourier 级数设()f x 是周期为T 的函数,且在[0,]T 上绝对可积, 则有0122()~(cos sin )2n n n a n n f x a x b x T T ππ∞=++∑,其中002()Ta f x dx T =?，022()cos ,1,2,T n n a f x xdx n T T π==?L 022()sin ,1,2,T n n b f x xdx n T Tπ==?L 例5: 求(),11f x x x =-≤≤的Fourier 展开式. 六、 Fourier 级数的复数表示形式设01()~(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑, 则其复数表示形式为()~inx n f x C e +∞-∞∑,其中, 复的Fourier 系数201()22inx n n n n a ib C f x e dx C ππ---===?.作业教材P70：1，2，3，4，5，6，7，8.§2 以l 2为周期的函数的展开式教学目的掌握以l 2为周期的函数的展开式，偶函数和奇函数的傅里叶级数的展开，正弦级数，余弦级数．教学要求(1)掌握以l 2为周期的函数的傅里叶级数展开的基本方法．(2)掌握通过对函数做奇延拓或偶延拓并展开为正弦级数或余弦级数的基本方法．教学建议三角级数和傅里叶级数的展开计算量较大，可布置少量习题使学生了解展开的方法与步骤．教学程序一、以l 2为周期的函数的Fourier 级数设函数)(x f 以l 2为周期 , 在区间] , [l l -上 (R )可积 . 作代换πtl x =, 则函数)()(πltf t F =以π2为周期. 由πtl x =是线性函数, )(t F 在区间] , [ππ-上(R )可积 .函数)(t F 的Fourier 系数为-=πππntdt t F a n cos )(1, Λ, 2 , 1 , 0=n-=πππntdt t F b n sin )(1, Λ, 2 , 1 =n)(t F ～∑∞=++10. sin cos 2n n n nt b nt a a还原为自变量x , 注意到l xt x f t l f t F , )() ()(ππ===, 就有 )()(t F x f =～∑∞=++10. sin cos 2n n n l x n b l x n a a ππ其中 ?-=πππntdt t F a n cos )(1-=====l l lx t dx l xn x f l ππcos)(1, Λ, 2 , 1 , 0=n=n b ?-l l dx l xn x f l πsin )(1, Λ, 2 , 1 =n当函数)(x f 在区间] , [l l -上按段光滑时, )(x f 可展开为Fourie r 级数. 註明三角函数系 } , sin , cos, , sin, cos, 1 {ΛΛl xn l x n lxlxππππ是区间] , [l l -上的正交函数系统 .例１把函数<≤<<-=50 , 3 , 05, 0 )(x x x f 展开成Fourier 级数. 二、偶函数和奇函数的Fourier 级数（一）区间[ , ]l l -上偶函数和奇函数的Fourier 级数设f 是以2l 为周期的偶函数，或是定义在[],l l -上的偶函数，则()()()01cos 2cos ,0,1,2.,sin 0,1,2,.ln l l l n l n xa f x dxl ln x f x dx n l l n x b f x dx n l πππ--?=??=====L L (6) 于是()01cos2n n a n xf x a l π∞=+∑: （7）其中n a 如(6)所示，（7）的右边为余弦级数。
高等数学第15章第1节傅里叶级数
第十五章 傅里叶级数§1 傅里叶级数傅里叶是法国最伟大的科学家之一．他对数学、科学以及我们当代生活的影响是不可估量的。
然而，他并不是一位职业数学家或科学家，他所做的巨大贡献都是忙里偷闲完成的。
傅里叶于１７６８年生于法国，幼年父母就去世了。
１３岁时他开始对数学十分着迷，常常一个人爬进教室，点着蜡烛研究数学问题到深夜。
后来，法国革命暴发，傅立叶于１７９３年参加了革命委员会，１７９５年先后两次被捕。
法国革命结束后，傅立叶到巴黎教书，之后随拿破仑到埃及并成为埃及研究院的长久负责人，在那里他写了一本关于埃及的书。
直到今天，仍然有人认为他是一位埃及学家，并不知道他对数学和物理学的重大贡献。
１８０２年，傅立叶回到法国，拿破仑任命他为巴黎警察局长长达１４年之久，他作为行政官员，工作十分出色，在政界享有崇高威望。
１８１７年，傅立叶被送入法国科学院，从此步入较为正规的学术研究阶段。
多年的政治生涯及颠簸不定的生活，并没有使傅里叶放弃研究数学的强烈兴趣。
事实上，早在１８０７年他就研究了现在称之为傅里叶分析的核心内容。
目前，傅里叶的思想和方法被广泛用于线性规划、大地测量以及电话、收音机、Ｘ射线等难以计数的科学仪器中，是基础科学和应用科学研究开发的系统平台。
所以，有的科学家称赞傅里叶分析是一首伟大的数学史诗。
傅里叶分析的贡献在于两点：（１）他用数学语言提出任何一个周期函数都能表示为一组正弦函数和余弦函数之和，这一无限和，现称之为傅里叶级数。
也就是说，任何一条周期曲线，无论多么跳跃或不规则，都能表示成一组光滑曲线之和。
这种表达方式实际上是将信号函数投影在由正弦函数和余弦函数组成的正交基上，实施对信号的傅里叶变换。
（２）他解释了为什么这一数学论断是有用的。
１８０７年，傅立叶显示任何周期函数是由正弦和余弦函数叠加而成。
傅里叶分析从本质上改变了数学家对函数的看法，提供了某些微分方程的直接求解方法，为计算机和ＣＤ等数字技术的实现铺平了道路。
傅里叶级数课程及习题讲解
傅⾥叶级数课程及习题讲解第15章傅⾥叶级数§傅⾥叶级数⼀基本内容⼀、傅⾥叶级数在幂级数讨论中，可视为经函数系线性表出⽽得．不妨称为基，则不同的基就有不同的级数．今⽤三⾓函数系作为基，就得到傅⾥叶级数．1 三⾓函数系函数列称为三⾓函数系．其有下⾯两个重要性质．(1) 周期性每⼀个函数都是以为周期的周期函数；(2) 正交性任意两个不同函数的积在上的积分等于零，任意⼀个函数的平⽅在上的积分不等于零．对于⼀个在可积的函数系，定义两个函数的内积为，如果，则称函数系为正交系．由于；；；；，所以三⾓函数系在上具有正交性，故称为正交系．利⽤三⾓函数系构成的级数称为三⾓级数，其中为常数2 以为周期的傅⾥叶级数定义1 设函数在上可积，；，称为函数的傅⾥叶系数，⽽三⾓级数称为的傅⾥叶级数，记作～．这⾥之所以不⽤等号，是因为函数按定义1所得系数⽽获得的傅⾥叶级数并不知其是否收敛于．⼆、傅⾥叶级数收敛定理定理1 若以为周期的函数在上按段光滑，则，存在；，存在，且⾄多存在有限个点的左、右极限不相等，则称在上按段光滑．⼏何解释如图．按段光滑函数图象是由有限条光滑曲线段组成，它⾄多有有限个第⼀类间断点与⾓点．推论段光滑，则，有．定义3 设在上有定义，函数称为的周期延拓．⼆习题解答1 在指定区间内把下列函数展开为傅⾥叶级数 (1) ；解：、，作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅⾥叶级数．由系数公式得．当时，，，所以，为所求．、，作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅⾥叶级数．由系数公式得．当时，，，所以，为所求．(2) ；解：、，作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅⾥叶级数．由系数公式得．所以，为所求．解：、其按段光滑，故可展开为傅⾥叶级数．由系数公式得．当时，，，所以，为所求．(3) ．解：函数，作周期延拓的图象如下．由系数公式得．当时，所以，为所求．2 设是以为周期的可积函数，证明对任何实数，有，．证：因为，，都是以为周期的可积函数，所以令有．从⽽．同理可得．3 把函数展开成傅⾥叶级数，并由它推出(1) ；(2) ；(3) ．解：函数，作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅⾥叶级数．由系数公式得，故为所求．(1) 取，则；(2) 由得，于是；(3) 取，则，所以．4 设函数满⾜条件，问此函数在内的傅⾥叶级数具有什么特性．解：因为满⾜条件，所以，即是以为周期的函数．于是由系数公式得．当时，．，故当时，函数在内的傅⾥叶级数的特性是，．5 设函数满⾜条件：，问此函数在内的傅⾥叶级数具有什么特性．解：因为满⾜条件，所以，即是以为周期的函数．于是由系数公式得．当时，．，故当时，函数在内的傅⾥叶级数的特性是，．6 试证函数系和都是上的正交函数系，但他们合起来的却不是上的正交函数系．证：就函数系，因为，，，⼜；，时，．所以在上是正交系．就函数系，因为，所以在上是正交系．但不是上的正交系．实因：．7 求下列函数的傅⾥叶级数展开式(1) ；解：作周期延拓的图象如下．由系数公式得．当时，，，所以，为所求．(2) ；解：作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅⾥叶级数．因为，所以由系数公式得．当时，．．所以，．⽽时，，故，为所求．(3) ；解：由系数公式得．当时，，，当时，，，故为所求．(4) ；解：由系数公式得．当时，，所以．，所以，故，为所求．(5) ．解：由系数公式得．当时，．，所以，故，为所求．8 求函数的傅⾥叶级数展开式并应⽤它推出．解：由得，．⽽，故由收敛定理得．9 设为上光滑函数，．且为的傅⾥叶系数，为的导函数的傅⾥叶系数．证明．证：因为为上光滑函数，所以为上的连续函数，故可积．由系数公式得故结论成⽴．10 证明：若三⾓级数中的系数满⾜关系，为常数，则上述三⾓级数收敛，且其和函数具有连续的导函数．证：设，，．则，在上连续，且，亦在上连续．⼜，．⽽收敛，所以在上⼀致收敛．故设，则且在上连续．§15. 2 以为周期的函数的展开⼀基本内容⼀、以为周期的函数的傅⾥叶级数设是以为周期的函数，作替换，则是以为周期的函数，且在上可积在上可积．于是，其中．令得，，从⽽．其中．上式就是以为周期的函数的傅⾥叶系数．在按段光滑的条件下，亦有．其只含余弦项，故称为余弦级数．同理，设是以为周期的奇函数，则奇，偶．于是，．从⽽．要展开为余弦级数必须作偶延拓．偶延拓，函数要展开为正弦级数必须作奇延拓．奇延拓．⼆习题解答1 求下列周期函数的傅⾥叶级数展开式(1) (周期)；解：函数，延拓后的函数如下图．由于按段光滑，所以可展开为傅⾥叶级数，⼜是偶函数，故其展开式为余弦级数．因，所以由系数公式得．当时，．．故，为所求．(2) (周期1)；解：函数，延拓后的函数如下图．由于按段光滑，所以可展开为傅⾥叶级数．因，所以由系数公式得．当时，．．故，为所求．(3) (周期)；解：函数，延拓后的函数如下图．由于按段光滑，所以可展开为傅⾥叶级数，⼜是偶函数，故其展开式为余弦级数．因，所以由系数公式得．．故，为所求．(4) (周期)．解：函数，延拓后的函数如下图．由于按段光滑，所以可展开为傅⾥叶级数，⼜是偶函数，故其展开式为余弦级数．因，所以由系数公式得．当时，．．故，．2 求函数的傅⾥叶级数并讨论其收敛性．解：函数，延拓后的函数如下图．由于按段光滑，所以可展开为傅⾥叶级数，⼜是偶函数，故其展开式为余弦级数．因，所以由系数公式得．当时，．．故，为所求．3 将函数在上展开成余弦级数．解：函数，作偶延拓后的函数如下图．由于按段光滑，所以可展开为傅⾥叶级数，⼜是偶函数，故其展开式为余弦级数．由系数公式得．当时，．．故．4 将函数在上展开成正弦级数．解：函数，作偶延拓后的函数如下图．故在上为所求．5 把函数在上展开成余弦级数．解：函数，延拓后的函数如下图．由于按段光滑，所以可展开为傅⾥叶级数，⼜是偶函数，故其展开式为余弦级数．因，所以由系数公式得．当时，所以为所求．6 把函数在上展开成余弦级数，并推出．解：函数，延拓为以为周期的函数如下图．由于按段光滑，所以可展开为傅⾥叶级数，⼜是偶函数，故其展开式为余弦级数．因，所以由系数公式得．当时，．．所以．令得，即．7 求下列函数的傅⾥叶级数展开式(1) ；解：函数是以为周期的函数如下图．由于按段光滑，所以可展开为傅⾥叶级数，⼜是奇函数，故其展开式为正弦级数．由系数公式得．所以，．(2) ．解：函数是以为周期的函数如下图．由于按段光滑，所以可展开为傅⾥叶级数，⼜是偶函数，故其展开式为余弦级数．由系数公式得，所以，．8 试问如何把定义在上的可积函数延拓到区间内，使他们的傅⾥叶级数为如下的形式(1) ； (2) ．解：(1)先把延拓到上，⽅法如下：；再把延拓到上，⽅法如下：．其图象如下．由于按段光滑，所以可展开为傅⾥叶级数，⼜是偶函数，故其展开式为余弦级数．由系数公式得，当时，．．所以．(2) 先把延拓到上，⽅法如下．；再把延拓到上，⽅法如下．．由于按段光滑，所以可展开为傅⾥叶级数，⼜是偶函数，故其展开式为余弦级数．由系数公式得当时，．所以．§15. 3 收敛定理的证明⼀基本内容⼀、贝塞尔不等式定理1 设在上可积，则,其中为的傅⾥叶系数．推论1 设在上可积，则,．定理2 设以为周期的函数在上可积，则，此称为的傅⾥叶级数的部分和的积分表达式．⼆、收敛性定理的证明定理3 (收敛性定理) 设以为周期的函数在上按段光滑，则，定理4 如果在上有有限导数，或有有限的两个单侧导数，则．定理5 如果在按段单调，则．⼆习题解答1 设以为周期且具有⼆阶连续的导函数，证明的傅⾥叶级数在上⼀致收敛于．证：由题⽬设知与是以为周期的函数，且光滑，故，，且．当时，．于是．由贝塞尔不等式得收敛，⼜收敛，从⽽收敛，故在上⼀致收敛．2 设为上可积函数，证明：若的傅⾥叶级数在上⼀致收敛于，则成⽴贝塞尔(Parseval)等式，这⾥为的傅⾥叶系数．证：设，因为的傅⾥叶级数在上⼀致收敛于，所以，．于是．⽽．3 由于贝塞尔等式对于在上满⾜收敛定理条件的函数也成⽴．请应⽤这个结果证明下列各式．(1) ；(2) ； (3) ．解：(1) 取，由§1习题3得．由贝塞尔等式得，即．(2) 取，由§1习题1 (1)得．由贝塞尔等式得，故．(3) 取，由§1习题1 (2)得．由贝塞尔等式得，故．4 证明：若均为上可积函数，且他们的傅⾥叶级数在上分别⼀致收敛于和，则．其中为的傅⾥叶系数，为的傅⾥叶系数．证：由题设知，．于是⽽，，所以．5 证明若及其导函数均在上可积,,，且成⽴贝塞尔等式，则．证：因为、在上可积，，，设，，由系数公式得．于是由贝塞尔等式得．总练习题151 试求三⾓多项式的傅⾥叶级数展开式．解：因为是以为周期的光滑函数，所以可展为傅⾥叶级数，由系数公式得，当时，，，故在，的傅⾥叶级数就是其本⾝．2 设为上可积函数，为的傅⾥叶系数，试证明，当时，积分取最⼩值，且最⼩值为．上述是第1题中的三⾓多项式,为它的傅⾥叶系数．证：设，，且，因为，⽽，，所以故当时，积分取最⼩值，且最⼩值为．3 设为以周期，且具有⼆阶连续可微的函数，，若级数绝对收敛，则．证：因为为以周期，且具有⼆阶连续可微的函数，所以。
数学分析15.1傅里叶级数
第十5章 傅里叶级数1傅里叶级数一、三角级数·正交函数系概念1：由正弦函数y=Asin(ωx+φ)表示的周期运动称为简谐振动，其中A 为振幅，φ为初相角，ω为角频率，其周期T=ω2π.常用几个简谐振动y k =A k sin(k ωx+φk ), k=1,2,…,n 的叠加来表示较复杂的周期运动，即：y=∑=n 1k k y =∑=n1k k k )φ+ x sin(k ωA ，其周期为T=ω2π.若由无穷多个简谐振动叠加得函数项级数A 0+∑∞=1n n n )φ+ x sin(n ωA 收敛，当ω=1时，sin(nx+φn )=sin φn cosnx+cos φn sinnx ，所以 A 0+∑∞=1n n n )φ+sin(nx A = A 0+∑∞=1n n n n n sinnx )cos φA +cosnx sin φ(A ，记A 0=2a 0，A n sin φn =a n ，A n cos φn =b n ，n=1,2,…，则该级数可以表示为： 2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a . 它是由三角函数列(或称为三角函数系) 1,cosx,sinx,cos2x, sin2x,…,cosnx,sinnx,…构成一般形式的三角级数.定理15.1：若级数2a 0+∑∞=+1n n n |)b ||a (|收敛，则三角级数2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.证：对任何实数x ，∵|a n cosnx+b n sinnx|≤|a n |+|b n |， 由魏尔斯特拉斯M 判别法得证.概念2：若两个函数φ与ψ在[a,b]上可积，且⎰ba φ(x )ψ(x )dx=0，则 称函数φ与ψ在[a,b]上是正交的, 或称它们在[a,b]上具有正交性，若有一系列函数两两具有正交性，则称其为正交函数系.注：三角函数列：1,cosx,sinx,cos2x, sin2x,…,cosnx,sinnx,…有以下性质： 1、所有函数具有共同的周期2π；2、任何两个不相同的函数在[-π, π]上具有正交性，即为在 [-π, π]上的正交函数系. 即有：⎰ππ-cosnx dx=⎰ππ-sinnx dx=0；⎰ππ-cosmx cosnx dx=0 (m ≠n)；⎰ππ-sinmx sinnx dx=0 (m ≠n)；⎰ππ-cosmx sinnx dx=0 (m ≠n).3、任何一个函数的平方在[-π, π]上的积分都不等于零，即⎰ππ-2nx cos dx=⎰ππ-2nx sin dx=π；⎰ππ-21dx=2π.二、以2π为周期的函数的傅里叶级数定理15.2：若2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 在整个数轴上一致收敛于f ，则：a n =⎰ππ-f(x)cosnx π1dx, b n =⎰ππ-f(x)sinnx π1dx, n=1,2,…. 证：由定理条件可知，f(x)在[-π, π]上连续且可积，∴⎰ππ-f(x )dx=2a⎰ππ-dx +∑⎰⎰∞=1n ππ-n ππ-n )sinnx dx b +dx cosnx (a =2a 0·2π=a 0π.即a 0=⎰ππ-f(x)π1dx. 对f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a两边同时乘以coskx(k 为正整数)，可得：f(x)coskx=2a 0coskx +∑∞=1n n n )sinnx coskx b +cosnx coskx (a ，则新级数收敛，有coskx f(x )ππ-⎰dx=2a 0⎰ππ-coskx dx +∑⎰⎰∞=1n ππ-n ππ-n )dx sinnx coskx b +coskx dx cosnx a (.由三解函数的正交性，等式右边除了以=a k 为系数的那一项积分kx cos a 2ππ-k ⎰dx= a k π外，其余各项积分都为0，∴coskx f(x )ππ-⎰dx= a k π，即a k =⎰ππ-f(x)coskx π1dx (k=1,2,…). 同理，对f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a两边同时乘以sinkx(k 为正整数)，可得：b k =⎰ππ-f(x)sinkx π1dx (k=1,2,…).概念3：若f 是以2π为周期且在[-π, π]上可积的函数，则按定理15.2中所求a n , b n 称为函数f(关于三角函数系)的傅里叶系数，以f 的傅里叶系数为系数的三角级数2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 称为f(关于三角函数系)的傅里叶级数，记作f(x)~2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a .注：若2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 在整个数轴上一致收敛于f ，则，f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a .三、收敛定理概念4：若f 的导函数在[a,b]上连续，则称f 在[a,b]上光滑. 若定义在[a,b]上除了至多有限个第一类间断点的函数f 的导函数在[a,b]上除了至多有限个点外都存在且连续，在这有限个点上导函数f ’的左右极限存在，则称f 在[a,b]上按段光滑.注：若函数f 在[a,b]上按段光滑，则有： 1、f 在[a,b]上可积；2、在[a,b]上每一点都存在f(x ±0)，且有t 0)f(x -t)f(x lim 0t +++→=f ’(x+0)，t-0)f(x -t)f(x lim 0t ---→=f ’(x-0)；3、补充定义f ’在[a,b]上那些至多有限个不存在点上的值后，f ’在[a,b]上可积.定理15.3：(傅里叶级数收敛定理)若周期为2π的函数f 在[-π, π]上按段光滑，则在每一点x ∈[-π, π]，f 的傅里叶级数2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 收敛于f 在点x 的左右极限的算术平均值，即20)-f(x 0)f(x ++=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a ，其中a n , b n 为傅里叶系数.注：当f 在点x 连续时，则有20)-f(x 0)f(x ++=f(x)，即f 的傅里叶级数收敛于f(x).推论：若周期为2π的续连函数f 在[-π, π]上按段光滑，则f 的傅里叶级数在(-∞,+∞)上收敛于f.注：由f 周期为2π，可将系数公式的积分区间[-π, π]任意平移，即：a n =⎰+2πc c f(x)cosnx π1dx, b n =⎰+2πc c f(x)sinnx π1dx, n=1,2,….c 为任意实数. 在(-π, π]以外的部分，按函数在(-π, π]上的对应关系作周期延拓，如 f 通过周期延拓后的函数为：,2,1k ],1)π(2k , 1)π-(-(2k x ，) 2π-f(x ]π, (-πx ，f(x)(x)f ˆ⎩⎨⎧⋯±±=+∈∈= 函数f 的傅里叶级数就是指函数(x)fˆ的傅里叶级数.例1：设f(x) )0, (-πx ，0]π[0,x x ，⎩⎨⎧∈∈=，求f 的傅里叶级数展开式.解：f 及其周期延拓后图象如图：可见f 按段光滑.由收敛定理，有a 0=⎰ππ-f(x)π1dx=⎰π0x π1dx=2π. 当n ≥1时，a n =nx cos f(x)π1ππ-⎰dx=⎰π0xcosnx π1dx=⎰-π0π0sinnx n π1|xsinnx n π1dx=π2|cosnx πn 1 =πn 12(cosn π-1)=πn 1(-1)2n -；b n =⎰ππ-f(x)sinnx π1dx=⎰π0xsinnx π1dx=-⎰+π0π0cosnx n π1|xcosnx n π1dx=n (-1)1n +.∴在(-π, π)上，f(x)=4π+∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-1n n2n sinnx n (-1)cosnx πn 1-)1(.当x=±π时，该傅里叶级数收敛于20)πf(0)πf(+±+-±=20π+=2π.∴f 在[-π, π]上的傅里叶级数图象如下图：例2：把函数f(x)= π2x πx πx 0πx 0 x 22⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<，，，展开成傅里叶级数. 解：f 及其周期延拓后图象如图：可见f 按段光滑.由收敛定理，有a 0=⎰2π0f(x)π1dx=⎰π02x π1dx-⎰2ππ2x π1dx =-2π2. 当n ≥1时，a n =nx cos f(x)π1ππ-⎰dx =⎰π02cosnx x π1dx-⎰2ππ2cosnx x π1dx ； 又⎰π02cosnx x π1dx=⎰-π0π02xsinnx n π2|sinnx x n π1dx=21n n 2(-1)+-；⎰2ππ2cosnx x π1dx=⎰-2ππ2ππ2xsinnx n π2|sinnx x n π1=21n 2n 2(-1)n 4++； ∴a n =21n 221n n 2(-1)n 4n 2(-1)++---=2n4[(-1)n -1]. b n =⎰2π0f(x)sinnx π1dx=⎰π02sinnx x π1dx-⎰2ππ2sinnx x π1dx ；又⎰π02sinnx x π1dx=-⎰-π0π02xcosnx n π2|cosnx x n π1dx=πn ](-1)-2[1n π)1(3n 1n --+；⎰2ππ2sinnx x π1dx=-⎰-2ππ2ππ2xcosnx n π2|cosnx x n π1dx=-πn ](-1)-2[1n π)1(n 4π3n 1n +--+； ∴b n =πn ](-1)-2[1n π)1(3n 1n --++πn ](-1)-2[1n π)1(n 4π3n 1n --++ =πn ](-1)-4[1n 2π)1(n 4π3n n ---=πn ](-1)-4[1n (-1)]-[1 2πn 2π3n n -+ =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+πn 4n 2π](-1)-[1n 2π3n ；∴当x ∈(0, π)∪(π, 2π]时， f(x)= -π2+∑∞=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++1n 3n n 2sinnx πn 4n 2π](-1)-[1n 2π1]cosnx -[(-1)n 4 .当x=π时，该傅里叶级数收敛于20)f(π0)f(π++-=2)π(π22-+=0；当x=0或2π时，该傅里叶级数收敛于20)f(00)f(0++-=204π-2+=-2π2.注：由当x=2π时，有f(x)= -π2+∑∞=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++1n 3n n 2sinnx πn 4n 2π](-1)-[1n 2π1]cosnx -[(-1)n 4=-π2+∑∞=1n n 21]-[(-1)n4=-π2-8∑∞=+0n 21)(2n 1=-2π2. 可求得∑∞=+0n 21)(2n 1=8π2.例3：在电子技术中经常用到矩形波，用傅里叶级数展开后，就可以将巨形波看成一系列不同频率的简庇振动的叠加，在电工学中称为谐波分析。
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第十五章 傅里叶级数§1 傅里叶级数教学目标 掌握三角级数和傅里叶级数定义，了解傅里叶级数的收敛定理． 教学要求(1) 基本要求：掌握三角级数和傅里叶级数定义，了解傅里叶级数的收敛定理；能够展开比较简单的函数的傅里叶级数．(2) 较高要求：有关傅里叶级数的逐项求导和逐项求积的问题，向学生介绍引入傅里叶级数的意义 (包括物理意义和数学意义)． 教学建议(1) 向学生介绍引入傅里叶级数的意义(包括物理意义和数学意义)． (2) 三角级数和傅里叶级数的展开计算量较大，可布置适量习题使学生了解展开的方法与步骤． 教学程序一、 Fourier 级数的定义背景：⑴ 波的分析：频谱分析 . 基频T1( ωπ2=T ) . 倍频.⑵ 函数展开条件的减弱 : 积分展开 .⑶ n R 中用Descartes 坐标系建立坐标表示向量思想的推广:调和分析简介: 十九世纪八十年代法国工程师Fourier 建立了Fourier 分析理论的基础.（一） 定义 设()f x 是(,)-∞+∞上以2π为周期的函数，且()f x 在[,]ππ-上绝对可积，称形如01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑ 的函数项级数为()f x 的 Fourier 级数或三角级数(()f x 的 Fourier 展开式)，其中01()a f x dx πππ-=⎰，1()cos ,1,2,n a f x nxdx n πππ-==⎰，1()sin ,1,2,n b f x nxdx n πππ-==⎰称为()f x 的 Fourier 系数，记为01()~(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑ 定理15.1 若级数∑∞=++10) |||| (2||n n n b a a 收敛 , 则级数 01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑ 在R 内绝对且一致收敛 . 证明： 用M 判别法. （二）说明1）在未讨论收敛性，证明01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑一致收敛到()f x 之前，不能将“~”改为“=”；此处“~”也不包含“等价”之意，而仅仅表示01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑是()f x 的 Fourier 级数，或者说()f x 的 Fourier 级数是01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑. 2) 要求[,]ππ-上()f x 的 Fourier 级数,只须求出Fourier 系数.例1 设()f x 是以2π为周期的函数，其在[,]ππ-上可表示为1,0()0,0x f x x ππ≤≤⎧=⎨-<<⎩, 求()f x 的 Fourier 展开式.3) 计算()f x 的 Fourier 系数的积分也可以沿别的长度为2π的去件来积.如2001()a f x dx ππ=⎰，201()cos ,1,2,n a f x nxdx n ππ==⎰，201()sin ,1,2,n b f x nxdx n ππ==⎰例 2 设()f x 是以2π为周期的函数,其在[0,2)π上等于x ,求()f x 的 Fourier 级数.4) 如果()f x 仅定义在长为2π的区间上,例如定义在[0,2)π上, 此时()f x 不是周期函数, 从而不能按上述方法展开为Fourier 级数.但可对()f x 在[0,2)π外补充定义,使其以2π为周期, 如定义~()(2)f x f x n π=-, (2,2(1))x n n ππ∈+它有下述性质: a) [0,2)x π∈时,~()()f x f x =； b) ~()f x 以2π为周期.例3 (),()x f x e x ππ=-≤<,求()f x 的 Fourier 级数. 内积和正交: 由R 3中的内积与正交概念引入.设函数f 和g 在区间] , [b a 上 ( R )可积 . 定义内积为 ⎰=><ba dx x g x f g f )()( , .当>< , g f =0时 , 称函数)(x f 和)(x g 在区间] , [b a 上正交函数的正交性与区间有关 . 例如函数)(x f =x -和2)(x x g =在区间] 1 , 0 [上并不正交 ( 因为>< , g f =41-) , 但在区间] 1 , 1 [-却是正交的 . 正交函数系统 : 标准正交系 ( 幺正系 ) , 完全系 二、 以π2为周期函数的Fourier 级数 定理15.2 若在整个数轴上)(x f =∑∞=++1, sin cos 2n n n nx b nx a a 且等式右端的级数一致收敛，则有如下关系式 π1=n a ⎰-ππnxdx x f cos )(， , 2 , 1 , 0=nπ1=n b ⎰-ππnxdx x f sin )( ， , 2 , 1=n三、 收敛定理:（一） 按段光滑函数: .定义：若)(x f 的导函数)(x f '在区间] , [b a 上连续 , 则称函数)(x f 在区间] , [b a 上光滑. 若函数)(x f 在区间] , [b a 上至多有有限个第一类间断点, 且)(x f '仅在区间] , [b a 上有限个点处不连续且为第一类间断点, 则称)(x f 是区间] , [b a 上的按段光滑函数.按段光滑函数的性质: 设函数)(x f 在区间] , [b a 上按段光滑, 则 ⑴ )(x f 在区间] , [b a 上可积;⑵ 对∈∀x ] , [b a , )0(±x f 都存在 , 且有)0()0()(lim 0+'=+-++→x f tx f t x f t ,)0()0()(lim 0-'=----+→x f t x f t x f t . ( 用Lagrange 中值定理证明 )⑶ )(x f '在区间] , [b a 上可积 . （二）收敛定理:定理15.3 设函数)(x f 是以π2为周期的周期函数且在区间] , [ππ-上按段光滑 , 则在∀∈x ] , [ππ-, )(x f 的Fourier 级数∑∞=++1sin cos 2n n n nx b nx a a 收敛于)(x f 在点x 的左、右极限的算术平均值 , 即 =-++2)0()0(x f x f ∑∞=++10 sin cos 2n n n nx b nx a a 其中n a 和n b 为函数)(x f 的Fourier 系数. ( 证明放到以后进行 )推论 若)(x f 是以π2为周期的连续函数 , 在] , [ππ-上按段光滑,且则)(x f 的Fourier 级数在) , (∞+∞-内收敛于)(x f .四、 正弦级数和余弦级数 （一）定义 形如1s i n nn bn x ∞=∑的三角级数(函数项级数)称为正弦级数;形如1cos 2n n a a nx ∞=+∑的三角级数(函数项级数称为余弦级数. （二） 如果()f x 是以2π为周期的函数,在[,]ππ-上绝对可积, 若()f x 是奇函数,则有1()~sin n n f x b nx ∞=∑；若()f x 是偶函数,则有01()~cos 2n n a f x a nx ∞=+∑. （三）设()f x 仅在[0,]π上有定义, 如果按奇函数的要求,补充定义()(),[,0)f x f x x π=--∈-,然后再作2π周期延拓,必得奇函数, 所得Fourier 级数必为正弦级数. 对应地, 补充定义()(),[,0)f x f x x π=-∈-后,再作2π周期延拓,必得偶函数, 所得Fourier 级数必为余弦级数.例4 1,0()0,x hf x h x π≤<⎧=⎨≤<⎩ (0h π<<),将()f x 展开成余弦函数.五、 一般周期函数的Fourier 级数设()f x 是周期为T 的函数,且在[0,]T 上绝对可积, 则有0122()~(cos sin )2n n n a n n f x a x b x T T ππ∞=++∑,其中002()Ta f x dx T =⎰，022()cos ,1,2,T n n a f x xdx n T T π==⎰022()sin ,1,2,T n n b f x xdx n T Tπ==⎰例5: 求(),11f x x x =-≤≤的Fourier 展开式. 六、 Fourier 级数的复数表示形式设01()~(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑, 则其复数表示形式为 ()~inx n f x C e +∞-∞∑,其中, 复的Fourier 系数201()22inx n n n n a ib C f x e dx C ππ---===⎰.作业 教材P70：1，2，3，4，5，6，7，8.§2 以l 2为周期的函数的展开式教学目的 掌握以l 2为周期的函数的展开式，偶函数和奇函数的傅里叶级数的展开，正弦级数，余弦级数． 教学要求(1)掌握以l 2为周期的函数的傅里叶级数展开的基本方法．(2)掌握通过对函数做奇延拓或偶延拓并展开为正弦级数或余弦级数的基本 方法． 教学建议三角级数和傅里叶级数的展开计算量较大，可布置少量习题使学生了解展开 的方法与步骤． 教学程序一、 以l 2为周期的函数的Fourier 级数设函数)(x f 以l 2为周期 , 在区间] , [l l -上 (R )可积 . 作代换πtl x =,则函数)()(πltf t F =以π2为周期. 由πtl x =是线性函数, )(t F 在区间], [ππ-上(R )可积 .函数)(t F 的Fourier 系数为 ⎰-=πππntdt t F a n cos )(1, , 2 , 1 , 0=n⎰-=πππntdt t F b n sin )(1, , 2 , 1 =n)(t F ～ ∑∞=++10. sin cos 2n n n nt b nt a a还原为自变量x , 注意到l xt x f t l f t F , )() ()(ππ===, 就有 )()(t F x f =～∑∞=++10. sin cos 2n n n l x n b l x n a a ππ其中⎰-=πππntdt t F a n cos )(1⎰-=====l l l xt dx l x n x f l ππcos )(1, , 2 , 1 , 0=n=n b ⎰-l l dx l xn x f l πsin )(1, , 2 , 1 =n当函数)(x f 在区间] , [l l -上按段光滑时, )(x f 可展开为Fourie r 级数.註明三角函数系 } , sin , cos, , sin, cos, 1 { l xn l x n lxlxππππ是区间], [l l -上的正交函数系统 .例１把函数⎩⎨⎧<≤<<-=50 , 3 , 05, 0 )(x x x f 展开成Fourier 级数. 二、 偶函数和奇函数的Fourier 级数（一）区间[ , ]l l -上偶函数和奇函数的Fourier 级数设f 是以2l 为周期的偶函数，或是定义在[],l l -上的偶函数，则()()()01cos 2cos ,0,1,2.,sin 0,1,2,.ln l l l n l n xa f x dxl ln x f x dx n l l n x b f x dx n l πππ--⎫=⎪⎪⎪⎪==⎬⎪⎪⎪===⎪⎭⎰⎰⎰ (6) 于是()01cos 2n n a n x f x a l π∞=+∑ （7）其中n a 如(6)所示，（7）的右边为余弦级数。