高中数学选修2-2第二章《推理与证明》单元测试题
高中数学人教A版选修2-2第2章 推理与证明单元测试9
第二章综合检测(能力卷)时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特点，按此规律，则第100项为() A．10B．14 C．13 D．100[答案] B[解析]设n∈N*，则数字n共有n个，所以n(n＋1)2≤100即n(n＋1)≤200，又因为n∈N*，所以n＝13，到第13个13时共有13×142＝91项，从第92项开始为14，故第100项为14.2．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是()A．甲B．乙C．丙D．丁[答案] C[解析]若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．3．有以下结论：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2.用反证法证明时，可假设p＋q≥2.②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时，可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是()A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确，②的假设错误D．①的假设错误，②的假设正确[答案] D[解析]用反证法证题时一定要将结论的对立面找全．在①中应假设p＋q>2，故①的假设是错误的，而②的假设是正确．4．下列说法正确的是()A．“a<b”是“am2<bm2”的充要条件B．命题“∀x∈R，x3－x2－1≤0”的否定是“∃x∈R，x3－x2－1≤0”C．“若a、b都是奇数，则a＋b是偶数”的逆否命题是“若a＋b不是偶数，则a、b不都是奇数”D．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题[答案] C[解析]A中“a<b”是“am2<bm2”的必要不充分条件，故A错；B中“∀x∈R，x3－x2－1≤0”的否定是“∃x∈R，x3－x2－1>0”，故B错；C正确；D中p∧q为假命题，则p、q中至少有一个为假命题，故D错．5．下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是()A．6＋6·7k B．2＋7k－1C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k)[答案] D[解析]特值法：当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除，故选D.证明如下：当k＝1时，已验证结论成立，假设当k＝n(n∈N*)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.∵3(2＋7n)能被9整除，36能被9整除，∴21(2＋7n)－36能被9整除，这就是说，k＝n＋1时命题也成立．故命题对任何k∈N*都成立．6．(2016·枣庄一模)用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n－1<n(n∈N*，n>1)”时，由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是() A．2k－1B．2k－1 C．2k D．2k＋1[答案] C[解析]左边的特点是分母逐渐增加1，末项为12n－1；由n＝k时，末项为12k－1到n＝k＋1时末项为12k＋1－1＝12k－1＋2k，∴应增加的项数为2k.故选C.7．已知f(n)＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2，则()A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14[答案] D[解析]项数为n2－(n－1)＝n2－n＋1，故应选D. 8．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值() A．大于0 B．小于0 C．不小于0 D．不大于0 [答案] D[解析]解法1：∵a＋b＋c＝0，∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0，∴ab＋ac＋bc＝－a2＋b2＋c22≤0.解法2：令c＝0，若b＝0，则ab＋bc＋ac＝0，否则a、b异号，∴ab＋bc ＋ac＝ab＜0，排除A、B、C，选D.9．已知c＞1，a＝c＋1－c，b＝c－c－1，则正确的结论是() A．a＞b B．a＜bC．a＝b D．a、b大小不定[答案] B[解析] a ＝c ＋1－c ＝1c ＋1＋c ，b ＝c －c －1＝1c ＋c －1，因为c ＋1>c >0，c >c －1>0， 所以c ＋1＋c >c ＋c －1>0，所以a <b .10.已知函数f (x )满足f (0)＝0，导函数f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象与x 轴围成的封闭图形的面积为( )A.13 B ．43 C ．2 D.83[答案] B[解析] 由f ′(x )的图象知，f ′(x )＝2x ＋2，设f (x )＝x 2＋2x ＋c ，由f (0)＝0知，c ＝0，∴f (x )＝x 2＋2x ， 由x 2＋2x ＝0得x ＝0或－2.故所求面积S ＝－⎠⎛0－2(x 2＋2x )d x ＝⎪⎪⎪－(13x 3＋x 2)0－2＝43.11．已知f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9，存在自然数m ，使得对任意n ∈N ，都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为( )A ．30B ．26C ．36D ．6 [答案] C[解析] ∵f (1)＝36，f (2)＝108＝3×36，f (3)＝360＝10×36， ∴f (1)，f (2)，f (3)能被36整除，猜想f (n )能被36整除．证明：n ＝1,2时，由上得证，设n ＝k (k ≥2)时，f (k )＝(2k ＋7)·3k ＋9能被36整除，则n ＝k ＋1时，f (k ＋1)－f (k )＝(2k ＋9)·3k ＋1－(2k ＋7)·3k ＝(6k ＋27)·3k －(2k ＋7)·3k ＝(4k ＋20)·3k ＝36(k ＋5)·3k －2(k ≥2)⇒f (k ＋1)能被36整除．∵f (1)不能被大于36的数整除， ∴所求最大的m 值等于36.12．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n＋1＝f (x n )，则x 2017＝( )A.1 C ．4 D ．5[答案] B[解析] x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，数列{x n }是周期为4的数列，所以x 2017＝x 1＝2，故应选B.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．在△ABC 中，D 为边BC 的中点，则AD→＝12(AB →＋AC →)．将上述命题类比到四面体中去，得到一个类比命题：________________________________________________________________________.[答案] 在四面体A －BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG→＝13(AB →＋AC →＋AD →)14．设函数f (x )＝x x ＋2(x >0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝x x ＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x 3x ＋4，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x 7x ＋8，f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x 15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________.[答案]x(2n－1)x ＋2n[解析] 观察f 1(x )、f 2(x )、f 3(x )、f 4(x )的表达式可见，f n (x )的分子为x ，分母中x 的系数比常数项小1，常数项依次为2,4,8,16，……，2n .故f n (x )＝x(2n－1)x ＋2n.15．(2016·成都高二检测)在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1、S 2、S 3表示三个侧面面积，S 表示截面面积，那么类比得到的结论是________.[答案] S 2＝S 21＋S 22＋S 23[解析] 类比如下：正方形↔正方体；截下直角三角形↔截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方↔三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和↔三棱锥三个侧面面积的平方和，结论S 2＝S 21＋S 22＋S 23.证明如下：如图，作OE ⊥平面LMN ，垂足为E ，连接LE 并延长交MN 于F ，∵LO ⊥OM ，LO ⊥ON ，∴LO ⊥平面MON ， ∵MN ⊂平面MON ，∴LO ⊥MN ，∵OE ⊥MN ，∴MN ⊥平面OFL ，∴S △OMN ＝12MN ·OF ，S △MNE ＝12MN ·FE ，S △MNL ＝12MN ·LF ，OF 2＝FE ·FL ，∴S 2△OMN ＝(12MN ·OF )2＝(12MN ·FE )·(12MN ·FL )＝S △MNE·S △MNL ，同理S 2△OML ＝S △MLE ·S △MNL ，S 2△ONL ＝S △NLE ·S △MNL ，∴S 2△OMN ＋S 2△OML ＋S 2△ONL ＝(S △MNE ＋S △MLE ＋S △NLE )·S △MNL ＝S 2△MNL ，即S 21＋S 22＋S 23＝S 2. 16．(2016·四川文，15)在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为P ′(yx 2＋y 2，－x x 2＋y 2)；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身．现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点A ′，则点A ′的“伴随点”是点A ； ②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；③若两点关于x 轴对称，则它们的“伴随点”关于y 轴对称； ④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线． 其中的真命题是________(写出所有真命题的序号). [答案] ②③[解析] 对于①，设A (0,3)，则A 的“伴随点”为A ′(13，0)，但是A ′(13，0)的“伴随点”为(0，－3)，与A 不同，所以①错误；对于②，设单位圆C ：x 2＋y 2＝1上的点P (x ，y )，点P 的“伴随点”为P ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝yx 2＋y2y ′＝－xx 2＋y 2，所以x ′2＋y ′2＝y 2(x 2＋y 2)2＋(－x )2(x 2＋y 2)2＝1x 2＋y2＝1，所以②正确；对于③，设P (x ，y )的“伴随点”为P ′(yx 2＋y 2，－x x 2＋y 2)，P 1(x ，－y )的“伴随点”为P ′1(－y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2)，易知P ′(yx 2＋y 2，－x x 2＋y 2)与P ′1(－y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2)关于y 轴对称，所以③正确；对于④，设原直线的解析式为Ax ＋By ＋C ＝0，其中A ，B 不同时为0，且P (x 0，y 0)为该直线上一点，P (x 0，y 0)的“伴随点”为P ′(x ′，y ′)，其中P ，P ′都不是原点，且⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝y 0x 20＋y 20y ′＝－x 0x 20＋y 20，则x 0＝－(x 20＋y 20)y ′，y 0＝(x 20＋y 20)x ′，将P (x 0，y 0)代入原直线方程，得－A (x 20＋y 20)y ′＋B (x 20＋y 20)x ′＋C ＝0，则－Ay ′＋Bx ′＋Cx 20＋y 20＝0，由于x 20＋y 20的值不确定，所以“伴随点”不一定共线，所以④错误．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)已知：a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：a 2＋b 2＋c 2≥13.[证明] 由a 2＋b 2≥2ab ，及b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca . 三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a 2＋b 2＋c 2)＋2(ab ＋bc ＋ca )＝(a ＋b ＋c )2. 由a ＋b ＋c ＝1，得3(a 2＋b 2＋c 2)≥1， 即a 2＋b 2＋c 2≥13.18．(本题满分12分)我们知道，在△ABC 中，若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是直角三角形．现在请你研究：若c n ＝a n ＋b n (n ＞2)，问△ABC 为何种三角形？为什么？[解析] 锐角三角形 ∵c n ＝a n ＋b n (n ＞2)，∴c ＞a, c ＞b ，由c 是△ABC 的最大边，所以要证△ABC 是锐角三角形，只需证角C 为锐角，即证cos C ＞0.∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，∴要证cos C ＞0，只要证a 2＋b 2＞c 2， ①注意到条件：a n ＋b n ＝c n ，于是将①等价变形为：(a 2＋b 2)c n －2＞c n .② ∵c ＞a ，c ＞b ，n ＞2，∴c n －2＞a n －2，c n －2＞b n －2， 即c n －2－a n －2＞0，c n －2－b n －2＞0， 从而(a 2＋b 2)c n －2－c n ＝(a 2＋b 2)c n －2－a n －b n ＝a 2(c n －2－a n －2)＋b 2(c n －2－b n －2)＞0， 这说明②式成立，从而①式也成立．故cos C ＞0，C 是锐角，△ABC 为锐角三角形．19．(本题满分12分)椭圆与双曲线有许多优美的对称性质．对于椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)有如下命题：AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝－b 2a 2为定值．那么对于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则有命题：AB 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，猜想k OM ·k AB 的值，并证明.[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.k OM ＝y 0x 0＝y 1＋y 2x 1＋x 2，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2，即k OM ·k AB ＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2)(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝y 21－y 22x 21－x 22. 将A 、B 坐标代入双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1中可得： x 21a 2－y 21b 2＝1 ① x 22a 2－y 22b2＝1②①－②得：x 21－x 22a 2＝y 21－y 22b 2， ∴y 21－y 22x 21－x 22＝b2a 2，即k OM ·k AB ＝b 2a 2. 20．(本题满分12分)若x >0，y >0，用分析法证明：(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13. [证明] 要证(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13， 只需证(x 2＋y 2)3>(x 3＋y 3)2，即证x 6＋3x 4y 2＋3x 2y 4＋y 6>x 6＋2x 3y 3＋y 6， 即证3x 4y 2＋3y 4x 2>2x 3y 3. 又因为x >0，y >0，所以x 2y 2>0， 故只需证3x 2＋3y 2>2xy . 而3x 2＋3y 2>x 2＋y 2≥2xy 成立， 所以(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13成立．21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1).(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．[解析] (1)证法1：任取x 1、x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax2－x1>1且ax1>0，∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)>0，又∵x1＋1>0，x2＋1>0，∴x2－2x2＋1－x1－2x1＋1＝(x2－2)(x1＋1)－(x1－2)(x2＋1)(x1＋1)(x2＋1)＝3(x2－x1)(x1＋1)(x2＋1)>0，于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋x2－2x2＋1－x1－2x1＋1>0，故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．证法2：f′(x)＝a x ln a＋x＋1－(x－2)(x＋1)2＝a x ln a＋3(x＋1)2∵a>1，∴ln a>0，∴a x ln a＋3(x＋1)2>0，f′(x)>0在(－1，＋∞)上恒成立，即f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．(2)解法1：设存在x0<0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，则ax0＝－x0－2x0＋1，且0<ax0<1.∴0<－x0－2x0＋1<1，即12<x0<2，与假设x0<0矛盾．故方程f(x)＝0没有负数根．解法2：设x0<0(x0≠－1)，①若－1<x0<0，则x0－2x0＋1<－2，ax0<1，∴f(x0)<－1.②若x0<－1则x0－2x0＋1>0，ax0>0，∴f(x0)>0.综上，x<0(x≠－1)时，f(x)<－1或f(x)>0，即方程f(x)＝0无负数根．22．(本题满分12分)设数列a1，a2，…，a n，…中的每一项都不为0.证明{a n}为等差数列的充分必要条件是：对任何n∈N＋，都有1a1a2＋1a2a3＋…＋1a n a n＋1＝na1a n＋1.[证明]先证必要性．设数列{a n}的公差为d.若d＝0，则所述等式显然成立．若d≠0，则1a1a2＋1a2a3＋…＋1a n a n＋1＝1d⎝⎛⎭⎪⎫a2－a1a1a2＋a3－a2a2a3＋…＋a n＋1－a na n a n＋1＝1d⎝⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎪⎫1a1－1a2＋⎝⎛⎭⎪⎫1a2－1a3＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1a n－1a n＋1＝1d⎝⎛⎭⎪⎫1a1－1a n＋1＝1da n＋1－a1a1a n＋1＝na1a n＋1.再证充分性．证法1：(数学归纳法)设所述的等式对一切n∈N＋都成立．首先，在等式1a1a2＋1a2a3＝2a1a3两端同乘a1a2a3，即得a1＋a3＝2a2，所以a1，a2，a3成等差数列，记公差为d，则a2＝a1＋d.假设a k＝a1＋(k－1)d，当n＝k＋1时，观察如下两个等式1a1a2＋1a2a3＋…＋1a k－1a k＝k－1a1a k，①1a1a2＋1a2a3＋…＋1a k－1a k＋1a k a k＋1＝ka1a k＋1②将①代入②，得k－1a1a k＋1a k a k＋1＝ka1a k＋1，在该式两端同乘a1a k a k＋1，得(k－1)a k＋1＋a1＝ka k.将a k＝a1＋(k－1)d代入其中，整理后，得a k＋1＝a1＋kd.由数学归纳法原理知，对一切n∈N，都有a n＝a1＋(n－1)d，所以{a n}是公差为d的等差数列．证法2：(直接证法)依题意有1a1a2＋1a2a3＋…＋1a n a n＋1＝na1a n＋1，①1a1a2＋1a2a3＋…＋1a n a n＋1＋1a n＋1a n＋2＝n＋1a1a n＋2. ②②－①得1a n＋1a n＋2＝n＋1a1a n＋2－na1a n＋1，在上式两端同乘a1a n＋1a n＋2，得a1＝(n＋1)a n＋1－na n＋2. ③同理可得a1＝na n－(n－1)a n＋1(n≥2) ④③－④得2na n＋1＝n(a n＋2＋a n)即a n＋2－a n＋1＝a n＋1－a n，由证法1知a3－a2＝a2－a1，故上式对任意n∈N*均成立．所以{a n}是等差数列．。
人教高中数学选修2-2第二章《推理与证明》测试题A卷2
下一个呈现出来的图形是（高中数学选修2-2第二章《推理与证明》测试题A 卷考试时间：100分钟，满分：150分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）1•如图（1）是某年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，2.下面几种推理是合情推理的是（）①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°； ③ 某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④ 三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360。
,五边形的内角和是540。
，由此得出凸多边形的内角和是（n —2）・180°.A. ①②B.①③C.①②④D.②④3.已知△ABC 中，Z A =30°,Z B =60。
，求证：a <b . 证明：•.•Z A =30°,Z B =60°,・・・Z A VZ B .••・a <b ,其中，画线部分是演绎推理的（）A.大前提B.小前提C.结论D.三段论4•用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为（）A. a ，b ，c 中至少有两个偶数B. a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C. a ，b ，c 都是奇数D. a ，b ，c 都是偶数5•观察下列各式:72=49,73=343,74=2401,…，则72011的末两位数字为（）A.01B.43C.07D.496•用数学归纳法证明不等式1+1+1+...+丄>竺（n W N *）成立，其初始值最小242n 164。
人教A版选修2-2第二章推理与证明综合测试题
【分析】
否定原命题的结论可得解.
【详解】
反证法证明命题时，要假设结论不成立．故用反证法证明命题“设实数 、 、 满足 ，则 、 、 中至少有一个数不小于 ”时的假设是“ 、 、 都小于 ”．
故选：B．
【点睛】
本题考查了反证法的概念，属基础题．
3．B
【分析】
通过阅读可以知道 说法的正确性,通过计算可以知道 说法的正确性.
A．甲付的税钱最多B．乙、丙两人付的税钱超过甲
C．乙应出的税钱约为 D．丙付的税钱最少
4．观察下列数的规律： ，则第9个数是（）
A．21B．22C．33D．34
5．数列 的前n项和 ，而 ，通过计算 猜想 ( )
A． B． C． D．
6．n个连续自然数按规律排成下
根据规律，从2018到2020，箭头的方向依次为( )
16．定义方程 的实数根 叫做函数 的“新驻点”．如果函数 与 的“新驻点”分别为 、 ，那么 和 的大小关系是________．
三、解答题
17．已式 ，并用数学归纳法给出证明.
18．（1）用综合法证明：对于任意 ， ，有 ；
（2）用分析法证明：对于任意 时，有 .
3．《九章算术 衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱 ,乙持钱 ,丙持钱 ,甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计 钱,要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是（ ）
【详解】
，
第7个数为 ，第8个数为 ，第9个数为 .
故选：D
【点睛】
本题考查数与式中的归纳推理，属于基础题.
选修2-2推理与证明单元测试题(好经典)
《推理与证明》单元测试题考试时间120分钟 总分150分一．选择题（共50分）1.下面几种推理过程是演绎推理的是 ( )A ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1an －1)(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式B ．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D ．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°2.(2012·江西高考)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．923. 观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72012的末两位数字为（ ）A ．01B ．43C ．07D ．49 4. 以下不等式（其中．．0a b >>）正确的个数是（ ）1> ②③lg2>A ．0 B ．1 C ．2D ．35.如图，椭圆的中心在坐标原点，F 为左焦点，当AB FB ⊥时，有()()()22222cb b ac a +++=+，从而得其离心率为，此类椭圆称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为（ ）A．12 B．12+ C6.如图，在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成的正六边形，以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,依此推断第8件首饰上应有（ ）颗珠宝。
人教版高中数学选修2-2第二章推理与证明测评A
【优化设计】 2015-2016 学年高中数学第二章推理与证明测评 A 新人教 A 版选修 2-2(基关卷 )(:90 分分:100分)第Ⅰ卷(共40分)一、 (本大共10 小 ,每小 4 分 ,共 40 分.在每小出的四个中,只有一是切合目要求的 )1.命“有理数是无穷循小数,整数是有理数,所以整数是无穷循小数”是假命,推理的原由是()A.使用了推理B.使用了比推理C.使用了“三段”,但大前提D.使用了“三段”,但小前提答案 :C2.察下边形的律,在其右下角的空格内画上适合的形()A.■B.△C.□D.○分析 :由每一行中形的形状及黑色形的个数,知A正确.答案 :A3.由“正三角形的内切切于三的中点”,可比猜想出正四周体的内切球切于四个面()A.各正三角形内任一点B.各正三角形的某高上的点C.各正三角形的中心D.各正三角形外的某点分析 :正三角形的正四周体的面,即正三角形所在的正四周体的面, 所以的中点的就是正四周体各正三角形的中心.答案 :C4.察以下各式:a+b= 1,a2+b 2= 3,a3+b 3= 4,a4+b 4= 7,a5+b 5= 11, ⋯, a10+b 10= ()A .28B .76 C.123 D .199n n分析 : a +b =f (n), f(3)=f (1)+f (2)= 1+ 3= 4;f(4)=f (2)+f (3)=3+ 4= 7;f(5)=f (3)+f (4)= 11.*通察不f( n)=f (n-1)+f (n- 2)(n∈N ,n≥ 3),f(6 )=f (4) +f (5)= 18;f(7)=f (5)+f (6)= 29;f(8)=f (6)+f (7) =47;f(9)=f (7)+f (8)= 76;f(10)=f (8)+f (9)= 123.所以a10+b 10= 123.答案 :C5.数列{ a n}足a1= ,a n+ 1= 1- , a2 015等于()A .B .-1 C.2 D .3分析 :∵a1= ,a n+ 1= 1-,∴a2= 1-=- 1,a3= 1-= 2,a4= 1-,a5= 1- =- 1,a6= 1-= 2,∴a n+ 3k=a n (n∈N* ,k∈N* ).∴a2 015=a 2+3×671=a 2=- 1.答案 :B6.已知f( x+y)=f (x)+f (y),且f(1) = 2,f(1) +f (2)+ ⋯ +f (n)不可以等于 ()A .f(1)+ 2f(1)+ ⋯+nf (1)B.fC.D.f(1)分析 :f(x+y )=f (x)+f ( y),令 x=y= 1,得 f(2)= 2f(1),令 x=1,y= 2,f(3)=f (1)+f (2)= 3f(1)?f(n)=nf (1),所以 f(1)+f (2)+ ⋯ +f (n)= (1+ 2+⋯ +n )f(1)=f (1).所以 A,D 正确 . 又f(1) +f (2)+ ⋯ +f (n) =f (1+2+ ⋯ +n )=f ,所以 B 也正确 .故 C.答案 :C7.于奇数列1,3,5,7,9,⋯,在行以下分:第一有 1 个数 {1},第二有 2 个数 {3,5}, 第三有 3个数 {7,9,11},⋯⋯,依此推 ,每内奇数之和S n与其的号数n 的关系是 ()A .S n=n 2 B. S n=n 3C.S n=n 4D. S n=n (n+ 1)33分析 :∵当 n= 1 ,S1= 1;当 n= 2 ,S2= 8= 2 ;当 n= 3,S3= 27= 3 ;∴猜想S n=n 3,故 B .答案 :B8.在等差数列{ a n}中,若a n> 0,公差d> 0,有a4a6>a3a7,比上述性,在等比数列{ b n}中,若b n> 0,公比q> 1, b4,b5,b7,b8的一个不等关系是()A .b4+b 8>b 5 +b 7B .b4+b 8<b 5+b 7C.b4+b 7>b 5+b 8 D .b4+b 7<b 5+b 834分析 :b5 +b 7-b 4-b8=b 4(q+q-1-q )322=b 4(q-1)(1-q )=-b 4(q-1) (1+q+q )∵b n> 0,q> 1,∴-b4( q-1) ·<0,∴b4+b 8>b 5+b 7.答案 :A9.已知x> 0,不等式x+≥2,x+≥3,x+≥4,⋯,可推行x+≥n+ 1, a 的 ()A .2nB .n2 C.22n-2 D .n n分析 :由 x+ ≥2,x+=x+ ≥3,x+=x+ ≥ 4, ⋯,可推行 x+ ≥n+ 1,故 a=n n.答案 :D10.将石子成如的梯形形状.称数列 5,9,14,20,⋯“梯形数”.依据形的组成 ,此数列的第 2 012与 5 的差 ,即 a2 012-5= ()A .2 018×2 012B .2 018×2 011C.1 009×2 012 D .1 009×2 011分析 :由已知可得a2-a1= 4a3-a2= 5a4-a3= 6⋯⋯a2 012-a2 011= 2 014.以上各式相加得a2 012-a1== 1 009×2 011.∵a1= 5,∴a2 012-5= 1 009×2 011.答案 :D第Ⅱ卷(非共60分)二、填空 (本大共 5 小 ,每小 4 分 ,共 20 分 .把答案填在中的横上)11.在△ABC中,D BC 的中点 , ),将命比到三棱中获得的命.答案 :在三棱 A-BCD 中 ,G △ BCD 的重心 , )*分析 :∵n> 1,∴第一步 明当n= 2 不等式建立,不等式是.即 .答案 :13.f(n)= 1++ ⋯ + (n ∈ N * ), 算得 f(2) = ,f(4)> 2,f(8)> ,f(16)> 3,f(32)> ,推 当 n ≥2 ,有 . 分析 :f(n)中 n 的 律 2k (k= 1,2, ⋯不),等式右 分 ,k= 1,2, ⋯,所以 f(2n )> (n ≥ 2). 答案 :f(2n )> (n ≥ 2)2, ⋯,x nn )] ≤f,称函数14.若定 在区 D 上的函数 f(x) 于 112D 上的 n 个 x ,x , 足 [f(x )+f (x ) +⋯ +f (xf(x) D 上的凸函数 ; 已知 f( x)= sin x 在 (0, π)上是凸函数 , △ ABC 中 ,sin A+ sin B+ sin C 的最大 是 . 分析 :因 f(x)= sin x 在 (0, π)上是凸函数 (小前提 ),所以 (sin A+ sin B+ sin C) ≤sin( ), 即 sin A+ sin B+ sin C ≤3sin.所以 ,sin A+ sin B+ sin C 的最大 是 .答案 : 15. 察下 :第 行的各数之和等于 2 0112.分析 : 察知 , 中的第 n 行的各数组成一个首 n,公差 1,共 (2n-1 ) 的等差数列 ,其各 和 :S n = (2n-1)n+= (2n-1)n+ (2n-1)( n-1)= (2n-1)2.令 (2n-1)2= 2 0112,得 2n-1= 2 011,故 n= 1 006. 答案 :1 006三、解答 (本大 共 5 小 ,共 40 分.解答 写出文字 明、 明 程或演算步 ) 16.(本小 6 分 )已知 a>b>c ,且 a+b+c= 0,求 :. 明 :因 a>b>c ,且 a+b+c= 0,所以 a> 0,c< 0.要 明原不等式建立,只要 明 a,2222即 b -ac< 3a ,进而只要 明 (a+c ) -ac< 3a , 即 (a-c)(2a+c )> 0,因 a-c> 0,2a+c=a+c+a=a-b> 0,所以 (a-c)(2a+c )> 0 建立 ,故原不等式建立 .17.(本小 6 分 )已知 数 22x,且有 a=x + ,b= 2-x,c=x -x+ 1,求 :a,b,c 中起码有一个不小于 1. 明 :假 a,b,c 都小于 1,即 a< 1,b< 1,c< 1,a+b+c< 3.∵a+b+c=+ (2-x)+ (x 2-x+ 1)= 2x 2 -2x+= 2+ 3,且 x 数 , ∴ 2+ 3≥3,即 a+b+c ≥3, 与 a+b+c< 3 矛盾 .∴假 不建立 ,原命 建立 .∴a,b,c 中起码有一个不小于 1.18.(本小8 分 )先 以下不等式的 法 ,再解决后边的:已知 a 1,a 2∈ R ,且 a 1+a 2 = 1,求 :.明 :结构函数 f(x)= (x-a 1) 2+ (x-a 2)2= 2x 2- 2(a 1+a 2)x+. 因 全部 x ∈ R ,恒有 f(x) ≥ 0,所以 Δ=4- 8() ≤从0,而得 . n ∈R ,且 a 11 22 n;(1) 若 a ,a , ⋯,a +a + ⋯ +a = 1, 写出上述 的推行式 (2) 参照上述 法 , 你推行的 加以 明 .(1) 解 :若 a 1,a 2, ⋯,a n ∈ R ,a 1+a 2+ ⋯ +a n = 1,+⋯+.(2) 明 :结构函数f(x)= (x-a1)2+ (x-a2)2+ ⋯ +(x-a n)22=nx -2(a1+a 2+ ⋯ +a n)x++ ⋯+2=nx -2x++ ⋯ +.因全部x∈R,都有 f(x) ≥0,所以Δ=4- 4n(+ ⋯ + ) ≤0,进而得 + ⋯ +.19.(本小10分)已知等差数列{ a n}的公差大于0,且a3,a5是方程x2-14x+45= 0的两根,数列{ b n}的前n 和 S n,且 S n=1-b n.(1)求数列 { a n},{ b n} 的通公式 ;(2)c n=a n·b n,求 :c n+ 1≤c n.(1) 解 :∵a3,a5是方程 x2-14x+45= 0 的两根 ,且数列 { a n} 的公差 d> 0,∴a3= 5,a5 =9,公差 d== 2.∴a n=a 5+ ( n-5)d= 2n-1.由意得 ,当 n= 1,b1=S 1= 1-,∴b1=.当 n≥2 ,b n=S n-S n- 1= (b n- 1-b n),∴b n=b n-1(n≥ 2).∴数列 { b n} 是以首 ,公比的等比数列.∴b n=.(2) 明 :由 (1) 知 ,c n=a n·b n= ,c n+ 1= ,∴c n+ 1-c n= ≤0.∴c n+ 1≤c n.22222*20.(本小10分)用数学法明 1 + 3 + 5 + ⋯ +(2n- 1) =n (4n -1)(n∈N ).明 :(1)当 n= 1 ,左 = 12,右 =×1×(4 ×1-1)= 1,左 = 右 ,等式建立 .22222(2)假当 n=k ,等式建立 ,即 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k-1) =k (4k -1),当 n=k+ 1 ,12+ 32+ 52+ ⋯+ (2k-1)2+ (2k+1)2=k (4k2-1)+ (2k+ 1)22=k (2k+1)(2 k-1)+ (2k+ 1)2=(2k+ 1)(2 k + 5k+ 3)=(2k+ 1)(k+1)(2 k+3)=(k+ 1)(4k2+ 8k+3)=(k+ 1)[4( k+ 1)2-1],即当 n=k+ 1 ,等式成立 .由 (1)(2) 可知 ,全部 n∈N*等式建立 .。
(完整word版)高中数学选修2-2推理与证明单元测试卷
章末检测一、选择题 1.由 1= 12,1 + 3 = 22,1 + 3+ 5= 32,1 + 3 + 5+ 7= 42,…，得到 1 + 3+ — + (2n — 1) = n 2 用的是（ ） A. 归纳推理 B.演绎推理 C.类比推理 D.特殊推理答案 A 2.在厶ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，则有EF // BC ,这个问题的大前提为（ ）A •三角形的中位线平行于第三边 B. 三角形的中位线等于第三边的一半 C. EF 为中位线 D.EF // BC答案 A解析 这个三段论推理的形式为：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提： EF 为△ ABC 的中位线；结论： EF // BC. 3.用反证法证明命题“2 + . 3是无理数”时，假设正确的是 （）A. 假设,2是有理数 C.假设,2或，3是有理数 答案 DB. 假设.3是有理数D.假设.2+ 3是有理数解析应对结论进行否定，则 ,2+ 3不是无理数，即.2+ 3是有理数. 4•若A 是厶ABC 的一个内角,1cos A >2，则A 的取值范围是（n A. 0, 6n B. 0, 3n nc. 6, 2答案B1解析■/ A是厶ABC的一个内角，••• A € （0, n）又cos A> ?,且y= cos A在（0, n上是减函2f x5.已知f(x+ 1) = f x+ 2, f(1) = 1(x€ N*)，猜想f(x)的表达式为()4A.2x+ 2B. 2x+ 1a 》一2, • 解得—2 w a w 1. 1 + a w 2,8.对“ a , b , c 是不全相等的正数”，给出下列判断: ① (a — b)2 + (b — c)2+ (c — a)2* 0;② a = b 与b = c 及a = c 中至少有一个成立； ③ a 丰c , b * c , a * b 不能同时成立 . 其中判断正确的个数为() A.0B.1C.2D.31C.x+7答案 B2f 12 解析 当 x = 1 时，f(2) == -2+22当 x =3 时，f(4)=髡=1=占, 2故可猜想f(x) = -^，故选B.x + 16.设有两个命题:①关于x 的不等式x 2+ 2ax + 4>0对一切x € R 恒成立; ②函数f(x)=— (5 — 2a)x 是减函数. 若命题中有且只有一个是真命题，则实数 a 的取值范围是(A.( —a, — 2]B.( —a, 2)C.[2 ,+a )D.( — 2,2)答案 A解析 若①为真，则A= 4a 2— 16v 0•即—2v a v 2 ;若②为真，则5— 2a > 1,即a v 2•当①真 ②假时，无解；当①假②真时，a w — 2.X7.在R 上定义运算O ： x Oy =口若关于x 的不等式(x — a) O (x + 1 — a) > 0的解集是集合｛x|—2w x < 2, x € R ｝的子集，则实数 a 的取值范围是( A.[ — 2,2] B.[ — 1,2] C.[1,2) D.[ — 2,1]答案 Dx — ax — a x — a解析由定义知(x - a) O(x +1 - a)= 2 — x + 1 — a — 1 + a — x — 1 + a'•••不等式为—x ——>0，x ——v0 的解集为｛x|a v x v a + 1｝，也就是｛x|— 2w x w 2｝的子集,答案 B解析 若(a — b)2+ (b — c)2+ (c — a)2 = 0，则a = b = c ,与“a , b, c 是不全相等的正数”矛盾， 故①正确.a = b 与b = c 及a = c 中最多只能有一个成立，故 ②不正确.由于“a , b , c 是不全相 等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确.1a n +1 = 1 —一，贝U a 2 015等于(a n1A ・2 B. — 1 C.2 D.3答案 B1 彳 a5=1 —04=— 1, a6=1 —a n + 3k = a n (n € N , k € N ) • a 2 015= a 2 + 3X 671= a 2=— 1.10. 定义在 R 上的函数f(x)满足f(— x)=— f(x + 4)，且f(x)在(2,+s )上为增函数.已知X 1 + X 2<4 且(x 1— 2) •(— 2)<0，贝U f(x 1)+ f(x 2)的值( )A.恒小于0B.恒大于0C. 可能等于0D.可正也可负答案 A解析 不妨设 X 1 — 2<0 , X 2— 2>0 , 则 X 1<2 , x 2>2, • 2<X 2<4 — X 1 ,• f(X 2)<f(4 — X 1)，即一f(X 2)> — f(4 — X 1), 从而一f(X 2)> — f(4 — X 1)= f(X 1), f(X 1 ) + f(X 2)<0. 二、填空题 11. 观察下列等式： (1 + 1) = 2 X 1(2 + 1)(2 + 2)= 22X 1 X 3(3 + 1)(3 + 2)(3 + 3) = 23X 1 X 3 X 5 按此规律，第n 个等式可为 ___________ .答案 (n + 1)(n + 2)(n + 3) •- •(+ n) = 2n - 1 - 3•- -5•- 1)11 1 3 5 7 12. f(n)= 1 + + 3+-+ 卞n € N *)，经计算得 f(2)=?, f(4)>2 , f(8)>?, f(16)>3 , f(32)>-，推测9.数列｛a n ｝满足a i =1,解析1-a1 = 2’an + 1=1 1 —a n••• a2=a3=1-02=2,1 1a4=1—ar 2,a 5=2,当n》2时，有 __________________ .2 + n答案f(2n)>—^( n A 2)解析观测f(n)中n的规律为2k(k= 1,2,…),2 + k不等式右侧分别为2，k= 1,2 ,…，••• f(2n)>^( n A 2).13.用数学归纳法证明：1 1 1 2n1+ 1 + 2 + 1 + 2+ 3+…+ 1 + 2+ 3+・・・+ n—n +1 时，由 * k到* k+1左边需要添加的项是___________ 答案2k+ 1 k+ 2解析1 2由n—k到n—k+ 1时，左边需要添加的项是一.1 + 2+ 3+ …+ k+ 1 k+ 1 k+ 214.设S, V分别表示表面积和体积，如△ ABC的面积用S A ABC表示，二棱锥O —ABC的体积用V O —ABC表示，对于命题：如果0是线段AB上一点，则Q B|OA+ |<OA| OB= 0.将它类比到平面的情形时，应该有：若0是厶ABC内一点，有OBC 0A+ S SCA 0B + OBA OC = 0.将它类比到空间的情形时，应该有：若O是三棱锥A—BCD内一点，则有____________________ .答案V O-BCD 0A + V O—ACD OB+ V O—ABD OC + V O—ABC OD= 0三、解答题15. 设a, b, c三数依次成等比数列，而x, y分别为a, b和b, c的等差中项，试证：号+y = 2.证明依题意，a, b, c依次成等比数列，即a= b.b c由比例性质有—=—匚，又由题设x=旦乎,y=中,a+ b b + c 2 2a c 2a 2c 2b 2c 2 b+ c因而 + = = + = = 2.x y a+ b b + c b+ c b+ c b+ c116. 证明：对于任意实数x, y,都有x4+ y4A~xy(x + y)2.1 证明要证x4+ y4A?xy(x+ y)2,只需证2(x4+ y4) A xy(x+ y)2,即证2(x4+ y4) A x3y+ xy3+ 2x2y2.只需x4+ y4A x3y+ xy3与x4+ y4A 2x2y2同时成立即可.又知x4+ y4—2x2y2= (x2—y2)2A 0 显然成立，即x4+ y4A 2x2y2成立，只需再证x 4+ y 4>x 3y + xy 3即可. 而 x 4 + y 4- x 3y - xy 3= (x — y)(x 3- y 3),T x - y 与 x 3- y 3 同号，•- (x - y)(x 3- y 3) > 0,即卩 x 4 + y 4>x 3y + xy 3成立，1•对于任意实数x , y ,都有x 4 + y 4>2xy(x + y)2.17. 如图，在直三棱柱 ABC - A i B i C i 中，E,F 分别为 A i B,A i C 的中点，点D 在B i C i 上，A i D 丄B i C.求证：(1)EF //平面ABC ; (2)平面 A i FD 丄平面BB i C i C.证明 ⑴因为E , F 分别为A i B , A i C 的中点，所以 EF // BC,又EF?平面ABC , BC?平面 ABC ,所以EF //平面ABC.(2)因为三棱柱 ABC - A i B i C i 为直三棱柱， 所以BB i 丄平面A i B i C i , BB i 丄A i D , 又 A i D 丄 B i C ,所以 A i D 丄平面BB i C i C , 又A i D?平面A i FD ,所以平面A i FD 丄平面BB i C i C.I8.已知△ ABC 中，A : B : C = I : 2 : 6. a a + b求证：厂= -------b a + b + C只需证 a 2 + ab + ac = ab + b 2, 即证 a(a + c) = b 2.由正弦定理，只需证 sin A(sin A + sin C) = si n 2B. •/ A : B : C = i : 2 : 6,即卩 sin n sin f+sin§n)sin 29n证明 要证 a _ a + b b a +b +c ‘•-A =9，6 一9=c2 一9n n ・ 3 o2 即singling + sing n# sin2§n,n 2 n n ?2 即sin 9 • 2singcos g = sin2g n,n n 2即2si n geos g= sin g n,显然成立a+ b成立.a+ b+ e。
高中数学选修2-2 第二章 推理与证明(A卷)
高中数学选修2-2 第二章推理与证明（A卷）试卷一、选择题（共22题；共100分）1.下面几种推理过程是演绎推理的是( )A.在数列中，，由其归纳出的通项公式B.由平面三角形的性质，推测空间四面体性质C.两条直线平行，同旁内角互补，如果和是两条平行直线的同旁内角，则D.某校高二共10个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人【答案】C【考点】合情推理与演绎推理【解析】A选项，在数列中，，由其归纳出的通项公式，是归纳推理．B选项“由平面三角形的性质，推测空间四面体性质”是类比推理；C选项选项是演绎推理，大前提是“两条直线平行，同旁内角互补”，小前提是“与是两条平行直线的同旁内角”，结论是“”D选项中：某校高二共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人，是归纳推理；综上得，C选项正确.2.下面几种推理中是演绎推理的是（）A.由金，银，铜，铁可导电，猜想：金属都可以导电B.猜想数列的通项公式为C.由正三角形的性质得出正四面体的性质D.半径为r的圆的面积，则单位圆的面积【答案】D【考点】合情推理与演绎推理【解析】选项A是由特殊到一般的推理过程，为归纳推理；选项B是由特殊到一般的推理过程，为归纳推理；选项C是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程，是类比推理；选项D中半径为r圆的面积，是大前提,单位圆的半径为1，是小前提,单位圆的面积为结论．故选D．3.三角形的面积a，b，c为其边长，r为内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为()A.V＝abc(a，b，c为底面边长)B.V＝sh(s为底面面积，h为四面体的高)C.V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r (S1，S2，S3，S4分别为四个面的面积，r为内切球的半径)D.V＝(ab＋bc＋ac)h (a，b，c为底面边长，h为四面体的高)【答案】C【考点】合情推理与演绎推理【解析】设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，根据三角形面积的求解方法(分割法)，将O与四面体的四个顶点连起来，可得四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，∴V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r.4.顺次列出的规律相同的20个数中的前四个数依次是2×1－1，2×2－1，2×3－1，2×4－1，第15个数是()A.15B.29C.16D.31【答案】B【考点】合情推理与演绎推理【解析】前四个数依次是2×1－1，2×2－1，2×3－1，2×4－1，所以第15个数是2×15－1＝29.5.古希腊，毕达哥拉斯学派把1, 3, 6, 10, 15, 21, 28，… ，这些数叫做三角形数，因为这些数(除1外)对应的点可以排成一个正三角形，如图所示，则第n个三角形数为()A.nB.C.n2－1D.【答案】B【考点】合情推理与演绎推理【解析】观察图形可知，这些三角形数的特点是第n个三角形数是在前一个三角形数的基础上加上n，于是第n个三角形数为6.有一段演绎推理：“直线平行于平面，则这条直线平行于平面内所有直线；已知直线b平面α，直线a平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论是错误的，这是因为（）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误【答案】A【考点】合情推理与演绎推理,直接证明与间接证明【解析】该演绎推理的大前提是：若直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；小前提是：已知直线平面，直线a平面；结论是：直线直线a；该结论是错误的，因为大前提是错误的，正确叙述是“若直线平行于平面，过该直线作平面与已知平面相交，则交线与该直线平行”．故选：A．7.用数学归纳法证明当n为正奇数时，能被x+y整除，第二步是（）A.设n=2k+1时正确，再推n=2k+3正确B.设n=2k-1时正确，再推n=2k+1时正确C.设n=k时正确，再推n=k+2时正确D.设正确，再推n=k+2时正确【答案】B【考点】数学归纳法【解析】【解析】根据证明的结论，n为正奇数，故第二步的假设应写成：假设时命题正确，即当时，能被x+y整除，再推n=2k+1正确；故选B．8.仔细观察下面○和●的排列规律：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是()A.12B.13C.14D.15【答案】C【考点】合情推理与演绎推理【解析】进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|则前n组两种圈的总数是2+3+4(n+1)=，易知故n＝14．9.用数学归纳法证明“”．在验证n＝1时，左端计算所得项为()A.1＋aB.1＋a＋a2C.1＋a＋a2＋a3D.1＋a＋a2＋a3＋a4【答案】C【考点】数学归纳法【解析】将n＝1代入a2n＋1得a3，故选C.10.分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：”最终的索因应是()A.a－b＞0B.a－c＞0C.(a－b)(a－c)＞0D.(a－b)(a－c)＜0【答案】D【考点】直接证明与间接证明【解析】要证只需证b2－ac＜3a2.∵a＋b＋c＝0，∴b＝－a－c，只需证(－a－c)2－ac＜3a2，只需证(c－a)(c＋2a)＜0，只需证(c－a)(c＋a－b－c)＜0，只需证(c－a)(a－b)＞0，故选C.11.若，则下面四个式子中恒成立的是()A.B.C.D.【答案】B【考点】直接证明与间接证明【解析】在A中，时，,因此不成立；在B中，因为恒成立；在C中，时不成立；在D中，取，可知不成立.12.用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()A.a，b都能被5整除B.a，b都不能被5整除C.a，b不都能被5整除D.a不能被5整除【答案】B【考点】直接证明与间接证明【解析】“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．13.用数学归纳法证明,则当时，左端应在n=k的基础上加( ) A.B.C.D.【答案】D【考点】数学归纳法【解析】当n=k时，左边=，当n=k时，左边=，所以观察可知，增加的项为.14.对于不等式，某学生的证明过程如下：（1）当n=1时，，不等式成立．（2）假设时，不等式成立，即，则n=k+1时，，∴当n=k+1时，不等式成立，上述证法（）A.过程全都正确B.n=1验证不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确【答案】D【考点】数学归纳法【解析】15.已知a，b，c∈(0，1)．则在(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a中()A.不能同时大于B.都大于C.至少有一个大于D.至多有一个大于【答案】A【考点】直接证明与间接证明【解析】方法一假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于∵a，b，c都是小于1的正数，∴1－a，1－b，1－c都是正数．，同理，.三式相加，得，即，矛盾．所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.方法二假设三个式子同时大于，即，，，三式相乘得(1－a)b(1－b)c(1－c)a>()3.①因为0<a<1，所以0<a(1－a)≤＝.同理0<b(1－b)≤，0<c(1－c)≤.所以(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤()3.②因为①与②矛盾，所以假设不成立．16.在平面直角坐标系中，方程表示x，y轴上的截距分别为a，b的直线，类比到空间直角坐标系中，在x，y，z轴上截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为()A.B.C.D.【答案】A【考点】合情推理与演绎推理【解析】在平面直角坐标系中，方程表示的图形是一条直线，具有特定性质：“在x轴，y轴上的截距分别为a，b”．类比到空间坐标系中，在x，y，z轴上截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为.故选A.17.将所有正偶数按如图方式进行排列，则2016位于( )A.第30行B.第31行C.第32行D.第33行【答案】C【考点】合情推理与演绎推理【解析】由于题意可得：第n行的最后一个数为．令，最后一个数为1984令，最后一个数为2112．∴2016位于第32行．18.用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除时，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可变形()A.56×34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)B.34k＋1＋52k＋1C.34×34k＋1＋52×52k＋1D.25(34k＋1＋52k＋1)【答案】A【考点】数学归纳法【解析】当n＝k＋1时，34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34×34k＋1＋25×52k＋1＝56×34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)，两个表达式都能被8整除．19.在平面几何里，有勾股定理：“设的两边AB，AC互相垂直，则|AB|2＋|AC|2＝|BC|2”．拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥A－BCD的三个侧面两两相互垂直，则可得”()A.|AB|2＋|AC|2＋|AD|2＝|BC|2＋|CD|2＋|BD|2B.C.D.|AB|2×|AC|2×|AD|2＝|BC|2×|CD|2×|BD|2【答案】C【考点】合情推理与演绎推理【解析】由边对应着面，边长对应着面积，如图所示．由类比可得.20.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和，则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值我们知道，若令，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为（）A.B.C.D.【答案】A【考点】合情推理与演绎推理【解析】第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即；第二次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即；第三次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即，第四次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即，21.当x∈(0，＋∞)时，可得到不等式，由此可以推广为取值p等于()[A.n nB.n2第 11 页 共 11 页 C.nD.n ＋1【答案】A【考点】合情推理与演绎推理【解析】由不等式，不等式左边是两项的和，第二项是利用此规律观察所给不等式，从而归纳出一般性结论：，即p ＝n n . 故选A. 22.有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为( )A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误【答案】C【考点】合情推理与演绎推理【解析】演绎推理的一般模式是三段论，大前提是已知的一般性原理，小前提是研究的特殊情况，结论是得出的判断．本题中并非所有的有理数都是真分数，所以推理形式错误．。
人教A版选修2-2第二章推理与证明基础测试题
人教A 版选修2-2第二章推理与证明基础测试题一、单选题1．“一切金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”.此推理方法是（ ） A ．类比推理B ．演绎推理C ．归纳推理D ．以上都不对2．甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ） A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩3．在平面直角坐标系中，点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =，类比可得在空间直角坐标系中，点()2,3,4到平面2240x y z ++-=的距离为（ ）A ．4B ．5C ．163D ．2034．用数学归纳法证明等式()221*111,1n n a a a aa n N a++-++++=≠∈-时，当1n =时，左边等于（ ） A ．1B ．1a +C ．21a a ++D ．2a5．华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华王方法”等．他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”．“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者．某组16人中恰有一人感染（鼻咽拭子样本检验将会是阳性），若逐一检测可能需要15次才能确认感染者．现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组．继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过（ ）次检测．6．在一次数学测验后，甲､乙､丙三人对成绩进行预测 甲：我的成绩比丙高.乙：我的成绩比丙高. 丙：甲的成绩比我和乙的都高.成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ） A ．甲､乙､丙 B ．乙､丙､甲 C ．丙､乙､甲D ．甲､丙､乙7．某集团军接到抗洪命令，紧急抽调甲､乙､丙､丁四个专业抗洪小组去A ，B ，C ，D 四地参加抗洪抢险，每地仅去1人，其中甲不去A 地也不去B 地，乙与丙不去A 地也不去D 地，如果乙不去B 地，则去D 地的是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60︒”时，假设正确的是（ ） A ．假设三内角都不大于60︒ B ．假设三内角都大于60︒C ．假设三内角至少有一个大于60︒D ．假设三内角至多有两个大于60︒9．甲、乙、丙、丁四位同学参加一次数学智力竞赛，决出了第一名到第四名的四个名次.甲说：“我不是第一名”；乙说：“丁是第一名”；丙说：“乙是第一名”；丁说：“我不是第一名”.成绩公布后，发现这四位同学中只有一位说的是正确的，则获得第一名的同学为（） A ．丙B ．甲C ．乙D ．丁10．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S =2⨯底高，可推知扇形面积公式S 扇等于（ ）A ．22rB ．22lC ．12lr D ．不可类比11．如图，观察①、②、③的变化规律，则第④张图形应为（ ）① ② ③ ④______A ．B ．C ．D ．12．“已知对数函数log a y x =（0a >且1a ≠）是增函数，因为2log y x =是对数函数，所以2log y x =为增函数”，在以上三段论的推理中（ ） A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误 D ．结论错误二、填空题13．用反证法证明：存在x ∈R ，cos 1x ≥，应先假设：________.14．已知不等式213122+<，221151233++<，222111712344+++<，……均成立，照此规律，第五个不等式应为2222211111123456+++++<_______．15．已知甲、乙、丙三人恰好都去过北京、上海中的某一个城市，三人分别给出了以下说法：甲说：我去过北京，乙去过上海，丙去过北京；乙说：我去过上海，甲说的不完全对；丙说：我去过北京，乙说的对．若甲、乙、丙三人中恰好有1人说得不对，则去过北京的是_____．16．一个自然数的立方，可以分裂成若千个连续奇数的和.例如：32、33和34分别可以“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即3235=+，337911=++，3413151719=+++，…若3100也按照此规律来进行“分裂”，则3100“分裂”出的奇数中，最小的奇数是______.三、解答题17．已知数列{}n a 第一项12a =，且1(1,2,3,4)1n n na a n n +==+， （1）计算234,,a a a 的值．（2）试猜想这个数列的通项公式(不用写出推导过程)． 18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()2n n S a n N ++=∈. （1）求123,,a a a 的值，并写出数列{}n a 的通项公式；（2）写出用三段论证明数列{}n a 是等比数列的大提前、小前提、结论. 19．已知a 、b 、c +∈R ， （1）求证：()114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭；（2）求证：()1119a b c a b c ⎛⎫++++≥⎪⎝⎭； （3）由（1）、（2），将命题推广到一般情形（不作证明）． 20．（1）已知a ，b 都是正数，并且ab ，求证：552332a b a b a b +>+；（2）若x ，y 都是正实数，且2x y =>，求证：12x y +<与12yx+<中至少有一个成立.21．设关于正整数n 的函数222()1223(1)f n n n =⋅+⋅++（1）求(1),(2),(3)f f f ； （2）是否存在常数,,a b c 使得()f n =2(1)()12n n an bn c +++对一切自然数n 都成立？并证明你的结论22．设函数()y f x =对任意实数x 、y 都有()()()2f x y f x f y xy +=++， （1）求(0)f 的值；（2）若(1)1f =，求(2)f 、(3)f 、(4)f 的值；（3）在（2）的条件下，猜想()f n ()n N +∈的表达式，并用数学归纳法加以证明．参考答案1．B 【分析】符合三段论：大前提，小前提，结论，所以是演绎推理. 【详解】在推理的过程中：一切金属都能导电，是大前提， 铁是金属，是小前提， 所以铁能导电，是结论， 故是演绎推理， 故选：B 2．D 【分析】根据题中条件，直接分析，即可得出结果. 【详解】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果. 故选：D ． 3．A 【分析】类比可得，点()000,,x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离为d =，即为即可得出结果.【详解】类比可得，点()000,,x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离为d =，故点()2,3,4到平面2240x y z ++-=的距离：4d ==，故选：A. 4．C 【分析】根据题意，将1n =直接代入，即可求出结果. 【详解】用数学归纳法证明：()2211111n n a a a aa a++-++++=≠-， 在验证1n =时，令1n =代入左边的代数式，得到左边11211+=++=++a a a a . 故选：C 5．B 【分析】利用优选法依次进行检测，写出4次检测的情况，得到最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测． 【详解】第一次：16人分两组，每组8人，如果第一组检测结果为阳性，放行第二组，留下第一组继续检测，如果第一组检测结果为阴性，放行第一组，留下第二组继续检测；第二次：留下的8人分两组，每组4人，如果第一组检测结果为阳性，放行第二组，留下第一组继续检测，如果第一组检测结果为阴性，放行第一组，留下第二组继续检测； 第三次：留下的4人分两组，每组2人，如果第一组检测结果为阳性，放行第二组，留下第一组继续检测，如果第一组检测结果为阴性，放行第一组，留下第二组继续检测； 第四次：留下的2人分两组，每组1人，如果第一人检测结果为阳性，则第2人没有感染．如果第一组检测结果为阴性，则第2人感染．综上，最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测． 故选：B 6．B 【分析】若甲预测正确，则乙和丙的预测都错误，此时甲>丙，乙<丙，甲<丙，产生矛盾；若乙预测正确，则甲和丙都错误，此时甲<丙，乙>丙，甲<丙，从而得甲<丙<乙；若丙预测正确，则甲和乙都错误，此时甲>丙，甲>乙，甲<丙，产生矛盾，由此可得结果【详解】解：若甲预测正确，则乙和丙的预测都错误，此时甲>丙，乙<丙，甲<丙，产生矛盾；若乙预测正确，则甲和丙都错误，此时甲<丙，乙>丙，甲<丙，从而得甲<丙<乙；若丙预测正确，则甲和乙都错误，此时甲>丙，甲>乙，甲<丙，产生矛盾，所以甲<丙<乙，故选：B7．A【分析】根据题意进行推理可得结果.【详解】因为甲、乙、丙都不去A地，所以只能是丁去A地，又甲、乙不去B地，所以只能是丙去B 地，又乙、丙不去D地，所以只能是甲去D地，乙去C地.故选：A【点睛】本题考查了演绎推理，属于基础题.8．B【分析】用反证法证明，需假设命题的否定.【详解】题设条件为至少有一个角不大于60，所以与之相反的条件为没有任何一个角不大于60，即三角形的内角均大于60.故选：B【点睛】本题考查反证法，重点考查命题的否定，属于基础题型.9．B【分析】分别假设甲是第一名，乙是第一名，丙是第一名，丁是第一名，四种情况，结合题中条件，进行判断，即可得出结果.若甲是第一名，则甲、乙、丙说的都不正确，丁说的正确，符合题意，故甲获得第一； 若乙是第一名，则只有乙说的正确，不符合题意；若丙为第一名，则乙丙说的不正确，甲丁说的正确，不满足题意； 若丁是第一名，则甲乙说的正确，丙丁说的不正确，不满足题意； 故选B 【点睛】本题主要考查逻辑推理，推理案例属于常考内容，属于基础题型. 10．C 【分析】将扇形的弧类比为三角形的底边，高类比为扇形的半径，问题得解． 【详解】将扇形的弧类比为三角形的底边，则高类比为扇形的半径r ，所以S 扇＝12lr ．故选C ． 【点睛】本题主要考查了类比推理知识，对比图形的特征即可解答，属于基础题． 11．C 【分析】根据逆时针旋转确定正确选项. 【详解】由①、②、③可知，图形是逆时针方向旋转，所以第④张图形应C. 故选：C 【点睛】本小题主要考查合情推理，属于基础题. 12．A 【分析】根据对数函数的单调性判断即可. 【详解】当01a <<时，函数log a y x =为减函数，所以，在这个推理中，大前提错误.故选：A.本题考查演绎推理，属于基础题. 13．任意x ∈R ，cos 1x < 【分析】由特称命题的否定可得解. 【详解】反证法即为先假设命题的否定成立，及应先假设：任意x ∈R ，cos 1x <. 故答案为：任意x ∈R ，cos 1x <. 14．116【分析】根据题中条件，归纳得到()()222221111111...21341n n n +++++⨯-+-+<，进而可得出结果. 【详解】 因为21321112211⨯++<=+，22115221123321⨯+++<=+，22211172311234431⨯++++<=+，… 因此()()222221111111...21341n n n +++++⨯-+-+<． 所以第五个不等式应为222221111112345625111516+++++⨯+=+<. 故答案为：11615．丙 【分析】若甲说得不对，则乙、丙说得对，若乙或丙说得不对，则得出与”甲、乙、丙三人中恰有1人说得不对“矛盾，从而得到去过北京的是丙． 【详解】若甲说得不对，则乙、丙说得对，即乙一定去过上海，丙一定去过北京，甲只去过上海， 若乙或丙说得不对，则得出与”甲、乙、丙三人中恰有1人说得不对“矛盾， 故去过北京的是丙． 故答案为：丙． 【点睛】本小题主要考查简单的合情推理，属于基础题. 16．9901 【分析】根据"3235=+，337911=++，3413151719=+++",得出3m “分裂”出的奇数中最小的奇数是1()1m m -+,把100m =代入计算求值即可． 【详解】解: 3235=+，337911=++，3413151719=+++;3211=⨯+,7321,=⨯+ 13431,=⨯+∴3m “分裂”出的奇数中最小的奇数是1()1m m -+, ∴3100 “分裂”出的奇数中最小的奇数是1009919901⨯+＝, 故选答案为: 9901． 【点睛】本题为中考数学题，考查学生找规律求通项的能力，属于基础题. 17．（1）21a =，323a =，412a =，（2）猜想2n a n=【分析】（1）由数列递推式运算即可得解；重点考查了归纳推理能力， （2）由前面有限项归纳通项公式即可得解. 【详解】解：（1）由数列{}n a 第一项12a =，且()11,2,3,41n n na a n n +==+，则21212a =⨯=，322133a =⨯=，4321432a =⨯=，即21a =，323a =，412a =，（2）由222a =，323a =，424a =，猜想这个数列的通项公式为2n a n=.【点睛】本题考查了数列递推式的运算，重点考查了归纳推理能力，属基础题.18．（1）11a =，212a =，314a =，112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，n N +∈；（2）见解析.【分析】 （1）先求出123,,a a a 的值，分析规律，再归纳出通项公式即可；（2）将等比数列的定义作为大前提，然后将归纳得通项公式作为小前提，数列{}n a 是等比数列则为结论.【详解】解：（1）由2n n S a +=，当1n =时，11122S a a +==，解得：11a =，当2n =时，222122S a a a +=+=，解得：212a =， 当3n =时，3332122S a a a a +=++=，解得：314a =， 由此归纳推理得：112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，n N +∈.（2）大前提：在数列{}n a 中，若1n na p a +=，p 是非零常数，则{}n a 是等比数列； 小前提：在数列{}n a 中，112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，112n n a a +=； 结论：数列{}n a 是等比数列.【点睛】 本题考查了归纳推理，重点考查了三段论，属基础题.19．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）()()21212111*n n a a a n n a a a ⎛⎫++⋅⋅⋅+⋅++⋅⋅⋅+≥∈ ⎪⎝⎭N . 【分析】（1）对不等式()11,a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭分别使用基本不等式即可证明出()114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭； （2）对不等式()111,a b c a b c ⎛⎫++++⎪⎝⎭分别使用基本不等式即可证明出 ()1119a b c a b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭； （3）根据（1）（2）不等式的结构特征直接写出一般推广结论.【详解】（1）()114a b a b ⎛⎫++≥= ⎪⎝⎭（当且仅当a b ==1时取等号）； （2）()1119a b c a b c ⎛⎫++⋅++≥= ⎪⎝⎭（当且仅当1a b c ===时取等号）； （3）推广：已知1a ，2a ，…，n a +∈R 则()()21212111*n n a a a n n a a a ⎛⎫++⋅⋅⋅+⋅++⋅⋅⋅+≥∈ ⎪⎝⎭N （当且仅当121n a a a ====时取等号）；【点睛】本题考查了基本不等式的应用与推广，考查了类比推理的能力.20．（1）详见解析；（2）详见解析.【分析】（1）利用综合法，将两式做差，化简整理，即可证明 （2）利用反证法，先假设原命题不成立，再推理证明，得出矛盾，即得原命题成立．【详解】（1）()()552332a b a ba b +-+ ()()532523a a b b a b =-+- ()()322322a a b b b a =-+- ()()2233a b a b =-- ()()()222a b a b a ab b =+-++因为a ，b 都是正数，所以0a b +>，220a ab b ++>又a b ≠，所以()20a b ->，所以()()()2220a b a b a ab b +-++>， 所以()()5523320a b a b a b +-+>，即552332a b a b a b +>+. （2）假设12x y +<和12y x +<都不成立，即12x y +≥和12y x+≥同时成立. 0x >且0y >，12x y ∴+≥，12y x +≥.两式相加得222x y x y ++≥+，即2x y +≤.此与已知条件2x y =>相矛盾，12x y +∴<和12y x+<中至少有一个成立. 【点睛】本题主要考查综合法和反证法证明，其中用反证法证明时，要从否定结论开始，经过正确的推理，得出矛盾，即假设不成立，原命题成立，进而得证．21．（1）(1)4f =，(2)22f =，(3)70f =（2）根据数学归纳法思想，先利用特殊值来得到参数的a,b,c 的值，然后对于解题的结果运用数学归纳法加以证明。
高中数学第二章推理与证明单元综合测试新人教版选修22
【名师一号】 高中数学 第二章 推理与证明单元综合测试 新人教版选修2-2(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合标题问题要求的)1．若实数a ，b 满足b >a >0，且a ＋b ＝1，则下列四个数最大的是( ) A ．a 2＋b 2B ．2ab C.12 D ．a答案 A2．下面用“三段论”形式写出的演练推理：因为指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数，y ＝(12)x 是指数函数，所以y ＝(12)x在(0，＋∞)上是增函数．该结论显然是错误的，其原因是( ) A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误D ．以上都可能解析 大前提是：指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数，这是错误的． 答案 A3．设a ，b ，c 都是非零实数，则关于a ，bc ，ac ，－b 四个数，有以下说法： ①四个数可能都是正数；②四个数可能都是负数；③四个数中既有正数又有负数． 则说法中正确的个数有( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析 可用反证法推出①，②不正确，因此③正确． 答案 B4．下面使用类比推理正确的是( )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“(a ＋b )·c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )·c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )·c ＝ac ＋bc ”类比推出“a ＋bc ＝a c ＋bc(c ≠0)” D ．“(ab )n＝a n b n”类比推出“(a ＋b )n＝a n＋b n” 解析 由类比出的结果应正确知选C. 答案 C5．在证明命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos2θ”的过程：cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)(cos 2θ－sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos2θ中应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．分析法和综合法综合使用D ．间接证法 答案 B6．已知f (x )＝sin(x ＋1)π3－3cos(x ＋1)π3，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2021)＝( )A ．2 3 B. 3 C ．－ 3D ．0解析 ∵f (x )＝2[12sin(x ＋1)π3－32cos(x ＋1)π3]＝2sin π3x ，∴周期T ＝6，且f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝2(32＋32＋0－32－32＋0)＝0，∴f (2021)＝f (6×335＋1)＝f (1)＝2sin π3＝ 3.答案 B7．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，且n >1)，由n ＝k (k >1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数为( )A ．2k－1 B ．2k＋1 C ．2k －1D ．2k解析 当n ＝k ＋1时，左边＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，所以增加的项数为(2k ＋1－1)－2k ＋1＝2k ＋1－2k ＝2k.答案 D8．若数列{a n }是等比数列，则数列{a n ＋a n ＋1}( ) A ．必然是等比数列 B ．必然是等差数列C ．可能是等比数列也可能是等差数列D ．必然不是等比数列解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a n ＋a n ＋1＝a n (1＋q )．∴当q ≠－1时，{a n ＋a n ＋1}必然是等比数列；当q ＝－1时，a n ＋a n ＋1＝0，此时为等差数列． 答案 C9．如果a ，b 为非零实数，则不等式1a >1b成立的充要条件是( )A ．a >b 且ab <0B ．a <b 且ab >0C ．a >b ，ab <0或ab >0D ．a 2b －ab 2<0解析 ∵ab ≠0，∴1a >1b ⇔1a －1b >0⇔b －a ab>0⇔(b －a )ab >0⇔ab 2－a 2b >0⇔a 2b －ab 2<0.答案 D10．由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，按照“三段论”推理出一个结论，则这个结论是( )A ．平行四边形的对角线相等B ．正方形的对角线相等C ．正方形是平行四边形D ．以上都不是解析 大前提②，小前提③，结论①. 答案 B 11．观察下表：1 2 3 4……第一行 2 3 4 5……第二行 3 4 5 6……第三行 4 5 6 7……第四行 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮第一列 第二列 第三列 第四列按照数表所反映的规律，第n 行第n 列交叉点上的数应为( ) A ．2n －1 B ．2n ＋1 C ．n 2－1D ．n 2解析 观察数表可知，第n 行第n 列交叉点上的数依次为1,3,5,7，…，2n －1. 答案 A12．对于任意的两个实数对(a ，b )和(c ，d )，规定：(a ，b )＝(c ，d )当且仅当a ＝c ，b ＝d ；运算“⊗”为：(a ，b )⊗(c ，d )＝(ac －bd ，bc ＋ad )；运算“⊕”为：(a ，b )⊕(c ，d )＝(a ＋c ，b ＋d )．设p ，q ∈R ，若(1,2)⊗(p ，q )＝(5,0)，则(1,2)⊕(p ，q )等于( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－4)解析 由(1,2)⊗(p ，q )＝(5,0)，得⎩⎪⎨⎪⎧p －2q ＝5，2p ＋q ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝－2.所以(1,2)⊕(p ，q )＝(1,2)⊕(1，－2)＝(2,0)． 答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知a >0，b >0，m ＝lga ＋b2，n ＝lga ＋b2，则m ，n 的大小关系是________．解析 ab >0⇒ab >0⇒a ＋b ＋2ab >a ＋b ⇒(a ＋b )2>(a ＋b )2⇒a ＋b >a ＋b ⇒a ＋b2>a ＋b2⇒lga ＋b2>lga ＋b2.答案 m >n14．在正三角形中，设它的内切圆的半径为r ，容易求得正三角形的周长C (r )＝63r ，面积S (r )＝33r 2，发现S ′(r )＝C (r )．这是平面几何中的一个重要发现．请用类比推理的方式猜测对空间正四面体存在的类似结论为________．解析 设正四面体的棱长为a ，内切球的半径为r ，利用等积变形易求得正四面体的高h ＝4r .由棱长a ，高h 和底面三角形外接圆的半径构成直角三角形，得a 2＝(4r )2＋⎝⎛⎭⎪⎫33a 2，解得a ＝26r .于是正四面体的概况积S (r )＝4×12×(26r )2×sin60°＝243r 2，体积V (r )＝13×12×(26r )2×sin 60°×4r ＝83r 3，所以V ′(r )＝243r 2＝S (r )． 答案 V ′(r )＝S (r ) 15．观察下列等式： 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 …照此规律，第n 个等式为________________．解析 分n 为奇数、偶数两种情况．第n 个等式的左边为12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2.当n 为偶数时，分组求和(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－[3＋7＋…＋(2n －1)]＝－n n ＋12.当n 为奇数时，(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＋n 2＝－n n －12＋n 2＝n n ＋12.综上，第n 个等式：12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝－1n ＋12n (n ＋1)．答案 12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝－1n ＋12n (n ＋1)16．对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述命题，可以获得命题：“_________________________________________”．答案 如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，那么这两个二面角相等或互补 三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知0<a <1，求证：1a ＋41－a ≥9.证法1 (分析法) ∵0<a <1，∴1－a >0， ∴要证1a ＋41－a ≥9，只需证1－a ＋4a ≥9a (1－a )， 即证1＋3a ≥9a (1－a )， 即证9a 2－6a ＋1≥0， 即证(3a －1)2≥0， 上式显然成立． ∴原命题成立． 证法2 (综合法) ∵(3a －1)2≥0， 即9a 2－6a ＋1≥0， ∴1＋3a ≥9a (1－a )． ∵0<a <1， ∴1＋3aa 1－a ≥9，即1－a ＋4aa 1－a≥9，即1a ＋41－a≥9.证法3 (反证法) 假设1a ＋41－a <9，即1a ＋41－a －9<0， 即1－a ＋4a －9a 1－aa 1－a<0，即9a 2－6a ＋1a 1－a <0， 即3a －12a 1－a<0，而0<a <1，∴a (1－a )>0，∴(3a －1)2<0，与(3a －1)2≥0相矛盾， ∴原命题成立．18．(12分)下列推理是否正确？若不正确，指犯错误之处． (1) 求证：四边形的内角和等于360°.证明：设四边形ABCD 是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°.(2) 已知2和3都是无理数，试证：2＋3也是无理数．证明：依题设2和3都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以2＋3必是无理数．(3) 已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)<0，用反证法证明：关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实根．证明：假设方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0有实根．由已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)<0，解得－2<m <－12，而关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0的判别式Δ＝4(m 2－4)，∵－2<m <－12，∴14<m 2<4，∴Δ<0，即关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实根． 解 (1) 犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形． (2) 使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和纷歧定是无理数，因此原题的真实性仍无法判定．(3)利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出矛盾，本题在证明过程中并没有效到假设的结论，也没有推出矛盾，所以不是反证法．19．(12分)已知数列{a n }和{b n }是公比不相等的两个等比数列，c n ＝a n ＋b n . 求证：数列{c n }不是等比数列．证明 假设{c n }是等比数列，则c 1，c 2，c 3成等比数列．设{a n }，{b n }的公比分别为p和q ，且p ≠q ，则a 2＝a 1p ，a 3＝a 1p 2，b 2＝b 1q ，b 3＝b 1q 2.∵c 1，c 2，c 3成等比数列，∴c 22＝c 1·c 3， 即(a 2＋b 2)2＝(a 1＋b 1)(a 3＋b 3)． ∴(a 1p ＋b 1q )2＝(a 1＋b 1)(a 1p 2＋b 1q 2)． ∴2a 1b 1pq ＝a 1b 1p 2＋a 1b 1q 2. ∴2pq ＝p 2＋q 2，∴(p －q )2＝0. ∴p ＝q 与已知p ≠q 矛盾． ∴数列{c n }不是等比数列． 20．(12分)证明：若a >0，则 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.证明 ∵a >0，要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只需证 a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a ＋2，只需证(a 2＋1a 2＋2)2≥(a ＋1a＋2)2， 即证a 2＋1a2＋4＋4a 2＋1a 2≥a 2＋1a 2＋4＋22(a ＋1a)，即证a 2＋1a 2≥22(a ＋1a)，即证a 2＋1a 2≥12(a 2＋1a 2＋2)，即证a 2＋1a2≥2，即证(a －1a)2≥0，该不等式显然成立． ∴a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.21．(12分)如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB ＝2DC ＝2，∠ACB ＝120°，P ，Q 分别为AE ，AB 的中点．(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．解(1)证明：∵P，Q分别为AE，AB的中点，∴PQ∥EB，又DC∥EB.∴PQ∥DC，而PQ⊄平面ACD，DC⊂平面ACD，∴PQ∥平面ACD.(2)如图，连接CQ，DP，∵Q为AB的中点，且AC＝BC，∴CQ⊥AB.∵DC⊥平面ABC，EB∥DC，∴EB⊥平面ABC. ∴CQ⊥EB，故CQ⊥平面ABE.由(1)知，PQ∥DC，又PQ＝12EB＝DC，∴四边形CQPD为平行四边形．∴DP⊥平面ABE.故∠DAP为AD与平面ABE所成角．在Rt△DAP中，AD＝5，DP＝1，∴sin∠DAP＝55.因此AD 与平面ABE 所成角的正弦值为55. 22．(12分)已知f (x )＝bx ＋1ax ＋12(x ≠－1a，a >0)，且f (1)＝log 162，f (－2)＝1.(1)求函数f (x )的表达式；(2)已知数列{x n }的项满足x n ＝(1－f (1))(1－f (2))…(1－f (n ))，试求x 1，x 2，x 3，x 4； (3)猜想{x n }的通项公式，并用数学归纳法证明．解 (1) 把f (1)＝log 162＝14，f (－2)＝1，代入函数表达式得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＋12＝14，－2b ＋11－2a2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧4b ＋4＝a 2＋2a ＋1，－2b ＋1＝4a 2－4a ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，(舍去a ＝－13<0)，∴f (x )＝1x ＋12(x ≠－1)．(2) x 1＝1－f (1)＝1－14＝34，x 2＝(1－f (1))(1－f (2))＝34×(1－19)＝23， x 3＝23(1－f (3))＝23×(1－116)＝58， x 4＝58×(1－125)＝35.(3) 由(2)知，x 1＝34，x 2＝23＝46，x 3＝58，x 4＝35＝610，…，由此可以猜想x n ＝n ＋22n ＋2.证明：①当n ＝1时，∵x 1＝34，而1＋221＋1＝34，∴猜想成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，x n ＝n ＋22n ＋1成立， 即x k ＝k ＋22k ＋1，则n ＝k ＋1时， x k ＋1＝(1－f (1))(1－f (2))…(1－f (k ))·(1－f (k ＋1)) ＝x k ·(1－f (k ＋1))＝k＋22k＋1·[1－1k＋1＋12]＝k＋22k＋1·k＋1k＋3k＋22＝12·k＋3k＋2＝k＋1＋22[k＋1＋1].∴当n＝k＋1时，猜想也成立，按照①②可知，对一切n∈N*，猜想x n＝n＋22n＋1都成立．。
人教A版选修2-2第二章 推理与证明本章练测.docx
第二章 推理与证明本章练测建议用时 实际用时满分 实际得分120分钟150分一、 选择题（本题共8小题，每小题7分，共56分） 1.已知p 是q 的充分不必要条件，则q ⌝是p ⌝的（ ）Ａ. 充分不必要条件 Ｂ. 必要不充分条件Ｃ. 充要条件 Ｄ. 既不充分也不必要条件 2．设a 、b 、c 都是正数，则1a b +,1b c +,1c a+三个数（ ）A.都大于2B.至少有一个大于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于23．在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos cos a bA B=，则△ABC 一定是（ ） Ａ. 等腰三角形 Ｂ. 直角三角形Ｃ.等边三角形 Ｄ. 等腰直角三角形4．给定正整数n(n ≥2)按下图方式构成三角形数表；第一行依次写上数1，2，3，…，n ，在下面一行的每相邻两个数的正中间上方写上这两个数之和，得到上面一行的数（比下一行少一个数），依次类推，最后一行（第n 行）只有一个数.例如n=6时数表如图所示，则当n=2 007时最后一行的数是（ ）A ．251×22 007 B.2 007×22 006 C.251×22 008 D.2 007×22 005 5.如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{a n }(n ∈N *)的前12项（即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项），按如此规律下去,则 a 2 009+a 2 010+a 2 011等于( )A.1 003B.1 005C.1 006D.2 0116.平面内有4个圆和1条抛物线，它们可将平面分成的区域的个数最多是（ ）A.29B.30C.31D.32 7.下面使用类比推理正确的是A ．“若33,a b ⋅=⋅则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅，则a b =B ．“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”C ．“若()a b c ac bc +=+”类推出“(0)a b a b c c c c+=+≠”D ．“()nnnab a b =”类推出“()nnna b a b +=+ 8.已知函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意的1212,()x x D x x ∈≠，都有1212()()()22x x f x f x f ++<，则称()y f x =为D 上的凹函数.由此可得下列函数中的凹函数为（ ）Ａ.2log y x = B.y x =C.2y x =D.3y x =二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 9.对于等差数列{}n a 有如下命题：“若{}n a 是等差数列，01=a ，t s 、是互不相等的正整数，则有011=---s t a t a s ）（）（”。
苏教版数学高二数学苏教版选修2-2单元测试 第2章推理与证明
第2章过关检测(时间90分钟，满分100分)一、填空题(本大题共14小题，每小题4分，满分56分)1．如果f (x ＋y )＝f (x )f (y )，且f (1)＝1，则f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2 010)f (2 009)等于__________．2．若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点M 1、M 2与点N 1、N 2，则三角形面积之比为：S △OM 1N 1S △OM 2N 2＝OM 1OM 2·ON 1ON 2.若从点O 所作的不在同一个平面内的三条射线OP 、OQ和OR 上分别有点P 1、P 2与点Q 1、Q 2和R 1、R 2，则类似的结论为：__________.3．根据图中的5个图形及相应的点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有__________个点．4．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港；②这艘船是准时到达目的港的；③所以这艘船是准时起航的．”中的“小前提”是__________．5．设S (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n 2，则S (n )共有__________项，S (2)＝__________.6．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下： ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． ②假设当n ＝k 时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1， 则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，所以当n ＝k ＋1时等式成立． 由此可知对任何n ∈N *，等式都成立． 上述证明的错误是__________．7．F (n )是一个关于自然数n 的命题，若F (k )(k ∈N *)真，则F (k ＋1)真，现已知F (7)不真，则有①F (8)不真；②F (8)真；③F (6)不真；④F (6)真；⑤F (5)不真；⑥F (5)真．其中真命题是__________．8．从1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，归纳出一般的式子是__________．9．已知a ＞b ＞0，且ab ＝1，若0＜c ＜1，p ＝log c a 2＋b 22，q ＝log c (1a ＋b )2，则p 、q的大小关系是__________．10．在椭圆中，我们有如下结论：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上斜率为1的弦的中点在直线x a 2＋yb 2＝0上，类比上述结论，得到正确的结论为：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上斜率为1的弦的中点在直线__________上．11．在等差数列{a n }中，当a r ＝a s (r ≠s )时，数列{a n }必定是常数列．然而在等比数列{a n }中，对某些正整数r ，s (r ≠s )，当a r ＝a s 时，非常数数列{a n }的一个例子是__________．12．将正奇数排列如下表，其中第i 行第j 个数表示a ij (i ∈N *，j ∈N *)，例如a 32＝9，a ij＝2 009，则i ＋j ＝__________.13．在平面上的n 个圆中，每两个圆都相交，每三个圆不交于一点，则它们把平面分成__________部分．14．{a n }是由非负整数组成的数列，满足a 1＝0，a 2＝3，a n ＋1a n ＝(a n －1＋2)(a n －2＋2)，n ＝3,4,5，…，则a 3＝__________.二、解答题(本大题共4小题，满分44分)15．(10分)如图，已知平面α∩平面β＝直线a ，直线b ⊂α，直线c ⊂β，b ∩a ＝A ，c ∥a .求证：b 与c 是异面直线．16.(10分)已知数列{a n}满足a1＝1，且4a n＋1－a n a n＋1＋2a n＝9(n∈N*)．(1)求a2，a3，a4；(2)由(1)猜想{a n}的通项公式a n，并用数学归纳法证明你的猜想．17．(12分)下列命题是真命题还是假命题，用分析法证明你的结论．命题：若a＞b＞c且a＋b＋c＝0，则b2－aca＜ 3.18．(12分)已知f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9，是否存在自然数m ，使对任意n ∈N *，都有m 整除f (n )？若存在，求出最大值的m 值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．参考答案1．2 009 解析：令x ＝n (n ∈N *)，y ＝1得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)＝f (n )，所以f (n ＋1)f (n )＝1，所以f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2 010)f (2 009)＝1＋1＋…＋1＝2 009. 2.VO —P 1Q 1R 1VO —P 2Q 2R 2＝OP 1OP 2·OQ 1OQ 2·OR 1OR 23．n 2－n ＋1 解析：如设第n 个图中的点数为a n ，则有a 1＝1，a 2＝3＝22－1，a 3＝7＝32－2，a 4＝13＝42－3，a 5＝21＝52－4.故a n ＝n 2－(n －1)＝n 2－n ＋1.4．② 解析：①的意思是：如果船不准时起航，那么它就不能准时到达目的港，它的逆否命题是：如果船准时到达目的港，那么它是准时起航．由此可知，①是大前提，②是小前题．5．n 2－n ＋1 1312解析：从n 到n 2共有n 2－n ＋1个自然数，即S (n )共有n 2－n ＋1项．S (2)＝12＋13＋14＝1312. 6．在证明n ＝k ＋1时，没有用假设n ＝k 时的结论7．③⑤ 解析：“F (k )真⇒F (k ＋1)真”等价于“F (k ＋1)假⇒F (k )假”．8．1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2(n ∈N *) 解析：1－4＝－(1＋2)＝(－1)2－1·2(2＋1)2，1－4＋9＝1＋2＋3＝(－1)3－13(3＋1)2，1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)＝(－1)4－14(4＋1)2，由此可归纳出结论． 9．p ＞q 解析：∵a 2＋b 22≥ab ＝1，∴p ＝log c a 2＋b 22＜0.又q ＝log c (1a ＋b )2＝log c 1a ＋b ＋2ab＞log c 14ab ＝log c 14＞0，∴q ＞p . 10.x a 2－yb2＝0 11．1，－1,1，－1，…(不唯一)12．60 解析：2 009是正奇数1,3,5，…中的第1 005个，则1 005＝1＋2＋3＋…＋(i －1)＋j ＝(i －1)i2＋j .估算：当i ＝45时，(i －1)i2＝990，j ＝15，所以i ＋j ＝60.13．n 2－n ＋2 解析：n ＝1时，a 1＝2； n ＝2时，a 2＝4＝a 1＋2＝a 1＋2×1； n ＝3时，a 3＝8＝a 2＋4＝a 2＋2×2； n ＝4时，a 4＝14＝a 3＋6＝a 3＋2×3； …a n ＋1＝a n ＋2n .由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2a n ＋1＝a n＋2n⇒a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2(n －1)＋2(n －2)＋…＋2×1＋2＝n 2－n ＋2.14．2 解析：由已知a 4a 3＝(a 2＋2)(a 1＋2)＝5×2＝10×1， ∴a 3可能取值1,2,5,10. 若a 3＝1，a 4＝10，从而a 5＝(a 3＋2)(a 2＋2)a 4＝1510＝32，显然a 5不是非负整数，与题设矛盾． 若a 3＝10，则a 4＝1，从而a 5＝60. 但再计算a 6＝35，也与题设矛盾．∴a 3＝2，a 4＝5(或a 3＝5，a 4＝2⇒a 5∉N *，舍去)． 15．证明：假设b 、c 不是异面直线，即b 与c 共面， 设b 与c 确定的平面为γ，则γ∩α＝b ，γ∩β＝c ， ∵a ∥c ，∴α∥γ.又a ⊂α，且α∩γ＝b ， ∴a ∥b ，这与a ∩b ＝A 矛盾．因此b 与c 不可能共面，故b 与c 是异面直线． 16．解：(1)由4a n ＋1－a n a n ＋1＋2a n ＝9得 a n ＋1＝9－2a n 4－a n ＝2－1a n －4，求得a 2＝73，a 3＝135，a 4＝197.(2)猜想a n ＝6n －52n －1.证明：①当n ＝1时，猜想成立．②设当n ＝k 时(k ∈N ＋)时，猜想成立，即a k ＝6k －52k －1，则当n ＝k ＋1时，有a k ＋1＝2－1a k －4＝2－16k －52k －1－4＝6k ＋12k ＋1＝6(k ＋1)－52(k ＋1)－1，所以当n ＝k ＋1时猜想也成立．③综合①②，猜想对任何n ∈N ＋都成立． 17．解：此命题是真命题．∵a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c ，∴a ＞0，c ＜0. 要证b 2－ac a ＜3成立，只要证b 2－ac ＜3a ，即证b 2－ac ＜3a 2，也就是证(a ＋c )2－ac ＜3a 2，即证(a－c)(2a＋c)＞0，∵a－c＞0,2a＋c＝(a＋c)＋a＝a－b＞0，∴(a－c)(2a＋c)＞0成立．故原不等式成立．18．解：由f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝360，f(4)＝1 224，猜想f(n)被36整除．证明：①当n＝1时，猜想显然成立．②设n＝k时，f(k)能被36整除．则n＝k＋1时，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，根据假设3[2(k＋7)·3k＋9]被36整除，而3k－1－1是偶数，∴18(3k－1－1)能被36整除，从而f(k＋1)能被36整除．综上所述，n∈N*时，f(n)能被36整除，由于f(1)＝36，故36是整除f(n)的自然数中的最大数．。
高中数学 第二章 推理与证明练习 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题
第二章 推理与证明（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.证明：n ＋22＜1＋12＋13＋14＋…＋12n＜n ＋1（n ＞1），当n ＝2时，中间式子等于（ ） A.1 B.1＋12C.1＋12＋13D.1＋12＋13＋14解析：选D.n ＝2时中间式子的最后一项为14，所以中间式子为1＋12＋13＋14.2.用反证法证明命题：“若函数f （x ）＝x 2＋px ＋q ，那么|f （1）|，|f （2）|，|f （3）|中至少有一个不小于12”时，反设正确的是（ ）A.假设|f （1）|，|f （2）|，|f （3）|都不小于12B.假设|f （1）|，|f （2）|，|f （3）|都小于12C.假设|f （1）|，|f （2）|，|f （3）|至多有两个小于12D.假设|f （1）|，|f （2）|，|f （3）|至多有一个小于12解析：选B.“|f （1）|，|f （2）|，|f （3）|中至少有一个不小于12”的反设为“|f （1）|，|f （2）|，|f （3）|都小于12”.3.设x ＞0，则不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，推广到x ＋axn ≥n ＋1，则a＝（ ）A.2nB.2nC.n 2D.n n解析：选D.结合已知的三个不等式可以发现第二个加数的分子是分母x 的指数的指数次方，可得a ＝n n.4.下面是一段“三段论”推理过程：若函数f （x ）在（a ，b ）内可导且单调递增，则在（a ，b ）内，f ′（x ）>0恒成立.因为f （x ）＝x 3在（－1，1）内可导且单调递增，所以在（－1，1）内，f ′（x ）＝3x 2>0恒成立.以上推理中（ ）A.大前提错误B.小前提错误C.结论正确D.推理形式错误解析：选A.f （x ）在（a ，b ）内可导且单调递增，则在（a ，b ）内，f ′（x ）≥0恒成立，故大前提错误，故选A.5.用数学归纳法证明：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n ＝2nn ＋1时，由n ＝k 到n ＝k ＋1左边需要添加的项是（ ）A.2k （k ＋2）B.1k （k ＋1）C.1（k ＋1）（k ＋2）D.2（k ＋1）（k ＋2）解析：选D.由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边需要添加的项是11＋2＋3＋…＋（k ＋1）＝2（k ＋1）（k ＋2）.故选D.6.分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证 b 2－ac <3a ”索的因应是（ ）A.a －b >0B.a －c <0C.（a －b ）（a －c ）>0D.（a －b ）（a －c ）<0解析：选C.要证明 b 2－ac <3a ，只需证b 2－ac <3a 2，只需证（a ＋c ）2－ac <3a 2，只需证－2a 2＋ac ＋c 2<0，即证2a 2－ac －c 2>0，即证（a －c ）（2a ＋c ）>0，即证（a －c ）（a －b ）>0.7.若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则△ABC 是（ ）A.等边三角形B.有一个内角是30°的直角三角形C.等腰直角三角形D.有一个内角是30°的等腰三角形解析：选C.因为sin A a ＝cos B b ＝cos C c，由正弦定理得，sin A a ＝sin B b ＝sin Cc，所以sin B b ＝cos B b ＝cos C c ＝sin C c.所以sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ， 所以∠B ＝∠C ＝45°，所以△ABC 是等腰直角三角形.8.已知f （x ）＝x 3＋x ，a ，b ，c ∈R ，且a ＋b ＞0，a ＋c ＞0，b ＋c ＞0，则f （a ）＋f （b ）＋f （c ）的值一定（ ）A.大于0B.等于0C.小于0D.正负都可能解析：选A.f （x ）为奇函数，也是增函数，因此由a ＋b ＞0可得a ＞－b ，所以f （a ）＞f （－b ），即f （a ）＞－f （b ），于是f （a ）＋f （b ）＞0，同理，f （a ）＋f （c ）＞0，f （b ）＋f （c ）＞0，所以f （a ）＋f （b ）＋f （c ）＞0.9.我们把平面中的结论“到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆”拓展至空间中为“到定点的距离等于定长的点的轨迹是球”，类似可得：已知A （－1，0，0），B （1，0，0），则点集{P （x ，y ，z ）||PA |－|PB |＝1}在空间中的轨迹描述正确的是（ ）A.以A ，B 为焦点的双曲线绕轴旋转而成的旋转曲面B.以A ，B 为焦点的椭球体C.以A ，B 为焦点的双曲线单支绕轴旋转而成的旋转曲面D.以上都不对解析：选C.在平面中，点集{P （x ，y ）||PA |－|PB |＝1}是以A ，B 为焦点的双曲线的一支，点集{P （x ，y ，z ）||PA |－|PB |＝1}在空间中的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线单支绕轴旋转而成的旋转曲面，故选C.10.我国古代数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”.“势”是高，“幂”是截面积.意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，区域①是一个形状不规则的封闭图形，区域②是一个上底长为1、下底长为2的梯形，且当实数t 取[0，3]上的任意值时，直线y ＝t 被区域①和区域②所截得的两线段长总相等，则区域①的面积为（ ）A.4B.92 C.5D.112解析：选B.根据题意，由祖暅原理分析可得①的面积等于②的面积，又②是一个上底长为1、下底长为2的梯形，所以①的面积为（1＋2）×32＝92.11.已知“整数对”按如下规律排成一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），…，则第60个“整数对”是（ ）A.（7，5）B.（5，7）C.（2，10）D.（10，2）解析：选B.依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n ＋1，且第n 组共有n 个“整数对”，这样的前n 组一共有n （n ＋1）2个“整数对”，注意到10×（10＋1）2<60<11×（11＋1）2，因此第60个“整数对”处于第11组（每个“整数对”的和为12的组）的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：（1，11），（2，10），（3，9），（4，8），（5，7），…，因此第60个“整数对”是（5，7）.12.如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则（ ） A.△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B.△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C.△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D.△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形解析：选D.因为三角形内角的正弦值是正值，所以△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0.因此△A 1B 1C 1是锐角三角形.假设△A 2B 2C 2也是锐角三角形，并设cos A 1＝sin A 2，则cos A 1＝cos （90°－∠A 2）， 所以∠A 1＝90°－∠A 2.同理设cos B 1＝sin B 2，cos C 1＝sin C 2， 则有∠B 1＝90°－∠B 2，∠C 1＝90°－∠C 2. 又∠A 1＋∠B 1＋∠C 1＝180°，所以（90°－∠A 2）＋（90°－∠B 2）＋（90°－∠C 2）＝180°， 即∠A 2＋∠B 2＋∠C 2＝90°. 这与三角形内角和等于180°矛盾，所以原假设不成立.若△A 2B 2C 2是直角三角形，不妨设A 2＝π2，则sin A 2＝1＝cos A 1，而A 1在（0，π）内无解.故选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.补充下列证明过程： 要证a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac （a ，b ，c ∈R ），即证，即证Ｗ. 因为a ，b ，c 为实数，上式显然成立，故命题结论成立. 答案：2（a 2＋b 2＋c 2）≥2ab ＋2bc ＋2ac （a －b ）2＋（b －c ）2＋（a －c ）2≥014.已知a ＝5－12，函数f （x ）＝a x，若实数m ，n 满足f （m ）>f （n ），则m ，n 的大小关系为Ｗ.解析：因为当0<a <1时，函数f （x ）＝a x为减函数，a ＝5－12∈（0，1），所以函数f （x ）＝（5－12）x为减函数.故由f （m ）>f （n ）得m <n .答案：m <n15.有三X 卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一X 卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是Ｗ.解析：为方便说明，不妨将分别写有1和2，1和3，2和3的卡片记为A ，B ，C .从丙出发，由于丙的卡片上的数字之和不是5，则丙只可能是卡片A 或B ，无论是哪一X ，均含有数字1，再由乙与丙的卡片上相同的数字不是1可知，乙所拿的卡片必然是C ，最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是2，知甲所拿的卡片为B ，此时丙所拿的卡片为A .答案：1和316.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n （n ≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第7行第4个数（从左往右数）为Ｗ. 11 1212 131613 14112112141512013012015…解析：由“第n 行有n 个数且两端的数均为1n ”可知，第7行第1个数为17，由“每个数是它下一行左右相邻两数的和”可知，第7行第2个数为16－17＝142.同理易知，第7行第3个数为130－142＝1105，第7行第4个数为160－1105＝1140.答案：1140三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）定义在[－1，1]上的奇函数f （x ），当a ，b ∈[－1，1]，a ＋b ≠0时，有f （a ）＋f （b ）a ＋b＞0.证明：函数f （x ）的图象上不存在两个不同的点A ，B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直.证明：假设函数f （x ）的图象上存在两个不同的点A ，B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直，则A ，B 两点的纵坐标相同.设它们的横坐标分别为x 1和x 2，x 1＜x 2，且x 1，x 2∈[－1，1]，则f （x 1）＝f （x 2）. 又f （x ）是奇函数，所以f （x 1）－f （x 2）＝f （x 1）＋f （－x 2）＝f （x 1）＋f （－x 2）x 1＋（－x 2）[x 1＋（－x 2）].又由题意，得f （x 1）＋f （－x 2）x 1＋（－x 2）＞0，且x 1＋（－x 2）＜0，所以f （x 1）＋f （－x 2）＜0，即f （x 1）－f （x 2）＜0， 这与f （x 1）＝f （x 2）矛盾，故假设不成立，即函数f （x ）的图象上不存在两个不同的点A ，B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直. 18.（本小题满分12分）已知：A ，B 都是锐角，且A ＋B ≠90°，（1＋tan A ）（1＋tan B ）＝2.求证：A ＋B ＝45°.证明：因为（1＋tan A ）（1＋tan B ）＝2， 展开化简为tan A ＋tan B ＝1－tan A tan B . 因为A ＋B ≠90°，tan （A ＋B ）＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝1.又因为A ，B 都是锐角，所以0°＜A ＋B ＜180°.所以A ＋B ＝45°.19.（本小题满分12分）已知a ＞0，b ＞0，2c ＞a ＋b ，求证：c －c 2－ab ＜a ＜c ＋c 2－ab . 证明：要证c －c 2－ab ＜a ＜c ＋c 2－ab . 只需证－c 2－ab ＜a －c ＜c 2－ab ， 即证|a －c |＜c 2－ab ，只需证（a －c ）2＜（c 2－ab ）2， 只需证a 2－2ac ＋c 2＜c 2－ab ，即证2ac ＞a 2＋ab ，因为a ＞0，所以只需证2c ＞a ＋b .因为2c ＞a ＋b 已知， 所以原不等式成立.20.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，A 1B 1＝A 1C 1，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点（点D 不同于点C ），且AD ⊥DE ，F为B 1C 1的中点.求证：（1）平面ADE ⊥平面BCC 1B 1； （2）直线A 1F ∥平面ADE .证明：（1）因为ABC A 1B 1C 1是直三棱柱， 所以CC 1⊥平面ABC .因为AD ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥AD .因为AD ⊥DE ，CC 1，DE ⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩DE ＝E ， 所以AD ⊥平面BCC 1B 1. 因为AD ⊂平面ADE ， 所以平面ADE ⊥平面BCC 1B 1.（2）因为A 1B 1＝A 1C 1，F 为B 1C 1的中点， 所以A 1F ⊥B 1C 1，因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1，且A 1F ⊂平面A 1B 1C 1， 所以CC 1⊥A 1F .因为CC 1，B 1C 1⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩B 1C 1＝C 1， 所以A 1F ⊥平面BCC 1B 1. 由（1）知AD ⊥平面BCC 1B 1， 所以A 1F ∥AD .因为AD ⊂平面ADE ，A 1F ⊄平面ADE ， 所以A 1F ∥平面ADE .21.（本小题满分12分）设函数f （x ）＝x 3＋11＋x ，x ∈[0，1].证明：（1）f （x ）≥1－x ＋x 2；（2）34<f （x ）≤32.证明：（1）因为1－x ＋x 2－x 3＝1－（－x ）41－（－x ）＝1－x 41＋x，由于x ∈[0，1]，有1－x 41＋x ≤1x ＋1，即1－x ＋x 2－x 3≤1x ＋1，所以f （x ）≥1－x ＋x 2.（2）由0≤x ≤1得x 3≤x ，故f （x ）＝x 3＋1x ＋1≤x ＋1x ＋1＝x ＋1x ＋1－32＋32＝（x －1）（2x ＋1）2（x ＋1）＋32≤32，所以f （x ）≤32.由第一问得f （x ）≥1－x ＋x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，又因为f （12）＝1924>34，所以f （x ）>34.综上，34<f （x ）≤32.22.（本小题满分12分）在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n .（1）求a 1，a 2，a 3；（2）由（1）猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想. 解：（1）易求得a 1＝1，a 2＝2－1，a 3＝3－ 2. （2）猜想a n ＝n －n －1（n ∈N *）证明：①当n ＝1时，a 1＝1－0＝1，命题成立. ②假设n ＝k （k ≥1，k ∈N *）时，a k ＝k －k －1成立， 则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1ak＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ，所以，a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0，所以a k ＋1＝k ＋1－k .即n ＝k ＋1时，命题成立. 由①②知，n ∈N *时，a n ＝n －n －1.。
(人教版)高中数学选修2-2检测第2章 推理与证明2.3 Word版含答案
第二章一、选择题(每小题分，共分)．用数学归纳法证明“＋＋＋…＋＋＝(≠)”．在验证＝时，左端计算所得项为( ) ．＋．＋＋．＋＋＋．＋＋＋＋解析：将＝代入＋得，故选.答案：．用数学归纳法证明(＋)(＋)…(＋)＝···…·(－)(∈)，从＝推导到＝＋时，左边需要增乘的代数式为( )＋．(＋) ．＋．．解析：当＝时，等式左端为(＋)(＋)·…·(＋)，当＝＋时，等式左端为(＋＋)(＋＋)…(＋)(＋＋)(＋)，∴从＝推导到＝＋时，左边需增乘的式子为(＋)．答案：．若命题()(∈*)＝(∈*)时命题成立，则有＝＋时命题成立．现知命题对＝(∈*)时命题成立．则有( )．命题对所有正整数都成立．命题对小于的正整数不成立，对大于或等于的正整数都成立．命题对小于的正整数成立与否不能确定，对大于或等于的正整数都成立．以上说法都不正确解析：由题意知＝时命题成立能推出＝＋时命题成立，由＝＋时命题成立，又推出＝＋时命题也成立…，所以对大于或等于的正整数命题都成立，而对小于的正整数命题是否成立不确定．答案：．棱柱有()个对角面，则(＋)棱柱的对角面个数(＋)为(≥，∈*)( )．()＋－．()＋＋．()＋．()＋－解析：三棱柱有个对角面，四棱柱有个对角面(＋＝＋(－))；五棱柱有个对角面(＋＝＋(－))；六棱柱有个对角面(＋＝＋(－))．猜想：若棱柱有()个对角面，则(＋)棱柱有()＋－个对角面．答案：二、填空题(每小题分，共分)．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数，总有>”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值最小应当是．解析：∵＝>＝<，∴填.答案：．用数学归纳法证明：＋＋＋…＋－＝－(∈*)的过程如下：()当＝时，左边＝，右边＝－＝，等式成立．()假设当＝(∈*)时等式成立，即＋＋＋…＋－＝－，则当＝＋时，＋＋＋…＋－＋＝＝＋－.所以当＝＋时等式也成立．由此可知对于任何∈*，等式都成立．上述证明的错误是．解析：本题在由＝成立，证＝＋成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．答案：未用归纳假设三、解答题(每小题分，共分)．用数学归纳法证明：－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(∈＋)．证明：()当＝时，左边＝－＝＝右边，等式成立．()假设当＝时等式成立，即－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.当＝＋时，－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－＝＋…＋＋＋，即当＝＋时等式也成立．由()和()，知等式对所有∈＋都成立．．用数学归纳法证明＋≤＋＋＋…＋≤＋(∈*)．证明：()当＝时，左式＝＋，右式＝＋，∴≤＋≤，命题成立．()假设当＝(∈*)时命题成立，即＋≤＋＋＋…＋≤＋，则当＝＋时，＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞＋＋·＝＋.又＋＋＋…＋＋＋＋…＋＜＋＋·＝＋(＋)，即＝＋时，命题成立．由()和()可知，命题对所有∈*都成立．☆☆☆(分)是否存在一个等差数列{}，使得对任何自然数，等式＋＋＋…＋＝(＋)(＋)都成立，并证明你的结论．解析：将＝分别代入等式得方程组：。
高中数学选修2-2综合练习 第二章推理与证明
综合练习 第二章推理与证明一、选择题1、等比数列{},243,9,52==a a a n 中则其前4项和为（ ） A 81 B 120 C 168 D 1922、设ac c b b a c b a 1,1,1),0,(,,+++-∞∈则 （ ） A 都不大于-2 B 都不小于-2 C 至少有一个不大于-2 D 至少有一个不小于-2 3、若三角形能剖分为两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状为（ ） A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 不能确定 4、函数]2,0[)44sin(3)(ππ在+=x x f 内（ ） A 只有最大值 B 只有最小值 C 只有最大值或只有最小值 D 既有最大值又有最小值4、函数x x x y sin cos -=在下列哪个区间内是增函数（ ） A )23,2(ππ B )2,(ππ C )25,23(ππ D )3,2(ππ 5、设115114113112log 1log 1log1log 1+++=P ，则（ ）A 10<<PB 21<<PC 32<<PD 43<<P 6、已知"1""1",,22≤+≤∈y x xy R y x 是则的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 7、等比数列{}n a 中，15361=a ，公比21-=q ，用n P 表示数列的前n 项的积，则n P 中最大的是（ ） A 9P B 10P C 11PD 12P 8、已知正六边形ABCDEF ，在下列表达式①++；②+2；③+； ④-2中，与等价的有（ ）A 1个B 2个C 3个D 4个 9、正数b a ,满足a bb alg ln =，则有（ A ）A 11==b a 或B 1,1≠=b aC 1,1≠=a bD 1==b a10、正方体1111D C B A ABCD -中，R Q P ,,分别是11,,C B AD AB 的中点，那么，正方体的过R Q P ,,的 截面图形是（ D ）A 三角形B 四边形C 五边形D 六边形11、如果821,,a a a ⋅⋅⋅为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，则（ B ）A 5481a a a a >B 5481a a a a <C 5481a a a a +>+D 5481a a a a =12、若55ln ,33ln ,22ln ===c b a ，则（ C ） A c b a << B a b c << C b a c << D c a b <<13、不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（ D ） A 3个 B 4个 C 6个 D 7个 14、对任意的锐角βα,，下列不等式关系中正确的是（ D ）A βαβαsin sin )sin(+>+B βαβαcos cos )sin(+>+C βαβαsin sin )cos(+<+D βαβαcos cos )cos(+<+ 15、给出下列三个命题：①若bba ab a +≥+-≥≥11,1则；②若正整数n m 和满足n m ≤， 则2)(nm n m ≤-；③设9:),(22111=+y x O y x P 为圆上任意一点，圆2O 以),(b a Q 为圆心且半径为1。
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高中数学选修2-2第二章单元测试题《推理与证明》(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )A.nn －4＋8－n (8－n )－4＝2 B.n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2 C.nn －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2 D.n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4＝2 2．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( ) ①y ＝cos x (x ∈R )是三角函数； ②三角函数是周期函数； ③y ＝cos x (x ∈R )是周期函数． A ．①②③ B ．②①③ C ．②③①D ．③②①3．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”( )A ．各正三角形内一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点4．(山东高考)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根5．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：( ) ①a·b ＝b·a ；②(a·b )·c ＝a·(b·c )；③a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c ；④由a·b ＝a·c (a ≠0)可得b ＝c . 则正确的结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个6．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)(n ∈N *)时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边需增乘的代数式是( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋17．已知a ∈(0，＋∞)，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋ax n ≥n＋1，则a 的值为( )A ．2nB ．n 2C ．22(n－1)D ．n n8．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋29．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．19910．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n ，则a 2 015等于( )A.12B.－1 C ．2D ．3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．设函数f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．12．已知 2＋23＝2 23， 3＋38＝3 38， 4＋415＝4415，…，若 6＋a b＝6ab(a ，b 均为实数)，请推测a ＝________，b ＝________. 13．若定义在区间D 上的函数f (x )对于D 上的n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足1n[f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f(x n )]≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，称函数f (x )为D 上的凸函数；现已知f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数，则△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．14.观察下列数字： 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 ……则第________行的各数之和等于2 0152.三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明，证明过程或运算步骤) 15．(本小题满分12分)观察下列式子： ①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两个式子的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．16．(本小题满分12分)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且其中任意两边长均不相等，假设1a ，1b ，1c成等差数列．(1)比较b a与 cb的大小，并证明你的结论； (2)求证：角B 不可能是钝角．17．(本小题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)． (1)求证：tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x .(2)设x ∈R ，a 为非零常数，且f (x ＋a )＝1＋f (x )1－f (x )，试问：f (x )是周期函数吗？证明你的结论．18．(本小题满分14分)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n . (1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想到数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．高中数学选修2-2第一章单元测试题《推理与证明》参考答案1．选A 观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8. 2．选B 按三段论的模式，排列顺序正确的是②①③.3．选C 正三角形的边对应正四面体的面，边的中点对应正四面体的面正三角形的中心．4．选A 因为“方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 3＋ax ＋b ＝0的实根的个数大于或等于1”，因此，要做的假设是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根．5．选B 平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由a·b ＝a·c (a ≠0)得a·(b －c )＝0，从而b －c ＝0或a ⊥(b －c )，故④错误．6．选B 增乘的代数式为(k ＋1＋k )(k ＋1＋k ＋1)k ＋1＝2(2k ＋1)．7．选D 将四个答案分别用n ＝1,2,3检验即可，故选D.8．选C 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为a n ＝6n ＋2.9．选C 记a n ＋b n ＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123.10．选B ∵a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n ，∴a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，a 5＝1－1a 4＝－1，a 6＝1－1a 5＝2，∴a n ＋3k ＝a n (n ∈N *，k ∈N *)∴a 2 015＝a 2＋3×671＝a 2＝－1.11．解析：∵f (x )＝12x ＋2，f (1－x )＝121－x ＋2＝2x2＋2·2x ＝12·2x 2＋2x .∴f (x )＋f (1－x )＝1＋12·2x2＋2x ＝22， 发现f (x )＋f (1－x )正好是一个定值， ∴2S ＝22×12，∴S ＝3 2. 答案：3 212．解析：由前面三个等式，推测归纳被平方数的整数与分数的关系，发现规律．由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测 6＋a b中，a ＝6，b ＝62－1＝35，即a ＝6，b ＝35.答案：6 3513．解析：因为f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数(小前提)， 所以13(sin A ＋sin B ＋sin C )≤sin A ＋B ＋C 3(结论)，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332.因此，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是332.答案：33214．解析：观察知，图中的第n 行各数构成一个首项为n ，公差为1，共2n －1项的等差数列，其各项和为S n ＝(2n －1)n ＋(2n －1)(2n －2)2＝(2n －1)n ＋(2n －1)·(n －1)＝(2n －1)2，令(2n －1)2＝2 0152，得2n －1＝2 015，解得n ＝1 008. 答案：1 00815．解：猜想sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α) ＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°＋2α)2＋12[sin(30°＋2α)＋sin(－30°)] ＝1＋cos (60°＋2α)－cos 2α2＋12sin(2α＋30°)－14＝34＋12[cos 60°·cos 2α－sin 60°sin 2α－cos 2α]＋12sin(2α＋30°) ＝34－12·⎝⎛⎭⎫12cos 2α＋32sin 2α＋12sin(2α＋30°) ＝34－12sin(2α＋30°)＋12sin(2α＋30°)＝34， 即sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34.16．解：(1) b a＜ cb.证明如下： 要证b a＜ c b ，只需证b a ＜c b. ∵a ，b ，c ＞0，∴只需证b 2＜ac . ∵1a ，1b ，1c 成等差数列， ∴2b ＝1a ＋1c≥2 1ac，∴b 2≤ac . 又a ，b ，c 均不相等，∴b 2＜ac . 故所得大小关系正确．(2)证明：法一 假设角B 是钝角，则cos B ＜0. 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac ＞ac －b 22ac ＞0，这与co s B ＜0矛盾，故假设不成立． 所以角B 不可能是钝角．法二 假设角B 是钝角，则角B 的对边b 为最大边，即b ＞a ，b ＞c ，所以1a ＞1b ＞0，1c ＞1b ＞0，则1a ＋1c ＞1b ＋1b ＝2b ，这与1a ＋1c ＝2b矛盾，故假设不成立．所以角B 不可能是钝角．17．解：(1)根据两角和的正切公式得tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝tan x ＋tanπ41－tan x tanπ4＝tan x ＋11－tan x ＝1＋tan x 1－tan x， 即tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ，命题得证．(2)猜想f (x )是以4a 为周期的周期函数．因为f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝1＋f (x ＋a )1－f (x ＋a )＝1＋1＋f (x )1－f (x )1－1＋f (x )1－f (x )＝－1f (x )，所以f (x ＋4a )＝f [(x ＋2a )＋2a ]＝－1f (x ＋2a )＝f (x )．所以f (x )是以4a 为周期的周期函数． 18．解：(1)S 1＝a 1＝12⎝⎛⎭⎫a 1＋1a 1，得a 21＝1， 因为a n ＞0，所以a 1＝1.S 2＝a 1＋a 2＝12⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2，得a 22＋2a 2－1＝0， 所以a 2＝2－1.S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝⎛⎭⎫a 3＋1a 3， 得a 23＋22a 3－1＝0，所以a 3＝3－ 2. (2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N *)．证明：①n ＝1时，a 1＝1－0＝1，命题成立． ②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时， a k ＝k －k －1成立，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k＋1＋1a k＋1－12⎝⎛⎭⎫a k＋1a k，即a k＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k＋1＋1a k＋1－12⎝⎛⎭⎪⎫k－k－1＋1k－k－1＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k＋1＋1a k＋1－k，所以a2k＋1＋2ka k＋1－1＝0，所以a k＋1＝k＋1－k，则n＝k＋1时，命题成立．由①②知，n∈N*，a n＝n－n－1.。