高中数学选修2-2第二章《推理与证明》单元测试题

高中数学选修2-2第二章单元测试题

《推理与证明》

(时间90分钟，满分120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

1．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，10

10－4＋

－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )

A.n

n －4＋8－n (8－n )－4＝2 B.n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2 C.n

n －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2 D.n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4

＝2 2．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( ) ①y ＝cos x (x ∈R )是三角函数； ②三角函数是周期函数； ③y ＝cos x (x ∈R )是周期函数． A ．①②③ B ．②①③ C ．②③①

D ．③②①

3．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”( )

A ．各正三角形内一点

B ．各正三角形的某高线上的点

C ．各正三角形的中心

D ．各正三角形外的某点

4．(山东高考)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )

A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根

B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根

C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根

D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根

5．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：( ) ①a·b ＝b·a ；②(a·b )·c ＝a·(b·c )；③a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c ；④由a·b ＝a·c (a ≠0)可得b ＝c . 则正确的结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个

D ．4个

6．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)(n ∈N *)时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边需增乘的代数式是( )

A ．2k ＋1

B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1

D.2k ＋3k ＋1

7．已知a ∈(0，＋∞)，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋a

x n ≥n

＋1，则a 的值为( )

A ．2n

B ．n 2

C ．22(n

－1)

D ．n n

8．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：

按照上面的规律，第n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2

D ．8n ＋2

9．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )

A ．28

B ．76

C ．123

D ．199

10．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1

a n ，则a 2 015等于( )

A.1

2

B.－1 C ．2

D ．3

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

11．设函数f (x )＝1

2x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得S ＝

f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．

12．已知 2＋23＝2 23， 3＋38＝3 38， 4＋415＝4

4

15，…，若 6＋a b

＝6

a

b

(a ，b 均为实数)，请推测a ＝________，b ＝________. 13．若定义在区间D 上的函数f (x )对于D 上的n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足1

n

[f (x 1)＋f (x 2)

＋…＋f(x n )]≤f ⎝⎛

⎭⎫

x 1＋x 2＋…＋x n n ，称函数f (x )为D 上的凸函数；现已知f (x )＝sin x 在(0，π)

上是凸函数，则△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．

14.观察下列数字： 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 ……

则第________行的各数之和等于2 0152.

三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明，证明过程或运算步骤) 15．(本小题满分12分)观察下列式子： ①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝3

4；

②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝3

4

.

由上面两个式子的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．

16．(本小题满分12分)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且其中任意两边长均不相等，假设1a ，1b ，1

c

成等差数列．

(1)比较

b a

与 c

b

的大小，并证明你的结论； (2)求证：角B 不可能是钝角．

17．(本小题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)． (1)求证：tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x .

(2)设x ∈R ，a 为非零常数，且f (x ＋a )＝1＋f (x )

1－f (x )，试问：f (x )是周期函数吗？证明你的结

论．

18．(本小题满分14分)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝1

2⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n . (1)求a 1，a 2，a 3；

(2)由(1)猜想到数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．