弹性力学简明教程第七章

第七章 空间问题的基本理论
平衡条件
§7-1 平微分方程
取出微小的平行六面体， d v d x d y d z， 考虑其平衡条件:
F x 0,
M
x
Fy 0,
M
y
Fz 0;
M
z
(a)
0,
0,
0. (b)
第七章 空间问题的基本理论
第七章 空间问题的基本理论
σ1 σ 3 （5）最大和最小切应力为 2 设 σ1 σ 2 σ3 ， 作用于通过中间 主应力、并且“平分最大和最小正应 力的夹角”的平面上。
第七章 空间问题的基本理论
思考题
1.试考虑：对于平面问题若 σ1 σ 2 σ , 则此点所有的正应力均为 σ ,切应力均 为0，即存在无数多的主应力。 2. 试考虑：对于空间问题若σ1 σ 2 σ 3 σ , 则此点所有的正应力均为 σ ,切应力均 为0，即存在无数多的主应力。
由四面体的平衡条件 Fx 0( x, y, z )，得 出坐标向的应力分量,
px lσ x m yx n zx .
( x, y, z )
(a)
第七章 空间问题的基本理论
第七章 空间问题的基本理论
n n
2. 求 p (σ n , n ) 将 p ( px , p y , pz ) 向法向 n投影，即得
平衡微分方程
由x 轴向投影的平衡微分方程 得
F
x
0,
σ x yx zx fx 0 . x y z
( x, y, z )
(c )
因 x , y , z轴互相垂直，均为定向，量纲均
为L，所以x , y , z 坐标具有对等性，其方
程也必然具有对等性。所以式(a)的其余两 式可通过式(c)的坐标轮换得到。
第七章 空间问题的基本理论
几何方程
§7-4 几何方程及物理方程
空间问题的几何方程，可以从平面问 题推广得出：
u x , x
w v ( x, y, z; u, v, w) (a) yz . y z
第七章 空间问题的基本理论
几何方程
从几何方程同样可得出形变与位 移之间的关系：
第七章 空间问题的基本理论
平衡微分Βιβλιοθήκη Baidu程
由三个力矩方程得到三个切应力互等定理，
M
x
0 ， yz
zy 。 (x, y , z) (d)
空间问题的平衡微分方程精确到三阶
微量 (d xd yd z )。
第七章 空间问题的基本理论
思考题
在图中，若 点o的x向正应 力分量为 σ x ， 试表示点A , B 的正应力分量。
第七章 空间问题的基本理论
应力不变量
5.应力不变量
若从式(c) 求出三个主应力 σ1 ,σ 2 ,σ 3 ，则 式(c)也可以用根式方程表示为，
(σ σ1 )(σ σ 2 )(σ 3 σ ) 0 .
(f)
因式(c) 和( f )是等价的方程，故 σ 的 各幂次系数应相等，从而得出
第七章 空间问题的基本理论
(σ xσ y σ z σ σ σ 2 yz zx xy ) 0.
2 x yz 2 y zx 2 z xy
(c)
第七章 空间问题的基本理论
应力主向
3.应力主向 设主应力 σ1 的主向为l , m , n。代入式 1 1 1 (a)中的前两式，整理后得
m1 n1 yx zx (σ x σ1 ) 0, l1 l1 m1 n1 ( σ y σ1 ) zy xy 0。 l1 l1
dx x
z
B dz
dy o A
y
第七章 空间问题的基本理论
斜面应力
§7-2 物体内任一点的应力
在空间问题中，同样需要解决：由直 角坐标的应力分量 σ x … yz …，来求出斜 面(法线 n ）上的应力。
第七章 空间问题的基本理论
斜面应力
斜面全应力p可表示为两种分量形式： p沿坐标向分量:
第七章 空间问题的基本理论
第一节
第二节 第三节 第四节 第五节
平衡微分方程
物体内任一点的应力状态 主应力 最大与最小的应力
几何方程及物理方程 轴对称问题的基本方程 教学参考资料
例题 习题的提示和答案
第七章 空间问题的基本理论
第七章 空间问题的基本理论
在空间问题中，应力、形变和位移等基 本知函数共有15个，且均为x,y,z的函数。 空间问题的基本方程，边界条件，以 及按位移求解和按应力求解的方法，都是 与平面问题相似的。因此，许多问题可以 从平面问题推广得到。
第七章 空间问题的基本理论
斜面应力
§7-3 主应力 最大与最小的应力
1.假设n 面(l , m , n)为主面，则此斜面上 斜面上沿坐标向的应力分量为 代入 p x , p y , p z , 得到 lσ x m yx n zx lσ , mσ y n zy l xy mσ , nσ z l xz m yz nσ。
x y z . (d )
其中由于小变形假定，略去形变的二、三 次幂。
第七章 空间问题的基本理论
物理方程
空间问题的物理方程
可表示为两种形式：
⑴ 应变用应力表示，用于按位移求解方法：
x 1 (σ x σ y σ z ),
E
yz
2(1 ) yz。 E
(g)
第七章 空间问题的基本理论
式(g)中的各式，左边是不随坐标选择 而变的； 而右边各项虽与坐标的选择有 关，但其和也应与坐标选择无关。 ∴分别称 Θ ,Θ ,Θ 为第一、二、 1 2 3
三应力不变量。这些不变量常用于塑性力
学之中。
第七章 空间问题的基本理论
一点应力状态
6.关于一点应力状态的结论：
n 0 , p σ n σ.
px l , p y m , p z n .
(a)
第七章 空间问题的基本理论
考虑方向余弦关系式,有
l m n 1.
2 2 2
(b )
式(a) , (b)是求主应力及其方向余弦的方程。
第七章 空间问题的基本理论
求主应力
2. 求主应力 σ
( x ,y ,z )
(e)
第七章 空间问题的基本理论
⑵ 应力用应变表示，用于按应力求解方法： E x ( x ), 1 1 2 E (x ,y , z) ( f ) yz yz . (1 )
由物理方程可以导出 1 2 （g） Θ, E Θ是第一应力不变量，又称为体积应力。
p ( px , p y , pz )
p沿法向和切向分量:
p (σ n , n )
第七章 空间问题的基本理论
px p y pz
1. 求 p ( p x , p y , p z )
取出如图的包含斜面的微分四面体， 斜面面积为ds, 则x面，y面和z面的面积分别 为lds,mds,nds。
σ n lp x mpy npz
l σ x m σ y n σ z 2mn yz 2nl zx 2lm xy . (b)
2 2 2
p p p p σ ,
2 2 x 2 y 2 z 2 n 2 n
p p p σ
2 n 2 x 2 y 2 z
(u) s u 。
(u, v, w)
(c)
第七章 空间问题的基本理论
体积应变
体积应变定义为 dv dv dv
(d x x d x)(d y y d y )(d z z d z ) d xd yd z d xd y d z
(1 x )(1 y )(1 z ) 1
⑴ 若位移确定，则形变完全确定。
从数学上看，由位移函数求导数是 完全确定的，故形变完全确定。
第七章 空间问题的基本理论
几何方程
⑵ 若形变确定，则位移不完全确定。
∵由形变求位移，要通过积分，会出现待 定的函数。若 x yz 0 ( x, y, z ) ，还存在 对应的位移分量为
u u0 y z z y.
( x, y, z; u, v, w)
(b )
u0 , v0 , w0 —沿x , y , z 向的刚体平移； x , y , z —绕x , y , z轴的刚体转动角度。
第七章 空间问题的基本理论
位移边界条件
若在 su 边界上给定了约束位移分量
u , v , w ，则空间问题的位移边界条件为
E — 称为体积模量。 1 2
第七章 空间问题的基本理论
结论
结论：
空间问题的应力，形变，位移等十五
个未知函数，它们都是(x ,y ,z)的函数。这
些函数在区域V内必须满足3个平衡微分方
程，6个几何方程及6个物理方程，并在边 界上满足3个应力或位移的边界条件。
第七章 空间问题的基本理论
思考题
(d )
第七章 空间问题的基本理论
应力主向
m1 n1 由上两式解出 , 。然后由式(b)得出 l1 l1
l1
1 m1 2 n1 2 1 ( ) ( ) l1 l1
.
( e)
再求出 m1 及n1 。
第七章 空间问题的基本理论
4. 一点至少存在着三个互相垂直的主应力
σ1 ,σ 2 ,σ 3（证明见书上）。
应力不变量
Θ1 σ1 σ 2 σ 3 σ x σ y σ z , Θ2 σ1σ 2 σ 2 σ 3 σ 3σ1 σ y σ z 2 2 2 σ z σ x σ x σ y τ yz τ zx τ xy , Θ3 σ1σ 2 σ 3 σ x σ y σ z 2 2 2 σ x τ yz σ y τ zx σ z τ xy 2τ yz τ zx τ xy .
2 n
.
(c)
第七章 空间问题的基本理论
n n
从式(b)、(c )可见,当六个坐标面上的 应力分量确定之后，任一斜面上的应力
也就完全确定了。
第七章 空间问题的基本理论
应力边界条件
3. 在 sσ 上的应力边界条件
设在 sσ 边界上，给定了面力分量 f x , f y , f z , 则可将微分四面体移动到边界点上，并使斜 面与边界重合。这时，斜面应力分量 ( p x , p y , pz ) 应代之为面力分量 ( f x , f y , f z ) ，从而得出空 间问题的应力边界条件:
若形变分量为零， x γ
yz
0 ( x,y,z),
试导出对应的位移分量（7-17）。
第七章 空间问题的基本理论
轴对称问题
§7-5 轴对称问题的基本方程
(1)六个坐标面上的应力分量完全确定一点 的应力状态。只要六个坐标面上的应力 分量确定了，则通过此点的任何面上的 应力也完全确定并可求出。 (2)一点存在着三个互相垂直的应力主面及 主应力。
第七章 空间问题的基本理论
(3) 三个主应力包含了此点的最大和最小 正应力。 （4）一点存在三个应力不变量Θ1,Θ2 ,Θ3 .
(lσ x m yx n zx ) s f x . ( x, y, z) (在Sσ 上) (d )
第七章 空间问题的基本理论
注意:
式(b), (c) 用于V内任一点，表示斜面
应力与坐标面应力之间的关系； 式(d)只用于 sσ边界点上，表示边界面 上的面力与坐标面的应力之间的关系，所 以必须将边界面方程代入式(d)。
σ x σ
xy xz
σ y σ
yx yz
σ z σ
zx zy 0,
展开，即得求主应力的方程,
第七章 空间问题的基本理论
求主应力
σ (σ x σ y σ z )σ
3 2
(σ y σ z σ z σ x σ xσ y )σ
2 yz 2 zx 2 xy
将式(a)改写为
(σ x σ )l yx m zx n 0, xy l (σ y σ )m zy n 0, xz l yz m (σ z σ )n 0。
第七章 空间问题的基本理论
求主应力
上式是求解l , m , n的齐次代数方程。 由于l , m , n不全为0，所以其系数行列式必 须为零，得