弹性力学简明教程第七章
弹塑性力学第七章
r
E
1 2
( dur dr
ur ) r
E
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d 2ur dr 2
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ur r2
(1 2 )
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fr
0
d dr
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d dr
(rur )
(1 2 )
E
fr
0
2020/3/3
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§7-2 轴对称问题
( r)= Alnr+Br2lnr+Cr2+D
2020/3/3
33
§7-2 轴对称问题
其中A、B、C、D为任意常数,D可去掉。
将 (r) 代入应力分量与应力函数的关系式,
可得平面应力、平面应变问题应力表达式:
r
1 d A B(1 2 ln r) 2C
)
x
ur r
1 E
(
r )
y
将应力分量表达代入几何方程的第二式,得
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§7-2 轴对称问题
ur
r E
(
r )
1 E
(1 )
A r
Br3
r Fr
(在
s
上) )
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28
§7-2 轴对称问题
7.按应力函数求解
当无体力时应力法基本方程为:
d r
dr
r
r
弹性力学简明教程
弹性简明课程是教育部第十个五年计划的国家计划教科书。
在第二版的基础上,它保留了原有的体系和特征,并根据教学改革的需要和相关的新国家标准进行了修订。
根据从浅到深的原理,本书安排了平面问题的理论和解决方案,空间问题的理论和解决方案以及薄板弯曲的理论。
着重介绍了弹性的数值解,如差分法,变分法和有限元法。
简明课程作为一本介绍性的弹性教科书,着重于基础理论(基础概念,基本方程式和基本解)的阐述和应用,以便学生在掌握基础知识的基础上阅读和应用弹性文献。
理论,并可以初步应用弹性数值解来解决实际工程问题。
主符号表第1章简介1-1弹性的内容1-2弹性的一些基本概念1-3弹性的基本假设第二章平面问题的基本理论2-1平面应力问题和平面应变问题2-2平衡微分方程2-3平面问题中点的应力状态2-4几何方程式刚体位移2-5物理方程式2-6边界条件2-7 Saint Venant原理及其应用2-8通过位移求解平面问题2-9通过应力相容方程求解平面问题2-10在恒力下简化的应力函数练习第三章平面问题的直角坐标解3-1逆解和半逆解多项式解。
3-2矩形梁纯弯曲的计算3-3位移分量3-4均布荷载下的简支梁3-5重力和液压作用下的楔形体第四章平面问题的极坐标解4-1极坐标中的平衡微分方程4-2极坐标中的几何方程和物理方程4-3极坐标中的应力函数和相容性方程4-4应力分量的坐标转换公式4- 5轴对称应力和相应的位移4-6圆环或圆柱体上的压力均匀分布4-7压力通道孔口处的应力集中4-8圆孔4-9边界上的集中力4-10边界上的分布力第5章用差分法和变分法求解平面问题5-1差分公式的推导5-2应力函数的微分分解5-3应力函数的微分分解的例子5-4弹性体的变形势能和外力势能5 -5位移变化方程5-6位移变化方法5-7位移变化方法示例..第6章使用有限元方法解决平面问题。
6-1基本数量和方程的矩阵表示。
6-2有限元方法的概念。
6-3单元的位移模式和解的收敛性。
2020年弹性力学简明教程(第四版)_课后习题解答
作者:非成败作品编号:92032155GZ5702241547853215475102时间:2020.12.13弹性力学简明教程(第四版)课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体,什么是非均匀的各向同性体?【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定,但不满足各向同性假定;非均匀的各向异性体,就是不满足均匀性假定,但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如:竹材,木材。
非均匀的各向同性体如:混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体?一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体?【分析】能否作为理想弹性体,要判定能否满足四个假定:连续性,完全弹性,均匀性,各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体;一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用?【解答】(1)连续性假定:假定物体是连续的,也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满,不留下任何空隙。
引用这一假定后,物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。
因此,建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
完全弹性假定:假定物体是完全弹性的,即物体在对应形变的外力被去除后,能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定,还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义,亦即两者之间是成线性关系的,即引用这一假定后,应力与形变服从胡克定律,从而使物理方程成为线性的方程,其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定:假定物体是均匀的,即整个物体是由同一材料组成的,引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性,所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的,因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定:假定物体是各向同性的,即物体的弹性在所有各个方向都相同,引用此假定后,物体的弹性常数不随方向而变。
弹性力学简明教程绪论弹 性 力 学 及 有 限 单 元 法
第一章 绪 论
本章 内容
弹性力学的内容
弹性力学中的几个基本概念
弹性力学中的基本假定
§1-3 弹性力学中的基本假定
1. 连续性假定
整个物体的体积都被组成物体的介质充满,不留下任何
空隙。
该假定在研究物体的宏观力学特性时,与工程实际吻
合较好;研究物体的微观力学性质时不适用。
作用:使得σ、ε、u 等量表示成坐标的连续函数。
y
fy
ΔfF
—— 面力分布集度
f fxi f y j fzk ——(矢量)
fx、fy、fz为面力矢量在坐标轴上的投影
fz ΔS
fx
单位:1N/m2 =1Pa (帕)
x
1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕)
说明:(1) f 是坐标的连续分布函数; (2) f 的加载方式是任意的 ;z
(3) fx f y fz 的正负号由坐标方向确定。
单位:kN/m3、kN/m3
fz ΔV
fx
x
说明:(1) f 是坐标的连续分布函数;
(2) f 的加载方式是任意的 (如:重力,磁场力、惯性力等)
(3) f x f y f z 的正负z号由坐标方向确定。
§1-2 弹性力学中的几个基本概念
表面力(面力):分布在物体单位面积上的力。
lim f
F
S0 S
弹性力学及有限单元法 ELASTICITY & FEM
目录
第一章 绪 论 第二章 平面问题的基本理论 第三章 平面问题的直角坐标解答 第四章 平面问题的极坐标解答 第五章 用差分法和变分法解平面问题
目录
第六章 用有限单元法解平面问题 第七章 空间问题的基本理论 第八章 空间问题的解答 第九章 薄板弯曲问题
弹性力学简明教程简介与目录
高等教育出版社
《弹性力学简明教程》 编著 徐芝纶教授
此教程是国内较广泛使用的一本工科院 校弹性力学教科书,是教育部“十五”国 家级规划教材。全书按照由浅入深的原 则,安排了平面问题的理论及解答、空间 问题的理论及解答和薄板弯曲理论,并着 重介绍了弹性力学的近似解法,即差分 法、变分法和有限元法。
作者简介
参考eory of elasticity》 Timoshenco S P, Goodier J N (有中译本) 三、《Applied Elasticity》 徐芝纶编
弹性力学简明教程[第四版]_课后习题解答
弹性力学简明教程(第四版)课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体,什么是非均匀的各向同性体?【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定,但不满足各向同性假定;非均匀的各向异性体,就是不满足均匀性假定,但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如:竹材,木材。
非均匀的各向同性体如:混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体?一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体?【分析】能否作为理想弹性体,要判定能否满足四个假定:连续性,完全弹性,均匀性,各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体;一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用?【解答】(1)连续性假定:假定物体是连续的,也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满,不留下任何空隙。
引用这一假定后,物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。
因此,建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
完全弹性假定:假定物体是完全弹性的,即物体在对应形变的外力被去除后,能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定,还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义,亦即两者之间是成线性关系的,即引用这一假定后,应力与形变服从胡克定律,从而使物理方程成为线性的方程,其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定:假定物体是均匀的,即整个物体是由同一材料组成的,引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性,所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的,因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定:假定物体是各向同性的,即物体的弹性在所有各个方向都相同,引用此假定后,物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定:假定位移和变形是微小的。
亦即,假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸,而且应变和转角都远小于1。
弹性力学简明教程第四版_课后习题解答
弹性力学简明教程(第四版)课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么就是均匀的各向异性体,什么就是非均匀的各向同性体?【分析】均匀的各项异形体就就是满足均匀性假定,但不满足各向同性假定;非均匀的各向异性体,就就是不满足均匀性假定,但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如:竹材,木材。
非均匀的各向同性体如:混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件与钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体?一般的岩质地基与土质地基能否作为理想弹性体?【分析】能否作为理想弹性体,要判定能否满足四个假定:连续性,完全弹性,均匀性,各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件与土质地基可以作为理想弹性体;一般的钢筋混凝土构件与岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用?【解答】(1)连续性假定:假定物体就是连续的,也就就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满,不留下任何空隙。
引用这一假定后,物体的应力、形变与位移等物理量就可以瞧成就是连续的。
因此,建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示她们的变化规律。
完全弹性假定:假定物体就是完全弹性的,即物体在对应形变的外力被去除后,能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定,还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义,亦即两者之间就是成线性关系的,即引用这一假定后,应力与形变服从胡克定律,从而使物理方程成为线性的方程,其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定:假定物体就是均匀的,即整个物体就是由同一材料组成的,引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性,所研究物体的内部各质点的物理性质都就是相同的,因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定:假定物体就是各向同性的,即物体的弹性在所有各个方向都相同,引用此假定后,物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定:假定位移与变形就是微小的。
亦即,假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸,而且应变与转角都远小于1。
弹性力学第七章 主应力
(7-3)
p2
2 n
2 n
px2
p
2 y
pz2
2 n
px2
p
2 y
pz2
2 n
(7-4)
弹性力学简明教程
NORTHEASTERN UNIVERSITY
§7-2 物体内一点的应力状态
如果ABC是边界面,px, py , pz 成为面力分量
fx, fy, fz
弹性力学简明教程
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§7-5 轴对称问题的基本方程
弹性力学简明教程
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§7-5 轴对称问题的基本方程
轴对称问题: 在空间问题中,如果弹性体的几何形状、约束情况,以及所受的外
力作用,都是对称于某一轴(通过这个轴的任一平面都是对称面),则 所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。轴对称问题的弹性体的形 状一般为是圆柱或半空间。
( x
1)
m1 l1
yx
n1 l1
zx
0
xy
m1 l1
( y
1)
n1 l1
zy
0
可以求得 m1 , n1 的比值,再利用 l 2 m2 n2 1 求出:
l1 l1
l1
1
2
2
1
m1 l1
n1 l1
同样也可以求出其他主应力的方向余弦。
弹性力学简明教程
NORTHEASTERN UNIVERSITY
E
(7-13)
弹性力学简明教程
NORTHEASTERN UNIVERSITY
§7-4 几何方程及物理方程
弹性力学简明教程 课后习题答案
《弹性力学简明教程》习题提示和参考答案第二章习题的提示与答案2-1 是2-2 是2-3 按习题2-1分析。
2-4 按习题2-2分析。
2-5 在的条件中,将出现2、3阶微量。
当略去3阶微量后,得出的切应力互等定理完全相同。
2-6 同上题。
在平面问题中,考虑到3阶微量的精度时,所得出的平衡微分方程都相同。
其区别只是在3阶微量〔即更高阶微量〕上,可以略去不计。
2-7 应用的基本假定是:平衡微分方程和几何方程─连续性和小变形,物理方程─理想弹性体。
2-8 在大边界上,应分别列出两个精确的边界条件;在小边界〔即次要边界〕上,按照圣维南原理可列出3个积分的近似边界条件来代替。
2-9 在小边界OA边上,对于图2-15〔a〕、〔b〕问题的三个积分边界条件相同,因此,这两个问题为静力等效。
2-10 参见本章小结。
2-11 参见本章小结。
2-12 参见本章小结。
2-13 注意按应力求解时,在单连体中应力分量必须满足〔1〕平衡微分方程,〔2〕相容方程,〔3〕应力边界条件〔假设>。
2-14 见教科书。
2-15 见教科书。
2-16 见教科书。
2-17 取它们均满足平衡微分方程,相容方程与x=0和的应力边界条件,因此,它们是该问题的正确解答。
2-18 见教科书。
2-19 提示:求出任一点的位移分量和,与转动量,再令,便可得出。
第三章习题的提示与答案3-1 本题属于逆解法,已经给出了应力函数,可按逆解法步骤求解:〔1〕校核相容条件是否满足,〔2〕求应力,〔3〕推求出每一边上的面力从而得出这个应力函数所能解决的问题。
3-2 用逆解法求解。
由于本题中l>>h,x=0,l属于次要边界〔小边界〕,可将小边界上的面力化为主矢量和主矩表示。
3-3 见3-1例题。
3-4 本题也属于逆解法的问题。
首先校核是否满足相容方程。
再由求出应力后,并求对应的面力。
本题的应力解答如习题3-10所示。
应力对应的面力是:主要边界:所以在边界上无剪切面力作用。
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【解答】均匀的各项异形体如:竹材,木材。
非均匀的各向同性体如:混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体?一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体?【分析】能否作为理想弹性体,要判定能否满足四个假定:连续性,完全弹性,均匀性,各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体;一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用?【解答】(1)连续性假定:假定物体是连续的,也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满,不留下任何空隙。
引用这一假定后,物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。
因此,建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
完全弹性假定:假定物体是完全弹性的,即物体在对应形变的外力被去除后,能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定,还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义,亦即两者之间是成线性关系的,即引用这一假定后,应力与形变服从胡克定律,从而使物理方程成为线性的方程,其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定:假定物体是均匀的,即整个物体是由同一材料组成的,引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性,所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的,因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定:假定物体是各向同性的,即物体的弹性在所有各个方向都相同,引用此假定后,物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定:假定位移和变形是微小的。
亦即,假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸,而且应变和转角都远小于1。
工程力学 第7章 简单的弹性静力学问题
第 7 章 简单的弹性静力学问题
§7-1 杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
7-1-1 横截面上的内力与应力
当外力沿着杆件的轴线作用时,其横截面上只有轴力一个内力分量。与轴力相对应,杆 件横截面上将只有正应力。 在很多情形下,杆件在轴力作用下产生均匀的伸长或缩短变形,因此,根据材料均匀性 的假定,杆件横截面上的应力均匀分布,如图 7-1 所示。
图 7-3 拉杆斜截面上的应力
σ θ=
FN FP cosθ = = σ x cos 2θ Aθ A θ
F sin θ 1 τθ= = P = σ xsin (2θ ) Aθ Aθ 2 FQ
(7-3)
其中, σ x 为杆横截面上的正应力,由式(7-1)确定。A ? 为斜截面面积
Aθ= A cosθ
上述结果也可以通过考察杆件上的微元而求得。 如图 7-4a 所示, 以相距很近的两横截 面和两纵截面从杆内截取微小单元体,简称微元。所取微元只有左、右面上受有正应力 σ x 。
FNx1=400 kN
FNx 2=-100kN
FN x3=200 kN
进而,求得各段横截面上的正应力分别为: AB 段:
σ x1 =
FNx1 400 × 10 3 = = 160 × 10 6 Pa = 160 MPa −6 A1 2500 × 10
FNx2 -100 × 10 3 = = -40 ×10 6 Pa = -40MPa −6 A2 2500 × 10
§ 7-7 强度失效与失效控制
7-7-1 失效的概念 7-7-2 拉伸和压缩杆件的失效判据 7-7-3 拉伸和压缩杆件的设计准则
§ 7-8 杆件在轴向载荷作用下的强度计算过程 与算例
7-8-1 三类强度问题 7-8-2 强度计算过程 7-8-3 拉伸、压缩构件强度设计算例
弹性力学简明教程
弹性力学简明教程第一章绪论1-1 弹性力学的内容1-2 弹性力学中的几个基本概念1-3 弹性力学中的基本假定习题第二章平面问题的基本理论2-1 平面应力问题与平面应变问题2-2 平衡微分方程2-3 平面问题中一点的应力状态2-4 几何方程刚体位移2-5 物理方程2-6 边界条件2-7 圣维南原理及其应用2-8 按位移求解平面问题2-9 按应力求解平面问题相容方程2-10 常体力情况下的简化应力函数习题第三章平面问题的直角坐标解答3-1 逆解法与半逆解法多项式解答 .3-2 矩形梁的纯弯曲3-3 位移分量的求出3-4 简支梁受均布荷载3-5 楔形体受重力和液体压力习题第四章平面问题的极坐标解答4-1 极坐标中的平衡微分方程4-2 极坐标中的几何方程及物理方程4-3 极坐标中的应力函数与相容方程4-4 应力分量的坐标变换式4-5 轴对称应力和相应的位移4-6 圆环或圆筒受均布压力4-7 压力隧洞4-8 圆孔的孔口应力集中4-9 半平面体在边界上受集中力4-10 半平面体在边界上受分布力习题第五章用差分法和变分法解平面问题5-1 差分公式的推导5-2 应力函数的差分解5-3 应力函数差分解的实例5-4 弹性体的形变势能和外力势能5-5 位移变分方程5-6 位移变分法5-7 位移变分法的例题习题..第六章用有限单元法解平面问题6-1 基本量及基本方程的矩阵表示6-2 有限单元法的概念6-3 单元的位移模式与解答的收敛性6-4 单元的应变列阵和应力列阵6-5 单元的结点力列阵与劲度矩阵6-6 荷载向结点移置单元的结点荷载列阵6-7 结构的整体分析结点平衡方程组6-8 解题的具体步骤单元的划分6-9 计算成果的整理6-10 计算实例6-11 应用变分原理导出有限单元法基本方程习题第七章空间问题的基本理论7-1 平衡微分方程7-2 物体内任一点的应力状态7-3 主应力最大与最小的应力7-4 几何方程及物理方程7-5 轴对称问题的基本方程习题。
弹性力学 第七章_2
x (7-5)
z
其中: x s , y s , z s , xy s , xz s , yz
s
为应力分量在边 界上的值。
例3:一直角棱台设备基础与所建立的坐标系如图所示:z轴通 过顶面的形心。其顶端荷载可简化为一垂直压力P和yOz平面内 的弯矩M,倾斜的侧面受有均匀分布的正压力,分布集度为q, 底部为固定端。试写出侧面的边界条件,顶端小边界的整体边 界条件和底端的位移约束条件。
dxdy 0 z h dxdy 0 ydxdy M xdxdy 0
x
P
a
zy z h
a / 2 d / 2 a/2 d /2 a / 2 d / 2 d /2 a/2
zx
y
z
M
x
zy
y
z z h
a / 2 d / 2
x
b
(5) 顶端的小边界条件为(利用圣维南原理):
a/2 d /2 a / 2 d / 2 a/2 d /2 a / 2 d / 2 a/2 d /2 zx a / 2 d / 2 a/2 d /2
z z h
dxdy P
d
z
p x l x m yx n zx l p y m y n zy l xy m p z n z l xz m yz n
x
B
(b)
( x )l m yx n zx 0
即:
xy l ( y )m n zy 0 xz l m yz ( z )n 0
1 n 2 2 2 11 1 3 1
大学物理简明教程第七章
一、阻尼振动
图7-12 阻尼振动的位移时间曲线
二、受迫振动和共振
图7-13 受迫振动
三、减振原理
(1)消除或抑制振源强度 外界激励的存在是产生受迫振动的原因,因此消除 振动的根本办法就是消除产生激励的来源。 (2)避开共振区 外界振动力虽然可以减少到很低的程度,但不能完全消除。 (3)隔振措施 在振源和减振体(要求降低振动强度的物体)之间插进柔软的衬 垫,依靠它的变形减轻振源对减振体的作用,通常称为隔振。 (4)阻尼消振 前面在讲到阻尼振动时曾提到,依靠阻尼力可消耗吸收振动源 的能量,达到消振的目的。
物体离开平衡位置的最大位移的绝对值称为振幅, 用A表示。显然物体振动时,它围绕平衡位置, 在x=A和x=-A之间来回往复运动。
3.相位
四、简谐振动的能量
四、简谐振动的能量
图7-5 简谐振动过程中机械能变化
五、简谐振动的旋转矢量表示法
图7-6 简谐振动的旋转矢量表示
第二节 简谐振动的合成
一、同方向同频率的简谐振动的合成 二、同方向不同频率的简谐振动的合成 三、相互垂直同频率两简谐振动的合成
第七章 机 械 振 动
第一节 第二节 第三节
简谐振动 简谐振动的合成 阻尼振动 受迫振动
减振原理
第一节 简 谐 振 动
一、简谐振动的特征方程 二、简谐振动的速度与加速度 三、描述简谐振动的物理量 四、简谐振动的能量 五、简谐振动的旋转矢量表示法
一、简谐振动的特征方程
从动力学观点来看,物体在弹性力(满足胡克定 律)或准弹性力作用下所作的振动称为简谐振动。 弹簧振子的运动是简谐振动的典型例子
一、同方向同频率的简谐振动的合成
1)值相差φ2-φ1=±2nπ(n=0,1,2,3,…),则cos(φ2-φ1)=1, 2)值相差φ2-φ1=±(2n+1)π(n=0,1,2,3,…),则cos(φ2-φ1)=-1,于是合 振动振幅为 3)一般情况下,两分振动既不同相位亦不反相位,则合振幅的值在(A1+A2)与 ∣A1-A2∣之间。
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x y z . (d )
其中由于小变形假定,略去形变的二、三 次幂。
第七章 空间问题的基本理论
物理方程
空间问题的物理方程
可表示为两种形式:
⑴ 应变用应力表示,用于按位移求解方法:
x 1 (σ x σ y σ z ),
E
yz
2(1 ) yz。 E
若形变分量为零, x γ
yz
0 ( x,y,z),
试导出对应的位移分量(7-17)。
第七章 空间问题的基本理论
轴对称问题
§7-5 轴对称问题的基本方程
第七章 空间问题的基本理论
几何方程
§7-4 几何方程及物理方程
空间问题的几何方程,可以从平面问 题推广得出:
u x , x
w v ( x, y, z; u, v, w) (a) yz . y z
第七章 空间问题的基本理论
几何方程
从几何方程同样可得出形变与位 移之间的关系:
⑴ 若位移确定,则形变完全确定。
从数学上看,由位移函数求导数是 完全确定的,故形变完全确定。
第七章 空间问题的基本理论
几何方程
⑵ 若形变确定,则位移不完全确定。
∵由形变求位移,要通过积分,会出现待 定的函数。若 x yz 0 ( x, y, z ) ,还存在 对应的位移分量为
u u0 y z z y.
第七章 空间问题的基本理论
平衡条件
§7-1 平微分方程
取出微小的平行六面体, d v d x d y d z, 考虑其平衡条件:
F x 0,
M
x
Fy 0,
M
y
Fz 0;
M
z
(a)
0,
0,
0. (b)
第七章 空间问题的基本理论
第七章 空间问题的基本理论
(u) s u 。
(u, v, w)
(c)
第七章 空间问题的基本理论
体积应变
体积应变定义为 dv dv dv
(d x x d x)(d y y d y )(d z z d z ) d xd yd z d xd y d z
(1 x )(1 y )(1 z ) 1
平衡微分方程
由x 轴向投影的平衡微分方程 得
F
x
0,
σ x yx zx fx 0 . x y z
( x, y, z )
(c )
因 x , y , z轴互相垂直,均为定向,量纲均
为L,所以x , y , z 坐标具有对等性,其方
程也必然具有对等性。所以式(a)的其余两 式可通过式(c)的坐标轮换得到。
第七章 空间问题的基本理论
应力不变量
5.应力不变量
若从式(c) 求出三个主应力 σ1 ,σ 2 ,σ 3 ,则 式(c)也可以用根式方程表示为,
(σ σ1 )(σ σ 2 )(σ 3 σ ) 0 .
(f)
因式(c) 和( f )是等价的方程,故 σ 的 各幂次系数应相等,从而得出
第七章 空间问题的基本理论
dx x
z
B dz
dy o A
y
第七章 空间问题的基本理论
斜面应力
§7-2 物体内任一点的应力
在空间问题中,同样需要解决:由直 角坐标的应力分量 σ x … yz …,来求出斜 面(法线 n )上的应力。
第七章 空间问题的基本理论
斜面应力
斜面全应力p可表示为两种分量形式: p沿坐标向分量:
σ n lp x mpy npz
l σ x m σ y n σ z 2mn yz 2nl zx 2lm xy . (b)
2 2 2
p p p p σ ,
2 2 x 2 y 2 z 2 n 2 n
p p p σ
2 n 2 x 2 y 2 z
n 0 , p σ n σ.
px l , p y m , p z n .
(a)
第七章 空间问题的基本理论
考虑方向余弦关系式,有
l m n 1.
2 2 2
(b )
式(a) , (b)是求主应力及其方向余弦的方程。
第七章 空间问题的基本理论
求主应力
2. 求主应力 σ
由四面体的平衡条件 Fx 0( x, y, z ),得 出坐标向的应力分量,
px lσ x m yx n zx .
( x, y, z )
(a)
第七章 空间问题的基本理论
第七章 空间问题的基本理论
n n
2. 求 p (σ n , n ) 将 p ( px , p y , pz ) 向法向 n投影,即得
σ1 σ 3 (5)最大和最小切应力为 2 设 σ1 σ 2 σ3 , 作用于通过中间 主应力、并且“平分最大和最小正应 力的夹角”的平面上。
第七章 空间问题的基本理论
思考题
1.试考虑:对于平面问题若 σ1 σ 2 σ , 则此点所有的正应力均为 σ ,切应力均 为0,即存在无数多的主应力。 2. 试考虑:对于空间问题若σ1 σ 2 σ 3 σ , 则此点所有的正应力均为 σ ,切应力均 为0,即存在无数多的主应力。
σ x σ
xy xz
σ y σ
yx yz
σ z σ
zx zy 0,
展开,即得求主应力的方程,
第七章 空间问题的基本理论
求主应力
σ (σ x σ y σ z )σ
3 2
(σ y σ z σ z σ x σ xσ y )σ
2 yz 2 zx 2 xy
第七章 空间问题的基本理论
平衡微分方程
由三个力矩方程得到三个切应力互等定理,
M
x
0 , yz
zy 。 (x, y , z) (d)
空间问题的平衡微分方程精确到三阶
微量 (d xd yd z )。
第七章 空间问题的基本理论
思考题
在图中,若 点o的x向正应 力分量为 σ x , 试表示点A , B 的正应力分量。
( x ,y ,z )
(e)
第七章 空间问题的基本理论
⑵ 应力用应变表示,用于按应力求解方法: E x ( x ), 1 1 2 E (x ,y , z) ( f ) yz yz . (1 )
由物理方程可以导出 1 2 (g) Θ, E Θ是第一应力不变量,又称为体积应力。
将式(a)改写为
(σ x σ )l yx m zx n 0, xy l (σ y σ )m zy n 0, xz l yz m (σ z σ )n 0。
第七章 空间问题的基本理论
求主应力
上式是求解l , m , n的齐次代数方程。 由于l , m , n不全为0,所以其系数行列式必 须为零,得
(lσ x m yx n zx ) s f x . ( x, y, z) (在Sσ 上) (d )
第七章 空间问题的基本理论
注意:
式(b), (c) 用于V内任一点,表示斜面
应力与坐标面应力之间的关系; 式(d)只用于 sσ边界点上,表示边界面 上的面力与坐标面的应力之间的关系,所 以必须将边界面方程代入式(d)。
(d )
第七章 空间问题的基本理论
应力主向
m1 n1 由上两式解出 , 。然后由式(b)得出 l1 l1
l1
1 m1 2 n1 2 1 ( ) ( ) l1 l1
.
( e)
再求出 m1 及n1 。
第七章 空间问题的基本理论
4. 一点至少存在着三个互相垂直的主应力
σ1 ,σ 2 ,σ 3(证明见书上)。
(σ xσ y σ z σ σ σ 2 yz zx xy ) 0.
2 x yz 2 y zx 2 z xy
(c)
第七章 空间问题的基本理论
应力主向
3.应力主向 设主应力 σ1 的主向为l , m , n。代入式 1 1 1 (a)中的前两式,整理后得
m1 n1 yx zx (σ x σ1 ) 0, l1 l1 m1 n1 ( σ y σ1 ) zy xy 0。 l1 l1
p ( px , p y , pz )
p沿法向和切向分量:
p (σ n , n )
第七章 空间问题的基本理论
px p y pz
1. 求 p ( p x , p y , p z )
取出如图的包含斜面的微分四面体, 斜面面积为ds, 则x面,y面和z面的面积分别 为lds,mds,nds。
E — 称为体积模量。 1 2
第七章 空间问题的基本理论
结论
结论:
空间问题的应力,形变,位移等十五
个未知函数,它们都是(x ,y ,z)的函数。这
些函数在区域V内必须满足3个平衡微分方
程,6个几何方程及6个物理方程,并在边 界上满足3个应力或位移的边界条件。
第七章 空间问题的基本理论
思考题
第七章 空间问题的基本理论
第一节
第二节 第三节 第四节 第五节
平衡微分方程
物体内任一点的应力状态 主应力 最大与最小的应力
几何方程及物理方程 轴对称问题的基本方程 教学参考资料
例题 习题的提示和答案
第七章 空间问题的基本理论
第七章 空间问题的基本理论
在空间问题中,应力、形变和位移等基 本知函数共有15个,且均为x,y,z的函数。 空间问题的基本方程,边界条件,以 及按位移求解和按应力求解的方法,都是 与平面问题相似的。因此,许多问题可以 从平面问题推广得到。