行程问题中的图示解法
行程-图示解法(柳卡图)
行程问题中的图示解法一、S-T图竖轴表示路程，一般为出发后的每一时刻离出发的距离，出发时此距离为0。
横轴表示时间，一般从出发开始计时，出发点处时间为0。
图形中的每个点均表示在某一时刻时的位置。
如下图，小明从家出发去上学，家和学校的距离为2千米。
规定竖轴为离家的距离，横轴为出发的时间。
其中A点表示出发5分钟后小明在离家1千米的位置，B点表示出发10分钟后小明在离家2千米的位置，即到达学校。
可以看到B点之后，随着时间的改变小明的位置并未发生改变，即这个阶段小明均在学校里，距离家都是2千米。
在S-T图中，每个点的路程数值和时间数值的比值即为速度。
图中OB为一条直线，由三角形相似的知识我们可以知道，此直线上的任意一点的路程与时间的比值都相等，即由O到B这个阶段速度是不变的。
我们可以用OB上任意一点的数据求出速度，如看A点，路程为1千米，时间为5分钟，速度为1÷5=0.2千米/分钟。
二、柳卡图法国数学家柳卡·施斗姆生于瑞士，因数学上的成就，于1836年当选为法国科学院院士。
在十九世纪的一次国际数学会议期间，有一天，正当来自世界各国的许多著名数学家晨宴快要结束的时候，法国数学家柳卡向在场的数学家提出困扰他很久、自认“最困难”的题目：“某轮船公司每天中午都有一艘轮船从哈佛开往纽约，并且每天的同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛。
轮船在途中所花的时间来去都是七昼夜，而且都是匀速航行在同一条航线上。
问今天中午从哈佛开出的轮船，在开往纽约的航行过程中，将会遇到几艘同一公司的轮船从对面开来？”(此即著名的“柳卡趣题”)【分析】法一：推理从哈佛开出的轮船遇到的纽约开来的轮船有两类，一类是该船出发前已从纽约发出且尚未到达哈佛的轮船，即该船出发前7天内纽约发出的轮船，除出发时纽约刚到达伦敦的一艘船外途中共遇到6艘。
另一类是该船出发后从纽约发出的轮船，即该船出发后7天内纽约发出的轮船，除到达伦敦时刚发出的船外途中共遇到7艘。
行程问题
行 程 问 题行程问题为小学和初中数学学习的重要应用问题，在行程问题中，除特别指出外，都假定速度是常数，即匀速运动，匀速运动的基本公式十分简单： 路程=时间⨯速度但是由于路程的多样化，时间前后的差别，以及速度的变化，使得行程问题变得复杂而丰富多彩。
行程问题虽然是实际问题的初级近似，但地，由于它的各色各样的变化，使得中小学的数学知识中的许多知识点能有趣而生动地融汇其中，而成为学生能力培养的有力工具。
在各届华杯赛中，行程问题是各类问题出现频率最高的问题之一。
求解行程问题一般分如下步骤：1。
审题 2。
画示意图 3。
找关键要素 4。
列关系式 5。
分析 6。
给出答案。
下面将通过具体的问题来解释这六个步骤。
行程问题中的方程方法列方程求解行程问题是最通常的方法，也是最为有效的方法。
多数行程问题可以用列方程解方程的方法来求解。
列方程就是上述步骤中第四步中建立一个或几个含有未知数的条件等式，而第五步中的分析就是解方程。
例1．甲、乙二人从相距60千米的两地同时相向而行，6小时后相遇。
如果二人的速度每小时个增加1千米，那么相遇地点距前一次相遇地点1千米。
问：甲、乙二人速度个多少？解。
设甲的速度为每小时v 千米。
因为，两人6小时相遇，所以，二人的速度和为10千米。
乙的速度为每小时10-v 千米。
二人的速度个增加1千米，速度和为12千米，因此，需要小时）(51260=相遇。
第一次甲的行程为6v ，第二次甲的行程为5（v +1）,相差1千米： .6 ,1)1(56==+-v v v答。
二人的速度分别为每小时6千米和每小时4千米。
例2． 快、中、慢三辆车同时从同一地出发， 沿一公路追赶前面一个骑自行车的人，这三辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑自行车的人。
现知快车每小时走24千米，中车每小时走20千米。
那么慢车每小时走多少千米？解。
设自行车速度为每小时v 千米，慢车每小时a 千米，三车出发时自行车在他们前面L 千米。
行程-图示解法(柳卡图)
行程问题中的图示解法一、S-T图竖轴表示路程，一般为出发后的每一时刻离出发的距离，出发时此距离为0。
横轴表示时间，一般从出发开始计时，出发点处时间为0。
图形中的每个点均表示在某一时刻时的位置。
如下图，小明从家出发去上学，家和学校的距离为2千米。
规定竖轴为离家的距离，横轴为出发的时间。
其中A点表示出发5分钟后小明在离家1千米的位置，B点表示出发10分钟后小明在离家2千米的位置，即到达学校。
可以看到B点之后，随着时间的改变小明的位置并未发生改变，即这个阶段小明均在学校里，距离家都是2千米。
在S-T图中，每个点的路程数值和时间数值的比值即为速度。
图中OB为一条直线，由三角形相似的知识我们可以知道，此直线上的任意一点的路程与时间的比值都相等，即由O到B这个阶段速度是不变的。
我们可以用OB上任意一点的数据求出速度，如看A点，路程为1千米，时间为5分钟，速度为1÷5=0.2千米/分钟。
二、柳卡图法国数学家柳卡·施斗姆生于瑞士，因数学上的成就，于1836年当选为法国科学院院士。
在十九世纪的一次国际数学会议期间，有一天，正当来自世界各国的许多著名数学家晨宴快要结束的时候，法国数学家柳卡向在场的数学家提出困扰他很久、自认“最困难”的题目：“某轮船公司每天中午都有一艘轮船从哈佛开往纽约，并且每天的同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛。
轮船在途中所花的时间来去都是七昼夜，而且都是匀速航行在同一条航线上。
问今天中午从哈佛开出的轮船，在开往纽约的航行过程中，将会遇到几艘同一公司的轮船从对面开来？”(此即著名的“柳卡趣题”)【分析】法一：推理从哈佛开出的轮船遇到的纽约开来的轮船有两类，一类是该船出发前已从纽约发出且尚未到达哈佛的轮船，即该船出发前7天内纽约发出的轮船，除出发时纽约刚到达伦敦的一艘船外途中共遇到6艘。
另一类是该船出发后从纽约发出的轮船，即该船出发后7天内纽约发出的轮船，除到达伦敦时刚发出的船外途中共遇到7艘。
行程问题的画图方法与技巧
行程问题画图分析的方法与技巧————向量构图法列方程解应用题可简单概括为“审、析、列、算、查”五个步骤。
即“审题、分析、列式、计算、检查”。
其中找等量关系式就是解题的关键,然而较复杂的行程应用题的等量关系式就是很难一下子找出来的,这就需要我们在“审题”的基础上认真分析,通过不断地把未知量用含未知数的代数式表示出来,即不断地扩大已知,使等量关系“水到渠成”。
在解行程应用题时,采取画图分析的方法不仅能有利的协调学生左、右脑(科学用脑),锻炼学生分析问题的能力,而且能激发学生的学习兴趣,培养学生的创新能力。
此外,通过对物体运动、联系、发展、变化的分析与再现,也为学生不断形成辩证唯物主义世界观打下良好的基础。
⒈图的构成:行程问题都与物体的位移有着直接的关系,而速度就是既有大小,又有方向的量,所以图的主要构成就是向量。
此外,一幅完整的图还应包括图标、数据、文字、注解等,其中构成向量的有向线段有虚实、粗细及不同颜色的变化。
⒉绘图原则:在画图过程中应坚持的原则有:⑴要坚持认真审题。
审题就是解答应用题的第一步,能否顺利、准确的分析,审清题目的已知条件与问题就是基础。
⑵在认真审题基础上,“边读边画,兼顾协调”的原则。
即:在审清题目的已知条件与问题后,边读边画,并兼顾题中数据的比例关系、前后联系及隐含条件等,展开联想,合理安排。
⑶画图力求简洁与清晰明了,防止混淆不清。
在画图时要坚持画彩色图并利用有向线段的粗细与虚实等合理区分,防止混淆不清。
⑷根据题目的特点,灵活创新。
⒊绘图技巧⑴“速度、路程(数值型)”分别标在对应向量的“上、下”。
一般情况下,含未知数的代数式所表示的路程标在它们中间。
⑵用同种颜色表达同一事物及变化。
⑶用“粗细”搭配来区分物体的“同时性”与否。
同时运动的物体,用较粗的有向线段来表示。
⑷用虚、实来区分物体的“假设运动”与“真实运动”等。
1.5·V 甲 千米 1·V甲千米 2、5 V 甲千米/时30千米说明:通过运用相同较粗的有向线段表示同时性,不仅表达出了题目中的隐含条件(同时的路程),而且有利于我们联想出“相同时间内,路程比=速度比”,为解答此题提供依据。
有关行程问题的图象信息题的解法课件
行程问题在生活中的应用
交通工具的运动
如汽车、火车、飞机的行 驶，涉及到速度、时间和 距离的计算。
体育比赛
如田径、游泳、球类比赛 等，需要计算运动员的运 动成绩。
日常生活
如走路、骑自行车等，涉 及到速度和时间的计算。
02
行程问题图象信息解析
图像信息在行程问题中的作用
直观呈现问题情境
图像
THANKS
感谢观看
行程问题涉及的是物体在空间中 的移动，通过已知条件计算出物 体的运动距离、速度和时间。
行程问题的分类
01
02
03
直线行程问题
物体在直线上运动，涉及 匀速运动和匀加速运动。
曲线行程问题
物体在曲线或折线上运动 ，涉及匀速圆周运动和变 速运动。
综合行程问题
涉及多种运动形式和力的 作用，如重力、摩擦力等 。
03
行程问题图象信息题解 法
匀速直线运动问题
总结词
速度恒定，方向不变，路程与时间成正比。
详细描述
匀速直线运动是速度保持不变的直线运动，其路程与时间成正比。在图象上， 匀速直线运动的线是一条斜率为常数的直线，表示速度的大小和方向。通过图 象可以直接读出速度、路程和时间等物理量。
匀加速直线运动问题
04
实际应用案例解析
生活中的行程问题解析
总结词：生活实例
详细描述：通过生活中的实际例子，如上学、上班、旅游等场景，展示行程问题 的常见性和实用性。
物理实验中的行程问题解析
总结词：物理实验
详细描述：结合物理实验，如自由落体、匀速圆周运动等，解释行程问题在物理学中的应用和解决方 法。
数学题目中的行程问题解析
详细描述
匀减速直线运动是加速度保持不变的直线运动，其速度随时间均匀减小。在图象上，匀减速直线运动的线是一条 斜率逐渐减小的直线，表示速度随时间的变化规律。通过图象可以直接读出初速度、加速度、路程和时间等物理 量。
行程问题ppt课件
Part
06
行程问题述：通过画图的方式，将行程问题中的信息以图形的方式呈现出来，有助 于直观地理解问题，找出关键信息，从而解决问题。
代数法
总结词：通用性强
详细描述：将行程问题中的未知数用代数式表示，通过设立方程或方程组来求解，这种方法通用性强，适用于各种行程问题 。
02 03
详细描述
追及问题涉及到两个物体在同一方向上移动，一个物体追赶另一个物体 直到它们相遇。这类问题需要考虑物体的速度、时间和距离，以及它们 之间的相对运动关系。
公式
距离 = 速度 × 时间
环形跑道问题
总结词
环形跑道问题主要研究在环形跑道上运动的物体之间的相对位置关系。
详细描述
在环形跑道问题中，物体在同一起点出发，沿着环形跑道运动，直到再次相遇。这类问题 需要考虑物体的速度、时间和距离，以及它们之间的相对运动关系。
Part
02
基础行程问题解析
匀速直线运动
总结词
物体在直线运动中，速度保持不变。
详细描述
匀速直线运动是速度恒定的运动，即单位时间内通过的距离相等。在匀速直线 运动中，速度、时间和距离之间的关系可以用公式表示为：速度 = 距离 / 时间。
匀加速直线运动
总结词
物体在直线运动中，速度逐渐增加。
详细描述
行程问题ppt课件
• 行程问题简介 • 基础行程问题解析 • 复杂行程问题解析 • 行程问题的数学模型 • 行程问题的实际应用 • 行程问题的解题技巧
目录
Part
01
行程问题简介
行程问题的定义
总结词
行程问题是指在一定条件下，寻找一条满足特定要求的旅行路线，通常需要考虑时间、 距离、成本等因素。
有关行程问题的图象信息题的解法PPT课件
2020年10月2日
作者：Mrchen
2
S(千米)
乙
图4表示甲、乙同地异时出发，甲比乙早
甲 出发1小时，乙走后2小时追上甲；
0 1图43
S(千米)
t(小时)
乙 甲
10
01 3
图5
t(小时)
图5表示甲、乙异地出发，甲在乙前面10 千米处，且甲比乙早出发1小时，乙走后2 小时追上甲；
∵ x＝3时，y＝0，而且x＝5时，y＝80；
∴
0 3a b 80 5a b
，解得ba
40 120
∴ 表示摩托车行驶过程的函数解析式为y＝40x－120．
y＝10x
（4）解方程组 ，
得：x=4,y=5,
y＝40x－120
再由图象可知当在3＜x＜5时间段内两车均行驶在途中，其中
当3＜x＜4时，自行车行驶在摩托车的前面；当x=4时自行车与 2020年摩10月托2车日 相遇；当4＜x＜5时，作自者：行M车rch行en驶在摩托车的后面。
乙 甲
10
01 3
图5
t(小时)
S(千米)
10
乙 甲
0 图3 6 t(小时)
S(千米)
10
甲
乙
0 图6 2
t(小时)
1
S(千米)
B
甲
A O 图1
S(千米)
C
甲
B
A0 2 3
图2
t(小时) t(小时)
S(千米)
10
乙 甲
0 图3 6 t(小时)
图1表示甲从A出发，到B地后又返回A地；
图2表示甲从A地出发，到B地休息1小时后 继续前至C地；
行程问题常用思想之图解法、综合分析
张 王
┗━━━━━━━┻━━━━┻━━━━━━━━┛ ┗━━━━━━┻━━━━━━━┻━━━━━━┛
1
探索
如图可知，小张3点到7点的4个小时比小王3点到4点的 一个小时多走15千米，从出发到2点比小王的1点到2点 也多走15千米，所以出发到2点用4个小时，出发时间是 早晨10点。
【例3】（★★★★★）迎春杯复赛 一条路上有东、西两镇．一天，甲、乙、丙三人同时 出发，甲、乙从东镇向西而行，丙从西镇向东而行， 当甲与丙相遇时，乙距他们20千米，当乙与丙相遇时 ，甲距他们30千米．当甲到达西镇时，丙距东镇还有 20千米，那么当丙到达东镇时，乙距西镇( )千米
加油站
③比例线段图 目的：寻找速度比与路程比的关系 【例4】（★★★） 甲、乙两车分别从A、B两地出发，并在A、B两地间 不断往返行驶，已知甲车的速度是15千米/小时，乙 车的速度是25千米/小时，甲乙两车第三次相遇地点 与第四次相遇地点相差100千米，求A、B两地的距离 是多少千米？
【例5】（★★★） 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B两地 之间不断往返行驶.甲、乙两车的速度比为3：7，并 且甲、乙两车第1996次相遇的地点和第1997次相遇的 地点恰好相距120千米(注：当甲、乙两车同向时，乙 车追上甲车不算作相遇)。那么，A、B两地之间的距 离是多少千米？
行程问题常用思想 之图解法、综合分析
加油站
加油站
画图技巧： ①不同人，分开画 ②时间点，要标清 ③不同速，不同型
①一般线段图 主要目的：寻找路程和或差的关系 小升初热点应用题盘点—复杂工程、比例应用题
【例1】（★★★） 小王、小李二人往返于甲、乙两地，小王从甲地、小李从乙地同时出发， 相向而行，两人第一次在距甲地3千米处相遇，第二次在距甲地6千米处相 遇(追上也算作相遇)，则甲、乙两地的距离为_______千米。
行程问题PPT课件
• 在公务员考试中，行程问题一直是热点，几乎每年都 会考到，考察的难度也往往是所有运算题型当中最难 的一部分。因此行程问题是大部分考生最为头疼的一 个题型，但是，任何题目都有技巧，只要摸准了这些 题的规律，可以按照相同的思路去解决。 那么，我们
来看看对于行程问题我们该运用什么样的思路。首先， 我们来看行程问题的核心公式S=vt。这种等号一边是 一个量，另一边是两个量乘积的公式，可以称之为比 例型公式。这种公式有一个潜在的规律就是，不管题 目怎么设置，路程、速度、时间这三个量总有一个是 确定不变的，而另外两个量都是变的，只要找到行测 公式当中的不变量，等量关系就找出来了，所以关键 是找这个不变的量。
• 一般的相遇问题: 甲从A地到B地,乙从B地到 A地,然后两人在A地到B地之的某处相遇,实 质上是甲,乙两人一起了AB这段路程,如果两 人同时出发,那有:
• (1) 甲走的路程+乙走的路程= 全程
• (2) 全程= (甲的速度+乙的速度) ×相遇时间 = 速度和×相遇时间
• 例1:甲、乙两人分别从A、B两地 同时出发，相向而行。如果两人都 按原定速度行进，那么4小时相遇； 现在两人都比原计划每小时少走1 千米，那么5小时相遇。A、B两地 相距多少千米？
• 行测问题细分来看有四大类： • 一是相遇问题； • 二是追及问题； • 三是流水问题； • 四是相关问题
• 行程问题基本恒等关系式： 路程=速度×时间， 即
•
行程问题基本比例关系式：
•
路程一定的情况下，速度和时间呈反比;
•
时间一定的情况下，路程和速度呈正比;
•
速度一定的情况下，路程和时间呈正比。
•
• 53.A、B两地间有条公路，甲、乙两 人分别从A、B两地出发相向而行，甲 先走半小时后，乙才出发，一小时后 两人相遇，甲的速度是乙的2/3。问甲、 乙所走的路程之比是多少？
第十一讲 行程问题中的图示解法 六年级秋季
遇时两人走得路程 甲： 乙=3:2, 因为两人是从同一起点出发，则可认 为总路程为 5÷2=2.5 份，两人一起走 2 个全程的时间里甲走 3 份乙走 2 份。则每相遇一次两人一起走两个全程，即甲到下次相遇时要走 1 个 3 份，乙要走 1 个 2 份。由图可知两相遇点之间差 1 份。
提示：同例１.
答案：50
路程（千米）
路程（千米）
90
路程（千米）
80
200
150
65 120 练习１
160时间（分钟）
时间（分钟）
75 170 230 300 360 练习２
5
30
练习３
时间（分钟）
39
例 2、分析：法一：算术法 此人应该一共看到 12 辆电车。且看到的第一辆电车是 15 分钟前发的车， 那么在此人出发前的这 15 分钟内还有 2 辆电车出发，也就是说在对面 车站处与此人同时发车的应该是第 4 辆电车，即 4—12 之间有 9 辆车， 8 个间隔，所以甲用了 8×5=40 分钟。
（2） 一辆公共汽车 12:00 开始从 A 站出发，往返于 AB 两个公交站之间，若从 A→B 用 3 个小时，从 B→A 用 4 个小时，有一个行人 13:00 时从 B 车站步行去 A 车站，已知花 了 8 个小时到达 A 车站，问途中他遇到几次这辆公共汽车？ 提示：画图分析 答案： 3 次.
，同理 占 AB 的
，
全程 AB=50÷（ ）=240 千米。
六年级秋季班 第十一讲 行程问题中的图示解法 11.4
90
120
150
180
210
240
260
画图法解行程问题
画图法解相遇问题
某人沿公路前进,迎面来了一辆车,他问司机后面有骑车的人吗.司机说10分钟前我超过一个.这人继续走了10分钟,遇到骑车的那个人。
如果骑车的速度是步行速度的3倍，那么，汽车速度是步行速度的多少倍？
蓝色是自行车，黑色是汽车。
先看图：在A点汽车遇到自行车，在C点人和汽车遇到，汽车遇到人时自行车在M点。
分析：汽车从A到C用了10分钟（这是司机说的），在这10分钟里面，自行车从A到达M。
之后，人从C步行了10分钟到达B遇到自行车，在这10分钟里面，自行车是从M到达B。
也就是说，自行车从A到B用了20分钟，既然已知自行车是步行速度的3倍，那么可以知道，人从B到A要用60分钟。
好吧，答案马上揭晓，人从C到B用了10分钟，从B到A用60分钟，那么从C到A应该要用70分钟。
答案揭晓：汽车从A到C用10分钟，人用70分钟，汽车速度是步行速度的7倍呀。
行程问题中的函数图象课件
contents
目录
• 行程问题简介 • 函数图象的基本概念 • 行程问题中的函数图象 • 行程问题中的函数图象的应用 • 行程问题中的函数图象的实例分析
01
行程问题简介
行程问题的定义
总结词
行程问题是指在一定的时间和空 间内，按照一定的规则移动物体 ，并满足某些特定条件的问题。
详细描述
行程问题通常涉及到物体的运动 速度、时间和距离等参数，需要 运用数学模型和公式进行求解。
行程问题的分类
总结词
行程问题可以根据不同的分类标准进行分类，如按照运动方式可分为匀速运动和变速运 动，按照物体数量可分为单物体和多物体等。
详细描述
根据运动方式的不同，行程问题可以分为匀速运动问题和变速运动问题。匀速运动问题 中，物体的速度保持不变，而变速运动问题中，物体的速度会随时间变化。根据涉及的 物体数量，行程问题可以分为单物体问题和多物体问题。单物体问题只涉及一个物体的
经济建模
函数图像可以表示经济变量之间 的关系，如需求与价格的关系、 供给与价格的关系等，有助于进
行经济建模和分析。
生态建模
函数图像可以表示生态系统中物种 数量随时间的变化情况，有助于进 行生态建模和分析。
社会问题建模
函数图像可以表示社会现象随时间 的变化情况，如人口增长、城市化 率等，有助于进行社会问题建模和 分析。
05
行程问题中的函数图象的实例 分析
实例一：汽车刹车问题
总结词：线性递减
详细描述：汽车刹车时，速度随时间线性递减，直到速度减为零。函数图像是一 条从原点出发，斜率为负的直线。来自实例二：飞机起飞和降落问题
总结词：二次函数
详细描述：飞机起飞和降落的速度变化不是线性的，而是二次函数的形式。函数图像是一个开口向上的抛物线或开口向下的 抛物线。
行程问题的图象信息解法
0 图6 2
t(小时)
S(千米)
B
甲
A O 图1
S(千米)
C
甲
B
A0 2 3
图2
t(小时) t(小时)
S(千米)
10
乙 甲
0 图3 6 t(小时)
图1表示甲从A出发，到B地后又返回A地；
图2表示甲从A地出发，到B地休息1小时后 继续前至C地；
图3表示甲、乙同时异地出发，甲在乙前 面10千米处，乙行走6小时追上甲；
B
A
D C
（1）谁出发的较早？早多长时间？谁到到达乙地较早？早到多少时间？ （2）两人在途中行驶的速度分别是多少？ （3）请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数解析式（不要求写 出自变量的取值范围）；
（4）指出在什么时间段内两车均行驶在途中且①自行车行驶在摩托车前面； ②自行车与摩托车相遇；③自行车行驶在摩托车后面． （02年河北省中考 改编）
快车
276
P 慢车
解:(1)由图象可知:慢车比快车早出发2小时，快车
追上慢车时行驶了276千米，快车比慢车早4小时 到达。
(A )
D
02
F
14 18 x(小时)
(2)解法1：设快车经过t小时追上慢车，有图象可知快车的速度为每小时 276千米
t
276
慢车的速度为每小时 t 2 千米。 又因为它们所走的路程相等，所以
2.要学会根据图象提供的数据信息结合公式进行计算，同时 还要善于根据图象中的数量关系列方程、不等式或者求函数解 析式。有时若能利用图形的几何性质，往往能得到巧妙的解法。
公考图示法解行程问题技巧实例
公考图示法解行程问题技巧实例随着2011年各个省份的招考公告的发布，省公务员考试的紧张备考已经进入冲刺时刻。
在公务员行测考试中，运用图形展示应用在数量关系和思维过程成为近年来行测考试的重要方法。
图示法具有直观、便捷、高效的特点，在此，就图示割补法、转换法和逆向法作介绍，希望能够帮助你顺利通过考试。
例1、A、B 两站之间有一条铁路，甲、乙两列火车分别停在 A 站和 B 站，甲火车4分钟走的路程等于乙火车5分钟走的路程。
乙火车上午8 时整从B 站开往A站，开出一段时问后，甲火车从 A 站出发开往 B 站，上午 9时整两列火车相遇。
相遇地点离A、。
B两站的距离比是15：16.那么。
甲火车在( ) 从 A 站出发开往 B 站。
(2007年国家公务员考试真题)A.8时12 分B.8时15 分C. 8 时 24 分D.8 时 30 分解析：本题属于比例行程问题，由“甲火车4分钟走的路程等于乙火车5分钟走的路程”这句话可得：路程不变，时间和速度成反比，则，v甲：v乙=5：4。
可作下图：“开出一段时问后，甲火车从 A 站出发开往 B 站，上午 9时整两列火车相遇”表明甲乙两人不是同时出发，则假设甲乙是同时出发，可通过“补”的方法完善图形：即假设甲从M、乙从B于上午8点同时出发出发，则可得出MC=20份，AM=5份。
再由AM：AC=1：3，根据速度不变，路程和时间成正比，得甲走完MA和AC的路程所用时间之比为1：3，即甲到达A点的时刻为：8时15 分。
答案选B。
例2、甲车从A 地，乙车从B地以不同的速度匀速相向开出。
两车相遇后分别掉头，并以对方的速率进行。
甲车返回A地后又一次掉头以同样的速率沿公路向B地开动。
最后甲、乙两车同时到达B地。
如果最开始时甲车的速度为 x ，则最开始时乙车的速率为( )。
(2006年国家公务员考试真题)A.4xB.2xC. 0.5xD.无法判断解析：该题的难点有二：其一甲乙相遇后各自回头，而没有继续向前走;其二是甲乙相遇后速度改变，并以对方的速度行驶。
一元一次方程的之行程问题2(PPT)2-2
拥有太阳系8大行星中偏心率最大的轨道，通俗的说，就是它的轨道的椭圆是最“扁”的。而最新的计算机模拟显示，在未来数十 亿年间，水星的这一轨道还将变得更扁，使其有%的机会和太阳或者金星发生撞击。更让人担忧的是，和外侧的巨行星引力场一起 ，水星这样混乱的轨道运动将有可能打乱内太阳系其他行星的运行轨道，甚至导致水星，金星或火星的轨道发生变动，并最终和 地球发生相撞。凌日现象水星凌日水星凌日过程示意图水星凌日过程示意图当水星走到太阳和地球之间时，我们在太阳圆面上会 看到一个小黑点穿过，这种现象称为水星凌日。 ；微信红包群 微信红包群 其道理和日食类 似，不同的是水星比月亮离地球远，视直径仅为太阳的9万分之一。水星挡住太阳的面积太小了，不足以使太阳亮度减弱，所以， 用肉眼是看不到水星凌日的，只能通过望远镜进行投影观测。水星凌日每年平均发生次。在世纪末有一次凌日是在999年月日时分 。在人类历史上，第一次预告水星凌日是"行星运动三大定律"的发现者，德国天文学家开普勒（7至年）。他在9年预言：年月7日 将发生稀奇天象--水星凌日。当日，法国天文学家加桑迪在巴黎亲眼目睹到有个小黑点（水星）在日面上由东向西徐徐移动。从 年至年，共出现次水星凌日。其中，发生在月的有次，发生在月的仅有次。每年，平均发生水星凌日.次。水星凌日的发生原理与 日食极为相似，水星轨道与黄道面之间是存在倾角的，这个倾角大约为7度。这就造成了水星轨道与地球黄道面会有两个交点。即 为升交点和降交点。水星过升交点即为从地球黄道面下方向黄道面上方运动，降交点反之。只有水星和地球两者的轨道处于同一 个平面上，而日水地三者又恰好排成一条直线时，才会发生水星凌日。如果水星在过升降交点附近的两天恰好也发生了水星下合 相位时，就有可能发生水星凌日天象。在目前及以后的十几个世纪内，水星凌日只可能发生在五月或十一月。发生在五月的为降 交点水星凌日，发生在十一月的为升交点水星凌日。而发生在五月的水星凌日更为稀罕，水星距离地球也更近。水星凌日发生的 周期同样遵循如日月食那样的沙罗周期。在同一组沙罗周期内的水星凌日的发生周期为年零天又.小时左右。但是这个年的周期中 如果有个闰年。周期即为年零.小时左右。这里所说的时间差值是同一沙罗周期相邻两次水星凌日中凌甚的时间差值。因为同一沙 罗周期相邻两次水星凌日发生的时长是不同的。观测历史编辑古代观星中国古代称水星为“辰星”或“昏星”。晋书：天文中（ 七曜杂星气史传事验）辰星曰北方冬水，智也，听也。智亏听失，逆冬
行程问题的画图方法与技巧
⾏程问题的画图⽅法与技巧⾏程问题画图分析的⽅法与技巧————向量构图法列⽅程解应⽤题可简单概括为“审、析、列、算、查”五个步骤。
即“审题、分析、列式、计算、检查”。
其中找等量关系式是解题的关键，然⽽较复杂的⾏程应⽤题的等量关系式是很难⼀下⼦找出来的，这就需要我们在“审题”的基础上认真分析，通过不断地把未知量⽤含未知数的代数式表⽰出来，即不断地扩⼤已知，使等量关系“⽔到渠成”。
在解⾏程应⽤题时，采取画图分析的⽅法不仅能有利的协调学⽣左、右脑（科学⽤脑），锻炼学⽣分析问题的能⼒，⽽且能激发学⽣的学习兴趣，培养学⽣的创新能⼒。
此外，通过对物体运动、联系、发展、变化的分析与再现，也为学⽣不断形成辩证唯物主义世界观打下良好的基础。
⒈图的构成:⾏程问题都与物体的位移有着直接的关系，⽽速度是既有⼤⼩，⼜有⽅向的量，所以图的主要构成是向量。
此外，⼀幅完整的图还应包括图标、数据、⽂字、注解等，其中构成向量的有向线段有虚实、粗细及不同颜⾊的变化。
⒉绘图原则：{在画图过程中应坚持的原则有：⑴要坚持认真审题。
审题是解答应⽤题的第⼀步，能否顺利、准确的分析，审清题⽬的已知条件和问题是基础。
⑵在认真审题基础上，“边读边画，兼顾协调”的原则。
即：在审清题⽬的已知条件和问题后，边读边画，并兼顾题中数据的⽐例关系、前后联系及隐含条件等，展开联想，合理安排。
⑶画图⼒求简洁和清晰明了，防⽌混淆不清。
在画图时要坚持画彩⾊图并利⽤有向线段的粗细和虚实等合理区分，防⽌混淆不清。
⑷根据题⽬的特点，灵活创新。
⒊绘图技巧#⑴“速度、路程（数值型）”分别标在对应向量的“上、下”。
⼀般情况下，含未知数的代数式所表⽰的路程标在它们中间。
⑵⽤同种颜⾊表达同⼀事物及变化。
⑶⽤“粗细”搭配来区分物体的“同时性”与否。
同时运动的物体，⽤较粗的有向线段来表⽰。
⑷⽤虚、实来区分物体的“假设运动”与“真实运动”等。
4.实例分析：⑴巧⽤粗细及虚实的分析举例：例1：有AB两城相距30千⽶，甲骑⾃⾏车从A往B，出发1⼩时30分钟后，—⼄骑摩托车也从A到B，已知⼄的速度是甲的倍，且⼄⽐甲早到1⼩时，求甲的速度。
行程问题-火车过桥与错车超车问题
第四讲 行程问题—火车过桥与错车超车问题【例题1】★一列列车长150米,每秒钟行19米。
问全车通过420米的大桥,需要多少时间？【分析与解】如图，列车过桥所行距离为:车长＋桥长。
（420＋150）÷19=30（秒）答：列车通过这座大桥需要30秒钟.【例题2】★一列车通过530米的隧道要40秒钟，以同样的速度通过380米的大桥要用30秒钟。
求这列车的速度及车长.【分析与解】列车过隧道比过桥多行(530－380）米，多用(40－30)秒。
列车的速度是:(530－380）÷(40－30）=15（米/秒）列车的长度是:15×40－530=70(米）答:列车每秒行15米,列车长70米.【例题3】★★火车通过长为102米的铁桥用了24秒，如果火车的速度加快1倍，它通过长为222米的隧道只用了18秒。
求火车原来的速度和它的长度。
【考点分析】如果火车仍用原速，那么通过隧道要用36秒。
【分析与解】列车原来的速度是（222－102）÷（18×2－24)=10（米/秒)火车长为10×24—102=138(米）答:列车原来每秒行10米，车长为138米.【例题4】★★一个车队以4米/秒的速度缓缓通过一座长200米的大桥，共用115秒钟.已知每辆车长5火车过桥是一种特殊的行程问题。
需要注意从车头至桥起，到车尾离桥止，火车所行距离等于桥长加上车长。
列车过桥问题的基本数量关系为：车速×过桥时间=车长+桥长。
火车过桥问题：（1）解题思路：先车速归一，再用公式“桥长之差÷时间之差=归一后的车速”，即=V t S ⨯差差，（2）画示意图，分析求解。
列车所行路程为车头到车头或车尾到车尾的距离，而不是车头到车尾的距离。
（3）与追及问题的区另：追及问题所用公式=V t S ⨯差差，要求时间归一。
关于S=Vt 公式的拓展初步探讨(1)S=vt =(2) S =v t = (3) S =v t = (4) S =vt = S vt ⨯⨯=⇒⨯⨯和和差差差差行程问题：路程速度时间相遇问题：路程和速度和时间（时间归一，能求路程和）追及问题：路程差速度差时间（时间归一，能求路程差）火车过桥：路程差车速度时间差（速⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩度归一，求出车速） 火车过桥好题精讲 火车过桥问题米,两车间隔10米,问这个车队共有多少辆车？【分析与解】4×115－200=260(米）……队伍长(260－5）÷(10＋5)＋1=18（辆)答：这个车队共用18辆车.【附加题】★★★(《小学生数学报》第八届竞赛试题）一列火车通过长320米的隧道，用了52秒。
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第十一讲行程问题中的图示解法补充练习
1、龟、兔从同一起点进行200米赛跑，兔子在途中
睡觉休息，直到乌龟从身边跑过一段时间后，兔子
醒来再起身向前跑去。
根据图中的信息可知，则兔
子醒来再起身以每分钟______米的速度才能在和乌
龟同时到达终点。
2、甲、乙两人在相距180米的直路两端同时出发来回散步，甲每秒走2米，乙每秒走2.5米，每人都走了6.5分钟。
那么这段时间内他们共相遇了（迎面或同向）多少次？
3、甲、乙二人同时从A地出发同向而行去往B地，甲的速度是每小时30千米，乙的速度是每小时20千米，二人相遇后继续行进，甲、乙到达B地后立即返回A地。
已知两个人第四次相遇的地点距离第三次相遇的地点20千米，那么，A、B两地相距多少千米？
4、甲、乙两车的速度分别为52千米/时和40千米/时，他们同时从A地出发去B地，在A、B两地间往返而行，从开始走到第三次相遇，共用了6小时。
A、B 两地相距多少千米？
5、小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回），他们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在离乙村2千米处第二次相遇。
问他们两人第六次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎面相遇）？
答案：
1、解析：
兔子开始的速度150÷5＝30米/分钟。
乌龟的速度150÷30＝5米/分钟。
乌龟到达终点的时间200÷5＝40分钟
兔子醒来后需要以（200－150）÷（40－39）＝50米/分钟的速度才能和乌龟同时到达终点。
2、解析：甲行全程用180÷2=90秒，乙行全程用180÷2.5=72秒。
画出柳卡图：
由图得，一共相遇5次。
3、解析：
4、解析：同向出发，第一次相遇时，两车走的路程和是2个AB之长；而到第三次相遇，两车走的路程和是2×3=6个AB之长，是（52+40）×6=552（千米），所以,A、B两地相距552÷6=92（千米）。
5、解析：二次相遇时两人已共同走了甲、乙两村距离的3倍，因此张走了3.5×3=10.5（千米）。
第二次相遇处离乙村2千米，因此，甲、乙两村的距离是10.5-2=8.5（千米）。
第六次相遇时，两人已共同走了两村距离2×6-1=11倍的行程，其中张走了3.5×11=38.5（千米），38.5÷8.5=4…4.5，就知道第六次相遇处，离乙村8.5-4.5=4千米。