北京育英中学数学旋转几何综合中考真题汇编[解析版]

北京育英中学数学旋转几何综合中考真题汇编[解析版]

一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）

1．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线2

y ax bx c =++的顶点是A(1，3)，将OA 绕点O 顺时针旋转90︒后得到OB ，点B 恰好在抛物线上，OB 与抛物线的对称轴交于点C ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）P 是线段AC 上一动点，且不与点A ，C 重合，过点P 作平行于x 轴的直线，与OAB ∆的边分别交于M ，N 两点，将AMN ∆以直线MN 为对称轴翻折，得到A MN '∆． 设点P 的纵坐标为m ．

①当A MN '∆在OAB ∆内部时，求m 的取值范围；

②是否存在点P ，使'

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A MN OA

B S S ∆'∆=,若存在，求出满足m 的值；若不存在，请说明理由．

【答案】()21y x 22x =-++；（2）①433m <<；②存在，满足m 的值为619-或639-． 【解析】

【分析】

（1）作AD ⊥y 轴于点D ，作BE ⊥x 轴于点E ，然后证明△AOD ≌△BOE ，则AD=BE ，OD=OE ，即可得到点B 的坐标，然后利用待定系数法，即可求出解析式；

（2）①由点P 为线段AC 上的动点，则讨论动点的位置是解题的突破口，有点P 与点A 重合时；点P 与点C 重合时，两种情况进行分析计算，即可得到答案；

②根据题意，可分为两种情况进行分析：当点M 在线段OA 上，点N 在AB 上时；当点M 在线段OB 上，点N 在AB 上时；先求出直线OA 和直线AB 的解析式，然后利用m 的式子表示出两个三角形的面积，根据等量关系列出方程，解方程即可求出m 的值．

【详解】

解：（1）如图：作AD ⊥y 轴于点D ，作BE ⊥x 轴于点E ，

∴∠ADO=∠BEO=90°，

∵将OA 绕点O 逆时针旋转90︒后得到OB ，

∴OA=OB ，∠AOB=90°，

∴∠AOD+∠AOE=∠BOE+∠AOE=90°，

∴∠AOD=∠BOE ，

∴△AOD ≌△BOE ，

∴AD=BE ，OD=OE ，

∵顶点A 为（1，3），

∴AD=BE=1，OD=OE=3，

∴点B 的坐标为（3，1-），

设抛物线的解析式为2

(1)3=-+y a x ，

把点B 代入，得 2(31)31a -+=-，

∴1a =-，

∴抛物线的解析式为2

(1)3y x =--+，

即222y x x =-++；

（2）①∵P 是线段AC 上一动点，

∴3m <，

∵当A MN '∆在OAB ∆内部时，

当点'A 恰好与点C 重合时，如图：

∵点B 为（3，1-），

∴直线OB 的解析式为13y x =-

， 令1x =，则13

y =-， ∴点C 的坐标为（1，1

3-），

∴AC=1103()33

--=

， ∵P 为AC 的中点，

∴AP=1105233⨯=， ∴54333

m =-=， ∴m 的取值范围是

433m <<； ②当点M 在线段OA 上，点N 在AB 上时，如图：

∵点P 在线段AC 上，则点P 为（1，m ），

∵点'A 与点A 关于MN 对称，则点'A 的坐标为（1，2m -3），

∴'3A P m =-，18'(23)233

A C m m =-+=-， 设直接OA 为y ax =，直线A

B 为y kx b =+，

分别把点A ，点B 代入计算，得

直接OA 为3y x =；直线AB 为25y x =-+， 令y m =，

则点M 的横坐标为3m ，点N 的横坐标为52m --， ∴5552326

m m MN m -=-=--； ∵2'11555515'()(3)22261224A MN S MN A P m m m m ∆=

•=•-•-=-+； '138'3(2)34223

OA B S A C m m ∆=••=•-=-； 又∵'56A MN OA B S S ∆'∆=

， ∴255155(34)12246

m m m -+=⨯-， 解得：619m =-或619m =+（舍去）；

当点M 在边OB 上，点N 在边AB 上时，如图：

把y m =代入13y x =-

，则3x m ， ∴5553222m MN m m -=+=+-，18'(23)233

A C m m =---=-， ∴2'11555515'()(3)2222424A MN S MN A P m m m m ∆=

•=•+•-=-++， '138'3(2)43223

OA B S A C m m ∆=••=•-=-， ∵'56A MN OA B S S ∆'∆=

，

∴255155(43)4246

m m m -++=⨯-， 解得：6393m -=

或6393m +=（舍去）； 综合上述，m 的值为：619m =-或6393

m -=

． 【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的旋转、解一元二次方程、全等三角形的判定和性质、三角形的面积公式等，解题的关键是熟练掌握所学的性质，正确得到点P 的位置．注意运用数形结合的思想和分类讨论的思想进行解题．

2．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝6．

（1）如图1，若将线段AB 绕点B 逆时针旋转90°得到线段BD ，连接AD ，则△ABD 的面积为 ．

（2）如图2，点P 为CA 延长线上一个动点，连接BP ，以P 为直角顶点，BP 为直角边作等腰直角△BPQ ，连接AQ ，求证：AB ⊥AQ ；

（3）如图3，点E ，F 为线段BC 上两点，且∠CAF ＝∠EAF ＝∠BAE ，点M 是线段AF 上一个动点，点N 是线段AC 上一个动点，是否存在点M ，N ，使CM +NM 的值最小，若存在，求出最小值：若不存在，说明理由．

【答案】（1）36；（2）详见解析；（3）存在，最小值为3．

【解析】

【分析】

（1）根据旋转的性质得到△ABD 是等腰直角三角形，求得AD ＝2BC ＝12，根据三角形的面积公式即可得到结论；

（2）如图2，过Q 作QH ⊥CA 交CA 的延长线于H ，根据等腰直角三角形的性质，得到PQ ＝PB ，∠BPQ ＝90°，根据全等三角形的性质得到PH ＝BC ，QH ＝CP ，求得CP ＝AH ，得到∠HAQ ＝45°，于是得到∠BAQ ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，即可得到结论；

（3）根据已知条件得到∠CAF ＝∠EAF ＝∠BAE ＝15°，求得∠EAC ＝30°，如图3，作点C 关于AF 的对称点D ，过D 作DN ⊥AC 于N 交AF 于M ，则此时，CM +NM 的值最小，且最小值＝DN ，求得AD ＝AC ＝6，根据直角三角形的性质即可得到结论．

【详解】