工程矩阵理论第章矩阵的广义逆
矩阵论广义逆
矩阵论广义逆矩阵是线性代数中的重要概念，广义逆是矩阵论中的一个关键概念。
在矩阵论中，广义逆用于解决矩阵方程的求解问题。
本文将介绍矩阵论中的广义逆以及其应用。
1. 广义逆的定义在矩阵论中，矩阵的广义逆是指对于任意矩阵A，存在一个矩阵X，满足以下条件：1) AXA=A2) XAX=X3) (AX)^T=AX4) (XA)^T=XA广义逆的存在性和唯一性是矩阵论中的一个重要问题，对于满足以上条件的矩阵X，我们称其为A的广义逆，记作A⁺。
2. 广义逆的性质广义逆具有以下性质：1) AA⁺A=A2) A⁺AA⁺=A⁺3) (A⁺)^T=A⁺4) (AA⁺)^T=AA⁺广义逆的性质使得它在矩阵方程的求解中具有重要作用。
3. 广义逆的应用广义逆在矩阵方程的求解中有广泛的应用，下面介绍其中几个常见的应用：3.1 线性方程组的求解对于线性方程组Ax=b，如果A的广义逆A⁺存在，那么方程的解可以表示为x=A⁺b。
广义逆的存在性保证了线性方程组的解的存在性，并且通过广义逆的计算，可以得到解的一个特解。
3.2 最小二乘问题的求解最小二乘问题是指在给定线性方程组Ax=b无解时，求解使得||Ax-b||^2最小的x。
如果A的广义逆A⁺存在，那么最小二乘问题的解可以表示为x=A⁺b。
广义逆的计算可以通过奇异值分解等方法来实现。
3.3 线性回归分析线性回归分析是统计学中的一种重要方法，用于建立自变量与因变量之间的线性关系。
在线性回归分析中，广义逆可以用于求解回归系数，得到最佳拟合直线，并用于预测和推断。
4. 广义逆的计算方法广义逆的计算方法有多种，常见的包括伪逆法、奇异值分解法等。
伪逆法是通过对矩阵A进行分解或变换，得到A的伪逆矩阵。
奇异值分解法则是通过对矩阵A进行奇异值分解，得到A的伪逆矩阵。
这些计算方法都是基于矩阵的特征和性质进行推导和求解的。
5. 广义逆的应用举例以线性方程组的求解为例，假设有如下线性方程组：2x+y=3x+3y=9将其转化为矩阵形式为：A=[2 1; 1 3]b=[3; 9]求解线性方程组的解可以通过计算广义逆来实现。
广义逆矩阵
广义逆矩阵
广义逆矩阵是指一个非奇异的复矩阵的逆矩阵，这种逆矩阵可以使得不同的矩阵进行运算。
广义逆矩阵可以分为两类：一类是经典矩阵，即特定的正交矩阵；另一类是非正交矩阵，即一般矩阵。
经典矩阵的广义逆矩阵可以用某种特殊的正交矩阵表示，这种正交矩阵是矩阵的逆，可以使任意矩阵进行运算。
此外，经典矩阵的广义逆矩阵也满足下列几个性质：（1）它是一个对称矩阵；（2）它是一个非奇异矩阵；（3）它的转置是它的逆；（4）它的乘法是广义乘法的结果；（5）它的乘积满足基本乘法定理。
非正交矩阵的广义逆矩阵也有一些和经典矩阵相似的特点：（1）它是一个对称矩阵；（2）它是一个非奇异矩阵；（3）它的转置是它的逆；（4）它的乘法是广义乘法的结果；（5）它的乘积满足基本乘法定理。
然而，经典矩阵和非正交矩阵的广义逆矩阵也有一些不同之处。
例如，非正交矩阵的广义逆矩阵可以使不可逆的矩阵变成可逆的矩阵，而经典矩阵的广义逆矩阵不能实现这一点。
此外，非正交矩阵的广义逆矩阵还具有长时间计算性质，而经典矩阵的广义逆矩阵则不具备这种性质。
上述介绍了广义逆矩阵的定义和特性。
可以看出，广义逆矩阵是一种可以使任意矩阵进行运算的矩阵，它具有很多性质，特别是可以使不可逆的矩阵变成可逆的矩阵，并具有长时间计算性质，所以广义逆矩阵在矩阵数学的应用中非常重要。
总的来说，广义逆矩阵是一种重要的矩阵，它可以使任何类型的矩阵进行计算，具有非常重要的应用价值。
如果我们能够更好地理解它的性质，也许我们就能更好地利用它来解决数学问题。
第八章 矩阵的广义逆
第八章矩阵的广义逆前言初等变换和标准形初等变换和标准形举例
§8.1 广义逆矩阵减号逆的概念
减号逆存在定理及求法减号逆存在定理及求法续
关于减号逆公式的注一个减号逆确定所有减号逆1减号逆的主要性质续减号逆的主要性质续
减号逆的主要性质续左逆与右逆的概念矩阵左逆与右逆的求法自反广义逆的概念
自反广义逆的存在与唯一性自反广义逆的唯一性自反广义逆与左(右)逆的关系用满秩分解求自反广义逆
自反广义逆的求法自反广义逆的求法续§8.2 伪逆矩阵
伪逆的存在性求伪逆举例
伪逆的唯一性
伪逆的性质
⎞
⎛−101求伪逆举例
§8.3 广义逆与线性方程组
一般矩阵方程有解的条件一般矩阵方程的通解
用减号逆求解相容线性方程组举例相容线性方程组的最小模解0130
−
相容方程组最小模解的充要条件
相容方程组最小模解的充要条件续
求相容方程组最小模解举例
Ax,即‖Ax-b‖>0.
不相容方程组的最小二乘解
R(A)
Ax 0
不相容方程组的最小二乘解举例用广义逆求最小二乘解定义8.3.2:线性方程组Ax=b 的一个最佳最小二乘
矩阵方程的最小二乘解。
工程硕士矩阵论第六章
广义逆矩阵是常义逆矩阵的推广，这种推广 是由于线性方程组的求解问题的需要。 上世纪二十年代，美国数学家Moore提出了 广义逆矩阵的概念，也许他引用的定义形式较复 杂，使此研究成果长期未被人们重视。直到1955 年，数学家Penrose以更明确的形式（4个矩阵方 程）给出了广义逆矩阵的定义之后，广义逆矩阵 的研究才进入一个新时期。广义逆矩阵在数理统 计、最优化方法、现代控制理论等许多领域都有 重要的应用。 本章介绍几种常用的广义逆矩阵及其在解线 性方程组中的应用。
二.相容方程组的求解问题 Th1. AX 0的通解为 Th2. AX b 相容
X I A A Y
AA b b
Th3. AX b 相容 ，则 1.其通解为 X A b I A A Y 2.其唯一的极小范数解为
X A b
三.矛盾方程组的求解问题 Th4. AX b 不相容 ，则 1.其最小二乘解的通解为 X A b I A A Y
•若A为行满秩矩阵，则 A
•若A为列满秩矩阵，则A
m n r
A
H
AA
H 1
1
A A AH
H
•若 A C ,且A的满秩分解为 A FG ,其中F 为列满秩矩阵，G为行满秩矩阵，则
A G F G
H
GG F F
H 1 H
1
FH
例 求下列矩阵的Moore-Penrose逆
研究矛盾方程组的意义： 1．未知量之间本应满足线性关系，但由 于已知数据（系数、常数项）常是测量值 和观察值，难免带有误差，这样就有可能 使原来相容的方程组变成不相容的方程组 ；
2．未知量之间本来是非线性关系，人们 把它们近似地作了线性处理，这样一来， 变量显然不可能精确地满足某个线性方程 组.
矩阵的广义逆及其应用.ppt
第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵
(6) 若F是列满秩矩阵，则 F (F H F )1 F H
(7) 若G是行满秩矩阵，则 G GH (GGH )1
(8) 若矩阵A的满秩分解为A FG，则有 A G F ；
高等工程数学 理学院 杨文强
第五章 矩阵的广义逆
第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵 一、矩阵的广义逆
设A Rnn，对于线性方程组 Ax b，当A可逆时， 方程组有唯一解：x A1b.
若矩阵 A不可逆时，如何求解方程组 Ax b?
更一般，当矩阵 A Rmn不是方阵时，如何讨论 方程组 Ax b的解， 其中x Rn，b Rm ? 为了分析和解决上述问题，引入广义逆的概念.
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第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵
定理2：设A Rmn，b Rm，x Rn，若性方程组 Ax b 是相容的，即方程组Ax b 有解，则其
通解为： x Ab (In A A)t，t是任意n 1向量. 证明：首先证明t Rn，x Ab (In A A)t是 方程组的解，然后证明方程组的任一解x，均可 表示成x Ab (In A A)t的形式.
A
1
1
1
2
(3)(1)3
0
3 3 2 4
0
1 2 4
0
1
2
0 4 8
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第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵
1
A
0
0
1 2 4 (1)(2)2 1 1 0 0
矩阵的广义逆 ppt课件
意。
A-b为AX=b的特解, (In-A-A)Z为AX=0的通解.
E.H. Moore and Roger Penrose
二、Moore-Penrose (M-P) 广义逆
由Moore 1920年提出，1955年由Penrose独 立研究和发展。
1、 定义4.3 (P.98) 设矩阵 A Cmn，如果
A
L
1
的存在性
直观分析
➢
A
1 L
存在 矩阵A列满秩
➢
A
1 L
=
(AHA)–1AH
定理4.1(P.93) 设 A Cmn ，下列条件等价
1. A左可逆;
BA = In
2. A的零空间 N(A) = {0}; Ax = 0 x = BAx = 0
3. m n，秩(A) = n，即A是列满秩的; n-r(A) = 0
1. 矩阵A右可逆;
AC = Im
2. A的列空间 R(A) = Cm ; x = ACx
x R(A)
3. n m, 秩(A) = m, 即A是行满秩的r;(A)=dimR(A)
4. 矩阵 AAH 可逆，且
A
R
1
= AH(AAH)–1
r(AAH) = r(A)
讨论：可逆矩阵Ann的左、右逆和逆的关系 ➢ 可逆矩阵A的左、右逆就是矩阵A的逆A
GCnm ，使得
4.
矩阵AHA可逆，且
A
L
1
= (AHA)–1AH 。r(AHA) = r(A)
1 0
如前例 矩阵 A =
0
1
左可逆，AT右可
逆。如何求左或右逆？ 2 1 可用行或列初等变换！
m r(A) C r(A )m ,n
矩阵的广义逆行列式
矩阵的广义逆行列式
矩阵的广义逆行列式是指一个矩阵在广义逆的定义下所对应的行列式。
在线性
代数中，给定一个矩阵A，如果存在一个矩阵B使得AB和BA都是广义单位矩阵（设为I），则B被称为矩阵A的广义逆，记作A⁺。
对于一个矩阵A的广义逆行列式，我们可以通过以下步骤计算得出。
首先，我们需要求出A的广义逆矩阵A⁺，这可以通过奇异值分解(SVD)来得出。
将矩阵A
作SVD，可以得到矩阵A的奇异值分解形式为A = UΣV^T，其中U和V是正交矩阵，Σ是对角阵。
我们可以将矩阵Σ的对角元素进行求逆，得到Σ的伪逆矩阵Σ⁺。
然后，将U
和V^T进行转置操作，得到U^T和V的转置矩阵(V^T)^T=V，分别表示U和V的伪逆矩阵。
通过上述步骤，我们可以得到矩阵A的广义逆矩阵A⁺=VΣ⁺U^T。
最后，我
们可以计算矩阵A的广义逆行列式。
由于矩阵A⁺并不一定是方阵，所以其行列式并不能简单地通过行列式的计算公式求得。
因此，矩阵的广义逆行列式并不是一个常见或常规的矩阵特征。
在求解过程中，我们更关注广义逆矩阵A⁺的性质，如A⁺A和AA⁺的性质，以及广义逆在线性方程组求解、最小二乘问题等方面的应用。
总结而言，矩阵的广义逆行列式是一个复杂且非常规的特征，不能通过简单的
行列式计算公式直接求得。
对于矩阵A的广义逆行列式的计算，我们首先需要求
出A的广义逆矩阵A⁺，然后可以通过该矩阵的性质进行进一步的研究和应用。
矩阵的广义逆及其应用
矩阵的广义逆及其应用矩阵的广义逆，也称为矩阵的Moore-Penrose逆，是矩阵理论中的一个重要概念。
广义逆是对于不可逆矩阵的一种推广，可以用来求解一些特殊类型的线性方程组或优化问题。
本文将介绍矩阵的广义逆的定义、性质以及在实际问题中的应用。
定义对于一个矩阵A，如果存在矩阵B，使得以下条件成立：1.ABA = A2.BAB = B3.(AB)^T = AB4.(BA)^T = BA则矩阵B被称为矩阵A的广义逆，记作A^+。
性质矩阵的广义逆具有以下性质：1.若A是可逆矩阵，则A的广义逆与A的逆相等，即A^+ = A^{-1}。
2.若A是一个方阵，但不可逆，则A的广义逆存在但不唯一。
3.若A是一个矩阵且A+存在，则A+也是一个矩阵。
4.若A是一个矩阵，B是A的广义逆，则B也是A^+的广义逆。
应用矩阵的广义逆在实际问题中有着广泛的应用，下面介绍几个典型的应用场景：线性最小二乘法在线性回归问题中，我们通常需要求解一个线性方程组AX = B。
如果A不是满秩矩阵，即A不可逆，我们可以使用A的广义逆来求解最小二乘解X，即X =A^+B。
控制系统在控制系统中，经常会遇到状态估计或者控制问题，通常涉及到求解一个线性方程组。
如果问题中的系数矩阵不可逆，可以使用矩阵的广义逆来求解。
信号处理在信号处理中，经常需要对信号进行平滑处理或者噪声去除。
矩阵的广义逆可以用来求解平滑信号的逼近或者滤波问题。
总之，矩阵的广义逆在各个领域都有着重要的应用，能够帮助我们解决一些复杂的线性问题，提高问题的求解效率。
结论矩阵的广义逆是矩阵理论中的一个重要概念，具有很多独特的性质和应用。
通过本文的介绍，希望读者能够对矩阵的广义逆有更深入的了解，并在实际问题中灵活运用。
工程矩阵理论(第6章-矩阵的广义逆)
矩阵的广义逆可以用于求解线性方程组，特别是当系数矩阵奇异或接近奇异时，广义逆提供了有效的 解决方案。
最小二乘解
在最小二乘问题中，广义逆可以找到使得残差平方和最小的解，这在数据分析和统计中非常有用。
在控制论中的应用
系统稳定性分析
在控制系统中，广义逆可以用于分析 系统的稳定性，通过计算系统的极点 来评估系统的动态行为。
04
矩阵的广义逆的存在性条件
存在性条件
矩阵A的秩为n
矩阵A的秩必须等于其维数n，即 $rank(A) = n$，以保证存在一个广义逆 矩阵。
VS
线性方程组有解
矩阵A所对应的线性方程组必须有解，即 系数矩阵A的行列式值不为零，即 $det(A) neq 0$。
唯一性条件
要点一
矩阵A为非奇异矩阵
矩阵A必须是非奇异矩阵，即其行列式值不为零，即 $det(A) neq 0$，以保证广义逆矩阵的唯一性。
程实际需求。
工程实例三：最优化问题求解
总结词
最优化问题求解是矩阵广义逆的一个重要应用方向。
详细描述
在工程领域中，经常需要解决各种最优化问题，如线 性规划、二次规划、非线性规划等。这些问题的数学 模型通常可以转化为矩阵形式。通过利用矩阵的广义 逆，可以高效地求解这些最优化问题，为工程实践提 供更好的解决方案。
最小二乘法的优点是简单易行，适用于大规模数据的计算。 但是，它只能找到一个近似解，而不是精确解。
迭代法
迭代法是一种通过不断迭代来逼近解的方法。在矩阵的广 义逆中，迭代法可以用来求解线性方程组的迭代解。通过 不断迭代更新解向量，最终逼近方程组的解。
迭代法的优点是适用于大规模数据的计算，且可以找到精 确解。但是，迭代法的收敛速度较慢，需要多次迭代才能 得到满意的结果。
广义逆的性质与应用
广义逆的性质与应用广义逆是矩阵理论中的重要概念，广义逆的性质与应用涵盖了多个领域，包括线性代数、最小二乘法、控制论、信号处理等。
本文将介绍广义逆的定义、性质及其在不同领域中的应用。
一、定义与性质1.1 定义广义逆也被称为伪逆或摩尔－彭若斯广义逆，是对于非方阵的矩阵而言的一种逆。
对于任意的m x n矩阵A，它的广义逆记作A^+ ，满足以下条件：1) AA^+A = A2) A^+AA^+ = A^+3) (AA^+)^T = AA^+4) (A^+A)^T = A^+A1.2 性质广义逆具有以下一些重要性质：1) 如果A是可逆矩阵，则A的广义逆等于A的逆。
2) A的广义逆是唯一的。
3) 两个矩阵的广义逆的乘积等于它们各自广义逆的乘积。
4) 广义逆具有非负性：如果A的元素都是非负的，则A的广义逆的元素也都是非负的。
5) 当A是满秩矩阵时，AA^+ = I，即A乘以它的广义逆等于单位矩阵。
二、应用领域2.1 最小二乘法最小二乘法是一种常用于解决拟合问题的数学方法，广义逆在最小二乘法中起着重要作用。
对于线性方程组Ax=b，其中A是一个非方阵，x和b是两个向量，如果该方程组无解，我们可以通过广义逆来寻找一个最优解，即使得Ax尽量接近b的解x^* = A^+b。
2.2 控制论广义逆在控制论中的应用主要是在系统建模和控制器设计中。
在一些复杂的系统中，往往无法直接求解系统的解析解。
通过广义逆，我们可以得到一种近似解，在控制器设计中，可以利用广义逆来求解动态系统的逆动力学问题。
2.3 信号处理广义逆在信号处理中也起着重要作用，特别是在图像恢复、压缩感知以及信号降噪等方面的应用。
通过广义逆，可以对噪声干扰下的信号进行恢复和重构，提高信号的质量和准确性。
2.4 数据挖掘在数据挖掘中，广义逆被广泛应用于矩阵分解、推荐系统和聚类分析等领域。
通过广义逆，可以对大量的数据进行降维处理，提取有效的特征，并用于分类和预测任务。
三、总结广义逆作为矩阵理论的重要内容，具有广泛的应用价值。
广义逆矩阵
1 0 0
10 0
1 0
0
0 1
0 1 0
0 0
0 1
把 y1 0,0,1,0T , y2 0,0,0,1T 扩充为R4 的一组标准正交基得：
y3 1,0,0,0T , y4 0,1,0,0T 再令 U y1, y2 , y3, y4 ,
设r 0,由满秩分解定理知，存在B Crmr ,C Crrn , 使得A BC
令X C H (CC H )1(BH B)1 BH
可以验证X满足广义逆矩阵方程
对于矩阵方程
几类弱逆
AXA A
(P1)
XAX X
AX H AX
(P2 ) ( P3 )
XAH XA (P4 )
则有唯一解 x A1b; 但当A是奇异方阵或长方矩阵时，它的解
不唯一，我们可以利用减号逆给出方程组的通解。
2）如果方程组相容，且其解有无穷多个，可求出具有极小范数的
解，即 min x , 其中 为欧氏范数，可以证明满足此条件 Axb
的解是唯一的，称为极小范数解。
3）若方程组不相容，则不存在通常意义下的解，但在许多实际 问题中，需要求出这样的解：
Al --最小二乘广义逆
A{1,4},它的形式记为
Am 最小范数广义逆
广义逆A-
A{1}是指仅满足第一个Penrose方程的广义逆，即若
AA-1A=A, 则记 A A{1}
说明： 1)利用初等行变换，可以求得A-
2）A的减号逆A-不唯一。
例：设
A
1 1
0 0,
1 0
第七章 广义逆矩阵
广义逆矩阵是逆矩阵的推广，与线性方程组的求解有密切 联系。给定一个线性方程组 Ax=b，当矩阵A可逆时，线性 方程组的解可表示为x=A-1 b
工程矩阵理论(第6章-矩阵的广义逆)
第六章 矩阵的广义逆
§6.1 广义逆及其性质
(7) A+ = (AHA)+AH = AH(AAH)+; (8) (UAV)+ = VHA+UH, 其中U, V为酉矩阵; (9) A+AB = A+AC AB = AC. 证明: (7) (AHA)+AH = A+(AH)+AH = A+(A+)HAH = A+(AA+)H = A+AA+ = A+.
D1 O 令G = V O O ns UH,
则可直接验证G为A的广义逆.
第六章 矩阵的广义逆
§6.1 广义逆及其性质
(唯一性) 设X, Y满足 (1) AXA = A = AYA; (2) XAX = X, YAY = Y; (3) (AX)H = AX, (AY)H = AY; (4) (XA)H = XA, (YA)H = YA, 则X = XAX = X(AX)H = XXHAH = XXH(AYA)H = XXHAH(AY)H = X(AX)H(AY)H = XAXAY = XAY = XAYAY = (XA)H(YA)HY = (YAXA)HY = (YA)HY = YAY = Y.
AH(AAH)+ = AH(AH)+A+ = AH(A+)HA+ = …
(8) 利用定理4.2.6 (奇值分解), (9)() A+AB = A+AC AB = AA+AB = AA+AC = AC.
第六章 矩阵的广义逆
§6.1 广义逆及其性质
定理6.1.3 设A (1)
sn,
则
第六章 广义逆矩阵
100
= 0 1 0 .
000
由 例 6.1.3 可知, α 在 L 上的正交投影向量为
100
1
1
PLα = 0 1 0 0 = 0 .
000
1
0
(实际上 PLα 无需计算即可“猜”到, 为什么?)
定义 6.1.1 设矩阵 A ∈ Cm×n, 若矩阵 X ∈ Cn×m 满足 Penrose 方程组 (6.0.4), 则称 X 为 A 的一个 Penrose 广义逆 (矩阵).
x = R−1U ∗b
(6.0.1)
(或者由原方程的正规化方程 A∗Ax = A∗b 求得, 因为此时系数矩阵 A∗A 可逆.) 如果记 A = R−1U ∗, 则有 A A = In, 因此, 如果 A 是方阵, 则 A 确为 A 的逆矩阵. 但若 n < m, 则有
AA =
In 0 0 0 m×m
第一节 投影矩阵与 Moore-Penrose 广义逆矩阵
本节我们将证明 Moore 方程组与 Penrose 方程组是等价的, 因此矩阵的 Moore 广义逆 与 Penrose 广义逆实际上是相同的. 为此需要研究 Moore 方程组中的投影矩阵 PR(A) 与 PR(X). 回顾第二章, 若 C 上 n 阶方阵 A 满足 A2 = A, 则有
55Eliakim Hastings Moore(1862-1932), 美国数学家, 是二十世纪初美国数学的奠基人, 曾任美国数学会主席. 56Sir Roger Penrose(1931-), 著名英国数学家, 物理学家, 哲学家. 1988 年 Wolf 奖得主. 与 Stephen Hawking (霍 金) 合作证明了广义相对论的奇点存在性.
第6章 广义逆矩阵
2 2 1 1 其中 Q 2 1 2 为正交矩阵 3 1 2 2
20
4 1 0 T A Q Q Q 0 11 0 0
0 T 0 Q 2 1
2 0 2 1 0 0 2 4 2 2 1
A+ 的性质
A+ 的性质：
(1) ( A ) A, ( AT ) ( A )T ; ( 2) 若 A可逆， 则A A-1 ; (3) (A) A , 其中
-1 ， 0 0， 0
(4) rank ( A ) rank ( A A) rank ( AA ) rank ( A);
最小二乘通解为
x A b ( I A A) y 1 8 2 2 1 1 2 2 5 4 y 27 9 2 2 4 5
4 8 10 1 8 16 20 50 5 10 25
例 3. 设
2 2 0 A 2 1 2 0 2 0
求 A的广义逆 A
4 0 0 由 Q 1 AQ 0 1 0 , A QQ T 0 0 2
引理1：设A为 n 阶幂等阵，即 A2 = A, 则
(1) N ( A) R( I A), R( A) N ( I A)
(2) N ( A) R( A) R n
引理2：设A为实m×n 阵, 则
(1) N ( A) R( AT ) , N ( A) R( AT ) R n ( 2) N ( A) N ( AT A)
是矛盾方程组，并求其最小二乘通解。
,
2-2广义逆矩阵
- -可§2 矩阵的广义逆一、广义逆矩阵的概念定义1 设任意一个矩阵n m R A ⨯∈，假设存在矩阵m n R X ⨯∈，满足 AXA =A 〔1〕 XAX =X 〔2〕(AX )T =AX 〔3〕(XA )T =XA 〔4〕这四个方程中的一个、两个、三个或全部，那么称X 为A 的广义逆矩阵。
由上面的定义可知，广义逆矩阵有15C C C C 44342414=+++中之多。
本节介绍应用广泛的减号广义逆和加号广义逆。
定义2 对矩阵n m R A ⨯∈，一切满足方程组A AXA =的矩阵X ，称为矩阵A 的减号逆或g-逆。
记为-A 。
例如，⎪⎭⎫ ⎝⎛=010001B ，⎪⎭⎫ ⎝⎛=100001C 都是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010101A 的减号逆。
下面的定理解决了-A 的存在性和构造性问题。
定理1(秩分解) 设A 为n m ⨯矩阵，()rank A r =，假设Q O O O I P A r ⎪⎭⎫ ⎝⎛=， 或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--O O O I AQ P r 11- -可这里P ,Q 分别为n n m m ⨯⨯,的可逆阵，那么12221121---⎪⎭⎫ ⎝⎛=P G G G I Q A r (5) 其中222112,,G G G 是相应阶数的任意矩阵。
证明 设X 为A 的广义逆，那么有Q O O O I P Q O O O I QXP O O O I P A AXA r r r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇔= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇔O O O I O O O I QXP O O O I r r r假设记⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211G G G G QXP 那么上式，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇔00000011r I G r I G =⇔11 于是， 12221121--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇔=P G G G I Q X A AXA r 其中222112,,G G G 任意. 证毕.定理1不但说明矩阵的减号逆总是存在的，通常也是不唯一的，而且还给出了计算减号逆的方法。
矩阵分析第八章
((AAH)(AAH)+)H=((AAH)+)H(AAH)H=(AAH)+(AAH) = (A+)HA+(AAH)=(A+)H(A+A)AH=(A+)H(A+A)HAH = (A+)HAH(A+)HAH=(AA+)H(AA+)H=AA+AA+ = A(A+A)HA+=(AAH)(A+)HA+=(AAH)(AAH)+ ((AAH)+(AAH))H=(AAH)H((AAH)+)H=(AAH)(AAH)+ = (AAH)(A+)HA+=A(A+A)HA+=AA+AA+ = (AA+)H(AA+)H=(A+)HAH(A+)HAH=(A+)H(A+A)HAH = (A+)H(A+A)HAH=(A+)HA+(AAH)=(AAH)+(AAH) (3)的证明与(2)类似, 略.
0 −1 Q 0
例 2：设A−是A∈Cm×n的一个广义逆, 则对任意的V∈Cn×m, W∈Cn×m,
X = A − + V ( Em − AA − ) + ( E n − A − A)W
也是A的一个广义逆矩阵. 证明： AXA = AA − A + AV ( E m − AA − ) A + A( E n − A − A)WA
“⇐” 设A−满足AA−A = A 且 rankA = rankA−, 则: rankAA− = rankA = rankA− ⇒ dim N(AA−) = dim N(A−) 又因为N(AA−) ⊃ N(A−), 从而 N(AA−) = N(A−). 由 AA−A = A ⇒ AA− − AA−AA− = 0 ⇒ ⇒ AA−(E− AA−) = 0 ⇒ A−(E− AA−) = 0 A− = A−AA−
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(3) R(A) = R(AA+) = R(AAH) = K(IAA+);
证明: X R(A) Y n s.t. X = AY X = AA+AY R(AA+),
AH(AAH)+ = AH(AH)+A+ = AH(A+)HA+ = …
(8) 利用定理4.2.6 (奇值分解), (9)() A+AB = A+AC
AB = AA+AB = AA+AC = AC.
第六章 矩阵的广义逆
定理6.1.3 设A
sn, 则
§6.1 广义逆及其性质
(1) AA+X =
X, 0,
(4) (GA)H = GA,
则称G为A的广义逆
(或Moore-Penrose逆, 简称MP-逆).
第六章 矩阵的广义逆
§6.1 广义逆及其性质
二. 存在性与唯一性
定理6.1.1 设A sn, 则A有唯一的广义逆. 证明: (存在性) 根据定理4.2.6 (奇值分解),
存在酉矩阵U与V使得
A=U
其中k
, k+ =
k1, k 0, 0, k = 0;
证明: 根据Penrose方程直接验证.
第六章 矩阵的广义逆
§6.1 广义逆及其性质
(5) AH = AHAA+ = A+AAH; (6) (AHA)+ = A+(AH)+,
(AAH)+ = (AH)+A+;
证明: (5) AHAA+ = AH(AA+)H = (AA+A)H = AH. A+AAH = (A+A)HAH = (AA+A)H = AH.
X R(A), X K(AH);
证明: X R(A) Y n s.t. X = AY
AA+X = AA+AY = AY = X.
X K(AH) AHX = 0 AA+X = (AA+)HX = (A+)HAHX
= 0.
第六章 矩阵的广义逆
§6.1 广义逆及其性质
(2) A+AX =
= A+(AA+)HAA+(AH)+ = A+AA+AA+(AH)+ = A+AA+(AH)+ = A+(AH)+;
[(AHA)A+(AH)+]H = [(AH)+]H(A+)HAH(AH)H
= A+(A+)HAHA = A+(AA+)HA = A+AA+A = A+A = (A+A)H = [A+(AA+)A]H = AH(AA+)H(A+)H
(6) 利用定理4.2.6(奇值分解),
或根据Penrose方程直接验证.
(AHA)A+(AH)+(AHA) = AHAA+(A+)HAHA
= AHAA+(AA+)HA = AHAA+AA+A = AHAA+A = AHA;
第六章 矩阵的广义逆
§6.1 广义逆及其性质
A+(AH)+(AHA)A+(AH)+ = A+(A+)HAHAA+(AH)+
= (YAXA)HY = (YA)HY = YAY = Y.
第六章 矩阵的广义逆
§6.1 广义逆及其性质
注: A的广义逆记为A+.
例1 (1) 若A为可逆阵, 则A+ = A1.
(2) O+ = OT.
例2
(1)
AO OB
+
=
A+ O
O B+
,
OA BO
+
=
O A+
B+ O
.
(2)
A O
+
= (A+, O),
X, 0,
X R(AH), X K(A);
证明: X R(AH) Y s s.t. X = AHY A+AX = A+AAHY = (A+A)HAHY = (AA+A)HY = AHY = X.
X K(A) AX = 0 A+AX = 0.
第六章 矩阵的广义逆
§6.1 广义逆及其性质
故B+ =
1/2 1/2
,
A+ =
B O
+ = (B+, O) =
1/2 1/2
0 0
.
第六章 矩阵的广义逆
§6.1 广义逆及其性质
三. A+的性质
定理6.1.2 设A sn, 则
(1) (A+)+ = A;
(2) (AH)+ = (A+)H;
(3) (AT)+ = (A+)T;
(4) (kA)+ = k+A+,
(A, O)+
=
A+ O
.
第六章 矩阵的广义逆
例3
设A =
1 0
1 0
, 求A+.
解: 令B = (1, 1), B+ =
x y
,
§6.1 广义逆及其性质
则 (x+y)(1, 1) = BB+B = B = (1, 1),
x x
y y
= (B+B)H = B+B =
x y
x y
,
由此可得x = y = 1/2.
第六章 矩阵的广义逆
第一节 广义逆及其性质
第二节 A+的求法
第三节 广义逆的一个 应用
第六章 矩阵的广义逆
§6.1 广义逆及其性质
§6.1 广义逆及其性质
一. Penrose方程与MP-逆
定义6.1.1 设A sn. 若存在G ns满足
(1) AGA = A;
(2) GAG = G; (3) (AG)H = AG; Penrose方程
(3) (AX)H = AX, (AY)H = AY;
(4) (XA)H = XA, (YA)H = YA,
则X = XAX = X(AX)H = XXHAH
= XXH(AYA)H = XXHAH(AY)H
= X(AX)H(AY)H = XAXAY = XAY
= XAYAY = (XA)H(YA)HY
D O
O O
VH,
其中D = diag(1, …, r),
1, …, r > 0为AHA的特征值.
令G = V
D1 O
O O
UH,
ns
则可直接验证G为A的广义逆.
ห้องสมุดไป่ตู้ 第六章 矩阵的广义逆
§6.1 广义逆及其性质
(唯一性) 设X, Y满足
(1) AXA = A = AYA;
(2) XAX = X, YAY = Y;
第六章 矩阵的广义逆
§6.1 广义逆及其性质
(7) A+ = (AHA)+AH = AH(AAH)+; (8) (UAV)+ = VHA+UH,
其中U, V为酉矩阵; (9) A+AB = A+AC AB = AC.
证明: (7) (AHA)+AH = A+(AH)+AH = A+(A+)HAH = A+(AA+)H = A+AA+ = A+.
= AHAA+(A+)H = (AHA)A+(AH)+; [A+(AH)+(AHA)]H = AH(AH)H[(AH)+]H(A+)H
= AHAA+(A+)H = AH(AA+)H(A+)H = [A+(AA+)A]H = (A+A)H = A+A = A+(AA+)A = A+(AA+)HA = A+(A+)HAHA = A+(AH)+(AHA).