试论数学史上的第一次危机及其影响

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李春兰 3 试论数学史上的第一次危机及其影响 ! ! 无理数的出现使实数系统得到进一步的完 善。从而使直线上的点与实数一一对应起来。我们 知道有理数 " 是对四则运算封闭 （ 除数不为零） 的， 又是实数的忠实代表， 即任何一个实数都可以近似 的用一个有理数去表示， 而且这种近似的精确度要 多高就有多高 （ # 设是任一实数， 如果 # 已经是一个 有理数了， 那么就是其自身的代表； 如果 # 是无理 数， 比如 # 是圆周率 ! 那么 ! ， !! "， ! ! "# ， ! ! "#$ ， !! "#"% ， ! ! "#&’ ， …， 就都是 ! 在 " 中的近似代表， 越 靠后精确度越高） 。但是， 有理数 " 也有其不足之 处， 比如在 " 中一般不能开方。特别是 " 对极限运 算不封闭是个很大的缺陷， 例如： " " " （" ( ， ) ( ) …） ! $# ! & * " " " % $" ) & & & …） ， "！ $！ !！ 在有理数 " 上就无法研究数学分析， 这是因为 " 在 数轴上分布得虽然是紧密的， 但却又是个千疮百孔 的， 像! % 等等都是孔。所以， 无理数的发现 $， !， !， ! 使数轴没有那些孔， 即数轴上任一点， 如果不对应有 理数， 那么就对应无理数， 真可谓是 “ 有理” 、 “ 无理” 相对立， 却与数轴共安居。无理数的出现最重要的 是使实数具备了连续性， 从而使有条件研究连续性 等理论。由于实数具有连续性， 所以是适合在其上 建立分析学的。在 ’ 中可进行极限运算， 因此， 实 数的连续性是极限理论的基础。 # ! 在我们的日常生活中会经常用到无理数， 它 的出现给我们带来了许多方便。例如， 数 % 是对银 行家最有帮助的一个数， 假如没有 % 的出现， 银行家 要计算今天的利息就要花费大量的时间。所幸的 是， % 的出现助了一臂之力。 总之， 虽然无理数的出现， 导致了毕达哥拉斯学 派的瓦解， 但它的出现对后来的科学研究的影响是 不可言喻的。给我们的学习生活带来的方便是有目 共睹的。 综上所述， 危机是随时可能出现的。危机的出 现激发了富于追求精神的科学家的热情， 促进了多 种理论例如数学基础理论， 逻辑理论等的形成和发 展。因此， 从某种意义上来说， 危机并不是什么坏 事， 它预示着更新的创造和光明， 推进了科学的进 程。我们应持辩证的观点看待它， 看待数学， 不能因 为危机就指责数学一无用处， 担心数学的大厦会倾 倒。在数学大厦的基础上存在这小小缝隙， 数学大 厦不致于倾倒。 注( 释： 正五边形的边与对角线之比 （! * $ 是最先被 & ) "） "( 据说， +・伊夫斯著， 《 数学史概 发现的无理数。请参见： ［ 美］ 论》 ， 山西经济出版社， "’+& 年， 第 %! 页。 第二次数学危机是随 #( 在数学发展史上经历了三次危机， 着微积分的数学方法的发明而产生的。微积分的核心 是无穷小的分析， 但微积分的创建者牛顿和莱布尼兹对 微积分的基本概念是模糊的， 始终没有找到从有限量过 渡到无穷小量的桥梁。所以当时的数学家竭力攻击微 积分， 把它看作是一种神秘的东西。这就形成了第二次 数学危机。罗素悖论 （ 以 , 表示是其自身成员的集合 - 表示不是其自身成员的集合的集合。然后 的集合， 问： 集合 - 是否是它自身的成员？若 - 是它自身的成 员， 则 - 属于 , 而不属于 -， 也就是说 - 不是它自身的 成员； 另一方面， 若 - 不是它自身的成员， 则 - 属于 而不属于 ,， 也就是说 - 是它自身的成员， 无论出现哪 一种情况， 都将导出矛盾的结论。 ） 的发现不仅触及整个 集合论的最根本的概念： 集合及类分子的从属关系， 而 且触及逻辑和语义学的问题。因而引起西方著名数学 家和逻辑学家极大的震惊， 从而使数学基础出现第三次 危机。
"##+ 年 ’ 月! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 内蒙古师范大学学报! （ 教育科学版） ,-./ ， "##+ 第 ’& 卷! 第 ’ 期! ! ! ! ! ! ! ! ,012.-3 04 5..62 70.8039- :02;-3 <.9=62>9?@（ AB1C-?90.-3 DC96.C6） ! ! ! ! ! ! ! E03/ ’&! :0/ #’
! ! 数学的发展也和其他事物的发展一样， 它也经 历了曲折的发展过程。人们在漫长的社会实践中， 从数数最初抽象出自然数的概念， 数论就是在自然 数概念的基础上逐渐发展起来的。可以说数学便起 源于数数。那么， 何谓数学危机？数学的第一次危 机的实质是什么？数学的第一次危机的解决带来了 那些影响？这就是本文所要论述的问题。 一、 数学的第一次危机及其实质 ’/ 何谓数学危机。一般来讲， 危机是一种激化 的， 非解决不可的矛盾。从哲学上来看， 矛盾是无处 不在的、 不可避免的， 即便以确定无疑著称的数学也 不例外。数学中有大大小小的许多矛盾， 比如正与 负， 加法与减法， 微分与积分， 有理数与无理数， 实数 与虚数。但是整个数学发展过程中还有许多深刻的 矛盾， 例如有穷与无穷、 连续与离散， 乃至存在与构 造、 逻辑与直观、 具体对象与抽象对象、 概念与计算 等等。在整个数学发展的历史上， 贯穿着矛盾的斗 争与解决。而在矛盾激化到涉及整个数学基础时就 产生数学危机。整个数学的发展史就是矛盾斗争的 历史。斗争的结果就是数学领域的发展。 "/ 数学的第一次危机产生的背景。从某种意 义上来讲， 现代意义下的数学， 也就是作为演绎系统 的纯粹数 学， 来源于古希腊毕达哥拉斯学派 （ J@% ?K-802-> 约公元前 $$# 年） ， 这个学派兴旺的时期为 公元前五百年左右。它是一个唯心主义学派。他们 重视自然及社会中不变因素的研究， 把几何、 算术、 天文学、 音乐称为 “ 四艺” ， 在其中追求宇宙的和谐 及规律性。 “ 四艺” 即 “ 数学” ， 毕达哥拉斯学派首次 使用了 “ 数学” 这个词。他们认为 “ 万物皆数” ， 数学 的知识是可靠的、 准确的， 而且可以应用于现实的世 界。数学的知识是由于纯粹的思维而获得， 并不需 要观察、 直觉及日常经验。毕达哥拉斯学派从前人 所取得的数论研究成果出发开始研究所谓的毕达哥 拉斯数— — —整数。毕达哥拉斯学派在数学上的一项 重大发现是证明了毕达哥拉斯定理即我们所说的勾 股定理。就是指直角三角形三边有如下关系的一个 命题， 即： ! " " # " $ %" （’） ! 和 # 分别代表直角三角形的两条直角边， % 表示斜 式的数有无穷多个， 边。这个学派还认为满足 （’） 并提供了下述三元数组， 即若是奇数， 并且 & ’ ’ 则 有 ’ ’ ! $ &， # $ （ &" ( ’ ） ， % $ （ &" " ’ ） " " （"）
收稿日期： ! "##$%#&%’# 作者简介： ! 李春兰 （ ’&()%） ， 女， 内蒙古师范大学数学科学学院田家炳书院 "##* 级硕士研究生。
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李春兰 * 试论数学史上的第一次危机及其影响 矛盾。此外， ! 是否是个数？对于毕达哥拉斯学派 ! 来说， 这确实是一个可怕的问题。因为如果承认它 是数， 就要与 “ 数即万物” 中所说的整数发生不可调 和的矛盾。相传当时毕达哥拉斯学派的人正在海 上， 就因这一发现把希帕苏斯投到海里， 因为他在宇 宙中搞出这样一个东西否定了毕达哥拉斯学派的信 条— — —宇宙中的一切现象都归结为正整数或正整数 之比。等式 （" ） 所引出的 ! ! 对于毕达哥拉斯学派是 一个致命的打击。 “ 数即万物” 的世界观被彻底地 动摇了。由此引发了数学的第一次危机 ! 。 毕达哥拉斯学派把那些能用整数之比表达的比 称作可公度比， 意即相比两量可用公度单位量尽， 而 把不能这样表达的比称作不可公度比。 " ! 数学的第一次危机的解决。数学的第一次危 才华横溢的希腊数 机的解决大约在公元前 "#$ 年， 学家毕达哥拉斯的学生阿契塔和欧多克索斯以及柏 拉图给出两个相等的定义从而消除了这次危机。他 们给出的定义与所涉及的量是否有公度无关， 其实 这也是自然的， 因为两个线段的比本来与第三个线 段无关。 毕达哥拉斯学派首先给出了以单位长为边的正 方形的对角线的长度不能用整数之比来表示的证明 方法， 证明过程如下： # 假设： 设! # 均为自然数， ! 是有理数， ! " （ $， ! $ 且 （ $， # ）" % ） ， % & ! !$ " # 两边平方得& ! $! " #! & （ % ） ， % & # 必是 ! 的倍数， % & #! 也是 ! 的倍数， ’ & （ $， # ）" % ， % $ 为奇数， % & ! #( （ #(是自然数） ， $ " ! $( ) % （ $(是自然数） ， 将上面两个式子代入 （%） 得
式成立的充分条件， 而不是 这三元数组只是使 （’） 必要条件。当毕达哥 拉 斯 学 派 进 一 步 致 力 于 等 式 （’） 和等式 （"） 的研究时， 米太旁登的希帕苏斯， 发 现了在等腰直角三角形中， （’） 式中出现了下述结 果： " ! " $ %"
!
（I）
如果直角三角形的两条直角边都等于 ’ 时， 其 斜边的长就恰好等于! " 。而! " 与 ’ 找不到可以公 度的几何实体， 这在当时的认识水平下， 无疑是一个
试论数学史上的第一次危机及其影响
! 李春兰
（ 内蒙古师范大学 数学科学学院， 内蒙古 呼和浩特 #’##"" ）
! 内 容 摘 要： ! 笔者主要论述在数学发展的曲折过程中， 无理数的出现所导致的数学史上的第一次危机的历史
事实及这次危机对数学思想方法和哲学思维的发展所产生的积极影响。
! 关 键 词： ! 数学的第一次危机； 毕达哥拉斯； 不可公度比； 无理数 ! 中图分类号： ! F’ G #! ! 文献标识码：H! ! 文章编号：’+(’%#&’+ （ "##+ ） #’%##))%#I
即& ! （ & $( ) & $( * % ）" & #(
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两边除以 ! 得 & $(! ) & $( * % ’ ! #(! ， 观察此式可 看出等式左边为奇数， 右边为偶数， 这样出现奇数等 于偶数， 引出矛盾。故! ! 是无理数。 目前， 证明! 无论是用初 ! 是无理数的方法很多， 等数学知识还是高等数学知识都可以证明! ! 是无理 数， 并且可以从不同的角度来加以证明， 例如： 从无 理数被发现的角度， 从方程的角度， 从正整数的标准 分解式的角度， 从数的进位制角度， 从自然数公理角 度等等。随着数学学科的发展， 还可能会产生更多 更新的证明方法。! 使我们 ! 是无理数的种种证明， 对无理数有了进一步的认识， 对数学中的美、 对各种
! ! ! （ ! $( ) % ） " （ ! #(） !
丰富的数学思想方法会有更深刻的感受。 & ! 数学的第一次危机的实质。从第一次数学危 机的历史论述中可知， 哲学、 逻辑与数学之间有紧密 的联系， 正确的哲学思想对数学的发展具有十分重 要的指导意义； 此外， 哲学与逻辑也必须不断总结数 学的新成果来发展自己。这两方面的关系是不能偏 废的， 否则就会使人类的知识出现不必要的曲折和 危机。 数学的第一次危机的实质主要在于数学家的思 维囿于错误的哲学思想， 即主要在于数学家的思维 被错误哲学思想支配了。! 但它 ! 本来就是一个数， 的发现结果反而导致了数学的危机， 并成了 “ 数即 万物” ， 而 “ 数” 又只能是整数或整数的比这种错误 哲学观点的牺牲品。 二、 数学的第一次危机的影响 无理数的发现与确认启示我们， 数学如同其他 科学一样， 问题、 危机会随时出现， 而问题的解决， 危 机的克服都会带来数学的进一步繁荣。 % ! 无理数的发现， 对数学和哲学发展都产生了 深刻的影响。在数学方面， 使人们认识到直观、 经验 乃至实验都不是绝对可靠的 （ 例如用任何实验都不 能得出一切量均可用有理数表示这个结果） ， 今后 必须依靠证明用理性思维思考自然界。首先， 它使 古希腊数学研究的重点由算术转向几何， 打破了在 这之前毕达哥拉斯学派把数和几何问题等同起来的 看法， 即几何学的某些真理与算术无关， 几何量不能 完全由整数及整数的比来表示， 反之数却可以由几 何量表示出来， 可以说这次发现对古希腊的数学观 点有极大的冲击， 整数的尊崇地位受到了挑战； 其 次， 它使古希腊数学研究方法由计算转向推理， 促使 公理方法的产生， 从此希腊人开始由 “ 自明的” 公理 出发， 经过演绎推理而建立起几何学体系。在哲学 方面， 首先， 动摇了其数本说的基础， 其次， 推动着哲 学转向崇尚理性。 ! ! 在无理数发现之前的各种数学， 都是提供算 法， 进行 “ 算” 的数学。即使在古希腊， 数学也是从 实际出发， 应用到实际问题中去的。比如泰勒斯预 测日食， 利用影子距离计算金字塔的高度等等都是 属于计算范围的。虽然泰勒斯也提出了圆的直径把 圆分成相等的两部分， 等腰三角形的两个底角相等， 两条直线相交后对顶角相等， 有两角和一边相等的 两个三角形全等， 但他都是通过直观经验来证明的。 至于埃及、 巴比伦、 中国、 印度等国的数学， 并没有经 历过这样 的 危 机 革 命， 也就是只停留在 “ 算 术” 阶 段， 而希腊的数学则走上了完全不同的道路， 形成亚 里士多德的逻辑体系和欧几里得 《 几何原本》 公理 体系， 从而成为现代西方数学的始祖。