试论数学史上的第一次危机及其影响
三次数学危机及其影响
危机的解决
彻底解决这一危机是在19世纪， 彻底解决这一危机是在19世纪，依赖于数系 19世纪 的扩张。直到人类认识了实数系， 的扩张。直到人类认识了实数系，这次危机 才算彻底解决， 才算彻底解决，这已经是两千多年以后的事 情了
二. 第二次数学危机
第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的十七 世纪。 世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派 内部提出的， 内部提出的，第二次数学危机则是由牛顿学 派的外部、贝克莱大主教提出的， 派的外部、贝克莱大主教提出的，是对牛顿 “无穷小量”说法的质疑引起的。 无穷小量”说法的质疑引起的。
罗素悖论
年出版了《 的原理》 但罗素在1903年出版了《数学的原理》，书 罗素在 年出版了 数学的原理 中提到著名的罗素悖论 罗素悖论， 数学基础产生了 中提到著名的罗素悖论，使数学基础产生了 因而震动了整个数学 个数学界 就是所说 裂纹，因而震动了整个数学界，这就是所说 第三次数学危机 数学危机。 的第三次数学危机。
理发师悖论
罗素悖论的通俗化——“理 理 罗素悖论的通俗化 发师悖论” 发师悖论”：某村的一个理 发师宣称， 发师宣称，他给且只给村里 自己不给自己刮脸的人刮脸。 自己不给自己刮脸的人刮脸。 理发师是否给自己刮脸？ 问：理发师是否给自己刮脸？
罗素
最后，这些既属于自己而又不属于自己 这些既属于自己而又不属于自己 自己而又不属于 的集合 (Set)，便成了集合论的矛盾， ，便成了集合论的矛盾， 起第三次数学危机 数学危机。 引发起第三次数学危机。
参考网址：香港皇家数学
数学人文精神论坛
维基百科
危机的实质： 危机的实质： 是无理 2 数，全体整数之构成的 是有理数系，有理数系 是有理数系， 需要扩充， 需要扩充，需要添加无 理数. 理数.
数学史上的三次危机促进了数学的理性进步
数学史上的三次危机促进了数学的理性进步无理数的发现──第一次数学危机大约公元前５世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。
当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为“四艺”，在其中追求宇宙的和谐规律性。
他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此。
这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的“危机”，从而产生了第一次数学危机。
到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。
他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第５卷中。
欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。
今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。
第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。
这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。
危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！无穷小是零吗？──第二次数学危机18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。
1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。
他指出：“牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量０，应用二项式（x+0）n，从中减去xn以求得增量，并除以０以求出xn的增量与x的增量之比，然后又让０消逝，这样得出增量的最终比。
数学史上的三次数学危机的成因分析
数学史上的三次数学危机的成因分析数学的发展并非一帆风顺，在其漫长的历史进程中，曾经历了三次重大的危机。
这些危机不仅对当时的数学界产生了巨大的冲击，也推动了数学的不断进步和完善。
第一次数学危机发生在古希腊时期，主要源于对无理数的发现。
在古希腊，毕达哥拉斯学派深信“万物皆数”，这里的数指的是整数以及整数之比（有理数）。
他们认为，宇宙中的一切现象都可以用有理数来解释和描述。
然而，毕达哥拉斯学派的一个成员希帕索斯却发现了一个惊人的事实：边长为 1 的正方形，其对角线的长度无法用有理数来表示。
按照勾股定理，这个对角线的长度应该是根号 2。
但根号 2 既不是整数，也不是两个整数之比，这一发现直接冲击了毕达哥拉斯学派的基本信念。
这次危机的成因可以归结为以下几点。
首先，当时的数学观念和认知存在局限性。
人们过度依赖于整数和有理数来理解世界，对于无法用已有数学概念表达的量缺乏准备。
其次，数学的推理和证明体系还不够完善。
在面对根号 2 这样的新对象时，缺乏严谨的逻辑方法来处理和理解。
第一次数学危机的影响是深远的。
它促使人们重新审视数学的基础，推动了数学逻辑和证明的发展。
数学家们开始意识到，仅仅依靠直观和经验是不够的，必须建立更加严谨的数学体系。
第二次数学危机则与微积分的基础问题相关。
在 17 世纪，牛顿和莱布尼茨各自独立地发明了微积分。
微积分在解决众多科学和工程问题中显示出了强大的威力，极大地推动了科学技术的发展。
然而，微积分在创立初期却存在着逻辑上的漏洞。
例如，在求导数的过程中，无穷小量的概念含糊不清。
无穷小量有时被看作是零，有时又被当作非零的量参与运算，这引发了广泛的争议。
造成第二次数学危机的原因主要有两个方面。
一方面，微积分的发展速度过快，其应用的迫切需求超过了理论基础的完善速度。
科学家们急于利用微积分解决实际问题，而对其内在的逻辑矛盾关注不够。
另一方面，当时的数学分析方法还不够精确和严格。
对于极限、无穷小等概念的理解和定义存在模糊性。
数学史上的三次危机
数学史上的三次危机第一次数学危机在古代的数学家看来与有理数对应的点充满了数轴，现在尚未深入了解数轴性质的人也会这样认为。
因此，当发现在数轴上存在不与任何有理数对应的一些点时，在人们的心理上引起了极大震惊，这个发现是早期希腊人的重大成就之一。
它是在公元前5世纪或6世纪的某一时期又毕达哥拉斯学派的成员首先获得的。
这是数学史上的一个里程碑。
毕达哥拉斯学派发现单位正方形的边与对角线不可公度，即对角线的长不能表为qp/的形式，也就是说不存在作为公共量度单位的线断。
后来，又发现数轴上还存在许多点也不对应于任何有理数。
因此，必须发明一些新的数，使之与这样的点对应，因为这些数不能是有理数，所以把它们称为无理数。
例如，,22,8,62等都是无理数。
无理数的发现推翻了早期希腊人坚持的另一信念：给定任何两个线段，必定能找到第三线段，也许很短，使得给定的线段都是这个线段的整数倍。
事实上，即使现代人也会这样认为，如果他还不知道情况并非如此的话。
第一次数学危机表明，当时希腊的数学已经发展到这样的阶段：1．数学已由经验科学变为演绎科学；2．把证明引入了数学；3．演绎的思考首先出现在几何中，而不是在代数中，使几何具有更加重要的地位。
这种状态已知保持到笛卡儿解析几何的诞生。
中国、埃及、巴比伦、印度等国的数学没有经历这样的危机，因而一直停留在实验科学。
即算术阶段。
希腊则走上了完全不同的道路，形成了欧几里得的《几何原本》与亚里斯多得的逻辑体系， 而成为现代科学的始祖。
在当时的所有民族中为什么只有希腊人认为几何事实必须通过合乎逻辑的论证而不能通过实验来建立？这个原因被称为希腊的奥秘。
总之，第一次数学危机是人类文明史上的重大事件。
无理数与不可公度量的发现在毕达哥拉斯学派内部引起了极大的震动。
首先，这是对毕达哥拉斯哲学思想的核心，即“万物皆依赖于整数”的致命一击；既然像2这样的无理数不能写成两个整数之比，那么，它究竟怎样依赖于整数呢？其次，这与通常的直觉相矛盾，因为人们在直觉上总认为任何两个线段都是可以公度的。
试论数学史上的第一次危机及其影响
2005 09 10 李春兰 ( 1978 ), 女 , 内蒙古师范大学数学科学学院田家炳书院 2004 级硕士研 究生 。
∃ 88∃
李春兰 / 试论数学史上的第一次危机及其影响
矛盾。此外 , 2是否是个数 ? 对于毕达哥拉斯学派 来说, 这确实是一个可怕的问题。因为如果承认它 是数, 就要与 数即万物 ! 中所说的整数发生不可调 和的矛盾。相传当时 毕达哥拉斯学 派的人正在海 上 , 就因这一发现把希帕苏斯投到海里, 因为他在宇 宙中搞出这样一个东西否定了毕达哥拉斯学派的信 条 ∀ ∀ ∀ 宇宙中的一切现象都归结为正整数或正整数 之比。等式 ( 3 )所引出的 2 对于毕达哥拉斯学派是 一个致命的打击。 数即万物 ! 的世界观被彻底地 动摇了。由此引发了数学的第一次危机 % 。 毕达哥拉斯学派把那些能用整数之比表达的比 称作可公度比, 意即相比两量可用公度单位量尽, 而 把不能这样表达的比称作不可公度比。 3 . 数学的第一次危机的解决。数学的第一次危 机的解决大约在公元前 370 年, 才华横溢的希腊数 学家毕达哥拉斯的学生阿契塔和欧多克索斯以及柏 拉图给出两个相等的定义从而消除了这次危机。他 们给出的定义与所涉及的量是否有公度无关 , 其实 这也是自然的, 因为两个线段的比本来与第三个线 段无关。 毕达哥拉斯学派首先给出了以单位长为边的正 方形的对角线的长度不能用整数之比来表示的证明 方法, 证明过程如下: 假设: 2 是有理数 , 设 2= q ( p, q 均为自然数 , p 且 ( p, q ) = 1), & 2p = q 两边平方得 2p 2 = q2 ( 1 ), & q2 必是 2 的倍数, & q2 也是 2 的倍数, ∋ (p, q ) = 1 , & p 为奇数 , & 2q(( q( 是自然数 ), p = 2p (- 1 (p ( 是自然数 ), 将上面两个式子代入 ( 1 )得 2 ( 2p (- 1) 2 = ( 2q() 2 2 即 2 ( 4p ( - 4p (+ 1 ) = 4q(2 2 2 两边除以 2 得 4p ( - 4p (+ 1= 2q ( , 观察此式可 看出等式左边为奇数 , 右边为偶数, 这样出现奇数等 于偶数 , 引出矛盾。故 2 是无理数。 目前, 证明 2 是无理数的方法很多, 无论是用初 等数学知识还是高等数学知识都可以证明 2 是无理 数 , 并且可以从不同的角度来加以证明 , 例如 : 从无 理数被发现的角度, 从方程的角度, 从正整数的标准 分解式的角度, 从数的进位制角度, 从自然数公理角 度等等。随着数学学科的发展 , 还可能会产生更多 更新的证明方法。 2 是无理数的种种证明 , 使我们 对无理数有了进一步的认识, 对数学中的美、 对各种
三次数学危机论文
三次数学危机论⽂ 数学史上出现的三次数学危机,与其说是“数学的危机”,不如说是“数学哲学的危机”.下⾯店铺给你分享三次数学危机论⽂，欢迎阅读。
三次数学危机论⽂篇⼀ 摘要：本⽂主要通过数学史上的三次危机的产⽣与消除，针对它们的本质浅谈⾃⼰的认识，实际导致这三次危机原因在与⼈的认识。
第⼀次数学危机是⼈们对万物皆数的误解，随着⽆理数的发现，把第⼀次数学危机度过了。
第⼆次数学危机是⼈们对⽆穷⼩的误解，微积分的出现产⽣了⼀种新的⽅法，即分析⽅法，分析⽅法是算和证的结合。
是通过⽆穷趋近⽽确定某⼀结果。
罗素悖论的发现，给数学界以极⼤的震动，导致了数学史上的第三次危机。
为了探求其根源和解决难题的途径，在数学界逻辑界进⾏了不懈的探讨，提出了⼀系列解决⽅案，并在不知不觉中⼤⼤推动了数学和逻辑学的发展。
关键词：危机;万物皆数;⽆穷⼩;分析⽅法;集合 ⼀、前 ⾔ 数学常常被⼈们认为是⾃然科学中发展得最完善的⼀门学科，但在数学的发展史中，却经历了三次危机，⼈们为了使数学向前发展，从⽽引⼊⼀些新的东西使问题化解，在第⼀次危机中导致⽆理数的产⽣;第⼆次危机发⽣在⼗七世纪微积分诞⽣后，⽆穷⼩量的刻画问题，最后是柯西解决了这个问题;第三次危机发⽣在19世纪末，罗素悖论的产⽣引起数学界的轩然⼤波，最后是将集合论建⽴在⼀组公理之上，以回避悖论来缓解数学危机。
本⽂回顾了数学上三次危机的产⽣与发展，并给出了⾃⼰对这三次危机的看法，最后得出确定性丧失的结论。
⼆、数学史上的第⼀次“危机” 第⼀次数学危机是发⽣在公元前580-568年之间的古希腊。
那时的数学正值昌盛，忒被是以毕达哥拉斯为代表的毕⽒学派对数的认识进⾏了研究，他们认为“万物旨数”。
所谓数就是指整数，他们确定数的⽬的是企图通过揭⽰数的奥秘来探索宇宙的永恒真理，信条是：宇宙间的⼀切现象都能归结为整数或整数之⽐，即世界上只存在整数与分数，除此之外他们不认识也不承认别的数。
在那个时期。
三次数学危机的产生与解决
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解决措施
针对三次数学危机，数学家们提出了各种解决措施。在第一次数学危机中， 欧多克索斯提出了实数的概念，将数学从困境中解脱出来；在第二次数学危机中， 数学家们对集合论进行严格的公理化，提出了公理化集合论；在第三次数学危机 中，
数学家们发展出了新的数学逻辑系统——模态逻辑，为数学的发展提供了更 加坚实的基础。
三次数学危机的产生与解决
目录
01 第一次数学危机
03 第三次数学危机
02 第内容
目录
06 总结
数学作为一门基础学科，是人类文明的重要组成部分。然而，在数学发展史 上，曾先后出现过三次严重的危机。本次演示将分别探讨这三次数学危机的产生 背景、原因及后果，并提出相应的解决措施。
第一次数学危机
第一次数学危机发生在公元前580年至568年之间的古希腊时期。这场危机的 起因主要在于当时数学界对无理数认识的不足。古希腊的数学家们认为，所有的 数都可以表示为整数或分数，即有理数。然而，当时希腊数学家希帕索斯发现了 一个问题：如果将
正方形的对角线进行等分，那么所得的线段长度就无法用有理数来表示。这 个发现动摇了当时数学界的基础，引发了第一次数学危机。
第二次数学危机
第二次数学危机发生在19世纪末期。这次危机源于康托尔的集合论，由于集 合论的某些基本概念含混不清，引发了数学界的恐慌。这场危机的根本原因是， 当时数学家们并未对集合论进行严格的公理化。为了解决这次危机，数学家们对 集合论进行了深入
研究，最终由策梅洛提出了公理化集合论，平息了这次危机。
发展。而在第三次数学危机时期，人们对数学的认知发生了根本性的改变， 使数学进入了一个全新的发展阶段。
总结
三次数学危机的产生与解决，是人类文明发展的重要组成部分。这些危机不 仅推动了数学的快速发展，而且也启示人们要不断深入思考和探索数学的内涵和 基础。通过了解三次数学危机的历史背景、原因、后果及解决措施，我们可以更 好地理解数学的
历史上的三次数学危机
使 ab 1 3 。
2
26
另一件事是德国数学家黎曼（B.Riemann， 1826—1866）发现， 柯西把定积分限制于连续函数是没有必要 的。黎曼证明了，被积函数不连续，其定 积分也可能存在。
黎曼还造出一个函数，当自变量取无 理数时它是连续的，当自变量取有理数时 它是不连续的。
27
这些例子使数学家们越来越明 白，在为分析建立一个完善的基础方 面，还需要再深挖一步：即需要理解 实数系的更深刻的性质。
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② 魏尔斯特拉斯的贡献 德国数学家魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass，1815—1897）的努力，终 于使分析学从完全依靠运动学、直观理解 和几何概念中解放出来。他的成功产生了 深远的影响，主要表现在两方面，一方面 是建立了实数系，另一方面是创造了精确
所以，由“无穷小”引发的第二次数 学 危机，实质上是缺少严密的极限概念和极 限理论作为微积分学的基础。
17
3．危机的解决 1）必要性 微积分虽然在发展，但微积分逻辑基 础上存在的问题是那样明显，这毕竟是数 学家的一块心病。
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而且，随着时间的推移，研究范围的 扩大，类似的悖论日益增多。数学家在研 究无穷级数的时候，做出许多错误的证 明，并由此得到许多错误的结论。由于没 有严格的极限理论作为基础。数学家们在 有限与无限之间任意通行（不考虑无穷级 数收敛的问题）。
无法解决的科技问题。但是逻辑上不严格，遭
到指责。
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2）贝克莱的发难 英国的贝克莱大主教发表文章猛烈攻 击牛顿的理论。 贝克莱问道：“无穷小”作为一个量， 究竟是不是0？
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① 如果是0，（*）式左端当 t 和 S 变
成无穷小后分母为0，就没有意义了。
数学史上的三次危机及对数学发展的影响
《校园百家讲坛》演讲稿数学史上的三次危机及对数学发展的影响主讲卢伯友一引言“校园百家讲坛”很早就邀请我，要我给同学们讲点什么，因为这个讲坛的神圣性和严肃性，我一直没有敢答应下来。
今天，站在这个讲坛上，我仍然感到诚惶诚恐的。
讲什么呢？从哪儿开始呢?我一直思考着这个问题。
国学大师王国维在《人间词话》中说过：“诗人对宇宙人生，须入乎其内，又须出乎其外。
入乎其内，故能写之。
出乎其外，故能观之。
入乎其内，故有生气。
出乎其外，故有高致。
”同学们平时听课、读书、做习题是入乎其内，今天听讲座是出乎其外，两者相互相成。
只知入乎其内，那是见木不见林，常常会迷失方向。
所以，还要辅助以出乎其外，站出来作高瞻远瞩。
正所谓“风声、雨声、读书声、声声入耳；家事、国事、天下事，事事关心！”整个人类文明的历史就像长江的波浪一样，一浪高过一浪，滚滚向前，科学巨人们站在时代的潮头，以他们的勇气、智慧和勤劳把人类的文明从一个高潮推向另一个高潮。
我们认为，整个人类文明可以分为三个层次：(1) 以锄头为代表的农耕文明；(2) 以大机器流水线作业为代表的工业文明; (3) 以计算机为代表的信息文明。
数学在这三个文明中都是深层次的动力，其作用一次比一次明显。
基于此原因，我今天演讲的题目是：数学史上的三次危机及对数学发展的影响古人讲，欲穷千里目，更上一层楼。
今天，我们站在历史的角度，剖析历史上发生的三次数学危机及其对数学发展的重要影响，让同学们不仅从数学自身的思想方法和应用的角度，而且从文化和历史的高度审视数学的全貌和美丽。
赞美数学思想的博大精深，赞美由数学文化引出的理性精神，以及在理性精神的指导下，人类文明的蓬勃发展。
二数学史上的三次危机及对数学发展的影响1毕达哥拉斯与第一次数学危机1.1第一次数学危机的内容毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。
他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。
由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。
第一次数学危机
[注]：这是“反证法”的开始。
*
2）不可公度的线段 设正方形的边长为 ，对角线长为 ，如图：
d a
a
*
根据毕达哥拉斯定理， 。如果存在第三个线段长为 ，使得 和 都是 的整数倍，如 ， ，这里 ， 是整数.
根据毕达哥拉斯定理，边长为1的正方形，其对 角线长度若记为 ，则 ，推出
1）一个不能表成整数比的数
*
下边证明，当 时， 不能表成整数比。
由此知 是偶数。由于偶数的平方是偶 数，奇数的平方是奇数，∴ 是偶数。
一、什么是数学危机
危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的。 人类最早认识的是自然数。从引进零及负数就经历过斗争：要么引进这些数，要么大量的数的减法就行不通； 引进分数使乘法有了逆运算——除法。
接着又出现了这样的问题，是否所有的量都能用有理数来表示?于是发现无理数就导致了第一次数学危机，而危机的解决也就促使逻辑的发展和几何学的体系化。 方程的解导致了虚数的出现，虚数从一开始就被认为是“不实的”。可是这种不实的数却能解决实数所不能解决的问题，从而为自己争得存在的权利。 几何学的发展从欧几里得几何的一统天下发展到各种非欧几何学。
*
ⅱ同名正多边形复盖平面的情形（即铺正多边形地砖的情形） 只有三种情况：环绕平面上一个点可以紧密地 放6个正三角形，或者4个正方形，或者3个正六边形，如图：
*
*
毕达哥拉斯学派确信：“宇宙的和谐在于数”，神是以数的规律创造世界的。 “万物皆数”学说产生了很大的影响。
如果不然，有两个正整数 和 使 （不妨设 是既约分数即 ）。两端 平方得 ，即 。
*
因 “既约”， 不能再是偶数，于是 是奇数。这样 的左端，因 是奇数而不能被4整除，右端却因 是偶数而可以被4整除。这个矛盾说明开始的假设 是错误的。从而 不能表成两个整数的比。证毕。
数学史上的三次危机3篇
数学史上的三次危机第一次危机：希腊数学危机希腊数学家们是数学历史上的伟大人物，他们创造了许多数学概念和理论，如欧几里得几何、三角学、锥曲线等。
但在公元前4世纪到公元前3世纪的时期，希腊数学发生了危机。
这一时期的希腊数学家纷纷开始关注无穷大和无穷小的概念。
然而，这些概念并不符合当时的逻辑和数学标准，他们甚至不能用现代的数学符号来表示。
因此，这些数学家的理论并没有得到广泛的认可和接受。
在这一时期，希腊数学的道路出现了两条分支。
一条是传统的代数学派，他们注重整数、有理数和分数的研究；另一条是几何学派，他们将一切几何测量归纳为单个不可减少的点。
两个学派的意见相左，争论不断，导致了希腊数学的危机。
这一时期的数学发展为数学的发展带来了许多思考，但也让希腊数学陷入了停滞和分化的境地。
第二次危机：19世纪末的非欧几何危机19世纪末期，非欧几何成为了当时的热门话题。
在欧几里得几何中，平行公设是一项基本性质，两条不重合的直线在平面上永远不会相交。
然而，非欧几何学派质疑这一性质，提出了一种名为反射性的新性质，也就是说，两条不重合的直线在特定的情况下是可以相交的。
这种观点的提出，引起了数学界的强烈反响和激烈争议。
欧几里得几何是基础数学，因此许多人认为非欧几何在一定程度上是在否认这一基础。
在这种文化和学术背景下，非欧几何的认可难以达成，成为了数学史上的一次危机。
第三次危机：20世纪初的集合论危机20世纪初，集合论成为了数学的新话题。
然而，当时对于集合论的探讨往往涉及到关于无限的思考，这些思考往往与人的直觉相悖，甚至有些违反逻辑。
其中最著名的例子就是悖论：一个包含所有时空中的点的集合是否存在？如果存在，那么这个集合中是否包含它自身？如果不包含，那么就不能称其为包含所有时空中的点的集合；如果包含，那么这个集合就非常巨大，超出了我们的想象。
这个悖论意味着个体和整体的关系无法解决，出现了数学中的自我矛盾。
这一数学危机的解决需要借鉴哲学和逻辑学的工具，很多数学家因此开始关注哲学基础和逻辑体系，试图建立一个完备的集合论，以应对数学的自我矛盾和前进。
论数学史上的三次危机
论数学史上的三次危机提到数学，我有一种感觉，数学是自然中最基础的学科，它是所有科学之父，没有数学，就不可能有其他科学的产生。
就人类发展史而言，数学在其中起的作用是巨大的，难怪有人说数学是人类科学中最美的科学。
但在数学的发展史中，并不是那么一帆风顺的，其中历史上曾发生过三大危机，危机的发生促使了数学本生的发展，因此我们应该辨证地看待这三大危机。
人类数学史上出现过三次“危机”，这实际上是数学发展中三次伟大的突破，都是人们认识领域中的变革性发展，都是人们头脑中数学认识结构的转换。
第一次数学危机使数系扩展了，万物皆数的整数算术观念被动摇了，世界上竟存在着不能用整数表示的、不可通约的非比实数，被认为是“异物”的东西，成了新体系中合理的“存在物”。
第二次数学危机是方法论的领域扩大了，确立了一种崭新的“分析方法”。
“分析”的结果与“运算”或“证明”的结果有着同等程度的确定性。
第二次数学危机先后沿续一百多年，无非是为“分析”结果的确定性寻找基础，寻求证明和建立“分析”的步骤程序。
这在数学发展史上被称之为“分析中注入严密性”。
第三次数学危机是人的认知领域扩展到无穷，扩大了人们的思维方式，通过对一系列悖论的研究，确立了关于无穷运算的规则。
人类对数的认识经历了一个不断深化的过程，在这一过程中数的概念进行了多次扩充与发展。
其中无理数的引入在数学上更具有特别重要的意义，它在西方数学史上曾导致了一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。
这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。
当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。
该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。
数学史上的三次危机及对数学发展的影响
《校园百家讲坛》演讲稿数学史上的三次危机及对数学发展的影响主讲卢伯友一引言“校园百家讲坛”很早就邀请我，要我给同学们讲点什么，因为这个讲坛的神圣性和严肃性，我一直没有敢答应下来。
今天，站在这个讲坛上，我仍然感到诚惶诚恐的。
讲什么呢？从哪儿开始呢?我一直思考着这个问题。
国学大师王国维在《人间词话》中说过：“诗人对宇宙人生，须入乎其内，又须出乎其外。
入乎其内，故能写之。
出乎其外，故能观之。
入乎其内，故有生气。
出乎其外，故有高致。
”同学们平时听课、读书、做习题是入乎其内，今天听讲座是出乎其外，两者相互相成。
只知入乎其内，那是见木不见林，常常会迷失方向。
所以，还要辅助以出乎其外，站出来作高瞻远瞩。
正所谓“风声、雨声、读书声、声声入耳；家事、国事、天下事，事事关心！”整个人类文明的历史就像长江的波浪一样，一浪高过一浪，滚滚向前，科学巨人们站在时代的潮头，以他们的勇气、智慧和勤劳把人类的文明从一个高潮推向另一个高潮。
我们认为，整个人类文明可以分为三个层次：(1) 以锄头为代表的农耕文明；(2) 以大机器流水线作业为代表的工业文明; (3) 以计算机为代表的信息文明。
数学在这三个文明中都是深层次的动力，其作用一次比一次明显。
基于此原因，我今天演讲的题目是：数学史上的三次危机及对数学发展的影响古人讲，欲穷千里目，更上一层楼。
今天，我们站在历史的角度，剖析历史上发生的三次数学危机及其对数学发展的重要影响，让同学们不仅从数学自身的思想方法和应用的角度，而且从文化和历史的高度审视数学的全貌和美丽。
赞美数学思想的博大精深，赞美由数学文化引出的理性精神，以及在理性精神的指导下，人类文明的蓬勃发展。
二数学史上的三次危机及对数学发展的影响1毕达哥拉斯与第一次数学危机1.1第一次数学危机的内容毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。
他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。
由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。
数学史上的三次危机
数学史上的三次危机1 无理数的发现——第一次数学危机大约公元前5世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。
当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算数、天文、音乐称为“四艺”，在其中追求宇宙的和谐规律性。
他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不可能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为1的直角三角形就是如此。
这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的“危机”，从而产生了第一次数学危机。
到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。
他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第5卷中，欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释和现代解释基本一致。
今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。
第一次数学危机对古希腊的数学家观点有极大冲击。
这表明，几何学的某些真理和算数无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。
危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的。
从此希腊人开始重视演绎推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！2 无穷小量是零吗？——第二次数学危机18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。
1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础——无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。
他指出：“牛顿在求x n的导数时，采取了先给x以增量0，应用二项式(x+0)n，从中减去x n以求得增量，并除以0以求出x n的增量与x增量之比，然后又让0消逝，这样得出增量的最终比。
论第一次数学危机产生的原因和影响
论第一次数学危机产生的原因和影响目录第一次数学危机的简介： (2)第一次数学危机产生的原因： (3)第一次数学危机的解决： (4)第一次数学危机的产物：古典逻辑与欧氏几何学 (5)第一次数学危机的影响： (6)参考文献 (7)数学科学学院数学与应用数学赵文君0710120040摘要：毕达哥拉斯关于数的信条及以数为基础的宇宙模型的破产，导致了第一次数学危机。
这一危机的影响是巨大的，它不仅推动了数学及其相关学科的发展，使古希腊数学的基础发生了根本性的变化，而且推动了整个科学的发展。
本文就第一次数学危机的产生、解决到影响作了简单的介绍。
关键词：第一次数学危机无理数毕达哥拉斯我们了解的数学危机有三大，如果说每次危机都把数学家们推入黑暗，但是随着危机的解决带来是更好的光明，三大数学危机带来的也是三大数学成就。
从哲学的观点来看矛盾就是无处不在的，数学这么严密的学科也不例外。
纵观数学的发展，就是不断的产生冲突和危机并把它们解决的过程。
知识是人们总结出来的，人的认识是有限的，所以知识本身是应该随着社会的发展不断地突破的。
一次大的数学危机，对人们的影响是非常大的，当你一直认为理所当然的事却被指出是错的的时候，人们是很难接受的，所以危机的解除也是相当困难的事情。
我们并未经历这么大的数学危机，不能体会自己的观念完全被推翻的感受。
基于对此我爱好或者说好奇，我选择了这个主题。
第一次数学危机的简介：从某种意义上来讲，现代意义下的数学来源于古希腊的毕达哥加斯学派。
这个学派兴旺的时期为公元前500年左右，它是一个违心主义流派。
他们重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为“四艺”，在其中追求宇宙的和谐及规律性。
他们认为“万物皆数”，认为数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界。
数学的知识是由于纯粹的思维而获得，并不需要观察、直觉及日常经验。
毕达哥加斯的数是指整数，他们在数学上的一项重大发现是证明了勾股定理。
毕达哥拉斯悖论与数学史上的第一次数学危机
毕达哥拉斯悖论与数学史上的第一次数学危机公元前六世纪，在古希腊学术界占统治地位的毕达哥拉斯学派，其思想在当时被认为是绝对权威的真理，毕达哥拉斯学派认为宇宙的本质就是数的和谐，倡导一种“唯数论”的哲学观点，认为“万物皆数（有理数）”，而数只有两种，就是正整数和可通约的数（即分数，两个整数的比），除此之外不再有别的数。
然而不久毕达哥拉斯学派的一个学生希伯索斯（Hippasus）很快便发现了这个论断的问题。
他发现边长相等的正方形其对角线长并不能用整数或整数之比来表示。
假设正方形边长为1，并设其对角线长为d，依勾股定理应有d2=12+12=2，即d2=2，那么d是多少呢？显然根据“万物皆数（有理数）”的哲学，d不是整数，就是两整数之比。
希伯索斯花了很多时间来寻找这两个整数之比，结果没找着，反而找到了两数不可通约性的证明，用反证法证明如下：设Rt△ABC，两直角边为a=b，则由勾股定理有c2=2a2，设已将a和c中的公约数约去，即a、c已经互素，于是c为偶数，a 为奇数，不妨令c=2m，则有(2m)2=2a2，a2=2m2，于是a为偶数，这与前面已证a为奇数矛盾。
这一发现历史上称为毕达哥拉斯悖论（悖论是指在某一一定的理论体系的基础上，根据合理的推理原则，推出了两个互相矛盾的命题，或者是证明了这样一个复合命题，它表现为两个互相矛盾的命题的等价式），与毕达哥拉斯学派的“万物皆数（有理数）”的哲学大相径庭，使得毕氏学派领导人惶恐，认为这将动摇他们在学术界的统治地位，于是极力封锁该真理的流传，希伯索斯被迫流亡他乡，不幸的是，在一条海船上还是遇到了毕氏门徒，于是希伯索斯被残忍的扔进了大海。
希伯索斯的发现，第一次向人们揭示了有理数所对应的数轴上的点并没有布满数轴。
在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”，而这种“孔隙”经后人证明简直多的不可胜数。
无理数的发现被称为数学史上的第一次危机，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响。
论第一次数学危机产生的原因和影响
论第一次数学危机产生的原因和影响数学是一门基础科学，是现代科技和社会发展的基石之一。
在历史上的不同时期，数学曾经发生过多次危机，其中最为著名的一次就是20世纪初的第一次数学危机。
这次危机的根源在于数学的基本原理出现了矛盾和不完备性，给整个数学领域带来了深远的影响。
第一次数学危机是产生于19世纪末和20世纪初期的一次理论危机，主要表现为数学基础的不稳定性和不完备性。
在这个时期，数学界已经开始了对数学基础的严格重构和升级，试图建立一套更加严密和完整的数学体系。
然而，在这个过程中，很快就发现了一些基本原理和假设的矛盾和不一致性，导致了整个数学体系的不稳定和不完备。
此时，一些数学家开始怀疑整个数学体系的合理性，并提出了一系列问题来考验数学的逻辑和适用性，例如：“1+1等于几？”，“所有整数的和是否存在？”，“是否存在完全不可解的问题？”等等。
这些问题表明数学的基本原理已经无法满足解决复杂问题的需要，需要对整个数学体系进行修补和改进。
第一次数学危机对整个数学领域产生了广泛而深刻的影响。
首先是数学的基础和原则已经不再是无可置疑的。
为了解决这个问题，数学家们开始对数学的基础进行重新设计和建立，形成了一系列新的数学体系和原则，例如集合论、公理化的数学体系等等，使得数学的基础更加严密和完善。
其次，数学思想的革新和变革促进了数学的发展。
在这个时期，数学家们开始采取更加创新和自由的思维方式，推崇证明和实践相结合，探索新的理论和方法。
这种变革对数学的领域的发展产生了很大的促进作用，为数学的不断探索和创新提供了一种思维方式和方法论。
最后，数学危机也促进了现代数学的建立和发展。
第一次数学危机的发生，是由于数学在基础原理上的矛盾和不完备性，而现代数学则是在解决这些问题的基础上不断发展壮大的。
在经历了这次危机后，数学家们更加注重数学原理的严谨和证明的权威性，并建立了一系列现代数学的分支学科，如代数、数论、拓扑学、微积分等等，使得数学的发展进入了一个新的阶段。
第一次数学危机的产生及其影响
人类对数的认识经历了一个不断深化的过程，在这一过程中数的概念进行了多次扩充与发展。
其中无理数的引入在数学上更具有特别重要的意义，它在西方数学史上曾导致了一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
如果追溯这一危机的来龙去脉，那么就需要我们把目光投向公元前6世纪的古希腊。
那时，在数学界占统治地位的是毕达哥拉斯学派。
这一学派的创立者毕达哥拉斯是著名的哲学家、数学家。
他在哲学上提出“万物皆数”的论断，并认为宇宙的本质在于“数的和谐”。
他所谓“数的和谐”是指：一切事物和现象都可以归结为整数与整数的比。
与此相对应，在数学中他提出任意两条线段的比都可表为整数或整数的比，用他的话说就是：任意两条线段都是可通约的。
他在数学上最重要的功绩是提出并证明了毕达哥拉斯定理，即我们所说的勾股定理。
然而深具讽刺意味的是，正是他在数学上的这一最重要发现，却把他推向了两难的尴尬境地。
他的一个学生希帕索斯在摆弄老师的著名成果毕达哥拉斯定理时，提出了这样一个问题：正方形的对角线与边长这两条线段是不是可通约的呢？换句话说，两者的比是不是有理数呢？经过认真的思考，他发现这个数既不是整数，也不是一个分数，而是一个全新的数，我们现在知道这个数。
这是人类历史上诞生的第一个无理数。
它的诞生是人类对数认识的一次重大飞跃，是数学史上的伟大发现。
然而作为老师的毕达哥拉斯并没有为这一重大发现而欢欣鼓舞，相反他陷入极度不安之中。
如果不赞同它，理智上无法接受，学生的论断毕竟是找不出毛病的呀！可是如果赞同，感情上更难接受。
因为这一发现对他来说是致命的，它将完全推翻他自己的数学与哲学信条。
于是这就导致了“毕达哥拉斯的两难”。
在这两难处境下，他先是在学派内封锁这一发现，不让它传到外界。
后来当希帕索斯本人把发现泄漏后，他让学派内的成员把希帕索斯抛入了大海。
这就是聪明的学生从伟大的老师那里获得的“奖赏”！被后人尊为“智慧之神”的毕达哥拉斯不是有勇气承认自己的错误，而是想通过暴力压制真理，这一作法令他一生蒙羞，成为他一生中的最大污点。
第一次数学危机的内容
第一次数学危机的内容第一次数学危机：开启了数学危机的大门在数学史上，有一个重要的历史节点，被称为“第一次数学危机”。
这一事件不仅对数学领域产生了深远的影响，也为后来的数学发展奠定了基础。
本文将从多个角度探讨第一次数学危机的内容，以期带领读者更好地理解这一重要事件。
一、背景第一次数学危机发生在19世纪末20世纪初的数学界。
在那个时候，欧洲的数学家们正在为了解决一类特殊的数学问题而竭尽全力。
这个问题是人们关于无理数的猜想，即无理数是否能够通过有理数的四则运算得到。
而无理数在数学中有着重要的地位，它们既不能表示为两个整数的比值，也不能表示为有限小数或循环小数。
二、挑战对于这个问题，欧洲的数学家们陷入了一种无法解决的困境。
他们试图通过有理数的四则运算，以及根号的开方运算，来逼近或构造无理数。
然而，他们的努力始终没有取得重大突破。
这使得数学界一时间笼罩在一片迷雾之中。
一些人开始质疑数学是否存在根本性的问题，甚至有人怀疑数学的完备性。
三、突破然而，正当数学界陷入困境之时，一位名叫康托尔（Georg Cantor）的数学家站了出来。
他提出了一个革命性的思想，即集合论。
康托尔认为，数学中的所有对象都可以看作是集合，并通过集合的运算来进行研究。
他将无理数看作是一个特殊的集合，通过集合的运算，康托尔成功地解决了无理数的问题，从而打破了数学危机的僵局。
四、影响康托尔的集合论不仅为解决无理数问题提供了新的思路，也为数学的发展开辟了新的领域。
集合论成为数学的重要分支之一，对数学的基础理论产生了深远的影响。
康托尔还通过集合论的思想，提出了无穷的概念，引入了无穷集合的研究，进一步推动了数学的发展。
五、启示第一次数学危机的发生，让人们意识到数学并非一成不变的，它是不断发展的。
数学家们通过面对危机，寻找新的思路和方法，推动了数学的进步。
这给我们一个启示，即在面对问题和困境时，我们应该保持开放的心态，勇于尝试新的思路和方法，不断探索和创新。
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丰富的数学思想方法会有更深刻的感受。 & ! 数学的第一次危机的实质。从第一次数学危 机的历史论述中可知， 哲学、 逻辑与数学之间有紧密 的联系， 正确的哲学思想对数学的发展具有十分重 要的指导意义； 此外， 哲学与逻辑也必须不断总结数 学的新成果来发展自己。这两方面的关系是不能偏 废的， 否则就会使人类的知识出现不必要的曲折和 危机。 数学的第一次危机的实质主要在于数学家的思 维囿于错误的哲学思想， 即主要在于数学家的思维 被错误哲学思想支配了。! 但它 ! 本来就是一个数， 的发现结果反而导致了数学的危机， 并成了 “ 数即 万物” ， 而 “ 数” 又只能是整数或整数的比这种错误 哲学观点的牺牲品。 二、 数学的第一次危机的影响 无理数的发现与确认启示我们， 数学如同其他 科学一样， 问题、 危机会随时出现， 而问题的解决， 危 机的克服都会带来数学的进一步繁荣。 % ! 无理数的发现， 对数学和哲学发展都产生了 深刻的影响。在数学方面， 使人们认识到直观、 经验 乃至实验都不是绝对可靠的 （ 例如用任何实验都不 能得出一切量均可用有理数表示这个结果） ， 今后 必须依靠证明用理性思维思考自然界。首先， 它使 古希腊数学研究的重点由算术转向几何， 打破了在 这之前毕达哥拉斯学派把数和几何问题等同起来的 看法， 即几何学的某些真理与算术无关， 几何量不能 完全由整数及整数的比来表示， 反之数却可以由几 何量表示出来， 可以说这次发现对古希腊的数学观 点有极大的冲击， 整数的尊崇地位受到了挑战； 其 次， 它使古希腊数学研究方法由计算转向推理， 促使 公理方法的产生， 从此希腊人开始由 “ 自明的” 公理 出发， 经过演绎推理而建立起几何学体系。在哲学 方面， 首先， 动摇了其数本说的基础， 其次， 推动着哲 学转向崇尚理性。 ! ! 在无理数发现之前的各种数学， 都是提供算 法， 进行 “ 算” 的数学。即使在古希腊， 数学也是从 实际出发， 应用到实际问题中去的。比如泰勒斯预 测日食， 利用影子距离计算金字塔的高度等等都是 属于计算范围的。虽然泰勒斯也提出了圆的直径把 圆分成相等的两部分， 等腰三角形的两个底角相等， 两条直线相交后对顶角相等， 有两角和一边相等的 两个三角形全等， 但他都是通过直观经验来证明的。 至于埃及、 巴比伦、 中国、 印度等国的数学， 并没有经 历过这样 的 危 机 革 命， 也就是只停留在 “ 算 术” 阶 段， 而希腊的数学则走上了完全不同的道路， 形成亚 里士多德的逻辑体系和欧几里得 《 几何原本》 公理 体系， 从而成为现代西方数学的始祖。
万方数据
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李春兰 3 试论数学史上的第一次危机及其影响 ! ! 无理数的出现使实数系统得到进一步的完 善。从而使直线上的点与实数一一对应起来。我们 知道有理数 " 是对四则运算封闭 （ 除数不为零） 的， 又是实数的忠实代表， 即任何一个实数都可以近似 的用一个有理数去表示， 而且这种近似的精确度要 多高就有多高 （ # 设是任一实数， 如果 # 已经是一个 有理数了， 那么就是其自身的代表； 如果 # 是无理 数， 比如 # 是圆周率 ! 那么 ! ， !! "， ! ! "# ， ! ! "#$ ， !! "#"% ， ! ! "#&’ ， …， 就都是 ! 在 " 中的近似代表， 越 靠后精确度越高） 。但是， 有理数 " 也有其不足之 处， 比如在 " 中一般不能开方。特别是 " 对极限运 算不封闭是个很大的缺陷， 例如： " " " （" ( ， ) ( ) …） ! $# ! & * " " " % $" ) & & & …） ， "！ $！ !！ 在有理数 " 上就无法研究数学分析， 这是因为 " 在 数轴上分布得虽然是紧密的， 但却又是个千疮百孔 的， 像! % 等等都是孔。所以， 无理数的发现 $， !， !， ! 使数轴没有那些孔， 即数轴上任一点， 如果不对应有 理数， 那么就对应无理数， 真可谓是 “ 有理” 、 “ 无理” 相对立， 却与数轴共安居。无理数的出现最重要的 是使实数具备了连续性， 从而使有条件研究连续性 等理论。由于实数具有连续性， 所以是适合在其上 建立分析学的。在 ’ 中可进行极限运算， 因此， 实 数的连续性是极限理论的基础。 # ! 在我们的日常生活中会经常用到无理数， 它 的出现给我们带来了许多方便。例如， 数 % 是对银 行家最有帮助的一个数， 假如没有 % 的出现， 银行家 要计算今天的利息就要花费大量的时间。所幸的 是， % 的出现助了一臂之力。 总之， 虽然无理数的出现， 导致了毕达哥拉斯学 派的瓦解， 但它的出现对后来的科学研究的影响是 不可言喻的。给我们的学习生活带来的方便是有目 共睹的。 综上所述， 危机是随时可能出现的。危机的出 现激发了富于追求精神的科学家的热情， 促进了多 种理论例如数学基础理论， 逻辑理论等的形成和发 展。因此， 从某种意义上来说， 危机并不是什么坏 事， 它预示着更新的创造和光明， 推进了科学的进 程。我们应持辩证的观点看待它， 看待数学， 不能因 为危机就指责数学一无用处， 担心数学的大厦会倾 倒。在数学大厦的基础上存在这小小缝隙， 数学大 厦不致于倾倒。 注( 释： 正五边形的边与对角线之比 （! * $ 是最先被 & ) "） "( 据说， +・伊夫斯著， 《 数学史概 发现的无理数。请参见： ［ 美］ 论》 ， 山西经济出版社， "’+& 年， 第 %! 页。 第二次数学危机是随 #( 在数学发展史上经历了三次危机， 着微积分的数学方法的发明而产生的。微积分的核心 是无穷小的分析， 但微积分的创建者牛顿和莱布尼兹对 微积分的基本概念是模糊的， 始终没有找到从有限量过 渡到无穷小量的桥梁。所以当时的数学家竭力攻击微 积分， 把它看作是一种神秘的东西。这就形成了第二次 数学危机。罗素悖论 （ 以 , 表示是其自身成员的集合 - 表示不是其自身成员的集合的集合。然后 的集合， 问： 集合 - 是否是它自身的成员？若 - 是它自身的成 员， 则 - 属于 , 而不属于 -， 也就是说 - 不是它自身的 成员； 另一方面， 若 - 不是它自身的成员， 则 - 属于 而不属于 ,， 也就是说 - 是它自身的成员， 无论出现哪 一种情况， 都将导出矛盾的结论。 ） 的发现不仅触及整个 集合论的最根本的概念： 集合及类分子的从属关系， 而 且触及逻辑和语义学的问题。因而引起西方著名数学 家和逻辑学家极大的震惊， 从而使数学基础出现第三次 危机。
收稿日期： ! "##$%#&%’# 作者简介： ! 李春兰 （ ’&()%） ， 女， 内蒙古师范大学数学科学学院田家炳书院 "##* 级硕士研究生。
万方数据 ・ ))・
李春兰 * 试论数学史上的第一次危机及其影响 矛盾。此外， ! 是否是个数？对于毕达哥拉斯学派 ! 来说， 这确实是一个可怕的问题。因为如果承认它 是数， 就要与 “ 数即万物” 中所说的整数发生不可调 和的矛盾。相传当时毕达哥拉斯学派的人正在海 上， 就因这一发现把希帕苏斯投到海里， 因为他在宇 宙中搞出这样一个东西否定了毕达哥拉斯学派的信 条— — —宇宙中的一切现象都归结为正整数或正整数 之比。等式 （" ） 所引出的 ! ! 对于毕达哥拉斯学派是 一个致命的打击。 “ 数即万物” 的世界观被彻底地 动摇了。由此引发了数学的第一次危机 ! 。 毕达哥拉斯学派把那些能用整数之比表达的比 称作可公度比， 意即相比两量可用公度单位量尽， 而 把不能这样表达的比称作不可公度比。 " ! 数学的第一次危机的解决。数学的第一次危 才华横溢的希腊数 机的解决大约在公元前 "#$ 年， 学家毕达哥拉斯的学生阿契塔和欧多克索斯以及柏 拉图给出两个相等的定义从而消除了这次危机。他 们给出的定义与所涉及的量是否有公度无关， 其实 这也是自然的， 因为两个线段的比本来与第三个线 段无关。 毕达哥拉斯学派首先给出了以单位长为边的正 方形的对角线的长度不能用整数之比来表示的证明 方法， 证明过程如下： # 假设： 设! # 均为自然数， ! 是有理数， ! " （ $， ! $ 且 （ $， # ）" % ） ， % & ! !$ " # 两边平方得& ! $! " #! & （ % ） ， % & # 必是 ! 的倍数， % & #! 也是 ! 的倍数， ’ & （ $， # ）" % ， % $ 为奇数， % & ! #( （ #(是自然数） ， $ " ! $( ) % （ $(是自然数） ， 将上面两个式子代入 （%） 得