2019年高考数学总复习：四种命题的真假

2019年高考总复习：命题的真假1．下列命题中是假命题的是( ) A ．∃x ∈R ，log 2x ＝0 B ．∃x ∈R ，cosx ＝1 C ．∀x ∈R ，x 2>0 D ．∀x ∈R ，2x >0答案 C解析 因为log 21＝0，cos0＝1，所以A 、B 项均为真命题，02＝0，C 项为假命题，2x >0，选项D 为真命题．2．(2018·广东梅州联考)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，[f(x 1)－f(x 2)](x 1－x 2)≥0，则非p 是( ) A ．∃x 1，x 2∉R ，[f(x 1)－f(x 2)](x 1－x 2)<0 B ．∃x 1，x 2∈R ，[f(x 1)－f(x 2)](x 1－x 2)<0 C ．∀x 1，x 2∉R ，[f(x 1)－f(x 2)](x 1－x 2)<0 D ．∀x 1，x 2∈R ，[f(x 1)－f(x 2)](x 1－x 2)<0 答案 B解析 根据全称命题否定的规则“改量词，否结论”，可知选B.3．已知命题p ：若x>y ，则－x<－y ；命题q ：若x>y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(非q)；④(非p)∨q 中，真命题是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④答案 C解析 若x>y ，则－x<－y 成立，即命题p 正确；若x>y ，则x 2>y 2不一定成立，即命题q 不正确；则非p 是假命题，非q 为真命题，故p ∨q 与p ∧(非q)是真命题，故选C. 4．(2018·浙江临安一中模拟)命题“∃x 0∈R ，2x 0<12或x 02>x 0”的否定是( )A ．∃x 0∈R ，2x 0≥12或x 02≤x 0B ．∀x ∈R ，2x ≥12或x 2≤xC ．∀x ∈R ，2x ≥12且x 2≤xD ．∃x 0∈R ，2x 0≥12且x 02≤x 0答案 C解析 特称命题的否定是全称命题，注意“或”的否定为“且”，故选C.5．已知集合A ＝{y|y ＝x 2＋2}，集合B ＝{x|y ＝lg x －3}，则下列命题中真命题的个数是( ) ①∃m ∈A ，m ∉B ；②∃m ∈B ，m ∉A ；③∀m ∈A ，m ∈B ；④∀m ∈B ，m ∈A. A ．4 B ．3 C ．2D ．1答案 C解析 因为A ＝{y|y ＝x 2＋2}，所以A ＝{y|y ≥2}，因为B ＝{x|y ＝lg x －3}，所以B ＝{x|x>3}，所以B 是A 的真子集，所以①④为真，②③为假命题，所以真命题的个数为2，故选C. 6．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( ) A ．所有不能被2整除的整数都是偶数 B ．所有能被2整除的整数都不是偶数 C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数 D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数 答案 D解析 否定原命题结论的同时要把量词做相应改变，故选D.7．已知命题p ：∃x 0∈R ，mx 02＋1≤0；命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0.若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围为( ) A ．{m|m ≥2}B ．{m|m ≤－2}C ．{m|m ≤－2或m ≥2}D ．{m|－2≤m ≤2}答案 A解析 由p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，可得m<0；由q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，可得Δ＝m 2－4<0，解得－2<m<2.因为p ∨q 为假命题，所以p 与q 都是假命题，若p 是假命题，则有m ≥0；若q 是假命题，则有m ≤－2或m ≥2，故实数m 的取值范围为{m|m ≥2}．故选A. 8．(2018·河北保定模拟)命题“∀x>0，x x －1>0”的否定是( )A ．∃x 0<0，x 0x 0－1≤0B ．∃x 0>0，0≤x 0≤1C ．∀x>0，xx －1≤0D ．∀x<0，0≤x ≤1 答案 B解析 命题“∀x>0，x x －1>0”的否定为“∃x 0>0，x 0x 0－1≤0或x 0＝1”，即“∃x 0>0，0≤x 0≤1”，故选B.9．(2018·山东潍坊一模)已知p ：函数f(x)＝(x －a)2在(－∞，－1)上是减函数，q ：∀x>0，a ≤x 2＋1x 恒成立，则非p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 p ：函数f(x)＝(x －a)2在(－∞，－1)上是减函数，所以－1≤a ，所以非p ：a<－1.q ：因为x>0，所以x 2＋1x ＝x ＋1x ≥2x·1x＝2， 当且仅当x ＝1时取等号，所以a ≤2.则非p 是q 的充分不必要条件，故选A. 10．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x在R 上为减函数．则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(非p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(非p 2)中，真命题是________． 答案 q 1，q 4解析 p 1是真命题，则非p 1为假命题；p 2是假命题，则非p 2为真命题． ∴q 1：p 1∨p 2是真命题，q 2：p 1∧p 2是假命题． ∴q 3：(非p 1)∨p 2为假命题，q 4：p 1∧(非p 2)为真命题． ∴真命题是q 1，q 4.11．若“∀x ∈[0，π4]，tanx ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．答案 1解析 ∵∀x ∈[0，π4]，tanx ∈[0，1]．∴m ≥1，∴m 的最小值为1.12．命题“任意x ∈R ，存在m ∈Z ，m 2－m<x 2＋x ＋1”是________命题．(填“真”或“假”)． 答案 真解析 由于任意x ∈R ，x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34，因此只需m 2－m<34，即－12<m<32，即0≤m ≤1，所以当m ＝0或m ＝1时，任意x ∈R ，存在m ∈Z ，m 2－m<x 2＋x ＋1成立，因此该命题是真命题．13．(2018·北京朝阳区模拟)已知函数f(x)＝a 2x －2a ＋1.若命题“∀x ∈(0，1)，f(x)≠0”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 (12，1)∪(1，＋∞)解析 已知函数f(x)＝a 2x －2a ＋1，命题“∀x ∈(0，1)，f(x)≠0”是假命题，∴原命题的否定是：“存在实数x 0∈(0，1)，使f(x 0)＝0”是真命题，∴f(1)f(0)<0， 即(a 2－2a ＋1)(－2a ＋1)<0，∴(a －1)2(2a －1)>0，解得a>12，且a ≠1，∴实数a 的取值范围是(12，1)∪(1，＋∞)．14．(2018·山东青岛模拟)已知命题p ：∃x 0∈R ，使tanx 0＝1；命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x|1<x<2}，现有以下结论： ①命题“p 且q ”是真命题； ②命题“p 且非q ”是假命题；③命题“非p 或q ”是真命题； ④命题“非p 或非q ”是假命题．其中正确结论的序号为________．(写出所有正确结论的序号) 答案 ①②③④解析 当x 0＝π4时，tanx 0＝1，所以命题p 为真；不等式x 2－3x ＋2<0的解集是{x|1<x<2}，所以命题q 也为真，故命题“p 且q ”是真命题，①正确；命题“p 且非q ”是假命题，②正确；命题“非p 或q ”是真命题，③正确；命题“非p 或非q ”是假命题，④正确． 15．(2018·山东潍坊质检)已知命题p ：∀x>0，2ax －lnx ≥0.若命题p 的否定是真命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，12e)解析 命题p 的否定是：∃x 0>0，2ax 0－lnx 0<0，即不等式2ax －lnx<0有解．而不等式2ax －lnx<0可化为2a<lnx x ，令g(x)＝lnx x ，则g ′(x)＝1－lnx x 2，可得g(x)在x ＝e 处取得最大值1e ，因此要使不等式2a<lnx x 有解，只需2a<1e ，即a<12e.16．若命题“∃x 0∈R ，x 02＋(a －1)x 0＋1≤0”为假命题，则实数a 的取值范围为________． 答案 (－1，3)解析 由“∃x 0∈R ，x 02＋(a －1)x 0＋1≤0”为假命题，得“∀x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1>0”为真命题，所以Δ＝(a －1)2－4<0，解得－1<a<3，所以a 的取值范围为(－1，3)．17．若f(x)＝x 2－2x ，g(x)＝ax ＋2(a>0)，∀x 1∈[－1，2]，∃x 0∈[－1，2]，使g(x 1)＝f(x 0)，则实数a 的取值范围是________． 答案 (0，12]解析 由于函数g(x)在定义域[－1，2]内是任意取值的，且必存在x 0∈[－1，2]，使得g(x 1)＝f(x 0)，因此问题等价于函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集．函数f(x)的值域是[－1，3]，函数g(x)的值域是[2－a ，2＋2a]，则有2－a ≥－1且2＋2a ≤3，即a ≤12.又a>0，故a的取值范围是(0，12]．18．(2017·安徽毛坦厂中学模拟)已知命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0(a>0)，q ：实数x满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若非p 是非q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 答案 (1)(2，3) (2)(1，2]解析 由x 2－4ax ＋3a 2<0(a>0)，得a<x<3a ， 即p 为真命题时，a<x<3a.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x>2或x<－4， 即q 为真命题时，2<x ≤3. (1)a ＝1时，p ：1<x<3.由p ∧q 为真，得p ，q 均为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧1<x<3，2<x ≤3，得2<x<3. 所以实数x 的取值范围为(2，3)． (2)令A ＝{x|a<x<3a}，B ＝{x|2<x ≤3}． 由题意知，p 是q 的必要不充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤2，3a>3，所以1<a ≤2.所以实数a 的取值范围为(1，2]．1．(2018·衡中调研卷)已知命题p ：方程x 2－2ax －1＝0有两个实数根；命题q ：函数f(x)＝x ＋4x 的最小值为4.给出下列命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(非q)；④(非p)∨(非q)．则其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 由于Δ＝4a 2＋4>0，所以方程x 2－2ax －1＝0有两个实数根，即命题p 是真命题；当x<0时，f(x)＝x ＋4x 的值为负值，故命题q 为假，所以p ∨q ，p ∧(非q)，(非p)∨(非q)是真命题，故选C.2．(2017·四川绵阳中学模拟)已知命题p ：∃x ∈[0，π2]，cos2x ＋cosx －m ＝0为真命题，则实数m 的取值范围是________． 答案 [－1，2]解析 令f(x)＝cos2x ＋cosx ＝2cos 2x ＋cosx －1＝2(cosx ＋14)2－98，由于x ∈[0，π2]，所以cosx∈[0，1]．于是f(x)∈[－1，2]，因此实数m 的取值范围是[－1，2]．3．已知a>0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立．若p 且q 为假，p 或q 为真，求实数a 的取值范围．答案(0，1]∪[4，＋∞)解析∵y＝a x在R上单调递增，∴p：a>1.又不等式ax2－ax＋1>0对∀x∈R恒成立，∴Δ<0，即a2－4a<0，∴0<a<4.∴q：0<a<4.而命题p且q为假，p或q为真，那么p，q中有且只有一个为真，一个为假．(1)若p真，q假，则a≥4；(2)若p假，q真，则0<a≤1.所以a的取值范围为(0，1]∪[4，＋∞)．4．已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2－a≥0”命题q：“∃x0∈R，x02＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，求实数a的取值范围．答案a≤－2或a＝1解析由“p∧q”是真命题，则p为真命题，q也为真命题，若p为真命题，a≤x2恒成立，∵x∈[1，2]，∴x2∈[1，4]，∴a≤1.若q为真命题，即x2＋2ax＋2－a＝0有实根，Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2，综上所求实数a的取值范围为a≤－2或a＝1.。