第九章梁的应力

变形前杆件的横截面变形后仍 为平面。
Z
中性轴
中性层
y 梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长，必 有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为 中性层. 中性层与横截面的交线称为中性轴，中性轴通过截面形心，是一条形心轴。 且与截面纵向对称轴y垂直，将截面分为受拉区及受压区。梁弯曲变形时， 各横截面绕中性轴转动。
前面我们学习了，梁弯曲时横截面正应力分布规律及计算，在工程中， 一般正应力是梁破坏的主要因素。但是，当梁的跨度很小或在支座附 近有很大的集中力作用，这时梁的最大弯矩比较小，而剪力却很大， 如果梁截面窄且高或是薄壁截面，这时剪应力可达到相当大的数值， 剪应力就不能忽略了。
1.矩形截面梁的弯曲剪应力
对于高度h大于宽度b的矩形截面梁，经过理论分析，可以得出 横截面上剪应力的如下结论： V （1）横截面上各点处的剪应力方向与剪力的方向一致； （2）横截面上至中性轴等距离各点的剪应力相等， 既沿截面宽度均匀分布；
y
max
试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时 的最大正应力，并加以比较。
q 2 kN m
200
100
200
4m
100
竖放
max
qL2 8
M max WZ
横放
qL2 8 2 6MPa bh 6
max
M max WZ
qL2 8 2 12MPa hb 6
§9-2 梁内切应力、切应力强度条件
(c)
n
0
dA ( xdA cos ) sin ( xdA cos ) cos ( ydA sin ) cos ( ydA sin ) sin 0
t
0
dA ( xdA cos ) cos ( xdA cos ) sin ( ydA sin ) sin ( ydA sin ) cos 0
应力状态按主应力分类：
（1）单向应力状态。在三个相对面上三个 主应力中只有一个主应力不等于零。 （2）双向应力状态。在三个相对面上三个 主应力中有两个主应力不等于零。
（3）三向应力状态。其三个主应力都不等于零。例 如列车车轮与钢轨接触处附近的材料就是处在三向应 力状态下.
2、梁内主应力迹线： 在梁的xy平面内可以绘制 两组正交的曲线，在一组 曲线上每一点处切线的方 向是该点处主应力 （拉 应力）的方向，而在另一 组曲线上每一点处切线的 方向则为主应力 (压应 力)的方向。这样的曲线就 称为梁的主应力迹线。
A
M EI z
1
EIz为抗弯刚度
A
如果M一定，EIz（抗弯刚度）越大，则曲 率 1 越小，即弯曲变形越小。
y
E
Ey

My Iz
y
Iz为对z轴的惯性矩
z
b
4. 轴惯性矩
I z y 2d A
A h 2 h 2
y M m a n a M
b/2 b/2
b m
, c
M y2 IZ
200 50
z
使用此公式注意：公式中的M、y都用绝对值，σ的正负 由M的正负判断
简单截面的惯性矩和抗弯截面系数计算公式
惯性矩
bh3 IZ 12
hb3 Iy 12
I Z IY
d 4
64
Iz Iy

64
(D4 d 4 )
D 4
64
(1 4 )
即主平面上的正应力取得所有方向上的极值。
③主应力大小：
max x y x y 2 x 2 min 2
2
④由max、min、0按代数值大小排序得出
4.极值切应力：
x y d 0，可求出两个相差90o 的 tg 2 1 2 ①令： xy d 1，代表两个相互垂直的极值切应力方位。
先观察下列各组图
(a) 图中这种梁段的 弯曲(横截面上 既有 弯矩又有剪力）称为 横力弯曲。
图中这种梁的弯 曲(横截面上只有弯矩 而无剪力）称为纯弯 曲。
(b)
M=0, V=0
纯弯曲
纯弯梁
一、纯弯曲时梁内的正应力
纯弯曲—只有M无V 平面弯曲
横力弯曲—V M同时存在
纯弯曲：梁受力弯曲后，如其横截面上只有弯 矩而无剪力，这种弯曲称为纯弯曲。
(3)横截面上任一点处的剪应力计算公式(推导略)为
ຫໍສະໝຸດ Baidu

V S I zb
Z
V——横截面上的剪力
Iz——整个横截面对中性轴的惯性矩
b——需求剪应力处横截面的宽度 S*Z——横截面上需求剪应力处的水平线 以外(以下或以上)部分面积A*(如图 ）对 中性轴的静矩
V
3V 4 y2 (1 2 ) 2bh h
符号规定： 角—以x轴正向为起线，逆时针旋转为正，反之为负
—拉为正，压为负
—使微元产生顺时针转动趋势者为正，反之为负
3.主应力及其方位：
2 x ①由主平面定义，令 =0，得： tan2 0 x y
可求出两个相差90o的0值，对应两个互相垂直主平面。
2 xy d ②令 0 得： tan2 0 x y d
第九章
梁的应力
教学目标：
1、掌握梁弯曲时横截面正应力分布规律； 2、掌握正应力的计算 3、了解横截面上剪应力分布规律； 4、掌握常见截面剪应力计算
回顾与比较
N
内力 应力
N A
Mn
M n IP
M
FAy
V
§9-1 梁内正应力、正应力强度条件
M
V
M V
M
V
梁弯曲时横截面上的正应力与切应力，分别称 为弯曲正应力与弯曲切应力。
根据强度条件可进行：
1、强度校核: max [ ]
M Wz max 2、截面设计: [ ]
3、确定梁的许可荷载: M max [ ]Wz
长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b＝ 120mm，h＝180mm、l＝2m，F＝1.6kN，试求B截面上a、b、 c各点的正应力。

M M
σmax
M
σmax
max M
中性轴
max
正应力的计算
1.横截面上任意点正应力计算
M为横截面的弯矩 Y为计算点到中性轴的距离 Iz截面对Z轴的惯性矩，与截面形 状和尺寸有关 。m4 mm4
b/2 b/2
h z
My IZ
y
y
150
2.横截面上的最大正应力
50 96.4 C
M y1 t IZ
二、
采用变截面梁
§9-4 梁的主应力、主应力迹线
一、梁上任一点应力状态的分析
一点的应力状态是研究通过受力构件内任一点 的各个不同截面上的应力情况。
应力状态分类：
应力状态分为空间应力状态和平面应力状态。 全部应力位于同一平面内时，称为平面应力 状态；全部应力不在同一平面内，在空间分 布，称为空间应力状态。
D 3
弯曲截 面系数
bh2 Wz 6
hb2 Wy 6
Wz Wy
d 3
32
Wz W y
32 d 式中: D
(1 4 )
型钢查型钢表
梁的正应力强度条件
①拉压强度相等材料：
max
M Wz [ ]
max
弯曲应力
②拉压强度不等材料： t ,max [ ]t ， c,max [ ]c
F
150 50
A
B
96.4 C
l 2
l 2
200 50
z
M max
FL 16kNm 4
y
max max
200 50 96.4 153.6mm 96.4mm

max
My max IZ My max IZ
24.09MPa 15.12MPa
弯曲变形演示
2. 实验研究
O M m a b m n a b n M
z x
y
b/2 b/2
h z
纵向对称平面
y
静力学方面:
V 0 Mz M
3. 弯曲正应力的计算
(1) 几何方面:
( y )d d y d (2) 物理方面:
E
E y

(3) 静力学方面（力的平衡方程）:
A
B
F
h 6
C
a
b
h
l 2
FL
l 2
h2
c
b
M B ya a IZ
b 0
1 h FL 2 3 3 1.65MPa bh 12 1 h FL M B yc 2 2 c bh 3 IZ 12
1 M B FL 2
bh3 IZ 12
2.47MPa
（压）
图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝32kN，梁的长度L＝2m。 yc＝96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。求弯矩最大截面上 的最大拉应力和最大压应力。 y
max
4V 3A
最大剪应力发生在中性轴上
8.5 提高梁强度的措施
在横力弯曲中，控制梁强度的主要因素是梁的 最大正应力，梁的正应力强度条件
max
M max W

8.5.1合理安排梁的受力情况
§9-3 梁的合理截面和变截面梁
一、选用合理的截面形状
矩形截面比圆形截面好， 工字形截面比矩形截面好得多
P1
1 2 3 4 5 x m
P2
q x
m
m
3 1 3
1
1
3
2
3
x x
3
1 3 1 3 1
3 1 3 1
x
4
x x
m
5
1
§9-5
二向应力状态下的强度条件——强度理论
各种材料因强度不足而引起的失效现象是不同的。塑料材料， 如普通碳钢，以发生屈服现象、出现塑性变形为失效的标志。 脆性材料，如铸铁，失效现象是突然断裂。在单向受力情况下， 出现塑性变形时的屈服极限σs和发生断裂时的强度极限σb，可 由实验测定。σS和σb可统称为失效应力。失效应力除以安全 因数，便得到许用应力[σ]，于是建立强度条件 可见，在单向应力状态下，失效状态或强度条件以实验为基础 是容易建立的。因为一方面构件内的应力状态比较简单，另一 方面要用σ≤[σ]接近这类构件受力情况的试验装置求失效应力值 比较容易实现。

x y
2 2 x y sin 2 x cos 2 2 x y 2 x y 2 ( ) ( x )2 2 2

x y
cos 2 x sin 2
(10 1) (10 2) (10 3)
N dA 0
M ydA
N E dA
A
A
z y
y
A
E

ydA 0
A
A y
S z ydA 0
A
中性轴通过截面的形心 y2 E 2 M ydA E dA y dA
A A


A
M
E
y dA A
2
I z y 2d A
实验现象：
F F
1、变形前互相平行的纵向直线、
m n
变形后变成弧线，且凹边纤维缩 短、凸边纤维伸长。
2、变形前垂直于纵向线的横向
m
n
线,变形后仍为直线，且仍与弯曲 了的纵向线正交，但两条横向线 间相对转动了一个角度。
1、平面假设：
2.单向受力假设： 各纵向纤维之间互不挤压。纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。 因此梁横截面上只有正应力σ而无剪应力τ
§9-4 梁的主应力、主应力迹线
一、一点的应力状态
1. 一点的应力状态 ：通过受力构件一点处各个不同截面 上的应力情况。
2.研究应力状态的目的 ：找出该点的最大正应力和剪应力 数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分 析。
二、研究应力状态的方法—单元体法
1.单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。
b n
h
z
y
圆的惯性矩？
空心矩形的惯性矩？
y
bh3 y 2 b dy 12
z
横截面上正应力分布规律：
1、受拉区 拉应力，受压区 压应力 2、中性轴上应力为零 3、沿y轴线性分布，同一坐标y处，正应力相等。既沿截面宽度均匀分布 4、最大正应力发生在距中性轴最远处，即截面边缘处。 若截面对称于中性轴，则最大拉应力等于最大压应力
x y 2 2 " xy 2
2
②极值切应力：
' "
tg 2 0 1 o ③ tg 2 1 (极值切应力平面与主平面成45 )
二、梁内主应力及主应力迹线
1、梁内主应力： 在三对相互垂直的相对面上剪应力等 于零，而只有正应力。这样的单元体称为 主单元体，这样的单元体面称主平面。主 平面上的正应力称主应力。 通常按数值排 列，用字母σ1、σ2和σ3分别表示。
(4)剪应力沿截面高度的分布按 二次抛物线规律分布 。上下边缘处 剪应力为零，中性轴上剪应力最大。
V max 1.5 1.5 A
2、工字形截面梁的剪应力

V S I zd
Z
腹板上的剪应力沿腹板高度按抛物 线规律变化
最大剪应力发生在中性轴上，工字钢翼缘上承担了绝大部分弯矩，腹板 上承担绝大部分剪力。 3、圆截面梁的最大剪应力