高考数学复习考点知识与题型专题讲解58---直线的方程

注：①当 k = 0 时， y = y0 ；②当 k 不存在时， x = x0
（2）斜截式：直线的斜率 k 存在且过 (0, b) ， y = kx + b
（3）两点式： y − y1 = x − x1 ，不能表示垂直于坐标轴的直线。 y2 − y1 x2 − x1
注： (x2 − x1)( y − y1) = (x − x1)( y2 − y1) 可表示经过两点 P(x1, y1),Q(x2 , y2 ) 的所有直线
＋ ＋ Ax0 By0 C ＋A2 B2
|，平行线间距离：d＝|
－ C1 C2 | ＋A2 B2
圆的标准方程( x − a)2 +( y −b)2 = r2 圆的一般方程 x2 +y2 + Dx + Ey + F = 0 直线与圆的位置关系 两圆的位置关系
相离
∆＜0，或 ＞d r
相切
∆＝0，或 ＝d r
| P1P2 |= (x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2
2. P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) 的直线斜率公式
k
=
y1 − y2 x1 − x2
= tan α (x1
≠
x2 ,α
≠
π) 2
3.直线方程的几种形式
（1）点斜式：直线的斜率 k 存在且过 (x0 , y0 ) ， y − y0 = k(x − x0 )
知识点精讲 一、基本概念 斜率与倾斜角 我们把直线 y = kx + b 中 k 的系数 k （ k ∈ R ）叫做这条直线的斜率，垂直于 x 轴的直线， 其斜率不存在。 x 轴正方向与直线向上的方向所成的角叫这条直线的倾斜角。倾斜角
α ∈[0,π ) ，规定与 x 轴平行或重合的直线的倾斜角为 0，倾斜角不是 π 的直线的倾斜角
（4）截距式： x + y = 1不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线。 ab
（5）一般式： Ax + By + C = 0( A2 + B2 ≠ 0) ，能表示平面上任何一条直线（其中，向量 r n = ( A, B) 是这条直线的一个法向量）
题型归纳及思路提示 题型 120 倾斜角与斜率的计算 思路提示
相交
＞ ，或 ＜ 相交弦长 ∆ 0 d r,
2 r2 − d2
第一节 直线的方程 考纲解读 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
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3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）了 解斜截式与一次函数的关系。
2 的正切值叫该直线的斜率，常用 k 表示，即 k = tanα 。 当 k = 0 时，直线平行于轴或与轴重合； 当 k > 0 时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随 k 的增大而增大；
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当 k < 0 时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角 k 随的增大而减小；
二、基本公式
1. P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) 两点间的距离公式
解析 解法一：由题设可知 kAB = kAC ，
即 0 − 2 = b − 2 ， (a − 2)(b − 2) = 4, ab = 2(a + b) a−2 0−2
1 +1 = a+b = 1 a b ab 2
uuur uuur 解法二：由题设可知 AB / / AC ，
即 (a − 2, −2) / /(−2.b − 2) ，即 (a − 2)(b − 2) = 4 。
ab = 2(a + b) ， 1 + 1 = a + b = 1 a b ab 2
解 法 三 ： 由题 设 可知点 A(2, 2) 在 直 线 BC 上 ， 又 由截距 式 方 程 得直 线 BC 方 程：
x + y = 1，故 2 + 2 = 1, 1 + 1 = 1 。
ab
ab ab 2
评注 关于三点共线问题，可以联想到斜率相等或向量共线，亦可先由两点确定一条
直线，再证第三点在该直线上，这些方法对学习平面解析（空间立体）几何或几何证
明都很有益处。 变式 1 若直线 l 先向左平移一个单位，再向上平移两个单位后，所得直线与直线 l 重 合，则直线 l 的斜率为__________. 变式 2 已知过 A(2,1), B(1, m2 ) 两点的直线的倾斜角为锐角，则实数 m 的取值范围是 ___________.
可分割。牢记“斜率变化分两段，90o 是其分界，遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”。
这可通过画正切函数在
0,
π 2
∪
π 2
,
π
上的图像来认识。
例9.1 若三点 A(2, 2), B(a, 0),C(0,b) (ab ≠ 0) 共线，则 1 + 1 = ___________. ab
分析 由三点共线可联想到斜率相等或向量共线。
高考数学复习考点知识与题型专题讲解
直线与圆的方程
知识结构图
直线的方程
圆的方程
倾斜角和斜率
当 时， 不存在 k
=
tan α
=
y2 x2
− y1 − x1
,α
∈
0,
π 2
U
π 2
,π
,
α=π 2
k
位置关系 截距
直线方程的形式
重合
平行
－ ＝ A1B2 A2B1 0
相交
－ ≠ A1B2 A2B1 0
命题趋势探究 1. 从考查内容上看，主要考查直线方程的基本概念，倾斜角和斜率 2. 从考查形式上看，以选择题和填空题为主，解答题中常以与圆锥曲线相交出现 3. 从考查能力上看，侧重对基本知识和技能的考查，考生一定要体会数学思想与方法，
特别是数形结合思想提高综合解题能力 4. 从近几年高考情况来看，预测 2021 年高考本专题主要考查以下内容。 （1）根据条件确定直线方程 （2）考查直线性质，如倾斜角与斜率关系、方程与充要条件等； （3）直线与圆锥曲线的相交问题
正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式 k = y1 − y2 ，根据 x1 − x2
该公式求出经过两点的直线斜率，当 x1 = x2, y1 ≠ y2 时，直线的斜率不存在，倾斜角为 90o
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求斜率可用 k = tanα (α ≠ 90o ) ，其中α 为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不
注意：截距可正、可负，也可为 0.
点斜式：y－y0＝k(x－x0)
斜截式：y＝kx＋b
－ － y y1 x x1 两点式： － ＝ － y2 y1 x2 x1
垂直
＋ ＝ A1A2 B1B2 0
注和运意用各范种围形. 式的转化
两直线的交点
截距式：ax＋by＝1 一般式：Ax＋By＋C＝0
距离
点到线的距离：d＝|