初三数学说题教案：说一道中考压轴题

数 学 说 题

说题人：

中考数学压轴题历来是初三师生关注的焦点，它一般有动态问题、开放性题型、探索性题型、存在性题型等类型，涉及到代数、几何多个知识点，囊括初中重要的数学思想和方法。对于考生而言，中考压轴题是一根标尺，可以比较准确的衡量学生综合解题能力以及数学素养。下面我就2014年我州数学中考第24题进行讲评。 原题呈现：如图，已知抛物线y=x 2-1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴

交于点C ．

（1）求A 、B 、C 三点的坐标。 （2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于 点P ，求四边形ACBP 的面积。 （3）在x 轴上方的抛物线上是否存 在一点M ，过M 作MG x 轴于点G ， 使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形

与PCA 相似。若存在，请求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由。 一、阐述题意 1、题目的已知条件 （1）抛物线y=x 2-1； （2）与x 轴交于A 、B 两点； （3）与y 轴交于点C; （4）AP ∥CB ；

（5）M 在x 轴上方的抛物线上，且M 作MG x 轴于点G ； （6）以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与PCA 相似。 隐含条件为：（1）直线AP 与直线CB 的解析式中k 值相等； （2）P 点是直线AP 与抛物线的交点；

（3）以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与PCA 相似的对应关系不明确，

⊥∆⊥∆∆ C

P

B

y A

有两种情况需要讨论；

（4）对点M在抛物线上的位置不确定，要分两种情况。

2、难点及关键点

（1）求出直线AP的解析式，从而求出点P的坐标；

（2）知道四边形ACBP是个直角梯形或者把它以x轴为界分成两个三

∆∆

角形，将四边形ACBP的面积转化成ABC和ABP的面积之和；

（3）对于两个三角形相似两种对应关系的讨论；

（4）对点M在抛物线上的位置存在两种情况的讨论。

当然，对于压轴题，大部分题的难点还在于学生无法将分散的条件集中到有效的图形上进行解决，这个题也不例外。

二、阐述试题背景

本题是我州当年的数学中考压轴题，分值12分。本题涉及的知识点有：抛物线；直角坐标；直线平行；待定系数法；四边形的面积；三角形的相似。本题是二次函数、一次函数与多边形综合的数形结合题，综合性强，而且隐含条件多，这是学生所不注意的地方，也正是解决问题的突破口和切入点。因此本题严格按照考试大纲的考试目标与要求来命题，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养。在考查考生对初中的基础知识，基础技能的掌握程度的同时，更考查考生对数学思想方法和数学本质的理解水平。

三、解题过程

同一个问题，从不同的角度探究与分析，可有不同的解法。一题多解，有利于沟通各知识的联系，培养学生思维的发散性和创造性。本题解法如下：

解：（1）令y=0，即x2-1=0，得：x1=-1、x2=1

即A点的坐标为(-1，0)，

B点的坐标为(1，0)

令x=0，得y=-1，即C 的坐标为(0，-1) ∴A （-1，0）,B （1，0）,C （0，-1） （2）∵B （1，0）,C （0，-1）

∴用待定系数法得直线BC 解析式为：y=x-1 ∵AP ∥CB 设AP 所在的直线解析式为：y=x+b 则0＝-1+b ，∴b ＝1

∴AP 所在的直线解析式为：y=x+1 又∵P 点在抛物线y=x 2-1上

∴由⎩

⎨⎧-=+=112

x y x y 得 X 1＝-1(舍去），X 2＝2 ∴P （2，3）

∴AP ＝2332122

=+--）（

∵在△ABC 中，AC=BC=2,AB=2 ∴AC 2+BC 2=AB 2

∴△ABC 为等腰直角三角形，且∠ACB=90° 又∵由（1）得：AP ∥CB ∴四边形ACBP 为直角梯形

∴Ｓ梯ACBP ＝2

1

（BC+AP)AC=2

1（2+32）×2=4

当然问题二：P 点的坐标也可以构建等腰直角三角形来得出，另外，也可以不证四边形ACBP 为直角梯形，直接用在坐标中根据点的坐标来求面积来解决，更简洁，如下： 解法二：∵OA=OB=OC=1， ∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=45°． ∵AP∥CB， ∴∠PAB=45°．

C

P

B

y

A

O

x

过点P 作PE⊥x 轴于E ，则△APE 为等腰直角三角形， 令OE=a ，则PE=a+1， ∴P（a ，a+1）

∵点P 在抛物线y=x 2

-1上， ∴a+1=a 2-1

解得a 1=2，a 2=-1（不合题意，舍去）． ∴P（2，3），∴PE=3

∴Ｓ四ACBP ＝S △ABC +S △ABP ＝2

1

×2×1+2

1×2×3=4 （3）假设存在

∵由（2）得：AP ＝23，∠PAC=90°， ∵MG⊥x 轴于点G ， ∴∠MGA=∠PAC=90°

设M 点的横坐标为m ，则M （m ，m 2-1） ∵M 点在X 轴上方，则m ＜-1或m ＞1 ①当m ＜-1时，则AG=-1-m ，MG=m 2-1．

（ⅰ）当△AMG∽△PCA 时，有 AG ：PA=MG ：CA ． ∴（-1-m ）：23=（m 2-1）：2

解得m 1=-1（舍去）m 2= 3

2

（舍去）

（ⅱ）当△MAG∽△PCA 时，有 AG ：CA=MG ：PA ， ∴ （-1-m ）：2=（m 2-1）：23． 解得：m 1=-1（舍去），m 2=-2． ∴M（-2，3）；

②当m ＞1时，则AG=m+1，MG=m 2-1

C

P

y

A

O x B

C

P

B

y

A

O

x

G

M

C B E C