北师大版数学九年级上册知识点归纳

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北师大版《数学》(九年级上册)知识点总结

北师大版《数学》(九年级上册)知识点总结

北师大版《数学》(九年级上册)知识点总结第一章 证明(二)一、公理(1)三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS ”)。

(2)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS ”)。

(3)两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA ”)。

(4)全等三角形的对应边相等、对应角相等。

推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角角边”或“AAS ”)。

二、等腰三角形1、等腰三角形的性质(1)等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角)(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一)。

等腰三角形的其他性质:①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角(或直角),但顶角可为钝角(或直角)。

③等腰三角形的三边关系:设腰长为a ,底边长为b ,则2b <a ④等腰三角形的三角关系:设顶角为顶角为∠A ,底角为∠B 、∠C ,则∠A=180°—2∠B ,∠B=∠C=2180A ∠-︒ 2、等腰三角形的判定(1)如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称:等角对等边)。

(2)有两条边相等的三角形是等腰三角形.三、等边三角形性质:(1)等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°。

(2)三线合一判定:(1)三条边都相等的三角形是等边三角形(2)三个角都相等的三角形是等边三角形(3):有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

四、直角三角形(一)、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余2、在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、勾股定理:直角三角形两直角边a ,b 的平方和等于斜边c 的平方,即222c b a =+ 其它性质:1、直角三角形斜边上的高线将直角三角形分成的两个三角形和原三角形相似。

新北师大版初中数学九年级上册第1章 特殊平行四边形《第3课 正方形的性质与判定》

新北师大版初中数学九年级上册第1章 特殊平行四边形《第3课 正方形的性质与判定》
满足什么条件的菱形是正方形? 定理:有一个角是直角的菱形是正方形.
请证明你的结论,并与同伴交流.
正方形的判定( 随堂练习1)
定理:有一个角是直角的菱形是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900. A
D
求证:四边形ABCD是正方形.
证明:
∵四边形ABCD是菱形,∠A=900,
B
C
∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.
CG=DG=
1
2 CD,DH=AH=
1
AC
2
∴AE=BE2=BF=CF=CG=DG2=HG=AH
∴△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG
A
E
B
13 2
H
F
D
G
C
∴EF=FG=GH=HE∴四边形EFGH是菱形
∵∠1=∠2=45°∴∠3=90 °
∴四边形EFGH是正方形
(1)以菱形或矩形各边的中点为顶点可以组成一个什 么图形?先猜一猜,再证明.如果以平行四边形各边 的中点为顶点呢?
例1.如图 1-18,在正方形 ABCD
中,E 为 CD 边上一点,F 为 BC 延长线上一点,且 CE = CF.BE
M
与 DF 之间有怎样的关系?请说明
理由.
解:BE = DF,且 BE⊥DF. 理由如下:
(2)延长 BE 交 DF 于点 M. ∵ △BCE ≌ △DCF,∴ ∠ CBE = ∠ CDF. ∵ ∠ DCF = 90°,∴ ∠ CDF + ∠ F = 90°. ∴ ∠ CBE + ∠ F = 90°. ∴ ∠ BMF = 90°.∴ BE⊥DF.
北师大版九年级数学(上)
第一章 特殊平行四边形

九年级上册数学知识点归纳总结北师大版

九年级上册数学知识点归纳总结北师大版

九年级上册数学知识点归纳总结北师大版3.九班级上册数学学问点归纳总结北师大版篇三1.直线与圆有公共点时,叫做直线与圆相切。

2.三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心。

3.弦切角等于所夹的弧所对的圆心角。

4.三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心。

5.垂直于半径的直线必为圆的切线。

6.过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线。

7.垂直于半径的直线是圆的切线。

8.圆的切线垂直于过切点的半径。

4.九班级上册数学学问点归纳总结北师大版篇四单项式与多项式仅含有一些数和字母的乘法包括乘方运算的式子叫做单项式单独的一个数或字母也是单项式。

单项式中的数字因数叫做这个单项式或字母因数的数字系数,简称系数。

当一个单项式的系数是1或—1时,“1”通常省略不写。

一个单项式中,全部字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

假如在几个单项式中,不管它们的系数是不是相同,只要他们所含的字母相同,并且相同字母的指数也分别相同,那么,这几个单项式就叫做同类单项式,简称同类项全部的常数都是同类项。

1、多项式有有限个单项式的代数和组成的式子,叫做多项式。

多项式里每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项,叫做常数项。

单项式可以看作是多项式的特例把同类单项式的系数相加或相减,而单项式中的字母的乘方指数不变。

在多项式中,所含的不同未知数的个数,称做这个多项式的元数经过合并同类项后,多项式所含单项式的个数,称为这个多项式的项数所含个单项式中次项的次数,就称为这个多项式的次数。

2、多项式的值任何一个多项式,就是一个用加、减、乘、乘方运算把已知数和未知数连接起来的式子。

3、多项式的恒等对于两个一元多项式fx、gx来说,当未知数x同取任一个数值a 时,假如它们所得的值都是相等的,即fa=ga,那么,这两个多项式就称为是恒等的记为fx==gx,或简记为fx=gx。

性质1假如fx==gx,那么,对于任一个数值a,都有fa=ga。

性质2假如fx==gx,那么,这两个多项式的个同类项系数就肯定对应相等。

2020北师大版九年级数学上册 反比例函数知识点总结

2020北师大版九年级数学上册 反比例函数知识点总结

【文库独家】北师大版九年级上册第六章 反比例函数知识点总结知识点1 反比例函数的定义 一般地,形如xky =(k 为常数,0k ≠)的函数称为反比例函数,它可以从以下几个方面来理解:⑴x 是自变量,y 是x 的反比例函数;⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数,函数值的取值范围是0y ≠; ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分; ⑷反比例函数有三种表达式: ①xky =(0k ≠), ②1kx y -=(0k ≠), ③k y x =⋅(定值)(0k ≠); ⑸函数xky =(0k ≠)与y k x =(0k ≠)是等价的,所以当y 是x 的反比例函数时,x 也是y 的反比例函数。

(k 为常数,0k ≠)是反比例函数的一部分,当k=0时,xky =,就不是反比例函数了,由于反比例函数xky =(0k ≠)中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求出k 的值,从而确定反比例函数的表达式。

知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数xky =(0k ≠)中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求出k 的值,从而确定反比例函数的表达式。

知识点3反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限,它们与原点对称,由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠,函数值0y ≠,所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。

反比例的画法分三个步骤:⑴列表;⑵描点;⑶连线。

再作反比例函数的图像时应注意以下几点: ①列表时选取的数值宜对称选取;②列表时选取的数值越多,画的图像越精确;③连线时,必须根据自变量大小从左至右(或从右至左)用光滑的曲线连接,切忌画成折线;④画图像时,它的两个分支应全部画出,但切忌将图像与坐标轴相交。

知识点4反比例函数的性质☆关于反比例函数的性质,主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况,如下表:注意:描述函数值的增减情况时,必须指出“在每个象限内……”否则,笼统地说,当0k >时,y 随x 的增大而减小“,就会与事实不符的矛盾。

北师大版初中数学九年级上册第三章知识点

北师大版初中数学九年级上册第三章知识点

九年级第三章
概率的进一步认识
一、用树状图或表格求概率
知识点1:用列表法求概率
1.列表法:用表格的形式反映事件发生的各种结果出现的次数和方式,以及某一事件发生的可能出现的次数和方式,并求出概率。

2.适当条件:当一次试验涉及两个因素,并且可能出现的等可能结果的数目较多时为了不重不漏地列出所有可能的结果,常采用列表法
3.具体步骤:
(1)列表;
(2)计数;确定所有等可能的结果数n和符合要求的结果数m
m
(3)求值利用概率公式P(A)=
n
知识点2:用画树状图法求概率
1.画树状图法:用树状图的形式反映事件发生的各种结果出现的次数和方式,以及某一事件发生的可能出现的次数和方式,并求出概率。

2.适当条件:当一次试验涉及两个或者更多因素时,为了不重不漏地列出可能的结果,通常采用画树状图法。

知识点3:游戏的公平性
1.游戏是否公平,即判断双方的概率是否相等
2.把不公平的游戏变公平的方法
改变游戏规则,使双方获胜的概率相等
若游戏中涉及得分情况,先计算出概率后,再根据游戏规则,改变游戏得分,使双方平均每次游戏所得分数相等。

二、用频率估计概率
1.一般地,大量重复试验中,如果事件A 发生频率
n m 稳定于某个常数p ,那么事件A 发生的概率为p 2.P(A)=n
m (当试验的结果有无限多个,或者可能出现的结果发生的可能性不相同时,我们一般通过频率来估计概率)。

北师大版九年级上册数学复 习知识点及例题

北师大版九年级上册数学复    习知识点及例题

性角 质
对 角 线
四个角都是 直角
互相平分且 相等
对角相等
四个角都是直角
互相垂直平分, 且每条对角线平 分一组对角
互相垂直平分且相等,每 条对角线平分一组对角
判定
·有三个角 是直角; ·是平行四 边形且有一 个角是直角; ·是平行四
·四边相等的四 边形; ·是平行四边形 且有一组邻边相 等; ·是平行四边形
·是矩形,且有一组邻 边相等; ·是菱形,且有一个角 是直角。
边形且两条 且两条对角线互 对角线相等. 相垂直。
对称性
既是轴对称图形,又是中心对称图形
一.矩形 矩形定义:有一角是直角的平行四边形叫做矩形.
【强调】 矩形(1)是平行四边形;(2)一一个角是直角.
矩形的性质
性质1 矩形的四个角都是直角; 性质2 矩形的对角线相等,具有平行四边形的所以性质。;
①有一组邻边相等的平行四边形 (菱形) ②有一个角是直角的平行四边形 (矩形) 正方形不仅是特殊的平行四边形,并且是特殊的矩形,又是特殊的
菱形. 正方形定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫
做正方形. 正方形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点,正方形
又是轴对称图形,对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线,共有 四条对称轴;
因为正方形是平行四边形、矩形,又是菱形,所以它的性质是它们 性质的综合,正方形的性质总结如下:
边:对边平行,四边相等; 角:四个角都是直角; 对角线:对角线相等,互相垂直平分,每条对角线平分一组对角. 注意:正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角 形,对角线与边的夹角是45°;正方形的两条对角线把它分成四个全等 的等腰直角三角形,这是正方形的特殊性质.

北师大版九年级数学(上册)重点知识点归纳整理

北师大版九年级数学(上册)重点知识点归纳整理

九年级数学上册知识点归纳(北师大版)第一章特殊平行四边形第二章一元二次方程第三章概率的进一步认识第四章图形的相似第五章投影与视图第六章反比例函数(八下前情回顾)※平行四边的定义:两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形.....,平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线...。

※平行四边形的性质:平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。

※平行四边形的判别方法:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

※平行线之间的距离:若两条直线互相平行,则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。

这个距离称为平行线之间的距离。

第一章特殊平行四边形1菱形的性质与判定菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

※菱形的性质:具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。

菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是对称轴。

※菱形的判别方法:一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

四条边都相等的四边形是菱形。

2矩形的性质与判定※矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫矩形..。

矩形是特殊的平行四边形。

※矩形的性质:具有平行四边形的性质,且对角线相等,四个角都是直角。

(矩形是轴对称图形,有两条对称轴)※矩形的判定:有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。

对角线相等的平行四边形是矩形。

四个角都相等的四边形是矩形。

※推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

3正方形的性质与判定正方形的定义:一组邻边相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性质:正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

(正方形是轴对称图形,有两条对称轴)※正方形常用的判定:有一个内角是直角的菱形是正方形;邻边相等的矩形是正方形;对角线相等的菱形是正方形;对角线互相垂直的矩形是正方形。

北师大版初中数学九年级上册第一章知识点

北师大版初中数学九年级上册第一章知识点

九年级第一章特殊的平行四边形一、菱形知识点1:菱形的概念概念:有一组邻边相等的平行四边形叫菱形知识点2:菱形的性质1 面积:①底×高②对角线乘积的一半2 边:四条边相等;对边平行;对边相等3 角:对角相等;邻角互补4 对角线:对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角5 对称性:轴对称图形 + 中心对称图形知识点3:菱形的判定1 四边形+四条边相等2 平行四边形+一组邻边相等3 平行四边形+对角线互相垂直二、矩形知识点1:矩形的概念概念:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形知识点2:矩形的性质1 面积:长×宽2 边:对边平行;对边相等3 角:四个角都是直角;对角相等;邻角互补4 对角线:对角线相等,对角线互相平分5 对称性:轴对称图形 + 中心对称图形6 斜边中线性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知识点3:矩形的判定1 四边形+三个角是直角2 平行四边形+对角线相等三、正方形知识点1:正方形的概念概念:有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形知识点2:正方形的性质1 面积:边长×边长2 边:四条边相等;对边平行;对边相等3 角:四个角都是直角;对角相等;邻角互补4 对角线:对角线相等且互相垂直平分,每一组对角线平分一组对角5 对称性:轴对称图形 + 中心对称图形知识点3:正方形的判定1 从平行四边形出发:平行四边形+一组邻边相等+一个直角2 从矩形出发:矩形+一组邻边相等矩形+对角线互相垂直3 从菱形出发:菱形+一个直角菱形+对角线相等四、中点四边形知识点1:中点四边形的概念概念:顺次链接任意四边形各边中点所组成的四边形叫中点四边形知识点2:常见的中点四边形1 任意四边形的中点四边形是平行四边形2 平行四边形的中点四边形是平行四边形3 矩形的中点四边形是菱形4 菱形得到中点四边形是矩形5 正方形的中点四边形是正方形。

北师大版-数学九年级上册知识点归纳总结

北师大版-数学九年级上册知识点归纳总结

北师大版-数学九年级上册知识点归纳总结第一章特殊的平行四边形一、平行四边形1.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2.平行四边形的性质(1)平行四边形的对边平行且相等。

(对边)(2)平行四边形相邻的角互补,对角相等(对角)(3)平行四边形的对角线互相平分。

(对角线)(4)平行四边形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点。

常用点:(1)若一直线过平行四边形两对角线的交点,则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点,并且这条直线二等分此平行四边形的面积。

(2)推论:夹在两条平行线间的平行线段相等。

3.平行四边形的判定(1)定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

(对边)(2)定理1:两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

(对边)(3)定理2:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

(对边)(4)定理3:两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

(对角)(5)定理4:对角线互相平分的四边形是平行四边形。

(对角线)4.两条平行线的距离两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线的距离。

注意:平行线间的距离处处相等。

5.平行四边形的面积: S平行四边形=底边长×高=ah二、菱形1.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2.菱形的性质(1)菱形的四条边相等,对边平行。

(边)(2)菱形的相邻的角互补,对角相等。

(对角)(3)菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角。

(对角线)(4)菱形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的交点(对称中心到菱形四条边的距离相等);对称轴有两条,是对角线所在的直线。

3.菱形的判定(1)定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

(2)定理1:四边都相等的四边形是菱形。

(边)(3)定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

(对角线)(4)定理3:对角线垂直且平分的四边形是菱形。

(对角线)4.菱形的面积:S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半三、矩形1.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

北师大版数学九年级上册课本知识点

北师大版数学九年级上册课本知识点

北师大版数学九年级上册课本知识点第一章证明(二)1、(2页)公理三边对应相等的两个三角形全等。

(sss)公理两边及其夹角对应成正比的两个三角形全系列等。

(sas)公理两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。

(asa)公理全系列等三角形的对应边成正比、对应角成正比。

推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

(aas)2、(3页)定理等腰三角形的两个底角成正比。

3、(4页)推论等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

随堂练习1.证明:等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60。

4、(7页)定理存有两个角成正比的三角形就是等腰三角形。

(等角对等边)5、(8页)在证明时,先假设命题的结论不成立,然后推导出定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立。

这种证明方法称为反证法。

6、(11页)定理存有一个角等同于60的等腰三角形就是等边三角形。

7、(12页)定理在直角三角形中,如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半。

8、(13页)随堂练1.证明:三个角都成正比的三角形就是等边三角形。

9、(16页)定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的一半。

10、(17页)定理如果三角形两边的平方和等同于第三边的平方,那么这个三角形就是直角三角形。

11、(18页)在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

一个命题就是真命题,它的逆命题却不一定就是真命题。

如果一个定理的逆命题经过证明就是真命题,那么它也就是一个定理,这两个定理称作互逆定理。

12、(23页)定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

(“斜边、直角边”或“hl”)13、(26页)定理线段垂直平分线上的的边这条线段两个端点的距离成正比。

14、(27页)定理到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。

北师大版九年级数学上册知识点归纳

北师大版九年级数学上册知识点归纳

九年级数学上册知识点归纳(北师大版)第一章特殊平行四边形第二章一元二次方程第三章图形的相似第四章投影与视图第五章反比例函数第六章概率的进一步认识(八下前情回顾)※平行四边的定义:两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形.....,平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线...。

※平行四边形的性质:平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。

※平行四边形的判别方法:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

※平行线之间的距离:若两条直线互相平行,则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。

这个距离称为平行线之间的距离。

第一章特殊平行四边形1菱形的性质与判定菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

※菱形的性质:具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。

菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是对称轴。

※菱形的判别方法:一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

四条边都相等的四边形是菱形。

2矩形的性质与判定※矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫矩形..。

矩形是特殊的平行四边形。

※矩形的性质:具有平行四边形的性质,且对角线相等,四个角都是直角。

(矩形是轴对称图形,有两条对称轴)※矩形的判定:有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。

对角线相等的平行四边形是矩形。

四个角都相等的四边形是矩形。

※推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

3正方形的性质与判定正方形的定义:一组邻边相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性质:正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

(正方形是轴对称图形,有两条对称轴)※正方形常用的判定:有一个内角是直角的菱形是正方形;邻边相等的矩形是正方形; 对角线相等的菱形是正方形; 对角线互相垂直的矩形是正方形。

北师大版《数学》(九年级上册)知识点总结

北师大版《数学》(九年级上册)知识点总结

北师大版《数学》(九年级上册)知识点总结第一章证明(二)1、你能证明它吗?(1)三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等,对应角也相等判定:SSS、SAS、ASA、AAS、(2)等腰三角形的判定、性质及推论性质:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)判定:有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(即“三线合一”)(3)等边三角形的性质及判定定理性质定理:等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60度;等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质;等边三角形是轴对称图形,有3条对称轴。

判定定理:有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

或者三个角都相等的三角形是等边三角形。

(4)含30度的直角三角形的边的性质定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30度,那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2、直角三角形(1)勾股定理及其逆定理定理:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。

(2)命题包括已知和结论两部分;逆命题是将倒是的已知和结论交换;正确的逆命题就是逆定理。

(3)直角三角形全等的判定定理定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)3、线段的垂直平分线(1)线段垂直平分线的性质及判定性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

判定:到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

(2)三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。

(3)如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心,以大于AB的一半长为半径作弧,两弧交于点M、N;作直线MN,则直线MN就是线段AB的垂直平分线。

4、角平分线(1)角平分线的性质及判定定理性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等;判定:在一个角的内部,且到角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上。

北师大版数学九年级上册第四章图形的相似知识点归纳及例题

北师大版数学九年级上册第四章图形的相似知识点归纳及例题

北师大版九年级上册第四章图形的相似知识点归纳及例题【学习目标】1、了解比例的基本性质,线段的比、成比例线段;2、通过具体实例认识图形的相似,探索相似图形的性质,理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方;3、探索并掌握相似三角形的判定方法,并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题;4、了解图形的位似,能够利用位似将一个图形放大或缩小,在同一直角坐标系中,感受位似变换后点的坐标变化;5、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明,进一步培养推理能力,发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力,以及综合运用知识的能力,运用学过的知识解决问题的能力.【知识点网络】【知识点梳理】要点一、相似图形及比例线段1.相似图形:在数学上,我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 知识点诠释:(1) 相似图形就是指形状相同,但大小不一定相同的图形;(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况,即当“形状相同”且“大小相同”时,两个图形全等; 2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等,对应边的比相等,我们就说它们是相似多形. 知识点诠释:(1)相似多边形的定义既是判定方法,又是它的性质. (2)相似多边形对应边的比称为相似比.3. 比例线段:对于四条线段a 、b 、c 、d ,如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等,如a :b =c :d ,我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段. 知识点诠释:(1)若a :b =c :d ,则ad=bc ;(d 也叫第四比例项) (2)若a :b=b :c ,则 =ac (b 称为a 、c 的比例中项). 4.平行线分线段成比例:基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例. 推论:平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例. 知识点二、相似三角形 1. 相似三角形的判定:判定方法(一):平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形和原三角形相似.判定方法(二):两角分别相等的两个三角形相似. 知识点诠释:要判定两个三角形是否相似,只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可,对于直角三角形而言,若有一个锐角对应相等,那么这两个三角形相似. 判定方法(三):两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.2b知识点诠释:此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似,应用时必须注意这个角必须是两边的夹角,否则,判断的结果可能是错误的.判定方法(四):三边成比例的两个三角形相似.2.相似三角形的性质:(1)相似三角形的对应角相等,对应边的比相等;(2)相似三角形中的重要线段的比等于相似比;相似三角形对应高,对应中线,对应角平分线的比都等于相似比.知识点诠释:要特别注意“对应”两个字,在应用时,要注意找准对应线段.(3) 相似三角形周长的比等于相似比;(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方。

九年级数学上册各章节考点归纳(最新北师大版)

九年级数学上册各章节考点归纳(最新北师大版)

特殊的平行四边形考点一:直角三角形斜边上的中线的性质1.如图1,在△ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BD 平分∠ABC ,P 是BD 的中点,若AD=6,则CP 的长为( ) A.3 B. 3.5 C.4 D. 4.52.如图2,平行四边形ABCD 中,AC ⊥BC ,E 为AB 的中点.若CE=2,则CD=( ) A.2 B.3 C.4 D.5总结:直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.本次期中考试考到的可能性还是有的,一旦考了,我们可能就会手足无措,为什么呢,因为我们忘了这一性质,需引起重视.考点二:特殊的平行四边形1.如图3,在菱形ABCD 中,AB=5,∠BCD=120°,则△ABC 的周长等于( )A.20B.15C.10D.5思考:为什么要出这样一道题,因为菱形中出现了120°(或60°),就会产生等边三角形2.如图4,在菱形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,OE ⊥AB ,垂足为E ,若∠ADC=130°,则∠AOE 的大小为( ) A.75° B.65° C.55° D.50°3.如图5,在菱形ABCD 中,∠A=110°,E,F 分别是边AB 和BC 的中点,EP ⊥CD 于点P,则∠FPC=( ) A.35° B.45° C.50° D.55°思考:有中点,应该想到倍长中线.【课堂练】4.如图6,在菱形ABCD 中,AB =5,对角线AC =6.若过点A 作AE ⊥BC ,垂足为E ,则AE 的长为______.5.如图7,在菱形ABCD 中,∠ABC=60°,E 为AB 的中点,P 为对角线BD 上任意一点,AB=4,PA+PE 的最小值为( )A.4 B.2 C.32 D.336.如图8,在菱形ABCD 的边长是6,∠ABC=60°,点E 、F 、G 是BC 、CD 、BD 上的任意一点,则EG+FG 的最小值是( ) A.33 B.2 C.32 D.6思考:几何中的一个、两个或多个动点问题如何求解,关键在于通过对称将点转化到一条直线上再求.【课堂练】7.如图9,在矩形ABCD 中,AB=2,BC=4,对角线AC 的垂直平分线分别交AD ,AC 于点E ,O ,连接CE ,则CE 的长为( )A.3.5 B.3 C.2.8 D.2.5思考:线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等,但是我们却常常将它忘掉.【课堂练】8.如图10,在△ABC 中,AB=6,AC=8,BC=10,P 为边BC 上一动点,PE ⊥AB 于E ,PF ⊥AC 于F ,M 为EF 中点,则AM 的最小值为( ). A.3 B.2.4 C.4 D.4.89.如图11,矩形ABCD 中,AB=3,BC=4,点E 是BC 边上一点,连接AE ,把∠B 沿AE 折叠,使点B 落在点B ′处,当△CEB ′为直角三角形时,BE 的长为________.10.如图12,在矩形ABCD 中,AB=20,BC=10,若M 、N 分别是线段AC 、AB 上的两个动点,则BM+MN 的最小值为______.【课堂练】11.在□ABCD 中,AB=10,BC=14,E 、F 分别为边BC 、AD 上的点,若四边形AECF 为正方形,则AE 的长为( ) A.7 B.4或10 C.5或9 D.6或8【课堂练】12.如图13,在矩形ABCD 中,AD=2AB,点M 、N 分别在AD 、BC 上,连接BM 、DN.若四边形MBND 是菱形,则MD AM 等于( ) A.83 B.32 C.53 D.54 13.如图14,边长分别为4和8的两个正方形ABCD 和CEFG 并排放在一起,连结BD 并延长交EG 于点T ,交FG 于点P ,则GT=( ) A.2 B.22 C.2 D.1【课堂练】14.如图15,边长为6的大正方形中有两个小正方形.若两个小正方形的面积分别为21S S ,,则1S +2S 的值为( ) A.16 B.17 C.18 D.19【课堂练】15.如图16,E 是边长为1的正方形ABCD 的对角线BD 上一点,且BE=BC ,P 为CE 上任意一点,PQ ⊥BC 于点Q ,PR ⊥BE 于点R ,则PQ+PR 的值是( )A.B.C.D.※【难题】16.如图17,E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF.连接CF交BD于G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是_____.【课堂练】17.如图18,正方形ABCD中,∠DAC的平分线交DC于点E.若P、Q分别是AD和AE上的动点,则DQ+PQ能取到的最小值为42时,此正方形的边长为()A.2 B.4 C.6 D.8【必须做】18.如图,在正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,E、F分别在OD,OC 上,且DE=CF,连接DF与AE的延长线交DF于点M.求证:AM⊥DF.考点三特殊的平行四边形的判定【课堂练】1.如图,在平行四边形ABCD中,AE、CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线.添加一个条件,仍无法判断四边形AECF为菱形的是()A.AE=AFB.EF⊥ACC.∠B=60°D.AC是∠EAF的平分线【必须做】2.如图,AB=AC,AD=AE,DE=BC,且∠BAD=∠CAE,求证:四边形BCDE是矩形. 【必须做】3.如图,已知平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是BD延长线上的点,且△ACE是等边三角形.(1)求证:四边形ABCD是菱形; (2)若∠AED=2∠EAD,求证四边形ABCD是正方形.【必须做】4.如图,在△ABC 中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN 交∠BCA的角平分线于点E,交∠BCA的外角∠ACD平分线于点F.(1)试说明EO=FO;(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并说明理由.(3)当点O运动到何处,且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?并说明理由.警示:解答题,考虑好再写,写的过程要思路清晰,有条理.考点四探究问题1.在正方形地块内修两条笔直的道路,把正方形分成形状相同且面积相等的四部分,道路宽度忽略不计.请设计三种不同的方案,在给出的三张正方形图纸上分别画出来,并简述绘图步骤.2.你能用手中的矩形纸片折出一个菱形吗?(1)聪明的你能够想出菱形应该怎样折出来吗?请你在下图中画出菱形的面积.(2)在矩形ABCD中,设AB=3,AD=4,请你用尺规在图中画出面积最大的菱形(保留作图痕迹,不用说明理由),标注上适当的字母,并求出这个菱形的面积.(3)已知:平行四边形ABCD的对角线交点为O,点E、F分别在边AB、CD上,分别沿DE、BF折叠四边形ABCD,A、C两点恰好都落在O点处,且四边形DEBF为菱形(如图).请你求出AB与BC的比值.3.(2013.河池)如图(1),在Rt△ABC,∠ACB=90°,分别以AB、BC为一边向外作正方形ABFG、BCED,连结AD、CF,AD与CF交于点M.(1)求证:△ABD≌△FBC;(2)如图(2),已知AD=6,求四边形AFDC的面积;(3)在△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c,当∠ACB≠90°时,c2≠a2+b2.在任意△ABC中,c2=a2+b2+k.就a=3,b=2的情形,探究k的取值范围(只需写出你得到的结论即可).4.(2013.陕西)(1)请在图①中,作出两条直线,使它们将圆面四等分;(2)如图②,M是正方形ABCD内一定点,请在图②中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点M),使它们将正方形ABCD的面积四等分,并说明理由。

北师大版九年级上册数学 知识点复习课件(共46张PPT)

北师大版九年级上册数学 知识点复习课件(共46张PPT)

知识点八 位似
(1) 如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相 交于一点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这 个点叫做位似中心. (这时的相似比也称为位似比)
(2) 性质:位似图形上任意一对对应点到位似中心的 距离之比等于位似比;对应线段平行或者在 一条直 线上.
(3) 位似性质的应用:能将一个图形放大或缩小.
墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影. 投影所在的平面叫做投影面.
投影
投影面
2.中心投影指的是由同一点(知点识光源专)题发出的光线所形成的投影。
中心投影的投射线相交于一点,这 一点称为投影中心。
3.中心投影的特点:
知识专题
1).物体离光源越远,影子越长。
2).物体方向改变,影子方向随之改变。
3).光源离物体越近,影子越短。 4).光源方向改变,影子方向随之改变。
第一章 特殊的平行四边形
本章小结
一、菱形、矩形、正方形的性质
对边

平行
对角相等
且四边相等 邻角互补
平行且相等
四个角 都是直角
平行
四个角
且四边相等 都是直角
对角线
互相垂直且平分, 每一条对角线平分
一组对角
互相平分且 相等
互相垂直平分且相 等,每一条对角线
平分一组对角
二、菱形、矩形、正方形的判定方法
(2) 反比例函数的性质
k>0
图象 y
o yk
x
(k≠0) k<0
y
o
所在象限 性质
一、三象 在每个象
限(x,y 限内,y
同号) 随 x 的增
x
大而减小
二、四象 在每个象
限(x,y 限内,y
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北师大版《数学》(九年级上册)知识点归纳第一章 证明(二)一、公理(1)三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS ”)。

(2)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS ”)。

(3)两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA ”)。

(4)全等三角形的对应边相等、对应角相等。

推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角角边”或“AAS ”)。

二、等腰三角形1、等腰三角形的性质(1)等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角)(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一)。

等腰三角形的其他性质:①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角(或直角),但顶角可为钝角(或直角)。

③等腰三角形的三边关系:设腰长为a ,底边长为b ,则2b <a ④等腰三角形的三角关系:设顶角为顶角为∠A ,底角为∠B 、∠C ,则∠A=180°—2∠B ,∠B=∠C=2180A ∠-︒ 2、等腰三角形的判定(1)如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称:等角对等边)。

(2)有两条边相等的三角形是等腰三角形.三、等边三角形性质:(1)等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°。

(2)三线合一判定:(1)三条边都相等的三角形是等边三角形(2)三个角都相等的三角形是等边三角形(3):有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

四、直角三角形(一)、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余2、在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、勾股定理:直角三角形两直角边a ,b 的平方和等于斜边c 的平方,即222c b a =+ 其它性质:1、直角三角形斜边上的高线将直角三角形分成的两个三角形和原三角形相似。

2、常用关系式:由三角形面积公式可得:两直角边的积=斜边与斜边上的高的积(二)、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ,b ,c 有关系222c b a =+,那么这个三角形是直角三角形。

(三)直角三角形全等的判定:对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有HL 定理(斜边、直角边定理):有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL ”)五、角的平分线及其性质与判定1、角的平分线:从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线。

2、角的平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等。

3、角的平分线的判定定理:在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

六、线段垂直平分线的性质与判定1、线段的垂直平分线:垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。

线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。

定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。

线段垂直平分线的判定定理:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。

七、反证法八、互逆命题、互逆定理1、在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

2、如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理。

第一章 一元二次方程一、一元二次方程(一)、一元二次方程定义含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

(二)、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ,它的特征是:等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式,等式右边是零,其中2ax 叫做二次项,a 叫做二次项系数;bx 叫做一次项,b 叫做一次项系数;c 叫做常数项。

二、一元二次方程的解法1、直接开平方法直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。

当0≥b 时,b a x ±=+,b a x ±-=;当b<0时,方程没有实数根。

2、配方法一般步骤:把方程化成一元二次方程的一般形式(1) 方程)0(02≠=++a c bx ax 两边同时除以a,将二次项系数化为1.(2) 将所得方程的常数项移到方程的右边。

(3) 所得方程的两边都加上一次项系数一半的平方(4) 配方,化成b a x =+2)((5)开方。

当0≥b 时,b a x ±-=;当b<0时,方程没有实数根。

3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式: )04(2422≥--±-=ac b aac b b x 4、因式分解法一元二次方程的一边另一边易于分解成两个一次因式的乘积时使用此方法(主要包括“提公因式”和“十字相乘”)。

补充1:一元二次方程根的判别式根的判别式1、定义:一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中,ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式。

2、性质:当ac b 42->0时,方程有两个不相等的实数根;当ac b 42-=0时,方程有两个相等的实数根;当ac b 42-<0时,方程没有实数根。

补充2:一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ,,那么a b x x -=+21,ac x x =21。

补充3:一元二次方程的根与系数的关系的作用:(1)已知方程的一根,求另一根;(2)不解方程,求二次方程的根x 1、x 2的对称式的值,特别注意以下公式:①2122122212)(x x x x x x -+=+ ②21212111x x x x x x +=+ ③212212214)()(x x x x x x -+=- ④21221214)(||x x x x x x -+=-⑤其他能用21x x +或21x x 表达的代数式。

(3)已知方程的两根x 1、x 2,可以构造一元二次方程:0)(21221=++-x x x x x x(4)已知两数x 1、x 2的和与积,求此两数的问题,可以转化为求一元二次方程0)(21221=++-x x x x x x 的根三、利用方程来解应用题时,主要分为两个步骤:①设未知数;②寻找等量关系第二章 证明(三)一、平行四边形1、平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形的性质(1)平行四边形的对边平行且相等。

(2)平行四边形相邻的角互补,对角相等(3)平行四边形的对角线互相平分。

(4)平行四边形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点。

常用点:(1)若一直线过平行四边形两对角线的交点,则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点,并且这条直线二等分此平行四边形的面积。

(2)推论:夹在两条平行线间的平行线段相等。

3、平行四边形的判定(1)定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形(2)定理1:两组对角分别相等的四边形是平行四边形(3)定理2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形(4)定理3:对角线互相平分的四边形是平行四边形(5)定理4:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4、平行四边形的面积S 平行四边形=底边长×高=ah二、矩形1、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质(1)矩形的对边平行且相等(2)矩形的四个角都是直角(3)矩形的对角线相等且互相平分(4)矩形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的交点(对称中心到矩形四个顶点的距离相等);对称轴有两条,是对边中点连线所在的直线。

3、矩形的判定(1)定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形(2)定理1:有三个角是直角的四边形是矩形(3)定理2:对角线相等的平行四边形是矩形4、矩形的面积S矩形=长×宽=ab三、菱形1、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质(1)菱形的四条边相等,对边平行(2)菱形的相邻的角互补,对角相等(3)菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角(4)菱形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的交点(对称中心到菱形四条边的距离相等);对称轴有两条,是对角线所在的直线。

3、菱形的判定(1)定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形(2)定理1:四边都相等的四边形是菱形(3)定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半四、正方形(3~10分)1、正方形的定义有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、正方形的性质(1)正方形四条边都相等,对边平行(2)正方形的四个角都是直角(3)正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角(4)正方形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的交点;对称轴有四条,是对角线所在的直线和对边中点连线所在的直线。

3、正方形的判定判定一个四边形是正方形的主要依据是定义,途径有两种:先证它是矩形,再证它是菱形。

先证它是菱形,再证它是矩形。

4、正方形的面积设正方形边长为a ,对角线长为bS 正方形=222b a 五、等腰梯形1、等腰梯形的定义两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

2、等腰梯形的性质(1)等腰梯形的两腰相等,两底平行。

(2)等腰梯形同一底上的两个角相等,同一腰上的两个角互补。

(3)等腰梯形的对角线相等。

(4)等腰梯形是轴对称图形,它只有一条对称轴,即两底的垂直平分线。

3、等腰梯形的判定(1)定义:两腰相等的梯形是等腰梯形(2)定理:在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形(3)对角线相等的梯形是等腰梯形。

(选择题和填空题可直接用)六、三角形中的中位线1、三角形的中位线:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

2、三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。

3、常用结论:任一个三角形都有三条中位线,由此有:⑴三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半。

⑵三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

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