二重积分 ppt课件
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大学课程《高等数学》PPT课件：7-2 二重积分的计算
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则 特别, 对
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此时若 f ≡1 则可求得D 的面积
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试
问 的变化范围是什么?
(1)
(2)
答:
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例6. 计算二重积分 x2 y2d，其中D是由圆 x2 y2 2 y D 围成的闭区域．
);
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I1 I I2,
(1 e R2 ) ( R e x2 dx)2 (1 e 2R2 );
4
0
4
当R 时,
I1
4
,
I2
4
,
故当R 时, I ,
4
即( e x2dx)2 ,
0
4
所求广义积分
e x2 dx
.
0
2
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3
1 cos3 )
3
0
32 9
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解: 在极坐标系下 原式
其中 故
由于 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角 坐标计算.
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利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式
①
事实上,
又
故①式成立 .
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2 极坐标系下的二重积分化为二次积分 将直系下的二重积分化为极系后，极系下的 二重积分仍然需要化为二次积分来计算。
关键是定出r ,的上下限 定的 上 下 限 ：
用两条过极点的射线夹平面区域， 由两射线的倾角得到其上下限
定r的上下限：
任意作过极点的半射线与平面区域相交， 由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。
则 特别, 对
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此时若 f ≡1 则可求得D 的面积
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试
问 的变化范围是什么?
(1)
(2)
答:
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例6. 计算二重积分 x2 y2d，其中D是由圆 x2 y2 2 y D 围成的闭区域．
);
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I1 I I2,
(1 e R2 ) ( R e x2 dx)2 (1 e 2R2 );
4
0
4
当R 时,
I1
4
,
I2
4
,
故当R 时, I ,
4
即( e x2dx)2 ,
0
4
所求广义积分
e x2 dx
.
0
2
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3
1 cos3 )
3
0
32 9
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解: 在极坐标系下 原式
其中 故
由于 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角 坐标计算.
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利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式
①
事实上,
又
故①式成立 .
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2 极坐标系下的二重积分化为二次积分 将直系下的二重积分化为极系后，极系下的 二重积分仍然需要化为二次积分来计算。
关键是定出r ,的上下限 定的 上 下 限 ：
用两条过极点的射线夹平面区域， 由两射线的倾角得到其上下限
定r的上下限：
任意作过极点的半射线与平面区域相交， 由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。
高等数学(第三版)课件：二重积分的计算
D
式：0 x π ,0 y 2 所确定的长方形区域. 2
解 这题可以不必画积区域.分析被积函数可知，如先
对x积分，需用分部积分法. 如先对y积分则不必，
计算会简单些.因此，我们选择先对y积分，即
π
xy
cos(
xy
2
)dxdy
2
0
dx
2
0
xy
cos(
xy
2
)dy
D
1π
2
2
0
sin( xy 2 )
和
x
π
D
所围成的三角形区域.
2
解法1 先对y积分. 作平行于y轴的直线与积分 区域D
相交，沿着y的正方向看，入口曲线为y=0，出口
曲线为y=x，D在x 轴上的投影区间为[0, π] . 2
sin
x
cos
ydxdy
π
2
0
dx
x
0
sin
x
cos
ydy
D
π
02
sin
x
sin
y
x 0
dy
π
02
sin
2
xdx
由 y x, x 2,
得x 2, y 2.
在y轴上的积分区间为12 ,2
当1 y 1时，平行于x轴的直线与区域D相交时，
2 沿x轴正方向看，入口曲线为
x，出1口曲线为x=2.
y
当1 y 2时，平行于x轴的直线与区域D相交时, 沿x轴正方向看，入口曲线为x=y，出口曲线为x=2.
依上述不等式组可作出区域D的图形，
再化为先对y积分后对x积分的二次积分.
01
dy
1y
式：0 x π ,0 y 2 所确定的长方形区域. 2
解 这题可以不必画积区域.分析被积函数可知，如先
对x积分，需用分部积分法. 如先对y积分则不必，
计算会简单些.因此，我们选择先对y积分，即
π
xy
cos(
xy
2
)dxdy
2
0
dx
2
0
xy
cos(
xy
2
)dy
D
1π
2
2
0
sin( xy 2 )
和
x
π
D
所围成的三角形区域.
2
解法1 先对y积分. 作平行于y轴的直线与积分 区域D
相交，沿着y的正方向看，入口曲线为y=0，出口
曲线为y=x，D在x 轴上的投影区间为[0, π] . 2
sin
x
cos
ydxdy
π
2
0
dx
x
0
sin
x
cos
ydy
D
π
02
sin
x
sin
y
x 0
dy
π
02
sin
2
xdx
由 y x, x 2,
得x 2, y 2.
在y轴上的积分区间为12 ,2
当1 y 1时，平行于x轴的直线与区域D相交时，
2 沿x轴正方向看，入口曲线为
x，出1口曲线为x=2.
y
当1 y 2时，平行于x轴的直线与区域D相交时, 沿x轴正方向看，入口曲线为x=y，出口曲线为x=2.
依上述不等式组可作出区域D的图形，
再化为先对y积分后对x积分的二次积分.
01
dy
1y
二重积分计算法ppt详解.
8 R(R2 x2)dx16 R3 .
0
3
【例6】求由曲面 z x2 2 y2及 z 6 2x2 y2
所围成的立体的体积。
二、利用极坐标计算二重积分
有些二重积分, 其积分区域D或其被积函数用极
坐标变量 、q 表达比较简单. 这时我们就可以考虑
利用极坐标来计算二重积分.
我们用从极点O出发的一族射线与以极点为中心的一族 同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域.
②积分区域D为Y—型区域
如果区域D可以表示为不等 1( y) x 1( y), cyd,则称区域D为Y型区域.
y0
y0
y0
y0
直线 y y0(c x0 d)与D的边界至多有两个交点
③积分区域D 既是X—型，也是Y—型
④积分区域D 既不是X—型，也不是Y—型 ——转化成X—型或Y—型
❖二重积分的计算—利用已知平行截面面积的立体求体积
a
g ( x)dx][
d
h( y)dy]
a
c
b
c
D
❖计算二重积分的步骤
(1)画出积分区域D的草图. (2)用不等式组表示积分区域D. (3)把二重积分表示为二次积分
如果D是X型区域 j1(x)yj2(x), axb, 则
f (x, y)d
b
dx
j2(x) f (x, y)dy .
D
a j1(x)
V
b
A(x)dx
b
[
j2(x) f (x, y)dy]dx .
a
a j1(x)
提示
根截此据面时平是二行以重截区积面间分面[jD积1f(x(为x0,),y已)dj知2(x在的0)几立]为何体底上体、表积以示的以曲求曲线法面z. fz(xf(0x,
二重积分计算法考研精华课件.ppt
观函数 化累次
定次序 算积分
二重积分的计算, 积分次序是关键. 一画积分区域图, 二辨区域的类型, 三观被积之函数, 四定次序表区域, 五化累次算积分.
例4 计算 1 y2 d x d y, 其中D由曲线 y D 和直线 y x, x 0 围成.
解
D ( x, y) 0 y
y
解法1 将D看作X–型区域, 则
2
yx
D {( x, y) 1 x 2 , 1 y x}
I
2
1 d
x
x1 x yd
y
2
1
1 2
x y2
xd 1
x
1
o 1 2x
12
1 2
x3
1 2
x
dx
9 8
解法2 将D看作Y–型区域, 则
D {( x, y) 1 y 2 , y x 2}
tan
y x
(三)平面区域在极坐标系中的面积元素
d d d
(四) 极坐标系中平面区域的分类与表示
平面区域 简单区域 D (, ) , 1( ) 2( )
非简单区域（可用从极点出发的射线与以极点为圆心
的同心圆划分为若干个间单区域）
D上
2. 积分域 D关于 y 轴对称,则
0
f ( x, y) 是关于 x 的奇函数
f ( x, y)d
D
2 f ( x, y)d
f ( x, y) 是关于 x 的偶函数
D右
例13 计算 y 4 x2, y 3x , x 1 所围成.
其中D 由
重积分—二重积分的计算(高等数学课件)
1
y2
2 1
1 2
x
2
y
y y
2
2
dy
1 2
2 [ 1
y(
y
2)2
y5 ] dy
45 8
x y2
2
o1 (1,1)
y x2 (4,2)
x
课程小结
本讲主要讲了X型区 域和Y型区域的区 分，通过例题学习 在两种区域下二重 积分转化成累次积 分的计算方法。
重积分
直角坐标系中二重积分的计算 （三）
知识点讲解
1.一般型区域
1.二元极限定义
边界为分段光滑曲线的有界闭域,一般可把它分解成有限个除边界外无公共
内点的 X 型区域或 Y 型区域.
y
如图a 所示, D 被分解成三个区域, 其中I 、III 为X 型
区域,II 为 Y 型区域.
III
II D
I
O
x
图a
2.例题分析
1.二元函数极限
例1 设 D ( x, y) 2x x2 y2 4x , f ( x, y) 为 D上的连
y
D2 ( x, y) 4x x2 y 2x x2 ,0 x 2 , O
D3 ( x, y) 4x x2 y 4x x2 , 2 x 4 .
所以有
I
2
dx
4 x x2
2
2xx2
f ( x, y)dy dx
f ( x, y)dy
0
2 x x2
0
4xx2
变换公式
i
1 2
(ri
ri )2 i
1 2
ri2i
1 2
(2ri
ri )rii
ririi
高等数学第十章《二重积分》复习 课件
y x 2(y) d y
x 1(y)
则
d
dy
2(y) f (x, y)dx
c o
c
1( y)
x
例2. 计算 x yd , 其中D 是抛物线 y2 x 及直线 D
y x 2 所围成的闭区域.
解: 看成Y型区域,
则
D
:
1 y y2 x
2 y
ห้องสมุดไป่ตู้
2
2 y2
D
x yd
dy 1
y2
xyd
该物体的质量为
b
a
Dz
f
(x,
y, z)d
xd
y dz
记作
b
dz
f (x, y, z)dxdy
a
Dz
z
b
z Dz
a
O
y
x
面密度≈
f (x, y, z)d z
截面法的一般步骤：
(1) 把积分区域 向某轴（例如z 轴）投影，得
投影区间 [a, b] ；
(2) 对 z [a, b]用过z轴且平行 截 ，得截面 Dz;
11
一、利用直角坐标计算二重积分
由曲顶柱体体积的计算可知,
若D为 X – 型区域
y y 2(x)
axb
D : 1( x) y 2( x)
D x
则
f (x, y)dxdy
b
dx
2( x)
f
( x,
oa y y)dy
1(x)b
x
D
a
1( x)
若D为Y –型区域
c yd
D : 1( y) x 2( y)
xoy平面的平z面去
二重积分的计算方法利用极坐标计算ppt课件共18页
Dr2()
D f(rco ,rssin )rdrd
r1()
o
d
2()f(rco ,rssin )rdr
1()
r2() r1()
o
19.07.2021
7
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例 2 计算二重积分 ln(1 x2 y2 )dxdy ，其中 D
D
是单位圆域：
x2 y2 1．
解：ln (1 x2y2)d x d y ln (1 2)d d ,
D
a y 1 (x )
xx2(y)
• 若积分区域为
d
D ( x , y ) c y d , x 1 ( y ) x x 2 ( y ) c D
则
f(x ,y )dd d yx 2 (y )f(x ,y )d x
D
c x 1 (y )
xx1(y)
x
19.07.2021
15
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10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
第八章
第二节 二重积分的计算方法
(Calculation of Double Integral)
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
三、小结与思考练习
19.07.2021
2
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n
n
二重积分几何的应用课件
二重积分几何的应用 课件
目录
• 二重积分的概念与性质 • 二重积分的计算方法 • 二重积分在几何中的应用 • 二重积分在物理中的应用 • 二重积分在经济学中的应用 • 二重积分的应用案例分析
01 二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分的一种扩展，用于计算二维曲面的面积。
二重积分定义为：∫∫D f(x,y) dA，其中f(x,y)是定义在D上的函数，D是二维平面 上的一个区域，dA是D上面积微元。
总结词
二重积分在人口分布统计分析中发挥着重要 作用，可以分析人口在不同地区和不同时间 的分布情况。
详细描述
人口分布是一个复杂的系统，受到自然环境 、经济发展、政策等多种因素的影响。利用 二重积分可以对人口数据进行多维度、多层 次的分析，为政府制定人口政策、城市规划 等提供科学依据。同时，二重积分还可以用 于分析人口流动趋势，预测未来人口分布情 况。
详细描述
二重积分在计算立体体积时，可以将立体分 成很多小的长方体或四面体，然后对每个小 体积进行积分，最后将这些积分结果相加， 得到整个立体的体积。这种方法可以用于计 算各种立体的体积，如圆柱体、圆锥体和球 体的体积。
计算平面曲线的长度
总结词
二重积分可以用于计算平面曲线的长度，通 过将曲线分成许多小的线段，然后对每个小 线段进行积分，最后求和得到总长度。
计算效用函数的期望效用
总结词
效用函数是用来衡量投资者对不同收益和风险的偏好程度，通过二重积分可以计算不同投资组合的期望效用。
详细描述
效用函数是用来衡量投资者对不同收益和风险的偏好程度，它反映了投资者对风险的态度和承受能力。二重积分 可以用来计算不同投资组合的期望效用，即投资者在选择不同的投资组合时，预期能够获得的效用水平。通过二 重积分，可以将不同投资组合的概率分布和效用函数结合起来，得到期望效用的数值。
目录
• 二重积分的概念与性质 • 二重积分的计算方法 • 二重积分在几何中的应用 • 二重积分在物理中的应用 • 二重积分在经济学中的应用 • 二重积分的应用案例分析
01 二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分的一种扩展，用于计算二维曲面的面积。
二重积分定义为：∫∫D f(x,y) dA，其中f(x,y)是定义在D上的函数，D是二维平面 上的一个区域，dA是D上面积微元。
总结词
二重积分在人口分布统计分析中发挥着重要 作用，可以分析人口在不同地区和不同时间 的分布情况。
详细描述
人口分布是一个复杂的系统，受到自然环境 、经济发展、政策等多种因素的影响。利用 二重积分可以对人口数据进行多维度、多层 次的分析，为政府制定人口政策、城市规划 等提供科学依据。同时，二重积分还可以用 于分析人口流动趋势，预测未来人口分布情 况。
详细描述
二重积分在计算立体体积时，可以将立体分 成很多小的长方体或四面体，然后对每个小 体积进行积分，最后将这些积分结果相加， 得到整个立体的体积。这种方法可以用于计 算各种立体的体积，如圆柱体、圆锥体和球 体的体积。
计算平面曲线的长度
总结词
二重积分可以用于计算平面曲线的长度，通 过将曲线分成许多小的线段，然后对每个小 线段进行积分，最后求和得到总长度。
计算效用函数的期望效用
总结词
效用函数是用来衡量投资者对不同收益和风险的偏好程度，通过二重积分可以计算不同投资组合的期望效用。
详细描述
效用函数是用来衡量投资者对不同收益和风险的偏好程度，它反映了投资者对风险的态度和承受能力。二重积分 可以用来计算不同投资组合的期望效用，即投资者在选择不同的投资组合时，预期能够获得的效用水平。通过二 重积分，可以将不同投资组合的概率分布和效用函数结合起来，得到期望效用的数值。
第九讲 二重积分的概念与计算
D
D
2.二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）
性质１
D
当k为常数时，
k f ( x , y )d .
D
kf ( x , y )d
性质２
D
[ f ( x, y ) g( x, y )]d
f ( x , y )d g( x , y )d .
D D
1
1 1
8
例2
ex y dxdy ,其中区域 D 为矩形： 计算二重积分
D : 0 x 1, 1 y 2
解
x y e x e y,所以 因为 e
D
e
D
x y
dxdy ( e dx)( e dy ) e
x y 0 1
1
2
x 1 0
e
y 2 1
y 1 ( x)
o a
x
b
x
o a
x
b
x
o a x
b
x
由二重积分的几何意义知:
z
A( x)
f ( x, y)d 是区域 D 上以曲面
z f ( x, y) 为顶的曲顶柱体的
D
y
体积.
为确定曲顶柱体的体积,可在
x 处用垂直 x 轴的平面去截曲
顶柱体,设其截面面积为 A( x)
o
a
x
例3
计算二重积分 xydxdy .其中积分区域 D 分
D
别如下图所示： ⑴ 三角形；⑵ 四分之一椭圆。 解 ⑴因为下图所示的三角形 区域的斜边方程是 x y 1 所以 D 可表示为
a b
y
b
x o a D : 0 x a, 0 y b(1 ) a 2 x x b (1 ) a b (1 ) a xy xydxdy dx a xydy ( ) 0 a dx 0 0 0 2 D 2 ab x 2 1 2 a 2 x 2 x3 (1 ) xdx b ( x 2 )dx 0 2 0 a 2 a a 1 2 x 2 2 x3 x 4 a 1 2 2 b ( 2) 0 a b 2 2 3 a 4a 24
D
2.二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）
性质１
D
当k为常数时，
k f ( x , y )d .
D
kf ( x , y )d
性质２
D
[ f ( x, y ) g( x, y )]d
f ( x , y )d g( x , y )d .
D D
1
1 1
8
例2
ex y dxdy ,其中区域 D 为矩形： 计算二重积分
D : 0 x 1, 1 y 2
解
x y e x e y,所以 因为 e
D
e
D
x y
dxdy ( e dx)( e dy ) e
x y 0 1
1
2
x 1 0
e
y 2 1
y 1 ( x)
o a
x
b
x
o a
x
b
x
o a x
b
x
由二重积分的几何意义知:
z
A( x)
f ( x, y)d 是区域 D 上以曲面
z f ( x, y) 为顶的曲顶柱体的
D
y
体积.
为确定曲顶柱体的体积,可在
x 处用垂直 x 轴的平面去截曲
顶柱体,设其截面面积为 A( x)
o
a
x
例3
计算二重积分 xydxdy .其中积分区域 D 分
D
别如下图所示： ⑴ 三角形；⑵ 四分之一椭圆。 解 ⑴因为下图所示的三角形 区域的斜边方程是 x y 1 所以 D 可表示为
a b
y
b
x o a D : 0 x a, 0 y b(1 ) a 2 x x b (1 ) a b (1 ) a xy xydxdy dx a xydy ( ) 0 a dx 0 0 0 2 D 2 ab x 2 1 2 a 2 x 2 x3 (1 ) xdx b ( x 2 )dx 0 2 0 a 2 a a 1 2 x 2 2 x3 x 4 a 1 2 2 b ( 2) 0 a b 2 2 3 a 4a 24
重积分二重积分的习题课ppt课件.ppt
2
1 ln sec
2
tan
C
于是
a3 1
I
a3 2 ln( 2 1)
2 ln( 2 1) 。
32
6
18
例6 计算I y2dxdy,其中D是由x轴和摆线 D
L
:
x y
a(t a(1
sin t) cos t)
(0 t
2 )
的一拱所围成的区域。
y
解 I
2a
dx
D
D
xdxdy xdxdy xdx
D 0
dx
1
x3
D1 D2
xdy 2
x3
D2
0 x4dx
1
2。 5
30
解法二 设F(u)是f (u)的一个原函数， y
x sin yf ( x2 y2 )dxdy
D
1
1
dy
y 3 x sin yf ( x2 y2 )dx
1 1
1
o
1
32 2。 15
28
例8 计算I x[1 sin yf (x2 y2)]dxdy,其中D D
是由y
x3,
y
1,
x
1所围区域,
f
为连续函数。
y
解法一 利用对称性。
作曲线y =－x3，将区域D
D1
分成两部分D1 和D2 D1关于y轴对称
D2 1 o
1x
D2关于x轴对称
因为连续函数 xsiny f (x2+y2) 关于变量 x、y 分别 都是奇函数， x 关于变量 x 是奇函数，所以有
1
D 3
f ( x, y)d
D2
D3
1 ln sec
2
tan
C
于是
a3 1
I
a3 2 ln( 2 1)
2 ln( 2 1) 。
32
6
18
例6 计算I y2dxdy,其中D是由x轴和摆线 D
L
:
x y
a(t a(1
sin t) cos t)
(0 t
2 )
的一拱所围成的区域。
y
解 I
2a
dx
D
D
xdxdy xdxdy xdx
D 0
dx
1
x3
D1 D2
xdy 2
x3
D2
0 x4dx
1
2。 5
30
解法二 设F(u)是f (u)的一个原函数， y
x sin yf ( x2 y2 )dxdy
D
1
1
dy
y 3 x sin yf ( x2 y2 )dx
1 1
1
o
1
32 2。 15
28
例8 计算I x[1 sin yf (x2 y2)]dxdy,其中D D
是由y
x3,
y
1,
x
1所围区域,
f
为连续函数。
y
解法一 利用对称性。
作曲线y =－x3，将区域D
D1
分成两部分D1 和D2 D1关于y轴对称
D2 1 o
1x
D2关于x轴对称
因为连续函数 xsiny f (x2+y2) 关于变量 x、y 分别 都是奇函数， x 关于变量 x 是奇函数，所以有
1
D 3
f ( x, y)d
D2
D3
二重积分的概念及性质PPT共46页
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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
二重积分的概念及性质
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
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1dd
D
D
5.估值不等式
设M与m分别是函数Z=f(x,y)在D上的最大值与最小值， 是D的面积
mf(x,y)dM
D
6.中值定理
若f(x,y）在闭区域 上连续， 是D的面积，则在D内至少存在一点( ,)使得
f(x,y)df(,)
D
例1：估计二重积分 I(x24y29)d的值，D是圆域 x2y2 4 D
而 lnx(y)0
故由二重积分的性质得 I1 I2 I3
二.二重积分的算法
在区间[a,b]上任意取一个点 x 0
作平行于yoz面的平面x= x 0 这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间
[1(x0), 2(x0)] 为底，曲线 zf(x0,y)
为曲边的曲边梯形,其面积为
2(x0)
A(x0) f (x0, y)dy
D
D: y1(x) y y2(x) ax b
y
y2(x)
D
y1(x)
0
a
x bx
I=
y(x) f(x, y)dy y(x)
二重积分计算的两种积分顺序
D: x1(y) x x2(y) cyd
y
d y
x1 (y)
c
x2(y)
D
0 x
.
I =
d
dy
x(y) f(x,y)dx
c
x(y)
I f(x,y)dxdy
1(x0)
该曲顶柱体的体积为 VabA(x)dxab12((xxf))(x,y)dydx
二重积分计算的两种积分顺序
D: x1(y) x x2(y) cyd
y
d y
x1 (y) c
x2(y)
D
0 x
I=
x(y) f(x,y)dx x(y)
I f(x,y)dxdy
D
二重积分计算的两种积分顺序
D: x1(y) x x2(y) cyd
D
D: y1(x) y y2(x) ax b
y
y2(x)
D
y1(x)
0
a
x bx
I=
y(x) f(x, y)dy y(x)
6. 二重积分计算的两种积分顺序
D: x1(y) x x2(y) cyd
y
d y
x1 (y)
c
x2(y)
D
0 x
.
I =
d
dy
x(y) f(x,y)dx
c
x(y)
I f(x,y)dxdy
dy
0
0
f (x, y)dx 得积分区域
D：
0xy 0 y 1
令 0x ，xy ， 0 y ，y 1 ，画出 D的示意图如图。
y
0x1
因为 D： xy1 ，所以 yx
1
y
11
0dy0 f (x, y)dx 0dxx f(x,y)dy
1
o1 x
1 1x
例2 将 dx f(x,y)dy交换积分次序。 00
二重积分
学习内容：
• 一.二重积分的性质 • 二.二重积分的算法 • 三.二重积分与极坐标 • 四.二重积分的应用
精品资料
一.二重积分的性质
1.线性性质（其中: 是常数）
[f( x ,y ) g ( x ,y ) ] d f( x ,y ) d g ( x ,y ) ] d
D
D
a
b
y
I dy b f(x,y)dx
y
b
x y 1
ab
.
o
D
. .
b
a(y)
I dy b f(x,y)dx
ax
.
二 先对 y 积分
y
b
o
y
b
o
y
.
b
o
I f(x,y)dxdy
D
D ax
b
a
x
I dx a f(x,y)dy
D ax
a
b
I dxbx f(x,y)dy
a
xy 1
ab .
区域D的积分限 c y d , 1 (y ) x 2 (y ),
• （3） 写出结果 a bd 1 x 2 (( x x ))f(x ,y)d yc dd 1 y 2 ((y y ))f(x ,y)d.x
1
y
例1 将 dy f (x, y)dx交换积分次序 。
解：由
00
1
y
解: 求被积函数 f(x,y)x24y29在区域 上可能的最值
f x
2x
0
f
8y 0
y
(0,0)是驻点，f(0,0)=9，在边界上：
f( x ,y ) x 2 4 ( 4 x 2 ) 9 2 3 x 5 2 ( 2 x 2 ) 13 f(x,y)25
fmax25 ， fmin9
y
d y
x1 (y) c
x2(y)
D
0 x
.
I=
x(y) f(x,y)dx x(y)
I f(x,y)dxdy
D
二重积分计算的两种积分顺序
D: x1(y) x x2(y) cyd
y
d y
x1 (y) c
x2(y)
D
0 x
.
I =
d
dy
x(y) f(x,y)dx
c
x(y)
I f(x,y)dxdy
D
2.对区域的有限可加性
若区域D 分为D1，D2两个部分区域 ,则：
f(x ,y )d f(x ,y )d f(x ,y )d
D
D 1
D 2
3.若在区域D上总有 f(x,y)(x,y) ，则有不等式
f(x,y)d (x,y)d
D
D
f(x,y)d f(x,y)d
D
D
4.若在区域D上有 f(x,y)1 （ 为区域D的面积）
D
D: y1(x) y y2(x) ax b
y
y2(x)
D
y1(x)
0
a
x bx
I =
b
dx
y(x) f(x, y)dy
a
y(x)
例3：用两种顺序计算 x d yxdy, D:yx与yx 所 围 区
D
1 画出区域 D 图形
2 先对 y 积分（从下到上）
y
1
xydxdy d x
x
xydy
x
D
x
xdx ydy
x
1 1(x3 x5)dx 1
20
24
D
0
3 先对 x 积分（从左到右）
1x
xydxdy d y
D
y
y
.
例4：将二重积分化成二次积分
一 先对x积分
I f(x,y)dxdy
D
y
b
o
D
ax
b
a
I dy a f(x,y)dx
y
b
y
b
D
o ax
于是有：3 6 9 4 I 24 5 1 00
例2：比较积分 I1 lnx(y)d，I2(xy)2d , I3(xy)d 的大小
D
D
D
其中D是由直线
x0,y0,xy1 2
和
xy 1
所围成的
解：因为积分域D在直线想x+y=1的下方，所以对于任意点 (x,y)D
均有
1 x y 1 2
从而有 xy(xy)20
D
. .
ax
.
x a b( )
I dx a f(x,y)dy
举例说明如何交换二次积分的次序
• （据1其）积对分于限给a 定 x 的 二b ,重积1 ( 分x ) abdy x12((xx)2 )( fx () x,y),dy, 先根
• 画出积分区域D • （2）根据积分区域的形状，按新的次序确定积分