卫星和飞船的跟踪测控

Vol.28No.2Feb.2012赤峰学院学报（自然科学版）Journal of Chifeng University （Natural Science Edition ）1问题的提出卫星和飞船在国民经济和国防建设中有着重要的作用，对它们的发射和运行过程进行测控是航天系统的一个重要组成部分，理想的状况是对卫星和飞船（特别是载人飞船）进行全程跟踪测控.测控设备只能观测到所在点切平面以上的空域，且在与地平面夹角3度的范围内测控效果不好，实际上每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域,在一个卫星或飞船的发射与运行过程中，往往有多个测控站联合完成测控任务，如神州七号飞船发射和运行过程中测控站的分布如图1所示：请利用模型分析卫星或飞船的测控情况，具体问题如下：1.1在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下至少应该建立多少个测控站才能对其进行全程跟踪测控？1.2如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，且在离地面高度为H 的球面S 上运行,考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异，问至少应该建立多少个测控站才能对该卫星或飞船可能飞行的区域全部覆盖以达到全程跟踪测控的目的？1.3收集我国一个卫星或飞船的运行资料和发射时测控站点的分布信息，分析这些测控站点对该卫星所能测控的范围,2问题的分析2.1对题1的分析，由题意可建立直观的平面几何图形(图1)，利用已知角α，R ，h 表示出角θ，则2π2θ就为所建的最少测控站个数.2.2对题2的分析，尽管按题目的假设，卫星或飞船的运行轨迹形成了球环区域，且与赤道表面有固定夹角，并在球面上运行.但由于地球有自转，从而地球上的测控站也在运动，由运动的相对性可以将地球看做是静止的，那么球面S 相对地球向相反的方向运动.从而卫星或飞船的运行轨道扫过的区域就是球面S 上的一个球环，即球面S 上下各去掉一个球冠的剩余部分.而每一个测控站能监控到的区域是以测控站为顶点，87度角为半顶角的圆锥体与球环相交得到球面S 上的一个球冠.为了用最少测控站对卫星或飞船可能飞卫星和飞船的跟踪测控王秀琴（集宁师范学院数学系，内蒙古乌兰察布012000）摘要：问题1可化为一个平面几何问题，用简单的计算即可.对于问题2我们做了如下分析：尽管按题目的假设卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角且在球面S 上运行，但由于地球有自转，从而地球上的测控站也在转动.由于运动是相对的，我们将地球看作是静止的，则球面S 就是以相反的方向作转动，从而卫星或飞船的运行轨道扫过的区域就是球面S 上的一个球环，而球面S 上下各去掉一个球冠的剩余部分，而每一个测控站能监控到的区域是以测控站为顶点，87度为半顶角的一个圆锥体与球环相交得到球面S上的一个球冠，从而问题归结为用尽量少的球冠来覆盖球环的问题.将问题转化为一个空间解析几何问题经复杂的计算得到了每个测控站监测球环的有效测控角，从而可知需要测控站的最少个数.关键词：最小覆盖；有效测控角；球环；球冠中图分类号：V556文献标识码：A 文章编号：1673-260X （2012）02-0138-03图片来源/jrzg/2008-09/24/con -tent_1104882.htm图1第28卷第2期（上）2012年2月138--行的区域全部覆盖达到全程跟踪测控，即问题归结为用尽量少的球冠来覆盖球环的问题.则需要把测控站都建在赤道上,两个相邻的测控站可以分别形成两个测控区域，这两个测控区域相交后可得到两个交点，这两个交点恰好在球环的上下边界处，才能全部覆盖球环区域，以达到全程跟踪测控的目的,即将问题转化为一个空间解析几何问题.由此可以作出图3，经过复杂的计算得到了每个测控站监测球环有效测控角，即平面A'OB'与平面AOB所形成二面角A'B'-O-AB的平面为覬则平面角得二倍就是有效测控的最大范围，可知2π2覬就是所建最少测控站个数.3模型的基本假设与参数说明3.1基本假设（1）卫星或飞船的运行轨道是圆.（2）测控站的选择不受地域等各种因素的限制，由于所求得最少测控站得个数，所以测控站选在赤道上建立.3.2参数说明α：监控站监控视角的一半；θ：测控区域所对地球圆心角的一半；γ：卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面的固定夹角；β：与固定夹角γ互余的角；覬：相邻两个侧空站的有效测控视角的一半h:地球表面到卫星或飞船轨道的高度；R：地球的半径；l：地球表面上一点G到点N的距离；s：卫星或飞船运行轨道上一点M到点N的距离；S：表示卫星或飞船运行的球面；K：表示测控站与卫星或飞船得运行轨道共面时所需测控站的最少个数；K'：表示测控站与卫星或飞船得运行轨道共面时所需测控站的个数；P：表示卫星或飞船得运行轨道与地球赤道平面由固定夹角时所需测控站的最少个数；P':表示卫星或飞船得运行轨道与地球赤道平面由固定夹角时所需测控站的个数；4模型的建立与问题的求解4.1对问题1的解答依据题意，有如下平面图：以球心O为圆心,R为半径的圆代表地球，R+h为半径的圆代表卫星或飞船运行的轨迹.根据图3有cosθ=R+LR+h（1）tanα=SL（2）由（2）变形得S=tanα（3）根据勾股定理得(R+h)2=(R+L)2+S2（4）将（3）代入（4）得(R+h)2=(R+h)2+(Ltanα)2（5）由（5）整理得(tanα2+1)L2+2RL-(2RH+h2)=0（6）由（6）解得L=-R±R2+(tan2+1)(2Rh+h2)姨由L≥0得L=-R+R2+(tan2+1)(2Rh+h2)姨(tan2+1)（7）将（7）代入（1）得cosθ=-R+-R+(R+1)2+tan2α(2Rh+h2)姨tan2α+1R+h（8）化解（8）得cosθ=Rtan2α+(R+h)2+tan2α(2Rh+h2)姨(R+h)(tan2α+1)（9）由（9）得，θ=arccos=Rtan2α+(R+h)2+tan2α(2Rh+h2)姨（10）则测控站的最少个数为K'=2π=π（11）当K'为整数时K=K'否则K=[K']+1（2）对问题2的解答以球面S和地球共圆中心为圆心，z轴垂直向上，赤道所在平面为xoy面，建立直角坐标系，则地球表面方程为x2+y2+z2=R2，球环S的方程为x2+y2+z2=(R+h)2，在图4中，AB 所在的球冠为一个测控站覆盖的区域，为此测控站建立在赤道与x轴的交点O'上，A'和B'相邻的两个测控站的交点，并且交点分别在球环的上下边界，C和C'分别为AB和A'B'的中点，则平面ABO和平面A'B'O构成的二面角就是有效测控角的一半，∠COC'为二面角的平面角，以下我们来求此角.由图4得x2+y2=tan2βz2x2+y2+z2=(h+R)姨2（13）解（13）得z2=(h+R)2（14）139--将（14）代入（13）得球环上边界方程；x 2+y 2=tan 2β(h+R)21+tan 2β（15）由图4得x 2+y 2=tan 2α(x-R)2x 2+y 2+z 2=(h+R)2（16）解（16）得，x=Rtan 2α±(h+R)2+tan2αR(2h+R)姨（17）将（17）代入（16）得，y 2+z 2=tan 2αRtan 2α±(h+R)2+tan 2αR(2h+R)姨-姨姨R2（18）由（15）和（18）联立得方程组，x 2+y 2=tan 2β(h+R)2y 2+z 2=tan 2αRtan 2α±(h+R)2+tan 2αR(2h+R)姨tan2α+1-姨姨R2姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨（19）化解（19）得，x 2-z 2=tan 2β(h+R)2-tan 2αRtan 2α±(h+R)2+tan 2αR(2h+R)姨tan2α+1-姨姨R2（20）将（14）和（20）联立得z 2=(h+R)2x 2-z 2=tan 2β(h+R)21+tan 2β-tan 2αRtan 2α±(h+R)2+tan 2αR(2h+R)姨tan2α+1-姨姨R 2姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨（21）解（21）得A'的坐标为x'=(h+R)2-tan 2α(±(h+R)2+Rtan2α(2h+R)姨-R)2姨y'=tan 2α±(h+R)2+tan 2αR(2h+R)姨-R 姨2-(h+R)21+tan2β姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨由B'点与B 点关于x 轴对称可得B'(x',y')由C'点是B'点和B 点的中点可得C'(x',y')oc'=x'2+y'2姨由图3得cos γ=ocR+h（22）将（22）变形得oc=(R+h)cos γ即C((R+h)cos γ,0)由此开可以得cos 覬=o 姨c oc 姨姨'|o 姨c ||oc姨姨'|即覬=arccos1-tan 2α(±(h+R)2+Rtan2α(2h+R)姨-R)2(1+tan 2α)2(R+h)2姨所以侧控站最少个数为P'=2π2覬=π覬当P 为整数时P=P'否则P=[P']+1———————————————————参考文献：〔1〕刘承平.数学建模方法[M].北京：高等教育出版社,2002.〔2〕吕林根.解析几何[M].北京：高等教育出版社,2001.140--。