第2讲 几何问题中的方程思想

第2讲 几何问题中的方程思想

笛卡尔曾在《思维的法则》一书中提出过一个解决各种问题的“万能方法”：

任何问题→数学问题→代数问题→方程求解

可见利用图形中的数量关系，建立方程，把几何问题转化成代数问题，是一种非常重要的方法.

【例1】如图，在△ABC 中 ，AB =AC ，点D 在AC 上，且BD =BC =AD ，求△ABC 各角的度数.

【例2】 如图，已知正方形ABCD 的边长为a ，△PQA 是为等边三角形，求PB 的长。

A

B

C

D

A

B

C D

P

Q

变式1：如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B’C＝3，则AM的长是( )

A．1.5 B．2

C．2.25 D．2.5

变式2：如图，AB＝AC＝20，BC＝32，∠DAC＝90°．求BD的长．

【例3】如图，EF与GH把正方形ABCD分成四个矩形，其中矩形PHCF的面积是矩形AEPG的面积的2倍．求证：HF=BH+DF．

A

B C

D

G

H

E F

P

变式1：如图，△ABC内三个三角形的面积分别为5，8，10，求四边形AEFD的面积。

变式2：如图，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P，若RtΔGBF的周长为1，求矩形EPHD的面积.

归纳在几何问题中，如果图形中的边或角存在数量关系，通常设1-2个未知量，将其它未知的边或角表示出来，再利用三角形内角和或勾股定理或面积关系建立边或角的等量关系，从而列方程求解.

1.如图，在△ABC中，∠B=30°,∠ACB=120°,D是BC上一点，且∠ADC=45°，若CD=8，求BD的长.

2.已知线段AB的长为a．以AB为边在AB的下方作正方形ACDB．取AB边上一点E．以AE为边在AB的上方作正方形AENM．过E作EF⊥CD．垂足为F点．若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等．则AE的长为________________．

3.已知 ABCD，AB=4，BC=6，AC=5，求BD的长.

A

B C

D

1.如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为________.

2.如图，在△ABC中，∠C= 90°，AD平分∠CAB交CB于D，CD=3,BD=5，求AD的长.

3.如图，已知S△ABC=60，AD：DB=1:3，CE：AE=1:2，请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由.

4.如图，A（0，4），C（-3，0），点Q为x轴上一点，点P为平面内一点，若四边形APCQ为菱形，求点P的坐标.

A′

D C

5.如图，A 、B 、C 三个村庄在一条东西走向的公路沿线上，AB ＝2km ，BC ＝3km ，在B 村的正北方向有一D 村，测得∠ADC ＝45°，今将△ADC 区域规划为开发区，除其中2km 4的水塘外，均作为建筑及绿化用地，试求此建筑及绿化用地的面积.(一题多解）