第2讲几何问题中的方程思想

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八年级数学几何图形第02讲三角形中的数学思想方法与热点题型(学生版)

第02讲三角形中的数学思想与热点题型（原卷版）第一部分典例剖析+针对训练类型一方程思想典例1在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠A的3倍与∠B的2倍相等，∠B的5倍与∠C的6倍相等，求∠A：∠B：∠C：∠D．典例2（江阴市期中）如图，△ABC，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠BFC＝132°，∠BGC ＝118°，则∠A的度数为（）A．65°B．66°C．70°D．78°针对训练11．（2018秋•安庆期末）已知△ABC中，∠A比它相邻的外角小10°，则∠B+∠C为（）本*号资料皆来源于微信公众号：数学第六感A．85°B．95°C．100°D．110°3．（2020春•江都区期中）如图，△ABC的面积为18，BD＝2DC，AE＝EC，那么阴影部分的面积是．4．（2021•柳南区校级模拟）一个正多边形的一个内角比它的外角的2倍多60°，则它的边数是．2．（2021春•锡山区期中）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，若∠DCE ＝10°，∠B＝60°，求∠A的度数．类型二分类讨论思想典例3（永年区期末）如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件：（画出图形，把截去的部分打上阴影）* 本号@资料皆*来源于微信公众号：数学第六感①新多边形内角和比原多边形的内角和增加了180°．②新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．③新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180°．（2）将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为2520°，求原多边形的边数．典例4（平泉市期末）已知：∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC＝x°．（1）如图1，若AB∥ON，则①∠ABO的度数是；②当∠BAD＝∠ABD时，x＝；当∠BAD＝∠BDA时，x＝．（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x 的值；若不存在，说明理由．针对训练25．（2017春•景德镇期中）已知一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为6cm，那么这个等腰三角形的周长为（）A．14cm B．16cm C．14cm或16cm D．以上都不对6．将长为24的木棒截成互不相等的且长都为整数的三段，使这三段能构成一个三角形的三条边，则不同的截法有种．。

运用方程思想解决几何问题“六法”_

sαAB ＋a －PB ＝０．
１
６
所以２
S△ABC ＝３．
x２－１
２
x＋１
５＝０,解得 x１＝３－ ,
２
２
x２＝３＋
３＋
６
６
(舍去),此时Байду номын сангаас 求出 AF ＝６－３－
＝
２
２
(
)
６
所以存在直线 EF 将 Rt△ABC 的周长与
＜５．
２
解法探究
２０２４年１月下半月
面积同时平分,且 AE 的长为３－
解 x１＝３,
又３＋x１＝３＋３＞４,所
x２＝－３(舍去)．
６
．
２
１
(ⅱ )若点 F 与 B 重合,如图９,由 S△AEB ＝ S△ABC
２
可知 E 为 AC 的中点,由于 BC ＜AB ,故 BC ＋CE ＜
AE ＋AB ,所以不存在满足题设要求的直线 EF ．
分线,
已知 BD ＝２
０,
EF＝１
５,求
EF 平分 Rt△ABC 的周长,设
解:设矩形的长 AB ＝x,
图５
宽 BC ＝y．在 Rt△BAD 中,
BD２＝ AD２＋ AB２ ,即
２
因为 EF 是 BD 的垂直平分线,则有 BO＝
x２＋y２＝２
０．
所以 △OFD≌△OEB．
所以 OE＝OF＝７．
°,所以可得
７１
解法探究
２０２４年１月下半月
△BED ∽△BCA ．
DE BD
k
９＋k

方程思想在解决几何问题中的运用

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方程思想在解决几何问题中的运用
作者：郭永兰
来源：《甘肃教育》2018年第15期
【关键词】数学教学；几何问题；方程思想
【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A
【文章编号】 1004—0463（2018）15—0125—01
方程思想是初中数学中的基本思想。

方程思想是从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法。

这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。

一般人们把代数称为“数”，把几何图形称为“形”，往往认为方程属于“数”的范畴，只有在解代数问题时才会想到运用方程，而解几何问题时会把方程抛之脑后，其实“数”与“形”在一定条件下是可以相互转化的。

有些几何问题表面上看起来与代数问题无关，只要找到几何图形中隐含的等量关系，就可以利用代数方法“列方程”来解决。

下面举例谈谈方程思想在解决几何问题中的经典运用。

一、运用直角三角形的边与角的关系
在运用三角函数（直角三角形的边与角的关系）解决问题的过程中，往往把所求的量看作未知量，其余有关的量用含有未知量的式子表示出来并集中在一个直角三角形中，再通过直角三角形的边与角的关系列出关于未知量的方程以达到求解的目的。

总之，方程思想应用非常广泛，而熟练地利用方程思想解决问题，要做到以下两点：第一要具备用方程思想解题的意识。

第二要根据已知条件，寻找等量关系列方程。

数学思想是数学的精髓和灵魂，是对数学内容的一种本质认识。

作为数学教师，更应该以培养学生数学思想为目标，让孩子们拥有终身受益的数学思想方法。

编辑：张昀。

例谈方程思想在解题中的应用

数学篇学思导引方程思想就是以方程的观点去分析和研究问题，通过挖掘问题的数量关系，把繁难、陌生的问题转化为简单、熟悉的方程或方程组问题，然后运用所学的方程知识达到顺利解题的目的.用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理构造方程(组).这种思想在代数及几何问题中有着广泛的应用.一、方程思想在解代数题中的应用在解答某些代数式化简、求值、证明问题时，若按照常规思路难以下手时，同学们不妨转变思维视角，从方程思想入手，把已知等式看作是有关某些字母的方程，或将已知、结论中的代数式设为辅助元，构造适当的方程或方程组，将问题转化为方程或方程组问题，从而实现轻松解题.例1设m +2n -8p =0，2m -3n +5p =0，则5m 2+4n 2+3p 210m 2-9n 2+8p 2的值为.分析：此题直接求值难度较大，若能把已知条件中的两个等式看作是关于m ，n 的方程组，通过解方程组得出m ，n ，p 三者的关系，则可以使问题快速得解.解：由题意可得{m +2n -8p =0,2m -3n +5p =0,解方程组可得{m =2p ,n =3p .当p =0时，5m 2+4n 2+3p 210m 2-9n 2+8p 2的值不存在；当p ≠0时，5m 2+4n 2+3p 210m 2-9n 2+8p 2=20p 2+36p 2+3p 240p 2-81p 2+8p 2=59p 233p 2=5933.例2证明不论a 为何实数，代数式a 2-4a +4a 2+1的可能值中，最多有三个偶数.分析：本题不易直接证明.若能利用方程思想，设a 2-4a +4a 2+1=t ，把代数式转化为关于a 的方程，再运用根的判别式，得出代数式的取值范围，即可使问题得证.证明：设a 2-4a +4a 2+1=t ，则a 2-4a +4=ta 2+t (a 2+1≠0)，即(t -1)a 2+4a +(t -4)=0.当t =1时，即a =34时，代数式a 2-4a +4a 2+1的值不是整数.所以上述方程可以看作是关于a 的二次方程.因为a 为实数，所以△=16-4(t -4)(t -1)≥0，化简可得t 2-5t ≥0，解得0≤t ≤5，即0≤a 2-4a +4a 2+1≤5，显然，代数式a 2-4a +4a 2+1的可能值中，最多有0，2，4这三个偶数.评注：方程思想是转化思想的具体体现.许多代数问题借助方程思想均可以实现转化，从而快速找到解题突破口.同学们在平时的解题过程中，不要形成思维定势，局限于常规解法，要及时转变思路，结合题目的结构特点，灵活运用方程知识去思考、分析并解答问题.二、方程思想在解几何题中的应用几何问题中有许多的几何计算题，这些计算题所涉及的几何量之间蕴含着一定的数量关系.在解题时，同学们要仔细审题，结合已知条件、图形特点、几何定理、公式等，挖掘几何量之间的数量关系，合理设出未知数，列27数学篇出方程或方程组，将几何问题转化为代数问题，然后利用方程思想巧妙解题.例3如图，已知正方形EFGH的边长为12,M是GH的中点，EM的垂直平分线NO交EF的延长线于N，MN交FG于Q，求FQ与GQ的长.分析：本题涉及几何量之间的数量关系，对此可以采用方程思想求解.很多同学在设未知数时，直接设所求的目标线段FQ=x,GQ=12-x，再通过Rt△FQN∽Rt△GQM，用x的代数式表示出FN的长.显然，该求解过程较为复杂.若能设FN=x，则EN=12+x，MP=6+x，这样易求出MN、FN的长，再利用Rt△FQN∽Rt△GQM，得出FQ与GQ的比值，即可求出FQ与GQ的长度.所以，结合题中特殊的线段位置关系，本题宜采用间接设元来求解.解：如图所示，过N作NP⊥EN与HG的延长线交于P.设FN=x，那么EN=12+x，MP=6+x.由题意可知，在Rt△MNP中，MN2=MP2+NP2.因为MN=EN，NP=FG=EH，所以(12+x)2=(6+x)2+122，解得x=3，即FN=3.因为Rt△FQN∽Rt△GQM，所以FQGQ=FN GM=36=12，即GQ=2FQ，又FQ+GQ=FG=12，所以FQ=4，GQ=8.评注：在利用方程思想求解几何计算题时，关键是要找出几何量之间的等量关系，选取恰当的几何量作为未知数，建立方程或方程组.有的几何量之间的等量关系从已知中不易获得，这就需要结合图形，挖掘潜在的隐含条件，考虑以某个几何量为桥梁，间接设元，以降低求解的难度.一般地，当题目涉及线段长度或角度比、三角形周长与面积、特殊的图形位置关系时，常常采取间接设元法.总之，方程思想不仅是数学中的基本思想，更是破解数学问题的重要工具.同学们在解题的过程中，要注意根据题意，建立合适的方程或者方程组，灵活运用方程思想，将问题转换为方程问题来解答.上期《〈一次函数〉巩固练习》参考答案1.B；2.C；3.D；4.C；5.D；6.k>0；7.225；8.增大；9.-2；10.y=1.2x+10(0<x≤10)11.（1）y=2x-5；（2）点(-1,-5)不在该函数的图象上．12.解：（1）轿车出发时，两车相距60×1.4＝84（km），（2）若轿车比货车提前0.6小时到达乙地，则C（4.4，300），设线段BC对应的函数表达式为y＝kx+b，将C（4.4，300），B（1.4，0）代入得：ìíî4.4k+b=300,1.4k+b=0,，解得ìíîk=100,b=-140,∴线段BC对应的函数表达式为y＝100x-140；由图象可知，a小时轿车追上货车，∴100a-140＝60a，解得a＝3.5，∴a的值为3.5；（3）∵轿车出发1.6h，与货车的距离小于12km，∴ìíî1.6v-(1.4+1.6)×60<12,(1.4+1.6)×60-1.6v<12,解得：105＜v＜120，∴轿车速度v的取值范围是105＜v＜120．学思导引28。

高中数学寒假专题复习资料第二讲解析几何新人教A版必修2(2021学年)

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第二讲解析几何一．直线与圆1.直线的倾斜角(1)定义:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0。

(２)范围：直线l倾斜角的取值范围是［0，π）．2.斜率公式(1)直线l的倾斜角为α≠90°,则斜率k=tａn_α。

(2)P1（ｘ1，ｙ1)，P２(x2,y2)在直线ｌ上，且x1≠ｘ２,则l的斜率k=＼f（y2-y１，x2-x1)。

3．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－ｙ0＝k（x-ｘ0)不含直线x=x0斜截式y=ｋx+b不含垂直于ｘ轴的直线不含直线x＝x1(x1≠x2）两点式错误!＝错误!和直线y=ｙ1（y1≠y2）不含垂直于坐标轴和过原点的直截距式错误!＋错误!=1线Ax＋By+Ｃ＝0,平面内所有直线都适用一般式A2＋B2≠04．两条直线平行与垂直的判定(１)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l１，l2，若其斜率分别为ｋ1，ｋ2,则有l1∥l2⇔k1=k２．②当直线l１，l２不重合且斜率都不存在时,l１∥ｌ2。

(２）两条直线垂直:①如果两条直线l1,l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·ｋ2＝－1。

②当其中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2。

苏教版必修2数学课件-第2章平面解析几何初步第2节直线与方程教学课件

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3．如何判断点(m，n)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系？ [提示] 将点A(m，n)代入方程左边，若(m－a)2＋(n－b)2＝r2，点A在圆上；若(m－a)2＋(n－b)2<r2，点A在圆内；若(m－a)2＋(n－ b)2>r2，点A在圆外．
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【例3】已知圆C的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0)． (1)若点M(6，9)在圆上，求半径a； (2)若点P(3，3)与Q(5，3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围．
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自主预习探新知
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1．圆的定义及标准方程 (1)圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．其中定点是圆的圆心；定长是圆的半径．
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(2)圆的标准方程
圆
特殊情况
一般情况
圆心
(0，0)
(a，b)
半径标准方程
备注
r(r>0)
r(r>0)
_x_2_＋__y_2＝__r_2_
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[解] 法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
a＋b＋5＝0，
则（0－a）2＋（2－b）2＝r2，（－3－a）2＋（3－b）2＝r2，
a＝－3，
解得b＝－2， r＝5.
∴圆的标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
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法二：因为A(0，2)，B(－3，3)，所以线段AB的中点坐标为－32，52，直线AB的斜率kAB＝－3－3－20＝－13，
_(x_－__a_)_2_＋__(y_－__b_)_2＝__r_2_
确定圆的标准方程的关键是确定_圆__心__和_半__径__
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第2讲解题有道——四大数学思想

第2讲解题有道——四大数学思想思想概述高考数学以能力立意，一是考查数学的基础知识、基本技能；二是考查基本数学思想方法，考查数学思维的深度、广度和宽度.数学思想方法是指从数学的角度来认识、处理和解决问题，是数学意识、数学技能的升华和提高，中学数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想.类型一函数与方程思想函数与方程思想的实质就是用联系和变化的观点，描述两个量之间的依赖关系，刻画数量之间的本质特征，在提出数学问题时，抛开一些非数学特征，抽象出数量特征，建立明确的函数关系，并运用函数的知识和方法解决问题.有时需要根据已知量和未知量之间的制约关系，列出方程(组)，进而通过解方程(组)求得未知量.函数与方程思想是相互联系、互为所用的. 应用1 求解不等式、函数零点的问题【例1】 (1)设0<a <1，e 为自然对数的底数，则a ，a e ，e a －1的大小关系为( ) A.e a －1<a <a e B.a e <a <e a －1 C.a e <e a －1<aD.a <e a －1<a e(2)(2019·浙江新高考联盟考试)已知函数h (x )＝x ln x 与函数g (x )＝kx －1的图象在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1e ，e －1B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，1＋1e C.(1，e －1]D.(1，＋∞)解析 (1)设f (x )＝e x －x －1，x >0，则f ′(x )＝e x －1>0，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (0)＝0，f (x )>0， ∴e x －1>x ，即e a －1>a .又y ＝a x (0<a <1)在R 上是减函数，得a >a e ，从而e a －1>a >a e .(2)令h (x )＝g (x )，得x ln x ＋1＝kx ，即1x ＋ln x ＝k .若方程x ln x －kx ＋1＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不等实根，则函数f (x )＝ln x ＋1x 与y＝k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不相同的交点，f ′(x )＝1x －1x 2，令1x －1x 2＝0可得x ＝1，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1时f ′(x )<0，函数是减函数；当x ∈(1，e]时，f ′(x )>0，函数是增函数，函数的极小值，也是最小值为f (1)＝1，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1＋e ，f (e)＝1＋1e ，又－1＋e>1＋1e ，所以，函数的最大值为e －1.所以关于x 的方程x ln x －kx ＋1＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不等实根，则实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1，1＋1e .答案 (1)B (2)B探究提高 1.第(1)题构造函数，转化为判定函数值的大小，利用函数的单调性与不等式的性质求解.2.函数方程思想求解方程的根或图象交点问题(1)应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题，应用函数思想把方程根的问题转化为函数零点问题.(2)含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决. 【训练1】 (1)设函数f (x )＝x 2－cos x ，则方程f (x )＝π4所有实根的和为( )A.0B.π4C.π2D.3π2(2)(2019·郑州模拟)已知函数f (x )＝3x －13x ＋1＋x ＋sin x ，若存在x ∈[－2，1]，使得f (x 2＋x )＋f (x －k )<0成立，则实数k 的取值范围是( ) A.(－1，＋∞) B.(3，＋∞) C.(0，＋∞)D.(－∞，－1)解析 (1)由f (x )＝x 2－cos x ＝π4，得x 2－π4＝cos x ，令y 1＝x 2－π4，y 2＝cos x .在同一坐标系内作出两函数图象，易知两图象只有一个交点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0.∴方程f (x )＝π4的实根之和为π2.(2)由题意知，函数f (x )的定义域为R ，且f (x )是奇函数.又f ′(x )＝2ln 3·3x（3x ＋1）2＋1＋cos x >0在x ∈[－2，1]上恒成立，函数f (x )在x ∈[－2，1]上单调递增.若存在x ∈[－2，1]，使得f (x 2＋x )＋f (x －k )<0成立，则f (x 2＋x )<－f (x －k )f (x 2＋x )<f (k －x )x 2＋x <k －x ，故问题转化为存在x ∈[－2，1]，k >x 2＋2x ，即k >(x 2＋2x )min ，当x ∈[－2，1]时，y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1的最小值为－1. 故实数k 的取值范围是(－1，＋∞). 答案 (1)C (2)A应用2 函数与方程思想在数列中的应用【例2】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝－2，S 5＝0，S 6＝3.(1)求数列{a n }的前n 项和S n ； (2)求nS n 的最小值.解 (1)∵S 4＝－2，S 5＝0，S 6＝3， ∴a 5＝S 5－S 4＝2，a 6＝S 6－S 5＝3，又{a n }是等差数列，则公差d ＝a 6－a 5＝1，由于S 5＝5（a 1＋a 5）2＝0，所以a 1＝－2，故S n ＝－2n ＋n （n －1）2＝n 2－5n2.(2)由(1)知nS n ＝n 3－5n 22，设f (x )＝x 3－5x 22，则f ′(x )＝32x 2－5x (x >0)，令f ′(x )>0，得x >103；令f ′(x )<0，得0<x <103.∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103上单调递减，又f (3)＝－9，f (4)＝－8.∴当n ＝3时，nS n 取到最小值－9.探究提高 1.本题完美体现了函数与方程思想的应用，第(2)问利用数列前n 项和公式求出nS n ，构造函数，运用单调性求最值.2.数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式与前n 项和公式即为相应的解析式，但要注意数列问题中n 的取值为正整数，涉及的函数具有离散性特点.【训练2】设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q >0，a 1＋a 2＝4，a 3－a 2＝6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若对任意n ∈N *，ka n ，S n ，－1成等差数列，求实数k 的值.解 (1)∵a 1＋a 2＝4，a 3－a 2＝6， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ）＝4，a 1（q 2－q ）＝6，∵q >0，∴q ＝3，a 1＝1，∴a n ＝1×3n －1＝3n －1(n ∈N *)，故数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.(2)由(1)知a n ＝3n －1，S n ＝1×（1－3n ）1－3＝3n －12，∵ka n ，S n ，－1成等差数列，∴2S n ＝ka n －1. 则2×3n －12＝k ·3n －1－1，解得k ＝3.应用3 函数与方程思想在几何问题中的应用【例3】设椭圆中心在坐标原点，A (2，0)，B (0，1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与线段AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点. (1)若ED→＝6DF →，求k 的值； (2)求四边形AEBF 面积的最大值.解 (1)依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0).如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2，且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k2.①由ED →＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k2；由D 在AB 上知x 0＋2kx 0＝2，得x 0＝21＋2k .所以21＋2k ＝1071＋4k2，化简得24k 2－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38.(2)根据点到直线的距离公式和①式知，点E ，F 到AB 的距离分别为 h 1＝|x 1＋2kx 1－2|5＝2（1＋2k ＋1＋4k 2）5（1＋4k 2），h 2＝|x 2＋2kx 2－2|5＝2（1＋2k －1＋4k 2）5（1＋4k 2）.又|AB |＝22＋12＝5，所以四边形AEBF 的面积为 S ＝12|AB |(h 1＋h 2)＝12·5·4（1＋2k ）5（1＋4k 2）＝2（1＋2k ）1＋4k 2＝21＋4k 2＋4k 1＋4k2＝21＋41k ＋4k≤22，当且仅当4k 2＝1(k ＞0)，即当k ＝12时，上式取等号.所以S 的最大值为2 2.即四边形AEBF 面积的最大值为2 2.探究提高解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，找准函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的求法来求解，这是求面积、线段长最值(范围)问题的基本方法.【训练3】已知圆M ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)与直线l 1：x －3y ＋4＝0相切，设点A 为圆上一动点，AB ⊥x 轴于点B ，且动点N 满足AB →＝2NB →，设动点N 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程.(2)直线l 与直线l 1垂直且与曲线C 交于P ，Q 两点，求△OPQ (O 为坐标原点)面积的最大值.解 (1)设动点N (x ，y )，A (x 0，y 0)，因为AB ⊥x 轴于B ，所以B (x 0，0)，由已知得，r ＝|4|1＋3＝2，所以圆M 的方程为x 2＋y 2＝4. 因为AB→＝2NB →，所以(0，－y 0)＝2(x 0－x ，－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝2y ，又A 点在圆上，所以x 20＋y 20＝4，即动点N 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意，设直线l ：3x ＋y ＋m ＝0，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立直线l 与椭圆C 的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x －m ，x 2＋4y 2＝4，消去y ，得13x 2＋83mx ＋4m 2－4＝0，Δ＝192m 2－4×13×(4m 2－4)＝16(－m 2＋13)>0，解得m 2<13，x 1＋x 2＝－83m13，x 1·x 2＝4（m 2－1）13，又点O 到直线l 的距离d ＝|m |2， |PQ |＝2|x 1－x 2|＝813－m 213，所以S △OPQ ＝12·|m |2·813－m 213＝2m 2（13－m 2）13≤113(m 2＋13－m 2)＝1，当且仅当m 2＝13－m 2，即m ＝±262时，等号成立. 所以△OPQ 面积的最大值为1. 类型二数形结合思想数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确. 应用1 数形结合思想在函数与方程中的应用【例4】 (1)记实数x 1，x 2，…，x n 中最小数为min{x 1，x 2，…，x n }，则定义在区间[0，＋∞)上的函数f (x )＝min{x 2＋1，x ＋3，13－x }的最大值为( ) A.5 B.6 C.8D.10(2)(2019·石家庄模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0， g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( ) A.[－1，0) B.[0，＋∞) C.[－1，＋∞)D.[1，＋∞)解析 (1)在同一坐标系中作出三个函数y ＝x 2＋1，y ＝x ＋3，y ＝13－x 的图象如图：由图可知，在实数集R 上，min{x 2＋1，x ＋3，13－x }为y ＝x ＋3上A 点下方的射线，抛物线AB 之间的部分，线段BC ，与直线y ＝13－x 上点C 下方的部分的组合图.显然，在区间[0，＋∞)上，在C 点时，y ＝min{x 2＋1，x ＋3，13－x }取得最大值.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝13－x得点C (5，8).所以f (x )max ＝8.(2)函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1.答案 (1)C (2)C探究提高 1.第(1)题利用函数的图象求最值，避免分段函数的讨论；第(2)题把函数的零点或方程的根转化为两函数图象的交点问题，利用几何直观求解. 2.探究方程解的问题应注意两点：(1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题.(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则，不要刻意去用数形结合.【训练4】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（－x ）12，x ≤0，log 5x ，x >0，函数g (x )是周期为2的偶函数且当x ∈[0，1]时，g (x )＝2x －1，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A.5 B.6 C.7D.8解析在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象如图所示，由图象可知当x >0时，有4个零点，当x ≤0时，有2个零点，所以一共有6个零点. 答案 B应用2 数形结合求解不等式与平面向量问题【例5】 (1)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( ) A.－2 B.－32 C.－43D.－1(2)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0，则x 2＋y 2的最小值是()A.25B.5C.4D.1解析 (1)如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1，0)，C (1，0).设P (x ，y )，则P A →＝(－x ，3－y )，PB→＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y ).所以P A →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y)·(－2x ，－2y )＝2x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－32.当x ＝0，y ＝32时，P A →·(PB→＋PC →)取得最小值－32.(2)作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0表示的平面区域(如图阴影部分).x 2＋y 2的最小值表示阴影部分(含边界)中的点到原点O (0，0)的距离的最小值的平方.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －y ＋1＝0，得A (1，2). ∴(x 2＋y 2)min ＝|OA |2＝12＋22＝5. 答案 (1)B (2)B探究提高 1.平面向量中数形结合关注点：(1)能建系的优先根据目标条件建立适当的平面直角坐标系；(2)重视坐标运算、数量积及有关几何意义求解.2.求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系解决问题.【训练5】 (1)若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________.(2)(2019·长沙调研)已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A.1 B.2 C. 2D.22解析 (1)在同一坐标系中，作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图.依题意可知2a ≤2－2a ，解得a ≤12.(2)因为(a －c )·(b －c )＝0，所以(a －c )⊥(b －c ).如图所示，设OC→＝c ，OA →＝a ，OB →＝b ，则CA →＝a －c ，CB →＝b －c ，所以AC →⊥BC →.又因为OA→⊥OB →，所以O ，A ，C ，B 四点共圆，当且仅当OC 为圆的直径时，|c |最大，且最大值为 2. 答案 (1)⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 (2)C应用3 圆锥曲线中的数形结合思想【例6】已知抛物线的方程为x 2＝8y ，点F 是其焦点，点A (－2，4)，在此抛物线上求一点P ，使△APF 的周长最小，此时点P 的坐标为________.解析因为(－2)2<8×4，所以点A (－2，4)在抛物线x 2＝8y 的内部，如图，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ，连接AQ .则△APF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PQ |＋|P A |＋|AF |≥|AQ |＋|AF |≥|AB |＋|AF |，当且仅当P ，B ，A 三点共线时，△APF 的周长取得最小值，即|AB |＋|AF |. 因为A (－2，4)，所以不妨设△APF 的周长最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)，代入x 2＝8y ，得y 0＝12.故使△APF 的周长最小的点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12探究提高 1.对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解.2.应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.【训练6】 (2019·昆明诊断)设A ，B 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且|AB |＝3，点P 在直线l ：3x ＋4y －12＝0上运动，则|P A →＋PB →|的最小值为( ) A.3 B.4 C.175D.195解析设AB 的中点为D ，则P A →＋PB→＝2PD →，∴当且仅当O ，D ，P 三点共线且OP ⊥l 时，|P A →＋PB →|取得最小值. ∵圆心到直线l 的距离为129＋16＝125，|OD |＝1－34＝12，∴|P A →＋PB→|的最小值为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫125－12＝195.答案 D类型三分类讨论思想分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，需对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.应用1 由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论【例7】若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________. 解析若a >1，有a 2＝4，a －1＝m . 解得a ＝2，m ＝12.此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意. 若0<a <1，有a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意. 答案 14探究提高指数函数、对数函数的单调性取决于底数a ，因此，当底数a 的大小不确定时，应分0<a <1，a >1两种情况讨论.【训练7】 (1)(2019·济南调研)已知S n 为数列{a n }的前n 项和且S n ＝2a n －2，则S 5－S 4的值为( ) A.8 B.10 C.16D.32(2)函数f (x )＝⎩⎨⎧sin （πx 2），－1<x <0，e x －1，x ≥0.若f (1)＋f (a )＝2，则a 的取值集合是________.解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－2，解得a 1＝2. 因为S n ＝2a n －2，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2，两式相减得，a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，则数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，则a n ＝2n ，有S 5－S 4＝a 5＝25＝32. (2)f (1)＝e 0＝1，即f (1)＝1. 由f (1)＋f (a )＝2，得f (a )＝1.当a ≥0时，f (a )＝1＝e a －1，所以a ＝1. 当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1，所以πa 2＝2k π＋π2(k ∈Z ).所以a 2＝2k ＋12(k ∈Z )，k 只能取0，此时a 2＝12，因为－1<a <0，所以a ＝－22. 则实数a取值的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－22，1. 答案 (1)D(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－22，1 应用2 由参数变化引起的分类讨论【例8】 (2018·北京卷)设函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x . (1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为0，求a ； (2)若f (x )在x ＝1处取得极小值，求a 的取值范围. 解 (1)由f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ，得f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x . f ′(2)＝(2a －1)e 2.由题设知f ′(2)＝0，即(2a －1)e 2＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ＝(ax －1)(x －1)e x .若a >1，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值.若a ≤1，则当x ∈(0，1)时，ax －1≤x －1<0，所以f ′(x )>0.所以1不是f (x )的极小值点.综上可知，a 的取值范围是(1，＋∞).探究提高 1.若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论.2.如果参数有明确的几何意义，在讨论时还应适当地运用数形结合思想.注意分类标准要明确统一，做到“不重不漏”.【训练8】已知函数f (x )＝mx 2－x ＋ln x .若在函数f (x )的定义域内存在区间D ，使得该函数在区间D 上为减函数，则实数m 的取值范围为________.解析 f ′(x )＝2mx －1＋1x ＝2mx 2－x ＋1x(x >0)，即2mx 2－x ＋1<0在(0，＋∞)上有解. 当m ≤0时显然成立；当m >0时，由于函数y ＝2mx 2－x ＋1的图象的对称轴x ＝14m >0，故需且只需Δ>0，即1－8m >0，故m <18.综上所述，实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，18.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，18应用3 由图形位置或形状引起的分类讨论【例9】 (1)已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎨⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k ＝( ) A.－12 B.12 C.0D.－12或0(2)设点A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点.若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( ) A.(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，3]∪[9，＋∞) C.(0，1]∪[4，＋∞)D.(0，3]∪[4，＋∞)解析(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的可行域如图(阴影部分)所示.由图可知，若要使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是直角三角形，只有当直线kx －y ＋1＝0与直线y 轴或y ＝2x 垂直时才满足.结合图形可知斜率k 的值为0或－12.(2)当0<m <3时，焦点在x 轴上，若曲线C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则ab ≥tan 60°＝3，即3m≥3，得0<m ≤1；当m >3时，焦点在y 轴上，依题设，则ab ≥tan 60°＝3，即m3≥3，得m ≥9.故m 的取值范围为(0，1]∪[9，＋∞)，故选A. 答案 (1)D (2)A探究提高 1.相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论.2.圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论.【训练9】 (1)设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于________.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为2，则a 的值为________.解析 (1)不妨设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t ，其中t ≠0. 若该曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 6t ＝12；若该曲线为双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 2t ＝32. ∴曲线C 的离心率为12或32.(2)由三角形面积公式，得12×3×1×sin A ＝2，故sin A ＝223.因为sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13.①当cos A ＝13时，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13＝8，所以a ＝2 2.②当cos A ＝－13时，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝12，所以a ＝2 3.综上所述，a ＝22或2 3. 答案 (1)12或32 (2)22或23 类型四转化与化归思想转化与化归思想方法适用于在研究、解决数学问题时，思维受阻或试图寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情形使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式. 应用1 特殊与一般的转化【例10】 (1)过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点.若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q 等于( )A.2aB.1 2aC.4aD.4 a(2)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________.解析(1)抛物线y＝ax2(a>0)的标准方程为x2＝1a y(a>0)，焦点F⎝⎛⎭⎪⎫0，14a.不妨设过焦点F作直线垂直于y轴，则|PF|＝|QF|＝12a ，∴1p＋1q＝4a.(2)由题意，不妨设b＝(2，0)，a＝(cos θ，sin θ)，则a＋b＝(2＋cos θ，sin θ)，a－b＝(cos θ－2，sin θ).令y＝|a＋b|＋|a－b|＝（2＋cos θ）2＋sin2θ＋（cos θ－2）2＋sin2θ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，则y2＝10＋225－16cos2θ∈[16，20].由此可得(|a＋b|＋|a－b|)max＝20＝25，(|a＋b|＋|a－b|)min＝16＝4，即|a＋b|＋|a－b|的最小值是4，最大值是2 5.答案(1)C(2)42 5探究提高 1.一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.2.对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案.【训练10】(1)如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，那么()A.a1a8>a4a5B.a1a8<a4a5C.a 1＋a 8>a 4＋a 5D.a 1a 8＝a 4a 5(2)(2019·许昌模拟)在△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a ＋c ＝3b ，则tan A 2tan C 2的值为( )A.15B.14C.12D.23解析 (1)取特殊数列{a n }，其中a n ＝n (n ∈N *).显然a 1·a 8＝8<a 4·a 5＝20.(2)令a ＝4，c ＝5，b ＝3，则符合题意(取满足条件的三边).则由∠C ＝90°，得tan C 2＝1，由tan A ＝43，得tan A 2＝12.所以tan A 2tan C 2＝12×1＝12.答案 (1)B (2)C应用2 正与反、常量与变量的转化【例11】 (1)设y ＝(log 2x )2＋(t －2)log 2x －t ＋1，若t 在[－2，2]上变化时，y 恒取正值，则x 的取值范围是________.(2)若对于任意t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t ，3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________.解析 (1)设y ＝f (t )＝(log 2x －1)t ＋(log 2x )2－2log 2x ＋1，则f (t )是一次函数，当t ∈[－2，2]时，f (t )>0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）>0，f （2）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧（log 2x ）2－4log 2x ＋3>0，（log 2x ）2－1>0，解得log 2x <－1或log 2x >3，即0<x <12或x >8，故实数x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(8，＋∞). (2)g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t ，3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t ，3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t ，3)上恒成立.由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x .当x ∈(t ，3)时恒成立，∴m ＋4≥2t －3t 恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x －3x ，当x ∈(t ，3)时恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.∴使函数g (x )在区间(t ，3)上总不为单调函数的m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5. 答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(8，＋∞) (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5 探究提高 1.第(1)题是把关于x 的函数转化为在[－2，2]内关于t 的一次函数大于0恒成立的问题.在处理多变元的数学问题时，我们可以巧妙选取其中的参数，将其看作是“主元”，而把其它变元看作是参数.2.第(2)题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则.【训练11】 (1)(2019·日照调研)由命题“存在x 0∈R ，使e |x 0－1|－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a 的取值是( )A.(－∞，1)B.(－∞，2)C.1D.2(2)已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数.对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为________. 解析 (1)命题的否定：“任意x ∈R ，使e |x －1|－m >0”是真命题，∴m <e |x －1|恒成立，∴m 取值范围为(－∞，1).因此(－∞，1)与(－∞，a )相等，故a ＝1.(2)由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5，令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1.对－1≤a ≤1，恒有g (x )<0，即φ(a )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧φ（1）<0，φ（－1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2<0，3x 2＋x －8<0，解得－23<x <1. 故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0. 答案 (1)C (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1 应用3 函数、方程、不等式之间的转化【例12】已知函数f (x )＝3e |x |.若存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得对任意的x ∈[1，m ]，m ∈Z 且m >1，都有f (x ＋t )≤3e x ，试求m 的最大值.解 ∵当t ∈[－1，＋∞)且x ∈[1，m ]时，x ＋t ≥0，∴f (x ＋t )≤3e x e x ＋t ≤e x t ≤1＋ln x －x .∴原命题等价转化为：存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得不等式t ≤1＋ln x －x 对任意x ∈[1，m ]恒成立.令h (x )＝1＋ln x －x (1≤x ≤m ).∵h ′(x )＝1x －1≤0，∴函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数，又x ∈[1，m ]，∴h (x )min ＝h (m )＝1＋ln m －m .∴要使得对任意x ∈[1，m ]，t 值恒存在，只需1＋ln m －m ≥－1.∵h (3)＝ln 3－2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·3e >ln 1e＝－1，h (4)＝ln 4－3＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·4e 2<ln 1e＝－1，又函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数， ∴满足条件的最大整数m 的值为3. 探究提高 1.函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助.2.解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围.【训练12】已知e 为自然对数的底数，若对任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1，总存在唯一的y ∈[－1，1]，使得ln x －x ＋1＋a ＝y 2e y 成立，则实数a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e B.⎝ ⎛⎦⎥⎤2e ，e C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，e ＋1e 解析设f (x )＝ln x －x ＋1＋a ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1， ∴f ′(x )＝1x －1＝1－x x ≥0，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1上是增函数，因此a －1e ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ≤f (x )≤f (1)＝a ，设g (y )＝y 2e y ，则g ′(y )＝e y y (y ＋2)，则g (y )在[－1，0)上单调递减，在[0，1]上单调递增，且g (－1)＝1e <g (1)＝e.因为对任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1，存在唯一的y ∈[－1，1]，使得f (x )＝g (y )成立，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －1e ，a ⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，e ，⎩⎨⎧a －1e >1e ，a ≤e ，解得2e<a≤e. 答案 B。

专题七解析几何第二讲圆锥曲线的概念与性质,与弦有关的计算问题——2022届高考理科数学三轮

③|F1A|＋|F1B|＝
2 p
；④以弦
AB
为直径的圆与准线相切．
[典型例题]
1.已知椭圆 T : x2 y2 1(a b 0) 的长半轴为 2，且过点 M 0,1 .
a2 b2 若过点 M 引两条互相垂直的直线 l1 ， l2 ，P 为椭圆上任意一点，
记点 P 到 l1 ， l2 的距离分别为 d1 ， d2 ，则 d12 d22 的最大值为( B )
C. x2 y
D. x2 1 y 2
[解析]
本题考查抛物线的定义、标准方程. 抛物线 C : x2 2 py( p 0) 的准线方程为 y p .因为 | AF | 4 ，
2 所以由抛物线的定义得 p 3 4 ，解得 p 2 ，
2 所以抛物线 C 的方程为 x2 4 y .故选 A.
因为 | BC | 2 | BF | ，所以 | BC | 2 | BN | ，所以 BC 2 ，所以 BN 2 ，
CF 3
p3
所以 BN BF 4 ， BC 8 ，
3
3
[解析]
所以 CF 4 ,因为 p CF ， AM CA
所以 2 CF 4 4 , AM CF AF 4 AF 4 AM 4
则 d12 d22 x2 (1 y)2 ，因为 P 在椭圆上，所以 x2 4 4 y2 ，
所以
d12
d
2 2
5
3y2
2y
5
3
y
1 2 3
1 3
，
y [1,1]，
[解析]
所以当
y
1 3
时，
பைடு நூலகம்d12
d22
有最大值
16 3
，所以

备战2023年高考数学二轮复习专题第二讲思想方法融会贯通

6
一
二
三
四
二轮·数学
(2)(2021·山师附中调研)已知函数 h(x)＝xln x 与函数 g(x)＝kx－1 的图象在
区间1e，e上有两个不同的交点，则实数 k 的取值范围是( B )
A．1＋1e，e－1
B．1，1＋1e
C．(1，e－1]
D．(1，＋∞)
7
一
二
三
四
二轮·数学
[解析] (2)令 h(x)＝g(x)，得 xln x＋1＝kx，即1x＋ln x＝k．若方程 xln x－kx＋1＝0 在区间1e，e上有两个不等实根，则函数 f(x)＝ln x ＋1x与 y＝k 在区间1e，e上有两个不相同的交点，f′(x)＝1x－x12，令1x－x12＝ 0 可得 x＝1，当 x∈1e，1时，f′(x)＜0，函数是减函数；当 x∈(1，e]时，
10
一
二
三
四
若 0＜x1＜x2＜1，则( C )
[即学即用]
二轮·数学
11
一
二
三
四
二轮·数学
解析：设 f(x)＝ex－ln x(0＜x＜1)，则 f′(x)＝ex－1x＝xexx－1．令 f′(x)＝0，得 xex－1＝0．根据 y＝ex 的图象与 y＝1x的图象，可知函数 f(x)在(0,1)上不是单调函数，故 A，B 选项不正确．
为( B )
A．ea－1＜a＜ae C．ae＜ea－1＜a
B．ae＜a＜ea－1 D．a＜ea－1＜ae
5
一
二
三
四
二轮·数学
[解析] (1)设 f(x)＝ex－x－1，x＞0，则 f′(x)＝ex－1＞0， ∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且 f(0)＝0，f(x)＞0， ∴ex－1＞x，即 ea－1＞a．又 y＝ax(0＜a＜1)在 R 上是减函数，得 a＞ae，从而 ea－1＞a＞ae．

初中数学——方程思想解题实例

例 2 (2012 南京)若反比例函数 y= k 与一次函数 y=x+2 的图象没有交点，则 k 的值可以 x
是（）
A.-2
B.-1
C.1
D.2
解析：函数图象交点问题都可以通过联立方程组（也就是利用两个函数值相等）来解决，此题联立方程后会得到一个一元二次方程，没有交点就意味着此方程无解，也就是判别式小于 0.
∴AB=CD，∠B=∠C. 若四边形 ABQP 是等腰梯形．则 AB=PQ，∠B=∠PQB, ∴CD=PQ，∠C=∠PQB ∴CD∥PQ ∴四边形 PQCD 为平行四边形 ∴PD=CQ . 而 PD=AD-AP=10-t×1=10-t；CQ=t×3=3t,则 10-t=3t, 解得 t=2.5．
前思后想：做此类运动题时要先在图上画出符合题意的大致图象，然后设出未知量，根据题意寻找等量关系，第（2）问可这样思考：先逆向假设四边形 ABQP 能成为等腰梯形，则 PD=CQ，建立相关的等式，若能解出符合题意的值，则存在，然后再顺向写出过程
前思后想：等腰三角形中求某个角的度数时，通常都可以根据“三角形内角和、三角形外角的性质、等腰三角形的性质”，找出相应的等量关系，通过列方程解决此类问题。
课堂练习： 1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30°，则顶角的度数为_______. 2.等腰三角形两角的度数之比为 4:1，其内角的度数分别为_______. 3. 如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D 在 AC 上，且 BD=BC=AD，则∠A=_______． 4. 如图，点 O 是等边△ABC 内一点，连接 OA、OB、OC，将△BOC 绕点 C 按顺时针
知识梳理方程思想是指从分析问题的数量关系入手适当设定未知数把所研究的数学问题中已知和未知量之间的数量关系转化为方程或方程组的数学模型从而使问题得到解决的思维方法方程思想的独特优势是使问题简单化方便解题我们在初中阶段陆续学习了一元一次方程二元一次方程组分式方程一元二次方程感受到了方程思想在解决实际问题中的魅力

方程思想在初中几何题中的应用

教法研究离是20，求AB、CD的长解：设BD=x，则AB=3x,CD=4x2解：设∠AOE=x，∠BOF=y，则∠DOE=3x，∠COF=3yAED.求∠EDC的度数.解：设∠EDC=xDBF相等的角？请说明理由.解：（1）∵BE平分∠ABC交，BD平分∠EBC2019年21期┆99教法研究代数式表示出来，可以简化计算过程。

例5：如图，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D，解：连结OE，OD，OF.四、落实“八项规定精神”，持续推进廉政建设。

中央“八项规定”的出台，公司党委一直严格执行其精神，以整治形式主义、官僚主义为基础，坚定推进公司党风廉政建设。

每到重大节日，公司党委书记都要集中对各级党员干部集体谈话，各分管领导、部门负责人都要对所属人员进行集中谈话，公司纪委也将对每个关键岗位人员发送廉洁提醒短信进行警示，并要求开展专项监督检查节日后，将对发现的问题进行查处。

同时，在每个季度，对主管及中层管理人员，每月都要进行自查自评，看有没有违纪违规情况发生。

即使自己自评没有，但一旦发现，就将从重处罚。

在涉及收受红包礼金、公款吃喝、违规接待、红白喜事上都予以了重点监管，确保这些环节中不出现违规不守纪律事件。

五、努力提升监督执纪能力，强化纪检队伍建设作为反腐倡廉的首要部门，纪委、纪检人员担子不轻，压力巨大。

随着企业的发展，腐败可能会出新的变化，或许更加隐秘，更加难于查到。

这就需要我们的纪检队伍中专、兼职人员，不仅要有极高的政治素养，还要有更多的专业知专门拟定了具体的措施。

首先，必须强化纪检监察人员的政治思想建设，对执纪违纪的情况坚决查处，失职失责的坚决问责，严防、严控“灯下黑”现象发生；其次对纪检监察工作不断提出新要求，通过各种学习、培训、轮训、考试，以案例教学，努力提升他们的政治素养和办案能力，努力打造一支忠诚、干净、担当的纪检监察队伍，为企业发展作出重要贡献。

参考文献：[1]刘征文.强化反腐倡廉建设培育廉洁企业文化[J].现代国企研究,2018(20):237.[2]谢鑫建.反腐风暴契机下大学生廉洁教育体系的构建与强化[J].高教学刊,2015(23):247-248.[3]宋婷.传承核电企业廉洁文化强化反腐倡廉思想教育机制[J].东方企业文化,2015(06):23-24.（作者单位：中国五冶集团有限公司第四工程分公司）100┆好日子。

数学的方程思想

数学的方程思想一、方程思想的特点：初中阶段的方程和方程组，有一元一次方程、一元二次方程、二元（三元）一次方程组和分式方程，方程和方程组是解决应用题、实际问题和许多方面的数学问题的重要基础知识，应用范围非常广泛。

很多数学问题，包括一些实际应用问题，特别是几何题的计算问题，就需要用方程或方程组的知识来解决。

近几年中考题以考察学生解决问题的能力为主，这种方程思想就显得尤其重要了。

在解决问题时，把某一个未知量或几个未知量用字母来表示，根据已知的条件或有关的性质、定理或公式，建立起未知量和已知量之间的等量关系，列出方程或方程组，通过解方程或方程组，来达到解决问题的目的，这种方法就是方程思想。

初中数学学习期间，不但要掌握所有的知识点，更要多多地了解常用的数学思想，这不但对我们解决问题有帮助，更有利于培养我们的思维能力，提高我们解决问题的能力。

具有了方程思想，我们就能够很好地求得问题中的未知元素或未知量，这对解决和计算有关的数学问题，特别是综合题，是非常需要的。

二、方程思想的方法：纵观初中阶段的所有列方程或方程组解应用题，所用方法和步骤都一样，通过“①审题，②用字母表示未知数，③根据等量关系布列方程或方程组，④解方程或方程组，求未知数的值，⑤检验、答题”这五个步骤来完成。

审题是关键，在审题过程中，要带着问题去分析题意，找出题目中的已知量、未知量以及它们之间的等量关系尤其重要。

而设未知数也不可小视，应选择那些具有代表性的未知量，权且称之为“牛鼻子”，以达到“牵一发而动全身”的目的。

未知数选择的准，其它有关的代数式并可用这个字母表示，对列方程或方程组起着简便的作用。

再补充一句：“未知数设的多，相对来说方程好列但难解；未知数设的少，相对来讲方程难列但列出的方程好解。

”在应用方程思想解决问题时，还要注意和不等式、函数相联系，这对于解决综合性问题很有帮助。

三、例题精讲：P30米l1、（08江西中考题）甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线起跑，绕过P点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完．事后，乙同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒，捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”．根据图文信息，请问哪位同学获胜？解法一：设乙同学的速度为米/秒，则甲同学的速度为米/秒，根据题意，得，解得．经检验，是方程的解，且符合题意．甲同学所用的时间为：（秒），乙同学所用的时间为：（秒）．∵26＞24，乙同学获胜．解法二：设甲同学所用的时间为秒，乙同学所用的时间为秒，根据题意，得解得经检验，是方程组的解，且符合题意．∵x＞y，乙同学获胜．2、（08湖北中考题）某车间要生产220件产品，做完100件后改进了操作方法，每天多加工10件，最后总共用4天完成了任务．求改进操作方法后，每天生产多少件产品？解：设改进操作方法后每天生产件产品，则改进前每天生产件产品．依题意有．整理得．解得或．当=5时，，舍去．．答：改进操作方法后每天生产60件产品．他不知道他家乡离北京有多远，问列车员得知单程铁道部门共设计了28种不同的车票，你知道这次列车中间共停几站吗？解：设单程共有x个车站，由题意得：x（x－1）=28，解一元二次方程得：x=－7或8，经检验，x=－7不符合题意，应舍去，∴x=8。

【创新方案】2020年高考数学一轮复习第九篇解析几何第2讲两条直线的位置关系教案理新人教版

第2讲两条直线的位置关系【2020年高考会这样考】 1．考查两直线的平行与垂直．2．考查两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式．【复习指导】1．对两条直线的位置关系，求解时要注意斜率不存在的情况，注意平行、垂直时直线方程系数的关系．2．熟记距离公式，如两点之间的距离、点到直线的距离、两条平行线之间的距离．基础梳理1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1、l 2，其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，特别地，当直线l 1、l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为平行．(2)两条直线垂直①如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.②如果l 1、l 2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l 1与l 2的关系为垂直． 2．两直线相交交点：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应．相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解． 3．三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝x 1－x 22＋y 1－y 22.特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2. (2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.一条规律与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)平行、垂直的直线方程的设法：一般地，平行的直线方程设为Ax ＋By ＋m ＝0；垂直的直线方程设为Bx －Ay ＋n ＝0. 两个防范(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．为分别相等．三种对称(1)点关于点的对称点P (x 0，y 0)关于A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0,2b －y 0)． (2)点关于直线的对称设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点P ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y ′－y 0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y 02＝k ·x ′＋x2＋b ，可求出x ′，y ′.(3)直线关于直线的对称①若已知直线l 1与对称轴l 相交，则交点必在与l 1对称的直线l 2上，然后再求出l 1上任一个已知点P 1关于对称轴l 对称的点P 2，那么经过交点及点P 2的直线就是l 2；②若已知直线l 1与对称轴l 平行，则与l 1对称的直线和l 1分别到直线l 的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出l 1的对称直线．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a 的值为( )．A ．－3B ．－43C ．2D ．3解析由⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2×23＝－1，得：a ＝3.答案 D2．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( )． A ．1 B. 3 C ．2 D. 5 解析 d ＝|－5|1＋22＝ 5.答案 D3．(2020·银川月考)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )． A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析 ∵所求直线与直线x －2y －2＝0平行，∴所求直线斜率k ＝12，排除C 、D.又直线过点(1,0)，排除B ，故选A. 答案 A4．点(a ，b )关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是( )． A ．(－a －1，－b －1) B ．(－b －1，－a －1) C ．(－a ，－b )D ．(－b ，－a )解析设对称点为(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ′－b x ′－a ×－1＝－1，x ′＋a 2＋y ′＋b2＋1＝0，解得：x ′＝－b －1，y ′＝－a －1. 答案 B5．平行线l 1：3x －2y －5＝0与l 2：6x －4y ＋3＝0之间的距离为________．解析直线l 2变为：3x －2y ＋32＝0，由平行线间的距离公式得：d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－5－3232＋22＝132. 答案132考向一两条直线平行与垂直的判定及应用【例1】►(1)已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则实数a ＝________. (2)“ab ＝4”是直线2x ＋ay －1＝0与直线bx ＋2y －2＝0平行的( )． A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[审题视点] (1)利用k 1·k 2＝－1解题．(2)抓住ab ＝4能否得到两直线平行，反之两直线平行能否一定得ab ＝4.解析 (1)由题意知(a ＋2)a ＝－1，所以a 2＋2a ＋1＝0，则a ＝－1.(2)直线2x ＋ay －1＝0与直线bx ＋2y －2＝0平行的充要条件是－2a ＝－b 2且－1a ≠－1，即ab＝4且a ≠1，则“ab ＝4”是“直线2x ＋ay －1＝0与直线bx ＋2y －2＝0平行”的必要而不充分条件．答案 (1)－1 (2)C(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1和l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．(2)①若直线l 1和l 2有斜截式方程l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则：直线l 1⊥l 2的充要条件是k 1·k 2＝－1.②设l 1：A 1 x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0. 则：l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. (3)注意转化与化归思想的应用．【训练1】已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，求m 的值，使得： (1)l 1与l 2相交；(2)l 1⊥l 2；(3)l 1∥l 2；(4)l 1，l 2重合．解 (1)由已知1×3≠m (m －2)，即m 2－2m －3≠0，解得m ≠－1且m ≠3.故当m ≠－1且m ≠3时，l 1与l 2相交． (2)当1·(m －2)＋m ·3＝0，即m ＝12时，l 1⊥l 2.(3)当1×3＝m (m －2)且1×2m ≠6×(m －2)或m ×2m ≠3×6，即m ＝－1时，l 1∥l 2. (4)当1×3＝m (m －2)且1×2m ＝6×(m －2)，即m ＝3时，l 1与l 2重合．考向二两直线的交点【例2】►求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．[审题视点] 可先求出l 1与l 2的交点，再用点斜式；也可利用直线系方程求解．解法一先解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1、l 2的交点坐标为(－1,2)，再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l ：y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.法二由于l ⊥l 3，故l 是直线系5x ＋3y ＋C ＝0中的一条，而l 过l 1、l 2的交点(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C ＝0，由此求出C ＝－1，故l 的方程为5x ＋3y －1＝0.法三由于l 过l 1、l 2的交点，故l 是直线系3x ＋2y －1＋λ(5x ＋2y ＋1)＝0中的一条，将其整理，得(3＋5λ)x ＋(2＋2λ)y ＋(－1＋λ)＝0. 其斜率－3＋5λ2＋2λ＝－53，解得λ＝15，代入直线系方程即得l 的方程为5x ＋3y －1＝0.运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是：Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )；(2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )；(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.【训练2】直线l 被两条直线l 1：4x ＋y ＋3＝0和l 2：3x －5y －5＝0截得的线段的中点为P (－1,2)，求直线l 的方程．解法一设直线l 与l 1的交点为A (x 0，y 0)，由已知条件，得直线l 与l 2的交点为B (－2－x 0,4－y 0)，并且满足⎩⎪⎨⎪⎧4x 0＋y 0＋3＝0，3－2－x 0－54－y 0－5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4x 0＋y 0＋3＝0，3x 0－5y 0＋31＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，y 0＝5，因此直线l 的方程为y －25－2＝x －－1－2－－1，即3x ＋y ＋1＝0.法二设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋k ＋2＝0，4x ＋y ＋3＝0，得x ＝－k －5k ＋4.由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋k ＋2＝0，3x －5y －5＝0，得x ＝－5k －155k －3.则－k －5k ＋4＋－5k －155k －3＝－2，解得k ＝－3. 因此所求直线方程为y －2＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋1＝0. 法三两直线l 1和l 2的方程为(4x ＋y ＋3)(3x －5y －5)＝0，① 将上述方程中(x ，y )换成(－2－x,4－y )，整理可得l 1与l 2关于(－1,2)对称图形的方程： (4x ＋y ＋1)(3x －5y ＋31)＝0.② ①－②整理得3x ＋y ＋1＝0.考向三距离公式的应用【例3】►(2020·北京东城模拟)若O (0,0)，A (4，－1)两点到直线ax ＋a 2y ＋6＝0的距离相等，则实数a ＝________.[审题视点] 由点到直线的距离公式列出等式求a .解析由题意，得6a 2＋a 4＝|4a －a 2＋6|a 2＋a4，即4a －a 2＋6＝±6，解之得a ＝0或－2或4或6.检验得a ＝0不合题意，所以a ＝－2或4或6. 答案－2或4或6用点到直线的距离公式时，直线方程要化为一般式，还要注意公式中分子含有绝对值的符号，分母含有根式的符号．而求解两平行直线的距离问题也可以在其中一条直线上任取一点，再求这一点到另一直线的距离．【训练3】已知直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0互相平行，且l 1，l 2之间的距离为 5，求直线l 1的方程．解 ∵l 1∥l 2，∴m 2＝8m ≠n－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.(1)当m ＝4时，直线l 1的方程为4x ＋8y ＋n ＝0，把l 2的方程写成4x ＋8y －2＝0.∴|n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－22或n ＝18.所以，所求直线的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0.(2)当m ＝－4时，直线l 1的方程为4x －8y －n ＝0，l 2的方程为2x －4y －1＝0，∴|－n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－18或n ＝22.所以，所求直线的方程为2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0.考向四对称问题【例4】►光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．[审题视点] 设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则直线A ′D ′经过点B 与C . 解作出草图，如图所示．设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －11＋2，即10x －3y ＋8＝0.解决这类对称问题要抓住两条：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上．【训练4】已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( )．A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0解析 l 1与l 2关于l 对称，则l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设其关于l 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.即(1,0)、(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2方程为x －2y －1＝0.答案 B难点突破19——两直线平行与垂直问题的求解策略从近两年新课标高考试题可看出高考主要以选择题、填空题的形式考查两直线的平行和垂直问题，往往是直线方程中一般带有参数，问题的难点就是确定这些参数值，方法是根据两直线平行、垂直时所满足的条件列关于参数的方程(组)，通过解方程(组)求出参数值，但要使参数符合题目本身的要求，解题时注意直线方程本身的限制．【示例1】► (2020·浙江)若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________.【示例2】► (2020·上海)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是( )．A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或2。

解析几何中的数学思想

教学实践2014-03解析几何的本质是用代数的方法研究几何问题，解几知识中，蕴含着深刻的数学思想，对解几本质的考查往往通过对其思想应用的考查得以体现。

首先是由解几本质特征所决定的函数与方程思想，数形结合思想，其次是研究几何问题常用到的化归与转化的思想方法，分类与整合的思想方法，一般与特殊的思想方法等。

一、数形结合思想解析几何的基本思想就是数形结合，因为数与形是数学中最古老、最基本的研究对象，在解题中要善于将数形结合的数学思想运用于对圆锥曲线和平面几何性质以及相互关系的研究，即通过“以形辅数”“以数解形”“数形结合”将抽象的数学问题与直观的几何图形相结合，从而达到优化解题的途径。

例1（2012年福建理19题）如图椭圆E ∶x2a2+y2b2（a >b >0）的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e =12，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8。

（1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线l ∶y =kx+m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x =4相交于点Q ，试探究在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由。

评析：本题是一道循规蹈矩的解析几何题，对于问题（2）在探求“数”与“形”之间的联系时，若发现只需判断∠PMQ 为直角即证明MP ，MQ 即可将问题化繁为简.然而，在平时如果能注意结合探究教学，不难得出如下结论：已知F 1（-c ，0）、F 2（c ，0）分别是椭圆C ∶x2a2+y 2b2=1（a >b >0）的左右焦点，点P （x 0，y 0）为椭圆上的一个动点，过点P 作椭圆的切线e 1与过右焦点F 2作与焦半径PF 2垂直的直线l 2交于点Q ，则点Q 的轨迹即为椭圆的左准线x =a2c，那么，由此进行必要的合情推理，是可以猜想出所求的点M 应该是右焦点，设为M （x 0，0），这样就大大减少了计算量。

方程思想与判别式法

￡＝３＋４ｙ＞９＋４＞２
，
１５＞．
然后通过解方程（组）使问题得到解决的思维方
式．用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程（组）．这种思想在
当＝１，Ｙ＝ ÷ 时，ｔ＝５，因此３ｘ＋４ｙ的最小值
的问题．
解法２因为＋３），：５，即＋三：５所以Ｖ
，
１判别式法在不等式中的应用例１若正数，Ｙ满足＋３ｙ＝５ｘｙ，则３ｘ＋４
ｃ３＋４ｙ， ‘ （号＿＋）＝
１｛３ｘ＋）＋孚 ≥
解因为．ｓＳ＋１５＝０，所以（５口１＋ｌＯｄ）（６ａ１＋１５ｄ）＋１５＝０，即２ａ＋９ｄａ１＋１０ｄ＋１＝０．
△＝（９ｄ）一４Ｘ２Ｘ（１０ｄ＋１） ≥０，
一
—
—
＋ —— ＝）．
．
三：５
Ｙ
种重要的数学思想，高考成绩的高低往往在于方
即
从而
故
０＜＜５，０＜三＜５
，
程思想运用能力的强弱．所谓方程思想是指从分析问题的数量关系人手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程（组），
设ｔ＝＋），，联立方程＋Ｙ。一ｘｙ＝１，消去Ｙ后得

最新人教版高考数学复习第三篇考场技巧第2讲思想方法

第2讲思想方法(一) 函数与方程一、函数与方程思想在不等式中的应用【典例1】已知函数f(x)＝ax 2＋x ＋2－4a(a ≠0)，且对任意的x ∈R ，f(x)≥2x 恒成立． (1)若g(x)＝f （x ）x，x>0，求函数g(x)的最小值； (2)若对任意的x ∈[－1，1]，不等式f(x ＋t)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2 恒成立，求实数t 的取值范围．【解析】(1)因为对任意的x ∈R ，f(x)≥2x 恒成立，所以ax 2－x ＋2－4a ≥0对x ∈R 恒成立，所以⎩⎨⎧a>0，Δ＝1－4a （2－4a ）≤0，即⎩⎨⎧a>0，（4a －1）2≤0，解得a ＝14 ，所以f(x)＝14 x 2＋x ＋1；因为g(x)＝f （x ）x ＝14 x ＋1x＋1，x>0，又14 x ＋1x≥2x 4·1x ＝1(当且仅当x 4 ＝1x，即x ＝2时取等号)，所以g(x)min ＝1＋1＝2.(2)由f(x ＋t)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2 得14 (x ＋t)2＋(x ＋t)＋1<14 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2 2 ＋x 2 ＋1，即3x 2＋(8t ＋8)x ＋4t 2＋16t<0，所以对任意的x ∈[－1，1]，不等式3x 2＋(8t ＋8)x ＋4t 2＋16t<0恒成立．令m(x)＝3x 2＋(8t ＋8)x ＋4t 2＋16t ，则⎩⎨⎧m （－1）＝4t 2＋8t －5<0，m （1）＝4t 2＋24t ＋11<0，解得－52 <t<－12 ，所以实数t 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－12 .函数与不等式的相互转化，把不等式问题转化为函数问题，借助函数的图象和性质可解决相关的问题．常涉及不等式恒成立、比较大小问题等，一般利用函数思想构造新函数，从而研究函数性质解决问题．已知函数g(x)＝ax 2－2ax ＋1＋b(a>0，b ∈R )在区间[2，4]上有最小值1和最大值9，设f(x)＝g （x ）x. (1)求a ，b 的值．(2)若不等式f(3x )－k ·3x ≥0在x ∈[－1，1]上有解，求实数k 的取值范围．【解析】(1)函数g(x)＝ax 2－2ax ＋1＋b(a>0，b ∈R ) 则对称轴x ＝－－2a2a＝1，故函数g(x)在[2，4]上为单调增函数，所以当 x ＝2时，g(x)min ＝1，当 x ＝4时，g(x)max ＝9，所以⎩⎨⎧b ＋1＝1，8a ＋1＋b ＝9，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0，故a 的值为1，b 的值为0.(2)由(1)得g(x)＝x 2－2x ＋1，f(x)＝g （x ）x ＝x ＋1x－2，因为不等式f(3x )－k ·3x ≥0在x ∈[－1，1]上有解，所以3x＋13x －2－k ·3x ≥0在x ∈[－1，1]上有解，设t ＝13x ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3 ，所以t 2－2t ＋1≥k 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3 上有解，即(t 2－2t ＋1)max ≥k ，设h(t)＝t 2－2t ＋1，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3 ，对称轴t ＝1，则当t ＝3时，h(t)max ＝h(3)＝9－6＋1＝4，所以实数k 的取值范围是(－∞，4]. 二、函数与方程思想在数列的应用【典例2】(1)(2021·银川二模)已知函数f(x)，对任意实数m ，n 都有f(m ＋n)＝f(m)＋f(n)－35，已知f(1)＝31，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n)(n ∈N *)的最大值等于( ) A ．133 B ．135 C ．136 D ．138【解析】选C.因为对任意实数m ，n 都有f(m ＋n)＝f(m)＋f(n)－35，所以f(n ＋1)＝f(n)＋f(1)－35＝f(n)－4，所以f(n ＋1)－f(n)＝－4，故{f (n)}是以31为首项，以－4为公差的等差数列，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n)＝31n ＋n （n －1）2 ×(－4)＝－2n 2＋33n ，对称轴为n ＝334，因为n ∈N *，所以n ＝8时，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n)取得最大值为136.(2)(2021·岳阳一模)已知数列{a n }满足a 1＝1，且点(a n ，a n ＋1－2n )在函数f(x)＝3x 的图象上．①求证：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n ＋1 是等比数列，并求{a n }的通项公式：②若b n ＝a n ＋1a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：S n >3n ＋23 .【解析】①由点(a n ，a n ＋1－2n )在函数f(x)＝3x 的图象上，可得a n ＋1＝2n ＋3a n ，所以a n ＋12n ＝3a n 2n ＋1，即a n ＋12n ＋1 ＝32 ·a n 2n ＋12 ，也即a n ＋12n ＋1 ＋1＝32 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n 2n ＋1 ，由a 1＝1，所以a 121 ＋1＝32，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n ＋1 是首项和公比均为32 的等比数列，则a n 2n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32 n，所以a n ＝3n －2n .②b n ＝a n ＋1a n ＝3n ＋1－2n ＋13n －2n ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1 ＝3＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1 >3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23 n ，所以，S n >3n ＋23 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23 2 ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23 n ＝3n ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2n 3n 1－23＝3n ＋2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫23 n≥3n ＋2－43 ＝3n ＋23 .数列是定义在正整数集上的特殊函数，等差数列、等比数列的通项公式、前n 项和公式都具有函数关系，都可以看成关于n 的函数，在解等差数列、等比数列问题时，有意识地寻找其函数关系，从而用函数思想或函数方法研究，解决问题，不仅能获得简便的解法，而且能促进科学思维的培养，提高发散思维的水平．1．设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：a 3<0，且S 5S 6＋16＝0，则S 11的最小值为________．【解析】由题意，a 3<0⇒a 1＋2d<0.S 5S 6＋16＝0⇒(5a 1＋10d)(6a 1＋15d)＋16＝0. 设a 1＋5d ＝x.则(5a 1＋10d)(6a 1＋15d)＋16＝0 ⇔15(x －3d)(2x －5d)＋16＝0 ⇔225d 2－165xd ＋30x 2＋16＝0. 因为关于d 的方程有实数解，故Δ≥0. 即(－165x)2－4×225×(30x 2＋16)≥0，解得x ≥8或x ≤－8(舍去). 故S 11＝11(a 1＋5d)＝11x ≥88.此时a 1＝－203 ，d ＝4415 ，满足a 1＋2d<0.即S 11的最小值为88. 答案：882．已知f(x)＝x 2－3x ，数列{a n }前n 项和为S n ，且S n ＝f(n).(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＝a n4×3n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，且对于任意n ∈N *，总存在x ∈[4，6]，使得T n >mf(x)成立，求实数m 的取值范围．【解析】(1)因为f(x)＝x 2－3x ，S n ＝f(n)，所以S n ＝n 2－3n ，当n ≥2时，S n －1＝(n －1)2－3(n －1)，a n ＝S n －S n －1＝2n －4，当n ＝1时，a 1＝S 1＝－2，也满足a n ＝2n －4，故a n ＝2n －4. (2)因为a n ＝2n －4，b n ＝a n4×3n，所以b n ＝2n －44×3n ＝n －22×3n ，b 1＝－16 <0，b 2＝0，当n ≥3时，b n >0，故T 1＝T 2，为T n 的最小值，T n 的最小值为－16 ，因为对于任意n ∈N *，总存在x ∈[4，6]，使得T n >mf(x)成立，所以－16>[mf(x)]min ，因为x ∈[4，6]，f(x)＝x 2－3x ＝⎝⎛⎭⎪⎫x －32 2 －94 ，所以f(x)∈[4，18]，当m ≥0时，显然－16 >[mf(x)]min 不成立；当m<0时，－16 >[mf(x)]min ，即－16 >18m ，解得m<－1108，故实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1108 .三、函数与方程思想在三角函数、平面向量中的应用【典例3】(1)已知△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝45°，BC ＝12，点M 是线段BC 上靠近点B 的三等分点，点N 在线段AM 上，则AN → ·CN → 的最小值为( ) A ．－365 B ．－725 C ．－185 D ．－545【解析】选C.由∠ABC ＝∠ACB ＝45°，可知∠BAC ＝90°.以点A 为坐标原点，AB ，AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图所示．则A(0，0)，M(4 2 ，2 2 )，C(0，6 2 )，设N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12x ，其中0≤x ≤4 2 ，则AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12x ，CN → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12x －62 ，故AN → ·CN → ＝x 2＋12 x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －62 ＝54 x 2－3 2 x.令f(x)＝54 x 2－3 2 x ，0≤x ≤4 2 ，则当x ＝625 时，函数f(x)有最小值，且f(x)min ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫625 ＝－185 ，即AN → ·CN → 的最小值为－185.(2)(2021·合肥模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a( 3 cos C ＋sin C)＝ 3 b. ①求A ；②求cos 2B ＋cos 2C 的最小值．【解析】①因为a( 3 cosC ＋sin C)＝ 3 b ，所以sin A( 3 cos C ＋sin C)＝ 3 sin B. 即sin A( 3 cos C ＋sin C)＝ 3 sin (A ＋C)，所以 3 sin A cos C ＋sin A sin C ＝ 3 sin A cos C ＋ 3 cos A sin C ，得sin A sin C ＝ 3 cos A sin C ，因为0<C<π，所以sin C>0，得sin A ＝ 3 cos A.又因为0<A<π，所以tan A ＝ 3 ，所以A ＝π3. ②因为A ＝π3 ，所以B ＋C ＝2π3，因为cos 2B ＋cos 2C ＝1＋cos2B 2 ＋1＋cos 2C2＝1＋12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫4π3－2B ＝1＋12 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π3 . 因为0<B<2π3 ，所以π3 <2B ＋π3 <5π3，得－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π3 <12 .所以12 ≤1＋12 cos (2B ＋π3 )<54 .所以当A ＝B ＝C ＝π3 时，cos 2B ＋cos 2C 最小，最小值为12.1．含参数的三角函数方程问题的两种处理思路(1)分离参数构造函数，将方程有解转化为求函数的值域；(2)换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决． 2．解决平面向量问题的常用方法对平面向量的模进行平方处理，把模的问题转化为数量积问题，再利用函数与方程思想进行分析与处理．1．(2021·南通二模)如图，点C 在半径为2的AB ︵上运动，∠AOB ＝π3 .若OC → ＝mOA→ ＋nOB → ，则m ＋n 的最大值为( )A ．1B ． 2C ．233D ． 3【解析】选C.以O 为原点，OA → 的方向为x 轴的正方向，建立平面直角坐标系，则有OA → ＝(2，0)，OB → ＝(1， 3 ). 设∠AOC ＝α，则OC → ＝(2cos α，2sin α). 由题意可知⎩⎨⎧2m ＋n ＝2cos α，3n ＝2sin α所以m ＋n ＝cos α＋33 sin α＝233 sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3 .因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 ，所以α＋π3 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3 ，所以当α＋π3 ＝π2 ，即α＝π6 时，m ＋n 最大，最大值为233. 2．(2021·北京高考)已知在△ABC 中，c ＝2b cos B ，C ＝2π3. (1)求B 的大小；(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一确定，并求出BC 边上的中线的长度．①c ＝ 2 b ；②周长为4＋2 3 ； ③面积为S △ABC ＝334.【解析】(Ⅰ)由已知及正弦定理，sin C ＝2sin B cos B ＝sin 2B ，所以C ＝2B(舍去)或C ＋2B ＝π，所以B ＝π6； (Ⅱ)由(Ⅰ)及已知，c ＝ 3 b ，所以不能选①. 选②，设BC ＝AC ＝2x ，则AB ＝2 3 x ，故周长为(4＋2 3 )x ＝4＋2 3 ，解得x ＝1，即BC ＝AC ＝2，AB ＝2 3 ，设BC 中点为D ，则在△ABD 中，由余弦定理，得cos B ＝AB 2＋BD 2－AD 22×AB ×BD ＝12＋1－AD 243 ＝32 ，解得AD ＝7 .选③，设BC ＝AC ＝2x ，则AB ＝2 3 x ，故S △ABC ＝12 ×(2x)×(2x)×sin 120°＝ 3 x 2＝334，解得x ＝32 ，即BC ＝AC ＝3 ，AB ＝3，设BC 中点为D ，则在△ABD 中，由余弦定理，得cos B ＝AB 2＋BD 2－AD 22×AB ×BD ＝9＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－AD 233 ＝32 ，解得AD ＝212.四、函数与方程思想在解析几何中的应用【典例4】(2021·郑州二模)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，点D ⎝⎛⎭⎪⎫1，32 是椭圆C 上一点，离心率为12 . (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 过椭圆右焦点F 2且与椭圆交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与直线x ＝4分别交于M ，N.①求证：M ，N 两点的纵坐标之积为定值； ②求△AMN 面积的最小值．【解析】(1)由题意，椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)过点D ⎝⎛⎭⎪⎫1，32 ，且离心率为12 ，可得⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝12，1a 2＋94b 2＝1，a 2－b 2＝c 2，解得a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆C 的方程为 x 24 ＋y23 ＝1.(2)①设直线l 的方程为x ＝my ＋1，联立方程组⎩⎨⎧x ＝my ＋1，x 24＋y23＝1，整理得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，可得y 1＋y 2＝－6m 3 m 2＋4 ，y 1y 2＝－93m 2＋4，直线AP 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，令x ＝4，可得y M ＝6y 1x 1＋2 ，同理可得y N ＝6y 2x 2＋2，所以y M y N ＝36y 1y 2（x 1＋2）（x 2＋2）＝36y 1y 2（my 1＋3）（my 2＋3）＝36y 1y 2m 2y 1y 2＋3m （y 1＋y 2）＋9 ＝36·－93m 2＋4 m 2·－93m 2＋4＋3m ·－6 m3m 2＋4＋9＝－9. ②由S △AMN ＝12 ·6·|y M －y N |＝3⎪⎪⎪⎪⎪⎪y M ＋9y M ≥3·2y M ·9y M＝18，当且仅当y M ＝3，y N ＝－3或y M ＝－3，y N ＝3时等号成立，所以△AMN 面积的最小值为18.解决解析几何中的范围与最值问题的关键是抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助函数的性质解决问题，这是解决面积、线段长、最值与范围问题的基本方法．1．P 为椭圆x 216 ＋y215 ＝1上任意点，EF 为圆N ：(x －1)2＋y 2＝4的任意一条直径，则PE → ·PF →最大值为________．【解析】圆N ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心为N(1，0)，半径长为2，设点P(x ，y)，则y 2＝15－1516x 2且－4≤x ≤4， PE →＝PN → ＋NE → ，PF → ＝PN → ＋NF → ＝PN → －NE → ，所以，PE → ·PF → ＝(PN → ＋NE → )·(PN → －NE → ) ＝PN → 2－NE → 2＝(x －1)2＋y 2－4 ＝x 2－2x ＋1＋15－1516x 2－4 ＝116 x 2－2x ＋12＝116(x －16)2－4，所以，当x ＝－4时，PE → ·PF → 取得最大值，即(PE → ·PF → )max ＝116 ×(－4)2＋8＋12＝21.答案：212．(2021·德阳三模)已知平面上的动点E(x ，y)及两定点A(－2，0)，B(2，0)，直线EA ，EB 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2＝－34 ，设动点E 的轨迹为曲线R.(1)求曲线R 的方程；(2)过点P(－1，0)的直线l 与曲线R 交于C ，D 两点．记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1－S 2|的最大值．【解析】(1)由题意知x ≠±2，且k 1＝y x ＋2 ，k 2＝y x －2 则y x ＋2 ·y x －2 ＝－34整理得，曲线R 的方程为x 24 ＋y 23 ＝1(y ≠0).(2)当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x ＝－1 此时△ABD 与△ABC 面积相等，|S 1－S 2|＝0 当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y ＝k(x ＋1)(k ≠0)C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2) 联立方程，得⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x ＋1）消去y ，得：(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0.Δ>0，且x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2 ，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，此时|S 1－S 2|＝2||y 2|－|y 1||＝2|y 2＋y 1|＝2|k(x 2＋1)＋k(x 1＋1)| ＝2|k(x 2＋x 1)＋2k|＝12|k|3＋4k 2因为k ≠0，上式＝123|k|＋4|k| ≤1223|k|·4|k|＝12212 ＝ 3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当k ＝±32时等号成立所以|S 1－S 2|的最大值为 3 .(二) 分类与整合一、由概念、法则、公式引起的分类讨论【典例1】(2021·沧州三模)已知数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和S n 满足a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N *). (1)求S n ； (2)记 b n ＝S n ＋1－S nS n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 【解析】(1)当n ≥2时，a n ＝S n －1＋1，所以a n ＋1－a n ＝S n －S n －1＝a n ，即a n ＋1＝2a n (n ≥2)，在a n ＋1＝S n ＋1中，令n ＝1，可得a 2＝a 1＋1. 因为a 1＝1，所以a 2＝2a 1，所以{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，其通项公式为a n ＝2n －1，所以S n ＝a n ＋1－1＝2n －1. (2)因为b n ＝S n ＋1－S n S n S n ＋1 ＝1S n －1S n ＋1 ＝12n －1 －12n ＋1－1，所以T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－17 ＋…＋(12n －1 －12n ＋1－1 )，＝1－12n ＋1－1 .解决由概念、法则、公式引起的分类与整合问题的步骤第一步：确定需分类的目标和对象，即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标．第二步：根据公式、定理确定分类标准，运用公式、定理对分类对象进行区分．第三步：分类解决“分目标”问题，对分类出来的“分目标”分别进行处理．第四步：汇总“分目标”，将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理．(2021·辽宁葫芦岛二模)已知椭圆G ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)过A(0，4)，B( 5 ，－2 3 )两点，直线l 交椭圆G 于M ，N 两点． (1)求椭圆G 的标准方程；(2)若直线l 过椭圆G 的右焦点F ，是否存在常数t ，使得tOM → ·ON →＋FM → ·FN → 为定值，若存在，求t 的值及定值；若不存在，请说明理由．【解析】(1)由已知得b ＝4且5a 2 ＋12b 2 ＝1，解得a 2＝20，所以椭圆方程为x 220 ＋y 216＝1.(2)①当直线l 的斜率存在时，设直线l 为y ＝k(x －2)代入G 得(4＋5k 2)x 2－20k 2x ＋20k 2－80＝0，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，Δ>0，x 1＋x 2＝20k 24＋5k 2 ，x 1x 2＝20k 2－804＋5k 2，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－64k 24＋5k 2tOM → ·ON → ＋FM → ·FN →＝t(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＋(x 1－2，y 1)·(x 2－2，y 2) ＝t(x 1x 2＋y 1y 2)＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2＝t 20k 2－804＋5k 2 ＋t －64k 24＋5k 2 ＋20k 2－804＋5k 2 －220k 24＋5k 2 ＋4＋－64k 24＋5k 2＝－（44t ＋64）k 2－（80t ＋64）5k 2＋4若tOM → ·ON →＋FM → ·FN → 为定值，故44t ＋645 ＝80t ＋644 ，解得t ＝－27 ，定值为－727.②当直线l 斜率不存在时，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，855 ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－855 ，所以OM → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，855 ，ON → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－855 ，FM → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，855 ，FN → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－855 ，OM → ·ON → ＝4－645 ＝－445 ，FM → ·FN →＝－645，当t ＝－27 时，tOM → ·ON → ＋FM → ·FN →＝－727综上所述，存在常数t ＝－27 ，使得tOM → ·ON →＋FM → ·FN → 为定值－727 .二、由参数的取值范围引起的分类讨论【典例2】(2021·广东三模)已知函数f(x)＝ln x ＋ax 2－x ，g(x)＝ln x －e x＋x 32＋1.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】(1)函数f(x)＝ln x ＋ax 2－x 的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x)＝1x ＋2ax －1＝2ax 2－x ＋1x .①当a ＝0时，f ′(x)＝1－xx，若0<x<1，则f ′(x)>0；若x>1，则f ′(x)<0. 此时，函数f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)； ②当a<0时，Δ＝1－8a>0，令f ′(x)＝0，可得x ＝1＋1－8a 4a (舍)或x ＝1－1－8a4a .若0<x<1－1－8a4a，则f ′(x)>0；若x>1－1－8a4a，则f ′(x)<0.此时，函数f(x)的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－8a 4a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－8a 4a ，＋∞ ；③当a>0时，Δ＝1－8a.(ⅰ)若Δ＝1－8a ≤0，即当a ≥18 时，对任意的x>0，f ′(x)≥0，此时，函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数； (ⅱ)若Δ＝1－8a>0，即当0<a<18 时，由f ′(x)＝0可得x ＝1＋1－8a 4a 或x ＝1－1－8a4a，且1＋1－8a 4a >1－1－8a4a. 由f ′(x)>0，可得0<x<1－1－8a 4a 或x>1＋1－8a4a；由f ′(x)<0，可得1－1－8a 4a <x<1＋1－8a 4a. 此时，函数f(x)的单调递减区间为(1－1－8a 4a ，1＋1－8a4a)，单调递增区间为(0，1－1－8a 4a )，(1＋1－8a4a ，＋∞).综上所述，当a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，1－1－8a4a)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－8a 4a ，＋∞ ；当a ＝0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)；当0<a<18 时，函数f(x)的单调递减区间为(1－1－8a 4a ，1＋1－8a4a )，单调递增区间为(0，1－1－8a 4a )，(1＋1－8a4a，＋∞)；当a ≥18时，函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数；(2)由f(x)≥g(x)，可得ln x ＋ax 2－x ≥ln x －e x ＋x32＋1，即a ≥x 2 －e x －x －1x 2对任意的x>0恒成立，令h(x)＝x 2 －e x －x －1x 2 ，其中x>0，h ′(x)＝12 －（x －2）e x ＋x ＋2x 3＝（x －2）（x 2＋2x ＋2－2e x ）2x 3，令φ(x)＝x 2＋2x ＋2－2e x ，其中x>0，则φ′(x)＝2x ＋2－2e x ，φ″(x)＝2－2e x <0. 所以，函数φ′(x)在(0，＋∞)上单调递减，则φ′(x)<φ′(0)＝0，所以，函数φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，故φ(x)<φ(0)＝0，所以，当0<x<2时，h ′(x)>0，此时函数h(x)在(0，2)上单调递增，当x>2时，h ′(x)<0，此时函数h(x)在(2，＋∞)上单调递减．所以，h(x)max ＝h(2)＝1－e 2－34 ＝7－e 24 ，所以a ≥7－e 24 .因此，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫7－e 24，＋∞ .若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到标准明确、不重不漏．(2021·成都三模)已知函数f(x)＝ln x. (1)讨论函数g(x)＝f(x)－ax(a ∈R )的单调性； (2)证明：函数f(x)<e x －2(e 为自然对数的底数)恒成立．【解析】(1)g(x)的定义域为(0，＋∞)，g ′(x)＝1x －a ＝1－axx (x>0)当a ≤0时，g ′(x)>0恒成立，所以，g(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，令g ′(x)＝0，得到x ＝1a所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，g ′(x)>0，g(x)单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞ 时，g ′(x)<0，g(x)单调递减．综上所述：当a ≤0时，g(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，g(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞ 上单调递减．(2)记函数φ(x)＝e x －2－ln x ＝e xe 2 －ln x ，则φ′(x)＝1e 2 ×e x －1x ＝e x －2－1x易知φ′(x)在(0，＋∞)上单调递增，又由φ′(1)<0，φ′(2)>0知，φ′(x)在(0，＋∞)上有唯一的实数根x 0，且1<x 0<2，则φ′(x 0)＝ex 0－2－1x 0 ＝0，即0x 2e －＝1x 0(*)当x ∈(0，x 0)时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减；当x ∈(x 0，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，所以φ(x)≥φ(x 0)＝0x 2e －－ln x 0，结合(*)式0x 2e－＝1x 0，知x 0－2＝－ln x 0，所以φ(x)≥φ(x 0)＝1x 0 ＋x 0－2＝x 20 －2x 0＋1x 0 ＝（x 0－1）2x 0 >0则φ(x)＝e x －2－ln x>0，即e x －2>ln x ，所以有f(x)<e x －2恒成立．三、由图形位置或形状引起的分类讨论【典例3】(1)设F 1，F 2为椭圆x 29 ＋y24 ＝1的两个焦点，点P 为椭圆上一点，已知点P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|＝_______．【解析】若∠PF 2F 1＝90°，则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，又|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝2 5 ，解得|PF 1|＝143 ，|PF 2|＝43 ，所以|PF 1||PF 2| ＝72. 若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，所以|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20，又|PF 1|>|PF 2|，所以|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以|PF 1||PF 2| ＝2.综上知，|PF 1||PF 2| ＝72 或2.答案：72或2(2)在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”．如图，棱柱ABC A 1B 1C 1为一“堑堵”，P是BB1的中点，AA1＝AC＝BC＝2，设平面α过点P且与AC1平行，现有下列四个结论：①当平面α截棱柱的截面图形为等腰梯形时，该图形的面积等于332；②当平面α截棱柱的截面图形为直角梯形时，该图形的面积等于2 2 ；③异面直线AC1与CP所成角的余弦值为1010；④三棱锥C1ACP的体积是该“堑堵”体积的13.所有正确结论的序号是________．【解析】对于①，如图，取E，F，G分别为对应边中点，易知四边形PEFG是等腰梯形，且高为62，当E不是AA1中点时，PE不平行平面A1B1C1，则四边形不是梯形，等腰梯形有且仅有一个，S PEFG ＝12×( 2 ＋2 2 )×62＝332.所以①正确；对于②，向下作截面满足题意的梯形是直角梯形，同理，直角梯形有且仅有一个，其面积S＝12×(1＋2)× 2 ＝322 .所以②错误；对于③，将三棱柱补成正方体，J为对应边中点，易知∠CPJ为异面直线AC1与CP所成角或补角，CP＝CJ ＝ 5 ，PJ＝ 2 ，所以cos ∠CPJ＝225＝1010，所以③正确；对于④，VC1ACP＝VPC1CA＝13S△C1CA×2＝43，VABCA1B1C1＝12×2×2×2＝4，所以④正确．答案：①③④六类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类整合(1)二次函数对称轴的变化；(2)函数问题中区间的变化；(3)函数图象形状的变化；(4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等．1．(2021·珠海二模)设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，P为曲线C上一点，|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|＝5∶4∶2，则曲线C的离心率为________．【解析】依题意：令焦距2c＝|F1F2|＝2m(m>0)，则|PF1|＝5m，|PF2|＝4m，当曲线C是椭圆时，长轴长2a＝|PF1|＋|PF2|＝9m，其离心率e＝2c2a＝29，当曲线C是双曲线时，实轴长2a＝|PF1|－|PF2|＝m，其离心率e＝2c2a＝2，所以曲线C的离心率为29或2.答案：29或22．设f(x)＝x 2－4x －4，x ∈[t ，t ＋1](t ∈R )，求函数f(x)的最小值g(t)的解析式．【解析】f(x)＝x 2－4x －4＝(x －2)2－8，x ∈[t ，t ＋1]，函数图象的对称轴为直线x ＝2，所以当2∈[t ，t ＋1]时，即1≤t ≤2时，所以g(t)＝f(2)＝－8. 当t ＋1<2，即t<1时，f(x)在[t ，t ＋1]上是减函数，所以g(t)＝f(t ＋1)＝t 2－2t －7.当t>2时，f(x)在[t ，t ＋1]上是增函数，所以g(t)＝f(t)＝t 2－4t －4.综上：g(t)＝⎩⎨⎧t 2－2t －7，t ∈（－∞，1），－8，t ∈[1，2]，t 2－4t －4，t ∈（2，＋∞）.四、由运算性质引起的分类讨论【典例4】(2021·珠海二模)已知等差数列{a n }满足a 1＝－1，a 4＝2a 2＋a 3. (1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若b n ＝ a 2n cosn π2，求数列{b n }的前40项和S 40. 【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，a 4＝a 1＋3d ，2a 2＋a 3＝3a 1＋4d ，由a 1＝－1，a 4＝2a 2＋a 3，则a 1＋3d ＝3a 1＋4d ，得d ＝2，所以a n ＝2n －3；(2)因b n ＝a 2n cos n π2，则有：①n 为奇数时，b n ＝0，②n 为偶数时，n ＝4k ＋2，k ∈N 时，b n ＝－a 2n ，n ＝4k ＋4，k ∈N 时，b n ＝a 2n ，所以S 40＝(a 24 －a 22 )＋(a 28 －a 26 )＋(a 212 －a 210 )＋…＋(a 236 －a 234 )＋(a 240 －a 238 ) ＝2d(a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 40)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫20a 2＋20×192×2d ＝3 120.计算时，常遇到需要分类讨论的问题，这时一般是根据绝对值的性质、函数奇偶性、指数函数性质、对数函数性质等进行分类讨论，在处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对应法则．离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2，数列{b n }为等差数列，b 1＝3a 1，b 4＝a 5－2. (1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)记c n ＝a n －b n ，求数列{|c n |}的前n 项和T n . 【解析】(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－2，得a 1＝2；当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2，由a n ＝S n －S n －1，得a n ＝2a n －1. 故{a n }为等比数列，其公比为2，所以a n ＝2n . 由a 1＝2，b 1＝3a 1，得b 1＝6，b 4＝a 5－2＝30，因为{b n }为等差数列，所以其公差d ＝8，所以b n ＝8n －2.(2)因为c n ＝a n －b n ＝2n －8n ＋2，所以当n ≤5时，c n <0，当n ≥5时，c n >0. 所以当n ≤5时，T n ＝b 1－a 1＋b 2－a 2＋…＋b n －a n ＝4n 2＋2n ＋2－2n ＋1. 当n>5时，T n ＝(b 1－a 1＋b 2－a 2＋…＋b 5－a 5)＋(a 5－b 5＋…＋a n －b n ) ＝2n ＋1－4n 2－2n ＋94.故数列{|c n |}的前n 项和T n ＝⎩⎨⎧4n 2＋2n ＋2－2n ＋1，n ≤5，2n ＋1－4n 2－2n ＋94，n>5.(三) 数形结合一、数形结合思想在函数与方程中的应用【典例1】(2021·新乡三模)已知函数f(x)＝|x 2＋mx|(m>0)，当a ∈(1，4)时，关于x 的方程f(x)－a|x －1|＝0恰有两个不同的实根，则m 的取值范围是( ) A ．(0，2] B ．(1，3] C ．(0，3] D ．(1，4]【解析】选C.当x ＝1时，f(x)＝|m ＋1|>1，所以x ＝1不是方程f(x)－a|x －1|＝0的实根；当x ≠1时，由f(x)－a|x －1|＝0，得a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（x －1）＋m ＋1x －1＋m ＋2 . 方程f(x)－a|x －1|＝0恰有两个不同的实根等价于直线y ＝a 与函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（x －1）＋m ＋1x －1＋m ＋2 的图象有两个不同的交点．因为m>0，所以m ＋2＝(m ＋1 )2＋1>2m ＋1 ，则函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（x －1）＋m ＋1x －1＋m ＋2 的大致图象如图所示．因为a ∈(1，4)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1＋m ＋2≥4，－2m ＋1＋m ＋2≤1，⇒0<m ≤3，m>0.利用数形结合思想研究方程解的问题(1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使问题转化为两曲线交点问题． (2)准确做出两个函数的图象是解决问题的关键．数形结合应以快和准为原则，不能刻意去用数形结合．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧3x －x 3，x<02－x －1，x ≥0，若关于x 的方程4f 2(x)－4a ·f(x)＋2a ＋3＝0有5个不同的实根，求实数a 的取值范围．【解析】当x<0时，f(x)＝3x －x 3，则f ′(x)＝3－3x 2＝3(1－x)(1＋x)，当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，当x ∈(－1，0)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，作出f(x)的图象，如图所示，令f(x)＝t ，则4t 2－4at ＋2a ＋3＝0，令g(t)＝4t 2－4at ＋2a ＋3，由题意得方程g(t)＝0有两个不同的实根：①有两个不同的实根t 1，t 2，且t 1∈(－2，－1)，t 2∈(－1，0)，则有⎩⎨⎧g （－2）>0，g （－1）<0，g （0）>0，解得－32 <a<－76.②有两个不同的实根t 1，t 2，且t 1＝－1，t 2∈(－1，0)，则有g(t 1)＝g(－1)＝6a ＋7＝0，则a ＝－76，方程为6t 2＋7t ＋1＝0，得t 1＝－1，t 2＝－16 ∈(－1，0)，满足条件．③有两个不同的实根t 1，t 2，且t 1＝0，t 2∈(－1，0)，因为g(t 1)＝g(0)＝2a ＋3＝0，则a ＝－32，方程为t 2＋32 t ＝0，得t 1＝0，t 2＝－32∉(－1，0)，不符合题意，舍去．综上所述，实数a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，－76 .二、数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用【典例2】(2021·厦门三模)已知函数f(x)＝⎩⎨⎧2x 2＋x ＋2，x<0xe x －1＋2，x ≥0 ，若f(x)≥2|x －a|，则实数a 的取值范围是________．【解析】因为f(x)＝⎩⎨⎧2x 2＋x ＋2，x<0xe x －1＋2，x ≥0，当x<0时，f ′(x)＝4x ＋1，当x<－14 时，f ′(x)<0，函数单调递减，当－14 <x<0时，f ′(x)>0，函数单调递增，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14 ＝158 ，当x ≥0时，f ′(x)＝(x ＋1)ex －1，当x ≥0时，f ′(x)>0，此时f(x)单调递增．图象如图所示：令g(x)＝2|x|，将其向右平移至与f(x)(x<0)相切，此刻a 取最大值，即f ′(x)＝4x ＋1＝－2，得到x ＝－34 ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34 ＝198 ，将⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，198 代入f(x)＝2|x －a|，得198 ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪－34－a ，所以a ＝716 ，a ＝－3116 (舍去)；将g(x)＝2|x|向左平移至与f(x)(x>0)相切，此刻a 取最小值，即f ′(x)＝(x ＋1)e x －1＝2，得到x ＝1，f(1)＝3，将(1，3)代入f(x)＝2|x －a|，得3＝2|1－a|，所以a ＝－12 ，a ＝52 (舍去)；所以a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，716 .答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，716利用数形结合处理不等式问题，要从题目的条件与结论出发，着重分析其几何意义，从图形上找出解题思路．因此，往往通过构造熟悉的函数，做出函数图象，利用图象的交点和图象的相对位置求解不等式．1．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x<0的解集为( )A ．(－2，0)∩(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2)【解析】选D.由已知条件可以画出函数f(x)的草图，如图所示．由函数f(x)为奇函数可化简不等式f （x ）－f （－x ）x <0为2f （x ）x<0.若x>0，则需有f(x)<0，结合图象可知0<x<2；若x<0，则需有f(x)>0，结合图象可知－2<x<0. 综上可知，不等式的解集为(－2，0)∪(0，2).2．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x>0.若|f(x)|≥ax ，则a 的取值范围是________．【解析】画出函数|f(x)|的图象，数形结合求解．作出函数y ＝|f(x)|的图象，如图，当|f(x)|≥ax 时，必有k ≤a ≤0，其中k 是y ＝x 2－2x(x ≤0)在原点处的切线斜率，显然，k ＝－2.所以a的取值范围是[－2，0].答案：[－2，0]三、数形结合思想在解析几何中的应用【典例3】(1)已知P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是( )A． 2 B．2 2 C． 3 D．2 3【解析】选C.圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为C(1，1)，半径为r＝1，圆心C(1，1)到直线l：3x－4y＋11＝0的距离d＝|3－4＋11|32＋42＝105＝2>r＝1，所以圆C与直线l相离．根据对称性可知，四边形PACB的面积为2S△APC ＝2×12×|PA|×r＝|PA|＝|PC|2－r2＝|PC|2－1 ，要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小．又|PC|最小值为圆心到直线l：3x－4y＋11＝0的距离d＝2.所以四边形PACB面积的最小值为|PC|2min－1 ＝4－1 ＝ 3 .(2)已知A(－4，0)，B是圆(x－1)2＋(y－4)2＝1上的点，点P在双曲线x29－y27＝1的右支上，则|PA|＋|PB|的最小值为( ) A．9 B．2 C．10 D．12【解析】选C.在双曲线x29－y27＝1中，a＝3，b＝7 ，c＝4，如下图所示：易知点F(4，0)为双曲线x 29 －y 27 ＝1的右焦点，由双曲线的定义可得|PA|－|PF|＝2a ＝6，所以|PA|＝6＋|PF|，圆(x －1)2＋(y －4)2＝1的圆心为E(1，4)，半径为r ＝1，且|EF|＝（1－4）2＋42 ＝5，所以|PA|＋|PB|＝6＋|PF|＋|PB|≥6＋|PF|＋|PE|－1≥|EF|＋5＝10，当且仅当E ，B ，P ，F 四点共线，且B ，P 分别为线段EF 与圆(x －1)2＋(y －4)2＝1和双曲线x 29－y 27 ＝1的交点时，两个等号同时成立．因此，|PA|＋|PB|的最小值为10.应用数形结合解决平面解析几何中的最值，涉及到平面几何中的相关最值的判断问题．如线段长度之和问题往往转化为三点共线问题等．已知抛物线的方程为x 2＝8y ，点F 是其焦点，点A(－2，4)，在抛物线上求一点P ，使△APF 的周长最小，此时点P 的坐标为 ________．【解析】因为(－2)2<8×4，所以点A(－2，4)在抛物线x 2＝8y 的内部，如图，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ，连接AQ.则△APF 的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，当且仅当P ，B ，A 三点共线时，△APF 的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|.因为A(－2，4)，所以不妨设△APF 的周长最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)，代入x 2＝8y ，得y 0＝12.故使△APF 的周长最小时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，12 .答案：⎝⎛⎭⎪⎫－2，12(四) 转化与化归一、一般与特殊的相互转化【典例1】(1)“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C ：x 2a ＋1＋y 2a ＝1(a>0)的离心率为12 ，则椭圆C 的蒙日圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2＝9 B ．x 2＋y 2＝7 C ．x 2＋y 2＝5 D ．x 2＋y 2＝4【解析】选B.因为椭圆C ：x 2a ＋1 ＋y 2a ＝1(a>0)的离心率为12 ，所以1a ＋1 ＝12 ，解得a ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24 ＋y 23 ＝1，所以椭圆的上顶点A(0， 3 )，右顶点B(2，0)，所以经过A ，B 两点的切线方程分别为y ＝ 3 ，x ＝2，所以两条切线的交点坐标为(2， 3 )，又过A ，B 的切线互相垂直，由题意知交点必在一个与椭圆C 同心的圆上，可得圆的半径r ＝22＋（3）2 ＝7 ，所以椭圆C 的蒙日圆方程为x 2＋y 2＝7.(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos A cos C等于( )A ．45B．15C．35D．25【解析】选A.令a＝b＝c，则△ABC为等边三角形，且cos A＝cos C＝12，代入所求式子，得cos A＋cos C1＋cos A cos C＝12＋121＋12×12＝45.(1)一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；(2)特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F的直线与C交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝3|AF|·|BF|，则p＝( )A．2 B．3 C．32D．23【解析】选D.因为AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，取其通径，所以2p＝1|AF|＋1|BF|＝|AF|＋|BF||AF|·|BF|＝3，所以p＝23.二、正与反的相互转化【典例2】若命题“∀x∈R，|x|－1＋m>0”是假命题，则实数m的取值范围是( ) A．[1，＋∞) B．(－1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，1]【解析】选D“∀x∈R，|x|－1＋m>0”是假命题，所以∃x∈R，使得|x|－1＋m≤0成立是真命题，即|x|－1＋m≤0对于x∈R有解，所以m≤1－|x|，所以m≤(1－|x|)max，因为|x|≥0，所以－|x|≤0，1－|x|≤1，所以(1－|x|)max＝1，所以m≤1，所以实数m的取值范围是(－∞，1].正与反的转化正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，这充分体现了对立与统一的思想方法．一般地，题目中若出现多种成立的情况，则不成立的情形比较少，从反面思考比较简单．因此，间接法多用于含有“至多”、“至少”情形的问题中．1．命题p ：∃x ∈{x|1≤x ≤9}，x 2－ax ＋36≤0，若p 是真命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．[37，＋∞) B ．[13，＋∞) C ．[12，＋∞) D ．(－∞，13]【解析】选C.因为命题p ：∃x ∈{x|1≤x ≤9}，使x 2－ax ＋36≤0为真命题，即∃x ∈{x|1≤x ≤9}，使x 2－ax ＋36≤0成立，即a ≥x ＋36x能成立，设f(x)＝x ＋36x ，则f(x)＝x ＋36x≥2x ·36x＝12，当且仅当x ＝36x，即x ＝6时，取等号，即f(x)min ＝12，所以a ≥12，故a 的取值范围是[12，＋∞).2．已知函数f(x)＝ln x －ax －2在区间(1，2)上不单调，则实数a 的取值范围为( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23【解析】选B.由f ′(x)＝1x －a ＝1－ax x ，①当a ≤0时函数f(x)单调递增，不合题意；②当a>0时，函数f(x)的极值点为x ＝1a ，若函数f(x)在区间(1，2)不单调，必有1<1a <2，解得12 <a<1.三、常量与变量的相互转化【典例3】已知a ∈[－1，1]时，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a>0恒成立，则x 的取值范围为( ) A ．(－∞，2)∪(3，＋∞) B ．(－∞，1)∪(2，＋∞) C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1，3)【解析】选C.由题意，因为a ∈[－1，1]时，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a>0恒成立，可转化为关于a 的函数f(a)＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则f(a)>0对应任意a ∈[－1，1]恒成立，则满足⎩⎨⎧f （－1）＝x 2－5x ＋6>0，f （1）＝x 2－3x ＋2>0，解得：x<1或x>3，即x 的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞).(1)本题若利用常规方法求解，需把x 看作主元，就需要分类讨论，但是比较麻烦．而以a 为变量，则问题就变为一次函数，可以轻易解决该问题．(2)在处理多元问题时，可以选取其中的常数(或参数)，将其看作“主元”，实现主与次的转化，从而达到减元的目的．设f(x)＝x 2＋(a －1)x ＋5，若函数f(x)在区间[1，4]上的图象位于直线y ＝x ＋1上方，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．[－2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2]【解析】选A.由题意得，f(x)＝x 2＋(a －1)x ＋5>x ＋1在区间[1，4]上恒成立， a －2>－x －4x 在区间[1，4]上恒成立，令y ＝x ＋4x，其图象如图所示：由图象知y ≥4，所以－x －4x ＝－y ≤－4，所以a －2>－4，解得a>－2.四、形、体位置关系的相互转化【典例4】如图，在棱长都为1的直棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，∠BAD ＝60°，三棱锥C 1A 1BD 的体积为( )A ．33 B ．34 C ．36 D ．13【解析】选C.由棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1为直棱柱，所以AA 1⊥平面ABCD ，由题意在△ABD 中，∠BAD ＝60°，AB ＝AD ＝1，所以S △ABD ＝12 ×AD ×AB ×sin 60°＝34 ，所以VA 1ABD ＝13 ×S △ABD ×AA 1＝312 ，所以S ▱ABCD ＝2S △ABD ＝32，则直棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的体积为VABCD A 1B 1C 1D 1＝S ▱ABCD ×AA 1＝32，由题意可知三棱锥C 1A 1BD 是直棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1切去角上的4个小三棱锥而得到的．即切去4个小三棱锥为A 1ABD ，D BCC 1，D A 1D 1C 1，B A 1B 1C 1 由题意可得这4个小三棱锥的高均为AA 1，且有S △ABD ＝S △BCC 1＝S △A 1D 1C 1＝S △A 1B 1C 1 所以VA 1ABD ＝VD BCC 1＝VD A 1D 1C 1＝VB A 1B 1C 1 所以VC 1A 1BD ＝32 －4×312 ＝36.形体位置关系相互转化的技巧(1)分析特征，一般要分析形体的特征，根据特征确定需要转化的对象；(2)位置转化，将不规则几何体通过切割、挖补、延展等方式转化为便于观察、计算的常见几何体，进而求解相关问题．(3)由于新的几何体是由旧几何体转化而来，一定要注意准确理解新的几何体的特征分析；(4)得出结论，在新几何体结构中解决目标函数即可．(2021·江门一模)如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 为棱DD 1上的一点，当A 1M ＋MC 取最小值时，B 1M 的长为( )A ．2 3B ． 5C ． 6D ． 3【解析】选D.如图所示，将侧面AA 1D 1D ，侧面CDD 1C 1延展至同一平面，当A 1，M ，C 三点共线时，A 1M ＋MC 取最小值，易知四边形AA 1C 1C 为正方形，则∠CA 1C 1＝45°，且△A 1D 1M 为等腰直角三角形，所以，D 1M ＝A 1D 1＝1，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，A 1M ＝ 2 ，因为A 1B 1⊥平面AA 1D 1D ，A 1M ⊂平面AA 1D 1D ，所以A 1B 1⊥A 1M ，因此，B 1M ＝ A 1B 21 ＋ A 1M2 ＝3 .。

解析几何中的同构——方程思想、共点切线问题、抛物线与圆

解析几何中的同构——方程思想、共点切线问题、抛物线与圆1、如图所示，抛物线)0(2:2>=p px y C 上点()m T ，3到焦点F 的距离为4，A 是抛物线C 上的动点，过点A 的切线l 交x 轴于G 点，以F 为圆心的圆与直线l 及直线AM 分别相切于B 、M 两点，且直线AM 与x 轴的正半轴交于H 点．（1）求证：AF GF =；（2）求FH 的最小值．解析：（1）略2、已知抛物线22C y x =：上一点(2,2)P ，圆()(222402M x y r r -+=<≤：，过点(2,2)P 引圆M 的两条切线PA ，PB 与抛物线C 分别交于A ，B 两点，与圆M 的切点分别为E ，F .（1）当2r =,E F 所在直线的方程；（2）记线段AB 的中点的横坐标为t ，求t 的取值范围.解：（1）略（2）由题意知切线PA 、PB 的斜率存在，分别设12,k k ，于是切线PA 、PB 的方程分别为12(2)y k x -=-，22(2)y k x -=-。

设1122(,),(,)A x y B x y ,则点M(4,0)到切线PA 121221k r k +=+，两边平方整理得：22211(4)840r k k r -++-=，同理可得22222(4)840r k k r -++-=，.........................................................7分于是可知12,k k 是方程222(4)840r k k r -++-=的两个实根，则121228, 1.4k k k k r +==-又0r <≤所以[)124,2.k k +∈--，联立122(2),2,y k x y x -=-⎧⎨=⎩消x ，整理得2112440k y y k -+-=，显然10k ≠，韦达定理可知111442,k y k -=所以1121122222 2.k y k k k -==-=-同理：212 2.y k =-于是.......................................................................................................10分22121224x x y y t ++==2212122()2k k k k =+-++(]212(1)18,24k k =+--∈t 的取值范围(]8,24............................................................................................................12分3、在直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：()220x py p =>，P 为直线2y x =-上的动点，过点Р作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B .当Р在y 轴上时，OA OB ⊥.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）求点O 到直线AB距离的最大值.4、(2021年全国乙卷理科）已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ，且F 与圆M ：x 2+（y +4）2＝1上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，PA ，PB 为C 的两条切线，A ，B 是切点，求△PAB 面积的最大值．解析：（1）略式子结构特征相同（同构式）、方程思想5、（2018年浙江高考题第21题）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x <0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围．解：（Ⅰ）设00(,)P x y ，2111(,)4A y y ，2221(,)4B y y ．因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程202014(422y x y y ++=⋅即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根．所以1202y y y +=．因此，PM 垂直于y 轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎪⎨=-⎪⎩所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-，12||y y -=因此，PAB △的面积32212001||||(4)24PABS PM y y y x =⋅-=-△．因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈．因此，PAB △面积的取值范围是4．。

第2讲双曲线的定义及其应用-新高考数学大一轮复习真题源解析几何专题讲义

新高考数学大一轮复习第2讲双曲线的定义及其应用一．问题综述本讲梳理双曲线的定义及其应用．（一）双曲线的定义：平面内到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于定值2a ()1202a F F <<的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距．（二）双曲线定义的应用主要有下面几方面的应用：1．判断轨迹形状；2．求标准方程；3．求最值或范围．二．典例分析类型一：判断轨迹形状【例1】已知12,F F 是定点，动点M 满足12||||8MF MF -=，且12||10F F =则点M 的轨迹为（）A ．双曲线B ．直线C ．圆D ．射线【解析】由题意得12||||8MF MF -=<12||10F F =，所以点M 的轨迹为双曲线。

【方法小结】紧扣椭圆的定义进行判断：设平面内动点M 到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于定值2a ()0a >，即12||||2MF MF a -=，（1）若1202a F F <<，则点M 的轨迹是双曲线（包括两支）．（2）若12||||2MF MF a -=，则点M 的轨迹是双曲线的一支；若21||||2MF MF a -=，则点M 的轨迹是双曲线的另一支．（3）若122a F F =，则点M 的轨迹是两条射线．（4）若122a F F >，则点M 的轨迹不存在．【变式训练】18表示的曲线是，其标准方程是．212表示的曲线是，其方程是．314表示的曲线．【答案】1．双曲线的左支，()22141620x y x -=-≤；2．两条射线，()044y x x =-或≥≤； 3．不存在．类型二：利用双曲线的定义求轨迹方程【例1】ABC △中，()5,0B -，()5,0C ，且3sin sin sin 5C B A -=，求点A 的轨迹方程．【解析】由3sin sin sin 5C B A -=，得32sin 2sin 2sin 5R C R B R A -=⋅，∴35AB AC BC -=，即6AB AC -=， ∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）， ∵26a =，210c =，∴3a =，5c =，4b =，所求轨迹方程为()2213916x y x -=>．【方法小结】由于sin A ，sin B ，sin C 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为ABC △外接圆半径），可转化为边长的关系．再根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后求椭圆的标准方程．结合定义求轨迹方程是一种重要的思想方法．【例2】已知双曲线224199x y -=的左右焦点分别是12,F F ，Q 是双曲线右支上的动点，过1F 作12F QF ∠的平分线的垂线，求垂足M 的轨迹．【解析】设点M 的坐标为(),x y ，延长2QF 与1F M 交于点T ，连接OM ． ∵QM 平分12F QF ∠，且QM ⊥1F M ， ∴ 1QF QT =，1F M MT =．又∵点Q 是双曲线右支上的动点， ∴ 1222QF QF QT QF a -=-=，∴ 22F T a =，∴ OM a =，即点M 在以O 为圆心，a 为半径的圆上． ∵ 当点Q 沿双曲线右支运动到无穷远处时，QM 趋近于双曲线的渐近线， ∴ 点M 的轨迹是圆弧CBD ，除去点C 和D ，方程为226593x y x ⎛⎫+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭．【方法小结】求轨迹与轨迹方程的注意事项（1）求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变．（2）求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上)，又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示)．检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形．【变式训练】ABC △的顶点()5,0A -、()5,0B ，ABC △的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是（）A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．()2213916x y x -=>D ．()2214169x y x -=>【解析】如图8AD AE ==，2BF BE ==，CD CF =，所以82610CA CB AB -=-=<=．根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为()2213916x y x -=>．类型三：焦点三角形中的计算问题【例1】已知P 是双曲线2216436x y -=上一点，1F ，2F 是双曲线的两个焦点，若117PF =，则2PF 的值为________．【解析】由双曲线方程2216436x y -=知，8, 6a b ==，则2210c a b =+=．∵P 是双曲线上一点，∴12216PF PF a -==，又117PF =，∴21PF =或233PF =．又22PF a c -=≥，∴233PF =．【例2】已知双曲线22:1916x y C -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为C 右支上的一点，且212PF F F =，则12PF F △的面积等于（）A ．24B ．36C ．48D ．96【解析】依题意得21210PF F F ==，由双曲线的定义，得1226PF PF a -==，∴116PF =．∴122211616104822PF F S ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭△，故选C ．【方法小结】关键抓住点P 为双曲线C 右支上的一点，从而有122PF PF a -=，再利用212PF F F =，进而得解．双曲线上一点P 与双曲线的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求12PF PF ⋅；通过整体代入可求其面积等．【变式训练】1．设椭圆2212x y m +=和双曲线2213y x -=的公共焦点分别为1F 、2F ，P 为这两条曲线的一个交点，则12PF PF ⋅的值等于__________．【答案】3．【解析】焦点坐标为()0,2±，由此得24m -=，故6m =.根据椭圆与双曲线的定义可得12PF PF +=12PF PF -=．两式平方相减，得12412PF PF ⋅=，123PF PF ⋅=.2．设1F 、2F 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线C 在第二象限的交点为P ，若双曲线C 的离心率为5，则12cos PF F ∠=( )A ．35B ．34C ．45D ．56【答案】C ．【解析】依题意可知12PF PF ⊥，设21, PF m PF n ==，由双曲线定义知：2m n a -= ①；由勾股定理得：2224m n c += ②；又由离心率：5ce a ==③，三式联立解得8m a =，故2121284cos 255PF a PF F F F a ∠===⨯. 3．已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，122PF PF =，则12cos F PF ∠= ( )A ．14B ．35C ．34D ．45【答案】C ．【解析】由双曲线的定义有122PF PF a -==，∴122PF PF ==则2222221212121243cos 24PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===⋅. 4．已知ABP △的顶点A ，B 分别为双曲线221169x y -=左、右焦点，顶点P 在双曲线上，则sin sin sin A B P -的值等于( )A．45 BC ．54D【答案】A ．【解析】在ABP △中，由正弦定理知sin sin 284sin 2105PB PA A B a PABc --====. 5．已知P 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>上的点，1F 、2F 是其焦点，双曲线的离心率是54，且120PF PF ⋅=，若12PF F △面积为9，则a b +的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C ．【解析】由120PF PF ⋅=，得12PF PF ⊥，设设1PF m =，2PF n =，不妨设设m n >，则2224m n c +=，2m n a -=，192mn =，54c a =，解得45a c =⎧⎨=⎩，∴223b c a =-=，∴7a b +=. 类型四：利用双曲线的定义求离心率【例1】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与圆222x y a +=相切，与C 的左、右两支分别交于点A ，B ，若2AB BF =，则C 的离心率为( )A 523+B ．523+C 3D 5 【解析】依题意2AB BF =，则11122AF BF BA BF BF a =-=-=，所以2124AF AF a a =+=，又直线1BF 与圆222x y a +=相切，故1sin AF a O c ∠=，所以1cos AF b O c∠=，在12AF F △中，由余弦定理得()()()221222c s 222o 4AF a c a bO a cc+-==⋅⋅∠，化简得2232c a ab -=，所以22220b a ab --=，即2220b b a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以13b a =+21523c b e a a ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭【变式训练】已知1F ，2F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 为双曲线C 上一点，且12PF PF ⊥，1230F P F ∠=︒，则双曲线的离心率为．【解析】依题意可得12, 3PF PF c c ==，所以12223123PF P c c e a c cF ====--．类型五：利用双曲线的定义求范围或最值【例1】如图，M 是以A 、B 为焦点的双曲线222x y -=右支上任一点，若点M 到点()3,1C 与点B 的距离之和为s ，则s 的取值范围是（）A ．)262,⎡+∞⎣B ．)2622,⎡+∞⎣ C ．2622,2622⎡⎣ D ．)262,⎡+∞⎣【解析】连结MA ，由双曲线的第一定义可得：222222622MB MC MA a MC MA MC AC +=-+=+--=-≥当且仅当,,A M C 三点共线时取得最小值．故选B ．【例2】如图，点A 的坐标为()50-，，B 是圆()2251x y +-=上的点，点M 在双曲线2214y x -=右支上，求MA MB +的最小值，并求此时M 点的坐标．【解析】设点D 的坐标为)5，，则点A ，D 为双曲线的焦点，22MA MD a -==，所以2+2MA MB MB MD BD +=+≥，B 是圆(2251x y +=上的点，其圆心为(5C ，半径为1，故1101BD CD -=≥，1101BD CD -=≥，从而2101MA MB BD ++=≥，当,M B 在线段CD 上时取等号，此时MA MB +101．直线CD 的方程为5y x =-+，因点M 在双曲线右支上，故0x >，由方程组22445x y y x ⎧-=⎪⎨=-+⎪⎩ 解得5424542x y ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩所以M 点的坐标为5424542-+-⎝⎭．【方法小结】在求解有关圆锥曲线的最值问题时,如果用函数观点求解会困难重重．利用定义进行转化，则势如破竹, 能起到出奇制胜的效果。