电磁波群速度与相速度原理

电子信息工程学院Quency Chen

1.相速度与群速度

如果只考虑均匀介质中的小幅度的波，可利用描述介质的方程和麦克斯韦方程得到一常系数方程组，求解可得到解为：

)ex p(t j r k j ω-⋅ (1)的解

其中k 为波矢量，r 为空间位置矢量，ω为角频率。式(1)中的ω和k 满足：

0),(=ωk F (2)的关系，

这个关系只与介质的特性有关，称为色散关系。

式(1)描述的电磁波，ω表征波的时间变化，波矢量k 描述波的空间变化。

λπ

2=k (3)

式(3)中λ为波长，因此波矢量k=1/λ表示单位距离有多少个波，即波的数量，然后再乘以2π表示单位距离波的总相位，若把空间相位变化2π相当于一个全波，则k 表示单位距离全波的数目，k 也被称为电磁波的相位常数，因为它表示传播方向上波行进单位距离时相位变化的大小，注意这里相位单位为弧度制。

将(1)式变形为：

)]()(exp[t t j r r jk ∆+-∆+⋅ω (4)

若满足0=∆-∆t r k ω (5)，

则式(4)和式(3)一样，这说明在空间距离延长Δr 的位置处，若在时间上也滞后Δt 则信号相位与r 处t 时刻的相位保持一致。这说明r 处的波相位在Δt 时间后传播到r+Δr 处，因此将式(5)变形可得到

t

r k V ∆∆==Φω

(6), 表示波的相速度由角频率和波矢量共同决定。在真空中电磁波的相速度为c 。

折射指数n 定义为：

ωkc V c n =Φ

= (7)， 由于介质中电波相速度既可能小于真空光速，也可能大于真空光速，所以折射指数也可能大于1，也可能小于1。

如果限制ω是实数，若有一解，使得k 和n 也是实数，则代表无衰减的波传播。若k 和n 为纯虚数，则相应的波是消散波。波场强度随距离指数地减小。如果将介质等效为阻抗负载，则实数负载代表介质从输入端口全部吸收能量，然后又从输出端口全部放出能量，类似传输线特性；如果负载为虚数，则代表负载从输入端口全部吸收能量后，又从输入端口全部释放出去，因此电波就不能传播，只能到达一定的深度后就反射出去了，类似界面反射。如果k 和n 即有实部又有虚部，则波的传播伴随着衰减（或增长）。

如果ω和k 是实数，且是常数，则上述平面波将充满整个空间。波的相速度可以远大于光速，这时波的传播既不输送任何能量，也不

传送任何信息。实际上对于稳定的单频单色波，根本没有传输的概念，要利用电磁波来传输信息，本质上是传送变化量，而且变化量必须要有带宽，不可能是单色单频信号。这与“Shannon 定律”是一致的，因此要研究信息传递的速度，必须要研究有一定带宽的波包的传递速度。即群速度。

根据傅里叶变换的方法可以将波包看做单色波的叠加，波包的传播表现为单色波振幅和相位叠加效应的传播，而不是单色波的相位传播。所以波包的传播速度被定义为等幅面的传播速度，即群速度。这里先考虑最简单的情况，两个等幅度，相位和频率有一定偏差的双频信号

])()[(])()[(),(t r k k j Ae t r k k j Ae t r E ωωωω∆+-∆++∆--∆-= (8)

利用三角公式

)2

cos()2cos(2cos cos b a b a b a -+=+ )2

cos()2sin(2sin sin b a b a b a -+=+ 可以将式(8)转换为：

)()cos(2),(t kr j e t kr A t r E ωω-∆-∆= (9)

如果只考虑包络)cos(2t kr A ω∆-∆等幅度面的传播，设波包包络在Δt 时间移动了Δr 距离。注意不是单频波相位移动的距离和时间。 t kr t t r r k ωω∆-∆=∆+∆-∆+∆)()(

t r k ∆∆=∆∆ω

k

t r V g ∆∆=∆∆=ω (10) 若介质没有色散效应，则群速度与相速度一致。如真空中电磁波传播

速度恒等于k c ω=，因此k

c k k k k c ∆∆=⇒∆+∆+=∆-∆-=ωωωωω。 若介质存在色散效应，即k k k k ∆+∆+≠∆-∆-ωωωω，则群速度不等于相速度。这里还要注意一个问题就是式(9)波包传播时，两个正弦波合成后的相位因子)(t kr j e ω-的传播并不与波包包络一致，我一开始就是因为这个概念弄错了，所以一直不能正确理解和计算，花了半天时间才想明白这个问题。

图1 群速度=相速度(k=1,deltak=0.1,w=1,deltaw=0.1)

图2 群速度小于相速度(k=1,deltak=0.1,w=1,deltaw=0.05)

图2 群速度大于相速度(k=1,deltak=0.05,w=1,deltaw=0.1)

以上是从最简单的双频正弦波叠加来讨论波包的概念。式(9)中的包络与后面的相位因子是无关的，后面的相位因子类似调制中的载波。波包在传递过程中保持不变。也只有这样才能认为波包在稳定传播。如果考虑有3个单频波，分别为s1,s2和s3,则利用公式(8)可得到s12,s23,s31三个子波包。总的波包则等于2

)312312(s s s ++，根据式(10)则可以得到3个群速度VG12，VG23，VG31，若这3个群速度不相等，则波包包络不能稳定传输（或者产生更高阶的波包），反过来若要波包稳定传输则必须VG12=VG23=VG31.即ω对k 的函数必须是单调的（或者在ω，k 附近单调）。则将式(10)进一步基本化为式

(11)

k

k V k t r V g g ∂∂=⇒∆∆=∆∆=)(ωω (11) 其中)(k ωω=由色散关系决定。将式(11)可变为：

0)(=∆∂∂-∆⇒∂∂==∆∆t k

r k V t r g ωω (12) 0=∆⋅∆-∆⋅∆t r k ω (13)

如果从0位置0时刻开始则0=⋅∆-⋅∆t r k ω (14)

若考虑多个单频波叠加可表示为：

......])2(2[)2(])1(1[)1(),(+⋅-⋅+⋅-⋅=t k r k j e k A t k r k j e k A t r E ωω (8) 若考虑到实际上波包是由无数个单频信号组成，可以写成积分形式为：

⎰-=dk t k kr j e k A t r E ))(()(),(ω (15)

式15中E(r,t)中的r 和t 表示波包的r 和t 。