关于导数的29个典型习题

关于导数的29个典型习题

习题1设函数在0=x 的某邻域内1

C 类(有一阶连续导数)，且.0)0(,0)0(≠'≠f f 若)0()2()(f h f b h f a -+在

0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定b a ,的值。

解 由题设知 0)0()1()]0()2()([lim 0

=-+=-+→f b a f h f b h f a h .

.01,0)0(=-+∴≠b a f 由洛比达法则知

).0()2(1

)

2(2)(lim )0()2()(lim 000f b a h f b h f a h f h bf h af h h '+='+'=-+=→→洛,0)0(≠'f 故.02=+b a 联立可

解出.1,2-==b a

习题2 设,0,00,)()(⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=-x x x

e x g x

f x

其中)(x g 有二阶连续导数，且1)0(,1)0(-='=g g .(1) 求);(x f '(2) 讨论

)(x f '在),(+∞-∞上的连续性.

解 (1) 当0≠x 时，用公式有

,)1()()()(])([)(2

2x e x x g x g x x e x g e x g x x f x

x x ---++-'=+-+'='

当0=x 时，用定义求导数，有

.21)0()(lim

)0(2

0-''=-='-→g x e x g f x

x 二次洛 ⎪⎩

⎪⎨

⎧=-''≠++-'='∴-.0,21)0(0,)1()()()(2x g x x e x x g x g x x f x

(2) 因在0=x 处有

).0(2

1)0(2)(lim 2)1()()()(lim )(lim 000f g e x g x

e x e x g x g x x g x

f x x x

x x x '=-''=-''=+-+'-''+'='-→--→→洛

而)(x f '在0≠x 处连续，故).,()(+∞-∞∈'C x f

习题3 证明：若022=++++c y b x a y x （圆），其中c b a ,,为定数),04(22>-+c b a 则

=+x d y d dx dy

222

3

2])(1[定数。 证 求导，,022='++'+y b a y y x 即.22b

y a x y ++-

=' 再导一次，,02222

=''+'+''+y b y y y 即 .2)1(22b y y y +'--='' )(.42

1...1)2(21...)1(22

22

3

2定数c b a y b y y y -+-=='++-=='''+∴

注

c b a 42

122

-+恰是圆022=++++c y b x a y x 的半径. 习题4 证明：若)(x f 在),(+∞a 内可导，且,0)]()([lim ='++∞

→x f x f x 则.0)(lim =+∞

→x f x 证 作辅助函数,)(,)()(x

x

e x G e x

f x F ==应Cauchy 中值定理.

.

)()(,0,0,0)]()([lim εε<'+⇒>∀>∃>∀∴='++∞

→x f x f A x A x f x f x A x >∀,由Cauchy 中值定理有

x A G F A G x G A F x F <<''=--ξξξ,)

()

()()()()(（显然0)(≠'ξG ）或

)()()()(1)()(ξξf f e e e A f e x f e e A f x f A x A x x A x A '+=--=---- 或 (*)......)1()()()()(x A x A e f f e A f x f --+⋅'++⋅≤ξξ 因 ,0lim =-+∞

→x

A x e

即 .1,,11<<⇒>∀>∃--x A x A e e A x A A 与ε

于是，εε2)()(1+⋅<⇒>∀A f x f A x .即.0)(lim =+∞

→x f x 习题5 设)(x f 在),[+∞a 上有二阶导数，且,)(0M x f ≤

).()(02+∞<≤≤''

证 ),[+∞∈∀a x 以及任意),(,0+∞∈+>a h x h ，则有

].,[,)(!

21

)()()(2h x x h f h x f x f h x f +∈''+

'+=+ξξ即 ].,[),(2

)]()([1)(h x x f h

x f h x f h x f +∈''--+=

'ξξ 由题设知.0),,[,2

2)(20>+∞∈+≤

'h a x M h

h M x f 下面求,h 使 2022)(M h h M h g +=

为最小。为此令,0212)(220=+-='M h M h g 解出,22

00

M M h =而,04)(30

>=''h M h g 故知)(h g 在0h 处为最小. .2)(200M M h g = 从而可知

))()(),()(,0().,[,2)(020h g x f h g x f h a x M M x f ≤'≤'>∀+∞∈≤'故

习题 6 设函数].1,0[)(C x f ∈在)1,0(内可导，且.1)1(,0)0(==f f 试证),1,0(,,,∈∃∀ηξb a 正数使得

.)

()(b a f b

f a +='+'ηξ 证 取数).1,0(∈μ由介值定理知),1,0(∈∃c 使.)(μ=c f 在区间]1[c ],0[，

与c 上分别应用微分中值定理有