数学分析简明教程答案数分5_微分中值定理及其应用

f f
'(x11) nx1n11 '(x12 ) nx1n21
p 0 p 0,
f
'(x13 )
nx1n31
p
0
于是就存在x21 (x11, x12 ), x22 (x12 , x13 )使得f ''(x21) f ''(x22 ) 0, 即
f f
''( x21 ) ''(x22 )
值为零。那么由罗尔定理可知存在x0 (x1, x2 ) [0,1], 使得f '(x0 ) 0. 但是f '(x) 3x2 3在(0,1)内的值域为(3, 0) 是不可能有零点的,矛盾。因此有:方程
x3 3x c 0(c为常数)在区间[0,1]内不可能有两个不同的实根。
(2)当n 2时,方程至多只可能有两个实根,满足所证。
x
0.
证明：由拉格朗日中值定理可知函数f (t) arctan t在区间[0, x]上有 (0, x), 使得
即有 1 1 2
'( x01 ) '(x02 )
nx0n11 nx0n21
p p
0 (*), 0
再次利用罗尔定理可以知道,存在x0 (x01, x02 ), 使得f ''(0) 0, 即
f ''(x0 ) n(n 1)x0n2 0,
显然必有x0 0, 那么就有x01 0, x02 0.
那么由于n 2k为偶数,可以知道此时不存在满足(*) 式的实数p.因此当n 为偶数时方程
f '() f ( y) f (x) , yx
即有
1
ln
y y
ln x
x
, 于是有
min 1 ln y ln x max 1 ,
t xt y
yx
t xt y
故有
1 y
ln
y y
ln x
x
1 x
, 整理即得
y x ln y y x .
y
xx
叁
(5)
1
x x
2
arctan
x
x,
至多有两个实根。
当n 2k 1 2时,设方程x n px q 0有三个实根,即存在实数x1 x2 x3 x4使得函 数f (x) xn px q 0成立。那么利用罗尔定理可知存在
x11 (x1, x2 ), x12 (x2 , x3 ), x13 (x3 , x4 )
使得f '(x11) 0, f '(x12 ) 0, f '(x13) 0, 即有
当n 2k 2时,设方程x n px q 0有三个实根,即存在实数x 1 x2 x3使得函数 f (x) xn px q 0
成立。那么由罗尔定理可知存在x01 (x1, x2 ), x02 (x2 , x3 ), 使得f '(x01) f '(x02 ) 0, 即
f f
max
f '(t)
max cos t
1,
整理后即得 sin x sin y x y .
(2) x tan x , x ( , ), 等号成立当且仅当x 0; 22
证明：由拉格朗日中值定理可知函数f (t) tan t, 在区间[0, x]上存在 (0, x) 使得
f '( ) tan x tan 0 tan x ,
第五章 微分中值定理及其应用
第一节 微分中值定理
1.证明：(1)方程x3 3x c 0(c为常数) 在区间[0,1]内不可能有两个不同的实根;
(2)方程xn px q 0(n为正整数, p, q为实数), 当n为偶数时至多有两个实根; 当n 为奇数时,
至多有三个实根。
证明：(1)设在区间[0,1]内方程x3 3 x c 0 有两个实根,即有x1 x 2 [0,1] 使得函数 f (x) x3 3x c
f '( ) f (0) f (x) ,即f '( ) 1 e x ; 于是有
0x
x
1 ex f '( ) e e0 1; x
整理即得ex 1 x.
综上有ex 1 x, x 0.
(4) y x ln y y x , 0 x y;
y
xx
证明：由拉格朗日中值定理可知函数f (t) ln t在区间[x, y]上有 (x, y), 使得
壹
2.设f (x) xm(1 x)n, m, n为正整数,x [0,1], 则存在(0,1) 使得
m n
1
.
来自百度文库
证明：容易知道f (0) f (1) 0, 于是作为多项式函数, 必有 (0,1) 使得f '( ) 0, 即
m m1(1 )n n m (1 )n1 0,
由于 0,1 0,因此整理可得m(1 ) n, 即有
n(n
1)
x n 21
2
n(n
1)
x n2 22
0 .
0
由于n 2k 1 2, 于是此时必有x 21 x 22 0;但是由于x21 ( x11, x12 ), x22 ( x12 , x13 ), 可知必有
x21 x22 ,出现了矛盾。
因此当n为奇数时,方程x n px q 0(n为正整数, p ,q 为实数)至多有三个实根。
m n 1
成立,得证。
3.应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：
(1) sin x sin y x y , x, y (, );
证明：由拉格朗日中值定理可知函数f (t) sin t, 在区间[x, y]上存在 (x, y) 使得
f
'( )
sin
x x
sin y
y
,
于是
sin x sin y x y
证明：当x 0时,由拉格朗日中值定理可知函数f (t) e t在区间[0, x] 上,存在 (0, x) 使得
f '( ) f (x) f (0) ,即f '( ) e x 1; 于是有
x0
x
ex 1 f '( ) e e0 1; x
整理即得ex 1 x.
当x 0时,由拉格朗日中值定理可知函数f (t) e t在区间[x, 0] 上,存在 (0, x)使得
x0
x
于是
tan x x
min
f '(t)
min
1 cos2 t
1,
整理后即得 x tan x .
对于函数g(x) tan x x, 满足g(0) 0, 且有g '(x) 0, 当x ( , 0) (0, ); 即当x 0 时
2
2
必有 x tan x 成立。
贰
(3)ex 1 x, x 0;