动量方程和动量矩方程要点
动量与动量矩
三）动量矩定理下面研究质点相对于某一根指定的直线的运动，这根直线称为“轴线”．这时着重的是力矩而不是力．1．力对于轴线的力矩图3－1力F对轴线AB的力矩等于力F在垂直于轴线的平面S中的投影F⊥再乘以其与轴线AB的垂直距离d（一般称之为力臂）．如果力F本身就在与AB垂直的平面内，力矩就等于F乘以F与AB的垂直距离d。
力F对轴线AB的力矩记为M，ABAB M F =⊥ d（3．15）通常按右手法则来规定力矩的指向，将右手的四指捏成拳状以表示力矩驱使物体转动的趋势，伸直的大拇指的指向即力矩的指向2．对于轴线的动量矩和动量矩定理 （1）质点与轴连结．如果质点与轴AB 相连结，则质点必在垂直于AB 的平面内作圆周运动．质点所受外力对AB 轴的力矩为（3．16）mv 是质点的动量，R 是动量与轴AB 间的垂直距离．仿照力矩，我们将 mv 与R 的乘积称为质点对于AB 轴的动量矩（角动量） AB J ，即AB AB M J =（3. 17） 这就是动量矩定理． （2）转动惯量．将上式中的 AB J 以质点绕轴转动的角速度 ω表示2AB J mR ω= （3. 18）2mR 称为质点对AB 轴的转动惯量，记为I AB ，则AB AB J I ω= 动量矩定理（3．17）即（3．19）式中 α是质点绕轴转动的角加速度，这与牛顿第二定律 F ma =多么相似！从这类比中还可以看出， I 与 m 相对应， I 反映绕轴转动的惯性，所以称为转动惯量．（3）质点并不与轴连结．图3－2所讨论的质点并不与轴AB 连结，也不一定是绕轴转圈，只是相对于轴来研究质点的运动情况．为了方便，取AB 为直角坐标系的Z 轴．如质点的动量 m v 在 xy 平面内，它相对于z 轴的动量矩为sin z J mvr θ= （3．20）若动量 m v 不在 xy 平面内，我们可以将它分解为与 xy 平面垂直和与xy 平面平行的分量，其中与 xy 平面垂直的动量分量对Z 轴的动量矩为零．所以只要考虑在 xy 平面内的动量分量．动量矩的正负和力矩一样，也用右手法则决定，和Z 轴正指向相同者取正值，反之为负值．由牛顿第二定律可以导出一般情况下的动量矩定理（3．21）这是它的微分形式．注意在一般情况下，此定理不宜表为 M Ia =，除非质点的转动惯量I 是常数．一般说来，质点运动时，它与转轴的距离不是常数，所以I 也不是常数．我们还可以考察力矩的时间累积效果，将上式积分一次,得2121t zzzt M dz JJ =-⎰ （3．22）式中 1z J 与 2z J 分别表示质点在时刻 1t 及 2t 的动量矩，力矩对时间的积分称为冲量矩．这就是对z 轴动量矩定理的积分形式，适宜用来研究冲击作用．3．动量矩守恒原理如果质点所受的力对于Z 轴的力矩为零，这时冲量矩自然也为零，由动量矩定理可得出0z J =或 1z J = 2z J （3．23）上面两式的意义相同，它们指出如果质点所受的力对Z 轴的力矩为零，则质点对该轴的动量矩守恒．如果质点与轴线连结而绕轴转动，则动量矩守恒原理为2J mvR mR ω===常数 （3．24）式中R 为质点与轴线间的垂直距离， ω为质点绕轴转动的角速度，上式意味着质点绕轴转动的角速度不变．如果质点并非固定连结于轴上，则动量矩守恒原理为2J m ρϕ== 常数 （3．25） 例如在舞蹈或滑冰表演中，演员常绕自身的轴旋转．略去摩擦，他所受的重力对转轴的力矩为零，动量矩守恒．当演员将两手合抱于胸前，旋转就加快起来；演员将两臂伸展出去，旋转就减慢。
第17章 动量定理和动量矩定理总结
第17章 动量定理和 动量矩定理工程力学学习指导第17章 动量定理和动量矩定理17.1 教学要求与学习目标1. 正确理解动量的概念，能够熟练计算质点系、刚体以及刚体系的动量。
2. 认真理解有关动量定理、动量守恒定理以及质心运动定理，掌握这些定理的相互关系。
3. 正确而熟练地应用动量定理、动量守恒定理以及质心运动定理解决质点系动力学两类问题，特别是已知运动求未知约束力的问题。
4. 学习动量矩定理时，首先需要认识到，在动力学普遍定理中，动量定理和动量矩定理属于同一类型的方程，即均为矢量方程。
而质点系的动量和动量矩，可以理解为动量组成的系统（即动量系）的基本特征量——动量系的主矢和主矩。
两者对时间的变化率等于外力系的基本特征量——力系的主矢和主矩。
5. 认真理解质点系动量矩概念，正确计算系统对任一点的动量矩。
6. 熟悉动量矩定理的建立过程，正确应用动量矩定理求解质点系的两类动力学问题。
7. 于作平面运动的刚体，能够正确建立系统运动微分方程和补充的运动学方程，并应用以上方程求解刚体平面运动的两类动力学问题。
17.2 理 论 要 点17.2.1 质点系的动量质点系中所有质点动量的矢量和（即质点系动量的主矢）称为质点系的动量。
即i ii m v p ∑=质点系的动量是自由矢，是度量质点系整体运动的基本特征量之一。
具体计算时可采用其在直角坐标系的投影形式，即⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫===∑∑∑i iz i z i iy i y iix i x v m p v m p v m p质点系的动量还可用质心的速度直接表示：质点系的动量等于质点系的总质量与质心速度的乘积，即C m v p =这相当于将质点系的总质量集中于质心一点的动量，所以说质点系的动量描述了其质心的运动。
上述动量表达式对于刚体系也是正确的。
17.2.2 质点系动量定理质点系动量定理建立了质点系动量的变化率与外力主矢量之间的关系。
其微分形式为(e)(e)R d d i it ==∑pF F 质点系的动量对时间的变化率等于质点系所受外力系的矢量和。
动量定理和定量矩定理
2）受力分析：如图所示
设流体密度为 ，流量为 ，（流体在单位时间内流过截面的体积流量，定常流动时， 是常量）在 时间内，流过截面的质量为 ，其动量改变量为
即
由
得
令
其中 为管子对流体的静约束力，由下式确定
则有
为流体流动时，管子对流体的附加动约束力。可见，当流体流速很高或管子截面积很大时，流体对管子的附加动压力很大，在管子的弯头处必须安装支座（图12.14）
（2）微运动的周期与运动规律
解：
1．研究对象：圆轮
2．分析受力：如图12.35所示
3．分析运动：轮作平面运动，轮心沿作圆周运动
4．列动力学方程，求解：
5．求
6．微运动时
由式令
解得
所以
周期
解：
1．分析运动：
2．计算
例12.9图12.21所示椭圆规尺，质量为，曲柄质量为，滑块和的质量为，设曲柄和均为均质杆，且，曲柄以转动，求：此椭圆规尺机构对转轴的动量矩。
解：
1．分析运动：规尺作平面运动
2．计算
物块速度均通过转轴，对的动量矩为，杆定轴转动，对轴的动量矩为
四． 心为定点的动量矩定理
引言：求均质轮在外力偶的作用下，绕质心轴的角加速度
刚体的平面运动微分方程
设刚体具有质量对称平面，作用在刚体上的力系可以简化为在此平面内的力系，如图12.31所示。以为基点建立平动坐标系，则刚体相对于此质心的动量矩为
刚体平面运动岁质心平动相对质心转动
随质心平动
相对质心转动
刚体平面运动微分方程：
例12.15已知：质量为半径为的均质圆轮放在倾角为的斜面上，由静止开始运动。设轮沿斜面作纯滚动。求：（1）轮心的加速度，（2）轮沿斜面不打滑的条件。
第九章 动量定理和动量矩定理
i
i
mi aC F i
(e)
C
i
i
i
C
i
——质心运动定理： 质点系的质量与质心绝对 加速度的乘积等于作用于 质点系的外力的主矢。 质点系的内力不影响质心 的运动，只有外力才能改 变质心的运动。
i
i
C
i
该定律的投影式为： 直角坐标式
mi aCx F (e) mi aCy F iy (e) mi aCz F iz 自然坐标式
F
(e) ix
0
则：vCx＝恒代数量
四、解题步骤 分析质点系所受的全部外力，含主动力和约束反力。 为求未知力，可先计算质心绝对坐标，求出质心绝 对加速度，然后用质心运动定律求解。
在外力已知的条件下，欲求质心的运动规律，其解 法与质点动力学第二类问题相同。
如果外力主矢为零，且初始时质点系为静止，则质 心坐标保持不变。分别列出两个时刻质心的坐标， 令其相等，即可求得所求质点的位移。
质点系动量的增量等于作 用于质点系的外力元冲量 的矢量和。
由dp d I i( e) F i( e ) dt
d mi v i dt mi ai F i( e )
质点系动量对时间的一阶 导数等于作用于质点系的 外力的矢量和（主矢）。 积分形式 由 dp F i( e ) dt
M O (F )
z
F
mv
〃Q MO(F) O y
x
直角坐标投影式为
d M x (mv ) M x (F ) dt d M y (mv ) M y (F ) dt d M z (mv ) M z (F ) dt
流体力学第三章(7)动量方程及其应用及动量矩方程
对于方程右侧的动量变化率：只要知道两截面上的平均速度和流量就可以 计算出来。
2、外力和速度的方向问题。与坐标相同时为正，与坐标相反时为负。公 式右边的减号是固定的。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三 、动量方程式的应用（重点）
1、流体对管道的作用力问题 2、自由射流的冲击力问题
1、流体对管道的作用力问题—动量方程式的应用之
要求密度为
V
vdV
A
v(v
dA)
这就是用欧拉方法表示的动量方程式，这个方程式既适用于控制体固定的情况， 也适用于控制体运动的情况。在运动时需将速度v换成相对速度，并在控制体 上加上虚构的惯性力。
动量方程式中，需注意
1. F 是作用在控制体内质点系上的所有外力的矢量和，既包括控制体外
部流体及固体对控制体内流体的作用力（压力、摩擦力），也包括控制体
（I）部分通过A1面非 原质点系的流入动量
制体的总动量。
（II）部分通过A2 面流出的动量
对于控制体的全部控制面A：
末动量
初动量
F
d( mv)
dt
lim
t 0
1 t
{[
V
v dV ]t t
t A
v(v dA)
[
V
v dV ]t }
t
2vz z 2
]
dvz dt
作用在质点系上的总外力就不必通过分布压强的积分，而是通过求质点系动量变 化率的办法计算出来，开辟了求解流体动力学问题的新途径。
F
d ( mv)
dt
由于各个质点速度不尽相同，似乎要计算质点系的动量变化 率采用拉格朗日法比较适宜，由于运动的复杂性，很困难。
动量定理和动量矩定理
应用质心运动定理解题步骤
1）取质点和质点系为研究对象； 2）分析质点系所受的全部外力，包括主动力和约束反力； 3）根据外力情况确定质心运动是否守恒； 4）如果外力主矢等于零，且在初始时质点系为静止，则质 心坐标保持不变。计算在两个时刻质心的坐标（用各质心 坐标表示），令其相等，即可求得所要求的质点的位移； 4）如果外力主矢不等于零，计算质心坐标，求质心的加速 度，然后应用质心运动定理求未知力。 5）在外力已知的条件下，欲求质心的运动规律，与求质点 的运动规律相同。
动力学普遍定理包括动量定理、 动量矩定理、动能定理。这些定理建 立了表现运动特征的量（动量、动量 矩、动能）和表现力作用效果的量 （冲量、冲量矩、功）之间的关系。
9.1 动量定理
1.动量 1）质点的动量
质点的质量与速度的乘积称为质点的动量， 记为mv。
动量是矢量，方向与速度方向相同。动量的单位为 N ·s。
4.质点系的动量定理
设由n个质点组成的质点系。其中第i个质点的
动 分别量为为Fmri(iiv)与i，Fr作i(e，) 用由在质该点质的点动上量的定外理力有与内力的合力
d dt
r (mivi
)
r F (e)
i
r F (i)
i
(i 1, 2,, n)
将n个方程相加，即得
d
r (mv
)
解得
y
v FOy
O
v FOx
x
C
pv
mgr A
FOx ml(a sin 2 cos) FOy mg ml(a cos 2 sin)
《高等流体力学》第2章 流体动力学积分形式的基本方程
（φ 为广延量）
取τ= τ0(t)为控制体， A= A0(t)为控制面：
A2 ( A02 )
τ 03
′ A02
v∆t
A1 ( A01 )
′ A01
n
τ 02
v∆t
τ 01
dA0
τ = τ 0 (t )
A = A0 ( t )
n
′ ( t + ∆t ) = A′ A0
∆ = I I ( t + ∆t ) − I ( = t)
I在∆t内的增量为：
∫∫∫τ
01 +τ 02
φ ( r , t + ∆t ) dτ 0 − ∫∫∫
τ 01 +τ 03
φ ( r , t ) dτ 0
∫∫∫τ
φ ( r , t + ∆t ) − φ ( r , t ) dτ 0 + ∫∫∫ φ ( r , t + ∆t ) dτ 0 τ 02 01
D ∂φ Dφ φ dτ 0 = + ∇ φ= v + φ∇ ⋅ v ⇒ ∫∫∫ τ 0 Dt ∂t Dt Dt ∂t
( )
Dφ + φ∇ ⋅ v dτ ∫∫∫τ Dt
Dρ + ρ∇ ⋅ v = 0 （微分形式连续方程） 如果 φ = ρ ，则： Dt (2) D D ( ρφ ) ρφ dτ 0 ∫∫∫ = + ρφ∇ ⋅ v dτ ∫∫∫ τ τ 0 Dt Dt ρ Dφ ρ Dφ Dρ dτ = ∫∫∫ +φ + ρ∇ = ⋅ v dτ ∫∫∫ τ τ Dt Dt Dt
∂x′ ′ = ∇xα iβ α i′α = ∂xβ ∂φ ∂x′ ∂φ ∂φ ∴∇′φ = i′α = iβ α = iβ = ∇φ ′ ′ ∂xα ∂xβ ∂xα ∂xβ
可压缩流体的动量方程和动量矩方程
一、概述可压缩流体是指密度随着压强和温度的变化而变化的流体。
在空气动力学和航天动力学中，可压缩流体动力学是一个重要的研究领域。
在研究可压缩流体运动时，动量方程和动量矩方程是非常重要的方程。
本文将从动量方程和动量矩方程入手，系统地阐述可压缩流体的动力学原理。
二、可压缩流体的动量方程动量方程描述了流体内部的动量变化。
对于可压缩流体，其动量方程可以通过Navier-Stokes方程推导得到。
Navier-Stokes方程是描述了流体运动的基本方程之一，其形式如下：∂(ρv)/∂t + ∇•(ρv⃗v⃗ ) = -∇p+ ∇•τ+ ρf⃗其中，ρ表示流体密度，v表示流体速度，t表示时间，p表示压强，τ表示应力张量，f⃗表示外力。
对于可压缩流体，动量方程还需要考虑压力和密度对流体速度的影响。
可以通过状态方程将压力和密度通联起来，从而得到包含压力-密度项的动量方程。
在一维情况下，动量方程可以表达为：∂(ρv)/∂t + ∂(ρv^2)/∂x = -∂p/∂x+ ρf在三维情况下，动量方程会更加复杂，需要同时考虑各个方向上的动量变化。
通过动量方程，我们可以清晰地了解流体内部的动量传递和转化过程，以及外力对流体动量的影响。
三、可压缩流体的动量矩方程动量矩方程描述了流体内部动量矩的变化。
对于可压缩流体，动量矩方程可以被用来分析流体内部旋转运动的特性。
动量矩方程可以通过Euler方程推导得到。
Euler方程是Navier-Stokes方程在无粘性流体情况下的特殊形式，其表达式如下：∂(ρv)/∂t + ∇•(ρv⃗v⃗ ) = -∇p+ ∇•τ+ ρf⃗在此基础上，再根据流体内部动量矩的性质，可以得到动量矩方程的表达式。
动量矩方程不仅包含了流体速度的变化，还考虑了流体内部的角动量变化。
对于可压缩流体，动量矩方程可以表达为：∂(ρv)/∂t + v•∇(ρv) +∇•(τ) = ρf⃗通过动量矩方程，我们可以研究流体内部旋转运动的特性，分析流体内部动量矩的传递和转化情况，为深入理解可压缩流体的运动提供重要的理论基础。
第04章3-动量定理及动量矩定理
33
解： （1）定常流动连续方程
v1R12 vr2 2R2 b2或Q vr2 2R2 b2
Q
vr2 2R2 b2
34
(2) 动量矩方程：
T轴
(R 2v2 R v1 0 v 2 R 2
1v
1
)m
对坐标原点的动量矩
25
dB dt
t
CV
r
v
dV
CS
r
v
v
ndA
t
CV
r
v
dV
CS
r
v
v
ndA
T
• 作为一种近似，忽略表面力和对称质量力所 产生的力矩。
T=r
F s
r Fm
T轴
T轴
• 对于定常流动， 0 ，有：
t
rv v ndA T
CS
一、角动量方程 二、角动量方程应用
叶轮机分析时往往取转轴为z轴，为 圆柱坐标系。
n)dA
F
1-3 定常动量方程
d
mv
dt
sys
t
CV
vdV
CS
v(v n)dA
F
t
CV
vdV
0
v(v n)dA F CS
定常流动时，作用在控制体上的合力等于流出控 制面的净动量流率。
直角坐标系下的定常动量方程：
Fx
u v n dA
CS
Fy
v v n dA
0＝ρQ1v1 –ρQ2v2 – ρQ0v0 cosθ Q1 –Q2 ＝ Q0 cosθ
连续方程： Q1 ＋Q2 ＝ Q0
第十六章 动力学基本方程动量定理动量矩定理.ppt
若vcx0 = 0, 则xc =常量，质心在x轴的位置坐标保持不变。
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例4 质量为m1，长为l的小车上，一质量为m2的人开始时立在 A点，车与人处于静止状态。若不计小车与地面间的摩擦，试
求当人在车上由A点走到B点时，小车向左移动的距离。
y
a
l
A
B
x
解：取小车和人组成的质点系为研究对象，开始时系统 静止，所以系统质心的位置坐标xc保持不变。
在电动机底座上的约束反力。
解: 取整个电动机作为质点系研究， 定子质心加速度a1=0，
转子质心O2的加速度a2=e2，
方向指向O1。
电动机外壳和定子的质心坐标：x1=y1=0
转子质心的坐标:x2=ecosωt,y2=esinωt 质点系质心的坐标：
xc yc
= =
m1x1 + m2 x2
m1 m1 y1
2. 质点系的动量矩定理
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( ) ( ) ( ) 对质点Mi：ddt mz mi vi = mz (Fi ) = mz Fi(e) + mz Fi(i)
( ) (( )) ( ) 对质点系：
d dt mz mi vi
=
因为内力总是成对出现，所以
mz Fi(e) + mz Fi(i ) mz Fi(i) = 0
=
M
(e) z
上式称为刚体定轴转动微分方程。
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三、转动惯量
1. 定义：J z = miri2
若刚体的质量是连续分布，则 J z = m r 2dm
刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它的 大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。
动量定理和 动量矩
动量和动量矩定理
如果不考虑鱼雷运动过程中的弹性变形，以及由于然料消耗引起的鱼雷重量和重心位置的变化，可以把鱼雷看成一个常质量的刚体。
刚体的空间运动由重心的运动和绕中心的转动两部分组成。
描述重心运动规律的是动量定理。
描速重心转动规律的是动量矩定理。
所以动量和动量矩定理是建立鱼雷运动方程组的出发点。
一、动量定理
用矢量表示鱼雷的动量，用矢量表示作用在鱼雷上的所有外力之和，在静止坐标系中的动量矩定理是：
(2-88
) 在建立鱼雷重心运动方程时，选用原点在鱼雷重心的半速度坐标系为参考系，因为在半速度系中重心运动方程形式最简。
半速度系的轴指向重心速度方向，轴垂直于轴OX并处于包含OX的铅垂面内指向上方，轴垂直于平面，从雷尾往前看指向右侧。
鱼雷运动过程中半速度系是运动的，以矢量表示半速度系的旋转角速度，表示动量的矢量端点在半速度系中的相对速度，则以半速度坐标系为参考系的动量定理是。
(2-89
) 式中叉乘可写为矩阵形式：
式中是沿半速度系三个轴的单位矢量。
显然，矢量在半速度系三个轴上的分量是
式中m是鱼雷质量，v是鱼雷速度，即重心速度。
将上式代入式(2-89)得到
(2-90
) 参阅图1-4，矢量在半速度系三个轴上的分量是
(2-91
) 将式(2-91)代入式(2-90)得到
(2-92
)
式中是m鱼雷质量，v是鱼雷速度；是弹道倾角；
是弹道偏角；分别是外力矢量F在半速度系三个轴上的分量。
式(2-92)就是以半速度系为参考写出的动量定理，是建立鱼雷重心运动方程组的出发点。
第12章-动量矩定理
旳乘积： J z m z2
细直杆 均质圆环 均质圆板
J z /m 1 / 3 l2 z 0.5774 l
J z /m R2 z R
J z /m 1 / 2 R2 z 0.7071R
z 假如把刚体旳质量全部集中在与 轴相距为ρ z 旳点
上，则此质点对 z 轴旳转动惯量与原刚体相同。
四、平行轴定理
J z J z md 2
定理：刚体对任意轴旳转动惯量，等于刚体对 于经过质心、并与该轴平行旳轴旳转动惯量， 加上刚体旳质量与两轴间距离平方旳乘积。
z
O
z
d
ri
ri
C
O
mi
zi
y( y)
C点为质心；
O z 为质心轴，O z
为与之平行旳任
xi
一轴，距离为 d 。
x d x yi J z mi ri2 mi ( xi2 yi2 )
d dt
(
J
z
)
Jz
Mz
dω dt
(Fi
)M
M z (Fi )
z
(
FN
i
)
Fi
或
Jz
d2
dt2
M z (Fi )
或 J z M z (Fi )
FNi
与 m a Fi 比较
例：已知滑轮半径为 R ，转动惯量为 J ，带动滑轮
旳皮带拉力分别为 F1 和 F2 。求滑轮旳角加速度 。
F2 解：根据定轴转动微分方程
d(ri
mivi ) dt
ri
F (e) i
ri
Fi(i)
(i 1,2,, n)
相加得
定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律
N B
M
h
C
A
l/2 l
解 碰撞前 M 落在 A点的速度
vM (2gh)1 2 碰撞后的瞬间, M、N具有相同的线速度 u l
2
把M、N和跷板作为一个系统, 角动量守恒
解得
mvM
l 2
J
2mu
l 2
1 12
ml 2
1 2
ml 2
mvMl 2 6m(2gh)1 2
ml2 12 ml2 2 (m 6m)l
r 若质点以角速度 作半径为 的
圆周运L动，r相对圆p心的r角动m量v
L rmv mr2 J
L
o
p
m r
方向：沿轴向上或向下
质点匀速圆周运动：
L 恒矢量
二、刚体定轴转动的角动量
刚体以角速度 绕z 轴转动。刚体上任
一质元绕z 轴作圆周运动的角动量为：
z
ri
m
i
vi
Li rimivi miri2
演员 N 以 u 起 跳, 达到的高度
h u 2 l 2 2 ( 3m )2 h
2g 8g m 6m
练习．已知质点质量为 m ，运动方程为
v
v
v
r a costi b sin t j
a （其中
，b ，
均为常数），
求：（1）质点对原点的力矩； （2）质点对原点的角动量。
3-2 动量矩和动量矩守恒定律
O
v m
一、质点的角动量(动量矩)
v
O’
v 质点m 以速度 在v 空间里运动，某时刻相对于原点O的位
r 矢为 。定义质点相对原点o的角动量为：
L r p r mv mr v
动量方程和动量矩方程
v1 v r1 ,
v 2 v r2
4 Q ( r1 r2 )
2
（5）代入动量矩方程，解得：
v ( r1 r2 ) r1 r2
2 2
4 Q ( r1 r2 )
d ( r1 r2 )
2 2 2
M Q ( v r1 v r2 )
d
t dV
r
S
V
n
( r v )d V
V
V
(r v )
( r v ) ( v n )d S M
而外力矩： M 于是有：
( r f )d V
V
S
( r p n )d S
V
(r v ) t
14
水流对喷嘴的作用力
已知：A1、 A2、 p1 - pa
求：水流给喷嘴的合力
图2.6.6 喷嘴
《流体力学》讲义 15
解: （1）取控制体：图中虚线所围部分； （2）设喷嘴壁面给水流控制体的合力为F，方向向左； （3）列动量方程(表压力)： 1
F ( p 1 p a ) A1 Q ( v 2 v1 ) F ( p 1 p a ) A1 Q ( v 2 v1 )
x
r
V
zu xv
S
y
z
《流体力学》讲义
5
动量积分方程和动量矩积分方程的应用
水流对弯管的作用力 已知：A1、A2，θ，Q， 不计重力。 求：固定弯管所需的力F。
v ( v n ) ds
S
V
理论力学PPT课件第5章 动量定理、质点系动量定理、质点系动量矩定理
A
o
G
B
x
2020年4月20日
15
偏心电机
e m2
F Oy
FOx
思考：偏心电机转动时，支座的动约束力为多大？
2020年4月20日
16
3.动量守恒与质心运动守恒
动量守恒 若：FRe＝0 则：p = 常矢量 若：FRex＝0 则：px = 常量
质心运动守恒（不动）
1) 若 FRe 0
ac 0
由动量矩定理：
dLOz dt
M
e Oz
d d t(2 W gr2A2 W gr2 BW gvC2 r)M W 2 r
2 W gr2A2 W gr2BW g2raCM 2 W r
2020年4月20日
49
2 W gr2A2 W gr2BW g2raCM 2 W r
补充运动学方程
aCrArB
2W graCW g2raCM2Wr
LA ri'm ivi' vi'— 相对速度
(3)绝对动量矩与相对动量矩的关系 LAL'AAC (mA)， v c为质心，
当AC＝0，即，动点为质心C时 LC＝LC —对质心的绝对与 量相 矩对 相动 等
2020年4月20日
34
3.刚体的动量矩（对定点A）
（1）平移刚体的动量矩
L A r i ' m iv c A (C v m c ) A P C
Mce 0,Lc守恒 .
O
FT
C
GV
2020年4月20日
52
思考：猴子爬绳比赛，已 m A 知 m B ,vA rv B.r
答：若不计绳与滑轮的质量，则 v1a v2a
若考虑绳与滑轮的质量，则 m AvArm BvBrJoω
理论力学10动量矩定理
在更高维度的空间中，动量矩定理可以通过向量的外积和叉积进行推广，适用于描述更复杂系统的动量矩变化。
n维空间推广
定理在更高维度空间的应用
多体系统
动量矩定理可以应用于多体系统，描述多个刚体之间的相互作用和运动关系，为多体动力学提供了基础。
非惯性参考系
在非惯性参考系中，动量矩定理需要考虑科里奥利力和离心力等因素的影响，以准确描述系统的动量矩变化。
定理证明的思路
在证明过程中，需要引入质点的质量、速度、位置矢量等概念，以及力、力矩等物理量。
引入相关概念
根据物理定律和数学公式，进行详细的数学推导，包括向量的点乘、叉乘等运算。
进行数学推导
经过推导，得出动量矩定理的结论，即质点系的动量矩等于外力矩对时间的积分。
得出结论Βιβλιοθήκη 定理证明的过程通过证明，得出的动量矩定理表述为：质点系的动量矩等于外力矩对时间的积分。
力矩的作用
力矩是描述力对物体运动轴的转动效应的物理量。在动量矩定理中，力矩的作用是改变物体的动量，即改变物体的运动状态。
时间和空间的影响
动量矩定理不仅涉及到物体的运动状态（动量和速度），还涉及到时间的变化率（即加速度），以及力作用的空间效应（即力矩）。因此，这个定理全面地描述了物体在空间和时间中的运动规律。
定理的物理意义
02
CHAPTER
定理的证明
首先明确动量矩定理的定义和意义，即对于一个质点系，其动量矩与外力矩之间的关系。
引入动量矩定理
建立证明框架
推导定理的表达式
根据定理的证明需求，建立证明的框架，包括定义、假设、推导和结论等部分。
根据牛顿第二定律和动量定理，推导出动量矩定理的表达式。
03
流体力学7动量方程及其应用及动量矩方程
FRx p1A1 cos1 p2 A2 sin2 qV (v1 cos1) (v2 sin2 )
F
d ( mv)
dt
fx
1
p x
[
2vx x 2
2vx y 2
2vx z 2
]
dvx dt
fy
1
p y
[
2vy x 2
2vy y 2
2vy z 2
]
dvபைடு நூலகம் dt
fz
1
p z
[
2vz x 2
2vz y 2
2vz z 2
]
dvz dt
作用在质点系上的总外力就不必通过分布压强的积分，而是通过求质点系动量变 化率的办法计算出来，开辟了求解流体动力学问题的新途径。
，流量为
q
的流体对弯管的作用力
v
FRx，FRy
假定管道在水平平面内或者重力可以不加考虑，动量修正系数为1
取1-1、2-2断面及弯管内表面为流管控制体，作用在流体质点系的总外力包括
弯管对控制体内流体的作用力 FRx和 FRy , 过流断面上外界流体对控制体内流体的作用力P1A1, P2 A2
Fx qv (v2x v1x ) Fy qv (v2 y v1y ) Fz qv (v2z v1z )
p1A1 sin1 p2 A2 sin cos2 FRy qV v2 cos2 v1 sin1
p1A1 cos1 p2 A2 sin2 FRx qV v2 sin2 v1 cos1
p1A1 sin1 p2 A2 sin cos2 FRy qV v2 cos2 v1 sin1
本次课主要内容 动量方程式及其应用
一、动量方程能解决运动流体中的什么问题
流体力学的动量矩原理
流体力学的动量矩原理流体力学的动量矩原理是流体力学中最基本的原理之一。
它描述了流体的动量变化与力的关系，是研究流体运动的重要工具。
动量矩原理的基本思想是通过将流体分割为无限小的体积元，研究每个体积元的动量变化，然后统一求和得到整个流体的动量变化。
下面我将从基本概念、动量守恒定律、动量矩守恒定律以及应用四个方面详细介绍动量矩原理。
首先，我们来介绍一些流体力学中的基本概念。
流体是指那些没有一定形状，可以流动的物质。
在流体中，存在一种力称为剪切力，它是由于分子之间的相互作用而产生的。
同时，流体受到的外部力可以分为体力和面力。
体力是作用在流体体积上的力，如重力等。
而面力则是作用在流体表面上的力，如压力、粘性力等。
其次，动量守恒定律是流体力学的基本定律之一。
根据动量守恒定律，一个系统的总动量在没有外力作用时保持不变。
这意味着在一个封闭系统中，流体的总动量保持恒定。
动量守恒定律可以表示为以下方程式：\frac{\partial(\rho u)}{\partial t}+\nabla \cdot (\rho u u)=-\nabla p +\nabla \cdot \tau + \rho g其中，\rho表示流体的密度，u表示流体的速度，t表示时间，p表示压力，\tau 表示粘性应力，g表示重力加速度。
这个方程描述了流体的动量变化与各种力的作用之间的关系。
然后，我们来介绍动量矩守恒定律。
动量矩守恒定律是动量守恒定律在旋转参考系中的扩展。
它描述了流体运动过程中动量矩的变化与外部力矩的关系。
动量矩守恒定律可以表示为以下方程式：\frac{\partial(\rho u_i x_j)}{\partial t}+\frac{\partial(\rho u_i x_ju_k)}{\partial x_k}=-\left(\frac{\partial p}{\partial x_i}+\frac{\partial\tau_{ij}}{\partial x_k}\right) x_j+\rho g_i x_j其中，x_i表示坐标轴，x_j表示动量矩，u_i表示流体的速度分量，t表示时间，p表示压力，\tau_{ij}表示粘性应力张量，g_i表示重力加速度分量。
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3．位能增量 dE位
dE位 dm2 gH2 dm1 gH1
dm( H 2 H1 ) g
（三）能量方程 根据能量守恒与转换定律，加给体系的能量应
等于体系能量的增量。故
dQ dW dm( p1v1 p2 v2 ) dW损
dW 2 (C 2 C12 ) dm (u 2 u1 ) dm ( H 2 H 1 ) g 2
(二)体系能量的增量 气体所含能量有三种形式：动能、内能和位能。故 体系能量的增量应为这三种能量增量之和。 1．动能增量dE动
2 dm2 C2 dm1C12 dE动 2 2 dm 2 (C 2 C12 ) 2
2．内能增量 dE内
dE内 dm2u2 dm1u1
dm(u 2 u1 )
C C q外 (i 2 i1 ) 2
2 2 2 1
上式即为1千克流动气体的能量方程。由于此方程包 含了焓，故又称为焓方程。由焓方程知：外界加给气 体的热量和机械功，用于增大气体的动能和焓。 所以1千克气体的能量方程式可综合成
2 2 C2 C1 q外 dw (i2 i1 ) 2
d (mC u · r) dt
d (mCu r ) dm2C2u r2 dm 1C1u r 1
将上式代入动量矩定律数学表达式得
(C2u r2 C1u r1 ) M m
该式即为流动气体的动量矩方程。它表明，作用于 控制体内气体上外力的合力对任一轴线之力矩，等 于每秒钟内流出和流入该控制体内气体对同一轴线 的动量矩之差。
A dA , p dp )( A dA) ( p dp )dA 2
展开上式右边并略去二阶小量可得
Ps Adp
则有
（C2s C1s） (C2 C1 ) JZm dC Ps m m
§2—3 能量方程
能量方程是能量守恒和转换定律应用于流动气 体所得到的关系式。它表达了气体在流动过程中 能量的转换情形。 一、能量方程的推导 能量守恒和转换定律告诉我们：对一确定的体 系，加入的能量应等于体系能量的增量。据此， 我们可以推导出能量方程。控制体和体系的选取， 如图2—2—6所示。
(一)对体系加入的能量 1．热量 dQ 一般对气体加热有两种方式：从外界对气体加热如 在气流中燃烧燃料)，加热量用 dQ 表示； 外 从内部加热，即损失功转变成热加给气体，加热量用 dQ 表示。对气体加入的总热量为 内
所以得到
(C2 x C1x ) Px m
上式表明，单位时间内经截面2流出的动量和经截面1流 入的动量之差，等于控制区边界作用在两截面1、2之间 这块流体上的外力。该外力可由控制区边界给流体的分 布压力积分而来，重力可忽略不计。
二、动量方程的应用
沿图2—2—3中流管的S轴取一微段，设截面a的面积 为A ，压强为p，流速为C ，截面b的对应量分别为
dQ dQ外 dQ内
2．机械功 dW
dW 为体系中叶轮旋转对气体所作的功。 3．推动功 dW12
dW12 dm( p1v1 p2 v2 )
4．损失功 dW损
dW损是指各种流动损失所消耗机械能的总和。损 失功总是负值。
对体系加入的总能量为
dQ dW dm( p1v1 p2 v2 ) dW损
( 2C2 A2 dt)C2 x ( 1C1 A1dt)C1x m(C2 x C1x dt)
式中 m 1C1 A1 2C2 A2 是质量流量。 设流体所受控制区边界给它的作用力的合力在X轴 方向的分量为P，则其微元冲量为 Px dt 根据动量定理有：
。
x
(C2 x C1x )dt Px dt m
动量方程和动量矩方程 能量方程
介绍动量方程、动量矩方程 能量方程及其应用 三个方程的应用
动量方程和能量方程的应用 2/24
§2—2 动量方程和动量矩方程 一、动量方程 动量定理应用到流体的运动。取图2— 2—2所示的由流管两个横截面1、2和该两 截面之间流管的侧表面组成控制区，以该 区内的流体作为研究对象。设经时间后， 这块流体流到一个新的位置。计算这块流 体在单位时间内动量的变化。由于是定常 流，在之间流体的动量不变，因而所研究 的流体的动量变化就等于和这两块流体动 量之差。注意到动量是向量，则很容易写 出动量变化量在X坐标方向的投影为
CAdC
故
dp CdC
该式表明，气流沿流管作增速运动时，其压强必然 要降低；反之，减速时压强必然要升高。
三、动量矩方程 从力学中知道，作用于物体上外力的合力对任一 轴线之力矩，等于该物体对同一轴线之动量矩随时 间的变化率，即动量矩定律，其数学表达式为
M
将这一定律应用于流动气体，就可得到一维定常流的 动量矩方程。设有一维定常管流，控制体和体系取法 如图2—2—5所示。由于流场是定常的，区域 1 2 段内气体动量矩不变，气体动量矩的变化量等于区域 1 1和 2 2 段内气体动量矩之差，即
C2 dq外 dw d ( ) di 2
图 2-2-2