带间跃迁的量子力学处理

矢量势
标量势
r A
A0ar[e(ir tk.r)
r
e ] i(tk.r )
r E
A
A
t t
rr
➢ 电子动量:在光场作用下为 P eA
➢ 相互作用哈密顿量
H I
H (1)
e m
N i 1
A(ri , t ).Pi
注释： H
1
( p eA)2 U(r)
2m
p2 U(r) e A P e2 A2
2
ds
JV , C （2）3 Ec Ev h K [(EC (K ) EV (K )]
❖ 临界点方程
➢ 布区高对称点
KEC(K) =KEV(K)=0
➢ 布区高对称线
KEc(K)KEv(K)=0
d3k= ds ·d K = ds ·dE / KE(K)
满足 K [(EC (K ) EV (K )] 0 条件 的点称为布里渊区的临界点,或 Van Hove奇点
3. 6 带间跃迁的量子力学处理
❖ 基础：含时间的微扰理论
光
体系 （微扰）
绝热近似， 单电子近似 有效质量近似(EMA)
给出：
• 吸收光谱及所有光 学函数的量子力学的 表达；
• 动量选择定则
• 布里渊区临界点及 其在光跃迁中的作用；
• 电偶极与电四极跃 迁选择定则
1
相互作用哈密顿量
❖ 辐射场(光场) ❖ 哈密顿量
2
0(
E
E0
)
E E0 E E0
Hale Waihona Puke Baidu
8
三维体系联合态密度在临界点附近的解析行为及图示. A=25/2h-3(mxmymz)1/2，B与能带结构有关的常数
临界点
联合态密度
图示
M0极小
J
(
E
)
B B
0(E E0 ) A( E Eo )1/
2
0(
E
E0
)
E E0 E E0
M1鞍点
J
(
E
)
BB
2m
m
2m
H0
H (1) I
H (2) I
其中利用横波条件 A 0 和 P A A P ih A
2
跃迁几率
含时微扰项为
H I (r, t ) H I (r )eit
Ef
“-”代表光吸收
“+”代表光发射 吸收
（时间指数因子）
Ei
❖ 跃迁几率
➢ ➢
积分形式
W
微分形式(黄金法则）
2
h
f HI i 2 g( )
3
❖ 讨论：布洛赫函数的周期性与动量守恒定律
晶体中的电子波函数：布洛赫函数
* f ,K f
eiK f r u( K f , r )
i,Ki eiKi r u( Ki , r )
其中周期性函数
u(K , r T ) u(K , r)
偶极跃迁矩阵元满足平移对称性，即要求下式保持不变
所以 或
a Mi, f exp[i( K f k Ki ) T ] K f k Ki 0
K f Ki K (光子：k 0)
对应直接跃迁（竖直跃迁）。
4
直接跃迁吸收谱的量子力学计算
对K求和
❖ 单位时间、单位体积中的跃迁数 对S求和
Z
2
h
(e m
A0
)2
V
,C
{
BZ
2dK
(2 )3
a MV ,C
对V和C求和
2
[EC (K ) EV (K ) h]}
❖ 介电函数虚部的量子力学表示
临界点 P0极小 P1鞍点 P2极大
联合态密度
J(E)
B 0(E E0 ) B A 0(E E0 )
E E0 E E0
图示
J(E) B A Ln 1
E E0
0(E E0 )
J(E)
B A 0(E E0 ) B 0(E E0 )
E E0 E E0
10
11
宇称选择定则
6
r ( ) i ( )
h
Eg
7
临界点的性质
❖ 有效质量的各向异性：在临界点附近展开(k0x,k0y,k0z)
Ec (K )
Ev (K )
E0
h2 2
[ x
(kx
k0x )2 mx
y
(ky
k0 y )2 my
z
(kz
k0z )2 ] mz
M0 : 二次项系数皆为正数(极小); M1 : 二次项系数中, 两个正, 一个负(鞍点); M2 : 二次项系数中, 一个正, 两个负(鞍点); M3 : 二次项系数皆为负数(极大).
A(E E0 )1/ 0(E E0 )
2
0(
E
E0
)
E E0 E E0
M2鞍点
J
(
E
)
B B
(E A(
E
E0 ) Eo
)1/
2
0(
E
E0
)
E E0 E E0
M3极大
J
(
E
)
BB
A( E E0 )1/ 0(E E0 )
2
0(
E
E0
)
E E0 E E0
9
二维体系临界点与联合态密度. 其中A=(8/c)h-2(mxmy)1/2， B为与能带结构有关的常数
一维体系联合态密度在临界点附近的解析行为及图示.
A=(4/ab)h-1(mz)1/2, B为与能带结构有关的一个常数
临界点
联合态密度
图示
Q0极小
J
(
E
)
B B
0(E E0 ) A( E Eo )1/
2
0(
E
E0
)
E E0 E E0
Q1极大
J
(
E
)
BB
A(E E0 )1/ 0(E E0 )
Ei 发射
Ef
g()为终态态密度
W 2
h
f HI i 2 (E f Ei mh )
W
2
h
(e m
A0 )2
a Mi, f
2
[Ef (K f
) Ei (Ki ) mh]
a Mi, f
* f
,K
f
(e ikr a
P )
i , Ki
d
“+”代表光吸收 “-”代表光发射（空间指数因子）
➢ 波函数，单电子近似
)]
1
[EC ( K ) EV ( K )]2 / h2 2
5
联合态密度和临界点
在K空间中，跃迁矩阵元可近似处理为常量，所以有
❖ 联合态密度
i
(
)
1 2
MV ,C
2
JV ,C
( ) 1 n
2
MV ,C JV ,C
JV , C
BZ
2dK (2 )3
[
EC
(
K
)
EV (K ) h ]
h Z E2 0i ()E2 03i ()A2 20 3i ()A02
i ()
0
(
e m
)2
V
,C
{
BZ
2
(2
)3
a MV ,C
2
[EC (K ) EV (K ) h]}
其它光学响应函数的量子力学表示
2
r
( )
1
2e 2 0m2
V ,C
BZ
2dk (2 )3
a MV ,C (K ) [EC (K ) EV (K
❖ 跃迁矩阵元
a MV ,C
* C
(e
ikr
a
P
)
V
d
➢ 取 eik.r 1(k r = 1，长波近似）
电偶极跃迁矩阵元及选择定则
a MV ,C
* C
(a
P
)
V
d
m
i h (EC
EV )
* c
(
r
,
K
)(a
r
)
v
(r
,
K
)d
0
其中利用
b
P
a
i h
m
b
[r, H0]
a
miba