线性代数论文

一、线性代数的定义

线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。线性代数是理工类、经管类数学课程的重要内容。在考研中的比重一般占到22%左右。

二、线性方程组简介

线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组(例如2元1次方程组）。对线性方程组的研究，中国比欧洲至少早1500年，记载在公元初《九章算术》方程章中。

解线性代数方程组是线性代数最主要的任务之一，行列式研究的便是线性方程组的一种特殊形式，即线性方程组所含方程的个数等于未知量的个数，且方程组的系数行列式不等于零，这时可以用克拉默法则。

三、线性方程组的解法

①克莱姆法则.用克莱姆法则求解方程组有两个前提，一是方程的个数要等于未知量的个数，二是系数矩阵的行列式要不等于零。用克莱姆法则求解方程组实际上相当于用逆矩阵的方法求解线性方程组，它建立线性方程组的解与其系数和常数间的关系，但由于求解时要计算n+1个n阶行列式，其工作量常常很大，所以克莱姆法则常用于理论证明，很少用于具体求解。

②矩阵消元法.将线性方程组的增广矩阵通过行的初等变换化为行简化阶梯形矩阵，则以行简化阶梯形矩阵为增广矩阵的线性方程组与原方程组同解。当方程组有解时，将其中单位列向量对应的未知量取为非自由未知量，其余的未知量取为自由未知量，即可找出线性方程组的解。

关于未知量是一次的方程组，其一般形式为

⑴

式中x1，x2，…，xn代表未知量，αij(1≤i≤m,1≤j≤n)称为方程⑴的系数，bi(1≤i≤m）称为常数项。系数和常数项都是任意的复数或某一个域的元素。

当常数项b1，b2，…，bn都等于零时，则方程组⑴称为齐次线性方程组。

方程组⑴的系数所构成的m行n列矩阵

线性方程组

称为方程组⑴的系数矩阵。在A中添加由常数项组成的列而得到一个m 行n+1列矩阵称为方程组⑴的增广矩阵。

线性方程组

如果在方程组⑴中，以一组复数或域F的元素с1,с2，…，сn代替未知量x1，x2，…，xn，每一个方程的两端相等，那么с1，с2，…，сn称为方程组⑴的一个解。

关于线性方程组，有以下主要结果。

①线性方程组⑴有解的充分必要条件是，系数矩阵A与增广矩阵都有相同的秩。

②在A与都有相同的秩r>0的情形下，A有一个r阶子式D不等于零，设

线性方程组

于是方程组⑴与仅含有前r个方程的方程组同解。可将前r个方程改写为

⑵

方程组⑵的一般解公式为x1=D1/D,x2=D2/D，…，xr=Dr/D，⑶

式中Dj(j=1,2，…，r）是把D的第j列换成方程组⑵的右端的列所得到

的一个r阶行列式，即

因而x1,x2，…，xr可由其余的未知量xr+1,xr+2，…，xn线性表出，

xr+1，xr+2，…，xn称为自由未知量。

当r

不含自由未知量，由⑶给出方程组⑴的惟一解。当m=n=r时，公式⑶称为克莱

姆规则。

线性方程组是最简单也是最重要的一类代数方程组。大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组，因此线性方程组的数值解法在计算数学中占有

重要地位。

四、矩阵的初等变换

矩阵的发展是与线性变换密切相连的。到 19 世纪它还仅占线性变换理论

形成中有限的空间。现代向量空间的定义是由 Peano 于 1888 年提出的。二次世界大战后随着现代数字计算机的发展，矩阵又有了新的含义，特别是在矩阵

的数值分析等方面。由于计算机的飞速发展和广泛应用，许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决。于是作为处理离散问题的线性代数，成

为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。

定义 1 : 下面三种变换称为矩阵的初等行变换：

1．互换两行（记）；

2．以数乘以某一行（记）；

3．把某一行的倍加到另一行上（记）。

若将定义中的“行”换成“列”，则称之为初等列变换，初等行变换和初等列变换统称为初等变换。

定义2 : 若矩阵经有限次初等行变换变成矩阵，则称与行等价，记；

若矩阵经有限次初等列变换变成矩阵，则称与列等价，记；

若矩阵经有限次初等变换变成矩阵，则称与等价，记。

等价关系满足： 1. 反身性：；

2．对称性：；

3．传递性：。

五、矩阵的秩

矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念。

设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。

定义1. 在m*n矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。

例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所

组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A的一个2阶子式。

定义2. A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A

的秩，记作rA，或rankA或R(A)。

特别规定零矩阵的秩为零。

显然rA≤min(m,n) 易得：

若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r

r+1阶子式全为零，则A的秩为r。

由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)¹ 0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。

由行列式的性质1(1.5[4])知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。

例1. 计算下面矩阵的秩，

而A的所有的三阶子式，或有一行为零；或有两行成比例，因而所

有的三阶子式全为零，所以rA=2。

矩阵的秩

引理设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。

定理矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

定理初等变换不改变矩阵的秩。

定理矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};

当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。

当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。

变化规律： (1)转置后秩不变

(2)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵

(3)r(kA)=r(A),k不等于0

(4)r(A)=0 -> A=0