江苏省苏州市陆慕高级中学2020-2021学年高二下学期在线学习质量检测数学试题
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【详解】
如图，取 的中点 ， 的中点 ，Baidu Nhomakorabea的中点 ，连接 ， ， ， ，
则 ， ，从而四边形 是平行四边形，则 ，
且 .
因为 是 的中点， 是 的中点，
所以 为 的中位线，所以 ，则 是异面直线 与 所成的角.由题意可得 ， .
在 中，由余弦定理可得 ，
则 ，即 .
在 中，由余弦定理可得 .
故选：D
所以f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减.
故选:C.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性和零点存在定理,属中档题.
5．B
【解析】
试题分析：由于 ，所以 ， ．
考点：函数导数．
6．D
【分析】
对 求导得到 ，然后利用导数得到 的单调区间，根据 在 上不单调，从而得到关于 的不等式，得到答案.
【详解】
因为
所以
令 ，即 ，
解得 或 （舍）
所以 时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，
而 在区间 上不单调，
所以
解得 ，
因为 是函数 定义域内的子区间，
所以 ，即 ，
所以 的范围为 .
故选：D.
【点睛】
本题考查利用导数求函数的单调区间，根据函数的单调性求参数的范围，属于中档题.
7．D
【分析】
首先通过作平行的辅助线确定异面直线 与 所成角的平面角，在 中利用余弦定理求出 进而求出CE，再在 中利用余弦定理即可得解.
C． D．以上都不对
3．将4个不同的文件发往3个不同的邮箱地址，则不同的方法种数为（）
A． B． C．24D．4
4．函数f（x） 的图象大致是（）
A． B． C． D．
5．已知 ，则 等于（）
A． B． C． D．
6．已知函数 在其定义域内的子区间 上不单调,则实数 的取值范围为( )
A． B． C． D．
7．如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥 中， 为侧棱 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是（）
A． B． C． D．
8． 为自然对数的底数，已知函数 ，则函数 有唯一零点的充要条件是（ ）
A． 或 或 B． 或
C． 或 D． 或
二、多选题
9．已知函数 ，下列选项中可能是函数 图像的是（）
（1）z是实数；
（2）z是虚数；
（3）z是0.
18．已知 ，证明不等式 ．
19．已知函数 .
（1）若函数 在 上是增函数，求实数 的取值范围；
（2）若函数 在 上的最小值为3，求实数 的值.
20．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）= 若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
【详解】
解:由f(x) ,得f′(x) ,
令g(x)＝1 ,则g′(x) 0,
所以g(x)在(0,+∞)上单调递减,
又g(e) 0,g(e2) 0,
所以存在x0∈(e,e2),使得g(x0)＝0,
所以当x∈(0,x0)时,g(x)＞0,f′(x)＞0;
当x∈(x0,+∞)时,g(x)＜0,f′(x)＜0,
【点睛】
本题考查异面直线所成的角，余弦定理解三角形，属于中档题.
8．A
【详解】
作出函数 的图像如图所示，其中 ，则 ，设直线 与曲线 相切，则 ，即 ，设
，则 ，当 时， ，
江苏省苏州市陆慕高级中学2020-2021学年高二下学期在线学习质量检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．复数 的虚部为（）
A．2B．1C．-1D．-i
2．已知函数 可导，则 等于（）
A． B．不存在
14．若各棱长均为 的正六棱柱的 个顶点都在球 上，则球 的表面积为____
15．函数 在区间 上有两个零点，则 的取值范围是_________．
16．已知函数 （ ）.若存在 ，使得 成立，则实数a的取值范围是______.
四、解答题
17．已知复数z＝a2－a－6＋ i，分别求出满足下列条件的实数a的值：
A． B． C． D．
10．已知i为虚数单位，下列说法中正确的是（）
A．若复数z满足 ，则复数z对应的点在以 为圆心， 为半径的圆上
B．若复数z满足 ，则复数
C．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模
D．复数 对应的向量为 ，复数 对应的向量为 ，若 ，则
11．已知正方体 的棱长为 ，点 分别棱楼 的中点，下列结论中正确的是（）
（Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
21．如图所示的几何体中， 垂直于梯形 所在的平面， 为 的中点， ，四边形 为矩形，线段 交 于点 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值；
（3）在线段 上是否存在一点 ，使得 与平面 所成角的大小为 ？若存在，求出 的长；若不存在，请说明理由.
A．四面体 的体积等于 B． 平面
C． 平面 D．异面直线 与 所成角的正切值为
12．(多选)已知函数 ,其中正确结论的是()
A．当 时,函数 有最大值.
B．对于任意的 ,函数 一定存在最小值.
C．对于任意的 ,函数 是 上的增函数.
D．对于任意的 ,都有函数 .
三、填空题
13．若复数z满足(1＋2i)z＝－3＋4i(i是虚数单位)，则z＝________.
【详解】
因为 ，所以 ，
所以 .
故选：A
【点睛】
本题考查导数的概念、极根符号的理解，属于基础题.
3．A
【分析】
直接利用乘法原理计算得到答案.
【详解】
根据乘法原理：不同的方法种数为 .
故选： .
【点睛】
本题考查了乘法原理，属于简单题.
4．C
【分析】
求出f(x)的导函数,利用导数研究函数的单调性,然后结合图象得到答案.
22．函数 有极值，且导函数 的极值点是 的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)
（1）求 关于 的函数关系式，并写出定义域；
（2）若 ， 这两个函数的所有极值之和不小于 ，求实数 的取值范围．
参考答案
1．C
【解析】
试题分析：复数 的虚部为－1，故选C．
考点：复数的概念．
2．A
【分析】
直接根据导数的定义进行求解，将 看成一个整体，即可得到答案。
如图，取 的中点 ， 的中点 ，Baidu Nhomakorabea的中点 ，连接 ， ， ， ，
则 ， ，从而四边形 是平行四边形，则 ，
且 .
因为 是 的中点， 是 的中点，
所以 为 的中位线，所以 ，则 是异面直线 与 所成的角.由题意可得 ， .
在 中，由余弦定理可得 ，
则 ，即 .
在 中，由余弦定理可得 .
故选：D
所以f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减.
故选:C.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性和零点存在定理,属中档题.
5．B
【解析】
试题分析：由于 ，所以 ， ．
考点：函数导数．
6．D
【分析】
对 求导得到 ，然后利用导数得到 的单调区间，根据 在 上不单调，从而得到关于 的不等式，得到答案.
【详解】
因为
所以
令 ，即 ，
解得 或 （舍）
所以 时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，
而 在区间 上不单调，
所以
解得 ，
因为 是函数 定义域内的子区间，
所以 ，即 ，
所以 的范围为 .
故选：D.
【点睛】
本题考查利用导数求函数的单调区间，根据函数的单调性求参数的范围，属于中档题.
7．D
【分析】
首先通过作平行的辅助线确定异面直线 与 所成角的平面角，在 中利用余弦定理求出 进而求出CE，再在 中利用余弦定理即可得解.
C． D．以上都不对
3．将4个不同的文件发往3个不同的邮箱地址，则不同的方法种数为（）
A． B． C．24D．4
4．函数f（x） 的图象大致是（）
A． B． C． D．
5．已知 ，则 等于（）
A． B． C． D．
6．已知函数 在其定义域内的子区间 上不单调,则实数 的取值范围为( )
A． B． C． D．
7．如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥 中， 为侧棱 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是（）
A． B． C． D．
8． 为自然对数的底数，已知函数 ，则函数 有唯一零点的充要条件是（ ）
A． 或 或 B． 或
C． 或 D． 或
二、多选题
9．已知函数 ，下列选项中可能是函数 图像的是（）
（1）z是实数；
（2）z是虚数；
（3）z是0.
18．已知 ，证明不等式 ．
19．已知函数 .
（1）若函数 在 上是增函数，求实数 的取值范围；
（2）若函数 在 上的最小值为3，求实数 的值.
20．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）= 若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
【详解】
解:由f(x) ,得f′(x) ,
令g(x)＝1 ,则g′(x) 0,
所以g(x)在(0,+∞)上单调递减,
又g(e) 0,g(e2) 0,
所以存在x0∈(e,e2),使得g(x0)＝0,
所以当x∈(0,x0)时,g(x)＞0,f′(x)＞0;
当x∈(x0,+∞)时,g(x)＜0,f′(x)＜0,
【点睛】
本题考查异面直线所成的角，余弦定理解三角形，属于中档题.
8．A
【详解】
作出函数 的图像如图所示，其中 ，则 ，设直线 与曲线 相切，则 ，即 ，设
，则 ，当 时， ，
江苏省苏州市陆慕高级中学2020-2021学年高二下学期在线学习质量检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．复数 的虚部为（）
A．2B．1C．-1D．-i
2．已知函数 可导，则 等于（）
A． B．不存在
14．若各棱长均为 的正六棱柱的 个顶点都在球 上，则球 的表面积为____
15．函数 在区间 上有两个零点，则 的取值范围是_________．
16．已知函数 （ ）.若存在 ，使得 成立，则实数a的取值范围是______.
四、解答题
17．已知复数z＝a2－a－6＋ i，分别求出满足下列条件的实数a的值：
A． B． C． D．
10．已知i为虚数单位，下列说法中正确的是（）
A．若复数z满足 ，则复数z对应的点在以 为圆心， 为半径的圆上
B．若复数z满足 ，则复数
C．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模
D．复数 对应的向量为 ，复数 对应的向量为 ，若 ，则
11．已知正方体 的棱长为 ，点 分别棱楼 的中点，下列结论中正确的是（）
（Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
21．如图所示的几何体中， 垂直于梯形 所在的平面， 为 的中点， ，四边形 为矩形，线段 交 于点 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值；
（3）在线段 上是否存在一点 ，使得 与平面 所成角的大小为 ？若存在，求出 的长；若不存在，请说明理由.
A．四面体 的体积等于 B． 平面
C． 平面 D．异面直线 与 所成角的正切值为
12．(多选)已知函数 ,其中正确结论的是()
A．当 时,函数 有最大值.
B．对于任意的 ,函数 一定存在最小值.
C．对于任意的 ,函数 是 上的增函数.
D．对于任意的 ,都有函数 .
三、填空题
13．若复数z满足(1＋2i)z＝－3＋4i(i是虚数单位)，则z＝________.
【详解】
因为 ，所以 ，
所以 .
故选：A
【点睛】
本题考查导数的概念、极根符号的理解，属于基础题.
3．A
【分析】
直接利用乘法原理计算得到答案.
【详解】
根据乘法原理：不同的方法种数为 .
故选： .
【点睛】
本题考查了乘法原理，属于简单题.
4．C
【分析】
求出f(x)的导函数,利用导数研究函数的单调性,然后结合图象得到答案.
22．函数 有极值，且导函数 的极值点是 的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)
（1）求 关于 的函数关系式，并写出定义域；
（2）若 ， 这两个函数的所有极值之和不小于 ，求实数 的取值范围．
参考答案
1．C
【解析】
试题分析：复数 的虚部为－1，故选C．
考点：复数的概念．
2．A
【分析】
直接根据导数的定义进行求解，将 看成一个整体，即可得到答案。