四川高三数学理大一轮复习练习9.6双曲线

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高考数学(理)(人教)大一轮复习文档讲义：第九章9.6双曲线

1．双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质【知识拓展】巧设双曲线方程(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0)．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × ) (2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.( √ )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)．( √ )1．(教材改编)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A. 5 B ．5 C. 2 D ．2答案 A解析由题意得b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2. ∴e 2＝c 2a2＝5，∴e ＝ 5.2．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( ) A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．8 答案 C解析设C ：x 2a 2－y 2a2＝1.∵抛物线y 2＝16x 的准线为x ＝－4，联立x 2a 2－y 2a2＝1和x ＝－4，得A (－4，16－a 2)，B (－4，－16－a 2)，∴|AB |＝216－a 2＝43，∴a ＝2，∴2a ＝4. ∴C 的实轴长为4.3．(2015·安徽)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1 C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1答案 C解析由双曲线性质知A 、B 项双曲线焦点在x 轴上，不合题意；C 、D 项双曲线焦点均在y 轴上，但D 项渐近线为y ＝±12x ，只有C 符合，故选C.4．(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________．答案 210解析由已知，a 2＝7，b 2＝3，则c 2＝7＋3＝10，故焦距为2c ＝210. 5．双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________．答案255解析双曲线的一个顶点坐标为(2,0)，一条渐近线方程是y ＝12x ，即x －2y ＝0，则顶点到渐近线的距离d ＝|2－0|5＝255.题型一双曲线的定义及标准方程命题点1 利用定义求轨迹方程例1 已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________________．答案 x 2－y 28＝1(x ≤－1)解析如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |，因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1、C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．命题点2 利用待定系数法求双曲线方程例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M (0,12)；(3)经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)．解 (1)设双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54.∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12. 又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1.(3)设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.命题点3 利用定义解决焦点三角形问题例3 已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左，右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________. 答案 34解析 ∵由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2| ＝|PF 2|＝2a ＝22， ∴|PF 1|＝2|PF 2|＝42，则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34. 引申探究1．本例中将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“∠F 1PF 2＝60°”，则△F 1PF 2的面积是多少？解不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|·|PF 2|＝8，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60°＝2 3.2．本例中将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“PF 1→·PF 2→＝0”，则△F 1PF 2的面积是多少？解不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，由于PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→，所以在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16，所以|PF 1|·|PF 2|＝4，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝2.思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值，如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．(1)已知F 1，F 2为双曲线x 25－y 24＝1的左，右焦点，P (3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP |＋|AF 2|的最小值为( ) A.37＋4 B.37－4 C.37－2 5D.37＋2 5(2)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94D ．3答案 (1)C (2)B解析 (1)由题意知，|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ，要求|AP |＋|AF 2|的最小值，只需求|AP |＋|AF 1|的最小值，当A ，P ，F 1三点共线时，取得最小值，则|AP |＋|AF 1|＝|PF 1|＝37，∴|AP |＋|AF 2|的最小值为|AP |＋|AF 1|－2a ＝37－2 5. 故选C.(2)不妨设P 为双曲线右支上一点，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2.根据双曲线的定义，得r 1－r 2＝2a ，又r 1＋r 2＝3b ，故r 1＝3b ＋2a 2，r 2＝3b －2a2.又r 1·r 2＝94ab ，所以3b ＋2a 2·3b －2a 2＝94ab ，解得b a ＝43(负值舍去)，故e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2＝(ba)2＋1(43)2＋1＝53，故选B. 题型二双曲线的几何性质例4 (1)(2016·浙江)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m ＞1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n ＞0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( ) A ．m ＞n 且e 1e 2＞1 B ．m ＞n 且e 1e 2＜1 C ．m ＜n 且e 1e 2＞1D ．m ＜n 且e 1e 2＜1(2)(2015·山东)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________．答案 (1)A (2)32解析 (1)由题意可得m 2－1＝n 2＋1，即m 2＝n 2＋2，又∵m ＞0，n ＞0，故m ＞n .又∵e 21·e 22＝m 2－1m 2·n 2＋1n 2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2＞1，∴e 1·e 2＞1.(2)由题意，不妨设直线OA 的方程为y ＝b a x ，直线OB 的方程为y ＝－ba x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x 2＝2py ，得x 2＝2p ·ba x ，∴x ＝2pb a ，y ＝2pb 2a 2，∴A ⎝⎛⎭⎫2pb a ，2pb 2a 2.设抛物线C 2的焦点为F ，则F ⎝⎛⎭⎫0，p2， ∴k AF ＝2pb 2a 2－p22pb a.∵△OAB 的垂心为F ，∴AF ⊥OB ，∴k AF ·k OB ＝－1， ∴2pb 2a 2－p22pb a·⎝⎛⎭⎫－b a ＝－1，∴b 2a 2＝54.设C 1的离心率为e ，则e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋54＝94.∴e ＝32.思维升华双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±ba满足关系式e 2＝1＋k 2.(2016·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左，右焦点，点M 在E上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32 C.3 D ．2答案 A解析离心率e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|，由正弦定理得e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝ 2.故选A. 题型三直线与双曲线的综合问题例5 (2016·兰州模拟)已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左，右焦点分别是C 1的左，右顶点，而C 2的左，右顶点分别是C 1的左，右焦点． (1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a 2＝4－1＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)>0，∴k 2≠13且k 2<1.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又∵OA →·OB →>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2， ∴3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解得13<k 2<3，②由①②得13<k 2<1.故k 的取值范围为(－1，－33)∪(33，1)．思维升华 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定． (2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．若双曲线E ：x 2a2－y 2＝1(a >0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若|AB |＝63，点C 是双曲线上一点，且OC →＝m (OA →＋OB →)，求k ，m 的值．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝2，a 2＝c 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，c 2＝2，故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.(*)∵直线与双曲线右支交于A ，B 两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k >1，Δ＝(2k )2－4(1－k 2)×(－2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧k >1，－2<k <2，所以1<k < 2. 故k 的取值范围是{k |1<k <2}．(2)由(*)式得x 1＋x 2＝2k k 2－1，x 1x 2＝2k 2－1，∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2(1＋k 2)(2－k 2)(k 2－1)2＝63，整理得28k 4－55k 2＋25＝0，∴k 2＝57或k 2＝54，又1<k <2，∴k ＝52， ∴x 1＋x 2＝45，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝8. 设C (x 3，y 3)，由OC →＝m (OA →＋OB →)，得(x 3，y 3)＝m (x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(45m,8m )． ∵点C 是双曲线上一点． ∴80m 2－64m 2＝1，得m ＝±14.故k ＝52，m ＝±14.12．直线与圆锥曲线的交点典例已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点？错解展示现场纠错解设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意．设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋1－k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0(2－k 2≠0)．① ∴x 0＝x 1＋x 22＝k (1－k )2－k2. 由题意，得k (1－k )2－k 2＝1，解得k ＝2.当k ＝2时，方程①可化为2x 2－4x ＋3＝0. Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点．纠错心得 (1)“点差法”解决直线与圆锥曲线的交点问题，要考虑变形的条件．(2)“判别式Δ≥0”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的通用方法.1．(2016·广州联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的一条渐近线上，则C 的方程为( ) A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 答案 A解析依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝25，1＝b a×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝20，b 2＝5，∴双曲线C 的方程为x 220－y 25＝1.2．(2016·全国乙卷)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) A ．(－1,3) B ．(－1，3) C ．(0,3) D ．(0，3)答案 A解析 ∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1<n <3，故选A.3．(2016·南昌联考)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M ，使得(OM →＋OF 2→)·F 2M →＝0(其中O 为坐标原点)，且|MF 1→|＝3|MF 2→|，则双曲线的离心率为( ) A.5－1 B.3＋12C.5＋12D.3＋1答案 D解析 ∵F 2M →＝OM →－OF 2→，∴(OM →＋OF 2→)·F 2M →＝(OM →＋OF 2→)·(OM →－OF 2→)＝0，即OM →2－OF 2→2＝0，∴|OF 2→|＝|OM →|＝c ，在△MF 1F 2中，边F 1F 2上的中线等于|F 1F 2|的一半，可得MF 1→⊥MF 2→. ∵|MF 1→|＝3|MF 2→|，∴可设|MF 2→|＝λ(λ>0)，|MF 1→|＝3λ，得(3λ)2＋λ2＝4c 2，解得λ＝c ， ∴|MF 1→|＝3c ，|MF 2→|＝c ，∴根据双曲线定义得2a ＝|MF 1→|－|MF 2→|＝(3－1)c ， ∴双曲线的离心率e ＝2c2a＝3＋1.4．(2016·庐江第二中学月考)已知椭圆x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，离心率为e 1；双曲线x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列，离心率为e 2，则e 1e 2等于( ) A.22B ．1 C. 3 D ．2 答案 B 解析由b 21＝a 1c 1，得a 21－c 21＝a 1c 1，∴e 1＝c 1a 1＝5－12. 由b 22＝a 2c 2，得c 22－a 22＝a 2c 2，∴e 2＝c 2a 2＝5＋12. ∴e 1e 2＝5－12×5＋12＝1. 5．(2015·课标全国Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎫－233，233答案 A解析由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， ∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)． ∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0，即x 20－3＋y 20<0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线上， ∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33.故选A. 6．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,2) C ．(1,1＋2) D ．(2,1＋2)答案 B解析由题意易知点F 的坐标为(－c,0)，A (－c ，b 2a )，B (－c ，－b 2a )，E (a,0)，∵△ABE 是锐角三角形，∴EA →·EB →>0，即EA →·EB →＝(－c －a ，b 2a )·(－c －a ，－b 2a )>0，整理得3e 2＋2e >e 4，∴e (e 3－3e －3＋1)<0， ∴e (e ＋1)2(e －2)<0，解得e ∈(0,2)，又e >1， ∴e ∈(1,2)，故选B.7．(2016·北京)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________. 答案 1 2解析由2x ＋y ＝0，得y ＝－2x ，所以ba ＝2.又c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝1，b ＝2.8．(2016·浙江)设双曲线x 2－y 23＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．答案 (27，8)解析如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而|F 1F 2|＝4，由对称性不妨设P 在右支上，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝m ＋2a ＝m ＋2，由于△PF 1F 2为锐角三角形，结合实际意义需满足⎩⎪⎨⎪⎧(m ＋2)2＜m 2＋42，42＜(m ＋2)2＋m 2，解得－1＋7＜m ＜3，又|PF 1|＋|PF 2|＝2m ＋2， ∴27＜2m ＋2＜8.9．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为________．答案 53解析由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a . 又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a .在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2.要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值， ∴当cos ∠F 1PF 2＝－1时，得e ＝53，即e 的最大值为53.10．(2015·课标全国Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 的周长最小时，该三角形的面积为________．答案 12 6解析设左焦点为F 1，|PF |－|PF 1|＝2a ＝2，∴|PF |＝2＋|PF 1|，△APF 的周长为|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2＋|PF 1|，△APF 周长最小即为|AP |＋|PF 1|最小，当A 、P 、F 1在一条直线时最小，过AF 1的直线方程为x －3＋y66＝1，与x 2－y 28＝1联立，解得P 点坐标为(－2,26)，此时S △APF ＝S △AF 1F －S △F 1PF ＝12 6.11．中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．解 (1)由已知c ＝13，设椭圆长半轴长，短半轴长分别为a ，b ，双曲线实半轴长，虚半轴长分别为m ，n ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝4，7·13a＝3·13m ，解得a ＝7，m ＝3.∴b ＝6，n ＝2. ∴椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.(2)不妨设F 1，F 2分别为左，右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6， ∴|PF 1|＝10，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝213，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝102＋42－(213)22×10×4＝45.12．(2016·湖北部分重点中学第一次联考)在面积为9的△ABC 中，tan ∠BAC ＝－43，且CD →＝2DB →，现建立以A 点为坐标原点，以∠BAC 的平分线所在直线为x 轴的平面直角坐标系，如图所示 .(1)求AB ，AC 所在直线的方程；(2)求以AB ，AC 所在直线为渐近线且过点D 的双曲线的方程；(3)过D 分别作AB ，AC 所在直线的垂线DF ，DE (E ，F 为垂足)，求DE →·DF →的值．解 (1)设∠CAx ＝α，则由tan ∠BAC ＝tan 2α ＝2tan α1－tan 2α＝－43及α为锐角，得tan α＝2，∴AC 所在直线方程为y ＝2x ， AB 所在直线方程为y ＝－2x .(2)设所求双曲线的方程为4x 2－y 2＝λ(λ≠0)， C (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1>0，x 2>0)．由CD →＝2DB →，得D (x 1＋2x 23，2x 1－4x 23)．∵点D 在双曲线上，∴4(x 1＋2x 23)2－(2x 1－4x 23)2＝λ，∴329x 1x 2＝λ.① 由tan ∠BAC ＝－43，得sin ∠BAC ＝45.∵|AB |＝x 22＋y 22＝5x 2，|AC |＝x 21＋y 21＝5x 1，∴S △ABC ＝12|AB |·|AC |·sin ∠BAC＝12×5x 1x 2×45 ＝2x 1x 2＝9，代入①，得λ＝16，∴双曲线的方程为x 24－y 216＝1.(3)由题意知〈DE →，DF →〉＝π－∠BAC ， ∴cos 〈DE →，DF →〉＝－cos ∠BAC ＝35，设D (x 0，y 0)，则x 204－y 2016＝1.又∵点D 到AB ，AC 所在直线距离分别为|DF →|＝|2x 0＋y 0|5，|DE →|＝|2x 0－y 0|5，∴DE →·DF →＝|DE →||DF →|·cos 〈DE →，DF →〉＝|2x 0－y 0|5·|2x 0＋y 0|5×35＝4825.*13.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点是F 2(2,0)，且b ＝3a .(1)求双曲线C 的方程；(2)设经过焦点F 2的直线l 的一个法向量为(m,1)，当直线l 与双曲线C 的右支交于不同的两点A ，B 时，求实数m 的取值范围，并证明AB 中点M 在曲线3(x －1)2－y 2＝3上；(3)设(2)中直线l 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，问是否存在实数m ，使得∠AOB 为锐角？若存在，请求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解 (1)c ＝2，c 2＝a 2＋b 2， ∴4＝a 2＋3a 2，∴a 2＝1，b 2＝3， ∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)l ：m (x －2)＋y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－mx ＋2m ，x 2－y 23＝1，得(3－m 2)x 2＋4m 2x －4m 2－3＝0. 由Δ>0，得4m 4＋(3－m 2)(4m 2＋3)>0， 12m 2＋9－3m 2>0，即m 2＋1>0恒成立．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4m 2m 2－3，x 1x 2＝4m 2＋3m 2－3.又⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2>0，x 1·x 2>0，∴⎩⎨⎧4m 2m 2－3>0，4m 2＋3m 2－3>0，∴m 2>3，∴m ∈(－∞，－3)∪(3，＋∞)． ∵x 1＋x 22＝2m 2m 2－3，y 1＋y 22＝－2m 3m 2－3＋2m ＝－6m m 2－3，∴AB 的中点M (2m 2m 2－3，－6mm 2－3)，∵3(2m 2m 2－3－1)2－36m 2(m 2－3)2＝3×(m 2＋3)2(m 2－3)2－36m 2(m 2－3)2＝3×m 4＋6m 2＋9－12m 2(m 2－3)2＝3，∴M 在曲线3(x －1)2－y 2＝3上． (3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，假设存在实数m ，使∠AOB 为锐角，则OA →·OB →>0， ∴x 1x 2＋y 1y 2>0.∵y 1y 2＝(－mx 1＋2m )(－mx 2＋2m ) ＝m 2x 1x 2－2m 2(x 1＋x 2)＋4m 2， ∴(1＋m 2)x 1x 2－2m 2(x 1＋x 2)＋4m 2>0， ∴(1＋m 2)(4m 2＋3)－8m 4＋4m 2(m 2－3)>0，即7m 2＋3－12m 2>0，∴m 2<35，与m 2>3矛盾，∴不存在实数m ，使得∠AOB 为锐角．。

2021年高考数学一轮复习 9.6 双曲线理新人教A版

2021年高考数学一轮复习 9.6 双曲线理新人教A 版一、选择题1．(xx·甘肃二次诊断)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±22x C ．y ＝±2x D ．y ＝±2x解析因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±22x ，故选B. 答案 B2．(xx·大纲全国卷)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．42 解析由已知，得e ＝c a ＝2，所以a ＝12c ，故b ＝c 2－a 2＝32c ，从而双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x ，由焦点到渐近线的距离为3，得3c2＝3，解得c ＝2，故2c ＝4，故选C. 答案 C3．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48解析由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2，3|PF 1|＝4|PF 2|，可解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.又由|F 1F 2|＝10可得△PF 1F 2是直角三角形，则S △PF 1F 2＝12|PF 1|×|PF 2|＝24.答案 C4．(xx·山东卷)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( )A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0解析椭圆C 1的离心率为a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率为a 2＋b 2a ，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a＝32，所以a 4－b 4＝34a 4，即a 4＝4b 4，所以a ＝2b ，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±12x ，即x ±2y ＝0.答案 A5．(xx·重庆卷)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94D ．3解析由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，所以(|PF 1|＋|PF 2|)2－(|PF 1|－|PF 2|)2＝9b 2－4a 2，即4|PF 1|·|PF 2|＝9b 2－4a 2，又4|PF 1|·|PF 2|＝9ab ，因此9b 2－4a 2＝9ab ，即9⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－9ba －4＝0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫3b a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫3b a －4＝0，解得b a ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＝－13舍去，则双曲线的离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝53.答案 B二、填空题6．(xx·北京卷)设双曲线C 经过点(2，2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．解析设C 的方程为y 24－x 2＝λ(λ≠0)，把点(2，2)代入上式得λ＝－3，所以C 的方程为x 23－y 212＝1，其渐近线方程为y ＝±2x .答案x 23－y 212＝1 y ＝±2x 7．已知双曲线x 2m －y 23m ＝1的一个焦点是(0，2)，椭圆y 2n －x 2m ＝1的焦距等于4，则n ＝________．解析因为双曲线的焦点(0，2)，所以焦点在y 轴上，所以双曲线的方程为y 2－3m －x 2－m ＝1，即a 2＝－3m ，b 2＝－m ，所以c 2＝－3m －m ＝－4m ＝4，解得m ＝－1.所以椭圆方程为y 2n＋x 2＝1，且n ＞0，椭圆的焦距为4，所以c 2＝n －1＝4或1－n ＝4，解得n ＝5或－3(舍去)．答案 58．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.∴|PQ |＝4b ＝16>2a .又∵A (5，0)在线段PQ 上，∴P ，Q 在双曲线的右支上，且PQ 所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义知⎩⎪⎨⎪⎧|PF |－|PA |＝2a ＝6，|QF |－|QA |＝2a ＝6，∴|PF |＋|QF |＝28.∴△PQF 的周长是|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44. 答案 44 三、解答题9．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．解椭圆D 的两个焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，∴渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25，又圆心M (0，5)到两条渐近线的距离为r ＝3. ∴|5a |b 2＋a 2＝3，得a ＝3，b ＝4，∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.10．已知双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且顶点到渐近线的距离为255. (1)求此双曲线的方程；(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP →＝PB →，求△AOB 的面积．解 (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝2，|2×0＋a |5＝255，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线的方程为y 24－x 2＝1. (2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，设A (m ，2m )，B (－n ，2n )，其中m ＞0，n ＞0，由AP →＝PB →得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫m －n 2，m ＋n .将点P 的坐标代入y 24－x 2＝1，整理得mn ＝1.设∠AOB ＝2θ，∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝2，则tan θ＝12，从而sin 2θ＝45.又|OA |＝5m ，|OB |＝5n ， ∴S △AOB ＝12|OA ||OB |sin 2θ＝2mn ＝2.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1D.x 212－y 24＝1 解析由双曲线方程知右顶点为(a ，0)，不妨设其中一条渐近线方程为y ＝b ax ，因此可设点A 的坐标为(a ，b )．设右焦点为F (c ，0)，由已知可知c ＝4，且|AF |＝4，即(c －a )2＋b 2＝16，所以有(c －a )2＋b 2＝c 2，又c 2＝a 2＋b 2，则c ＝2a ，即a ＝c2＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝42－22＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1，故选A.答案 A12．(xx·石家庄模拟)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是 ( ) A ．(1，＋∞)B ．(1，2)C ．(1，1＋2)D ．(2，1＋2)解析由题意易知点F 的坐标为(－c ，0)，A (－c ，b 2a )，B (－c ，－b 2a )，E (a ，0)，因为△ABE 是锐角三角形，所以EA →·EB →>0，即EA →·EB →＝(－c －a ，b 2a )·(－c －a ，－b 2a)>0，整理得3e 2＋2e >e 4，∴e (e 3－3e －3＋1)<0，∴e (e ＋1)2(e －2)<0，解得e ∈(0，2)，又e >1， ∴e ∈(1，2)，故选B. 答案 B13．(xx·惠州模拟)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过点F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是________．解析如图所示，过点F 2(c ，0)且与渐近线y ＝b a x 平行的直线为y ＝b a(x －c )，与另一条渐近线y ＝－b ax ，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ba（x －c ），y ＝－ba x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c 2，y ＝－bc2a，即点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，－bc 2a .∴|OM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc 2a 2＝c21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2.∵点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，∴|OM |＞c ，即c21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＞c ，得1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＞2.∴双曲线率心率e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＞2. 故双曲线离心率的取值范围是(2，＋∞)．答案 (2，＋∞)14.如图，O 为坐标原点，双曲线C 1：x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1＞0，b 1＞0)和椭圆C 2：y 2a 22＋x 2b 22＝1(a 2＞b 2＞0)均过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，1，且以C 1的两个顶点和C 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．(1)求C 1，C 2的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与C 1交于A ，B 两点，与C 2只有一个公共点，且|OA →＋OB →|＝|AB →|？证明你的结论．解 (1)设C 2的焦距为2c 2，由题意知，2c 2＝2，2a 1＝2，从而a 1＝1，c 2＝1.因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，1在双曲线x 2－y 2b 21＝1上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2332－1b 21＝1.故b 21＝3.由椭圆的定义知2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＋（1－1）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＋（1＋1）2＝2 3. 于是a 2＝3，b 22＝a 22－c 22＝2，故C 1，C 2的方程分别为x 2－y 23＝1，y 23＋x 22＝1.(2)不存在符合题设条件的直线．①若直线l 垂直于x 轴，因为l 与C 2只有一个公共点，所以直线l 的方程为x ＝2或x ＝－ 2.当x ＝2时，易知A (2，3)，B (2，－3)，所以 |OA →＋OB →|＝22，|AB →|＝2 3. 此时，|OA →＋OB →|≠|AB →|.当x ＝－2时，同理可知，|OA →＋OB →|≠|AB →|. ②若直线l 不垂直于x 轴，设l 的方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2－y 23＝1，得(3－k 2)x 2－2kmx －m 2－3＝0.当l 与C 1相交于A ，B 两点时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，从而x 1＋x 2＝2km 3－k 2，x 1x 2＝m 2＋3k 2－3. 于是y 1y 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3k 2－3m2k 2－3.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 23＋x 22＝1，得(2k 2＋3)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0.因为直线l 与C 2只有一个公共点，所以上述方程的判别式Δ＝16k 2m 2－8(2k 2＋3)(m 2－3)＝0.化简，得2k 2＝m 2－3，因此OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋3k 2－3＋3k 2－3m 2k 2－3＝－k 2－3k 2－3≠0，于是OA→2＋OB →2＋2OA →·OB →≠OA →2＋OB →2－2OA →·OB →，即|OA →＋OB →|2≠|OA →－OB →|2，故|OA →＋OB →|≠|AB →|.综合①，②可知，不存在符合题设条件的直线.28057 6D99 涙435371 8A2B 訫25463 6377 捷 32245 7DF5 緵33585 8331 茱30290 7652 癒39836 9B9C 鮜Pa KJY。

新高考数学一轮复习练习-双曲线(基础)(解析版)

9.4 双曲线（基础）一、单选题1．（2021·全国高三月考（文））双曲线的焦点坐标（）A ．B ．C ．D ．、【答案】C【解析】由知，，，且焦点在轴上，所以，所以所以焦点坐标为和.故选：C2．（2021·郸城县第一高级中学高三一模（文））若双曲线：（，）的一条渐近线过点，则双曲线的离心率为（）A ．B ．CD【答案】C【解析】由已知得双曲线的一条渐近线的斜率为，则，所以，所以，解得，解得故选：．3．（2021·北京八中）已知直线与坐标轴分别交于A ，两点，若A ，的中点在曲线（，）的渐近线上，则曲线的离心率为（）ABCD【答案】C【解析】因为直线与坐标轴分别交于A ，两点，所以，，所以点A 和点B 的中点坐标为，曲线（，）的其中一条渐近线为，22134y x -=()()5,0±(0,()0,5±22134y x -=23a =24b =y 222347c a b =+=+=c =(0,C 22221x y a b -=0a >0b >()2,4m m ()0m ≠C 42C 422m m =2b a =222224b c a a a -==2214-=c a 25e =e =C 240x y +-=B B 2222:1y x C a b -=0a >0b >C 240x y +-=B ()2,0A ()0,4B ()1,22222:1y x C a b-=0a >0b >a y x b =所以有，又，所以，所以，又，所以.故选：C .4．（2021·广东广州·高三月考）双曲线C：的一条渐近线方程为x +2y =0，则C 的离心率为（）ABC ．2D【答案】A【解析】双曲线C ：的一条渐近线方程为x +2y =0，即，因此有故选：A5．（2021·黑龙江大庆中学高三月考（文））已知双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则其顶点到渐近线的距离为（）ABCD【答案】B【解析】由双曲线的方程得，双曲线的虚轴长是实轴长的倍，，可得，则双曲线的顶点为，双曲线的渐近线方程为，不妨取渐近线，即，则顶点到渐近线的距离故选：B.6．（2021·河北邯郸·高三开学考试）已知双曲线（，）的离心率为，O 为坐标原点，右焦点为F ，过点F 作一条渐近线的垂线，垂足为P ，的周长为12，则双曲线的实轴长为（）A ．8B ．4C ．D ．2【答案】A【解析】因为双曲线（，）的渐近线方程为，右焦点为，2a b =222c a b =+2222524a c a a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭22254c e a ==0e >e =22221x y a b -=22221x y a b-=12y x =-22222221244()542b c a b a b a c a a c e a a =⇒=⇒=⇒=-⇒=⇒==2221y x b-=21a = 2221y x b-=2244b a ∴==2b =()1,0A 2by x x a=±=±2y x =20x y -=d ==22221x y a b-=0a >0b >54OPF △22221x y a b-=0a >0b >b y x a =±(c,0)F不妨令点P位于第一象限，则的长度为点到直线的距离，，又的周长为12，所以得到，因为该双曲线的离心率为，即，得，又，即，解得，即双曲线的实轴长为8.故选：A.7．（2021·全国）惊艳全世界的南非双曲线大教堂是由伦敦著名的建筑事务所steynstudio 完成的，建筑师的设计灵感源于圣经的经文“上帝啊，你永无止境的爱是多么的珍贵，人们在你雄伟的翅膀下避难”．若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，）下支的一部分，且，则此双曲线的方程为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】双曲线，由题意可得：∴双曲线为，即．故选：A ．8．（2021·全国高三模拟预测（理））将双曲线x 2﹣y 2＝2绕原点逆时针旋转45°后可得到双曲线y ，据此类推可求得双曲线y 的焦距为（）PF (c,0)F by x a=b a OPF △12a bc ++=5454c a =9124a b +=222c a b =+22916b a =4a =22221y x a b -=0a >0b >(1,2)-2222y x -=22235y x -=2224y x -=223y x -=22221y x a b -=222222222224111332c a b a b a b c c a⎧⎪=+⎧=⎪⎪⎪-=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪=⎪⎩2212y x -=2222y x -=1x=31x =-A ．B ．C ．4D ．【答案】D 【解析】双曲线y 的图象可由y 进行形状不变的变换而得，∴双曲线y 的图象与双曲线y 的图象全等，它们的焦距相同，根据题意：“将双曲线x 2﹣y 2＝2绕原点逆时针旋转45°后可得到双曲线y”类比可得：将双曲线x 2﹣y 2＝6绕原点逆时针旋转45°后可得到双曲线y，而双曲线x 2﹣y 2＝6的a ＝b c ＝∴焦距为2c ＝故选：D ．9．（2021·湖南天心·长郡中学高三月考）已知双曲线的左，右焦点分别为、，过点作倾斜角为的直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若，且双曲线C 的离心率为2．则（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由双曲线的定义知，，∵，∴，即，∴，31x =-3x =31x =-3x =1x=3x==2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>1F 2F 2F θ1AB AF =cos θ=14132312122AF AF a -=1AB AF =212AF BF AF -=1222AF AF BF a -==1224BF BF a a =+=在中，由余弦定理知，，∵，故选A ．10．（2021·江西南昌·（文））已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且斜率为l 与C 在第一象限交于N 点，若，则双曲线的离心率为（）A ．2B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】作出双曲线的大致图象，如图所示：由题意可知：，，，由余弦定理可得：即，整理得：，所以，解得或（舍），故选：B二、多选题11．（2021·山东青岛·高三开学考试）已知椭圆过双曲线的焦点，的焦点恰为的顶点，与的交点按逆时针方向分别为，，，，为坐标原点，则（）12BF F △2222121212||||||cos 2||||BF F F BF BF F F θ+-=⋅2222244163cos 2222a c a c a a c ac θ+--∴==⋅⋅4312,cos 44c e a θ-==∴==()2222:10,0x y C a b a b -=>>1F 2F 2F 17NF a =213F NF π∠=212725NF NF a a a a =-=-=122F F c =222212112212cos 2NF F F NF F N NF F F F +-=⨯⨯∠()()()22252712252a c a a c+-=⨯⨯2225120c ac a --=225120e e --=4e =32e =-221:14x C y +=22222:1(,0)x y C a b a b -=>1C 2C 1C 2C A B CD OA ．B ．的右焦点到C ．点到的两顶点的距离之和等于D ．四边形【答案】ACD【解析】如下图所示，设双曲线的焦距为，由题意可知：，，所以的离心率为，故A 正确；的右焦点，方程中，所以的渐近线方程为，不妨取渐近线，所以到B 错误；根据椭圆定义可知：，故C 正确；联立，所以，所以D 正确；故选：ACD.12．（2021·福建安溪·高三期中）设，是双曲线：的左､右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.）A ．B2C 1C 2C A 2C 4ABCD 2c 2c =a ==2C c e a ===1C )2C 1,b a ===2C y x =y =)y =214AF AF +=22221413x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩2224717x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22ABCD S ⎛== ⎝四边形1F 2F C 22221(0,0)x y a b a b -=>>O 2F C P 2F P b=C ．双曲线的渐近线方程为D ．点在直线上【答案】ABD【解析】由双曲线的性质可知，双曲线的一条渐近线方程为，焦点，，以该渐近线为例，由，故A 正确，，则，则在三角形中，根据余弦定理：，得，则离心率，故B 正确；又，∴渐近线方程为，故C 错误；设，则，又，解得，即点在直线上，故D 正确.故选：ABD .13．（2021·广东盐田·深圳外国语学校高三月考）已知双曲线，（）A．B ．若的顶点坐标为，则C ．的焦点坐标为D ．若，则的渐近线方程为【答案】BD【解析】A项：因为方程表示双曲线，所以，解得或，A 错误；B 项：因为的顶点坐标为，所以，解得，B 正确；y =P x=by x a=()1,0F c -()2,0F c 2F b =a =122cos cos OPaF OP POF OF c∠=-∠=-=-1OPF 22222211115cos 22OP OF PF a c a a F OP OP OF ac c+-+-∠===-222c a =e =c e a ==1b a =y x =±()00,P x y 00y x =OP a =0x =P x =22:121x y W m m -=++(2,1)m ∈--W (0,3m =-W ()1,0±0m =W 0x ±=22121x y m m -=++()()210m m ++>1m >-2m <-W (0,21m --=3m =-C 项：当时，，当时，，C 错误；D 项：当时，双曲线的标准方程为，则渐近线方程为，D 正确，故选：BD.14．（2021·沙坪坝·重庆南开中学高三月考）抛物线与双曲线具有共同的焦点F ，过F 作的一条渐近线的垂线l ，垂足为H ，与交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则有（）A ．B ．的渐近线方程为C ．D ．若l 的倾斜角为锐角，则经过O 、F 且与直线l 相切的圆的标准方程为【答案】BCD【解析】双曲线的右焦点为，可得A 错误，双曲线的渐近线方程为，所以B 正确；由点到直线，所以C 正确，设所求圆的方程为，由题意可得，直线的方程为，解得，可得圆的方程为，所以D 正确，故选：BCD15．（2021·湖南长沙·高三模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，，过点的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于M ，N 两点，若，(点O 为坐1m >-()()22123c m m m =+++=+2m <-()()22123c m m m =-+-+=--0m =W 2212x y -=0x =21:2(0)C y px p =>222:193x y C -=2C 1C p =2C y =3OH =22((1)4x y +-=222:193x y C -=F 2p =p =222:193x y C -=y =F y =3=222()()x a y b r -+-=22222)a b a b r +=+=l y x =-r 1,2a b r ===22((1)4x y +-=2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>1F 2F 2F 12212NF F NF F ∠=∠22ON OF OM +=标原点)，则下列说法正确的是（）A ．双曲线CB ．C ．D．【答案】BC【解析】由于，故点M 为的中点，所以，所以，所以，所以，故，所以，所以，所以，故C 的离心率，故A 错误；因为，所以，所以的面积为，故，故B 正确；由于，所以，故C 正确；由于，故D 错误.故选：BC.16．（2021·辽宁铁岭·高三二模）设，分别是双曲线的左右焦点，过作轴的垂线与C 交于A ，B 两点，若为正三角形，则（）A ．B ．C 的焦距为C ．CD ．的面积为【答案】ACD【解析】设，则，离心率C 正确.，选项A 正确.12MF F △212tan MF F ∠12MF a=22ON OF OM +=2NF 1//NF OM 122NF F MOF ∠=∠222MOF MF O ∠=∠12222NOF MOF MF O MF O MNO ∠=∠=∠=∠+∠2MNO MF O ∠=∠OM ⊥2NF 12NF NF ⊥21260MOF NF F ︒∠=∠=tan 60b a ︒==2c a ==1224F F c a ==12|2,||NF a NF ==∣12NF F △2122a ⋅⋅=12MF F △211||tan MN NF M NF ∠==()121tan tan 60MF F NF M ︒∠=-∠=1||MF ==1F 2F 22:1y C x b-=2F x 1ABF V 2b =1ABF V 2AF t =12AF t =e =2b =B 错误.的面积为D 正确.故选：ACD .17．（2021·江苏南通·高三模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，，O 为坐标原点，圆，P 是双曲线C 与圆O 的一个交点，且，则下列结论中正确的有（）A ．双曲线CB ．点C ．的面积为D ．双曲线C 上任意一点到两条渐近线的距离之积为2【答案】ABD【解析】解：∵双曲线，∴，又圆，∴圆O 的半径为c ，∴为圆O 的直径，∴，故作图如下：对于A ，∵，∴，∴，令，则，12F F ==1ABF V 121221b F F =222:1(0)5x y C a a -=>1F 2F 222:5O x y a +=+21tan 3PF F ∠=1F 21PF F V 222:105()x y C a a -=＞225c a =+222:5O x y a +=+12||F F 122F PF π∠=21tan 3PF F ∠=1212tan 3PF PF F PF ∠==123||PF PF =20||()PF m m =>1||3PF m =∴，∴，又，∴双曲线C 的离心率，故A 正确；对于B ，由于到渐近线的距离，故B 正确；对于C ，由离心率得，，∴，∴，，∴的面积为，故C 错误；对于D ，由得双曲线C的方程为：，故其两条渐近线方程为，设为双曲线C 上任意一点，则，即①，到两条渐近线的距离，，∴，故D 正确；故选：ABD.18．（2021·全国（文））已知双曲线的左､右焦点分别是，，直线l 过交C的右支于A ，B 两点，A 在第一象限，若.且，，成等差数列，则以下正确的是（）A ．B ．l 的斜率为3C ．CD ．C 的两条渐近线互相垂直【答案】BC 【解析】如图所示：()22221231||0F F m m m =+=12||2F F c ==12||22m PF PF a -==22c e a ===()1,0F c -y =d =e =2103a =21025533c =+=122||F F c ===2||m PF ==1||3PF m ==21PF F V 152=2103a =2211053x y -=y x =0±=(),M p q 2211053q p -=223211010p q -=(),M p q 1d =2d =22123210255p q d d -====2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>1F 2F 2F 190ABF ∠=︒1AF AB 1BF 112AF BF =由于，，成等差数列，则，由双曲线定义可知，，，所以，又，所以，设，所以，又，所以，即，所以，即，则，故A 错误；的斜率为，故B 正确；又在中，，所以，即，所以离心率，故C 正确；因为，故D 错误；故选：BC. 三、填空题19．（2021·上海高三模拟预测）已知双曲线的渐近线方程为，且___________.【答案】或【解析】因为双曲线的渐近线方程为，1AF AB 1BF 112A F AB F B =+122AF AF a -=122BF BF a -=121222AF AF a BF BF a =+=+，22AF F AB B =+4AB a =2AF x =111226AF x a BF AB AF a x =+=-=-，190ABF ∠=︒22211AF AB BF =+()()2222166x a a a x +=+-3x a =1125,3,AF a BF a BF a ===1153AF BF =l 122123tan tan 3BF aAF x BF F BF a∠=∠===12Rt BF F V 2221212BF BF F F +=()()()22232a a c +=22104a c =c e a ==b a ==312b b a a ⎛⎫⨯- =-≠-⎪⎝⎭320x y ±=c =221818x y -=320x y ±=则可设双曲线的方程为，即，因为所以，解得，所以双曲线的方程为或.故答案为：或.20．（2021·上海浦东新·上外浦东附中高三月考）若双曲线的一个焦点为，则实数__________．【答案】3【解析】双曲线的一个焦点为，所以且，所以.故答案为：321．（2021·上海普陀·曹杨二中）若双曲线的右焦点与圆的圆心重合，则___________.【解析】由可得，所以所以双曲线的右焦点坐标为，由可得，所以圆心坐标为，，解得22．（2021·全国高三月考）已知双曲线：，与共渐近线的双曲线过，则的方程是___________.【答案】2249x y λ-=()221049x y λλλ-=≠c =4926λλ+=2λ=±221818x y -=221188y x -=221818x y -=221188y x -=221x y m -=(2,0)F m =221x y m -=(2,0)F 0m >14m +=3m =2221(0)x y a a -=>2240x y x +-=a =2221x y a -=221c a =+c =)2240x y x +-=()2224x y -+=()2,02=a =a =1C 22148x y-=1C 2C ()2,42C 22184y x -=【解析】设双曲线的方程为：，由题得所以双曲线的方程为：即：.故答案为：23．（2021·全国高三专题练习）已知F 1,F 2是双曲线的左右焦点，若直线与双曲线C 交于P ,Q 两点，且四边形F 1PF 2Q 是矩形，则双曲线的离心率为___________【解析】由题意，矩形的对角线长相等，把代入，得，∴，即4a 2b 2=(b 23a 2)c 2，∴4a 2(c 2a 2)=(c24a 2)c 2，可得e 48e 2+4=0，又e ＞1，∴.24．（2021·河北沧州·高三月考）双曲线的左右焦点分别为，，离心率为，过作直线的垂线交双曲线右支于点P ，若，则____________．2C 2248x y λ-=2224,121,48λλ-=∴=-=-2C 221,48x y -=-22184y x -=22184y x -=2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>y =1y =22221(0,0)x y a b a b -=>>x y ==2222243a b c b a=-----24e =+1e =+1()222210,0x y a b a b-=>>1F 2F e 1F b y x a =-123F PF π∠=2e =【解析】设作直线的垂线的垂足为，过点作于，，所以，所以，因为，所以，又因为，根据双曲线的定义得，在中，,所以，即四、解答题25．（2021·全国高三专题练习（文））在①，且的左支上的点与右焦点间的距离的最小值为②的焦距为6，③上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为4，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解问题．问题：已知双曲线，______，求的方程．1F by x a=-N 2F 21F M F P ⊥M ()()21,0,,0F c F c -1N b F ==12F M b =122F F c =22F M a =123F PF π∠=12222PF PF a a a ⎛=== ⎝+12F PF △22122211221cos 2PF PF P F F F PF F PF +-∠=⋅2212=22c =2e =0m >C 3C C 22:12x y C m m-=C【答案】答案见解析【解析】方案一选择条件①．因为，所以，，，所以因为的左支上的点到右焦点的距离的最小值为，解得，故的方程为．方案二选择条件②．因为的焦距为6，所以．若，则，，，所以，解得，则的方程为；若，则，，，所以，解得，则的方程为．综上，的方程为或．方案三选择条件③．因为上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为4，所以，即．若，则，所以，解得，则的方程为；若，则，所以，解得，则的方程为．综上，的方程为或．26．（2021·湖南）已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为（1）求双曲线的标准方程；（2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）由焦点可知，又一条渐近线方程为0m >2a m=22b m =2223c a b m =+=a =c =C a c +(13=+=3m =C 22136x y -=C 3c =0m >2a m =22b m =2223c a b m =+=3c ==3m =C 22136x y -=0m <22a m =-2b m =-2223c a b m =+=-3c =3m =-C 22163y x -=C 22136x y -=22163y x -=C 24a =2a =0m >2a m =2a ==4m =C 22148x y -=0m <22a m =-2a ==2m =-C 22142-=y x C 22148x y -=22142-=y x 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>)20x y -=C 34πl C ,A B AB l 2214y x -=30x y +-=c =20x y -=所以，由可得 ,解得，，故双曲线的标准方程为（2）设，AB 中点的坐标为则①，②，②①得：，即，又，所以，所以直线的方程为，即27．（2021·福建龙岩·高三三模）已知，曲线由曲线和曲线组成，其中曲线的右焦点为，曲线的左焦点.（1）求的值；（2）若直线过点交曲线于点，求面积的最大值.【答案】（1）（2.【解析】（1）由题意：，，解得即（2）由（1）知，曲线，点，设直线的方程为：，联立得：，，又，，设，，，2ba=222c a b =+2254a a =+21a =24b =C 2214y x -=1122(,),(,)A x y B x y 0(,4)x 221114y x -=222214y x -=-2222212144y y x x -=-0000444x x k x y ===3tan 14k π==-01x =-l 4(1)y x -=-+30x y +-=0a b >>Γ()22122:10x y C y a b +=≥22222:1(0)x y C y a b -=<1C ()12,0F 2C ()26,0F -,a b l 2F 1C ,A B 1ABF V 4a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩12(2,0),(6,0)F F - 2222364a b a b ⎧+=∴⎨-=⎩222016a b ⎧=⎨=⎩4a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩221:1(0)2016x y C y +=≥2(6,0)F -l 6(0)x my m =->22612016x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()225448640m y my +-+=22(48)464(54)0m m ∴∆=-⨯⨯+>0m >1m ∴>()()1122,,,A x y B x y 1224854m y y m ∴+=+1226454y y m =+，面积令，，，当且仅当，即所以. 28．（2021·全国（文））如图，若是双曲线的两个焦点.（1）若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离；（2）若P 是双曲线左支上的点，且，试求的面积.【答案】（1）10或22；（2）.【解析】解：（1）是双曲线的两个焦点，则，点M 到它的一个焦点的距离等于16，设点到另一个焦点的距离为，则由双曲线定义可知，，解得或，即点到另一个焦点的距离为或；（2）P 是双曲线左支上的点，则，则，而，所以，即，12y y ∴=-=1ABF ∴V 212111822S F F y y =-=⨯=0t >221m t ∴=+S ∴==32t =m =1ABF V 12,F F 221916x y -=12|||3|2F PF P =⋅12F PF △1216F PF S =△12,F F 221916x y -=3,4,5a b c ===M m |16|26m a -==10m =22m =M 102221||||26PF PF a -==221221||2||||||36PF PF PF PF -⋅+=12|||3|2F PF P =⋅2212||||36232100PF PF +=+⨯=2221212||||||100PF PF F F +==所以为直角三角形，，所以.29．（2021·全国高三专题练习（理））已知双曲线，且其顶点到其渐.（1）求双曲线的标准方程；（2）直线：与双曲线交于，两点，若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题得顶点到渐近线，即离心率，则可解得，故双曲线方程为；（2）设，联立可得，则，解得，则，解得.30．（2021·新疆（文））已知椭圆且与双曲线有相同的焦点.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左焦点为，过的直线与椭圆相交于两点，若，求直线的方程.【答案】（1）；（2.12F PF △1290F PF ∠=︒121211||||321622F PF S PF PF =⋅=⨯=V ()222210,0x y a b a b -=>>l 3y x m =+A B AB =m 22143x y -=6±(),0a b y x a =0bx ay -=c e a ==222+=a b c 2,a b ==22143x y -=()()1122,,,A x y B x y 221433x y y x m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩2233244120x mx m +++=()()22244334120m m ∆=-⨯⨯+>233m >2121224412,3333m m x x x x ++=-=AB ==6m =±()2222:10x y C a b a b +=>>2212x y -=C C F F l C ,A B 1613AB =l 2214x y +=30y -+=30y ++=【解析】（1）由题意，双曲线的焦点为，所以依题意知椭圆中解得：所以椭圆的方程为（2）由（1）知椭圆的左焦点为为依题意可设为直线的方程为设将直线的方程代入椭圆方程整理得解得故直线()222c c e b a c a ===-224,1a b ==C 2214x y +=C F ()l x my =()()1122,,,A x y B x y l 2214x y +=()22410m y +--=1212214y y y y m ∴+==-+-1613==m =l 30y -+=30y ++=。

高考数学一轮复习第九章解析几何第六节双曲线课后作业理(2).doc

【创新方案】2017届高考数学一轮复习第九章解析几何第六节双曲线课后作业理[全盘巩固]一、选择题1．若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等2．已知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，且经过点(2,2)，则C 的方程为( ) A.x 23－y 212＝1 B.x 212－y 23＝1C.y 23－x 212＝1 D.y 212－x 23＝1 3．(2016·长春模拟)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线的一个交点是P ，且△F 1PF 2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是( )A. 2B. 3 C ．2 D ．54．若双曲线x 2＋y 2m ＝1的一条渐近线的倾斜角α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，则m 的取值范围是( )A ．(－3,0)B ．(－3，0)C ．(0,3) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0 5．(2016·郑州模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作斜率为－1的直线交双曲线的渐近线于点P ，点P 在第一象限，O 为坐标原点，若△OFP 的面积为a 2＋b 28，则该双曲线的离心率为( )A.53 B.73 C.103 D.153二、填空题6．若双曲线x 216－y 2m ＝1的离心率为174，则m ＝________.7．(2016·商丘模拟)双曲线tx 2－y 2－1＝0的一条渐近线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，则双曲线的离心率为________．8．已知双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点是(4,3)．则此双曲线的方程为________．三、解答题9．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上； (3)在(2)的条件下求△F 1MF 2的面积．10．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使求t 的值及点D 的坐标．[冲击名校]1．(2016·孝感模拟)已知点F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右两焦点，若双曲线左支上存在点P 与点F 2关于直线y ＝b ax 对称，则双曲线的离心率为( )A. 2B.52C ．2 D. 52．若点P 在曲线C 1：x216－y29＝1上，点Q 在曲线C 2：(x －5)2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：(x ＋5)2＋y 2＝1上，则|PQ |－|PR |的最大值是________．3．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1. (1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．答案 [全盘巩固]一、选择题1．解析：选D 由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等．2．解析：选A 由题意，设双曲线C 的方程为y 24－x 2＝λ(λ≠0)，因为双曲线C 过点(2,2)，则224－22＝λ，解得λ＝－3，所以双曲线C 的方程为y 24－x 2＝－3，即x 23－y 212＝1.3．解析：选D 不妨设点P 位于第一象限，F 1为左焦点，|PF 2|＝m －d ，|PF 1|＝m ，|F 1F 2|＝m ＋d ，其中m ＞d ＞0，则有(m －d )2＋m 2＝(m ＋d )2，解得m ＝4d ，故双曲线的离心率 e ＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|＝5.4．解析：选A 由题意可知m <0，双曲线的标准方程为x 2－y 2－m＝1，经过第一、三象限的渐近线方程为y ＝－mx ，因为其倾斜角α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，所以－m ＝tan α∈(0，3)，故m ∈(－3,0)．5．解析：选C 如图所示，由 k PF ＝－1得∠PFO ＝π4，由 k OP ＝tan ∠POF ＝ba得sin ∠POF ＝ba 2＋b2＝bc，cos ∠POF ＝aa 2＋b 2＝a c，所以sin ∠OPF ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠POF ＋π4＝b c ×22＋a c ×22＝a ＋b 2c .又因为S △OPF ＝12c ·|PF |·22＝a 2＋b 28＝c 28，得|PF |＝c22，由正弦定理得a ＋b 2c c ＝bc c 22，整理得a ＝3b ，又a 2＋b 2＝c 2，故e ＝103. 二、填空题6．解析：由a 2＝16，b 2＝m ，得c 2＝16＋m ，所以e ＝16＋m 4＝174，即m ＝1. 答案：17．解析：由题意知渐近线的斜率为12，∴e ＝ca ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝1＋14＝52. 答案：528．解析：由题意，c ＝42＋32＝5， ∴a 2＋b 2＝c 2＝25.①又双曲线的渐近线为y ＝±a b x ，∴a b ＝34.②则由①②解得a ＝3，b ＝4， ∴双曲线方程为y 29－x 216＝1.答案：y 29－x 216＝1三、解答题9．解：(1)∵离心率e ＝2，∴双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，则由点(4，－10)在双曲线上，可得λ＝42－(－10)2＝6， ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：∵点M (3，m )在双曲线上， ∴32－m 2＝6，∴m 2＝3，又双曲线x 2－y 2＝6的焦点为F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴＝(－23－3，－m )·(23－3，－m )＝(－3)2－(23)2＋m 2＝9－12＋3＝0，∴MF 1⊥MF 2，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上， (3)S △F 1MF 2＝12×43×|m |＝6.10．解：(1)由题意知a ＝23， ∴一条渐近线为y ＝b23x ，即bx －23y ＝0， ∴|bc |b 2＋12＝ 3. ∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 212－y 203＝1，∴⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3.由得(163，12)＝(43t,3t )，∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．[冲击名校]1．解析：选D 过焦点F 2且垂直于渐近线的直线方程为：y －0＝－a b(x －c )，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，y －0＝－abx －c ，解得x ＝a 2c ，y ＝ab c ，故对称中心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c ，由中点坐标公式可得对称点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a2c －c ，2ab c ，将其代入双曲线的方程可得a 2－c 22a 2c 2－4a 2b2b 2c2＝1，结合a 2＋b 2＝c 2，化简可得c 2＝5a 2，故可得e ＝ca＝ 5.2．解析：依题意得，点F 1(－5,0)，F 2(5,0)分别为双曲线C 1的左、右焦点，因此有|PQ |－|PR |≤|(|PF 2|＋1)－(|PF 1|－1)|≤||PF 2|－|PF 1||＋2＝2×4＋2＝10，故|PQ |－|PR |的最大值是10.答案：103．解：(1)双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1有两个不同的实数根，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋－k2，解得－2<k <2且k ≠±1.双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 与y 轴交于点D (0，－1)，由(1)知，C 与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.当A ，B 在双曲线的一支上且|x 1|>|x 2|时，S △OAB ＝S △OAD －S △OBD ＝12(|x 1|－|x 2|)＝12|x 1－x 2|；当A ，B 在双曲线的两支上且x 1>x 2时，S △OAB ＝S △ODA ＋S △OBD ＝12(|x 1|＋|x 2|)＝12|x 1－x 2|.∴S △OAB ＝12|x 1－x 2|＝2，∴(x 1－x 2)2＝(22)2，即⎝⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62.又∵－2<k <2，且k ≠±1， ∴当k ＝0或k ＝±62时，△AOB 的面积为 2.。

(精校)《双曲线》练习题经典(含答案)(可编辑修改)

而 MAMB ＝x1x2＋（y1＋2）·（y2＋2)＝x1x2＋ x1· x2＝3x1x2＝Error!，
∴Error!＝－Error!，解得 λ＝－14。∴曲线 C 的方程是 x2－Error!＝1。
31．(本题满分 12 分) 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 2, 0 ，右顶点为 3, 0 。
y2 D. －＝1
3
11．设 F1，F2 是双曲线 x2－＝1 的两个焦点，P 是双曲线上的一点,且 3｜PF1|＝4｜PF2｜，则△
PF1F2 的面积等于( C ） A．4Error!
B．8
C．24
D．48
12．过双曲线 x2－y2＝8 的左焦点 F1 有一条弦 PQ 在左支上，若｜PQ|＝7，F2 是双曲线的右焦点，
9λ
（2）由题设知直线 l 的方程为 y＝Error!x－2，设 A（x1，y1）,B(x2，y2），
联立方程组
y y2
2x x2
2, 1.
消去
y
得：（λ＋2)x2－4
x＋4－λ＝0.
∵方程组有两解,∴λ＋2≠0 且 Δ>0,
∴λ>2 或 λ〈0 且 λ≠－2,x1·x2＝Error!,
A． ﹣ =1 B． ﹣ =1 C． ﹣ =1 D． ﹣ =1
17．如图，F1、F2 是双曲线
=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过 F1 的直
线 l 与双曲线的左右两支分别交于点 A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（ B ）
A．4 B． C．
D．
18．如图，已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为 F1，F2，｜F1F2|=4，P 是
30。已知曲线 C：＋x2＝1.

理科数学全国通用版一轮复习课时跟踪检测第9章第6节双曲线

第九章解析几何第六节双曲线A 级·基础过关 |固根基|1.(2019届河北九校第二次联考)已知双曲线的方程为y 24－x 29＝1，则下列关于双曲线说法正确的是( )A ．虚轴长为4B ．焦距为2 5C ．离心率为133D ．渐近线方程为2x ±3y ＝0解析：选D 由题意知，双曲线y 24－x 29＝1的焦点在y 轴上，且a 2＝4，b 2＝9，故c 2＝13，所以选项A 、B 不对；离心率e ＝c a ＝132，所以选项C 不对；由双曲线的渐近线知选项D 正确．故选D ．2．(2019届福建省质检)已知双曲线C 的中心在坐标原点，一个焦点(5，0)到渐近线的距离等于2，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±12x B ．y ＝±23x C ．y ＝±32xD ．y ＝±2x解析：选D 设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则由题意，得c ＝ 5.双曲线C 的渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0，所以5bb 2＋a 2c 2＝a 2＋b 2＝5，所以b ＝2，所以a ＝c 2－b 2＝1，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，故选D ．3．(2019届江西省八所重点中学联考)已知点P (3，2)为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)上一点，则它的离心率为( )A ．32B ．233C ． 3D ．2 3解析：选B 由双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)可得b 2P (3，2)在双曲线上可得9a 2－2＝1，解得a 2＝3，∴e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋13＝43，解得e ＝233，故选B ．4．(2020届惠州调研)设双曲线的一条渐近线为直线y ＝2x ，一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点相同，则此双曲线的方程为( )A ．54x 2－5y 2＝1 B ．5y 2－54x 2＝1C ．5x 2－54y 2＝1D ．54y 2－5x 2＝1解析：选C 抛物线y 2＝4x 的焦点为(1，0)，则双曲线的一个焦点为(1，0)，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，12＝a 2＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝45，所以双曲线的方程为5x 2－54y 2＝1，故选C ．5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点F 向两条渐近线作垂线，垂足分别为M ，N ，若四边形OMFN 的面积为3，其中O 为坐标原点，则该双曲线的焦距为( )A ．2B ． 3C ．3D ．4解析：选D 由双曲线的离心率为2可得，c 2a 2＝4，又a 2＋b 2＝c 2，所以ba ＝ 3.因为F (c ，0)到渐近线y ＝±ba x 的距离d ＝|FM |＝|FN |＝bc a 2＋b2＝b ，所以|OM |＝|ON |＝c 2－b 2＝a ，故S 四边形OMFN ＝2S △OMF ＝2×12ab ＝3，得ab ＝ 3.又ba ＝3，所以a ＝1，b ＝3，得c ＝2，故该双曲线的焦距为2c ＝4.6．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为103，抛物线D ：x 2＝2py (p >0)的准线方程为y ＝－92，若点P (m ，1)是抛物线D 与双曲线C 的一个公共点，则双曲线C 的标准方程为( )A ．x 29－y 24＝1 B ．x 29－y 2＝1 C ．x 23－y 2＝1D ．x 210－y 29＝1解析：选B 由已知可得，e 2＝a 2＋b 2a 2＝109，所以a 2＝9b 2，即b ＝13a . 由抛物线D ：x 2＝2py (p >0)的准线方程为y ＝－92，得－p 2＝－92，解得p ＝9，所以抛物线D 的方程为x 2＝18y .由点P (m ，1)在抛物线D 上，得m 2＝18，解得m ＝±3 2.又点P (m ，1)在双曲线C 上，可得⎩⎪⎨⎪⎧18a 2－1b 2＝1，b ＝13a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝1.故双曲线C 的标准方程为x 29－y 2B ．7．(2019届潍坊市高三统一考试)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到渐近线的距离为3，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为( )A ．1B ． 3C ．2D ．2 3解析：选C 由题意知双曲线的焦点(c ，0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为bc a 2＋b 2＝b ＝3，即c 2－a 2e ＝ca ＝2，所以a ＝1，所以该双曲线的实轴的长为2a ＝2.8．(2020届大同调研)已知F 1，F 2是双曲线M ：y 24－x 2m 2＝1的焦点，y ＝255x 是双曲线M 的一条渐近线，离心率等于34的椭圆E 与双曲线M 的焦点相同，P 是椭圆E 与双曲线M 的一个公共点，则|PF 1|·|PF 2|＝( )A ．8B ．6C ．10D ．12解析：选D 由M 的一条渐近线方程为y ＝255x ，得255＝2|m |，解得m 2＝5，所以M 的半焦距cE 与双曲线M 的焦点相同，椭圆E 的离心率e ＝34，所以E 的长半轴长a ＝4.不妨设|PF 1|＞|PF 2|，根据椭圆与双曲线的定义有|PF 1|＋|PF 2|＝8，|PF 1|－|PF 2|＝4，解得|PF 1|＝6，|PF 2|＝2，所以|PF 1|·|PF 2|＝12，故选D ．9．(2019届洛阳市高三第一次联考)设双曲线C ：x 216－y 29＝1的右焦点为F ，过F 作双曲线C 的渐近线的垂线，垂足分别为M ，N ，若d 是双曲线上任意一点P 到直线MN 的距离，则d|PF |的值为( )A ．34B ．45C ．54D ．无法确定解析：选B 在双曲线C ：x 216－y 29＝1中，a ＝4，b ＝3，c ＝5，右焦点F (5，0)，渐近线方程为y ＝±34x .不妨设M 在直线y ＝34x 上，N 在直线y ＝－34x 上，则直线MF 的斜率为－43，其方程为y ＝－43(x －5)，设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，34t ，代入直线MF 的方程，得34t ＝－43(t －5)，解得t ＝165，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫165，125.由对称性可得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫165，－125，所以直线MN 的方程为x ＝165.设P (m ，n )，则d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m －165，m 216－n 29＝1，即n 2＝916(m 2－16)，则|PF |＝（m －5）2＋n 2＝14|5m －16|，故d|PF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m －16514|5m －16|＝45，故选B ．10．(2019届郑州市第一次质量预测)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，实轴长为6，渐近线方程为y ＝±13x ，动点M 在双曲线左支上，点N 为圆E ：x 2＋(y ＋6)2＝1上一点，则|MN |＋|MF 2|的最小值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：选B 由题意，知2a ＝6，则a ＝3，又由b a ＝13，得b ＝1，所以c ＝a 2＋b 2＝10，则F 1(－10，0)．根据双曲线的定义知|MF 2|＝2a ＋|MF 1|＝|MF 1|＋6，所以|MN |＋|MF 2|＝|MN |＋|MF 1|＋6＝|EN |＋|MN |＋|MF 1|＋5≥|F 1E |＋5＝（10）2＋（－6）2＋5＝9，故选B ．11．(2019届昆明市高三诊断测试)已知点P (1，3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线上，F 为双曲线C 的右焦点，O 为原点，若∠FPO ＝90°，则双曲线C 的方程为________．解析：设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，由渐近线过点P (1，3)，得ba ＝3，且|OPb ，即|PF |＝b ，在Rt △OPF 中，|OF |2＝|OP |2＋|PF |2，即c 2＝22＋b 2.又c 2＝a 2＋b 2，所以a ＝2，b ＝23，所以双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1.答案：x 24－y 212＝112．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率的取值范围是(1，2]，其左、右焦点分别为F 1，F 2，若M 是该双曲线右支上一点，则|MF 1||MF 2|＝________．解析：设|MF 1||MF 2|＝λ(λ>1)，则|MF 1|＝λ|MF 2|，由双曲线的定义知|MF 1|－|MF 2|＝2a ，所以|MF 2|＝2aλ－1，由题意知|MF 2|≥c －a ，即2aλ－1≥c －a ，解得e ≤2λ－1x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率的取值范围是(1，2]，所以2λ－1＋1＝2，解得λ＝3，即|MF 1||MF 2|＝3.答案：3B 级·素养提升 |练能力|13.(2019年天津卷)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( )A ． 2B ． 3C ．2D ． 5解析：选D 由题意，可得F (1，0)，直线l 的方程为x ＝－1，双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x .将x ＝－1代入y ＝±b a x ，得y ＝±ba ，所以点A ，B 的纵坐标的绝对值均为b a .由|AB |＝4|OF |可得，2ba ＝4，即b ＝2a ，即b 2＝4a 2，故双曲线的离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝ 5.故选D ．14．(2019年全国卷Ⅲ)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A ．324B ．322C ．2 2D ．3 2解析：选A 设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6，所以|OF |＝ 6.又tan ∠POF ＝b a ＝22，所以等腰三角形PFO 底边OF 上的高h ＝62×22＝32，所以S △PFO ＝12×6×32＝324.15．(2019年全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A ． 2B ． 3C ．2D ． 5解析：选A 如图，由题意知，以OF 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －c 22＋y 2＝c 24①，x 2＋y 2＝a 2②，①－②得x ＝a 2c ，则以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2的相交弦PQ 所在直线的方程为x ＝a 2c ，所以|PQ |＝2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2.由|PQ |＝|OF |，得2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2＝c ，整理得c 4－4a 2c 2＋4a 4＝0，即e 4－4e 2＋4＝0，解得e ＝2，故选A ．16．(2019年全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则双曲线C 的离心率为________．解析：解法一：因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，如图．所以|OF 1|＝|OB |，所以∠BF 1O ＝∠F 1BO ，所以∠BOF 2＝2∠BF 1O .因为F 1A →＝AB →，所以点A 为F 1B 的中点，又点O 为F 1F 2的中点，所以OA ∥BF 2，所以F 1B ⊥OA .因为直线OA ，OB 为双曲线C 的两条渐近线，所以tan ∠BF 1O ＝a b ，tan ∠BOF 2＝b a .因为tan ∠BOF 2＝tan 2∠BF 1O ，所以b a ＝2×a b 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2，所以b 2＝3a 2，所以c 2－a 2＝3a 2，即2a ＝c ，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝2.解法二：因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，在Rt △F 1BF 2中，|OB |＝|OF 2|，所以∠OBF 2＝∠OF 2B ．又F 1A →＝AB →，所以A 为F 1B 的中点，所以OA ∥F 2B ，所以∠F 1OA ＝∠OF 2B ．又∠F 1OA ＝∠BOF 2，所以△OBF 2为等边三角形．由F 2(c ，0)可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，3c 2，因为点B 在直线y ＝b a x 上，所以32c ＝b a ·c 2，所以b a ＝3，所以e ＝1＋b 2a 2＝2.答案：217．(2020届四川五校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过原点的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若∠AF 2B ＝60°，△ABF 2的面积为3a 2，则双曲线的渐近线方程为________________．解析：解法一：如图，连接AF 1，BF 1，则由双曲线的对称性得四边形AF 2BF 1是平行四边形，设|AF 2|＝x ，则|BF 1|＝x ，则|BF 2|＝x ＋2a ，由题意可知，S △ABF 2＝12x ·(x ＋2a )·32＝3a 2，解得x ＝(5－1)a 或x ＝(－5－1)a (舍去)，则|BF 2|＝(5＋1)a .在△BF 1F 2中，由余弦定理得4c 2＝(5－1)2a 2＋(5＋1)2a 2－2(5－1)(5＋1)a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，化简得c 2＝4a 2.又在双曲线中c 2＝a 2＋b 2，故b 2＝3a 2，ba ＝±3，所以渐近线方程为y ＝±3x .解法二：如图，连接AF 1，BF 1，则由双曲线的对称性得四边形AF 2BF 1是平行四边形．因为∠AF 2B ＝60°，所以∠F 1AF 2＝120°，所以S △ABF 2＝12S AF 2BF 1＝S △AF 1F 2＝b 2tan 60°＝3a 2，得b 2a 2＝3，ba ＝±3，所以渐近线方程为y ＝±3x . 答案：y ＝±3x18．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F 1，P 为双曲线右支上的一点，过点F 1作与x 轴垂直的直线l ，若点P 到直线l 的距离d 满足d |PF 1|＝23，则双曲线的离心率e 的取值范围为________．解析：设P (x 0，y 0)，则x 0≥a ，d ＝x 0＋c .因为点P 在双曲线上，所以x 20a 2－y 20b 2＝1，所以y 20＝b 2a2(x 20－a 2)，所以|PF 1|＝（x 0＋c ）2＋y 20＝（x 0＋c ）2＋b 2a 2（x 20－a 2）＝（cx 0）2＋2ca 2x 0＋a 4a 2＝a ＋ex 0，所以d|PF 1|＝x 0＋c a ＋ex 0＝23，得3c －2a ＝(2e －3)x 0，易知2e －3≠0，则x 0＝3c －2a 2e －3≥a ，解得e >32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞。

2021版新高考数学一轮复习第九章9.6双曲线课件新人教B版

互相垂直.
(5)√.由已知 e12
c12 a2
a
2
a2
b
2
，e
2 2
c
2 2
b2
a2 b2 ，所以 1
b2
e12
1
e
2 2
a2 a2 b2
b2 a2 b2
1.
【易错点索引】
序号 1
2 3
易错警示
典题索引
不能熟练应用平面几何知识进行条件转化
考点一、T1
条件考虑不全,不能正确求解范围(例如本题容易漏掉Δ>0 考点二、T2 对k的限定)
题中|F1F2|=8,故本题中点的轨迹为两条射线.
(2)√.渐近线方程的求法即为令等式右边常数等于0,然后开方即得.
(3)√.易知双曲线 x2 －y2 =1与 x2 －y2 =λ(λ≠0)渐近线相同,且 x2 －y2
mn
mn
mn
=λ(λ≠0)可表示渐近线为y=± n x的任意双曲线.
m
(4)√.因为是等轴双曲线,所以a=b,c= 2 a,离心率等于 2 ,渐近线方程为y=±x,
2.双曲线的标准方程与几何性质
【常用结论】 1.双曲线中的几个常用结论 (1)焦点到渐近线的距离为b. (2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线. (3)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e= 2 ⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系).
(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为 2b2 .
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与双曲线C相交； Δ=0⇔直线与双曲线C相切；Δ<0⇔直线与双曲线C相离. (2)当a=0，b≠0时，即得到的是一次方程，则直线l与双曲线C相交，且只有一个交点，此时，直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行.

高三数学一轮复习课时作业7：9.6 双曲线

9.6 双曲线一、选择题1．已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a ＞0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2 B.62C.52D ．12．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y 220＝1 B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y 225＝1 3．若实数k 满足0＜k ＜5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的( )A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等4．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF 1|－|PF 2|)2＝b 2－3ab ，则该双曲线的离心率为( )A. 2B.15 C ．4D.175．设a ，b 是关于t 的方程t 2cos θ＋t sin θ＝0的两个不等实根，则过A (a ，a 2)，B (b ，b 2)两点的直线与双曲线x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1的公共点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．36．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 二、填空题7．设双曲线C 的两个焦点为(－2，0)，(2，0)，一个顶点是(1,0)，则C 的方程为__________．8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F .若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|F A |＝c ，则双曲线的渐近线方程为__________．9．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是__________．三、解答题10．已知双曲线C ：x 24－y 2＝1，P 为C 上的任意点．(1)求证：点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； (2)设点A 的坐标为(3,0)，求|P A |的最小值．11．(2014·广东广州一模改编)已知双曲线E ：x 2a 2－y 24＝1(a ＞0)的中心为原点O ，左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为355，点P 是直线x ＝a 23上任意一点，点Q 在双曲线E 上，且满足PF 2→·QF 2→＝0.(1)求实数a 的值；(2)证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值．12．已知点M (－2,0)，N (2,0)，动点P 满足条件|PM |－|PN |＝22，记动点P 的轨迹为W .(1)求W 的方程；(2)若A 和B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA →·OB →的最小值．答案一、选择题 1．『解析』因为双曲线的方程为x 2a 2－y 23＝1，所以e 2＝1＋3a 2＝4，因此a 2＝1，a ＝1.选D.『答案』D2．『解析』由题意可得ba ＝2，c ＝5，所以c 2＝a 2＋b 2＝5a 2＝25，解得a 2＝5，b 2＝20，则所求双曲线的方程为x 25－y 220＝1.『答案』A3．『解析』由0＜k ＜5易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由于16＋5－k ＝16－k＋5，所以两曲线的焦距相等．选D.『答案』D4．『解析』根据已知条件，知||PF 1|－|PF 2||＝2a ，所以4a 2＝b 2－3ab ，所以b ＝4a ，双曲线的离心率e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝17，选择D. 『答案』D5．『解析』关于t 的方程t 2cos θ＋t sin θ＝0的两个不等实根为0，－tan θ(tan θ≠0)，则过A ，B 两点的直线方程为y ＝－x tan θ，双曲线x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1的渐近线为y ＝±x tan θ，所以直线y＝－x tan θ与双曲线没有公共点，故选A.『答案』A6．『解析』设双曲线的右焦点为F ，则F (c,0)(其中c ＝a 2＋b 2)，且c ＝|OF |＝r ＝4，不妨将直线x ＝a 代入双曲线的一条渐近线方程y ＝bax ，得y ＝b ，则A (a ，b )．由|F A |＝r ＝4，得a －42＋b 2＝4，即a 2－8a ＋16＋b 2＝16，所以c 2－8a ＝0，所以8a ＝c 2＝42，解得a ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12，所以所求双曲线的方程为x 24－y 212＝1. 『答案』A二、填空题7．『解析』根据已知条件可判断双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，所以a ＝1，c＝2，于是b 2＝c 2－a 2＝1，所以方程为x 2－y 2＝1.『答案』x 2－y 2＝18．『解析』抛物线x 2＝2py 的准线方程为y ＝－p 2，与双曲线的方程联立得x 2＝a 2⎝⎛⎭⎫1＋p 24b 2，根据已知得a 2⎝⎛⎭⎫1＋p 24b 2＝c 2 ①.由|AF |＝c ，得p 24＋a 2＝c 2 ②.由①②可得a 2＝b 2，即a ＝b ，所以所求双曲线的渐近线方程是y ＝±x .『答案』y ＝±x9．『解析』联立渐近线与直线方程可解得A ⎝⎛⎭⎫am 3b －a ，bm 3b －a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ma 3b ＋a ，bm 3b ＋a ，则kAB＝13，设AB 的中点为E ，由|P A |＝|PB |，可得AB 的中点E 与点P 两点连线的斜率为－3，化简得4b 2＝a 2，所以e ＝52. 『答案』52 三、解答题 10．『解析』(1)证明：设P (x 1，y 1)是双曲线上任意一点，则x 21－4y 21＝4.该双曲线的两条渐近线方程分别是x －2y ＝0和x ＋2y ＝0. 点P (x 1，y 1)到两条渐近线的距离分别是|x 1－2y 1|5和|x 1＋2y 1|5，它们的乘积是|x 1－2y 1|5·|x 1＋2y 1|5＝|x 21－4y 21|5＝45.点P 到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数． (2)设点P 的坐标为(x ，y )，则 |P A |2＝(x －3)2＋y 2＝(x －3)2＋x 24－1 ＝54⎝⎛⎭⎫x －1252＋45， ∵|x |≥2，∴当x ＝125时，|P A |2的最小值为45，即|P A |的最小值为255.11．『解析』(1)根据双曲线的定义可得双曲线的离心率为e ＝a 2＋4a ＝355，由于a ＞0，解得a ＝5，故双曲线E 的方程为x 25－y 24＝1.(2)证明：设点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫53，y ，点Q 的坐标为(x 0，y 0)⎝⎛⎭⎫x 0≠53，易知点F 2(3,0)，则PF 2→＝(3,0)－⎝⎛⎭⎫53，y ＝⎝⎛⎭⎫43，－y ，QF 2→＝(3,0)－(x 0，y 0)＝(3－x 0，－y 0)， ∴PF 2→·QF 2→＝43(3－x 0)＋(－y )·(－y 0)＝0⇒y ＝4x 0－33y 0，因此点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫53，4x 0－33y 0.故直线PQ 的斜率k PQ ＝y 0－yx 0－53＝y 0－4x 0－33y 0x 0－53＝3y 20－4x 0＋123x 0－5y 0. 又∵直线OQ 的斜率为k OQ ＝y 0x 0，∴直线PQ 与直线OQ 的斜率之积为k PQ ·k OQ ＝3y 20－4x 0＋123x 0－5y 0·y 0x 0＝3y 20－4x 0＋123x 20－5x 0.由于点Q (x 0，y 0)在双曲线E 上，∴x 205－y 204＝1.∴y 20＝4x 20－55，于是有k PQ ·k OQ ＝3y 20－4x 0＋123x 20－5x 0＝3×4x 20－55－4x 0＋123x 20－5x 0＝12x 20－5－20x 0＋6015x 20－25x 0＝12x 20－20x 015x 20－25x 0＝4x 03x 0－55x 03x 0－5＝45(定值)． 12．『解析』(1)由|PM |－|PN |＝22知动点P 的轨迹是以M 、N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长a ＝ 2.又半焦距c ＝2，故虚半轴长b ＝c 2－a 2＝ 2. 所以W 的方程为x 22－y 22＝1(x ≥2)．(2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2，y 1＝－y 2，从而OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 21－y 21＝2.当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与W 的方程联立，消去y 得(1－k 2)x 2－2kmx －m 2－2＝0，故x 1＋x 2＝2km1－k 2，x 1x 2＝m 2＋2k 2－1，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝1＋k 2m 2＋2k 2－1＋2k 2m 21－k 2＋m 2＝2k 2＋2k 2－1＝2＋4k 2－1. 又因为x 1x 2＞0，所以k 2－1＞0.从而OA →·OB →＞2.综上所述，当AB ⊥x 轴时，OA →·OB →取得最小值2.。

高考数学理科(人教B版)一轮复习课件：9.6 双曲线

线与直线 2x+y-3=0 垂直,则该双曲线的离心率是
.
答案: 2
√5
∵双曲线的一条渐近线与直线 2x+y-3=0 垂直, ∴�� = 2,∴a=2,∴c=√5,∴离心率 e=�� =
1 1 ��
√5
解析:由已知有双曲线渐近线的方程为 y=± , ��
2
��
.
学科素养·微专题
-3-
知识梳理
考点自诊
2.标准方程 (1)中心在坐标原点,焦点在 x
��2 ��
2 =1(a>0,b>0);
��2 轴上的双曲线的标准方程为��2
−
(2)中心在坐标原点,焦点在 y
��2 ��
2 =1(a>0,b>0).
��2 轴上的双曲线的标准方程为��2 −
��2 − ��2 =1(a>0,b>0)的离心
( √ ) ( √ )
学科素养·微专题
-9-
知识梳理
考点自诊
��2 2.若双曲线 E: 9
��2 − =1 16
的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲
线 E 上,且|PF1|=3,则|PF2|等于( B ) A.11 B.9 C.5 D.3
��2 ��2 (2)已知双曲线 2 − 2 =1(a>0,b>0)的左焦点为 ��
F1,左、右顶点分
关键能力·学案突破
-14-
考点1
考点2
考点3
考点4

2020届高考理科数学一轮复习第9章第6节双曲线含答案

第六节双曲线1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零❶常数(小于|F 1F 2|)❷的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a ＞0，c ＞0. 2．双曲线的标准方程和几何性质若将双曲线的定义中的“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉，则点的集合是双曲线的一支，具体是左支还是右支视情况而定．设双曲线上的点M 到两焦点F 1，F 2的距离之差的绝对值为2a ，则0＜2a ＜|F 1F 2|，这一条件不能忽略．①若2a ＝|F 1F 2|，则点M 的轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线； ②若2a ＞|F 1F 2|，则点M 的轨迹不存在；③若2a ＝0，则点M 的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线.[熟记常用结论]1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min＝c －a .3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a ；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .4．若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.5．若P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标为定值a .6．等轴双曲线(1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．(2)性质：①a ＝b ；②e ＝2；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．7．共轭双曲线(1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．(2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( ) (2)方程x 2m －y 2n ＝1(mn ＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m ＞0，n ＞0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.( ) (4)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e22＝1.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√二、选填题1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()A．2B．2 2C．4 D．4 2解析：选C双曲线2x2－y2＝8的标准方程为x24－y28＝1，故实轴长为4.2．若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为()A.⎝⎛⎭⎫22，0B.⎝⎛⎭⎫52，0C.⎝⎛⎭⎫62，0D．(3，0)解析：选C∵原方程可化为x21－y212＝1，∴a2＝1，b2＝12，∴c2＝a2＋b2＝32，∴右焦点坐标为⎝⎛⎭⎫62，0.3．若方程x22＋m－y2m＋1＝1表示双曲线，则m的取值范围是________.解析：因为方程x22＋m－y2m＋1＝1表示双曲线，所以(2＋m)(m＋1)＞0，即m＞－1或m＜－2.答案：(－∞，－2)∪(－1，＋∞)4．若双曲线x2－y2m＝1的离心率为3，则实数m＝________.解析：由已知可得a＝1，c＝1＋m，所以e＝ca＝1＋m＝3，解得m＝2.答案：25．双曲线C的焦点分别为(－6,0)，(6,0)，且经过点(－5,2)，则该双曲线的标准方程为____________________．解析：由题意得2a＝|(－5＋6)2＋22－(－5－6)2＋22|＝45，所以a＝25，又c＝6，所以b2＝c2－a2＝36－20＝16，所以双曲线的标准方程为x 220－y 216＝1.答案：x 220－y 216＝1考点一双曲线的标准方程[基础自学过关][题组练透]1．(2019·绵阳联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±34x ，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C 的标准方程为( )A.x 29－y 216＝1 B.x 216－y 29＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：选B 由题意得b a ＝34，c 2＝a 2＋b 2＝25，所以a ＝4，b ＝3，所以所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.2．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线标准方程是( )A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1解析：选B 法一：椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，因为双曲线过点P (2,1)，所以4a 2－1b2＝1，又a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求双曲线标准方程是x 22－y 2＝1.法二：设所求双曲线标准方程为x 24－λ＋y 21－λ＝1(1＜λ＜4)，将点P (2,1)的坐标代入可得44－λ＋11－λ＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线标准方程为x 22－y 2＝1.3．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点F 为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的标准方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 解析：选A 因为渐近线y ＝ba x 与直线x ＝a 交于点A (a ，b )，c ＝4且(4－a )2＋b 2＝4，解得a 2＝4，b 2＝12，因此双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.4．经过点P (3,27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为____________．解析：设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为所求双曲线经过点P (3,27)，Q (－62，7)，所以⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝125.故所求双曲线标准方程为y 225－x 275＝1.答案：y 225－x 275＝15．焦点在x 轴上，焦距为10，且与双曲线y 24－x 2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________．解析：设所求双曲线的标准方程为y 24－x 2＝－λ(λ＞0)，即x 2λ－y 24λ＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.答案：x 25－y 220＝1[名师微点]求双曲线标准方程的2种方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值． [提醒] 求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)求解．(如第4题)考点二双曲线的定义及其应用 [师生共研过关][典例精析](1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________________．(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________.(3)已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的一动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．[解析] (1)如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和点B ，根据两圆外切的充要条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |. 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝3－1＝2＜6.这表明动点M 到两定点C 2，C 1的距离的差是常数2且小于|C 1C 2|.根据双曲线的定义知，动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 到C 2的距离大，到C 1的距离小)，且a ＝1，c ＝3，则b 2＝8，设点M 的坐标为(x ，y )，则其轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．(2)∵由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， |PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.(3)因为F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，所以F (－4,0)，设其右焦点为H (4,0)，则由双曲线的定义可得|PF |＋|PA |＝2a ＋|PH |＋|PA |≥2a ＋|AH |＝4＋(4－1)2＋(0－4)2＝4＋5＝9.[答案] (1)x 2－y 28＝1(x ≤－1) (2)34(3)9[解题技法]双曲线定义的应用策略(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．(3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a ＜|F 1F 2|；③焦点所在坐标轴的位置．[过关训练]1．(2019·唐山模拟)已知F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积为( )A ．1 B.52C ．2D. 5解析：选A 不妨设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则由双曲线的定义可知||PF 1|－|PF 2||＝|m －n |＝4.又因为∠F 1PF 2＝90°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2＝20，即m 2＋n 2＝20.又||PF 1|－|PF 2||2＝|m －n |2＝16，所以mn ＝2.所以△F 1PF 2的面积为S ＝12mn ＝1，故选A.2．已知△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 内切圆的圆心在直线x ＝2上，则顶点C 的轨迹方程是( )A.x 24－y 221＝1(x ＞2) B.y 24－x 221＝1(y ＞2) C.x 221－y 24＝1 D.y 24－x 22＝1解析：选A 如图，△ABC 与内切圆的切点分别为G ，E ，F . |AG |＝|AE |＝7，|BF |＝|BG |＝3，|CE |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝7－3＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，方程为x 24－y 221＝1(x ＞2)．考点三双曲线的几何性质[全析考法过关][考法全析]考法(一) 求双曲线的离心率(或范围)[例1] (1)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 作垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(2,1＋2)D ．(1,1＋2)(2)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，直线4x －3y ＋20＝0过点F 且与双曲线C 在第二象限的交点为P ，O 为原点，|OP |＝|OF |，则双曲线C 的离心率为( )A ．5 B. 5 C.53D.54[解析] (1)若△ABE 是锐角三角形，只需∠AEF ＜45°，在Rt △AFE 中，|AF |＝b 2a ，|FE |＝a ＋c ，则b 2a ＜a ＋c ，即b 2＜a 2＋ac ，即2a 2－c 2＋ac ＞0，则e 2－e －2＜0，解得－1＜e ＜2，又e ＞1，则1＜e ＜2，故选B.(2)根据直线4x －3y ＋20＝0与x 轴的交点F 为(－5,0)，可知半焦距c ＝5，设双曲线C 的右焦点为F 2，连接PF 2，根据|OF 2|＝|OF |且|OP |＝|OF |可得，△PFF 2为直角三角形，如图，过点O 作OA 垂直于直线4x －3y ＋20＝0，垂足为A ，则易知OA 为△PFF 2的中位线，又原点O 到直线4x －3y ＋20＝0的距离d ＝4，所以|PF 2|＝2d ＝8，|PF |＝|FF 2|2－|PF 2|2＝6，故结合双曲线的定义可知|PF 2|－|PF |＝2a ＝2，所以a ＝1，故e ＝ca＝5.[答案] (1)B (2)A考法(二) 求双曲线的渐近线[例2] (2019·武汉调研)已知双曲线C ：x 2m 2－y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)的离心率与椭圆x 225＋y 216＝1的离心率互为倒数，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．4x ±3y ＝0B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±3y ＝0或3x ±4y ＝0D ．4x ±5y ＝0或5x ±4y ＝0[解析] 由题意知，椭圆中a 2＝25，b 2＝16，∴椭圆的离心率e ＝ 1－b 2a 2＝35， ∴双曲线的离心率为 1＋n 2m 2＝53，∴n m ＝43，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±n m x ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.故选A.[答案] A考法(三) 求双曲线的方程[例3] 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过F 和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 24＝1 B.x 28－y 28＝1C.x 24－y 28＝1 D.x 28－y 24＝1 [解析] 由离心率为2，可知a ＝b ，c ＝2a ，所以F (－2a ,0)，由题意知k PF ＝4－00－(－2a )＝42a ＝1，所以2a ＝4，解得a ＝22，所以双曲线的方程为x 28－y 28＝1.[答案] B[规律探求][过关训练]1．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±32x解析：选A ∵e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝3， ∴a 2＋b 2＝3a 2，∴b ＝2a . ∴渐近线方程为y ＝±2x .2．(2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A. 5B.2C. 3D. 2解析：选C 不妨设一条渐近线的方程为y ＝ba x ，则F 2到y ＝ba x 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b . 在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－(6a )22ac ＝－cos ∠POF 2＝－ac ，即3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca＝ 3.3．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点．若MF 1―→·MF 2―→＜0，则y 0的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎭⎫－223，223D.⎝⎛⎭⎫－233，233解析：选A 由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，设F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则MF 1―→＝(－3－x 0，－y 0)， MF 2―→＝(3－x 0，－y 0)． ∵MF 1―→·MF 2―→＜0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20＜0，即x 20－3＋y 20＜0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线C 上， ∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20＜0，∴－33＜y 0＜33.。

高三数学一轮复习-双曲线 (带答案)

解析几何—双曲线一、学习目标知识与技能：了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在解决实际问题时的应用。

过程与方法：掌握双曲线的定义、标准方程及简单的几何性质。

情感态度价值观：理解数形结合的思想，了解椭圆的简单应用。

二、学习重难点重点：双曲线的定义的灵活应用、利用标准方程研究几何性质，尤其是离心率求值问题。

难点：双曲线的综合问题三、考纲解读：掌握双曲线的定义、标准方程,能够根据条件利用待定系数法求双曲线方程. 四、知识链接1.共渐近线的双曲线系方程：与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线的双曲线系方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，若λ>0，则双曲线的焦点在轴上；若λ<0，则双曲线的焦点在轴上．2.双曲线的形状与e 的关系：∵双曲线渐近线的斜率k ＝ba ＝c 2－a 2a＝c 2a2－1＝e 2－1，∴e 越大，则渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔．故双曲线的离心率越大，它的开口就越宽阔．3. 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为，而双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为应注意其区别与联系．4．平行于双曲线的渐近线的直线与双曲线有且仅有个交点．五、基础检测A1．已知()()3,0,3,0,6M N PM PN --=，则动点P 的轨迹是（） A ．一条射线B ．双曲线右支C ．双曲线D ．双曲线左支【答案】A 因为6PM PN MN -==，故动点P 的轨迹是一条射线：0,3y x =≥A2．若12,F F 分别是双曲线2211620x y-=的左、右焦点,P 为双曲线C 上一点,且19PF =,则2PF 的长为( )A ．1B ．17或1C ．17D ．12【答案】C 因为194610PF a c =<+=+=,所以P 必在双曲线左支上, :212248PF PF a -==⨯=,又19PF =,所以298PF -=,解得:217PF =,A3．若00(,)P x y 是双曲线22124x y -=左支上一点，则0x 的取值范围是_____【答案】(,-∞六、学习过程B1．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，P 是双曲线上在第一象限内的点，直线PO 、2PF 分别交双曲线C 左、右支于另一点M 、N ，122PF PF =，且260MF N ∠=，则双曲线C 的离心率为（）A B CD 【答案】B122PF PF =，122PF PF a -=，14PF a ∴=，22PF a =.连接1MF 、2MF ，根据双曲线的对称性可得12MF PF 为平行四边形，260MF N ∠=o Q ，1260F PF ∴∠=，由余弦定理可得2224164242cos60c a a a a =+-⋅⋅⋅o ，c ∴=，ce a∴== B2．已知△ABP 的顶点A 、B 分别为双曲线的左右焦点，顶点P 在双曲线C 上，则sin sin sin A BP-的值等于（）AB C ．54D ．45【答案】D 由题意得双曲线22:1169x y C -=得4a =, 3b =,根据双曲线的定义得:28PB PA a -==‖,又210AB c ===, 从而由正弦定理,得sin sin 4sin 5PB PA A B P AB --==‖，B4．双曲线C 与双曲线2212y x -=有共同的渐近线，且过点．（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线:1l y kx =+与双曲线C 左支交于,A B 两点，求k 的取值范围；【答案】（1）2212y x -=；（2）（1）因为双曲线C 与双曲线2212y x -=有共同的渐近线，所以设双曲线C 的方程为222y x λ-=，把点代入C中，即(22λ-=，解得λ1=-，所以双曲线C 的方程为2212y x -=.（2）联立22112y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得：()222230k x kx ---=，①因为直线与双曲线左支有两个交点,A B ，设()()1122,,,A x y B x y ，且120,0x x <<，解不等式()2221221222041220202302k k k k x x k x x k ⎧-≠⎪+->⎪⎪⎨+=<⎪-⎪-⎪=>-⎩，解得：k k k ⎧<<⎪⎪≠⎨⎪>⎪⎩k <<B5．已知双曲线两个焦点分别是())12,F F，点)P在双曲线上.（1）求双曲线的标准方程;（2）过双曲线的右焦点2F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线交于,A B 两点，求1F AB ∆的周长.【答案】（1）221x y -=；（2）12 （1）()22,0F，)P2P F x∴⊥轴 221b PF a∴==且c =又222c a b =+，即220a a +-=，解得：1a = 21b ∴=∴双曲线的标准方程为：221x y -=（2）由（1）知，双曲线渐近线为y x =，倾斜角为45 直线AB 过2F 且倾斜角为60 ,A B ∴均在双曲线的右支上122BF BF ∴-=，122AF AF -= 112244AF BF AF BF AB ∴+=++=+设直线AB方程为：y x =代入双曲线方程得：2270x -+=4AB ∴== 1F AB ∴∆的周长为：114212AF BF AB AB ++=+=七、达标检测A1．设1k >，则关于,x y 的方程()22211k x y k -+=-所表示的曲线是（）A ．长轴在y 轴上的椭圆B ．长轴在x 轴上的椭圆C ．实轴在y 轴上的双曲线D ．实轴在x 轴上的双曲线【答案】C ∵k ＞1，∴1+k >0，k 2-1＞0，方程()22211k x y k -+=-，即222111y x k k -=-+，表示实轴在y 轴上的双曲线，A2．已知双曲线的渐近线为2y x =±，实轴长为4，则该双曲线的方程为（） A ．22142x y -=B ．22142x y -=或22148y x -=C ．22148y x -=D ．22142x y -=或22148y x -=【答案】D双曲线的渐近线方程为2y x =±，实轴长为4，24a ∴=，则2a =，∴当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为22214x y b -=，0b >，此时2b =b =∴双曲线方程为22142x y -=，当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线方程为22214y x b-=，0b >，此时22b =，解得b =22148x y -=． B3．已知双曲线22:1(04)4x y C m m m-=<<-的渐近线与圆22(2)3x y -+=相切，则m =（）A ．1B C ．2D ．3【答案】A 双曲线22:1(04)4x y C m m m-=<<-的渐近线方程为y =将y =0= 由双曲线的渐近线0±=与圆22(2)3x y -+==解得1m = C4．设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为( ) A ．B ．C ．D ．3【答案】B 因为是双曲线上一点，所以，又所以，，所以又因为，所以有，，即解得：（舍去），或；所以，所以B5．设双曲的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A B C ．12D ．12【答案】D设该双曲线方程为2222100x ya ba b-=（＞，＞），可得它的渐近线方程为by xa=±，焦点为F（c，0），点B（0，b）是虚轴的一个端点，∴直线FB的斜率为FBb bkc c-==--，∵直线FB与直线by xa=互相垂直，1b bc a∴-⨯=-,2b ac∴=,22222b c a c a ac=-∴-=，,210e e∴--=,e∴=,。

2018届高三高考数学复习练习：9-6双曲线含答案精品

9-61．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3【解析】由双曲线定义||PF 2|－|PF 1||＝2a ， ∵|PF 1|＝3，∴P 在左支上， ∵a ＝3，∴|PF 2|－|PF 1|＝6， ∴|PF 2|＝9，故选B. 【答案】 B2．(2018·郑州模拟)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±22x C ．y ＝±2xD ．y ＝±2x【解析】因为2b ＝2，所以b ＝1.因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x ，故选B.【答案】 B3．(2018·银川模拟)已知双曲线x 29－y 2m ＝1(m >0)的一个焦点在圆x 2＋y 2－4x －5＝0上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±34xB ．y ＝±43xC ．y ＝±53xD ．y ＝±324x【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x 2＋y 2－4x －5＝0，得x 2－4x －5＝0，解得x ＝5或x ＝－1，又a ＝3，故c ＝5，所以b ＝4，双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，故选B. 【答案】 B4．(2017·全国Ⅱ卷)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )A ．2 B. 3 C. 2D.233【解析】设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，圆的圆心为(2，0)，半径为2，由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3. 根据点到直线的距离公式得|2b |a 2＋b 2＝3，解得b 2＝3a 2，所以C 的离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝ 1＋b 2a2＝2. 故选A. 【答案】 A5．(2017·全国Ⅰ卷)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为( )A.13B.12C.23D.32【解析】因为F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，所以F (2，0)．因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )．因为P 是C 上一点，所以4－y 2P3＝1，解得y P ＝±3，所以P (2，±3)，|PF |＝3.又因为A (1，3)，所以点A 到直线PF 的距离为1，所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32.故选D. 【答案】 D6．(2017·全国Ⅰ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．【解析】如图，由题意知点A (a ，0)，双曲线的一条渐近线l 的方程为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，∴点A 到l 的距离d ＝aba 2＋b 2. 又∠MAN ＝60°，MA ＝NA ＝b ，∴△MAN 为等边三角形， ∴d ＝32MA ＝32b ，即ab a 2＋b2＝32b ，∴a 2＝3b 2， ∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝233. 【答案】2337．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________．【解析】由已知，得a 2＝7，b 2＝3，则c 2＝7＋3＝10，故焦距为2c ＝210. 【答案】 2108．已知双曲线的一个焦点F (0，5)，它的渐近线方程为y ＝±2x ，则该双曲线的标准方程为________．【解析】设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5，a b＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，a ＝2b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，所以双曲线的标准方程为y 24－x 2＝1.【答案】 y 24－x 2＝19．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为________．【解析】由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a . 又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a .在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2.要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值， ∴当cos ∠F 1PF 2＝－1时，得e ＝53，即e 的最大值为53.【答案】 5310．设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O 且所成的角为60° 的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1、B 1和A 2、B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是________．【解析】由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x 轴(或y 轴)对称．又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围大于30° 且小于等于60° ，即tan 30° <b a ≤tan 60° ，∴13<b 2a 2≤3.又e 2＝⎝⎛⎭⎫c a 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，∴43<e 2≤4， ∴233<e ≤2. 【答案】 ⎝⎛⎦⎤233，211．直线l ：y ＝3(x －2)和双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，且|AB |＝3，又l 关于直线l 1：y ＝bax 对称的直线l 2与x 轴平行．(1)求双曲线C 的离心率e ； (2)求双曲线C 的方程．【解析】 (1)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过第一、三象限的渐近线l 1：x a －yb ＝0的倾斜角为α.因为l 和l 2关于l 1对称，记它们的交点为P ，l 与x 轴的交点为M . 而l 2与x 轴平行，记l 2与y 轴的交点为Q . 依题意有∠QPO ＝∠POM ＝∠OPM ＝α.又l ：y ＝3(x －2)的倾斜角为60° ，则2α＝60° ，α＝30° ，所以tan 30° ＝b a ＝33.于是e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋13＝43，所以e ＝233.(2)由于b a ＝33，于是可设双曲线方程为x 23k 2－y 2k 2＝1(k ≠0)，即x 2－3y 2＝3k 2.将y ＝3(x －2)代入x 2－3y 2＝3k 2中，得8x 2－36x ＋36＋3k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝92，x 1x 2＝36＋3k 28，所以|AB |＝1＋3|x 1－x 2|＝2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2×362－4×8×（36＋3k 2）8＝9－6k 2＝3，解得k 2＝1.故所求双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.12．(2018·江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0. 【解析】 (1)∵e ＝2，∴可设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线的方程为x 2－y 2＝6.(2)证明方法一由(1)可知，a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，方法二由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )， ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2. ∵点M (3，0)在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0，∴MF 1→·MF 2→＝0.。

高考数学一轮复习第九章解析几何9.6双曲线练习理新人教A版

课时作业48 双曲线一、选择题1．已知M (－2,0)，N (2,0)，|PM |－|PN |＝3，则动点P 的轨迹是( )． A ．双曲线 B ．双曲线左边一支 C ．双曲线右边一支 D ．一条射线2．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )．A.x 24－y 2＝1B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1 3．如图，正六边形ABCDEF 的两个顶点A ，D 为双曲线的两个焦点，其余4个顶点都在双曲线上，则该双曲线的离心率是( )．A.3＋1B.3－1C. 3D. 24．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个顶点与抛物线y 2＝20x 的焦点重合，该双曲线的离心率为52，则该双曲线的渐近线斜率为( )． A ．±2 B ．±43 C ．±12D ．±345．(2012山东高考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )．A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y6．设F 1，F 2是双曲线x23－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时，PF 1→·PF 2→的值为( )．A ．2B ．3C ．4D ．67．设圆C 的圆心与双曲线x 2a 2－y 22＝1(a ＞0)的右焦点重合，且该圆与此双曲线的渐近线相切，若直线l ：x －3y ＝0被圆C 截得的弦长等于2，则a 的值为( )．A. 2B. 3 C ．2 D ．3 二、填空题8．(2012辽宁高考)已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点．若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为__________．9．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为__________．10. (2012湖北高考)如图，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D .则(1)双曲线的离心率e ＝________；(2)菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值S 1S 2＝________.三、解答题 11．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．12.(2012上海高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2x 2－y 2＝1. (1)设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点，若|MF |＝22，求点M 的坐标；(2)过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；(3)设斜率为k (|k |＜2)的直线l 交C 于P ，Q 两点，若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ .参考答案一、选择题1．C 解析：∵|PM |－|PN |＝3＜4，由双曲线定义知，其轨迹为双曲线的一支．又∵|PM |＞|PN |，∴点P 的轨迹为双曲线的右支．2．B 解析：椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为(±3，0)．因为双曲线与椭圆共焦点，所以排除A ，C.又双曲线x 22－y 2＝1经过点(2，1)，所以选B.3．A 解析：令正六边形的边长为m ，则有AD ＝2m ，AB ＝m ，BD ＝3m ，该双曲线的离心率等于|AD |||AB |－|BD ||＝2m3m －m＝3＋1.4．C 解析：由抛物线y 2＝20x 的焦点坐标为(5，0)，可得双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一个顶点坐标为(5，0)，即得a ＝5.又由e ＝c a ＝c 5＝52，可解得c ＝552，则b 2＝c 2－a 2＝254，即b ＝52.由此可得双曲线的渐近线的斜率为k ＝±b a ＝±12.5．D 解析：由于e ＝c a＝2，∴c ＝2a ，即c 2＝4a 2.又有c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝3a 2，即b ＝3a .∴双曲线的渐近线方程y ＝±b a x 即为y ＝±3x ，即±3x ＋y ＝0. 又抛物线的焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，F 到渐近线的距离为2，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪0＋p 22＝2，解得p ＝8. ∴抛物线C 2的方程为x 2＝16y . 6．B 解析：设点P (x 0，y 0)，依题意得，|F 1F 2|＝23＋1＝4，12PF F S ∆＝12|F 1F 2||y 0|＝2|y 0|＝2，∴|y 0|＝1.又∵x 203－y 20＝1，∴x 20＝3(y 20＋1)＝6，PF 1→·PF 2→＝(－2－x 0，－y 0)·(2－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－4＝3.7．A 解析：由题知圆心C (a 2＋2，0)，双曲线的渐近线方程为2x ±ay ＝0，圆心C到渐近线的距离d ＝2×a 2＋22＋a 2＝2，即圆C 的半径长为 2. 由直线l 被圆C 截得的弦长为2及圆C 的半径长为2，可知圆心C 到直线l 的距离为1，即a 2＋21＋3＝1⇒a ＝ 2.二、填空题8．2 3 解析：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，根据双曲线的定义及已知条件可得|m －n |＝2a ＝2，m 2＋n 2＝4c 2＝8，故mn ＝2，(|PF 1|＋|PF 2|)2＝(m ＋n )2＝(m －n )2＋4mn ＝4＋4×2＝12，于是|PF 1|＋|PF 2|＝2 3.9．－2 解析：由题可知A 1(－1，0)，F 2(2，0)．设P (x ，y )(x ≥1)，则PA 1→＝(－1－x ，－y )，PF 2→＝(2－x ，－y )，PA 1→·PF 2→＝(－1－x )(2－x )＋y 2＝x 2－x －2＋y 2＝x 2－x －2＋3(x 2－1)＝4x 2－x －5.∵x ≥1，函数f (x )＝4x 2－x －5的图象的对称轴为x ＝18，∴当x ＝1时，PA 1→·PF 2→取得最小值－2.10．(1)1＋52 (2)5＋22解析：(1)连接OA .在Rt △B 2OF 2中，∵OA ＝a ，OB 2＝b ，OF 2＝c ，∴B 2F 2＝b 2＋c 2.由等面积法可得bc ＝b 2＋c 2·a ，两边平方可得，b 2c 2＝(b 2＋c 2)a 2.①又由b 2＝c 2－a 2代入①式可得，c 4－3a 2c 2＋a 4＝0.同时除以a 4可得，e 4－3e 2＋1＝0，解得，e 2＝3＋52，故e ＝1＋52.(2)S 1＝1122F B F B S 菱形＝12×2c ×2b ＝2cb ，在Rt △OAF 2中，∵OA ＝a ，OF 2＝c ，∴AF 2＝b . ∴x A ＝ab c.再由△OAB 2∽△F 2AO 得，AB 2AO ＝OA F 2A ，即AB 2＝a 2b ，故y A ＝a 2b ×a b ＝a3b2，因此，S 2＝4x A ·y A ＝4×ab c ×a 3b 2＝4a 4bc ，于是S 1S 2＝2cb 4a 4bc＝b 2c 22a 4＝12·b 2a 2·c 2a 2＝12(e 2－1)·e 2＝5＋22. 三、解答题11．(1)解：因为e ＝2，所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. 因为双曲线过点(4，－10)，所以16－10＝λ，即λ＝6.所以双曲线方程为x 2－y 2＝6. (2)证明：由(1)可知a ＝b ＝6，所以c ＝2 3.所以F 1(－23，0)，F 2(23，0)．所以k MF 1＝m 3＋23，k M F 2＝m3－23，k MF 1·k MF 2＝m 29－12＝－m 23. 因为点(3，m )在双曲线上，所以9－m 2＝6，即m 2＝3.故kMF 1·kMF 2＝－1，所以MF 1⊥MF 2.所以MF 1→·MF 2→＝0.(3)解：△F 1MF 2的底边长|F 1F 2|＝43， △F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，所以12F MF S ∆＝6.12．解：(1)双曲线C ：x 212－y 2＝1，左焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0，设M (x ，y )，则|MF |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋622＋y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋222，由M 点是右支上一点，知x ≥22，所以|MF |＝3x ＋22＝22，得x ＝62.所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，±2. (2)左顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，渐近线方程：y ＝±2x . 过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为：y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1. 解方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－24，y ＝12.所求平行四边形的面积为S ＝|OA ||y |＝24. (3)设直线PQ 的方程是y ＝kx ＋b .因直线PQ 与已知圆相切，故|b |k 2＋1＝1，即b 2＝k 2＋1.(*) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，2x 2－y 2＝1，得(2－k 2)x 2－2kbx －b 2－1＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2kb2－k 2，x 1x 2＝－1－b22－k 2.又y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )，所以 OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝（1＋k 2）（－1－b 2）2－k 2＋2k 2b 22－k 2＋b 2＝－1＋b 2－k 22－k2. 由(*)知，OP →·OQ →＝0，所以OP ⊥OQ .。

【知识学习】高考数学(理科)一轮复习双曲线学案含答案

高考数学（理科）一轮复习双曲线学案含答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案52 双曲线导学目标：1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.2.理解数形结合的思想．自主梳理．双曲线的概念平面内动点P与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值为常数2a，则点P的轨迹叫________．这两个定点叫双曲线的________，两焦点间的距离叫________．集合P＝{m|||mF1|－|mF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0；当________时，P点的轨迹是________；当________时，P点的轨迹是________；当________时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1y2a2－x2b2＝1图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1，A2顶点坐标：A1，A2渐近线y＝±baxy＝±abx离心率e＝ca，e∈，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b23.实轴长和虚轴长相等的双曲线为________________，其渐近线方程为________，离心率为________．自我检测．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是A．2B．22c．4D．422．已知双曲线x22－y2b2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，其中一条渐近线方程为y＝x，点P在该双曲线上，则PF1→•PF2→等于A．－12B．－2c．0D．43．设直线l过双曲线c的一个焦点，且与c的一条对称轴垂直，l与c交于A，B两点，|AB|为c的实轴长的2倍，则c的离心率为A.2B.3c．2D．34．已知点在双曲线8x2－3y2＝24上，则2m＋4的范围是__________________．5．已知A，F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，P是双曲线右支上的动点，求|PF|＋|PA|的最小值．探究点一双曲线的定义及应用例1 已知定点A，B，c，以c为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程．变式迁移1 已知动圆m与圆c1：2＋y2＝2外切，与圆c2：2＋y2＝2内切，求动圆圆心m的轨迹方程．探究点二求双曲线的标准方程例2 已知双曲线的一条渐近线方程是x－2y＝0，且过点P，求双曲线的标准方程．变式迁移2 已知双曲线与椭圆x29＋y225＝1的焦点相同，且它们的离心率之和等于145，则双曲线的方程为____________．探究点三双曲线几何性质的应用例3 已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144.求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|•|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．变式迁移3 已知双曲线c：x22－y2＝1.求双曲线c的渐近线方程；已知m点坐标为，设P是双曲线c上的点，Q是点P关于原点的对称点．记λ＝mP→•mQ→，求λ的取值范围．方程思想的应用例过双曲线x23－y26＝1的右焦点F2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A、B两点，o为坐标原点，F1为左焦点．求|AB|；求△AoB的面积；求证：|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|.多角度审题要求弦长|AB|需要A、B两点坐标或设而不求利用弦长公式，这就需要先求直线AB；在的基础上只要求点到直线的距离；要充分联想到A、B两点在双曲线上这个条件．【答题模板】解由双曲线的方程得a＝3，b＝6，∴c＝a2＋b2＝3，F1，F2．直线AB的方程为y＝33．设A，B，由y＝33x－3x23－y26＝1，得5x2＋6x－27＝0.[2分]∴x1＋x2＝－65，x1x2＝－275，∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋332•x1＋x22－4x1x2＝43•3625＋1085＝1635.[4分]解直线AB的方程变形为3x－3y－33＝0.∴原点o到直线AB的距离为d＝|－33|32＋－32＝32.[6分]∴S△AoB＝12|AB|•d＝12×1635×32＝1235.[8分]证明如图，由双曲线的定义得|AF2|－|AF1|＝23，|BF1|－|BF2|＝23，[10分]∴|AF2|－|AF1|＝|BF1|－|BF2|，即|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|.[12分]【突破思维障碍】写出直线方程，联立直线方程、双曲线方程，消元得关于x的一元二次方程，利用弦长公式求|AB|，再求点o到直线AB的距离从而求面积，最后利用双曲线的定义求证等式成立．【易错点剖析】在直线和双曲线相交的情况下解题时易忽视消元后的一元二次方程的判别式Δ>0，而导致错解．．区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中a，b，c 的大小关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2；双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈．2．双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程是y＝±bax，y2a2－x2b2＝1的渐近线方程是y＝±abx.3．双曲线标准方程的求法：定义法，根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的a、b、c，即可求得方程．待定系数法，其步骤是：①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程；③定值：根据题目条件确定相关的系数．一、选择题．已知m、N，|Pm|－|PN|＝3，则动点P的轨迹是A．双曲线B．双曲线左边一支c．双曲线右边一支D．一条射线2．设点P在双曲线x29－y216＝1上，若F1、F2为双曲线的两个焦点，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，则△F1PF2的周长等于A．22B．16c．14D．123．过双曲线x2a2－y2b2＝1的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线Fm，交y轴于点P.若m为线段FP的中点，则双曲线的离心率为A.2B.3c．2D.54．双曲线x2a2－y2b2＝1的左焦点为F1，左、右顶点分别为A1、A2，P是双曲线右支上的一点，则分别以PF1和A1A2为直径的两圆的位置关系是A．相交B．相离c．相切D．内含5．已知双曲线x2a2－y2b2＝1的两条渐近线均和圆c：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆c的圆心，则该双曲线的方程为A.x25－y24＝1B.x24－y25＝1c.x23－y26＝1D.x26－y23＝1二、填空题6．设m是常数，若点F是双曲线y2m－x29＝1的一个焦点，则m＝________.7．设圆过双曲线x29－y216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则此圆心到双曲线中心的距离为______．8．已知以双曲线c的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线c的离心率为________．三、解答题9．根据下列条件，求双曲线方程：与双曲线x29－y216＝1有共同的渐近线，且经过点；与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点．10．设圆c与两圆2＋y2＝4，2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．求圆c的圆心轨迹L的方程；已知点m，F，且P为L上动点，求||mP|－|FP||的最大值及此时点P的坐标．1．已知定点A，F，定直线l：x＝12，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍．设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、c两点，直线AB、Ac分别交l于点m、N.求E的方程；试判断以线段mN为直径的圆是否过点F，并说明理由．学案52 双曲线自主梳理．双曲线焦点焦距a<c 双曲线a＝c 两条射线a>c 3.等轴双曲线y＝±x e＝2自我检测．c [∵2x2－y2＝8，∴x24－y28＝1，∴a＝2，∴2a＝4.]2．c3．B [设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为l：x＝c或x＝－c，代入x2a2－y2b2＝1得y2＝b2＝b4a2，∴y＝±b2a，故|AB|＝2b2a，依题意2b2a＝4a，∴b2a2＝2，∴c2－a2a2＝e2－1＝2，∴e＝3.]4．5．解设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义可知|PF|＝2a＋|PF1|＝4＋|PF1|，∴|PF|＋|PA|＝4＋|PF1|＋|PA|.∴当满足|PF1|＋|PA|最小时，|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图象可知当点A、P、F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，易求得最小值为|AF1|＝5，故所求最小值为9.课堂活动区例1 解题导引求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性．解设F为轨迹上的任意一点，因为A，B两点在以c，F为焦点的椭圆上，所以|FA|＋|cA|＝2a，|FB|＋|cB|＝2a．所以|FA|＋|cA|＝|FB|＋|cB|.所以|FA|－|FB|＝|cB|－|cA|＝122＋92－122＋52＝2.所以|FA|－|FB|＝2.由双曲线的定义知，F点在以A，B为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上．所以点F的轨迹方程是y2－x248＝1．变式迁移1 解设动圆m的半径为r，则由已知得，|mc1|＝r＋2，|mc2|＝r－2，∴|mc1|－|mc2|＝22，又c1，c2，∴|c1c2|＝8.∴22<|c1c2|.根据双曲线定义知，点m的轨迹是以c1、c2为焦点的双曲线的右支．∵a＝2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14.∴点m的轨迹方程是x22－y214＝1．例2 解题导引根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程，但要注意焦点的位置，从而正确选取方程的形式，当焦点不能定位时，则应分两种情况讨论．解决本题的方法有两种：一先定位，避免了讨论；二利用其渐近线的双曲线系，同样避免了对双曲线方程类型的讨论．在共渐近线的双曲线系x2a2－y2b2＝λ中，当λ>0时，焦点在x轴上；当λ<0时，焦点在y轴上．解方法一∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，当x＝4时，y＝2<yp＝3，∴双曲线的焦点在y轴上．从而有ab＝12，∴b＝2a.设双曲线方程为y2a2－x24a2＝1，由于点P在此双曲线上，∴9a2－164a2＝1，解得a2＝5.∴双曲线方程为y25－x220＝1.方法二∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，即x2－y＝0，∴双曲线的渐近线方程为x24－y2＝0.设双曲线方程为x24－y2＝λ，∵双曲线过点P，∴424－32＝λ，即λ＝－5.∴所求双曲线方程为x24－y2＝－5，即y25－x220＝1.变式迁移2 y24－x212＝1解析由于在椭圆x29＋y225＝1中，a2＝25，b2＝9，所以c2＝16，c＝4，又椭圆的焦点在y轴上，所以其焦点坐标为，离心率e＝45.根据题意知，双曲线的焦点也应在y轴上，坐标为，且其离心率等于145－45＝2.故设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1，且c＝4，所以a＝12c＝2，a2＝4，b2＝c2－a2＝12，于是双曲线的方程为y24－x212＝1.例3 解题导引双曲线问题与椭圆问题类似，因而研究方法也有许多相似之处，如利用“定义”“方程观点”“直接法或待定系数法求曲线方程”“数形结合”等．解由16x2－9y2＝144，得x29－y216＝1，∴a＝3，b＝4，c＝5.焦点坐标F1，F2，离心率e＝53，渐近线方程为y＝±43x.||PF1|－|PF2||＝6，cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1||PF2|＝|PF1|－|PF2|2＋2|PF1||PF2|－|F1F2|22|PF1||PF2|＝36＋64－10064＝0，∴∠F1PF2＝90°.变式迁移3 解因为a＝2，b＝1，且焦点在x轴上，所以渐近线方程为y－22x＝0，y＋22x＝0.设P点坐标为，则Q的坐标为，λ＝mP→•mQ→＝•＝－x20－y20＋1＝－32x20＋2.∵|x0|≥2，∴λ的取值范围是2＋y2＝4，∴圆心为c．又渐近线方程与圆c相切，即直线bx－ay＝0与圆c相切，∴3ba2＋b2＝2，∴5b2＝4a2.①又∵x2a2－y2b2＝1的右焦点F2为圆心c，∴a2＋b2＝9.②由①②得a2＝5，b2＝4.∴双曲线的标准方程为x25－y24＝1.]6．16解析由已知条件有52＝m＋9，所以m＝16.7.163 8.629．解方法一由题意可知所求双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1，由题意，得ba＝43，－32a2－232b2＝1，解得a2＝94，b2＝4.所以双曲线的方程为49x2－y24＝1.方法二设所求双曲线方程x29－y216＝λ，将点代入得λ＝14，所以双曲线方程为x29－y216＝14，即49x2－y24＝1.设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1.由题意c＝25.又双曲线过点，∴322a2－4b2＝1.又∵a2＋b2＝2，∴a2＝12，b2＝8.故所求双曲线的方程为x212－y28＝1.0．解设圆c的圆心坐标为，半径为r.圆2＋y2＝4的圆心为F1，半径为2，圆2＋y2＝4的圆心为F，半径为2.由题意得|cF1|＝r＋2，|cF|＝r－2或|cF1|＝r－2，|cF|＝r＋2，∴||cF1|－|cF||＝4.∵|F1F|＝25>4.∴圆c的圆心轨迹是以F1，F为焦点的双曲线，其方程为x24－y2＝1.由图知，||mP|－|FP||≤|mF|，∴当m，P，F三点共线，且点P在mF延长线上时，|mP|－|FP|取得最大值|mF|，且|mF|＝355－52＋455－02＝2.直线mF的方程为y＝－2x＋25，与双曲线方程联立得y＝－2x＋25，x24－y2＝1，整理得15x2－325x＋84＝0.解得x1＝14515，x2＝655.此时y＝－255.∴当||mP|－|FP||取得最大值2时，点P的坐标为．1．解设P，则x－22＋y2＝2x－12，化简得x2－y23＝1．①当直线Bc与x轴不垂直时，设Bc的方程为y＝k，与双曲线方程x2－y23＝1联立消去y，得x2＋4k2x－＝0.由题意知，3－k2≠0且Δ＞0.设B，c，则x1＋x2＝4k2k2－3，x1x2＝4k2＋3k2－3，y1y2＝k2＝k2x1x2－2x1＋x2＋4＝k24k2＋3k2－3－8k2k2－3＋4＝－9k2k2－3.因为x1，x2≠－1，所以直线AB的方程为y＝y1x1＋1．因此m点的坐标为12，3y12x1＋1，Fm→＝－32，3y12x1＋1.同理可得FN→＝－32，3y22x2＋1.因此Fm→•FN→＝－32×－32＋9y1y24x1＋1x2＋1＝94＋－81k2k2－344k2＋3k2－3＋4k2k2－3＋1＝0.②当直线Bc与x轴垂直时，其方程为x＝2，则B，c．AB的方程为y＝x＋1，因此m点的坐标为12，32，Fm→＝－32，32.同理可得FN→＝－32，－32.因此Fm→•FN→＝－32×－32＋32×－32＝0.综上，Fm→•FN→＝0，故Fm⊥FN. 故以线段mN为直径的圆过点F.。

高考数学大一轮复习 9.6 双曲线试题(含解析)新人教A版

9.6 双曲线一、选择题1．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点P 在双曲线上，则双曲线的离心率为（） A ．4＋2 3 B.3－1 C.3＋12D.3＋1解析 (数形结合法)因为MF 1的中点P 在双曲线上，|PF 2|－|PF 1|＝2a ，△MF 1F 2为正三角形，边长都是2c ，所以3c －c ＝2a ，所以e ＝c a＝23－1＝3＋1，故选D.答案 D【点评】本题利用双曲线的定义列出关于a 、c 的等式，从而迅速获解.2. 已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为（）A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220y =1 D.220x -280y =1答案 A3．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )．A ．4B ．3C ．2D ．1解析双曲线x 2a 2－y 29＝1的渐近线方程为3x ±ay ＝0与已知方程比较系数得a ＝2.答案 C4．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )．A. 2B. 3 C ．2 D ．3解析设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，焦点F (－c,0)，将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1可得y 2＝b 4a 2，所以|AB |＝2×b 2a ＝2×2a ，∴b 2＝2a 2，c 2＝a 2＋b 2＝3a 2，∴e ＝c a＝ 3.答案 B5．设F 1、F 2是双曲线x 23－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时，1PF u u u r ·2PF u u u r的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析设点P (x 0，y 0)，依题意得，|F 1F 2|＝23＋1＝4，S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|×|y 0|＝2|y 0|＝2，|y 0|＝1，x 203－y 20＝1，x 20＝3(y 20＋1)＝6，1PF u u u r ·2PF u u u r ＝(－2－x 0，－y 0)·(2－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－4＝3.答案 B6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )． A ．2 3 B ．2 5 C ．4 3 D ．4 5 解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋p2＝4，－p2＝－2，－1＝－2·b a⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，a ＝2，b ＝1⇒c ＝a 2＋b 2＝ 5.∴双曲线的焦距2c ＝2 5.答案 B7．如图，已知点P 为双曲线x 216－y 29＝1右支上一点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF 1F 2的内心，若S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2成立，则λ的值为( )A.58B.45C.43D.34解析根据S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2，即|PF 1|＝|PF 2|＋λ|F 1F 2|，即2a ＝λ2c ，即λ＝a c ＝45.答案 B 二、填空题8．双曲线x 23－y 26＝1的右焦点到渐近线的距离是________．解析由题意得：双曲线x 23－y 26＝1的渐近线为y ＝±2x .∴焦点(3,0)到直线y ＝±2x 的距离为322＋1＝ 6. 答案 69．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2作与x 轴垂直的直线与双曲线一个交点为P ，且∠PF 1F 2＝π6，则双曲线的渐近线方程为________．解析根据已知|PF 1|＝2b 2a 且|PF 2|＝b 2a ，故2b 2a －b 2a ＝2a ，所以b 2a 2＝2，ba＝ 2.答案 y ＝±2x10.已知双曲线22221(0b 0)x y a a b-=＞，＞的两条渐近线均和圆:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为____________．c=3,所以b=2,即25a =,所以该双曲线的方程为22154x y -=. 答案 22154x y -= 11．如图，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A 、B 为左、右焦点，且双曲线过C 、D 两顶点．若AB ＝4，BC ＝3，则此双曲线的标准方程为________．解析设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意得B (2,0)，C (2,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝a 2＋b 2，4a 2－9b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝3，∴双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. 答案 x 2－y 23＝112．已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．解析根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a ，b 的等式，即4a 2－9b2＝1，考虑到焦距为4，这也是一个关于c 的等式，2c ＝4，即c ＝2.再有双曲线自身的一个等式a 2＋b2＝c 2，这样，三个方程，三个未知量，可以解出a ＝1，b ＝3，c ＝2，所以，离心率e ＝2. 答案 2 三、解答题13．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程．解析设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有：⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式作差得：y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝－12b 2－15a 2＝4b25a2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5.所以双曲线的标准方程是x 24－y 25＝1.14．求适合下列条件的双曲线方程．(1)焦点在y 轴上，且过点(3，－42)、⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5. (2)已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且双曲线经过点P (6，2)．解析 (1)设所求双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则因为点(3，－42)，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5在双曲线上，所以点的坐标满足方程，由此得⎩⎪⎨⎪⎧32a 2－9b 2＝1，25a 2－8116b 2＝1.令m ＝1a 2，n ＝1b 2，则方程组化为⎩⎪⎨⎪⎧32m －9n ＝1，25m －8116n ＝1.解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝116，n ＝19.∴a 2＝16，b 2＝9.所求双曲线方程为y 216－x 29＝1.(2)由双曲线的渐近线方程y ＝±23x ，可设双曲线方程为x 29－y 24＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点P (6，2)，∴69－44＝λ，λ＝－13，故所求双曲线方程为34y 2－13x 2＝1.15．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．解析 (1)由题意知a ＝23，∴一条渐近线为y ＝b23x ，即bx －23y ＝0，∴|bc |b 2＋12＝3，∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0，将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 212－y 203＝1，∴⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3，∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．16．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．解析 (1) ∵e ＝2，∴设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. 又∵双曲线过(4，－10)点，∴λ＝16－10＝6， ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明法一由(1)知a ＝b ＝6，c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，∴kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝m 2－3，又点(3，m )在双曲线上，∴m 2＝3，∴kMF 1·kMF 2＝－1，MF 1⊥MF 2，MF 1→·MF 2→＝0.法二 ∵MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )， ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)(3－23)＋m 2＝－3＋m 2. ∵M 在双曲线上，∴9－m 2＝6， ∴m 2＝3，∴MF 1→·MF 2→＝0.(3) ∵△F 1MF 2中|F 1F 2|＝43，且|m |＝3， ∴S △F 1MF 2＝12·|F 1F 2|·|m |＝12×43×3＝6.。

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9.6 双曲线一、选择题1．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点P 在双曲线上，则双曲线的离心率为（） A ．4＋2 3 B.3－1 C.3＋12D.3＋1解析 (数形结合法)因为MF 1的中点P 在双曲线上，|PF 2|－|PF 1|＝2a ，△MF 1F 2为正三角形，边长都是2c ，所以3c －c ＝2a ，所以e ＝c a ＝23－1＝3＋1，故选D.答案 D【点评】本题利用双曲线的定义列出关于a 、c 的等式，从而迅速获解.2. 已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为（）A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220y =1 D.220x -280y =1答案 A3．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )．A ．4B ．3C ．2D ．1解析双曲线x 2a 2－y 29＝1的渐近线方程为3x ±ay ＝0与已知方程比较系数得a ＝2.4．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )． A. 2 B. 3 C ．2D ．3解析设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，焦点F (－c,0)，将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2b2＝1可得y 2＝b 4a 2，所以|AB |＝2×b 2a ＝2×2a ，∴b 2＝2a 2，c 2＝a 2＋b 2＝3a 2，∴e ＝ca＝ 3.答案 B5．设F 1、F 2是双曲线x 23－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时，1PF ·2PF的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．6解析设点P (x 0，y 0)，依题意得，|F 1F 2|＝23＋1＝4，S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|×|y 0|＝2|y 0|＝2，|y 0|＝1，x 203－y 20＝1，x 20＝3(y 20＋1)＝6，1PF ·2PF ＝(－2－x 0，－y 0)·(2－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－4＝3. 答案 B6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )．A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．4 5解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋p2＝4，－p2＝－2，－1＝－2 ·b a⇒⎩⎨⎧p ＝4，a ＝2，b ＝1⇒c ＝a 2＋b 2＝ 5.∴双曲线的焦距2c ＝2 5.7．如图，已知点P 为双曲线x 216－y 29＝1右支上一点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2的内心，若S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2成立，则λ的值为( )A.58B.5C.43D.34解析根据S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2，即|PF 1|＝|PF 2|＋λ|F 1F 2|，即2a ＝λ2c ，即λ＝a c ＝45.答案 B 二、填空题8．双曲线x 23－y 26＝1的右焦点到渐近线的距离是________．解析由题意得：双曲线x 23－y 26＝1的渐近线为y ＝±2x .∴焦点(3,0)到直线y ＝±2x 的距离为322＋1＝ 6. 答案 69．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2作与x 轴垂直的直线与双曲线一个交点为P ，且∠PF 1F 2＝π6，则双曲线的渐近线方程为________．解析根据已知|PF 1|＝2b 2a 且|PF 2|＝b 2a ，故2b 2a －b 2a ＝2a ，所以b 2a 2＝2，ba＝ 2.答案 y ＝±2x10.已知双曲线22221(0b 0)x y a a b-=＞，＞的两条渐近线均和圆:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为____________．c=3,所以b=2,即25a =,所以该双曲线的方程为22154x y -=. 答案 22154x y -=11．如图，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A 、B 为左、右焦点，且双曲线过C 、D 两顶点．若AB ＝4，BC ＝3，则此双曲线的标准方程为________．解析设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意得B (2,0)，C (2,3)，∴⎩⎨⎧4＝a 2＋b 2，4a 2－9b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝1，b 2＝3，∴双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.答案 x 2－y 23＝112．已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．解析根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a ，b 的等式，即4a2－9b 2＝1，考虑到焦距为4，这也是一个关于c 的等式，2c ＝4，即c ＝2.再有双曲线自身的一个等式a 2＋b 2＝c 2，这样，三个方程，三个未知量，可以解出a ＝1，b ＝3，c ＝2，所以，离心率e ＝2. 答案 2三、解答题13．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程．解析设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有：⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式作差得：y 1－y 2x 1－x 2＝b 2 x 1＋x 2 a 2 y 1＋y 2 ＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5.所以双曲线的标准方程是x 24－y 25＝1.14．求适合下列条件的双曲线方程．(1)焦点在y 轴上，且过点(3，－42)、⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5.(2)已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且双曲线经过点P (6，2)．解析 (1)设所求双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则因为点(3，－42)，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5在双曲线上，所以点的坐标满足方程，由此得⎩⎪⎨⎪⎧32a 2－9b 2＝1，25a 2－8116b 2＝1.令m ＝1a 2，n ＝1b 2，则方程组化为⎩⎨⎧32m －9n ＝1，25m －8116n ＝1.解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝116，n ＝19.∴a 2＝16，b 2＝9.所求双曲线方程为y 216－x 29＝1.(2)由双曲线的渐近线方程y ＝±23x ，可设双曲线方程为x 29－y 24＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点P (6，2)，∴69－44＝λ，λ＝－13，故所求双曲线方程为34y 2－13x 2＝1.15．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3. (1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．解析 (1)由题意知a ＝23，∴一条渐近线为y ＝b 23x ，即bx －23y ＝0，∴|bc |b 2＋12＝3， ∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0，将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 212－y 203＝1，∴⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3，∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．16．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0；(3)求△F 1MF 2的面积．解析 (1) ∵e ＝2，∴设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. 又∵双曲线过(4，－10)点，∴λ＝16－10＝6， ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明法一由(1)知a ＝b ＝6，c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，∴kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝m 2－3，又点(3，m )在双曲线上，∴m 2＝3，∴kMF 1·kMF 2＝－1，MF 1⊥MF 2，MF 1→·MF 2→＝0.法二 ∵MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )， ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)(3－23)＋m 2＝－3＋m 2. ∵M 在双曲线上，∴9－m 2＝6， ∴m 2＝3，∴MF 1→·MF 2→＝0. (3) ∵△F 1MF 2中|F 1F 2|＝43，且|m |＝3，1 2·|F1F2|·|m|＝12×43×3＝6.∴S△F1MF2＝。