高中数学求数列通项公式ppt

1
n
注意：累乘法与累加法有些相
似，但它是n个等式相乘所得
类型四、累乘法形如 an1 f (n) an 的递推式
练习1：已知 an 中，a1 2,an1 3n an,求通项an.
解： an 3n1, an1
an1 3n2 , an2
an2 3n3 , an3
an3 3n4 an4
n-1 n n2 n 2
1
2
2
求法：累加法 an1 an f (n)
练习： 在数列{an }中,已知a1 1,当n 2时, 有an an1 2n 1(n 2), 求数列 的通项公式.
四、累乘法 (形如an+1 =f(n)•an型)
例4.已知{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)an+12 +an+1an－nan2=0, 求{an}的通项公式
例8：数列 an 满足:a1 3, an1 3an 3n1 , 求 an 通项公式.
解： Q an 3an1 3n
an 3n
an1 3n1
1
an 3n
是以
a1 3
为首项，以1为公差的等差数列
பைடு நூலகம்
an 3n
a1 3
（n - 1）1
解出x, y转化为an xn y以公比为p的等比数列，若f (n) an2 bn c
转化为 an An2 Bn C 以公比为p的等比数列
例；数列an满足a1 4, an 3an1 2n 1(n 2),求an
解：令an xn y 3(an1 x(n 1) y)(n 2), an 3an1 2xn 2 y 3x与an 3an1 2n 1对比
解: ∵(n+1)an+12 +an+1an－nan2=0 ∴( an+1+ an)[(n+1) an+1 － nan]=0
∵ an+1+ an>0
∴ (n+1) an+1 = nan
∴ an1 n (n≥1)
∴
a
an=
n
an a n1
n1
an1 an2
...
a2 a1
a1
n 1 n 2 n 3 ... 2 1 1 n n1 n2 3 2
其中为待定系数, 化为等比数列
{an }求通项.
例6：数列 an 满足a1 1,an1 2an 1 ,求an.
解：由题意可知：an+1+1=2(an+1) 所以数列{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比 的等比数列. 所以an+1=2n,即an=2n-1
练:已知an中，a1 2,an1 3an +2,求通项an .
或利用等差、等比数列的通项公式）
S1 (n=1) Sn－Sn－1(n≥2)
练习：1.｛an｝的前项和Sn=2n2－1，求通项an
解：当n≥2时，an=Sn－Sn－1=(2n2－1) －[2(n－1)2－1] =4n－2
当n=1时, a1=1 不满足上式
因此 an=
1 (n=1) 4n －2(n≥2,
求数列的 通项公式
学习目标
• 在了解数列概念的基础上，掌握几种常见 递推数列通项公式的求解方法
• 理解求通项公式的原理 • 体会各种方法之间的异同，感受事物与事
物之间的相互联系
二、公式法（利用an与Sn的关系 或利用等差、等比数列的通项公
式）
主要是公式an
s1 sn
sn1
(n 1)的运用 (n 2)
得22xy
2 3x
1 xy
1
1
an
n
1
3(an1
n)
令bn an n 1bn 3bn1
bn是以3为公比，以b1 a1 11 6为首项的等比数列
bn 6 3n1 2 3n，而bn an n 1
an 2 3n n 1
类型七、相除法形如 an1 Aan B An1 的递推式
反思：待定系数法如何确定x？
待定系数法： 即
令an+1+x=p(an+x)
an+1=pan+px-x
an
(1根 据pq已1)知 pnx1=
q p1
所以数列{ an
q p1
}是等比数列.
形如递推式为an1 p • an f (n)，（f (n)为一次或二次函数） 方法一：如an1 p • an a • n b, 令an1 x(n 1) y p(an xn y)
n N*)
不要遗漏n=1的情形哦！
2.已知{an}中，a1+2a2+3a3+ •••+nan=3n+1,求通项an
解: ∵ a1+2a2+3a3+···+nan=3n+1 (n≥1) ∴ a1+2a2+3a3+···+(n－1)an－1=3n（n≥2）
两式相减得： nan=3n+1－3n=2·3n
∴an=
2·3n n
（n≥2） 而n=1时,a1=9
9 (n=1)
∴an=
2·3n n
（n≥2,
n N）*
注意n的范围
三、累加法 (递推公式形如an+1=an+ f(n)型的数列)
例3.已知{an}中, an+1=an+ n (n∈N*),a1=1,求通项
解an:由an+1=an+ n (n∈N*) 得 an+1 － an= n (n∈N*)
注意：（1）这种做法适用于所有数列； （2）用这种方法求通项需检验a1是否满足an.
例2、已知数列{an }的前几项和为Sn，点（n, Sn） （n N *）在函数f ( x ) 3x 2 2x的图象上。
（1）求数列{an }的通项公式；
an 6n 5.
二、公式法（利用an与Sn的关系an=
a1 = 1 a2 －a1 = 1
a3 －a2 = 2 a4 －a3 = 3
•••
n个等式 相加得
（1）注意讨 论首项;
(2)适用于 an+1=an+f(n)型递推
an－an－1 = n －1
公式
an=( an－an－1)+(an－1－an－2)+ •••+ (a2 －a1)+ a1
=(n － 1)+(n －2)+ •••+2+1+1
.......
a3 32 , a2 3
a2
a1
以上各式相乘得an a1 3 32 33 3n2 3n1
2 3123(n-1)
n( n-1)
23 2
n( n-1)
an 2 3 2
四、累乘法适用于an+1=an f(n)型的递推公式
练习2
六待定系数法（构造法）
形如an1 pan q( p 0, p 1)的递推式 求法 : 待定系数法.令an1 p(an ),