第三章_随机信号的频域分析
随机信号
均值、方差、相关函数等特征，包含的 关于随机过程的信息比累积分布函数要少， 是比较弱的特征，因而被称为“局部特征”。
3.1.1 全局特征
任意维累积分布函数或者概率密度函数是 描述随机过程的最严格的方法，它们完全描 述了随机过程的特性；而通常情况下，也是 最困难的方法，除了一些具有特定性质的随 机过程以外，我们很难给出它们的任意维累 积分布函数或者概率密度函数。
不仅电子设备中普遍存在的热噪声是高 斯过程，一些通信系统的信源也服从高斯分布。
高斯分布具有特别的性质，高斯分布的 随机变量和随机过程，其数学上的分析处理 非常简便易用。
3.5.1 定义
3.5.2 性质
（1）高斯过程通过线性时不变系统，输 出还是高斯过程。
线性时不变系统的输出是输入和系统冲 击响应的卷积，因而可以看出是很多高斯变 量的线性和。
3.2.1 联合特征
3.1.1 JSP、Java与Javascript
3.3 平稳随机过程
– 3.3.1 严平稳随机过程 – 3.3.2 宽平稳随机过程 – 3.3.3 平稳过程的各态历经性 – 3.3.4 平稳随机过程的性质
3.3.2 宽平稳随机过程
3.3.3 平稳过程的各态历经性
第3章 随机信号
3.1 随机过程的特征 3.2 两个或者两个以上随机过程的联合特 征3.3 平稳随机过程 3.4 平稳过程的功率谱密度 3.5 高斯过程 3.6 白噪声与高斯白噪声 3.7 随机过程和线性系统 3.8 窄带平稳随机过程 3.9 循环平稳随机过程
如第2章所述，通信系统中的消息是由电 压或者电流的波形来表达的，这些波形我们 称之为信号。
第3章随机信号的频域分析
1 2 GX ( ) lim E X T ( ) T 2T 1 2 GX ( ) lim X T ( , e) T 2T
随机信号分析
第三章 随机信号的频域分析
9 /30
（2）实随机过程功率谱密度的性质
第三章 随机信号的频域分析
5 /30
（3）能量谱密度
2 E s 信号s(t)的总能量为 (t )dt
根据帕塞瓦尔定理：对能量有限信号，时域内信 号的能量等于频域内信号的能量。即 2 1 2 E s (t )dt S ( ) d 2
S ( ) 称为s(t)的能量谱密度（能谱密度）。
随机信号分析
第三章 随机信号的频域分析
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（2）噪声的分类
从噪声与电子系统的关系来看： 内部噪声：系统本身的元器件及电路产生的 外部噪声：包括电子系统之外的所有噪声 根据噪声的分布： 高斯噪声：具有高斯分布的噪声 均匀噪声：具有均匀分布的噪声 从功率谱的角度来看： 白噪声：随机过程的功率谱为常数（无论是 什么分布）。 色噪声：功率谱中各种频率分量的大小不同。
2
随机信号分析
第三章 随机信号的频域分析
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例3.5：设两个随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，其互相 关函数为： 9e 3 0 RXY ( ) 0 0 求互相关函数 GXY () 和 GYX () 解：G ( ) XY RXY ( )e
j
GXY () GYX () 0
随机信号分析
第三章 随机信号的频域分析
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性质4：若X(t),Y(t)是互不相关的两个随机过程，且数 学期望不为零，则有
《随机信号分析》课件
方差
均值
自相关函数描述了随机信号在不同时间点之间的相关性。
自相关函数可以用于分析信号的周期性和趋势性。
谱密度函数描述了随机信号的频率成分。
通过谱密度函数，可以了解信号在不同频率下的强度和分布。
04
CHAPTER
随机信号的频域分析
傅立叶变换是信号处理中的基本工具，用于将时间域的信号转换为频域的表示。通过傅立叶变换，我们可以分析信号的频率成分和频率特性。
02
时间变化特性
由于随机信号的取值是随机的，因此其时间变化特性也是随机的，表现为信号的幅度、频率和相位都是随机的。
在通信领域，随机信号可以用于扩频通信、信道编码等，以提高通信的可靠性和抗干扰能力。
通信
在雷达领域，随机信号可以用于雷达测距、目标跟踪等，以提高雷达的抗干扰能力和探测精度。
雷达
在地球物理学领域，随机信号可以用于地震勘探、矿产资源探测等，以提高探测的精度和可靠性。
线性系统的输出信号的统计特性与输入信号的统计特性和系统的传递函数有关。通过分析线性系统对随机信号的作用，我们可以了解系统对信号的影响和信号经过系统后的变化情况。
05
CHAPTER
随机信号的变换域分析
总结词
拉普拉斯变换是一种将时域信号转换为复平面上的函数的方法，用于分析信号的稳定性和可预测性。
详细描述
详细描述
06
CHAPTER
随机信号处理的应用
信号传输
随机信号分析在通信系统中用于信号传输的调制和解调过程，通过对信号的随机性进行编码和解码，实现可靠的信息传输。
目标检测
01
随机信号分析在雷达系统中用于目标检测和跟踪，通过对接收到的回波信号进行分析和处理，实现高精度和高可靠性的目标定位和识别。
随机信号分析(常建平 李海林版)课后习题答案
由于百度文库格式转换的原因，不能整理在一个word 文档里面，下面是三四章的答案。
给大家造成的不便，敬请谅解随机信号分析 第三章习题答案、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。
求（1）证明X(t)是平稳过程。
（2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。
（3）画出该随机过程的一个样本函数。
（1）（2）3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232()(16)X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？解[][]()[]2()cos 211,cos 5cos 22X E X t E A E t B A B R t t EA τττ=++=⎡⎤⎣⎦+=+=+与相互独立()()()21521()lim2TT T E X t X t X t X t dt AT-→∞⎡⎤=<∞⇒⎣⎦==⎰是平稳过程()()[]()()4112211222222242'4(1)24()()444(0)41132(1)224414414(2)121tan 13224X X XE X t G d RFG F e R G d d d arc x x ττωωωωωππωωπωωπωπωω∞----∞∞-∞-∞∞--∞∞⎡⎤⨯⎡⎤==⋅=⋅⎢⎥+⎣⎦====+==⎛⎫+ ⎪==⎣⎦=++⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰P P P P 方法一()方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率法功)2d ω=3-7如图3.10所示，系统的输入()X t 为平稳过程，系统的输出为()()()Y t X t X t T =--。
证明：输出()Y t 的功率谱密度为()2()(1cos )Y X G G T ωωω=-[][]:()[()()]{()()}{()(}2()()()()()()()()2(()[)()(()()]()())Y X X X Y X X Y Y Y X X X Y Y j T j T R E Y t Y t E X t X t T X t X t T R R R R E Y t Y t G F R T T e e G R G R G G G G ωωτττττωτωττωττττωωωω-⇒⇒=+=--+-+-=--=+=-⇔⇔∴=-+-=已知平稳过程的表达式利用定义求利用傅解系统输入输出立叶平变稳换的延时特性2()2()22()(1cos )j T j T X X X e e G G G T ωωωωωω-⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=-3-9 已知平稳过程()X t 和()Y t 相互独立，它们的均值至少有一个为零，功率谱密度分别为216()16X G ωω=+22()16Y G ωωω=+令新的随机过程()()()()()()Z t X t Y t V t X t Y t =+⎧⎨=-⎩ ①证明()X t 和()Y t 联合平稳； ②求()Z t 的功率谱密度()Z G ω ③求()X t 和()Y t 的互谱密度()XY G ω ④求()X t 和()Z t 的互相关函数()XZ R τ ⑤求()V t 和()Z t 的互相关函数()VZ R τ 解:()()4124(1)()()()2[()]()0[()]0()2[()]0()()(,)[()][()]0()()(2)()()()()[()()][()()][()X X X Y XY Z X t Y t R F G e E X t R E X t R eE Y t X t Y t R t t E X t E Y t X t Y t Z t X t Y t R E Z t Z t E X t Y t X t τττωτδττττττ---==∞=⇒=⎡⎤⎣⎦=-⇒=∴+=⋅+=⇒=+=+=++、都平稳＝与与联合独平立稳[][]{}2214||()]()()()()()0()()()16()()()116(3)()0()0(4)()[()()]()()()()()()[()]2(5)(X YX XY Y XY Z X Y Z X Y XY XY XZ X XY X X VZ Y t R R R R R R R R G G G R G R E X t Z t E X t X t Y t R R R F G e R ττττττττττωωωωωτωτττττττωτ--++=+++=∴=++∴=+==+=→==+=+++=+==={}4||)[()()][()()][()()]()()()4X Y E V t Z t E X t Y t X t Y t R R e ττττττδτ-=+=-+++=-=+-3-11 已知可微平稳过程()X t 的自相关函数为2()2exp[]X R ττ=-，其导数为()()Y t X t '=。
第3章 信号及其描述
An-，n-分别称 为幅值谱和相位谱， 统称为频谱。
若是奇函数即 f ( t ) f (t ); 若是偶函数即 f ( t ) f ( t );
a0 0, an 0 bn 0
二．周期信号的频谱
不同频率信号的时域图和频域图
复杂周期信号波形
傅立叶级数的复指数展开形式：
• 对于任何一个周期为T、且定义在区间（- T/2, T/2）内的周 期信号f(t)，都可以用上述区间内的三角傅立叶级数表示：
f ( t ) a0 (a n cos n1 t bn sin n1 t )
n 1
• a0是频率为零的直流分量（如图），式中系数值为
1 T /2 T / 2 f ( t )dt T 2 T /2 a n T / 2 f ( t ) cos n 1 tdt T 2 T /2 bn T / 2 f ( t ) sin n 1 tdt T a0
第三章 信号及其描述
主
要
内
容
–信号的分类与定义 确定性信号与随机信号 连续信号与离散信号 周期信号与非周期信号 –确定性信号的特性 时间特性 频率特性 时间与频率的联系
–确定性信号分析 时域分析 频域分析 –随机信号特性及分析
第一节 概述
信号是信息的载体和具体表现形式，或者说，信 号是随着时间变化的某种物理量。只有变化的量中， 才可能含有信息。
连续信号
f(t) f0 f1 0 t 0 f2 t f(t)
离散信号
f(tk) (4.5) (6)
(3)
(2) -1 0 (-1) 1 2 3 4 (1.5)
t
第二节 周期信号及其描述
一．周期信号的傅立叶级数
随机信号分析
第9章 随机信号分析随机信号和确定信号是两类性质完全不同的信号，对它们的描述、分析和处理方法也不相同。
随机信号是一种不能用确定数学关系式来描述的，无法预测未来某时刻精确值的信号，也无法用实验的方法重复再现。
随机信号分为平稳和非平稳两类。
平稳随机信号又分为各态历经和非各态历经。
本章所讨论的随机信号是平稳的且是各态历经的。
在研究无限长信号时，总是取某段有限长信号作分析。
这一有限长信号称为一个样本（或称子集），而无限长信号x(t)称为随机信号总体（或称集）。
各态历经的平稳随机过程中的一个样本的时间均值和集的平均值相等。
因此一个样本的统计特征代表了随机信号总体，这使得研究大大简化。
工程上的随机信号一般均按各态历经平稳随机过程来处理。
仅在离散时间点上给出定义的随机信号称为离散时间随机信号，即随机信号序列。
随机信号序列可以是连续随机信号的采样结果，也可以是自然界里实际存在的物理现象，即它们本身就是离散的。
平稳随机过程在时间上是无始无终的，即其能量是无限的，本身的Fourier 变换也是不存在的；但功率是有限的。
通常用功率谱密度来描述随机信号的频域特征，这是一个统计平均的频谱特性。
平稳随机过程统计特征的计算要求信号x(n)无限长，而实际上这是不可能的，只能用一个样本，即有限长序列来计算。
因此得到的计算值不是随机信号真正的统计值，而仅仅是一种估计。
本章首先介绍随机信号的数字特征，旨在使大家熟悉描述随机信号的常用特征量。
然后介绍描述信号之间关系的相关函数和协方差。
这些是数字信号时间域内的描述。
在频率域内，本章介绍功率谱及其估计方法，并给出了功率谱在传递函数估计方面的应用。
最后介绍描述频率域信号之间关系的函数---相干函数。
9.1 随机信号的数字特征9.1.1 均值、均方值、方差若连续随机信号x(t)是各态历经的，则随机信号x(t)均值可表示为： []⎰∞→==TT x dt t x Tt x E 0)(1)(limμ （9-1）均值描述了随机信号的静态（直流）分量，它不随时间而变化。
随机信号分析李晓峰
随机信号分析李晓峰引言随机信号分析是一门研究信号及其性质的学科，其在现代通信、图像处理、生物医学工程等领域中具有重要的应用价值。
本文将介绍随机信号分析的基本概念、常见的分析方法以及李晓峰教授在随机信号分析领域的研究成果。
随机信号的定义随机信号是指在某个时间段内具有随机性质的信号。
其特点是信号的取值在时间和幅度上都是不确定的，只能通过概率统计的方法来描述。
一个随机信号可以用一个概率密度函数来描述其取值的分布情况。
随机信号有两种基本的分类方式：离散随机信号和连续随机信号。
离散随机信号是在离散的时间点上进行取样的信号，连续随机信号则是在连续的时间上变化的信号。
随机信号分析方法统计特性分析统计特性分析是随机信号分析的基本方法之一，它通过对信号进行统计分析，从而得到信号的数学特性。
常见的统计特性包括均值、方差、自相关函数和谱密度等。
均值是衡量随机信号集中程度的一个指标，它表示信号的中心位置。
方差则用来衡量信号的离散程度，方差越大表示信号的波动性越大。
自相关函数描述了信号在不同时间点之间的相关性，而谱密度则表示信号在不同频率上的能量分布情况。
概率密度函数分析随机信号的概率密度函数描述了信号取值的概率分布情况。
常见的概率密度函数包括高斯分布、均匀分布和指数分布等。
高斯分布是最常用的概率密度函数之一，其形状呈钟型曲线，具有对称性。
均匀分布则表示信号的取值在一个区间上是均匀分布的，而指数分布则表示信号的取值在一个时间段内的分布服从指数规律。
谱分析谱分析是通过对随机信号进行频域分析来研究其频率成分的分析方法。
常见的谱分析方法有功率谱密度分析和相关函数分析。
功率谱密度分析可以用来分析信号在不同频率上的能量分布情况，通过功率谱密度分析可以得到信号的频谱图。
相关函数分析则是通过对信号进行自相关操作，得到信号的相关函数，从而分析信号在不同频率上的相关性。
李晓峰教授的研究成果李晓峰教授是我国著名的随机信号分析专家，他在随机信号分析领域做出了许多重要的研究成果。
随机信号分析
随机信号分析随机信号是在时间或空间上具有随机性质的信号，其数学模型采用随机过程来描述。
随机信号的分析是信号与系统理论中的重要内容，其应用广泛涉及通信、控制、电力系统等领域。
本文将从随机信号的基本特性、常见的随机过程以及随机信号分析的方法等方面进行阐述。
随机信号的基本特性包括：平均性、相关性和功率谱密度。
首先，平均性是指随机信号的统计平均等于其数学期望值。
随机信号的平均性是通过计算信号在一定时间或空间范围内的平均值来描述的。
其次，相关性是指随机信号在不同时刻或不同空间位置上的取值之间存在一定程度的相关性。
相关性可以描述信号之间的相似度和相关程度，常用相关函数来表示。
最后，功率谱密度是用来描述信号在频域上的分布特性，它表示了随机信号在不同频率上所占的功率份额。
随机信号的常见模型主要有白噪声、随机行走、随机震荡等。
其中，白噪声是指功率谱密度在整个频率范围内均匀分布的信号，其在通信领域中应用广泛。
随机行走模型是一种随机过程，它描述了随机信号在不同时刻之间的步长是独立同分布的。
随机震荡模型是一种具有振荡特性的随机过程，常用于描述具有周期性或周期性变化的信号。
对于随机信号的分析方法，主要包括时间域分析和频域分析两种。
时间域分析是通过观察信号在时间上的波形和变化规律来分析随机信号的特性，常用的方法有自相关函数和互相关函数等。
频域分析是将信号转换为频率域上的功率谱密度来分析信号的频谱特性，常用的方法有傅里叶变换和功率谱估计等。
在实际应用中，随机信号的分析对于信号处理和系统设计具有重要意义。
在通信系统中，随机信号的噪声特性是衡量系统性能的关键因素之一，因此通过对随机信号的分析可以有效地优化通信系统的传输质量。
此外，在控制系统和电力系统中，随机信号的分析也能帮助我们进行系统建模和性能预测，从而实现系统的稳定性和可靠性。
综上所述，随机信号的分析是信号与系统理论中的重要内容，其对于各个领域的应用具有重要的意义。
通过对随机信号的基本特性、常见的随机过程以及分析方法的了解，可以为我们深入理解和应用随机信号提供帮助。
【信号与系统】复习总结笔记
【信号与系统】复习总结笔记学习笔记（信号与系统）来源：⽹络第⼀章信号和系统信号的概念、描述和分类信号的基本运算典型信号系统的概念和分类1、常常把来⾃外界的各种报道统称为消息；信息是消息中有意义的内容；信号是反映信息的各种物理量，是系统直接进⾏加⼯、变换以实现通信的对象。
信号是信息的表现形式，信息是信号的具体内容；信号是信息的载体，通过信号传递信息。
2、系统(system)：是指若⼲相互关联的事物组合⽽成具有特定功能的整体。
3、信号的描述——数学描述，波形描述。
信号的分类：1）确定信号（规则信号）和随机信号确定信号或规则信号 ——可以⽤确定时间函数表⽰的信号；随机信号——若信号不能⽤确切的函数描述，它在任意时刻的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性。
2）连续信号和离散信号连续时间信号——在连续的时间范围内(-∞<t<∞）有定义的信号称为连续时间信号，简称连续信号，实际中也常称为模拟信号；离散时间信号——仅在⼀些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号，实际中也常称为数字信号。
3）周期信号和⾮周期信号周期信号——是指⼀个每隔⼀定时间T，按相同规律重复变化的信号；⾮周期信号——不具有周期性的信号称为⾮周期信号。
4）能量信号与功率信号能量信号——信号总能量为有限值⽽信号平均功率为零；功率信号——平均功率为有限值⽽信号总能量为⽆限⼤。
5）⼀维信号与多维信号信号可以表⽰为⼀个或多个变量的函数，称为⼀维或多维函数。
6）因果信号若当t<0时f(t)=0,当t>0时f(t)≠0的信号,称为因果信号；⾮因果信号指的是在时间零点之前有⾮零值。
4、信号的基本运算：信号的＋、－、×运算:两信号f1(·)和f2(·)的相＋、－、×指同⼀时刻两信号之值对应相加减乘。
平移:将f(t)→f(t + t0)称为对信号f(·)的平移或移位,若t0< 0，则将f(·)右移,否则左移。
第3章 随机信号的频域分析
RY (τ )dτ =∫
∞
3.2． 联合平稳信号互功率谱密度与互相关函数之间的关系
若 X (t ) ，Y (t ) 联合平稳，则 RXY (t , t + τ ) ↔ G XY (ω )
3‐ 3 / 4
∞ ⎧ ⎪ ⎪ G ω RXY (τ ) e − jωτ dτ = ( ) XY ∫ ⎪ −∞ 即⎪ ⎨ 1 ∞ ⎪ ⎪ R G XY (ω ) e jωτ dω τ = ( ) XY ⎪ ∫ −∞ ⎪ π 2 ⎩
2. 低通带限白噪声：
⎧ ⎪N 0 2 ω ≤ Ω / 2 功率谱密度：GX (ω ) = ⎪ ⎨ ⎪ ω >Ω/ 2 ⎪ ⎩0 1 ∞ ΩN 0 G X (ω ) e jωτ dω = ⋅ Sa (Ωτ / 2) 自相关函数： RX (τ ) = ∫ 2π −∞ 4π 3. 带通带限白噪声：
⎧ N ⎪ ⎪ 0 功率谱密度为G Y (ω ) = ⎪ ⎨ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 0
第三章 随机信号的频域分析
3.1 随机信号功率谱密度
1. 确知信号 f (t ) ：
f (t ) 傅氏变换---Æ频域 F (ω )
时间相关函数 R (τ ) 傅氏变换--Æ功率谱 Ps (ω ) （注：能量有限信号的时间相关函数 R (τ ) = ∫ 信号能量为：
E =∫
∞
∞ −∞
x (t )x * (t + τ )dt ）
RY (τ ) = E {Y (t )Y (t + τ )} = E {X (t )X (t + τ ) cos(ω0t + ω0τ + Θ) cos(ω0t + Θ)} ⎧1 ⎫ 1 = E {X (t )X (t + τ )} E ⎪ ⎨ cos(ω0τ ) + cos(2ω0t + ω0τ + 2Θ)⎪ ⎬ ⎪ ⎪ 2 ⎪2 ⎪ ⎩ ⎭ 1 = RX (τ ) cos(ω0τ ) 2
第3章信号分析及处理
第3章信号分析及处理3．1 知识要点3.1.1数字信号处理基础1.数字信号处理的基本步骤有哪些？（1）信号的预处理：是指在数字处理之前，把信号变成适于数字处理的形式，以减小数字处理的困难。
（2）A／D转换：是将预处理以后的模拟信号经采样、量化并转换为二进制数的过程。
（3）分析计算：对采集到的数字信号进行分析和计算，可用数字运算器件组成信号处理器完成，也可用通用计算机。
（4）结果显示：一般采用数据和图形显示结果。
2.什么是时域采样？采样定理的内容是什么？采样相当于在连续信号上“摘取”一系列离散的瞬时值，是利用采样脉冲序列从连续时间信号中抽取一系列离散样值，使之成为采样信号的过程，是把连续时间信号变成离散时间序列的过程。
为了保证采样后的信号能真实地保留原始模拟信号的信息，使采样后的信号仍可准确的恢复其原始信号，采样信号的频率必须至少为原信号中最高频率成分的2倍，这一基本法则，称为采样定理。
3.什么是量化和量化误差？把采样信号经过舍入或截尾的方法变为只有有限个有效数字的数字信号，即从一组有限个离散电平中取一个来近似代表采样点的信号实际幅值电平，这一过程称为量化。
由量化引起的信号量化电平与信号实际电平之间的差值称为量化误差。
4.什么是混叠、截断和泄漏？由于采样信号频谱发生变化，而出现高、低频成分发生混淆的一种现象叫混叠。
截断就是将信号乘以时域的有限宽矩形窗函数。
截断后信号的能量在频率轴分布扩展到现象称为泄漏。
5.什么是窗函数？常用的窗函数有哪些？各有何特点？如何选择？为了减少频谱能量泄漏，可采用不同的截取函数对信号进行截断，截断函数称为窗函数。
常用的窗函数有矩形窗、三角窗、汉宁（Hanning）窗、海明（Hamming）窗、高斯窗。
(1)矩形窗：优点是主瓣比较集中，缺点是旁瓣较高，并有负旁瓣，导致变换中带进了高频干扰和泄漏，甚至出现负谱现象。
(2)三角窗：三角窗与矩形窗比较，主瓣宽约等于矩形窗的两倍，但旁瓣小，而且无负旁瓣。
随机信号分析第3章随机信号的频域分析
则其时间平均 P E[ X 2 (t )] R(0) R(0) 所以平稳过程的平均功率： 3、各态历经过程的平均功率 由于各态历经过程X(t)的每个样本函数的时间平均都以概率1 相 同，与 无关，则可推出：
P R(0)
1 P lim T 2T
1 －T X (t, )dt Tlim 2T
5、实随机过程功率谱密度的性质 功率谱密度是随机过程在频域中主要的统计特征。 (1). 功率谱密度为非负值 由定义式3-12
2 | X ( ) | 0 因为 T
GX ( ) 0
1 GX ( ) lim E[| X T ( ) |2 ] T 2T
故而 GX ( ) 0
因为X(t) 平稳 RX ( )，GX ( )是偶函数。
G ( ) 2 R ( ) cosd X X 0 则有： 1 R X ( ) 0 G X ( ) cosd
功率谱密度与自相关函数之间的关系
确定信号： x(t ) X ( j) 随机信号：平稳随机过程的自相关函数
2
E[ X T ( ) ] GX ( ) lim T 2T 1
lim
T
X T ( ) x(t )e
2
T
T
jt
dt
2T
* E[ X T ( ) X T ( )]
T T 1 jt1 E[ X (t1 )e dt1 X (t2 )e jt2 dt2 ] lim T T T 2T 1 T T j ( t 2 t1 ) lim E [ X ( t ) X ( t )] e dt1dt 2 1 2 T 2T T T 1 T T j ( t 2 t1 ) lim R ( t t ) e dt1dt 2 X 2 1 T 2T T T
第三章电子讲义：随机信号分析
第三章随机信号分析知识结构-随机过程的基本概念和统计特征-平稳随机过程与各态历经性-平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度-高斯过程及其应用-随机过程通过线形系统教学目的-了解随机信号的概念和基本分析方法；-掌握随机过程数字特征、平稳随机过程的相关函数与功率谱密度的关系及其计算-掌握平稳随机过程通过线性系统的性质和相应计算。
教学重点-随机过程的基本概念和数字特征-自相关函数与功率谱密度的关系（即维纳-辛钦定理）-平稳随机过程通过线形系统教学难点-各态历经性的理解-随机过程的自相关函数的性质-维纳-辛钦定理教学方法及课时-多媒体授课（4学时）（2个单元）备注（在上课之前最好让学生复习一下“概率论”）单元四（2学时）§3.1 引言（随机信号的范畴和基本分析方法）本节知识要点：研究随机信号的意义和基本方法随机过程是信号和噪声通过通信系统的过程，因此，分析与研究通信系统，总离不开对信号和噪声的分析。
通信系统中遇到的信号，通常总带有某种随机性，即它们的某个或几个参数不能预知或不可能完全预知（如能预知，通信就失去意义）。
我们把这种具有随机性的信号称为随机信号。
通信系统中还必然遇到噪声，例如自然界中的各种电磁波噪声和设备本身产生的热噪声、散粒噪声等，它们更不能预知。
凡是不能预知的噪声就统称为随机噪声，或简称为噪声。
从统计数学的观点看，随机信号和噪声统称为随机过程。
因而，统计数学中有关随机过程的理论可以运用到随机信号和噪声分析中来。
其基本分析方法主要是通过分析其基本的数字特征，如均值、方差、相关函数等来实现的。
§3.2 随机过程的基本概念本节知识要点：随机过程概念及其基本数字特征1、随机过程的一般概念通信过程中的随机信号和噪声均可归纳为依赖于时间参数t的随机过程。
这种过程的基本特征是，它是时间t的函数，但在任一时刻观察到的值却是不确定的，是一个随机变量。
或者，它可看成是一个由全部可能实现构成的总体，每个实现都是一个确定的时间函数，而随机性就体现在出现那一个实现是不确定的。
信号处理知识点总结
第一章信号1.信息是消息的内容，消息是信息的表现形式，信号是信息的载体2.信号的特性：时间特性，频率特性3.假设信号可以用确定性图形、曲线或数学表达式来准确描述，那么该信号为确定性信号假设信号不遵循确定性规律，具有某种不确定性，那么该信号为随机信号4.信号分类：能量信号，一个信号如果能量有限；功率信号，如果一个信号功率是有限的5.周期信号、阶跃信号、随机信号、直流信号等是功率信号，它们的能量为无限频谱有两类：幅度谱，相位谱7.信号分析的根本方法：把频率作为信号的自变量，在频域里进行信号的频谱分析第二章连续信号的频域分析1.周期信号频谱分析的常用工具：傅里叶三角级数;傅里叶复指数三角级数可以把周期信号分解成无穷多个正、余弦信号的加权和3频谱反映信号的频率结构，幅频特性表示谐波的幅值，相频特性反映谐波的相位4.周期信号频谱的特点：离散性，谐波性，收敛性周期信号幅频谱线的大小表示谐波分量的幅值相频谱线大小表示谐波分量的相位6.周期信号的功率谱等于幅值谱平方和的一半，功率谱反映周期信号各次谐波的功率分配关系，周期信号在时域的平均功率等于其各次谐波功率之和7.非周期信号可看成周期趋于无穷大的周期信号8.周期T0增大对频谱的影响：谱线变密集，谱线的幅度减少9.非周期信号频谱的特点：非周期信号也可以进行正交变换；非周期信号完备正交函数集是一个无限密集的连续函数集；非周期信号的频谱是连续的；非周期信号可以用其自身的积分表示10.常见奇异信号：单位冲激信号，单位直流信号，符号函数信号，单位阶跃信号11.周期信号的傅里叶变换：周期信号：一个周期绝对可积◊傅里叶级数◊离散谱非周期信号：无限区间绝对可积◊傅里叶变换◊连续谱脉冲函数的位置：ω＝nω0 , n=0,±1,±2, …..脉冲函数的强度：傅里叶复指数系数的2π倍周期信号的傅立叶变换也是离散的；谱线间隔与傅里叶级数谱线间隔相同14.信号在时域的翻转，对应信号在频域的翻转15.频域频移，时域只有相移，幅频不变；时域相移，只导致频域频移，相位不变第三章连续信号分析1.正弦信号的性质：两个同频正弦信号相加，仍得同频信号，且频率不变，幅值和相位改变;频率比为有理整数的正弦信号合成为非正弦周期信号，以低频〔基频f0〕为基频，叠加一个高频 (频nf0)分量2.函数f(t)与冲激函数或阶跃函数的卷积: f(t)与冲激函数卷积，结果是f(t)本身; f(t)与冲激偶的卷积,δ(t)称为微分器 f(t)与阶跃函数的卷积, u(t)称为积分器 3. 函数正交的充要条件是它们的内积为0第二章 离散傅里叶变换及其快速算法2.周期卷积特性：同周期序列的时域卷积等于频域的乘积同周期序列的时域乘积等于频域的卷积3.周期卷积与线性卷积的区别：线性卷积在无穷区间求和;周期卷积在一个主值周期内求和4.有限长序列隐含着周期性6．FFT 的计算工作量：FFT 算法对于N 点DFT,仅需(N/2)log2N次复数乘法运算和Nlog2N 次复数加法第三章 随机信号分析与处理1 随机信号是随时间变化的随机变量，用概率结构来描述。
现代信号处理思考题(含问题详解)
第一章 绪论1、 试举例说明信号与信息这两个概念的区别与联系。
信息反映了一个物理系统的状态或特性，是自然界、人类社会和人类思维活动中普遍存在的物质和事物的属性。
信号是传载信息的物理量是信息的表现形式，如文字、语言、图像等。
如人们常用qq 聊天，即是用文字形式的信号将所要表达的信息传递给别人。
2、 什么是信号的正交分解？如何理解正交分解在机械故障诊断中的重要价值？P9正交函数的定义信号的正交分解如傅里叶变换、小波分解等，即将信号分解成多个独立的相互正交的信号的叠加。
从而将信号独立的分解到不同空间中去，通常指滤波器频域内正交以便于故障分析和故障特征的提取。
傅里叶变换将信号分解成各个正交的傅里叶级数，将信号从时域转换到频域从而得到信号中的各个信号的频率。
正交小波变换能够将任意信号（平稳或非平稳）分解到各自独立的频带中；正交性保证了这些独立频带中状态信息无冗余、无疏漏，排除了干扰，浓缩了了动态分析与监测诊断的信息。
3、 为什么要从内积变换的角度来认识常见的几种信号处理方法？如何选择合适的信号处理方法？ 在信号处理各种运算中内积变换发挥了重要作用。
内积变换可视为信号与基函数关系紧密程度或相似性的一种度量。
对于平稳信号，是利用傅里叶变换将信号从时域变为频域函数实现的方式是信号函数x （t ）与基函数i t e ω 通过内积运算。
匹配出信号x （t ）中圆频率为w 的正弦波.而非平稳信号一般会用快速傅里叶变换、离散小波变换、连续小波变换等这些小波变换的内积变换内积运算旨在探求信号x （t ）中包含与小波基函数最相关或最相似的分量。
“特征波形基函数信号分解”旨在灵活运用小波基函数 去更好地处理信号、提取故障特征。
用特定的基函数分解信号是为了获得具有不同物理意义的分类信息。
不同类型的机械故障会在动态信号中反应出不同的特征波形，如旋转机械失衡振动的波形与正弦波形有关，内燃机爆燃振动波形是具有钟形包络的高频波；齿轮轴承等机械零部件出现剥落。
随机信号分析理论的应用综述
欢迎共阅随机信号分析理论的应用综述（结课论文）学院：3.1均匀分布白噪声通过低通滤波器3.2语音盲分离3.3系统辨识3.4基于bartlett的周期图法估计功率谱3.5基于MATLAB_GUI的Kalman滤波程序第四章展望参考文献第一章概述1.1随机信号分析的研究背景在一般的通信系统中，所传输的信号都具有一定的不确定性，因此都属于随机信号，否则不可能传递任何信息，也就失去了通信的意义。
随机信号是一种不能用确定的数学关系式来描述的、无法预测未来时刻精准值的信号，也无法用实定的规律性，即统计规律性，它是本门学科一个最根本的概念。
随机信号分析重点研究一般化（抽象化）的系统干扰和信号，往往仅给出他们的系统函数模型和数学模型，而不是讨论具体的系统，更不会局限于一些具体的电路系统上。
概率论与数理统计随机过程理论等只是处理本命学科有关问题的一种工具因而学习本门课程除了注意处理问题的方法，更重要的是对一数学推演的结果和结论的物理意义有深入的理解。
随机信号通过线性、非线性系统统计特件的变化；在通信、雷达和其他电子系统中常见的一些典型随机信号，如白噪声、窄带随机过程、高斯随机过程、马尔可夫过程等。
第二章随机信号分析的主要内容随机信号分析与处理时研究随机信号的特点及其处理方法的专业基础课程，是目标检测、估计、滤波等信号处理的理论基础，在学习过程中，我们需要学会统的重要工具希尔伯特变换，来分析窄带随机过程的统计特性及其一些重要性质。
讨论窄带随机过程经包络检波器和平方律检波器后统计特性的变换。
随机信号通过非线性系统：当动态非线性系统可分时，分为线性系统与无记忆的非线性系统的级联，一般用多项式和伏特拉级数的方法。
马尔可夫过程：一随机过程 {X(t),t∈T}，其值域（状态）可以连续取值，也可以离散取值，如果他的条件概率满足下列关系：P[X(tn+1)<=Xn+1 X(tn)=xn,X(tn-1)=xn-1,...,X(to)=xo]=P[X(tn+1)<=xn+1 X(tn)=xn] 则X（t）为马尔可夫过程。
3. 随机信号分析_随机信号的频域分析
1 s (t ) 2
S ( )e jt d F 1 [ S ( )]....... （反变换）
其中S(w)称为信号s(t)的频谱，它反映了s(t)中各种频率成分 的分布状况。 可以证明：对一般实信号s(t)，其频谱是w的复函数， 即
S ( ) S ( ) ，（“*”表示复共轭）。
(3). 功率谱密度是 的偶函数
G X ( ) G X ( )
根据傅立叶变换的性质，当
xiT (t) 为 t 的实函数时，其频谱满足
X iT ( ) X iT ( ) X iT ( ) X iT ( ) 则随机过程截断后的频谱为 X T ( ) X T ( ) X T ( ) X T ( )
a .s
4、各态历经过程的功率谱密度 若过程 X(t) 的平均功率和 其样本函数的平均功率
a .s
1 P GX ( )d 2 － 1 P Gk ( )d k 2 －
由X(t)的各态历经性，P Pk 因此有
a.s
1 2 GX () Gk () lim X kT () T 2T
| s (t ) |dt
（绝对可积）
或
2 | s ( t ) | dt （信号的总能量有限）
若s(t)满足上述条件，则其傅立叶变换对存在。
S ( ) s (t )e jt dt F [ s (t )].................. （正变换）
即各态历经过程 X(t) 的功率谱密度 GX ( )与其样本函数的功率 谱密度 Gk ( ) 以概率1 相等。
5 、实随机过程功率谱密度的性质 功率谱密度是随机过程在频域中主要的统计特征。 (1). 功率谱密度为非负值 由定义式3-12
第三章_随机信号的频域分析
G ( ) R ( )e j d X X 换对，即 1 RX ( ) GX ( )e j d 2
维纳—辛钦定理给出了平稳随机信号 X t 的时域特性和频域特性之间的联系，也是分 析平稳随机信号的一个最重要最基本的公式。 由于平稳随机信号 X t 的自相关函数 RX
《随机信号分析基础》第三章：随机信号的频域分析
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第三章
随机信号的频域分析(4 课时)
对确定信号可以采用傅立叶变换工具来实现确定信号的频域分析， 得到频谱分布。 对随 机信号是否也能应用傅立叶变换呢？随机信号也有频谱概念？在一般意义下， 信号持续时间 无限，故能量无限，因此多考虑单位时间内的能量即功率(功率有限)，因此主要考虑平均功 率在频域上的分布 功率谱密度(Power Spectral Density, PSD)。功率谱密度指“单位带 宽上的平均功率”。 3.1实随机信号（分析）的功率谱密度 【确知信号频域分析补充】★ 1．信号分析中信号的分类 信号 s t 的能量 E
是 的偶函数 RX RX
所以 GX GX —— GX 也是 的偶函数。
G ( ) 2 R ( ) cos d 0 X X 因此维纳—辛钦公式（定理）又可写成 1 RX ( ) GX ( ) cos d 0
W
rad / s 或 P f lim
T
1 2 ST ( f ) 2T
W
Hz
其中 ST ( ) 或 ST ( f ) 为功率信号 s t 的截短（断）信号 ST (t ) 的傅里叶变换。 【说明】 ①功率谱密度用 P 或者 P f 更为通用，但课本采用 G 或者 G ( f ) 来表示。 ②信号的功率谱密度函数是指这样的频率函数： 对其在整个频率范围内进行积分以后， 就是 信号的总功率；它描述了信号功率在各个不同频率上分布的情况。
自谱分析
信号分析原理测试信号的频域分析是把信号的幅值、相位或能量变换以频率坐标轴表示，进而分析其频率特性的一种分析方法又称为频谱分析。
对信号进行频谱分析可以获得更多有用信息，如求得动态信号中的各个频率成分和频率分布范围，求出各个频率成分的幅值分布和能量分布，从而得到主要幅度和能量分布的频率值。
自谱分析对于一个振动信号或其它类型的随机信号，有时为了研究其内在规律，需要分析随机信号的周期性，这就需要将信号从时域变换到频域，得到的频谱中每个频率都对应信号的一个周期谐波分量。
频谱分析使信号处理中最基本的分析方法之一，广泛应用于各种工程技术领域。
自谱分析就是对一个信号进行频谱分析，包括幅值谱(PEAK)、幅值谱(RMS)、功率谱和功率谱密度等。
其中幅值谱(PEAK)反映了频域中各谐波分量的单峰幅值，幅值谱(RMS)反映了各谐波分量的有效值幅值，功率谱反映了各谐波分量的能量（或称功率），功率谱密度反映了各谐波分量的能量分布情况。
频谱分析通常使用一定长度（例如1024点）FFT分析方法，当信号数据长度大于2倍的1024点时，可以对信号数据采用两种不同的分析方式：全程平均方式和瞬时分析方式，使用全程平均方式时，将整个信号分成若干段数据，分别进行FFT 分析，得到各自的频谱之后，再进行平均，最后的结果较全面反映全程数据的频谱特性；当使用瞬时分析时，可以随意选择一段数据，随即进行FFT分析，得到的频谱就是最后结果，它不能反映全部数据的频谱特性，但反映了当前选择的数据段的频谱特性。
FFT为快速傅立叶变换，傅立叶变换的定义为：傅立叶变换本身是连续的，无法使用计算机计算，而离散傅立叶变换的运算量又太大，为提高运算速度，通常使用快速傅立叶变换方法(FFT)，但此时所得到的频谱不是连续的曲线了，具有一定的频率分辨率Δf，且Δf = SF / N，SF为信号采样频率，N为FFT分析点数（常为1024点）。
由于频率分辨率的存在，以及时域信号为有限长度等原因，使FFT分析结果具有泄露的可能，为此常常使用一些措施来消除，如平滑、加窗、能量修正、细化分析等等。
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均功率 P 为：
P E Pk lim
2 2 1 T 1 T E xk t , k dt lim E X t dt T 2T T T 2T T 2 1 1 1 E X T , d GX d lim 2 T 2T 2
G ( ) R ( )e j d X X 换对，即 1 RX ( ) GX ( )e j d 2
维纳—辛钦定理给出了平稳随机信号 X t 的时域特性和频域特性之间的联系，也是分 析平稳随机信号的一个最重要最基本的公式。 由于平稳随机信号 X t 的自相关函数 RX
Gs (参见郑君里等的《信号与系 功率谱密度 G ( ) 互为傅里叶变换对， Rs
F .T .
统》)。对于平稳随机过程，是否也存在这种关系呢？ 1．维纳-辛钦定理(Winener-Khinchin Theorem) 平稳随机信号 X t 的自相关函数 RX
与其功率谱密度 GX 之间是一对傅里叶变
[物理含义] Gk , k /Gk f , k 代表了随机信号 X t 的某一样本函数 x t , k 在单位 频带内消耗在 1 电阻上的平均功率。 3．随机信号的平均功率及功率谱（密度）
若对 X t 中所有样本函数的 P k （对所有的 k ）取统计平均，则有随机信号 X t 的总平
s(t )
2
dt s (t ) s (t )dt
可得
s 2 (t )dt
1 2
s( ) d
2
s( f ) df ——帕斯瓦尔能量守恒定理
2
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因此，定义能量实函数 s t 的能量谱密度为 s ( ) ，也称能量谱。
W
ra 2 ST ( f ) 2T
W
Hz
其中 ST ( ) 或 ST ( f ) 为功率信号 s t 的截短（断）信号 ST (t ) 的傅里叶变换。 【说明】 ①功率谱密度用 P 或者 P f 更为通用，但课本采用 G 或者 G ( f ) 来表示。 ②信号的功率谱密度函数是指这样的频率函数： 对其在整个频率范围内进行积分以后， 就是 信号的总功率；它描述了信号功率在各个不同频率上分布的情况。
P lim
Pn 1 T0
1 T 2T
T
T
s 2 (t )dt
1 2
n
2
P d
P f df 帕斯瓦尔功率守恒定理
T0 2
T0 2
s 2 (t )dt
n
C
周期信号帕斯瓦尔定理
2
其中 Cn 为周期信号第 n 次谐波（其频率为 nf 0 ）的振幅，因此 Cn 是第 n 次谐波的功率
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第三章
随机信号的频域分析(4 课时)
对确定信号可以采用傅立叶变换工具来实现确定信号的频域分析， 得到频谱分布。 对随 机信号是否也能应用傅立叶变换呢？随机信号也有频谱概念？在一般意义下， 信号持续时间 无限，故能量无限，因此多考虑单位时间内的能量即功率(功率有限)，因此主要考虑平均功 率在频域上的分布 功率谱密度(Power Spectral Density, PSD)。功率谱密度指“单位带 宽上的平均功率”。 3.1实随机信号（分析）的功率谱密度 【确知信号频域分析补充】★ 1．信号分析中信号的分类 信号 s t 的能量 E
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xk t t T x t 截取函数表达式为： kT t T 0
对 xkT t 其持续时间有限，满足绝对可积条件，其傅里叶变换存在，故 X kT t 为能量 信号，有下列成立。
X kT xkT t
P f
n
C
2 n
f nf 0 周期信号的功率谱（密度）
3.1.1 实随机信号（过程）的功率谱密度 分析思路： 随机过程的样本函数是确知的功率信号， 故分析可以从样本函数的功率谱开 始；但样本函数的功率谱无法代表整个随机过程的功率谱，也是随机的，对其取统计平均为 整个随机信号的功率谱。 1、随机信号的截断（短）函数
lim
2 1 X kT f , k df T 2T
lim
式中： P k 是 X t , k 中某个样本函数的平均功率。 （2）样本函数的功率谱密度 Gk , k /GX f , k
Gk , k lim
T
2 2 1 1 X kT , k 或 Gk f , k lim X T f , k T 2T 2T
由于 xk t 是随机过程 X t 的一个样本函数，取哪一个样本函数取决于试验结果 k ， 且 是 随 机 的 。 因 此 X kT t 和 X kT
/ X kT f 也 都 是 试 验 结 果 k 的 随 机 函 数 。 即
X kT t X kT t , k , X kT X T , k 或X kT f X T f , k 。
将上式的积分变量变换成 t t2 和 t1 t2 ，则 2T , 2T ， t 在直线 T 和
3.1 随机信号的截断信号 从随机信号 X t 抽取任一样本函数 xk t ，对 x t 任意截取一段，长度为 2T，并记为
xT t ，并称 xT t 为 x t 的截取（截断（短） ）信号。如图 3.1 所示。
《随机信号分析基础》第三章：随机信号的频域分析
s t dt （绝对可积）的等价条件为
s (t ) dt （信号 s t 的总能量有限） 。
2
若 s t 满足上述条件，则有傅里叶变换对存在： （正变换）频谱
S ( )
1 2
s t e jt dt 或 S ( f )
S e jt d 或 s (t )
s t e j 2 ft dt
S f e j 2 ft df
（反变换）信号 s (t )
对于上述实能量信号，由傅里叶变换对可得
E
1 s (t ) s e jt d dt 2 1 1 s s t e jt dt d s s d 2 2 1 2 2 2 s ( ) d 或E s (t ) dt s ( f ) df 2
是 的偶函数 RX RX
所以 GX GX —— GX 也是 的偶函数。
G ( ) 2 R ( ) cos d 0 X X 因此维纳—辛钦公式（定理）又可写成 1 RX ( ) GX ( ) cos d 0
GX 表示了随机信号 X t 的各个不同频率上的单位频带内消耗在 1 电阻上的平
均功率，同时描述了随机信号 X t 的各个平均功率在各个频率上的分布状况。 3.1.2 实平稳随机信号(过程)的功率谱密度与自相关函数之间的关系 由信号与系统课程知： 一个能量无限而功率有限的确知信号的时间相关函数 Rs 与其
2
定 义 E s ( ) J / rad / s ) 或 E f s ( f )
2
2
J
Hz 为 能 量 信 号 的 能 量 谱 密 度
(ESD)。 3．功率信号的功率谱（密度）(Power Spectral Density PSD)
P lim
T
1 2 ST ( ) 2T
同理随机信号 X t 的功率谱密度 GX 为：
2 2 1 1 GX E X T , k lim E X T , k lim GX , k E T 2T T 2T 2 2 1 1 E X T lim E XT f lim T 2T T 2T
lim
T
T T
s (t ) dt 0 E
2
s 2 (t ) dt
1 T 2T
信号 s t 的平均功率 P lim 规定： 0 E
1 T 2T
T
T
s (t ) dt 0 P lim
2
T
T
s 2 (t ) dt
P 0 能量信号 ； E 0 P 功率信号 。
【维纳-辛钦定理的证明】
《随机信号分析基础》第三章：随机信号的频域分析
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图3.2 维纳-辛钦定理推导中的变量置换过程 将傅氏变换定义代入式 GX ( ) lim
2 1 E X T ，有 T 2T
T 1 T GX lim E X T t1 e jt1 dt1 X T t2 e jt2 dt2 T T 2T T T T 1 E X t1 X t2 e j t1 t2 dt1dt2 lim T 2T T T