第三章_随机信号的频域分析

W
rad / s 或 P f lim
T
1 2 ST ( f ) 2T
W
Hz
其中 ST ( ) 或 ST ( f ) 为功率信号 s t 的截短（断）信号 ST (t ) 的傅里叶变换。 【说明】 ①功率谱密度用 P 或者 P f 更为通用，但课本采用 G 或者 G ( f ) 来表示。 ②信号的功率谱密度函数是指这样的频率函数： 对其在整个频率范围内进行积分以后， 就是 信号的总功率；它描述了信号功率在各个不同频率上分布的情况。
G ( ) R ( )e j d X X 换对，即 1 RX ( ) GX ( )e j d 2
维纳—辛钦定理给出了平稳随机信号 X t 的时域特性和频域特性之间的联系，也是分 析平稳随机信号的一个最重要最基本的公式。 由于平稳随机信号 X t 的自相关函数 RX
S e jt d 或 s (t )



s t e j 2 ft dt
S f e j 2 ft df
（反变换）信号 s (t )




对于上述实能量信号，由傅里叶变换对可得
E
1 s (t ) s e jt d dt 2 1 1 s s t e jt dt d s s d 2 2 1 2 2 2 s ( ) d 或E s (t ) dt s ( f ) df 2
同理随机信号 X t 的功率谱密度 GX 为：
2 2 1 1 GX E X T , k lim E X T , k lim GX , k E T 2T T 2T 2 2 1 1 E X T lim E XT f lim T 2T T 2T
《随机信号分析基础》第三章：随机信号的频域分析
第4页
共 10 页
均功率 P 为：
P E Pk lim
2 2 1 T 1 T E xk t , k dt lim E X t dt T 2T T T 2T T 2 1 1 1 E X T , d GX d lim 2 T 2T 2
将上式的积分变量变换成 t t2 和 t1 t2 ，则 2T , 2T ， t 在直线 T 和
【维纳-辛钦定理的证明】
《随机信号分析基础》第三章：随机信号的频域分析
第5页
共 10 页
图3.2 维纳-辛钦定理推导中的变量置换过程 将傅氏变换定义代入式 GX ( ) lim
2 1 E X T ，有 T 2T
T 1 T GX lim E X T t1 e jt1 dt1 X T t2 e jt2 dt2 T T 2T T T T 1 E X t1 X t2 e j t1 t2 dt1dt2 lim T 2T T T



s t dt （绝对可积）的等价条件为


s (t ) dt （信号 s t 的总能量有限） 。
2
若 s t 满足上述条件，则有傅里叶变换对存在： （正变换）频谱
S ( )
1 2


s t e jt dt 或 S ( f )
[物理含义] Gk , k /Gk f , k 代表了随机信号 X t 的某一样本函数 x t , k 在单位 频带内消耗在 1 电阻上的平均功率。 3．随机信号的平均功率及功率谱（密度）
若对 X t 中所有样本函数的 P k （对所有的 k ）取统计平均，则有随机信号 X t 的总平
P lim
Pn 1 T0
1 T 2T

T
T
s 2 (t )dt

1 2

n


2
P d


P f df 帕斯瓦尔功率守恒定理

T0 2
T0 2
s 2 (t )dt
n
C
周期信号帕斯瓦尔定理
2
其中 Cn 为周期信号第 n 次谐波（其频率为 nf 0 ）的振幅，因此 Cn 是第 n 次谐波的功率
lim

2 1 X kT f , k df T 2T
lim
式中： P k 是 X t , k 中某个样本函数的平均功率。 （2）样本函数的功率谱密度 Gk , k /GX f , k
Gk , k lim
T
2 2 1 1 X kT , k 或 Gk f , k lim X T f , k T 2T 2T
是 的偶函数 RX RX
所以 GX GX —— GX 也是 的偶函数。
G ( ) 2 R ( ) cos d 0 X X 因此维纳—辛钦公式（定理）又可写成 1 RX ( ) GX ( ) cos d 0
2．随机信号的样本的平均功率及功率谱密度 （1）样本函数的平均功率 P k 由于 X T t , 为一能量信号，所以由帕斯瓦尔功率守恒定律有：
Pk lim
1 T 2T


T
T
X k t , k dt
2
1 2
2 1 , X d kT k T 2T


xkT t e jt dt xk t e jt dt
T
TBaidu Nhomakorabea
1 2



X kT e jt d
X f X t e j 2 ft dt T x t e j 2 ft dt kT T k kT j 2 ft X kT t X kT f e df
s(t )

2
dt s (t ) s (t )dt


可得



s 2 (t )dt
1 2



s( ) d
2


s( f ) df ——帕斯瓦尔能量守恒定理
2
《随机信号分析基础》第三章：随机信号的频域分析
第2页
共 10 页
因此，定义能量实函数 s t 的能量谱密度为 s ( ) ，也称能量谱。
GX 表示了随机信号 X t 的各个不同频率上的单位频带内消耗在 1 电阻上的平
均功率，同时描述了随机信号 X t 的各个平均功率在各个频率上的分布状况。 3.1.2 实平稳随机信号(过程)的功率谱密度与自相关函数之间的关系 由信号与系统课程知： 一个能量无限而功率有限的确知信号的时间相关函数 Rs 与其
《随机信号分析基础》第三章：随机信号的频域分析
第1页
共 10 页
第三章
随机信号的频域分析(4 课时)
对确定信号可以采用傅立叶变换工具来实现确定信号的频域分析， 得到频谱分布。 对随 机信号是否也能应用傅立叶变换呢？随机信号也有频谱概念？在一般意义下， 信号持续时间 无限，故能量无限，因此多考虑单位时间内的能量即功率(功率有限)，因此主要考虑平均功 率在频域上的分布 功率谱密度(Power Spectral Density, PSD)。功率谱密度指“单位带 宽上的平均功率”。 3.1实随机信号（分析）的功率谱密度 【确知信号频域分析补充】★ 1．信号分析中信号的分类 信号 s t 的能量 E
P f
n
C

2 n
f nf 0 周期信号的功率谱（密度）
3.1.1 实随机信号（过程）的功率谱密度 分析思路： 随机过程的样本函数是确知的功率信号， 故分析可以从样本函数的功率谱开 始；但样本函数的功率谱无法代表整个随机过程的功率谱，也是随机的，对其取统计平均为 整个随机信号的功率谱。 1、随机信号的截断（短）函数
Gs (参见郑君里等的《信号与系 功率谱密度 G ( ) 互为傅里叶变换对， Rs
F .T .
统》)。对于平稳随机过程，是否也存在这种关系呢？ 1．维纳-辛钦定理(Winener-Khinchin Theorem) 平稳随机信号 X t 的自相关函数 RX
与其功率谱密度 GX 之间是一对傅里叶变
由于 xk t 是随机过程 X t 的一个样本函数，取哪一个样本函数取决于试验结果 k ， 且 是 随 机 的 。 因 此 X kT t 和 X kT
/ X kT f 也 都 是 试 验 结 果 k 的 随 机 函 数 。 即
X kT t X kT t , k , X kT X T , k 或X kT f X T f , k 。
由于随机信号的样本函数的持续时间无限， 即 E ,但它们的平均功率却是有限的， 所以随机信号的样本函数为功率信号，即随机信号为功率信号。 2．能量信号的能量谱（密度） （Energy Spectral Density ESD） 设能量信号 s t 是时间 t 的非周期实函数，其傅里叶变换存在的条件是： ① s t 在 , 范围内满足狄利克利条件（只有有限间断点） ； ②
第3页
共 10 页
xk t t T x t 截取函数表达式为： kT t T 0
对 xkT t 其持续时间有限，满足绝对可积条件，其傅里叶变换存在，故 X kT t 为能量 信号，有下列成立。
X kT xkT t
lim
T
T T
s (t ) dt 0 E
2


s 2 (t ) dt
1 T 2T
信号 s t 的平均功率 P lim 规定： 0 E
1 T 2T

T
T
s (t ) dt 0 P lim
2

T
T
s 2 (t ) dt
P 0 能量信号 ； E 0 P 功率信号 。
3.1 随机信号的截断信号 从随机信号 X t 抽取任一样本函数 xk t ，对 x t 任意截取一段，长度为 2T，并记为
xT t ，并称 xT t 为 x t 的截取（截断（短） ）信号。如图 3.1 所示。
《随机信号分析基础》第三章：随机信号的频域分析
2
定 义 E s ( ) J / rad / s ) 或 E f s ( f )
2
2
J
Hz 为 能 量 信 号 的 能 量 谱 密 度
(ESD)。 3．功率信号的功率谱（密度）(Power Spectral Density PSD)
P lim
T
1 2 ST ( ) 2T