上海交通大学附属中学2018学年高二数学校本作业专题-
【解析】上海市宝山区交大附中2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题
上海交通大学附属中学2018-2019学年度第二学期高二数学期中考试试卷一、填空题：本大题共12个小题,满分54分. 将答案填在答题纸上1.如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共可确定_________个平面.【答案】1【分析】两条平行直线确定1个平面，根据两点在平面上可知直线也在平面上，从而得到结果. 【详解】两条平行直线可确定1个平面Q 直线与两条平行直线交于不同的两点 ∴该直线也位于该平面上∴这三条直线可确定1个平面本题正确结果：1【点睛】本题考查空间中直线与平面的关系，属于基础题.2.已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于________【答案】9π由球的体积公式，可得34363r ππ=，则3r =，所以主视图的面积为239S ππ=⨯=. 3.若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为a = ．【答案】4试题分析：2V a =⨯=4a =． 考点：棱柱的体积．【名师点睛】1．解答与几何体的体积有关的问题时，根据相应的体积公式，从落实公式中的有关变量入手去解决问题，例如对于正棱锥，主要研究高、斜高和边心距组成的直角三角形以及高、侧棱和外接圆的半径组成的直角三角形；对于正棱台，主要研究高、斜高和边心距组成的直角梯形．2．求几何体的体积时，若给定的几何体是规则的柱体、锥体或台体，可直接利用公式求解；若给定的几何体不能直接利用公式得出，常用转换法、分割法、补形法等求解．4.如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB u u u u r 的坐标为(4,3,2)，则1AC u u u u v 的坐标为________【答案】(4,3,2)-如图所示，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，因为1DB u u u u r 的坐标为(4,3,2)，所以(4,0,0),(0,3,2)A C ,所以1(4,3,2)AC =-u u u u v.5.若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）. 【答案】1arccos 3.设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，由题意23rl r ππ=，即3l r =，母线与底面夹角为θ，则1cos 3r l θ==为，1arccos 3θ=. 【考点】圆锥的性质，圆锥的母线与底面所成的角，反三角函数.6.已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，,A B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图，若直线OA 与OB 所成角的大小为6π，则1r=__________【答案】试题分析：如图，过A 作与BC 平行的母线AD ，连接OD ，则∠OAD 为直线OA 与BC 所成的角，大小为，在直角三角形ODA 中，因为∠OAD=，所以，故答案为。
上海市上海交通大学附属中学2017-2018学年高二下学期3月月考数学试题
（2）求到两定点 、 的“直角距离”和为定值 的动点轨迹方程，并在直角坐标系内作出该动点的轨迹.（在以下三个条件中任选一个做答）
① ， ， ；
② ， ， ；
③ ， ， .
（3）写出同时满足以下两个条件的“格点”的坐标，并说明理由（格点指横、纵坐标均为整数的点）.
（2）答案不唯一，见解析
（3） 、 、 、 、 、 、 、 、 ，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由“直角距离”的定义知 ，进而得到所求点坐标；
（2）根据“直角距离”的定义，分别结合条件①②③，得到动点轨迹方程；利用分类讨论的方式去掉绝对值符号即可得到不同区间内动点的轨迹，从而做出图形；
（3）由条件①可得： ；由条件②可得： ，在平面直角坐标系中做出两个条件下的点构成的区域，取交集，结合图形得到最终结果.
11．已知椭圆 的焦距为 ，则实数 __________．
12．已知 ， 是实系数一元二次方程 的两根，则 的值为__________．
13．若 为非零实数，则下列四个命题都成立：
① ② ③若 ，则
④若 ，则 。则对于任意非零复数 ，上述命题仍然成立的序号是 。
14．如图， 是三角形 所在平面外的一点， ，且 ， 、 分别是 和 的中点，则异面直线 与 所成角的大小为__________（用反三角函数表示）．
【详解】
由双曲线的相关性质可知，双曲线 的焦点为 ，顶点为 ，
所以椭圆的顶点为 ，焦点为 ，
因为 ，所以椭圆的方程为 ，
故答案为 。
【点睛】
本题考查圆锥曲线的相关性质，主要考查椭圆、双曲线的几何性质，考查椭圆的标准方程，正确运用椭圆、双曲线的几何性质是关键．
数学2018交大附中高二上期末
上海交通大学隶属中学2018-2019 学年度第一学期高二数学期末考试一试卷一、填空题1.复数 z = (m2 - 5m + 6)+ (m2 - 3m)i, m R ，i 为虚数单位，实数 m = ____________时z是纯虚数．2.复数 z = (2+ i )(1- i )，此中 i 为虚数单位，则z 的虚部为____________．3.抛物线 x2 = 12 y 的准线方程为____________．r r ur r r r r r ur r= ____________．4.已知向量 a =(1,- 2),b = (1,1), m = a - b, n = a + b ，假如 m ⊥n ，则实数5.若直线 l1 : ax + 2 y = 0 和 l2: 3x + (a + 1) y + 1 = 0平行，则实数 a 的值为____________．设双曲线x226.-y2 = 1(b0)的焦点为F1、F2；P为该双曲线上的一点，若PF1=5，则9bPF2= ____________．x -y +107.设 x, y 知足拘束条件x + y - 10 ，则z = 2x -3y 的最小值是____________．x38.2若复数 z 知足z 2i = z + 1（此中i为虚数单位），则z =____________．9.在直角坐标系xOy 中，已知点A(0,1)和点B(- 3,4)，若点 C 位于第二象限，且在AOB 的uuur uuur均分线上， OC = 2 ，则 OC = ____________．x =2 + 3t1+ t（ t 为参数）化成一般方程是10.参数方程____________ ．y = 1 - 2t1+ t11.在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为( 5,0)，ur uur uuur uuur uuur e1 = (2,1), e2 = (2,- 1)分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线上的点 P ，若 OP = ae1 + be2（ a 、b R），则 a 、b知足的一个等式是____________．12.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点A在椭圆x2+ y2=1上，点P满足259uuur uuur uuur uuurAP = ( - 1)OA(R )，且 OA OP = 48 ，则线段 OP 在x轴上的投影长度的最大值为第1页/共5页____________ ．二、选择题13.对于一元二次方程ax2 + bx + c = 0（此中 a, b, c R, a 0 ）以下命题不正确的选项是（）A.两根 x1 , x2知足x1+ x2= -b；x1x2=ca aB. 两根x1, x2知足x1- x2=(x1- x2 )2C. 若鉴别式= b2 - 4ac 0 时，则方程有两个相异的实数根D. 若鉴别式= b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的根14.已知两点 A(1,2), B (4, - 2)到直线 L 距离分别是1,4，则知足条件的直线L 共有（）条条条条uuur uuur uuur uuur15.如图，在四边形 ABCD 中，AB ⊥BC, AD ⊥DC ．若 AB = a, AD = b ，则 AC BD =（）A.b2 - a2B. a 2 - b2C. a2+ b2D.abuuur uuur uuur r 16.已知 F 为抛物线 C : y2 = 4x 的焦点，A, B,C为抛物线C上三点，当FA + FB + FC = 0时，称 VABC 为“和睦三角形” ，则“和睦三角形”有（）个个个 D. 无数个三、解答题17.设z + 1为对于x的方程x2+ mx + n = 0（m, n R ）的虚根，i为虚数单位．（1）当z = - 1+ i时，求m, n的值；（2）若n = 1，在复平面上，设复数z所对应的点为P，复数2 + 4i所对应的点为Q，试求PQ的取值范围．第2页/共5页18. （ 1）已知非零复数z 知足 z + 2 = 2, z +4 z ；R ，求复数z（ 2）已知虚数 z 使z 2和z都是实数，求虚数 z ． z +1z 2 +119. 已知椭圆x 2+y 2= 1．42（ 1） M 为直线 l : x + y= 1 上动点， N 为椭圆上动点，求MN 的最小值；4 2（2）过点 P 2,1uuur uuur，作椭圆的弦 AB ，使 AP = 3PB ，求弦 AB 所在的直线方程．22222292120. 圆 M 1 : x + (y + 2 )=，圆 M 2 : x + (y - 2 )=，动圆 P 与两圆 M 1,M 2外切．4 4（ 1）动圆圆心 P 的轨迹 C 的方程；（ 2）过点 N (1,0 ) 的直线与曲线 C 交于不一样的两点N 1, N 2 ，求直线 N 1 N 2 斜率的取值范围；（ 3）能否存在直线 l : y = kx + m 与轨迹 C 交于点 A, B ，使 OAB =，且 AB = 2 OA ，若存在，2求 k, m 的值；若不存在，说明原因．第3页/共5页21.过抛物线y2= 2 px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线于M , N 两点，且 M , N 两点的纵坐标之积为 -4．（ 1）求抛物线的方程；uuuur uuur（ 2）求OM ON 的值（此中 O 为坐标原点）；（ 3）已知点A(1,2)，在抛物线上能否存在两点 B 、C，使得AB⊥BC？若存在，求 C 点的纵坐标的取值范围；若不存在，则说明原因．第4页/共5页参照答案1、m = 22、-13、y = - 34、25、-3或 26、11、、、-1031010、2x + y - 7 = 0（x 3）7 - 68 195,511、ab =112、 10 413-16 、 BCAD17、（ 1）m = 0，n = 1；（2）4,6；18、（ 1）z = - 13i ；（2） z = - 13 i 224 5-215；（）x = 2或 3 2x + 8 y - 10 = 019、（ 1）5220、（ 1）y2- x2= 1（ y 1 ）；（2）- 1,-2221、（ 1）y2= 4x ；（2）- 3；（3）(, - 6)U 10,+ )第5页/共5页。
上海市上海交通大学附属中学2017-2018学年高二上学期9
交大附中高二开学考2017.9一. 填空题1. 不等式|21||2|0x x ---<的解集为2. 设53()7f x ax bx cx =+++（其中a 、b 、c 为常数，x ∈R ），若(2011)17f -=-，、则(2011)f =3. 若(1)1lim2n a n n a→∞++=+，则实数a =4. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知35a =，59a =，则7S =5. 已知等比数列{}n a 的公比为正数，且222212n n a a a ++=，22a =，则1a =6. 已知2sin 3x =，(,)2x ππ∈，则x = （用反三角函数表示）7. 设0a >， 0b >3a 与3b的等比中项，则11a b+的最小值为 8. 设奇函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为9. 已知()cos()3f x x πω=+的图像与1y =的图像的两相邻交点间的距离为π，要得到()y f x =的图像，最少需要把sin()y x ω=的图像向左平移 个单位10. 设数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，若12a a <，12b b <，且2i i b a =(1,2,3)i =，则数列{}n b 的公比为11. 如图，已知扇形的圆心角为2α(0)4πα<<，半径为R ，则扇形的内接矩形面积的最大值为 12. 已知函数11()||||f x x x x x=+--，关于x 的方程 2()()0f x af x b ++=(,)a b ∈R 恰有6个不同实数解，则a 的取值范围是二. 选择题 13. “1a >”是“11a<”的（ ）条件 A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要14. △ABC 中，若()()3a b c a b c ab +++-=，sin 2sin cos C A B =，则△ABC （ ） A. 是等边三角形 B. 是等腰三角形，但不是等边三角形 C. 是等腰直角三角形 D. 是直角三角形，但不是等腰三角形 15. 若集合{|lg(2)1}A x x =-<，集合1{|28}2x B x =<<，则A B = （ ） A. (1,3)- B. (1,12)- C. (2,12) D. (2,3)16. 数列{}n a 满足13a =，且对任意n ∈*N ，11n n n a a a +-=，n A 表示{}n a 前n 项之积， 则2017A =（ ） A. 3- B. 23 C. 3 D. 12-三. 解答题17. 若函数2()sin ())cos()2f x x x x πωωω=-+的最小正周期为π.（1）求ω的值；（2）将函数()y f x =的图像向左平移12π个单位，再将得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求函数()y g x =的单调递减区间.18. 已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求a 、b 的值；（2）若对任意t ∈R ，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.19. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知对任意*n ∈N ，点(,)n n S 均在函数xy b r =+(0b >且1b ≠，b 、r 均为常数)的图像上.（1）求r 的值；（2）当2b =时，记14n nn b a +=*()n ∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n T .20. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1n n S pS q +=+（p 、q 为常数，*n ∈N ），又12a =，21a =，33a q p =-.（1）求p 、q 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在正整数m 、n ，使1221m n m n S m S m +-<-+成立？若存在，求出所有符合条件的有序 实数对(,)m n ；若不存在，说明理由.21. 已知函数()f x 的定义域为[0,1]，若函数()f x 满足：对于给定的T (01)T <<，存在[0,1]t T ∈-，使得()()f t T f t +=成立，那么称()f x 具有性质()P T .（1）函数()sin f x x =([0,1])x ∈是否具有性质1()4P ？说明理由；（2）已知函数131,0312()62,33234,13x x f x x x x x ⎧-+≤≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-+≤≤⎪⎩具有性质()P T ，求T 的最大值； （3）已知函数()f x 的定义域为[0,1]，满足(0)(1)f f =，且()f x 的图像是一条连续不断的曲线，问：是否存在正整数n ，使得函数()f x 具有性质1()P n，若存在，求出这样的n 的取值集合；若不存在，请说明理由.参考答案一. 填空题1. {|11}x x -<<6. 2arcsin3π- 7. 4 8. (1,0)(0,1)- 9. 512π10. 3+21tan 2R α 12. (4,2)--二. 选择题13. B 14. A 15. D 16. C三. 解答题17.（1）1ω=；（2）[4,43]k k ππππ++()k ∈Z . 18.（1）2a =，1b =；（2）13k <-. 19.（1）1r =-；（2）13322n n n T ++=-. 20.（1）12p =，2q =；（2）212n n a -=； （3）存在符合条件的所有有序实数对：(1,1)、(2,1)、(2,2)、(3,2)、(3,3)、(3,4). 21.（1）不具有；（2）12；（3）{|,2}n n n ∈≥*N .。
最新上海交通大学附属中学2017-2018高二下学期期末考试数学试题含答案
2018年交附高二下数学期末试卷第Ⅰ卷（共54分）一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分，将答案填在答题纸上） 1.函数()112f x x x=+-的定义域为 ． 2.表面积为π的球的体积为 ．3.712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，x 项的系数是 ．（用数字作答）4.高一（10）班有男生36人，女生12人，若用分层抽样的方法从该班的全体同学中抽取一个容量为8的样本，则抽取男生的人数为 人．5.6人并排站成一行，其中甲、乙两人必须相邻，那么不同的排法有 种.（用数学作答）6.若交大附中共有400名教职工，那么其中至少有两人生日在同一天的概率为 ．7.设函数()()21ln 11f x x x =+-+，则使得()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是 ．8.在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，12AA =，则直线1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为 ．9.一个正方体的8个顶点可以组成 个非等边三角形. 10.将集合{}1,2,,12M =的元素分成互不相交的三个子集：M A B C =，其中{}1234,,,A a a a a =,{}1234,,,B b b b b =，{}1234,,,C c c c c =，且k k k a b c +=，1,2,3,4k =，则满足条件的集合C 有 个．11.设非空集合A 为实数集的子集，若A 满足下列两个条件： （1）0A ∈，1A ∈；（2）对任意,x y A ∈，都有x y A +∈，x y A -∈，xy A ∈，()0xA y y∈≠ 则称A 为一个数域，那么命题：①有理数集Q 是一个数域；②若A 为一个数域，则Q A ⊆；③若A ，B 都是数域，那么A B也是一个数域；④若A ，B 都是数域，那么AB 也是一个数域.其中真命题的序号为 ．12.已知函数()22f x x bx c =-++在1x =时有最大值1，0m n <<，并且[],x m n ∈时，()f x 的取值范围为11,n m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则m n += ．第Ⅱ卷（共96分）二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.13.设地球的半径为R ，地球上A ，B 两地都在北纬45的纬度线上去，且其经度差为90，则A ，B 两地的球面距离是（ ） A ．R π B ．2R π C.3R π D ．6Rπ 14.对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件： ①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ； ②存在平面γ，使得α、β都平行于γ； ③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l ，m ，使得//l α，//l β，//m α，//m β 其中，可以判定α与β平行的条件有（ ）A ．1个B ．2个 C. 3个 D ．4个15.一个正方体的展开如图所示，点B ，C ，D 为原正方体的顶点，点A 为原正方体一条棱的中点，那么在原来的正方体中，直线CD 与AB 所成角的余弦值为（ ）A ．10 B ．5 C.5 D ．1016.已知函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，若()0f A =，()1f B =，那么下列四个命题中①必存在[]0,1x ∈，使得()2A Bf x +=；②必存在[]0,1x ∈，使得()f x =；③必存在[]0,1x ∈，使得()222A B f x +=； ④必存在[]0,1x ∈，使得()211f x A B=+.真命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个 C. 3个 D ．4个三、解答题 （本大题共5小题，共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元.此外，每生产1件这种产品还需要增加投入25万元.经测算，市场对该产品的年需求量为500件，且当出售的这种产品的数量为t （单位：百件）时，销售所得的收入约为2152t t -（万元）. （1）若该公司这种产品的年产量为x （单位：百件），试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润y 表示为年产量()x x R +∈的函数；（2）当该公司的年产量x 为多少时，当年所得利润y 最大？最大为多少？ 18. 解关于x 的不等式21ax ax x +->.（a R ∈） 19. 如图，二面角D AB E --的大小为2π，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE EB =，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .（1）求证：AE BE ⊥；（2）求二面角B AC E --的大小； （3）求点D 到平面ACE 的距离.20. 设全体空间向量组成的集合为V ，()123,,a a a a =为V 中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“应变量”也是向量的“向量函数”()()()():2f x f x x x a a x V =-+⋅∈.（1）设()1,0,0u =，()0,0,1v =，若()f u v =，求向量a ； （2）对于V 中的任意两个向量x ，y ，证明：()()f x f y x y ⋅=⋅； （3）对于V 中的任意单位向量x ，求()f x x -的最大值.21. 对于函数()y f x =，若关系式()t f x t =+中变量t 是变量x 的函数，则称函数()y f x =为可变换函数.例如：对于函数()2f x x =，若()2t x t =+，则2t x =-，所以变量t 是变量x 的函数，所以()2f x x =是可变换函数. （1）求证：反比例函数()()0kg x k x=>不是可变换函数； （2）试判断函数3y x =-是否是可变换函数并说明理由； （3）若函数()log b h x x =为可变换函数，求实数b 的取值范围.试卷答案一、填空题 1.[)()1,22,-+∞ 2.16π 3.448- 4.6 5.480 6.1 7.113x <<8.5 9.48 10.3 11. ①②③④12.32+ 二、选择题 13-16:CBDA 三、解答题17.解析：（1）由题意得：2221119150.50.25,05,0522421112,55550.50.25,542x x x x x x x y x x x x ⎧⎛⎫⎧---<≤-+-<≤ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎪=⇒⎨⎨⎛⎫⎪⎪-+>⨯-⨯--> ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩；（2）当05x <≤时，函数对称轴为(]190,54x =∈， 故当194x =时，max 34532y =； 当5x >时，函数单调递减，故543345124432y <-+=<， 所以当年产量为475件时，所得利润最大. 18.解析：讨论法！ ①当0a =时，1x <-； ②当0a ≠时：1 0a >，()2110ax a x +-->，因为()()221410a a a ∆=-+=+>，故等式左边因式分解得：()()()1110,1,ax x x a ⎛⎫-+>⇒∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭； 2当10a -<<时，()()11101ax x x a-++<⇒<<-； 3当1a =-时，2210x x ++<，此时解集为空集；4当1a <-时，()()11101ax x x a-++<⇒-<<； 19.解析：（1）证明：∵BF ⊥平面ACE ，∴BF AE ⊥，∵二面角D AB E --为直二面角，且CB AB ⊥，∴CB ⊥平面ABE ， ∴CB AE ⊥，∴AE ⊥平面BCE . （2）arcsin3；（3）3. 20.解析：（1）依题意得：()()2f u u u a a v =-+⋅=，设(),,a x y z =，代入运算得：2210220,0,21x xy a xz ⎧-=⎛⎪=⇒= ⎨ ⎝⎭⎪=⎩或2,0,a ⎛=- ⎝⎭；（2）设(),,x a b c =，(),,y m n t =，()123,,a a a a =，则()()()()22f x f y x x a a y y a a ⎡⎤⎡⎤⋅=-+⋅⋅-+⋅⎣⎦⎣⎦()()()()()()()()()24444x y y a x a y a x a ax y y a x a y a x a x y =⋅-⋅⋅+⋅⋅=⋅-⋅⋅+⋅⋅=⋅从而得证；（3）设x 与a 的夹角为α，则cos cos x a x a αα⋅=⋅=， 则()()()22222cos 44cos 2f x x x x a a x a α-=-⋅=-=-≤，故最大值为2.21.解析：（1）证明：假设()g x 是可变换函数，则()20kt g x t t tx k x t=+=⇒+-=+， 因为变量x 是任意的，故当240x k ∆=+<时，此时有关变量t 的一元二次方程无解， 则与假设矛盾，故原结论正确，得证；（2）若3y x =-是可变换函数，则()3t x t =-+，则有关t 的两个函数：()()()3t t h t t x ϕ=-⎧⎪⎨=+⎪⎩必须有交点，而()t ϕ连续且单调递减，值域为R ， ()h t 连续且单调递增，值域为R ，所以这两个函数()t ϕ与()h t 必定有交点，即：变量t 是变量x 的函数，所以3y x =-是可变换函数；（3）函数()log b h x x =为可变换函数，则()()log b t h x t t x t =+⇒=+，若1b >，则t 恒大于()log b x t +，即无交点，不满足题意；()log b tt x ==+必定有交点，即方程()log b t x t =+有解，从而满足题意.单独统一招生考试语文冲刺模拟试题（五）总分：__________一、语文知识（每小题4分，共40分）】内讧．（h òng ） 呼号．（h ào ） 循规蹈矩． （j ǔ） 押解．（ji è） 贿赂．（l ù） 脍．（ku ài ）炙人 埋．（m án ）怨 勉强．（qi ǎng ） 含情脉脉．（m ò） 剽．（pi āo ）悍 拘泥．（n ì） 拈．（ni ān ）轻怕 】磐竹难书 临渊羡鱼，不如退而结网 并行不背 功欲善其事，必先利其器 一诺千金 城门失火，殃及池鱼自立更生 穷则独善其身，达则兼济天下 】_________这个成语的含义通常不很好。
上海市交通大学附属中学2018-2019学年高二下学期期中数学试题
…………装校:___________姓…………装绝密★启用前 上海市交通大学附属中学2018-2019学年高二下学期期中数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A ．3 B ．3 C ． D ． 2．如图，在大小为45°的二面角A -EF -D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( ) C.1 3．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为 3.那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）……○…………线……题※※ ……○…………线……A.227 B.258 C.15750 D.355113 4．在正方体''''ABCD A B C D 中，若点P （异于点B ）是棱上一点，则满足PB 和'AC 所成的角为45的点P 有（ ） A ．6个 B ．4个C ．3个D ．2个…………○……○…………订………学校______班级：___________考号：______…………○……○…………订………第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 5．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共可确定_________个平面. 6．已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于________ 7．若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为a = ．8．如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为()4,3,2，则AC 的坐标是______. 9．若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）. 10．已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，,A B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图，若直线OA 与BC 所成角的大小为6π，则1r =__________ 11．已知ABC ∆三个顶点到平面α的距离分别是3，3，6，则其重心到平面α的距离为__________．（写出所有可能值） 12．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,若动点P 在线段1BD 上运动, 则·DC AP 的取值范围 是 ．○…………外……………订…………………线……※※线※※内※※答※※题※○…………内……………订…………………线……13．如图，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，剪去AOB ∆，将剩余部分沿,OC OD 折叠，使,OA OB 重合，则折叠后以(),,,A B C D O 为顶点的四面体的体积为__________． 14．某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则34x y +的最大值为__________．15．已知,,,A B C P 为半径为R 的球面上的四点，其中,,AB AC BC 间的球面距离分别为3R π，2R π，2R π，若OP xOA yOB zOC =++，其中O 为球心，则x y z ++的最大值是__________．16．如图，在四面体ABCD 中，,E F 分别为,AB CD 的中点，过EF 任作一个平面α分别与直线,BC AD 相交于点,G H ，则下列结论正确的是___________．①对于任意的平面α，都有直线GF ，EH ，BD 相交于同一点；②存在一个平面0a ，使得点G 在线段BC 上，点H 在线段AD 的延长线上； ③对于任意的平面α，都有EFG EFH S S ∆∆=；④对于任意的平面α，当,G H 在线段,BC AD 上时，几何体AC EGFH -的体积是一个定值.…………○…………○…………订………学校:_________班级：___________考号：______…………○…………○…………订………三、解答题 17．现有四个正四棱柱形容器，1号容器的底面边长是a ，高是b ；2号容器的底面边长是b ，高是a ；3号容器的底面边长是a ，高是a ；4号容器的底面边长是b ，高是b .假设a b ¹，问是否存在一种必胜的4选2的方案（与,a b 的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和？无论是否存在必胜的方案，都要说明理由.18．如图，已知圆锥底面半径20r cm =，O 为底面圆圆心，点Q 为半圆弧AC 的中点，点P 为母线SA 的中点，PQ 与SO 所成的角为arctan 2，求： （1）圆锥的侧面积； （2）,P Q 两点在圆锥面上的最短距离. 19．如图，在四棱锥P ABCD -中PA ⊥底面ABCD ，DAB ∠为直角，//AB CD ，222AD CD AB PA ====，,E F 分别为,PC CD 的中点. （1）试证：CD ⊥平面BEF ； （2）求BC 与平面BEF 所成角的大小； （3）求三棱锥P DBE -的体积. 20．如图，P ABC -是底面边长为1的正三棱锥，,,D E F 分别为棱长,,PA PB PC 上外…………○…………线…………○…※※请内…………○…………线…………○…（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）（1）证明：P ABC-为正四面体；（2）若12PD PA=，求二面角D BC A--的大小；（结果用反三角函数值表示）（3）设棱台DEF ABC-的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF ABC-有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由.（注：用平行于底的截面截棱锥，该截面与底面之间的部分称为棱台，本题中棱台的体积等于棱锥P ABC-的体积减去棱锥P DEF-的体积.）21．火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳型构筑物。
上海交通大学附属中学2017-2018学年高二12月月考数学试题 Word版含答案
上海交通大学附属中学2017-2018学年度第一学期高二数学月考试卷一. 填空题 1. 124312⎛⎫⎛⎫=⎪⎪-⎝⎭⎝⎭2. △ABC 顶点(0,0)A 、(1,2)B 、(3,1)C -，则该三角形面积为3. 已知方程22146x y k k+=-+表示椭圆，则实数k 的取值范围是 4. 若关于,x y 的二元一次方程组12ax y a x ay a +=+⎧⎨+=⎩无解，则a =5. 已知点F 是抛物线24y x =的焦点，M 、N 是该抛物线上两点，||||6MF NF +=， 则MN 中点的横坐标为6. 过原点的直线l 与双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左右两支分别相交于A 、B 两点，(F 是双曲线的左焦点，若||||4FA FB +=，0FA FB ⋅=，则双曲线的方程是7. 点(1,1)M 到抛物线2y ax =的准线的距离是2，则a =8. △ABC 外接圆半径为1，圆心为O ，3450OA OB OC ++= ，则OC AB ⋅=9. 已知圆22:(1)(1)4M x y -+-=，直线:60l x y +-=，A 为直线l 上一点，若圆M 上 存在两点B 、C ，使得60BAC ︒∠=，则点A 横坐标取值范围是10. 已知1F 、2F 分别是椭圆2214x y +=的两焦点，点P 是该椭圆上一动点，则12PF PF ⋅ 的取值范围是11. 若直线240ax by -+=(0,0)a b >>被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4， 则ab 的最大值是12. 已知1F 、2F 分别为椭圆2214x y +=左右焦点，点P 在椭圆上，12||PF PF += ， 则12F PF ∠=13. 已知20a b ab +-=(0,0)a b >>，当ab 取得最小值时，曲线||||1x x y y a b-=上的点到直线y =的距离的取值范围是14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:16O x y +=，点(2,2)P ，M 、N 是圆O 上相异两点，且PM PN ⊥，若PQ PM PN =+ ，则||PQ的取值范围是二. 选择题15. 若(2,3)a = ，(4,7)b =-，则a 在b 方向上的投影为（ ）5D. 16. 已知过定点(2,0)P 的直线l与曲线y =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为（ ）A. 150︒B. 135︒C. 120︒D. 不存在17. 已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的左右焦点分别为1F 、2F ，点O 为双曲线的 中心，点P 在双曲线右支上，△12PF F 内切圆的圆心为Q ，圆Q 与x 轴相切于点A ，过2F 作直线PQ 的垂线，垂足为B ，则下列结论中成立的是（ ） A. ||||OA OB > B. ||||OA OB < C. ||||OA OB = D. ||OA 、||OB 大小关系不确定18. 若椭圆2212211:1x y C a b +=11(0)a b >>和椭圆2222222:1x y C a b +=22(0)a b >>的焦点相同，且12a a >，给出如下四个结论：① 椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点；②1122a b a b >； ③ 22221212a ab b -=-；④ 1212a a b b -<-；其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④三. 解答题19. 已知,x y 满足约束条件10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩，当目标函数z ax by =+(0,0)a b >>在该约束条件下取到最小值22a b +最小值；20. 已知△ABC的三边长||AB ||4BC =，||1AC =，动点M 满足CM =CA CB λμ+ ，且14λμ=；（1）求cos ACB ∠；（2）求||CM最小值；21. 双曲线2222:1x y E a b-=(0,0)a b >>；（1）点1(,0)A a -、2(,0)A a ，动点P 在E 上，作11AQ A P ⊥，22A Q A P ⊥，求点Q 的 轨迹方程；（2）点00(,)M x y 、00(,)N x y --为E 上定点，点P 为E 上动点，作MP MQ ⊥，NP NQ ⊥，求Q 的轨迹方程；22. 两圆221111:0C x y D x E y F ++++=（圆心1C ，半径1r ），与2222:C x y D x +++ 220E y F +=（圆心2C ，半径2r ）不是同心圆，方程相减（消去二次项）得到的直线 121212:()()0l D D x E E y F F -+-+-=叫做圆1C 与圆2C 的根轴；（1）求证：当1C 与2C 相交于,A B 两点时，AB 所在直线为根轴l ；（2）对根轴上任意点P ，求证：22221122||||PC r PC r -=-；（3）设根轴l 与12C C 交于点H ，12||C C d =，求证：H 分12C C 的比2221222212d r r d r r λ+-=-+；23. 已知椭圆2222:1x y E a b+=(0)a b >>上动点P 、Q ，O 为原点；（1）若2222||||OP OQ a b +=+，求证：||OP OQ k k ⋅为定值；（2）点(0,)B b ，若BP BQ ⊥，求证：直线PQ 过定点； （3）若OP OQ ⊥，求证：直线PQ 为定圆的切线；参考答案一. 填空题 1. 810⎛⎫⎪⎝⎭2. 72 3. (6,1)(1,4)--- 4. 1- 5. 2 6.2212x y -= 7. 112-或14 8. 15- 9. [1,5] 10. [2,1]-11. 1 12. 2π 13. 14.二. 选择题15. C 16. A 17. C 18. B三. 解答题19. 4； 20.（1）12；（2 21.（1）22224a x b y a -=；（2）2222222200a xb y a x b y -=-； 22. 略； 23. 略；。
上海市交大附中2018~2019学年度 高二下期中数学考试卷(图片版)
上海交通大学附属中学2018-2019学年度第二学期高二数学期中考试试卷（满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上）命题：刘亚丽审核：杨逸峰一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分）1、如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共可确定个平面．答案：12、【2017高考上海，4】已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于.【答案】9π【解析】设球的半径为R ，则：34363R ππ=，解得：3R =，该球的主视图是一个半径为3的圆，其面积为：29S R ππ==.3、若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为a =．【答案】4【解析】236444a a a ⋅=⇒=⇒=4、【2017高考上海，7】如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系.若1DB 的坐标为()4,3,2，则1AC的坐标是.【答案】()4,3,2-【解析】将向量1AC的起点平移至点D ，则平移后的向量与向量1DB 关于平面11CDD C 对称，据此可得：()14,3,2AC =-.5、【2014上海,理6】若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）.【答案】1arccos3.6、【2013上海文10】已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图．若直线OA 与BC 所成角的大小为6π，则l r＝______.【解析】由题知，tan63r l π==⇒l r =.7、已知ABC ∆三个顶点到平面α的距离分别是3，3，6，则其重心到平面α的距离为__________（写出所有可能值）答案：0，2，4。
8、正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，若动点P 在线段1BD 上运动,则DC AP ⋅的取值范围是______________．【答案】【解析】试题分析：以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．则、、、、．∴、．∵点在线段上运动，∴，且．，，故答案为．9、【2010上海理12，倒数第3题】如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，剪去AOB ∆，将剩余部分沿OC 、OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以A （B ）、C 、D 、O 为顶点的四面体的体积为________；【答案】3【解析】在折叠过程中OC OB ⊥，OD OA ⊥始终没有改变，所以最后形成的四面体()A B CDO -中，OA ⊥底面CDO ，故其体积21182(22)22323V =⨯⨯⨯=，故答案为：823.10、某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则34x y +的最大值为．【答案】55试题分析：由图可知，根据三视图得到三棱锥OABC 如图，OC=2，AC=y，BC=1，在OAC Rt ∆中，24y OA -=，2225y BC OA x -=+=，即522=+y x ，三角换元（或者称利用圆的参数方程）设5cos ,5sin x y θθ==，故3455cos()55x y θϕ+=+≤。
上海市交大附中2018-2019学年上学期高二数学期末试卷(解析版)
2018-2019学年上海市交大附中高二（上）期末数学试卷一、填空题：1．（3分）若复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i（m为实数，i为虚数单位）是纯虚数，则m ＝．2．（3分）复数z＝（2+i）（1﹣i），其中i为虚数单位，则z的虚部为．3．（3分）抛物线x2＝12y的准线方程为4．（3分）已知向量＝（1，﹣2），，，，如果，则实数λ＝．5．（3分）若直线l1：ax+2y＝0和l2：3x+（a+1）y+1＝0平行，则实数a的值为．6．（3分）设双曲线﹣＝1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|＝5，则|PF2|＝．7．（3分）设x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x﹣3y的最小值是．8．（3分）若复数z满足z•2i＝|z|2+1（其中i为虚数单位），则|z|＝．9．（3分）在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1）和点B（﹣3，4），若点C在∠AOB的平分线上且||＝2，则＝．10．（3分）参数方程（t为参数）化成普通方程为；11．（3分）在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为，、分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P，若（a、b∈R），则a、b满足的一个等式是．12．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A在椭圆上，点P满足，且，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为．二、选择题：13．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（其中a，b，c∈R，a≠0）下列命题不正确的是（）A．两根x1，x2满足，B．两根x1，x2满足C．若判别式△＝b2﹣4ac＞0时，则方程有两个相异的实数根D．若判别式△＝b2﹣4ac＝0时，则方程有两个相等的实数根14．（3分）已知两点A（1，2），B（4，﹣2）到直线l的距离分别为1，4，则满足条件的直线l共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条15．（3分）如图．在四边形ABCD中．AB⊥BC，AD⊥DC，若||＝a，||＝b．则＝（）A．b2﹣a2B．a2﹣b2C．a2+b2D．ab16．（3分）已知F为抛物线C：y2＝4x的集点，A，B，C为抛物线C上三点，当时，称△ABC为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（）A．0个B．1个C．3个D．无数个三、解答题：17．设z+1为关于x的方程x2+mx+n＝0，m，n∈R的虚根，i为虚数单位．（1）当z＝﹣1+i时，求m、n的值；（2）若n＝1，在复平面上，设复数z所对应的点为P，复数2+4i所对应的点为Q，试求|PQ|的取值范围．18．（1）已知非零复数z满足|z+2|＝2，，求复数z．（2）已知虚数z使和都是实数，求虚数z．19．已知椭圆．（1）M为直线上动点，N为椭圆上动点，求|MN|的最小值；（2）过点，作椭圆的弦AB，使，求弦AB所在的直线方程．20．圆，圆，动圆P与两圆M1、M2外切．（1）动圆圆心P的轨迹C的方程；（2）过点N（1，0）的直线与曲线C交于不同的两点N1，N2，求直线N1N2斜率的取值范围；（3）是否存在直线l：y＝kx+m与轨迹C交于点A，B，使，且|AB|＝2|OA|，若存在，求k，m的值；若不存在，说明理由．21．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于M，N两点，且M，N两点的纵坐标之积为﹣4．（1）求抛物线的方程；（2）求的值（其中O为坐标原点）；（3）已知点A（1，2），在抛物线上是否存在两点B、C，使得AB⊥BC？若存在，求出C点的纵坐标的取值范围；若不存在，则说明理由．2018-2019学年上海市交大附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：1．【解答】解：∵复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i（i为虚数单位）是纯虚数，∴m2﹣5m+6＝0且m2﹣3m≠0，解得m＝2，故答案为：2．2．【解答】解：z＝（2+i）（1﹣i）＝3﹣i．则z的虚部为﹣1．故答案为：﹣1．3．【解答】解：抛物线x2＝12y的准线方程为：y＝﹣3．故答案为：y＝﹣3．4．【解答】解：∵＝（0，﹣3），＝（1+λ，﹣2+λ），，∴＝﹣3（﹣2+λ）＝0，解得λ＝2．∴实数λ＝2．故答案为2．5．【解答】解：∵l1：ax+2y＝0与l2：3x+（a+1）y+1＝0平行∴∴a＝﹣3或2故答案为：﹣3或26．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：﹣＝1，其中a＝＝3，则有||PF1|﹣|PF2||＝6，又由|PF1|＝5，解可得|PF2|＝11或﹣1（舍）故|PF2|＝11，故答案为：11．7．【解答】解：由约束条件，得可行域如图，使目标函数z＝2x﹣3y取得最小值的最优解为A（3，4），∴目标函数z＝2x﹣3y的最小值为z＝2×3﹣3×4＝﹣6．故答案为：﹣6．8．【解答】解：设z＝a+bi，∵复数z满足z•2i＝|z|2+1（其中i为虚数单位），∴（a+bi）•2i＝a2+b2+1，∴2ai﹣2b＝a2+b2+1，∴，解得a＝0，b＝﹣1，∴|z|＝＝1．故答案为：1．9．【解答】解：∵，，设OC与AB交于D（x，y）点则：AD：BD＝1：5即D分有向线段AB所成的比为则解得：∴又∵||＝2∴＝（﹣，）故答案为：（﹣，）10．【解答】解：由题意，可知：，对于①式，可化成用x表示t的函数形式，x（1+t）＝2+3t化简，整理得：，其中x≠3同理，对于②式，可化成用y表示t的函数形式，y（1+t）＝1﹣2t化简，整理得：，其中y≠﹣2联立两个t的表达式，得：＝两式交叉相乘，得：（x﹣3）（1﹣y）＝（2﹣x）（y+2）化简，整理，得：3x+y﹣7＝0（x≠3）．故答案为3x+y﹣7＝0（x≠3）．11．【解答】解：因为、是渐近线方向向量，所以双曲线渐近线方程为，又，∴a＝2，b＝1双曲线方程为，＝（2a+2b，a﹣b），∴，化简得4ab＝1．故答案为4ab＝1．12．【解答】解：∵，∴＝，则O，A，P三点共线，∵，设Op与x轴的夹角为θ，B为A（x，y）在x轴上的投影，则线段OP在x轴上的投影长度为||cosθ＝＝＝≤48×＝10，当且仅当即|x|＝时取得最大值10．故答案为：10．二、选择题：13．【解答】解：由根与系数之间的关系得对实系数二次方程，无论判别式△≥0还是△＜0，两根x1，x2满足，，故A正确，若两根x1，x2为虚根，则不成立，故B错误，判别式△＝0时，方程有两个相等的实数根，△＝b2﹣4ac＞0时，则方程有两个相异的实数根，故C，D，正确，故选：B．14．【解答】解：由点A（1，2），B（4，﹣2），易得|AB|＝5，以点A为圆心，半径1为的圆，与以点B为圆心，半径为4的圆外切，故满足条件的直线l即两个圆的公切线，显然，两个圆的公切线共有3条，故选：C．15．【解答】解：∵AD⊥DC，∴•＝0，∴•＝（+）•（﹣）＝﹣•（+）＝﹣•（+），∵AB⊥BC，∴•＝0，∴﹣•（+）＝﹣，∵||＝a，||＝b，∴＝b2﹣a2，故选：A．16．【解答】解：抛物线方程为y2＝4x，A、B、C为抛物线C三点，当满足时时，F为△ABC的重心，连接AF并延长至D，使FD＝AF，当D在抛物线内部时，存在以D为中点的弦BC，则这样的三角形有无数个．故“和谐三角形”有无数个，故选：D．三、解答题：17．【解答】解：（1）∵z＝﹣1+i，∴z+1＝i，则方程x2+mx+n＝0的两根分别为i，﹣i．由根与系数的关系可得，即m＝0，n＝1；（2）设z＝a+bi（a，b∈R），则＝＝a+1﹣bi．由题意可得：（z+1）＝（a+1）2+b2＝1．令a+1＝cosθ，b＝sinθ，θ∈[0，2π）．|PQ|＝＝∈[4，6]．18．【解答】解：（1）设z＝a+bi，则z+＝a+bi+＝a+bi+＝a++（b ﹣）i，∵，∴b﹣＝0，得b（1﹣）＝0，得b＝0或1﹣＝0，得a2+b2＝4，若b＝0，则z＝a，由|z+2|＝2得|a+2|＝2得a＝0，此时z＝0，不满足条件．若a2+b2＝4，由|z+2|＝2得|a+bi+2|＝2，得＝2，即（a+2）2+b2＝4，即a2+4a+4+b2＝4，得4+4a+4＝4，得a＝﹣1，此时b＝±，即z＝﹣1±i．（2）设z＝a+bi，（b≠0），∵和都是实数，∴设＝m和＝n，即z2＝m（z+1），z＝n（z2+1），即a2﹣b2+2abi＝m（a+1+bi）＝m（a+1）+mbi，则，即m＝2a，即a2+b2+2a＝0，①由z＝n（z2+1），得a+bi＝n（a2﹣b2+2abi+1）即，得n＝，a＝（a2﹣b2+1），即a2+b2﹣1＝0，②则2a＝﹣1，得a＝﹣，b＝±，即z＝﹣±i．19．【解答】解：（1）设点N的坐标为，则点N到直线l的距离为＝＝，所以，|MN|的最小值为；（2）设直线AB的参数方程为（t为参数，且β为倾斜角），设点A、B 对应的参数分别为t1、t2，由于，则﹣t1＝3t2，将直线AB的参数方程代入椭圆的方程，并化简得，由韦达定理得＝，，则，所以，，化简得，得cosβ＝0或，因此，弦AB所在的直线方程为或y，即或．20．【解答】解：（1）圆M1的圆心为M1（0，﹣），半径为r1＝，圆M2的圆心为M2（0，），半径为r2＝．设P（x，y），动圆P的半径为R，则|PM1|＝＝R+，|PM2|＝＝R+，∴＝+2，整理得：y2﹣x2＝1．∴动圆圆心P的轨迹C的方程y2﹣x2＝1（y≥1）．（2）设y＝k（x﹣1），则﹣1＜k＜0．联立，化为：（k2﹣1）x2﹣2k2x+k2﹣1＝0，△＝4k4﹣4（k2﹣1）（k2﹣1）＞0，解得：﹣1＜k＜﹣．∴．（3）k＝0时，不成立．k≠0时，直线OA的方程为：y＝﹣x，则＞1或＜﹣1，解得﹣1＜k＜0，或0＜k＜1．联立，解得＝，＝．∴|OA|2＝+＝．设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为（k2﹣1）x2+2kmx+m2﹣1＝0，△＝4k2m2﹣4（k2﹣1）（m2﹣1）＞0，化为：k2+m2﹣1＞0．∴x1+x2＝，x1x2＝，∴|AB|2＝（1+k2）[﹣4x1x2]＝（1+k2）[﹣4×]，∵|AB|＝2|OA|，∴|AB|2＝4|OA|2，∴（1+k2）[﹣4×]＝4×．化为：m2＝2﹣2k2．联立，解得：A．∴＝，化为：m2＝．∴2﹣2k2＝，0＜k2＜1．∴（1﹣k2）＝k2+1，解得．因此存在k，m满足题意．21．【解答】（1）y2＝4x；（2）﹣3；（2）（﹣∞，﹣6）∪[10，+∞）；解：（1）设点M（x1，y1）、N（x2，y2），抛物线的焦点F的坐标为，设直线MN的方程为，将直线MN的方程与抛物线的方程联立，消去x并整理得y2﹣2mpy﹣p2＝0．由韦达定理得，由于p＞0，解得p＝2．因此，抛物线的方程为y2＝4x；（2）＝；（3）设点、．，．∵AB⊥BC，则．易知，y3≠2，y4≠y3，化简得（y3+2）（y4+y3）+16＝0，所以，．①当y3+2＜0时，由基本不等式可得，当且仅当，即当y3＝﹣6时，等号成立；②当y3+2＞0时，．当且仅当时，即当y3＝2时，等号成立，事实上，y3≠2，此时，有y4＜﹣6．综上所述，C点纵坐标的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪[10，+∞）．。
2018-2019学年上海市上海交通大学附属中学高二月考数学试题及答案
2018-2019学年上海市上海交通大学附属中学高二月考数学试题及答案一、单选题1．在下列命题中，不是公理的是（）A．平行于同一个平面的两个平面平行B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【答案】A【解析】试题分析：选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．B,C,D四个命题是平面性质的三个公理，所以选A．【考点】点，线，面的位置关系．2．(2017·吉安二模)若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c()A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．一定垂直【答案】D【解析】两条平行线中一条与第三条直线垂直，另一条直线也与第三条直线垂直， 故选D.3．在四边形()()1,2,4,2,ABCD AC BD ==-中，则该四边形的面积为（ ）A ．5B ．25C ．5D ．10【答案】C【解析】注意到两向量的纵坐标都为2，所以借助坐标系如图，1(14)*252S =+=.或者注意到·0AC BD =分为四个小直角三角形算面积.【考点定位】本题的处理方法主要是向量的平移，所以向量只要能合理的转化还是属于容易题. 4．已知动点P 的横坐标x 、纵坐标y 满足：①cos sin 1()x y R ααα+=∈；②224x y +≤，那么当α变化时，点P 形成的图形的面积为（ ） A ．π B ．3π C ．4π D ．4π-【答案】B【解析】根据方程cos sin 1x y αα+=表示单位圆的切线，可知P 点形成的图形为圆环，由两圆面积作差可求得结果.【详解】方程cos sin 1x y αα+=表示单位圆的切线P ∴形成的区域为222214x y x y ⎧+≥⎨+≤⎩构成的圆环 ∴区域面积43S πππ=-=故选：B 【点睛】本题考查动点轨迹形成区域面积的求解问题，关键是能够通过动点满足条件，准确找到所构成的平面区域.二、填空题5．复数23i +（i 是虚数单位）的模是__________． 【答案】13【解析】根据复数模长的定义直接求解即可得到结果. 【详解】22232313i +=+=故答案为：13【点睛】本题考查复数的模的求解，属于基础题.6．在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中,异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为_______.【答案】3π【解析】试题分析：将1B C 平移到1A D 的位置，所以异面直线所成角转化为1BA D ∠，由于1BA D ∆是正三角形，所以13BA D π∠=【考点】异面直线所成角7．已知点(1,3)A ，(4,1)B -，则与向量AB 方向相同的单位向量的坐标为____________. 【答案】34(,)55-【解析】∵点()1,3A ，()4,1B -， ∴()3,4AB =-，可得235AB ==，因此，与向量AB 同方向的单位向量为：()1343,4,555AB e AB⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭故答案为：34,55⎛⎫-⎪⎝⎭8．以双曲线22145x y -=的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为_____．【答案】22195x y +=【解析】本题首先可以确定双曲线的焦点、顶点坐标，然后通过题意可以确定椭圆的顶点、焦点坐标，最后通过椭圆的相关性质即可求椭圆的方程。
上海交通大学附属中学高二数学校本作业专题-解析几何专题专题13-双曲线的标准方程.doc
专题13:双曲线的标准方程1.动圆P与圆许：(X +5)2 + b = 1和圆鬥：(x-5)2 + y2= 49都外切，圆心P的轨迹方程为 _____________2.动圆P与圆,片:(x + 5)2+ y2=l和圆F2: (x—5)2 + b = 49都内切，圆心P的轨迹方程为3.己知动圆P过点3(5,0),且与圆A:(x+5)2+y2=36相切，则圆心P的轨迹方程为x2 V24.以片，传为左右焦点的双曲线秸=1上动点P,过九作ZF}PF2的平分线•的垂线，垂足•为动点人的轨迹方程为__________________2 25.己知定点A(6,l),双曲线丄-丄=1上动点则AB中点C的轨迹方程为____________________兀26.双曲线=一r = l(d>b>0),焦点为百,场，双曲线上•点P满足上片卩只=a ,则er /?_s比严2 = ---------------- ------------2 27.己知点P在焦点为耳，只的双曲线—= 1上，若ZF}PF2=6(T ,则1 - 9 16 ' 2PF}f +|PF2|2 = ________________& 过点(3,-4血)(討的双曲线的标准方程为________________________________9.过点（1,1）,且一条渐近线为y = 4ix的双曲线的标准方程为_10.方程—— ______________________________ =1,表示双曲线，则加=m + 2 加 +111. ____________________________________________ 双曲线2尢2一歹2=8的两条渐近线夹，角为__________________________________________12. ____________________________________________________________________ 与兀2_丄=1有共同渐近线，，且过点（2,2）的双曲线方程为_____________________________ 413.双曲线+ -两焦点为人,尸2,点P在双曲线上，若『用『毘1=32,则么百尸巧=2 214.双曲线丄v—£ = 1（。
2017-2018学年上海市上海交通大学附属中学高二下学期5月月考数学试卷含详解
交大附中2017—2018学年第二学期高二数学月考二试卷一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分）1.掷一颗均匀的骰子，出现奇数点概率为p ，则6p =__________2.已知(13)n x +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n=_____________.3.已知向量()1,1,1m λ=-，()2,2,3n λ=-，若()()m n m n +⊥- ，则λ=__________4.在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与1B C所成的角大小等于______.5.若球的表面积为36π，则此球的体积与π的比值为__________6.用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）7.三棱柱的五个面所在的平面将空间平分成____________个部分8.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式有_______.9.()()8411x y ++的展开式中22x y 的系数是___________（用数字作答）10.如图，在棱长为10的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E上，点P 到直线1CC 的距离的最小值为____________11.四面体ABCD 中，BCD ∆为等腰直角三角形，=90BDC ∠︒，6BD =，且60ADB ADC ∠=∠=︒，则异面直线AD 与BC 的距离为_____________12.如图，在ABC ∆中，6AB BC ==，90ABC ∠=︒，若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD DA =，PB BA =，则三棱锥P BCD -的体积的最大值是____________二、选择题（本大题共4个题，每题5分，满分20分）13.一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（）A.1233π+ B.1233π+C.1236π+ D.216π+14.α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题：①如果m n ⊥，m α⊥，//n β，那么αβ⊥；②如果m α⊥，//n α，那么m n ⊥；③如果//m n ，//αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等其中正确的命题的编号为（）A.②③B.①③C.①②D.①②③15.把5本不同的书分给3名同学，每人至少一本，不同的分法有（）A.54B.60C.90D.15016.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A.110B.35C.310D.25三、解答题（本大题共5题，满分76分，14+14+14+16+18=76）17.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，110AA =，则异面直线1BC 与1AA 所成角的大小为4π．（1）求线段BC 的长；（2）求该三棱柱的侧面积与体积．18.将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕直线1OO 旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为2π， 11A B 长为6π，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧.（1）求三棱锥111C O A B -的体积；（2）求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小．19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA C C 边长为8的正方形，6AB =，110BC A B ==（1）求证：1AA ⊥平面ABC ；（2）求二面角111A BC B --的余弦值；（3）证明：在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B ⊥，并求1BDBC 的值．20.教材中指出：当x 很小，n 不太大时，可以用1nx +表示()1nx +的近似值，即()()*11nx nx n N +≈+∈（1），我们把近似值与实际值之差除以实际值的商的绝对值称为“相对近似误差”，一般用字母δ表示，即相对近似误差δ-=近似值实际值实际值（1）利用（1）求出()40.998的近似值，并指出其相对近似误差（相对近似误差保留两位有效数字）（2）若利用（1）式计算2A 的近似值产生的相对近似误差不超过1%，求正实数A 的取值范围；（3）若利用（1）式计算()1.01n的近似值产生的相对近似误差不超过1%，求正整数n 的最大值．(参考对数数值:lg1.010.00432,lg99 1.99563,lg115 2.06069,lg116 2.06445≈≈≈≈)21.用一个平面去截直立放置的圆柱，得圆柱的下半部分如图，其中A 为截面的最低点，B 为截面的最高点，M 为线段AB 中点，P 为截面边界上任意一点，作1AA 垂直圆柱底面于点1A ，1BB 垂直圆柱于底面于点1B ，1PP 垂直圆柱于底面于点1P ，圆柱底面圆心为O ．已知11A B 为底面直径，1P 在以11A B 为直径的圆周上，OM 垂直底面，12AA =，14BB =，112A B =，以O 为原点，1OA 为x 轴正方向，圆柱底面为xOy 平面，OM 为z 轴正方向建立空间直角坐标系，设点(),,P x y z ．（1）求点1P的坐标，并求出x与y之间满足的关系式；（2）三视图是解决立体几何问题时的有效工具，将圆柱下半部分在xOz平面上的投影作为主视图，在xOy 平面上的投影作为俯视图；在方框中作出主视图，并说明理由；再求出左视图所围区域的面积；（3）判断截面的边界是什么曲线，并证明.再指出截面的面积（不需要证明）交大附中2017—2018学年第二学期高二数学月考二试卷一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分）1.掷一颗均匀的骰子，出现奇数点概率为p ，则6p =__________【答案】3【分析】由古典概型概率可知，掷一颗均匀的骰子,共出现6种可能,出现奇数的可能有3种,即可求得出现奇数点概率p ,进而求得6p 的值.【详解】掷一颗均匀的骰子,共出现6种可能:1,2,3,4,5,6出现奇数的可能有3种:1,3,5所以出现向上点数的概率为3162p ==所以16632p =⨯=故答案为:3【点睛】本题考查了古典概型概率的简单应用,属于基础题.2.已知(13)nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n=_____________.【答案】4【分析】利用通项公式即可得出．【详解】解：（1+3x ）n 的展开式中通项公式：T r +1rn =ð（3x ）r ＝3r rn ðx r ．∵含有x 2的系数是54，∴r ＝2．∴223n =ð54，可得2n =ð6，∴()12n n -=6，n ∈N *．解得n ＝4．故答案为4．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.已知向量()1,1,1m λ=- ，()2,2,3n λ=- ，若()()m n m n +⊥-，则λ=__________【答案】7【分析】根据空间向量的加法和减法的坐标运算,可求得m n + 和m n -,结合空间向量垂直的坐标关系,即可求得λ的值.【详解】向量()1,1,1m λ=- ,()2,2,3n λ=-则()32,3,4m n λ+=- ,()1,1,2m n -=---因为()()m n m n+⊥- 所以()()0m n m n +⋅-=,代入可得()()32,3,41,1,20λ-⋅---=即23380λ---=,解得7λ=故答案为:7【点睛】本题考查了空间向量加减法的坐标运算,空间向量垂直的坐标运算,属于基础题.4.在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与1B C 所成的角大小等于______.【答案】60°.【分析】连接1A D ，根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义，我们可得1BA D ∠即为异面直线1A B 与1B C 所成的角，连接BD 后，解三角形1BA D 即可得到异面直线1A B 与1B C 所成的角．【详解】连接1A D ，由正方体的几何特征可得：11//A D B C ，则1BA D ∠即为异面直线1A B 与1B C 所成的角或其补角，连接BD ，易得11BD A D A B ==故160BA D ∠=︒故答案为：60︒【点睛】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义判断出1BA D ∠即为异面直线1A B 与1B C 所成的角或者其补角，是解答本题的关键．5.若球的表面积为36π，则此球的体积与π的比值为__________【答案】36【分析】根据球的表面积,可求得球的半径,进而得球的体积.即可求得球的体积与π的比值.【详解】球的表面积为36π,由球的表面积公式24S R π=可得2364R ππ=,解得3R =由体积公式343V R π=,代入可得343363V ππ=⨯=球的体积与π的比值为3636V πππ==故答案为:36【点睛】本题考查了球的表面积公式与体积公式的用法,属于基础题.6.用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）【答案】1080【详解】41345454A C C A 1080+=【考点】计数原理、排列、组合【名师点睛】计数原理包含分类计数原理（加法）和分步计数原理（乘法），组成四位数至多有一个数字是偶数，包括四位数字有一个是偶数和四位数字全部是奇数两类，利用加法原理计数.7.三棱柱的五个面所在的平面将空间平分成____________个部分【答案】21【分析】3个侧面将空间分成了7个部分,上下底面又将空间分成了上中下三个部分,即可求得分得的所有部分数.【详解】三棱柱有3个侧面,3个侧面将空间分成了7个部分上下底面又将空间分成了上中下三个部分,每个部分都有7个小部分所以三棱柱的五个侧面将空间分成了3721⨯=个部分故答案为:21【点睛】本题考查了空间结构体的特征,需要空间想象能力,属于基础题.8.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式有_______.【答案】36【分析】根据题意，分2步进行分析：先将4项工作分成3组，再将分好的三组全排列，对应3名志愿者，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案.【详解】解：根据题意，先将4项工作分成3组，有246C =种分组方法，将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有336A =种情况，则有6×6＝36种不同的安排方式.故答案为：36.【点睛】本题考查分组分配问题，注意题目中“每人至少完成1项，每项工作由1人完成”的要求.9.()()8411x y ++的展开式中22x y 的系数是___________（用数字作答）【答案】168【分析】根据二项式定理展开式,即可求得22x y 的系数.【详解】由二项式定理展开式可知,()81x +展开式中2x 的系数为28C ()41y +展开式中2y 的系数为24C 所以22x y 的系数是2284874316822C C ⨯⨯=⨯=故答案为:168【点睛】本题考查了二项式定理展开式的应用,指定项系数的求法,属于基础题.10.如图，在棱长为10的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上，点P 到直线1CC 的距离的最小值为____________【答案】【分析】取11B C 的中点F,连接EF 、1ED ,根据线面平行的性质可得1CC 平面1D EF ,作11C M D F ⊥,过M 作MP EF 交1ED 于P ,作1PN CC ⊥,根据四边形1MPNC 为矩形即知得点P 到直线1CC 的距离的最小值为PN ,即1C M 的值.【详解】根据题意,取11B C 的中点F,连接EF 、1ED ;作11C M D F ⊥交1D F 于M ,过M 作MP EF 交1ED 于P ,作1PN CC ⊥,如下图所示:由题意可知,E 、F 分别为BC 、11B C 的中点,所以1CC EF ∥因为1CC ⊂平面1D EF ,而EF ⊂平面1D EF 所以1CC 平面1D EF所以求点P 到直线1CC 的距离的最小值即为异面直线1ED 与1CC 公垂线的长度因为11C M D F ⊥,1PN CC ⊥,且11C M C N ⊥则四边形1MPNC 为矩形所以PN MP ⊥,又因为1PN D F ⊥所以PN ^平面1D EF 即1PN D E⊥所以PN 即为异面直线1ED 与1CC 公垂线因为正方体的棱长为10则1D F ==由等积法可知11111=D C C F C M D F ⨯==所以1=PN C M =故答案为:【点睛】本题考查了空间中异面直线距离的求法,找到异面直线的公垂线是解决此类问题的关键,对线面平行和线面垂直的理解要求较高,属于中档题.11.四面体ABCD 中，BCD ∆为等腰直角三角形，=90BDC ∠︒，6BD =，且60ADB ADC ∠=∠=︒，则异面直线AD 与BC 的距离为_____________【答案】3【分析】画出空间几何体,取BC 中点M,先根据余弦定理求得ADM ∠;连接AM DM 、,作MN AD ⊥交AD 于N,则MN 即为异面直线AD 与BC 的距离.【详解】根据题意,取BC 中点M,连接AM DM 、,作MN AD ⊥交AD 于N,空间几何图形如下图所示:6BD CD ==,=90BDC ∠︒所以BC =因为M 为BC 中点所以,AM BC DM BC ⊥⊥,且DM AM M⋂=则BC ⊥平面ADM ,所以BC MN ⊥且BM DM CM ===,设AD x=因为60ADB ADC ∠=∠=︒所以由余弦定理可得2222cos AB AD BD AD BD ADB=+-⨯⨯⨯∠2222cos AC AD CD AD CD ADC=+-⨯⨯⨯∠代入可解得222636AB AC x x ==-+在Rt AMB ∆中,可得2222618AM AB BM x x =-=-+在ADM ∆中,由余弦定理可得222cos 2AD DM AM ADM AD DM--∠=⨯⨯代入可得2218618cos 2x x x ADM +--+∠=所以2sin 2ADM ∠==而MN AD⊥所以MN 即为异面直线AD与BC 的距离则2sin 32MN DM ADM =⨯∠==故答案为:3【点睛】本题考查了异面直线的距离问题,找出异面直线的公垂线是解决问题的关键,综合性较强,属于中档题.12.如图，在ABC ∆中，6AB BC ==，90ABC ∠=︒，若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD DA =，PB BA=，则三棱锥P BCD -的体积的最大值是____________【答案】【分析】根据题意,AD x =,表示出BCD ∆的面积,进而表示出三棱锥P BCD -的体积,根据不等式成立的条件及二次函数的最值即可求得三棱锥P BCD -的体积的最大值.【详解】因为6AB BC ==,90ABC∠=︒所以AC =,45ACB CAB ∠=∠=︒设AD x=,则,DP x DC x ==,P 到平面BCD 的距离为h ,则h PD x≤=则1sin 2BCD S BC DC ACB ∆=⨯⨯⨯∠()1236326222x -=⨯⨯⨯=则13P BCD BCD V S h -∆=⨯⨯1363232x -≤⨯⨯(222x ≤--+所以当x =,三棱锥P BCD -的体积的最大值为故答案为:【点睛】本题考查了空间几何体的综合应用,几何体体积的最值求法,分析出各线段的关系是解决此类问题的关键,属于中档题.二、选择题（本大题共4个题，每题5分，满分20分）13.一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（）A.1233π+ B.1233+C.136+D.16+【答案】C【详解】试卷分析：由三视图可知,上面是半径为22的半球,体积为31142326V ππ=⨯⨯=,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积2111133V =⨯⨯=,故选C.【考点】根据三视图求几何体的体积【名师点睛】本题主要考查三视图及几何体的体积计算，本题涉及正四棱锥及球的体积计算，综合性较强，较全面地考查了考生的识图用图能力、空间想象能力、运算求解能力等.14.α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题：①如果m n ⊥，m α⊥，//n β，那么αβ⊥；②如果m α⊥，//n α，那么m n ⊥；③如果//m n ，//αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等其中正确的命题的编号为（）A.②③B.①③C.①②D.①②③【答案】A【分析】对于①根据线面垂直与线面平行的关系即可判断.对于②根据线面垂直的判定定理及性质即可判断.对于③根据平行线的传递性及线面夹角的范围即可判断.【详解】对于①如果m n ⊥,m α⊥,//n β,则α与β可以平行,可以相交,也可以垂直,所以①错误.对于②根据线面垂直的性质及线面平行的性质,可知m n ⊥成立.对于③由平行线的传递性及线面夹角的范围可知,如果//m n ,//αβ,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等,所以③正确.综上可知,正确的为②③故选:A【点睛】本题考查了空间中线面平行、线面垂直的性质及判定,直线与直线的位置关系的应用,对空间想象能力要求较高,属于中档题.15.把5本不同的书分给3名同学，每人至少一本，不同的分法有（）A.54 B.60 C.90 D.150【答案】D【分析】先将5本不同的书分成3组,有两种情况:1、1、3和1、2、2.再将三组全排列分给3名同学即可.【详解】将5本不同的书分成3组,有两种情况:1、1、3和1、2、2.当分组为1、1、3时,除去重复的,共有11354322541102C C C A ⨯⨯==组当分组为1、2、2时,除去重复的,共有1225422243512152C C C A ⨯⨯⨯==组将分好的三组全排列后,总的不同分法有()331015150A +=种故答案为:D【点睛】本题考查了排列组合的实际应用,分类与分步计数原理的应用,注意除去重复的排列,属于中档题.16.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A.110 B.35 C.310 D.25【答案】D【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数n=5×5=25，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有m=10个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=102.255=故答案为D ．三、解答题（本大题共5题，满分76分，14+14+14+16+18=76）17.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，110AA =，则异面直线1BC 与1AA 所成角的大小为4π．（1）求线段BC 的长；（2）求该三棱柱的侧面积与体积．【答案】（1）10BC =（2）300S =侧,1112503ABC A B C V -=【分析】（1）根据正三棱柱的线面关系,可知异面直线1BC 与1AA 所成角即为1BC 与1CC 所成角,由三角函数关系即可求得线段BC 的长;（2）根据BC 与1CC 的长即可求得侧面积,由棱柱的体积公式可得棱柱的体积.【详解】（1）因为111ABC A B C -为正三棱柱所以111,AA CC CC BC ⊥∥所以异面直线1BC 与1AA 所成角即为1BC 与1CC 所成角110AA =,异面直线1BC 与1CC 所成角的大小为4π所以11tan 10tan104BC CC BC C π=∠=⨯=即10BC =（2）由（1）可知10BC AB AC ===则侧面积1=331010300S BC CC ⨯⨯=⨯⨯=侧1sin 25323ABC S AB AC π∆=⨯⨯⨯=则1111253102503ABC ABC A B C S C V C ∆-===⨯【点睛】本题考查了异面直线的夹角问题,三棱柱的侧面积及体积求法,属于基础题.18.将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕直线1OO 旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为2π， 11A B 长为6π，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧.（1）求三棱锥111C O A B -的体积；（2）求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小．【答案】（1）112（2）4π【分析】（1）根据 11A B 长为6π及正方形变成为1,可求得111A O B S ∆,而三棱锥111C O A B -的高即为1OO ,进而求得三棱锥111C O A B -的体积;（2）设点1B 在下底面圆周上的射影为B ,1BB C ∠为异面直线1B C 与1AA 所成的角.则连接1BB 、OB 、OC 、BC ,求得BC 长,在1CBB ∆中根据线段关系即可求得1BB C ∠的大小.【详解】（1）连接11O B 则1116A OB π∠=所以111111111sin 264A OB S O B O A π∆=⨯⨯⨯=则11111113412C A O B V OO -=⨯⨯=（2）设点1B 在下底面圆周上的射影为B ,连接1BB 、OB 、OC 、BC .可知11BB AA ∥,且111BB AA ==则1BB C ∠为异面直线1B C 与1AA 所成的角所以1116AOB A O B π∠=∠=因为 AC 长为2π,则2AOC π∠=所以263COB πππ∠=-=所以COB ∆为等边三角形,即1CB OB ==则11tan 1BB BB C BC ∠==,所以14BB C π∠=所以异面直线1B C 与1AA 所成的角为4π【点睛】本题考查了三棱锥体积的求法,空间几何体中异面直线的夹角求法,属于基础题.19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA C C 边长为8的正方形，6AB =，110BC A B ==（1）求证：1AA ⊥平面ABC ；（2）求二面角111A BC B --的余弦值；（3）证明：在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B ⊥，并求1BD BC 的值．【答案】（1）证明见解析;（2）1625（3）证明见解析;925【分析】（1）根据所给线段长度,由勾股定理逆定理可得1AA AB ⊥,结合正方形中的垂直关系,利用线面垂直的判定定理即可判断1AA ⊥平面ABC .（2）以A 为原点建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,求得平面11A BC 与平面11B BC 的法向量,根据向量的数量积运算即可求得向量夹角的余弦值.（3）假设在线段1BC 上存在点D ,设出点D 的坐标,根据垂直时的向量坐标运算求得点D 的坐标,即可证明存在点D ;根据相似,即可求得11BD DE BC CC =的值.【详解】（1）因为11AA C C 边长为8的正方形,18AA =,6AB =,110A B =则22211A B AA AB =+,即1AA AB⊥又正方形11AA C C 中1AA AC ⊥,且AB AC A⋂=所以1AA ⊥平面ABC（2）以A 为原点,以AC 所在直线为x 轴,以AB 所在直线为y 轴,以1AA 所在直线为z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系则()10,0,8A ,()18,0,8C ,()0,6,0B ,()10,6,8B 所以()18,6,8BC =- ,()10,6,8BA =- ,()10,0,8BB = 设平面11A BC 的法向量为()111,,m x y z = ,平面11B BC 的法向量为()222,,n x y z = ,则1100m BC m BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 代入可得111118680680x y z y z -+=⎧⎨-+=⎩,令14y =则解得110,3x z ==所以()0,4,3m = 同理1100n BC n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 代入可得2222868080x y z z -+=⎧⎨=⎩,令24y =则解得223,0x z ==所以()3,4,0n =则16cos ,25m n m n m n ⋅<>==⋅ 由图可知,平面11A BC 与平面11B BC 形成的二面角为锐二面角所以二面角111A BC B --的余弦值为1625（3）证明:假设在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B ⊥,过D 作DE BC ⊥,作,EM AC EN AB ⊥⊥,如下图所示:设(),08DE t t =<<,则由1DE BE NE C C BC AC ==,即88t NE =,所以NE t =则8MC AC AM t =-=-,由MC ME AC AB =,即886t ME -=,所以()384ME t =-所以()3(,8,)4D t t t -所以()3(,8,)4AD t t t =- ,()10,6,8A B =- 因为1AD A B⊥所以10AD A B ⋅= 即()()3,8,0,6,804t t t ⎡⎤-⋅-=⎢⎥⎣⎦,化简可得()98802t t --=解得7225t =即在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B⊥则1172925825BD DE BC CC ===【点睛】本题考查了线面垂直的判定,空间向量在求二面角中的综合应用,判定存在性命题的方法,综合性较强,属于中档题.20.教材中指出：当x 很小，n 不太大时，可以用1nx +表示()1n x +的近似值，即()()*11n x nx n N +≈+∈（1），我们把近似值与实际值之差除以实际值的商的绝对值称为“相对近似误差”，一般用字母δ表示，即相对近似误差δ-=近似值实际值实际值（1）利用（1）求出()40.998的近似值，并指出其相对近似误差（相对近似误差保留两位有效数字）（2）若利用（1）式计算2A 的近似值产生的相对近似误差不超过1%，求正实数A 的取值范围；（3）若利用（1）式计算()1.01n 的近似值产生的相对近似误差不超过1%，求正整数n 的最大值．(参考对数数值:lg1.010.00432,lg99 1.99563,lg115 2.06069,lg116 2.06445≈≈≈≈)【答案】（1）0.992;52.410-⨯（2）1010119A ≤≤（3）15s 【分析】（1）根据题意可求得近似值,由相对近似误差即可求得δ的值,并保留两位有效数字.（2）根据题意,利用换元法可得关于A 的不等式组,解不等式即可求得正实数A 的取值范围;（3）根据定义可得关于n 的不等式,通过取对数化简,代入参考值即可求得正整数n 的最大值.【详解】（1）由题意可知,当x 很小,n 不太大时,可以用1nx +表示()1nx +的近似值,即()()*11n x nx n N +≈+∈所以近似值为()()()4410.40998.99210.0020.002=≈+=-⨯-相对近似误差δ-=近似值实际值实际值所以()()4540.9920.998 2.4100.998δ--=≈⨯（2）令1A x =+,则1x A =-由定义()()*11n x nx n N +≈+∈可知()2121A A ≈+-由相对近似误差δ-=近似值实际值实际值可知()22121A A A δ+--=所以()221211%A A A +--≤()0A >化简可得()221110A A ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭所以1110A A -≤,即1111010A A A -≤-≤所以111011100A A A A A ⎧-≤-⎪⎪⎪-≤⎨⎪>⎪⎪⎩,解不等式组可得1010119A ≤≤（3）由定义()()*11n x nx n N +≈+∈可知()()1.0110.01011.0n nn =≈++由相对近似误差δ-=近似值实际值实际值可知10.01 1.011.01n n n δ+-=所以()10.01 1.011%,*1.01nnn n N +-≤∈化简可得1001.0199n n+≤等式两边同取对数可得()lg1.01lg 100lg 99n n ≤+-当15n =时,不等式左边等于15lg1.01150.004320.0648≈⨯=,等式右边等于lg115lg99 2.06069 1.995630.06506-≈-=,不等式成立当16n =时,不等式左边等于16lg1.01160.004320.06912≈⨯=,等式右边等于lg116lg99 2.06445 1.995630.06882-≈-=,不等式不成立综上可知,正整数n 的最大值为15【点睛】本题考查了新定义的综合应用,根据所给条件求值,对分析问题、解决问题的能力要求较高，属于难题．21.用一个平面去截直立放置的圆柱，得圆柱的下半部分如图，其中A 为截面的最低点，B 为截面的最高点，M 为线段AB 中点，P 为截面边界上任意一点，作1AA 垂直圆柱底面于点1A ，1BB 垂直圆柱于底面于点1B ，1PP 垂直圆柱于底面于点1P ，圆柱底面圆心为O ．已知11A B 为底面直径，1P 在以11A B 为直径的圆周上，OM 垂直底面，12AA =，14BB =，112A B =，以O 为原点，1OA 为x 轴正方向，圆柱底面为xOy 平面，OM 为z 轴正方向建立空间直角坐标系，设点(),,P x y z ．（1）求点1P 的坐标，并求出x 与y 之间满足的关系式；（2）三视图是解决立体几何问题时的有效工具，将圆柱下半部分在xOz 平面上的投影作为主视图，在xOy平面上的投影作为俯视图；在方框中作出主视图，并说明理由；再求出左视图所围区域的面积；（3）判断截面的边界是什么曲线，并证明.再指出截面的面积（不需要证明）【答案】（1）()1,,0P x y ;221x y +=（2）主视图见解析;62S π=+（3）椭圆,证明见解析;S =【分析】（1）根据1PP 垂直圆柱于底面于点1P ,即可得1P 的坐标;由于1P 位于底面的圆周上,结合圆的方程即可得x 与y 之间满足的关系.（2）根据几何体,可得主视图;画出左视图,即可求得左视图围成图形的面积.（3）根据平面截圆柱形成截面性质可知所得截面为椭圆.根据椭圆的面积求法即可得截面面积.【详解】（1）以O 为原点,1OA 为x 轴正方向,圆柱底面为xOy 平面,OM 为z 轴正方向建立空间直角坐标系因为1PP 垂直圆柱于底面于点1P ,且(),,P x y z 所以()1,,0P x y 因为底面是以O 为圆心的圆,即1P 位于圆上,圆心为()0,0,半径为1所以x 与y 之间满足的关系为221x y +=（2）主视图分别为1111,,,A B A A AB B B 在xOz 平面上的投影,所以主视图如下所示:左视图如下图所示:该部分的面积为21123622S ππ=⨯+⨯=+（3）将圆柱补充完整,并作两个内切球,分别切截面于1F F 、.过点P 作11KK BB ∥与两个内切球分别交于1K K 、由切线长定理可知,11,PF PK PF PK ==所以111++=PF PF PK PK KK =由于1KK 为定值,所以由椭圆定义可知,动点P 的轨迹为椭圆,即截面的边界是椭圆2a AB ===1122b A B ==所以截面面积为S ab π==【点睛】本题考查了空间几何体的综合应用,轨迹方程与立体几何的综合,对空间想象能力要求较高,属于难题.。
上海市交大附中20182019学年上学期高二数学期末试卷简答.docx
2018~2019学年交附高二上期末试卷2019.1一、填空题：1、复数()()22563z m m m m i =-++-，m R ∈，i 为虚数单位，实数m =______； 2、复数()()21z i i =+-，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为______；3、抛物线212x y =的准线方程为______；4、已知向量()1,2a =-r ，()1,1b =r ，m a b =-r r r ，n a b λ=+r r r，如果m n ⊥r r ，则实数λ=______；5、若直线1:20l ax y +=和()2:3110l x a y +++=平行，则实数a 的值为______；6、设双曲线()222109x y b b-=>的焦点为1F 、2F ，P 为该双能线上的一点，若15PF =，则2PF =______；7、设,x y 满足约束条件10103x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是______；8、若复数z 满足221z i z ⋅=+（其中i 为虚数单位），则z =______；9、在直角坐标系xOy 中，已知点()0,1A 和点()3,4B -，若点C 位于第二象限，且在AOB∠的平分线上，2OC =uuu r ，则OC =uuu r______；10.参数方程231121t x tt y t +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（t 为参数）化成普通方程为______；11、在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中点在原点，它的一个焦点坐标为)，()12,1e =r、()22,1e =-r分别是两条渐近线的方向向量，任取双曲线Γ上的点P ，若()12,OP ae be a b R =+∈uu u r uu r uur，则a 、b 满足的一个等式是______；12、在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆221259x y +=上，点P 满足()()1AP OA R λλ=-∈uu u r uu r ，且48OA OP ⋅=u u r u u u r ，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为______；二、选择题：13、对于一元二次方程20ax bx c ++=（其中,,a b c R ∈，0a ≠）下列命题不正确的是（ ） A 、两根12,x x 满足12b x x a +=-，12c x x a=；B 、两根12,x x 满足12x x -C 、若判别式240b ac ∆=->时，则方程有两个相异的实数根；D 、若判别式240b ac ∆=-=时，则方程有两个相等的实数根；14、已知两点()1,2A ，()4,2B -到直线l 的距离分别为1，4，则满足条件的直线l 共有（ ） A 、1条B 、2条C 、3条D 、4条15、如图，在四形ABCD 中，AB BC ⊥，AD DC ⊥，若AB a =uu u r ，AD b =uuu r ，则AC BD ⋅=uuu r uu u r（ ） A 、22b a -B 、22a b -C.22a b +D.ab16、已知F 为抛物线2:4C y x =的集点，,,A B C 为抛物线C 上三点，当0FA FB FC ++=u u r u u r u u u r r 时，称ABC ∆为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（ ） A 、0个B 、1个C 、3个D 、无数个三、解答题：17、设1z +为关于x 的方程()20,x mx n m n R ++=∈的虚根，i 为虚数单位. （1）当1z i =-+时，求,m n 的值；（2）若1n =，在复平面上，设复数z 所对应的点为P ，复数24i +所对应的点为Q ，试求PQ 的取值范围.18、（1）已知非零复数z 满足22z +=，4z R z+∈，求复数z .（2）已知虚数z 使21z z +和21zz +都是实数，求虚数z .19、已知椭圆22142x y +=.（1）M 为直线:142x yl +=上动点，N 为椭圆上动点，求MN 的最小值；（2）过点12P ⎫⎪⎭，作椭圆的弦AB ，使3AP PB =uu u r uu r ，求弦AB 所在的直线方程.20、圆(22219:4M x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，圆(22221:4M x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，动圆P 与两圆1M 、2M 外切.（1）动圆圆心P 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,0N 的直线与曲线C 交于不同的两点12,N N ，求直线12N N 斜率的取值范围；（3）是否存在直线:l y kx m =+与轨迹C 交于点,A B ，使2OAB π∠=，且2AB OA =，若存在，求,k m 的值；若不存在，说明理由.21、过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于,M N 两点，且,M N 两点的纵坐标之积为4-.（1）求抛物线的方程；（2）求OM ON ⋅u u u r u u u r的值（其中O 为坐标原点）；（3）已知点()1,2A ，在抛物线上是否存在两点B 、C ，使得AB BC ⊥？若存在，求出C 点的纵坐标的取值范围；若不存在，则说明理由. 参考答案： 一、填空题：1、2m =；2、1-；3、3y =-；4、2；5、3-或2；6、11；7、6-；8、1；9、⎛ ⎝⎭；10、()3703x y x +-=≠；11、14ab =；12、10； 二、选择题：13、B ；14、C ；15、A ；16、D ； 三、解答题：17、（1）0m =，1n =；（2）[]4,6；18、（1）1z =-±；（2）12z =-±；19、（1；（2）x 或8100y +-=；20、（1）()2211y x y -=≥；（2）1,k ⎛∈- ⎝⎭；（3）m =21、（1）24y x =；（2）3-；（2）()[),610,-∞-+∞U ；。