编号81山西大学附中高三年级直线的方程
山西省山西大学附属中学高三上学期期中考试数学(文)试题(有答案)
高三第一学期11月（总第五次）模块诊断数学试题（文）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}A x x x =--≤，2{|10}B x x =->，则AB =（ ）A.[2,1)-B. (1,1)-C. (1,2]D. (2,1)(1,2]--2.已知复数满足(1)5i z i -=+，则（ ）A. 23i +B. 23i -C. 32i +D. 32i -3.若1||,3||==b a 且)2b b +⋅=-，则 cos ,a b <>=（ ）A.3-B.31- C ．3- D ．34. 如图为某几何体的三视图，则其体积为（ ）A.243π+B.243π+ C.43π+ D.43π+5. 函数1()sin(ln)1x f x x -=+的图象大致为（ ）6.oooosin 20cos10cos160sin10-=( )A ． B. C.12 D.12-7.已知,x y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，2z x y =+的最大值为m ，若正数,a b 满足a b m +=，则14a b+的最小值为（ ） A. 9 B. 32C.34D.528.抛物线223y x x =--与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为 （ ） A . 22(1)2x y +-= B.22(1)(1)4x y -+-= C.22(1)1x y -+= D. 22(1)(1)5x y -++=9. 钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ） A.必要条件 B. 充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 10.已知点A 、B 、C 、D在同一个球的球面上，2,AB BC ===若四面体ABCD 中球心O 恰好在侧棱DA 上，DC=，则这个球的表面积为（ ）A.254πB.4πC. 16πD. 8π 11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足170S >，180S <，则11S a ，22S a ，…，1515S a 中最大的项为（ ） A ．77S a B ．88S a C ．99Sa D ．1010S a 12.已知函数l n (1),0()11,02x x f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n <，且()()f m f n =，则n m -的取值范围是（ ）A. [32ln 2,2)-B. [32ln 2,2]-C. [1,2]e -D. [1,2)e -二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()121x af x =++（a R ∈）为奇函数，则=a . 14.如图，若4n =时，则输出的结果为 .15.从圆422=+y x 内任取一点P ，则P 到直线1=+y x 的距离小于2的概率____. 16．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若a CbB 2si n si n c =+，2=b ，则ABC ∆面积是_______.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足)()1(42*∈+=N n a n nS n n ．11=a(Ⅰ)求n a ； （Ⅱ）设n n a n b =，数列}{n b 的前n 项和为n T ，求证：47<n T ．ADOCPBE18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形， //AB CD ，AB AD ⊥，PAB ∆和PAD ∆是两个边长为2的正三角形，4DC =，O 为BD 的中点，E 为PA 的中点．(Ⅰ)求证：PO ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求直线CB 与平面PDC 所成角的正弦值．19（本小题满分12分）为了解某天甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中的微量元素,x y 的含量（单位：毫克）．当产品中的微量元素,x y 满足175x ≥，且75y ≥时，该产品为优等品．已知甲厂该天生产的产品共有98件，下表是乙厂的5件产品的测量数据：(（Ⅱ）用上述样本数据估计乙厂该天生产的优等品的数量；（Ⅲ）从乙厂抽取的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品至少有1件的概率．20.（本小题满分12分）已知点(0,2)A -,椭圆:E 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，F 是椭圆的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点. （I ）求E 的方程；（II ）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当POQ ∆的面积最大时，求l 的方程21.（本小题满分12分） 已知函数x x f ln )(=，0,21)(2≠+=a bx ax x g （Ⅰ）若2=b ，且)()()(x g x f x h -=存在单调递减区间，求a 的取值范围；（Ⅱ）设函数)(x f 的图象1C 与函数)(x g 图象2C 交于点Q P ,，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交21,C C 于点N M ,，证明1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线不平行.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线12cos :1sin x t C y t =-+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)，24cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．（Ⅰ）化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （Ⅱ）过曲线2C 的左顶点且倾斜角为4π的直线l 交曲线1C 于,A B 两点，求AB ．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()32f x a x x =--+． (Ⅰ)若2a =，解不等式()3f x ≤；（Ⅱ）若存在实数x ，使得不等式()12|2|f x a x ≥-++成立，求实数a 的取值范围．高三第一学期11月（总第五次）模块诊断数学试题文科参考答案：1-5 C B C D B 6-10 C B D A C 11-12 C A 2-94 24ππ+ 1一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}A x x x =--≤，2{|10}B x x =->，则AB =（ ）A.[2,1)-B. (1,1)-C. (1,2]D.(2,1)(1,2]--【命题意图】本题主要考查集合的交集运算以及一元二次不等式与一次不等式的解法，考查基本的运算能力，是容易题. 【答案】C2.已知复数满足(1)5i z i -=+，则（ ）A. 23i +B. 23i -C. 32i +D.32i -【命题意图】本题主要考查复数的基本运算以及共轭复数等，考查基本的运算能力，是容易题. 【答案】B【解析】（方法一）由已知得5(5)(1)46231(1)(1)2i i i iz i i i i ++++====+--+，故23z i =-.故选B.（方法二）设z a bi =+(,)a b R ∈，则z a bi =-.故由已知方程可得(1)()5i a bi i --=+，即()()5a b a b i i -+--=+. 所以51a b a b -=⎧⎨--=⎩，解得23a b =⎧⎨=-⎩.所以23z i =-.故选B.3.若1||,3||==b a 且)2b b +⋅=-，则 cos ,a b <>=（ ）A.3-B.31- C ．3-D 【命题意图】本题主要考查同角三角函数关系式，诱导公式，平面向量的坐标运算、向量的数量积的基本运算等，考查基本的运算能力，是容易题. 【答案】C4. 如图为某几何体的三视图，则其体积为（ ）A.243π+ B.243π+ C.43π+ D.43π+【命题意图】本题主要考查三视图的识别、组合体的结构特征及其体积的求解等，考查空间想象能力和逻辑推理能力以及基本的运算能力等，是中档题.【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是一个半圆柱（所在圆柱1OO ）与四棱锥的组合体，其中四棱锥的底面ABCD 为圆柱的轴截面，顶点P 在半圆柱所在圆柱的底面圆上（如图所示），且P 在AB 上的射影为底面的圆心O .由三视图数据可得，半圆柱所在圆柱的底面半径1r =，高2h =， 故其体积221111222V r h πππ==⨯⨯=； 四棱锥的底面ABCD 为边长为2的正方形，PO ⊥底面ABCD ，且1PO r ==. 故其体积2211421333ABCD V S PO =⨯=⨯⨯=正方形.故该几何体的体积1243V V V π=+=+.5. 函数1()sin(ln)1x f x x -=+的图象大致为（ ）【命题意图】本题主要考查函数图象的识别以及根据函数解析式研究函数性质，考查基本的逻辑推理能力，是中档题.【答案】B文6.o o o osin20cos10cos160sin10-=( )A．B. C.12D.1 2 -【答案】C【解析】原式=o o o osin20cos10cos20sin10+=osin30=12，故选D.7.已知,x y满足2303301x yx yy+-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，2z x y=+的最大值为m，若正数,a b满足a b m+=，则14a b+的最小值为（）A. 9B.32 C.34 D.52【命题意图】本题主要考查简单的线性规划、直线方程以及均值不等式求解最值等，考查基本的逻辑推理与计算能力等，是中档题. 【答案】B【解析】如图画出不等式组所表示的平面区域（阴影部分）.设2z x y =+，显然的几何意义为直线20x y z +-=在y 轴上的截距.由图可知，当直线过点M 时，直线在y 轴上截距最大，即目标函数取得最大值. 由230330x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得(3,0)M ；所以的最大值为2306⨯+=，即6m =. 所以 6a b +=.故1411414()()(5)66b a a b a b a b a b+=++=++13(562≥+=.当且仅当4b aa b=，即2=4b a =时等号成立. 8.抛物线223y x x =--与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为 （ ）A . 22(1)2x y +-= B.22(1)(1)4x y -+-= C.22(1)1x y -+= D. 22(1)(1)5x y -++=【命题意图】本题考查抛物线、二次方程和圆的方程，结合数形结合思想和方程思想考查圆的方程. 【答案】D9. 钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ） A.必要条件 B. 充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 答案 A解答 便宜没好货⟺如果便宜，那么不是好货。
山西大学附中届高三数学上学期期中试题 理(含解析)
数学试题（理）考查内容：高中全部【试卷综析】本分试卷是高三综合测试卷，着重于基础知识，基本技能和基本思想方法，同时也考查的逻辑思维能力和计算能力，空间想象能力以及运用所学的数学知识和思想方法分析问题和解决问题的能力，难度不大，以基础题为主，但又穿插有一定梯度和灵活性的题目，总体而言，此套题着重基础知识和技能的考查考核，通过这份试卷，能过起到查漏补缺， 薄弱环节，便于调整复习的作用，也能够让学生自己了解掌握基本知识和基本技能的情况，做到复习心中有数.【题文】一．选择题（5×12=60分）【题文】1.则AB =（ ）D. ∅ 【知识点】集合的并集 A1【答案】A 【解析】解析：因为 {}1A x x =≥，所以可得{}0A B x x ⋃=>，故选择A. 【思路点拨】先求的集合A ，再根据并集概念即可求解.【题文】2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，246a a +=，则5S 等于（ ） A ．10 B ．12 C ．15 D ．30 【知识点】等差数列的性质D2【答案】C 【解析】 解析：由等差中项可得 2415a a a a +=+，所以()1555152a a S +==，故选择C.【思路点拨】解题的关键是利用等差中项得到5a a a a +=+，再利用求和公式求得.【题文】3． A. 4- B. D. 6【知识点】分段函数B1【答案】C 【解析】解析： 因为40-≤，所以()414162f -⎛⎫-== ⎪⎝⎭，所以()()()12416164f f f -===⎡⎤⎣⎦，故选择C. 【思路点拨】求解时先从内函数求起，采用由内到外的顺序求得.【题文】4．下列命题错误的是( )A. 命题“若022=+y x ，则0==y x ”的逆否命题为 “若y x ,中至少有一个不为0则022≠+y x ”；B. 若命题01,:0200≤+-∈∃x x R x p ，则01,:2>+-∈∀⌝x x R x p ；C. ABC ∆中，B A sin sin >是B A >的充要条件；D. 若向量,a b 满足0<⋅b a，则a 与b 的夹角为钝角.【知识点】命题以及命题的否定A2 A3【答案】D 【解析】 解析：先否定原命题的题设做结论，再否定原命题的结论做题设，就得到原命题的逆否命题，由此知A 正确；特称命题的否定为全称命题，可得B 正确；由正弦定理以及三角形中的大角对大边可得C 正确；若向量,a b 满足0<⋅b a，则a 与b 的夹角为钝角或0180，可得D 错误；故选择D.【思路点拨】因为向量,a b 满足0<⋅b a ，则a 与b 的夹角为钝角或0180，可得D 错误.【题文】5.A. 50<iB.50>iC.25<iD.25>i【知识点】程序框图L1【答案】B 【解析】解析：框图首先给s n i ，，变量赋值021s n i ===，，．判断，条件不满足，执行102241122s n i =+=+==+=，，；判断，条件不满足，执行1142621324s n i =+=+==+=，，；判断，条件不满足，执行111628314246s n i =++=+==+=，，；…由此看出，当执行11124100s =++⋯+时，执行100210210151n i =+==+=，，在判断时判断框中的条件应满足，所以判断框中的条件应是i ＞50？，故选择B.【思路点拨】框图给出的是计算11124100s =++⋯+的值的一个程序框图，首先赋值i=1，执行102s =+，时同时执行了1i i =+，和式共有50项作和，所以执行完成后的i 值为51，再判断时i=51应满足条件，由此可以得到正确答案． 【题文】A ．y x <【知识点】基本不等式E6【答案】A【解析】解析： 由不等式222,22a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭可得2≥，又因为<，所以可得< A.【思路点拨】利用不等式222,22a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭≥，进而可以得证. 【题文】7. ）处的切线方程为（ ）A. 32+-=x y C. 12+-=x y D. 12+=x y【知识点】求切线方程B11【答案】C 【解析】解析：由题意可得：22( )2y x '--＝，所以在点（1，-1）处的切线斜率为-2，所以在点11-（，）处的切线方程为：21y x =-+．故答案为：C．【思路点拨】由题意求出导数：22()2y x '--＝，进而根据切点坐标求出切线的斜率，即可求出切线的方程．【题文】8．若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线( )A【知识点】等比中项圆锥曲线的性质 D3 H5 H6【答案】D 【解析】解析：∵正数m 是2，8的等比中项，22816m ∴=⨯=，4m ∴=±，若4m =2214y x +=，∴其离心率e ==， 若4m =-，则双曲线方程为2214y x -=，离心率e ==D ．【思路点拨】正数m是2，8的等比中项，可求得m，从而可曲线为椭圆或双曲线，可求得其离心率．【题文】9.为偶函数，πθ<<0，其图象与直线2=y的的最小值为π，则（）AC【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 C4【答案】A【解析】解析：因为函数)0()sin(2>+=ωθωxy的最大值为2，且图象与直线2=y的某两个交点的横坐标|12xx-|的最小值为π，即函数的周期为π，所以2ω=，因为2sin(2)(0)y xθω=+>为偶函数，所以2kπθπ=+，又因为πθ<<0，所以2πθ=，故选择A.【思路点拨】由题意可得函数的最小正周期为π，即可得2ω=，根据函数为偶函数可得2kπθπ=+，进而得到2πθ=.【题文】10. 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A.1B. 2C.3D. 4【知识点】由三视图求面积、体积G2【答案】B【解析】解析：由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为141122⨯⨯⨯=，由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对23=此棱锥的体积为12323⨯⨯=，故选择B ．【思路点拨】由三视图及题设条件知，此几何体为一个四棱锥，其较长的侧棱长已知，底面是一个正方形，对角线长度已知，故先求出底面积，再求出此四棱锥的高，由体积公式求解其体积即可【题文】11，点P落在区域M 内的概率为（ ）【来源：全,品…中&高A【知识点】简单的线性规划的应用 几何概型 E4 K3【答案】C 【解析】解析：如下图，阴影部分大的等腰直角三角形区域为Ω，小的等腰直角三角形区域为M ，由面积比知12p =，故选择C.【思路点拨】本题考查的知识点是线性规划及几何概型的意义，处理的思路为：根据已知的约束条件, 画出满足约束条件的可行域Ω及M 的范围，再根据几何概型的意义，求出概率． 【题文】12．22012(),201320132013e e ea b +f()+f()++f()=503则22a b +的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．9D ．12 【知识点】函数的性质 基本不等式B1 E6【答案】B 【解析】解析：因为 ()()()()2ln ln ln 2e e x ex f x f e x e e x e e x ⎛⎫-⎛⎫+-=+== ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭， 所以2201220122013201320132e ee ⨯f()+f()++f()=2=2012，即4a b +=，由不等式可得()22282a b a b ++≥=，当且仅当a b =时，等号成立，故选择B.【思路点拨】根据已知函数的特征结合所求22012201320132013e eef()+f()++f()，可得()()2f x f e x +-=，即可得4a b +=，再利用不等式()2222a b a b ++≥，即可求得.【题文】二．填空题(5×4=20分)【题文】13．已知复数z 满足(1i)1z -⋅=，则z =_____. 【知识点】复数的运算L4 【解析】解析： 化简可得()()11111.12i i z i i i ++===--+，故答案为122i +. 【思路点拨】分式上下同时乘以1i +，化简分母即可得到.【题文】14．已知||2a =，||3b =，,a b 的夹角为60°，则|2|a b -= ． 【知识点】向量的数量积F3【答案】【解析】解析： 由题意可得1.c o s 2332a b a b θ==⨯⨯=，222244.4443913a b a a b b -=-+=⨯-⨯+=【思路点拨】由已知可得1.cos 2332a b a b θ==⨯⨯=，求向量的模采用平方再开方求得.【题文】15. 设直线l 与球O 有且只有一个公共点P ，从直线l 出发的两个半平面βα,截球O的两个截面圆的半径分别为1，二面角βα--l 的平面角为，则球O 的表面积为 .【知识点】二面角 球 G8【答案】16π【解析】解析：设两个半平面αβ，截球O 的两个截面圆的圆心分别为21O O ，，连接12O P OP OP ，，，如图所示：由球的截面圆性质及球的切线性质得12OO OO OP l αβ⊥⊥⊥，．，且121O P O P ==，12120l OO P l OO P O O P ∴⊥⊥∴面，面，，，，四点共面，12O PO ∠为二面角l αβ--的平面角，122O PO π∠=，四边形为120O OP 矩形．222212O P O P OP R ∴+==，得24R =，∴球O 的表面积 2416S R ππ==．【思路点拨】设两个半平面αβ，截球O 的两个截面圆的圆心分别为21O O ，，根据球的截面圆性质及球的切线性质得12OO OO OP l αβ⊥⊥⊥，．，继而四边形120O OP 为矩形，得出222212O P O P OP R +==，，再计算球O 的表面积即可．【题文】16．已知数列}{n a 的通项公式为p n a n +-=，数列}{n b 的通项公式为52-=n n b ，设⎩⎨⎧>≤=nn n n n n n b a b b a a c ,,，若在数列}{n c 中，n c c >8)8,(≠∈*n N n ，则实数p 的取值范围是 ．【知识点】函数及其表示 数列的单调性 B1 D1 【答案】)17,12(【解析】解析：由题意可得n c 是n n a b ，中的较小者，{an}是递减数列； {bn}是递增数列，因为88n c c n ≠＞（），所以8c 是n c 的最大者，则n=1，2，3，…7，8时，n c 递增，n=8，9，10，…时，n c 递减，因此，n=1，2，3，…7时，52n n p --+＜总成立，当n=7时， 752711p p --+∴＜，＞，n=9，10，11，…时，52n n p --+＞总成立，当n=9时，9529p --+＞成立，∴p ＜25，而8888c a c b ==或，若a8≤b8，即23≥p -8，所以p≤16，则7588788212c a p p b p -==-∴-=∴，＞，＞，故1216p ≤＜， 若88a b ＞，即8582p --＞，所以p ＞16，3882c b ∴==，那么899c c a =＞，即8＞p-9，∴p ＜17， 故16＜p ＜17，综上，12＜p ＜17．故答案为：（12，17）． 【思路点拨】由n c 表达式知n c 是n n a b ，中的较小者，易判断{an}是递减数列； {bn}是递增数列，由88n c c n ≠＞（），所以8c 是n c 的最大者，则n=1，2，3，…7，8时，n c 递增，n=8，9，10，…时，n c 递减，，进而可知an 与bn 的大小关系，且8888c a c b ==或，分两种情况讨论，当8887c a a b =时，＞，当8889c b b a =时，＞，分别解出p 的范围，再取并集即可；【题文】三．解答题(写出必要的文字说明和解答过程，共70分) 【题文】17．（本小题满分12分） 公差不为零的等差数列{}n a 中，37,a =且249,,a a a 成等比数列。
山西省山大附中2022届高三数学10月月考试题 文
山西大学附中202X~202X 学年第一学期高三（10月）月考数学试题（文） （考查时间：120分钟）一．选择题（每小题5分，共60分）1 已知全集{}{}2,|20,|220,x U R A x x x B x ==-<=-≥则()U A C B =（）A ．{}|02x x <<B ．{}|01x x <<C ．{}|01x x <≤D ．{}|02x x <≤ 2复数11i+在复平面上对应的点的坐标是（）A ．(1,1)(1,1)-(1,1)--(1,1)-老师给学生出了一道题，“试写一个程序框图，计算S ＝1＋＋＋＋”．发现同学们有如下几种做法，其中有一个是错误的，这个错误的做法是4对任意x R ∈，2|2||3|4x x a a -++≥-恒成立，则a 的取值范围是（）[1,5]-(1,5]-[1,5)-(1,5)-在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若CB CA CD DB AD λ+==31,2，则λ=A ．32B ．31C ．31-D ．32-6设0＜a ＜1，函数2()log (22)x x a f x a a =--，则使()0f x <的的取值范围是A ．(,0)-∞(0,)+∞(,log 3)a -∞(log 3,)a +∞已知为等比数列，n s 是它的前n 项和。
若2312a a a ⋅=，且与72a 的等差中项为54，则=（）A ．35333129设)(x f 为偶函数，对于任意的0>x 的数，都有)2(2)2(x f x f --=+，已知4)1(=-f ，那么)3(-f 等于（）22-88-设函数()142cos 3sin 323-+θ+θ=x x x x f ，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡π∈θ650，，则导数()1-'f 的取值范围是（）A ]6,3[ ]34,3[+]6,34[-]34,34[+-双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 的渐近线与抛物线12+=x y 相切，则该双曲线的离心率等于（）A ．25B ．5C ．6D ．26 11．已知函数223)(a bx ax x x f +++=在1=x 处有极值10，则)2(f 等于1118111817181111ABCD A BC D -2,长为2的线段MN 的一个端点M 在棱1DD 上运动,另一端点N 在正方形ABCD 内运动,则MN 的中点的轨迹的面积（）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π二、填空题：（每小题5分，共20分）13．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况， 抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[)60,50元的同学有30人，则n 的值为____． 14．幂函数3222)14(--+-=m m x m m y 的图像过原点，则实数m 的值等于15设A B C D 、、、是半径为的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AD AB ⋅=，用123S S S 、、分别表示△、△ACD 、△的面积，则123S S S ++的最大值是16．给出以下四个命题：①已知命题:p 2tan ,=∈∃x R x ；命题01,:2≥+-∈∀x x R x q 则命题q p 且是真命题；②过点)2,1(-且在x 轴和y 轴上的截距相等的直线方程是01=-+y x ；③函数()223x f x x =+-在定义域内有且只有一个零点； ④若直线01cos sin =++ααy x 和直线1cos 102x y α--=垂直，则角2().26k k k ππαπαπ=+=+∈Z 或其中正确命题的序号为．（把你认为正确的命题序号都填上）山西大学附中10月月考数学（文科）答卷纸一．选择题（每小题5分，共60分）1二．填空题：（每小题5分，共20分）三、解答题：（本大题共70分）17（本小题10分）已知A ,B ,C 为锐角的三个内角，向量m (22sin ,cos sin )A A A =-+,n (1sin ,cos sin )A A A =+-，且n m ⊥．（I ）求A 的大小；（II ）求222sin cos(2)3y B B π=+-取最大值时角B 的大小．18（本小题12分）已知各项都不相等的等差数列的前6项和为60，且为和的等比中项（I）求数列的通项公式；前项和。
学案4-山西大学附中高二年级直线的极坐标方程
山西大学附中高二年级（下）数学导学设计 编号4直线的极坐标方程【学习目标】理解直线的极坐标方程，能根据条件求直线的极坐标方程.【学习重点】能根据条件求直线的极坐标方程.【学习难点】能根据条件求直线的极坐标方程.【学习过程】一．知识导学(一).学前准备1.在平面直角坐标系中,（1）过点(3,0)且与x 轴垂直的直线方程为 ;过点(3,3)且与x 轴垂直的直线方程为 .（2）过点),(b a 且垂直于x 轴的直线方程为 .2.以上两题所叙述的直线上的点的坐标有什么共同的特点？(二).新课导学问题：如图，直线l 经过极点，从极轴到直线l 的角是4π，求直线l 的极坐标方程.练一练：1.经过极点，且倾斜角是6π的直线的极坐标方程是 . 2.直线)(43R ∈=ρπθ的直角坐标方程是 . 二．知识导练1.求经过点)0,3(A 且与极轴垂直的直线l 的极坐标方程.2.设点P 的极坐标为),(11θρ,直线l 过P 且与极轴所成的角为α,求直线l 的极坐标方程.3.把下列方程是极坐标方程的化成直角坐标方程，是直角坐标方程的化成极坐标方程.（1）2sin =θρ（2）θρsin 2=（3）0132=--y x （4）(2cos 5sin )40ρθθ+-=4.求下列直线的倾斜角：（1）)(65R ∈=ρπθ；（2）1)4sin(=-πθρ.5.已知直线的极坐标方程为22)4sin(=+πθρ，求点)47,2(πA 到这条直线的距离.三．当堂检测1.直线2cos =θρ关于直线4πθ=对称的直线的极坐标方程为________________2.直线αθ=和直线1)sin(=-αθρ的位置关系是 ．3.在极坐标系中,圆2ρ=上的点到直线()6sin 3cos =+θθρ的距离的最小值是 .4.在极坐标系中，若过点)0,21(且与极轴垂直的直线交曲线θρcos =于B A ,两点，则=AB ．5.在极坐标系中，直线sin 24πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭被圆4ρ=截得的弦长为 . 6.说明下列极坐标方程表示什么曲线，并画图.（1）3πθ=；（2）32πθ=；（3）3πθ=和43πθ=；（4）3πθ=)(R ∈ρ.。
山西大学附中2022届高三上学期11月期中考试+数学理科试题答案
山大附中2021~2022学年第一学期期中考试高三年级数学（理科）参考答案一、单选题二、填空题 13：【答案】3214．【答案】3n 15．【答案】①③④16．【答案】()sin 3g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 2π三．解答题17．下图的茎叶图记录了甲，乙两组各八位同学在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）.已知甲组数据的中位数为24，乙组数据的平均数为25.（1）求x ，y 的值；（2）计算甲、乙两组数据的方差，并比较哪一组的成绩更稳定？ 【详解】 （1）由2220242x++=，得6x =， 由1819202626282930258y ++++++++=，得4y =．…………5分（2）设甲、乙两组数据的方差分别为2S 甲、2S 乙，甲组数据的平均数为1516192226272930238+++++++=，2222222221=[(1523)(1623)(1923)(2223)(2623)(2723)(2923)(3023)]308S -+-+-+-+-+-+-+-=甲，2222222221=[(1825)(1925)(2425)(2625)(2625)(2825)(2925)(3025)]17.258S -+-+-+-+-+-+-+-=乙，因为2S >甲2S 乙，所以乙组的成绩更稳定．…………12分18．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，AB =，ACD △是边长为2的等边三角形，PAD △是以AD 为斜边的等腰直角三角形.（1）证明：平面PDC ⊥平面PAB ； （2）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）38【分析】（1）利用面面垂直的性质定理可得出AB ⊥平面PAD ，可得出AB PD ⊥，再由已知条件结合线面垂直的判定定理可得出PD ⊥平面PAB ，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）证明出PO ⊥平面ABCD ，OO AD ⊥，然后以点O 为坐标原点，OC 、OA 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值.【详解】（1）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，AB AD ⊥，AB 平面ABCD ，所以AB ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以AB PD ⊥.又因为PA PD ⊥，AB PA A ⋂=，所以PD ⊥平面PAB .因为PD ⊂平面PDC ，所以平面PDC ⊥平面PAB ；…………6分 （2）取AD 的中点O ，连接PO 、CO ， 因为PA PD =，所以PO AD ⊥.又因为PO ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =， 所以PO ⊥平面ABCD .因为CO ⊂平面ABCD ，所以PO CO ⊥. 因为AC CD =，所以CO AD ⊥.以点O 为坐标原点，OC 、OA 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 由题意得()0,1,0A、B ⎫⎪⎪⎝⎭、)C 、()0,1,0D -、()0,0,1P ，所以()0,1,1PA =-，()3,0,1PC =-，31PB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，则00n PB n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00x y z z +-=-=，令2x =，则z =y =(2,3,2n =.所以，cos ,19n PA n PA n PA⋅<>==-=⋅则直线PA 与平面PBC …………12分19．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122n n a S +=+，数列{}n b 满足()112,2n n b n b nb +=+=，其中*n N ∈.（1）分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若1431n n c n -⋅=+，求数列{}n n bc 的前n 项和n T .【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知122n n a S +=+， 可得12)2(2n n a S n -=+≥，两式相减可得1122n n n n a a S S +--=-，即12n n n a a a +=-，整理得13n n a a +=，可知3q =， 已知122n n a S +=+，令1n =，得2122a a =+， 即1122a q a =+，解得12a =，故等比数列{}n a 的通项公式为1*23()n n a n N -=⋅∈；由()*112,2,()n n b n b nb n N +=+=∈得：12n n b n b n++=， 那么3124123213451,,,,,12321n n n n b b b b b n n b b b b n b n ---+===⋅⋅⋅==--， 以上n 个式子相乘， 可得()113451123212n n n b n n b n n ++=⨯⨯⋅⋅⋅⨯=--， ()1()2n b n n n =+≥，又12b =满足上式，所以{}n b 的通项公式()*1()n b n n n N =+∈.…………6分（2）若1431n n c n -⋅=+，所以143n n n b c n -=⋅⋅，11223311n n n n n T b c b c b c b c b c --=+++⋅⋅⋅++()0122141342343341343n n n n --=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅-+⋅⋅ ()012214132333..133()n n n n --=⋅+⋅+⋅++-+⋅()1211341323+ .....133n n n T n n --=⋅+⋅+-+⋅⎡⎤⎣⎦，两式相减得：()00121132433+3 (3)34313n nn n T n n -⎛⎫--=++-⋅=-⋅ ⎪-⎝⎭，所以()*()132312132()nnn n T n n n N -=⋅+=+-∈.…………12分20．如图所示，已知椭圆C 的两焦点分别为()11,0F -，()21,0F ，P 为椭圆上一点，且1212F F PF =+2PF .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点P 在第二象限，21120F F P ∠=︒，求12PF F △的面积. 【详解】（1）设椭圆C 的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c ，因为椭圆C 的两焦点分别为()11,0F -，()21,0F ，可得1c =，122F F =， 所以1242PF PF a =+=，可得24a =，所以2a =， 则222413b a c =-=-=，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．…………6分 （2）因为点P 在第二象限，21120F F P ∠=︒， 在12PF F △中，由21124PF a PF PF =-=-．根据余弦定理得22221121122cos120PF PF F F PF F F =+-⋅⋅︒， 即()22111442PF PF PF -=++，解得165PF =，所以12121116sin1202225PF F S F F PF =⋅⋅︒=⨯⨯=△12分 21．已知函数()()311ln ,033f x x a x a R a =--∈≠.（1）当3a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求函数()y f x =的单调区间与极值.（3）若对任意的[)1,x ∈+∞，都有()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 【详解】（1）当3a =时，()3113ln 33f x x x =--，，∴()23f x x x'=-，∴()12f '=-，()10f =∴切点为()1,0，∴曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程为()()021y x -=-⨯-，即220x y +-=；…………4分（2）()()320a x af x x x x x-'=-=>，①当0a <时，()30x af x x-'=>恒成立，∴函数()y f x =的递增区间为()0,∞+，无递减区间，无极值；②当0a >时，令()0f x '=，解得x =x = x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表：∴函数()y f x =的递增区间为)+∞，递减区间为(，()ln 13a a a f x f--==极小值. 综上：当0a <时，函数()y f x =的递增区间为()0,∞+，无递减区间，无极值；当0a >时，函数()y f x =的递增区间为)+∞，递减区间为(，()ln 13a a a f x f--==极小值.…………8分 （3）对任意的[)1,x ∈+∞，使()0f x ≥恒成立，只需对任意的[)1,x ∈+∞，()min 0f x ≥. 所以由（2）的结论可知，①当0a <时，函数()y f x =在[)1,+∞上是增函数，∴()()min 111ln1033f x f a ==--=，∴0a <满足题意；②当01a <≤时，01<≤，函数()y f x =在[)1,+∞上是增函数，∴()()min 111ln1033f x f a ==--=，∴01a <≤满足题意；③当1a >1，函数()y f x =在(上是减函数，在)+∞上是增函数，∴()()min ln 1103a a a f x ff --==<=， ∴1a >不满足题意.综上，a 的取值范围为()(],00,1-∞.…………12分22． 在平面直角坐标系中，倾斜角为2παα⎛⎫≠ ⎪⎝⎭的直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数） ．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2cos 4sin 0ρθθ-=． （1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点M 的极坐标为1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 经过点M 且与曲线C 相交于A ，B 两点，求A ，B 两点间的距离AB 的值．．【详解】（1）由参数方程可得1cos sin x t y t αα-=，消去参数可得直线l 的普通方程为：1cos sin x y αα-=，即tan tan y x αα=-；2cos 4sin 0ρθθ-=即22cos 4sin θρρθ=，转化为直角坐标方程可得曲线C 的直角坐标方程为24x y =；…………5分 （2）∵M 的极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，∴点M 的直角坐标为()0,1．∴tan 1α=-，直线l 的倾斜角34πα=． ∴直线l的参数方程为12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．代入24x y =，得220t -+=．设A ，B 两点对应的参数为1t ，2t，则12122t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩∴128AB t t =-==．…………10分23．已知函数()2f x x a x =-++. （1）若1a =，解不等式()3f x x ≤+；（2）若0,0,0a b c >>>，且()f x 的最小值为4b c --，求证：112a b c+≥+.【详解】解：（1）当1a =时，函数()12f x x x =-++ ①当2x <-时，由()3f x x ≤+得43x ≥-，所以无解②当21x -≤≤时，由()3f x x ≤+得0x ≥，所以01x ≤≤； ③当1x >时，由()3f x x ≤+得2x ≤，所以12x <≤.综上，不等式()3f x x ≤+的解集为{}|02x x ≤≤.…………5分 （2）因为()2f x x a x =-++()()22x a x a ≥--+=+， 当2x a -≤≤时，()f x 取到最小值2a +， 所以24a b c +=--，即2a b c ++=.所以11a b c++1122a b c a b c +⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭()122c a b a b c +=+++12≥+，当且仅当1a b c +==时等号成立.即112a b c++成立.…………10分。
山西省太原市山西大学附属中学2024年数学高三上期末监测试题含解析
山西省太原市山西大学附属中学2024年数学高三上期末监测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ） A ．58厘米B ．63厘米C ．69厘米D ．76厘米2．在ABC 中，点P 为BC 中点，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM AB λ=，(0,0)AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为（ ）A ．54B ．2C ．3D ．723．定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是 A ．(,1]-∞- B ．2(log 32,0)-C ．2(2log 6,0]-D ．2log 32(,0]4- 4．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，410S =，则6S =（ ） A ．21B ．22C ．11D ．126．已知命题:p x R ∀∈，20x >，则p ⌝是（ ） A ．x ∀∈R ，20x ≤B ．0x ∃∈R ，200x ≤.C ．0x ∃∈R ，200x >D ．x ∀∉R ，20x ≤.7．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 且444222222a b c a b ca b +++=+，若c 为最大边，则a b c +的取值范围是（ ）A ．2313⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,B ．()1,3C ．2313⎛⎤⎥ ⎝⎦,D ．(1,3]8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长棱长为（ ）A ．32B ．25C ．6D ．279．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，535S =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．-2B ．2C ．4D ．710．已知α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，则“α∥β是“l ∥β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．数列{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ∈[1，2]，且a 4+λa 10+a 16＝15，则实数λ的最大值为（ ） A ．72B ．5319C ．2319-D ．12-12．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A ．12B ．13C ．16D ．112二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山西省山西大学附属中学高三上学期期中考试数学(文)试题(有答案)(精选)
高三第一学期11月（总第五次）模块诊断数学试题（文）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}A x x x =--≤，2{|10}B x x =->，则AB =（ ）A.[2,1)-B. (1,1)-C. (1,2]D. (2,1)(1,2]--2.已知复数满足(1)5i z i -=+，则（ ）A. 23i +B. 23i -C. 32i +D. 32i -3.若1||,3||==b a 且)2b b +⋅=-，则 cos ,a b <>=（ ）A.3-B.31- C ．3- D ．34. 如图为某几何体的三视图，则其体积为（ ）A.243π+B.243π+ C.43π+ D.43π+5. 函数1()sin(ln)1x f x x -=+的图象大致为（ ）6.oooosin 20cos10cos160sin10-=( )A ． B. C.12 D.12-7.已知,x y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，2z x y =+的最大值为m ，若正数,a b 满足a b m +=，则14a b +的最小值为（ ）A. 9B. 32C.34D.528.抛物线223y x x =--与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为 （ ） A . 22(1)2x y +-= B.22(1)(1)4x y -+-= C.22(1)1x y -+= D. 22(1)(1)5x y -++=9. 钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ） A.必要条件 B. 充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 10.已知点A 、B 、C 、D在同一个球的球面上，2,AB BC ===若四面体ABCD 中球心O 恰好在侧棱DA 上，DC= ）A.254πB.4πC. 16πD. 8π 11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足170S >，180S <，则11S a ，22S a ，…，1515S a 中最大的项为（ ） A ．77S a B ．88S a C ．99Sa D ．1010S a 12.已知函数ln(1),0()11,02x x f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n <，且()()f m f n =，则n m -的取值范围是（ ）A. [32ln 2,2)-B. [32ln 2,2]-C. [1,2]e -D. [1,2)e -二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()121x af x =++（a R ∈）为奇函数，则=a . 14.如图，若4n =时，则输出的结果为 .15.从圆422=+y x 内任取一点P ，则P 到直线1=+y x 的距离小于2的概率____. 16．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若a CbB 2si n si n c =+，2=b ，则ABC ∆面积是_______.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足)()1(42*∈+=N n a n nS n n ．11=a(Ⅰ)求n a ； （Ⅱ）设n n a n b =，数列}{n b 的前n 项和为n T ，求证：47<n T ．ADOCPBE18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形， //AB CD ，AB AD ⊥，PAB ∆和PAD ∆是两个边长为2的正三角形，4DC =，O 为BD 的中点，E 为PA 的中点．(Ⅰ)求证：PO ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求直线CB 与平面PDC 所成角的正弦值．19（本小题满分12分）为了解某天甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中的微量元素,x y 的含量（单位：毫克）．当产品中的微量元素,x y 满足175x ≥，且75y ≥时，该产品为优等品．已知甲厂该天生产的产品共有98件，下表是乙厂的5件产品的测量数据：(（Ⅱ）用上述样本数据估计乙厂该天生产的优等品的数量；（Ⅲ）从乙厂抽取的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品至少有1件的概率．20.（本小题满分12分）已知点(0,2)A -,椭圆:E 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，F 是椭圆的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点. （I ）求E 的方程；（II ）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当POQ ∆的面积最大时，求l 的方程21.（本小题满分12分） 已知函数x x f ln )(=，0,21)(2≠+=a bx ax x g （Ⅰ）若2=b ，且)()()(x g x f x h -=存在单调递减区间，求a 的取值范围；（Ⅱ）设函数)(x f 的图象1C 与函数)(x g 图象2C 交于点Q P ,，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交21,C C 于点N M ,，证明1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线不平行.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线12cos :1sin x t C y t =-+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)，24cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．（Ⅰ）化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （Ⅱ）过曲线2C 的左顶点且倾斜角为4π的直线l 交曲线1C 于,A B 两点，求AB ．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()32f x a x x =--+． (Ⅰ)若2a =，解不等式()3f x ≤；（Ⅱ）若存在实数x ，使得不等式()12|2|f x a x ≥-++成立，求实数a 的取值范围．高三第一学期11月（总第五次）模块诊断数学试题文科参考答案：1-5 C B C D B 6-10 C B D A C 11-12 C A 2-94 24ππ+ 1一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}A x x x =--≤，2{|10}B x x =->，则AB =（ ）A.[2,1)-B. (1,1)-C. (1,2]D.(2,1)(1,2]--【命题意图】本题主要考查集合的交集运算以及一元二次不等式与一次不等式的解法，考查基本的运算能力，是容易题. 【答案】C2.已知复数满足(1)5i z i -=+，则（ ）A. 23i +B. 23i -C. 32i +D.32i -【命题意图】本题主要考查复数的基本运算以及共轭复数等，考查基本的运算能力，是容易题. 【答案】B【解析】（方法一）由已知得5(5)(1)46231(1)(1)2i i i iz i i i i ++++====+--+，故23z i =-.故选B.（方法二）设z a bi =+(,)a b R ∈，则z a bi =-.故由已知方程可得(1)()5i a bi i --=+，即()()5a b a b i i -+--=+. 所以51a b a b -=⎧⎨--=⎩，解得23a b =⎧⎨=-⎩.所以23z i =-.故选B.3.若1||,3||==b a 且)2b b +⋅=-，则 cos ,a b <>=（ ）A.3-B.31- C ．3-D 【命题意图】本题主要考查同角三角函数关系式，诱导公式，平面向量的坐标运算、向量的数量积的基本运算等，考查基本的运算能力，是容易题. 【答案】C4. 如图为某几何体的三视图，则其体积为（ ）A.243π+ B.243π+ C.43π+ D.43π+【命题意图】本题主要考查三视图的识别、组合体的结构特征及其体积的求解等，考查空间想象能力和逻辑推理能力以及基本的运算能力等，是中档题.【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是一个半圆柱（所在圆柱1OO ）与四棱锥的组合体，其中四棱锥的底面ABCD 为圆柱的轴截面，顶点P 在半圆柱所在圆柱的底面圆上（如图所示），且P 在AB 上的射影为底面的圆心O .由三视图数据可得，半圆柱所在圆柱的底面半径1r =，高2h =， 故其体积221111222V r h πππ==⨯⨯=； 四棱锥的底面ABCD 为边长为2的正方形，PO ⊥底面ABCD ，且1PO r ==. 故其体积2211421333ABCD V S PO =⨯=⨯⨯=正方形.故该几何体的体积1243V V V π=+=+.5. 函数1()sin(ln)1x f x x -=+的图象大致为（ ）【命题意图】本题主要考查函数图象的识别以及根据函数解析式研究函数性质，考查基本的逻辑推理能力，是中档题.【答案】B文6.o o o osin20cos10cos160sin10-=( )A．-B. C.12D.1 2 -【答案】C【解析】原式=o o o osin20cos10cos20sin10+=osin30=12，故选D.7.已知,x y满足2303301x yx yy+-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，2z x y=+的最大值为m，若正数,a b满足a b m+=，则14a b+的最小值为（）A. 9B.32C.34D.52【命题意图】本题主要考查简单的线性规划、直线方程以及均值不等式求解最值等，考查基本的逻辑推理与计算能力等，是中档题. 【答案】B【解析】如图画出不等式组所表示的平面区域（阴影部分）.设2z x y =+，显然的几何意义为直线20x y z +-=在y 轴上的截距.由图可知，当直线过点M 时，直线在y 轴上截距最大，即目标函数取得最大值. 由230330x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得(3,0)M ；所以的最大值为2306⨯+=，即6m =. 所以 6a b +=.故1411414()()(5)66b aa b a b a b a b+=++=++13(562≥+=.当且仅当4b aa b=，即2=4b a =时等号成立. 8.抛物线223y x x =--与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为 （ ）A . 22(1)2x y +-= B.22(1)(1)4x y -+-= C.22(1)1x y -+= D. 22(1)(1)5x y -++=【命题意图】本题考查抛物线、二次方程和圆的方程，结合数形结合思想和方程思想考查圆的方程. 【答案】D9. 钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ） A.必要条件 B. 充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 答案 A解答 便宜没好货⟺如果便宜，那么不是好货。
学案8-山西大学附中高二年级直线的参数方程
山西大学附中高二年级（下）数学导学设计 编号8直线的参数方程【学习目标】1.了解直线的参数方程及参数的意义2.会运用直线的参数方程解决实际问题.【学习重点】会运用直线的参数方程解决实际问题.【学习难点】会有直线的参数方程参数的意义解决实际问题.【学习过程】一.知识导学阅读课本内容思考以下几个问题经过点),(00y x M ，倾斜角为)2(παα≠的直线l 的普通方程为)(tan 00x x y y -=-α.1.直线l 的参数方程为2.因为)sin ,(cos αα=，所以1||=，由==||,00M t M 得到 ，因此，直线上的动点M 到定点0M 的距离等于参数方程)(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα中t 的绝对值.3.当πα<<0时，0sin >α，所以直线l 的单位方向向量e 的方向总是 ，此时，若0>t ，则M M 0的方向 ，若0<t ，则M M 0的方向 ，若0=t ，则点M 与点0M .4. 根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义易知：(1)直线l 上的线段AB 的长度||||B A t t AB -=. (2)弦AB 中点为P ，则2||||||0B A P t t t P M +==),((000y x M . (3)若定点0M 恰是弦AB 的中点，则0=+B A t t 试一试：1.已知直线l 的参数方程为)(22222-1-为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，则直线l的倾斜角为 2.若直线l 的参数方程为)(2-221为参数t t y t x ⎩⎨⎧=+=，则直线l 的斜率为 3.直线12+=x y 的参数方程为二．知识导练题型一：直线参数方程中参数的几何意义1.经过点)5,1(A -的直线1l 的参数方程为)(351为参数t t y t x ⎩⎨⎧+-=+=，它与方程为032=--y x 的直线2l 相交于一点P ，求点A 与点P 之间的距离.变式：（1）化直线1l ：013=-+y x 的方程为参数方程，并说明参数的几何意义，说明参数的绝对值的几何意义.(2)化直线2l ：)(313-为参数t ty t x ⎩⎨⎧+=+=为普通方程，并说明参数的绝对值的几何意义.题型二：直线的参数方程在求弦长中的应用2.已知直线l 过点)0,2(P ，斜率为34，直线l 和抛物线x y 22=相交于B A ,两点，设线段AB 的中点为M ,求:(1)P ,M 两点间的距离||PM ；(2) M 点的坐标，线段AB 的长||AB变式：求经过点)1,1(，倾斜角为135的直线截椭圆1422=+y x 所得的弦长.题型三：直线与圆锥曲线的位置关系3.已知椭圆141622=+y x 和点)1,2(0P ，过点0P 作椭圆的弦，若使0P 是弦的三等分点，求弦所在的直线方程.。
编号80山西大学附中高三年级综合训练三
山西大学附中高中数学（高三）导学设计编号80
综合训练(三)
1.【2015新课标1】如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD 同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.
（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；
（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.
2.【2015北京】如图，在四棱锥A EFCB
-中，AEF
△为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF BC
∥，4
EBC FCB
=，60
∠=∠=︒，O为EF的中点．
BC=，2
EF a
(Ⅰ) 求证：AO BE
⊥；(Ⅱ) 求二面角F AE B
--的余弦值；
(Ⅲ) 若BE⊥平面AOC，求a的值．
A
C
F
O
E
B
3.【2015广东】如图2，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，
BC.点E是CD边的中点，点F、G分别在线段AB、BC AB，3
PD PC，6
4
上，且2
AF FB，2
；
CG GB．（1）证明：PE FG
（2）求二面角P AD C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．
4.【2015湖南】如图，已知四棱台1111ABCD A B C D -上、下底面分别是边长为3
和6的正方形，16AA =，且1AA ⊥底面ABCD ，点P ，Q 分别在棱1DD ，BC 上.（1）若P 是1DD 的中点，证明：1AB PQ ⊥；（2）若//PQ 平面11ABB A ，二面角P QD A --的余弦值为
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，求四面体ADPQ 的体积.。
编号82山西大学附中高三年级两直线的位置关系
山西大学附中高三年级(上)数学导学设计 编号82两直线的位置关系【学习目标】会用斜率与截距描述两条直线的位置关系【学习重点】在直线方程的 一般式下判断两条直线的位置关系【学习难点】利用平行与垂直中的参数关系求解直线方程【学习过程】（一）知识梳理基础梳理1.已知直线111:b x k y l +=，222:b x k y l +=，则21//l l ⇔ 21l l ⊥⇔ .2.已知直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，则21//l l ⇔ ；21l l ⊥⇔ .3.点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为 .4. 两平行线0:11=++C By Ax l 与0:22=++C By Ax l 间的距离为 .（二）巩固练习1．若直线04)2()52(=+-++y a x a 与直线01)3()2(=-++-y a x a 互相垂直，则a 的值等于A ． 2B ．－2C ．2,－2D ．2,0,－22．若直线1l ：()34350m x y m +++-=与2l ：()2580x m y ++-=平行，则m 为A ．7-B ．17--或C ．6-D ．133-3．在ABC ∆中，c b a ,,是内角A ，B ，C 的对边，且C B A sin lg ,sin lg ,sin lg 成等差数列，则下列两条直线0)(sin )(sin :,0)(sin )(sin :2221=-+=-+c y C x B l a y A x A l 的位置关系是A. 重合B. 相交(不垂直)C. 垂直D. 平行4．△ABC 的顶点A 的坐标为)1,3(-，AB 边上的中线所在直线的方程为08=-+y x ，若直线012=+-y x l ：经过顶点B ，则AB 边的中点D 到直线l 的距离是 A ．5 B ．554 C ．553 D ．552 5．已知点),(),,0(),0,0(3a a B b A O ，若ABO ∆为直角三角形，则必有A ．3b a =B ．31b a a =+ C ．()3310b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a -+--= 6．直线1l 、2l 分别过点)1,2(),3,1(--Q P ，它们分别绕Q P ,旋转，但始终保持平行，则1l 、2l 之间的距离d 的取值范围为 A ．]5,0( B ．（0，5） C ．),0(+∞ D ．]17,0(7.在等腰直角三角形ABC 中,=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B 的一点,光线从点P 出发,经,BC CA 发射后又回到原点P (如图1).若光线QR 经过ABC ∆的重心,则AP 等于（ ）A ．2 B ．1 C ．83 D ．438.（1）直线l 过点)1,0(-A ,且点)1,2(-B 到l 的距离和点)2,1(C 到l 的距离相等，则直线l 的方程是 ．（2）直线l 过点)1,0(-A ,且点)1,2(-B 到l 的距离是点)2,1(C 到l 的距离的两倍，则直线l 的方程是 ．9．已知三条直线0=-y x ，01=-+y x ，03=++y mx 不能构成三角形，则m 的取值范围是 ．10．两条平行线012=++y x 和0142=-+y x 间的距离是 ．11．经过两条直线1l ：3420x y +-=与2l ：220x y ++=的交点P ，且垂直于直线3l ：210x y --=直线l 的方程为 ．12．已知正方形的中心为直线220x y --=和10x y ++=的交点，正方形一边所在直线的方程为350x y +-=，求其它三边所在的直线方程．13．已知直线l 经过点()0,1，且被两平行直线063=-+y x 和033=++y x 所截得的线段长为9，求直线l 的方程.14．一直线被两直线0653:,064:21=--=++y x l y x l 截得线段的中点是P 点，当P 点分别为(0,0)，(0,1)时，求此直线方程.15．设直线1122:1,:1,l y k x l y k x =+=-其中实数12,k k 满足1220k k +=． (Ⅰ) 证明1l 与2l 相交； (Ⅱ) 证明1l 与2l 的交点在椭圆2221x y +=上．。
山西大学附中2020—2021学年第二学期高三年级3月模块诊断数理答案
山西大学附中2020—2021学年第二学期高三年级三月模块诊断理科数学试题评分细则 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1--5:CAACB;6--10:BABBC;11--12:DD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．6 14．22(6)(1)1x y -+-= 15．103 16．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-e e 2,2 三、解答题：共70分。
解答题应写出文字说明、证明或演算步骤。
第17-21题为必考题，每小题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知()cos 2cos 0c A a b C ++=. （1）求C 的大小；（2）ABC 的面积等于43，D 为BC 边的中点，当中线AD 长最短时，求AB 边长. （1）由()cos 2cos 0c A a b C ++=得()sin cos sin 2sin cos 0C A A B C ++=… 即()()2sin cos sin sin sin B C A C B B π-=+=-=，0180B <<，sin 0B ∴>，从而1cos 2C =-而0180C <<，所以120C =； ………5分 （2）13sin120432S ab ab ===，16ab ∴=， ………6分 在ACD △中，由余弦定理可得222222cos1202222a a a ab AD b b b ⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯⨯=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223224222a ab abb ⎛⎫≥⋅+== ⎪⎝⎭，当且仅当12b a =时，即当42a =，22b =时，等号成立.………10分 此时22212cos12032824222562AB a b ab ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭故214AB =. …………12分18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，//AB CD ，且22,22CD AB BC ===，90ABC ∠=︒，M 为BC 的中点．（1）求证：平面PDM ⊥平面PAM ；（2）若二面角P DM A --为30，求直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值．（1）证明：在直角梯形ABCD中，由已知可得，1,2,AB CD BM CM ====可得223,6AM DM ==，过A 作AE CD ⊥，垂足为E，则1,DE AE ==29AD =， 则222AD AM DM =+，∴DM AM ⊥． ………2分 ∴PA ⊥面ABCD ， ∴DM PA ⊥， 又PAAM A =，∴DM ⊥平面PAM ，∴DM ⊂平面PDM ，∴平面PDM ⊥平面PAM ； ………5分（2）解：由（1）知，,PM DM AM DM ⊥⊥，则PMA ∠为二面角P DM A --的平面角为30， ………7分 则tan301PA AM =⋅︒=． ………8分 以A 为坐标原点，分别以,,AE AB AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()0,0,1P，1,0)D -，C，M ，(22,1,1),(22,1,1),(2,1,1)PC PD PM =-=--=-．设平面PDM 的一个法向量为(,,)n x y z =，由22020n PD y z n PM x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取1x =，得21,,22n ⎛= ⎝⎭． ………10分∴直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值为：|||cos ,|||||10PC n PC n PC n ⋅<>===⋅ ………12分19．在某运动会上，有甲队女排与乙队女排以“五局三胜”制进行比赛，其中甲队是“慢热”型队伍，根据以往的经验，首场比赛甲队获胜的概率为P ，决胜局（第五局）甲队获胜的概率为23，其余各局甲队获胜的概率均为12.（1）求甲队以3:2获胜的概率；（2）现已知甲队以3:0获胜的概率是112，若比赛结果为3:0或3:1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3:2，则胜利方得2分，对方得1分，求甲队得分的分布列及数学期望.（1）记事件A ：甲队以3:2获胜，则第五局甲队胜，前面四局甲队赢两局，所以，()()33123312*********P A P C P C ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ………4分 （2）记甲队以3:0获胜为事件B ，则()21112412P B P P ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭，解得13P =. …5分记甲队得分为X ，则X 的可能取值有0、1、2、3， 若X 0=，则甲队以0:3或1:3落败，所以，()23312111111301113232328P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⋅-+⋅+-⋅⋅=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；若1X =，则甲队以2:3落败，所以，()331233111211113233238P X C C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；若2X =，则甲队以3:2获胜，所以，()()124P X P A ===； 若3X =，则甲队以3:0或3:1获胜，所以，()2231211111211332322324P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅+⋅⋅⋅+⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以，随机变量X 的分布列如下表所示：因此，()012388448E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………12分 20.已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，上、下顶点分别为C ，D ，右焦点为F ，离心率为12，其中24||||||FA FB CD =⋅． （1）求椭圆的标准方程．（2）过椭圆的左焦点F '的直线l 与椭圆M 交于E ，H 两点，记ABE △与ABH 的面积分别为1S 和2S ，求12S S -的最大值．（1）有条件可知24()()(2)a c a c b +=-，∴2131a c e b a c e++===--，又12c a =，22134a a -=，∴24a =，∴椭圆方程为22143x y +=． ………4分（2）当直线l 无斜率时，直线方程为1x =-， 此时12331,,1,,022D C S S ⎛⎫⎛⎫----= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…… … 5分 当直线l 斜率存在时，设直线方程为(1)(0)y k x k =+≠，设()11,E x y ，()22,H x y联立得22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消掉y 得()22223484120k x k x k +++-=， 显然0∆>，方程有根，221212228412,3434k k x x x x k k -+=-=++． …… … 7分 此时()()1221212112212||2||||22112(2)34k S S y y y y k x k x k x x k -=-=+=+++=++=+‖． …… … 9分因为0k ≠，所以121234||||S S k k -=≤==+，（k =成立），所以12S S -…… … 12分 21．已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）若有两个极值点，，证明：． 解:（1）函数的定义域为，()2ln f x x x k x =-+k ∈R ()f x ()f x 1x 2x ()()12124f x f x k -<-()f x ()0,∞+， …… … 1分设，判别式．∴当，即时，恒成立，恒成立，等号不恒成立，此时在上单调递增； …… … 2分 ∴当，即时，令，得，． （i ）当时，，此时，． 当时，，则，调递减；当时，，则，单调递增； …… … 4分 （ii ）当时，，，∴． 当时，，则，单调递增；当时，，则，单调递减；当时，，则，单调递增；综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； …… … 6分 ()2221k x x kf x x x x-+'=-+=()22g x x x k =-+18k ∆=-0∆≤18k ≥()0g x ≥()0f x '≥()f x ()0,∞+0∆>18k <()0g x=1x=2x =0k ≤1202kx x =≤10x ≤20x >()20,x x ∈()0g x <()0f x '<()f x ()2,x x ∈+∞()0g x >()0f x '>()f x 108k <<1202k x x =>12102x x +=>120x x <<()10,x x ∈()0g x >()0f x '>()f x ()12,x x x ∈()0g x <()0f x '<()f x ()2,x x ∈+∞()0g x >()0f x '>()f x 0k ≤()fx ⎛ ⎝⎭⎫+∞⎪⎝⎭108k <<()fx ⎛ ⎝⎭⎫+∞⎪⎝⎭⎝⎭18k ≥()f x ()0,∞+（2）由（1）及题意知，，为方程的两根， 不妨设，则，且，， ∴． 要证，即证，即证， …… … 7分，而，，故， 因为． …… … 10分设，则， ∴．设，则，当时，，在上单调递增，∴，而， ∴，即，命题得证． …… … 12分108k <<1x 2x 220x x k -+=120x x <<()()12f x f x >1212x x +=122k x x =()()221212121424x x x x x x k -=+-=-()()12124f x f x k -<-()()()21212f x f x x x -<-()()()21212f x f x x x -<-()()()()2212111222ln ln f x f x x x k x x x k x -=-+--+()()()1212121ln ln x x x x k x x =+--+-1212x x +=122kx x =()()12f x f x -=()()()1112121212221ln2ln 2x xk x x x x x x x x x x --=-+-()()()()()()22112121212121222lnx f x f x x x x x x x x x x x x ---=-+---1112222ln 1x x x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭12x t x =01t <<()()()21212122(ln 1)f x f x x x x x t t ---=-+()ln 1h t t t =-+()11h t t'=-01t <<()0h t '>()h t ()0,1()()10h t h <=120x x >()()()212120f x f x x x ---<()()()21212f x f x x x -<-22．在平面直角坐标系中，曲线的方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，点，点是曲线上的动点，为线段的中点.（1）写出曲线的参数方程，并求出点的轨迹的直角坐标方程；（2）已知点，直线与曲线的交点为，若线段的中点为，求线段长度.（1）的参数方程为为参数）. 设，所以，即的参数方程为为参数），化简为直角坐标方程为.所以点的轨迹的直角坐标方程为. …… … 5分（2）直线的直角坐标方程为，易知直线过点，设的参数方程为参数），将其代入曲线的直角坐标方程得，设对应的参数分别为， 所以， 所以. …… … 10分xoy 1C 22(4)(12x y ++-=xl sin()6πρθ+=(4,0)M N 1C Q MN 1C Q 2C P l 2C ,A B ABD ||PD 1C 4(x y θθθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩(4,)N θθ-+)Q θθ2C (x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩22(3x y +=Q 2C 22(3x y +=l 0x +-=l Pl (12x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2C 2(330t t -++=,A B 12,tt 12123,3t t t t =+=123||22t t PD ++==23．设函数()31223x x f x x +--=+的最大值M .（1）求M ；（2）已知a 、b 、c 均为正实数，且a b c M ++=，求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （1）由绝对值三角不等式可得()()()31223122133x x x x f x x x +--+--=≤=++，当且仅当1≥x 时，等号成立，所以，1M =； …… … 5分（2）由（1）可得1a b c ++=，111a b c a a a -+∴-==，同理可得11a c b b +-=，11a bc c+-=，由基本不等式可得()()()1111118b c c a a b a b c abc +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=≥= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当且仅当13a b c ===时，等号成立，因此，1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. …… 10分。
2023-2024学年山西大学附属中学高三上学期10月月考数学试题及答案
山西大学附中2023~2024学年第一学期高三10月月考（总第四次）数 学 试 题考查时间：120分钟 满分：150分 考查内容：高考综合一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只如图所示，则不符合这一结果的试验是（A ．抛一枚硬币，正面朝上的概率B ．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率C ．转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率D ．从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率10．函数()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕ⎛=+>><< ⎝π617．（10分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，满足13a =，11b =，2210b S +=，5232.a b a -=(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)令2,,,,n n n S c b n ⎧⎪=⎨⎪为奇数为偶数设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求2.n T20．（12分）已知函数)(ln 2)(2R a ax x x x f ∈+-=(1)当0=a 时，求)(x f 的单调区间；(2)若函数m ax x f x g +-=)()(在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只3．二项式12⎪⎫⎛-xx展开式的常数项为（）A ．43π6B ．47π6【答案】A【详解】依题意，该玻璃杯所用玻璃的体积为故选：A5．若,ln ,ln e b e a e c b a ==-=--则（ ）A ．c b a << B ．c a <<【答案】Bln ,ln ,,-====由图象可知b c a <<故选：B6．有6名选手（含选手甲、乙）参加了男子100米赛跑决赛（无并列名次）乙快的条件下，甲、乙两人名次相邻的概率为（ ）A ．21B ．61C ．31D ．【答案】C所以，22121242nn n nnn n na a aa a a+++++===，故数列{}1n na a+是公比为4，首项为12248a a=⨯=的等【详解】如图所示：设椭圆的左焦点F'，由椭圆的对称性可知，四边形如图所示，则不符合这一结果的试验是（A．抛一枚硬币，正面朝上的概率B．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率C．转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率D．从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率【答案】ABC【详解】解：根据统计图可知，实验结果在0.33附近波动，即其概率选项A，掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为6A ．2ω=B ．()g x 的图象关于点(π-对称C ．()g x 在2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．()g x 在()0,π上有两个极值点【答案】AC【详解】A 选项，设()f x()()()()2cos sin cos cos g x g x x g x x f x x x '''⎡⎤+==⎢⎥⎣，当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x <，()0g x '>，6666a a a -=，即E 为AO ,C D ，，则_____.四、解答题：本大题共670分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，满足13a =，11b =，2210b S +=，5232.a b a -=(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)令2,,,,n n nn S c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求2.n T 【答案】(1)解：设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，则由13a =，11b =，2210b S +=，5232a b a -=，得331034232q d d q d +++=⎧⎨+-=+⎩，解得2d =，2q =，21n a n ∴=+，12n n b -=；(2)解：由(1)可得，(2)n S n n =+，则12,(2)2,n n n n n c n -⎧⎪+=⎨⎪⎩为奇数为偶数，即111,22,n n n c n n n -⎧-⎪=+⎨⎪⎩为奇数为偶数，213521242(...)(...)n n n T c c c c c c c -∴=++++++++111[(1)(335=-+-+ (32111)((22...2)2121n n n -+-++++-+12(1-4)1211-4n n =-++22(41).213n n n =+-+PA PB⊥.）故实数m 的取值范围是211,2e ⎛⎤+ ⎥.(1)求CO 的长；(2)若BC BD =，求ABD △的面积【答案】（1）在ACD 中，由余弦定理得解得4CD =或6CD =-（舍去）1cos ACD ∠=-，所以sin令()ln 1F x x x =-+，则11()1x F x xx -'=-=．。
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山西大学附中高三年级（上）数学导学设计 编号81
直线的方程
【学习目标】 1.知道描述直线倾斜程度的两个数学量：倾斜角与斜率
2.能写出直线方程的五种形式
【学习重点】 倾斜角与斜率的关系
【学习难点】在不同的情境中选择合适的直线方程去解题
【学习过程】
（一）知识梳理
1.直线的倾斜角与斜率
(1)倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，我们取 作为基准， 与 所成的角α叫做直线l 的倾斜角；当直线l 与x 轴平行或重合时， .
直线的倾斜角α的取值范围是 .
（2）一条直线的倾斜角)90( ≠αα的 叫做这条直线的斜率，常用小写字母k 表示. 斜率k 的取值范围是 .
2.直线方程
（1）点斜式方程 （2）斜截式方程
（3）两点式方程 （4）截距式方程
（5）一般式方程
（二）巩固练习
1.下列命题中正确的个数为
①若直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为αtan ；
②若直线的斜率为αtan ，则此直线的倾斜角为α；
③直线的倾斜角越大其斜率就越大 ； ④直线的斜率越大其倾斜角就越大；
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
2. 已知点)1,1(),321,1(-+B A ,直线l 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的一半，则l 的斜率为 A.1 B.3
3 C.3 D ．不存在 3.已知三点()3,1A 、()2,B k -、()8,11C 共线，则k 的取值是
A.6-
B.7-
C.8- D ．9-
4.如右图，直线123,,l l l 的斜率分别为123,,k k k ，则
A.123k k k <<
B.312k k k <<
C.321k k k <<
D.132k k k <<
5. 设直线0543=-+y x 的倾斜角为θ,则它关于直线3=x
A. θ
B.θπ-2
C.θπ
+2
D ．θπ- 6．若直线3-=kx y l ：与直线0632=-+y x 的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是
A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡36ππ， B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛26ππ， C.⎪⎭⎫ ⎝⎛23ππ， D ．⎥⎦
⎤⎢⎣⎡26ππ， 7.过点(1,1)P 的直线,将圆形区域{}22(,)|4x y x y +≤分两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程
A ．20x y +-=
B ．10y -=
C ．0x y -=
D ．340x y +-= 8．若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足
A. 0≠m
B. 23-
≠m C. 1≠m D. 1≠m ，2
3-≠m ，0≠m 9. 已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过 A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限
10.已知点(1,0),(1,0),(0,1)A B C -,直线(0)y ax b a =+>将ABC ∆分割为面积相等的两部分,则b 的取值范围是
A.(0,1)
B.21(1,)22-
C. 21(1,]23-
D. 11[,)32
11．若直线l 的倾斜角)4
3,4(ππθ∈,则直线l 的斜率k 的范围是 . 12．直线1cos +=θx y 的倾斜角的范围是 .
13．若直线l ：2--=k kx y 与以)0,4(),3,2(Q P --为端点的线段PQ 相交,则l 的斜率的取值范围是 .
14. 过点()2,1-在两条坐标轴上的截距绝对值相等的直线条数为 .
15.若直线m 被两平行线1:10l x y -+=与2:30l x y -+=所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75
其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）
16．设()f x 是定义在(0,)+∞上的函数，且()0f x >，对任意0,0a b >>，若经过点(,()),(,())a f a b f b -的直线与x 轴的交点为(,0)c ，则称c 为,a b 关于函数()f x 的平均
数，记为(,)f M a b ，例如，当()1(0)f x x =>时，可得(,)2
f a b M a b c +==，即(,)f M a b 为,a b 的算术平均数．
(1)当()f x =________(0)x >时，(,)f M a b 为,a b 的几何平均数；
(2)当()f x =________(0)x >时，(,)f M a b 为,a b 的调和平均数
2ab a b
+. (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)
17.已知直线:120l kx y k -++=. (1)证明：直线l 过定点；
(2)若直线l 交x 负半轴于A ，交y 正半轴于B ，AOB ∆的面积为S ，试求S 的最小值并求出此时直线l 的方程．
18．(1)直线l 经过点(1,2),(,3)A B m ，若倾斜角2[,]43ππ
α∈，求实数m 的取值范围；
(2)过点(1,2)P --的直线分别交x 轴、y 轴的负半轴于,A B 两点，当PA PB ⋅最小时，求直线l 的方程．。