二次函数——定值问题

专题九：二次函数之定值问题

坐标为定值

例题 1 ：抛物线y＝x2+bx+c与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y 轴交于点C．

（1）如图1，若OB＝2OA＝2OC

①求抛物线的解析式；

②若M 是第一象限抛物线上一点，若cos∠MAC＝，求M 点坐标．

（2）如图2，直线 E F∥x轴与抛物线相交于E、F两点，P为 E F下方抛物线上一点，且P（m，﹣2）．若∠EPF＝90°，则 E F所在直线的纵坐标是否为定值，请说明理由．

练习1 ．如图1，抛物线y＝（x﹣m）2的顶点A在x轴正半轴上，交y轴于 B 点，S△OAB＝1．

1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，P 是第一象限内抛物线上对称轴右侧一点，过P 的直线L与抛物线有且只有一个公共点，L交抛物线对称轴于C点，连PB交对称轴于 D 点，若∠ BAO＝∠ PCD，求证：AC＝2AD；

（3）如图3，以 A 为顶点作直角，直角边分别与抛物线交于M、N 两点，当直角∠ MAN绕A点旋转时，求证：MN 始终经过一个定点，并求出该定点的坐标．

线段之和为定值

例题 1 ：如图，抛物线 y = x 2 + bx + c 交 x 轴于 A 、 B 两点，其中点 A 坐

在抛物线上且满足 ∠PAB= 2∠ACO.求点 P 的 坐标；

3）如图②，点 Q 为 x 轴下方抛物线上任意一点，点 D 是抛物线对称轴与 x 轴的交点，直线 AQ 、BQ 分别交抛物线的对称轴于点 M 、N .请问 DM+ DN 是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由 .

2）如图①，连接 AC ，点 P 1）求抛物线的函数表达

式；

C(0,-3) .

练习 1 ：抛物线y=ax2+c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P在抛物线上，

且位于x 轴下方．

（1）若P（1，﹣3）、B（4，0），①求该抛物线的解析式；

②若 D 是抛物线上一点，满足∠ DPO=∠POB，求点D的坐标；

（2）如图，在（1）中的抛物线解析式不变的条件下，已知直线PA、PB与y 轴分别交于E、F两点，点P运动时，OE+OF是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．

面积为定值

例题 1 ：如图，已知抛物线交x轴于A．B两点，交y轴于C点，A点坐标为（﹣1，0），OC=2，OB=3，点 D 为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）P 为坐标平面内一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求P 点坐标；

（3）若抛物线上有且仅有三个点M 1、M2、M 3使得△ M1BC、△M2BC、

△M3BC 的面积均为定值S，求出定值S及M1、M2、M3 这三个点的坐标．

练习 1 . 已知关于x 的二次函数y=ax2+bx+c（a>0）的图象经过点C（0,1），且与x 轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）

（1）求 c 的值；

（2）求 a 的取值范围；

（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D 两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△ PCD的面积为S1，△ PAB的面积为

S2，当0

比例为定值

例题 1 ：如图，已知抛物线y = ax2- 2√3ax - 9a 与坐标轴交于A，B，C 三点，其中C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D 的直线l 与射线AC，AB分别交于点M ，N．

1）直接写出 a 的值、点 A 的坐标及抛物线的对称轴；

2）点P 为抛物线的对称轴上一动点，若△ PAD为等腰三角形，求出点P 坐标；

3）证明：当直线l绕点D旋转时，A1M+ A1N均为定值，并求出该定值．

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练习 1 . 如图，在平面直角坐标系x O y中，一次函数y = 45x + m （m 为常数）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y 轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过A，C两点，并与x 轴的正半

（1）求m 的值及抛物线的函数表达式；

（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；

（3）若P 是抛物线对称轴上使△ ACP的周长取得最小值的点，过点P 任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线于M1（x1 ，y1），M2（x2 ，y2）两点，试探究M M1P?M M2P是否为定值，并写出探究过程．